apostila matemÁtica aplicada

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Matemática para cursos técnico em informática. Aborda indução, recursão, introdução à lógica e álgebra booleana.

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  • 1

    MINISTRIO DA EDUCAO

    SECRETARIA DE EDUCAO PROFISSIONAL E TECNOLGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIA E TECNOLOGIA DE RONDNIA

    CAMPUS PORTO VELHO CALAMA

    PRONATEC

    _______________________________________

    MATEMTICA APLICADA CURSO TCNICO EM INFORMTICA CONCOMITANTE

    _______________________________________

    Prof. Vlademir Fernandes

    Porto Velho - RO

    2016

  • 2

    No h ramo da Matemtica,

    por mais abstrato que seja,

    que no possa um dia vir a ser aplicado

    aos fenmenos do mundo real.

    Nikolai Lobachevsky

  • 3

    SUMRIO

    INTRODUO .......................................................................................................... 4

    CAPTULO I: INDUO MATEMTICA ............................................................... 5

    CAPTULO II: RECURSO E RELAES DE RECORRNCIA .......................... 9

    2.1- Recorrncias lineares de primeira ordem ..................................................... 10

    2.2- Recorrncias lineares de primeira ordem no homogneas ......................... 11

    2.3- Recorrncias lineares de segunda ordem ..................................................... 18

    CAPTULO III: INTRODUO LGICA MATEMTICA ................................ 25

    CAPTULO IV: OPERADORES BOOLEANOS E PORTAS LGICAS ................ 34

    CAPTULO V: LGEBRA DE BOOLE ................................................................... 45

    REFERNCIAS ....................................................................................................... 49

  • 4

    INTRODUO

    No redundante reafirmar a importncia da Matemtica em carreiras

    acadmicas e tecnolgicas. Basicamente toda estrutura tcnico-cientfica est

    fundamentada em alguma lgica ou princpio matemtico alm de ser expressa

    por meio dessa linguagem.

    Nos cursos tcnicos de nvel mdio ela se mostra imprescindvel. Na

    maioria deles no h como se compor o curso sem oferecer a possibilidade de se

    estudar Matemtica, em nvel fundamental ou mais avanado, a ttulo de reviso

    ou aprofundamento. O fato que ela est l.

    O desafio contnuo para os professores tornar o ensino e aprendizagem da

    Matemtica uma ao mais palpvel, ou, poderamos mesmo dizer, mais humana,

    acessvel a todos e com um enfoque contextual e prtico. Agora, no raiar do sculo

    XXI no basta termos a Matemtica presente em nossas aes, em nosso

    currculo. preciso mais. necessrio que ela seja apreendida, absorvida por

    meio de abordagens contemporneas e suprindo as necessidades de nossa poca,

    quais sejam, de um ensino mais significativo, contextualizado e prtico.

    Este material fruto da tentativa de propor justamente uma Matemtica

    nestes moldes. Uma que esteja baseada na interdisciplinaridade, ou seja, que

    dialogue com outras disciplinas. Que esteja mais contextualizada realidade e s

    demandas prprias do perfil do curso; neste caso, o de tcnico em informtica.

    Assim, estratgias foram adotadas para concretizar este intento. Algumas

    delas esto relacionadas metodologia de ensino. Optamos por trabalhar por

    vezes a partir da resoluo de problemas, uma metodologia que tem auxiliado

    muito no aprendizado. Tambm foi previsto a utilizao das TICs, ou seja, das ferramentas da prpria informtica como softwares que podem complementar o

    aprendizado, bem como proporcionar a interao dos alunos. Outras estratgias

    so direcionadas ao currculo. Desta forma, conseguimos sair do lugar comum e

    avanar com a proposta de um currculo mais condizente com as necessidades

    daqueles que lidam com os dilemas da informtica. Destarte, optamos por omitir

    alguns contedos em benefcios de outros no usuais, mas de extrema

    importncia para rea como: Induo e Lgica Matemtica, Recorrncias e

    lgebra Booleana. Para completar a srie, as atividades propostas seguiram

    igualmente o mesmo contexto, sendo baseadas no em memorizao e fixao de

    contedo, mas sim sustentadas na participao, envolvimento e desenvolvimento

    dos alunos a partir de diversas propostas.

    Por fim, estamos diante de um material que se prope ser significativo

    para a proposta do curso, interativo em suas relaes e profundo em sua

    abordagem.

  • 5

    CAPTULO I

    INDUO MATEMTICA

    Induo um mtodo de raciocnio que procura generalizar uma proposio

    a partir de poucas observaes. Ele avana da parte para o todo. De modo geral, um raciocnio til e quando empregado de forma correta, produz bons

    resultados. O problema se d justamente na m aplicao de induo, o que, pode

    produzir resultados catastrficos. Vejamos o exemplo seguinte que mostra o

    equvoco de fazermos uma induo com pequenas quantidades de evidncia.

    Vamos analisar a raiz quadrada de alguns nmeros. 2025, 3025 e 9801.

    Observemos um fato muito interessante entre a estrutura de cada um

    desses nmeros e sua respectiva raiz quadrada. A raiz quadrada de 2025 45.

    Observe que se somarmos os dois primeiros algarismos do nmero com os dois

    ltimos tambm teremos do resultado 45, ou seja, 20 + 25 = 45.

    Assim, observamos que = 45 20 + 25 = 45. Isso fascinante e talvez estejamos diante de uma descoberta!

    Ento, vamos testar com nossos outros nmeros para ver se a descoberta se comprova.

    Raiz quadrada de 3025 55. E 30 + 25 = 55. Tambm deu certo!

    Nosso ltimo caso trabalhar com o nmero 9801. Tal nmero

    interessante, pois diferente da categoria dos outros que eram mltiplos de 5.

    Logo, temos:

    = 99 98 + 01 = 99. Se tomarmos apenas estes trs testes, podemos enunciar uma teoria mais

    ou menos assim:

    A raiz quadrada de qualquer nmero de quatro algarismos pode ser obtida atravs da soma dos dois primeiros algarismos desse nmero com

    os dois ltimos.

    Poderamos, ainda, escrever isso em notao matemtica.

    Pronto, temos uma generalizao a partir do uso da induo!

    O problema que o uso da induo foi, o que diramos, vulgar, ou seja, no

    usou uma formalizao matemtica mais eficiente. O perigo desses

    generalizaes que elas podem falhar com outros valores!

    Testemos, a nova descoberta com o nmero 1024, por exemplo.

    Temos, . Basta um teste para que toda teoria seja refutada, pois a mesma diz que

    QUALQUER NMERO, ou TODO NMERO, mas isso no funcionou para o

    nmero 1024. Tambm no funciona para os nmeros: 2500, 5929, 4040 e para

    uma infinidade de outros.

    Iezzi ainda nos afirma que a induo vulgar (generalizao de propriedade aps verificao de que a propriedade vlida em alguns casos particulares) pode

    conduzir a srios enganos na Matemtica" (1977, p. 53).

    Ele mostra dois exemplos clssicos:

  • 6

    1- Consideremos a relao definida para . Temos,

    Os nmeros y encontrados so primos. Fermat (1601-1665) acreditou que a

    frmula acima daria nmeros primos qualquer que fosse o valor inteiro positivo

    atribudo a n. Esta induo falsa, pois Euler (1707-1783) mostrou que para n=5

    resulta:

    Isto , resulta um nmero divisvel por 641 e, que, portanto, no primo.

    2- Dada a relao

    , definida para todo . Temos:

    Poderamos tirar a concluso precipitada: y nmero primo, Esta induo tambm falsa, pois:

    , de acordo com (IEZZI, 1977).

    Ilustrao: Cuidado com a induo galincea!

    Havia uma galinha nova no quintal de uma velha senhora. Diariamente,

    ao entardecer, a boa senhora levava milho s galinhas. No primeiro dia, a

    galinha, desconfiada, esperou que a senhora se retirasse para se alimentar. No

    segundo dia, a galinha, prudentemente, foi se alimentando enquanto a senhora se

    retirava. No nonagsimo dia, a galinha, cheia de intimidade, j no fazia caso da

    velha senhora. No centsimo dia, ao se aproximar a senhora, a galinha, por

    induo, foi ao encontro dela para reclamar o seu milho. Qual no foi a sua

    surpresa quando a senhora pegou-a pelo pescoo com a inteno de p-la na

    panela. Bertrand Russel. (HEFEZ, 2006).

    Para termos condies matemticas adequadas de provar proposies e

    realmente estabelecer sua generalidade, precisamos de um mtodo matemtico

    que nos auxilie. Este mtodo conhecido como Axioma da Induo ou Princpio da Induo Finita e tem o seguinte enunciado.

    Uma proposio P(n), aplicvel aos nmeros naturais n, verdadeira para

    todo , quando:

  • 7

    1) P verdadeira, isto , a propriedade vlida para , 2) Se e P verdadeira, ento P tambm

    verdadeira.

    Exemplo:

    Vamos provar a validade da proposio que calcula a soma dos n nmeros

    naturais mpares.

    1) Precisamos escolher um , assim, e verificamos se verdadeira :

    2) Supondo verdadeira, ou seja:

    (hiptese de induo). Provemos que decorre a validade de

    Este ltimo valor vale para todo . Podemos, ento, afirmar que a soma dos n primeiro nmeros mpares igual ao quadrado

    de n. (LIMA, 2012).

    Exemplo:

    Demonstre, usando o Princpio de Induo Finita que:

    1) Escolhemos um , assim, e verificamos se verdadeira :

    2) Supondo verdadeira, ou seja:

    (hiptese de induo).

    Provemos que decorre a validade de

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    Este ltimo valor vale para todo .

    ATIVIDADES

    Prove a validez das proposies abaixo para todo nmero natu