matemática aplicada a computação

autor

ANDRÉ LUÍS CORTE BROCHI

1ª edição

SESES

rio de janeiro 2016

MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO

Conselho editorial regiane burger, roberto paes e paola gil de almeida

Autor do original andré luís corte brochi

Projeto editorial roberto paes

Coordenação de produção paola gil de almeida, paula r. de a. machado e aline

karina rabello

Projeto gráfico paulo vitor bastos

Diagramação bfs media

Revisão linguística bfs media

Revisão de conteúdo jonas abreu

Imagem de capa shahril khmd | shutterstock.com

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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (cip)

B863m Brochi, André Luís Corte

Matemática aplicada a computação. / André Luís Corte Brochi

Rio de Janeiro: SESES, 2016.

200 p: il.

isbn: 978-85-5548-365-3

1. Matemática. 2. Computação - Matemática. I. SESES. II. Estácio.

cdd 510

Diretoria de Ensino — Fábrica de Conhecimento

Rua do Bispo, 83, bloco F, Campus João Uchôa

Rio Comprido — Rio de Janeiro — rj — cep 20261-063

Sumário

Prefácio 7

1. Teoria dos conjuntos 9

1.1 Notação e propriedades de conjuntos 11

1.2 Tipos especiais de conjuntos e subconjuntos 12

1.3 Operações elementares em conjuntos 15

1.3.1 União 16

1.3.2 Intersecção 16

1.4 Diferença 17

1.4.1 Complementar 18

1.5 Aplicações das operações com conjuntos e princípio da

inclusão e exclusão 19

1.6 Conjuntos numéricos 25

1.7 Intervalos numéricos 28

1.8 Valor absoluto de um número 30

2. Contagem 39

2.1 Princípio das casas de pombos 40

2.2 Princípio da multiplicação e princípio da adição 42

2.3 Permutação, arranjo e combinação. 45

3. Relações 61

3.1 Produto cartesiano e pares ordenados 63

3.2 Relações binárias. Propriedades e fechos 66

3.2.1 Propriedades das relações 70

3.3 Ordens parciais e relações de equivalência 76

4. Funções 85

4.1 Definição 87

4.2 Funções sobrejetoras, injetoras e bijetoras 93

4.3 Função inversa 97

4.4 Composição de funções 99

4.5 Funções do primeiro e do segundo graus e seus gráficos 100

4.6 Funções polinomiais 113

5. Cálculo proposicional 121

5.1 Raciocínio e lógica: linguagem natural e linguagem simbólica 123

5.2 Proposições simples e compostas 127

5.3 Tabelas-verdade e conectivos 130

5.3.1 Negação 133

5.3.2 Conjunção 134

5.3.3 Disjunção (ou Disjunção Inclusiva ou Soma Lógica) 135

5.3.4 Disjunção Exclusiva 136

5.3.5 Condicional 137

5.3.6 Bicondicional 138

5.3.7 Ordem de precedência dos conectivos 139

5.4 Tautologia, contradição e contingência. 140

5.5 Equivalências lógicas 142

5.6 Proposições associadas a um condicional: argumentos válidos

e regras de inferência 143

5.6.1 Leis de equivalência 146

5.7 Álgebra de Boole aplicada à construção de tabelas-verdade 148

6. Cálculo de predicados e métodos de demonstração 157

6.1 Predicados, conjunto universo e conjunto verdade 158

6.2 Quantificadores 160

6.3 Métodos de demonstração 166

6.3.1 Prova direta 167

6.3.2 Demonstração por redução ao absurdo 169

6.3.3 Demonstração da forma condicional 172

6.3.4 Demonstração por indução 173

7

Prefácio

Prezados(as) alunos(as),

Sabemos que não são raros os questionamentos acerca da aplicabilidade

ou utilidade prática do que se aprende em Matemática. Talvez pelo fato de que

seus conteúdos, muitas vezes, são apresentados de forma extremamente teóri-

ca, como um conjunto de regras, teoremas e algoritmos que apenas devem ser

seguidos, sem uma preocupação adequada com a construção de uma lógica,

por parte do aluno, para que ele realmente compreenda o que está fazendo.

Tanto os teoremas, como os algoritmos e regras, que são apresentados no

desenvolvimento da Matemática, têm importância fundamental, pois ajudam

na interpretação e resolução de problemas de ordem prática. As tão temidas

fórmulas matemáticas (pelo menos em sua maioria) traduzem um raciocínio

lógico que, geralmente, não é difícil de desenvolver. A não compreensão de tais

fórmulas e a dificuldade em lidar com a linguagem matemática é que tornam o

trabalho um tanto traumático. Mas, se trabalhada de forma adequada, a Mate-

mática torna-se extremamente útil em nossas vidas pessoal e profissional.

E a compreensão dessa linguagem própria da Matemática, que para muitos

é um dos principais desafios a ser superado no aprendizado desta ciência, é

fundamental para que se possa entender melhor os processos teóricos e práti-

cos relativos ao desenvolvimento do raciocínio matemático. Você, certamente,

chegará ao ponto em que “traduzirá” problemas, escritos na linguagem cor-

rente, para a “linguagem” matemática. Essa transição da descrição do proble-

ma para sua representação utilizando símbolos matemáticos é, talvez, um dos

procedimentos mais difíceis para a maioria dos estudantes. Mas, com este li-

vro, procuramos desenvolver os conteúdos sempre acompanhados de muitos

exemplos para que esse processo seja o menos “traumático” possível.

No primeiro capítulo, estudaremos os conceitos básicos referentes aos con-

juntos: suas propriedades, operações, representações, características e aplica-

ções.

No capítulo 2, serão abordados processos e técnicas de contagem, que são

assuntos pertencentes à parte da Matemática denominada Análise Combina-

tória.

No terceiro capítulo, começamos o estudo das relações matemáticas (que

também envolvem os conjuntos estudados no primeiro capítulo). Relacionar

elementos de dois conjuntos é um procedimento útil na resolução de diversos

problemas e, principalmente, constitui-se como base ao estudo das funções

matemáticas, que é o assunto principal do capítulo 4. As funções matemáticas

são de fundamental importância nas aplicações das mais diversas áreas do co-

nhecimento. Elas que nos permitem detalhar como ocorrem as relações entre

variáveis dos fenômenos que estudamos.

Bons estudos!

Teoria dos conjuntos

1

10 • capítulo 1

1. Teoria dos conjuntos

Iniciaremos nossos estudos com um conceito primitivo (e muito simples!) que

é o de conjuntos. O desenvolvimento da Matemática passa, para não dizer que

começa, com o surgimento da ideia de conjuntos. Nosso sistema de numera-

ção, por exemplo, surgiu a partir da relação entre quantidades de conjuntos

diferentes. Tudo leva a crer que, há milhares de anos, os pastores de ovelhas,

para verificar se não estava faltando nenhum animal em seu rebanho, relacio-

navam cada ovelha com uma pedra. Dessa forma, relacionavam cada um dos

elementos do conjunto de “ovelhas” com elementos do conjunto de “pedras”.

A inclusão de uma nova ovelha no conjunto de ovelhas determinava que uma

nova pedra fosse também incluída no conjunto de “pedras”

A partir desse tipo de relação, e após milhares de anos, surgiu o sistema de

numeração indo-arábico, que utilizamos até os dias de atuais e que são a base

de diversos assuntos que envolvem a matemática e o raciocínio lógico. Além

disso, a teoria de conjuntos tem aplicações diretas em diversos assuntos rela-

cionados à Matemática, como, por exemplo, no estudo de funções, na resolu-

ção de problemas lógicos e no cálculo de probabilidades.

Neste capítulo, iremos abordar assuntos de grande importância e que não

apresentam alto grau de dificuldade de compreensão. São, em geral, conceitos

básicos e de fácil entendimento. Mas, nem por isso, são menos importantes

que outros. Aliás, acreditamos que seja o contrário: pela sua importância na

compreensão da linguagem matemática, pela utilização em diversos assuntos

da própria matemática e pela variedade de aplicações diretas que tem na reso-

lução de problemas, os assuntos aqui tratados serão de fundamental importân-

cia para o bom entendimento dos assuntos abordados nas demais unidades.

OBJETIVOS

• Utilizar e estar familiarizado com as operações elementares da teoria de conjuntos;

• Resolver problemas lógicos com a utilização de diagramas;

• Reconhecer as relações de pertinência e contingência dos conjuntos;

• Identificar diferentes conjuntos numéricos e suas propriedades;

• Compreender e utilizar o conceito de valor absoluto de um número.

capítulo 1 • 11

1.1 Notação e propriedades de conjuntos

O conceito de conjunto, um dos principais e mais utilizados conceitos da Mate-

mática, é primitivo e tem sentido de coleção ou totalidade dos elementos. Pode-

mos citar, por exemplo, o conjunto de disciplinas obrigatórias de um curso de

graduação. Cada disciplina é chamada de elemento desse conjunto.

Para representar matematicamente os conjuntos, utilizamos letras maiús-

culas do nosso alfabeto: A, B, C, ... . Já seus elementos são reprensentados por

letras minúsculas: a, b, c, ... . Entre os elementos e os conjuntos há uma relação

de pertinência. Se a é um elemento do conjunto A, então dizemos que “o ele-

mento a pertence ao conjunto A”, ou simplesmente, “a pertence a A”. Na sim-

bologia matemática, escrevemos:

a ∈ A.

No caso de um elemento, por exemplo, b não pertencente a esse conjunto

A, escrevemos:

a ∉ A.

A representação de um conjunto pode ocorrer de três formas diferentes,

como veremos a seguir:

I. Nomeando seus elementos entre chaves e separados por vírgulas.

Como exemplo, considere o conjunto S dos dias da semana. Podemos repre-

sentá-lo na forma:

S = {domingo, segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado}.

II. Descrevendo um propriedade que caracteriza seus elementos. Nesse

caso, o conjunto S acima pode ser indicado na forma:

S = {x | x é um dia da semana}.

A “leitura” que podemos fazer da linha acima é “o conjunto S é formado por

todo elemento x tal que x é um dia da semana”.

III. Usando o diagrama de Venn, que é uma forma gráfica de representa-

ção de conjuntos e bastante útil na resolução de problemas e representações de

operações entre conjuntos. O conjunto S dos dias da semana pode, então, ser

representado por diagrama como a seguir:

12 • capítulo 1

S domingo segundaterça quarta quinta sexta sábado

A indicação do número de elementos de um conjunto S pode ser feita utili-

zando-se a notação n(S). No caso do conjunto S dos dias da semana que acaba-

mos de ver, temos n(S) = 5.

1.2 Tipos especiais de conjuntos e subconjuntos

Criada pelo matemático russo Georg Cantor (1845–1918), a “Teoria dos Conjun-

tos” serve de base para fundamentar diversos conteúdos matemáticos. Vários

problemas lógicos podem ser modelados através dos conceitos, representações

e operações de conjuntos. Temos o hábito de raciocinar através da utilização da

ideia de conjuntos.

Uma linha de produção industrial, por exemplo, é composta por diversos

setores que desempenham funções diferentes, mas que pertencem ao mesmo

conjunto. Você mesmo pode ser considerado um elemento do conjunto de pes-

soas que habitam a cidade em que você reside. Os outros habitantes (elemen-

tos) são pessoas que possuem pelo menos uma característica comum a você (re-

sidem na mesma cidade), mas diferem-se por não compartilharem exatamente

as mesmas características. Há quem tenha o mesmo sexo, a mesma idade ou o

mesmo emprego que você, mas nem todas as características são coincidentes.

Quando você deseja realizar uma pesquisa na internet através de um site de

busca, você digita uma palavra-chave relacionada ao assunto. Por exemplo, con-

sidere uma pesquisa sobre “teoria dos conjuntos”. O site apresentará, dentre

o universo de sites cadastrados, aqueles que têm relação com a palavra-chave

digitada. Os sites apresentados como resultado da busca, constituem um con-

junto. Depois, você pode selecionar somente aqueles sites indicados pelo seu

antivírus como seguros. Daí, um novo conjunto, que é subconjunto do anterior.

Definimos com subconjunto de um conjunto A, o conjunto formado so-

mente por elementos que pertencem a A. Veja o exemplo seguinte.

capítulo 1 • 13

EXEMPLOExemplo 1.1

Seja A = {1,2,3,4,5,6,7}. Podemos considerar o conjunto B = {2,4,6} como um subconjun-

to de A. Nesse caso, dizemos que “A contém B” (A ⊃ B) ou que “B está contido em A” (B ⊂ A).

Se um conjunto B está contido em A (B ⊂ A), dizemos que se x ∈ B, então x ∈ A. Pode-

mos representar essa relação também através de diagramas. Veja.

B A

B ⊂ A ou A ⊃ B

Os símbolos ∈ (“pertence a”) e ∉ (“não pertence a”), que vimos na seção anterior, somen-

te devem ser utilizados quando se deseja indicar a relação existente entre um elemento e um

conjunto. Já os símbolos ⊂ (“está contido”) e ⊄ (“não está contido”) são utilizados para indicar

a relação existente entre dois conjuntos. Por exemplo, considere o conjunto A = {a, b, c, d}

e os seus subconjuntos B = {a, b} e C = {b}. A partir deles podemos, por exemplo, escrever:

• a ∈ A;

• a ∈ B;

• a ∉ A;

• b ∈ C;

• {b} ⊂ C;

• B ⊂ A;

• C ⊂ B ⊂ A;

• ∅ ⊂ A.

Destacamos que todo conjunto pode ser considerado um subconjunto de si mesmo, ou

seja, qualquer que seja o conjunto A, temos A ⊂ A ou A ⊃ A.

Quando um conjunto não possui nenhum elemento ele é denominado conjunto vazio e

pode ser representado por { } ou ∅.

14 • capítulo 1

Se um conjunto V é vazio, podemos representá-lo por V = { } ou V = ∅. Tome certo

cuidado, pois, se você escrever V = {∅} a representação é de um conjunto formado por um

elemento que é o símbolo entre chaves. Portanto, deixa de ser um conjunto vazio.

Exemplo 1.2

Alguns exemplos de conjuntos vazios são apresentados a seguir:

• A = {x | x é um dia semana começado com letra “r”}

• B = {y ∈ R | x2 = 1 }

• C = {números primos pares maiores que 2}

Um conjunto unitário é aquele que possui apenas um elemento.

Para um conjunto genérico A, temos também o chamado conjunto das partes de A, que

é o conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A. Veja o exemplo a seguir:

Exemplo 1.3

Dado o conjunto A = {2, 3, 4}, o conjunto das partes de A, que denotaremos por P(A) é

dado por:

P A( ) = ∅ { } { } { } { } { } { } { }{ }, , , , , , , , , , , ,2 3 4 2 3 2 4 3 4 2 3 4

Observe que o conjunto vazio é um dos elementos do conjunto das partes de A. Vale

também observar que os elementos de um conjunto das partes também são conjuntos. En-

tão, nesse caso, podemos, por exemplo, utilizar as relações de pertinência:

∅∈ ( ) { }∈ ( ) { }∈ ( )P A P A e P A, , ,2 2 3 4

Um conjunto é classifica como conjunto finito quando possui uma quantidade limitada

de elementos. Veja, a seguir, alguns exemplos de conjuntos finitos e diferentes formas de

repreentá-los.

Exemplo 1.4

a) Conjunto das letras vogais: A = {a, e, i, o, u}.

b) Conjuntos dos números primos menores que 20: B = {2, 3, 5 , 7, 11 , 13, 19}.

c) Conjunto dos números ímpares menores que 50: C = {1, 3, 5, 7, ... , 49}.

capítulo 1 • 15

Note, no caso apresentado no item (c), que, como há uma grande quantidade de elemen-

tos no conjunto, podemos colocar apenas os seus primeiros elementos, até que fique evidente

a propriedade que os define e, em seguida, colocamos reticências e o último dos elementos.

Um conjunto infinito é aquele que possui uma quantidade ilimitada de elementos. Veja

alguns exemplos a seguir.

Exemplo 1.5

a) Conjunto de todos os números pares positivos: D = {2, 4 , 6, 8, ...}

b) Conjunto dos números naturais: N = {0, 1, 2, 3, 4. ...}

O conjunto apresentado no item (b) é um tipo de conjunto numérico que será estudado

mais adiante. Também veremos outros tipos e outras formas de representação de conjun-

tos infinitos.

Dizemos que dois (ou mais conjuntos) são iguais quando possuem exatamente os mes-

mos elementos. Veja o exemplo a seguir.

Exemplo 1.6

Considere os seguintes conjuntos:

• A = {2, 3, 4, 5, 6}

• B = {6, 5, 4, 3, 2}

• C = {2, 3, 4, 5, 6, ...}

Podemos afirmar que os conjuntos A e B são iguais, pois possuem os mesmos elemen-

tos. O fato de eles estarem em ordens diferentes não nos impede de concluir pela igualdade

entre os conjuntos. Costumamos ordenar os números (ou letras, quando for o caso) por uma

questão apenas de organização. Mas, quando alteramos a ordem dos elementos de um con-

junto, este continua sendo o mesmo.

Com relação ao conjunto C não podemos dizer que ele é igual aos conjuntos A e B, pois

ele possui outros elementos que não pertencem a estes dois últimos. O uso das reticências

nos faz concluir, inclusive, que ele é um conjunto com infinitos elementos.

1.3 Operações elementares em conjuntos

Veremos, a seguir, as operações que podemos realizar com os conjuntos. Tais

operações serão úteis na resolução de alguns problemas lógicos.

16 • capítulo 1

1.3.1 União

Dados dois conuntos A e B, a sua união, denotada por “A ∪ B” é um conjunto

formado por todo elemento que pertence a A ou a B ou a ambos.

A B

A ∪ B

Utilizando a notação de conjuntos, podemos definir a união como:

A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}.

EXEMPLOExemplo 1.7

Sejam A = {a, b, c, d, e} e B = {d, e, f, g}. A união de A com B é dada por:

A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g}.

A união de A e B, desse exemplo, também pode ser apresentada através de diagramas

como a seguir.

A Ba b

d f

gec

1.3.2 Intersecção

Dados dois conjuntos A e B, a interseção de ambos, denotada por “A ∩ B” é um

conjunto formado por todo elemento de A que também pertence a B. Em outras

capítulo 1 • 17

palavras, a intersecção entre dois conjuntos é um conjunto formado pelos ele-

mentos comuns a ambos.

A representação da intersecção através de digramas pode ser feita da se-

guinte forma:

A B

A ∩ B

Utilizando a notação de conjuntos, podemos definir a intersecção como:

A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}.

EXEMPLOExemplo 1.8

Sejam A = {a, b, c, d, e} e B = {d, e, f, g}. A intersecção de A com B é dada por:

A ∪ B = {d, e}.

1.4 Diferença

Dados dois conjuntos A e B, a diferença entre eles, nesta ordem, denotada por

“A – B” é um conjunto formado por todo elemento de A que não pertence a B.

A B

A – B

18 • capítulo 1

Diferentemente das operações de união e intersecção, a diferença não apre-

senta a propriedade comutativa, isto é, se alterarmos a ordem dos conjuntos

que estão operando, temos um novo resultado. Veja, abaixo, a representação da

operação “B – A”.

A B

B – A

Utilizando a notação de conjuntos, podemos definir as diferenças “A – B” e

“B – A”, respectivamente, como:

A – B = {x | x ∈ A e x ∉ B}

B – A = {x | x ∈ B e x ∉ A}

EXEMPLOExemplo 1.9

Sejam A = {1, 2 ,3 ,4, 5} e B = {2, 4, 6}. Podemos estabelecer as diferenças

A – B = {1, 3, 5} e B – A = {6}.

1.4.1 Complementar

Dados dois conjuntos A e B que A ⊂ B, definimos o complementar de A em rela-

ção a B, denotado por “Ac” ou “ A ”, como o conjunto formado por todo elemen-

to de B que não pertence a A.

A representação do complementar de A em relação a B, através de digramas,

pode ser feita na forma:

capítulo 1 • 19

B AB

Utilizando a notação de conjuntos, podemos definir o complementar de A

em relação a B como:

A = {x | x ∈ A e x ∉ A}.

EXEMPLOExemplo 1.10

Considere os conjuntos A = {1, 2 ,3} e B = {1, 2, 3, 4, 6, 9}. O complementar de A em

relação a B é dado por A = {4, 6, 9}.

CONEXÃOUm vídeo que apresenta de forma interessante a teoria de conjuntos está no endereço:

<http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1075>. Vale a pena conferir!

1.5 Aplicações das operações com conjuntos e princípio da inclusão e exclusão

Nesta seção, apresentaremos exemplos de problemas cujas resoluções podem

ser efetuadas com auxílio da teoria de conjuntos e um princípio simples, de-

nominado princípio da inclusão e exclusão, que refere-se ao número de ele-

mentos da união de dois ou mais conjuntos. Representar tais situações através

de diagramas e compreender o significado das operações com conjuntos são

recursos bastante interessantes para ajudar na compreensão, análise e resolu-

ção dos problemas.

20 • capítulo 1

EXEMPLOExemplo 1.11

A quantidade de elementos em um conjunto A é 20, num conjunto B é 12 e na intersec-

ção de ambos é 5. Qual é a quantidade de elementos da união de A com B?

Esse é um problema bem elementar. Não é difícil chegar a sua resposta. O que se deseja

determinar, aqui, é n (A ∪ B) sabendo que n (A) = 20, n (B) = 12 e n (A ∩ B) = 5. Se somar-

mos n (A) = 20 com n (B) = 12, obtemos 32 elementos. Mas, nessa soma, os 5 elementos da

intersecção de A com B foram considerados duas vezes, pois pertencem a A e a B. Devemos,

portanto, subtrair 5 do resultado da soma, obtendo o valor 27.

Esse procedimento para determinar a quantidade de elementos na união de dois conjun-

tos é denominado princípio da inclusão e exclusão e pode ser generalizado. Sendo assim,

podemos escrever que:

n (A ∪ B) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B)

E se desejarmos determinar a quantidade de elementos de 3 conjuntos, como podemos

escrever essa relação? Isso fica como exercício (veja a atividade 16 ao final deste capítulo).

Exemplo 1.12

Uma pesquisa de mercado foi realizada com 450 consumidores para que indicassem

o consumo de um ou mais de três produtos selecionados, A, B e C. Alguns dos resultados

obtidos são apresentados a seguir:

• 40 consomem os três produtos;

• 60 consomem os produtos A e B;

• 100 consomem os produtos B e C;

• 120 consomem os produtos A e C;

• 240 consomem o produto A;

• 150 consomem o produto B.

Considerando que 50 das pessoas que responderam que não consomem nenhum dos

três produtos, responda:

capítulo 1 • 21

a) Quantas consomem somente o produto C?

b) Quantas consomem pelo menos dois produtos?

c) Quantas consomem o produto A e o produto B e não consomem o produto C?

Uma forma bem interessante e ágil de resolver esse problema é utilizando diagramas

para os três conjuntos A, B e C que são, respectivamente, aqueles que representam os en-

trevistados que consomem os produtos A, B e C. Esses três conjuntos estão contidos num

conjunto maior que denominamos conjunto universo U (que contém todas as pessoas

participantes da pesquisa). Temos, então, a seguinte representação:

A UB

C

Com as informações dadas, podemos preencher parte dos espaços definidos pelos con-

juntos A, B e C. Para facilitar a indicação dos cálculos e do raciocínio utilizados na resolução,

vamos denotar por x1, x2, ... , x8 as quantidades das regiões determinadas pelo conjunto uni-

verso e pelos conjuntos A, B e C, como mostra a figura seguinte:

A UB

C

x1x4

x7x5 x6

x2

x3

Quando você estiver resolvendo problemas desse tipo, não é preciso utilizar as incóg-

nitas x1, x2, ... , x8 da forma que apresentamos aqui. Os valores obtidos para tais incógnitas

podem ser lançados diretamente nos diagramas. Esse procedimento está sendo feito apenas

para tornar as explicações mais claras.

22 • capítulo 1

Cada valor x refere-se à quantidade de pessoas que consome um ou mais produtos. A

seguir, a indicação da representação de cada valor:

• x1: quantidade de entrevistados que consomem somente o produto A.

• x2: quantidade de entrevistados que consomem somente o produto B.

• x3: quantidade de entrevistados que consomem somente o produto C.

• x4: quantidade de entrevistados que consomem somente os produtos A e B.

• x5: quantidade de entrevistados que consomem somente os produtos A e C.

• x6: quantidade de entrevistados que consomem somente os produtos B e C.

• x7: quantidade de entrevistados que consomem os três produtos.

• x8: quantidade de entrevistados que não consomem nenhum dos três produtos.

Se começarmos, por exemplo, pela informação “240 consomem o produtos A”, teremos

dificuldade para distribuir esse valor corretamente. O mesmo acontece, por exemplo, com

informações do tipo “60 consomem os produtos A e B”, pois ela nos remete à intersecção

dos conjuntos A e B. No entanto, essa intersecção está dividida em duas regiões. Devemos,

portanto, começar com as informações “40 consomem os três produtos” e “há 50 pessoas

que responderam que não consomem nenhum dos três produtos”. Essas informações nos

indicam, sem deixar dúvida alguma, os valores de x7 e x8, respectivamente.

Assim, podemos atualizar as informações dos diagramas:

A UB

C

x1x4

40

50

x5 x6

x2

x3

Agora, podemos inserir as informações que referem-se às pessoas que consomem dois

dos três produtos, obtendo os valores de x4, x5 e x6. Vamos ver, por exemplo, como determinar

o valor de x4. Como há 60 pessoas que consomem os produtos A e B, mas já vimos que há 40

que consomem A, B e C (e, portanto consomem A e B), então o valor de x4 é obtido através

da diferença 60 – 40 = 20. De forma análoga determinamos os valores 80 e 60 para x5 e x6,

respectivamente. E, dessa forma, o diagrama fica assim:

capítulo 1 • 23

A UB

C

x120

40

50

80 60

x2

x3

Finalmente, utilizamos as informações “240 consomem o produto A” e “150 consomem

o produto B”. Como no diagrama de A já há 140 pessoas (20 + 40 + 80), então o valor de

x1 é 100. No caso do diagrama de B, o valor de x2 é igual 30 (150 menos a soma de 20, 40

e 60). Nosso diagrama, agora, está quase completo. Veja:

A UB

C

100 20

40

50

80 60

30

x3

Agora, falta-nos determinar o valor de x3 (que é quantidade de pessoas que consomem so-

mente o produto C). Se somarmos todas as quantidades do diagrama (incluindo o valor de x3),

temos que obter o resultado 450 (total de pessoas participantes da pesquisa). O valor de x3

será obtido, portanto, da seguinte forma:

x3 = 450 – (100 + 20 + 30 + 80 + 40 + 60 + 50)

x3 = 450 – 380

x3 = 70

Portanto, as respostas das alternativas são:

a) 70 pessoas;

b) 20 + 80 + 60 + 40 = 200 pessoas;

c) 100 + 20 + 30 = 150 pessoas.

24 • capítulo 1

Exemplo 1.13

Considere três conjuntos X, Y e Z tais que:

• n (X ∩ Y) = 26

• n (X ∩ Z) = 10

• n (X ∩ Y ∩ Z) = 7

Qual é quantidade de elementos do conjunto X ∩ (Y ∪ Z)?

Podemos iniciar construindo os diagramas dos conjuntos X, Y e Z e destacando a área

que representa o conjunto X ∩ (Y ∪ Z) para sabermos quais valores serão necessários para

que cheguemos ao resultado do problema. A união de Y e Z pode ser representada como

na figura abaixo.

X Y

Z

Dessa forma, a intersecção dessa união com o conjunto X, que é representada por X ∩(Y ∪ Z)

pode ser representada como mostrado na figura abaixo.

X Y

Z

a5

a1

a2a3

Os valores a1, a2 e a3 mostrados na figura podem ser determinados a partir das informa-

ções dadas no enunciado do problema. Como n (X ∩ Y ∩ Z) = 7, concluímos que a1 = 7.

Como n (X ∩ Y) = 26 e já temos a1 = 7, então a2 = 19, pois a soma de a1 com a2 tem que

ser igual a 26. De forma semelhante, chegamos ao valor de a3 que é 3 (10 – 7). O diagrama

com os valores é apresentado a seguir.

capítulo 1 • 25

X Y

Z

19

73

Logo, n (X ∩ (Y ∪ Z)) = 19 + 7 + 3 = 29.

Nas atividades deste capítulo há mais uma série de problemas que podem

ser resolvidos através da utilização da teoria de conjuntos. Ressalte-se que essa

não é a única forma de resolução de tais problemas, mas a clareza que tais

procedimentos conferem à modelagem do problema, permitindo-nos racioci-

nar de forma lógica, faz com que seja uma das formas mais utilizadas nesses

casos. O cálculo de probabilidades também utiliza frequentemente a teoria

de conjuntos.

Você verá, mais adiante, que em outros assuntos da matemática também há

referências aos conjuntos e às suas operações, como, por exemplo, na resolu-

ção de equações e nos problemas de lógica matemática.

1.6 Conjuntos numéricos

O desenvolvimento da Matemática sempre teve estreita ligação com necessida-

des humanas. Pode nos parecer, por vezes, que essa ciência é exageradamente

abstrata, mas ela nos proporciona técnicas muito eficientes para a resolução de

problemas práticos e concretos de nosso cotidiano, seja em nossa vida particu-

lar ou profissional.

Assim como nos primeiros anos de nossas vidas, passamos a ter a necessi-

dade de efetuar contagens, na história do homem não ocorreu de forma dife-

rente. Havia a necessidade primária de se contar os animais de um rebanho,

por exemplo. Começa, então, a surgir a ideia dos números que hoje denomina-

mos naturais. O conjunto dos números naturais, que denotamos por Image, é:

N = {0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ...}

26 • capítulo 1

Em certa época de seu desenvolvimento, com o surgimento do comércio, o

homem passa a ter a necessidade de uma representação para a “falta” de algo. É

como nos dias de hoje representamos um saldo devedor em uma conta corren-

te. Originou-se então o conceito de números negativos e a união deles com os

naturais resultou no conjunto dos números inteiros, denotado por Z:

Z = {...,–5 , –4 , –3 , –2 , –1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ...}

Podemos representar o conjunto Z na reta numérica da seguinte forma:

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

O sinal “ – ”, que utilizamos para representar valores negativos, confere ao

número o significado de oposto ou simétrico, ou seja, aquele valor que está à

mesma distância do zero, mas do outro lado (lado oposto) da reta numérica. O

valor “–4”, por exemplo, é o oposto (ou simétrico) de “4”. Decorre de seu signifi-

cado aquela regra tão mencionada de que “menos com menos dá mais”. É que,

se “–4” é o oposto de 4, então “–(–4)” é o oposto de “–4” que, por sua vez, é igual

a 4 (positivo).

Com os números inteiros é possível realizar diversos cálculos importantes,

mas quando necessitamos realizar divisões como, por exemplo, dividir o lucro

em uma sociedade, mesmo que estejamos dividindo um número inteiro por

outro também inteiro, essa divisão pode não ser exata, ou seja, há um resto di-

ferente de zero ou o quociente é um número não inteiro.

Houve uma época em que o homem passou a ocupar propriedades e a ter

necessidade de dividi-las. Nesse processo, percebeu a necessidade de uma re-

presentação para quantidades não inteiras, como resultado da divisão de dois

números inteiros. Surgem, então, os números racionais, cujo conjunto é deno-

tado por Q:

Qab

a Z b Z= ∈ ∈

, , *

Perceba que, nesse caso, não é possível representar o conjunto mostran-

do alguns de seus elementos, pois, entre dois números racionais há infinitos

outros racionais. Quando nos referimos aos números naturais ou inteiros, se

consideramos, por exemplo, as quantidades 4 e 5, sabemos que entre eles não

capítulo 1 • 27

há nenhum outro inteiro ou natural. No entanto, com relação ao conjunto dos

números racionais, se destacarmos dois números, por mais próximos que este-

jam, conseguimos determinar uma infinidade de outros valores racionais.

Por exemplo, entre os valores 4 e 5, temos 4,1; 4,2; 4,3; etc. Se tomarmos o

4 e o 4,1, temos 4,01; 4,02; 4,03; etc. Aumentando o número de casas decimais,

sempre encontraremos outros racionais entre dois quaisquer.

Há números que não conseguimos escrever como uma fração de dois intei-

ros. Alguns exemplos são:

• o número π (aproximadamente 3,14), tão utilizado nos cálculos de áreas

de círculos, comprimentos de circunferências e medidas de ângulos;

• o número e (aproximadamente 2,72), que é base do logaritmo natural e

tem bastante utilização em cálculos financeiros, de crescimento exponencial

entre outras;

• raiz quadrada de números primos 2 3 5, , , etc.

Tais números são denominados irracionais e podem ser denotados por Q’

(conjunto complementar do conjunto dos números racionais).

Podemos dizer que o conjunto dos racionais contém o conjunto dos intei-

ros que, por sua vez, contém o conjunto dos naturais. E todo número que não

pertence ao conjunto dos números racionais é considerado irracional. A união

dos racionais e dos irracionais constitui o conjunto dos números reais. Este é

denotado por R e compreende todos os números com os quais nos defronta-

mos em nosso cotidiano.

N Z

Q

Q’

Conjunto dos números reais

Na Matemática, há um conjunto que contém o conjunto dos números reais,

que é o conjunto dos números complexos, mas que não abordaremos pelo fato

de seu uso ser muito específico e não apresentar utilidade para o seu curso.

28 • capítulo 1

1.7 Intervalos numéricos

Na maior parte das aplicações envolvendo conjuntos numéricos, fazemos refe-

rência ao conjunto dos números reais. E há três formas bem interessantes de

representar esse conjunto, (e seus subconjuntos). Uma delas é utilizando a no-

tação de conjuntos. As outras são representações que referem-se a intervalos,

tanto de forma numérica como gráfica.

Esses intervalos podem ser abertos, fechados ou semiabertos. Vamos to-

mar certo cuidado. Quando falamos em intervalo aberto, não estamos queren-

do dizer que o intervalo é ilimitado. Vejamos a diferença no exemplo a seguir.

EXEMPLOExemplo 1.14

Considere um intervalo numérico composto por todos os números reais maiores ou igual

a 2. Este é um intervalo que nós consideramos ilimitado, pois não há nenhum valor que o

limite superiormente. À esquerda ele é limitado pelo valor 2. Dizemos, inclusive, que ele é

fechado à esquerda, o que significa dizer que o seu menor valor é o 2.

Agora considere o intervalo composto por todos os números reais maiores que 2 e me-

nores que 5. Este intervalo contém, assim como o anterior, infinitos valores reais. Mas, isto

não significa que ele seja ilimitado. Ele possui limites: o 2 e o 5. Contudo, note que esses

valores não pertencem ao intervalo. Além disso, dizemos que este intervalo é aberto, tanto à

esquerda quanto à direita. Mas por que aberto?

O termo aberto, nesse caso, refere-se ao fato que o intervalo não possui um valor mí-

nimo e nem máximo. Mas, ele é limitado! Tente responder à pergunta: qual é o menor valor

do intervalo?

A resposta não é “2” porque ele não pertence ao intervalo. Você pode pensar no “2,1”, por

exemplo. Mas, há infinitos valores menores que o “2,1” e que são maiores que “2”. Eis alguns

deles: 2,01; 2,08; 2,002; 2,0001; entre tantos outros. Então, não confunda intervalo aberto

com intervalo ilimitado.

A seguir, veremos as três formas que podemos utilizar para representar intervalos numé-

ricos reais e os tipos de intervalos.

capítulo 1 • 29

Intervalos abertos

]a, b[ = {x ∈ R/ a < x < b}

a bR

O intervalo ]a, b[ é composto por todo número real maior que a e menor que b.

Intervalos fechados

[a, b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b}

a bR

O intervalo [a, b] é composto por todo número real maior que a e menor que b e também

pelos valores a e b.

Intervalos semiabertos

Um intervalo pode ser aberto de um lado e fechado de outro. Vejamos.

[a, b[ = {x ∈ R / a ≤ x < b}

a bR

O intervalo [a,b[ é composto por todo número real maior ou igual a a e menor que b.

]a, b] = {x ∈ R / a < x ≤ b}

a bR

O intervalo ]a,b] é composto por todo número real maior que a e menor ou igual a b.

Intervalos infinitos

Um intervalo pode ser fechado de um lado e ilimitado do outro ou, ainda, aberto de um

lado e ilimitado do outro. Vejamos:

[a, ∞[ = {x ∈ R / x ≥ a}

aR

30 • capítulo 1

O intervalo [a, ∞[ é composto por todo número real maior ou igual a a. O símbolo “∞”

indica o infinito.

]–∞, a[ = {x ∈ R/ x < a}

aR

O intervalo ] –∞, a[ é composto por todo número real menor que a.

Como os intervalos reais são conjuntos numéricos, é possível realizar, com eles, as opera-

ções de união, intersecção, diferença e complementar as apresentadas anteriormente. Mas,

nesse caso a determinação dessas operações ficará como exercício.

CONEXÃOUm vídeo muito interessante que apresenta, entre outras coisas, a história do desenvolvimen-

to do sistema de numeração indo-arábico está disponível no endereço: <http://tvescola.mec.

gov.br/index.php?option=com_zoo&view=item&item_id=256>.

Vale a pena assisti-lo, principalmente a primeira parte. Seus produtores defendem a va-

liosa contribuição dos chineses na construção de nosso sistema de numeração. E o desen-

volvimento dos sistemas de numeração têm íntima relação com o surgimento dos conjuntos

numéricos. Ele está dividido em duas partes, sendo que somente a primeira trata desse as-

sunto. O nome do vídeo é “Os Gênios do Oriente”.

1.8 Valor absoluto de um número

Das ilimitadas aplicações que fazemos com os números em nosso cotidiano,

sejam eles positivos, negativos ou nulo, há algumas (e não são poucas!) em que

nos interessa apenas a distância de cada um deles até o zero (que é a origem

da reta numérica real). Isto quer dizer que podemos não estar interessados no

“sinal” do número, mas apenas na magnitude que ele representa.

Essa distância de cada número até o zero, na reta numérica, é denominada

módulo ou valor absoluto desse número. Na figura seguinte, veja a representa-

ção dos módulos de 5 e –5.

capítulo 1 • 31

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

O exemplo a seguir apresenta os módulos de mais alguns valores reais.

EXEMPLOExemplo 1.15

a) |5| = 5

b) |–5| = 5

c) |0| = 0

d) |–2,85| = 2,85

e) 25

25

=

De forma geral, dado um número a real qualquer, como podemos determinar seu módulo?

Se a for positivo, seu módulo será o próprio a. Se for negativo, seu módulo será o seu

oposto. Se for nulo, seu módulo será zero. Simbolicamente, temos:

a a a

a a

a a x

= >

= =

= − <

, se

, se

, se

0

0 0

0

;

;

.

Como podemos determinar o módulo de uma expressão algébrica?

Veja no exemplo a seguir.

Exemplo 1.16

Para determinar o módulo |3x + 7|, devemos considerar as seguintes possibilidades:

I. 3 7 3 7 3 7 073

x x x x+ = + + > > − , se , ou seja, se ;

II. 3 7 0 3 7 073

x x x+ = + = = − , se , ou seja, se ;

II. 3 7 3 7 3 7 073

x x x x+ = − +( ) + < < − , se , ou seja, se ;

Nos exemplos a seguir, veja algumas situações que podem ser solucionadas utilizando a

definição de módulo apresentada acima.

32 • capítulo 1

Exemplo 1.17

Resolva a equação |X – 7| = 2.

Para resolver equações que envolvem o módulo da incógnita, é preciso, primeiro, “elimi-

nar” esse módulo. Nesse caso, temos que considerar:

I. |x – 7| = x – 7, se x – 7 > 0, ou seja, se x > 7. Daí, temos x – 7 = 2 → x = 9;

II. |x – 7| = – (x – 7), se x – 7 < 0, ou seja, se x < 7 . Daí, temos –x + 7 = 2 → x =5.

Não consideramos, nesse caso, a possibilidade do módulo de x – 7 ser igual a zero pelo

fato de, na equação, ele estar igualado a 2.

Portanto, o conjunto solução da equação acima é S = {5, 9}.

Exemplo 1.8

Resolva a equação − +

= −x

x4

21.

Inicialmente, consideramos que:

I. − +

=− + − +

>x x

sex4

24

24

20, , ou seja, se x < 4. Daí, temos

− += − ⇒

− += − ⇒ − + = − ⇒ =

xx

xx x x x

42

14

21 4 2 2 2.

II. − +=

− +=

xse

x42

04

20, , ou seja, se x = 4. Daí, temos

− += − ⇒ = − ⇒ =

xx x x

42

1 0 1 1

III. − +

= −− + − +

<x x

sex4

24

24

20, , ou seja, se x > 4. Daí, temos

− += − ⇒ −

− += − ⇒ − = − ⇒ = −

xx

xx x x x

42

14

21 4 2 2 2.

ATIVIDADES01. Represente através de diagramas de Venn, os seguintes conjuntos:

a) (A ∩ B) – C

b) A – (B ∪ C)

c) (B – A) ∪ (B – C)

d) (B – A) ∩ (B – C)

capítulo 1 • 33

02. Utilizando diagramas, verifique a validade das seguintes propriedades:

a) Se A ⊂ B, então A ∩ B = A e A ∪ B = B.

b) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (propriedade associativa)

c) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (propriedade associativa)

d) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (propriedade distributiva)

03. Dados os conjuntos A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {1, 3, 5, 7, 9} e C = {6, 8}, determine:

a) A ∪ B

b) A ∩ (B ∩ C)

c) Complementar de C em relação a A.

d) A – C

e) Complementar de B ∩ C em relação a A.

f) A ∪ (B ∩ C)

g) (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

04. Dados os conjuntos A = {x ∈ R / 6 ≤ x < 9} e B = {x ∈ R / 7 < x ≤ 9}, determine:

a) A ∪ B

b) A ∩ B

c) B – A

05. Dados os conjuntos A = [–2, 6[ e B = [2, 8[ , determine e represente graficamente

os conjuntos:

a) A ∪ B

b) A ∩ B

c) B – A

06. Considere os intervalos reais A = ]3, 7], B =[5, ∞[ e C = ]–∞, 4[. Determine:

a) A ∪ B

b) B ∪ C

c) A ∩ B

d) A ∩ C

e) A – B

f) B – C

g) C – B

h) O complementar de A em relação ao conjunto dos números reais (R).

i) O complementar de B em relação ao conjunto dos números reais (R).

j) O complementar de C em relação ao conjunto dos números reais (R).

34 • capítulo 1

07. Uma pesquisa sobre o consumo de três produtos A, B e C foi realizada e os resultados

são apresentados na tabela a seguir:

PRODUTOS A B C A e B A e C B e C A e B e C Nenhum

QUANTIDADE DE CONSUMIDORES 120 70 230 30 25 40 15 x

Determine a quantidade de pessoas entrevistadas que consomem:

a) Somente o produto B;

b) Somente um produto;

c) Somente dois produtos;

d) A ou B;

e) A, mas não consomem C;

08. (PUC-RJ) Um levantamento sócio-econômico entre os habitantes de uma cidade re-

velou que, exatamente: 17% têm casa própria; 22% têm automóvel; 8% têm casa própria e

automóvel. Qual o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel?

09. (PUC) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV fa-

voritos: Esporte (E), novela (N) e Humanismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas

assistem a esses programas.

PROGRAMAS E N H E e N E e H N e H E, N e H Nenhum

NO DE TELESPECTADORES 400 1200 1080 220 180 800 100 x

Através desses dados verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não

assistem a qualquer dos três programas é:

a) 200

b) Os dados do problema estão incorretos.

c) 900

d) 100

e) N.d.a.

capítulo 1 • 35

10. (UFF) Os conjuntos não-vazios M, N e P estão, isoladamente, representados abaixo.

Considere a seguinte figura que estes conjuntos formam.

M

M

N

N

P

P

A região hachurada pode ser representada por:

a) M ∪ (N ∩ P)

b) M – (N ∪ P)

c) M ∩ (N – P)

d) N – (M ∪ P)

e) N ∪ (P ∩ M)

11. (UFG) A afirmação “Todo jovem que gosta de Matemática adora

esportes e festas” pode ser representada segundo o diagrama:

M = {jovens que gostam de matemática}

E = {jovens que adoram esportes}

F = {jovens que adoram festas}

a)

ME F

b)

MEF

c)

ME F

d)

M

EF

e)

ME

F

36 • capítulo 1

12. (UFAL) Na figura abaixo têm-se representados os conjuntos A, B e C, não disjuntos.

A B

C

A região sombreada representa o conjunto:

a) C – (A ∩ B)

b) (A ∩ B) – C

c) (A ∪ B) – C

d) A ∪ B ∪ C

e) A ∩ B ∩ C

13. Estabeleça uma fórmula que sirva para determinar a quantidade de elementos da união

de três conjuntos A, B e C.

14. Resolva as seguintes equações modulares:

a) 5 712

x − =

b) xx−

=1

0

c) 3 12

3x

x−−

=

d) 2 5 4− = +x x

REFLEXÃODiversos problemas com os quais nos deparamos podem ser resolvidos de várias formas.

Algumas são mais diretas e simples, outras mais complexas e elaboradas. O papel da Mate-

mática, nesses casos, é oferecer formas claras e simples de resolver tais problemas. Como

muitos deles apresentam semelhanças, é comum se estabelecer modelos matemáticos de

resolução. E um desses modelos foi abordado nesta unidade quando utilizamos as operações

capítulo 1 • 37

com conjuntos na resolução de problemas lógicos. Determinar a quantidade de elementos

que pertencem à intersecção e à união de dois ou mais conjuntos, bem como determinar a

quantidade de elementos que cada conjunto possui, entre outras informações, foi de grande

utilidade na resolução de diversos problemas de ordem prática.

Além das aplicações aqui apresentadas, os conjuntos são utilizados na definição de fun-

ções matemáticas, por exemplo, e em muitos outros assuntos da Matemática. Têm larga

utilização também no cálculo de probabilidades.

Estudamos também os intervalos reais (que são conjuntos numéricos) e o módulo ou va-

lor absoluto de um número. São entes matemáticos de larga aplicação no estudo de funções.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICASBARRETO, Márcio. Trama matemática: princípios e novas práticas no ensino médio. 1ª Ed. Campinas,

SP: Papirus, 2013.

DEMANA, F. D.; WAITS, B. K.; FOLEY, G. D.; KENNEDY, D. Pré-cálculo. 7a edição. São Paulo: Pearson,

2009.

IEZZI, G.; DOLCE, O.; MACHADO, A.; DEGENSZAJN, D.; PERIGO, R. Matemática. Vol. Único. Editora

Atual, 2006.

LEITE, Álvaro Emílio; CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Teoria dos números e teoria dos conjuntos.

1ª Ed. Curitiba: InterSaberes, 2014.

SÉRATES, J. Raciocínio lógico: lógico matemático, lógico quantitativo, lógico numérico, lógico

analítico, lógico crítico. 8ª ed. Brasília: Jonofon Ltda, 1998.

38 • capítulo 1

Contagem

2

40 • capítulo 2

2. Contagem

A origem da Matemática está ligada à necessidade do homem em realizar con-

tagens. E, nos dias atuais, continuamos a aplicar processos de contagens em

diversas situações-problemas. Você, por exemplo, nunca teve interesse em sa-

ber quantos jogos diferentes podem ser feitos numa loteria do tipo da Mega

Sena? Ou qual é a chance de alguém descobrir, ao acaso, a senha do seu car-

tão bancário?

Há uma parte da Matemática, denominada Análise Combinatória, que tra-

ta desses e de outros processos de contagem. Trata-se de uma ferramenta im-

portante na resolução de diversos problemas de nosso cotidiano e no cálculo de

probabilidades. Neste capítulo, veremos algumas técnicas bastante úteis que

envolvem contagem de eventos.

OBJETIVOS

• Compreender diferentes técnicas de contagem de eventos;

• Aplicar técnicas de contagem na resolução de problemas.

2.1 Princípio das casas de pombos

Há, na Matemática, diversos princípios bem simples, e que nos parecem com-

pletamente óbvios. No entanto, apesar da simplicidade, têm uma infinidade de

aplicações. Talvez seja aí que comecem a surgir as dificuldades: conseguir re-

lacionar tais princípios, ou a teoria, de forma geral, com as aplicações práticas.

O princípio das casas de pombos (ou princípio das gavetas) é um deles.

Ele trabalha com uma ideia bem simples. Considere, por exemplo, que exis-

tam 5 pombos e 4 casas nas quais iremos acomodá-los. Se tentarmos distribuir

igualmente os pombos nessas casas, concluiremos que uma das casas deverá

acomodar dois pombos.

Em sua forma mais simples, este princípio pode ser enunciado como

a seguir.

“Se tivermos n + 1 pombos para serem colocados em n casas, então, pelo menos

uma casa, deverá conter, pelo menos, dois pombos”

capítulo 2 • 41

Realmente, muito simples! Concorda?

Mas, nas aplicações que fazemos desse princípio na resolução de situações

-problemas envolvendo contagens, a dificuldade pode aparecer na determina-

ção de qual grandeza representa a quantidade de “pombos” e qual representa

a quantidade de “casas”.

Vamos, então, ver três exemplos para ilustrar a aplicação deste princípio.

EXEMPLOExemplo 2.1

Quantas pessoas, no mínimo, deve conter um grupo para que, pelo menos duas delas

façam aniversário no mesmo mês?

Nesse caso, consideramos como “número de casas” a quantidade de meses do ano, ou

seja, n = 12. Já o “número de pombos” relaciona-se com a quantidade de pessoas no grupo.

Então, devemos ter n + 1 = 12 + 1 = 13 pessoas.

Exemplo 2.2

Num depósito há 10 caixas que contêm um certo tipo de componente eletrônico. Sabe-

se que, em cada uma delas, há, no máximo 7 peças com defeito. Prove que há, no mínimo,

duas caixas com a mesma quantidade de peças defeituosas.

Relacionamos a quantidade máxima de peças defeituosas de cada caixa com o “nú-

mero de casas”, isto é, n = 7. Sendo assim, a quantidade mínima de caixas que deve haver

no depósito para que, pelo menos, duas das caixas tenham a mesma quantidade de peças

defeituosas é n + 1 = 7 + 1 = 8. Essa quantidade de caixas está associada ao “número de

pombos” do princípio. Como há, no depósito, 10 caixas (10 > 8), então fica provado que há,

no mínimo, duas caixas com a mesma quantidade de peças defeituosas.

Exemplo 2.3

Se escolhermos cinco pontos de um quadrado de lado 4, mostre que, pelo menos, um

dos segmentos determinados por dois desses pontos tem, no máximo, medida igual a 2 2 .

Podemos começar dividindo o quadrado em 4 outros quadrados de lado igual a 2, como

mostra a figura a seguir.

42 • capítulo 2

2 2

2

2

22

2

2

Utilizando o teorema de Pitágoras, podemos determinar a medida da diagonal de cada

um dos quadrados menores:

d d d2 2 22 2 8 2 2= + ⇒ = → = .

2 2

2

2

22

2

2

=d 2 2

Dessa forma, podemos concluir que se tomarmos quaisquer dois pontos em um mesmo

quadrado menor (de lado 2), a distância máxima entre eles será igual a 2 2 .

Associando a quantidade de quadrados menores (n = 4) ao “número de casas” e a quan-

tidade de pontos (n + 1 = 5) ao “número de pombos”, provamos que, pelo menos, dois pontos

situam-se no mesmo quadrado menor. Sendo assim, há pelo menos dois pontos que distam,

no máximo, 2 2 , um do outro.

2.2 Princípio da multiplicação e princípio da adição

Outros dois princípios bem simples e de muita utilidade prática são conheci-

dos por princípio da multiplicação e princípio da adição.

Vamos introduzi-los a partir de exemplos práticos.

capítulo 2 • 43

EXEMPLOExemplo 2.4

O acesso a um servidor é feito mediante digitação de uma senha de quatro dígitos. Os

dois primeiros são compostos por letras e os últimos por dígitos numéricos. As letras permi-

tidas são a, b, c e d e os dígitos, 1, 2 e 3. Não pode haver repetição de nenhum dígito. Sendo

assim, quantas senhas diferentes podem ser formadas?

Vamos dividir a senha em dois conjuntos: um conjunto X formado por todas as possibili-

dades de sequências de dois dígitos literais e outro, que denotaremos Y, formado por todas

as possibilidades de sequências de dois dígitos numéricos.

Temos, então, o conjunto X = {ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc} e o conjunto

Y = {12, 13, 21, 23, 31, 32}.

Note que a quantidade de arranjos compostos por dois dígitos literais é igual a 12 e a de

arranjos numéricos é igual a 6, isto é n (X) = 12 e n (Y) = 6

Agora, conseguimos determinar a quantidade de senhas diferentes que podem ser for-

madas nesse sistema. Basta multiplicar as quantidades de elementos que cada um dos con-

juntos possui: 12 × 6 = 72.

Utilizamos aí, o princípio multiplicativo que é apresentado, de forma geral, a seguir.

Se um evento Ai pode ocorrer de mi maneiras diferentes, então o número de maneiras

de ocorrer os eventos A1, A2, ..., An de forma sucessiva é dado por m1 · m2 · ... · mn.

Note, no exemplo anterior, que para determinar a quantidade de elementos dos conjun-

tos X e Y também utilizamos o princípio multiplicativo. No caso do conjunto X, podemos divi-

dir cada um de seus elementos em duas posições. Isto é, podemos determinar, por exemplo,

dois conjuntos X1 e X2 cujas quantidades de elementos são respectivamente 4 e 3, pois o

não pode haver repetição de dígito literal. Portanto, aplicando o princípio multiplicativo, a sua

quantidade de elementos é igual a 4 · 3 = 12.

Da mesma forma, podemos aplicar esse princípio para determinar a quantidade de ele-

mentos do conjunto Y. Considerando Y1 o conjunto de elementos do primeiro dígito numérico

e Y2 a quantidade de elementos do segundo, temos, para esses dois conjuntos, respecti-

vamente, 3 e 2 elementos. Sendo assim, a quantidade total de possibilidades (número de

elementos do conjunto X) é dada pelo produto 3 · 2 = 6.

44 • capítulo 2

Exemplo 2.5

Em um formulário eletrônico, os usuários preenchem alguns campos com informações

pessoais, tais como: sexo (masculino/feminino), estado civil (casado/solteiro/separado judi-

cialmente/viúvo/outros) e grau de escolaridade (fundamental/médio/superior). Um progra-

mador deseja agrupar os usuários que forneceram respostas exatamente iguais para esses

três campos. Sendo assim, vamos responder as seguintes questões:

a) Quantos grupos, no máximo, podem ser formados?

b) Quantos usuários, no mínimo, devem preencher esse formulário para que haja pelo me-

nos dois com respostas iguais?

Para responder ao item (a), podemos considerar que há três eventos, A1, A2 e A3, que

possuem, respectivamente, 2, 5 e 3 maneiras de ocorrer. Então, a quantidade total de grupos

de respostas que podem ser formados é dada por 2 · 5 · 3 = 30. Aplicamos aqui o princí-

pio multiplicativo.

No caso do item (b), podemos determinar o que se pede aplicando o princípío das casas

de pombos. Vamos considerar como “número de casas” a quantidade de grupos diferentes

que podem ser formados, que é 30. A quantidade mínima de usuários que devem preencher

o formulário para que haja pelo menos dois com respostas coincidentes é, portanto, 30 + 1

= 31, que estamos considerando como o “número de pombos”.

O próximo exemplo será utilizado para introduzir o princípio aditivo.

Exemplo 2.6

Considere, agora, um sistema de senhas em que o usuário pode escolher uma sequência

numérica qualquer de dois, três ou quatro dígitos, de 0 a 9. Quantas senhas diferentes podem

ser geradas, nesse caso?

Como não há restrição quanto à repetição de dígitos, as possibilidades, para cada uma

das quantidades de dígitos consideradas, são dadas por:

2 dígitos → 10 · 10 = 102 = 100;

3 dígitos → 10 · 10 · 10 = 103 = 1.000;

4 dígitos → 10 · 10 · 10 = 104 = 10.000.

capítulo 2 • 45

Note que, nos cálculos acima, utilizamos o princípio multiplicativo para cada uma das

quantidades de dígitos consideradas.

Mas, para determinarmos a quantidade total de senhas que podem ser geradas, temos

que somar as quantidades obtidas acima: 100 + 1.000 + 10.000 = 11.100. Aplicamos aqui

o chamado princípio aditivo.

De forma geral, esse princípio considera que se tivermos uma quantidade n de conjuntos

disjuntos dois a dois (isso significa que, para qualquer par de conjuntos que considerarmos,

eles não terão nenhum elemento em comum) com quantidades de elementos iguais, respec-

tivamente, a m1, m2, ... , mn, a quantidade de elementos da união desses conjuntos é igual a

m1 + m2 + ... + mn.

No exemplo que acabamos de resolver, considere que temos 3 conjuntos, A1, A2 e A3,

respectivamente, com 100, 1.000 e 10.000 elementos. Note que não é possível que haja

elementos comuns entre tais conjuntos. Então, a quantidade de elementos da união desses

conjuntos é dada pela soma 100 + 1.000 + 10.000 = 11.100.

Podemos enunciar o princípio aditivo da seguinte forma:

Considere os conjuntos A1, A2, ... , An dois a dois disjuntos. Se a quantidade de ele-

mentos de cada um deles é dada, respectivamente, por m1, m2, ... , mn, então a quanti-

dade de elementos da união A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An é igual a m1 + m2 + ... + mn.

2.3 Permutação, arranjo e combinação.

A partir do princípio da multiplicação, é possível determinar formas de con-

tagem bastante ágeis e práticas para determinadas situações. Para uma com-

preensão mais eficiente das técnicas que veremos nesta seção, vamos iniciar

propondo três problemas (exemplos 2.7, 2.8 e 2.9) relativamente simples e que

podem ser resolvidos sem o conhecimento das técnicas que iremos apresentar.

A ideia é apresentar procedimentos que nos levarão ao desenvolvimento de tais

técnicas, que chamamos de: permutação, arranjo e combinação.

46 • capítulo 2

EXEMPLOExemplo 2.7

Em uma competição de Robótica, apenas três das participantes classificaram-se para a

fase final: Lorena, Rafaela e Júlia. De quantas formas diferentes elas poderão ocupar as três

primeiras posições da competição?

Podemos começar pensando nas possibilidades para a primeira posição. Há três. Partin-

do para a segunda posição, teremos apenas duas opções, já que um dos concorrentes ocupa

a primeira posição. Dessa forma, para a terceira posição teremos apenas uma opção.

1ª POSIÇÃO 2ª POSIÇÃO 3ª POSIÇÃO = 6 formas diferentes

3 · 2 · 1

Se tivéssemos, por exemplo, quatro competidores para ocupar quatro posições, o cálculo

que deveria ser feito para determinar a quantidade total de possibilidades seria: 4 · 3 · 2 · 1 = 24.

E não é difícil perceber que, se aumentarmos a quantidade de participantes e, igualmente,

a quantidade de posições, o resultado será sempre dado pela multiplicação do número de

concorrentes pelos seus antecessores até se chegar ao valor 1 (um).

Generalizando, podemos considerar que a quantidade de formas diferentes que n con-

correntes podem ocupar n posições é dada por:

n n n⋅ −( ) ⋅ −( ) ⋅ ⋅1 2 1

Esse processo de contagem é denominado permutação de n elementos e denotado por Pn.

É muito comum, nas técnicas de contagem que estamos e estaremos abordando, surgir

multiplicações como a que vimos acima. Elas são denominadas fatoriais. O fatorial de um

número n é denotado por n!. Podemos escrever:

n n n n! = ⋅ −( ) ⋅ −( ) ⋅ ⋅1 2 1

Então, na resolução do Exemplo 2.7, podemos considerar que o que houve foi uma per-

mutação de 3 elementos, que indicamos e calculamos como a seguir:

P3 3 3 2 1 6= = ⋅ ⋅ =!

capítulo 2 • 47

De forma geral, uma permutação de n elementos é dada por:

Pn = n!

Veja que não é difícil de determinar o fatorial de um número. Por exemplo,

• 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5.040;

• 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24;

• 1! = 1.

Mas, e quanto ao zero? Qual o valor de 0! ? Por enquanto, apenas considere que

0! = 1

Pode parecer estranho, as para que as fórmulas que envolvem contagem de eventos

sejam consistentes, é necessário considerar tal valor. Mais adiante, veremos uma

razão lógica para essa consideração.

Vamos usar um recurso interessante na resolução de certos problemas para mostrar as

possibilidades de arranjos de eventos no estudo de fenômenos. Ele é conhecido por árvore

de possibilidades ou diagrama de árvore. Consiste num esquema gráfico para ilustrar as

possiblidades de ocorrência de fenômenos.

A situação apresentada no Exemplo 2.7 pode ser esquematizada da seguinte forma

utilizando uma árvore de possibilidades:

Lorena

Lorena

Lorena

Lorena

Lorena

Rafaela

Rafaela

Rafaela

Rafaela

RafaelaJúlia

Júlia

Júlia

Júlia

Júlia

Figura 2.1 – Árvore de possibilidades (diagrama de árvore)

Vamos a mais um exemplo de permutação.

48 • capítulo 2

Exemplo 2.8

Um anagrama é uma transposição de letras de uma palavra para formar uma nova pala-

vra. Por exemplo, “Roma” é um anagrama da palavra “amor" . Mas existem outros anagramas

desta palavra. Alguns deles são: mora, oram, ramo, maro etc.

Para determinar quantos anagramas é possível determinar para a palavra “amor”, basta

calcular uma permutação de 4 elementos (P4):

P4 4 4 3 2 1 24= = ⋅ ⋅ ⋅ =!

Não é difícil associar a quantidade total de anagramas de uma palavra composta por n

letras diferentes com a permutação de n elementos (Pn), pois, para a primeira posição temos

n elementos, para a segunda, n – 1, para a terceira n – 2, até se chegar a um elemento para

a última posição. Portanto, para determinar a quantidade de elementos (pelo princípio multi-

plicativo), basta calcular o produto:

n n n⋅ −( ) ⋅ −( ) ⋅ ⋅1 2 1

que é a expressão que caracteriza uma permutação de n elementos.

Mas como proceder para determinar a quantidade total de anagramas de uma palavra em

que há repetição de letras? Vamos ver no exemplo seguinte.

Exemplo 2.9

Quantos anagramas tem a palavra “pata”?

Veja a seguir como construir uma árvore de possibilidades para determinar todos os

anagramas da palavra “pata”. Já devemos eliminar aqueles ramos da árvore que levam a

anagramas repetidos.

Sendo assim, para a primeira posição (etapa) há três possibilidades: P, A ou T. Já para a

segunda, devemos fazer distinção das letras que podem ser utilizadas dependendo da que foi

utilizada na primeira posição. Por exemplo, quando a primeira letra é P, a segunda pode ser

A ou T somente. Algo semelhante ocorre quando a primeira letra é T. A segunda pode ser P

ou A somente. Mas, se a primeira letra é A, a segunda pode ser P, A ou T, pois há duas letras

A na palavra “pata”. E dessa forma devemos também considerar para as demais posições.

Vamos, então à árvore de possibilidades para esse exemplo:

capítulo 2 • 49

P

P

PP

PP

P

PP

A AA

A

A A

AA

AA

A

A A

AA

A

TT

T

TT

TT

T

T

Vemos que há 12 anagramas diferentes.

Mas, se procedêssemos de forma semelhante ao Exemplo 2.8, teríamos direcionado a

resolução através do cálculo de uma permutação de 4 elementos, o que nos levaria ao resul-

tado 24. O que acontece é que aqui há uma repetição de duas das quatro letras da palavra

original.

Podemos resolver casos como esse através do cálculo de permutação, mas consideran-

do que há elementos repetidos. Para tais situações consideramos a definição de permutação

com elementos repetidos que é apresentada a seguir.

De forma geral, uma permutação de n elementos com n1, n2, ... , nk repetições de

elementos é dada por:

Pn

n n nnn n n

k

k1 2

1 2

, , , !! ! !

=⋅ ⋅ ⋅

No caso do Exemplo 2.9, consideramos uma permutação de 4 elementos com 2 repeti-

ções de elementos. Portanto:

P4

2 42

4 3 2 12 1

12= =⋅ ⋅ ⋅⋅

=!!

Na verdade, o que ocorre nesse tipo de situação é que o resultado da permutação de

4 elementos (que resulta em 24 possibilidades), computa duas vezes alguns arranjos repe-

tidos, tais como “ptaa” ou “aapt”, além de outros. Isso porque a letra “a”, que aparece duas

50 • capítulo 2

vezes no anagrama original, é considerada como sendo duas letras distintas. Isso faz com

que a quantidade de anagramas seja multiplicada por 2 (que é o valor de 2!, isto é, o fatorial

da quantidade de vezes que a letra “a” se repete).Por isso é que o fatorial de 4 aparece, na

fórmula, sendo dividido pelo fatorial de 2.

Como devemos proceder se houver mais letras que se repetem? Veja o próximo exemplo.

Exemplo 2.10

Quantos anagramas possui a palavra “arraia”?

Nesse caso, consideramos n = 6 e há duas letras que se repetem: o “a”, que aparece três

vezes e o “r”, duas. Portanto, temos:

P anagramas63 2 6

3 26 5 4 3 2 1

3 2 1 2 160, !

! !=

⋅=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=

A partir do próximo exemplo, vamos começar a abordar uma situação semelhante à da

permutação, mas desejamos determinar a quantidade de sequências diferentes que pode-

mos dispor n elementos tomados p a p, sendo p < n.

Exemplo 2.11

Um torneio de handebol organizado pelo centro acadêmico de uma universidade conta

com 7 times participantes. De quantas formas diferentes podem ser ocupadas as 3 primeiras

posições desse torneio?

Nesse caso, temos o que denominamos arranjo de 7 elementos tomados 3 a 3. Há

diversas formas de selecionarmos 3 elementos num total de 7. Além disso, considerando os

3 elementos selecionados, há formas diferentes de os dispor.

Vamos considerar algumas das possibilidades (não todas, pois, a quantidade de sequên-

cias diferentes é grande!). Representaremos os seis times por A, B, C, D, E, F e G. Uma se-

quência possível é A em primeiro, B em segundo e C em terceiro. Outra, diferente desta, mas

com os mesmos times é B em primeiro, A em segundo e C em terceiro. Cada uma dessas

duas possibilidades é denominada um arranjo. Nele, a alteração da ordem dos elementos,

mesmo que consideremos os mesmos elementos, constitui um novo e distinto arranjo.

Mas devemos considerar que além da permutação desses três times (elementos), há

outros que podem entrar na seleção de possibilidades. Isso gera uma quantidade de eventos,

possíveis, muito maior. E como podemos calcular a quantidade dessas possibilidades?

Poderíamos, simplesmente, utilizar o princípio da multiplicação visto no início deste capí-

tulo. Veja como, a seguir.

capítulo 2 • 51

Para a primeira posição, temos 7 possibilidades. Se um dos times já ocupa a primeira

posição, temos 6 possibilidades para a segunda. De forma análoga, temos 5 possibilidades

para a terceira. Portanto, o resultado será obtido fazendo:

7 · 5 · 6 = 210,

isto é, há 210 formas diferentes desses 7 times ocuparem as 3 primeiras posições.

E se considerarmos, de maneira geral, um total de n times ocupando as p primeiras posi-

ções? Como podemos estabelecer uma forma genérica de cálculo?

Note, na resolução do Exemplo 2.11, que podemos obter o resultado fazendo

7 6 5 4 3 2 14 3 2 1

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

que equivale a:

74

!!

No numerador da fração, sempre teremos o total de elementos (n) e, no denominador, o

valor será sempre a diferença entre n e p. Observe que 4 é a diferença entre n = 7 e p = 3.

Portanto, de forma genérica, não é difícil concluir que podemos determinar a quantidade

de possiblidades de n elementos ocuparem p posições através da fórmula:

nn p

!!−( )

Chamamos esse processo de arranjo de n elementos tomados p a p e o denota-

mos por An,p. Portanto,

An

n pn p,!

!=

−( )

Vamos a mais um exemplo de arranjo.

Exemplo 2.12

O sistema contábil de uma empresa gera, para cada pedido faturado, um código em que

os 3 primeiros dígitos são formados por letras, sem repetição, e os 4 últimos são formados

52 • capítulo 2

por dígitos numéricos, também sem repetição, entre os algarismos 0, 1, 2, 3 e 4. Quantos

códigos diferentes podem ser gerados por esse sistema?

Vamos considerar, a princípio, duas sequências: uma literal com 3 posições e outra nu-

mérica com 4 posições. Note que, para cada uma das sequências, podemos determinar a

quantidade total e possiblidades utilizando a fórmula do arranjo, pois a alteração de posição

determina uma nova sequência (isso nem sempre acontece, como veremos mais adiante).

Para a sequência literal, temos um total de 26 letras que podem ocupar 3 posições, isto

é, temos um arranjo de 26 elementos tomados 3 a 3 (n = 26 e p = 3):

A26 3

2626 3

2623,

!!

!!

=−( )

=

Aqui, vale uma observação importante que irá lhe ajudar em cálculos envolvendo fatoriais.

As calculadoras científicas possuem a função fatorial, geralmente representada por n! ou x!.

O problema é que, mesmo utilizando calculadora, o cálculo de 26! nos levará a um número

tão grande que a quantidade de dígitos do visor da calculadora não será suficiente para exi-

bi-lo de forma exata. Faça o teste! Dependendo da capacidade da calculadora, o resultado

aparecerá na forma:

4,032915 · 1026.

É um resultado aproximado e não exato. Se o desenvolvermos, chegaremos a:

403.291.500.000.000.000.000.000.000.

O resultado exato é:

403.291.461.126.605.635.584.000.000.

Situação semelhante ocorrerá se você quiser determinar o valor de 23!.

E como podemos lidar com esse tipo de problema? Embora a calculadora não exiba o re-

sultado exato, ele fica armazenado em sua memória. Basta você utilizar o valor armazenado ao

invés de digitar o valor aproximado. Mas, há uma forma simples de evitar valores tão grandes.

Efetue o cancelamento entre fatoriais. Apenas tome o cuidado de não cancelar fatoriais que

não sejam exatamente iguais. No caso do arranjo que queremos calcular para chegar a um

dos resultados requeridos no problema apresentado no Exemplo 2.12, faça da seguinte forma:

capítulo 2 • 53

A26 326

26 3

262326 25 24 23

2326 25 24

15 600

,!

!

!!

!!

. .

=−( )

=

=⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅=

Há, portanto, 15.600 formas diferentes de dispor os três primeiros dígitos da senha (os

dígitos formados por letras diferentes).

Com relação às quatro últimas posições, temos 5 dígitos numéricos diferentes que po-

dem ocupá-las. Para determinar a quantidade de possibilidades, basta calcularmos o valor de

um arranjo de 5 elementos tomados 4 a 4, como detalhado a seguir.

A5 45

5 4

515 4 3 2 1

120

,!

!

!!

.

=−( )

=

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

Temos, portanto, 120 formas diferentes de dispor os dígitos numéricos dos códigos gerados.

Pelo princípio multiplicativo, podemos chegar ao valor total de códigos possíveis através

do produto

15.600 · 120 = 1.872.000.

CURIOSIDADEJá mencionamos que 0! = 1. Mas, por quê?

O fatorial é uma invenção humana que foi criada para auxiliar os processos de contagem,

como já vimos alguns. Um deles é a permutação. Outro é o arranjo. Qual é a diferença entre

eles? Na permutação, consideramos a contagem de todas as sequências ordenadas em que

podemos dispor n termos. A diferença em relação ao arranjo é que neste consideramos todas

as sequências de p termos que podemos formar com n termos, em que p ≤ n.

Se calcularmos o valor de um arranjo em que o número p de termos da sequência for

igual ao número total n de elementos do conjunto que estamos considerando, teremos uma

permutação de n elementos, isto é,

54 • capítulo 2

An,n = Pn.

Note, que se considerarmos num arranjo, p = n, podemos escrevê-lo na forma:

An

n nn

n n,!

!!!

=−( )

= 0

Então, como , vamos igualar as expressões que fornecem essas quantidades:

A P

nnn n n,

!!

!= ⇒ =0

Finalmente, para que n

n!!

!0

= , devemos considerar que 0! = 1.

Veremos, no próximo exemplo, uma situação em que a ordem dos elemen-

tos selecionados não importa, isto é, não determina uma nova sequência.

EXEMPLOExemplo 2.13

Em uma loteria, são sorteados 4 números de 1 a 30. O apostador, ao efetuar o jogo,

deve escolher apenas 4 números e, para ganhar o prêmio principal, deve acertar todos eles.

Quantos jogos diferentes podem ser feitos nesta loteria?

Distintivamente do que aconteceu nos exemplos anteriores, em que a alteração de po-

sição dos elementos de uma sequência gerava uma nova sequência, aqui a ordem de dispo-

sição dos ementos é indiferente. Numa loteria, não importa a ordem de sorteio dos números

(ou a ordem de escolha no momento de fazer a aposta). O que define um jogo (ou aposta) é

o conjunto de números escolhidos.

Se calcularmos o valor do arranjo de 30 elementos tomados 4 a 4 (A30,4), chegaremos

ao resultado 657.720. No entanto, para cada 4 termos selecionados, temos 24 formas di-

ferentes de dispor tais elementos. Se dividirmos 657.720 por 24, portanto, chegaremos ao

resultado que desejamos, que é 27.405 apostas diferentes.

Nesses casos, podemos utilizar o cálculo do arranjo de n elementos tomados p a p e

dividi-lo pelo valor do fatorial de p (como acabamos de fazer na resolução do Exemplo 2.13).

Essa divisão nos leva a uma nova fórmula que é da combinação de n elementos tomados

p a p:

capítulo 2 • 55

A

p

nn p

pn

p n pn p,

!

!!

!!

! !=

−( )=

−( )

Chamamos esse processo de combinação de n elementos tomados p a p e o

denotamos por Cn,p. Portanto,

Cn

p n pn p,!

! !=

−( )

Aplicando esta fórmula aos valores do Exemplo 2.13, temos:

C30 430

4 30 4

30 29 28 27 264 3 2 1 26

30 29 28 27

,!

! !

!!

=−( )

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=⋅ ⋅ ⋅

44 3 2 127 405

⋅ ⋅ ⋅= .

CONEXÃO

Veja, no endereço <http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1005 >, um experimento que faz

uma abordagem diferenciada de um problema de análise combinatória, sob o título “De quan-

tas maneiras posso passar meu cadarço?”

Exemplo 2.14

No Campeonato Brasileiro de Futebol, dos 20 participantes de cada edição, os 5 primei-

ros colocados garantem vaga para a Copa Libertadores. Quantos conjuntos diferentes de

classificados para essa copa podem ser definidos?

Nesse caso (assim como no anterior), não importa a ordem dos 5 primeiros times. Um

conjunto é definido pelos elementos (times) classificados e não pela ordem que ocupam. Se

são classificados os times A, B, C, D e E, nessa ordem, será definida uma nova sequência

somente se, pelo menos um dos times for substituído por outro (fora dessa lista). Se a classi-

56 • capítulo 2

ficação dos quatro primeiros for alterada, por exemplo, para B, A, D, E e C, a combinação é a mesma

que a anterior, isto é, não foi definido um novo conjunto. Trata-se, portanto de uma combinação.

Dessa forma, o resultado pode ser obtido por:

C20 520

5 20 5

20 19 18 17 16 155 4 3 2 1 15

20 19

,!

! !

!!

=−( )

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=⋅ ⋅

118 17 165 4 3 2 1

15 504

⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= .

Há, portanto, 15.504 formas diferentes de definir os cinco classificados para a

Copa Libertadores.

CONEXÃOVocê pode calcular facilmente permutações, arranjos e combinações no Excel.

Para determinar no valor de uma permutação de n elementos (P ), digite, na célula:

“=PERMUT(n;n)” .

No caso de um arranjo de n elementos tomados p a p, digite:

“=PERMUT(n;p)” .

Note que o arranjo é, na verdade, uma permutação em que o número de elementos é

maior do que o número de posições.

Finalmente, para calcular uma combinação de n elementos tomados p a p, digite:

“=COMBIN(n;p)” .

ATIVIDADES01. Um sistema computacional possui 5 unidades de entrada/saída e 4 processadores

Qualquer uma das unidades de entrada/saída pode ser conectada a qualquer um dos pro-

cessadores. De quantas formas diferentes podem ser feitas tais conexões?

02. O segredo de um cofre é composto por três números de 1 a 25, sendo que o mesmo

número não pode ser utilizado em sequência. Ele pode, por exemplo, ocupar a primeira e a

terceira posições, mas não a primeira e a segunda ou a segunda e a terceira. Dessa forma,

quantos segredos possui esse cofre?

capítulo 2 • 57

03. Quantos pontos, no mínimo, devem ser marcados aleatoriamente em um quadrado de

lado 6 de tal forma que pelo menos 2 estejam a uma distância máxima igual a Image ?

04. (UEL) Um professor de matemática comprou dois livros para premiar dois alunos de

uma classe de 42 alunos. Como são dois livros diferentes, de quantos modos distintos pode

ocorrer a premiação?

a) 861

b) 1.722

c) 1.764

d) 3.444

e) 242

05. A Mega-Sena é uma loteria que paga milhões de reais para o acertador dos 6 números

sorteados. Há prêmios menores para quem acerta 4 ou 5 números. O apostador deve mar-

car de 6 a 15 números, entre os 60 disponíveis no volante. Um jogo é chamado de simples

quando o apostador escolhe apenas 6 números.

Alessandra fez um jogo simples. Qual é a probabilidade de que ela:

a) ganhe o prêmio principal?

b) consiga acertar 4 ou 5 números?

06. O sistema de emplacamento de veículos no Brasil considera uma sequência de 3 le-

tras seguida de outra de 4 algarismos numéricos. Sem considerar nenhum tipo de restrição

quanto à sequência formada, quantas placas diferentes podem ser obtidas nesse sistema?

07. Em uma escola, há 12 professores de Física e 16 de Matemática. Uma comissão de seis

membros deve ser formada com esses professores e a única condição que se impõe é, pelo

menos um dos membros, seja professor de Matemática. Sendo assim, quantas comissões

diferentes podem ser formadas?

08. (FUVEST) Em uma certa comunidade, dois homens sempre se cumprimentam (na che-

gada) com um aperto de mão e se despedem (na saída) com outro aperto de mão. Um

homem e uma mulher se cumprimentam com um aperto de mão, mas se despedem com

um aceno. Duas mulheres só trocam acenos, tanto para se cumprimentarem quanto para

se despedirem.

58 • capítulo 2

Em uma comemoração, na qual 37 pessoas almoçaram juntas, todos se cumprimentaram

e se despediram na forma descrita acima. Quantos dos presentes eram mulheres, sabendo

que foram trocados 720 apertos de mão?

a) 16

b) 17

c) 18

d) 19

e) 20

09. (UFF) Niterói é uma excelente opção para quem gosta de fazer turismo ecológico. Se-

gundo dados da prefeitura, a cidade possui oito pontos turísticos dessa natureza. Um certo

hotel da região oferece de brinde a cada hóspede a possibilidade de escolher três dos oito

pontos turísticos ecológicos para visitar durante sua estada. O número de modos diferentes

com que um hóspede pode escolher, aleatoriamente, três destes locais, independentemente

da ordem escolhida, é:

a) 8

b) 24

c) 56

d) 112

e) 336

10. (FUVEST) Considere todas as trinta e duas sequências, com cinco elementos cada uma,

que podem ser formadas com os algarismos 0 e 1. Quantas dessas sequências possuem

pelo menos três zeros em posições consecutivas?

a) 3

b) 5

c) 8

d) 12

e) 16

REFLEXÃOUm dos tópicos mais primitivos da Matemática é o que se refere aos processos de contagem.

Contar é básico e fundamental. A ciência matemática teve sua origem graças à necessidade

do homem em contar. Apesar de utilizarmos princípios simples para realizar contagens, em

algumas situações, como vimos, as coisas não são tão fáceis assim. Há diversos problemas

que envolvem contagem que exigem uma análise mais cuidadosa para escolher o processo

correto de contagem.

Seja na área em que atuamos profissionalmente ou em nossa vida particular, há diversas

situações em que necessitamos ter um mínimo de conhecimento dos processos de con-

tagem. Um exemplo é você conhecer suas reais chances quando faz uma aposta em uma

loteria (se é que você costuma fazer isso). E, neste capítulo, você pôde conhecer alguns dos

principais procedimentos que facilitam a determinação de possibilidades de ocorrências de

eventos.

capítulo 2 • 59

Procure comparar os procedimentos vistos para avaliar melhor quando cada um deles

deve ser utilizado. Bons estudos!


SP: Papirus, 2013.


2009.


Atual, 2006.

LEITE, Álvaro Emílio; CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Teoria dos números e teoria dos

conjuntos. 1ª Ed. Curitiba: InterSaberes, 2014.



60 • capítulo 2

Relações

3

62 • capítulo 3

3. Relações

Várias das aplicações da Matemática em nosso cotidiano referem-se a situa-

ções em que relacionamos duas ou mais variáveis. O valor da compra do super-

mercado que relaciona-se com a quantidade de itens que compramos, o quanto

pagamos mensalmente à empresa fornecedora de água que depende da quan-

tidade consumida, o imposto de renda que pagamos que está relacionado dire-

tamente aos nossos ganhos, o IPTU que tem relação com a área construída do

imóvel, e tantos outros exemplos.

Na maior parte das aplicações matemáticas envolvendo relação, considera-

mos apenas duas variáveis (ou elementos de dois conjuntos que relacionam-se

entre si). No entanto, na prática, tais relações costumam envolver mais do que,

simplesmente, elementos de dois conjuntos.

Considere, por exemplo, um estudo sobre a demanda (ou procura) de certo

produto. Um dos principais fatores que têm relação com a demanda é o preço

do produto. Esse tipo de relação é tão importante para economistas e adminis-

tradores que, geralmente, é estudada em pormenores em algumas disciplinas

dos cursos de formação desses profissionais. Mas, embora o estudo desse tipo

de relação é realizado considerando somente essas duas variáveis, é preciso

considerar (e os especialistas consideram isso) que a demanda é afetada por

mais fatores, isto é, ela relaciona-se com outras variáveis. Taxa de juros, prazo

de financiamento, cotação do dólar entre outras variáveis, também interferem

na variação da demanda de um produto.

A Estatística, por exemplo, dispõe de métodos eficientes para estudar a rela-

ção entre variáveis, na prática. Alguns deles fornecem informações que nos per-

mitem selecionar os fatores (variáveis) que têm uma relação mais consistente

com a variável de estudo (como a demanda que citamos acima).

Mas, o que nos interessa, no momento, é estudar a forma como elementos

de dois conjuntos se relacionam, ou como ocorre a relação entre duas variáveis.

Isto é fundamental para compreender e descrever outros conceitos como fun-

ções, classes de equivalência e conjuntos ordenados.

capítulo 3 • 63

OBJETIVOS

• Compreender o conceito de relação e suas propriedades;

• Testar propriedades em uma relação binária;

• Reconhecer ordens parciais e construir diagramas;

• Representar relações graficamente.

3.1 Produto cartesiano e pares ordenados

Uma forma de relação entre elementos de dois conjuntos é denominada produ-

to cartesiano. Ele é, na verdade, a relação entre todos os elementos desses dois

conjuntos. Considere dois conjuntos A e B. O produto cartesiano A · B, nessa

ordem, é formado por todas as possibilidades de associação entre elementos

desses dois conjuntos.

Uma das formas de representar uma relação é utilizando pares ordenados.

Precisamos mostrar quem se relaciona com quem. Denotando por x os elemen-

tos de A e por y os elementos de B, o produto cartesiano A · B é composto por

todos os pares ordenados (x, y) tais que x ∈ A e y ∈ B. É comum, nas aplicações,

considerar que A e B sejam o mesmo conjunto.

Vamos a um exemplo para compreender melhor o que é um produto carte-

siano entre dois conjuntos.

EXEMPLOExemplo 3.1

Sejam os conjuntos A = {a, b, c} e B = {c, d, e, f }. O produto cartesiano A · B é o con-

junto formado por todos os pares ordenados (x,y) tais que x Î A e y Î B. Portanto, podemos

defini-lo como:

A · B = {(a, c),(a, d),(a, e),(a, f),(b, c),(b, d),(b, e),(b, f), (c, c),(c, d),(c, e),(c, f)}.

64 • capítulo 3

Vale aqui uma observação: a ordem em que os elementos do conjunto A · B foram dis-

postos acima pode ser alterada sem que se obtenha um novo conjunto. Se alterarmos a

ordem dos elementos (a, c) e (a, d), por exemplo, escrevendo (a, d) e (a, c), não alteramos o

produto cartesiano. Mas, num par ordenado, a alteração da ordem dos elementos determina

um novo elemento. Um exemplo: o par ordenado (a, c) é diferente de (c, a).

Podemos também representar o produto cartesiano utilizando a notação algébrica de

conjunto, como a seguir:

A B x y x A y B⋅ = ( ) ∈ ∈{ }, | ,

No caso do produto cartesiano do exemplo que acabamos de ver, podemos escrever:

A B x y x a b c y c d e f⋅ = ( ) ∈{ } ∈{ }{ }, | , , , , , ,

Quando o produto cartesiano refere-se a conjuntos numéricos, podemos representá-lo

graficamente. Vamos ver como nos exemplos a seguir.

Exemplo 3.2

Considere os conjuntos A = {–1, 0, 2} e B = {1, 2, 3, 4}. O produto cartesiano A · B é o

conjunto formado por todos os pares ordenados (x,y) tais que x Î A e y Î B. Portanto, podemos

defini-lo como:

A · B = {(–1, 1), (–1, 2), (–1, 3), (–1, 4), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4)}.

ou

A B x y x y⋅ = ( ) ∈ −{ } ∈{ }{ }, | , , , , , ,10 2 12 3 4

Cada um dos elementos do conjunto acima pode ser representado como um ponto do

que chamamos plano cartesiano. Os valores de x estão dispostos no eixo horizontal, conhe-

cido como eixo x ou eixo das abscissas. Já os valores de y são localizados no eixo vertical,

conhecido como eixo y ou eixo das ordenadas.

Veja a representação gráfica do produto cartesiano desse exemplo na figura seguinte.

capítulo 3 • 65

00–1 1

1

2

2 3

3

4

y

x

Exemplo 3.3

Agora, vamos considerar subconjuntos dos números reais. Sejam A = [–1, 2] e B = [1, 4].

Nesse caso, não há como representar o produto cartesiano A · B enumerando seus elemen-

tos, pois é um conjunto infinito. Algebricamente, podemos representá-lo como:

A B x y x y⋅ = ( ) ∈ −[ ] ∈[ ]{ }, | , , ,12 14

Nesse caso, a representação gráfica mostrará uma região do plano cartesiano e não ape-

nas alguns pontos. Temos, na verdade, a representação de uma infinidade de pontos. Veja.

y

x00 1

1

2

2 3

3

4

–1–2

66 • capítulo 3

As linhas que definem a região mostrada no gráfico também “participam” do produto

cartesiano A · B. Isto quer dizer que os pontos sobre tais linhas são também elementos desse

produto cartesiano. Mas, como proceder graficamente quando a região é delimitada por, pelo

menos, uma linha que não participa do produto cartesiano? Veremos no próximo exemplo.

Exemplo 3.4

Considere os conjuntos A = ]–1, 2] e B = [1, 4[. A diferença em relação ao exemplo an-

terior é que estamos tirando do conjunto A o elemento “–1” e do conjunto B o elemento “4”.

Nesse caso, a representação gráfica pode ser feita como a seguir.

y

x00 1

1

2

2 3

3

4

–1–2

Note que utilizamos linhas tracejadas para indicar os limites da região que queremos e,

ao mesmo tempo, mostrar que os pontos sobre tais linhas não fazem parte do produto carte-

siano (da região do gráfico que o representa).

3.2 Relações binárias. Propriedades e fechos

Uma relação entre dois conjuntos não vazios quaisquer A e B (ou relação biná-

ria entre A e B) é um subconjunto do produto cartesiano A · B. Como todo con-

junto pode ser considerado um subconjunto dele próprio, então, concluímos

que todo produto cartesiano de quaisquer dois conjuntos pode ser visto como

uma relação entre estes conjuntos.

capítulo 3 • 67

Podemos utilizar as seguintes (entre outras) notações para indicar uma rela-

ção R entre dois conjuntos A e B, sendo x Î A e y Î B:

• xRy : x ∼ y (o sinal “∼” aqui, na indicação de relação será substituído por

sinais matemáticos, tais como, “>”, “<”, “=”, etc, ou por uma propriedade que

define a relação, tal como “divide”, “é divisor” ou “é múltiplo” entre outras.

• ∀ ∈ ∀ ∈x A x y x, ," ",propriedade que define a relação entre x e y yy R( )∈( )• x y x y, | ,( ) ( )" ",propriedade que define a relação entre x e y ∈∈R

• R x y x y x yn n= ( ) ( ) ( ){ }1 1 2 2, , , , , ,

Nos exemplos seguintes, veremos alguns exemplos de relações.

EXEMPLOExemplo 3.5

Vamos retomar o produto cartesiano entre os conjuntos A e B apresentados no Exemplo

3.2. Lembre-se que A = {–1, 0, 2} e B = {1, 2, 3, 4}. Vamos definir uma relação, que denota-

remos por R, como:

x R y: x ≥ y

A “lei” que define tal relação diz que, do produto cartesiano A · B, consideraremos apenas

aqueles pares ordenados (x, y) tais que x ≥ y, isto é, aqueles em que a primeira coordenada é

maior ou igual a segunda. Portanto, podemos escrever:

x R y = {(2, 1), (2, 2)}

As relações, geralmente, são definidas como sentenças matemáticas (como acabamos de ver).

Em uma relação R de A em B, o conjunto dos valores x ∈ A que estão associados a va-

lores y ∈ B é denominado domínio da relação e denotamos por D (R). E os valores y que

estão associados a valores x compõem o conjunto que denominamos imagem da relação

e denotamos por Im (R). O conjunto B, que contém a imagem da relação é denominado

contradomínio da relação e é denotado por CD (R).

No caso desse exemplo, temos D( R) = {2}, Im (R) = {1,2} e CD (R) = B = {1, 2, 3, 4}.

Vamos a mais exemplos.

Exemplo 3.6

68 • capítulo 3

Agora, vamos considerar a mesma sentença do exemplo anterior (x R y: x ≥ y), mas

considerando A = B = R. Nesse caso o produto cartesiano A · B (ou R · R) é todo o plano xy.

Mas, de acordo com a sentença dada, a relação R será representada pela parte desse plano

que compreende todos os pontos (x, y) em que a primeira coordenada e menor ou igual a

segunda.

A representação gráfica dessa relação você vê na figura a seguir.

y

x–4 –3 –2 –1 1 2 3 4 50

0

5

4

3

2

1

–1

–2

–3

Observe que qualquer ponto que você considerar na região destacada, na figura, sua

localização se dá através de um par ordenado em que a abscissa (x) é maior que a ordenada

(y) ou, no mínimo, ela é igual. A reta que passa pela origem do sistema (que é a bissetriz dos

eixos) determina exatamente os pontos em que x = y.

Com relação ao domínio e a imagem dessa relação, temos D (R) = R e Im (R) = R, pois,

tanto x como y podem assumir quaisquer valores reais.

Exemplo 3.7

Considere os conjuntos A = {1, 3, 5, 7} e B = {–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4} e a relação R definida

por x R y: y = x – 3.

Uma das formas de representar essa relação (além da que já foi mostrada no enunciado

deste exemplo) é enumerando seus elementos, como a seguir:

x R y = {(1, –2),(3, 0),(5, 2),(7, 4)}.

Nesse caso, temos D (R) = {1, 3, 5, 7} e Im (R) = {–2, 0, 2, 4}.

capítulo 3 • 69

Vamos aproveitar este exemplo para mostrar outro tipo de representação gráfica de re-

lações binárias, que é o de diagramas (como vimos no estudo de conjuntos do Capítulo 1),

utilizando flechas que indicam os elementos que se relacionam e o “sentido” da relação.

1 3 5 7

–2 0 2 4

A B

Mais adiante, veremos outro tipo de representação gráfica para casos em que domínio e

contradomínio são conjuntos iguais.

Exemplo 3.8

Agora, considere A = [–1, 2] e B = [0, 3[ e a relação x R y tal que y + x = 2, com x ∈ A

e y ∈ B.

Nesse caso, a relação é composta por infinitos pontos (pares ordenados), todos eles

alinhados. Nesse caso, a representação gráfica da relação é um segmento de reta. A repre-

sentação gráfica é mostrada a seguir.

y

x–2 –1 1 2 3

3

2

1

70 • capítulo 3

3.2.1 Propriedades das relações

As relações podem ser agrupadas de acordo com certas propriedades, que ve-

remos nesta seção. Nas definições dessas propriedades, que serão mostradas

a seguir, considere uma relação R em um conjunto não vazio A. Lembre-se que

quando definimos uma relação indicando apenas um conjunto é porque os

conjuntos de ondem provêm os valores de x e de y são iguais.

3.2.1.1 Propriedade reflexiva

Uma relação R no conjunto não vazio A é considerada reflexiva se, para

todo x ∈ A, conseguimos encontrar x R x, isto é, todo valor x relaciona-se com

si próprio.

Outra forma de defini-la é:

“R é reflexiva se ∀ ∈ ( )∈( )x A x x R, , ”

Podemos “ler” essa sentença da seguinte maneira: “A relação R é reflexiva

se para todo (ou qualquer que seja) o elemento x do conjunto A, o par ordenado

(x, x) é um elemento dessa relação”. Esse tipo de notação é comumente utiliza-

da nas definições que envolvem conjuntos e no estudo de Lógica Matemática,

que veremos a partir do capítulo 5 deste livro.

EXEMPLOExemplo 3.9

Considere a relação R definida em A = {1, 2, 3, 4} tal que “x divide y”. Essa relação pode

ser escrita como:

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (4, 4)}.

Observe que para qualquer valor de x ∈ A, é possível encontrar em R um par ordenado

na forma (x, x), ou seja, um par ordenado tal que a abscissa divide a ordenada. Concluímos,

então, que R é reflexiva.

capítulo 3 • 71

Vamos aproveitar este exemplo para mostrar como podemos representar uma relação R

em um conjunto A utilizando o diagrama de flechas.

1 2

43

Exemplo 3.10

Agora, considere a mesma relação do exemplo anterior, mas com A = {0, 1, 2, 3, 4}.

Nesse caso, encontramos um valor para x tal que ele não divide a si próprio. Esse valor

é o zero. Portanto, a relação R, nesse caso, não é reflexiva.

3.2.1.2 Propriedade simétrica

Uma relação R no conjunto não vazio A é considerada simétrica se, quais-

quer que sejam x ∈ A e y ∈ A tais que (x, y) ∈ R, então (y, x) ∈ R. Em outras pala-

vras, a simetria ocorre numa relação se para todo par ordenado (x, y) tivermos

também o par ordenado (y, x).

Outra forma de defini-la é:

“R é simétrica se ∀ ∈ ( )∈ → ( )∈( )x y A x y R y x R, , , , ”

A leitura dessa sentença pode ser feita na forma: “A relação R é simétrica

quando, para quaisquer elementos x e y do conjunto A, se o par ordenado (x, y) é

um elemento dessa relação, então o par ordenado (y, x) também o será”.

72 • capítulo 3

EXEMPLOExemplo 3.11

Vamos considerar a relação R = {(a, b) |a + b = 5} definida em Z (conjunto dos núme-

ros inteiros).

Essa relação é um conjunto com infinitos elementos. Mas, note que, em todos eles, se

invertemos a ordem das abscissas e ordenadas em qualquer par ordenado que definine R

teremos outro elemento dessa relação. Por exemplo, se considerarmos o elemento (1,4) que

satisfaz a relação proposta, pois 1 + 4 = 5, seu simétrico, o ponto (4,1) também é tal que

satisfaz a condição a + b = 5.

Portanto, essa relação é considerada simétrica.

Exemplo 3.12

Considere as relações binárias:

• R1 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 3), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)};

• R2 = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)} e

• R3 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3)}

Quais são reflexivas e quais são simétricas?

A relação é R1 é reflexiva, pois para todos os valores que x assume (que são 0, 1, 2 e 3),

podemos encontrar, na relação, o par ordenado (x, x): (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3). Ela também

é simétrica, pois, para todo par ordenado (x, y) a ela pertencente, podemos encontrar o par

ordenado (y, x).

A relação R2 também é reflexiva e simétrica. Veja que para todos os valores que x assume

(0, 1, 2 e 3), conseguimos encontrar o par ordenado (x, x). Além disso, para todo par ordena-

do na forma (x, y) há um par ordenado (y, x), pois todos eles são formados por coordenadas

iguais, isto é, x = y.

Já a relação R3 é reflexiva, mas não é simétrica, pois para o par ordenado (2, 3) não con-

seguimos encontrar o seu simétrico, que é (3, 2).

3.2.1.3 Propriedade antissimétrica

Uma relação R no conjunto não vazio A é dita antissimétrica quando, para to-

dos os elementos x e y do conjunto A, se os pares ordenados (x, y) e (y, x) perten-

cem à R, então concluímos que x = y. Na forma simbólica, podemos escrever:

capítulo 3 • 73

“R é antissimétrica se ∀ ∈ ( )∈ ∧ ( )∈( ) → =( )( )x y A x y R y x R x y, , , ”

Em outras palavras, podemos considerar que uma relação possui a proprie-

dade antissimétrica quando não há, nela, pares ordenados com coordenadas

opostas, isto é, se há um par ordenado na forma (x, y), com x e y distintos, então

não há (y, x).

Vale ressaltar que a simetria e a antissimetria não são propriedades opostas.

Vamos a dois exemplos.

EXEMPLOExemplo 3.13

Considere a relação R = {(a, a), (b, b), (c, c)}. Note que essa relação apresenta a pro-

priedade simétrica, pois para todo par ordenado (x, y), temos também o par ordenado (y, x).

E essa simetria somente ocorre quando x = y, o que comprova que a relação R é também

antissimétrica. Isso mostra, portanto, que tais propriedades não se opõem necessariamente.

Exemplo 3.14

Considere o conjunto A = {0, 1, 2, 3} e a relação R: .

Temos, portanto, R = {(0, 0), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (3, 0), (3, 2), (3, 2), (3, 3)}.

Observe que só temos termos simétricos em que x = y. Então, concluímos que essa

relação é antissimétrica.

Exemplo 3.15

A relação R = {(1, 1), (2, 2), (1, 3), (3, 1)} não é antissimétrica, pois, o simétrico de (1, 3)

é (3, 1) e, nesse caso, x ≠ y.

3.2.1.4 Propriedade transitiva

Uma relação R no conjunto não vazio A é transitiva nos casos em que, quando

x, y e z são elementos do conjunto A, se (x, y) e (y, z) são elementos dessa relação,

então (x, z) também o é. Simbolicamente, podemos escrever:

74 • capítulo 3

∀ ∈ ( )∈ ∧ ( )∈( ) → ( )∈( )x y z A x y R y z R x z R, , , , ,

EXEMPLOExemplo 3.16

Considere a relação R = {(a, a), (a, c), (c, b), (a, b)} no conjunto A = {a, b, c}. Note que ela

pode ser considerada transitiva, pois temos:

• (a, a) ∈ R ∧ (a, c) ∈ R → (a, c) ∈ R;

• (a, c) ∈ R ∧ (c, b) ∈ R → (a, b) ∈ R.

Exemplo 3.17

Seja R a relação “>” no conjunto A = {0, 1, 2, 3}. Quais propriedades ela apresenta?

Podemos enumerar os elementos dessa relação: R = {(1, 0), (2, 0), (2, 1), (3, 0), (3, 1), (3, 2)}.

Essa relação não é reflexiva, pois não há nenhum elemento na forma (x, x).

Também não é simétrica, pois, por exemplo, temos (1, 0), mas não temos o seu simétrico

(0, 1).

A propriedade antissimétrica verifica-se, pois ela diz que se houver termos simétricos

(x, y) e (y, x), então x e y devem ser iguais. Como não há termos simétricos na relação, então

não podemos dizer que essa propriedade não se verifica. Portanto, consideramos a relação

R antissimétrica.

Quanto à transitividade, note que sempre que (x, y) e (y, z) pertencem à relação, então

(x,z) também pertence. Portanto, R é transitiva. As possibilidades que temos para analisar são

apresentadas abaixo:

• (2, 1) ∈ R ∧ (1,0) ∈ R → (2, 0) ∈ R;

• (3, 1) ∈ R ∧ (1,0) ∈ R → (3, 0) ∈ R;

• (3, 2) ∈ R ∧ (2,0) ∈ R → (3, 0) ∈ R;

• (3, 2) ∈ R ∧ (2,1) ∈ R → (3, 1) ∈ R.

Outra forma de concluir sobre a transitividade, sem ter que enumerar todas as possibi-

lidades, é considerar que se no par ordenado (x, y), temos x > y e, no par ordenado (y, z),

temos y > z, então x > z. Isso nos leva a deduzir, portanto, que o par ordenado (x, z) também

pertence à relação R.

Outra definição associada ao estudo das relações, que iremos ver agora, é a de fecho ou

fechamento de uma relação.

capítulo 3 • 75

Considere uma relação R em um conjunto A. Dizemos que uma relação R*, também

em A, é um fecho de R em relação a uma propriedade P (que pode ser reflexiva,

simétrica ou transitiva) se forem observadas as três condições seguintes:

1) R* tem a propriedade P.

2) R ⊆ R* (R é um subconjunto próprio de R*, isto é, R está contida em R*, mas não é

igual a R).

3) R* é um subconjunto de qualquer outra relação em A que inclui R e tem a proprie-

dade P (isso significa que R* é a “menor” relação possível com tais características).

Dependendo da propriedade que se está considerando na determinação do fecho de

uma relação R, podemos denominá-lo:

FECHO REFLEXIVO

Que é uma relação reflexiva que contém R e é a menor

relação possível;

FECHO SIMÉTRICO

Que é uma relação simétrica que contém R e é a menor

relação possível;

FECHO TRANSITIVO

Que é uma relação transitiva que contém R e é a menor

relação possível.

Para compreender melhor como podemos determinar o fecho de uma relação, vamos a

alguns exemplos.

Exemplo 3.18

Vamos considerar a relação R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 2)} em A = {1, 2, 3}.

Para obter o fecho reflexivo de R, devemos pensar nos pares ordenados que faltam

nessa relação, para que se verifique a propriedade reflexiva. Observe que a união de R com

o conjunto {(2, 2), (3, 3)} é uma relação transitiva tal que R ⊆ ( R ∪ {(2, 2), (3, 3)} ). Portanto,

o fecho reflexivo de R é R* = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 2), (3, 3)}.

76 • capítulo 3

Quanto ao fecho simétrico de R, precisamos buscar os pares ordenados que faltam à

relação para que se observe a propriedade simétrica. Se unirmos a relação R com o conjunto

{(2,3)}, chegaremos ao fecho desejado, que é R* = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2)}.

O fecho transitivo pode ser obtido através da determinação dos pares ordenados que

são necessários para que a relação obtida seja transitiva. Observe que, para isso, é neces-

sária a inclusão, na nova relação, dos pares (2, 2) e (3, 1). Portanto, o fecho transitivo de R é

R* = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)}.

Exemplo 3.19

Considere, agora, a relação R = {(a, a), (a, b), (b, c), (c, c)} sobre A = {a, b, c}. Vamos, então,

determinar os fechos reflexivo, simétrico e transitivo.

O fecho reflexivo é dado por R ∪ {(b, b)} = {(a, a), (a, b), (b, b), (b, c), (c, c)}.

O fecho simétrico é R ∪ {(b, a), (c, b)} = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, c), (c, b), (c, c)}.

Finalmente, o fecho transitivo é R ∪ {(a, c)} = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, c), (c, c)}.

Exemplo 3.20

Seja R = {(a, b) | a > b} uma relação definida sobre o conjunto dos números inteiros (Z).

Observe que essa relação satisfaz a propriedade transitiva. Nesse caso, o seu fecho

transitivo é ela própria.

Com relação à propriedade reflexiva, seu fecho é R a b a b a b a b ∪ ( ) ={ }{ } = ( ) ≥{ }, | , | .

O fecho simétrico de R é R a b a b a b a b ∪ ( ) <{ }{ } = ( ) ≠{ }, | , | .

3.3 Ordens parciais e relações de equivalência

Nesta seção, para finalizar, veremos mais duas definições importantes no que

diz respeito ao estudo das relações. Definiremos o que é uma ordem parcial (e

total) em um conjunto e quando uma relação pode ser considerada uma rela-

ção de equivalência em um conjunto.

Começaremos com a definição de ordem parcial.

Uma ordem parcial de um conjunto não vazio A é qualquer relação R em A que seja

reflexiva, antissimétrica e transitiva.

capítulo 3 • 77

Os exemplos a seguir mostram como determinar se uma relação R pode ser

considerada ou não uma ordem parcial de um conjunto A.

EXEMPLOExemplo 3.21

Seja R a relação em A = {0, 1, 2, 3} tal que x R y : x ≤ y. Podemos, então, escrever:

R = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)}.

Esta é uma relação reflexiva, pois para todo x ∈ A, temos (x, x) ∈ R. É também antissimé-

trica, pois, para qualquer par ordenado (x, y) que considerarmos, não existe (x, y). A proprie-

dade transitiva também se verifica, pois sempre que x relaciona-se com y e este relaciona-se

com z, vemos que x relaciona-se com z. Um exemplo em que isso acontece é com os pares

ordenados (0, 1), (1, 3) e (0, 3), nessa ordem. Fica a seu critério verificar todas as outras

possibilidades de transitividade.

Como a relação R é reflexiva, antissimétrica e transitiva em relação ao conjunto A, então

dizemos que ela é uma ordem parcial em A.

A seguir você vê a representação da relação R deste exemplo através do diagrama de flechas.

0 1

32

Quando temos uma ordem parcial em um conjunto finito A, podemos também utilizar ou-

tra forma de representação gráfica que é denominada diagrama de Hasse. Nele, cada ele-

mento do conjunto A é representado por um ponto, que denominamos nó ou vértice. Se x é

um predecessor imediato de y, o vértice (ou nó) que representa y é colocado acima do vértice

que representa x, fazendo-se a conexão entre esses dois vértices com um segmento de reta.

78 • capítulo 3

Veja, a seguir, o diagrama de Hasse para a relação R no conjunto A, do exemplo 3.21.

3

2

1

0

O termo parcial é utilizado pelo fato de nem sempre termos, no conjunto em questão,

uma relação entre todos os seus elementos. Isso pode ser visto no exemplo seguinte (3.22).

Na relação que acabamos de ver (x ≤ y) é possível perceber que há uma relação entre todos

os elementos do conjunto A. Então, podemos dizer que a relação R em A, nesse caso, é uma

ordem total. No diagrama de Hasse é possível detectar isso no fato de não haver nós ou

vértices no mesmo nível (o que indicaria que os elementos representados por esses nós não

se relacionam).

No exemplo a seguir, em que é apresentada uma ordem parcial, atente para a diferença

na disposição dos nós do diagrama.

Exemplo 3.22

Considere a relação R x y x y= ( ){ }, | divide no conjunto A = {1, 2, 3, 6, 12}. A expressão

“x divide y” pode ser escrita simbolicamente como “x | y”.

Podemos escrever a relação R em A como

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 6), (1, 12), (2, 2), (2, 6), (2, 12), (3, 3), (3, 6), (3, 12), (6, 6), (6, 12), (12, 12)}

Observe que essa relação é reflexiva, pois todo valor inteiro positivo x divide a si mesmo.

É só observar os elementos (1, 1), (2, 2), (3, 3), (6, 6) e (12, 12).

Ela também é antissimétrica, pois se x divide y, y somente divide x quando x = y.

Com relação à transitividade, podemos verificar que sempre que x divide y e este divide

z, então x divide z. Alguns casos em que isso ocorre são:

• (1, 2) ∈ R ∧ (2,6) ∈ R → (1, 6) ∈ R;

• (1, 3) ∈ R ∧ (3,12) ∈ R → (1, 12) ∈ R;

• (2, 6) ∈ R ∧ (6,12) ∈ R → (2, 12) ∈ R.

capítulo 3 • 79

A relação R é, portanto, transitiva. Sendo assim, R pode ser considerada uma ordem

parcial em A. Aqui, não podemos considerar uma ordem total (ou A não é um conjunto to-

talmente ordenado com relação a R), pois nem todos os elementos estão relacionados. Note

que os elementos 2 e 3 não se relacionam.

Nesse caso, o diagrama de Hasse tem a forma:

12

6

3 2

1

A presença, no diagrama, de dois nós (ou vértices) no mesmo nível indica que a ordem

é parcial e não total.

Exemplo 3.23

Considere a relação R x y x y= ( ){ }, | divide no conjunto N* (conjunto dos números natu-

rais não nulos ou conjunto dos números inteiros positivos).

A relação R, aqui, é a mesma do exemplo anterior, mas estendida ao conjunto infinito dos

números naturais positivos.

Podemos ver que, neste caso, ela também é reflexiva, pois todo valor inteiro positivo x di-

vide a si mesmo. Também é antissimétrica, pois se x divide y, y somente divide x quando x = y.

Quanto à transitividade, também verificamos que sempre que x divide y e este divide z, então

x divide z. Um exemplo disso é quando consideramos que 2 divide 6 e este divide 18. Então,

2 divide 18. A relação R é, portanto, transitiva.

Logo, R é uma ordem parcial em N*.

Exemplo 3.24

A relação “maior que” no conjunto dos números inteiros (Z) não é uma ordem parcial

nesse conjunto (e em nenhum outro), pois esta não é uma relação reflexiva (apesar de ser

antissimétrica e transitiva). Note que para todo x inteiro não existe (x, x).

80 • capítulo 3

A seguir, veja a definição de relação de equivalência.

Uma relação R em um conjunto A é considerada uma relação de equivalência se

ela for reflexiva, simétrica e transitiva em A.

Definir se uma relação R é ou não uma relação de equivalência em um conjunto A,

nada mais é do que verificar se essa relação apresenta, em relação ao conjunto citado, três

das propriedades que estudamos: reflexiva, simétrica e transitiva.

Exemplo 3.25

Considere o conjunto finito

A = {1, 2, 3, 4}

e a relação

R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 3), (4, 4)}

definida sobre A.

Não é difícil perceber que R é uma relação reflexiva, pois para todo x ∈ A, temos (x, x) ∈ R.

Isso pode ser percebido pela presença dos pares ordenados (1, 1), (2, 2), (3, 3) e (4, 4)

na relação.

A simetria também está presente para todos os termos da relação. Além dos pares orde-

nados com coordenadas iguais, temos: (1, 2) e (2, 1); (3, 4) e (4, 3).

Quanto à transitividade, note que sempre que se observa as relações x R y e y R z, temos

também a relação x R z.

Portanto, R é uma relação de equivalência em A.

CONEXÃOVeja mais exemplos de relações de equivalência no endereço: <http://www.inf.ufsc.

br/~mauro/ine5403/slides_novos/zpdfs_ppts/p53relequivs.pdf>.

Exemplo 3.26

Considere a relação R sobre o conjunto dos números reais (R) tal que a R b se, e somen-

te se, a – b é um número inteiro. Isso significa que participam da relação àqueles pares orde-

nados em que os elementos são números reais e a diferença entre eles é um número inteiro.

capítulo 3 • 81

Vamos verificar se R é uma relação de equivalência sobre R.

Como “a – a = 0” para todo a ∈ R e “0” é um número inteiro, então concluímos que R é

uma relação reflexiva em R.

Se “a – b” é um número inteiro para a,b ∈ R, então podemos concluir que “b – a” também

resulta em um número inteiro (que corresponde ao oposto do resultado de “a – b”). Isso signi-

fica que se “a R b”, então “b R a”. Portanto, a relação R é também simétrica em R.

Quanto a transitividade, considere que se “a – b” e “b – c” resultam em números inteiros,

então “a – c” também resulta. Isso corresponde a afirmar que se a R b e b R c, então a R c,

o que indica que R é uma relação reflexiva (como queremos mostrar). Mas como podemos

mostrar que “a – c” é um número inteiro também?

Comece somando a expressão “b – b” à expressão “a – c”. Isso é o mesmo que somar

zero à expressão “a – c”, isto é, a expressão não se altera. Veja:

a c a c b b− = −( ) + −( )

Agora, reagrupando os termos, podemos continuar a desenvolver a expressão como

mostrado a seguir:

a c a c b b

a b b c

− = −( ) + −( )= −( ) + −( ) .

Como “a – b” e “b – c” são números inteiros, então a soma deles também é um inteiro.

Sendo assim, está provado que “a – c” é um número inteiro. Logo, está provado que a relação

R é transitiva.

Portanto, R é uma relação de equivalência, pois é reflexiva, simétrica e transitiva em R.

ATIVIDADES01. Para cada um dos pares de conjuntos A e B apresentados, construa o gráfico que repre-

senta o produto cartesiano A · B:

a) A = {–2, –1, 0, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5};

b) A = [–1, 3] e B = [2, 4];

c) A = [1, + ∞[ e B = [0, 3[;

d) A = {x ∈ R / –2 < x ≤ 5} e B = {y ∈ R / 0 ≤ x < 2}

82 • capítulo 3

02. Dados os conjuntos A = {0,1,2,3,4,5} e B = {–6,–5,–4,–3,–2,–1,0} e a relação

R x y x y x A y B= ( ) + = ∈ ∈{ }, | , ,0 ,

a) represente graficamente a relação R;

b) indique o domínio e a imagem de R.

03. Dados os conjuntos S = {–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} e T = {1, 2, 5,10, 17, 26, 37, 50} e a

relação R x y S T y x= ( )∈ × = +{ }, | 2 1 ,

a) determine todos os elementos da relação R;

b) represente a relação R utilizando o diagrama de flechas;

c) indique o domínio, o contradomínio e a imagem de R.

04. Considere a relação “x R y : x > y + 1” sobre o conjunto dos números reais.

a) Represente-a no plano cartesiano.

b) Verifique quais propriedades ela satisfaz (reflexiva, simétrica, antissimétrica, transitiva).

c) Ela pode ser considerada uma ordem parcial sobre o conjunto dos números reais?

Justifique.

d) Ela é uma relação de equivalência sobre Image? Justifique.

05. Considere a relação “x R y : x + y é par” sobre o conjunto dos números naturais.

a) Verifique quais propriedades ela satisfaz (reflexiva, simétrica, antissimétrica, transitiva).

b) Ela pode ser considerada uma ordem parcial sobre o conjunto dos números reais?

Justifique.

c) Ela é uma relação de equivalência sobre R? Justifique.

06. Dada a relação “x R y | x é múltiplo de y ” sobre o conjunto A = {0, 1, 2, 3}, determine os

fechos reflexivo, simétrico e transitivo de R em relação a A.

07. Seja A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} o conjunto sobre o qual tem-se a relação R tal que “x R y: x – y

é múltiplo de 2”.

a) Obtenha todos os elementos da relação R.

b) Indique quais propriedades a relação R satisfaz.

capítulo 3 • 83

REFLEXÃONeste capítulo, estudamos alguns tipos de relações entre conjuntos, numéricos ou não. Vi-

mos também algumas propriedades dessas relações e o que elas significam. Se alguma

definição, conceito ou propriedade não lhe pareceu clara ou você ainda não conseguiu com-

preender de forma adequada, sugiro que estude-o ou estude-a com mais calma, retomando

os exemplos, procurando resolver todas as atividades para que você não encontre maiores

dificuldades nos assuntos que ainda serão trabalhados neste livro.

No próximo capítulo, estudaremos as funções, que são relações entre conjuntos e que

“obedecem” certas condições. Daí, a compreensão dos assuntos deste capítulo que estamos

finalizando torna-se ainda mais importante para que você não se depare com maiores dificul-

dades no estudo dos assuntos do capítulo 4. Até lá!


SP: Papirus, 2013.


2009.


Atual, 2006.

LEITE, Álvaro Emílio; CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Teoria dos números e teoria dos conjuntos.

1ª Ed. Curitiba: InterSaberes, 2014.



84 • capítulo 3

Funções

4

86 • capítulo 4

4. Funções

Olhe bem à sua volta e procure observar, com atenção, muitos dos acontecimentos

que o cercam. Você certamente se dará conta de que, em diversos deles, há gran-

dezas que se relacionam matematicamente, como a velocidade de um automóvel,

que varia de acordo com o tempo, ou o desempenho de certo aluno em uma prova,

que pode variar de acordo com o tempo que ele dedicou-se aos estudos; ou, ainda,

a demanda (procura) de um produto que, dentre outros fatores, relaciona-se com o

seu preço. Há diversas outras situações em que podemos observar a variação de cer-

ta grandeza em função de outra. Essas grandezas, aqui, chamaremos de variáveis.

O estudo dessas relações não ocorre apenas em uma área específica, mas

em todas elas, praticamente. O mais interessante é que podemos descrever tais

relações através de fórmulas matemáticas. Algumas dessas relações já estu-

damos no capítulo 3. Mas, há tipos específicos de relações que denominamos

funções. E elas têm uma variedade e um alcance impressionantes com relação

às suas aplicações práticas.

Modelar o que acontece na prática com certas variáveis através da aplicação

de funções é uma das mais importantes contribuições da Matemática tanto ao

desenvolvimento tecnológico, como ao estudo social e comportamental. Tais

aplicações são incontáveis e, neste capítulo, veremos a definição de função,

suas propriedades e estudaremos alguns tipos específicos de funções: função

do primeiro grau, função do segundo grau e outras funções polinomiais. E, é

claro, veremos muitas aplicações.

Da mesma forma como já feito em capítulos anteriores, todos os conteúdos

serão acompanhados de exemplos e de aplicações práticas.

OBJETIVOS

• Compreender o que é uma função matemática;

• Aplicar o conceito de função para gerar funções compostas e inversas;

• Efetuar operações envolvendo funções;

• Reconhecer tipos diferentes de funções e suas características;

• Realizar cálculos de valores de funções e determinar suas raízes;

• Esboçar e interpretar gráficos de funções;

• Aplicar o conhecimento sobre funções em situações práticas do cotidiano.

capítulo 4 • 87

4.1 Definição

Mesmo que não percebamos, estamos envolvidos por diversos tipos de funções

em nosso cotidiano. Considere, por exemplo, a relação existente entre o consu-

mo de água em nossa casa e o valor que iremos pagar, o tempo que o compu-

tador leva para realizar certa tarefa e a quantidade de cálculos que devem ser

realizados, a quantidade de itens comprados e o valor a ser pago, entre tantas

outras situações em que há a relação entre duas (ou mais) grandezas. Chamare-

mos essas grandezas de variáveis.

Há que se destacar que, na prática, não é comum que duas variáveis se re-

lacionem de forma exclusiva, sem a interferência de outras. Considere, por

exemplo, uma relação entre variáveis que é bem conhecida e já foi citada ante-

riormente: a relação entre a demanda (procura) de um produto e o seu preço.

Sabemos que o preço é um fator que, geralmente, configura-se como o prin-

cipal ou um dos principais fatores determinantes da procura pelo produto.

Mas, por mais que estabeleçamos uma relação matemática entre tais variáveis

(demanda e preço), sempre haverá outras variáveis que, certamente, afetarão o

valor da demanda.

Isso, no entanto, não diminui a importância da aplicação de funções nesses

tipos de relações. A prática mostra que as funções são ferramentas fundamen-

tais para tomadas de decisões mais eficientes e com menor risco de erro.

Veremos agora, a definição formal de função.

Considere dois conjuntos A e B. Dizemos que f é uma função de A em B (escrevemos

f : A → B) se, para todo elemento x ∈ A, há um único elemento y ∈ B.

As variáveis x e y que se relacionam em uma função f são denominadas, res-

pectivamente variável independente e variável dependente.

Nos exemplos a seguir são analisadas algumas relações entre conjuntos

para verificar se são ou não funções.

88 • capítulo 4

EXEMPLOExemplo 4.1

Considere os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {–1, 1, 3, 5, 7, 9, 11} e a relação x R y :

y = 2x – 1, com x ∈ A e y ∈ B. Podemos escrever R = {(0, –1), (1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7)}.

Observe que todos os elementos do conjunto A estão relacionados a elementos

do conjunto B. Além disso, cada elemento de A está associado a um único elemento

de B. Portanto, estão satisfeitas as condições descritas acima para que consideremos essa

relação uma função de A em B.

Podemos denotá-la na forma f : A → B.

Uma forma comum para indicar uma função é escrevê-la como uma f (x) (lê-se: f de x ou

uma função de x). É comum tanto utilizar esta notação como também utilizar y (ou outra letra

qualquer) no lugar de f (x). A expressão f (x) também pode ser substituída por outras formas

como g (x), v (t), C (q) etc. E podemos indicar a relação entre cada par de termos na forma:

R x y x y x A y B= ( ) + = ∈ ∈{ }, | , ,0

R x y S T y x= ( )∈ × = +{ }, | 2 1

f f( ) ( )0 2 0 1 1 0 1= ⋅ − = − ⇒ = −

f f( ) ( )1 2 1 1 1 1 1= ⋅ − = ⇒ =

f f( ) ( )2 2 2 1 3 2 3= ⋅ − = ⇒ =

Geralmente, conforme a aplicação que se está fazendo, são escolhidas as letras que

irão representar as variáveis que se relacionam. Por exemplo, no estudo da velocidade em

relação ao tempo é usual indicar a função na forma v (t). Quando a relação é entre custo

de produção de uma certa utilidade e a quantidade produzida, costuma-se utilizar a notação

C(q). Independentemente das letras utilizadas, o que importa é reconhecê-las como variáveis

de uma função.

O conjunto A que contém os valores x é denominado domínio da função f (esta de-

finição é a mesma que vimos no capítulo anterior no estudo das relações). A notação que

utilizamos, nesse caso, é D (f) = A ou D (f) = {0, 1, 2, 3, 4}. O contradomínio da função

f é o conjunto B. Denotamos CD (f) = B ou CD (f) = {–1, 1, 3, 5, 7, 9, 11}. Os elementos

do conjunto B que estão associados a elementos de A constituem a imagem da função f.

Nesse exemplo, temos, portanto, Im (f) = {–1, 1, 3, 5, 7}.

capítulo 4 • 89

O termo “imagem”, no estudo de funções, tanto pode ser utilizado para se referir ao con-

junto de elementos do contradomínio que estão associados a elementos do domínio como

também para indicar individualmente essa relação. Nesse exemplo, podemos dizer que:

• “–1” é imagem de “0”, pois f (0) = –1;

• “1” é imagem de “1”, pois f (1) = 1;

• “3” é imagem de “2”, pois f (2) = 3;

• “5” é imagem de “3”, pois f (3) = 5;

• “7” é imagem de “4”, pois f (4) = 7;

Vamos representar a função deste exemplo utilizando diagramas. Essa não é a forma

mais usual de representação, como veremos no decorrer deste capítulo. As representações

gráficas de funções são feitas, geralmente, no plano cartesiano. Mas, a representação por

diagramas (quando dos conjuntos que se relacionam são finitos) são úteis para que você

entenda melhor quando uma relação é ou não uma função. Veja a seguir.

A

B

0

1

2

3

4

–1

1

3

5

7

9

11

As condições para que uma relação entre A e B seja também uma função entre tais

conjuntos pode ser verificada através do diagrama de flechas acima da seguinte forma: o

conjunto das variáveis independentes x, que aqui é o conjunto A, deve ter flechas saindo

de todos os seus elementos e nenhum deles pode ter mais do que uma flecha. Ou seja,

todos os elementos do conjunto A devem estar associados a elementos (y) do conjunto B

e cada um deles (x) deve estar associado a um único elemento y de B. Já os elementos do

conjunto B não precisam estar todos associados a elementos de A e qualquer um pode estar

associado a mais do que um elemento x de A (receber mais do que uma flecha).

90 • capítulo 4

Observe, no diagrama, que de cada um dos (todos os) elementos de A (0, 1, 2, 3 e 4) sai

uma única flecha. Já os elementos de B podem não receber nenhuma, como é o caso dos

números 9 e 11. Pelo diagrama podemos, também, detectar de forma rápida o domínio, a

imagem e o contradomínio da função. O domínio é o conjunto de onde saem as flechas (nele

incluem-se todos os elementos do conjunto) e o contradomínio é o conjunto aonde chegam

as flechas (nele incluem-se todos os elementos do conjunto, inclusive aqueles que não estão

associados a nenhum elemento do domínio). Já a imagem é composta apenas por aqueles

elementos do contradomínio que “recebem” flechas, isto é, aqueles que estão associados a

elementos do domínio.

Veja, no próximo exemplo, mais um caso de função com representação por diagramas.

Exemplo 4.2

Considere os conjuntos A = {–1, –2, 0, 1, 2, 3} e A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} relaciona-

dos pela fórmula (“lei”) y = x2, com x ∈ A e y ∈ B.

Por se tratar de dois conjuntos finitos, podemos enumerar os elementos da relação en-

tre ambos:

R = {(–2, 4), (–1, 1) (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9)}.

Veja, abaixo, a representação dessa relação na forma de diagramas.

–1

0

1

2

10

23456789

A

B

–2

3

capítulo 4 • 91

Observe que, aqui também, todos os elementos do conjunto A estão relacionados a

elementos do conjunto B. Além disso, cada elemento de A está associado a um único

elemento de B. Portanto, estão satisfeitas as condições descritas acima para que conside-

remos essa relação uma função de A em B e representá-la, portanto, na forma f : A → B.

Mas, há elementos do conjunto B (contradomínio) que estão associados, cada um deles, a

dois elementos do domínio A. Isso não impede que a relação seja considerada uma função,

pois são os elementos do domínio que devem estar associados a apenas um elemento do

contradomínio (e não o contrário).

Para esta função, temos:

• D (f) = A = {–1, –2, 0, 1, 2, 3};

• CD (f) = B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

• Im (f) = {0, 1, 4, 9}.

No próximo exemplo, vamos definir uma relação que não é função.

Exemplo 4.3

Vamos considerar a relação y = x2 = 1 definida nos conjuntos A = {–1, 0, 2} e B = {1, 2,

3, 4} com x ∈ A e y ∈ B.

Como podemos escrever a relação y = f (x) = x2 + 1, então, nesse caso, temos:

• f (–1) = (–1)2 + 1 = 2, isto é, a imagem de “–1” é “2”;

• f (0) = 02 + 1 = 1, isto é, a imagem de “0” é “1”;

• f (2) = 22 + 1 = 5, mas este valor não é um elemento do contradomínio.

Portanto, f não é uma função de A em B (mas pode ser considerada uma relação de

A em B).

Na representação por diagramas, podemos ver que não se trata de uma função pelo

fato de ter um elemento do domínio (conjunto A) que não tem nenhum valor associado no

contradomínio (conjunto B). Veja:

–1

0

2

1

2

3

4

B

A

92 • capítulo 4

Veja outro exemplo de relação que não é função, mas, agora, por não cumprir a outra

condição da definição de função.

Exemplo 4.4

Considere a relação de A = {0, 1, 4} e B = {–1, 0, 1, 2, 3} com x ∈ A e y ∈ B.

Para isolar a variável dependente y, podemos escrever:

y x y x ou y f x x2 = ⇒ = ± = ( ) = ±

Daí, temos:

• f 0 0 0( ) = ± = , isto é, a imagem de “0” é “0”;

• f 1 1 1( ) = ± = ± , isto é, as imagens de “1” são “–1” e “1”;

• f 4 4 2( ) = ± = ± , o que nos leva a concluir que a imagem de “4” é apenas o “2”, pois o “–2”

não pertence ao contradomínio.

Antes de tirarmos qualquer conclusão quanto ao fato de f ser ou não uma função de A

em B, vamos analisar o diagrama de flechas dessa relação.

1

4

0 0

1

–1

2

B

A 3

Note que o elemento “1” do domínio está associado a dois elementos do contradomínio.

Embora, nos cálculos, vimos que algo semelhante ocorre com o elemento “4” do domínio, ele

está associado a apenas um elemento do contradomínio (que é o “2”), pois o outro elemento

com o qual ele se relacionaria (que é o “–2”) não está presente no contradomínio da relação.

Então, podemos concluir que f não é uma função de A em B justamente por existir

um (ou pelo menos um) elemento que está associado a dois elementos do contradomínio.

No diagrama, podemos chegar a essa conclusão sempre que observarmos duas (ou mais

flechas) saindo de um mesmo elemento do domínio da relação.

A partir de agora, iremos nos focar apenas nas relações que são funções.

capítulo 4 • 93

4.2 Funções sobrejetoras, injetoras e bijetoras

Na seção anterior definimos quando uma relação entre dois conjuntos A e B

pode ser considerada uma função de A em B (f : A ® B). A definição baseia-se no

tipo de relação que há entre elementos desses dois conjuntos. Lembre-se que a

relação só é uma função quando todos os elementos do conjunto A (que é o do-

mínio da função) estão relacionados a elementos de B (contradomínio) e cada

uma dessas relações deve ser única, isto é, cada elemento de A pode relacionar-

se com apenas um elemento de B.

Quanto aos elementos do contradomínio (B) não há essa preocupação,

pois cada um deles pode estar associado a um único elemento do domínio (A),

a mais do que um ou a nenhum. No entanto, quando todos os elementos do

contradomínio estão associados a elementos do domínio e/ou quando cada um

está associado a um único elemento do domínio, a função pode ser classificada

em injetora, sobrejetora ou bijetora.

Utilizaremos os próximos exemplos para mostrar como realizar este tipo

de classificação.

EXEMPLOExemplo 4.5

Dados os conjuntos A = {–1, 0, 1, 2, 3} e B = {0, 1, 2}, considere a função f : A → B, tal

que f (x) = |x – 1|. Temos, portanto:

f

f

f

f

f

−( ) = − − = − =

( ) = − = − =

( ) = − = =

( ) = − = =

( ) =

1 1 1 2 2

0 0 1 1 1

1 1 1 0 0

2 2 1 1 1

3 3 −− = =1 2 2

Observe que todos os elementos do contradomínio B estão associados a pelo menos

um elemento do domínio A. Então, podemos classificar essa função como sobrejetora. Veja

também sua representação através de diagramas a seguir.

94 • capítulo 4

0

1

2

A

B

–1

0

1

2

3

Uma característica da representação por diagramas de funções sobrejetoras é que po-

demos observar que todos os elementos do contradomínio “recebem” flechas, não importan-

do se algum deles tem mais do que uma associação.

De forma geral, uma função f de A em B é denominada sobrejetora (ou sobrejeti-

va) quando todo elemento do conjunto B é imagem de pelo menos um elemento do

conjunto A.

A definição acima também pode ser escrita na forma:

Uma função f de A em B é denominada sobrejetora quando sua imagem é igual ao

seu contradomínio, isto é, Im (f) = CD (f).

Exemplo 4.6

Dados os conjuntos A = {–1, 1, 2} e B = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}, considere a função

f : A → B, tal que f xx

x( ) = −4

. Temos, portanto:

f

f

f

−( ) =−

− −( ) = −

( ) = − =

( ) = − =

141

1 3

141

1 3

242

2 0

capítulo 4 • 95

Utilizando a representação por diagramas, temos: –3

–1

1

2

–3

–2

–1

0

1

2

3

B

A

Note que os elementos “–3”, “0” e “3”, que constituem a imagem da função f, têm, cada

um, apenas um elemento associado do domínio de f. Quando isso acontece, dizemos que a

função é injetora.

De forma geral, uma função f de A em B é denominada injetora (ou injetiva) quando

cada elemento da sua imagem tem uma única associação com elemento do domínio.


Uma função f de A em B é denominada injetora se para quaisquer dos elementos

distintos de seu domínio correspondem dois elementos distintos de sua imagem.

Você pode ainda considerar que se para uma função f (x) ser classificada como injetora

deve ocorrer que se x1 ≠ x2, então f (x1) ≠ f (x2).

Exemplo 4.7

Dados os conjuntos A = {–2, –1, 0, 1, 2} e B = {–3, –1, 1, 3, 5}, considere a função

f : A → B, tal que f (x) = 1 + 2x. Temos, portanto:

96 • capítulo 4

f

f

f

f

f

−( ) = + −( ) = −−( ) = + −( ) = −( ) = + ⋅ =

( ) = + ⋅ =

2 1 2 2 3

1 1 2 1 1

0 1 2 0 1

1 1 2 1 3

2(( ) = + ⋅ =1 2 2 5

Abaixo, a função f representada na forma de diagramas.

–2

–1

0

1

2

–3

–1

1

3

5

A B

Observe que todos os elementos do contradomínio B estão associados a apenas um

elemento do domínio A. Então, podemos classificá-la tanto como injetora como sobrejeto-

ra. Nesse caso, dizemos que a função é bijetora.

De forma geral, uma função f de A em B é denominada bijetora quando todo elemen-

to do conjunto B é imagem de um único elemento do conjunto A.


Uma função f de A em B é denominada bijetora quando é injetora e sobrejetora

simultaneamente.

Os exemplos até agora, em sua maioria, consideravam relações ou funções entre conjun-

tos com quantidades finitas de elementos para facilitar a compreensão das definições, con-

ceitos e procedimentos que foram abordados. Contudo, na maior parte das aplicações que

fazemos de todo esse conteúdo, os conjuntos que se relacionam são infinitos. Geralmente,

capítulo 4 • 97

o conjunto sobre o qual definimos uma função (ou relação) é o conjunto dos números reais

ou algum subconjunto seu.

Portanto, a partir de agora, priorizaremos o uso de exemplos com conjuntos reais. Mas

como podemos classificar funções desse tipo? Veremos na seção 5 deste capítulo.

4.3 Função inversa

Geralmente, numa função, expressamos a variável dependente y em relação à

variável independente x. Temos, portanto y = f(x). Para qualquer valor que atri-

buímos a x, conseguimos determinar o valor de y. Mas, será que não podemos

fazer o contrário? Expressar x como função de y. Vamos ver um exemplo práti-

co disso.

EXEMPLOExemplo 4.8

Uma aplicação clássica de função em Economia refere-se à relação entre a demanda de

(ou procura por) um produto e o seu preço. Aqui, tanto podemos expressar a demanda em

relação ao preço, como o preço em relação à demanda. Ou seja, a demanda, ora pode ser a

variável dependente, ora a variável independente. O mesmo vale para o preço.

Considere, por exemplo, a demanda y de certo produto dada por:

y = 50 – 2x

em que x é o preço unitário deste produto.

Da forma como está escrita, costumamos dizer que y é uma função de x ou y é a variável

dependente e x, a variável independente.

Para qualquer valor que atribuímos a x, conseguimos, facilmente, calcular y. Esta é uma

forma útil para analisar como a demanda se comporta em relação à variação do preço.

Mas, se quisermos analisar a variação do preço em relação à demanda, qual é a forma

mais adequada de relacionar tais variáveis?

Podemos, na função dada, isolar a variável x. Veja:

xy

ou x y=−

= −50

225 0 5,

98 • capítulo 4

As funções y x e xy

= − =−

50 250

2 são denominadas funções inversas. Note que

para qualquer par (x,y) que pertence à primeira, temos que o par (y, x) pertence à segunda.

Considere, por exemplo, o par ordenado (10, 30) que pertence à primeira função e constate

que o par ordenado (30, 10) pertence à segunda. De fato, se atribuirmos o valor 30 para va-

riável y, na segunda função, o valor de x será 10 (não se esqueça que para a segunda função,

a primeira coordenada do par ordenado é y e a segunda, x).

O que é domínio em uma função é imagem em sua inversa. E o que é imagem, na sua

inversa é domínio. A notação que utilizamos para determinar a função inversa de f é f –1.

Uma função f admite função inversa f –1 quando ela é bijetora (todo elemento do contra-

domínio está associado a um único elemento do domínio).

Para determinar a inversa de uma função, o procedimento varia de acordo com a forma

da expressão que a define. No entanto, o que podemos estabelecer como regra e que se a

função considerada é definida como y = f (x), devemos isolar x, isto é, obter uma expressão

que mostra x (isolado) em função de y. Após isso, podemos trocar as variáveis, pois costu-

mamos considerar que x é a variável independente e y a dependente. Vamos a um exemplo.

Exemplo 4.9

Como podemos determinar a inversa da função f xx

( ) =−

52 3

?

Vamos considerar y = f (x) na expressão acima e isolar x, como mostrado a seguir.

yx

xy

xy

xy

=−

− =

= +

= +

52 3

2 35

25

3

52

32

Trocando x por y e y por x, temos:

y

x= +

52

32

que também pode ser expressa na forma:

f xx

− ( ) = +1 52

32

capítulo 4 • 99

4.4 Composição de funções

A partir de duas ou mais funções é possível compor novas funções através das

operações elementares de adição, subtração, multiplicação e divisão, além de

outras. Mas, há uma forma bem conhecida de composição entre duas (ou mais)

funções em que uma delas é a variável independente da outra. Veja no próximo

exemplo algumas formas de realizar a composição entre duas funções.

EXEMPLOExemplo 4.10

Considere as funções f : R → R e f : R → R, tais que f (x) = 2x + 1 e g (x) = x2 – 4.

Podemos obter uma nova função, que denominaremos h (x), de algumas formas diferen-

tes. Veja a seguir:

h x f x g x h x x x h x x x

h x f x g x h

( ) = ( ) + ( ) ⇒ ( ) = + + − ⇒ ( ) = + −

( ) = ( ) − ( ) ⇒2 1 4 2 32 2

xx x x h x x x

h x f x g x h x x x

( ) = + − −( )⇒ ( ) = − + +

( ) = ( ) ⋅ ( ) ⇒ ( ) = +( ) ⋅2 1 4 2 5

2 1

2 2

22 3 2

2

4 2 8 4

2 14

−( )⇒ ( ) = + − −

( ) = ( )( )

⇒ ( ) = +−

h x x x x

h xf x

g xh x

xx

A composição pode ocorrer de outras formas também. Mas, quando utilizamos a expres-

são função composta, geralmente, estamos nos referindo ao tipo de composição entre duas

funções em que uma passa a ser a variável independente da outra, como mostrado a seguir.

h x f g x h x x h x x( ) = ( )( ) ⇒ ( ) = −( ) + ⇒ ( ) = −2 4 1 2 72 2

Observe que para obter a função composta h(x), calculamos o “valor” da função f para

x igual à função g. Além da representação utilizada na determinação da função composta

acima, uma notação bastante utilizada para esse tipo de composição é f · g ou f · g (x).

É importante notar que a composição de funções não é comutativa, isto é, f · g ≠ g · f.

Veja, para as funções dadas nesse exemplo, como fica definida a função g · f:

g f g f x g f x g f x x⋅ = ( )( ) ⇒ ⋅ = +( ) − ⇒ ⋅ = + −2 1 4 4 4 32 2

100 • capítulo 4

4.5 Funções do primeiro e do segundo graus e seus gráficos

Nesta seção, estudaremos dois tipos elementares de funções e que possuem

uma infinidade de aplicações: função do primeiro grau e função do segundo

grau (ou quadrática).

Começaremos com a mais simples delas (porém, não menos importante)

que é a função do primeiro grau.

Denominamos função do primeiro grau, na variável x, toda função f: R → R que

pode ser escrita na forma

f (x) = ax + b (ou y = ax + b)

Em que a e b são valores reais quaisquer, com a ≠ 0.

A constante real a é denominada o coeficiente angular (ou de inclinação)

da função. Ela é sempre o valor (coeficiente) que multiplica a variável indepen-

dente x e não pode assumir valor zero, pois, dessa forma, a função não teria em

sua expressão a variável x, isto é, passaria a ser uma função constante (e não do

primeiro grau). A constante b é denominada coeficiente linear (ou intercepto)

da função e é sempre o valor que aparece isolado, isto é, não multiplica a variá-

vel independente.

O gráfico da função de primeiro grau é sempre uma reta e o “sinal” do coefi-

ciente angular a determina se ela será crescente (a > 0) ou decrescente (a < 0). Já

o coeficiente linear, ou intercepto, b indica o ponto (valor) no qual a reta, que é

o gráfico da função de primeiro grau, cruza o eixo vertical y.

Como o gráfico de uma função do primeiro grau é sempre uma reta, basta

conhecer dois pontos pertencentes à ela para que possamos construir grafica-

mente essa relação. Mas, para que você possa entender melhor o significado

que o coeficiente angular tem em uma função do primeiro grau, no próximo

exemplo iremos obter mais pontos do que o necessário.

capítulo 4 • 101

EXEMPLOExemplo 4.11

Considere a função f (x) = 2x + 1. Vamos determinar alguns de seus valores a partir dos

seguintes valores de x: –2, –1, 0, 1 e 2.

f

f

f

−( ) = ⋅ −( ) + = − + = −

−( ) = ⋅ −( ) + = − + = −

( ) = ⋅ + = +

2 2 2 1 4 1 3

1 2 1 1 2 1 1

0 2 0 1 0 1==

( ) = ⋅ + = + =

( ) = ⋅ + = + =

1

1 2 1 1 2 1 3

2 2 2 1 4 1 5

f

f

Os resultados acima estão representados na seguinte tabela:

X F(X)–2 –3–1 –10 11 32 5

Observe que, os valores arbitrariamente atribuídos a x variam positivamente de uma em

uma unidade. Enquanto isso, os valores de y variam de duas em duas. Isso deve-se ao fato

do coeficiente angular dessa função ser igual a 2. Ele, justamente, determina qual será a

variação de y cada vez que x aumenta uma unidade.

Escolhemos apenas alguns valores dentre os infinitos possíveis valores que x pode as-

sumir. Mas, no momento de traçar o gráfico, devemos considerar que os pontos escolhidos

apenas representam alguns dos infinitos pontos de uma reta. Então, para traçar o gráfico

de uma função do primeiro grau, localizamos os pontos obtidos (lembre-se que dois pontos

apenas já são suficientes) e traçamos uma reta passando por eles. Abaixo, veja o gráfico da

função f (x) = 2x + 1.

102 • capítulo 4

x

y

0

1

–1–2–3

2

3

4

5

321

6

4

–2

–1

(2,5)

(1,3)

(0,1)

(–1, –1)

A representação gráfica que fazemos de uma função do primeiro grau, logicamente, é

limitada (finita). No entanto, a reta é infinita. Portanto, considere que para quaisquer valores

que escolhermos no eixo x, sempre teremos um valor associado no eixo y. Isso nos leva a

concluir que o domínio de uma função desse tipo é todo o conjunto dos números reais. O

mesmo vale para y e para a imagem da função que também é composta por todos os reais.

Então, podemos escrever:

D (f) = R e Im (f) = R.

Uma função do primeiro grau é sempre bijetora, pois ela é injetora e sobrejetora.

Como todos os elementos do contradomínio participam da relação (o conjunto imagem é

igual ao contradomínio), concluímos que ela é sobrejetora. Além disso, sempre que x1 ≠ x2,

temos f (x1) ≠ f (x2), o que nos leva a concluir que ela é injetora (cada valor de y está asso-

ciado a um único valor de x).

Dois pontos que, geralmente, são importantes nas aplicações de funções são raiz e

intercepto. O intercepto é único, mas dependendo do tipo de função, pode haver mais raízes

ou também pode não haver nenhuma. A função do primeiro grau possui apenas uma raiz e

um intercepto.

A raiz de uma função é o valor (ou os valores) de x para o qual (ou para os quais) a função

se anula, isto é,

capítulo 4 • 103

Se f (c) = 0, então c é uma raiz da função f(x)

A raiz é sempre o ponto de intersecção do gráfico da função com o eixo x. Então, ele

sempre é representado por um par ordenado da forma (x, 0).

Já o intercepto de uma função é o ponto de intersecção do seu gráfico com o eixo y. Ele

é sempre da forma (0, y).

Se f (0) = c, então c é o intercepto da função f (x).

No caso da função do exemplo que estamos apresentando, a raiz pode ser obtida fazen-

do f (x) = 0 e resolvendo a equação resultante, como mostrado a seguir:

f x

x

x

x

( ) =+ =

= −

= −

0

2 1 0

2 1

12

A raiz é, portanto, x = −12

, ou podemos também indicá-la através do par ordenado

012

,−

. Veja, no gráfico dessa função, que a intersecção com o eixo x ocorre nesse ponto.

Quanto à determinação do intercepto, basta apenas substituir a variável independente

x por zero e calcular o valor da função f (x). Para a função deste exemplo, temos, portanto:

f

f

0 2 0 1

0 1

( ) = ⋅ +

( ) =

Veja, novamente no gráfico, que a intersecção com o eixo x ocorre no valor 1, ou no ponto

(0,1). No caso da função do primeiro grau, na forma f (x) = ax + b, o intercepto é sempre o

coeficiente b.

O exemplo seguinte mostra uma função do primeiro grau em que o coeficiente angular

é negativo.

104 • capítulo 4

Exemplo 4.12

Seja f a função real (isso é o mesmo que dizer que o domínio e o contradomínio são o

conjunto dos números reais) dada por

f (x) = – 3x + 2

Podemos obter quaisquer dois pontos dessa função para traçar seu gráfico. No entanto,

pela importância que geralmente a raiz e o intercepto assumem nas aplicações e nas análi-

ses gráficas, vamos elegê-los como os pontos que nos auxiliarão nesse traçado.

O intercepto é o ponto (0, b), que nesse caso, é (0, 2).

A raiz é o ponto em que f (x) = 0, ou seja, o ponto 023

,

. Veja a seguir, como foi obtido

o valor 23

deste ponto:

f x

x

x

x

( ) =− + =

− = −

=

0

3 2 0

3 2

23

A seguir, o gráfico da função.

x

y

0

–1

0

1

2intercepto

raiz

3

–1 1 2 3

(0, 2)

(0.67, 0)

capítulo 4 • 105

Agora, passaremos a estudar a função do segundo grau. Vamos iniciar através de

um exemplo que, ao mesmo tempo, mostra como pode surgir uma função desse tipo e qual

sua aplicabilidade.

Exemplo 4.13

O proprietário de uma loja de informática compra, mensalmente, 50 unidades de certo

roteador por R$ 70,00 cada. Ele propôs, ao seu fornecedor, que aumentaria sua compra em

2 unidades para cada R$ 1,00 de desconto que lhe fosse concedido. O fornecedor aceitou

a proposta.

Sendo assim, como podemos estabelecer uma função que relacione o valor total y pago

pelo proprietário da loja ao fornecedor em função do desconto unitário concedido x ?

O valor que o proprietário pagava ao fornecedor pelas 50 unidades era obtido pelo pro-

duto 50 × 70 = 3.500 reais. Agora, o preço unitário será dado por “70 – x”, onde x é o valor

do desconto (por unidade) e a quantidade comprada será dada por “50 + 2x”, pois para cada

unidade de x serão compradas 2 unidades a mais. Dessa forma, denotando por y o valor total

a ser pago, teremos:

y x x= +( ) −( )50 2 70

Desenvolvendo essa expressão, chegamos a:

y x x= − + +2 90 3 5002 .

que é uma função do segundo grau.

São diversas as situações em que uma função desse tipo pode ser aplicada. Na Eco-

nomia e Administração ela é extremamente útil para otimizar a relação preço ´ quantidade

com o objetivo de determinar a quantidade (e o preço) ideal para que se obtenha o maior

lucro possível. Na Física, ela é utilizada, por exemplo, no estudo da velocidade de um móvel.

No contexto do exemplo que acabamos de ver, ela pode ser utilizada pelo fornecedor do

roteador para determinar o valor de desconto x que fará com que o valor pago y seja o maior

possível. Para isso, é preciso conhecer algumas propriedades desse tipo de função. É o que

faremos a seguir.

106 • capítulo 4

Denominamos função do segundo grau, na variável x, toda função f: R → R que

pode ser escrita na forma

f x ax bx c ou y ax bx c( ) = + + = + +( )2 2

Em que a, b e c são valores reais quaisquer, com a ≠ 0.

Para a função y = –2x2 + 90x + 3.500 do exemplo que acabamos de estudar, temos:

a = –2, b = 90 e c = 3.500.

Os coeficientes b e c podem ser iguais a zero, mas o coeficiente a não, pois, se isso

ocorrer a função deixa de ser do segundo grau.

O gráfico de uma função de segundo grau tem o formato de uma parábola, com con-

cavidade que pode estar voltada para cima ou para baixo, conforme o “sinal” do coeficiente a.

Se a > 0, a concavidade será voltada para cima e se a < 0 ela será voltada para baixo,

como mostrado a seguir.

Vértice

a > 0 a < 0

Vértice

O vértice da parábola, que você vê indicado na figura acima, é o seu ponto mais baixo,

quando a concavidade é voltada para cima, ou o ponto mais alto, quando a concavidade é

voltada para baixo. E, em relação ao eixo vertical que passa sobre o vértice, a parábola apre-

senta simetria. Portanto, quando traçamos uma linha horizontal que intercepta a parábola

em dois pontos, o segmento determinado por um desses pontos e a intersecção dessa linha

com o eixo vertical tem a mesma medida que o segmento determinado por essa interseção

e o outro ponto de cruzamento da linha horizontal com a parábola. Veja a representação nas

figuras a seguir.

Vértice

Vértice

capítulo 4 • 107

Para traçar o gráfico de uma função do segundo grau, além das informações já mostra-

das, é importante conhecer as coordenadas de seu vértice e outros pontos notáveis como

suas raízes (se existirem) e seu intercepto.

O intercepto, lembre-se, é o ponto de intersecção de uma função com o eixo vertical

y, ou seja, é o ponto da função em que x = 0. No caso de uma função do segundo grau, é

sempre o ponto de coordenadas (0, c).

Já vimos que a raiz de uma função y = f (x) é o valor que a variável x assume de tal forma

que y seja igual a zero. No gráfico, a raiz indica o cruzamento do gráfico da função com o eixo

x. Uma função do segundo grau pode ter ou não raízes. Além disso, o encontro da parábola

pode se dar em um único ponto ou em dois.

Para calcularmos as raízes da função de segundo grau (se elas existirem), devemos igua-

lar a função y = f(x) a zero e resolver a equação resultante. Você pode utilizar qualquer méto-

do de resolução de equação do segundo grau. Aqui, iremos utilizar a fórmula de Bhaskara,

em que calculamos o discriminante delta (∆). O sinal desse discriminante é que determina o

número de raízes da equação e, consequentemente, da função do segundo grau.

Na figura a seguir, veja as situações possíveis do traçado de uma parábola, com relação

às suas raízes.

A > 0 A < 0

∆ > 0 eixo x

x1 x2

eixo x

x1 x2

∆ = 0

eixo xx1

x1

eixo x

∆ < 0eixo x

eixo x

Quando igualamos a função do segundo grau à zero, obtemos uma equação da forma

ax2 + bx + c = 0 . E a fórmula de Bhaskara que fornece suas raízes (se elas existirem) é:

xb

a=− ± ∆

2

em que ∆ = b2 + 4ac.

108 • capítulo 4

Há outras formas de determinar as raízes de uma equação do segundo grau, que não

serão aqui apresentadas.

O vértice de uma parábola situa-se em seu eixo de simetria. Então sua coordenada x

pode ser obtida calculando-se a média entre as raízes, quando elas existirem. Mas, princi-

palmente, quando elas não existem, torna-se mais prático utilizar as fórmulas a seguir para

determinar, respectivamente, sua abscissa xv e sua ordenada yv :

xba

e yav v= − = −

2 4∆

A coordenada yv sempre representa o valor máximo ou mínimo da função, conforme a

concavidade seja voltada, respectivamente para baixo ou para cima. Dessa forma, a coor-

denada xv é o valor que atribuímos à variável independente x para obter o valor máximo ou

mínimo da função.

Vamos a alguns exemplos de construção de gráficos de funções do segundo grau.

Exemplo 4.14

Vamos esboçar o gráfico da função f (x) = x2 – 4x – 5.

Nesse caso, temos a = 1, b = –4 e c = –5. Como a > 0, então concluímos que a pará-

bola tem concavidade voltada para cima.

As raízes são calculadas igualando-se y a zero e resolvendo a equação resultante:

f x x x( ) = ⇒ − − =0 4 5 02

Temos:∆

∆

∆∆

= −

= −( ) − ⋅ ⋅ −( )= +=

b ac2

2

4

4 4 1 5

16 20

36

capítulo 4 • 109

Como ∆ é positivo, então concluímos que a função possui duas raízes reais distintas.

Vamos calculá-las utilizando a fórmula de Bhaskara:

xb

a

x

x

x

x

=− ±

=− −( ) ±

⋅

=±

= =

=−

= −

∆2

4 36

2 1

4 62

102

5

22

1

1

3

Portanto, as raízes são 5 e –1.

O intercepto é o ponto (0, c), isto é, (0, –5).

As coordenadas do vértice são:

xba

e yav v= − = −

−⋅= −

−= − − = = − = −

⋅= − = −

24

2 14

22 2

4364 1

364

9( )∆

Logo, o vértice é o ponto (2, –9).

A partir dos pontos obtidos, podemos construir o gráfico seguinte:

00

12345678

1 2 3 4 6 7–3 –2 5–1

–7–6–5–4–3–2

–10–9–8

–1

x

y

O domínio de uma função quadrática é composto por todos os números reais. Com rela-

ção à imagem, é preciso considerar que a coordenada yv (y do vértice) a limita. Se a concavi-

dade da parábola é voltada para cima, então o conjunto-imagem é dado por Im (f) = [yv, ∞[.

Quando a concavidade é voltada para baixo, temos Im (f) = [–∞, yv[. No caso da função

apresentada neste exemplo, temos Im (f) = [–9, ∞[.

110 • capítulo 4

Exemplo 4.15

Agora vamos esboçar o gráfico da função g (x) = –x2 + 2x – 1, que possui apenas um

ponto de intersecção com o eixo x.

Considerando que a = –1, b = 2 e c = –1, vamos obter os pontos que nos ajudarão

no traçado do gráfico. Como a < 0, concluímos que a concavidade da parábola é voltada

para baixo.

O intercepto é (0, c) = (0, –1).

Igualando g(x) a zero e resolvendo a equação resultante, chegamos às raízes desejadas.

g x x x( ) = ⇒ − + − =0 2 1 02

Daí,

∆

∆

∆

= −

= − ⋅ −( ) ⋅ −( )=

b ac2

2

4

2 4 1 1

0

Como ∆ = 0, então concluímos que a função possui uma única raiz, que determinaremos

utilizando a fórmula de Bhaskara:

xb

a

x

x

x

=− ±

=− ±⋅ −( )

=− ±−

=

∆2

2 02 1

2 02

1

Portanto, a raiz é 1.


xba

e yav v= − = −

⋅ −( )= −

−= − − = = − = −

⋅ −( )=

22

2 122

1 14

04 1

0( )∆

Portanto, o vértice é o ponto (1, 0). Daí, podemos concluir que Im (g) = [–∞, 0[. Lembre-

se que o domínio de toda função do segundo grau é R.

capítulo 4 • 111

A seguir o gráfico da função.

–1

–2

–3

–4

–5

1 3 3 4

1

–2 –1 00

y

x

Exemplo 4.16

Neste exemplo, veremos um caso em que a função não possui raiz real. Considere a

função h (x) = 2x2 + 5.

Temos a = 2, b = 0 e c = 5. Como a > 0, então concluímos que a parábola tem conca-

vidade voltada para cima.

Obtemos as raízes, resolvendo a equação h(x) = 0, como mostrado a seguir.

2x2 + 5

Daí,

∆

∆∆

= −

= − ⋅ ⋅= −

b ac2

2

4

0 4 2 5

40

Como ∆ é negativo, então concluímos que a função não possui raiz real.

O intercepto é (0, 5).


xba

e yav v= − = −

⋅= = − = −

−⋅

= −−

= − − =2

02 2

04

404 2

408

5 5∆

( )

112 • capítulo 4

Observe que essa função, além de não ter raízes, tem vértice e intercepto coincidentes, o

que nos leva a ter somente um ponto da parábola que a representa. No entanto, conhecemos

a concavidade da parábola e sabemos que ela é simétrica em relação ao ponto que temos

(vértice). Isso já é suficiente para fazer um esboço razoável do gráfico. Mas, para ter uma

maior precisão no traçado, podemos calcular mais alguns pontos dessa função:

f

f

−( ) = ⋅ −( ) + = ⋅ + = + = → −( )( ) = ⋅ + = ⋅ +

1 2 1 5 2 1 5 2 5 7 17

1 2 1 5 2 1

2

2

ponto: ,

55 2 5 7 17= + = → ( )ponto: ,

Segue o gráfico.

123456789

1011121314

–3 –2 –1 10 2 3

y

x

A imagem dessa função é Im (h) = [5, ∞[.

CONEXÃONos endereços abaixo, você encontra vídeos explicativos sobre funções de primeiro e se-

gundo graus.

• <http://youtu.be/KQl2bwnQY0Y> (função do primeiro grau)

• <http://youtu.be/IR1WMsJEEuM> (função do primeiro grau)

• <http://youtu.be/Pw-ROOBQJJ4> (função do segundo grau)

• <http://youtu.be/PdtEwtxDx28> (função do segundo grau)

capítulo 4 • 113

• <https://www.youtube.com/watch?v=j1rdtLdo4Rg> (Construção de gráficos utilizando o

Excel e os softwares Grapes e Equation-Graph)

• <https://www.youtube.com/watch?v=I8JtEElkSpU> (função do segundo grau)

• <https://www.youtube.com/watch?v=uLlVkvld91k> (função do segundo grau)

• <https://www.youtube.com/watch?v=dueBIy7yHo4> (aplicações de funções de primeiro

e segundo graus)

• <https://www.youtube.com/watch?v=DTgvUsl6Jak> (aplicações de funções de primeiro

e segundo graus)

4.6 Funções polinomiais

As funções de primeiro e segundo graus, que acabamos de estudar, fazem parte

de um grupo de funções que denominamos funções polinomiais.

Uma função f (x) é denominada função polinomial de grau n se pode ser escrita

na forma

f x a x a x a x a x ann

nn( ) = + + + + +−−

11

22

1 0

em que a a a a a R com an n n, , , , , ,− ∈ ≠1 2 1 0 0 .

Uma função polinomial de grau 0 (zero) é uma função constante. Se for de

grau 1, é uma função do primeiro grau. A de grau 2 é função quadrática ou do

segundo grau. Estas duas últimas nós já estudamos. A função constante é uma

função bem simples cujo gráfico é sempre um reta paralela ao eixo x. Por exem-

plo, a função constante f(x) = 3 é representada graficamente por uma reta para-

lela ao eixo x e que cruza o eixo y no valor 3.

As funções polinomiais com grau n ≥ 2 têm comportamentos bem conhe-

cidos e, de certa forma, fáceis de serem determinados. Mas, as funções poli-

nomiais com grau maior que 2 não comportam-se de forma bem padronizada.

Há sim, algumas repetições de padrões de comportamento entre funções do

terceiro grau, por exemplo, mas não da mesma forma como vimos com funções

de graus menores. Portanto, dependendo da função polinomial com a qual

114 • capítulo 4

estamos trabalhando, a determinação de suas raízes e a construção do gráfico

nem sempre é tarefa fácil.

Nesta seção, veremos, através de alguns exemplos, como podemos determi-

nar as raízes de algumas funções polinomiais, destacando certas propriedades

que podem ser generalizadas. Com relação à construção de gráficos, a sugestão

é que você calcule e localize alguns pontos da função dada para ter uma noção

de seu comportamento. Além disso, é interessante utilizar softwares que auxi-

liam nesse tipo de trabalho.

CONEXÃOVeja algumas sugestões no link: <https://www.youtube.com/watch?v=j1rdtLdo4Rg>.

Pelos motivos apresentados, não tentaremos aqui, explorar todas as possi-

bilidades de procedimentos que podem ser aplicados para cada tipo de fun-

ção polinomial (até porque podemos determinar uma infinidade de funções

polinomiais aumentando cada vez mais o seu grau). Uma função polinomial de

grau 3, por exemplo, pode apresentar comportamento bem distinto de outras

funções polinomiais de mesmo grau. Vamos, através dos exemplos seguintes,

observar algumas propriedades que merecem destaque.

EXEMPLOExemplo 4.17

Considere a função do terceiro grau f (x) = x3 – 5x2 + 6x.

Essa função, como várias outras de mesmo grau, nos permite a representação na forma

fatorada, em que cada fator tem grau menor ou igual a 2 e, dessa forma, facilita-nos a deter-

minação de suas raízes.

Podemos reescrever a função f (x) na forma:

f x x x x ou f x x x x( ) = ⋅ − +( ) ( ) = ⋅ −( ) ⋅ −( )2 5 6 2 3

Nas duas formas apresentadas, se igualarmos cada fator a zero e resolvermos as equa-

ções resultantes, chegaremos às raízes da função f (x). Veja:

capítulo 4 • 115

f x

x x x x x x

( ) =⋅ −( ) ⋅ −( ) = ⇒ = = =

0

2 3 0 0 2 3 ou ou .

Conseguimos, portanto, determinar que a função f (x) cruza o eixo x nos valores 0, 2 e 3.

Veja o seu gráfico a seguir.

1

2

3

–1

4

00

–1 1 2 3 4

x

y

Em todas as funções polinomiais em que o termo independente ao é nulo, é possível

fatorar a função colocando o termo x em evidência. E isso, em alguns casos, possibilita a

determinação das raízes, como foi o caso da função que acabamos de ver.

Além da determinação das raízes, um procedimento importante é determinar os vértices

de uma função polinomial. Mas, o recurso que normalmente se utiliza para tal procedimento

não faz parte do escopo deste livro.

Uma característica importante a se destacar a respeito de toda função polinomial é que

ela são sempre contínua para todo x de seu domínio. Seja qual for o valor real que você

atribua a x, sempre será possível calcular o valor de f (x). Graficamente, isso significa que

o gráfico de uma função polinomial nunca apresenta nenhum tipo de salto ou interrupção.

No exemplo a seguir, veja uma função polinomial de grau 4 ou função quártica em que

conseguimos determinar suas raízes utilizando um método de substituição de variável.

116 • capítulo 4

Exemplo 4.18

Considere a função f (x) = x4 – 3x2 + 2.

Note que é possível efetuar a substituição de x2 por z, por exemplo. Dessa forma, pode-

mos reescrever a função na forma

f (z) = z2 – 3z + 2

A função f em relação a essa “nova” variável z é uma função do segundo grau com raízes

iguais a 1 e 2 (para obtê-las você pode utilizar, por exemplo, a fórmula de Bhaskara, como

vimos na seção anterior.

Para cada um dos valores que z assume, podemos ter:

z x x

z x x

= ⇒ = ⇒ = ±

= ⇒ = ⇒ = ±

1 1 1

2 2 2

2

2

Portanto, as raízes da função f (x) = x4 – 3x2 + 2 são − −2 1 1, , e 2 . A seguir, o

seu gráfico.

x

1 2 3–2 –1–3

2

1

00

–1

3

4

5 y

CONEXÃO

Acesse: <http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1367>, e veja um interessante experimento

que envolve as funções polinomiais.

capítulo 4 • 117

ATIVIDADES01. Para cada um dos pares de conjuntos A e B dados e a relação R de A em B, faça a

representação de R utilizando diagramas, indique quais podem ser consideradas funções de

A em B e classifique em injetora, sobrejetora e bijetora aquelas relações que são funções.

a) A = {–1, 1, 3, 5}, B = {0, 1, 2, 3}, x R y : x > y + 1.

b) A = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ,8, 9}, x R y : y = x2.

c) A = {–3,–2,–1,0,1,2,3}, B = {1,2,5,10}, xRy : y = x2 + 1.

d) A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {0, 1, 2, 3}, x R y : x y= +1.

02. Represente graficamente as relações entre A e B definidas a seguir:

a) R = A · B, A = [–2, 6[ e B = [1, 4].

b) x R y : x + 1 ≥ y – 2, A = ]–4, 4[ e B = [0, 5].

c) x R y : yx

=−13

, A = R e B = Z.

03. Classifique cada uma das funções seguintes em injetora, sobrejetora ou bijetora e es-

boce seus gráficos:

a) f (x) = 3 + x

b) g (x) = 3x – 5

c) y = –2x + 1

d) f xx( ) = −8

2e) y = x2 – 8x + 7

f) y = –x2 – 2

g) y = x2 – 10x

h) y = –x2 –6x – 9

i) y = x2 + 1

04. Um taxista cobra R$ 6,00 por corrida mais R$ 1,50 por km percorrido. Qual expressão

fornece o valor cobrado por esse taxista, em função da distância percorrida (em km)? Quanto

receberá por uma corrida de 15 km?

05. O gráfico de uma função de primeiro grau passa pelos pontos (2,5) e (7,20). Qual é a

expressão que a representa?

06. Um estudo sobre a demanda de determinado produto revelou que para cada R$ 1,00 de

aumento no preço de venda p, há uma queda de 500 unidades na quantidade demandada

q. Sabe-se que para um preço de R$ 23,00 a quantidade demandada é de 8.000 unidades.

a) Escreva q em função de p.

b) Esboce o gráfico da função obtida.

c) Qual deve ser o preço praticado para que a demanda atinja 12.000 unidades?

118 • capítulo 4

07. Uma revista de grande tiragem recebe, a cada edição, R$ 80.000,00 referente à publici-

dade mais R$ 6,00 por unidade vendida. O departamento de marketing apresentou proposta

de aumento do valor referente à publicidade para R$ 100.000,00 por edição. Mas para isso,

a receita por unidade vendida cairá para R$ 4,50.

a) Determine, para cada uma das situações apresentadas, a expressão que relaciona a

receita total por edição em relação à quantidade vendida de revistas.

b) Esboce os gráficos das duas funções obtidas no mesmo sistema de eixos.

c) Qual deve ser a quantidade vendida por edição para que as receitas das duas propostas

sejam iguais?

08. O lucro L (em milhares de reais) referente à produção e comercialização de uma quanti-

dade de x toneladas de certo produto é dado pela função

L = –x2 + 30x –125

a) Esboce o gráfico de L em função de x.

b) Determine a quantidade que deve ser produzida e comercializada para que o lucro

seja máximo.

c) Calcule o lucro máximo.

d) Quais são os valores de x (em toneladas) que fazem com que o produto dê prejuízo?

09. (Enem 2009) Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50

cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por

litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool

foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros.

Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o

valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V

e x é:

a) V = 10.000 + 50x – x2.

b) V = 10.000 + 50x + x2.

c) V = 15.000 – 50x – x2.

d) V = 15.000 + 50x – x2.

e) V = 15.000 – 50x + x2.

capítulo 4 • 119

REFLEXÃOAs funções que acabamos de estudar apresentam inúmeras aplicações, mesmo as mais

simples. Compreender que o comportamento de uma variável pode estar vinculado ao com-

portamento de outra variável pode nos ser útil em diversas aplicações. Não é por acaso que o

estudo de funções ocupa posição de importância nos currículos de diversos cursos de áreas

variadas.

Não basta reconhecer quando uma relação pode ser considerada uma função ou co-

nhecer, simplesmente, o comportamento de uma função e suas características. É preciso

saber aplicá-las em situações contextualizadas. Ao longo do capítulo, algumas característi-

cas foram apresentadas a partir de situações concretas. Procure, sempre, fazer esse tipo de

relação entre o conteúdo teórico apresentado e as situações em que ele pode ser aplicado.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICASBOULOS, P. Pré-cálculo. São Paulo: Makron Books, 1999.

DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2005.


2009.


Atual, 2006.

120 • capítulo 4

Cálculo proposicional

5

122 • capítulo 5

5. Cálculo proposicional

Quando nos deparamos com um ponto de vista que julgamos coerente, costu-

mamos dizer que há lógica no que foi exposto. Mas, há mais do que um signi-

ficado para a palavra “lógica”. O Grande Dicionário Houaiss da Língua Portu-

guesa apresenta algumas definições, dentre elas: (I) encadeamento coerente de

alguma coisa que obedece a certas convenções ou regras; (II) coerência, funda-

mento e (III) forma por que costuma raciocinar uma pessoa ou um grupo de

pessoas ligadas por um fato de ordem social, psíquica, geográfica etc.

Todos os significados apresentados, de certa forma, estarão relacionados

com a abordagem que faremos da lógica, a partir deste capítulo. Mas a tercei-

ra é a que mais se aproxima do sentido que daremos ao tratamento da lógica

como “ciência”.

Definida por Aristóteles, filósofo grego (séc. IV a.C.) como a “ciência” da de-

monstração, a Lógica Matemática é utilizada para expressar a forma do pensa-

mento na demonstração e argumentação baseadas em proposições. Ela consis-

te numa ferramenta importante na procura e demonstração da verdade.

Veremos vários processos associados ao estudo da lógica matemática, que

é formal e dedutiva. Você poderá identificar, através do seu estudo, raciocínios

ditos dedutivos, que são aqueles em que chegamos a uma conclusão a partir

de uma ou um conjunto de premissas, através do uso da razão. Esse é um dos

objetivos do cálculo proposicional.

OBJETIVOS

• Identificar e representar uma proposição;

• Construir e analisar o valor lógico de uma proposição simples;

• Determinar valores lógicos com as operações lógicas fundamentais em proposi-

ções compostas;

• Construir a tabela-verdade de uma proposição;

• Construir tabelas-verdade de proposições compostas;

• Interpretar os possíveis valores de uma tabela verdade;

• Identificar tautologias, contradições e contingências;

• Identificar e representar uma Implicação;

• Analisar uma Implicação, usando tabela verdade;

• Determinar a validade de uma Implicação e demonstrá-la;

capítulo 5 • 123

• Identificar e representar uma equivalência lógica;

• Demonstrar equivalências lógicas através da construção de tabela-verdade;

• Negar proposições compostas;

• Identificar o conjunto numérico binário;

• Associar os valores lógicos estudados, verdadeiro e falso, ao zero e um;

• Utilizar a Álgebra Booleana nas análises lógicas;

• Construir tabela-verdade usando o conjunto binário;

• Transformar um número no sistema decimal para o sistema binário e vice versa.

5.1 Raciocínio e lógica: linguagem natural e linguagem simbólica

Em nosso cotidiano, vemos a aplicação da palavra lógica aplicada, frequente-

mente, com sentido diferente daquele que será utilizado neste e no próximo

capítulo. O termo logos, do grego e do qual se origina a palavra lógica, é uti-

lizado para designar razão. Raciocinar de forma lógica significa determinar o

modo coerente pelo qual coisas ou acontecimentos se encadeiam, utilizar a

razão para estabelecer relações de causa e efeito. O uso da lógica nos auxilia a

organizar nossas ideias de forma acessível e ordenada.

A lógica de nosso cotidiano nos leva a procurar uma interpretação mais

adequada para a situação que nos é apresentada. Já a Lógica Matemática exige

que a interpretação de uma questão deve ser precisa. Não há mais do que uma

interpretação para uma sentença. Há um rigor maior na análise da lógica dos

raciocínios analisados. Na linguagem natural, há muitos casos de ambiguida-

de em que uma mesma sentença pode conter mais do que um significado. Isso

não pode ocorrer com as sentenças utilizadas na Lógica Matemática.

Por esse motivo, utilizamos uma linguagem simbólica para represen-

tar o raciocínio que iremos analisar. Assim como ocorre em outras áreas da

Matemática, a linguagem utilizada nos permite apenas uma interpretação, isto

é, não deve nos deixar em dúvida sobre o que está sendo afirmado.

Vamos, a seguir, apresentar alguns exemplos de raciocínios para ilustrar as

diferenças entre a lógica cotidiana e a matemática.

124 • capítulo 5

EXEMPLOExemplo 5.1

Considere as afirmações a seguir:

“Ontem, quando Rafaela acordou, observei que havia muitas nuvens escuras no céu.

Depois choveu.

Hoje, Rafaela também observou muitas nuvens escuras no céu. Concluiu, então, que

vai chover novamente.”

Não podemos deixar de considerar que há certa coerência no raciocínio apresentado.

Não só pela observação de “ontem”, mas nossa vivência nos leva a concluir que se há nuvens

escuras no céu, há grandes chances de chover. O argumento de Rafaela para concluir que

“vai chover” é coerente, justificável. Em nosso dia-a-dia, qualificamos de “lógico” um “raciocí-

nio” quando, de acordo com nosso entendimento, ele é justificável.

Esse é um raciocínio que lida com probabilidade: “é bem provável que chova, pois há

nuvens escuras no céu”. Mas, não podemos afirmar com certeza de que irá chover. A lógica

matemática lida com o que chamamos de raciocínio dedutivo, que é uma modalidade de

raciocínio lógico que se baseia em certas premissas (sentenças ou proposições) para chegar,

com certeza, a determinada conclusão.

No uso que fazemos da linguagem natural, nem sempre nos preocupamos em ter certo

rigor no desenvolvimento do raciocínio. Mas, quando utilizamos a linguagem simbólica para

representar algum raciocínio, a análise é precisa e exata. Não deve pairar nenhum tipo de

dúvida sobre a veracidade ou não do que se está analisando.

Veja, no próximo exemplo, uma situação em que a utilização da linguagem natural não

corresponde exatamente ao que se representa na linguagem simbólica da lógica.

Exemplo 5.2

Ao despejar o suco em seu copo, Júlia derramou um pouco fora dele. Sua irmã, vendo

tudo, exclamou: “Cuidado, Júlia! Você despejou mais suco fora do copo do que dentro dele!”.

Muitas de nossas afirmações não querem dizer o que realmente significam. Da forma

como a frase foi dita pela irmã de Júlia, parece-nos que ela quis apenas dizer que Júlia derra-

mou bastante suco fora do copo, mas, não necessariamente, que a quantidade desperdiçada

tenha sido maior do que a despejada dentro do copo. É somente uma forma de dizer que a

quantidade de suco derramado não foi pouca.

capítulo 5 • 125

Quando se trata de uma análise sob a ótica da Lógica Matemática, uma afirmação como

essa só deve ser utilizada se realmente a quantidade de suco derramada para fora do copo

for maior do que a despejada dentro.

No exemplo a seguir, temos a apresentação de um raciocínio que podemos analisar do

ponto de vista da lógica matemática.

Exemplo 5.3

O pai de Lorena lhe diz que se ela brigar com suas irmãs, não irá ao cinema com suas

amigas. E Lorena não foi ao cinema com suas amigas. Podemos, logicamente, concluir que

Lorena brigou com suas irmãs. Podemos mesmo?

É preciso tomar cuidado! O fato de Lorena não ir ao cinema pode não dever-se ao fato de

ter ou não brigado com suas irmãs. Outro motivo pode ter causado sua não ida ao cinema. Na

Lógica Matemática não existem provavelmente, talvez etc. Só podemos concluir algo quando

tivermos total certeza.

Na lógica matemática, esse raciocínio pode ser apresentado na forma:

“Se Lorena brigar com suas amigas, então não irá ao cinema com suas amigas”.

Na linguagem simbólica que utilizamos na lógica matemática, tal raciocínio pode ser des-

crito na forma:

“Se p, então q”,

onde consideramos que p é a proposição “Lorena briga com suas irmãs” e q é “Lorena

não irá ao cinema com suas amigas”. Nesse tipo de raciocínio, estamos utilizando um dos de-

nominados conectivos lógicos (que estudaremos mais à frente). E o raciocínio descrito por

tal conectivo só é falso quando a primeira sentença (p) é verdadeira e a segunda (q) é falsa.

Sendo assim, o fato de Lorena não ter ido ao cinema, não implica, necessariamente, que ela

tenha brigado com suas irmãs. Se ela brigar, não irá ao cinema. Mas, se ela não brigar, tanto

pode ir como não ir ao cinema.

Em outras palavras, o raciocínio descrito só será falso se Lorena brigar com suas irmãs

e, mesmo assim, for ao cinema com suas amigas.

A Lógica Matemática é considerada dedutiva e formal. Entende-se por dedução a ob-

tenção de uma conclusão a partir de certas informações, seguindo uma linha de raciocínio.

Num processo dedutivo, dentro da Lógica Matemática, a conclusão deve ser totalmente pre-

cisa. Não se pode admitir a possibilidade dela não ocorrer daquela forma.

Para compreender melhor o que você acabou de ler, veja o exemplo seguinte.

126 • capítulo 5

Exemplo 5.4

Todo número natural é inteiro.

Todo número inteiro é racional.

Então, todo número natural é racional.

Note que, aqui, se considerarmos verdadeiras as premissas “Todo número natural é in-

teiro” e “Todo número inteiro é racional”, não há dúvida alguma de que a conclusão “todo

número natural é racional” é verdadeira. Trata-se, portanto, de um raciocínio dedutivo. Além

disso, mesmo que não saibamos o que são números naturais, inteiros e racionais, podemos

concluir pela veracidade da conclusão. Por isso, chamamos tal lógica de formal. Ela preocu-

pa-se com a forma do pensamento e não com seu conteúdo. Se substituirmos a expressão

“número natural” pelo símbolo A, o termo “número inteiro” pelo símbolo B e “número racional”

por C, podemos reescrever o raciocínio da seguinte forma:

Todo A é B.

Todo B é C.

Então, Todo A é C.

Raciocínios como o apresentado no Exemplo 5.4 são conhecidos por silogismos. Um

silogismo tem as seguintes propriedades:

• Possuem duas sentenças (premissas), que servem como ponto de partida para a dedução;

dessas sentenças decorre uma outra, que é a conclusão.

• Tantos as premissas quanto a conclusão são sentenças que têm um sujeito e um predica-

do. A vinculação entre eles dá-se por certas palavras que chamamos palavras lógicas.

CONEXÃONo endereço seguinte, você encontra um vídeo, chamado “A lógica de Alice” que apresenta

de forma clara e interessante as diferenças entre a lógica cotidiana e a lógica matemática.

Os exemplos apresentados baseiam-se na história de “Alice no país das maravilhas”. Vale a

pena assistir!

<http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1127>.

No exemplo a seguir, veja um exemplo de silogismo apresentado por Aristóteles.

capítulo 5 • 127

Exemplo 5.5

Todo mamífero é animal. (premissa)

Todo cavalo é mamífero. (premissa)

Todo cavalo é animal. (conclusão)

O sujeito da primeira premissa é “mamífero” e o predicado, “animal”. Eles estão vincu-

lados pelo termo lógico “é”. A mesma estrutura apresenta-se na outra premissa, em que o

sujeito é “cavalo” e o predicado é “mamífero”, e na conclusão que tem cavalo como sujeito e

“animal” como predicado, com vinculações também realizadas pela palavra lógica “é”.

Outros exemplos de palavras lógicas são: todos, existe algum, ou, se...então, não. Alguns

são chamados de conectivos e outros de quantificadores. Todos serão estudados neste

ou no próximo capítulo.

5.2 Proposições simples e compostas

Primeiro, precisamos reconhecer o que é uma proposição. Para isso, considere

as sentenças apresentadas no exemplo a seguir.

EXEMPLOExemplo 5.6

Na linguagem natural, há vários tipos de proposições (sentenças). Veja algumas:

• Exclamativa: “Que lindo gol!”

• Interrogativa: “Você torce para que time?”

• Imperativa: “Empenhe-se mais!”

• Declarativa: “O futebol é o esporte mais popular do Brasil.”

Apenas o último tipo de sentença é objeto de estudo da lógica matemática, pois, somen-

te sentenças declarativas podem ser classificadas em verdadeiras ou falsas.

As proposições que serão utilizadas no desenvolvimento da Lógica Matemática apresen-

tada nesse livro são apenas as declarativas, pois elas podem ser classificadas em verdadei-

ras ou falsas.

128 • capítulo 5

Proposição é um conceito primitivo que possui as seguintes características:

• Deve ser afirmativa;

• Apresenta pensamento de sentido completo;

• Pode ser escrita tanto na forma simbólica como na linguagem natural.

Somente sentenças que podem ser classificadas em verdadeiras ou falsas é que são

consideradas proposições no cálculo proposicional. Uma sentença como “x2 = 4” não é

uma proposição, pois para que ela possa ser classificada em verdadeira ou falsa é preciso

saber qual valor é atribuído a x. Trata-se de uma sentença aberta. Sentenças como essa são

denominadas predicados e, no próximo capítulo, será abordado o cálculo de predicados.

O exemplo a seguir apresenta algumas proposições ilustram bem as formas com as

quais trabalharemos neste capítulo.

Exemplo 5.7

I. A Bahia é um estado brasileiro.

II. O Japão é um país europeu.

III. O número 46 é múltiplo de 16 ou divisor de 92.

IV. Se João é pintor, então ele é artista ou professor.

V. O número 2 é primo e par.

Todas as proposições acima são declarativas (ou afirmativas) e apresentam sentido com-

pleto. Sendo assim, cada uma delas pode ser classificada em verdadeira ou falsa. As propo-

sições apresentadas em (I) e (V) são verdadeiras. Já as proposições em (II) e (III) são falsas.

E quanto à proposição em (IV)? Como podemos avaliá-la? Somente quem conhece o João

é que pode dizer se essa proposição é verdadeira ou não. Mas isso não torna essa sentença

aberta, pois a afirmação refere-se a um sujeito específico e, dessa forma, alguém (quem

conhece o João) pode classificá-la corretamente.

Observe, também, que todas podem ser escritas na forma simbólica.

Outro ponto que vamos destacar a partir das sentenças deste exemplo é que algumas

podem ser separadas em duas ou mais proposições. Na sentença (III), por exemplo, podemos

destacar as sentenças “o número 46 é múltiplo de 16” e “o número 46 é divisor de 92”. Se

a denotarmos, respectivamente, por p e q, podemos reescrever a sentença (III) na forma:

p ∨ q (lê-se “p ou q”). Sentenças lógicas que possuem essa forma são consideradas verda-

deiras se pelo menos uma das sentenças que as compõem é verdadeira. Nesse caso, a sen-

tença p (“o número 46 é múltiplo de 16”) é falsa, mas a sentença q (“o número 46 é divisor

capítulo 5 • 129

de 92”) é verdadeira, então a sentença p Ú q (“O número 46 é múltiplo de 16 ou divisor de

92”) é verdadeira.

A sentença (IV) também é composta por mais do que uma sentença. Se denotarmos por

p a sentença “João é pintor”, por q a sentença “João é artista” e por r a sentença “João é

professor”, podemos expressar de forma simbólica a proposição (IV) como:

p → (q ∨ r)

(Lê-se: “se p, então q ou r”)

Esta sentença mostra bem uma vantagem da linguagem simbólica em relação à natural,

pois a estrutura da sentença lógica, com o uso dos parênteses, não nos deixa dúvida sobre o

que se está afirmando, ou seja, se “João é pintor”, então pode ocorrer duas situações: “João

é artista” ou “João é professor” (ou ambas). Na linguagem natural, quando afirmamos que

“Se João é pintor, então ele é artista ou professor” não fica totalmente claro se o que se está

querendo afirmar. Pela linguagem natural, tanto pode ser

p → (q ∨ r)

como

(p → q) ∨ r.

Essas duas sentenças têm significados bem distintos. Você verá, mais adiante, que tais

estruturas levam a resultados lógicos bem distintos.

Mas, voltando à questão do número de proposições que compõem outra proposição,

vemos que há algumas que não contêm nenhuma outra proposição como parte integrante

de si mesma. Dizemos que elas não possuem nenhum conectivo como “não é verdade que”,

“e”, “ou”, “se ... então” (ou “implica”) e “se e somente se” (ou “equivale a”). Sentenças assim são

denominadas proposições simples, e são representadas por letras minúsculas de nosso

alfabeto.

Neste exemplo, temos as seguintes proposições simples: “A Bahia é um estado brasilei-

ro” e “O Japão é um país europeu”.

Já as sentenças “O número 46 é múltiplo de 16 ou divisor de 92”, “Se João é pintor,

então ele é artista ou professor” e “O número 2 é primo e par” possuem duas ou mais propo-

sições simples, ligadas por conectivos. São, portanto, denominadas proposições compostas,

e são representadas por letras maiúsculas de nosso alfabeto.

Toda proposição lógica, seja ele simples ou composta, tem apenas dois valores lógicos

ou veritativos: verdadeiro (V) ou falso (F). Podemos também representar esses valores,

respectivamente, por “1” e “0”.

130 • capítulo 5

No cálculo proposicional, cada proposição simples é considerada um átomo. Uma

sentença em que são combinadas proposições simples (átomos) através do uso de conecti-

vos é denominada uma sentença atômica.

Existem dois princípios que consideramos no estudo da lógica matemática. São eles:

• Princípio da Não-Contradição: uma proposição não pode ser simultaneamente

verdadeira e falsa.

• Princípio do Terceiro Excluído: toda proposição ou é só verdadeira ou só falsa,

nunca ocorrendo um terceiro caso.

O que concluímos a partir desses dois princípios é que para toda proposição que consi-

deramos, ela sempre será verdadeira ou falsa. Não há talvez e nenhuma proposição pode ser

verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

Na próxima seção será apresentada uma ferramenta extremamente útil no estudo dos

valores veritativos de proposições compostas, que é a tabela-verdade.

5.3 Tabelas-verdade e conectivos

Qualquer proposição composta pode ser verdadeira ou falsa, dependendo dos

valores veritativos das proposições simples que a compõem e da forma como

estas são unidas. Isto é, depende dos valores lógicos dessas proposições sim-

ples e dos conectivos que as unem. Nesta seção, estudaremos tais conectivos

e a construção de tabelas-verdade, que é uma forma muito útil de análise de

valores veritativos de proposições compostas.

Há muitas proposições simples que podem ser classificadas facilmente em

verdadeiras ou falsas, como por exemplo, “o número 3 é ímpar”. Sabemos que

ela é verdadeira. Já a sentença simples “Todo primo é ímpar” é falsa. No entan-

to, a lógica formal (lembre-se que a lógica matemática é formal, como já estu-

damos no início deste capítulo) preocupa-se apenas com a forma (estrutura) da

proposição composta. Por isso, devemos considerar que cada proposição sim-

ples que a compõe pode ser verdadeira ou falsa. E devemos considerar todas as

possibilidades de arranjos de valores veritativos das proposições simples com-

ponentes da proposição composta.

Além disso, temos que considerar que, muitas vezes, não nos caberá de-

cifrar o valor lógico das proposições simples porque estaremos lidando com

capítulo 5 • 131

sentenças abertas, que são aquelas em que, no sujeito, ocorre a presença de

uma variável. Esses casos serão estudados no próximo capítulo.

Mas, de qualquer forma, há proposições que não temos ou não sabemos

como classificá-las em verdadeiras ou falsas. E, nesses casos, precisaremos

considerar as duas possibilidades.

Veja o exemplo a seguir para compreender melhor.

EXEMPLOExemplo 5.8

A proposição “Alessandra é brasileira” apresenta sujeito bem definido: Alessandra. Quem

a conhece poderá dizer se ela realmente é brasileira. Mas, se eu não a conheço, não saberei

dizer se essa proposição é verdadeira ou falsa.

Exemplo 5.9

Considere a proposição “Tenho mais que 20 anos e menos que 50”. Eu e mais algumas

pessoas próximas a mim sabem se essa proposição é verdadeira ou não. Mas, e você? Se

você não me conhece, não conseguirá avaliar a sua veracidade. Além disso, trata-se de uma

proposição composta. Vamos denotá-la por A e as proposições simples que a compõem são:

p: “Tenho mais que 20 anos” e q: “Tenho menos que 50 anos”.

Sendo assim, podemos representar a proposição A na forma simbólica como:

A: p ∨ q.

E para analisar o valor veritativo de A, devemos considerar os valores veritativos de p e q.

A tabela-verdade abaixo apresenta todas as situações possíveis. Veja:

p qV VV FF VF F

Como há duas proposições representadas na tabela-verdade acima, ela possui quatro

linhas de valores lógicos (22). Se tivermos três proposições, a tabela terá 8 linhas (23). De

forma geral, se tivermos n proposições simples, a tabela-verdade terá 2n linhas.

132 • capítulo 5

Como os valores lógicos também podem ser representados por 0 e 1, no lugar de F e V,

respectivamente, a tabela-verdade anterior pode ser também apresentada da seguinte forma:

p q1 11 00 10 0

O valor veritativo de uma proposição também pode ser indicado na forma:

V (p) = 0 (a proposição p é falsa)

ou

V (p) = 1 (a proposição p é verdadeira)

Se tivermos, por exemplo, quatro proposições simples formando uma proposição com-

posta, a tabela verdade terá 24 = 16 linhas. Veja o exemplo a seguir.

Exemplo 5.10

A tabela a seguir apresenta todas as possibilidades de combinações dos valores lógicos

de 4 proposições simples.

p q r sV V V VV V V FV V F VV V F FV F V VV F V FV F F VV F F FF V V VF V V FF V F VF V F FF F V VF F V FF F F VF F F F

Já vimos alguns exemplos de proposições compostas, tais como, “O número 46 é múlti-

plo de 16 ou divisor de 92” e “Se x2 = 4, então x = –2 ou x = 2”. Nelas, percebemos os conec-

tivos “ou” e “se...então”. Em todas as proposições lógicas é muito comum o uso de expressões

capítulo 5 • 133

como “não é verdade que”, “e”, “ou”, “se...então” e “se e somente se”. Elas são chamadas de

conectivos lógicos ou operadores lógicos.

A seguir, apresentaremos cada um dos conectivos utilizados na lógica matemática e suas

respectivas tabelas-verdade.

5.3.1 Negação

O conectivo “não é verdade que” prefixa uma proposição para formar uma nova, que é

chamada de negação da primeira.

Notação: ~p (lê-se: “não é verdade que p” ou “é falso que p”)

É o único dos conectivos que, na verdade, não conecta duas proposições,

mas modifica uma proposição, obtendo outra proposição.

O símbolo “¬” também pode ser utilizado para indicar a negação de

uma proposição.

EXEMPLOExemplo 5.11

Seja a proposição p: “O Palmeiras é o melhor time do Brasil”. Sua negação, denotada por

~p, é dada por “não é verdade que o Palmeiras é o melhor time do Brasil”, ou “é falso que o

Palmeiras é o melhor time do Brasil”, ou “O Palmeiras não é o melhor time do Brasil”

Para a negação, temos:

• se V(p) = 1, então V(~p) = 0;

• se V(p) = 0, então V(~p) = 1.

A sua tabela-verdade é:

p ~pV FF V

134 • capítulo 5

5.3.2 Conjunção

A conjunção de duas proposições p e q é uma proposição que só é verdadeira quan-

do V(p) = V(q) = 1. Nos demais casos ela é falsa.

Notação: p ∧ q (lê-se: “p e q”)

EXEMPLO

Exemplo 5.12

Considere as proposições:

p: “O número 3 é natural” e q: “O número 3 é racional”.

A conjunção de p e q, nesse caso, será dada por:

p ∧ q: “O número 3 é natural e racional”.

Observe p ∧ q é considerada verdadeira porque o número 3 é um número natural e tam-

bém é racional (todo número natural é também racional).

Exemplo 5.13


p: “O número p é um número irracional” e q: “O número –2 é um número natural”.

Temos aqui uma proposição (átomo) verdadeira que é p e outra falsa, que é q.

Quando afirmamos que:

“O número π é um número irracional e o número –2 é um número natural”,

estamos utilizando a conjunção de p e q, isto é, “p Ù q”.

Mas, essa conjunção é falsa, pois uma das suas proposições componentes é falsa.

Na forma simbólica, podemos representar os valores veritativos de uma proposição com-

posta pela conjunção de duas proposições simples, da seguinte forma:

• se V (p) = 1 e V (q) = 1, então V(p ∧ q) = 1;


capítulo 5 • 135



Utilizando a tabela-verdade, temos:

p q p ∧ qV V VV F FF V FF F F

5.3.3 Disjunção (ou Disjunção Inclusiva ou Soma Lógica)

A disjunção (ou disjunção inclusiva) de duas proposições p e q é uma proposi-

ção que somente é falsa se p e q forem ambas falsas. Caso contrário, a disjunção

é verdadeira.

Notação: p ∧ q (lê-se: “p ou q”)

EXEMPLOExemplo 5.14


p: “Gabriela é médica” e q: “Valentina é dentista”.

A disjunção de p e q é dada por:

p ∧ q: “Gabriela é médica ou Valentina é dentista”.

Se uma das proposições for verdadeira, ou ambas, então a disjunção “p Ú q” será também

verdadeira. Essa disjunção somente será falsa, se ambas forem falsas, isto é, se Gabriela não

for médica e Valentina não for dentista.

A representação dos valores lógicos da disjunção a partir dos valores lógicos de suas

proposições componentes pode ser escrita do seguinte modo:

• se V (p) = 1 e V (q) = 1, então V (p ∧ q) = 1;




136 • capítulo 5

Ou também podemos representar utilizando sua tabela-verdade:

p q p ∧ qV V VV F VF V VF F F

5.3.4 Disjunção Exclusiva

A disjunção exclusiva entre duas proposições p e q é uma proposição verdadeira

somente quando seus valores lógicos forem diferentes, ou seja, V (p) ≠ V (q), e falsa

quando seus valores lógicos forem iguais, V (p) = V (q).

Notação: p ∨ q (lê-se: “p ou q, mas não ambos”)

A única diferença entre a disjunção inclusiva e a disjunção exclusiva é que

a primeira é considerada verdadeira também quando as duas proposições que

a compõem são verdadeiras e a segunda, nesse caso, é considerada falsa. Na

linguagem natural, geralmente, diferenciamos uma da outra com a repetição

do termo “ou”. Veja um exemplo.

EXEMPLOExemplo 5.15

A proposição “Breno foi ao cinema ou ao teatro” é uma disjunção inclusiva, pois é

verdadeira caso Breno tenha ido ao cinema, ou ao teatro ou a ambos.

A proposição “Ou Breno foi ao cinema ou foi ao teatro” nos dá a ideia de que só será

verdadeira se Breno tenha ido ao cinema ou ao teatro, mas não em ambos. Ou um, ou outro.

Nesse caso, se ele foi aos dois, então a disjunção é falsa. Por isso, dizemos que é uma dis-

junção exclusiva.

A representação dos valores lógicos da disjunção exclusiva a partir dos valores lógicos

de suas proposições componentes pode ser escrita do seguinte modo:

• se V (p) = 1 e V (q) = 1, então V (p ∨ q) = 0;




capítulo 5 • 137

Representando na tabela-verdade, temos:

p q p ∨ qV V FV F VF V VF F F

5.3.5 Condicional

Quando duas proposições estão conectadas de tal forma que há uma relação de

implicação entre elas, dizemos que elas formam uma terceira proposição que tem a

forma de um condicional. Dadas as proposições p e q, o condicional p → q é falso

somente quando V (p) = 1 e V (q) = 0, e é verdadeira nos demais casos.

Notação: p → q (lê-se: “Se p então q”)

A proposição p recebe o nome de antecedente e q de consequente. A propo-

sição composta por duas proposições simples conectadas pelo condicional in-

dica que se o antecedente ocorre (é verdadeiro), então o consequente também

tem que ocorrer.

EXEMPLOExemplo 5.16

Considere a seguinte frase dita a Marcelo pelo seu pai:

“Filho, se hoje eu ganhar na loteria, te darei um carro”

Para saber se o pai de Marcelo está dizendo a verdade, é preciso, primeiro, verificar se ele

ganhou ou não na loteria. Se não ganhou, ele estará dizendo a verdade dando ou não o carro

a Marcelo. Se ganhou e deu o carro a Marcelo, como prometido, estará dizendo a verdade. No

entanto, se ele ganhou na loteria e não deu o carro, então estará mentindo.

Esse tipo de estrutura que vemos na frase do pai de Marcelo é conhecida na lógica mate-

mática como condicional. Podemos, por exemplo, separar essa frase em duas proposições:

138 • capítulo 5

p: “hoje ganhei na loteria” e q: “vou te dar um carro”.

Dessa forma, na linguagem simbólica a frase pode ser escrita como:

p → q

Pela análise acima sobre a veracidade do que foi dito pelo pai de Marcelo, concluímos

que um condicional “p → q” só é falso quando p é verdadeira e q é falsa. Sendo assim, pode-

mos descrever os valores lógicos de um condicional da seguinte forma:

• se V (p) = 1 e V (q) = 1, então V (p → q) = 1;





p q p → qV V VV F FF V VF F V

Pela análise da tabela-verdade, podemos concluir que um condicional só é falso quando

ocorre o caso VF, nessa ordem.

5.3.6 Bicondicional

Dadas duas proposições p e q, o bicondicional p ↔ q é uma proposição verdadeira

quando V (p) = V (q) e falsa quando V (p) ≠ V (q).

Notação: p ↔ q (lê-se: “p se, e somente se, q”).

Podemos considerar o bicondicional “p se, e somente se, q” como sendo

uma conjunção dos condicionais “se p então q” e “se q então p”. Dessa forma, o

bicondicional será verdadeiro somente quando p e q forem ambos verdadeiros.

capítulo 5 • 139

EXEMPLOExemplo 5.17

Imagine, agora, se no exemplo anterior, o pai de Marcelo lhe tivesse dito:

“Filho, te darei um carro somente se eu ganhar na loteria hoje”

Veja como muda o sentido da frase dita aqui. Neste caso, o pai de Marcelo só estará

dizendo a verdade em duas situações: (I) se ganhar na loteria e der o carro a Marcelo e (II) se

não ganhar na loteria e não der o carro a Marcelo. A diferença agora é que se ele não ganhar

na loteria, e der o carro a Marcelo não estará dizendo a verdade (ao contrário do que ocorria

no caso do condicional).

A representação dos valores lógicos do condicional a partir dos valores lógicos de suas

proposições componentes pode ser escrita do seguinte modo:

• se V (p) = 1 e V (q) = 1, então V (p ↔ q) = 1;





p q p ↔ qV V VV F FF V FF F V

5.3.7 Ordem de precedência dos conectivos

Vimos os conectivos lógicos apresentados em vários exemplos de proposições

compostas, até o momento. No entanto, em cada uma delas foi utilizado ape-

nas um conectivo por vez. Nas próximas seções, serão apresentadas proposi-

ções compostas por mais que um conectivo e, nesses casos, é preciso conside-

rar a seguinte ordem de precedência na interpretação de tais proposições:

I. negação;

II. conjunção e disjunção (a que aparecer primeiro);

140 • capítulo 5

III. condicional;

IV. bicondicional.

Essa ordem só não será seguida quando, na composição da proposição,

ocorrer o uso de parênteses, colchetes e/ou chaves.

EXEMPLOExemplo 5.18

Veja algumas proposições que diferem pelo uso de parênteses e qual a ordem de apli-

cação dos conectivos.

a) ∼q ∧ r

Aqui, temos uma conjunção entre “~q” e “r”. A negação é apenas da proposição p.

b) ∼ (q ∧ r)

Agora, a negação é de toda a conjunção “q ∧ r”. E vale destacar que “ ∼(q ∧ r)” é bem

diferente de “ ∼q ∧ r” quando realizamos a análise de seus valores lógicos.

c) p → q ∨ r

Nesse caso, primeiro consideramos a disjunção “q ∨ r”, para depois realizar o condicional.

Isso significa que temos um condicional em que o antecedente é “p” e o consequente é “q ∨ r”

d) (p → q) ∨ r

Observe como a presença dos parênteses, aqui, modifica a ordem de aplicação dos co-

nectivos, em relação ao item (c). Agora, primeiro realizamos a análise do condicional para,

depois, considerarmos a disjunção entre ele e a proposição “r”.

e) p → q ↔ r → t

O conectivo principal (final), aqui, é o bicondicional. Primeiro, devemos analisar os condi-

cionais “p → q” e “r → t”, para, depois, considerar o bicondicional entre eles.

5.4 Tautologia, contradição e contingência.

Há sentenças proposições compostas que assumem sempre o mesmo valor (ou

V ou F), independentemente dos valores lógicos que são atribuídos às proposi-

capítulo 5 • 141

ções simples que a compõem. Outras dependem da atribuição desses valores.

Costumamos classificar uma proposição composta em:

I. Tautologia, quando é sempre verdadeira;

II. Contradição, quando é sempre falsa;

III. Contingência, quando seu valor depende dos valores das proposições

que a compõem.

A seguir, veja exemplos que ilustram cada um desses tipos de proposições.

EXEMPLOExemplo 5.19

A proposição (p → q) ∨ (q → r) → (p → r) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira,

independentemente dos valores das proposições p, q e r. Veja sua tabela-verdade.

p q r p → q q → r p → r (p → q) ∨ (q → r) (p → q) ∨ (q → r) ∨ (p → r)V V V V V V V VV V F V F F F VV F V F V V F VV F F F V F F VF V V V V V V VF V F V F V F VF F V V V V V VF F F V V V V V

Exemplo 5.20

A proposição (p ∨ q) ∨ (p ∨ ~q) ∨ (~p ∨ q) ∨ (~p ∨ ~q), independemente dos valores

lógicos de p e q, é sempre falsa. É, portanto, uma contradição. Veja sua tabela-verdade.

p q ~p ~q p ∨ q p ∨ ~q ~p ∨ q ~p ∨ ~q (p ∨ q) ∨ (p ∨ ~q) ∨ (~p ∨ q) ∨ (~p ∨ ~q)V V F F V V V F FV F F V V V F V FF V V F V F V V FF F V V F V V V F

142 • capítulo 5

Exemplo 5.21

A proposição p ∨ ~ r → q ∨ ~ r tanto pode ser falsa como verdadeira. Seu valor veritativo

depende dos valores das proposições p, q e r. Ela é, portanto, uma contingência ou inde-

terminação. Observe, em sua tabela-verdade, como diferentes atribuições a p, q e r podem

alterar o valor da proposição composta.

p q r ~r p ∨ ~ r q ∨ ~ r p ∨ ~ r → q ∨ ~ r V V V F V F FV V F V V V VV F V F V F VV F F V V F VF V V F F F VF V F V V V VF F V F F F VF F F V V F F

5.5 Equivalências lógicas

Como acontece com as expressões matemáticas (numéricas e/ou algébricas),

as expressões lógicas podem, muitas vezes, ser substituídas por sentenças equi-

valentes mais simples (compostas por menos proposições e conectivos), facili-

tando sua interpretação e utilização. Nesta seção, serão apresentadas sentenças

equivalentes e também sentenças que apresentam uma relação de implicação

(que não são exatamente equivalentes, mas a ocorrência de uma implica a ocor-

rência da outra). Uma relação de equivalência é uma relação de bi-implicação.

Ou seja, duas proposições p e q são equivalentes se p implica q e se q implica p.

Antes de iniciarmos o estudo de implicação e equivalência, veremos algu-

mas definições que nos serão úteis.

Duas proposições são denominadas independentes quando, em suas tabe-

las-verdade, ocorrem as quatro alternativas: FF, FV, VF, VV.

capítulo 5 • 143

EXEMPLOExemplo 5.22

As proposições p e q são independentes, pois, como podemos ver em sua tabela-verdade

abaixo, temos os casos: FF, FV, VF, VV.

p qV VV FF VF F

Duas proposições são dependentes quando, em suas tabelas-verdade, uma ou mais

alternativas não ocorrem. Note que as proposições p e q® q são independentes, pois

p q q → pV V VV F VF V FF F V

Observe que não ocorre a alternativa VF.

Quando duas proposições têm uma relação de dependência, esta pode ser de implica-

ção ou de bi-implicação, como definiremos a seguir.

5.6 Proposições associadas a um condicional: argumentos válidos e regras de inferência

Nas relações de implicação, como, por exemplo, p ⇒ q (lê-se: “p implica q”),

se p é verdadeira, então q também é, ou seja, o condicional p → q é verdadeiro,

o que significa dizer que não ocorre o caso VF. Nesse caso, não podemos dizer

que as proposições p e q são equivalentes, pois a ocorrência de p implica q, mas

isso não significa dizer que a ocorrência de q implica p.

Há que se destacar, aqui, que o símbolo “→” denota uma operação entre duas pro-

posições, gerando uma nova proposição. Já o símbolo “⇒” é utilizado para mostrar a

relação existente entre duas proposições.

144 • capítulo 5

EXEMPLOExemplo 5.23

Considere as sentenças abertas p: “x + 3 = 7” e q: “x = 4”.

Se considerarmos, nesse caso, o condicional

p → q,

podemos concluir que ele é verdadeiro.

Quando isso ocorre, dizemos que p implica q, que representamos na forma p ⇒ q.

A implicação é bastante utilizada na definição de argumentos válidos.

Um argumento válido é uma sequência de proposições p1, p2, ... , pn, pn+1, n ∈ N, na

qual sempre que as premissas p1, p2, ... , pn são verdadeiras, a conclusão pn+1 também

é verdadeira. Isto é, a conjunção das premissas implica a conclusão.

Um argumento válido pode ser representado por

p1 ∧ p2 ∧ ... ∧ pn ⇒ pn+1

ou

p1, p2, ... , pn ⇒ pn+1

ou, ainda

p1

p2

.

.

.

p

pn

n+1

A verificação da validade de um argumento pode ser feita através do uso de tabela-ver-

dade ou através da utilização de regras de inferência.

Primeiro, vamos ver um exemplo com a utilização da tabela-verdade. E, para isso, deve-

mos, primeiramente, analisar a conjunção das premissas para, depois, verificar se é verda-

deiro o condicional em que essa conjunção é o antecedente e a conclusão é o consequente.

Em outras palavras, um argumento é considerado válido se o condicional entre a conjunção

das premissas e a conclusão, nessa ordem, for uma tautologia.

capítulo 5 • 145

Exemplo 5.24

Vamos verificar a validade do argumento p ∨ q, ~p ⇒ q.

p q p ∨ q ~p (p ∨ q) ∨ ~p (p ∨ q) ∨ ~p → qV V V F F VV F V F F VF V V V V VF F F V F V

Note que quando as premissas p ∨ q e ~p são verdadeiras, a conclusão q também é.

Isso equivale a mostrar que o condicional (p ∨ q) ∨ ~p → q é uma tautologia (é sem-

pre verdadeiro).

O uso da tabela-verdade torna-se menos viável à medida que o número de proposições

simples envolvidas na análise aumenta. Imagine, por exemplo, um argumento em que as

premissas têm 5 proposições simples envolvidas. A tabela-verdade, nesse caso, terá 25 =

32 linhas.

Por esse motivo, utilizamos uma alternativa mais viável e apropriada para a análise da

validade de argumentos, que é a utilização das regras de inferência. Elas são argumentos

simples válidos. A seguir são apresentadas as regras de inferência mais utilizadas. Todas elas

podem ser provadas através do uso de tabela-verdade. Fica como sugestão, portanto, que

você monte a tabela-verdade de cada argumento apresentado.

Regras de inferência

União (U): p q p q, ⇒ ∧

Modus Ponens (MP): p q p q→ ⇒,

Modus Tollens (MT): p q q p→ ⇒, ~ ~

Adição (A): p p q⇒ ∨

Simplificação (S): p q p∧ ⇒

Silogismo Hipotético (SH): p q q r p r→ → ⇒ →,

Silogismo Disjuntivo (SD): p q p q∨ ⇒, ~

Simplificação Disjuntiva (S+): p r p r p∨ ∨ ⇒, ~

Exemplo 5.25

Vamos analisar e provar a validade do argumento seguinte através da utilização de regras

de inferência.

p, q, p ∨ q → ~r, r ∨ t, t

146 • capítulo 5

As premissas são p, q, p ∨ q → ~r, r ∨ t e a conclusão é t. Vamos dispor as premissas e,

a partir delas, obter outras proposições utilizando as regras de inferência até chegarmos à

conclusão r.

1) p

2) q

3) p ∨ q → ~r

4) r ∨ t

5) p ∨ q (U,1 e 2)

6) ~r (MP, 3 e 4)

7) t (SD, 4 e 6)

No procedimento realizado acima, repare que, primeiramente, dispomos as premissas

(linhas 1 a 4) e, a partir delas, aplicando as regras de inferência adequadas obtemos outras

proposições até chegarmos à conclusão (linha 7).

5.6.1 Leis de equivalência

As regras de inferência, que acabamos de ver, não se configuram como equiva-

lências lógicas. Em outras palavras, dizer que A implica B (A Þ B) não significa

que, necessariamente, B implica A (B Þ B). Uma equivalência lógica entre duas

proposições A e B é uma bi-implicação entre tais proposições, isto é, A implica

B e B implica A.

Uma proposição p é equivalente a uma proposição A (A ⇒ B), quando não ocor-

re VF e nem FV na combinação das tabelas verdades de ambas. Isso significa dizer

que suas tabelas verdades são iguais. Também podemos afirmar que A equivale a A

se, e somente se, o bicondicional A ↔ B for uma tautologia.

EXEMPLOExemplo 5.26

Vamos verificar se ∼(∼p ∨ ∼q) e p ∧ q são sentenças equivalentes.

capítulo 5 • 147

p q ~p ~q ~p ∨ ~q ~(~p ∨ ~q) p ∧ qF F V V V F FF V V F V F FV F F V V F FV V F F F V V

Note que nas colunas em destaque não ocorrem os casos VF e nem FV. Concluímos,

portanto, que p ∧ q ⇔ ∼(∼p ∨ ∼q).

Também podemos construir a tabela-verdade do bicondicional ∼(∼p Ú ∼q) ↔ p ∧ q para

mostrar que se trata de uma tautologia, como na tabela a seguir.

p q ~p ~q ~p ∨ ~q ~(~p ∨ ~q) p ∧ q ~(~p ∨ ~q) ↔ p ∧ qF F V V V F F VF V V F V F F VV F F V V F F VV V F F F V V V

A seguir, são apresentadas algumas regras de equivalência. Você pode provar cada uma

delas através da construção da tabela-verdade envolvendo os dois lados da bi-implicação.

Regras de Equivalência

Dupla Negação: ~(~ A) ⇔ A

Leis Comutativas: (a) A ∧ B ⇔ B ∧ A

(b) A ∨ B ⇔ B ∨ A

Leis Associativas: (a) A ∧ (B ∧ C) ⇔ (A ∧ B) ∧ C

(b) A ∨ (B ∨ C) ⇔ (A ∨ B) Ú C

Leis Idempotentes: (a) A ∨ A ⇔ A

(b) A ∧ A ⇔ A

Leis Distributivas: (a) A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) Ú (A ∧ C)

(b) A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

Leis de Morgan: (a) ~ (A ∧ B) ⇔ ~ A ∧ ~ B

(b) ~ (A ∨ B) ⇔ ~ A ∧ ~ B

Eliminação de Condicionais: (a) A → B ⇔ ~ (A ∧ ~ B)

(b) A → B ⇔ ~ A Ú B

148 • capítulo 5

Eliminação de Bicondicionais: (a) A ↔ B ⇔ (A ∧ B) ∨ (~ A ∧ ~ B)

(b) A ↔ B ⇔ (~ A ∨ B) ∧ (~ B ∨ A)

Tautologias e Contradições: (a) A ∧ V ⇔ A (c) A ∧ F ⇔ F (e) A ∧ ~ A ⇔ F

(b) A ∨ V ⇔ V (d) A ∨ F ⇔ A (f) A ∨ ~ A ⇔ V

A seguir, vamos ver dois exemplos em que podemos provar a equivalência entre propo-

sições através do uso de algumas das regras descritas acima.

Exemplo 5.27

A equivalência (p → q) ∨ (p → r) ⇔ p → q ∨ r pode ser demonstrada da seguinte forma:

partirmos da proposição “(p → q) ∨ (p → r)” e, aplicando as regras de equivalência adequadas,

devemos chegar à proposição “p → q ∨ r”.

(p → q) ∨ (p → r) ⇔ (~p ∨ q) ∨ (~p ∨ r) ⇔ (~p ∨ ~p) ∨ (q ∨ r) ⇔

⇔ ~p ∨ (q ∨ r) ⇔ p → (q ∨ r)

As propriedades utilizadas na demonstração acima foram, respectivamente, eliminação

de condicional, comutativa e associativa, idempotente e eliminação de condicional.

Exemplo 5.28

Vamos demonstrar a equivalência: ~(p → q) ⇔ p ∧ ~q.

~(p → q) ⇔ ~(~p Ú q) ⇔ ~(~p) ∧ ~q ⇔ p ∧ ~q

As propriedades utilizadas na demonstração acima foram, respectivamente, eliminação

de condicional, lei de Morgan e dupla negação.

5.7 Álgebra de Boole aplicada à construção de tabelas-verdade

De forma geral, consideramos a Álgebra como a parte da matemática em

que são introduzidas variáveis (representadas por letras) que representam os

números, para generalizar os processos aritméticos. Nela, as variáveis podem

assumir qualquer valor numérico real ou de um subconjunto real.

capítulo 5 • 149

Em 1854, o matemático inglês George Boole, publicou o livro “Investigação

das leis do pensamento” em que apresentava um tratamento de aplicação de

fórmulas matemáticas para descrever operações de lógica e de probabilidades.

Tais fórmulas são base das atuais operações internas do computador.

Sua obra foi fundamental ao desenvolvimento do que hoje chamamos álge-

bra de Boole ou álgebra booleana, em sua homenagem. Nesse tipo de álgebra,

as variáveis assumem somente dois valores: 0 ou 1, que equivalem, respectiva-

mente, a falso ou verdadeiro.

Em razão da sua aplicação no estudo de circuitos de chaveamento, a álge-

bra booleana também é conhecida como álgebra de chaveamento ou álgebra

dos interruptores . Ela é utilizada em projetos de circuitos de chaveamento

com relés que hoje aplicam-se aos projetos de circuitos elétricos e eletrônicos

dos computadores digitais.

Um interruptor (ou chave) é um dispositivo ligado a um ponto de um circui-

to elétrico, como mostrado na figura seguinte. Ele assume somente dois esta-

dos: fechado ou aberto, que representamos respectivamente por 1 e 0.

Cada interruptor é representado por uma letra (variável), como na figu-

ra seguinte.

x

Dados dois interruptores, x e y, em um circuito, eles podem estar ligados em

série ou em paralelo. Veja a representação das duas situações na figura a seguir.

x

interruptores em sérieinterruptores em paralelo

yx

y

Quando consideramos uma ligação em paralelo dos interruptores, a corren-

te não passará pelo circuito somente se os dois interruptores estiverem abertos,

isto é, se x = 0 e y = 0. Se pelo menos um deles estiver fechado, a corrente passará

pelo circuito.

150 • capítulo 5

Para representar as situações possíveis num chaveamento em paralelo, po-

demos utilizar uma tabela como a apresentada a seguir. Na coluna “resultado”,

o valor “0” indica que a corrente não passa pelo circuito e o valor “1” indica que

a corrente passa pelo circuito.

x y Resultado1 1 11 0 10 1 10 0 0

Observe que os resultados desse tipo de ligação obedecem à mesma lei de

determinação dos valores lógicos de uma disjunção, se considerarmos que “1”

equivale a “V” e “0” equivale a “F”. Na álgebra booleana esse tipo de operação

é denominada soma lógica e é representada pelo operador “+”. Considerando,

então, os possíveis estados de dois interruptores x e y ligados em paralelo, po-

demos notar que:

Quando a ligação é em série, a corrente só passará pelo circuito se os dois

interruptores estiverem fechados, isto é, se x = 1 e y = 1. Se pelo menos um deles

estiver aberto, a corrente não passará pelo circuito. Essa operação é denominada

multiplicação lógica na álgebra booleana e é representada pelo operador “ · ”.

A tabela a seguir mostra os resultados possíveis quando consideramos dois

interruptores x e y ligados em série.

x y Resultado1 1 11 0 00 1 00 0 0

No caso desta última tabela, os resultados apresentados obedecem à mes-

ma lei de determinação da conjunção. Considerando, então, os possíveis esta-

dos de dois interruptores x e y ligados em série, podemos notar que:

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

⋅ =⋅ =⋅ =⋅ =

;

;

;

.

Outra semelhança entre os conectivos lógicos (que vimos no estudo da

lógica matemática) e os operadores lógicos da álgebra booleana refere-se à

capítulo 5 • 151

negação, que aqui trataremos como complementação. No estudo dos interrup-

tores, há situações em que o fato de um interruptor estar aberto implica no ou-

tro estar fechado, e vice-versa. Ou seja, se o valor de um deles é “0”, o do outro é

“1”. Se de um é “0”, o do outro é “1”. Isso é o que se observa quando analisamos

uma proposição e a sua negação.

Na álgebra booleana, o complementar de uma variável x é representada por

x’ ou ¬x ou, ainda, .

Essa compatibilidade entre as aplicações da álgebra booleana no estudo dos

interruptores e os conectivos lógicos nos permite estender os resultados obti-

dos na lógica matemática aos operadores que acabamos de ver (soma lógica,

multiplicação lógica e complementação). Se utilizamos, por exemplo, as equi-

valências lógicas para simplificar proposições (obter proposições equivalentes

mais simples), podemos utilizar as mesmas leis para simplificar circuitos.

Podemos, portanto, “reescrever” as regras de equivalência apresentadas na

seção anterior para os operadores da álgebra booleana. Veja a seguir.

Propriedades dos Operadores da Álgebra Booleana

(x’)’ = x (complementar do complementar)

x + y = y + x (comutativa)

x · y = y · x (comutativa)

x · (y · z) = (x · y) · z (associativa)

x + (y + z) = (x + y) + z (associativa)

x + x = x (idempotência)

x · x = x (idempotência)

x · (y + z) = (x · y) + (x · z) (distributiva)

x + (y · z) = (x + y) · (x + z) (distributiva)

(x + y)’ = x’ · y’ (complementar da soma)

(x · y)’ = x’ + y’(complementar da multiplicação)

x + 1 = 1

x + 0 = x

x + x’ = 1

x · 1 = x

x · 0 = 0

x · x’ = 0

152 • capítulo 5

Veja um exemplo de aplicação de algumas dessas propriedades na simplifi-

cação de circuitos.

EXEMPLOExemplo 5.29

Considere o circuito seguinte:

x

x

x’

z

Podemos representá-lo, algebricamente, na forma:

x y x z⋅ +( ) +’

Uma representação equivalente quando se trata de cálculo proposicional é:

x y x z∧ ∨( ) ∨~

Se aplicarmos a lei distributiva (da conjunção em relação à disjunção) na expressão

“ x y x∧ ∨( )~ ”, podemos reescrever a sentença acima como:

x y x x z∧( ) ∨ ∧( ) ∨~

Como “ x x∧( )~ ” é uma contradição, então a disjunção acima depende apenas dos valo-

res lógicos das demais proposições que a integram. Sendo assim, podemos escrever:

x y x x z x y F z x y z∧( ) ∨ ∧( ) ∨ ⇔ ∧( ) ∨ ∨ ⇔ ∧( ) ∨~

Isso significa que a proposição x y x z∧ ∨( ) ∨~ é equivalente a:

x y z∧( ) ∨

De forma semelhante, podemos mostrar esse processo para a fórmula booleana

x y x z⋅ +( ) +’ . Veja:

x y x z x y x x z x y z x y z⋅ +( ) + = ⋅( ) + ⋅( ) + = ⋅( ) + + = ⋅( ) +’ ’ .0

capítulo 5 • 153

Sendo assim, uma representação gráfica equivalente à apresentada no início deste

exemplo é:

z

x y

ATIVIDADE

01. Considere os seguintes raciocínios abaixo e identifique os que são considera-

dos dedutivos:

a) Todo aluno é inteligente.

Nenhum inteligente é fanático.

Logo, há alunos fanáticos.

b) Toda função contínua é derivável.

Então, toda função derivável é contínua.

c) Todo aluno estudioso é aprovado.

Daniel foi aprovado.

Logo, ele é estudioso.

d) Há brasileiros que moram na Europa.

Daniel mora na Europa.

Então, ele é brasileiro.

02. Considere as sentenças p: “Alessandra é bonita” e q: “Alessandra é charmosa”, escrever

na linguagem simbólica as seguintes proposições:

a) Alessandra é bonita ou charmosa.

b) Não é verdade que Alessandra não é bonita ou que não é charmosa.

c) Alessandra não é bonita, mas não é charmosa.

d) Se Alessandra é bonita então ela é charmosa.

e) Alessandra é bonita se, e somente se, é charmosa.

f) Não é verdade que Alessandra não é bonita e que não é charmosa.

03. Dadas as proposições p: “Aurélio joga basquete”, q: “Flávia joga vôlei” e r: “Marcelo pra-

tica natação”, escreva na linguagem usual as proposições descritas a seguir:

a) p ∧ q

b) p ∨ r

154 • capítulo 5

c) r → q

d) r → (q ∨ p)

e) p ∧ ~q

f) ~ (p ∧ r)

g) ~ (~q)

h) q ↔ ~r

04. Construa a tabela-verdade de cada uma das proposições abaixo:

a) (p ∧ q) ∧ r

b) p ∧ q ∧ r

c) r → q

d) ~r ∨ q

e) ~r ∨ q

f) (p ∧ ~q) → q

g) (p ∧ ~q) → q « r

h) (~q ∨ p) ↔ (q ∧ ~r)

i) [(p → q) ∧ (q → p)] ∨ ~ (p ↔ q)

j) (p ∧ q) → (p ∨ r) ∧ (p ∨ t)

05. A partir do valor veritativo fornecido em cada item, determine os valores lógicos das

proposições compostas:

a) (p → q) ∨ (q → ~r), sabendo que p é falsa;

b) q ∧ [~q → (q ∨ t)], sabendo que q é falsa;

c) (p → r) ∧ (r ∨ t), sabendo que r é verdadeira;

d) p → (s ∨ t), sabendo que s é verdadeira;

06. Determine V(p), V(q) e V(r) em cada item abaixo, a partir das informações dadas:

a) V (p ∧ q) = 1 e V (r ∧ q) = 0;

b) V (p → r) = 0 e V (r ∨ q) = 1;

c) V (p ∨ q) = 0 e V (r → q) = 1;

d) V (p ↔ q) = 0, V (r → q) = 1 e V (~r) = 0.

07. Teste a validade dos seguintes argumentos, utilizando as regras de inferência:

a) p q p q q p→ ∨~ , ~ , ,~

b) t → r, ~ r, t ∨ s, s

capítulo 5 • 155

08. Dê o nome de cada um dos seguintes argumentos:

a) Hoje é sábado ou domingo.

Hoje não é domingo.

Portanto, hoje é sábado.

b) Se Flávia diz a verdade então Roni mente.

Se Roni mente então Juliana não foi à festa.

Portanto, se Flávia diz a verdade, então Juliana não foi à festa.

09. (ANPAD – Fevereiro de 2007). Considere a proposição “Não é verdade que, se Maria

não é elegante, então ela é inteligente”. Uma proposição logicamente equivalente é:

a) “Maria é elegante ou é inteligente”.

b) “Maria é elegante e não é inteligente’’.

c) “Maria não é elegante e é inteligente’’.

d) “Maria não é elegante e nem é inteligente’’.

e) “Maria não é elegante ou não é inteligente”.

10. Utilizando as leis de equivalência, demonstre as seguintes relações de bi-implicação:

a) A ∧ B → C ⇔ A → (B → C)

b) ~((p ∨ q) ∧ r) ⇔ ~(p ∧ r) ∧ (~q ∨ ~r)

c) ~(p ↔ q) ⇔ p ↔ ~q

d) A ∧ (~A ∨ B) ⇔ A ∧ B

e) A → (B → C) ⇔ C → (A → ~B)

REFLEXÃOA análise formal de proposições é um bom exercício de aprimoramento do seu senso de ar-

gumentação. Ela nos ajuda, inclusive, a levantar certas hipóteses e também auxilia na análise

das mesmas quando à sua veracidade.

A língua que utilizamos para nos comunicar, por vezes, nos levam a construções que po-

dem ter mais do que um sentido. Na linguagem lógica, isso não acontece. Toda proposição,

como vimos, ou é verdadeira ou é falsa. Não há meio termo. E o uso dessa linguagem nos

permite realizar análises conclusivas a respeito de hipóteses que são levantadas.

Além disso, os fundamentos da Lógica Matemática sempre influenciaram a linguagem com-

putacional, como, por exemplo, no campo da Inteligência Artificial. As tecnologias utilizadas

156 • capítulo 5

para automatizar inferências lógicas têm um grande potencial para resolver problemas e

chegar a conclusões a partir de fatos.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICASABE, J. M.; SCALZITTI, A.; SILVA FILHO, J. I. Introdução à lógica para Ciência da Computação.

São Paulo: Arte e Ciência, 2001.

ALENCAR FILHO, E. de. Iniciação à lógica matemática. 22ª ed São Paulo: Nobel, 2003.

DAGHLIAN, J. Lógica e álgebra de Boole. 4ª ed. São Paulo: Atlas, 1995.

NOLT, J.; RHATYN, D. Lógica. Makron Books do Brasil, 1991



Cálculo de predicados e métodos de

demonstração

6

158 • capítulo 6

6. Cálculo de predicados e métodos de demonstração

No capítulo anterior tivemos os valores lógicos de proposições como objeto prin-

cipal de nosso estudo. Uma proposição, como vimos, é uma sentença que pode

ser classificada como verdadeira ou falsa. Dizer, por exemplo, que “o número 2 é

primo” é referir-se a uma proposição verdadeira. Mas, se trocarmos, nessa proposi-

ção, o número “2” por um número x qualquer? Nossa afirmação, agora, passa a ser

“o número x é primo”. Como saber, então, se essa sentença é verdadeira ou falsa?

Nesse caso, temos uma sentença aberta (que já foi definida no capítulo ante-

rior) cujo valor lógico depende da atribuição que se faz à variável x. Sentenças como

esta são denominadas predicados. Neste capítulo, trataremos, essencialmente, do

cálculo de predicados, que são processos envolvendo esses tipos de sentenças.

Além disso, também serão abordadas algumas técnicas de demonstração

associadas ao cálculo proposicional e ao cálculo de predicados.

OBJETIVOS

• Identificar conjuntos, universo e verdade de sentenças abertas;

• Identificar e aplicar os quantificadores a sentenças abertas;

• Indicar as negações de proposições com quantificadores;

• Identificar a estrutura de um argumento;

• Reconhecer um argumento válido e um argumento inválido;

• Demonstrar argumentos de forma direta;

• Demonstrar argumentos adequados pelo método da demonstração condicional;

• Fazer a demonstração de argumentos, usando a demonstração por absurdo.

6.1 Predicados, conjunto universo e conjunto verdade

No capítulo anterior tratamos do cálculo proposicional, isto é, dos processos

lógicos envolvendo proposições unidas por conectivos lógicos. E muito do que

já foi tratado será utilizado neste capítulo. No entanto, aqui utilizaremos predi-

cados no lugar de proposições. E qual é a diferença entre esses dois conceitos?

Vimos que toda sentença declarativa que pode ser classificada como verda-

deira ou falsa constitui uma proposição. Quando afirma-se, por exemplo, que

capítulo 6 • 159

“3 é um número natural”, temos condições de verificar que trata-se de uma

afirmação verdadeira. Ou mesmo quando afirmamos que “Larissa é atleta”,

por exemplo, mesmo que eu não a conheça, há alguém, em algum lugar, que

pode dizer se ela é realmente atleta ou não. Então, esta sentença também é

uma proposição.

Mas, quando nos referimos a um conjunto de números ou coleção de pes-

soas ou elementos e não a um valor ou a alguém especificamente, essas senten-

ças deixam de ser consideradas proposições. Se afirmarmos “x é um número

natural” ou “x é atleta” não temos como avaliar a veracidade dessas sentenças.

São sentenças abertas que denominamos predicados. A letra x (pode ser utili-

zada qualquer outra) representa a variável do predicado.

Representamos, de forma geral, um predicado por qualquer letra maiúscu-

la do nosso alfabeto. Se a variável envolvida é representada por x, então o predi-

cado pode ser indicado por P (x).

Ao conjunto de possibilidades lógicas que a variável x pode assumir em uma

sentença aberta denominamos conjunto universo e o indicamos como Ux ou,

simplesmente, U.

Outro conjunto que está associado ao estudo de predicados é o conjunto

verdade, que é o conjunto que contém o(s) elemento(s) que, ao substituir a va-

riável x, torna(m) a sentença verdadeira. Esse conjunto é notado como Vx ou V.

O exemplo a seguir mostra como são definidos os conjuntos universo e ver-

dade de uma sentença e como a escolha do conjunto universo pode interferir

na determinação do conjunto verdade.

EXEMPLO

Exemplo 6.1

Considere a sentença “x + 3 < 5”.

Trata-se de uma sentença aberta, pois envolve a variável x, isto é, a determinação de seu

valor lógico depende dos valores que são atribuídos a x. Podemos representá-la na forma:

P (x): x + 3 < 5 .

Para determinar seu conjunto verdade V é preciso, antes, definir o conjunto universo U.

Se considerarmos

U = N,

160 • capítulo 6

o conjunto verdade será dado por

V = {0,1}

Note que, dentre os números naturais, somente o “0” e o “1” satisfazem P (x).

Mas, o que acontece se definirmos outro conjunto universo?

Considere, agora,

U = Z.

Observe que, além dos valores “0” e “1” (que também são inteiros), todos os inteiros ne-

gativos também satisfazem a sentença P (x): x + 3 < 5 . Dessa forma, temos:

V = {...,–3, –2, –1, 0, 1} ou V = {x ∈ Z | x < 1}.

6.2 Quantificadores

Em muitas das sentenças abertas que abordamos no cálculo de predicados, é

comum encontrarmos expressões tais como “tudo”, “todo”, “para todo”, “qual-

quer que seja”, “existe”, “existe um único”, entre outras, que são denominadas

quantificadores. Os dois tipos de quantificadores que estudaremos, neste ca-

pítulo, são:

• universal (para todo, todo, qualquer que seja);

• existencial (existe, existe um único).

O símbolo “∀” é chamado de quantificador universal e utilizado para expri-

mir o fato de que para todo x em um dado conjunto, a sentença P (x) é verda-

deira. Simbolicamente, temos “"x, P (x)”.

EXEMPLOExemplo 6.2

A sentença “Todo número natural é inteiro” pode ser escrita, na linguagem simbólica,

como ∀x, x ∈ N → x ∈ Z (lê-se: “para todo x pertencente a N, temos x pertencente a Z” ou

“qualquer que seja x pertencente a N, temos x pertencente a Z”).

Outras formas de representar essa sentença são:

P (x): x ∈ Z

∀x, x ∈ N, P (x)

capítulo 6 • 161

ou

P (x): x ∈ Z

(∀x ∈ N)(P (x))

O conjunto universo desta sentença é o conjunto dos números naturais (U = N). E essa

sentença é verdadeira, pois qualquer valor natural que atribuirmos a x, teremos satisfeita a

condição P (x): x ∈ Z. Isso porque sabemos que os números naturais são também núme-

ros inteiros.

O conjunto verdade dessa sentença quantificada é, portanto, V = N.

As sentenças quantificadas com o quantificador universal são verdadeiras somente

quando o conjunto universo e o conjunto verdade são iguais.

O símbolo “$”, chamado quantificador existencial, é utilizado para expressar que para

um ou mais elementos de um dado conjunto a proposição P (x) é verdadeira. Sen-

tenças do tipo “Existe x tal que P (x)” ou “existe pelo menos um x tal que P (x)” ou, ainda, “para

algum x ocorre P (x)” podem ser escritas, na forma simbólica, como: ∃x, P (x).

Exemplo 6.3

Considere a proposição: “∃x , 5x + 10 = 0”, com U = Z. Ela é verdadeira, pois, para x = –2,

a equação “5x + 10 = 0” é verdadeira. Portanto, existe um valor de x que satisfaz a condição

apresentada. O conjunto verdade é, portanto, V = {2}.

Se o conjunto verdade fosse vazio, concluiríamos que a sentença quantificada seria falsa.

Exemplo 6.4

Considere novamente a sentença: “∃x , 5x + 10 = 0”, mas, com U = Z. Observe que,

nesse caso, a sentença quantificada é falsa, pois o único valor real que satisfaz a condição

apresentada é o “–2”, que não é um elemento pertence ao universo (não é um número natu-

ral). Temos, portanto, V = ∅.

Quando a condição P (x) refere-se a valores numéricos e o conjunto universo não é ex-

plicitado, consideramos U = R. Veja um exemplo.

162 • capítulo 6

Exemplo 6.5

Seja P (x) = x + 3 ≥ 5. Vamos determinar o conjunto verdade de cada uma das sentenças

dadas abaixo:

a) ∃ ( )x P x,

b) ∀ ( )x P x,

Como não foi definido o conjunto universo, consideramos U = R. Dessa forma, a senten-

ça P (x) tem como conjunto verdade V = [2, ∞[.

Como V é um conjunto não vazio, concluímos que a sentença quantificada do item (a) é

verdadeira. Mas como V ≠ U, concluímos que a sentença quantificada do item (b) é falsa, pois,

nem todos os elementos do universo satisfazem a condição P (x).

Sentenças quantificadas também podem ser expressas através da disjunção ou conjun-

ção de proposições. Veja a seguir.

A sentença quantificada “∀x, P (x)”, considerando como conjunto universo U = {a1, a2, ... ,

an}, é equivalente à conjunção

P (a1) ∧ P (a2) ∧ ... ∧ P (an)

Na linguagem simbólica, escrevemos:

∀x, P (x) ⇔ P (a1) ∧ P (a2) ∧ ... ∧ P (an)

Com relação ao quantificador existencial, também conseguimos estabelecer relação se-

melhante. Veja.

A sentença quantificada “∃x, P (x)”, considerando como conjunto universo U = {a1, a2, ... , an},

é equivalente à disjunção

P (a1) ∨ P (a2) ∨ ... ∨ P (an)

Na linguagem simbólica, escrevemos:

∃x, P (x) ⇔ P (a1) ∨ P (a2) ∨ ... ∨ P (an)

Outro recurso bastante utilizado no cálculo de predicados refere-se à negação de sen-

tenças quantificadas. Observe os exemplos a seguir. Neles, veremos como realizar essa ne-

gação para os dois tipos de quantificadores e, a partir deles, serão feitas as generalizações

desses recursos.

capítulo 6 • 163

Exemplo 6.6

Considere o conjunto A de todos os brasileiros. Este é o conjunto universo de nosso es-

tudo. Considere x ∈ A. A sentença quantificada “∀x, x fala inglês” nos diz que “todo brasileiro

fala inglês”. Já a sentença quantificada “∀x, x fala inglês” significa que “existe pelo menos um

brasileiro que fala inglês”. Note que são sentenças diferentes: a primeira só pode ser consi-

derada verdadeira se seu conjunto verdade for igual ao conjunto universo, ou seja, se todo

brasileiro falar inglês; a segunda será verdadeira se pelo menos um brasileiro falar inglês.

Agora, vamos considerar a negação da primeira sentença: “todo brasileiro fala inglês”. Ela

pode ser representada por

~(∀x,x fala inglês),

e, na linguagem natural, pode ser expressa, por exemplo, como “nem todo brasileiro fala

inglês” ou “não é verdade que todo brasileiro fala inglês”. Observe que negar uma sentença

com quantificador universal (como é o caso dessa) não é equivalente a negar simplesmente

a sentença aberta, isto é, a negação

~(∀x, x fala inglês)

não é equivalente a

∀x, x não fala inglês.

Analisando pela linguagem natural, não é difícil perceber que “não é verdade que todo

brasileiro fala inglês” não significa que “todo brasileiro não fala inglês”. Essas sentenças têm

sentidos bem diferentes.

Agora, compare as sentenças “todo brasileiro fala inglês” e sua negação “nem todo bra-

sileiro fala inglês” (ou “não é verdade que todo brasileiro fala inglês”). Note que a negação

apresentada pode ser entendida que “existe pelo menos um brasileiro que não fala inglês”.

Isso nos dá a ideia de que a negação de uma sentença quantificada com o quantificador uni-

versal corresponde a outra sentença em que o quantificador existencial é aplicado em uma

sentença em que a condição é negada. Na linguagem simbólica, podemos escrever:

~(∀x, x fala inglês) ⇔ ∃x, x não fala inglês.

Se denotarmos por P (x) a sentença “fala inglês”, temos:

~(∀x,P (x)) ⇔ ∃x, ~P (x).

Vejamos, agora, que quando negamos uma sentença quantificada como o quantificador

existencial, algo semelhante ocorre. Vamos considerar a sentença quantificada “∃x, x fala

164 • capítulo 6

inglês”, isto é, “existe pelo menos um brasileiro que fala inglês”. Sua negação, na linguagem

corrente, pode ser dada por “não existe nenhum brasileiro que fala inglês” ou, de forma

equivalente, “qualquer que seja o brasileiro, ele não fala inglês”. Veja que, agora, podemos

concluir que

~(∃x, x fala inglês) ⇔ "x, x não fala inglês.

ou

~(∃x,P (x)) ⇔ ∀x, ~P (x).

Podemos comprovar as propriedades referentes às negações de sentenças quantifica-

das, apresentadas nesse exemplo, através da aplicação de certas leis de equivalência. E é

isso que veremos a seguir.

Considere a sentença aberta P (x) e o seu conjunto universo U = {a1, a2, a, ... , an}. A sen-

tença quantificada "x, P(x) equivale, como já vimos, à conjunção P (a1) ∧ P (a2) ∧ ... ∧ P(an).

Podemos, então, escrever:

∀x, P (x) ∧ P (a1) ∧ P (a2) ∧ ... ∧ P (an)

Dessa forma, podemos expressar sua negação na forma:

~(∀x, P (x)) ⇔ ~ (P (a1) ∧ P (a2) ∧ ... ∧ P (an))

Aplicando uma das leis de Morgan (que refere-se à negação de uma conjunção), pode-

mos escrever:

~(∀x, P(x)) ⇔ ~P (a1) ∨ ~P (a2) ∨ ... ∨ ~P (an)

Observe que a disjunção

~P(a1) Ú ~P(a2) Ú ... Ú ~P(an)

é verdadeira se a condição P (x) não ocorrer pelo menos para um elemento do conjunto

universo, ou seja, se existe pelo menos um elemento do universo em que não ocorre P(x).

Isso nos leva a concluir que essa disjunção equivale a

$x, ~P(x)

Portanto, de forma geral, podemos escrever:

~("x, P(x)) Û $x, ~P(x)

capítulo 6 • 165

Agora, com relação à negação de uma sentença quantificada com o quantificador exis-

tencial, considere a sentença aberta P (x) e o seu conjunto universo U = {a1, a2, a, ... , an}. A

sentença quantificada ∃x, P (x) equivale à disjunção P (a1) ∨ P (a2) ∨ ... ∨ P (an). Podemos,

então, escrever:

∃x, P (x) ⇔ P (a1) ∨ P (a2) ∨ ... ∨ P (an)

Dessa forma, podemos expressar sua negação na forma:

~(∃x, P (x)) ⇔ ~ (P (a1) ∨ P (a2) ∨ ... ∨ P (an))

Aplicando uma das leis de Morgan (que refere-se à negação de uma conjunção), pode-

mos escrever:

~(∃x, P (x)) ⇔ ~P (a1) ∧ ~P (a2) ∧ ... ∧ ~P (an)

A conjunção

~P (a1) ∧ ~P (a2) ∧ ... ∧ ~P (an)

é verdadeira se a condição P (x) não ocorrer para nenhum elemento do conjunto univer-

so, ou seja, qualquer que seja o elemento considerado do conjunto universo P(x) não ocorre.

Isso nos leva a concluir que essa conjunção equivale à

∀x, ~P (x)

Portanto, de forma geral, podemos escrever:

~(∃x, P (x)) ⇔ ∀x, ~P (x)

Uma última definição que veremos nesta seção é a de alcance de um quantificador.

Quando associamos um quantificador a uma condição P(x), esta define-se como o

alcance (ou escopo) do quantificador.

Exemplo 6.7

Considere as sentenças

a) ∀x ∈ R x + 3 < 0;

b) ∃x, "y, (x + y) ∈ R

166 • capítulo 6

No item (a), o alcance do quantificador universal é “x + 3 < 0”.

Observe que no item (b) há dois quantificadores. Podemos ler a sentença “∃x, "y, (x + y) ∈ R”

como “existe x, tal que para todo y, a soma x + y é um valor real”. Nesse caso, o alcance do

quantificador existencial é “"y, (x + y) ∈ R”. Já o alcance do quantificador universal é “(x + y) ∈ R”.

6.3 Métodos de demonstração

As aplicações que fazemos de certas propriedades e teoremas matemáticos só

é possível devido ao fato desses poderem ser generalizados para diversas si-

tuações. O teorema de Pitágoras, por exemplo, pode ser aplicado em qualquer

triângulo retângulo ou na resolução de toda e qualquer situação-problema em

que se deseja determinar a medida de um de seus catetos a partir da medida de

sua hipotenusa e do outro cateto ou a medida de sua hipotenusa a partir das

medidas de seus catetos. Sua validade está comprovada nessas condições.

No estudo da lógica, quando fazemos uma afirmação do tipo “todo núme-

ro natural é racional”, estamos considerando que tal propriedade aplica-se a

todos os elementos do conjunto N. Mas, a questão, agora, é como podemos va-

lidar (provar, demonstrar) esse resultado para todos os números naturais? Não

temos, logicamente, como testar a propriedade diretamente para cada valor

natural, pois são infinitos. No entanto, há formas de realizar esse tipo de prova

de tal forma que se possa comprovar a veracidade da propriedade para todos

os elementos de um conjunto. Para isso, contamos com alguns métodos de de-

monstração, que veremos a partir de agora.

Entende-se por demonstração ou prova, o processo de raciocínio lógico-dedutivo

no qual, assumindo-se uma hipótese como verdadeira, deduz-se uma tese (resulta-

do) através do uso de argumentos.

Já definimos, anteriormente, quando consideramos um argumento válido.

Se partirmos de certas premissas, que são declarações tidas como verdadeiras,

então podemos, através do uso de certas regras de inferência (ou equivalência),

obter uma conclusão verdadeira. Dado um conjunto P de premissas p1, p2, ..., pn,

verdadeiras, devemos concluir que a proposição Q também é verdadeira. Ou

seja, devemos provar que P implica Q:

capítulo 6 • 167

P ⇒ Q

Uma forma de provar um argumento deste tipo é considerar que o

condicional

P → Q

é verdadeiro. Isto equivale a provar que

P p p pn⇔ ∧ ∧ ∧1 2

é uma proposição verdadeira sempre que p1, p2, ..., pn, são verdadeiras.

Uma forma de demonstrar a validade desse tipo de argumento é através do

uso de tabelas-verdade. Contudo, se a quantidade de premissas for grande, a

tabela ficará muito extensa, tornando o processo extremamente exaustivo. Por

isso, veremos alguns métodos que tornam o processo mais ágil.

Um teorema é uma afirmação que pode ser demonstrada como verdadeira, por meio

de outras afirmações que já foram provadas, como outros teoremas ou os axiomas.

Os teoremas, geralmente, ocupam posição de destaque no desenvolvimento de certa

teoria. Entende-se por prova ou demonstração o processo em que se mostra que o

teorema está correto.

Um axioma é considerado uma verdade inquestionável e universalmente válida. É,

muitas vezes, utilizado como princípio na construção de uma teoria ou como base no

processo de argumentação.

6.3.1 Prova direta

Esta técnica de demonstração já foi apresentada neste livro. Quando realiza-

mos, no capítulo 5, a verificação da veracidade de argumentos através da aplica-

ção das regras de inferência estávamos aplicando esse tipo de demonstração.

Considera-se que uma proposição Q é formalmente dedutível do conjunto

P de premissas p1, p2, ... , pn se, e somente se, p1, p2, ... , pn, Q for um argumen-

to válido.

Se a proposição Q é formalmente dedutível, ela é denominada um teorema.

Vamos ver dois exemplos em que se aplicada a prova direta de teoremas.

Para compreender os processos apresentados nesses exemplos é preciso recor-

rer às regras de inferência apresentadas no capítulo 5.

168 • capítulo 6

Tais regras são, novamente, apresentadas a seguir.

Regras de inferência

União (U): p q p q, ⇒ ∧

Modus Ponens (MP): p q p q→ ⇒,

Modus Tollens (MT): p q q p→ ⇒,~ ~

Adição (A): p p q⇒ ∨

Simplificação (S): p q p∧ ⇒

Silogismo Hipotético (SH): p q q r p r→ → ⇒ →,

Silogismo Disjuntivo (SD): p q p q∨ ⇒,~

Simplificação Disjuntiva (S+): p q p q∨ ⇒,~

EXEMPLOExemplo 6.8

Vamos provar o argumento

q ∧ s, t → ~q, ~t → r, r ∨ ~s.

Isso equivale a provar que a proposição “r ∨ ~s” é verdadeira sempre que “q ∧ s”, “t → ~q”

e “~t → r” (ou a conjunção dessas proposições) forem verdadeiras.

Vamos, inicialmente, numerar as premissas. A partir delas, iremos obter novas proposi-

ções como resultado da aplicação das regras de inferências adequadas em uma ou mais

dessas premissas. As regras aplicadas e as premissas sobre as quais essas regras estão

sendo aplicadas estão indicadas, entre parênteses, ao lado da proposição resultante.

1. s ∧ p (premissa)

2. t → ∼p (premissa)

3. ∼t → p (premissa)

4. q (simplificação em 1)

5. ~t (modus tollens em 2 e 4)

6. r (modus ponens em 3 e 5)

7. r ∨ ~s (adição em 6)

Portanto, conseguimos provar o que desejávamos (linha 7).

capítulo 6 • 169

Exemplo 6.9

Dadas as premissas:

1. se x ≠ 0 então x = y;

2. se x = y então x = z;

3. x ≠z,

vamos provar que x = 0.

Primeiramente, vamos escrever as proposições na forma simbólica. Podemos, por exem-

plo, tomar:

p: “x = 0”;

q: “x = y”;

r: “x = z”.

Portanto, queremos provar “p” dadas as premissas:

1. ~ p → q (premissa)

2. q → r (premissa)

3. ~ r (premissa)

4. ~q (modus tollens em 2 e 3)

5. p (modus tollens em 1 e 4)

Nesse tipo de demonstração, muitas vezes, é preciso experimentar alguns caminhos,

aplicando as regras de necessárias. Nem sempre o resultado aparece de forma tão rápida.

6.3.2 Demonstração por redução ao absurdo

Na seção anterior, vimos como demonstrar, de forma direta, a implicação “P ⇒ Q”.

Considerando que P é uma conjunção verdadeira de n proposições p1, p2, ... , pn,

isto é

P p p pn⇔ ∧ ∧ ∧1 2

conseguimos, através da aplicação direta das regras de inferência e/ou ou-

tras leis lógicas, concluir que a proposição Q também é verdadeira (válida).

Agora, iremos demonstrar a mesma implicação “P ⇒ Q” de uma forma indi-

reta. Já vimos que se “P ⇒ Q”, então o condicional “P → Q” é verdadeiro. Além

170 • capítulo 6

disso, através da lei de equivalência referente à eliminação do condicional, vis-

ta no capítulo anterior, podemos afirmar que

P Q e P Q→ ∧( )~ ~

são proposições equivalentes, isto é, têm valores lógicos iguais, que pode-

mos representar como

V P Q V P Q→( ) = ∧( )( )~ ~

E é exatamente essa equivalência que nos permite utilizar o recurso de de-

monstração por redução ao absurdo na comprovação de argumentos válidos.

Ele consiste em, primeiramente, considerar a proposição P verdadeira e

assumir (provisoriamente) como falsa a conclusão Q que se deseja provar, ou

seja, nesse método de demonstração devemos supor que a negação da conclu-

são é verdadeira (ou que a conclusão é falsa).

Dessa forma, aplicando as regras necessárias de inferência ou outras leis

da lógica sobre P e ∼Q, tentaremos chegar a uma contradição. Isso nos levará a

concluir que a proposição P é falsa, ou que ∼P é verdadeira. Neste ponto, ocorre

um choque de declarações, já que assumimos, inicialmente, que P é uma pro-

posição verdadeira.

Sendo assim, concluímos que a conjunção

P ∧ ∼Q é falsa.

Daí, então, temos que

∼(P ∧ ∼Q) é verdadeira.

Como

~ ~ ~P Q P Q

P Q

∧( ) ⇔ ∨

⇔ →

( )

leis de Morgan ( ),"eliminação" do condicional

podemos concluir que o condicional “P → Q” também é uma proposi-

ção verdadeira.

Logo, podemos deduzir, como desejávamos, que

P ⇒ Q

Vamos a dois exemplos de demonstração utilizando o método de redução

ao absurdo.

capítulo 6 • 171

EXEMPLO

Exemplo 6.10

Dadas as premissas “∼p ∨ q”, “∼r → ∼q” e “p”, vamos provar “r” utilizando método de re-

dução ao absurdo.

Vamos assumir, então, que “r” é falsa. Dessa forma, dispomos a seguir as premissas da-

das incluindo a negação “~r” da conclusão como uma nova premissa. Vamos, portanto, aplicar

as regras necessárias até chegarmos a uma contradição.

1. ∼p ∨ q (premissa)

2. ∼r → ∼q (premissa)

3. p (premissa)

4. ∼r (premissa provisória: negação da conclusão)

5. q (silogismo disjuntivo em 1 e 3)

6. ~q (modus ponens em 2 e 4)

7. q Ù ~q (união em 5 e 6)

8. r (demonstração indireta de 4 a 7)

Na linha 7, temos uma contradição. Portanto, concluímos por redução AO absurdo que

“r” é verdadeira.

Exemplo 6.11

Vamos provar que se x2 é par, então x também é par.

Neste exemplo, o procedimento utilizado será diferente daquele utilizado no exemplo

anterior, mas a justificativa lógica é a mesma: a redução ao absurdo.

Vamos considerar as proposições:

p: “x2 é par” e q : “x é par”.

O que queremos provar é que o condicional “p → q” é verdadeiro ou que “p ⇒ q”. Então,

pelo método da redução ao absurdo, vamos supor que q é uma proposição falsa. Portanto,

partiremos das premissas “p” e “~q”. A premissa “~q” pode ser escrita como “x não é par” ou,

equivalentemente, “x é ímpar”. Sendo assim, dizemos que existe um inteiro k tal que o número

x pode ser escrito na forma:

x = 2k + 1

172 • capítulo 6

Portanto, temos:

x k

k k

k k

2 2

2

2

2 1

4 4 1

2 2 2 1

= +( )= + +

= +( ) + .

Tomando c= 2k2 + 2k, podemos concluir que c é um número par, pois 2k2 e 2k são pa-

res, portanto a soma deles também é um número par. Dessa forma, temos:

x2 = 2c + 1

o que nos leva a concluir que x2 é ímpar. Isso contradiz a proposição p : “x2 é par”. Logo,

por redução ao absurdo, concluímos que a proposição q : “x é par” é verdadeira.

6.3.3 Demonstração da forma condicional

Outra forma indireta de demonstração refere-se a um método aplicável em

argumentos cuja conclusão tem a forma condicional “p → q”. Nesse caso, de

forma semelhante ao método de redução ao absurdo, supomos “∼(p → q)” ver-

dadeira (negação da conclusão). Em seguida, partindo das premissas dadas (hi-

pótese) e da premissa provisória, que é a negação da conclusão (tese), devemos

aplicar as regras necessárias até se chegar a uma contradição.

Dessa forma, concluímos pela veracidade da conclusão (fato cuja justifi-

cativa já foi mostrada no método de redução ao absurdo, apresentado na se-

ção anterior).

Vamos a um exemplo.

EXEMPLOExemplo 6.12

A partir das premissas “r → q” e “~(p ∧ q)”, vamos provar que é verdadeira a conclusão

“p → ~r”.

A seguir, temos o desenvolvimento do raciocínio com a indicação das regras utilizadas.

1. r → q (premissa)

2. ~(p ∧ q) (premissa)

capítulo 6 • 173

3. ~(p → ~r) (premissa provisória)

4. ~(~p ∨ ~r) (eliminação de condicional em 3)

5. ~(~p) ∨ ~(~r) (lei de Morgan em 4)

6. ~(~p) (simplificação em 5)

7. p (dupla negação em 6)

8. ~(~r) (simplificação em 5)

9. r (dupla negação em 8)

10. ~p ∨ ~q (lei de Morgan em 2)

11. ~q (silogismo disjuntivo em 7 e 10)

12. q (modus ponens em 1 e 9)

13. q ∧ ~q (união de 11 e 12)

14. p → ~r (demonstração indireta: 3 a 13)

Na linha 13, chegamos a uma contradição, o que nos leva a concluir que a proposição

“p → ~r” é verdadeira. Isso é equivalente a dizer que o argumento

r → q , ~(p ∧ q), p → ~r

é válido.

Outra forma de representar um argumento válido desse tipo é:

r → q , ~(p ∧ q) | p → ~r.

6.3.4 Demonstração por indução

Imagine uma longa fila de dominós dispostos em sequência e considere as

duas declarações seguintes como fatos verdadeiros:

I. O primeiro dominó da fila cairá; que o primeiro dominó cairá;

II. Se um dominó cair, o próximo também cairá.

Note que essas duas afirmações são suficientes para demonstrar que é ver-

dadeira a conclusão “todos os dominós da fila cairão”, independentemente da

quantidade n de dominós.

Há um método de demonstração, denominado método de demonstração

por indução, que baseia-se em duas etapas que assemelham-se às declarações

em (I) e (II). A primeira é denominada base e a segunda passo indutivo.

174 • capítulo 6

Base: etapa em que se mostra que o enunciado (conclusão) vale para n = 1.

Passo de indução: etapa em que se prova que se o enunciado vale para n = k,

então vale também para n = 1.

Veja o desenvolvimento e aplicação desse método nos exemplos a seguir.

EXEMPLOExemplo 6.13

Vamos demonstrar a validade da fórmula

1 2 31

2+ + + + =

+( ) n

n n

que fornece a soma dos n primeiros números naturais.

A primeira etapa (base) é mostrar que a fórmula vale para n = 1. Veja:

11 1 1

21=

+( )= .

Agora, considerando que ela é válida para n = k, devemos provar que ela também é válida

para n = k + 1. Vamos, então, fazer a verificação de forma algébrica.

Se a fórmula é válida para n = k, temos:

1 2 3

1

2+ + + + =

+( ) k

k k

Agora, vamos provar que ela também vale para . Para isso, comecemos somando “ k +1”

a cada um dos lados da igualdade anterior:

1 2 3 11

21+ + + + + +( ) = +( )

+ +( ) ( ) k kk k

k *

Se a fórmula vale para n = k, então, temos que provar que se n = k + 1, a fórmula será

dada por:

1 2 3 11 2

2+ + + + + +( ) = +( ) +( ) ( ) k k

k k* *

capítulo 6 • 175

Comparando as igualdades apresentadas em (*) e (**), podemos perceber que o que

precisamos provar é que:

k kk

k k+( )+ +( ) = +( ) +( )1

21

1 2

2

Veja, a seguir, como podemos partir da expressão à esquerda e chegar ao formato da

expressão à direita.

k kk

k k k

k k k

k k

k k

+( )+ +( ) = +( ) + +( )

=+ + +

=+ +

=+( ) +(

1

21

1 2 1

22 2

23 221 2

2

2

))2

Exemplo 6.14

Vamos demonstrar, por indução, a validade da fórmula

1 2 31 2 1

62 2 2 2+ + + + =

+( ) +( ) n

n n n

Primeiro, verificamos sua validade para n = 1:

11 1 1 2 1 1

61

1 2 36

1 12 =+( ) ⋅ +( )

⇒ =⋅ ⋅

⇒ =

Agora, considerando-a válida para n, vamos testar sua validade para n + 1. Se somarmos

(n +1)2 aos dois lados da igualdade (fórmula), teremos:

1 2 3 11 2 1

61

1 2 1 6

2 2 2 2 2 2+ + + + + +( ) =+( ) +( )

+ +( )

=+( ) +( ) + +

n nn n n

n

n n n n 11

61 2 1 6 1

61 1 1 2 1 1

2( )

=+( ) +( ) + +( )

=+( ) +( ) + +( ) +

n n n n

n n n 6

determinando, dessa forma, a validade da fórmula para n + 1.

176 • capítulo 6

ATIVIDADES01. Apresente, na linguagem natural, a negação das proposições abaixo:

a) “Todo aluno tem bom desempenho”.

b) “Alguns empresários estão no evento”.

c) “Há jogadores bons”.

02. Negue as sentenças abaixo:

a) “Para todo x, existe y tal que x – y = 0”;

b) ∃x ∈ , x2 – 1 = 0;

c) ∀x ∈ , x + 2 > 0.

03. Dadas as sentenças abertas:

P x x x e Q x x( ) − + = ( ) + ≤: :2 5 6 0 4 0

com U = , determine os valores lógicos de:

a) ∀x, P(x);

b) ∃x, P (x);

c) ∀x, Q (x);

d) ∃x, Q (x);

e) ~($x, P (x)).

04. Determine o conjunto verdade em cada um dos casos:

a) x x= , U = N;

b) x x= +1, U = R;

c) x2 –5x = – 4, U = R;

d) x2 – 6x – 7 = 0, U = R;

e) x2 – 6x – 7 = 0, U = Z

f) 3x + 1 > 10, U = R;

g) 5x – 4 < 0, U = Z.

05. Utilizando os métodos de demonstração adequados, prove os seguintes argumentos:

a) A B C D E C D E F A B→( ) ∨ ∨( ) → ∨ ∧( ) →, ~ , ,

b) p q s p t q s t p q∨ → ∨ ∨ ∨( ),~ , ~ ,~ ~ ,~

c) c d a b d c a b∧ ∧ → ∨ →, ~ ~ , ~

d) p q r q p s r p s→ ∨ → → ∧( ), ~ , ~ ,~

e) p q r r q p s s q r s∧ → ∨ → ∨ → ↔, ~ , ,

OBS: no item (e) desta questão, considere que provar o argumento cuja conclusão é o

bicondicional “r ↔ s” equivale a demonstrá-lo válido considerando como conclusão o condi-

cional “r → s” e, depois, fazer o mesmo considerando como conclusão o condicional “r → s”.

capítulo 6 • 177

06. Utilizando o método de demonstração por redução ao absurdo prove a seguin-

te afirmação:

“ 2 é um número irracional”.

07. (SEGEP-MA) Sabe-se que um executivo é honesto se, e somente se, pratica exercícios

físicos. João é um executivo e é sedentário. Pode-se, então, concluir que:

a) todo executivo é desonesto.

b) todo executivo pratica exercícios físicos.

c) João não é um executivo honesto.

d) todo executivo é honesto.

e) nenhum executivo pratica exercícios físicos.

08. (EMSERH) Uma escola de dança oferece aulas de zumba, samba, sapateado, forró e

frevo. Todas as professoras de zumba são, também, professoras de samba, mas nenhuma

professora de samba é professora de sapateado. Todas as professoras de forró são, também,

professoras de frevo, e algumas professoras de frevo são, também, professoras de sapatea-

do. Sabe-se que nenhuma professora de frevo é professora de samba, e como as aulas de

samba, forró e sapateado não têm nenhuma professora em comum, então:

a) nenhuma professora de forró é professora de zumba.

b) pelo menos uma professora de forró é professora de sapateado.

c) pelo menos uma professora de zumba é professora de sapateado.

d) todas as professoras de frevo são professoras de zumba.

e) todas as professoras de frevo são professoras de forró.

09. Preocupados em reestruturar as atividades oferecidas pelo Centro Esportivo da cidade,

os dirigentes fizeram uma pesquisa sobre a preferência dos usuários aos esportes ofereci-

dos. Notou-se que todos os praticantes de caminhada também faziam yoga, mas nenhum dos

alunos de yoga praticava natação. Todos os alunos de spinning eram também praticantes de

pilates e alguns dos que praticavam pilates faziam natação. Como nenhum dos alunos de

pilates praticava yoga e nenhum dos que faziam spinning praticavam natação, conclui-se que:

a) pelo menos um praticante de spinning faz yoga.

b) pelo menos um praticante de caminhada faz natação.

c) nenhum praticante de spinning faz caminhada.

d) todos os praticantes de pilates também praticam spinning.

e) todos os frequentadores de yoga também fazem pilates.

178 • capítulo 6

10. Demonstre a validade das seguintes fórmulas, utilizando o método de indução:

a) 1 3 5 2 12 1 2 1

32 2 2 2+ + + + −( ) =

−( ) +( ) n

n n n

b) 1 2 31

23 3 3 3

2

+ + + + =+( )

n

n n

REFLEXÃOAs aplicações da lógica matemática são incontáveis. Raciocinar de forma lógica é importante

em toda e qualquer situação e tudo que estudamos neste livro, certamente, poderá contribuir

para que você consiga resolver problemas com maior eficiência. Não deixe de se exercitar na

aplicação dos conceitos aqui abordados.

Como se isso não bastasse, as aplicações da lógica forma e dedutiva que estudamos ao

longo de nosso curso são de fundamental importância ao desenvolvimento das linguagens

computacionais. Há uma estreita ligação entre vários dos pontos que estudamos, como co-

nectivos, leis de equivalência, regras de inferência, quantificadores etc, com os procedimen-

tos necessários ao desenvolvimento de um programa computacional.

Por isso, empenhe-se no estudo dessa ciência e não pare por aqui. O objetivo desse

texto é lhe apresentar os principais tópicos da lógica matemática, mas há muito mais para se

estudar. Consulte as referências citadas após as atividades para conhecer mais sobre lógica.

Bons estudos!

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICASALENCAR FILHO, E. de. Iniciação à lógica matemática. 22ª ed São Paulo: Nobel, 2003.

DAGHLIAN, J. Lógica e álgebra de Boole. 4ª ed. São Paulo: Atlas, 1995.

NOLT, J. & RHATYN, D. Lógica, Makron Books do Brasil, 1991



capítulo 6 • 179

GABARITOCapítulo 1

01.

a)

A B

C

b)

A B

C

c)

A B

C

d)

A B

C

02. (construção de diagramas para provar as relações)

03.

a) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

b) ∅

c) ∅

d) {2, 4, 10}

e) {2, 4, 6, 8, 10}

f) {2, 4, 6, 8, 10}

g) {2, 4, 6, 8, 10}

04.

a) {x ∈ R / 6 ≤ x ≤ 9}

b) {x ∈ R / 7 < x < 9}

c) {9}

05.

a) [–2, 8[

–2 8R

b) [2, 6[

2 6R

180 • capítulo 6

c) [6, 8[

6 8R

06.

a) ]3, ∞[

b) ]–∞, ∞[

c) [5, 7]

d) ]3, 4[

e) ]3, 5[

f) [5, ∞[

g) ]–∞, 4[

h) R – ]3, 7] = ]–∞, 3] È ] ∪, ∞[

i) R – [5, ∞[ = ]–∞, 5[

j) R – ]–∞, 4[ = [4, ∞[

07. Sugestão: a partir das informações dadas, distribua as quantidades nos diagramas abaixo.

A B

C

80 15 15

2515

10

180

a) 15

b) 80 + 15 + 180 = 275

c) 15 + 10 + 25 = 50

d) 80 + 15 + 15 + 10 + 15 + 25 = 160

e) 80 + 15 = 95

08. 69%

09. E

10. B

11. A

12. B

13. n (A ∪ B ∪ C) = n (A) + n (B) + n (C) – n (A ∩ B) – n (A ∩ C) – n (B ∩ C) – n (A ∩ B ∩ C)

14.

a) S =

1310

32

,

b) S = { }1

c) S =

76

d) S = −

13

32

,

capítulo 6 • 181

Capítulo 2

01. 20

02. 2.700

03. Para resolver esta questão, primeiramente, considere a divisão do quadrado (de lado 6)

em 36 quadrados de lado igual a 1. Dessa forma, a diagonal de cada quadrado menor terá

medida igual a 2 . Sendo assim, pelo princípio da casa de pombos, será necessário marcar,

no mínimo 37 pontos no quadrado maior.

04. O resultado pode ser obtido através do cálculo de um arranjo de 42 elementos tomados

2 a 2. Resposta: 1.722 (alternativa: B)

05.

a) 1

50 063 8600 00000002 0 000002

. ., , %≅ =

b) 1

5 461 512 487 6351

5 949 1470 00000017 0 000017

. . . . ., , %

+= ≅ =

06. 175.760.000

07. Como uma vaga precisa, necessariamente, ser ocupada por um professor de Matemáti-

ca, há 16 maneiras diferentes disso ocorrer (trata-se de uma combinação de 16 elementos

tomados 1 a 1, isto é, C1,61). As outras cinco vagas podem ser ocupadas por qualquer um dos

outros 27 professores restantes (12 de Física e 15 de Matemática), ou seja, a quantidade de

formas diferentes disso ocorrer é igual a uma combinação de 27 elementos tomados 5 a 5

(C27,5). Sendo assim, temos:

C C161 27 5 16 80 730 1 291 680, , . . .⋅ = ⋅ =

08. B

09. C8 3 56, =

10. C (Teríamos 8 sequências que possuem pelo menos três zeros em posições consecutivas):

• Exatamente três zeros consecutivos: {00010, 00011, 10001, 01000, 11000}

• Exatamente quatro zeros consecutivos: {00001, 10000}

• Exatamente cinco zeros consecutivos: {00000}

182 • capítulo 6

Capítulo 3

01.

a)

00–1–2–3 1

1

2

2 3

3

4

5

y

x

b) y

x00 1

1

2

2 3

3

4

–1

c) y

x00 1

1

2

2 3

3

4

–1

capítulo 6 • 183

d) y

x00 1

1

2

2 3 4 5

3

4

–1–2

02.

a)

0 1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

2 3 4 5 60

1

–1x

y

b) D (R) = {0, 1, 2, 3, 4, 5}; Im (R) = {–5, –4, –3, –2, –1, 0}

03.

a) (–2, 5), (–1, 2), (0, 1), (1, 2), (2, 5), (3, 10), (4, 17), (5, 26), (6, 37)

b)

–2 –1 0 1 2 3 4 5 6

1251017263750

184 • capítulo 6

c) D (S) = A; CD (S) = B; Im (S) = B – {50}

04.

a) y

x

–2 –1 1 2 3 4 50

0

4

3

2

1

–1

b) Antissimétrica e transitiva.

c) Não, pois não possui a propriedade reflexiva.

d) Não, pois não possui as propriedades reflexiva e simétrica.

05.

a) Reflexiva, simétrica e transitiva.

b) Não, pois não possui a propriedade antissimétrica.

c) Sim, pois é reflexiva, simétrica e transitiva.

06. A relação R, aqui definida, é:

R = {(0, 0), (0, 1), (0, 2),(0, 3), (1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 3)}.

Dessa forma, podemos notar que para qualquer x ∈ A = {0,1, 2, 3}, temos que (x, x) ∈

R. Sendo assim, a relação R é reflexiva, o que nos leva a concluir que seu fecho reflexivo é

ela própria.

Quanto ao fecho simétrico, temos:

R ∪ {(1, 0), (2, 0), (3, 0), (1, 2), (1, 3)}.

Para obter o fecho transitivo, é preciso determinar os elementos que faltam na relação R

que a tornariam uma relação transitiva. No entanto, ela já é uma relação transitiva. Portanto,

seu fecho transitivo é a própria relação R.

07.

a) R = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (5, 1),

(5, 3), (5, 5), (6, 2), (6, 6)}

b) Reflexiva, simétrica e transitiva.

capítulo 6 • 185

Capítulo 4

01.

a) Não é função.

A B

–1

1

3

5

0

1

2

3

b) É função. Não é injetora e nem sobrejetora. Portanto, também não é bijetora.

A

B

–3–2–1

0123

0123456789

c) É função sobrejetora, mas não é injetora e nem bijetora.

01234

0123

AB

186 • capítulo 6

d) Não é função.

A B

–1

1

3

5

0

1

2

3

02.

a)

0

1

2

3

4

x

y

6543210–1–2

b)

0

1

1

3

2

5

4

x

10 2 3 4–4 –3 –2 –1

y

c)

capítulo 6 • 187

0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

1

4

3

2

–1

–2

–3

1 2 3 4 5 6 70

03.

a) Sobrejetora, injetora e bijetora.

0

–5 –4 –3 –2 –1

1

4

3

2

–1

–2

–3

1 2 3 40

5

188 • capítulo 6

b) Sobrejetora, injetora e bijetora.

0

–1

1

4

3

2

–1

–2

–3

1 2 3 4 5 60

5

–4

–5

c) Sobrejetora, injetora e bijetora.

0

1

4

3

2

–1

–2

–3

1 2 3 40

5

6

–4

–1–2–3

capítulo 6 • 189

d) Sobrejetora, injetora e bijetora.

0

1

4

3

2

–11 2 3 4 5 6 7 8 90

5

6

–1

e) Não é injetora, nem sobrejetora e nem bijetora.

01

4

3

2

–11 2 3 4 5 6 7 8 90

5

–6

–3

–4

–5

–7

–2

6

–1

–8

190 • capítulo 6

f) Não é injetora, nem sobrejetora e nem bijetora.

0

1

–11 2 3 4 5–4 –3 –2 60

–6

–3

–4

–5

–2

–1

g) Não é injetora, nem sobrejetora e nem bijetora.

0

5

10

–5

5 10 15 200

–15

–20

–10

–5

capítulo 6 • 191

h) Não é injetora, nem sobrejetora e nem bijetora.

0

–121–4 –3 –2 0

–6

–3

–4

–5

–2

–1–7 –6 –5

–9

–7

–8

–1

i) Não é injetora, nem sobrejetora e nem bijetora.

2

3

4

5

1

11 2

6

0

0–2–3

192 • capítulo 6

04.

a) Expressão: y = 6 + 1,5x , em que y é o valor cobrado, em reais, e x é a distância

percorrida, em km.

Por uma corrida de 15 km, receberá R$ 28,50.

05. y = 3x – 1

06.

a) q = –500p + 19.500

b)

–5000

5000

10000

15000

20000

q

5 10 15 20 25 30 35

0

0 40

c) 15

07.

a) Considerando R a receita total e q a quantidade de revistas vendidas, temos, res-

pectivamente, as expressões:

R = 80.000 + 6q e R = 100.000 + 4, 5q.

b)

5000

10000

15000

q

5000 10000 15000 20000

0

0

R

capítulo 6 • 193

5000

10000

15000

q

5000 10000 15000 20000

0

0

q

c) Para determinar essa quantidade, igualamos as expressões apresentadas no item

(a) e resolvemos a equação resultante, como a seguir:

80 000 6 100 000 4 5

15 20 000

13 333

. . ,

, .

.

+ = +=≅

q q

q

q

08.

a)

0

50

100

150

200

–505 10 15 20 25 300

–100

35

x

L

b) 15

c) 100

d) Para 0 5 25≤ < >x e x

09. D

194 • capítulo 6

Capítulo 5

01.

a) não dedutivo

b) não dedutivo

c) não dedutivo

d) não dedutivo

02.

a) p q∨

b) ~ ~ ~p q∨( )c) ~ ~p q∧

d) p q→

e) p q↔

f) ~ ~ ~p q∧( )03.

a) Aurélio joga basquete e Flávia joga vôlei.

b) urélio joga basquete ou Marcelo pratica natação.

c) Se Marcelo pratica natação, então Flávia joga vôlei.

d) Se Marcelo pratica natação, então Flávia joga vôlei ou Aurélio joga basquete.

e) Aurélio joga basquete e Flávia não joga vôlei.

f) Não é verdade que Aurélio joga basquete e que Flávia joga vôlei.

g) Não é verdade que Flávia não joga vôlei.

h) Flávia joga vôlei se, e somente se, Marcelo pratica natação.

04.

a) (p ∧ q) ∧ r

p q r p ∧ q (p ∧ q) ∧ rV V V V VV V F V FV F V F FV F F F FF V V F FF V F F FF F V F FF F F F F

capítulo 6 • 195

b) p ∧ q ∧ r

p q r p ∧ q ∧ rV V V VV V F FV F V FV F F FF V V FF V F FF F V FF F F F

c) r → q

r q r → qV V VV F FF V VF F V

d) ∼r ∨ q

r q ~r ~r ∨ qV V F VV F F FF V V VF F V V

e) ∼r ∨ q

r q ~r ~r ∨ qV V F VV F F FF V V FF F V V

f) (p ∨ ∼q) → q

p q ~q p ∧ ∼q (p ∨ ∼q) → qV V F F VV F V V FF V F F VF F V F V

196 • capítulo 6

g) (p ∨ ∼q) → q ↔ r

p q r ~q p ∨ ∼q (p ∧ ∼q) → q (p ∨ ∼q) → q ↔ rV V V F F V VV V F F F V FV F V V V F FV F F V V F VF V V F F V VF V F F F V FF F V V F V VF F F V F V F

h) (∼q ∨ p) ↔ (q ∨ ∼r)

p q r ~q ~r ∼q ∨ p q ∧ ∼r (∼q ∨ p) ↔ (q ∨ ∼r)V V V F F V F FV V F F V V V VV F V V F V F FV F F V V V F FF V V F F F F VF V F F V F V FF F V V F V F FF F F V V V F F

i) [(p → q) ∧ (q → p)] ∨ ∼ (p ↔ q)

p q p → q q → p (p → q) ∨ (q → p) p ↔ q ∼ (p ↔ q) [(p → q) ∧ (q → p)] ∨ ∼ (p ↔ q)V V V V V V F VV F F V F F V VF V V F F F V VF F V V V V F V

j) (p ∧ q) → (p ∨ r) ∧ (p ∨ t)

p q r t p ∧ q p ∨ r p ∨ t (p ∧ r) ∨ (p ∨ t) (p ∧ q) → (p ∨ r) ∧ (p ∨ t)V V V V V V V V VV V V F V V V V VV V F V V V V V VV V F F V V V V VV F V V F V V V VV F V F F V V V VV F F V F V V V VV F F F F V V V VF V V V F V V V VF V V F F V F F VF V F V F F V F VF V F F F F F F V

capítulo 6 • 197

F F V V F V V V VF F V F F V F F VF F F V F F V F VF F F F F F F F V

05.

a) V

b) F

c) V

d) V

06.

a) V (p) = 1; V (q) = 1; V (r) = 0

b) V (p) = 1; V (q) = 1; V (r) = 0

c) V (p) = 0; V (q) = 0; V (r) = 0

d) V (p) = 0; V (q) = 1; V (r) = 1

07.

a) argumento válido

b) argumento válido

08.

a) silogismo disjuntivo

b) silogismo hipotético

09. D

10. Demonstrações utilizando as regras de equivalência

Capítulo 6

01.

a) “Nem todo aluno tem bom desempenho” (ou “Existe pelo menos um aluno que não

tem bom desempenho”)

b) “Nenhum empresário está no evento”

c) c“Nenhum jogador é bom”

02.

a) ∃x, (∀y, x – y ≠ 0)

b) ∀x ∈ R, x2 – 1 ≠ 0

c) ∃x ∈ R, x + 2 ≤ 0

03.

a) F

b) V

c) F

d) V

e) F

198 • capítulo 6

04.

a) V = { }01,

b) V = { }c) V = { }1 4,

d) V = −{ }1 7,

e) V = −{ }1 7,

f) V x R x= ∈ ≥{ / }3

g) V x Z x= ∈ < = − − −{ }{ / / } , , , ,4 5 3 2 10

05. (demonstração)


07. C

08. A

09. C


capítulo 6 • 199

ANOTAÇÕES

200 • capítulo 6

ANOTAÇÕES

matemática aplicada a computação

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