matemÁtica aplicada ao planejamento da … · programa introdução 1. modelagem matemática:...

Apoio Financeiro:

Silvio A. de AraujoSocorro Rangel

[email protected], [email protected]

MATEMÁTICA APLICADA AO PLANEJAMENTO DA PRODUÇÃO E LOGÍSTICA

PROGRAMA

Introdução

1. Modelagemmatemática: conceitos básicos

2. Problemas clássicos de logística

3. O problema de dimensionamento de lotes

4. O problema de sequenciamento de tarefas

5. O problema integrado de dimensionamento e sequenciamentode lotes

6. Outros problemas integrados

Considerações Finais

PROGRAMA

Introdução








AULA 1

PROGRAMA

Introdução





5. O Problema Integrado de dimensionamento e sequenciamentode lotes



AULA 2

PROGRAMA

Introdução








AULA 3

PROGRAMA

Introdução








Introdução

- Neste curso veremos aplicações de Pesquisa Operacional(Operations Research)

Definição de Pesquisa Operacional (PO):• A PO é uma ciência aplicada voltada para a resolução de

problemas reais. Tendo como foco a tomada de decisões;

• Aplica conceitos e métodos de várias áreas científicas naconcepção, planejamento ou operação de sistemas.

IntroduçãoComo surgiu a PO:• O termo Pesquisa Operacional: invenção do radar na

Inglaterra em 1934 (Operações Militares)

• Segunda Guerra Mundial: para lidar com problemas denatureza logística, tática e de estratégia militar.

• Criaram -se grupos multidisciplinares de matemáticos, físicose engenheiros e cientistas sociais.

• Desenvolve-se a ideia de criar modelos matemáticos, apoiadosem dados e fatos, que permitisse perceber os problemas emestudo, simular e avaliar o resultado hipotético de estratégiasou decisões alternativas.

Introdução

O desenvolvimento da PO:• Após a guerra, esses grupos de cientistas e a sua nova

metodologia se transferirampara as empresas.

• Destaque para George Dantzig como Método Simplex paraproblema de otimização linear

• No Brasil a partir de 1960

• Hoje, com o apoio de meios computacionais de crescentecapacidade e disseminação, permite-se trabalhar empraticamente todos os domínios da atividade humana, daEngenharia à Medicina, passando pela Economia e a GestãoEmpresarial.

Introdução

• O desenvolvimento da PO:

• Em alguns países, emque prevaleceu a preocupação comosfundamentos teóricos, a POse desenvolveu sob o nome deCiência da Gestão ou Ciência da Decisão;

• Em outros, emque predominou a ênfase nas aplicações, como nome de Engenharia Industrial ou Engenharia deProdução.

IntroduçãoAlgumas aplicações práticas

Roteirização de VeículosProblema:entrega de mercadoria aos clientes.

Decisão: qde de carga a ser colocada em cada caminhão; quais caminhões irão atender quais clientes.

Decisão:otimizar as rotas dos veículos considerando eventual necessidade de reabastecimento.

Aplicações: entrega de correspondência, empresas atacadistas, coleta de lixo urbano, etc.

Ensalamento em Escolas e Universidades (Timetabling)Problema: alocação de horários de aulas para os docentes e alocação de salas para as disciplinas,

Decisão: gerar uma tabela de horários, visando minimizar os conflitos, maximizar preferências, compactar horários de professores e alunos

Aplicações: instituições de ensino

Introdução

Corte de Materiais Problema:cortar peças grandes em pedaços menores de acordo com as demandas dos clientes.

Decisão:otimizar a maneira de cortar as peças grandes de modo que o desperdício seja minimizado e que as demandas dos clientes sejam atendidas.

Aplicações:industrias de fabricação de vidro, metal, madeira, rolos de papel, colchões, etc.

Empacotamento Problema:empacotar itens de modo que o espaço necessário para guardá-los seja o menor possível (inverso do problema de corte)

Decisão:otimizar a maneira de empacotar itens minimizando o espaço necessário.

Aplicações:paletização de cargas, carregamento de caminhões, etc.

Escalonamento de Trabalho HumanoProblema:alocar funcionários às tarefas.

Decisão:otimizar tais alocações considerando restrições trabalhistas e restrições operacionais de forma que todas as tarefas sejam cumpridas e os gastos com mão-de-obra sejam minimizados

Aplicações:companhias aéreas, centrais telefônicas, hospitais, transporte coletivo, etc.

Introdução

Localização de FacilidadesProblema:deseja-se determinar quais os melhores locais para instalação das facilidades

Decisão:otimizar as decisões sobre as localizações de forma que todos os clientes sejam atendidos aum custo mínimo.

Aplicações:instalação de depósitos industriais, pronto-socorro, corpo de bombeiros.

Projeto de Redes Problema:projetar redes com algumas restrições de conectividade.

Decisão:otimizar as ligações da rede com o menor custo possível de forma que nós importantes tenham a comunicação assegurada (inclusive com rotas alternativas para o caso de problemas de conectividade) enquanto outros menos importantes e podem servir apenas como um nó intermediário

Aplicações:construção de redes em geral, energia, telefonia, computadores, etc.

Introdução

Dimensionamento de Lotes (Planejamento de Produção)Problema:planejar a produção para um determinado horizonte de tempo.

Decisão:decidir quanto deve produzir a cada período de forma a atender toda a demanda e minimizar os custos. Pode-se considerar restrições de capacidade de produção.

Aplicações:industrias em geral;

Sequenciamento de Tarefas em Máquinas Problema: fabricar determinado produto final a partir da execução de tarefas

operacionais.

Decisão:otimizar a ordem em que as tarefas devem ser processadas em cada máquina deforma a minimizar o tempo de produção. As tarefas podem ter regras de precedência entre si.

Aplicações:industrias em geral;

PROGRAMA

Introdução








PROGRAMA

Introdução







7. Considerações Finais

1.1 Construção de um modelo matemático

1.2 Modelos de otimização

1.3 Sistemas computacionais de modelagem e resolução

1.4 Reformulações e limitantes

1.1 Construção de um modelo matemático1. Modelagem matemática: conceitos básicos

Um Exemplo Simples: da Prática para Matemática

Uma empresa de consultoria financeira tem um capital disponível para novos investimentos. Ela pré-selecionou 16 bons investimentos com diferentes níveis de risco e de retorno. A decisão a ser tomada consiste em escolher ou

não determinado investimento.

Matematicamente podemos considerar esta decisão utilizando uma variável binária:

para j=1,...,16wj = 1 se o investimento j for selecionado

0 caso contrário



a) pelo menos um dos oito primeiros investimentos deve ser escolhido

• Da Prática para a Matemática: algumas relações lógicas


a) pelo menos um dos oito primeiros investimentos deve ser escolhido8

jj 1

w 1====

≥≥≥≥∑∑∑∑




jj 1

w 1====

≥≥≥≥∑∑∑∑b) no máximo 3 dos últimos 8 devem ser selecionados




jj 1

w 1====


16

jj 9

w 3====

≤≤≤≤∑∑∑∑




jj 1

w 1====


c) dentre os investimentos 4 e 9 um e só um deles deve ser selecionado

16

jj 9

w 3====

≤≤≤≤∑∑∑∑




jj 1

w 1====



16

jj 9

w 3====

≤≤≤≤∑∑∑∑

w4 + w9 = 1




jj 1

w 1====



d) o investimento 11 pode ser selecionado só se o 2 também for

16

jj 9

w 3====

≤≤≤≤∑∑∑∑

w4 + w9 = 1




jj 1

w 1====



d) o investimento 11 pode ser selecionado só se o 2 também for

16

jj 9

w 3====

≤≤≤≤∑∑∑∑

w4 + w9 = 1

w11≤≤≤≤w2


Exemplo com Números: da Prática para a MatemáticaElementos Conhecidos:Uma empresa tem$14.000 de capitaldisponível para novos investimentos. Ela pré-selecionou 4 bonsinvestimentos cujos respectivos lucros esperados são $16.000,$22.000, $12.000 e $8000. Cada investimento só pode ser feito umaúnica vez e necessita umdesembolso de $5000, $7000, $4000 e$3000, respectivamente.Formule ummodelo matemático que determine os investimentos quemaximizamo lucro esperado.

Para construir um modelo matemático devemos considerar:

Elementos Desconhecidos:o que queremos determinar?

Função Objetivo:qual o objetivo que queremos otimizar?

Restrições:quais são as restrições que devem ser consideras?

1.1 Construção de um Modelo Matemático1. Modelagem matemática: conceitos básicos

Modelo matemático:

Função Objetivo: max z = 16 x1 + 22 x2 + 12 x3 + 8 x4

Restrições: sujeito a 5x1 + 7 x2 + 4 x3 + 3 x4 <= 14

xj = 0 ou 1; j=1,2,3,4

Elementos Desconhecidos:Variáveis de decisão (paraj=1,...,4)

1 se o investimentoj for escolhidoxj =

0 caso contrário


Considere agora as restrições adicionais:1. Se se decidir pelo investimento 2, então tem-se que fazertambémo 12. Se se decidir pelo investimento 2, então não se pode fazer o 4.

Exercício: Modele estas novas situações:

1. x2 ≤≤≤≤ x1

2. x2 + x4 ≤≤≤≤ 1


Modelo Final:

max z = 16x1 + 22x2 + 12x3 + 8 x4

sujeito a 5x1 + 7 x2 + 4 x3 + 3 x4 <= 14x2 <= x1

x2 + x4 <= 1xj = 0 ou 1; j=1,2,3,4


1. Modelagem matemática: conceitos básicos1.1 Construção de um modelo matemático

Descrição do Problema:

• uma fundição deve produzir 30 toneladas de um tipo liga a partir de quantidades variadas de diversos produtos de forma a

minimizar o custo de produção desta liga

Exemplo real: o problema da mistura

Descrição do Problema: dadosIngredientes

Composição %

Lingotes Grafite Restos

Industriais

Restos

Domicil.

Carbono 0.5 0.9 0.5 0.15Silício 0.2 - 0.02 0.29

Manganês 0.23 - 0.16 0.05CustoR$/ton 90 180 25 35

Ferro-gusaComposição %

Composição Mínima

Carbono 0.43Silício 0.19

Manganês 0.12


Matéria-prima: ingredientes


Liga Metálica (Mistura)


Fabricação da Peça


Descrição do Problema: dadosIngredientes

Composição %


Industriais

Restos

Domicil.

Carbono 0.5 0.9 0.5 0.15Silício 0.2 - 0.02 0.29




Carbono 0.43Silício 0.19

Manganês 0.12


Construindo um modelo para o Problema da Mistura

Neste problema temos:

elementos conhecidos: composição e custo dos ingredientes

elementos desconhecidos: quanto colocar de cadaingrediente na mistura

objetivo a ser alcançado: obter uma mistura de baixo custo

restrições: a mistura deve ter uma quantidade mínima decomponentes


Variáveis de decisão:- A mistura deve ser feita a partir mistura de 4 itens (j= 1,2,3,4) - xj: quantidade (em kg) do ingrediente j a ser colocada na mistura

- Função Objetivo:Minimizar 90 x1 + 180 x2 + 25 x3 + 35 x4

- Restrições de Composição Mínima:0.50 x1 + 0.9 x2 + 0.50 x3 + 0.15 x4 ≥≥≥≥ 30 (0.43) :C0.20 x1 + 0.0 x2 + 0.02 x3 + 0.29 x4 ≥≥≥≥ 30 (0.19) :Si0.23 x1 + 0.0 x2 + 0.16 x3 + 0.05 x14 ≥≥≥≥ 30 (0.12) :Mn

- Restrições de Não Negatividade das Variáveis:x1 ≥≥≥≥0; x2 ≥≥≥≥0; x3 ≥≥≥≥0; x4 ≥≥≥≥0

- Restrições de Atendimento da Demanda:x1 + x2 + x3 + x4 = 30


Modelo Matemático

Minimizar 90 x1 + 180 x2 + 25 x3 + 35 x4

Sujeito a:

0.50 x1 + 0.9 x2 + 0.50 x3 + 0.15 x4 ≥≥≥≥ 30 (0.43)

0.20 x1 + 0.0 x2 + 0.02 x3 + 0.29 x4 ≥≥≥≥ 30 (0.19)

0.23 x1 + 0.0 x2 + 0.16 x3 + 0.05 x4 ≥≥≥≥ 30 (0.12)

x1 + x2 + x3 + x4 = 30

x1 ≥≥≥≥0; x2 ≥≥≥≥0; x3 ≥≥≥≥0; x4 ≥≥≥≥0


Modelo Matemático

Minimizar 90 x1 + 180 x2 + 25 x3 + 35 x4

Sujeito a:

0.50 x1 + 0.9 x2 + 0.50 x3 + 0.15 x4 ≥≥≥≥ 30 (0.43)

0.20 x1 + 0.0 x2 + 0.02 x3 + 0.29 x4 ≥≥≥≥ 30 (0.19)

0.23 x1 + 0.0 x2 + 0.16 x3 + 0.05 x4 ≥≥≥≥ 30 (0.12)

x1 + x2 + x3 + x4 = 30

x1 ≥≥≥≥0; x2 ≥≥≥≥0; x3 ≥≥≥≥0; x4 ≥≥≥≥0


Mistura: x1 = 19,3333; x2 = 0; x3 = 4,66667; x4 =6Valor do f.o.=2066,666667

Solução

Modelo Matemático

Minimizar 90 x1 + 180 x2 + 25 x3 + 35 x4

Sujeito a:

C: 0.50x1+ 0.9 x2+ 0.50 x3+ 0.15 x4 ≥≥≥≥ 30 (0.43)

Si: 0.20x1+ 0.0 x2+ 0.02 x3+ 0.29 x4 ≥≥≥≥ 30 (0.19)

Mn: 0.23x1+ 0.0 x2+ 0.16 x3+ 0.05 x4 ≥≥≥≥ 30 (0.12) => 4,447+0+0,745+0,3=5,492≥≥≥≥3,6

x1 + x2 + x3 + x4 = 30

x1 ≥≥≥≥0; x2 ≥≥≥≥0; x3 ≥≥≥≥0; x4 ≥≥≥≥0


Mistura: x1 = 19,3333; x2 = 0; x3 = 4,66667; x4 =6Valor do f.o.=2066,666667

Solução

Revisão 1:gerente percebe que a quantidade de manganês está excessiva e informa que também existe um limite máximo para

cada componente. No caso do manganês 0.18*30=5.4Ingredientes

Composição %


Industriais

Restos

Domicil.

Carbono 0.5 0.9 0.5 0.15Silício 0.2 - 0.02 0.29




Composição Máxima

Carbono 0.43 0.65Silício 0.19 0.30

Manganês 0.12 0.18


Modelo Matemático

Minimizar 90 x1 + 180 x2 + 25 x3 + 35 x4

Sujeito a:

30 (0.43) ≤ 0.50 x1 + 0.9 x2 + 0.50 x3 + 0.15 x4 ≤ 30 (0.65) :C30 (0.19) ≤ 0.20 x1 + 0.0 x2 + 0.02 x3 + 0.29 x4 ≤ 30 (0.30) :Si30 (0.12) ≤ 0.23 x1 + 0.0 x2 + 0.16 x3 + 0.05 x4 ≤ 30 (0.18):Mnx1 + x2 + x3 + x4 = 30

x1 ≥≥≥≥0; x2 ≥≥≥≥0; x3 ≥≥≥≥0; x4 ≥≥≥≥0


Modelo Matemático

Minimizar 90 x1 + 180 x2 + 25 x3 + 35 x4

Sujeito a:

30 (0.43) ≤ 0.50 x1 + 0.9 x2 + 0.50 x3 + 0.15 x4 ≤ 30 (0.65) :C30 (0.19) ≤ 0.20 x1 + 0.0 x2 + 0.02 x3 + 0.29 x4 ≤ 30 (0.30) :Si30 (0.12) ≤ 0.23 x1 + 0.0 x2 + 0.16 x3 + 0.05 x4 ≤ 30 (0.18) :Mnx1 + x2 + x3 + x4 = 30

x1 ≥≥≥≥0; x2 ≥≥≥≥0; x3 ≥≥≥≥0; x4 ≥≥≥≥0


Mistura: x1 = 18,9573; x2 = 0,234543; x3 = 4,45009; x4 =6,26805Valor do f.o.=2081,260471

Solução

Modelo Matemático

Minimizar 90 x1 + 180 x2 + 25 x3 + 35 x4

Sujeito a:


x1 ≥≥≥≥0; x2 ≥≥≥≥0; x3 ≥≥≥≥0; x4 ≥≥≥≥0


Mistura: x1 = 18,9573; x2 = 0,234543; x3 = 4,45009; x4 =6,26805Valor do f.o.=2081,260471

Solução

IngredientesComposição %


Industriais

Restos

Domicil.

Carbono 0.5 0.9 0.5 0.15Silício 0.2 - 0.02 0.29

Manganês 0.23 - 0.16 0.05CustoR$/ton 90 180 25 35Estoque (ton) 15 20 12 10



Composição Máxima

Carbono 0.43 0.65

Silício 0.19 0.30Manganês 0.12 0.18

Revisão 2:existe uma política nova da empresa de limitar a quantidade de matéria prima estocada

Modelo Matemático

Minimizar 90 x1 + 180 x2 + 25 x3 + 35 x4

Sujeito a:


0≤ x1 ≤ 15; 0≤ x2 ≤20; 0≤ x3 ≤12; 0≤ x4 ≤10


Modelo Matemático

Minimizar 90 x1 + 180 x2 + 25 x3 + 35 x4

Sujeito a:


0≤ x1 ≤ 15; 0≤ x2 ≤20; 0≤ x3 ≤12; 0≤ x4 ≤10

Mistura: x1 = 15; x2 = 2,70297; x3 = 3,20792; x4 =9,08911Valor do f.o.=2234,851485

Solução


Tela Inicial

Composição de cada Liga

Composição de cada Ingrediente

Composição de cada Liga

Cálculo da Liga

Sol. Ind Sol. Prog. % CF-8 725,55 554,21 31,1

CF-8M 1066,78 736,89 44,7 HH 984,90 748,01 31,6

CA-15 227,48 195,87 16,1

Diferença Significativa

considerando que a indústria produz 10 cargas por dia

Diferença para algumas ligas em uma fornada 360 kg


- Composição Química dos Ingredientes Incorreta;

- Peso de uma Compra de Ingredientes Incorretos;

- Informações de Estoques Incorretas;

- Custos de EstocagemImprecisos, etc.

Dificuldades Encontradas Durante o

Desenvolvimento

Durante o desenvolvimento do programa

foram detectados vários problemas


Possíveis Melhorias Obtidas

- Melhoria na Qualidade de Informações Básicas;

- Melhoria na Qualidade de Compra dos Fornecedores;

- Melhoria da Qualidade da Liga Feita;

- Redução nos Custos das Ligas;

- Melhoria no Armazenamento de Novas Informações

Possíveis Problemas Resolvidos Após o

Desenvolvimento do Programa


- Simular para Estabelecer Preço de Venda

- Simular para Discutir Preço de Compra

- Simular para Prazo de Entrega aos Clientes

- Simular para Prazo de Recebimento de Matéria-prima

Melhorias Inesperadas pelo Gerente Obtidas por meio de Simulações


Passos para Resolução do Problema

• Modelagem Matemática

• Organização dos dados

• Implementação computacional: Método Simplex

• Desenvolvimento da Interface


1.2 Modelos de Otimização1. Modelagem matemática: conceitos básicos

1.2 Modelos de Otimização1. Modelagem matemática: conceitos básicos

Algumas Classes de Modelos de Otimização• Modelos de Otimização Linear Contínua• Modelos de Otimização Inteira• Modelos de Otimização Inteira Mista• Modelos de Otimização Não linear

(OL): - Se a função-objetivo e as restrições forem lineares.- Se variáveis puderem assumir qualquer valor real, temos ummodelo de

otimização linear contínuo (OL).

n

T

Rxx

bAx

asujeito

xcz

∈≥≤

=

,0

:

min

onde: c ∈ Rn, A ∈ Rm x n, b ∈ Rm

−−−=

11

54

59

A

−=

1

5

45

b

Exemplo OL: max z=10x1+6x2sujeito a:

Observe que, neste exemplo: cT =(10, 6),

751

13z =.

Modelos de Otimização Linear Contínua

9x1 + 5x2 ≤ 45-4x1 + 5x2 ≤ 5-x1 - x2 ≤ -1x≥0, x∈ R2

(OI): - Se no Modelo anterior restringirmos as variáveis de forma que só possamassumir valores inteiros, teremos um modelo de otimização linear inteira (OI).

- Em alguns modelos os valores inteiros que as variáveis podem assumir são0 e 1 (variáveis binárias).

Exemplo OI:max z=10x1+6x2sujeito a:

.

Modelos de Otimização Inteira

- Solução do exemplo OL está bem distante da solução do exemplo OI . - A solução arredondada (3, 3) também está distante;

Solução ótima x=(5,0) e z=50 9x1 + 5x2 ≤ 45-4x1 + 5x2 ≤ 5-x1 - x2 ≤ -1x≥0, x∈ Z2

Ζ∈≥≤

=

xx

bAx

asujeito

xcz T

,0

:

min

(OIM): Em determinadas circunstâncias interessa que apenas um subconjunto devariáveis esteja restrito a assumir valores inteiros. Neste caso, temos um modelo deotimização inteira mista (OIM).

Exemplo OIM:max z=10x1+6x2sujeito a:

9x1 + 5x2 ≤ 45-4x1 + 5x2 ≤ 5-x1 - x2 ≤ -1x≥0, x1 ∈ R1, x2 ∈ Z1

.

.

1(3 ,3)

3=x

151

3z =solução ótima e

Modelos de Otimização Inteira Mista

)(,...,1,,0

:

min

nppjxx

bAx

asujeito

xcz

j

T

<=Ζ∈≥≤

=

(ONL): Modelos tais que a função-objetivo é não linear e/ou o conjunto de restrições é formado por equações ou inequações não lineares são chamados de modelos de otimização não-linear (ONL).

- Situações que envolvam modelos não-lineares e que não possam ser representadas por modelos lineares fogem do escopo deste curso e não serão discutidas

Modelos de Otimização não Linear

Tipos de Ferramentas

• Específicas– Modelagem:

• LINGO, MPL, AMPL, OPL,XPRESS-MOSEL, ZIMPL

– Resolução• LINGO, CPLEX, GUROBI

XPRESS-MP, LPSOLVE, CLP

• Gerais– Planilhas de cálculo

– EXCEL, LOTUS 123

• Simulação

1.3 Sistemas computacionais de modelagem e resolução1. Modelagem matemática: conceitos básicos

Sistemas Algébricos de Modelagem:Objetivos

• Interface com sistemas de resolução

• Separar o modelo dos dados

• Facilitar a construção de um modelo

• Documentar

• Facilitar a manutenção do modelo


Sistemas de Resolução• Comerciais

– CPLEX, XPRESS-MP• Problema de otimização: contínua, inteira, quadrática• Arquivos no formato:MPS, próprio (algébrico)• Possuem linguagem de modelagem

• Não-Comerciais– CLP (COIN-OR Linear Program Solver)– LPSOLVE


Sistemas Algébricos de Modelagem:Estrutura Geral

• Conjuntos e índices– locais:{Rio, SP, Goiânia}, códigos:{A11, B45}, mês:{jan, fev,...}

• dados, parâmetros, tabelas– separa o modelo de um exemplar do mesmo– fornecidos em arquivos de dados; retirados de planilhas de cálculo

ou banco de dados• variáveis de decisão

– agrupar por tipos, definir para subconjuntos de índices• função objetivo

– linear ou não linear• Restrições

– agrupar por tipos e expandir, definir para subconjuntos de índices


MPL• Modelagem:

– otimização contínua, inteira, não linear

• Formato de arquivos (MPS, CPLEX,...)

• Conexão com EXCEL, Banco de dados

• Gráfico da Estrutura da matriz de restrições

• Conexão com sistemas de resolução (CPLEX, FORTMP,...)

XPRESS-MOSEL• Linguagem Procedural• Integração com Linguagens de Programação (C, Java,

Visual Basic)

AMPL• Linguagem Procedural• Modelagem

– otimização contínua, inteira, quadrática• Interface gráfica com poucos recursos• Permite a criação de subrotinas

Linguagens de Modelagem: Principais Comandos

MPLTITLEINDEXDATAVARIABLESMODEL

MIN (ou MAX)SUBJECT TOEND

AMPLSETdefine um índice;PARAMdefine uma estrutura (vetor ou matriz) que irá

armazenar os elementos conhecidos do exemplar, fornecidos no arquivo nomemodelo.dat;

VARdefine variáveis de decisão;MINIMIZE (ou MAXIMIZA)define a função-objetivo e o critério de otimizaçãoSUBJECT TOdefine um conjunto de restrições

XPRESS-MOSEL

MODEL nome do model

Instruções para compilação

Definição de parâmetros

Definição do modelo

Definição de algoritmosEND-MODEL

Endereços na WWW• Comerciais (versão de estudante ou Licença Acadêmica gratuita)

MPL : http://www.maximal-usa.com/

XPRESS: http://www.dashoptimization.com/

AMPL : http:www.ampl.com//

GUROBI: http://www.gurobi.com/products/gurobi-optimizer/try-for-yourself

•Não ComerciaisCLP (COIN-OR Linear Program Solver)

http://www.coin-or.org/Clp/

LPSOLVE - http://lpsolve.sourceforge.net/5.5/

ZIMPL - http://www.zib.de/koch/zimpl/



Exemplo, usando o AMPL e o Excel, de resolução do problema da

mistura na fundição

1.4 Reformulação e limitantes1. Modelagem matemática: conceitos básicos

- Considere umproblema de otimização linear inteira (OI)de minimização.

inteiros,

0,

1374..

2111min

21

21

21

21

xx

xx

xxas

xx

≥≤+

−−Exemplo


- Se conhecermos umlimitante inferior (LI) e umlimitante superior (LS) para ovalor ótimo do problema,e se a diferença (LS-LI) é igual a zero, ou menor queuma tolerância pré-estabelecida, podemos dizer que ovalor LS é ótimo para o problema.

LI

ótimo

LSmin

-Como obter LSe LI?


- Limitante Superiores (LS): tambémconhecidos comolimitantes primais são obtidos coma obtenção de umasolução factível para o problema

(a)

Ótimo = -33 inteiros,

0,

1374..

2111min

21

21

21

21

xx

xx

xxas

xx

≥≤+

−−

LI

ótimo=-33

LS=-32

min

x1=3x2=0


- Limites inferiores (LI): (limites duais) podemser obtidospela construção de ummodelo relaxado, isto é, comumvalor ótimo menor ou igual que o valor ótimo doproblema original.

- Uma relaxação fácil de ser construída, e muito usadapara auxiliar na resolução de umproblema (OI) é aRelaxação Linear.

inteiros,

0,

1374..

2111min

21

21

21

21

xx

xx

xxas

xx

≥≤+

−−

(b) (a)

Ótimo = -33

Ótimo = -39


0,

1374..

2111min

21

21

21

≥≤+

−−

xx

xxas

xx

LI= -39

ótimo=-33

LS

min


- Importância de se obter bons limitantes

- Quanto menor o limitante superior e maior o limitanteinferior, melhor será a avaliação da qualidade da soluçãofactível que temos.

- A maioria dos sistemas computacionais incluiprocedimentos para a obtenção de limites inferiores esuperiores.

- Estes limites são usados emmétodos de enumeraçãoimplícita para a resolução dos problemas de otimizaçãointeira e inteira mista.


Reformulações:

- Quando se temduas ou mais formulações para ummesmo problema, interessa saber qual delas é melhor emtermos do limite inferior associado.

- Basicamente: se uma formulação P1 é melhor que outraP2, então o valor da relaxação linear, z(RL1), associadaa umproblema de OI é mais forte ou igual (≥ no caso deminimização) que o valor associado a P2 (z(RL2)).

- Observe que P1 e P2 definemas regiões factíveis dasduas formulações.


inteiros0,

1374..

2111min

21

21

21

≥≤+

−−

xx

xxas

xx

inteiros0,

1

1374..

2111min

21

2

21

21

≥≤≤+

−−

xx

x

xxas

xx

(a)

Ótimo = -33

(a)

Ótimo = -33

P1 P2


0,

1374..

2111min

21

21

21

≥≤+

−−

xx

xxas

xx

0,

1

1374..

2111min

21

2

21

21

≥≤≤+

−−

xx

x

xxas

xx

P1P2

zP2=-39

ótimo=-33

LS

min

(b) (a)

Ótimo = -39

Ótimo = -37,5

zP1=-37,5


- É interessante observar tambémque, bons limitesinferiores podem ser obtidos pela reformulaçãoautomática do problema obtida pela inclusão deinequações válidas.

Para Saber Mais

1. Rangel, S. Introdução à construção de modelos de otimização linear e inteira. 2. ed. São Carlos-SP: Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional-SBMAC, 2012. v. único. 82 p. (disponível em http://www.sbmac.org.br/arquivos/notas/livro_18.pdf)

2. Wiliams, H.P., Model Building in Mathematical Programming, Ed. John Wiley & Sons, 1990.

3. Wolsey, L., Integer Programming, Ed. John Wiley & Sons, 1998.

4. Arenales, M., Armentano, V., Morabito, R. E Yanasse, H.-Pesquisa Operacional, Elsevier, 2007.

1. Modelagem matemática: conceitos básicos

OBRIGADO

ATÉ AMANHÃ ÀS 8HS

Slides Adicionais

Exemplo: Branch-and-Bound

inteiros,

0,

1374..

2111min

21

21

21

21

xx

xx

xxas

xx

≥≤+

−−

(b) (a)

Ótimo = -33

Ótimo = -39


x1=0x2=1.86

Ótimo = 37.5

InfactívelA

B

Suproblema A Subproblema B

0,

2

1374..

2111min

21

2

21

21

≥≥

≤+−−

xx

x

xxas

xx

0,

1

1374..

2111min

21

2

21

21

≥≤

≤+−−

xx

x

xxas

xx


x1=1.5x2=1

Suproblema C Subproblema D

0,

1

1

1374..

2111min

21

1

2

21

21

≥≤≤

≤+−−

xx

x

x

xxas

xx

0,

2

1

1374..

2111min

21

1

2

21

21

≥≥≤

≤+−−

xx

x

x

xxas

xx

Ótimo = 37Ótimo = 32

CD

x1=2x2=0.71


Suproblema E Subproblema F

0,

0

2

1

1374..

2111min

21

2

1

2

21

21

≥≤≥≤

≤+−−

xx

x

x

x

xxas

xx

0,

1

2

1

1374..

2111min

21

2

1

2

21

21

≥≥≥≤

≤+−−

xx

x

x

x

xxas

xx

Infactível

Ótimo = 35,75

F

E

x1=0x2=3.25


Suproblema G Subproblema H

0,

3

0

2

1

1374..

2111min

21

1

2

1

2

21

21

≥≤≤≥≤

≤+−−

xx

x

x

x

x

xxas

xx

0,

4

0

2

1

1374..

2111min

21

1

2

1

2

21

21

≥≥≤≥≤

≤+−−

xx

x

x

x

x

xxas

xx

(a)

Ótimo = -33

x1=3x2=0


matemÁtica aplicada ao planejamento da … · programa introdução 1. modelagem matemática:...

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