matemÁtica aplicada ao planejamento da ...matemÁtica aplicada ao planejamento da produÇÃo e...
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Apoio Financeiro:
Silvio A. de AraujoSocorro Rangel
[email protected], [email protected]
MATEMÁTICA APLICADA AO PLANEJAMENTO DA PRODUÇÃO E LOGÍSTICA
PROGRAMA
Introdução
1. Modelagemmatemática: conceitos básicos
2. Problemas clássicos de logística
3. O problema de dimensionamento de lotes
4. O problema de sequenciamento de tarefas
5. O problema integrado de dimensionamento e sequenciamentode lotes
6. Outros problemas integrados
Considerações Finais
PROGRAMA
Introdução
1. Modelagemmatemática: conceitos básicos
2. Problemas clássicos de logística
3. O problema de dimensionamento de lotes
4. O problema de sequenciamento de tarefas
5. O Problema Integrado de dimensionamento e sequenciamentode lotes
6. Outros problemas integrados
Considerações Finais
AULA 2
PROGRAMA
Introdução
1. Modelagemmatemática: conceitos básicos
2. Problemas clássicos de logística
3. O problema de dimensionamento de lotes
4. O problema de sequenciamento de tarefas
5. O Problema Integrado de dimensionamento e sequenciamentode lotes
6. Outros problemas integrados
Considerações Finais
PROGRAMA
Introdução
1. Modelagemmatemática: conceitos básicos
2. Problemas clássicos de logística
3. O problema de dimensionamento de lotes
4. O problema de sequenciamento de tarefas
5. O Problema Integrado de dimensionamento e sequenciamentode lotes
6. Outros problemas integrados
7. Considerações Finais
2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)
2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)
2.3 O problema de localização de facilidades (PLF)
2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)2. Problemas clássicos de logística
Problema do Caminho Mínimo (PCM)
Uma pessoa deseja sair de sua casa e chegar ao trabalho no menortempo possível. Qual é a sequência de ruas e avenidas que a pessoadeve percorrer para chegar ao seu destino final?
2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)2. Problemas clássicos de logística
Trecho da região central de São José do Rio Preto
2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)2. Problemas clássicos de logística
2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)2. Problemas clássicos de logística
2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)2. Problemas clássicos de logística
2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)2. Problemas clássicos de logística
2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)2. Problemas clássicos de logística
2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)2. Problemas clássicos de logística
Trecho da região central de São José do Rio Preto
2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)2. Problemas clássicos de logística
Representação na forma de grafos
3
4 5
2
1Conceitos de Teoria dos grafos- Grafo/Digrafo- Adjacência de vértices- Adjacência de arestas- Caminho: sequencia alternada
de vértices e arestas onde não há repetição de vértices e começa e termina com vértices (ex: 1, 3, 2, 5)
2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)2. Problemas clássicos de logística
Representação na forma de grafos
3
4 5
2
1
1c13=5
3
83
3
c45=5
Conceitos de Teoria dos grafos- Grafo valorado- Rede- Custo de um caminho
2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)2. Problemas clássicos de logística
3
4 5
2
1
1c13=5
3
83
3
c45=5
Análise de possíveis soluções para ir do vértice 1 ao vértice 5
Qual é o caminho mínimo?
Construindo um modelo para o Problema do Caminho Mínimo
elementos conhecidos: vértices, arestas e custo das arestas
elementos desconhecidos: sequencia de vértices e arestas aser utilizadas
objetivo a ser alcançado: obter um caminho de custo(tempo) mínimo do vértice 1 ao vértice 5
restrições: relativas ao deslocamento no grafo
2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)2. Problemas clássicos de logística
Elementos conhecidos (dados):- número de vértices, |V|=n;- número de arestas, |A|=m.- vértice inicial é 1, e o vértice final én.
- índices:i,j = 1, ...,n para representar os vértices- custo da aresta (i,j)
Elementos desconhecidos (variáveis):1 se a aresta (i,j) está incluída no caminho0 caso contrário
2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)2. Problemas clássicos de logística
=ijc
=ijx
objetivo a ser alcançado (função objetivo):
restrições:
2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)2. Problemas clássicos de logística
∑∈
=Aji
ijij xcz),(
min
)(,,0
1,...,20
1
1
)()(
)(
)1(1
iSjVix
njxx
x
x
ij
jSkjk
jPiij
nPjjn
Sjj
∈∈≥
−==−
=
=
∑∑
∑
∑
∈∈
∈
∈
Formulação:
2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)2. Problemas clássicos de logística
SjVix
njxx
x
x
aSujeito
xcz
ij
jSkjk
jPiij
nPjjn
Sjj
Ajiijij
∈∈≥
−==−
=
=
=
∑∑
∑
∑
∑
∈∈
∈
∈
∈
,,0
1,...,20
1
1
:
min
)()(
)(
)1(1
),(
Exemplo:
2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)2. Problemas clássicos de logística
∑∈
=Aji
ijij xcz),(
min
4545353534343232252513131212min xcxcxcxcxcxcxcz ++++++=
3
4 5
2
11c13=5
3
83
3
c45=5
45353432251312 5333851min xxxxxxxz ++++++=
Formulação:
2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)2. Problemas clássicos de logística
SjVix
njxx
x
x
aSujeito
xcz
ij
jSkjk
jPiij
nPjjn
Sjj
Ajiijij
∈∈≥
−==−
=
=
=
∑∑
∑
∑
∑
∈∈
∈
∈
∈
,,0
1,...,20
1
1
:
min
)()(
)(
)1(1
),(
Exemplo:
2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)2. Problemas clássicos de logística
1
1
)(
)1(1
=
=
∑
∑
∈
∈
nPjjn
Sjj
x
x
11312 =+ xx
3
4 5
2
11c13=5
3
83
3
c45=5
1453525 =++ xxx
Exemplo:
2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)2. Problemas clássicos de logística
1
1
)(
)1(1
=
=
∑
∑
∈
∈
nPjjn
Sjj
x
x
11312 =+ xx
3
4 5
2
11c13=5
3
83
3
c45=5
1453525 =++ xxx
Formulação:
2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)2. Problemas clássicos de logística
SjVix
njxx
x
x
aSujeito
xcz
ij
jSkjk
jPiij
nPjjn
Sjj
Ajiijij
∈∈≥
−==−
=
=
=
∑∑
∑
∑
∑
∈∈
∈
∈
∈
,,0
1,...,20
1
1
:
min
)()(
)(
)1(1
),(
Exemplo:
2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)2. Problemas clássicos de logística
40
30
20
4534
35343213
253212
==−==−−−
==−+
jxx
jxxxx
jxxx
3
4 5
2
11c13=5
3
83
3
c45=5
1,...,20)()(
−==− ∑∑∈∈
njxxjSk
jkjPi
ij
Exemplo:
2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)2. Problemas clássicos de logística
40
30
20
4534
35343213
253212
==−==−−−
==−+
jxx
jxxxx
jxxx
3
4 5
2
11c13=5
3
83
3
c45=5
1,...,20)()(
−==− ∑∑∈∈
njxxjSk
jkjPi
ij
Formulação:
2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)2. Problemas clássicos de logística
SjVix
njxx
x
x
aSujeito
xcz
ij
jSkjk
jPiij
nPjjn
Sjj
Ajiijij
∈∈≥
−==−
=
=
=
∑∑
∑
∑
∑
∈∈
∈
∈
∈
,,0
1,...,20
1
1
:
min
)()(
)(
)1(1
),(
Problema do Caixeiro Viajante (PCV) - Um viajante necessita visitar umcerto número de cidadesdurante uma viageme retornar ao lugar de origemde tal maneiraque cada cidade seja visitada exatamente uma vez, e que adistância total percorrida seja a menor possível.
- Supondo conhecidas as distâncias entre cada par de cidades, queroteiro deve ser escolhido?
2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)2. Problemas clássicos de logística
2. Problemas clássicos de logística
Representação na forma de grafos
Conceitos de Teoria dos grafosCircuito: sequência alternada de vértices e arestas onde não há repetição de vértices, exceto pelo primeiro (ex: 1, 2, 4, 3, 1).
Circuito Hamiltoniano: circuito que inclui todos os vértices deum grafo (ex. 1, 5, 2, 3, 4, 1)
3
4 5
2
1
127
5
34
3
2
3
5
2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)
2. Problemas clássicos de logística
Representação na forma de grafos
Conceitos de Teoria dos grafosPCV simétrico: se cij= cji para todo i, j, temos o caso simétrico.
3
4 5
2
1
127
5
34
3
2
3
5
2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)
2. Problemas clássicos de logística
Representação na forma de grafos
Conceitos de Teoria dos grafosPCV simétrico: se cij= cji para todo i, j, temos o caso simétrico.
PCV assimétrico: caso contrário temos o caso simétrico.
3
4 5
2
1
127
5
34
3
2
3
5
2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)
3
2. Problemas clássicos de logística
3
4 5
2
1
127
5
34
3
2
3
5
2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)
Quantos roteirosexistem?
Análise de possíveis soluções
partindo, porexemplo, do
vértice 1.
• Se o problema considerar n cidades teremos que o número total de roteiros, no caso assimétrico, é de até (n-1)!
É inviável enumerar todos os roteiros!
n-1 n-1! Tempo
8 40320 1s
10 3628800 54s
11 39916800 12 min
12 479001600 1h 25 min
30 2 . 1032* 9 . 1021 milênios*
50 3 . 1064* 9 . 1053 milênios*
*Da ordem de
2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)2. Problemas clássicos de logística
Histórico• 18xx: primeiros relatos sobre o problema;• 192x: o problema foi definido;• 194x: o problema foi popularizado e classificado como “difícil”; • 1954: resolvido na otimalidade um problema de 42 cidades.
2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)2. Problemas clássicos de logística
120 Cidades da Alemanha Ocidental (1977)2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)
2. Problemas clássicos de logística
532 Cidades dos Estados Unidos (1987): att5322.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)
2. Problemas clássicos de logística
Solução Ótima para o pcb3038
2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)2. Problemas clássicos de logística
Maior Instância Resolvida na Otimalidade (em 1998): usa13509
2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)2. Problemas clássicos de logística
O Presidente, Antônio Castor, da Companhia Ramos de Carvalho querfazer uma visita às reservas florestais situadas nos estados doAmazonas e Pará, aos depósitos situados nos estados de São Paulo,Bahia, Goiás e Rio de Janeiro. É possível determinar um roteiro deviagem tal que cada reserva e cada depósito sejam visitados apenasuma vez, saindo e retornando à sede da empresa no Rio de Janeiro, eque minimize a distância total percorrida?
Figura 1 – Reservas e Depósitos a serem visitados
Ma
Go SP
Be
RJ
Sal
2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)2. Problemas clássicos de logística
Construindo um modelo para o Problema do Caixeiro Viajante
elementos conhecidos: vértices, arestas e custo das arestas
elementos desconhecidos: sequencia de vértices e arestas aseremutilizadas
objetivo a ser alcançado: obter umcircuito Hamiltoniano decusto mínimo
restrições: relativas ao deslocamento no grafo
2. Problemas clássicos de logística 2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)
Construção do Modelo:
Elementos conhecidos (dados):
Índices: i,j = 1,2,3, ...6 os locais onde as reservas (duas) e os depósitos(quatro) estão situados (RJ,SP,Go,Ma,Be e Sal) respectivamente.
distância entre os locaisi e j.
Elementos desconhecidos (variáveis):
1 se o locali é visitado imediatamente antes dej
0 caso contrário.=ijx
2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)2. Problemas clássicos de logística
ijc
Construção do Modelo:
Função ObjetivoO objetivo é encontrar o circuito hamiltonino de menorcusto.
∑∑= =
=6
1
6
1
mini j
ijij xcz
2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)2. Problemas clássicos de logística
Construção do Modelo:
Restrições:Cada local deve ser visitado apenas uma vez.
•Saídas da cidadei:
•Chegadas à cidadej
6,...,1,1654321 ==+++++ ixxxxxx iiiiii
6,...,1,1654321 ==+++++ jxxxxxx jjjjjj
2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)2. Problemas clássicos de logística
(i≠j)
(i≠j)
Construção do Modelo:
Restrições:
2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)2. Problemas clássicos de logística
Construção do Modelo:Restrições
As restrições do problema da designação permitem a seguintesolução:
Qual é o problema desta solução?
Subrotas!!!!Com este roteiro não conseguimos passar por todas as cidades apenas uma vez!
Ma
Go SP
Be
RJ
Sal
2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)2. Problemas clássicos de logística
S={Ma, Be, Sal}
Formulação I - Eliminação de subrotas:Dantzig, Fulkerson e Johnson
Vamos considerar o conjunto de cidades incluídas em uma das subrotasobtidas na solução do Modelo I:
2 <= x+ x+ x+ x+ x+ x BeSal,MaSal,SalBe,MaBe,SalMa,BeMa,
Se limitarmos o número de variáveis associadas a essas cidades quepodem receber valor diferente de zero a 2, temos a seguinterestrição:
Se incluirmos esta restrição ao Modelo I, eliminamos a sub-rota que inclui as cidades acima, pois a solução anterior não é viável para o novo modelo.
2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)2. Problemas clássicos de logística
Formulação I - Eliminação de subrotas:Dantzig, Fulkerson e Johnson
Dado umsubconjunto de cidades .nS⊂Como fazer no caso geral?
.1x Si Sj
ij −≤∑∑∈ ∈
S
se incluirmos a seguinte restrição ao Modelo I:
Podemos limitar o número de variáveis associadas a essascidades que podemreceber valor diferente de zero a:
1−S
Impedimos assim soluções associadas a sub-rotas.
2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)2. Problemas clássicos de logística
Formulação I : DFJ
jix
nSSx
njx
nix
xcz
ij
Si Sjij
n
iij
n
jij
n
i
n
jijij
,,1/0
}...1{1
,...,11
,...,11
a sujeito
min
1
1
1 1
∀=
⊂∀−≤
==
==
=
∑ ∑
∑
∑
∑ ∑
∈ ∈
=
=
= =
Existem restrições para eliminação de subrotas.
)22( −n
2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)2. Problemas clássicos de logística
= ordem em que o locali será visitado
Formulação II - Eliminação de subrotas:Miller,Tucker e Zemlin
Para eliminar as subrotas, vamos acrescentar as seguintes variáveis:
.;6,...,2,1 jijinnxuu ijji ≠=−≤+−
iu ni ,...2=
Existem restrições para eliminação de subrotas.2)1( −n
e as seguintes restrições:
2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)2. Problemas clássicos de logística
Formulação II : MTZ (Otimização Inteira Mista)
6,...,2,51
,,1/0
;6,...,.2;6,...,2;,56
6,...,1,1
6,...,1,1
a sujeito
min
654321
654321
6
1
6
1
=≤≤
∀=
==≠≤+−
==+++++==+++++
=∑∑= =
iu
jix
jijixuu
jxxxxxx
ixxxxxx
xcz
i
ij
ijji
jjjjjj
iiiiii
i jijij
2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)2. Problemas clássicos de logística
6
Formulação II - Eliminação de subrotas: MTZ
.;6,...,2,1 jijinnxuu ijji ≠=−≤+−
2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)2. Problemas clássicos de logística
i=5 j=4 u5-u4+6x54 ≤ 6 -1⇒⇒⇒⇒ 6-4+6(1)≤5⇒⇒⇒⇒ 8≤5 (absurdo!!)
x54=1
1 2
3 6
4 5
u1=1
u3=2
u2=3 u4=4
u6=5
u5=6
Formulação II - Eliminação de subrotas: MTZ
.;6,...,2,1 jijinnxuu ijji ≠=−≤+−
2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)2. Problemas clássicos de logística
i=5 j=4 u5-u4+6x54 ≤ 6 -1⇒⇒⇒⇒ 6-4+6(0)≤5⇒⇒⇒⇒ 2≤5 (OK!!)
x54=0
1 2
3 6
4 5
u1=1
u3=2
u2=3 u4=4
u6=5
u5=6
PCV: Fácil de enunciar, difícil de resolver...
Applegate, Bixby, Chvátal, Cook, 2003 (um milhão de Cidades)Branch and Cut
Optima, v. 61, pg21http://www.ise.ufl.edu/~optima/
1980
1954
1991
19871991
1995
Oncan et al. (2009)apresentam uma revisãobibliográfica e análise deformulações matemáticaspara o Problema doCaixeiro ViajanteAssimétrico (PCVA)
2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)2. Problemas clássicos de logística
Problema do Caixeiro Viajante: Bibliografia
1980 -H. Crowder and M.W. Padberg, "Solvinglarge-scale symmetric travelling salesmanproblems to optimality", Management Science26, 495-509. Os resultados computacionais descritos nesteestudo são impressionantes e incluem a solução de um exemplar com 318 cidades. Este exemplar foiconsiderado o maior a ser resolvido até o ano de 1987.1987 - M. Padberg and G. Rinaldi, "Optimization of a 532-city symmetric traveling salesman problem by branch and cut", Operations Research Letters 6, 1-7. 1991 -M. Grötschel and O. Holland, "Solution of large-scale symmetric travelling salesman problems", Mathematical Programming51,141-202.
1991 M. Padberg and G. Rinaldi, "A branch-and-cut algorithm for the resolution of large-scale symmetric traveling salesman problems", SIAM Review 33, 60-100. 1995 D. Applegate, R. Bixby, V. Chvátal, and W. Cook, "Finding cuts in the TSP (A preliminary report)", DIMACS Technical Report95-05, March.. . . 2003D. Applegate, R. Bixby, and V. Chvatal, W. Cook, “Implementing the Dantzig-Fulkerson-Johnson algorithm for large traveling salesman problems” Mathematical Programming (Series B)97, 91-153.
http://www.tsp.gatech.edu/history/biblio/tspbiblio.html
1954 -G. Dantzig, R. Fulkerson, and S. Johnson, "Solution of a large-scale traveling-salesman problem", Operations Research 2, 393-410.
2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)2. Problemas clássicos de logística
Para Saber Mais1. Boaventura, P. O., Grafos : teoria, modelos, algoritmos, Edgard Blucher, ;
2001.2. Cook, W. In Pursuit of the Traveling Salesman: Mathematics at the Limits
of Computation, Princeton University Press, 2011.3. Goldbarb, M.C e HPL Luna, Otimização Combinatória e Programação
Linear, Editora Campus, 2005. 4. E. L Lawler, et al. The Traveling Salesman Problem: A Guided Tour of
Combinatorial Optimization, Wiley, 1985.5. Oncan, T., Altinel, . K., and Laporte, G. A comparative analysis of several
asymmetric traveling salesman problem formulations. Computers & Operations Research, 36(3):637–654, 2009.
6. Rangel, S. Introdução à construção de modelos de otimização linear e inteira. 2. ed. São Carlos-SP: Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional-SBMAC, 2012. v. único. 82 p. (disponível em http://www.sbmac.org.br/arquivos/notas/livro_18.pdf)
7. Wolsey, L., Integer Programming, Ed. John Wiley & Sons, 1998.
2.3 O problema de localização de facilidades (PLF)2. Problemas clássicos de logística
Problema de Localização de Facilidades (PLF)
Dado umconjunto de facilidades e umconjunto de locais ondeestas facilidades podemser instaladas, deseja-se determinar oslocais de instalação de facilidades, de forma a atenderdemandas pré-especificadas de clientes como menor custototal.
Se uma facilidade for instalada, existe umcusto fixo a serpago, e umcusto variável que depende da demanda de cadacliente que é atendido por determinada facilidade.
2.3 O problema de localização de facilidades (PLF)2. Problemas clássicos de logística
Figura retirada de apresentação do Prof. Lorena (INPE), com pequenas modificações
Construindo um modelo para o Prob. de Localização de Facilidades
elementos conhecidos: localização dos clientes e suas demandas,locais empotencial para instalação de facilidades, custo fixo deinstalação, custo variável de atendimento a demanda, capacidadedas facilidades.
elementos desconhecidos: locais a sereminstaladas facilidades eforma de alocação das demandas dos clientes às facilidades
objetivo a ser alcançado: solução de custo mínimo
restrições: atendimento da demandas e capacidades das facilidades
2. Problemas clássicos de logística 2.3 O problema de localização de facilidades (PLF)
Elementos conhecidos (dados):
- j=1,...,m clientes;
- i=1,...,n locais empotencial para instalação de facilidades.
- : custo fixo de instalação de uma facilidade no locali;
- : capacidade da facilidade instalada no locali;
- : demanda do clientej;
- : custo de atender ao clientej a partir de uma facilidade
instalada no locali.
2.3 O problema de localização de facilidades (PLF)2. Problemas clássicos de logística
if
iC
jd
ijc
Elementos desconhecidos (variáveis):
: 1 se a facilidade localizada emi é instalada;0 caso contrário
2.3 O problema de localização de facilidades (PLF)2. Problemas clássicos de logística
iy
: 1 se o clientei é atendido pela facilidade localizada emi;0 caso contrário
ijx
Exemplo2.3 O problema de localização de facilidades (PLF)
2. Problemas clássicos de logística
- j=1,...,5 clientes;
- i=1,...,3 locais empotencial para instalação de facilidades.
objetivo a ser alcançado (função objetivo):
restrições:
2.3 O problema de localização de facilidades (PLF)2. Problemas clássicos de logística
∑∑∑= ==
+=n
i
m
jijij
n
iii xcyfz
1 11
min
}1,0{,
,...,1
,...,11
1
1
∈
=≤
==
∑
∑
=
=
iji
ii
m
jijj
n
iij
xy
niyCxd
mjx
Formulação:
2.3 O problema de localização de facilidades (PLF)2. Problemas clássicos de logística
}1,0{,
,...,1
,...,11
:
min
1
1
1 11
∈
=≤
==
+=
∑
∑
∑ ∑∑
=
=
= ==
iji
ii
m
jijj
n
iij
n
i
m
jijij
n
iii
xy
niyCxd
mjx
aSujeito
xcyfz
Formulação:
2.3 O problema de localização de facilidades (PLF)2. Problemas clássicos de logística
}1,0{,
,...,1
,...,11
:
min
1
1
1 11
∈
=≤
==
+=
∑
∑
∑ ∑∑
=
=
= ==
iji
ii
m
jijj
n
iij
n
i
m
jijij
n
iii
xy
niyCxd
mjx
aSujeito
xcyfz
Min f1y1+ f2y2+ f3y3+ c11x11+ c12x12+ c13x13+ c14x14+ c15x15+c21x21+ c22x22+ c23x23+ c24x24+ c25x25+c31x31+ c32x32+ c33x33+ c34x34+ c35x35
Sujeito a:x11+ x21+ x31=1x12+ x22+ x32=1x13+ x23+ x33=1x14+ x24+ x34=1x15+ x25+ x35=1
d1x11+ d2x12+ d3x13+ d4x14+ d5x15 ≤ C1y1
d1x21+ d2x22+ d3x23+ d4x24+ d5x25 ≤ C2y2
d1x31+ d2x32+ d3x33+ d4x34+ d5x35 ≤ C3y3
xij e yi ∈∈∈∈{0,1}
2.3 O problema de localização de facilidades (PLF)2. Problemas clássicos de logística
Formulação:
2.3 O problema de localização de facilidades (PLF)2. Problemas clássicos de logística
}1,0{,
,...,1
,...,11
:
min
1
1
1 11
∈
=≤
==
+=
∑
∑
∑ ∑∑
=
=
= ==
iji
ii
m
jijj
n
iij
n
i
m
jijij
n
iii
xy
niyCxd
mjx
aSujeito
xcyfz
Exemplo2.3 O problema de localização de facilidades (PLF)
2. Problemas clássicos de logística
- j=1,...,5 clientes;
- i=1,...,3 locais empotencial para instalação de facilidades.
Para o exemplo:Min f1y1+ f2y2+ f3y3+ c11x11+ c12x12+ c13x13+ c14x14+ c15x15+
c21x21+ c22x22+ c23x23+ c24x24+ c25x25+c31x31+ c32x32+ c33x33+ c34x34+ c35x35
Sujeito a:x11+ x21+ x31=1x12+ x22+ x32=1x13+ x23+ x33=1x14+ x24+ x34=1x15+ x25+ x35=1
d1x11+ d2x12+ d3x13+ d4x14+ d5x15 ≤ C1y1
d1x21+ d2x22+ d3x23+ d4x24+ d5x25 ≤ C2y2
d1x31+ d2x32+ d3x33+ d4x34+ d5x35 ≤ C3y3
xij e yi ∈∈∈∈{0,1}
2.3 O problema de localização de facilidades (PLF)2. Problemas clássicos de logística
Formulação:
2.3 O problema de localização de facilidades (PLF)2. Problemas clássicos de logística
}1,0{,
,...,1
,...,11
:
min
1
1
1 11
∈
=≤
==
+=
∑
∑
∑ ∑∑
=
=
= ==
iji
ii
m
jijj
n
iij
n
i
m
jijij
n
iii
xy
niyCxd
mjx
aSujeito
xcyfz
Exemplo2.3 O problema de localização de facilidades (PLF)
2. Problemas clássicos de logística
- j=1,...,5 clientes;
- i=1,...,3 locais empotencial para instalação de facilidades.
Para o exemplo:Min f1y1+ f2y2+ f3y3+ c11x11+ c12x12+ c13x13+ c14x14+ c15x15+
c21x21+ c22x22+ c23x23+ c24x24+ c25x25+c31x31+ c32x32+ c33x33+ c34x34+ c35x35
Sujeito a:x11+ x21+ x31=1x12+ x22+ x32=1x13+ x23+ x33=1x14+ x24+ x34=1x15+ x25+ x35=1
d1x11+ d2x12+ d3x13+ d4x14+ d5x15 ≤ C1y1
d1x21+ d2x22+ d3x23+ d4x24+ d5x25 ≤ C2y2
d1x31+ d2x32+ d3x33+ d4x34+ d5x35 ≤ C3y3
xij e yi ∈∈∈∈{0,1}
2.3 O problema de localização de facilidades (PLF)2. Problemas clássicos de logística
Formulação:
2.3 O problema de localização de facilidades (PLF)2. Problemas clássicos de logística
}1,0{,
,...,1
,...,11
:
min
1
1
1 11
∈
=≤
==
+=
∑
∑
∑ ∑∑
=
=
= ==
iji
ii
m
jijj
n
iij
n
i
m
jijij
n
iii
xy
niyCxd
mjx
aSujeito
xcyfz
Obrigado!!