matemÁtica aplicada

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EducaoProf issional CursoTcnicoemMecnica MduloI MecnicoI ndust rial MATEMTI CAAPLI CADA Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional1SUMRI O 1CONJUNTOSNUMRI COS03 1.1 CONJ UNTOS DOS NMEROS I NTEI ROS 04 1.2 FRAES 07 1.3 NMEROS DECI MAI S 11 1.4 RAZO 13 1.5 PROPORO 14 1.6 REGRA DE TRS 16 1.7 PORCENTAGEM 18 2EQUAES20 2.1 EQUAES DO 1 GRAU COM UMA VARI VEL 20 2.2 EQUAES DO 2 GRAU 25 2.3 EQUAES BI QUADRADAS 32 2.4 SI STEMAS DO 1GRAU 33 2.5 SI STEMAS DO 2 GRAU 34 3GEOMATRI A36 3.1 PONTO, RETA E PLANO 36 3.2 SEGMENTO DE RETA 37 3.3 SEMI -RETA 37 3.4 TRI NGULOS 38 3.5 TEOREMA DE TALES 39 3.6 TI POS DE RETAS 41 3.7 FI GURAS GEOMTRI CAS 42 3.8 POL GONOS 42 4MEDI DAS44 4.1 MEDI NDO COMPRI MENTO 44 4.2 MLTI PLOS E SUBMLTI PLOS DO METRO 44 4.3 TRANSFORMANDO UNI DADES 44 5PER METRO45 5.1 MEDI NDO SUPERF CI ES 46 5.2 UNI DADE DE MEDI DA DE SUPERF CI E 46 5.3 QUADRO DE UNI DADES USADAS PARA MEDI R SUPERF CI ES 47 5.4 LENDO UNI DADES DE REA 47 5.5 TRANSFORMANDO UNI DADES 47 5.6 REAS DAS PRI NCI PAI S FI GURAS PLANAS 47 5.7 CALCULANDO REAS 50 6CI RCUNFERNCI AEC RCULO51 6.1 REGI O I NTERI OR E EXTERI OR DE UMA CI RCUNFERNCI A 51 6.2 CORDA, DI METRO E RAI O 51 6.3 ARCO DA CI RCUNFERNCI A 51 6.4 SEMI CI RCUNFERNCI A 51 6.5 C RCULO 51 Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional26.6 POSI ES RELATI VAS DE RETA E CI RCUNFERNCI A 53 6.7 COMPRI MENTO DA CI RCUNFERNCI A 53 6.8 CALCULANDO P 54 6.9 CALCULANDO O COMPRI MENTO DA CI RCUNFERNCI A 54 6.10 CALCULANDO A REA DE UM C RCULO 55 6.11 VOLUME 55 6.12 MEDI NDO VOLUME 55 6.13 MLTI PLOS E SUBMLTI PLOS DO METRO CBI CO 55 6.14 LENDO UNI DADES DE VOLUME 56 6.15 TRANSFORMANDO UNI DADES 56 6.16 VOLUME DOS PRI NCI PAI S SLI DOS GEOMTRI COS 56 6.17 CALCULANDO VOLUMES 59 7RELAESMTRI CASNOTRI NGULORETNGULO59 7.1 TEOREMA DE PI TGORAS 61 7.2 TRI GONOMETRI A NO TRI NGULO RETNGULO 62 BI BLI OGRAFI A64 Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional31- CONJUNTOSNUMRI COS NmerosNat urais N = { 0 , 1 , 2 , 3 , ... } NmerosI nt eiros Z = { ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2, ... } Obs. : Todo nmer o nat ur al int eir o, ist o , N um subconj unt o de Z. NmerosRacionais Soaquelesquepodemser expr essosnaf or maa/ b,onde aebsonmer osint eir osquaisquer , com b dif er ent e de 0.Q={x/ x=a/ bcomaebpert encent esaZcombdif erent ede0} Assim, como exemplo,podemos cit aro -1/ 2 , 1 , 2,5 , et c... Nmer os decimais exat os so r acionais, pois: 0,1 = 1/ 102,3 = 23/ 10 Nmer os decimais per idicos so r acionais.0,1111... = 1/ 90,3232 ...= 32/ 992,3333 ...= 21/ 90,2111 ...= 19/ 90Toda dzima per idica 0,9999 ... 9 ... uma out r a r epr esent ao do nmer o 1.NmerosI rracionais Soaquelesquenopodemser expr essosnaf or maa/ b,comaebsendonmer osint eir oseb dif er ent e de 0.)`= e e = = 0 , , q Z q Z pqpx IAlgunsnmerosirracionais: 7182818 , 27320508 , 1 34142135 , 1 21415926 , 3= ===e Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional4So compost os pordzimas inf init as no per idicas.NmerosReais a r eunio do conj unt o dos nmer os ir r acionais com o dos r acionais. 1.1 - CONJ UNTO DOS NMEROS I NTEI ROS Voc viu ant er ior ment e, o Conj unt odosNmerosNat urais r epr esent ado pela let r a N. Obser vou ainda que o conj unt o dos nmer os int eir os r epr esent ado pela let r a Z. O conj unt oN={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14........................},est econj unt oinf init o,ousej a, no t em f im. Est e f icou pequeno par a a mat emt ica, obser ve os exemplos: a) 9 - 12 = ?b) 8 - 100 = ? Dent r odoconj unt odosnmer onat ur aisnoexist er espost apar aest asper gunt as,ousej aas r espost as est o dent r o do conj unt o dos nmer os int eir os. Vamos conhecerest e conj unt o: O conj unt o Z = {....-5,-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,+5....}.Obser vequeest econj unt of or madopor nmer osnegat ivos,zer oenmer osposit ivos.Vale lembr ar ,que zer o um nmer o nulo ou neut r o, no negat ivo e nem posit ivo. Noseudia adia,vocj dever t er depar adocomnmer osint eir os.Quandoset emumcr dit o, t emumnmer oposit ivo,umdbit oumnmer onegat ivo,t emper at ur asacimadezer oso posit ivas,abaixodezer osonegat ivas,t ambmemr elaoaonveldomar ,ospasesque est o acima do nvel do mart em alt it udes posit ivas, abaixo do nvel do maralt it udes negat ivas, se voc pr est arat eno ao seu r edorvai encont r armuit os nmer os negat ivo e posit ivos. 1. 1. 1- Ret aNumricaI nt eira Obser vequear et at emumaset aqueindicaaor demdecr esciment odosnmer os,elesest o cr escendo da esquer da par a a dir eit a, -7 menorque -6, 0 maiorque -1 e assim em diant e. Compar e alguns nmer os int eir os. a) -5 > -10 b) +8 > -1000 c) -1 >-200.000 -4 -3 -2 -10 +1+2 +3 +4 +5Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional5d) -200 x =500000/ 20000=> x =25% X 5 000 05 - O pr eo de uma casa sof r eu um aument o de 20%, passando a servendida por35 000 r eais. Qual er a o pr eo dest a casa ant es dest e aument o?Por cent agemPr eo120% 35 000 120 x =3500000=>x =35000/ 120=> x =29.166,67 100% xLogo, o pr eo ant er iorer a 29 166,67 Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional202- EQUAES 2.1 - EQUAES DO 1 GRAU COM UMA VARI VEL Equao t oda sent ena mat emt ica aber t a r epr esent ada poruma igualdade, em que exist a uma ou mais let r as que r epr esent am nmer os desconhecidos.Exemplo: X + 3 = 12 - 4 uma sent ena mat emt ica aber t a; uma igualdade Por t ant o, uma equao Formageral:ax=b,emque xr epr esent a avar ivel(incgnit a)eaebsonmer osr acionais, com a = 0. Dizemos que a e b so os coef icient es da equao.(ax=b, a f or ma mais simples da equao do 1 gr au)Exemplos:x - 4 = 2 + 7, (var ivel x)2m + 6 = 12 - 3 ,(var ivel m)-2r+ 3 = 31, (var ivel r )5t+ 3 = 2t- 1 , (var ivel t )3(b - 2) = 3 + b,(var ivel b) 4 + 7 = 11, ( uma igualdade, mas no possui uma var ivel, por t ant o no uma equao do 1 gr au)3x-12>13,(possuiumavar ivel,masnoumaigualdade,por t ant onoumaequaodo1 gr au)Obs:Deve-se obser varduas par t es em uma equao, o 1 membr o esquer da do sinal de igual e o 2membr o dir eit a do sinal de igual. Conj unt oUniverso:Conj unt of or madopor t odososvalor esqueavar ivelpodeassumir . Repr esent e pela let r aU.Conj unt oSoluo:Conj unt of or madopor valor esdoconj unt oUquet or namasent ena ver dadeir a. Repr esent e pela let r a S.Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional21Exemplo:Dent r eoselement osdoconj unt oF={0,2,3,6,8,9},qualdelest or naasent enamat emt ica2x - 4 = 2, ver dadeir a.2(0) - 4 = 2 Er r ado2(2) - 4 = 2 Er r ado2(3)- 4=2Verdadeiro 2(6) - 4 = 2 Er r ado2(8) - 4 = 2 Er r ado2(9) - 4 = 2 Er r adoDeve-se obser varque o conj unt o U = {0, 2, 3, 6, 8, 9}, e conj unt o S= {3} 2. 1. 1- Raizdaequao Um dado nmer o chamado de r aiz da equao, quando est e t or na a igualdade ver dadeir a.Ver if icando se um dado nmer o r aiz da equao:Exemplos:01 - Ver if ique se o nmer o 4 r aiz da equao 9a - 4 = 8 + 6aEquao 9a - 4 = 8 + 6aSubst it ua a por4 9(4) - 4 = 8 + 6(4)36 - 4 = 8 + 24 32 = 32Ent o, o nmer o 4 r aiz da equao ou sej a conj unt o soluo.02 - Ver if ique se o nmer o - 3 r aiz da equao 2x - 3 = 3x + 2.Vamos subst it uirx por 32(-3) - 3 = 3(-3) + 2- 6 - 3 = - 9 + 2- 9 = - 7 , sent ena f alsa - 9 dif er ent e de -7 (- 9 - 7).Ent o - 3 no r aiz da equao ou sej a no conj unt o soluo da equao. Obser ve que em t odas as equaes apr esent adas a r aiz ou o conj unt o soluo o mesmo. Poresse mot ivo, so chamadas equaes equivalent es. 2. 1. 2- ResolvendoEquaesdo1 grau Resolver umaequaodo1 gr auemumdet er minadoconj unt ouniver sosignif icadet er minar a r aiz ou conj unt o soluo dessa equao, caso exist a soluo.Exemplo:5a + 11 = - 4 Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional225a = - 11 - 4 a = - 15/ 5 a = - 3 S = {-3} OBS:Se voc pr est ou at eno na r esoluo, deve t erobser vado que o nmer o que est ava em um membr ocomdet er minadosinalapar ecenoout r omembr ocomsinaldif er ent e,equemest ava mult iplicando apar ece no out r o membr o dividindo. No pr ocesso pr t ico f eit o assim. 2. 1. 3- Resolvendoequaespelomt odoprt ico Exemplos: 1)Resolva as seguint es equaes do 1 gr au com uma var ivel sendo U=Q a)Y + 5 = 8 Y = 8 5 y = 3 S = {3} b)13x 16 = - 3x 13x + 3x = 16 16x = 16 x = 1 S = {1} c)3(x-2) (1-x) = 13 3x 6 1 + x = 13 3x + x = 13 + 6 + 1 4x = 20 x = 5 S = {5} Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional23d)t / 4 7/ 10 = 2t / 5 1 ( t ir e o mmc) 5t 14/ 20 = 8t 20/ 20 5t 14/ 20 = 8t 20/ 20 ( cancele os denominador es) 5t 14 = 8t 20 5t 8t= -20 + 14 -3t= -6 (x1) 3t= 6 t= 6/ 3 t= 2 S = {2} e)5x 7 = 5x 5 5x 5x = -5 + 7 0x = 2 x = 2/ 0 x=0Noexist edivisopor zer o,ent of ala-seque,aequaoimpossvelemQ, ent o S = { } (vazio). f )5x 4 = -4 + 5x 5x 5x = -4 + 4 0x = 0 Fala-se que est a equao indet er minada ( inf init as solues) 2. 1. 4- ResolvendoProblemasdo1 grau Ant esdeiniciar ar esoluodeumpr oblemausandoasequaes,deve-sedet er minar aequao que o r esolve. 1 .I dent if ique uma incgnit a do pr oblema que ser r epr esent ada poruma let r a (x, y, m...); 2 .Escr eva a equao do pr oblema; 3 .Resolva a equao; 4 .Ver if ique se o r esult ado encont r ado at ende ao pr oblema; Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional24Exemplos: a)Um nmer o: x ( a let r a x a incgnit a ou o t er mo desconhecido); b)O t r iplo de um nmer o: 3x c)O dobr o de um nmer o acr escido de 4: 2x+4 d)Um nmer o somado com seu dobr o igual a 10: x+2x=10 e)A met ade de um nmer o: x/ 2 f )Um nmer o somando a sua t er a par t e: x+x/ 3 Exemplos: a)Um nmer o somado com o seu dobr o igual a quinze. Det er mine est e nmer o. x+2x=15 3x=15 x=5 O nmer o pr ocur ado 5. b)Emum t er r eir ohgalinhasecoelhos,numt ot alde13animaise46ps.Quant asgalinhase quant os coelhos h nesse t er r eir o? Coelho = x Galinhas= 13 x ( t ot al de animais menos o nmer o de coelhos) Logo, 4x + 2(13-x)=46 (