métodos em matemática aplicada

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMATICA

Notas de Aula de

Mtodos em Matemtica Aplicada e a

Professor Dr. Mark Thompson Esequia Sauter

Porto Alegre, Maro de 2009. c

Conte do u1 Clculo Vetorial e Teoria do Potencial a 1.1 Superf cies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Curvas sobre superf cies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Mtricas sobre superf e cies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Angulo de interseco de curvas paramtricas . . . . . . . . . . . . . . . ca e 1.3.2 Elementos de rea na superf a cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 *Observaes sobre superf co cies e orientaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . co 1.5 Integrao sobre superf ca cies: heur sticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Os Teoremas da Divergncia e de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.6.1 O Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Denio intr ca nsica de operadores vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Aplicaes do Teorema de Divergncia a teoria do potencial . . . . . . . . . . . co e 1.8.1 As identidades de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Estimativas a priori e princ pio do mximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 1.10 Diversos Exemplos na Teoria Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11 Linhas de Campo e Tubos de Fora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c 1.12 Cinemtica dos Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 1.13 Leis de conservao de um uido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 1.14 Teorema de Transporte de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.15 Circulao e Teorema de Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 1.16 Dinmica de Vrtices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a o 1.17 Eletromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.17.1 As equaes de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . co 1.18 *Potenciais de Retardamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.19 Energia do campo eletromagntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.20 *Reexo e Refrao de ondas eletromagnticas em uma interface plana de a ca e dieltricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.21 *Dipolo Eltrico Oscilante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.22 *Relaes entre Mecnica clssica e Mecnica Quntica . . . . . . . . . . . . . . co a a a a 1.23 *Comutadores e Simetria para Certos Operadores de Schrdinger . . . . . . . . o 1.24 A equao de Calor e Invariana de Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca c 1.24.1 O mtodo de Similitude e a equao de calor . . . . . . . . . . . . . . . . e ca Referncias Bibliogrcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e a 2 Problemas de Fronteira e Evolutivos 2.1 Simetria e solues especiais do problema de Dirichlet co 2.2 Relaes de recorrncia para harmnicas esfricas . . co e o e 2.3 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Esfricas Harmnicas em geral . . . . . . . . . e o II para . . . . . . . . . o . . . Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 3 4 5 5 6 9 14 15 18 21 21 23 24 30 31 32 33 34 35 37 40 41 42 45 47 50 52 58 59 66 68 68 72 73 74

2.3.2 Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 *Analiticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Polinmios Harmnicos (slidos) . . . . . . . . . o o o 2.4 Exemplos de Problemas de Fronteira . . . . . . . . . . 2.4.1 Gravitao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 2.4.2 Movimento Irrotacional de um Fluido . . . . . . 2.4.3 Eletrosttica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 2.4.4 Dieltricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.4.5 Magnetosttica . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 2.4.6 Correntes Estacionrios . . . . . . . . . . . . . . a 2.4.7 Fluxo de Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.8 Coordenadas Cartesianas . . . . . . . . . . . . . 2.4.9 Equao de Laplace em Coordenadas Cil ca ndricas 2.4.10 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.11 *O espectro do tomo de Hidrognio . . . . . . a e 2.5 Equao do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 2.5.1 Regies Innitas: Heur o sticas . . . . . . . . . . 2.5.2 A equao do calor em separao de variveis . ca ca a 2.6 A equao da onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 2.7 Exemplos miscelneos avanados . . . . . . . . . . . . a c Referncias Bibliogrcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e a

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3 Sries de Fourier e Transformadas e 128 3.1 O Fenmeno de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 o 3.2 Somatrio de Sries Usando Mdias Aritmticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 o e e e 3.3 Integrao da Sries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 ca e 3.4 Funes no Diferenciveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 co a a 3.5 Transformadas Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 3.5.1 Convolues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 co 3.5.2 Transformadas de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 3.5.3 Transformadas de Fourier em Vrias Variveis . . . . . . . . . . . . . . . 145 a a 3.5.4 * Teorema de Inverso de Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 a 3.5.5 Aplicaes da Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 co 3.5.6 *Transformada de Fourier e Hankel na teoria de dinmica dos uidos . . 154 a 3.5.7 A transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 3.5.8 Fraes Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 co 3.5.9 Aplicao da Transformada de Laplace a equaes Diferenciais-Integrais ca co e Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 3.5.10 Aplicao da Transformada de Laplace a Equao do Calor . . . . . . . . 168 ca ca 3.5.11 *Aplicao da transformao de Laplace ` atraao de Van der Waals entre ca ca a c part culas esfricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 e 3.5.12 *Transformada de Mellin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 3.5.13 *Aplicao: equaes integrais duais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 ca co Referncias Bibliogrcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 e a 4 Equao da Onda ca 183 4.1 Um princ pio (fraco) de mximo dom a nios de dependncia e inuncia . . . . . . 184 e e 4.2 A equao da onda em dimenses maiores que um . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 ca o Referncias Bibliogrcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 e a III

5 Algebra Tensorial e Clculo Tensorial a 5.1 Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Tensores Associados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Tensores Relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Operador de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Variedades Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Conexes Am e Diferenciao Covariante . . . . . . . . . . . . . . . o ca 5.7 Variedades Riemanianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 A formulao tensorial dos teoremas de Green e Stokes . . . . . . . . ca 5.9 Tensores Homogneos e Isotrpicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e o 5.10 As equaes constitutivas e dinmicas para meios cont co a nuos e uidos . 5.10.1 Elasticidade Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10.2 Fluidos perfeitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10.3 Tenses em Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 5.11 Consequncias f e sicas da viscosidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11.1 A frmula de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 5.12 Relatividade e Gravitao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 5.12.1 A teoria de Relatividade Especial . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12.2 Propriedades do Tensor de Curvatura . . . . . . . . . . . . . . 5.12.3 Teoria Elementar de Relatividade Geral . . . . . . . . . . . . 5.13 As equaes de Einstein e o funcional de Hilbert . . . . . . . . . . . . co Referncias Bibliogrcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e a A Teoria de Sturm-Liouville B Variveis Complexas a C Mtodo de Frobenius e Desigualdade de Cauchy e

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