matemática aplicada aula 3

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  • 5/26/2018 Matem tica Aplicada Aula 3

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    FUNOEXPONENCIALFuno exponencial muito aplicada

    em economia e finanas, pois os clculos comjuros compostos formam um modeloexponencial.Essa funo tambm aparece noclculo da depreciao de mquinas eequipamentos, fator importante paracontabilidade de uma empresa.

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    FUNOEXPONENCIALA representao de um nmero em

    porcentagem equivale a uma representaodecimal: 5% = 5/100 = 0,05 ou 32% = 32/100=0,32.

    Para calcular a porcentagem de umnmero, multiplique-o pelo equivalentedecimal.Exemplo: 5% de R 230,00

    230 . 5%=(5/100) = 230 . 0,05= R 11,50.

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    FUNOEXPONENCIALQuando se deseja encontrar o aumento

    percentual de uma grandeza, pode-se descobrirum fator multiplicativo para aumento. Se oproduto que custa R 200,00 sofrer umaumento de 12%, ter o seguinte valorfinal.(Vf).Vf = 200 + 200. 12% = 200+200.0,12

    Vf = 200 . (1+0,12) = 200 . 1,12fator multiplicativo

    Vf = 224

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    FUNOEXPONENCIALDe forma anloga ao feito para

    encontrar o aumento percentual de umagrandeza, pode-se descobrir um fatormultiplicativo para reduo. Se um produto quecusta R 200,00 sofrer uma reduo de 12%,ter o seguinte valor final (Vf).Vf = 200 200 . 12% = 200 200. 0,12

    Vf = 200 .(1-0,12) = 200 . 0,88fator multiplicativo

    Vf = 176

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    FUNOEXPONENCIALDe uma forma resumida podemos

    considerar :Para um fator multiplicativo s achar

    o valor da porcentagem em decimal e somar oresultado com +1.J para fator multiplicativo de reduo

    deve-se achar o valor de porcentagem esubtrair de 1.

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    FUNOEXPONENCIALExemplos:

    Qual o fator de aumento para 37% e 5%?-Para 37%: 1 + 0,37 = 1,37-Para 5%: 1 + 0,05 = 1,05

    Qual o fator de reduo para 48% e 3%?-Para 48%: 1 - 0,48 = 0,52-Para 3%: 1 0,03 = 0,97

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    FUNOEXPONENCIALConsidere que um empresa empresta de

    um banco R 50000,00. Aplica-se uma taxa dejuros de 2% ao ms. Qual o valor a ser pagopela empresa aps trs meses em uma nicaparcela?

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    FUNOEXPONENCIALAssim, o grfico da funo exponencial ficardesta forma:

    Figura: Representao grfica da dvida daempresa.

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    FUNOEXPONENCIALConsidere a situao em que uma

    mquina sofre uma depreciao de 4% ao ano.Se a mquina custa R 70000,00. qual ser ovalor da mquina aps trs anos?

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    FUNOEXPONENCIALAssim, o grfico da funo exponencial ficardesta forma:

    Figura: Representao grfica da depreciao damquina.

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    FUNOEXPONENCIALExerccio

    Num depsito a prazo efetuado em umbanco, o capital acumulado ao fim de certotempo dado pela frmula C ocapital acumulado, D o valor do depsito, i ataxa de juros ao ms e t o tempo de meses emque o dinheiro esta aplicado.Nesse sistema, aofinal de cada ms os juros capitalizados soincorporados ao depsito.

    .i)D(1C t

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    FUNOEXPONENCIALExerccio

    a) Para um depsito de R 1000,00 comtaxa de 2% ao ms, qual o capital acumuladoao fim de 6 meses? E de 1 ano?

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    TAXADEVARIAOMDIAEINSTANTNEAAs taxas de variao ocorrem em

    muitas situaes prticas em administraocontabilidade e economia.

    A velocidade com que uma empresaproduz um produto ou razo entre a quantidadeproduzida e o capital investido so taxas devariao.

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    TAXADEVARIAOMDIAEINSTANTNEATaxa de variao mdiaO conceito de taxa de variao mdia

    no exclusivo das funes do 1 grau; elapode ser calculada para qualquer funo. Se yrepresenta a varivel dependente e xrepresenta a independente, ento:

    Taxa de variao mdia =x

    y

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    TAXADEVARIAOMDIAEINSTANTNEAAplicao

    Considere a produo de um empresa, emtoneladas, como P(x) = onde x o tempoem horas.Quando x = 2;

    Quando x = 4;

    Qual a taxa de variao mdia da produo?

    2x

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    TAXADEVARIAOMDIAEINSTANTNEAO que isso quer dizer?

    Isso quer dizer que de 2 at as 4 horas, aempresa produziu em mdia 6 toneladas porhora.

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    TAXADEVARIAOMDIAEINSTANTNEATaxa de Variao Instantnea a taxa calculada em instante especfico daproduo, como por exemplo x=3 horas.Esta taxa instantnea ser calculada com oauxilio das derivadas.

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    TCNICASDEDERIVAO

    O que uma derivada? o valor da taxa de variao instantnea que determinado de forma direta por meio defrmulas.

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    TCNICASDEDERIVAORegras de DerivaoRegra da Potncia

    Calcule a derivada de , em seguidadetermine a taxa de variao instantnea dafuno em x=2.

    5)( xxf

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    TCNICASDEDERIVAORegras de DerivaoRegra da Multiplicao por uma constanteCalcule a derivada de f(x) =em seguida, determine a taxa de variaoinstantnea da funo f(x) em x =4.

    310)( xxf

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    TCNICASDEDERIVAORegra da Soma ou Diferena:Calcule a derivadaEm seguida. Determine a taxa de variaoinstantnea da funo f(x) x=1.

    .546)( 234 xxxxf

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    TCNICASDEDERIVAO1) ExerccioEm uma indstria de cosmticos, considerou-se a produo como funo do capitalinvestido em equipamentos e estabeleceu-se afuno em quea produo P dada em litros e o capitalinvestido em x dado em milhares de reais.Qual a taxa de variao instantnea daproduo quando o capital x =8.

    ,50102)( 2 xxxf

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    TCNICASDEDERIVAO2) ExerccioA produtividade de um funcionrio quandorelacionada ao nmero x de horas trabalhadas, descrita pela seguinte funo:

    a) Qual a taxa de variao instantnea.b) Qual seria a taxa de variao instantnea de

    produtividade para um funcionrio quetrabalha 3 horas.

    .20155,1)( 2 xxxf

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    TCNICASDEDERIVAOO que significa este resultado?

    Isto significa que o funcionrio estaaumentando a sua produtividade em 6 unidadespor hora no instante x =3.

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    APLICAODADERIVADAEm algumas situaes, um empresrio

    pode ter que tomar uma deciso entreaumentar ou no o nvel de produo.

    Para tanto, uma anlise do lucromarginal( tambm custo marginal e receitamarginal) pode mostrar a esse empresrio seproduzir mais e vender mais significa lucrarmais.Obs: Custo Marginal representa o acrscimode custo total quando se pensa aumentar aquantidade produzida.

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    APLICAODADERIVADAUma ferramenta prtica para esse

    clculo a derivada.

    Exemplo: Em uma indstria de calados deluxo, na produo de x unidades de um certotipo de sapato, o custo C em reais foi estudadoe estabelecido como

    .3500152,0)( 23 xxxC

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    APLICAODADERIVADAA empresa produziu 34 sapatos, quanto seria ocusto para produzir apenas mais um sapato?