apostila matemática aplicada - pedagogia

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TEORIA DOS CONJUNTOSSmbolos: pertence

A = {a,e,i,o,u} B = {2,3,4} O conjunto pode ser determinado por uma sentena. Exemplo: A = { x/x nmero par}

: existe

: no pertence

: no existe

Atravs de diagrama de Venn A

: est contido

: para todo (ou qualquer que seja)

a e i o u

: no est contido

: conjunto vazio

Subconjunto: contm N: conjunto dos nmeros naturais

Um conjunto A subconjunto de B, se e s se, todo elemento que pertence a A pertence a B. A B l-se A est contido em B (relao de incluso. A = {1,2,3,4} B = {1,2} A

: no contm

Z : conjunto dos nmeros inteiros

/ : tal que

Q: conjunto dos nmeros racionais

: implica que

Q'= I: conjunto dos nmeros irracionais

4 3 1 B 2

: se, e somente se

R: conjunto dos nmeros reais

Obs: A, A Na Matemtica, conjunto, elemento e relao de pertinncia so aceitos sem definio. Notao: Um conjunto indicado por letras maisculas A, B, C, ..., colocando-se seus elementos entre chaves. Exemplos: Operaes sobre os conjuntos: Conjuntos iguais: Dois conjuntos so iguais A = B, se e s se, A B e B A.

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a) Interseco A interseo dos conjuntos A e B o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.

Propriedades:

A

B = { x: x

Aex

B}

A=A AA=A AB=BA (A B) C = A (B C)

Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={a,e,b,c} ento A B = {a,e}.

c) Diferena Dados os conjuntos A e B, define-se como diferena entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A - B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que no pertencem a B, ou seja:

A - B = {x: xQuando a interseo de dois conjuntos A e B o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos so disjuntos. Propriedades:

Aex

B}

b) Unio

A= AA=A AB=BA (A B) C = A (B C)

Obs: Se B A, define-se complementar de B em relao a A:B C A = A - B = {x/ x

Aex

B}

CONJUNTOS NUMRICOSa) Naturais ( ) = {0,1,2,3,4,....} contagem 3+2a 34a 3.2 a 3:2a b) Inteiros (Z) Z = { ...,- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...} 34aZ 3:2aZ necessidade da

A unio dos conjuntos A e B o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.

A

B = { x: x

A ou x

B}

Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={3,4} ento A B = {a,e,i,o,3,4}.

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c) Racionais (Q) Q = {p/q / p e q a Z e q 0} 3:2aQ um Definimos um nmero racional como valor x tal que Os racionais podem ser escritos na base 10, como decimais finitos ou infinitos e peridicos.

1 0 1 = 0,5 =0 = 0,333 ... 2 4 3d) Irracionais (I ou Q ) So aqueles que no podem ser expressos na forma p/q, com p e q inteiros e q diferente de 0. So compostos por dzimas infinitas no peridicas.

p p, q Z e q 0 . Admitindo q por reduo ao absurdo que p 0 e q = 0, podemos representar x da seguinte forma: x=

x=

p p = x.0 , qual o valor que x deve 0

assumir de modo que multiplicado por zero resulta p ? Como pode-se ver facilmente esta igualdade uma impossibilidade. Deve-se portanto admitir que medida que o denominador fica prximo de zero, tornandose muito pequeno, x torna-se excessivamente grande ou infinitamente grande. Assim:

e = 2,71828 .... (base neperiana)e) Reais (IR) a unio do conjunto dos nmeros irracionais com o dos racionais.

p x = = 0Por outro lado se admitirmos que p = 0 e q = 0, tem-se:

x=

0 0 = x.0 , qual o valor que x deve 0

assumir de modo que multiplicado por zero resulta zero ? Qualquer valor torna a igualdade 0 = x.0 verdadeira, logo pode-se representar qualquer nmero real atravs da frao

0 , ento esta frao caracteriza 0

uma indeterminao.

Portanto, os nmeros naturais, inteiros, racionais e irracionais so todos nmeros reais. Como subconjuntos importantes de IR temos: IR* = IR-{0} IR+ = conjunto dos nmeros reais no negativos

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Intervalos em IR Dados dois nmeros reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos nmeros reais compreendidos entre p e q , podendo inclusive incluir p e q. Os nmeros p e q so os limites do intervalo, sendo a diferena p - q , chamada amplitude do intervalo. Se o intervalo incluir p e q , o intervalo fechado e caso contrrio, o intervalo dito aberto. A tabela abaixo, define os diversos tipos de intervalos. REPRESENTAO [p;q] = {x IR / p x q} (p;q) = { x IR / p < x < q} [p;q) = { x IR / p x < q} (p;q] = {x IR / p < x q} [p; ) = {x IR / x p} (- ; q] = { x IR / x q} (- ; q) = { x IR / x < q} (p; ) = { x IR / x > p } (-,a) (b, +) = { x R / x a x b} Nota: fcil observar que o conjunto dos nmeros reais, (o conjunto IR) pode ser representado na forma de intervalo como IR = ( - ; + ). Exerccios: Numa indstria, 120 operrios trabalham de manh, 130 trabalham tarde, 80 trabalham noite, 60 trabalham de manh e tarde, 50 trabalham de manh e noite, 40 trabalham tarde e noite e 20 trabalham nos trs perodos. Quantos operrios trabalham s de manh ? Representao geomtrica

1) Represente os seguintes conjuntos enumerando seus elementos: a) A = {x / x > 3} c) C = {x / 3 < x < 8} e) F = {x / x > - 3} b) B = {x / x < 8} d) D = {x / 4 x < 11} f) G = {x / x = 2k e k }

g) H = {x / x = 2k + 1 e k }

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2) Em uma escola, cujo total de alunos 600, foi feita uma pesquisa sobre os refrigerantes que os alunos costumam beber. Os resultados foram: A = 200 , A e B = 20 Nenhum = 100 a) Quantos bebem apenas o refrigerante A ? b) Quantos bebem apenas o refrigerante B ? c) Quantos bebem B ? d) Quantos bebem A ou B ? 3) Numa comunidade constituda de 1800 pessoas, h trs programas de tv favoritos: (E) esporte, novela (N) e humorismo (H). A tabela a seguir indica quantas pessoas assistem a esses programas: Programas E N H EeN NeH EeH E,N e H Nmero de telespectadores 400 1220 1080 220 800 180 100

Atravs desses dados, calcule o nmero de pessoas da comunidade que no assistem a qualquer dos trs programas. 4) Sendo A = [2;5] e B = (3;7) determine graficamente e atravs da notao de conjuntos: a) A B c) A - B b)

A B

A d) C

5) Sendo A e B dois conjuntos finitos e no vazios, onde o conjunto B um subconjunto do conjunto A, assinale com V ou F:

a) A B = A ( ) b) A - B = B ( )d) B - A = ( ) c) (A B) - B = e) B A ( ) ( )

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Geometria EspacialConceitos primitivos So conceitos primitivos ( e, portanto, aceitos sem definio) na Geometria espacial os conceitos de ponto, reta e plano. Habitualmente, usamos a seguinte notao:

pontos: letras maisculas do nosso alfabeto

retas: letras minsculas do nosso alfabeto

planos: letras minsculas do alfabeto grego

Observao: Espao o conjunto de todos os pontos. Por exemplo, da figura a seguir, podemos escrever:

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Axiomas Axiomas, ou postulados (P), so proposies aceitas como verdadeiras sem demonstrao e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria. Temos como axioma fundamental:existem infinitos pontos, retas e planos.

Postulados sobre pontos e retas P1)A reta infinita, ou seja, contm infinitos pontos.

P2)Por um ponto podem ser traadas infinitas retas.

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P3) Por dois pontos distintos passa uma nica reta.

P4) Um ponto qualquer de uma reta divide-a em duas semirretas.

Postulados sobre o plano e o espao P5) Por trs pontos no-colineares passa um nico plano.

P6) O plano infinito, isto , ilimitado.

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P7) Por uma reta pode ser traada uma infinidade de planos.

P8) Toda reta pertencente a um plano divide-o em duas regies chamadas semiplanos. P9) Qualquer plano divide o espao em duas regies chamadas semiespaos.

Posies relativas de duas retas No espao, duas retas distintas podem ser concorrentes, paralelas ou reversas:

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Temos que considerar dois casos particulares:

retas perpendiculares:

retas ortogonais:

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Postulado de Euclides ou das retas paralelas P10) Dados uma reta r e um ponto P P, tal que r // s: r, existe uma nica reta s, traada por

Determinao de um plano Lembrando que, pelo postulado 5, um nico plano passa por trs pontos no-colineares, um plano tambm pode ser determinado por:

uma reta e um ponto no-pertencente a essa reta:

duas retas distintas concorrentes:

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duas retas paralelas distintas:

Posies relativas de reta e plano Vamos considerar as seguintes situaes: a) reta contida no plano Se uma reta r tem dois pontos distintos num plano nesse plano: , ento r est contida

Aplicao 01. (EsPCEx-96) Considere as seguintes proposies: I - Toda reta paralela a um plano paralela a qualquer reta desse plano. II - Uma reta e um ponto determinam sempre um nico plano. III - Se uma reta perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, ento ela perpendicular a esse plano.

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Pode-se afirmar que: a) S I verdadeira. d) S III falsa. b) S III verdadeira. e) S I e III so falsas. c) S I e III so verdadeiras.

02. (EEAR-00) Assinale a afirmativa VERDADEIRA: a) b) c) d) Dois planos paralelos a uma reta so paralelos entre si. Dois planos perpendiculares a uma reta so perpendiculares entre si. Duas retas perpendiculares a um plano so paralelas entre si. Duas retas paralelas a um plano so paralelas entre si.

1.1.-Funo Exponencial Definio : Uma funo dada por y = a x

chama-se

exponencial ( a uma constante positiva , com a 1). Exemplo 1 : As funes dadas por y = 2 x e y = (1/2) x so funes exponenciais. Seus grficos podero ser representados por: y= 2x y 1 x

y 1 y

x

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x -3 -2 -1 0 1 2 3

| __y |__ 1/8 | _ | 1/2 | 1 | 2 | 4 | 8