matemática aplicada unidade i

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Tecnologia da Informaçã

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  • Autora: Profa. Gisele Lopes Batista PintoColaboradores: Prof. Roberto Macias Profa. Elisngela Mnaco de Moraes Prof. Daniel Scodeler Raimundo

    Matemtica Aplicada

  • Professora conteudista: Gisele Lopes Batista Pinto

    Gisele Lopes Batista Pinto licenciada em matemtica pelo Instituto de Matemtica e Estatstica da Universidade de So Paulo, com especializao em Automao e Informtica Industrial pela Escola Politcnica da USP.

    Depois de um instigante e divertido perodo lecionando matemtica no Ensino Mdio e para cursos de magistrio, em uma escola pblica no estado de So Paulo, voltou-se para Tecnologia da Informao. Durante 11 anos, foi administradora de bancos de dados (DBA) no Departamento de Informtica da Reitoria da USP e, h 5 anos, integra o grupo de projetos institucionais do mesmo departamento, atuando nas reas de mdias sociais e inteligncia corporativa.

    Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou quaisquer meios (eletrnico, incluindo fotocpia e gravao) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem permisso escrita da Universidade Paulista.

    Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP)

    P659m Pinto, Gisele Lopes Batista

    Matemtica aplicada / Gisele Lopes Batista Pinto. So Paulo, 2012.

    96 p., il.

    Nota: este volume est publicado nos Cadernos de Estudos e Pesquisas da UNIP, Srie Didtica, ano XVII, n. 2-041/12 , ISSN 1517-9230

    1. Matemtica. 2. Matemtica aplicada. 3. Teoria dos Conjuntos I. Ttulo.

    CDU 513

  • Prof. Dr. Joo Carlos Di GenioReitor

    Prof. Fbio Romeu de CarvalhoVice-Reitor de Planejamento, Administrao e Finanas

    Profa. Melnia Dalla TorreVice-Reitora de Unidades Universitrias

    Prof. Dr. Yugo OkidaVice-Reitor de Ps-Graduao e Pesquisa

    Profa. Dra. Marlia Ancona-LopezVice-Reitora de Graduao

    Unip Interativa EaD

    Profa. Elisabete Brihy

    Prof. Marcelo Souza

    Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar

    Prof. Ivan Daliberto Frugoli

    Material Didtico EaD

    Comisso editorial: Dra. Anglica L. Carlini (UNIP) Dra. Divane Alves da Silva (UNIP) Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR) Dra. Ktia Mosorov Alonso (UFMT) Dra. Valria de Carvalho (UNIP)

    Apoio: Profa. Cludia Regina Baptista EaD Profa. Betisa Malaman Comisso de Qualificao e Avaliao de Cursos

    Projeto grfico: Prof. Alexandre Ponzetto

    Reviso: Virgnia Bilatto

  • SumrioMatemtica Aplicada

    APRESENTAO ......................................................................................................................................................7INTRODUO ...........................................................................................................................................................7

    Unidade I

    1 TEORIA DOS CONJUNTOS ................................................................................................................................91.1 Subconjunto ............................................................................................................................................111.2 Igualdade ................................................................................................................................................ 121.3 Propriedades da incluso .................................................................................................................. 131.4 Conjunto das partes de um conjunto .......................................................................................... 131.5 Unio (ou reunio) de conjuntos ................................................................................................... 141.6 Propriedades da unio........................................................................................................................ 151.7 Interseco de conjuntos .................................................................................................................. 161.8 Propriedades da interseco ............................................................................................................ 171.9 Propriedades da unio e da interseco ..................................................................................... 171.10 Diferena de conjuntos ................................................................................................................... 181.11 Complementar de B em A ............................................................................................................... 191.12 Nmero de elementos nas operaes com conjuntos ....................................................... 20

    2 RELAES ......................................................................................................................................................... 242.1 Produto cartesiano .............................................................................................................................. 242.2 Nmero de elementos do produto cartesiano ......................................................................... 252.3 Relao binria ...................................................................................................................................... 252.4 Domnio e imagem de uma relao binria .............................................................................. 28

    Unidade II

    3 DEFINIO DE FUNO ................................................................................................................................ 323.1 Domnio contradomnio imagem de uma funo .......................................................... 353.2 Grfico de uma funo ...................................................................................................................... 373.3 Funo constante ................................................................................................................................. 393.4 Funo linear .......................................................................................................................................... 403.5 Funo linear afim ............................................................................................................................... 413.6 Funo quadrtica ............................................................................................................................... 413.7 Razes da funo .................................................................................................................................. 423.8 Vrtices da parbola ............................................................................................................................ 43

  • 4 APLICAES ..................................................................................................................................................... 474.1 Demanda e oferta de mercado ....................................................................................................... 474.2 Preo e quantidade de equilbrio ................................................................................................... 504.3 Receita total ........................................................................................................................................... 504.4 Custo total .............................................................................................................................................. 514.5 Break even point ou ponto de nivelamento ou ponto crtico ........................................... 524.6 Lucro total ............................................................................................................................................... 524.7 Margem de contribuio ................................................................................................................... 53

    Unidade III

    5 AJUSTE DE CURVAS ....................................................................................................................................... 575.1 Tipos de ajustes de curvas ................................................................................................................ 595.2 Regresso linear .................................................................................................................................... 605.3 Qualidade do ajuste na regresso .................................................................................................. 63

    6 MEDIDAS DE DISPERSO ............................................................................................................................. 636.1 Coeficiente de variao ..................................................................................................................... 646.2 Correlao entre variveis ................................................................................................................ 656.3 Coeficiente de correlao linear..................................................................................................... 65

    Unidade IV

    7 CONCEITOS BSICOS ..................................................................................................................................... 707.1 Fator de formao do juro ................................................................................................................ 737.2 Juros simples .......................................................................................................................................... 757.3 Juros compostos ................................................................................................................................... 757.4 Taxa de juros equivalentes ................................................................................................................ 777.5 Fluxo de caixa ........................................................................................................................................ 78

    8 USANDO A CALCULADORA HP 12C ......................................................................................................... 838.1 Clculo de FV ........................................................................................................................................ 848.2 Clculo de PV ......................................................................................................................................... 858.3 Clculo de n ............................................................................................................................................ 858.4 Clculo de i ............................................................................................................................................. 858.5 Clculo de juros simples .................................................................................................................... 868.6 Clculo de porcentagens ................................................................................................................... 86

  • 7APresentAo

    A disciplina Matemtica Aplicada faz parte do curso de Gesto da Tecnologia da Informao. O objetivo desta disciplina capacitar os alunos nos conceitos tericos e prticos da matemtica gesto. O livro-texto ajudar como um guia, no qual sero apresentados esses conceitos e suas aplicaes, com exemplos e exerccios resolvidos e comentados.

    O contedo programtico se divide em quatro unidades com dois tpicos em cada uma delas. Ao final de cada unidade, so propostos diversos exerccios resolvidos, alm de indicaes de material complementar no s para estudo, como curiosidades ou temas correlatos de interesse geral, baseados no tema da unidade apresentada.

    Introduo

    No importa qual o curso que voc decida fazer, uma das primeiras coisas que quase todo mundo faz verificar se a matemtica faz parte do programa.

    E na sequncia surgem as perguntas: para que serve a matemtica? Por que eu preciso saber lgebra? Onde eu vou aplicar essas teorias? At hoje, nunca precisei resolver uma equao algbrica, por que vou precisar agora?

    Mas, se voc comear a olhar ao seu redor e analisar com calma, vai perceber que usa a matemtica o tempo todo e nem se deu conta! E mais, que faz isso de uma maneira simples e intuitiva.

    Sempre que temos que responder a uma questo, no fundo estamos em busca de um valor para o desconhecido, ou incgnita que representamos por um smbolo abstrato, isto , estamos em busca do famoso X (xis) da questo.

    Equacionar um problema, na realidade, traduzir o problema da linguagem natural para a linguagem matemtica, de tal forma que o seu significado se torne evidente. O desafio no est apenas na resoluo de problemas, e sim na interpretao e traduo do problema para uma linguagem diferente da que usamos no dia-a-dia!

    Por exemplo, quando uma empresa quer calcular quanto tempo deve manter um equipamento, que se desvaloriza num determinado valor em reais por ano, antes de troc-lo por outro. Ou ento, quer relacionar a venda de um produto com o nmero de vezes em que esse aparece anunciado, como propaganda, num determinado site da internet.

    Alm dos livros citados na bibliografia, sugiro uma visita ao Museu da Matemtica, que fica em So Paulo, no bairro da Vila Mariana.

    Depois de todas essas recomendaes, desafio voc a digitar na busca do Google a palavra matemtica. Com certeza, voc encontrar coisas que nem imaginava que pudessem se relacionar com ela.

    Pense nisso!

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    Unidade IreLAes

    Iniciaremos esta unidade fazendo uma reviso dos conceitos bsicos da Teoria dos Conjuntos e aprofundaremos um pouco nosso conhecimento a respeito das relaes, Diagrama de Venn, domnio e imagem.

    1 teorIA dos Conjuntos

    Assim como em outros assuntos de matemtica, tambm na Teoria dos Conjuntos certas noes so aceitas sem definio, que so chamadas de axiomas e servem como ponto inicial.

    Na Geometria Euclidiana, costuma-se adotar sem definio, ou seja, so definidos os axiomas do ponto, da reta e do plano como axiomas iniciais para a demonstrao dos teoremas.

    Na Teoria dos Conjuntos, as noes consideradas primitivas, isto , os axiomas iniciais, so os seguintes:

    a) Conjunto: o mesmo que agrupamento, classe, coleo, sistema.

    Exemplo: conjunto das vogais {a, e, i, o, u}.

    b) Elemento: cada item, ou objeto que entra na formao do conjunto.

    Exemplo: cada vogal elemento do conjunto das vogais, isto , pertence ao conjunto.

    c) Pertinncia entre elemento e conjunto: de um modo geral, para qualquer elemento que faz parte da formao de um determinado conjunto, dizemos que pertence ao referido conjunto.

    Exemplo: janeiro pertence ao conjunto dos meses de 30 dias, enquanto que maro no pertence ao conjunto dos meses de 30 dias.

    Lembrete

    Um conjunto pode ser um elemento de outro conjunto.

    Exemplo: uma reta um conjunto de pontos, e o conjunto de todas as retas de um plano um exemplo de conjunto de conjuntos.

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    Indicamos um conjunto, em geral, com uma letra maiscula (A, B, C etc.); e um elemento com uma letra minscula (a, b, c, x, y etc.).

    Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x pertence ao conjunto A, escrevemos x A, em que o smbolo , devido a Peano, uma verso da letra grega psilon e est consagrada em toda a matemtica para indicar pertinncia. Para indicar que x no pertence ao conjunto A, escrevemos x A.

    O smbolo | significa tal que.

    O smbolo significa qualquer, ou, para todo elemento de.

    Um conjunto pode ser representado das seguintes formas:

    a) Por extenso: enumerando seus elementos entre chaves e separados por vrgula.

    Exemplos:

    A = {2, 4, 6, 8} conjunto finito;

    B = {1, 3, 5,...} conjunto infinito.

    b) Por compreenso: o conjunto representado por meio de uma propriedade que caracteriza seus elementos, isto , {x U | x tem a propriedade P}, que se l: x pertence ao conjunto universo, tal que x tem a propriedade P.

    observao

    Para obter o conjunto vazio, basta considerar o conjunto dos elementos x que tm uma propriedade P impossvel no conjunto universo ao qual ele pertence.

    Exemplos:

    A = {x IN | x < 5} conjunto dos nmeros naturais menores que cinco.

    Assim temos: A = {0, 1, 2, 3, 4}

    B = { x IN | 2x + 1 = 7}, ento B = {3} conjunto unitrio.

    C = { x IN | x x }, portanto C = conjunto vazio.

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    Lembrete

    No confundir o conjunto unitrio {a} com o elemento a. No devemos escrever a = {a}, mas sim a {a}.

    c) Geometricamente: um conjunto pode ser representado por uma linha fechada, e os elementos so representados por pontos internos ou externos linha. A figura formada denominada de Diagrama de Venn.

    Exemplo:

    a b

    cd

    Figura 1

    A = {a, b, c}, onde a A, b A, c A mas d A.

    1.1 subconjunto

    Um conjunto A denominado de subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A pertence tambm a B.

    A B ( x ) ( x A x B)

    observao A notao A B significa que A subconjunto de B ou tambm que A est

    contido em B ou, de forma mais simples, que A parte de B.

    a

    b

    Figura 2

    Com a notao A B, indicamos que A no est contido em B, ou seja, existe ao menos um elemento de A que no pertence a B.

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    A AB

    B

    Figura 3

    Exemplos:

    {11, 25} {11, 25, 39, 48) {10, 20, 30} {25, 35, 55, 75}

    1.2 Igualdade

    Considere hipoteticamente dois conjuntos A e B. Dizemos que eles so iguais se todo elemento do conjunto A tambm elemento do conjunto B e, reciprocamente, todo elemento do conjunto B tambm elemento do conjunto A.

    A = B ( x ) ( x A x B )

    Quando aplicamos a definio de subconjunto, afirmar que todo elemento do conjunto A pertence ao conjunto B, e vice-versa, o mesmo que afirmar que o conjunto A est contido no conjunto B e que o conjunto B est contido no conjunto A.

    A = B ( A B e B A )

    Teorema: o conjunto vazio subconjunto de qualquer conjunto A.

    A, ( A )

    Demonstrao:

    Admitamos que a proposio seja falsa, isto , A. Nesse caso, existe um elemento x tal que x A, o que um absurdo, pois no tem elemento algum.

    Concluso: A no falta, portanto, A, ( A ).

    Importante: a relao de pertinncia uma relao entre elementos e conjunto, e a relao de incluso uma relao entre conjuntos.

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    Portanto, temos que:

    Um elemento b pertence ao conjunto {a, b}, e no que o elemento b est contido no conjunto {a,b}.

    a {a, b} e no a {a,b}

    O conjunto {a} est contido no conjunto {{a}, b}, e no que o conjunto {a} pertence ao conjunto {{a}, b}.

    {a} {{a}, b} e no {a} {{a}, b}

    1.3 Propriedades da incluso

    Sejam A, B e C conjuntos quaisquer contidos no mesmo conjunto universo, temos as seguintes propriedades:

    reflexiva: A A;

    transitiva: A B e B C A C;

    antissimtrica: A B e B A A = B.

    1.4 Conjunto das partes de um conjunto

    Para todo conjunto A, no vazio, existe um conjunto cujos elementos so subconjuntos de A.

    P(A) = {x | x A}

    Exemplo: A = {3, 5, 7}

    Os subconjuntos de A so:

    sem elementos: ;

    com um elemento: {3}, {5}, {7};

    com dois elementos: {3, 5}, {3, 7}, {5, 7};

    com todos os elementos: {3, 5, 7}.

    Temos ento:

    P(A) = {, {3}, {5}, {7}, {3, 5}, {3, 7}, {5, 7}, {3, 5, 7}}

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    Importante: o nmero de elementos do conjunto das partes de um conjunto de n elementos dado por 2n.

    Exemplo: determine quantos elementos tem o conjunto das partes de A, sabendo que A tem 4 elementos.

    Soluo:

    Indicando por n[P(A)] o nmero de elementos de P(A), temos:

    n[P(A)] = 2n ento n[P(A)] = 24 = 16.

    Exemplo: um conjunto formado por p+2 elementos possui 12 subconjuntos a mais do que um conjunto formado por p elementos. Determine p.

    Soluo:

    2p+2 = 12 + 2p

    2p 22 = 12 + 2p

    4 2p - 2p = 12

    3 2p = 12

    2p = 4

    Portanto, p = 2.

    1.5 unio (ou reunio) de conjuntos

    Dados dois conjuntos A e B, chama-se unio de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B.

    A B = {x | x A ou x B}

    O conjunto A B l-se A unio B.

    Lembrete

    O conectivo ou colocado entre as duas condies significa que pelo menos uma delas deve ser obedecida.

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    Exemplos:

    {1, 2} {3, 4} = {1, 2, 3, 4}

    {-2, 3, 4} {-2, 3, 4} = {-2, 3, 4}

    {1, 3, 7} = {1, 3, 7}

    =

    Em smbolos, temos:

    x A B x A e x B

    ou

    x A B x A e x B

    ou

    x A B x A e x B

    Utilizando Diagramas de Venn, temos:

    A

    A

    B

    B

    A B

    Figura 4

    Importante: se A B, ento A B = B.

    1.6 Propriedades da unio

    Sejam A, B e C conjuntos quaisquer contidos no mesmo conjunto universo, temos as seguintes propriedades:

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    A A = A

    A = A

    A X = X A (comutativa)

    A ( X Y ) = ( A X ) Y (associativa)

    Importante: devido validade da propriedade associativa, podemos afirmar que:

    A Z X E = ( A Z ) ( X E )

    1.7 Interseco de conjuntos

    Dados dois conjuntos A e B, chama-se interseco de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B, simultaneamente:

    A B = {x | x A e x B}

    O conjunto A B l-se A inter B.

    Lembrete

    O conectivo e colocado entre as duas condies significa que elas devem ser obedecidas ao mesmo tempo.

    Utilizando Diagramas de Venn, temos:

    A B

    Figura 5

    A B = , os conjuntos A e B so chamados disjuntos.

    A

    A B

    B

    Figura 6

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    BA

    A B = B pois A B

    Figura 7

    Exemplos:

    {2, 5, 7, 9} {1, 5, 9, 11} = {5, 9}

    { 5, 7} {6, 10} =

    {6, 9} =

    1.8 Propriedades da interseco

    Sejam A, B e C conjuntos quaisquer contidos no mesmo conjunto universo, temos as seguintes propriedades:

    A A = A

    A =

    A B = B A (comutativa)

    A (B C) = (A B) C (associativa)

    Importante: devido validade da propriedade associativa, podemos afirmar que:

    A B C D = ( A B ) ( C D )

    1.9 Propriedades da unio e da interseco

    Sejam A, B e C conjuntos quaisquer contidos no mesmo conjunto universo, temos as seguintes propriedades:

    A ( A B ) = A

    A ( A B ) = A

    A ( D E ) = ( A D ) ( A E )

    A ( X Z ) = ( A X ) ( A Z )

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    1.10 diferena de conjuntos

    Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferena entre A e B o conjunto formado pelos elementos de A que no pertencem a B.

    A B = {x | x A e x B}

    Utilizando Diagramas de Venn, temos:

    A B

    A B (apenas a parte azul no hachurada) Obs: A B

    Figura 8

    A B

    A B (apenas a parte azul no hachurada)Observao: B A

    Figura 9

    A B

    A B e nesse caso temos que A B = AObservao: A B =

    Figura 10

    Importante:

    A operao diferena entre conjuntos no comutativa: A B B A

    Se A = B, ento A B = e B A =

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    Exemplos:

    {a, b, c} {b, c, d, e} = {a}

    {b, c, d, e} {a, b, c} = {d, e}

    {a, b, c, d} {d, c} = {a, b}

    {1, 2, 3} {1, 2, 3} =

    {5, 7, 8} = {5, 7, 8}

    1.11 Complementar de B em A

    Se B A, a diferena A B denomina-se complementar de B em relao a A e indica-se por CAB.

    observao

    CAB = A B o que falta para B ficar igual a A.

    Usando o Diagrama de Venn, temos:

    A

    UB

    AU

    A

    CAB

    A = CAB = U A

    Figura 11

    Se A um subconjunto do conjunto universo, isto A U, ento o conjunto CAB complementar de A em U tambm pode ser representado por A.

    Se B A e C A, ento CAB e CAC tem as seguintes propriedades:

    (CAB) B = e (CAB) U B = A

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    CA = A e CA A =

    CA(CAB) = B

    CA(B C) = (CAB ) U (CAC)

    CA(B U C) = (CAB) (CAC)

    Exemplos:

    Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 5} ento CAB = {1, 3}

    Seja A conjunto dos nmeros pares, B o conjunto dos nmeros mpares e Z o conjunto dos nmeros inteiros, ento CZA = B

    Se A = {2, 4, 6, 8} e B = {1, 4, 6} ento CAB no definido, pois B A.

    1.12 nmero de elementos nas operaes com conjuntos

    Dados os conjuntos A e B no vazios e suas operaes A U B e A B, vamos indicar por:

    n(A): nmero de elementos do conjunto A;

    n(B): nmero de elementos do conjunto B;

    n(A B): nmero de elementos do conjunto A BnB;

    n(A B): nmero de elementos do conjunto A B.

    Vale a seguinte relao:

    n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A B)

    Exemplos:

    1) Se um conjunto A tem 10 elementos, n(A B) = 3 e n(A U B) = 16, quantos elementos tem o conjunto B?

    Soluo:

    n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A B)

    16 = 10 + n(B) 3 e ento n(B) = 16 10 + 3 = 9 elementos.

    2) Um sistema de informao tem dois mdulos, um de RH e outro financeiro, com um total de 1.400 usurios. O mdulo de RH tem 600 usurios, e 400 usurios pertencem aos dois mdulos.

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    MateMtica aplicada

    Pergunta-se:

    a) Quantos usurios pertencem exclusivamente ao mdulo de RH?

    b) Quantos usurios pertencem ao mdulo financeiro?

    c) Quantos usurios pertencem exclusivamente ao mdulo financeiro?

    Soluo:

    Temos: n(A U B) = 1.400 usurios e n(A) = 600 usurios.

    a) Usurios exclusivos do mdulo de RH:

    400x

    Figura 12

    n(A) = x+ 400 = 600, portanto x = 200 usurios (azul sem hachuras).

    b) Usurios do mdulo financeiro:

    400200

    Figura 13

    n(A U B) = n(A) + n(B) n(A B)

    Ento, temos: 1.400 = 600 + n(B) 400

    Portanto, n(B) = 1.200 usurios.

    c) Usurios exclusivos do mdulo financeiro:

    400

    Figura 14

    y = 1.400 600 = 800 usurios (azul sem hachuras).

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    3) Em uma pesquisa sobre dois produtos A e B, sabe-se que:

    100 pessoas compraram os dos dois produtos;

    170 pessoas compraram o produto A;

    100 pessoas compraram apenas um dos produtos;

    95 pessoas no compraram nenhum dos dois produtos.

    Qual o nmero de pessoas que participaram da pesquisa?

    Soluo:

    U

    A

    170 100 = 70 100 70 = 30100

    95 no compraram nenhum dos produtos

    B

    Figura 15

    Analisando o digrama, conclumos que:

    70 pessoas compraram apenas o produto A;

    30 pessoas compraram apenas o produto B;

    100 pessoas compraram os dois produtos;

    95 no compraram nenhum produto.

    Portanto, 70 + 30 + 100 + 95 = 295 pessoas participaram da pesquisa.

    Importante: aplicando o mesmo raciocnio da unio de A com B aos conjuntos A, B e C, chegaremos expresso:

    n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A B) n(A C) n (B C) + n(A B C)

    Exemplo:

    Feita uma pesquisa sobre a preferncia dos leitores, essa revelou que dos 500 entrevistados:

    235 preferem o jornal X;

    245 preferem o jornal Y;

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    MateMtica aplicada

    250 preferem o jornal Z;

    130 preferem os jornais X e Y;

    60 preferem os jornais X e Z;

    120 preferem os jornais Y e Z;

    30 no preferem nenhum desses jornais.

    Pergunta-se:

    a) Quantos leitores preferem os trs jornais?

    b) Quantos preferem exclusivamente cada um dos jornais?

    Soluo:

    a) Esquematizando na forma de diagrama, temos:

    U

    X

    95

    8050

    70

    120

    45

    10Z

    Y

    Figura 16

    Pelo diagrama, n(X Y Z) = 50

    Portanto, 50 leitores preferem os trs jornais.

    b) x = n(X) 10 50 80= 235 10 50 80 = 95

    Portanto, 95 leitores preferem exclusivamente o jornal X.

    y = n(Y) 80 50 70 = 245 80 50 70 = 45

    Portanto, 45 leitores preferem exclusivamente o jornal Y

    z = n(Z) 10 50 70 = 250 10 50 70 = 120

    Portanto, 120 leitores preferem exclusivamente o jornal Z.

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    2 reLAes

    2.1 Produto cartesiano

    Considere A e B dois conjuntos no vazios. O produto cartesiano do conjunto A pelo conjunto B denominado conjunto A cartesiano B, e simbolizamos como AxB, cujos elementos so todos os pares ordenados (x, y) em que o primeiro elemento pertence ao conjunto A e o segundo elemento pertence ao conjunto B.

    AxB = {(x, y) | x A e y B}

    Importante:

    Se A = ou B = , ento AxB =

    AxA pode ser indicado como A

    Se A B ento AxB BxA

    Exemplos:

    1) Se A = {10,30} e B = {20,40} temos:

    AxB = {(10,20), (10,40), (30,20), (30,40)}

    40

    20

    10 30

    (10,40)

    (10,20)

    (30,40)

    (30,20)

    x

    y

    Figura 17

    BxA = {(20,10), (20,30), (40,10), (40,30)}

    30

    10

    20 40

    (20,30)

    (20,10)

    (40,30)

    (40,10)

    x

    y

    Figura 18

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    MateMtica aplicada

    2) Se A = {x |R | 1 x 5} e B = {y |R | 2 y 4}, temos que:

    AxB = {(x,y) | x A e y B} representado graficamente pelo conjunto dos pontos de um retngulo.

    4

    2

    1 5 x

    y

    Figura 19

    2.2 nmero de elementos do produto cartesiano

    Se A e B so conjuntos finitos com m e n elementos, respectivamente, ento AxB um conjunto finito com m n elementos.

    n(AxB) = n(A) n(B)

    Exemplos:

    1) Dados os conjuntos A = {2, 3} e B = {0, 1, 3, 5, 7}, quantos elementos tem o conjunto AxB?

    Soluo:

    Temos: n(A) = 2 e n(B) = 5 ento n(AxB) = 2 5 = 10 elementos.

    2) Se o conjunto A tem x+4 elementos, e o conjunto B tem 8 elementos, determine o valor de x para que AxB tenha 56 elementos.

    Soluo:

    n(A) n(B) = n(AxB) (x+4) 8 = 56 8x + 32 = 56 8x = 24

    Portanto x = 3

    2.3 relao binria

    Consideremos os conjuntos A = {1, 2, 3 ,4} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. O produto cartesiano de A por B o conjunto AxB = {(x,y) | x A e y B} formado por n(A) n(B) = 4 8 = 32 elementos representados na figura a seguir:

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    8

    7

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    1 2 3 4 x

    y

    Figura 20

    Vamos considerar o conjunto dos pares (x,y) do conjunto do produto cartesiano AxB, tais que y o dobro de x, de modo que C = {(x,y) AxB | y = 2x} = {(1,2), (2,4), (3,6), (4,8)}.

    O conjunto C uma relao entre os elementos do conjunto A com os elementos do conjunto B, ou simplesmente, uma relao de A em B.

    O conjunto C est contido em AxB e formado por pares (x,y) em que o elemento x A associado

    a elemento y B mediante um certo critrio de relacionamento ou correspondncia.

    Podemos representar de modo mais claro essa correspondncia ou associao pelo diagrama de flechas, conforme a figura a seguir:

    A B

    1 1

    2 3

    4 6

    8

    5

    7

    2 3

    4

    Figura 21

    Podemos, ento, definir essa relao da seguinte forma:

    Relao binria todo subconjunto de AxB, sendo A e B no vazios.

    C relao binria de A em B C AxB.

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    MateMtica aplicada

    Lembrete

    Se, eventualmente, os conjuntos A e B forem iguais, todo subconjunto de AxA chamado relao binria em A.

    Nomenclatura:

    A = conjunto de partida da relao binria.

    B = conjunto de chegada (ou contradomnio) da relao binria.

    Exemplos:

    1) Se A = {11, 22, 55, 77} e B = {0, 20, 40, 60}, quais so os elementos da relao binria C = {(x,y) | x < y} de A em B?

    Soluo:

    Os elementos dessa relao binria so todos os pares ordenados de AxB nos quais o primeiro elemento menor que o segundo, isto , so os pares formados pela associao de cada elemento x A com cada elemento y B, tal que x < y.

    C = {(11,20), (11,40), (11,60), (22,40), (22,60), (55,60)}

    2) Sejam os conjuntos A = {2, 4, 6} e B = {0, 2, 6, 8}, e seja a relao R = {(x,y) AxB | x-y = 4}.

    a) Quais so os elementos da relao?

    b) Represente essa relao nas seguintes formas:

    diagrama de flechas;

    plano cartesiano.

    Soluo:

    a) R = {(4,0), (6,2)}

    b) Diagrama de flechas: c) Plano Cartesiano

    A B 0

    2 6 8

    2 4

    6

    2

    0 4 6 x

    y

    Figura 22 Figura 23

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    saiba mais

    Para treinar o raciocnio lgico com uso da Teoria dos conjuntos, recomendo a leitura do livro Como desenvolver o raciocnio lgico - solues criativas na Teoria dos Conjuntos, dos professores Klber Albanz Rangel e Vera Syme Jacob Benzecry, pela Editora LTC.

    2.4 domnio e imagem de uma relao binria

    Seja R uma relao binria de A em B. Chama-se domnio de R o conjunto D de todos os primeiros elementos dos pares ordenados pertencentes a R. Chama-se imagem de R o conjunto Im de todos os segundos elementos dos pares ordenados pertencentes a R.

    Importante: D A e Im B.

    Exemplo:

    1) O grfico a seguir representa uma relao de A em B. Determine o domnio e a imagem dessa relao.

    0

    R

    1-2

    -2

    3

    x

    y

    Figura 24

    Soluo:

    Observando o grfico, temos:

    D(R) = {x R | -2 x 1} e Im(R) = {y R | 0 y 3}

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    MateMtica aplicada

    saiba mais

    Para saber sobre a teoria axiomtica e a teoria dos conjuntos difusa, recomendo o livro Teoria unificada dos conjuntos, dos autores Nelson Hein e Fabio Dadam, pela Editora Moderna.

    resumo

    Nesta unidade, ns apresentamos os fundamentos da Teoria dos Conjuntos. importante ressaltar que essa teoria foi elaborada pelo matemtico russo de origem alem, George Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, mais conhecido como George Cantor.

    Uma das aplicaes pode ser vista nas definies do modelo de dados relacional, que tem como base os conceitos de entidade (tabela) e relao. Na construo da tabela, identificam-se os dados (registros da tabela). A relao determina o modo como cada registro de cada tabela se associa a registros de outras tabelas.

    Todos os dados (registros das tabelas) so representados como relaes matemticas, e as operaes so baseadas na lgica e na teoria dos conjuntos.

    exerccios

    Questo 1 (ENADE-matemtica/2008-adaptada). O conjunto dos nmeros racionais denotado

    por Q x xab

    a Z b Z= = { : *} . H uma classe de nmeros que possui infinitas casas decimais no

    peridicas: so os chamados nmeros irracionais cujo conjunto simbolizado por - Q. Da unio dos nmeros racionais com os nmeros irracionais obtm-se o conjunto dos nmeros reais - Q ( - Q). Para cada nmero real x, considere o conjunto Cx formado por todos os nmeros obtidos somando-se a x um nmero racional, isto , Cx = (x + r:r }. Sob essas condies, conclui-se que:

    A) O nmero p pertence ao conjunto C1.

    B) O conjunto C4 C3 possui um nico elemento.

    C) O nmero 2 pertence ao conjunto C 3 .

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    D) Os conjuntos C3 e C1/3 so iguais.

    E) O nmero zero pertence ao conjunto Cp C-p .

    Resposta correta: alternativa D.

    Anlise das alternativas:

    Sabendo que o conjunto Cx dado por Cx = {x + r/r Q}, podemos analisar as alternativas.

    A) Alternativa incorreta.

    Justificativa: como racional + racional racional, p no pertence ao conjunto C1 = {1 + r/r Q}.

    B) Alternativa incorreta.

    Justificativa: C4 = {4 + r/r Q}, r = 1 gera 5; r = 2 gera 6. C5 = {5 + r/r Q}, r = 0 gera 5; r = 1 gera 6.

    Veja que j temos dois elementos (5 e 6) comuns.

    C) Alternativa incorreta.

    Justificativa: C r r Q mais racional3 3 3= + { / };" " nunca resultar 2 .

    D) Alternativa correta.

    Justificativa: C r r Q e C r r Q3 13

    3 13= + = + { / } { / } . Podemos fazer:

    313

    831 2 1 2

    + = + = r r ou r r . Assim, sempre haver racionais r1 e r2 tais que r r1 283

    = .

    E) Alternativa incorreta.

    Justificativa: o nmero zero no pertence aos conjuntos, pois no podemos ter p - p ou -p + p, j que a segunda parcela tem de ser um nmero racional.

    Questo 2 (ENEM/2011-adaptada). As frutas que antes se compravam por dzias, hoje em dia, podem ser compradas por quilogramas, existindo tambm a variao dos preos de acordo com a poca de produo. Considere que, independente da poca ou variao de preo, certa fruta custa R$1,75 o quilograma. Dos grficos a seguir, o que representa a relao entre o preo m pago em reais pela compra de n quilogramas desse produto :

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    m

    m

    m

    m

    m

    n

    n

    n

    n

    n

    1

    1

    1

    1

    1

    a)

    c)

    e)

    b)

    d)

    1,75

    1,75

    1,75

    1,75

    1,75

    Resoluo desta questo na plataforma.