matemática aplicada unidade ii

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    Unidade II

    Revi

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    Virg

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    ama

    o: F

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    Unidade IIFunes

    muito comum, no nosso cotidiano, estabelecermos relaes entre duas ou mais grandezas. Por exemplo, quando vamos abastecer o carro, o preo que pagamos pelo combustvel depende da quantidade de litros colocada no tanque.

    Podemos aplicar o conceito de funo em diversas reas e, de acordo com as grandezas estudadas e os tipos de funes, possvel analisar como uma grandeza varia em funo de outra. E com o grfico de uma funo, podemos interpretar as informaes e tomar decises importantes.

    3 DeFinio De Funo

    Dados dois conjuntos no vazios A e B, uma relao f de A x B recebe o nome de aplicao de A em B ou funo definida em A com imagem em B se, e somente se, para todo x A existe um s y B, tal que (x,y) f.

    observao

    A sentena f funo de A em B pode ser indicada por f: A B.

    Com o auxlio do diagrama de flechas, vamos analisar as condies para que uma relao f seja uma funo:

    a) necessrio que todo elemento x A participe de pelo menos um par (x,y) f, isto , todo elemento de A deve servir como ponto de partida da flecha.

    f funo

    A B

    Figura 25

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    MateMtica aplicada

    Lembrete

    Se existir um elemento de A do qual no parta flecha alguma, ento f no funo.

    f no funo

    A B

    Figura 26

    b) necessrio que cada elemento x A participe de um s par (x,y) f, isto , de cada elemento de A parte uma nica flecha.

    f funo

    A B

    Figura 27

    Lembrete

    Se existir um elemento de A do qual partam duas ou mais flechas, ento f no funo.

    f no funo

    A B

    Figura 28

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    Unidade II

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    Lembrete

    Toda funo uma relao binria de AxB, portanto, toda funo um conjunto de pares ordenados.

    Dados os conjuntos A e B, a funo f definida pela lei y = f(x) mediante a qual, dado x A, determina-se y B, tal que (x,y) f, ento:

    f = {(x,y) | x A, y B e y = f(x)}

    Exemplos:

    1) Dados os conjuntos A = {-2, 0, 4} e B = {0, 1, 2, 3} e a relao de A em B dada por y = x2

    , com x A e y B, verifique, por meio de diagramas, se a relao uma funo.

    f no funo

    A B-2 0

    1 2

    34

    0

    Figura 29

    Pois existe um elemento em A que no est associado a elemento em B.

    2) Sejam os conjuntos A = {-2, -1, 1, 2} e B = {1, 2, 3, 4} e a relao de A em B dada por y = x, sendo que x A e y B. Verifique, por meio de diagramas, se a relao uma funo.

    f funo

    A B

    -2

    -1 2

    1

    4 3

    2

    1

    Figura 30

    Pois todos os elementos de A esto associados a elementos em B. Cada elemento de A est associado a um nico elemento de B.

    3) Dados os conjuntos A = {4, 16} e B = {-4, -2, 2, 4} e a relao de A em B dada por x = y, x A e y B, verifique se a relao dada uma funo.

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    MateMtica aplicada

    f no funo

    A B -4

    -2 2

    4

    4

    16

    Figura 31

    Existe elemento em A que est associado a mais de um elemento em B.

    3.1 Domnio contradomnio imagem de uma funo

    Toda funo f uma relao binria de AxB, portanto, tem um domnio e uma imagem. Chama-se domnio de f o conjunto D dos elementos x A para os quais existe y B, tal que (x,y)

    f. Pela definio de funo, todo elemento de A tem essa propriedade. Portanto, nas funes, temos:

    domnio = conjunto de partida

    D = A

    Chama-se imagem de f o conjunto Im dos elementos y B para os quais existe x A, tais que (x,y) f, portanto:

    Imagem subconjunto do contradomnio:

    Im B

    ContradomnioDomnio

    Imagem

    A B

    Figura 32

    Lembrete

    O domnio de uma funo , tambm, chamado campo de definio ou campo de existncia de uma funo.

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    observao

    Feita a representao grfica da funo f, temos que Domnio (D) o conjunto das abscissas, e Imagem (Im) o conjunto das ordenadas.

    Importante: ao estudarmos uma funo definida em conjuntos numricos e com lei de formao algbrica sem domnio indicado, devemos considerar como domnio todos os valores reais de x que tornam possveis as operaes indicadas na lei de formao no conjunto dos nmeros reais.

    Exemplos:

    1) Dados os conjuntos A = {0, 1, 2) e B = {1, 3, 5, 7}, determine o domnio, contradomnio e imagem da funo f: A B definida pela lei f(x) = 2x + 1.

    Soluo:

    Usando o esquema de diagramas, temos:

    A B0

    1

    2

    3 1

    5

    7

    Figura 33

    Domnio: D(f) = A = {0, 1, 2}

    Contradomnio: CD(f) = B = {1, 3, 5, 7} e Imagem: Im(f) = {1, 3, 5}

    2) Dada a funo y = x - 5x +2, funo f: , calcule os valores de x,tal que f(x) = -4.

    Soluo:

    Substituindo f(x) = -4 em f(x) = x - 5x + 2, obtemos:

    -4 = x - 5x + 2

    x - 5x + 6 = 0

    = b -4ac = 25 24 = 1

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    MateMtica aplicada

    Ento,

    x = 5 + 1 = 3 ou x = 5 1 = 2 2 2

    Portanto, x = 2 ou x = 3 so os valores procurados.

    3) Sejam as funes f: definida por f(x) = 2x 1 e g: definida por g(x) = x + m. Determinar o valor de m para que se tenha f(2) + g(-1) = 7.

    Soluo:

    f(x) = 2x -1 f(2) = 2(2) 1 = 3

    g(x) = x + m g(-1) = - 1 + m

    f(2) + g(-1) = 7 3 + (-1 + m) = 7

    Resolvendo a equao, temos:

    3 1 + m = 7 m = 7 3 + 1 = 5

    Logo, m = 5.

    3.2 Grfico de uma funo

    A representao do grfico de uma funo se faz assinalando alguns de seus principais pontos no plano cartesiano.

    2 quadrante 1 quadrante

    3 quadrante 4 quadrante

    y

    b

    0 a

    P(a.b)

    x

    Figura 34

    Importante: o domnio da funo representado no plano cartesiano o conjunto de valores representados no eixo das abscissas (eixo x), enquanto os valores do conjunto imagem so representados no eixo das ordenadas (eixo y).

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    observao

    Para que exista a funo de A em B, cada elemento x do conjunto A deve estar associado a um nico elemento y de B.

    Lembrete

    Para descobrir se um grfico representa uma funo, faa o seguinte: trace retas perpendiculares ao eixo x. Se qualquer dessas retas cortar o grfico em um nico ponto do domnio, ento o grfico representar uma funo.

    Exemplos:

    1) A relao f, representada no diagrama a seguir, tem domnio:

    D = {x | - 1 x 2} e funo pois toda reta perpendicular ao eixo x encontra o grfico da funo f num s ponto.

    y

    x2-1

    Figura 35

    2) A relao f, representada no diagrama a seguir tem domnio D = {x | 0 x 2} e no funo pois h retas verticais que encontram o grfico de f em dois pontos:

    y

    x0 2

    Figura 36

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    observao

    Duas funes f e g so iguais quando, e somente quando, tm o mesmo domnio D e f(x) = g(x), para todo x D.

    Exemplo:

    1) As funes f(x) = x4 e g(x) = x, de em , so iguais, pois x = x, x .

    2) As funes f(x) = x e g(x) x = ____ xso iguais somente se tomarmos como

    domnio de ambas um conjunto D, tal que 0 D.

    3.3 Funo constante

    Uma aplicao f de em recebe o nome de funo constante quando, a cada elemento x R, associa sempre o mesmo elemento c .

    O grfico da funo constante uma reta paralela ao eixo dos x e passando pelo ponto (0,c).

    Sua imagem o conjunto Im = {c}

    f: x c

    y

    x

    c

    0

    Figura 37

    Exemplo:

    1) Construa o grfico da funo f(x) = 3, se 0 x 2 e f(x) = 1, se 2 x 3.

    Soluo:

    y

    x

    1

    3

    0 2 3

    Figura 38

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    3.4 Funo linear

    Considere a funo y = ax + b com (a 0). Quando b = 0, a funo recebe o nome de funo linear e indicada por y = ax com (a 0).

    O grfico da funo linear uma reta que passa pela origem (0,0) do sistema cartesiano.

    y

    x(0,0)

    Figura 39

    Como o ponto (0,0) pertence reta, para construir o grfico da funo linear basta conhecer mais um ponto (x,y) do plano cartesiano.

    Exemplo:

    f Xx

    ( ) =2

    Tabela 1

    x y = x2 (x,y)

    0 0 (0,0)

    4 2 (4,2)

    y

    x0

    2

    4

    Figura 40

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    3.5 Funo linear afim

    Uma aplicao f de em recebe o nome de funo linear afim quando associa, a cada x , o elemento (ax + b) , onde a 0. Isto significa que:

    (x, ax + b) f, x A funo linear afim indicada por f: x ax + b com (a 0). O grfico da funo afim uma r