matemática aplicada aula01

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  • Matemtica aplicadaProf.: Augusto Junior

  • Contedo programticoDefinio e Operaes com conjuntosRegra de trs (Simples e Composta)Unidade de MedidaPorcentagemFiguras planas, reas e volumes dos principais slidosPolinmiosEstudo das funesFuno Quadrtica e outras funesProgressesMatrizesProbabilidade

  • Definio e Operaes com Conjuntos

    L5*

  • A noo de Conjunto

    Um conjunto uma coleo qualquer de objetos.

    Exemplos:Conjunto dos estados da regio Centro-Oeste: C = {Gois, Mato Grosso, Mato Grosso do Sul e Distrito Federal}Conjunto dos nmeros primos: B = {2, 3, 5, 7, 11, 13,}Conjunto dos quadrilteros: A = {quadrilteros}

    L5*

  • Igualdade de conjuntosDois conjuntos A e B so considerados iguais quando tem a mesma quantidade de elementos e esses elementos so os mesmos.Em termos de smbolos, temos:Sendo A = B , temos que se x A x B.

  • Universo de RefernciaQuando falamos de um conjunto, necessrio especificar um universo de referncia (conjunto universo - U). Mesmo quando um conjunto definido pelos elementos que ele contm, esses elementos no podem ser arbitrrios.

    L5*

  • Operaes sobre conjuntos

    L5*

  • Operaes sobre conjuntosOperaes sobre conjuntos nos permitem construir novos conjuntos a partir de conjuntos dados, do mesmo modo que conectivos lgicos nos permitem construir novas frmulas a partir de frmulas mais simples. Dados conjuntos A e B, definimos novos conjuntos por:Unio ()Interseo ()Diferena (-)Complemento ()

    obtendo A B, A B, A -B eA .

    L5*

  • Operaes entre conjuntosUnio ( ): Sendo A e B dois conjuntos no vazios,definimos a unio de A com B da seguinte maneira: Exemplo:Considere A = { 1, 2, 3, 5 } e B = { 0, 4, 5 }, ento podemos dizer que:

  • Unio

    A B = { x | x A ou x B } ABUAB

    L5*

  • Interseco ( ): Dados dois conjuntos A e B no vazios, definimos a interseco de A com B da seguinte forma:

    A interseco formada por elementos que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos A e B.Exemplo: Considerando os conjuntos A e B tais que A = { -1, 0 , 2, 3, 4, 5 } e B = { 1, 2, 3, 4, 6 }, podemos dizer que:

  • Interseo

    A B = { x | x A e x B } ABUA B

    L5*

  • Diferena ( - ): So aqueles elementos que so exclusivos de um determinado conjunto. Sendo A e B dois conjuntos no vazios, definimos a diferena entre A e B da seguinte forma:

    Exemplo: Considerando A = { 0,1, 2, 4, 6 } e B = { 1, 3, 4, 5, 7 }, temos que:A B = { 0, 2, 6 } e B A = { 3, 5, 7 }

  • Diferena entre conjuntos

    A-B = { x | x A e x B } ABUA-B

    L5*

  • Propriedades das operaes:

    Onde A e B so considerados conjuntos quaisquer e no vazios.

  • ComplementoDado um conjunto A, subconjunto de um certo conjunto Universo U, chama-se complementar de A em relao a U o conjunto formado pelos elementos de U que no pertencem a A.

    L5*

  • Complemento

    AUA

    L5*

  • Exerccios:Sendo dados os conjuntos abaixo, determine o resultado

    de cada uma das operaes a seguir.A = { -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 }, B = { 0,1, 3, 6, 7 } e C = { -1, 0, 3, 4 }.

    L5*

  • 2) Lembrando da definio das operaes entre conjuntos, determine em cada um dos desenhos abaixo, qual a regio correspondente operao indicada:

  • 3) Sendo A = { 2, 3, 4, 5, 6, 8 } e B = { x / x natural e x < 10 }, determine ento o conjunto resultante de cada operao abaixo:

    L5*

  • correto afirmar que:

  • Identidades via VennMuitas vezes mais simples entender essas identidades por meio de Diagramas de Venn-Euler. Por exemplo, a Lei de DeMorgan:

    pode ser visualizada do seguinte modo:

    L5*

  • DeMorgan VisualA:B:

    L5*

  • DeMorgan VisualA:B:AB :

    L5*

  • DeMorgan VisualA:B:AB :

    L5*

  • DeMorgan VisualA:B:

    L5*

  • DeMorgan VisualA:B:A:B:

    L5*

  • DeMorgan VisualA:B:A:B:

    L5*

  • DeMorgan Visual

    =

    L5*

  • Conjuntos Numricos I) Conjunto do conjuntos NaturaisN = {0, 1, 2, 3, 4...}N* = {1, 2, 3, 4...}

    II) Conjunto dos nmeros InteirosZ = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}Z* = {... -3, -2, -1, 1, 2, 3...}

  • Conjuntos NumricosIII) Conjunto dos nmeros Racionais

    ou seja nmeros que podem ser escritos em forma de frao.

    IV) Conjunto dos nmeros IrracionaisNmero irracional um nmero que NO pode ser representado em forma de frao.

  • Conjuntos NumricosV) Conjunto dos nmeros Reais

  • Importante:

  • Numa pesquisa feita com 1000 famlias para se verificar a audincia dos programas de televiso, os seguintes resultados foram encontrados:510 famlias assistem ao programa A;305 assistem ao programa B;386 assistem ao programa C;180 assistem aos programas A e B;60 assistem aos programas B e C;25 assistem aos programas A e C;10 assistem aos trs programas.Exerccios

  • Quantas famlias assistem A ou B ou C?Quantas famlias no assistem nenhum desses programas?Quantas famlias assistem somente ao programa A?Quantas famlias assistem somente ao programa B?Quantas famlias no assistem nem ao programa A nem ao programa B?

  • Exerccio ResolvidoQuantas famlias assistem A ou B ou C? Quantas famlias no assistem nenhum desses programas?Quantas famlias assistem somente ao programa A? Quantas famlias assistem somente ao programa B?Quantas famlias no assistem nem ao programa A nem ao programa B?

    311+54=365A=510B=305C=386A e B=180B e C= 60A e C= 25A, B e C= 10Total de famlias entrevistadas= 1000

  • Exerccios

  • Unidades de MedidaConversesL5*

  • Grandeza tudo aquilo que podemos comparar com um padroComprimento, massa, peso, tempo, temperatura...

    L5*

  • Sistema de medidasOs padres utilizados para comparao de

    grandezas devem ser os mesmos, emqualquer situao.Um metro deve ter o mesmo comprimento

    em qualquer lugar do mundo; Um segundo deve ter a mesma durao; Um quilograma deve ter a mesma massa...

    L5*

  • Sistema de medidasUnidades bsicas do (SI)L5*

    GrandezaUnidadeSmboloComprimentoMetromTempoSegundosMassaQuilogramaKgVolumeLitrol ou LTemperaturaKelvinK

  • L5*Sistema de medidasUnidades Suplementares do (SI)

    GrandezaUnidadeSmbolonguloRadianoradEnergiaJouleJCarga eltricaCoulombCForaNewtonNFrequnciaHertzHz

  • L5*Sistema de medidasUnidades Derivadas do (SI)

    GrandezaUnidadeSmboloVelocidademetros por segundom/sAceleraometros por segundo ao quadradom/sPressoNewton por metro quadradoN/mImpulsoNewton por segundoN/s

  • Prefixo das unidadesL5*

  • Sistema Ingls de UnidadesL5*

    GrandezaUnidadeSmboloEquivalnciaComprimentoPolegadain0,0254m = 2,54cmComprimentoPft12in = 0,3048m = 30,48cmComprimentoJardajd3ft = 0,9144m = 91,44cmComprimentoMilhami1,609km = 1609mVolumeGalogal3,79LVolumeBarril-158,99L

  • CuriosidadesA velocidade da luz, no vcuo, de 300.000 km/sO Ano-luz (lv) no uma unidade do SIDistncia percorrida pela luz em um ano, no vcuo, e em linha reta.Equivale a trs milhes de quilmetros!!!

    (1 lv = 3.000.000 km)L5*

  • Exerccio de fixaoL5*

  • Razo, Proporo, Porcentagem e Grandezas diretamente e inversamente proporcionaisL5*

  • Razo a diviso de dois nmeros

    AntecedenteConsequente

  • Exemplo - RazoA Maria e o Joo dividiram uma pizza entre si. A Maria ficou com 4 fatias da pizza e o Joo ficou com 5 fatias.Qual a razo entre o nmero fatias da Maria e o nmero de fatias do Joo?

    Resposta: A razo de 4:5 (l-se 4 para 5).

  • Exerccios RazoA distncia entre duas cidades num mapa de escala 1:2000 de 8,5 cm. Qual a distncia real entre essas duas cidades?Pedrinho resolveu 20 problemas de Matemtica e acertou 18. Cludia resolveu 30 problemas e acertou 24. Quem apresentou o melhor desempenho?Uma equipe de futebol obteve, durante o ano de 2010, 26 vitrias, 15 empates e 11 derrotas. Qual a razo do nmero de vitrias para o nmero total de partidas disputadas?

  • Proporo a igualdade entre duas razes

    ou ( a : b = c : d )l-se : a est para b, assim como c est para d

  • Proporo

    MeiosExtremos( a : b = c : d )MeiosExtremosPropriedade Fundamental: O produto dos meios igual ao produto dos extremos

  • Exemplo - ProporoNuma escola a proporo entre o nmero de professores e o nmero de auxiliares de 16 para 2.Sabendo que o nmero total de funcionrios de 108, quantos professores e quantos auxiliares existem na escola?

  • Exerccios - ProporoJoo e Pedro resolveram trabalhar juntos para resolverem um problema hidrulico em um prdio, servio pelo qual recebero R$ 990,00. Como Joo trabalhou durante 6 horas e Pedro durante 5 horas, como eles devero dividir com justia os R$ 990,00 que sero pagos por essa tarefa?

    Trs scios A, B e C resolvem abrir uma pizzaria. O primeiro investiu 30 mil reais, o segundo 40 mil reais e o terceiro 50 mil reais. Aps 1 ano de funcionamento, a pizzaria deu um lucro de 24 mil reais. Se esse lucro for distribudo aos scios de forma que a quantia recebida seja diretamente proporcional ao valor investido, determine quanto cada um recebeu.

  • PorcentagemForma PercentualForma Unitria

  • Exerccios Calcule:10% de 29 + 4,2% de 175,3% de 18,45 3,4% de 2,70,4% de 125 + 16% de 234,254% de 1.439,25 + 30% de 17.43245% de 208 15% de 23 + 80% de 12

  • Grandezas Diretamente ProporcionaisDuas grandezas variveis so diretamente proporcionais quando, aumentando ou diminuindo uma delas numa determinad