UNIVERSIDADE ANHANGUERA UNIDERP

ADMINISTRAÇÃO

3º SEMESTRE

ELIANE DORNELES DE OLIVEIRA RA 291626

GABRIELA BEATTO RA 320544

LAÍS DE SOUZA VARGAS RA 291614

LUCIANO TORRES DA SILVA) RA 348088

MARIA HELENA DA SILVA) RA 371438

VALDIR FIGUEIRA AQUINO RA 296542

ATIVIDADES PRÁTICASSUPERVISIONADAS

MATEMÁTICA APLICADA

PROFESSOR EAD. IVONETE MELO DE CARVALHO

PROFESSOR PRESENCIAL ADRIANA DA SILVA SANTOS

PROFESSOR-TUTOR SANDRA JIMENEZ

PORTO ALEGRE/RS

2012

1

SUMÁRIO

Etapa 01 – Conhecimento sobre as profissões........................................................3

Etapa 02 – Contextualizando o Logaritmo .......... 6

Etapa 03 Conhecimento sobre Equações Polinomiais ...........................................9

Etapa 04 – Conceito de Derivada e Seus Cálculos ...................... 13

Referências Bibliográficas ...........22

2

ETAPA 1 – CONHECIMENTO SOBRE AS PROFISSÕES

Passo 1

10 profissões mais requisitadas com tabulação de dados e respectivos percentuais

ProfissãoSalário(média)

NívelN° de vagas

% sobre o total

Curva ABC

1° Vendedor R$ 1.200 Médio 74 17,74% 17,74%2° Operador de telemarketing R$ 900,00 Médio 58 13,90% 31,64%3° Garçom R$ 1.000 Médio 55 13,18% 44,82%4° Caixa R$ 1.000 Médio 43 10,31% 55,13%5° Corretor de imóveis Variável Médio 42 10,07% 65,20%6° Contador R$ 3.500 Superior 34 8,15% 73,35%

7° Assistente administrativo R$ 1.500Médio/

Superior32 7,68% 81,03%

8° Engenheiro R$ 4.500 Superior 29 6,95% 87,98%9° Administrador/Gerente R$ 3.000 Superior 27 6,47% 94,45%10° Médico R$ 5.500 Superior 23 5,51% 100%

417 100%Fonte: Zero Hora – Empregos e Oportunidades de 11/03/12

Passo 2

Escolher uma profissão e pesquisar os requisitos/ habilidades exigidas:

Profissão: Administrador/Gerente

Requisitos: Ensino Superior Completo em Administração de Empresas, experiência na

área de atuação, conhecimento em gestão de equipes e/ou processos, desejável

conhecimento em inglês para empresas multinacionais, estar apto a liderança, ter

iniciativa e habilidades para resolução de conflitos, entre outros.

Passo 3

Entrevista com profissional da área pesquisada com:

Nome: Denis Caetano

3

Empresa e tempo de atuação: Auxiliadora Predial – 4 anos

Média salarial do profissional na área: R$ 3.000

Cursos de formação e aperfeiçoamento: Bacharel em Administração de Empresas,

Inglês nível avançado.

Analisar e discutir quais seguimentos da sociedade necessita desse profissional:

Se tratando da formação acadêmica, enquanto administrador puro, todo e qualquer

tipo de organização necessita de um profissional capacitado para gerir uma empresa

com um olhar mais sistêmico, que não veja as áreas como planejamento, finanças,

marketing, RH, logística e outras, como órgãos isolados, e sim como sendo parte do

todo e por esse motivo devem agir de forma coadunada para o crescimento e melhoria

contínua de uma instituição. No caso específico do entrevistado, que atua como gestor

de negócios imobiliários, o cargo lhe exige conhecimento específico para tal ramo de

atividade, seu conhecimento em inglês auxilia nas negociações com empresas

estrangeiras instaladas na capital do Estado e que utiliza de imóveis da região, sua

formação lhe ajuda na hora de criar novas estratégias de negócio, na gestão de sua

equipe e dos recursos disponíveis, sejam eles físicos, humanos ou financeiros,

colaborando assim para a expansão e melhoria dos processos empresarias internos e

externos.

Passo 4

Redigir um texto (2 paginas), enfatizando as profissões mais requisitadas, em

seguida, analisar a profissão escolhida, suas características e habilidades exigidas. Por

fim, verificar a qualificação profissional do entrevistado e comparar sua média salarial

com aquilo que é oferecido pelo mercado.

Mesmo com todas as mudanças no sistema de ensino nacional, e respectivos

avanços na área, o grande número de oportunidades de emprego está concentrado nas

vagas que exigem apenas o ensino médio completo, isso, também em virtude da alta

taxa de rotatividade dos profissionais que ocupam tais vagas. Vendedores e corretores

de imóveis, por exemplo, trabalham de forma comissionada, e procuram empresas que

ofereçam maiores chances de rendimento, já para vagas como operador de

4

telemarketing, garçom e caixa, muitas das empresas contratantes oferecem treinamento

aos interessados que não possuem experiência, e salários muito semelhantes, o que se

alteram aí, são os benefícios ao trabalhador.

Para as vagas de nível superior, o grau de exigência aumenta, as profissões que

apresentam o maior numeram de vagas são para contadores, administradores,

engenheiros e médicos de todas as especialidades, em praticamente todas as vagas

ofertadas pediu-se experiência comprovada na área em que o profissional pretende

atuar, além de cursos de aprimoramento, como especializações e conhecimento em

línguas estrangeiras para empresas multinacionais. Vagas para todas as áreas da

engenharia crescem a cada dia, em virtude de grandes eventos que serão sediados no

Brasil, como Copa do Mundo e Olimpíadas, além é claro, do boom imobiliário devido a

programas do governo que incentivam a compra da casa própria, fatos que aquecem o

ramo da construção civil e levam as empresas a buscarem profissionais com experiência

e até mesmo os recém-formados com disposição para aprender, manter-se atualizados e

com flexibilidade param se comunicar com diversos públicos.

Vagas para administradores também apresentam um crescente expressivo, visto

que as empresas estão buscando administradores para geri-las independentemente de

sua área de atuação, profissionais estes, com conhecimentos holísticos acerca das

instituições, sejam elas públicas ou privadas, e muito também em virtude do grande

numero de interessados em tal formação, justamente pela flexibilidade na hora de

escolher onde atuar. Ocorre hoje, uma mudança na realidade do mundo dos negócios, as

empresas precisam estar atentas, focadas, e serem adaptáveis as necessidades que o

mercado exige, dessa forma um administrador vem para somar e traz um novo olhar

sobre as empresas, seja interna ou externamente.

As características e habilidades exigidas de um administrador vão desde pró-

atividade, espírito de liderança, visão de futuro, comprometimento, boa comunicação e

outros fatores mais pessoais, até cursos como MBA´s, mestrados e especializações,

possuir experiência como trainee ou vivência no exterior para estudo ou trabalho, o que

vai de encontro a busca pelos profissionais com conhecimento de médio a avançado em

inglês, principalmente, para que tenham a capacidade de se comunicar com o mundo.

Além destes, estão sendo considerados itens adicionais como participação em

congressos, grupos sociais, e movimentos paralelos que auxiliam o desenvolvimento

5

interpessoal e melhoram a capacidade de comunicação e negociação com os membros

de uma equipe, por exemplo.

O profissional entrevistado possui formação de Administração de Empresas,

inglês fluente e diversos cursos paralelos ligados à área, como gestão de projetos e

empreendedorismo. O mesmo trabalha ha 4 anos na instituição, iniciou na empresa

como estagiário e recebeu durante esses anos, seis promoções, atuando hoje como

Gestor de Negócios Imobiliários. Por esse motivo, sempre chamou a atenção dos

gestores da empresa, mostrando sua capacidade e bom desempenho ao longo dos anos.

Profissionais que atuam nessa área tem uma media salarial de R$3.500,00, mais

benefícios variáveis, já o entrevistado apresenta um salário cerca de 20% superior ao

oferecido pelo mercado, mais os benefícios, e também devido ao interesse de empresas

concorrentes pela sua contratação.

ETAPA 2 – CONTEXTUALIZANDO O LOGARITMO

Passo 1

Pesquisar e produzir um texto informativo sobre a história das descobertas dos conceitos

básicos da matemática, envolvendo logaritmos criados para atender a certas

necessidades e resolver problemas específicos.

A matemática foi uma ciência criada através das necessidades cotidianas, desde a pré

historia os povos já necessitavam que algo fosse criado a fim de facilitar e resolver seus

problemas.

A matemática sempre foi e sempre será parte da necessidade humana, ela resolve desde

os mais simples questionamentos até mesmo os mais complexos.

Entre 2500 e 3000 a.c o primeiro instrumento de calcular foi inventado na China, o

chamado ábaco, juntamente foram criadas as tabuadas. Já em 1614, após inúmeras

descobertas, o relojoeiro suíço Joost Burgi foi o primeiro a criar uma concepção sobre

os logaritmos. Este método contribuiu para que cálculos muito difíceis fossem

possíveis. A palavra logaritmo significa número que indica uma razão.

6

Os logaritmos eram uma importante ferramenta utilizada em observações, navegação e

outros ramos da matemática praticam, mas também tem um papel muito importante na

matemática teórica. Como podemos observar esta ciência evoluiu de forma muito

rápida, pois é através dela que são encontradas soluções rápidas e praticas para nosso

dia a dia, ainda hoje há muitos estudiosos empenhados a trazer novidades e cada dia

mais modernidade para que possamos entender e perceber que utilizamos a matemática

para praticamente tudo.

Passo 2

Ler, discutir e resolver as situações propostas a seguir, concebendo que a função

logarítmica, juntamente com sua função inversa – função exponencial – permanece

como uma das mais importantes na matemática, por uma série de razões que vão muito

além de sua utilidade como instrumento de cálculo aritmético:

1. (UERJ) Durante um período de oito horas, a quantidade de frutas na barraca de um

feirante se reduz a cada hora, do seguinte modo:

Nas t primeiras horas diminuem sempre 20% em relação ao número de frutas da hora

anterior;

Nas 8 – t horas restantes diminuem 10% em relação ao número de frutas da hora

anterior.

Calcular:

a. O percentual do número de frutas que resta ao final das duas primeiras horas de venda, supondo t=2;

b. O valor de t, admitindo que, ao final do período de oito horas, há, na barraca, 32% das frutas que havia, inicialmente. Considere log2 – 0,30 e log3 = 0,48

RESPOSTAS

x = quantidade de frutas.

7

t é o tempo

Usaremos a porcentagem como decimal: 0,8 = 80%, 32% = 0,32 e etc.

Diminui-se 20% por hora. Então para t=2 vai dar x.0,64= 64%

a) Aqui vão ter 2 momentos, vai ter o primeiro momento que a quantidade vai

diminuindo 20% por hora, e depois vai ter um segundo momento que a quantidade

vai ir diminuindo 10% por hora. O problema quer encontrar t para o qual

.

Aqui teremos que montar a função que junta os 2 momentos que é a seguinte:

Sabemos que, . Queremos encontrar o para qual .

Substituindo os valores, temos:

b) Estes problemas têm duas funções diferentes, uma está crescendo, e a outra está

decrescendo, vamos encontrar quando as duas funções são iguais, daí a partir deste

instante, a primeira ultrapassará a segunda.

8

Jornal 1:

Jornal 2:

Igualamos as duas:

Dividindo por 100000:

Isolando :

Aplicando logaritmo:

Substituindo:

ETAPA 3 – CONHECIMENTOS SOBRE EQUAÇÕES POLINOMIAIS

Passo 1

Equações Polinomiais

Os primeiros registros polinomiais do 2º grau foram feitos pelos babilônios.

Na história da matemática, as equações do 2º grau são abordadas desde a época dos

babilônios, egípcios, hindus, gregos e chineses.

Os babilônios conheciam uma álgebra bem desenvolvida e decidiram resolver equações

de 2º grau por métodos semelhantes aos de hoje, ou pelo método de completar

9

quadrados, devido às resoluções dos problemas serem interpretados geometricamente

não fazia sentido em falar em raízes negativas, estas que começaram ser estudadas a

partir do século XVIII.

Então, como eles não utilizavam coeficientes negativos, precisavam distinguir

diferentes casos possíveis:

x² + px = q

x² = px + q

x² + q = px

O caso x² +px + q = 0 com p e q positivos obviamente não teria solução.

A matemática tinha um cunho filosófico e pouco prático na Grécia. Nos Elementos,

Euclides resolve equações polinomiais do 2º grau com métodos geométricos.

Foram introduzidos na equação de 2º grau alguns símbolos, por Diophanto, conhecido

também como “Pai da Álgebra, onde então a equação e a solução eram representadas

em forma discursiva. Por volta do ano 275 d.C. (200-284) ao resolver um problema

deparou-se com a equação 24x² - 172x + 336 = 0. Como concluiu que não tinha

soluções reais, não viu necessidade de dar sentido a raiz -167.

Na Índia, as equações polinomiais do 2º grau eram resolvidas completando quadrados,

descartavam as raízes negativas, por serem “inadequadas” e aceitavam as raízes

irracionais.

Para a resolução destas questões na China no século XIII, foi utilizado o método fan-

fan, publicado por Zhu Shijie.

Aqui no Brasil, a fórmula que dá as soluções da equação do 2º grau chamamos de

fórmula de Bhaskara. Além de ser historicamente incorreta, esta nomenclatura não é

usada em nenhum outro país.

O indiano Bhaskara (1114-1185) conhecia a regra “menos por menos dá mais”,

trabalhava com coeficientes negativos, etc. Ele reconhecia que a equação x2 -45x = 250

era satisfeita por valores x= 5 e x= -5, mas dizia que não considerava a segunda, pois as

pessoas não gostavam de raízes negativas.

10

A maiorias das pessoas dizem que os números complexos surgiram para resolver as

equações de 2º grau da forma x2 + a = 0, a > 0. Mas estão erradas.

Apesar de sido realizada a partir do século XVIII, e mencionada por outros matemáticos

anteriores a esta data, não houve compreensão e conhecimento destes números, então

abandonaram este estudo.

O matemático Héron de Alexandria, do que se tem conhecimento de ser o primeiro a se

deparar com um problema que envolvia os números complexos no século I d.C., no

livro Stereometrica. Pretendia resolver

(81-144) = (-63)

Gerônimo Cardano em 1545 mencionou pela primeira vez os números complexos,

falava o seguinte “Determinar dois números cuja soma seja 10 e o produto seja 40”.

Para tal, considerou as expressões 5 + 15 é 5 - -15. Apesar de ter tido o mérito de ser

o primeiro a considerá-las, Cardano ficou por aqui, não dando significado a estas

expressões, “tortura mental”.

Os números complexos aparecem a partir das equações de 3º grau. Mas foram precisos

cerca de 25 anos para este tema ser novamente considerado, por Raffaelle Bombelli

(1526-1572) numa obra de nome Álgebra.

Bombelli ao resolver a equação x3 = 15x + 4 utilizou a “fórmula de Cardano”, obtendo

a seguinte solução: x = 3 (2+ -121) + 3 (2- -121)

Ele achou estranho esse resultado, porque conhecia todas as raízes da equação, entre as

quais x=4. Teve então a estranha ideia de procurar a e b positivos. Com alguma

manipulação algébrica usando as mesmas regras, que usava para os números reais, mais

a propriedade ( -1)2 = 1 -, chegou ao resultado a = 2 e b = 1, onde sai x = 4.

Raffaelle Bombelli apresentou na sua obra Algebra as leis algébricas que regiam os

cálculos entre números da forma a + b -1.

Em 1797, o dinamarquês Gaspar Wessel (1745-1818) representou, pela primeira vez,

geometricamente os números complexos, estabelecendo uma correspondência entre

estes e os pontos do plano. Este trabalho foi levado ao esquecimento, em 1806, quando

11

publicado por Jean Argand (1768-1822) ganhou o devido respeito. Por este motivo esta

representação ficou indevidamente ligada ao nome de Argand.

Leonard Euler criou o símbolo i, para representação de -1, mas só após o seu uso por

Gauss (1777-1855) em 1801, foi aceito. A expressão Número Complexo foi introduzida

em 1832 por Gauss.

Apesar da sua historia ser recente, os números complexos envolveram o trabalho de

vários matemáticos, continuando ainda hoje, muitas questões em aberto.

Passo 2

1. Expresse o texto por meio de uma relação. Dê o domínio e a imagem a uma história e

uma fórmula quando possível: Uma costureira recebe R$ 2,00 por uma blusa que

costura. O seu salário mensal S está determinado pelo número de blusas N que costura.

Ela consegue costurar um mínimo de 20 e o máximo de 30 blusas por mês.

N de blusas 20< n <30

S = Salário

S = 2n

Domínio 20,21, ,20,30

Imagem 40,42, , 58,60

2. Sabe-se que o lucro total de uma empresa de cosméticos é dado pela forma L = R-C,

em que L é o lucro total e C ‘e o custo total da produção. Numa empresa que produziu x

de unidades, verificou-se que R(x) = 6000x – x² e C(x) = x² - 2000x. Nessas condições,

qual deve ser a produção x para que o lucro da empresa seja máximo? Qual o valor

mínimo do custo?

Lucro máximo Rmg = Cmg

Rmg = 6000 – 2x

Cmg = 2x - 2000

6000 – 2x = 2x – 2000

12

4x =8000

X = 2000

Cmg mínimo 2x -2000 = 0

2x = 2000

X = 1000

ETAPA 4 – CONCEITO DE DERIVADA E SEUS CÁLCULOS

Passo 1:

A Geometria Analítica é uma parte da Matemática, que através de processos

particulares, estabelece as relações existentes entre a Álgebra e a Geometria. Desse

modo, uma reta, uma circunferência ou uma figura podem ter suas propriedades

estudadas através de métodos algébricos. Os estudos iniciais da Geometria Analítica se

deram no século XVII, e devem-se ao filósofo e matemático francês René Descartes

(1596 - 1650), inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua

homenagem), que permitiram a representação numérica de propriedades geométricas.

Inclinação e declividade de uma reta:

A inclinação de uma reta é o ângulo que o reto a reta forma com o sentido positivo (ou

seja, +) do eixo das abscissas (vulgo eixo X), sempre medindo no sentido anti-horário

(contrário ao do relógio), saindo do eixo por trás e indo à reta. A declividade de uma

reta, também chamada por um número grande de matemáticos de parâmetro angular,

tangente trigonométrica da reta, coeficiente angular da reta, apenas m (somente em

fórmulas) ou tg x é a inclinação que a reta tem no gráfico. A torre de pisa, por exemplo,

tem um grande coeficiente angular, já que é torta. As torres gêmeas, a partir de 11 de

Setembro de 2001, passaram a ser paralelas ao eixo X (chão). A fórmula que calcula

essa declividade é:

Logo ela começará a se desdobrar em equação da reta e derivada da função (onde o m é

a derivada).

13

Conceitos e conteúdos Estudados:

1

-Função do 1° grau;

-Modelos lineares;

-Função 1° grau;

-Juros Simples;

-Restrição Orçamentária;

-Caracterização Geral;

-Obtenção da Função do 1° grau;

-Exemplos de como obter funções do 1° grau;

-Sistemas lineares e funções do 1° grau.

2

-Função do 2° grau;

-Modelos de funções do 2° grau;

-Um modelo de função do 2°grau;

-Caracterização de função do 2° grau

Passo 2

Se a derivada de é igual a:

Logo a derivada de é igual a .

14

O custo para , logo se substituirmos por , temos

.

Logo a receita será maior que .

1) a) Se a função é igual ao custo total o custo marginal será

dado pelo limite:

Logo o custo marginal . Queremos a derivada da função custo marginal.

Logo temos:

b) A derivada no ponto nos dá o coeficiente angular da reta tangente nesse ponto.

Sabemos que toda a equação da reta é igual a , onde é o coeficiente

angular e é o coeficiente linear. Mas a derivada de é igual a , calculando

, logo , mas sabemos também que o ponto pertence a

reta, pois e queremos a reta tangente exatamente no ponto no qual ,

15

logo para , tanto para , quanto para a reta tangente que queremos

descobrir. Substituindo essas informações em , temos:

Logo . Então temos que a reta tangente a em é .

O ponto .Passo 3:

Derivadas:

16

De um ponto de vista geométrico o conceito de derivada está relacionado com o de

tangência. A noção de tangência é importante na vida diária, todos desenvolvemos uma

considerável intuição a respeito. Ao nos apossarmos do conceito de derivada estaremos

em condições de dar maior precisão a esse nosso entendimento informal.

Do ponto de vista da Dinâmica, a velocidade escalar (instantânea) é uma derivada. A

aceleração também é. Nestes dois últimos casos vê-se a derivada como taxa de

variação. Isto é, a medida da evolução de uma grandeza quando outra, da qual ela

depende, varia. A velocidade, por exemplo, é a taxa de variação do espaço com relação

ao tempo.

O quarto paradoxo formulado pelo filósofo grego Zenon (495-435 a.C.), chamado de

``A seta'', pode-se enunciar da seguinte forma: ``Uma seta movendo-se, a cada instante

está `em repouso' ou `não em repouso' (isto é, `em movimento'). Se o instante é

indivisível, a seta não pode se mover em um instante, porque se ela o fizesse o instante

seria imediatamente dividido. Mas tempo é feito de instantes. Como a seta não pode se

mover em nenhum instante, ela não pode se mover em nenhum tempo. Então ela sempre

permanece em repouso. “‘ Ou seja, não existe o movimento da seta”.

O leitor encontrará mais informações sobre os paradoxos de Zenon no livro de E. T.

Bell ``Men of Mathematics'', Dover, N. York (1937), por exemplo.

Este argumento de grande engenhosidade para a época em que foi estabelecido pode ser

refutado hoje em dia com base em alguns conceitos mais refinados do que os

disponíveis naquele tempo. Uma análise do quarto paradoxo de Zenon nos leva ao

conceito de velocidade instantânea.

Suponhamos que um ponto descreva um movimento sobre uma reta de modo que sua

coordenada, em cada instante t, seja x=s(t). Esse ponto pode representar a seta disparada

de um arco. Ao se mover da posição a=s(t1) para b=s(t2), o ponto tem uma velocidade

média v, definida por

v=[s(t2) - s(t1)]/(t2 - t1).

Assim, a velocidade média envolve o lapso de um certo tempo e as posições do ponto

no início e no final desse lapso. É uma noção fundamental, mas ainda um tanto

17

grosseira, insuficiente para explicar que, em cada instante fixado t0 entre t1 e t2, o ponto

está em movimento e tem algo que o diferencia de um ponto em repouso: uma

velocidade não nula em t0, uma grandeza intrínseca do movimento, isto é, uma grandeza

que não depende de lapsos, mas está associada somente ao instante t0. Como defini-la?

A ideia é tomar velocidades médias

vt = [s(t) - s(t0)]/(t - t0),

em lapsos entre instantes t e t0, e definir a velocidade instantânea em t0 como

ou seja,

Essas observações contêm o conceito de derivada.

Consideremos a questão de definir a reta tangente a uma curva y=f(x) (isto é, o gráfico

de f, que denotaremos por G(f)) num ponto p=(a,b), b=f(a), onde f é uma função

definida numa vizinhança de a. O que fazemos é considerar uma secante ao gráfico de f,

passando pelos pontos (a,b) e por (x,y) de G(f). Depois ``deslizamos'' (x,y) ao longo do

gráfico aproximando-o do ponto (a,b). Pode ocorrer que neste processo as secantes

tendam para uma ``reta limite''. Quando este for o caso, diremos que a curva y=f(x) tem

uma reta tangente no ponto (a,b) e que a mencionada reta limite é a reta tangente à

curva y=f(x), no ponto (a,b).

É instrutivo imaginar um caso em que não existe essa tal ``reta limite''. Pense, por

exemplo, na função

18

 (3.1)

tomando (a,b) = (0,0). Faça um esboço do gráfico de f. Considere um ponto (x,y) do

gráfico dessa função e imagine oque acontece com as retas secantes por (a,b) e (x,y),

quando (x,y) ``desliza'' sobre o gráfico, tendendo a (a,b). Não existe a ``reta limite''.

As Figuras 3.1 representam dois casos de funções em que existe a reta tangente ao

gráfico. Repare que o caso da Figura 3.1(b) não está muito de acordo com nossa

intuição, digamos, mais primitiva, pois a reta tangente cruza a curva no ponto de

tangência.

  Figura 3.1

Reta tangente à curva y=f(x)

ORIGEM DO CONCEITO DE DERIVADA DE UMA FUNÇÃO

 

O conceito de função que hoje pode parecer simples é o resultado de uma lenta e

longa evolução histórica iniciada na Antiguidade quando, por exemplo, os matemáticos

Babilónios utilizaram tabelas de quadrados e de raízes quadradas e cúbicas ou quando

os Pitagóricos tentaram relacionar a altura do som emitido por cordas submetidas à

mesma tensão com o seu comprimento. Nesta época o conceito de função não estava

19

claramente definido: as relações entre as variáveis surgiam de forma implícita e eram

descritas verbalmente ou por um gráfico. 

Só no séc. XVII, quando Descartes e Pierre Fermat introduziram as coordenadas

cartesianas, se tornou possível transformar problemas geométricos em problemas

algébricos e estudar analiticamente funções. A Matemática recebe assim um grande

impulso, nomeadamente na sua aplicabilidade a outras ciências - os cientistas passam, a

partir de observações ou experiências realizadas, a procurar determinar a fórmula ou

função que relaciona as variáveis em estudo. A partir daqui todo o estudo se desenvolve

em torno das propriedades de tais funções. Por outro lado, a introdução de coordenadas,

além de facilitar o estudo de curvas já conhecidas permitiu a "criação" de novas curvas,

imagens geométricas de funções definidas por relações entre variáveis. 

Foi enquanto se dedicava ao estudo de algumas destas funções que Fermat deu conta

das limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva como sendo aquela

que encontrava a curva num único ponto. Tornou-se assim importante reformular tal

conceito e encontrar um processo de traçar uma tangente a um gráfico num dado ponto

- esta dificuldade ficou conhecida na História da Matemática como o "Problema da

Tangente".

 

Fermat resolveu esta dificuldade de uma maneira muito simples: para determinar uma

tangente a uma curva num ponto P considerou outro ponto Q sobre a curva; considerou

a reta PQ secante à curva. Seguidamente fez deslizar Q ao longo da curva em direcção

a P, obtendo deste modo retas PQ que se aproximavam duma reta t a que Fermat

chamou a reta tangente à curva no ponto P.

Fermat notou que para certas funções, nos pontos onde a curva assumia valores

extremos, a tangente ao gráfico devia ser uma reta horizontal, já que ao comparar o

valor assumido pela função num desses pontos P(x, f(x)) com o valor assumido no

outro ponto Q(x+E, f(x+E)) próximo de P, a diferença entre f(x+E) e f(x) era muito

pequena, quase nula, quando comparada com o valor de E, diferença das abscissas de Q

e P. Assim, o problema de determinar extremos e de determinar tangentes a curvas

passam a estar intimamente relacionados. 

20

Estas ideias constituíram o embrião do conceito de DERIVADA e levou Laplace a

considerar Fermat "o verdadeiro inventor do Cálculo Diferencial". Contudo, Fermat

não dispunha de notação apropriada e o conceito de limite não estava ainda claramente

definido. 

No séc.XVII, Leibniz algebriza o Cálculo Infinitésimal, introduzindo os conceitos

de variável, constante e parâmetro, bem como a notação dx e dy para designar "a menor

possível das diferenças em x e em y. Desta notação surge o nome do ramo da

Matemática conhecido hoje como " Cálculo Diferencial ". 

Assim, embora só no século XIX Cauchy introduzia formalmente o conceito de

limite e o conceito de derivada, a partir do séc. XVII, com Leibniz e Newton, o Cálculo

Diferencial torna-se um instrumento cada vez mais indispensável pela sua

aplicabilidade aos mais diversos campos da Ciência.

Resumo Etapa 4

Nesta etapa foram desenvolvidos métodos para se entender o conceito de derivada,

tangente, taxa de variação instantânea. Para isso se faz necessário aplicar os conceitos

de derivadas e seus cálculos.

Para isso foi feita uma pesquisa sobre a história da geometria analítica, como construir a

equação da reta que passa por um ponto, conhecida sua inclinação e o cálculo da

declividade da reta.

Também foi feita uma pesquisa com outras referências bibliográficas, contendo

conteúdos referentes a derivadas e ampliar o seu entendimento.

21

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Hariki, Seiji – Matemática aplicada:administração, economia, contabilidade / São Paulo: Saraiva, 2005.

Morettin, Pedro A. – Cálculo: funções de uma variável / São Paulo: Atual, 1987

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/funcoes/funcoes.html

Matemática Aplicada para cursos superiores

Sebastião Medeiros da Silva- editora Atlas- 1° edição- São Paulo/2012

http://pt.wikipedia.org/wiki/Hist%C3%B3ria_da_matem%C3%A1tica

http://www.matematica.br/historia/

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