Conjuntos numéricos

A história nos mostra que desde muito tempo o homem sempre teve a preocupação em contar objetos e ter registros numéricos. Seja através de pedras, ossos, desenhos, dos dedos ou outra forma qualquer, em que procurava abstrair a natureza por meio de processos de determinação de quantidades.

E essa procura pela abstração da natureza foi fundamental para a evolução, não só, mas também, dos conjuntos numéricos

Naturais (N)N = {0,1,2,3,4,...}

Problemas do conjunto:- Subtração: 3 – 4 = ?- Divisão: 1 : 2 = ?Como o zero originou-se depois dos outros números e possui algumas propriedades próprias, algumas vezes teremos a necessidade de representar o conjunto dos números naturais sem incluir o zero. Para isso foi definido que o símbolo * (asterisco) empregado ao lado do símbolo do conjunto, iria representar a ausência do zero. Veja o exemplo abaixo:

Inteiros (Z)Z = {...,-2,-1,0,1,2,...}

Problema no conjunto:Divisão: 1 : 2 = ?

Assim como no conjunto dos naturais, podemos representar todos os inteiros sem o ZERO com a mesma notação usada para os NATURAIS.

Inteiros não negativos sem o zero

Inteiros não positivos sem o zero

Racionais (Q).

Q = {a/b | a, b - Z e b - 0}.

Todo número que pode ser escrito em forma de fração.

Exemplos:- Decimais finitos;- Dízimas periódicas;- Raízes exatas;

Problema no Conjunto:Como escrever - em forma de fração?

3,14159265...Este não é um número Racional, pois possui infinitos algarismos após a vírgula (representados pelas reticências)

2,252 Este é um número Racional, pois possui finitos algarismos após a vírgula.

2,252525...

Este número possui infinitos números após a vírgula, mas é racional, é chamado de dízima periódica. Reconhecemos um número destes quando, após a vírgula, ele sempre repetir um número (no caso 25).

= {Todos os racionais sem o zero}

= {Todos os racionais NÃO NEGATIVOS}

= {Todos os racionais NÃO NEGATIVOS sem o zero, ou seja, os positivos}

= {Todos os racionais NÃO POSITIVOS}

= {Todos os racionais NÃO POSITIVOS sem o zero, ou seja, os negativos}

Raízes inexatas;

Decimais infinitos e não periódicos;

- = 3,14...; e = 2,72...

O "IRRACIONAIS“ é formado por todos os números que, ao contrário dos racionais, NÃO podem ser representados por uma fração de números inteiros. São eles:

Irracionais (I).

Reais (R).o conjunto dos números Reais é formado por todos os números Racionais junto com os números Irracionais, portanto:

Q - I = R.

ConjuntosZenão de Eléia (filósofo grego) , viveu entre 490 e 430 a. C., já estudava e se preocupava com o conceito de conjuntos e a sua imensidão.

Em 1872 Georg Cantor (1845 – 1918), definiu e classificou os conjuntos através da “Teoria dos conjuntos”.Além da definição e de muitas outras contribuições, a teoria dos conjuntos unificou a linguagem em todos os ramos da matemática.

DefiniçãoConjunto: representa uma coleção de objetos, geralmente representado por letras maiúsculas;

Ex: A = {1, 2, 3}, “está entre chaves”

Elemento: qualquer um dos componentes de um conjunto, geralmente representado por letras minúsculas.

Ex: 1, 2, 3 “não tem chaves”

Pertinências

Pertence ou não pertence ( )É usado entre elemento e conjunto.

Contido ou não contido ( )É usado entre subconjunto e

conjunto.Contém e não contém ( )

É usado entre conjunto e subconjunto.

Igualdade de conjuntos

Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos.

Ex: {1, 2} = {1, 1, 1, 2, 2, 2}

OBS:A quantidade de vezes que os elementos dos conjuntos aparem não importa.

Conjuntos vazio unitário e Universo

Conjunto vazio ( { } ou Ø )É o conjunto que não possui elementos.

Conjunto Unitário ( { a }, { Ø } )É conjunto formado por um elemento.

Conjunto Universo ( U )É conjunto formado por todos os

elementos de um assunto trabalhado.

Subconjuntos e a relação de inclusão

Dizemos que um conjunto A é subconjunto de outro conjunto B quando todos os elementos de A também pertencem a B. Por exemplo:

A = { 1,2,3 } e B = { 1,2,3,4,5,6 } Nesse caso A é subconjunto de B, ( ). O conjunto B é subconjunto de si mesmo, pois

todo conjunto é subconjunto de si mesmo. OBS: O conjunto vazio, { } ou Ø, é um

subconjunto de todos os conjuntos.

Conjunto das partes ou potência

Dado um conjunto A, definimos o conjunto das partes de A, P(A) , como o conjunto que contém todos os subconjuntos de A (incluindo o conjunto vazio e o próprio conjunto A).

Uma maneira prática de determinar P(A) é pensar em todos os subconjuntos com um elemento, depois todos os subconjuntos com dois elementos, e assim por diante.

Exemplo:

Se A = { 1, 2, 3 }, então P(A) = { , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }.

Observação:

Se o conjunto A tem n elementos, o conjunto P(A) terá 2n elementos. Ou seja:

P(A) = 2n

Complementar de um conjunto

Dado um universo U, diz-se complementar de um conjunto A, em relação ao universo U, o conjunto que contém todos os elementos presentes no universo e que não pertençam a A. Também define-se complementar para dois conjuntos, contanto que um deles seja subconjunto do outro. Nesse caso, diz-se, por exemplo, complementar de B em relação a

A (sendo B um subconjunto de A) — é o complementar relativo — e usa-se o símbolo . Matematicamente:

Exemplo:

Dados U = {1, 2, 3,4} e A = {1, 2} determine :

={3, 4}

Operações entre conjuntos

Dados dois conjuntos quaisquer A e B, chama-se união ou reunião de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um desses conjuntos (podendo, evidentemente, pertencer aos dois), isto é, o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Em símbolos:

Exemplos:

{1; 2} U {3; 4} = {1; 2; 3; 4} {n, e, w, t, o, n} U {h, o, r, t, a} = {a, e, h, n, o, r, t, w}

União ou reunião

Intersecção

OBS:Quando dois conjuntos quaisquer A e B não têm elemento comum, dizemos que A e B são conjuntos disjuntos. Em outras palavras, dois conjuntos são disjuntos quando a intersecção entre eles é igual ao conjunto vazio.

Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Lula para Presidente e B o conjunto dos eleitores que votaram em Arlete para Governadora do DF, no primeiro turno das eleições de 2006. É certo supor que houve eleitores que votaram simultaneamente nos dois candidatos no primeiro turno. Assim somos levados a definir um novo conjunto, cujos elementos são aqueles que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. Esse novo conjunto nos leva à seguinte definição geral.

Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos intersecção de A e de B (ou de A com B) a um novo conjunto, assim definido:

Exemplos:

DiferençaSeja A o conjunto dos eleitores que votaram em Lula para Presidente e B o conjunto dos eleitores que votaram em Arlete para Governadora do DF, no primeiro turno das eleições de 2006. É certo pensar que teve eleitores que votaram em Lula mas não votaram em Arlete. Isto nos leva ao conjunto dos elementos de A que não são elementos de B.

Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos a diferença entre A e B o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B.

Exemplos:

{a, b, c} - {a, c, d, e, f} = {b} {a, b} - {e, f, g, h, i} = {a, b} {a, b} - {a, b, c, d, e} = Ø

Número de elementos da reunião de conjuntos

Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(A) e o número de elementos de B seja n(B).

Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com cardinal do conjunto.

Representando o número de elementos da interseção A Ç B por n(A Ç B) e o número de elementos da união A È B por n(A È B) , podemos escrever a seguinte fórmula:

n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B)