Universidade Anhanguera Uniderp

Centro de Educação a Distância

CURSO: ADMINISTRAÇÃO – 3º SEMESTRE

MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO, ECONOMIA E

CONTABILIDADE

Alexandre Bastos dos Santos – RA 285817 – ADM

Joedson Cabrini Alvarenga – RA – 300988 – ADM

Leda Maria dos Santos Pereira Boone – RA – 290282 - ADM

Luiz Cesar Xavier – RA 294020 – ADM

Sandryelle Christina da Silva Corrêa – RA 336128 – ADM

Silvana das Neves Rosa Reis - RA 290281- ADM

ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS - MATEMÁTICA APLICADA

PROFESSOR TUTOR: ENIR LUIZ DE BARROS

PROFESSORA EAD: IVONETE MELO DE CARVALHO

VITÓRIA/ES, 15 DE ABRIL DE 2.012.

Neste desafio abordaremos os principais conteúdos e conceitos relacionados à

matemática aplicada a administração, e alguns exemplos práticos que envolvem as funções

estudadas em sala de aula, desenvolver raciocínio lógico, crítico e analítico, reconhecer e

definir problemas, equacionar soluções, pensar estrategicamente.

Palavras-chave: profissões, função, exemplos, conceitos

1

Sumário

Introdução.............................................................................................................................3

Etapa 1...................................................................................................................................4

1.1 Profissões........................................................................................................................4

2.1 Médico Infectologista......................................................................................................4

3.1 Entrevista com médica especialista em Infectologia........................................................6

Etapa 2.....................................................................................................................................7

História das descobertas dos conceitos básicos da matemática ..............................................7

2. Passo 2 – Exercícios............................................................................................................22

Etapa 3....................................................................................................................................25

1. Passo 1 – equações polinomiais...........................................................................................25

Algumas aplicações.................................................................................................................26

Fractais.....................................................................................................................................26

Geometria.................................................................................................................................26

2. Passo 2..................................................................................................................................28

Resolver as seguintes situações-problemas...............................................................................28

Etapa 4 – 1.Passo 1...................................................................................................................29

Geometria Analítica..................................................................................................................29

2.Passo 2....................................................................................................................................38

Resolver as seguintes situações-problemas...............................................................................38

3. Passo 3 – Diferenciação Implícita.........................................................................................40

Referências Bibliográficas........................................................................................................42

2

INTRODUÇÃO

Se perguntarmos por que esta disciplina; a matemática está incluída na administração?

É muito interessante fazermos uma análise deste fato, pois através de matérias e

artigos sobre a matemática aplicada na administração, concluímos que a mesma está

profundamente inserida na administração, assim como faz parte de nosso cotidiano.

Fica claramente definido que a matemática contribui bastante para o administrador

proporcionando a ele novas técnicas de planejamento, sejam no controle de finanças, na

produção, na comercialização, negociações, ate mesmo na área de recursos humanos e em

processo que envolve a administração em geral, bem como no desenvolvimento de seu

raciocínio lógico. É formidável o apoio e as atividades exercidas que estimulam o raciocínio

lógico e critico, dentro de variados problemas. Tem como base a idéia de selecionar à melhor

tomada de decisão para diminuir riscos que podem afetar o futuro, a curto ou longo prazo.

Problemas existem e sempre vão existir, e em dos objetivos da matemática é tornar o método

de tomada decisões mais racional possível, para a resolução de problemas. No entendimento

dos fatos, concluímos que a matemática tem como objetivo capacitar o administrador a

formular o problema, estabelecer as regras a serem aplicadas para conduzir ao melhor

resultado.

O administrador pode contar com a ajuda significante da tecnologia de informação

para o processamento de dados, produzindo informação, que ajudará a visualizar e analisar

gráficos, projetos, relatórios, simulação de vendas, planejamentos das despesas, análise de

receita, demanda, oferta custos, margens de lucro, etc.

O fato de você ter se formado levando a sério o seu Curso de Administração que é o

segundo melhor curso valorizado do mundo, em um ambiente de pesquisa, de ter sido

habituado a questionar, buscar novas soluções, verificar suas idéias e compará-las com as de

outros será uma vantagem no mercado de trabalho (empresas de consultoria, por exemplo).

Você estará mais bem preparado para enfrentar os desafios de seu futuro profissional do que

alguém que recebeu apenas treinamento técnico. As técnicas estão mudando a cada instante; o

que é hoje a última palavra estará, em poucos anos, completamente superado. Para ser bem

sucedido no mercado de trabalho é preciso estar preparado para sempre aprender mais durante

toda a vida (FORMAÇÃO CONTINUADA). 3

ETAPA 1

Pesquisa realizada nos jornais A Gazeta e A Tribuna (01/03 a 24/03/2012)

1. Passo 1

1.1 Profissões

1 - Cirurgiões-dentistas: 26%

2 – Médicos: 24% (Pediatra, cardiologista, clinica geral, endocrinologista e infectologista).

3 – Engenheiros: 07% (engenheiro do trabalho, civil e agrônomo).

4 – Administrador: 6%

5 – Advogados: 4%

6 - Profissionais em RH: 7% (analistas e gerentes)

7 – Gerentes: 4% ( nas áreas de venda e segurança)

8 – Contador: 4%

9 – Professor: 6%

10 – Nutricionista: 6%

2. Passo 2

2.1 Médico Infectologista

Infectologia é a área do conhecimento médico que se ocupa do estudo das doenças

causada por microrganismos, sejam eles bactérias, vírus, protozoários, helmintos entre outros.

A infectologia é uma especialidade médica, reconhecida pelo Conselho Federal de Medicina,

tendo três áreas de atuação: Infectologia hospitalar, infectologia pediátrica e medicina de

viagem. O infectologista atua na prevenção primária (educação em saúde, vacinação etc.), e

na prevenção secundária (tratamento de doenças infecciosas e prevenção de incapacidade

causada por estas doenças). O foco do infectologista é na prevenção de doenças ou agravos

ocasionados por agentes infecciosos e animais peçonhentos.

4

Um médico geral pode ter especialização em Infectologia, como um Infectologista

pode estar especializado em Medicina Geral, podendo analisar o paciente em vários aspectos.

Atualmente as doenças infecciosas são responsáveis por grande parte das consultas médicas

ambulatoriais e em pronto-socorro. No entanto, devido à carência de infectologistas em

algumas regiões e à falta de informação da população sobre o papel do infectologista, a

grande maioria desses pacientes é atendida por médicos de outras especialidades.

Por ser um especialista acostumado a lidar com doenças localizadas nos mais

variados órgãos do corpo, em geral o infectologista também tem uma visão global do

paciente, também freqüentemente exercendo a prática de clínica geral.

O papel do infectologista está dividido em quatro grandes áreas:

- Controlar e assistir a infecções hospitalares.

- Tratamento e análise de doenças infecciosas.

- Imunização (vacinação)

- Aconselhamento no uso de antibióticos.

A grande parte dos pacientes que estão febris tem uma doença infecciosa subjacente.

Porém a febre também pode ocorrer devido a outras doenças, como reumatológicas ou

neoplásicas (câncer). E nesses poucos casos o infectologista encaminha o paciente para o

especialista na área.

CCIH

A atuação na prevenção de doenças transmissíveis é uma das atividades mais

nobres do médico infectologista. Por meio da avaliação clínica pormenorizada, considerando

as particularidades do cliente, os riscos e os mecanismos de transmissão das doenças, o

médico indica medidas de prevenção como cuidados básicos, vacinas e medicamentos, se

forem o caso. Profissional atuante nas comissões de controle de infecções hospitalares, o

infectologista concentra os esforços para a prevenção destes agravos e a interrupção precoce

de surtos dentro de ambientes hospitalares. Nos melhores hospitais e estabelecimentos de

saúde, há um ou mais médicos infectologistas no corpo clínico, atuando na redução dos riscos.

No campo da biossegurança, o especialista apresenta elevado conhecimento na prevenção e

tratamento a agentes biológicos no ambiente de trabalho.

5

Recentemente, o especialista tem sido cada vez mais requisitado para dar orientações

à viajante com o objetivo de prevenir doenças relacionadas às viagens, sobretudo quando o

destino por locais mais distantes ou exóticos. O infectologista é o melhor profissional para

proporcionar uma viagem segura, avaliando o cliente antes do embarque, atuando como

médico de referência bilíngüe para discussão com outros colegas estrangeiros e avaliando a

integridade da saúde do cliente na ocasião do retorno. Este novo campo de atuação é

conhecido como medicina de viagem. 

O desconhecimento sobre o campo de atuação do médico infectologista faz com que,

na maioria das vezes, a população procure outras especialidades médicas quando acometida

por doenças infecciosas. 

O infectologista é, sem dúvida, o especialista com maior familiaridade na 

investigação e diagnóstico das doenças febris. Estudos apontam que a grande maioria dos

pacientes que apresenta febre como principal sintoma tem uma doença infecciosa subjacente.

Febre também pode ocorrer no curso de outras doenças, notadamente as reumatológicas e

neoplásicas (câncer).

3. Passo 3

3.1 Entrevista com Médica especialista em Infectologia

Nome: Glaucia Glene Ferraz

Empresa onde trabalha e tempo de atuação na profissão: Hospital Evangélico de Vila Velha e

Hospital da Unimed, com 10 anos de profissão.

Atividades básicas da profissão: Controle de infecções hospitalares, mas também assistindo a

pacientes internados com patologias infecciosas ( ex.: dengue, celulite, herpes zoster,

tuberculose,...) e atendimento em consultório.

Média salarial do profissional na área: 4 a 5 mil mensais com carga horária de 40 horas

semanais.

Cursos de formação e aperfeiçoamento: Programa de DST/AIDS, tuberculose, hanseníase,

hepatites virais.

6

ETAPA 2

1. Passo 1

1.1. A idéia antes da invenção dos logaritmos de Napier:

1.1.1. Babilônios:

Algumas considerações a respeito da matemática babilônica tornam-se relevantes

neste momento, visto que eles já dominavam certos métodos e técnicas de cálculo que

influenciaram a criação dos logaritmos.

Os babilônios utilizavam um sistema sexagesimal, ou seja, de base 60, e cuja origem

é incerta. O que se sabe é que as influências desta notação podem ser sentidas ainda hoje nas

unidades de tempo e medida de ângulo.

Consta que os babilônios estenderam o princípio posicional numérico também às

frações e desta forma, segundo Boyer (2003), demonstrava domínio computacional

equivalente ao que ocorre nos dias de hoje com a moderna notação decimal para frações.

Existe uma tableta de argila babilônica em Yale contendo o cálculo de com três

casas sexagesimais. A resposta, utilizando uma simbologia mais familiar, poderia ser escrita

como 1;24,51,10. O ponto-e-vírgula separa a parte inteira da parte fracionária e a vírgula

separa as ordens (posições) sexagesimais. É impressionante perceber que o valor babilônico

para a raiz quadrada de dois é aproximadamente 1,414222 (na base decimal).

Em outras tabletas de argila aparecem potências sucessivas de um dado número e

que, segundo Boyer (2003), seriam muito semelhantes às nossas tabelas de logaritmos.

Segundo este autor, foi encontrado tabletas de argila com tabelas exponenciais em que se

podem observar as dez primeiras potências para diferentes bases.

Um dos problemas descritos nestas tabletas pergunta a que potência se deve elevar

certo número dado para que se obtenha um determinado número como base. A questão é

similar a: “qual o logaritmo do número b (b > 0) tendo como base o número a (a≠1, a >0)?”

Existiam grandes lacunas entre valores nas tabelas exponenciais dos babilônios,

contudo, eles habilmente interpolavam partes proporcionais para conseguir obter valores

intermediários aproximados. Este método, conhecido como interpolação linear, pode ser

7

percebido num problema prático encontrado em uma tableta e que pergunta quanto tempo

levaria certa quantia em dinheiro para dobrar, a vinte por cento ao ano.

Assim, como podemos perceber, apesar de não terem inventado oficialmente os

logaritmos e as equações exponenciais, os babilônios as utilizavam com perícia em sua base

sexagesimal e posicional.

A denominação dada a estes cálculos ocorreu séculos depois, mas isto não muda em

nada o fato de que tais métodos de cálculo já eram conhecidos e familiares aos babilônios

quatro mil anos antes da era cristã.

1.1.2. Arquimedes:

A participação de Arquimedes na história da matemática é inquestionável. Sua

contribuição para os logaritmos e os exponenciais foi dada em uma de suas obras conhecida

como Psammites (contador de areia).

Nesta obra, Arquimedes trabalhava com números grandes e afirmava poder escrever

um número que fosse maior do que o número de grãos de areia necessários para encher o

universo.

Ele tentou prever todas as possíveis dimensões do universo, mostrando para isso que

era capaz de enumerar os grãos de areia necessários para preencher o universo.

O que nos interessa nesta obra é exatamente algo que ele mencionou. Arquimedes,

segundo Boyer, citou o princípio que séculos depois influenciaria Napier em sua invenção.

Foi em conexão com esse trabalho sobre números imensos que Arquimedes

mencionou, muito incidentalmente, o princípio que mais tarde levou à invenção dos

logaritmos – a adição das “ordens” dos números ( o equivalente de seus expoentes quando a

base é 100.000.000) corresponde a achar o produto dos números.

1.1.3. Matemática árabe:

A matemática árabe desempenhou papel fundamental no desenvolvimento da

matemática da Europa ocidental. Algumas histórias curiosas chegaram até os dias de hoje,

como, por exemplo, a do califa al-Mamum (809-833) que diz ter sonhado com Aristóteles e

que devido a isso ordenou que se fizessem cópias em árabe de todas as obras gregas. Nesta

empreitada foi traduzido para o árabe o Almajesto de Ptolomeu e a versão completa dos 8

Elementos de Euclides.

Em Bagdá, por exemplo, foi criada a Bait al-hikma (Casa da Sabedoria) que era o

equivalente árabe ao antigo museu de Alexandria. Um dos grandes matemáticos deste período

foi Mohammed ibu Musa al-Khowarizmi. Ele escreveu dois livros que exerceram um papel

central na história da matemática, um sobre aritmética e outro sobre álgebra, De numero

hindorum (Sobre a arte hindu de calcular) e Al-jabr Wa’l muquabalah. Do título do segundo

livro nasceu o termo álgebra.

Os árabes sofreram grande influência da matemática dos hindus e, neste sentido, a

trigonometria árabe foi quase que totalmente baseada no sistema hindu.

Com relação à trigonometria que herdaram das obras gregas os árabes souberam

utilizar o pensamento hindu que os influenciava para acrescentar novas fórmulas. Deve-se a

dois árabes, ibn-Yunus (morreu em 1008) e ibn-al-Haitham “Alhazen” (956-1039) a

introdução da fórmula: 2.cosx.cosy = cos(x + y) + cos(x - y).

Essa é uma das quatro fórmulas de ‘produto para soma’ que na Europa do século

XVI serviram, antes da invenção dos logaritmos, para converter produtos em somas pelo

método dito de prosthaphaeresis (adição e subtração em grego).

Além disso, vem dos árabes, com possíveis influências da China o costume de

trabalhar com frações decimais que, posteriormente, tomariam um papel central com os

logaritmos.

Atribui-se ao matemático al-Khashi (morreu em 1436) a invenção das frações

decimais e sua utilização em detrimento das frações sexagesimais.

1.1.4. Nicolas Chuquet:

Da França, no período da renascença, surge uma obra intitulada Triparty em la

science des nombres, escrita por Nicolas Chuquet (morreu por volta de 1500). Pouco se sabe a

respeito dele, contudo, nesta obra ele utilizou uma notação exponencial que seria de grande

importância.

A potência das quantidades desconhecidas era representada por um expoente

associado aos coeficientes dos termos. Assim, por exemplo, era representado por

Além disso, ele trabalhava com expoentes iguais a zero e também negativos de forma que, um

9

número da forma era representado como Esta notação revelou-se útil na medida

em que desvelava as regras entre coeficientes e expoentes. Ele foi capaz de efetuar a divisão

de 72x por 8x³, fornecendo como resultado , ou seja,

Ele elaborou uma tabela de valores com as potências de 2 e que em muito se

assemelhava as tabelas de logaritmos. A respeito disso Boyer comenta:

Desta forma, como podemos perceber, mesmo antes da invenção dos logaritmos de

Napier, alguns conceitos de relevância para a invenção dos logaritmos foram se firmando de

forma gradativa na mente dos homens. Desde a Babilônia até o período da Renascença muitas

foram as contribuições que serviram às mentes criativas do século XVI e, conseqüentemente,

ao próprio Napier.

1.2. Transição do Renascimento para a modernidade:

Inicialmente é importante destacar que o conceito que está associado aos logaritmos

está intimamente ligado ás potências e, em particular, às seqüências geométricas. Assim,

consideramos relevante tomar “invenção” dos logaritmos como um marco na história da

matemática.

O que se pode afirmar é que foi a partir da publicação de Mirifici logarithmorum

canonis descripti (Descrição do maravilhoso cânone dos logaritmos) em 1614, por John

Napier (1550-1617), que o nome “logaritmo” passou a fazer parte do universo dos estudiosos

e cientistas da Europa, alcançando também a China e, posteriormente, todo o mundo.

Maor (2003) cita, em seu livro “ e: A história de um número” a relevância da

invenção dos logaritmos, destacando que de 1614 até 1945 (data em que o primeiro

computador eletrônico passou a funcionar) os logaritmos, suas tabelas e as réguas de cálculo

eram praticamente o único meio de se realizar cálculos difíceis.

Antes de nos determos mais especificamente em John Napier e em seus logaritmos, é

adequado pintar um quadro geral do período em que este homem viveu. É fato conhecido que

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houve grande expansão do conhecimento científico e técnico em diversas áreas entre os

séculos XVI e XVII. Geografia, cartografia, astronomia, física e matemática são alguns dos

exemplos mais citados.

Apenas para se perceber as quanto certas invenções impulsionaram outras tantas,

basta citar o caso da impressão com tipos móveis. “O primeiro livro impresso na Europa

Ocidental data de 1447, e pelo fim do século mais de 30000 edições de várias obras estavam

circulando.” (BOYER, 2003, pp.184).

A capacidade de atingir grande quantidade de pessoas com suas idéias e se fazer

ouvir pode ser considerado um dos fatores primordiais da grande explosão de conhecimento

deste período. Algo semelhante só se verificaria muito tempo depois com a invenção da

televisão e posteriormente dos computadores e, principalmente, da internet.

O homem, desde o renascimento - por volta de 1453, com a queda de Constantinopla

- passou a perceber o universo a sua volta sob novos prismas o que, certamente, culminou

com a vitória do heliocentrismo em detrimento do geocentrismo (Copérnico). Além disso, o

mundo europeu presenciou um grande avanço técnico que possibilitou a expansão marítima: a

circunavegação do globo feito em 1521 por Magalhães.

O intervalo de tempo, segundo Boyer (2003), que vai aproximadamente de 1540 até

1690 pode ser considerado como o período de transição da renascença para a modernidade.

É importante citar ainda que neste período muitas das obras matemáticas da

Antigüidade já haviam sido recuperadas influenciando alguns trabalhos da época. Além disso,

a matemática árabe já havia “conquistada o mundo” e influenciado a Europa ocidental. A

trigonometria, por sua vez, que por muito tempo representou uma eficiente ferramenta para os

astrônomos havia atingido o status de disciplina independente.

É neste período que algumas figuras importantes despontam na história da ciência e,

em particular, na história matemática.

Reproduzimos alguns nomes de destaque deste período: Fançois Viète (1540-1603);

Simon Stevin (1548-1620); John Napier (1550-1617); Henry Briggs (1561-1639); Galileu

Galilei (1564-1642); Johann Kepler (1571-1630); Albert Girard (1590-1633); Bonaventura

Cavalieri (1598-1647).

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Consta que um dos primeiros matemáticos a utilizar a “invenção” de Napier foi

Johannes Kepler (1571-1630) no cálculo das órbitas planetárias. Não é de se espantar que isto

tenha ocorrido, visto que Kepler e Napier foram contemporâneos numa época de

efervescência cultural e científica. Um período em que a divulgação de estudos e pesquisas foi

facilitada pela impressão.

Uma característica geral dos matemáticos desta época era a preocupação com

diferentes áreas de pesquisa. Boaventura Cavalieri (1598-1647), por exemplo, escreveu textos

relacionados à matemática e à física (geometria, trigonometria, astronomia, ótica) e é

considerado o primeiro autor italiano a utilizar os logaritmos. Em 1632 ele publicou um

trabalho (Directum Universale Uranometricum) com tabelas de logaritmos com até oito casas

decimais.

Após esta visão geral podemos tratar mais detalhadamente da gênese da “invenção” e

a vida do “inventor” dos logaritmos, John Napier.

1.3. Napier e a contribuição de Briggs:

1.3.1. John Napier e suas motivações e inspirações:

John Napier nasceu em 1550, no castelo Merchiston, próximo a Edimburgo na

Escócia. Estudou religião na infância e na fase adulta demonstrou muito interesse no ativismo

religioso. Era protestante e mantinha posição radicalmente oposta ao papado. Em um de seus

livros de cunho religioso chegou a afirmar que o papa era o anticristo.

Ele possuía título de nobreza (barão de Merchiston) e, portanto, era dono de terras e

se preocupava também com a melhoria das colheitas e do gado. Seu interesse diversificado,

voltado para preocupações práticas, o levou a inventar “um parafuso hidráulico para controlar

o nível da água nas minas de carvão”(MAOR, 2003, pp.16).

Com relação a preocupações militares ele demonstrou conhecer as histórias

relacionadas a Arquimedes e, segundo consta, planejou construir espelhos de grandes

proporções para incendiar navios inimigos. O fato é que não se sabe se isto realmente

aconteceu ou se ele chegou a construir realmente algum tipo de armamento.

Napier, não era matemático profissional, mas é lembrado nos dias de hoje não pelo

seu ativismo religioso ou preocupações com a terra, mas sim por uma idéia que lhe consumiu

anos de trabalhos e esforços: os logaritmos. Com relação à matemática ele tinha interesse

especial na computação numérica e trigonometria.

A motivação dele pode ser mais bem compreendida a partir do trecho a seguir:

12

O desenvolvimento científico e tecnológico do período em que Napier se encontrava

impôs uma problemática específica de cunho prático relacionado às grandes quantidades de

dados numéricos e os cálculos envolvendo números grandes. Isto exigia “algo” que facilitasse

tal atividade e foi pensando nisso que Napier começou a desenvolver os logaritmos.

Ao que parece os logaritmos não “surgiram do nada”. Duas das fontes de inspiração

de Napier eram os trabalhos de Arquimedes (por volta de 287–212 a.c.) e Stifel (1487-1567)

que trabalhavam com potências sucessivas de um dado número. Nestes casos, as seguintes

relações saltam aos olhos:

Além dessas inspirações, os cálculos que eram efetuados nos observatórios

astronômicos da Dinamarca também serviram de matéria prima para a sua criação. Tais

observatórios utilizavam as chamadas regras de prosthaphaeresis da trigonometria, que eram

regras que transformavam um produto de funções numa soma (ou diferença).

Em 1590 James VI da Escócia e uma comitiva viajaram para a Dinamarca para

encontrar Anne da Dinamarca, sua futura esposa. E, segundo consta, foi o Dr. John Craig,

médico de James VI, que presumivelmente fazia parte desta comitiva quem informou Napier

da utilização das regras de prosthaphaeresis na Dinamarca.

Cabe destacar que as fórmulas 2.cos(x).cos(y)= cos(x+ y)+cos(x - y) e

2.sen(x).sen(y)= cos(x - y) - cos(x+ y) eram chamadas neste período por “fórmulas de

Werner” (Johannes Werner 1468-1528), pois se difundiu a informação de que foram

utilizadas por Werner para simplificar cálculos astronômicos.

Assim podemos considerar que Napier estava rodeado de boas idéias que já eram

conhecidas e utilizadas, e que contribuíram para “criar” seus logaritmos.

1.3.2. A base “( 1 – 1/107)” de Napier:

Com base no que foi relatado na seção anterior podemos ter uma noção exata do que

Napier desejava fazer. Basicamente era transformar uma operação mais complicada em uma

mais simples e, para tanto, bastava ter algumas tabelas com valores já calculados. Isto

simplificaria muito o trabalho de cientistas envolvidos com grandes e enfadonhos cálculos.

13

Percebam que é relativamente mais simples somar e subtrair que multiplicar e

dividir. Assim, o objetivo de Napier era o de obter uma relação tal que:

f(x.y) = f(x) + f(y) e f(x/y) = f(x) – f(y).

Napier provavelmente percebeu que seus problemas diminuiriam substancialmente

se fosse capaz de converter produto em soma e divisão em subtração seguindo os exemplos já

conhecidos para a trigonometria e para as seqüências de potências de mesma base.

Chamamos a atenção para o fato de que Napier não utilizava potências de dez, ou

seja, não utilizava base decimal, na verdade, nem mesmo pensava no conceito de base.

Logaritmo é uma palavra que significa número proporcional. Napier criou o termo logaritmo

a partir da junção de “logos” e “arithmos”, que significam respectivamente, “razão” e

“número”. Ele pensava nos logaritmos como razões entre segmentos, de forma dinâmica,

apesar de converter sua idéia em forma numérica por meio de tabelas.

Para montar suas tabelas ele pensou nos logaritmos como valores de uma seqüência

geométrica. Michael Stifel (1487-1567) havia estabelecido, anos antes, uma relação entre os

termos de uma progressão geométrica e os expoentes dos respectivos termos.

Considere a seqüência geométrica Stifel percebeu

que Além disso, ele havia percebido que os

expoentes formavam uma progressão aritmética. Napier, ao que parece, inspirou-se nestes

resultados obtidos por Stifel.

Ele desejava escrever os expoentes de maneira a formar uma faixa contínua (ou

quase) de valores. Napier sabia que em tais seqüências, para conservar os termos “próximos”,

deveria tomar um valor “pequeno” para base. Um valor que fosse uma fração da unidade. Ele

escolheu como unidade , pois era prática comum em sua época, no trabalho com a

trigonometria, dividir o raio do círculo unitário em partes. Napier apenas seguiu o que se

fazia em sua época e, como base, escolheu o número

Com isto ele era capaz de conservar próximos os termos de sua progressão

geométrica de potências inteiras. Esta escolha que nos parece estranha hoje tem um motivo.

As frações já eram bem conhecidas na época de Napier, porém, elas eram entendidas

como proporções entre números inteiros. As frações decimais, contudo, haviam sido

recentemente introduzidas na Europa por Simon Stevin. Isto implicava num certo desconforto

ao se lidar com este tipo de frações.

14

Assim, ele usou como um tipo de “proporção” para construir uma tabela

de valores a partir da unidade, que para ele era igual subunidades.

Ele iniciou sua tabela com , seguida de

Os termos desta seqüência eram

obtidos subtraindo-se do termo anterior sua parte. Ele, com isso, montou uma primeira

tabela com 101 elementos. Posteriormente ele continuou este trabalho, ampliando a tabela

original.

Todo este serviço, que durou cerca de 20 anos, foi realizado com papel e pena. Ele

não possuía computador, calculadora ou outro recurso que agilizasse o serviço e por isso

mesmo preferiu evitar as frações decimais com as quais não estava acostumado e ainda era

pouco familiar a grande maioria dos europeus.

1.3.3. Os logaritmos de Napier e os nossos logaritmos, algumas diferenças:

Os logaritmos de Napier eram substancialmente diferentes dos logaritmos com os

quais estamos habituados e estudamos nos dias de hoje, o que, em hipótese alguma, diminui a

relevância de sua empreitada e esforço em busca de um método que fosse capaz de simplificar

cálculos grandes e cansativos.

Uma das diferenças básicas entre o que se estuda nos dias de hoje e o que foi criado

por ele diz respeito à forma como ele concebeu sua invenção. Napier não tinha em mente o

conceito de base de logaritmos e, além disso, todos os princípios eram explicados em termos

geométricos.

Napier imaginou os seus logaritmos de forma dinâmica, pensando em segmentos,

semiretas e em velocidades. A seguir tentaremos explicitar a forma como ele a concebeu:

(i) Suponha, por exemplo, o segmento de reta AB e a semi-reta DX.

(ii) Tome AB como unidade, no caso de Napier

iii) Suponha um ponto C percorrendo o segmento AB e um ponto F percorrendo a

semi-reta DX de forma que ambas iniciam o movimento simultaneamente a partir dos

extremos A e D respectivamente.

(iv) Suponha ainda que C e F possuam a mesma velocidade inicial.

15

(v) Admitamos que a velocidade de C seja dada pela medida CB e que a velocidade

F seja constante (igual à velocidade inicial de C).

(vi) Nessas condições Napier pensou no logaritmo do número x = CB como sendo o

número y = DF (o conceito de base não interfere neste tipo de definição).

Note que neste contexto o ponto C parte de A e se move ao longo de AB com

velocidade variável, decrescendo em proporções com sua distância a B e que a velocidade de

F, apesar de constante, está relacionada à velocidade inicial de C.

A respeito desta concepção, Boyer (2003) ilustra um exemplo, similar ao que foi

exposto, utilizando outros pontos (P em lugar de C, C em lugar de D, Q em lugar de F, etc.) e

comenta que Napier presumivelmente poderia ter utilizado um sistema de logaritmos na base

1/e. Veja o trecho a seguir:

Outra diferença diz respeito às operações com logaritmos. A soma e a subtração dos

logaritmos de Napier diferem do que fazemos hoje. Para ele, por exemplo, admitindo

a operação de fato, isto

ocorre por termos

Segundo Boyer (2003) o conceito de função logarítmica estava implícito na definição

de Napier assim como em todo o seu trabalho a respeito dos logaritmos. Ainda segundo o

referido autor, este conceito não aflorou na mente de Napier visto que ele estava

fundamentalmente preocupado com a simplificação das computações numéricas,

especialmente dos produtos e quocientes.

Apenas em 1614 ele publicou a “invenção” dos logaritmos num trabalho intitulado

Mirifici logarithmorum canonis descriptio. Sua invenção foi rapidamente aceita e utilizada

em toda a Europa, dando notoriedade ao seu inventor.

16

1.3.4. Briggs e sua contribuição ao trabalho de Napier:

Henry Brigs (1561-1631) era professor de geometria e trabalhava em Londres.

Consta que ele, empolgado com a nova invenção, foi à Escócia para visitar pessoalmente John

Napier. Isto ocorreu em 1615 e, neste encontro, eles discutiram modificações nos métodos de

cálculo dos logaritmos e em sua estrutura.

Briggs propôs a adoção de potências de dez e, além disso, propôs fazer o logaritmo

de 1 igual a zero, ou seja, log1 = 0. Pode-se dizer que Briggs, neste encontro, introduziu o

conceito de base na invenção de Napier.

Com a morte do inventor dos logaritmos em 1617, apenas dois após este encontro,

coube a Briggs construir a primeira tabela de logaritmos “briggsianos”, ou, como Boyer e

Maor citam logaritmo comum de N, ou ainda o logaritmo de N na base 10, isto é,

Seu trabalho foi publicado em 1624 e suas tabelas davam os logaritmos de base 10

para todos os inteiros de 1 a 20000 e de 90000 a 100000 com precisão de quatorze casas

decimais. A forma como Briggs fez isto é descrito por Boyer:

Cabe ressaltar que nas tabelas elaboradas por Briggs todas as relações hoje

conhecidas e demonstradas se aplicavam e, assim sendo, nada diferiam do que se conhece

atualmente a menos da notação.

Uma última informação a respeito de Henry Briggs é que foi a partir de seu trabalho

em 1624 que as palavras “mantissa” e “característica” passaram a ser utilizadas nas operações

com logaritmos a partir das tabelas de valores.

1.4. A questão do infinito, a invenção do Cálculo e as funções exponenciais e

logarítmicas:

A palavra Cálculo é utilizada indistintamente como sinônimo da subárea da

matemática conhecida como Cálculo Diferencial e Integral. A palavra em si tem sua origem

associada à palavra latina “calculus” e que nos remete ao uso de pedras na atividade de

contagem, algo como o ábaco. Esta denominação é devida, sobretudo, a Leibniz, um dos

inventores desta nova área da matemática.

1.4.1. Fermat, a questão da quadratura e o Cálculo:

Uma das questões que inquietou muitos matemáticos no decorrer dos séculos foi à

questão da quadratura de curvas. O problema se resume basicamente à procura de uma figura

17

geométrica plana fechada que tenha mesma área de outra figura geométrica considerada. No

caso dos polígonos na geometria Euclidiana sempre é possível dissecar os polígonos em

triângulos, o que torna a questão da quadratura bem mais simples do que, por exemplo, se

considerarmos figuras curvas como o círculo, a hipérbole ou a parábola.

A hipérbole foi uma das curvas que mais resistiu ao problema da quadratura,

vencendo até mesmo Arquimedes e o seu método da exaustão. Foi a partir do método dos

indivisíveis, com Cavalieri, que as tentativas de quadratura da hipérbole ficaram mais

próximas de uma solução.

Considerando a hipérbole e tomando para análise a parte do gráfico

que está no primeiro quadrante, consideramos a área sob a hipérbole como sendo a área entre

o gráfico, o eixo X e as linhas verticais x = 1 e x = n, com n >1. A área será então uma função

da forma A(n) e, a questão da quadratura da hipérbole se resume a encontrar tal função.

Fermat foi um dos matemáticos da época que se debruçou sobre este problema e que

posteriormente inspirou Newton na invenção do seu Cálculo. Além dele, Descartes e a sua

geometria, que utilizava métodos algébricos para solucionar problemas geométricos, também

serviram de fonte inspiradora para o Cálculo de Newton e Leibniz.

Foi dividindo um intervalo do domínio da função y = 1/x, x ¹ 0, em um número

infinito de pequenos retângulos, muito próximos da curva considerada, de maneira que suas

áreas formassem uma seqüência geométrica, que Fermat obteve a quadratura da hipérbole.

Modernamente encontramos nos livros de cálculo a expressão

para representar esta área sob o gráfico da hipérbole.

Fermat conseguiu a quadratura não apenas de uma hipérbole, mas também de

diferentes curvas que podiam ser obtidas a partir de

18

A questão da quadratura, como foi exposta, levou Fermat naturalmente ao caminho

que posteriormente Newton viria retomar para a invenção do Cálculo.

Newton, a partir das séries binomiais, utilizando os resultados de Fermat e abordando

problemas relativos à área da hipérbole chegou a conclusão que a área delimitada pela curva

para , o eixo X, x=0 e x= t, fornecia como resultado log (t+1).

Além disso, levado a pesquisar sobre este resultado, concluiu que

para todos os valores de t em (-1,1]. Ele conjeturou que

esta série poderia ser utilizada para calcular os logaritmos de vários números, mas que sua

convergência lenta tornaria tal tarefa impraticável.

1.4.2. Definições formais das funções exponenciais e logarítmicas no Cálculo:

Com o desenvolvimento do Cálculo, passou-se, em geral, a se preferir definir

inicialmente os logaritmos utilizando o conceito de integral e em seguida trabalhar a função

exponencial. Esta abordagem é uma inversão do avanço histórico do conceito de logaritmo,

contudo, parece trazer algumas facilidades no tratamento das propriedades relativas a

logaritmos e exponenciais.

Consideremos o conjunto dos números reais positivos e a função

definida como chamaremos de logaritmo de x, ou ainda,

logaritmo natural de x, o número y = f(x) e denotaremos por log (x) este número. Sabemos do

Cálculo que:

19

Do teorema fundamental do Cálculo obtém-se que para

todo x maior que zero. Logo f (x) = log(x) é monótona crescente e, em particular, ela é

infinitamente derivável, ou seja,

Demonstremos agora a propriedade fundamental dos logaritmos:

log (a.b) = log(a) + log(b) (a, b > 0)

De fato:

De (i) e (ii), podemos concluir que log(a.b) = log(a) + log(b).

Assim, de forma análoga, demonstram-se os demais resultados conhecidos dos

logaritmos.

Observe ainda que, como f (x) = log(x) é uma bijeção de podemos

garantir que existe um elemento do domínio cuja imagem seja igual a 1, ou seja, existe

tal que Este elemento será o número e (número de Euler) e é

denominado base do logaritmo natural. É comum encontrarmos a notação ln(x) em lugar de

para os logaritmos naturais.

É no mínimo curioso perceber que uma expressão relacionada às questões financeiras

(juros compostos) está associada aos exponenciais e aos logaritmos por meio do Cálculo. Tais

questões deram origem ao número e (número de Euler) e a função

Consideremos a expressão que calcula o montante da aplicação de

um capital C a juros compostos durante um tempo de aplicação t e com uma taxa i. Tal

fórmula pode variar de acordo com as condições do problema considerado, contudo, no caso

em que , chegamos à expressão e

montando uma tabela de valores podemos perceber que quanto maior o valor de x, mais

próximo a expressão fica de um valor, a saber, o número e.

20

Intuitivamente pode-se crer que a expressão vai se estabilizar próximo

de 2,71828... para valores arbitrariamente grandes de x, contudo, esta questão não é tão

simples como parece e só foi totalmente respondida com o desenvolvimento do Cálculo, do

estudo da convergência de séries e o desenvolvimento da Análise.

Sabemos hoje que:

A função exponencial é definida nesta abordagem como sendo a função inversa da

função log (x). Assim, se escrevermos exp(x) = y, então teremos exp(x) = y Ûln( y) = x.

Como a função exponencial, neste caso, é definida a partir da função logarítmica

usando a relação inversa, podemos deduzir várias de suas propriedades com base nas

propriedades da função logarítmica como, por exemplo, exp (a + b) = exp(a).exp(b). De fato,

como as funções são inversas, considerando x = exp(a) e y = exp(b), então temos que ln(x) =

a e ln(y) = b. Além disso, ln(x) + ln(y) = ln(x.y), donde a + b = ln(xy), logo exp(a+b) =

exp(ln(xy)) = x.y

Note que, como ln (e) = 1, então, temos que exp (1) = e.

21

Além disso, a função exponencial tem uma importante característica a ser destacada,

a saber, [exp(x)]’= exp(x). É comum denotarmos isto como

Isto parece claro, pois da definição temos que x = ln(y) e, daí, diferenciando ambos

os lados da igualdade encontramos

Desta operação resulta que 1 = [Dx(y)]/y, donde

Isto posto, pode-se concluir que . Segue deste fato

também que

2. Passo 2

1. (UERJ) Durante um período de oito horas, a quantidade de frutas na barraca de um

feirante se reduz a cada hora, do seguinte modo:

Nas t primeiras horas diminuem sempre 20% em relação ao número de frutas da hora anterior;

Nas 8 – t horas restantes diminuem 10% em relação ao número de frutas da hora anterior.

Calcular:

a) O percentual do número de frutas que resta ao final das duas primeiras horas de venda,

supondo t=2;

Resposta: Vamos chamar de Q a quantidade inicial de frutas

Depois de 1 hora a quantidade fica:

Q – 0,20Q = Q(1-020)

Depois de 2 horas a quantidade será:

Q(1-020) – 0,20Q(1-020) = Q(1-0,20)²

Assim, depois de t horas a quantidade será:

F(t) = Q(1-0,20)^t = Q * 0,80^t

Assim, depois de 2 horas a quantidade de frutas fica:

F(t) = Q * 0,80² = 0,64Q

22

Como a quantidade inicial era Q, logo depois de 2 horas resta 0,64 de Q ou 64% da

quantidade inicial.

b) O valor de t, admitindo que, ao final do período de oito horas, há, na barraca, 32% das

frutas que havia, inicialmente. Considere log2 – 0,30 e log3 – 0,48.

Resposta: Seja um determinado valor de t que vamos chamar de k. Assim, depois de k horas a

quantidade de frutas será:

F(k) = Q0,80^k

Porém, depois de k horas a quantidade diminui num ritmo de 10% , ou seja:

F(t) = [Q * 0,80^k] * (1 - 0,10)^(t - k) = Q0,80^k0,90^(t-k)

Para t=8, o valor de F(t) = 0,32Q, ou seja:

Q0,80^k0,9^(8 - k) = 0,32Q

0,80^k * 0,9^(8 - k) = 0,32

Tomando logaritmos de ambos os membros:

klog0,8 + (8 - k) log(0,9) = log(0,32)

0,8 = 8/10=2^3/10

0,9=9/10=3^2/10

0,32 = 32/100=2^5/100

log0,8 = 3log2 - log10 = 3 * 0,30 - 1 = -0,10

log0,9 = 2log3 - log10 = 2 * 048 – 1 = -0,04

log0,32 = 5log2 - 2 = 1,50 - 2 = 0,50

-0,10k - (8 - k)* 0,04 = -0,50

-0,10k - 0,32 + 0,04k = -0,50

-0,06k = -0,18

k = -0,18 / -0,06 = 3 ---t = 3

23

2. (ANGLO) Num certo mês dois jornais circulam com 100.000 e 400.000

exemplares diários, respectivamente. Se, a partir daí, a circulação do primeiro jornal cresce

8,80 % cada mês e a do segundo decresce 15% cada mês, qual o número mínimo de meses

necessários para que a circulação do primeiro jornal supere a do segundo? (use log2=0,301).

Resposta: Usando as taxas mensais:

100000 * (1,088) ^ t = 400000 * (0,85) ^ t

1,088 ^ t = 400000 * (0,85) ^ t / 100000

1,088 ^ t = 4 * 0,85 ^ t

1,088 ^ t = 2 ² * 0,85 ^ t

log(1,088 ^ t) = log(2 ² * 0,85 ^ t)

t * log1,088 = 2 * log2 + t * log0,85

t * (log1,088 – log0,85) = 2 * log2

t * log (1,088 / 0,85) = 2 * 0,301

t * log1,28 = 0,602

t * 0,107 = 0,602

t = 0,602 / 0,107

t = 5,626

t~= 6 meses

24

ETAPA 3

1. PASSO 1

Por volta do século XVI, os matemáticos afirmavam não existir raiz quadrada de um

número negativo, pois um número negativo não é quadrado de nenhum número, pensamento

que foi pregado por Bhaskara, desde o século XII.

Em 1545, o matemático italiano Girolamo Cardano propôs no capítulo 37 de Ars

Magna o seguinte problema: “Dividia 10 em duas partes de modo que o seu produto seja 40”.

Ele mostrou que e eram as soluções do problema. Entretanto,

apesar de Cardano ter acrescentado que estas expressões eram sofísticas e sua manipulação

era tão sutil quanto inútil, creditamos a ele a honra de ter sido o primeiro matemático fazer

operações com os números complexos.

É de se acrescentar que os matemáticos da época procuravam maneiras de se evitar o

uso dos números complexos. As primeiras tentativas bem sucedidas de caracterização destes

novos números foram do engenheiro italiano Rafael Bombelli, que revelou regras para se

operar com a unidade imaginária, reconheceu a existência dos números complexos e

demonstrou a insuficiência dos números reais:

Até o século XVIII muitos matemáticos trabalharam com os números complexos. No

início do século XIX, Wessel e Argand, foram os primeiros a compreender que os complexos

não têm nada de “irreal”, são apenas os pontos (ou vetores) do plano, que se somam através

da composição de translações, e que se multiplicam através da composição de rotações e

dilatações.

Albert Girard introduziu a notação e Gauss, o uso da expressão “números

complexos”. Os termos reais e imaginários foram empregados por Descartes em 1637. Nomes

como números sofísticos, impossíveis, imaginários foram atribuídos aos números complexos.

Há de se falar de Leonhard Euler, que dominou com excelência o campo complexo,

investigando o fechamento do conjunto sob operações algébricas e transcendentes.

25

Todos estes estudos contribuíram para o entendimento que temos hoje de números

complexos. Sabemos, em linguagem atual, que os números reais estão contidos no conjunto

dos números complexos, sendo este escrito na forma , onde a e b são números

reais e , os números reais podem ser colocados na forma .

ALGUMAS APLICAÇÕES

1 ) Fractais

Nas últimas décadas Benoit Mandelbrot investigou entidades geométricas com

propriedades especiais e características, denominadas fractais. Nesta geometria são

encontradas formas de descrever os vários fenômenos na natureza, onde não podem ser

utilizadas as geometrias tradicionais. Ainda antes de Mandelbrot, já havia questionamentos

sobre esta deficiência na matemática, questionada por estudiosos como Galileu e Descartes,

que não aceitavam as pouquíssimas e pobres formalizações dos fenômenos naturais que não

podiam ser descritos por Euclides em seus Elementos.

Um fractal é uma forma cujas partes se assemelham ao seu todo sob alguns aspectos.

As nuvens, por exemplo, parecem muito irregulares. Em algum momento da vida,

provavelmente as observamos e vimos como suas formas diversificadas são capazes de

assemelharem-se com muitos objetos comuns, animais e pessoas. As nuvens são fractais

como muitos outros objetos na natureza. Esta propriedade é a auto-similaridades, em que um

objeto tem partes que apresentam as mesmas propriedades em várias escalas, como melhor

observamos no caso do triângulo Siepinski:

2 ) Geometria

As aplicações geométricas das operações entre os números complexos não são

exploradas, o que não leva o aprendiz a interpretar as operações como transformações

geométricas.

26

Tratar do significado geométrico dos números complexos beneficia a riqueza da

visualização e elimina do aluno a visão demasiado formal e algebrizante do conjunto

complexo. Um número complexo como um par ordenado de números reais (a,b), e este por

sua vez, pode ser visto como um ponto P no plano cartesiano, isto é P(a,b), ou como um vetor

determinado pelo segmento orientado , onde o seu módulo é a distância de P até a

origem, enquanto que o conjugado de a+bi é o simétrico de P em relação ao eixo das

abscissas, como mostra a figura.

Outro exemplo é a representação geométrica da soma dos complexos (a+bi) + (c+di)

= (a+c) + (b+d) * i traduzida na soma vetorial (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d), podendo ser

visualizada como rotações no plano, como mostra o paralelogramo a seguir:

As raízes de uma equação binomial, onde é um número complexo, é os vértices um

polígono regular de lados. Por exemplo, as raízes de representam no plano complexo um

triângulo eqüilátero inscrito, como mostra a figura.

27

2. Passo 2

Resolver as seguintes situações-problema:

1. Expresse o texto por meio de uma relação. Dê o domínio e a imagem e uma

fórmula, quando possível: Uma costureira recebe R$ 2,00 por blusa que costura. O seu salário

mensal s está determinado pelo número de blusas n que costura. Ela consegue costurar um

mínimo de 20 e um máximo de 30 blusas por mês.

Resposta: Domínio: n natural, 20 <= n <= 30

Imagem: y natural, 40 <= y <= 60

f(n) = 2,00 * n

f(n) = 2,00 * 20 = 40,00 e f(n) = 2,00 * 30 = 60,00

Assim, Domínio = [ 20 ; 30 ] e Imagem = [ 40,00 ; 60,00 ]

2. Sabe-se que o lucro total de uma empresa de cosméticos é dado pela fórmula L =

R – C, em que L é o lucro total, R é a receita total e C é o custo total da produção. Numa

empresa que produziu x unidades, verificou-se que R(x) = 6000x – x² e C(x) = x² - 2000x.

Nessas condições, qual deve ser a produção x para que o lucro da empresa seja máximo? Qual

o valor mínimo do custo?

Resposta: L(x) = R(x) – C(x)

L(x) = 6000x – x² - x² + 2000x --- L(x) = 8000x – 2x²

Lucro, coeficiente de x² < 0, possui ponto máximo.

28

L(x) = 8000x – 2x² --- x = -b / 2 * a = -8000 / 2 * -2 = -8000 / -4 = 2000

O lucro será máximo para uma produção de 2000 unidades.

C(x) = x² - 2000x

Coeficiente de x² > 0 possui ponto mínimo.

C(x) = -b / 2 * a = 2000 / 2 * (1) = 2000 / 2 = 1000

O valor mínimo do custo é de R$ 1.000,00

ETAPA 4

1. PASSO 1

GEOMETRIA ANALITICA

1 – Introdução

A Geometria Analítica é uma parte da Matemática, que através de processos

particulares, estabelece as relações existentes entre a Álgebra e a Geometria. Desse modo,

uma reta, uma circunferência ou uma figura podem ter suas propriedades estudadas através de

métodos algébricos.

Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII, e devem-se ao

filósofo e matemático francês René Descartes (1596 – 1650), inventor das coordenadas

cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representação numérica

de propriedades geométricas. No seu livro Discurso sobre o Método, escrito em 1637, aparece

à célebre frase em latim “Cogito ergo sum” , ou seja: “Penso, logo existo”.

1.1 – Coordenadas cartesianas na reta

Seja a reta r na Fig. abaixo e sobre ela tomemos um ponto O chamado origem.

Adotemos uma unidade de medida e suponhamos que os comprimentos medidos a partir de

O, sejam positivos à direita e negativos à esquerda.

29

O comprimento do segmento OU é igual a 1 u.c (u.c = unidade de comprimento). É

fácil concluir que existe uma correspondência um a um (correspondência biunívoca) entre o

conjunto dos pontos da reta e o conjunto R dos números reais. Os números são chamados

abscissas dos pontos. Assim, a abscissa do ponto A’ é -1, a abscissa da origem O é 0 (zero), a

abscissa do ponto A é 1, etc. A reta r é chamada eixo das abscissas.

1.2 – Coordenadas cartesianas no plano

Com o modo simples de se representar números numa reta, visto acima, podemos

estender a idéia para o plano, basta que para isto consideremos duas retas perpendiculares que

se interceptem num ponto O, que será a origem do sistema. Veja a Fig. a seguir:

Dizemos que a é a abscissa do ponto P e b é a ordenada do ponto P.

O eixo OX é denominado eixo das abscissas e o eixo OU é denominado eixo das ordenadas.

O ponto O(0,0) é a origem do sistema de coordenadas cartesianas.

Os sinais algébricos de a e b definem regiões do plano denominadas QUADRANTES.

No 1º quadrante, a e b são positivos, no 2º quadrante, a é negativo e b positivo, no 3º

quadrante, ambos são negativos e finalmente no 4º quadrante a é positivo e b negativo.

Observe que todos os pontos do eixo OX têm ordenadas nula e todos os pontos do eixo OU

tem abscissa nula. Assim, dizemos que a equação do eixo OX é y = 0 e a equação do eixo OU

é x = 0.

Os pontos do plano onde a = b, definem uma reta denominada bissetriz do 1º quadrante, cuja

equação evidentemente é y = x.

Já os pontos do plano onde a = -b (ou b = - a), ou seja, de coordenadas simétricas, definem

uma reta denominada bissetriz do 2º quadrante, cuja equação evidentemente é y = - x.

30

Os eixos OX e OU são denominados eixos coordenados.

Logo, a alternativa correta é a letra B.

2 – Fórmulas da distância entre dois pontos do plano cartesiano

Dados dois pontos do plano A(Xa,Ya) e B(Xb,Yb) , deduz-se facilmente usando o

teorema de Pitágoras a seguinte fórmula da distancia entre os pontos A e B:

Esta fórmula também pode ser escrita como: d2AB = (Xb – Xa)2 + (Yb – Ya)2, obtida da

anterior, elevando-se ao quadrado (quadrando-se) ambos os membros.

3 – Ponto médio de um segmento

Dado o segmento de reta AB, o ponto médio de AB é o ponto M AB tal que AM

= BM.  Nestas condições, dados os pontos A(x1 , y1) e B(x2 , y2) as coordenadas do ponto

médio M(xm , ym) serão dadas por:

4 – Baricentro de um triângulo

Sabemos da Geometria plana, que o baricentro de um triângulo ABC é o ponto de

encontro das 3 medianas. Sendo G o baricentro, temos que AG = 2.GM onde M é o ponto

médio do lado oposto ao vértice A (AM é uma das 3 medianas do triângulo). Nestas

condições, as coordenadas do baricentro G(xg , yg) do triângulo ABC onde A(xa , ya) , B(xb ,

yb) e C(xc , yc) é dado por :

Conclui-se, pois que as coordenadas do baricentro do triângulo ABC, são iguais às

médias aritméticas das coordenadas dos pontos A, B e C.31

Assim, por exemplo, o baricentro (também conhecido como centro de gravidade) do triângulo

ABC onde A(3,5), B(4, -1) e C(11, 8) será o ponto G(6,4). Verifique com o uso direto das

fórmulas.

5 – O uso do Determinante de terceira ordem na Geometria Analítica

5.1 – Área de um triângulo

Seja o triângulo ABC de vértices A(xa , ya) , B(xb , xc) e C(xc , yc). A área S desse

triângulo é dada por S = ½ . D onde D é o módulo do determinante formado pelas

coordenadas dos vértices A, B e C.

Temos, portanto:

A área S é normalmente expressa em u.a. (unidades de área)

Para o cálculo do determinante de terceira ordem, utilizamos à conhecida e prática regra de

Sarrus.

5.2 – Condição de alinhamento de três pontos

Três pontos estão alinhados se são colineares, isto é, se pertencem a uma mesma reta.

É óbvio que se os pontos A, B e C estão alinhados, então o triângulo ABC não existe, e

podemos, pois considerar que sua área é nula ( S = 0 ). Fazendo S = 0 na fórmula de área do

item 1.1, concluímos que a condição de alinhamento dos 3 pontos é que o determinante D seja

nulo, ou seja: D = 0.

6 – Equação geral da reta.

Seja r a reta que passa pelos pontos A(xa , ya) e B(xb , yb). Seja P(x , y) um ponto

qualquer desta reta . Pela condição de alinhamento de 3 pontos, podemos escrever:

32

Desenvolvendo o determinante acima obtemos:

(Ya – Yb) . x + (Xa – Xb) . y + (XaYb – XbYa) = 0 .

Fazendo Ya – Yb = a, Xa – Xb = b e XaYb – XbYa = c , decorre que todo ponto P(x,y)

pertencente à reta , deve verificar a equação : ax + by + c = 0, que é chamada equação geral

da reta r .

7 – Posição relativa de duas retas

Sabemos da Geometria que duas retas r e s no plano podem ser:

Paralelas: r s =

Concorrentes: r s = { P }, onde P é o ponto de interseção.

Coincidentes: r = s.

Dadas as retas r: ax + by + c = 0 e s: a’x + b’y + c’ = 0, temos os seguintes casos:

as retas são coincidentes.

as retas são paralelas.

as retas são concorrentes .

8 – Outras formas de equação da reta

Vimos na seção anterior a equação geral da reta, ou seja, ax + by + c = 0. Vamos

apresentar em seqüência, outras formas de expressar equações de retas no plano cartesiano:

8.1 – Equação reduzida da reta

Seja a reta r de equação geral ax + by + c = 0. Para achar a equação reduzida da reta,

basta tirar o valor de y, ou seja: y = (- a/b)x – c/b. Chamando - a/b = m e - c/b = n 33

obtemos y = mx + n que é a equação reduzida da reta de equação geral ax + by + c = 0. O

valor de m é o coeficiente angular e o valor de n é o coeficiente linear da reta. Observe que

na equação reduzida da reta, fazendo x = 0, obtemos y = n, ou seja, a reta r intercepta o eixo

dos y no ponto (0, n) de ordenada n.

Quanto ao coeficiente angular m, considere a reta r passando nos pontos A(x1, y1) e

B(x2, y2). Sendo y = mx + n a sua equação reduzida, podemos escrever:

y1 = mx1 + n e y2 = mx2 + n . 

Subtraindo estas equações membro a membro , obtemos y1 – y2 = m (x1 – x2) .  Logo, a

fórmula para o cálculo do coeficiente angular da reta que passa pelos dois pontos (x1 , y1) e (x2

, y2) é :

Se considerarmos que as medidas Y2 – Y1 e X2 – X1 são os catetos de um triângulo

retângulo, conforme figura abaixo pode concluir que o valor de m é numericamente igual à

tangente trigonométrica do ângulo . Podemos então escrever m = tg onde o ângulo é

denominado inclinação da reta. É o ângulo que a reta faz com o eixo dos x.

A tg como vimos é igual a m , e é chamada coeficiente angular da reta. Fica, portanto

bastante justificada a terminologia coeficiente angular para o coeficiente m. Observe que se

duas retas são paralelas, então elas possuem a mesma inclinação; logo, concluímos que os

seus coeficientes angulares são iguais.

9 - Equação segmentária da reta

Considere a reta representada na fig. a seguir:

34

Verificamos que a reta corta os eixos coordenados nos pontos (p,0) e (0,q). Sendo G(x,y) um

ponto genérico ou seja um ponto qualquer da reta, através da condição de alinhamento de 3

pontos, chegamos facilmente à equação segmentária da reta:

Nota: se p ou q for igual a zero, não existe a equação segmentária (Lembre-se: não existe

divisão por zero); portanto, retas que passam na origem não possuem equação segmentária.

10 - Equações paramétricas da reta

Quando um ponto qualquer P(x, y) de uma reta vem com suas coordenadas x e y

expressas em função de uma terceira variável t (denominada parâmetro), nós temos nesse

caso as equações paramétricas da reta.

x = f(t) onde f é uma função do 1º grau

y = g(t) onde g é uma função do 1º grau

Nestas condições, para se encontrar a equação geral da reta, basta se tirar o valor de t em uma

das equações e substituir na outra.

11 - Retas perpendiculares

Sabemos da Geometria Plana que duas retas são perpendiculares quando são concorrentes e

formam entre si um ângulo reto (90º). Sejam as retas r: y = mr x + nr e s: y = ms x + ns.

Nestas condições podemos escrever a seguinte relação entre os seus coeficientes angulares: ms

= - 1 / mr ou mr . ms = -1

Dizemos então que se duas retas são perpendiculares, o produto dos seus coeficientes

angulares é igual a -1.

12 - Ângulo formado por duas retas

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Sendo mr e ms os coeficientes angulares das retas r e s respectivamente, a tangente

do ângulo agudo formado pelas retas é dado por :

Notas: 1 - Ângulo agudo: ângulo cuja medida está entre 0 e 90º.

2 - Observe dois casos particulares da fórmula anterior, que merecem ser mencionados:

a) se as retas r e s, ao invés de serem concorrentes, fossem paralelas, o ângulo seria nulo e,

portanto tg = 0 (pois tg 0 = 0). Nestas condições, o denominador da fórmula teria que ser

nulo, o que resultaria em mr = ms, ou seja, os coeficientes angulares teriam que ser iguais. Já

vimos isto num texto anterior, mas é bom repetir: RETAS PARALELAS POSSUEM

COEFICIENTES ANGULARES IGUAIS.

b) se as retas r e s fossem além de concorrentes, PERPENDICULARES, teríamos = 90º.

Neste caso a tangente não existe ( não existe tg 90º, sabemos da Trigonometria); mas se

considerarmos uma situação limite de um ângulo tão próximo de 90º quanto se queira, sem,

entretanto nunca se igualar a 90º, a tangente do ângulo será um número cada vez maior,

tendendo ao infinito. Ora, para que o valor de uma fração seja um número cada vez maior,

tendendo ao infinito, o seu denominador deve ser um número infinitamente pequeno,

tendendo a zero. Nestas condições, o denominador da fórmula anterior 1+mr . ms seria um

número tão próximo de zero quanto quiséssemos e no limite teríamos 1 + mr . ms = 0.

Ora, se 1 + mr . ms = 0, podemos escrever que mr . ms = -1, que é a condição

necessária e suficiente para que as retas sejam perpendiculares, conforme já vimos num texto

anterior publicado nesta página. Assim, é sempre bom lembrar: RETAS

PERPENDICULARES POSSUEM COEFICIENTES ANGULARES QUE

MULTIPLICADOS É IGUAL A MENOS UM.

13 - Estudo simplificado da circunferência

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Considere a circunferência representada no plano cartesiano, conforme abaixo, cujo

centro é o ponto C(xo , yo), cujo raio é igual a R, sendo P(x, y) um ponto qualquer pertencente

à circunferência.

Podemos escrever: PC = R e pela fórmula de distancia entre dois pontos, já vista em outro

texto publicado nesta página, teremos: (x - x0)2 + (y - y0)2 = R2, que é conhecida como

equação reduzida da circunferência de centro C(x0,y0) raio R. Assim, por exemplo, a

equação reduzida da circunferência de raio 5 e centro no ponto C(2,4) é dada por:

(x - 2)2 + (y - 4)2 = 25.

Caso particular: Se o centro da circunferência coincidir com a origem do sistema de

coordenadas cartesianas, ou seja, o ponto O(0,0), a equação reduzida da circunferência fica:

x2 + y2 = R2.

Para obter a Equação Geral da circunferência, basta desenvolver a equação

reduzida. Temos: x2 - 2x . xo + xo2 + y2 - 2y . yo + yo

2 - R2 = 0. Fazendo -2xo = D, -2yo = E e

xo2 + yo

2 - R2 = F, podemos escrever a equação x2 + y2 + D x + E y + F = 0 Equação geral da

circunferência). Então, concluímos que quando os coeficientes de x² e y² forem unitários, para

determinar as coordenadas do centro da circunferência, basta achar a metade dos coeficientes

de x e de y, com os sinais trocados, ou seja, x0 = - D / 2 e y0 = - E / 2. Se os coeficientes de x²

e y² não forem unitários, temos que dividir a equação pelo coeficiente de x² que é sempre

igual ao coeficiente de y², no caso da circunferência.

Para o cálculo do raio R, observemos que F = xo2 + yo

2 - R2.

Mas, xo = - D / 2 e yo = - E /2. Logo, podemos escrever a seguinte equação para o cálculo do

raio R a partir da equação geral da circunferência:

Cuidado! Para que a equação x2 + y2 + D x + E y + F = 0, possa representar uma

circunferência, tem de ser atendida a condição D2 + E2 - 4.F 0, pois não existe raiz 37

quadrada real de número negativo . Observe que se D2 + E2 - 4.F = 0 a equação x2 + y2 + D x

+ E y + F = 0 representa apenas um ponto do plano cartesiano! Por exemplo: x2 + y2 + 6x - 8y

+ 25 = 0 a equação de um ponto! Verifique.

Qual a sua interpretação para o caso D2 + E2 - 4F ser negativo? Ora, como não

existe raiz quadrada real de número negativo, conclui-se facilmente que a circunferência não

existe neste caso!

Exemplo: Dada a equação x2 + y2 - 6x + 8y = 0, temos: D = - 6 , E = 8 e F = 0.

Logo, pelas igualdades anteriores, podemos determinar as coordenadas do centro e o raio

como segue: xo = - (-6) / 2 = 3; yo = - 8 / 2 = -4 e R = 5 (faça as contas). 

Portanto, o centro é o ponto C(3, -4) e o raio é igual a 5 u.c (u.c = unidade de comprimento).

2. PASSO 2

Resolver as seguintes situações problemas:

1. Sendo R(q) = q² - 7q = 8 a função da receita de uma empresa de brinquedos,

encontre algebricamente a função derivada de R em relação à quantidade de brinquedos

vendidos. Qual será a receita se a quantidade de brinquedos vendidos ultrapassarem 1.000

unidades?

Resposta:

R(q) = q² - 7q = 8

R(q) = q² -7q - 8

A função derivada de R :

R’(q) = 2q – 7

A receita para a quantidade de 1.000 unidades de brinquedos vendidos:

R(q) = q² - 7q - 8

R(1000) = 1000² - 7 * (1000) - 8

R(1000) = 1000000 – 7000 - 8

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R(1000) = R$ 992.992,00

2. Uma indústria tem seu custo total representado pela função C(q) = q² - 6q + 8,

onde q representa a quantidade de tijolos produzidos e C(q) o custo total em reais. Para

obtermos a equação do custo marginal, devemos obter a derivada dessa função. Dessa forma:

a) Encontrar algebricamente, a função derivada do custo marginal.

Resposta:

C(q) = q² - 6q + 8

C’(q) = 2q – 6

b) Determinar a equação da reta tangente à curva de C(q) = q² - 6q + 8 no ponto q = 1,

construindo seu gráfico.

Resposta:

C’(q) = 2q – 6

C’(1) = 2 * 1 – 6

C’(1) = 2 – 6 = -4, logo C’(1) = -4

Para q = 1, temos:

C(1) = (1)² - 6 * (1) + 8 = 1 – 6 + 8 = 3, portanto o ponto (1;3)

Para calcular a equação da reta tangente à curva:

y – yo = f’(xo) * (x – xo)

Para : yo = 3 , xo =1 e f’(xo) = -4

y – 3 = -4 * (x – 1)

y – 3 = -4x + 4

y = -4x + 4 + 3

y = -4x + 7

A equação da reta tangente à curva C(q) = q² - 6q + 8, no ponto P(1;3), é y = -4x + 7

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3. PASSO 3

DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA

Sempre que temos uma função escrita na forma y = f(x), dizemos que y é uma

função explícita de x, pois podemos isolar a variável dependente de um lado e a expressão da

função do outro. Porém nem sempre isso é possível ou conveniente e, caso isso ocorra,

dizemos que y é uma função implícita de x. Vejamos, por exemplo, a equação y = 2x² - 3.

Observamos que y é uma função explícita de x, pois podemos escrever y = f (x), onde f (x) =

2x² - 3. Entretanto, a equação 4x² - 2y = 6 define a mesma função, pois isolando y obtemos

y = 2x² - 3. Quando escrita na forma 4x² - 2y = 6, dizemos que y é uma função implícita de x.

Observação: É necessário tomar cuidado, pois muitas vezes uma equação em x e y pode

definir mais de uma função implícita.

EXEMPLOS:

1) Mostre que a reta tangente à circunferência dada por x² + y² = r², em um ponto qualquer

sobre ela, é perpendicular à reta que passa por este ponto e a origem (reta que contém o raio

este ponto).

Solução:

Seja um ponto qualquer sobre a circunferência. Como o coeficiente angular da reta

tangente é dado pela derivada da função no ponto, então, derivando a equação da

circunferência em relação à x, temos:

Assim, o coeficiente angular da reta tangente à circunferência x² + y² = r² no ponto é

dado por .

Por outro lado, geometricamente é fácil ver que o coeficiente angular da reta que contém o

raio passando por , é dado por

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Assim, fazendo o produto, temos:

o que implica que a reta que contém o raio passando por

é perpendicular à reta tangente à curva neste ponto. Como tomamos um ponto

qualquer sobre a circunferência, o resultado vale para todos os pontos sobre ela. Vejamos o

gráfico:

2) Quando o preço unitário de um certo produto é p reais, o fabricante tem interesse em

produzir x mil unidades, onde a oferta e o preço estão relacionados pela equação:

Qual é a taxa de variação da oferta quando o preço unitário é R$ 9,00 e está aumentando à

taxa de 20 centavos por semana?

Solução:

Sabemos que para p = 9, dp/dt = 0,20. Queremos saber qual o valor de dx/dt.

Inicialmente observamos que para p = 9, temos:

já que x = – 8 não tem significado físico para o problema.

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Agora, derivando implicitamente os dois membros da equação de oferta em relação ao tempo,

obtemos:

Fazendo x = 14, p = 9 e dp/dt = 0,20 nesta equação, obtemos:

Isolando dx/dt e fazendo os cálculos necessários, encontramos

Como a oferta é dada em milhares de unidades, concluímos que a oferta está aumentando à

taxa de 206 unidades por semana.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

< http://www.sbem.com.br/files/viii/pdf/15/PA07.pdf>. Acesso em 15 nov. 2010.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática. Volume único. 1° Ed. São Paulo: Ática, 2005.

< http://www.obm.org.br/opencms/revista_eureka/>. Acesso em 15 nov. 2010.

ROSA, Mário Servelli. Números Complexos: Uma abordagem histórica para aquisição do

conceito. Dissertação (Mestrado em Ensino de Matemática). São Paulo: Pontifícia

Universidade Católica, 1998.

BOYER, Carl B.(1996) História da Matemática: 2º edição. São Paulo: Edgard Blucher.

DANTE, L.R.(2004). Matemática (Ensino Médio), Vol.2. São Paulo: Ática.

MAOR, Eli.(2003). e:A história de um número. Rio de Janeiro:Record.

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Jornal A tribuna – Vitória/ ES

Jornal A Gazeta – Vitória – ES

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