matemática aplicada unidade iv

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    Unidade IVMateMtica Financeira

    A notao para os elementos da Matemtica Financeira varia para cada autor. Dessa forma, no recomendvel a memorizao de uma s notao, nem sua adoo como padro. Recomenda-se o aprendizado dos conceitos fundamentais da Matemtica Financeira, independentemente da notao utilizada, de modo que qualquer problema possa ser resolvido.

    7 conceitos bsicos

    Custo: o gasto relativo ao bem ou servio utilizado na produo de outros bens e servios, ou seja, so todos os gastos relativos atividade de produo.

    Custo fixo: a parcela do custo que se mantm fixa quando a produo varia. o caso, por exemplo, do aluguel. Esse ser cobrado pelo mesmo valor, qualquer que seja o nvel de produo, inclusive no caso de no se produzir nada.

    Custo varivel: so aqueles custos cujos valores se alteram em funo do volume de produo da empresa. Por exemplo: matria-prima consumida. Se no houver quantidade produzida, o custo varivel ser nulo. Os custos variveis aumentam medida que aumenta a produo.

    Custo total: o gasto total da empresa com fatores de produo. Compe-se de custos variveis e custos fixos.

    Depreciao: o custo decorrente do desgaste ou da obsolescncia dos ativos imobilizados (mquinas, veculos, mveis, imveis e instalaes) da empresa.

    Dumping: prtica comercial que consiste em vender produtos a preos inferiores ao seu custo, com a finalidade de eliminar concorrentes e/ou ganhar mais participao no mercado.

    Fluxo de caixa: o fluxo de caixa tem por objetivo principal a projeo das entradas e das sadas dos recursos financeiros da empresa, em um determinado perodo de tempo.

    Lucro bruto: simplificadamente, nada mais do que o resultado positivo deduzido das vendas os custos e despesas. Diferena entre a receita e o custo de produo, incluindo-se os gastos com insumos, energia e outras despesas, mais impostos e remunerao dos empregados.

    Lucro lquido: equivale ao lucro bruto menos as dedues de imposto de renda e de outras taxas que a empresa tenha que pagar.

    Lucro operacional: o lucro operacional igual s receitas totais das operaes menos os respectivos custos totais.

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    MateMtIca aplIcada

    Lucratividade: a relao do valor do lucro com o montante de vendas, ou seja, divide-se o valor do lucro pelo volume de vendas.

    Margem bruta: calculada pela subtrao da receita total dos custos variveis, sendo um dos melhores indicadores de produtividade. Se compararmos duas empresas de mesma atividade, aquela que tem maior margem bruta a mais produtiva (seja por eficincia nos processos, ganho de escala, estrutura de custos etc.).

    Margem lquida: calculada pela subtrao da receita total dos custos variveis e custos fixos, sendo um indicativo de lucratividade. Se compararmos duas empresas de mesma atividade, aquela que tem maior margem lquida a que apresenta melhor rentabilidade no negcio, incluindo-se a a questo operacional, financeira e extraoperacional.

    Margem operacional: calculada pela diviso do lucro operacional pela receita lquida, sendo um bom indicador de eficincia operacional: se compararmos duas empresas de mesma atividade, aquela que tem maior margem operacional a que apresenta melhores resultados para cada real vendido, tendo assim, custos operacionais mais reduzidos.

    Mark-up: a margem da receita de vendas (faturamento) sobre os custos diretos de produo. Essa margem deve ser tal que permita empresa cobrir os custos diretos (ou variveis), os custos fixos e a parcela desejada de lucro da empresa.

    Ponto de equilbrio: significa a quantidade que equilibra a receita total com a soma dos custos e despesas relativos aos produtos vendidos.

    Receita bruta: o preo unitrio multiplicado pela quantidade vendida do bem.

    Receita lquida: a receita bruta menos as devolues de produtos e os impostos pagos pela empresa.

    Rentabilidade: uma medida do retorno de um investimento. Calcula-se dividindo o lucro obtido pelo valor do investimento inicial. Pode-se dizer que a rentabilidade a quantidade de dinheiro que o investidor ganha para cada quantia investida.

    Capital: o valor aplicado por meio de alguma operao financeira. Tambm conhecido como: principal, valor atual, valor presente ou valor aplicado. Em ingls, usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).

    Juros: representam a remunerao do capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.

    Juros simples: o juro de cada intervalo de tempo sempre calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.

    Juros compostos: o juro de cada intervalo de tempo calculado a partir do saldo no incio de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambm.

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    Importante: o juro a remunerao pelo emprstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato e est disposta a pagar um preo por isto. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponvel no mercado para emprstimos definem qual dever ser a remunerao, mais conhecida como taxa de juros.

    Taxa de juros: a taxa de juros indica qual remunerao ser paga ao dinheiro emprestado, para um determinado perodo. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, seguida da especificao do perodo de tempo a que se refere:

    8 % a.a. - (a.a. significa ao ano); 10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre); outra forma de apresentao da taxa de juros a unitria, que igual taxa percentual

    dividida por 100, sem o smbolo %:

    0,15 a.m. - (a.m. significa ao ms); 0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre).

    Taxa efetiva: a taxa efetiva pressupe incidncia de juros apenas uma nica vez em cada perodo a que se refere a taxa, isto , a unidade de tempo da taxa coincide com a unidade de tempo dos perodos de capitalizao, ou seja, a taxa efetiva a taxa por perodo de capitalizao. Quando o perodo de capitalizao no mencionado, fica subentendido que coincide com o perodo de tempo da taxa.

    Exemplos:

    24% ao ano, capitalizao anual ou 24% ao ano; 10% ao ms, capitalizao mensal ou 10% ao ms.

    Taxa nominal: a taxa nominal pressupe incidncia de juros mais de uma vez em cada perodo a que se refere a taxa, isto , tal unidade de tempo no coincide com a unidade de tempo dos perodos de capitalizao. Quando uma taxa for enunciada dessa forma, para que seja aplicvel s frmulas com as quais trabalhamos, devemos primeiramente transform-la em taxa efetiva, utilizando o critrio da proporcionalidade, fazendo coincidir a unidade de tempo da taxa com a unidade de tempo do perodo de capitalizao.

    Exemplos:

    24% ao ano, capitalizao mensal ou 2% ao ms; 6% ao ms, capitalizao diria ou 0,2% ao dia (1 ms com 30 dias).

    Taxas equivalentes: duas taxas so ditas equivalentes quando, embora referidas a unidades de tempo diferentes, se aplicadas sobre o mesmo capital durante o mesmo perodo, produzem o mesmo valor.

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    Notao adotada:

    taxa que queremos calcular iq; taxa que temos it; unidade da taxa que queremos calcular q; unidade da taxa que temos t;

    clculo da taxa equivalente: iq =(1 + it)qt

    1.

    Montante: a soma do capital com os juros no final do prazo.

    Capitalizao simples: o juro de qualquer perodo constante, pois sempre calculado sobre o capital inicial.

    Capitalizao composta: o juro de cada perodo calculado sobre o capital inicial mais os juros acumulados at o perodo anterior.

    Prazo: tempo que decorre desde o incio at o final de uma operao financeira.

    Lembrete

    Uma equao denominada de exponencial quando apresenta a incgnita no expoente.

    observao

    H diversos tipos de equaes exponenciais e, para resolver algumas delas, preciso usar logaritmos. Como muitos problemas de juros compostos so resolvidos por meio de uma equao exponencial, voc vai precisar do logaritmo para resolver essas situaes.

    7.1 Fator de formao do juro

    O valor do juro obtido aplicando-se a taxa de juros sobre um valor. A taxa representada na forma percentual e o valor a que esse percentual incide pode ser o valor aplicado (inicial de um investimento), o valor original de uma prestao, ou seja, sobre qualquer valor.

    Valor juro = valor aplicado x fator de juro

    ou

    VJ = VA j

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    Onde:

    Fator de juro = j = taxa de juros % = Taxa de juros100

    Exemplo:

    1) Uma determinada aplicao rende 5 % a.m. (ao ms), qual o valor do juro em um ms, para R$ 10.000,00 aplicados?

    Soluo:

    VJ = (10.000,00) (0,05) => VJ = R$ 500,00

    Esse conceito pode ser aplicado para calcularmos o aumento de preo de um determinado produto. Basta usar o valor do aumento no lugar do VJ e o valor atual no lugar de VA.

    2) Um comerciante deseja aumentar seus produtos em 4%. Qual o valor do aumento para um produto que custa R$ 500,00?

    Soluo:

    Valor do aumento = 500,00 0,04 => Valor do aumento = R$ 20,00

    A partir desse fator, podemos determinar o capital corrigido, que o resultado da soma do valor inicial (valor aplicado) com o valor do juro.

    Valor corrigido = valor aplicado + valor do juro

    Sabemos que o valor do juro = valor aplicado x j.

    Ento: va