apostila de matemática aplicada

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1Apostila de Matemtica AplicadaVolume 1 Edio 2004Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna2Captulo 1 - RevisoNeste captulo ser feita uma reviso atravs da resoluo de alguns exerccios,dos principais tpicos j estudados.Os tpicos selecionados para esta reviso so:Clculo Numrico;Clculo com Nmeros percentuais;Clculo algbrico;Equaes e Sistemas do 1o grau;Equaes e Sistemas do 2o grau.1.1 Clculo NumricoOperaes com fraesAdio e Subtrao: usamos o menor mltiplo comum.15143028305 18 15615321 + +Multiplicao: O produto de duas fraes uma frao que tem por numerdor oproduto dos numeradores e que tem por denominador o produto dosdenominadores.1032065243 Diviso: O quociente de duas fraes uma frao resultante do produto daprimeira frao pelo inverso da segunda frao.326434214321 Clculo do valor de expresses numricas: deve-se obedecer prioridade dossinais indicativos e das operaes matemticas.Prioridade dos Sinais Prioridade das Operaes1 ( ) 1 Exponenciao e Logaritmao2 [ ] 2 Potenciao e Radiciao3 { } 3 Multiplicao e Diviso4 Adio e Subtrao3Calcule o valor numrico das expresses:a)3 } 4 ] 1 ) 10 5 ( 3 [ 5 { 2 + + +R: 48b) 5194215734

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.|+ +R: 221/90 ou 2,46c),`

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.|+528171011143R: 30429/4400 ou 6,92d) 39213754

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.|R: -48/125 ou - 0,384e) '

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.| + + 1 1311 4 13 12 1 3R: -414PotenciaoPotenciao de expoente inteiro:Seja a um nmero real e m e n nmerosinteiros positivos. Ento:a ..... a . a . a . a an (n vezes)n m m na a a+ 0 aa1aa a1 an10 ( )0 bbabaa a0 a a a annnn mnmn m m n

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.| a) 4 32 541 +R: 2003/16 ou 125,1875b) 5 3) 4 ( 2 +R: 127/10245c)2 8 32 0 ) 2 ( ) 2 ( 10 7 3 4 4 + + + +R: 42d) ( )2 225 4 3 1112154 ++

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.|+ R: 1069/1521Potenciao de expoente no inteiro:Toda raiz pode ser escrita na forma depotncia.nmn mn1na aa aObservao: se n for par e se a < 0, no caracteriza um nmero real:R 25 a) 25 5 3 25 ) 1 ( ) 2 (3 2 0 3 + R: 0b) 2 ) 5 3 (27 ) 2 (03 2 + R: 76Exerccios1) Calcule o valor das expresses:a) 3 232525441

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.| +

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.|R: 7/5b) 25415143211

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.|R: 17/3c)

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.| +215 , 0 8 , 0 4 19 , 041R: 7/20d) 02 , 0 2 , 001 , 0 1 , 0R: 1/272) Aplicando as propriedades das potncias, simplifique as expresses:a) 7984 256b) 27 4 3243313 27 9 c) ( )7323 625 525 125d) 4 19 4 310 10 310 10 10 12 Respostas: a)32 25 b)9 32 c)625 54d) 0,43)Escrevaosnmerosabaixocomooprodutodeumnmerointeiroporumapotncia de 10:a) 0,3 =b) 3000 =c) 0,005 = d) 0,0625 =e) 3,45 =f) 8000000 =4) Calcule o valor de:a) 664=b) 481=c) 2125 = d) 31885) Calcule o valor das expresses:a) 3141327 ) 2 ( 16 8 + + b) 3248 25 , 0 5 , 0 4+ + R: a) 5b) 16) Simplifique os radicais:a)2352 b) 332 c) 51024R: a)3 28 b) 34 2c) 47) Racionalize os denominadores das expresses:a) 31b) 5 25c) 321d) 2 51e) 3 22+98) Efetue:a) 5 13 25 13 2+++b) 8118121 +Respostas: a) 215 2 b) 122 51.2 Clculo com Nmeros PercentuaisOs nmeros percentuais so identificados pela notao % e aparecem com muitafreqncia.Para transformar um nmero percentual em um nmero real, devemos dividi-lopor 100.70 % = 70 / 100 = 0,75 % = 5 / 100 = 0,05200 % = 200 / 100 = 2Para transformar um nmero real em um nmero percentual, devemosmultiplica-lo por 100.0,43 => 0,43 x 100 = 43 %1 => 1 x 100 = 100 %Exerccios:a)Calcular 20 % de R$ 1.700,00R: R$ 340,0010b) Uma mercadoria foi comprada por R$ 50,00 e vendida por R$ 80,00.Determine a taxa de lucro sobre o preo de compra e a taxa de lucro sobre opreo de venda.Utilizeip, onde p a parte; P o todo (ou principal) e i a taxa na formarealR: a) 60 % b) 37,5 %c) Um comerciante remarcou em 5% o preo de suas mercadorias. Qual onovo preo de uma mercadoria que era vendida por R$ 70,00.R: R$ 73,50d) Um vestido estava exposto em uma loja com preo de etiqueta de R$ 210,00.Um cliente, alegando que faria pagamento vista, solicitou um desconto de 15% e foi atendido. Quanto pagou pelo vestido ?R: R$ 178,50e)UmfuncionriorecebeumsalriobasedeR$800,00.Recebeumadicionalde5%portempodeserviosobreosalriobase.Recebetambmumagratificao de chefia de 30 % sobre o salrio base. Desconta-se 10 % de INSSsobre o salrio total. Quanto recebe esse funcionrio ?R: R$ 972,0011f)UmapessoarecebemensalmenteR$2.500,00desalriodeumaempresa.RecebeR$1.500,00dealugueldeumpontocomercialeR$1.000,00derendimentodeaplicaesfinanceiras.Qualaparticipaopercentualdecadafonte em sua renda total ?R: 50 % , 30 % , 20 %1.3 Clculo algbrico.1) Calcule os valor numrico das expresses:a)1 ab 4 a 2 b a2 3 3+ + + , para a = 2 e b = -3b) yx xy2, para 101x e 1001y Resposta: a) 29 b) 100112) Simplifique as expresses reduzindo-as ao mximo:a)( ) ( ) ( ) 3 a 3 a 2 a 2 a 2 1 a a 32 2 2 + + + + +12b)) c b a ( c ) a c b ( b ) c b a ( a + + + + +Respostas: a)2 a 4 a 42+ + b) 2 2 2c b a + +Produtos notveis:( )2 22 2 22 2 2b a b a ) b a (b ab 2 a ) b a (b ab 2 a ) b a ( ++ + + +3) Desenvolva os seguintes produtos notveis:a)( )23 x 2 + b)( )2y x 3 c)( ) ( ) 1 x 5 1 x 5 + d)( ) ( ) b 3 a 2 b 3 a 22 2 +4) Simplifique as expresses:a)( ) ( )2 2 21 x 2 x 2 x + b)( ) ( ) ( ) 1 m 1 m 1 m2 + c) 2 52 4x xx 10 x 313d) 4 x16 x2+e) ( )9 x3 x22+f) xy 2y x xy2 2g) 5 x25 x 10 x2++ +h) 6 x 29 x 6 x2++ +i) 2 22 2w xz yw xz y+Respostas: a) 2 b) -2m+2 c) 1 x10 x 332d)4 x e) 3 x3 x+ f) 2x y g) x+5h) 23 x +i) z yw x+145) Efetue as operaes indicadas:a) ( )( )( ) ( ) 3 x 3 x1 x1 x 23 x2 ++++b) 2x 11x 11x 1x 1x 1+++ Respostas: a) ( ) 3 x 21 x+b)( )2x 11.3 Equaes e sistemas do 1o grau.1) Resolva as equaes:a)558 x 242 x++15b) x x171 x2 xx1 x2+++Respostas: a) x = 6 b) x = 42)Umprodutoteveseupreoaumentadoem20%parapagamentoaprazo,resultando em um total de R$ 600,00. Qual era o preo a vista do produto?R: 5003) Duas pessoas tem juntas R$ 135,00. Quanto cada uma possui, sabendo-se queuma possui o dobro da outra?R: 45 e 904)Umapessoafezumacordocomumaadministradoraparapagarosaldodeseucartodecrditoemtrsvezessemjuros.Oprimeiropagamentocorrespondemetadedadvidaeosegundopagamento.R$300,00.Qualovalor da dvida, se o ltimo pagamento era de 20 % da dvida original?R: 1000165) Resolva os sistemas de equaes do 1o graua) ' +11 y x 35 y xb) ' +1 y 2 x 58 y 3 x 2c) ' + 101 y 20 x47 y 9 x 2Respostas: a) 4 , 1 b) 1 , 2 c) -1 , 56) A soma de dois nmeros 21 e a sua diferena 51. Calcule os dois nmeros.Resposta: -15 e 36177)Umalunoganha5pontosporexerccioqueacertaepede3pontosporexerccio que erra. Ao fim de 50 exerccios tinha 130 pontos. Quantos exercciosele acertou?Resposta: 358)Adiferenaentreas idadesde duas pessoas15 anos.Daquiadoisanos,amais velha ter o dobro da idade da mais nova. Qual a idade de cada uma?R: 28 e 13 anos1.4 Equaes e sistemas do 2o grau.1) Resolva as equaes:a)0 50 x 22 b)( ) ( ) 0 4 1 x 5 1 x 22 + + +c) 2 x114 x3 x2 +d)0 1 x 6 x 52 + +Resposta: a) -5, 5 b) 0, 3/2 c) -3, 3 d) -1, -1/5182) Resolva os seguintes sistemas de equaes:a) ' + +10 y x2 y x2 2b) ' + +23 y 2 x 2 y x9 y x2 2Respostas: a) (-1;3),(3;-1)b) (4;5) , (5;4)3) Resolva:a)0 2 x x2 4 +b)2 20 x 5 x2 c)2 x 6 x x 22+ +Respostas: a) -1, 1 b) -3, 8 c) -2, 5194)Umjardimdeformaretangulartem96m2derea.Seaumentarmosocomprimento desse jardim em 3 m e a largura em 2 m, a rea do jardim passa ater 150 m2. Calcule as dimenses originais do jardim.Resposta: c = 12 m e l = 8 m20Captulo 2 - Funes2.1 DefinioUmafunoumconjuntodeparesordenadosdenmeros(x,y)noqualduasduplasordenadasdistintasnopodemteromesmoprimeironmero,ouseja,garantequeysejanicoparaumvalorespecficodex.Emoutraspalavras,ovalor de y depende do valor de x.Exemplo:areadeumquadradofunodocomprimentodoseulado;osalriofunodashorastrabalhadas;onmerodeunidadesdecertoprodutodemandadas pelos consumidores depende de seu preo; etc.2.2 Sistema Cartesiano Ortogonal um sistema constitudo por dois eixos, x e y, perpendiculares entre si. O eixo x denominado eixo das abscissas e o eixo y o eixo das ordenadas. Esses eixosdividem o plano em quatro regies chamadas quadrantes.1o Quadrante2o Quadrante3o Quadrante4o Quadrantexyab P(a,b)Esse sistema utilizado para localizar um ponto no plano; assim, o ponto P(a,b)indicadonafiguratemabscissaaeordenadab.(a,b)denominadoparordenado e representam as coordenadas do ponto P.212.3 Funo Polinomial do 1o grauTodafunopolinomialrepresentadapelafrmulaf(x)=ax+bouy=ax+b,definida para todo a,b e x reais e com a diferente de zero, denominada funodo 1o grau.Exerccio: Construa no plano cartesiano o grfico da seguinte funo:y = 2x-1x -2 -1 0 1 2 3yxyObservao:1) para a > 0 a funo do 1o grau crescente, e para a < 0 ela decrescente.2)denomina-sezeroouraizdafunof(x)=ax+bovalordexqueanulaafuno, isto , torna f(x)=0Exerccio: Calcule a raizda funo do exemplo acima:2.4 Funo Polinomial do 2o grauTodafunopolinomialrepresentadapelafrmulaf(x)=ax2+bx+couy=ax2+bx+c,definidaparatodoa,b,cexreaisecomadiferentedezero,denominada funo do 2o grau ou funo quadrtica.22Exerccio: Construa no plano cartesiano o grfico da seguinte funo:a) y = x2 - 2x - 3X -2 -1 0 1 2 3 4Yxyb) y = - x2 + 2x + 3X -2 -1 0 1 2 3 4Yxy23Observao:1)paraa>0ogrficodafunodo2ograuumaparbolacomconcavidadevoltadaparacima,eparaa0 a funo tem duas razes (zeros) diferentesSe =0 a funo tem uma raiz (zero)Se 0(concavidadeparacima),ovrticeopontodemnimodafuno. Quando a < 0 (concavidade para baixo), o vrtice o ponto de mximoda funo.Exerccios:Construanoplanocartesianoogrficodasseguintesfunesedetermine os pontos de mximo ou de mnimo, conforme o caso:a) y = - x2 + 2x - 4X -1 0 1 2 3Yxy24b) y =2x2X -2 -1 0 1 2YxyCaptulo 3 - Estudo da Reta3.1 Condio de alinhamento de 3 pontosSetrspontosestoalinhados,ouseja,pertencemamesmareta,deve-sesatisfazer a seguinte condio:1 31 31 21 2x xy yx xy yxyx1x3y1y3y2x2ACB25Exerccio: Verifique se os pontos A, B e C esto alinhados:a) A(-2,6)B(4,8)C(1,7) b) A(0,2)B(-3,1)C(4,5)3.2 Coeficiente angular ou inclinao de uma reta (m).ovalorqueexpressaatangentetrigonomtricadongulodeinclinaodareta.1 21 2x xy ymObs:Duasretassoparalelasquandoseusrespectivosvalor