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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ – CAMPUS DE UNIÃO DA VITÓRIA
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS COLEGIADO DE MATEMÁTICA
PATRÍCIA ANDRESSA MAIESKI
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO: UMA PROPOSTA DE ENSINO NO
SOFTWARE GEOGEBRA
UNIÃO DA VITÓRIA 2015
PATRÍCIA ANDRESSA MAIESKI
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO: UMA PROPOSTA DE ENSINO NO
SOFTWARE GEOGEBRA
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado para obtenção do grau de Licenciada na Universidade Estadual do Paraná, campus de União da Vitória, Área Matemática. Orientador: Prof. Me. Dirceu Scaldelai.
UNIÃO DA VITÓRIA 2015
AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente a Deus por ter me dado condições, coragem e forças
no decorrer desta trajetória.
Agradeço a toda a minha família pelo apoio e compreensão, especialmente a
minha mãe Jucélia, que me apoiou e me ajudou durante o curso.
Agradeço ao meu namorado Jovane José Muncinelli pelo carinho, apoio,
compreensão e incentivo durante todo o curso, principalmente nos momentos mais
difíceis.
Agradeço ao meu orientador Dirceu Scaldelai pela dedicação, paciência e
ensinamentos durante a realização deste trabalho.
Agradeço a todos os amigos, colegas acadêmicos e professores pela amizade
e companheirismo prestados durante o curso.
Um bom ensino da Matemática forma melhores hábitos de pensamento e habilita o indivíduo a usar melhor a sua inteligência.
(Irene de Albuquerque)
RESUMO
A sociedade que vivemos hoje é consumista, vivemos em torno do dinheiro, a escola é um dos lugares em que os alunos tem acesso as informações e que mediados pelo professor constroem o seu próprio conhecimento. Assim se torna indispensável que o aluno do Ensino Médio que logo terá que cuidar de sua situação financeira sozinho, tenha conhecimentos de operações financeiras, não só pela vida pessoal mais também pela vida profissional, pois o mercado de trabalho em muitas profissões utiliza-se dessas operações. O presente trabalho argumenta sobre a importância de ensinar Matemática Financeira no Ensino Médio e apresenta algumas abordagens da Matemática Financeira apresentada em livros didáticos. O objetivo principal deste trabalho é a apresentação de uma proposta de ensino diferenciada para o ensino da Matemática Financeira, especificamente no que se refere a sistemas de amortização, utilizando-se de um objeto de aprendizagem construído no software GeoGebra a partir da qual os alunos poderão entender como funciona os tipos de sistemas abordados, Sistema de Amortização Francês e Sistema de Amortização Constante, de modo que também possam comparar estes sistemas, com aplicação de situações que podem ser vivenciados pelos mesmos em situações de empréstimos ou financiamentos.
Palavras-chave: Matemática Financeira. Sistemas de Amortização.
GeoGebra.
SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 6
2 MATEMÁTICA FINANCEIRA .................................................................................. 9 2.1 A IMPORTÂNCIA DE ENSINAR MATEMÁTICA FINANCEIRA .......................... 10 2.2 MATEMÁTICA FINANCEIRA APRESENTADA NOS LIVROS DIDÁTICOS ....... 14 2.3 CONCEITOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA .................................................. 18 2.3.1 Porcentagem .................................................................................................... 18 2.3.2 Juros................................................................................................................. 19 2.3.2.1 Taxa de juros ................................................................................................. 20 2.3.3 Capital inicial ou valor presente ........................................................................ 20 2.3.4 Montante ou valor futuro ................................................................................... 20 2.3.5 Prazo ou tempo ................................................................................................ 21 2.3.6 Capitalização simples ....................................................................................... 22 2.3.7 Capitalização composta ................................................................................... 23 2.3.8 Empréstimos .................................................................................................... 25 2.3.9 Sistema de amortização ................................................................................... 26 2.3.9.1 Sistema de amortização francês (tabela Price): ............................................ 26 2.3.9.2 Sistema de amortização constante (SAC) ..................................................... 29 2.3.9.2.1 SAC com prazo de carência e prazo de utilização unitário ........................ 31 2.3.9.2.2 SAC com prazo de carência, juros capitalizados e prazo de utilização unitário .................................................................................................................................. 32 2.3.9.2.3 SAC com prazo de carência e prazo de utilização não-unitário ................. 33
3 PROPOSTA DE ENSINO DE SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO COM OBJETO DE APRENDIZAGEM CONSTRUIDO NO SOFTWARE GEOGEBRA ........................... 34 3.1 TECNOLOGIAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA E O SOFTWARE GEOGEBRA .................................................................................................................................. 34 3.2 O OBJETO DE APRENDIZAGEM ....................................................................... 36 3.3 PROPOSTA DE ENSINO .................................................................................... 38 3.3.1 Proposta de Ensino: Sistema de Amortização Price ........................................ 39 3.3.2 Proposta de Ensino: Sistema de Amortização SAC ......................................... 41 3.3.3 Proposta de Ensino: Comparando os Sistemas de Amortização ..................... 42 3.3.4 Proposta de Ensino: Sistemas de Amortizações e Funções ............................ 43
4 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................... 45
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 47
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1 INTRODUÇÃO
A Matemática Financeira está diretamente ligada a vidas das pessoas, em
várias situações, como compras diárias, aquisições de bens, vendas, financiamentos,
empréstimos e o acesso ao crédito. O acesso ao crédito está cada vez maior e mais
fácil aos brasileiros, podendo afetar a vida das pessoas de maneira negativa, caso
mal administrado, gerando endividamento ou perca de melhores oportunidades de
investimento. Assim se torna necessário o conhecimento de conceitos da Matemática
Financeira, que podem possuir mais significado para os alunos se contextualizados
com acontecimentos cotidianos. Portanto possuir alguns conhecimentos financeiros
se torna necessário.
Os alunos do Ensino Médio chegarão a vida adulta e terão que lidar com
questões financeiras, por isso é de suma importância intensificar conhecimentos da
Matemática Financeira com estes alunos, pois é preciso que estes saibam pensar e
analisar situações matematicamente, para garantir uma boa administração da sua
situação financeira e saber tomar decisões procurando sempre a melhor opção.
Segundo Gallas (2013, p. 12):
Um dos principais objetivos do ensino da Matemática Financeira no ensino médio é formar a base de conceitos necessários a um bom entendimento do aluno em relação às operações financeiras que o mesmo será submetido diariamente. Também possui como função ajudar na construção de sua educação financeira, para que possuam hábitos responsáveis no que tange a utilização de seu dinheiro na vida adulta.
A Matemática Financeira está diretamente ligada a questões de cidadania,
visto que proporciona formar cidadãos críticos que tomam decisões reflexivas tanto
na sua vida financeira como em questões de trabalho. Percebe-se hoje que no
mercado de trabalho ao lidar com questões financeiras existem também recursos
tecnológicos que facilitam esse trabalho servindo de ferramentas, mas é necessário
saber usar e saber interpretar os resultados. Logo além de dar sentido a outros
conteúdos da Matemática como funções, proporção, porcentagem e etc., a
Matemática Financeira também relaciona-se com o uso de tecnologias, em especial
computadores e calculadoras. Recursos estes que o professor pode e deve utilizar
para o ensino da mesma.
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Marchioni (2013, p. 16) se refere a Matemática Financeira como “[...] um
assunto recente na educação básica brasileira. Atualmente, sua abordagem, quando
ocorre, geralmente acontece de forma desconectada dos conteúdos matemáticos que
a embasam, apoiando-se em fórmulas prontas e decoradas.” No sentido de criar uma
proposta de ensino diferenciada para o professor, o presente trabalho apresenta uma
proposta baseada em conceitos da Matemática Financeira, especificamente Sistemas
de Amortizações, a qual tem como objetivo comparar e estudar dois tipos de Sistemas
de Amortização, o Sistema de Amortização Francês, também chamado de Price e o
Sistema de Amortização Constante (SAC), pois estes são os mais utilizados em nosso
país e considera-se importante possuir conhecimentos sobre eles, criando assim uma
proposta contextualizada com situações que possam ser vivenciadas pelos alunos.
Além da comparação entre os sistemas também é possível relacionar os itens de cada
sistema, quanto a parcela de juros, amortização e prestação com o comportamento
de funções. Para a realização das tarefas utiliza-se como objeto de aprendizagem um
arquivo construído no software GeoGebra na versão 5.0.166.0-3D., o qual permite
simular financiamentos ou empréstimos em ambos os tipos de sistemas e podendo
também analisá-los de maneira visual através de gráficos.
O trabalho está organizado em dois principais momentos. O primeiro
momento traz uma revisão bibliográfica referente à Matemática Financeira, a qual está
dividido em três partes. A primeira aborda a importância de ensinar matemática
financeira, o qual aborda documentos como LBD (Lei de Diretrizes e Bases da
Educação Nacional), PCN (Parâmetros Curriculares Nacionais), PCN+ (Orientações
Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais), DCE
(Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná) e Orientações curriculares para o
Ensino Médio que mencionam a relevância de se ensinar Matemática Financeira e
como a Matemática Financeira deve se relacionar com os outros conteúdos, além de
outros autores que argumentam sobre o ensino da Matemática Financeira. A segunda
parte descreve o que de Matemática Financeira é abordado em livros didáticos e
baseado nessa pesquisa a terceira parte traz os conceitos da Matemática Financeira
que são comumente ensinados na escola e que são utilizados neste trabalho para o
desenvolvimento da proposta de ensino.
O Segundo momento é referente a proposta de ensino, sendo este dividido
em quatro partes. A primeira faz referência ao uso de tecnologias no ensino da
Matemática que é utilizada neste trabalho, a segunda descreve sobre o objeto de
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aprendizagem criado no GeoGebra. A terceira parte são as quatro tarefas propostas,
em que a primeira é relativa ao Sistema de Amortização Constante, a segunda ao
Sistema de Amortização Francês, a terceira é caracterizada pela comparação entre
os sistemas e a quarta tarefa tem como objetivo relacionar o comportamento das
parcelas de juros, amortização e a prestação em cada sistema com funções que
descrevem esse comportamento graficamente.
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2 MATEMÁTICA FINANCEIRA
A Matemática é uma ciência dividida em vários campos, sendo que um destes
é a Matemática Financeira a qual estuda o valor do dinheiro com o passar do tempo.
“A Matemática Financeira é um ramo da matemática que tem como objetivo estudar
as relações existentes entre os valores datados” (ROVINA, 2009, p. 6). Bruni; Famá
(2010, p. 20) consideram a Matemática Financeira como “[...] um conjunto de técnicas
e formulações extraídas da matemática, com o objetivo de resolver problemas
relacionados ás Finanças de modo geral, e que, basicamente, consistem no estudo
do valor do dinheiro no tempo”.
A questão do valor do dinheiro no tempo está relacionada à medida que o
tempo passa o valor do dinheiro muda, pois “quer em função de ter-se a oportunidade
de aplicá-lo, obtendo-se, assim uma remuneração (juros) sobre a quantia envolvida,
quer em função de sua desvalorização por causa da inflação” (BRUNI; FAMÁ, 2010,
p.20).
Para Puccini (2004, p. 3) “A Matemática Financeira está diretamente ligada ao
valor do dinheiro no tempo, que, por sua vez, está interligado à existência da taxa de
juros”. Dois mandamentos fundamentais da Matemática Financeira devem ser
respeitados:
a) Valores de mesma data são grandezas que podem ser somadas e comparadas algebricamente; b) Valores de datas diferentes são grandezas que só podem ser comparadas e somadas algebricamente após serem movimentadas para uma mesma data, com a correta aplicação de uma taxa de juros. (PUCCINI, 2004, p. 3)
A Matemática Financeira está presente na vida das pessoas, e surgiu da
necessidade de lidar com o dinheiro ao longo do tempo (ROVINA, 2009). Logo
considera-se importante ensinar Matemática Financeira.
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2.1 A IMPORTÂNCIA DE ENSINAR MATEMÁTICA FINANCEIRA
Observando a LDB (Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional) Lei nº
9.394, de 20 de dezembro de 1996, traz em seu Art. 1º.Da Educação: “§ 2º. A
educação escolar deverá vincular-se ao mundo do trabalho e à prática social.”
Visando este princípio de educação vinculado ao mundo de trabalho e a
prática social, pode-se argumentar sobre a importância de se ensinar Matemática
Financeira. Ainda segundo a LDB:
Seção I Das Disposições Gerais Art. 22º. A educação básica tem por finalidades desenvolver o educando, assegurar-lhe a formação comum indispensável para o exercício da cidadania e fornecer-lhe meios para progredir no trabalho e em estudos posteriores.
A respeito do Ensino Médio, a LDB traz:
Art. 35º.Do Ensino Médio. II - a preparação básica para o trabalho e a cidadania do educando, para continuar aprendendo, de modo a ser capaz de se adaptar com flexibilidade a novas condições de ocupação ou aperfeiçoamento posteriores; III - o aprimoramento do educando como pessoa humana, incluindo a formação ética e o desenvolvimento da autonomia intelectual e do pensamento crítico;
Seguindo os objetivos desta lei, a Matemática Financeira pode ser uma
ferramenta importante para desenvolver o pensamento crítico e autonomia intelectual
para a tomada de decisões de caráter financeiro e consequentemente preparando o
aluno também para o resolver situações financeiras na vida profissional.
Pode-se constatar que nos Planos Políticos Pedagógicos das escolas, alguns
assuntos devem ser articulados de maneira transversal com os conteúdos
curriculares, promovendo a prática reflexiva dos alunos com assuntos do mundo
contemporâneo. Um desses assuntos é a chamada Educação Fiscal. Segundo a
Receita Federal:
A Educação Fiscal é um processo que visa a construção de uma consciência voltada ao exercício da cidadania. O objetivo é propiciar a participação do cidadão no funcionamento e aperfeiçoamento dos instrumentos de controles social e fiscal do Estado.
Seguindo o que consta no PCN (1997, p. 26), a prática educacional precisa
possibilitar que as necessidades sociais sejam atendidas e “[...] que considere os
interesses e as motivações dos alunos e garanta as aprendizagens essenciais para a
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formação de cidadãos autônomos, críticos e participativos, capazes de atuar com
competência dignidade e responsabilidade na sociedade em que vivem.” Entender
Matemática Financeira torna-se algo indispensável em relação à questão de
cidadania, pois o cidadão, à medida que conhece sobre questões financeiras pode
também cobrar pelos seus direitos. Desse modo a Matemática Financeira se faz
presente na vida dos alunos, como de forma a desenvolver o pensamento crítico e
contribuindo para a formação da cidadania.
Segundo Reis (2013, p.15), “A escola tem compromisso com a sociedade,
com a cidadania. Somos professores de alunos que serão futuros cidadãos de nosso
país.”. Reis (2013, p. 16) também afirma que:
As diferentes e múltiplas Matemáticas, suas linguagens, procedimentos e formas específicas de pensar, devem organizar situações de aprendizagem nas quais os conteúdos sejam tratados de forma que relacionem o conhecimento científico aos problemas que fazem parte da vida do aluno para que o mesmo faça sentido.
Pensando em trabalhar conteúdos matemáticos com os alunos de forma a
atribuir significado e associar a questões sociais, é que o professor precisa relacionar
a Matemática Financeira com o cotidiano dos alunos e o mercado financeiro atual.
Mesmo a Matemática Financeira sendo importante, observar-se que é comum
alunos que concluíram o Ensino Médio não saberem usar o pensamento matemático
para entender coisas eventuais do seu dia a dia (SAMPAIO, 2013). Muitas pessoas
podem não saber realizar o cálculo de juros e adiantamentos de parcelas para saber
o quanto de fato estão pagando ou quanto poderiam pagar com o adiantamento de
parcelas de um financiamento, por exemplo, e tomar decisões que poderiam ser
lucrativas para sua situação financeira, ou ainda que podem estar relacionadas ao
mercado de trabalho.
Muniz Junior (2010, apud, DUARTE; TASSOTE; DIAS; VIANA, 2012, p.196)
afirma que: “a população brasileira tem lidado com o dinheiro de maneira desastrosa,
onde a falta de informação matemática, inclusive sem foco na tomada de decisões,
tem sido um dos principais motivos dessa realidade”. Trabalhar com a Matemática
Financeira em sala de aula pode proporcionar aos alunos conhecimentos para sua
vida financeira.
Com o fácil acesso ao crédito no Brasil, nos últimos anos, em decorrência de
mudanças econômicas, aumentou o consumo e aquisição de bens,
consequentemente faz-se necessário conhecimentos financeiros, pois as pessoas
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que não tiverem conhecimentos mínimos da Matemática Financeira e suas operações,
podem contrair um desiquilíbrio financeiro, ocasionando problemas em suas vidas.
(GALLAS, 2013, p. 12). O que se torna um dos principais motivos, para o ensino da
Matemática Financeira.
Pensando em jovens que acabaram de concluir o Ensino Médio, há indícios
da falta do ensino de Matemática Financeira, como diz Morgado (1993, apud
SAMPAIO, 2013, p. 12):
Matemática Financeira é um assunto que inexplicavelmente não costuma ser abordado no Ensino Médio, então a gente chega a ter no Brasil essa situação absurda, de um aluno com onze anos de Matemática, oito no ensino fundamental e três no médio, entra para a universidade e não é capaz de decidir racionalmente entre uma compra à vista com desconto e uma compra a prazo. Ao mesmo tempo ele aprendeu a fazer contas com matrizes, aprendeu o que são números complexos e é incapaz de decidir racionalmente entre uma compra à vista e uma compra a prazo. Isso é na minha opinião uma maluquice total, Matemática Financeira, pode e deve ser abordada no Ensino Médio e a hora adequada é exatamente ligada a progressão geométrica.
Conforme as Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Paraná (2008, p.
61):
É importante que o aluno do Ensino Médio compreenda a matemática financeira aplicada aos diversos ramos da atividade humana e sua influência nas decisões de ordem pessoal e social. Tal importância relaciona-se o trato com dívidas, com crediários à interpretação de descontos, à compreensão dos reajustes salariais, à escolha de aplicações financeiras, entre outras.
Ainda seguindo as Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Paraná
(2008, p. 62), recomenda-se que a Matemática Financeira seja abordada no Conteúdo
Estruturante Funções. “No Ensino Médio, no estudo dos conteúdos função afim e
progressão aritmética, ambos vinculados ao Conteúdo Estruturante Funções, o
professor pode buscar na matemática financeira, mais precisamente nos conceitos de
juros simples, elementos para abordá-los.” Ao que se refere a juros composto as
Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Paraná recomenda que sejam
articulados com função exponencial e progressão geométrica.
Já seguindo o PCN+ (Orientações Educacionais Complementares aos
Parâmetros Curriculares Nacionais), a Matemática Financeira aparece dentro do eixo
estruturador Álgebra, da seguinte forma:
[...]Álgebra, na vivência cotidiana se apresenta com enorme importância enquanto linguagem, como na variedade de gráficos presentes diariamente nos noticiários e jornais, e também enquanto instrumento de cálculos de
natureza financeira e prática, em geral. (BRASIL, 2000, p. 120)
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Também sugere a Matemática Financeira contemplada ao ensino de funções.
“As funções exponencial e logarítmica, por exemplo, são usadas para descrever a
variação de duas grandezas em que o crescimento da variável independente é muito
rápido, sendo aplicada em áreas do conhecimento como matemática financeira, [...]”.
(BRASIL, 2000, p. 121).
Nas Orientações Curriculares para o Ensino Médio (2006, p. 70), encontramos
que ao trabalhar com Número e operações “[...]deve-se proporcionar aos alunos uma
diversidade de situações, de forma a capacitá-los a resolver problemas do
quotidiano[...]” e também:
[...] tornar o aluno, ao final do ensino médio, capaz de decidir sobre as vantagens/desvantagens de uma compra à vista ou a prazo; avaliar o custo de um produto em função da quantidade; conferir se estão corretas informações em embalagens de produtos quanto ao volume; calcular impostos e contribuições previdenciárias; avaliar modalidades de juros bancários (BRASIL, 2006, p. 71).
A Matemática Financeira é um assunto recente na educação básica, sendo
abordada de forma desconectada de outros conteúdos e apoiando-se em fórmulas
prontas (MARCHIONI, 2013). Em relação ao ensino da Matemática Financeira na
formação de professores, Marchioni (2013, p. 25) também aponta que “Faz-se
necessária e urgente uma formação direcionada aos professores, pois muitos nem
sequer tiveram este conteúdo em sua formação e outros, ainda, o viram com
abordagem nem sempre aprofundada”.
Através da aprendizagem da Matemática Financeira os alunos podem vivenciar situações de seu cotidiano como: compra, venda, pagamento à vista, pagamento parcelado, juros, desconto e outras situações diárias que podem exigir este conhecimento. Supõe-se que este fato pode despertar um maior interesse pelo assunto, que será de uso contínuo em sua vida (GALLAS, 2013, p.12).
Em relação aos conteúdos envolvidos na Matemática Financeira, Santos (2007,
p. 4) defende a Matemática Financeira como maneira de atribuir significados a outros
conteúdos Matemáticos:
Conhecer os conteúdos matemáticos que estão envolvidos nas atividades financeiras tais como os cálculos dos juros simples e compostos, os descontos, as capitalizações e amortizações de dívidas é, sem dúvida, uma forma agradável de dar significado a diversos conteúdos importantes da Matemática do Ensino Fundamental e Médio, tais como: Razões, Proporções, Porcentagem, Funções, Progressões Aritméticas e Geométricas, entre outros.
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Gallas (2013, p. 14-15), também acredita que a importância da Matemática
Financeira no Ensino Médio é necessária para que o aluno ingresse no mercado de
trabalho “Com o início das atividades profissionais este passa a envolver-se mais
diretamente com a utilização do dinheiro e é importante que ele saiba compreender
como funcionam as operações financeiras a que será submetido.” Segundo Gouveia
(2006, p. 12), “a Matemática Financeira nem sempre é trabalhada nas escolas de
Ensino Fundamental e Ensino Médio, e quando é oferecida, muitas vezes, fica longe
do contexto em que o aluno está inserido.” Cabe ao professor de Matemática também
abordar conteúdos que proporcionem uma relação com o seu cotidiano, e de forma a
preparar melhor o aluno par o seu futuro. A Matemática Financeira aparece na vida
dos alunos desde uma simples compra no seu dia a dia até um financiamento, como
por exemplo o FIES (Fundo de Financiamento Estudantil). Sendo assim fica evidente
a necessidade de se trabalhar a Matemática Financeira em sala de aula, visando que
os cidadãos despreparados financeiramente não possuem apenas comportamentos
prejudiciais a si mesmo, mas para a toda a sociedade (DUARTE; TASSOTE; DIAS;
VIANA, 2012).
2.2 MATEMÁTICA FINANCEIRA APRESENTADA NOS LIVROS DIDÁTICOS
O intuito deste trabalho era realizar uma proposta de ensino baseada em
conceitos da Matemática Financeira que não são abordados no ensino médio com
frequência, para tal realizou-se uma pesquisa em cinco livros didáticos de Matemática
de ensino médio, com o intuito de verificar quais tópicos da Matemática Financeira
estão sendo abordados e como estão sendo abordados pelos autores. Nascimento
(2004, apud REIS, 2013, p. 25) “acredita que os livros orientam as escolhas de
conteúdos de forma mais direta que os documentos oficiais”.
No livro Matemática Completa (GIOVANNI; BONJORNO, 2005), encontra-se
como um dos capítulos “Noções de Matemática Financeira”, o qual inicia após o
estudo dos tipos de funções. Este capítulo aborda os conteúdos de: porcentagem,
lucro e prejuízo, acréscimos e descontos sucessivos, juros simples, juros compostos,
a fórmula do montante, usando logaritmos no cálculo de juro composto, valor atual e
valor futuro.
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O conteúdo de porcentagem é o primeiro abordado pelo livro associado a
Matemática Financeira, começando com exemplos do uso da expressão por cento nos
meios de comunicação. Após descrever a origem epistemológica da palavra por cento,
os autores abordam os conceitos de lucro e prejuízo enfatizando situações de venda
de produtos. Acréscimos e descontos sucessivos são abordados da mesma forma que
o item anterior, também aborda sobre prazo exato e prazo comercial, intervalos de
tempo a qual a taxa de juros pode estar relacionada, ou seja, a.d. ( ao dia), a.m.( ao
mês) a.a. ( ao ano). O sétimo item, usando logaritmo no cálculo de juro composto, é
utilizado as propriedades dos logaritmos para resolver problemas que envolvam juro
composto e segue com o cálculo de valor futuro usando juros composto. Por fim
propõe alguns exercícios com o uso de calculadora, curiosidades sobre direitos do
consumidor e compra à vista ou a prazo.
O Livro Matemática (SMOLE; DINIZ, 2006) traz como unidade 1 “Noções de
Matemática Financeira”, a qual contém os tópicos: introdução, a linguagem da
Matemática Financeira, porcentagem, identificando dois tipos de juro, fórmula para
calcular juros simples, fórmula para calcular juros composto.
Na introdução o livro traz uma situação de empréstimo feito por uma pessoa
em uma agência bancária, em que a cliente calculou o juros de uma forma a qual não
coincidiu com o cálculo feito pelo gerente do banco. A Matemática Financeira neste
livro é descrita como sendo um ramo da Matemática, e por sua vez é bastante utilizada
no comércio, indústria e finanças. No segundo tópico, a linguagem da Matemática
Financeira, são definidos capital, juro, taxa de juro, prazo, e montante, as definições
são escritas de forma parecida com o livro anterior, de maneira sucinta. Em seguida
traz uma definição de porcentagem, e constata que “Situações de compra, venda,
prestações, aumentos e descontos, são exemplos de como as porcentagens
aparecem em nosso cotidiano” (SMOLE; DINIZ, 2006, p. 10). Posteriormente segue
com exercícios resolvidos, problemas e exercícios propostos. O quarto tópico,
identificando dois tipos de juros, menciona dois critérios ou regimes os quais fazem
crescer o montante, sendo de capitalização simples ou de capitalização composta,
nos quais esses dois sistemas também são conhecidos como juros simples e juros
compostos (SMOLE; DINIZ, 2006).
O diferencial deste livro em relação ao anterior, são os “Flash Matemático”
dos quais o primeiro traz a ideia de cobrar juros num contexto histórico, e o segundo
sobre funções e juros, em que “[...] o crescimento do capital inicial a juros simples é
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linear e a juros composto é exponencial” (SMOLE; DINIZ, 2006, p. 25). A relação de
juros e funções pode ser observada na Figura 2.1.
Figura 2.1 - Montante composto e montante simples
Fonte: Smole; Diniz (2006, p. 25)
Já no livro Matemática (DANTE, 2010) no capítulo 27, noções de Matemática
Financeira, encontra-se na quinta unidade, que compreende Estatística e Matemática
Financeira.
O livro começa o capítulo que trata da Matemática Financeira com um
exemplo de situação do dia-a-dia, em que se deseja saber se é mais vantajoso pagar
à vista ou em parcelas. Após a introdução o primeiro item estabelece uma relação de
proporção entre alguns números, sendo diretamente proporcionais ou inversamente
proporcionais. No terceiro tópico traz porcentagem, aumentos e descontos
sucessivos, com exemplos e exercícios. No quarto item deste capítulo: alguns termos
importantes de Matemática Financeira, define-se capital, tempo, taxa de juros, e
montante, com exemplos de utilização desses termos. O quinto e sexto tópicos são
juros simples e juros compostos. Em que na fórmula de montante utilizando sistema
de juros composto reconhece uma PG (Progressão Geométrica) de razão 1+ i.
Por fim, juros e funções, com exemplos de juros simples e juros compostos
como sendo função linear e função exponencial. E também apresenta a fórmula
fundamental da equivalência de capitais.
No livro Matemática (SOUZA, 2010), sendo o terceiro capítulo, Matemática
Financeira, o autor inicia com uma introdução, estudando Matemática Financeira,
seguido de porcentagem, acréscimos e descontos sucessivos, juros e funções,
sistema de amortização.
Inicialmente o autor traz no capitulo que “Ao realizarmos operações como
compra ou venda de produtos e serviços, aplicações ou empréstimos bancários,
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pagamento de impostos, cálculo de prestações, entre outros, estamos lidando com
elementos da Matemática Financeira” (SOUZA, 2010, p. 58). Trazendo assim
exemplos do cotidiano dos alunos com o uso da Matemática Financeira. Para o estudo
de alguns elementos da Matemática Financeira, inicialmente é relembrado alguns
conceitos de porcentagem, seguido de um grande número de exemplos, exercícios
resolvidos e atividades envolvendo situações-problema. Acréscimos e descontos
sucessivos também trazem inicialmente exemplos de situações em que são utilizados.
Os tópicos de juros simples, juros composto, juros e funções segue a mesma ideia
dos livros anteriores.
Em relação aos demais, este livro aborda sistema de amortização, em que o
autor utiliza a questão de empréstimos em situações de indisponibilidade de capital
para a aquisição um bem, e ao efetuar os pagamentos parciais para saldar a dívida
ocorre sua amortização.
No livro Matemática (RIBEIRO, 2011), como introdução do capítulo referente
Matemática Financeira, o autor aborda uma das maiores crises financeiras ocorrida
nos Estado Unidos, mencionando que o auge desta crise ocorreu em 2008. Com base
nisso descreve a crise em quatro momentos, imóveis valorizados, títulos lastreados,
juros altos e queda dos preços, perda dos bancos. Após esse contexto aborda
conceitos de proporcionalidade e porcentagem, para então estudar alguns
instrumentos da Matemática Financeira. Proporção numérica envolve conceitos de
razão e proporção de maneira breve, em seguida porcentagem, que contém uma
definição, exemplos contextualizados, e exercícios. Acréscimo e desconto, em que
são discutidos acréscimos simples, acréscimos simultâneos, acréscimos sucessivos,
em que também é dado o exemplo de inflação como sendo um acréscimo,
posteriormente descontos, descontos simples, simultâneos e sucessivos. E por fim
traz alguns termos da Matemática Financeira e conceito de juros, juros simples e
composto, juros e funções. Também encontra-se algumas discussões e sugestões de
leituras como: compra à vista ou a prazo, investimentos e dinheiro.
Observa-se que todos os livros analisados trazem conceitos de porcentagem,
juros simples e juros composto e termos da Matemática Financeira como: montante,
capital, juros e prazo. Acréscimos e descontos sucessivos aparece em três dos cinco
livros verificados, valor atual e valor futuro é abordado em dois livros, podendo ser em
um deles o valor futuro interpretado como montante. Lucro e prejuízo encontra-se em
apenas um dos livros, assim como sistemas de amortização. A relação de juros
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simples com função linear e juro composto com função exponencial e progressão
geométrica como recomendado nas Diretrizes Curriculares da Educação Básica do
Paraná, podem ser encontradas em alguns dos livros pesquisados. Outros temas
sugeridos pelos PCN, como compra à vista e a prazo e modalidades de juros
bancários também são encontrados em alguns desses livros, muitas vezes como
sugestões de leitura ou curiosidades do fim do capítulo, o que pode acabar não sendo
utilizado pelo professor em sala de aula ou até mesmo os juros bancários que
aparecem juntamente com grandes listas de exercícios que podem não ser feitas
pelos alunos.
Contudo percebe-se uma certa escassez de atividades exploratórias que
atribuam sentido para os alunos utilizando-se de conceitos da Matemática Financeira
contextualizadas com situações do cotidiano, em que os mesmo terão que tomar
decisões que podem comprometer suas vidas financeiramente. Tais atividades
poderiam ser substituídas pelas inúmeras e grandiosas listas de exercícios
encontradas em alguns livros, que são repetitivos ou que empregam apenas o uso de
fórmulas prontas para a resolução sem significado para o aluno.
2.3 CONCEITOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA
Há vários conceitos da Matemática Financeira abordados nos livros didáticos
e relacionados com outros conceitos da Matemática, que são ensinados na educação
básica. Alguns desses conceitos, técnicas e formulações extraídas da Matemática
serão abordados e utilizados neste trabalho.
2.3.1 Porcentagem
“A porcentagem corresponde à parte considerada de um total de 100 partes.
Para indicá-la, utilizamos o símbolo %. Toda razão 𝑥
𝑦, com y=100, é denominada taxa
percentual.” (SOUZA, 2013). Um percentual do tipo “c por cento” (c%) representa c
19
dividido por 100 (c/100). A expressão “por cento” deriva do latim per centum, que
significa “um em cem” ou “por um cento”. Existe duas formas básicas de notação de
valores:
Forma unitária: exibe o número puro, permitindo operações algébricas.
Exemplo: 0,06.
Forma percentual: exibe o número que deve ser dividido por 100. Não
permite operação algébrica imediata. Exemplo: 3%.
2.3.2 Juros
O juro é a remuneração do capital emprestado por um determinado período.
Assim o juro pode ser entendido como o aluguel pago pelo dinheiro que foi usado. Os
fatores os quais influenciam no valor dos juros imposto pelo possuidor do dinheiro são:
1. Risco: probabilidade de o tomador do empréstimo não resgatar o dinheiro. 2. Despesas: todas as despesas operacionais, contratuais e tributárias para a formalização do empréstimo e à efetivação da cobrança. 3. Inflação: índice de desvalorização do poder aquisitivo da moeda previsto para o prazo do empréstimo. 4. Ganho (ou lucro): fixado em função das demais oportunidades de investimentos (“custo de oportunidade”); justifica-se pela privação por parte do seu dono, da unidade do capital (SOBRINHO, 2013, p. 19).
As seguintes expressões podem representar conceitos de juros:
a) Remuneração do capital empregado em atividades produtivas; b) Custo do capital de terceiros; c) Remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas aplicado (PUCCINI, 2004, p. 2).
Portanto o juro deve apresentar uma remuneração ao proprietário pelo risco
envolvido na operação de empréstimo ou aplicação, o qual é representado pela
incerteza em relação ao futuro do capital emprestado ou aplicado. O juro deve trazer
um ganho ao proprietário do dinheiro em função da privação do uso do dinheiro em
determinado tempo e pela perda do poder de aquisição desencadeado pela inflação.
(BRUNI; FAMÁ, 2010).
20
2.3.2.1 Taxa de juros
Taxa de juros é a razão entre o juro recebido no final de um certo período de
tempo e o capital inicial aplicado ou emprestado (SOBRINHO, 2013). Esta razão é
especificada do seguinte modo:
𝑖 =𝐽
𝑃
Em que i é a taxa de juros, J o valor do juro e P o valor do capital inicial. A
taxa de juros pode ser acompanhada do intervalo de tempo em que se aplica, sendo
que os principais intervalos de tempo utilizado são: ao dia (a.d), ao mês (a.m.), ao ano
(a.a.), ao semestre (a.s.), ao trimestre (a.t). As taxas de juros são usualmente
representadas na forma percentual.
2.3.3 Capital inicial ou valor presente
“É a quantidade de moeda (ou dinheiro) que um indivíduo tem disponível e
concorda em ceder a outro, temporariamente, mediante determinada renumeração.”
(BRUNI; FAMÁ, 2010). O Capital é sempre colocado na data focal 0 (zero), que é o
momento em que é realizado a operação financeira. O Valor presente (VP) é o valor
de uma operação financeira em uma data presente, ou seja antes do vencimento da
operação, ficando entre o Capital e o Montante. No caso de uma operação financeira
iniciada hoje, o VP e o capital inicial coincidem, por este motivos podem ser usados
como sinônimos (PUCCINI, 2007).
2.3.4 Montante ou valor futuro
É a soma do capital inicial mais o juro produzido em um determinado período
de tempo, que ocorreu uma aplicação ou operação financeira. O montante é o
resultado da aplicação do capital inicial, ou seja a quantidade de moeda (ou dinheiro)
21
que poderá ser usufruída no futuro. Em alguns casos como operações de desconto
comercial, o valor futuro também pode ser denominado por valor nominal (BRUNI;
FAMÁ, 2010). Para Puccini (2007, p.17) “Valor futuro (FV) é o valor de uma operação
financeira em qualquer data compreendida entre a data presente e o vencimento da
operação.” Em que Valor futuro também pode ser utilizado como sinônimo de
Montante. O valor do montante pode ser obtido através da equação (1):
𝑀 = 𝑃 + 𝐽 (1)
Em que M representa o montante, P o capital inicial e J o valor do juros.
2.3.5 Prazo ou tempo
É o tempo ou período durante o qual um capital recebe juros, ou que é
realizado a operação financeira. O prazo pode ser expresso em dias, meses,
trimestres, anos etc (ROVINA, 2009). Na Matemática Financeira pode-se referir ao
tempo também como período de capitalização. É importante destacar que a taxa de
juros e o número de períodos em que ocorre a capitalização deve estar na mesma
base.
Correntemente nas aplicações as taxas são expressas de forma anual, e os
prazos fixados em dias. A curto prazo geralmente adota-se o regime de capitalização
simples, tornando-se necessário o cálculo da taxa de juros proporcional referente a
um dia. Neste caso pode-se ter dois enfoques dependendo do número de dias
adotados para o ano, em que se tem o ano civil e o ano comercial. (BRUNI; FAMÁ,
2010).
No ano civil utiliza-se 365 dias ou 366 dias (ano bissexto), no qual o número
de dias de cada mês pode ser obtido através do calendário, levando-se em conta os
meses com 30 ou 31 dias, e fevereiro com 28 dias ou 29 (ano bissexto). Assim o
cálculo de juro exato é obtido através do período do ano civil. No ano comercial utiliza-
se 360 dias, no qual os meses tem sempre 30 dias, neste período o juros pode ser
simples ou compostos (MATHIAS; GOMES, 2013).
22
2.3.6 Capitalização simples
No regime de capitalização simples a taxa de juros incide somente sobre o
capital inicial, não incidindo sobre o juros acumulados. Neste regime o juros variam
linearmente em função do tempo (SOBRINHO, 2013). Sendo este juro chamado de
Juros Simples, seu cálculo pode ser obtido através da expressão:
𝐽 = 𝑃. 𝑖. 𝑛
Em que n é o número de períodos da capitalização, P é o capital inicial e i o
valor da taxa de juros. O crescimento do juro no regime de capitalização simples pode
ser observado na figura 2.2, em que tem-se um exemplo do crescimento de um
investimento de R$1.000,00 a juros simples de 8% a.a., no período de quatro anos.
Figura 2.2. - Juro Simples.
Fonte: Puccini (2004, p.14)
Na capitalização simples o juros incide somente sobre o capital inicial. Pode-
se expandir os conceitos a fim de se obter uma equação que possibilite calcular o
juros em qualquer período n, e por fim obter uma equação que permita obter o
montante M em qualquer período da capitalização simples.
Em um período tem-se que o Juro é igual a:
𝐽 = 𝑃. 𝑖 (2)
Para dois períodos:
𝐽 = 𝑃. 𝑖 + 𝑃. 𝑖 = 𝑃. 𝑖. 2 (3)
Para três períodos obtém-se:
𝐽 = 𝑃. 𝑖 + 𝑃. 𝑖 + 𝑃. 𝑖 = 𝑃. 𝑖. 3 (4)
Logo soma-se n vezes P.i, assim obtém-se:
23
𝐽 = 𝑃. 𝑖 + 𝑃. 𝑖. +𝑃. 𝑖 + 𝑃. 𝑖 + ⋯ = 𝑃. 𝑖. 𝑛 (5)
Agora substituindo a equação (5) em (1) para obter uma equação que
representa o montante em qualquer período no regime de capitalização simples, tem-
se:
𝑀 = 𝑃 + 𝑃. 𝑖. 𝑛 (6)
Colocando P em evidência obtém-se:
𝑀 = 𝑃( 1 + 𝑖. 𝑛) (7)
Podemos relacionar (7) com uma Progressão Aritmética (P.A), em que an é o
Montante ao final de n períodos, a1 o Capital inicia representado por P, e r a razão
obtida por P.i, que representa o juros J, obtendo:
𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑟(𝑛 − 1) Fórmula do termo geral da P.A
𝑀𝑛 = 𝑃 + 𝑃. 𝑖(𝑛 − 1) Montante no regime de capitalização simples. (8)
2.3.7 Capitalização composta
No regime de capitalização composta os juros de cada período são
adicionados ao capital, formando assim um novo capital para o cálculo dos novos juros
no período seguinte. Matematicamente a taxa do seu crescimento ou decrescimento
varia exponencialmente em função do tempo, sendo assim analisado como uma
função exponencial (BRUNI; FAMÁ, 2010). Pode-se observar o crescimento
exponencial de um investimento com taxa de juros composto na Figura 2.3, podendo
assim comparar com o crescimento linear do juros simples, e observar a diferença do
montante em cada regime.
24
Figura 2.3. - Juro Composto.
Fonte: http://www2.anhembi.br/html/ead01/mat_financeira/site/lu04/lo1/index.htm
Para a demonstração da equação do cálculo do montante no sistema de juro
composto tem-se que:
Para um período utilizando-se da equação (6) o juros é dado pelo capital inicial
mais o juros, com n=1, como na capitalização simples, logo:
𝑀1 = 𝑃 + 𝑃. 𝑖 (9)
Colocando P em evidência, obtém-se que M1 é igual a:
𝑀1 = 𝑃(1 + 𝑖) (10)
Para dois períodos, obtém-se que o montante (M2) será o montante do
primeiro período (M1) mais M1 multiplicado pela taxa de juros que será o novo capital
acumulado obtendo assim:
𝑀2 = 𝑀1 + 𝑀1. 𝑖 (11)
Desta maneira, colocando M1 em evidência, M2 será igual a:
𝑀2 = 𝑀1(1 + 𝑖) (12)
Substituindo M1 por (10) em (12):
𝑀2 = 𝑃(1 + 𝑖). (1 + 𝑖) (13)
Aplicando-se propriedade de potências em (13), obtém-se:
𝑀2 = 𝑃(1 + 𝑖)2 (14)
Para três períodos, o montante (M3) será o montante do segundo período (M2)
mais M2 multiplicado pela taxa de juros i, tendo assim:
𝑀3 = 𝑀2 + 𝑀2. 𝑖 (15)
Substituindo (14) em (15), obtém-se:
𝑀3 = 𝑃(1 + 𝑖)2 + 𝑃(1 + 𝑖)2. 𝑖 (16)
Colocando P(1+i)2 em evidência, encontra-se:
25
𝑀3 = 𝑃(1 + 𝑖)2(1 + 𝑖) (17)
Aplicando-se propriedade de potências em (17):
𝑀3 = 𝑃(1 + 𝑖)3 (18)
Da mesma forma segue o montante para n períodos (Mn) no regime de
capitalização composta:
𝑀𝑛 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 (19)
Ao contrário do juros simples, no sistema de juro composto pode-se observar
que obtém-se uma Progressão Geométrica (P.G), pois pode ser interpretado como
uma sucessão de números em que cada um exceto o primeiro é igual ao antecedente
multiplicado pela razão, que neste caso será o montante anterior multiplicado pela
taxa de juros, em que Mn será o enésimo termo da P.G, P será o primeiro termo e a
razão será (1+i), e n o número de termos. Logo ao final de n períodos, resultará em:
𝑎𝑛 = 𝑎1. 𝑞(𝑛−1) Fórmula do termo geral da P.G
𝑀𝑛 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛−1 (20)
É importante destacar que a contagem na Matemática Financeira é feita ao
final de cada período.
2.3.8 Empréstimos
A dívida surge quando uma dada importância é emprestada por um certo
prazo. Quem assume a dívida deve pagar o capital emprestado mais o juros devidos
durante o prazo estipulado. Os empréstimos podem ser caracterizados em curto,
médio, ou longo prazo (MATHIAS, GOMES, 2013).
Os empréstimos de curto ou médio prazo normalmente devem ser saldados
em até três anos. Já os empréstimos à longo prazo podem ser restituídos em várias
modalidades, em que as condições para o pagamento são previamente estipuladas
por contrato entre as partes, credor e devedor. (MATHIAS, GOMES, 2013). Tais
modalidades são os Sistemas de Amortização.
26
2.3.9 Sistema de amortização
Entende-se por amortização “a fração (parte) do capital paga ou recebida em
um determinado período (data)” (ROVINA, 2009, p.24). A representação da
amortização será feita por A.
Para falar sobre sistema de amortização precisa-se definir séries de
pagamentos e prestação. As séries de pagamentos podem ser entendidas como uma
sucessão de pagamentos ou recebimentos com vencimentos sucessivos.
Prestação “é o pagamento efetuado ao longo da série de pagamentos, sendo
composta de uma parcela de capital, chamada amortização e uma parcela de juros”
(ROVINA, 2009, p.25). A prestação pode ser representada pela seguinte equação:
𝑃𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çã𝑜 = 𝐴 + 𝐽 (21)
Sendo A amortização e J o juros.
Pode-se construir uma série de pagamentos utilizando qualquer um dos
sistemas de capitalização de juros, ou seja, juros simples ou juros compostos. O
retorno financeiro e as prestações serão diferentes conforme o regime de
capitalização de juros escolhidos. O prazo também influencia nos valores de juros
recebidos ou pagos, quanto maior o prazo maior será o valor (ROVINA, 2009).
As classificações dos sistemas de amortizações são usualmente feitas com
base na forma de cálculo das anuidade (BRUNI; FAMÁ, 2010). Pode-se classificar os
sistemas de amortizações em três tipos principais: americano, francês ou constantes.
O sistema de amortização francês é muito utilizado em todos os setores financeiros e
de capitais, enquanto o sistema de amortização constante é um dos mais utilizados
pelo Sistema Financeiro de Habitação, utilizado principalmente nas operações de
financiamento de casa própria. No sistema de americano é bastante utilizado nas
operações de empréstimos (SOBRINHO, 2013).
2.3.9.1 Sistema de amortização francês (tabela Price):
O sistema de amortização francês é conhecido no Brasil como “Sistema da
tabela Price” ou “Tabela Price”, sendo esta um caso particular do sistema francês. O
27
nome Tabela Price, se deve ao matemático, filósofo e teólogo inglês Richard Price,
que incorporou a teoria dos juros compostos às amortizações de empréstimos, no
século XVIII, sendo que este sistema foi desenvolvido efetivamente na França. A
Tabela Price, nada mais é que uma tabela que contém os índices mais usuais já
levando em conta a taxa de juros proporcionais (MATHIAS; GOMES, 2013).
No sistema francês de amortização, as prestações de amortização da dívida
são periódicas, iguais e sucessivas, dentro do conceito de termos vencidos. Isto não
implica que as prestações devem ser necessariamente mensais, podem ser
trimestrais, anuais e etc. As prestações são compostas por duas parcelas: uma de
juros e a outra do capital (amortização). A dívida é saldada ao final da última
amortização (SOBRINHO, 2013)
A parcela do juros é obtida multiplicando-se o saldo devedor do período
anterior pela taxa de juros e a parcela de amortização é obtida diminuindo a parcela
de juros da prestação. Neste sistema as amortizações são crescentes, enquanto os
juros são decrescentes, pois a medida que são pagas as prestações o saldo devedor
diminui, logo os juros calculados sobre este será menor, e sendo as prestações iguais,
tem-se que as parcelas de amortizações serão maiores.
Figura 2.4 - Juro Composto.
Fonte: Mathias; Gomes (2013, p. 285).
A fórmula para o cálculo das prestações é dada por:
𝑝 = 𝑃 [(1+𝑖)𝑛×𝑖
(1+𝑖)𝑛−1] (22)
Em que p representa a prestação, i a taxa de juros, P o valor do capital inicial
e n o número de prestações ou o período de tempo. Para a demonstração da fórmula
(22), observa-se inicialmente que:
Seja um empréstimo feito em n prestações, calcula-se o juros das prestações
na última data ou seja n, pois ao final do prazo a dívida deve ser quitada devolvendo
28
o capital mais os juros no regime composto. Portanto a primeira prestação capitaliza
juros de (n-1) períodos, pois é contado ao final de cada período, e seu valor futuro ao
final do período n é p1(1+i)n-1, lembrando que o juros no sistema francês é
decrescente. A segunda prestação capitaliza juros durante (n-2) períodos, e seu valor
futuro ao final do último período será p2(1+i)n-2 . Na penúltima prestação, os juros
capitalizados serão referentes a somente um período, desta forma a prestação é dada
por pn-1(1+i), e a última será apenas pn, pois o juros serão referentes a zero períodos.
Como neste sistema todas as prestações são iguais, tem-se que p=p1= p2 =...=pn-1=pn.
Logo o valor futuro (VF) obtido ao final das prestações é:
𝑉𝐹 = 𝑝(1 + 𝑖)𝑛−1 + 𝑝(1 + 𝑖)𝑛−2 + 𝑝(1 + 𝑖)𝑛−3+. . . +𝑝(1 + 𝑖) + 𝑝 (23)
Como em (23) p é constante, pode-se colocar em evidência:
𝑉𝐹 = 𝑝[(1 + 𝑖)𝑛−1 + (1 + 𝑖)𝑛−2 + 𝑝(1 + 𝑖)𝑛−3+. . . +(1 + 𝑖) + 1] (24)
Observa-se que a equação (24) é um P.G decrescente, com o primeiro termo
a1=(1 + 𝑖)𝑛−1, razão q=1
1+𝑖 e n a quantidade de termos. A soma dos termos de uma
P.G é dada por:
𝑆𝑃.𝐺 =𝑎1(𝑞𝑛−1)
𝑞−1 (25)
Em que SP.G representa a soma da P.G. Substituindo em (25) a1 por
(1 + 𝑖)𝑛−1, e q por 1
1+𝑖 obtém-se:
𝑆𝑃.𝐺 =(1+𝑖)𝑛−1 [(
1
1+𝑖)
𝑛−1]
1
1+𝑖−1
(26)
De (26) tem-se:
𝑆𝑃.𝐺 ={(1+𝑖)𝑛−1[(
1
1+𝑖)
𝑛−1]}.−(1+𝑖)
𝑖 (27)
Fazendo a distribuição da multiplicação em relação a adição em (27):
𝑆𝑃.𝐺 ={(1+𝑖)𝑛−1.(1+𝑖)−𝑛−(1+𝑖)𝑛−1}.−(1+𝑖)
𝑖 (28)
Somando os expoentes dos das potências de mesma base, pela propriedade
de multiplicação de potências, em (28) encontra-se:
𝑆𝑃.𝐺 ={(1+𝑖)−1−(1+𝑖)𝑛−1}.−(1+𝑖)
𝑖 (29)
Colocando -1 de –(1+i) em evidência e multiplicando (1+i) pelos temos dentro
da chave em (29):
𝑆𝑃.𝐺 ={(1+𝑖).(1+𝑖)−1−(1+𝑖).(1+𝑖)𝑛−1}.−1
𝑖 (30)
29
Somando os expoentes dos termos iguais em (30):
𝑆𝑃.𝐺 =(1−(1+𝑖)𝑛).−1
𝑖 (31)
Multiplicando os termos dentro dos parênteses por -1 em (31):
𝑆𝑃.𝐺 =(1+𝑖)𝑛−1
𝑖 (32)
Substituindo dentro dos colchetes da equação (24) o resultado encontrado em
(32), obtém-se:
𝑉𝐹 = 𝑝. [(1+𝑖)𝑛−1
𝑖] (33)
Como o valor futuro é igual VF=P(1+i)n, pode-se igualar a equação (19) com
a equação (33):
𝑃(1 + 𝑖)𝑛 = 𝑝. [(1+𝑖)𝑛−1
𝑖] (34)
Agora isolando p em (34), encontra-se (22):
𝑝 = 𝑃 [(1+𝑖)𝑛.𝑖
(1+𝑖)𝑛−1]
Como queria-se demonstrar.
Para o cálculo da parcela de juros de determinada prestação de ordem t, no
sistema de amortização francês, utiliza-se:
𝐽 = 𝑖. 𝑝. [(1+𝑖)𝑛−𝑡+1−1
(1+𝑖)𝑛−𝑡+1.𝑖] (35)
2.3.9.2 Sistema de amortização constante (SAC)
Segundo Sobrinho (2013, p. 230) “Este sistema é extremamente simples. Sua
denominação deriva da sua principal característica, ou seja, as amortizações
periódicas são todas iguais ou constantes[...]”
No SAC o plano de amortização de uma dívida são feitas em prestações
periódicas, sucessivas e decrescentes em que para Sobrinho (2013, p. 230) “[..] em
progressão aritmética, dentro do conceito de termos vencidos, em que cada prestação
é composta por uma parcela de juros e outra parcela de capital (ou amortização). Para
Rovina (2009, p. 85) “[...] a P.A. verificada no caso do SAC não identifica o regime de
juros, é simplesmente uma consequência de um processo matemático.”
30
Neste sistema as parcelas de amortização são iguais, ou seja, são obtidas
dividindo o valor do empréstimo pelo número de prestações, os juros incidem sobre o
saldo devedor, sendo obtido multiplicando a taxa de juros pelo saldo devedor, desta
forma cada prestação é constituída pela amortização, que será o valor das parcelas
iguais, mais o juros sobre o saldo devedor anterior. O saldo devedor é obtido através
da multiplicação da amortização pelo número de prestações restantes.
Tem-se então que o saldo devedor de ordem t é dado por:
𝑆𝑡 = 𝐴(𝑛 − 𝑡) (36) Em que St representa o saldo devedor de ordem t, e n o número de prestações
ou período. Já para o saldo devedor de ordem t-1 tem-se:
𝑆𝑡−1 = 𝑆𝑡 + 𝐴 = 𝐴(𝑛 − 𝑡) + 𝐴 = 𝐴(𝑛 − 𝑡 + 1) (37)
Em que St é o saldo devedor de ordem t, A o valor de amortização e n o
número de prestações. Com as equações (36) e (37), obtém-se o valor da parcela de
juros de ordem t:
𝐽𝑡 = 𝑖. 𝐴(𝑛 − 𝑡 + 1) (38)
Figura 2.5Representação do Sistema de Amortização Constante.
Fonte: Mathias; Gomes (2013, p. 285)
Para Rovina (2009, p. 94) “o método SAC é a linearização da Tabela Price.”
Pois enquanto na Tabela Price o juros descrevem uma curva, no SAC os juros
descrevem uma reta.
Sendo um empréstimo ou financiamento concedido no SAC em um
determinado valor, pago em n prestações (p) obtém-se:
𝑝2 − 𝑝1 = 𝑝3 − 𝑝2 = 𝑝4 − 𝑝5 = … = 𝑝𝑛 − 𝑝𝑛−1 …
Ou seja, subtraindo do valor de uma prestação o valor da prestação anterior,
obtém-se o mesmo valor, esse valor representa a razão de uma P.A, porém esta P.A
está referenciada somente na matemática, e não guarda vínculo com a matemática
financeira (ROVINA, 2009).
31
2.3.9.2.1 SAC com prazo de carência e prazo de utilização unitário
O prazo de carência corresponde ao período compreendido entre o prazo de
utilização e o pagamento da primeira amortização. Durante o prazo de carência o
tomador do empréstimo só paga os juros. Também é possível que o juros devido
durante o prazo de carência seja capitalizado e pago posteriormente, desse modo não
haverá desembolsos durante este prazo (MATHIAS; GOMES, 2013).
Seja P o valor emprestado por uma empresa, concedido no ato pelo banco, e
sendo k o prazo de carência, sabendo que os juros J serão pagos anualmente, sobre
uma taxa i de juros a.a. e que o principal será amortizado (A) em n parcelas iguais,
tem-se que a dívida será saldada com prestações constituídas de A + J, e os juros
que compõem cada prestação p incidem sobre o saldo devedor do ano anterior. Na
data 0 em que houve o ato do empréstimo o saldo devedor é t, e não há prestação.
Durante o período de carência as prestações são compostas da seguinte forma:
(𝑘1) 𝑝 = 𝑃. 𝑖 (𝑘2) 𝑝 = 𝑃. 𝑖 (𝑘3) 𝑝 = 𝑃. 𝑖 . . .
𝑘𝑚 𝑝 = 𝑃. 𝑖 (39)
Assim as prestações são compostas somente pelo juros sobre o saldo
devedor inicial, não tendo amortização durante o prazo de carência. Após o período
do prazo de carência, as prestações são formadas pelas amortizações mais os juros,
até a última parcela de amortização:
𝑝 = 𝐴1 + 𝑃. 𝑖 𝑝 = 𝐴2 + (𝑃 − 𝐴1). 𝑖 𝑝 = 𝐴3 + (𝑃 − 𝐴2). 𝑖 𝑝 = 𝐴4 + (𝑃 − 𝐴3). 𝑖 . . .
𝑝 = 𝐴𝑛 + (𝑃 − 𝐴(𝑛−1)). 𝑖 (40)
Sendo o total pago a soma de todas as prestações, do período de carência
até a última amortização.
32
2.3.9.2.2 SAC com prazo de carência, juros capitalizados e prazo de utilização unitário
Em alguns casos como a implantação de uma fábrica por exemplo, as partes
podem combinar o não-pagamento dos juros durante o período de carência. Desse
modo os juros foram capitalizados durante a carência. Como se a entidade
financiadora tivesse concedido um empréstimo adicional para o pagamento de juros.
(MATHIAS; GOMES, 2013). Podendo ter dois casos:
a) As amortizações são calculadas em relação ao valor inicial emprestado e os juros capitalizados são pagos no primeiro ano de amortização. b) As amortizações são calculadas em relação ao valor inicial emprestado mais os juros capitalizados durante a carência. (MATHIAS; GOMES, 2013, p. 288).
No item a, durante o período de carência não há prestações a serem pagas,
e no primeiro ano de amortização, ou seja, na primeira parcela de amortização a
prestação é formada somando a amortização mais o juros capitalizados de forma
composta durante o período de carência e o juros sobre o saldo devedor anterior,
tendo assim:
𝑝1 = 𝐴1 + ((𝑃(1 + 𝑖)𝑘 − 𝑃) + (𝑃(1 + 𝑖)𝑘). 𝑖) (41)
As demais prestações são obtidas como no item anterior:
𝑝 = 𝐴2 + (𝑃 − 𝐴1). 𝑖 𝑝 = 𝐴3 + (𝑃 − 𝐴2). 𝑖 𝑝 = 𝐴4 + (𝑃 − 𝐴3). 𝑖 . . .
𝑝 = 𝐴𝑛 + (𝑃 − 𝐴(𝑛−1)). 𝑖 (42)
No caso b após o fim do período de carência, em que o juro é calculado sobre
o saldo devedor no regime de capitalização composta, a amortização é constituída
dividindo o saldo devedor após o final do período de carência mais o juro sobre o saldo
devedor até então, em n parcelas iguais. E as prestações são constituídas da
amortização mais o juro sobre o saldo devedor anterior, exceto na primeira prestação
em que não há juros a pagar, pois este será dividido somado junto com o valor da
amortização e posteriormente dividido pelo número de parcelas acordados. Desta
forma no período de carência não há prestações, o valor da amortização é obtido da
seguinte maneira:
33
𝐴 = 𝑃.(1+𝑖)𝑘+(𝑃(1+𝑖)𝑘).𝑖
𝑛 (43)
E a primeira prestação:
𝑝1 = 𝐴1
As demais prestações são obtidas da seguinte maneira:
𝑝 = 𝐴2 + (𝑃(1 + 𝑖)𝑘 − 𝐴1). 𝑖 𝑝 = 𝐴3 + (𝑃(1 + 𝑖)𝑘 − 𝐴2). 𝑖 𝑝 = 𝐴4 + (𝑃(1 + 𝑖)𝑘 − 𝐴3). 𝑖 . . .
𝑝 = 𝐴𝑛 + (𝑃(1 + 𝑖)𝑘 − 𝐴(𝑛−1)). 𝑖 (44)
Desta forma o saldo devedor considerado a partir da segunda prestação é o
saldo obtido durante o período de carência, com juros compostos, diminuído da
amortização anterior.
2.3.9.2.3 SAC com prazo de carência e prazo de utilização não-unitário
Neste caso, o valor P será concedido pelo banco em duas parcelas iguais,
defasadas em 1 ano, e as demais condições são as mesmas apresentadas em
2.3.9.2.1 e 2.3.9.2.2. Sendo assim na data zero (0), o valor concedido pelo banco será
𝑃
2 , não tendo prestações, no período de carência as prestações são formadas
somente pelo juros sobre o saldo devedor anterior, a uma taxa i. Após o período de
carência as prestações são:
𝑝 = 𝐴1 + 𝑃. 𝑖 𝑝 = 𝐴2 + (𝑃 − 𝐴1). 𝑖 𝑝 = 𝐴3 + (𝑃 − 𝐴2). 𝑖 𝑝 = 𝐴4 + (𝑃 − 𝐴3). 𝑖 (45)
Comparando com a seção 2.3.9.1 pode-se observar que com exceção da
primeira prestação no prazo de carência, as demais são iguais, neste sentido o único
efeito do prazo de utilização não-unitário é gerar um fluxo de prestações mais
uniformes (MATHIAS; GOMES, 2013).
34
3 PROPOSTA DE ENSINO DE SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO COM OBJETO DE
APRENDIZAGEM CONSTRUIDO NO SOFTWARE GEOGEBRA
A proposta de ensino deste trabalho é voltada para o ensino médio e tem
como objetivo a exploração de um objeto de aprendizagem do software GeoGebra a
fim de se identificar e/ou comparar como funciona o Sistema de Amortização
Constante (SAC) e o Sistema de Amortização Francês (PRICE). Foram elaboradas 4
tarefas, sendo que as duas primeiras tem o objetivo de que os alunos analisem e
compreendam como cada item, juros, parcela de amortização e prestação é composto
em cada sistema de amortização. A terceira tarefa tem objetivo de realizar uma
comparação entre os dois sistemas de amortização para que o aluno com este estudo
saiba decidir por um melhor sistema em determinadas condições. A quarta tarefa é
referente ao comportamento das funções que descrevem a parcela de juros,
amortização e prestação em cada tipo de sistema de amortização.
Logo para a proposta de ensino deste trabalho utiliza-se de tecnologias para
a construção de um objeto de aprendizagem que servirá de base para as análises dos
alunos, pois não estamos interessados na construção do arquivo como proposta de
ensino, mas sim que os alunos ao explorarem o objeto entendam como funciona os
dois tipos de sistema de amortização abordados nesta proposta e possam realizar um
comparativo entre os dois. Acredita-se que tendo os valores já calculados os alunos
podem compreender como estes valores foram calculados e como seria para qualquer
valor, o que é mais significativo do que apenas calcular valores.
3.1 TECNOLOGIAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA E O SOFTWARE GEOGEBRA
“As tecnologias de informação e comunicação têm vindo a revolucionar os
modos de trabalho de todas as áreas profissionais e até o nosso dia-a-dia” (PONTE,
2014, p.353). As tecnologias constituem uma ferramenta poderosa à disposição da
escola e do professor, permitindo definir novos objetivos para a aprendizagem dos
alunos e novos modos de trabalho em sala de aula (PONTE, 2014).
Segundo Brito e Purificação (2006, p. 23):
35
[...] estamos em mundo no qual as tecnologias interferem no dia a dia, por isso, é importante que a educação também envolva a democratização do acesso ao conhecimento, à produção e a interpretação das tecnologias.
O uso das tecnologias se torna cada vez mais intenso no dia a dia das
pessoas e a educação também deve acompanhar essas mudanças, pois segundo
Miskulin (2009, p. 153) “As tecnologias da informação e comunicação (TICs)
pressupõem novas formas de gerar, dominar e disseminar o conhecimento.” Os
educadores devem estar abertos a essas novas formas do saber, novas maneiras de
gerar e dominar o conhecimento tornando as TICs partes integrantes da realidade do
aluno. Segundo Miskulin (2009, p. 164):
A finalidade de trabalhar em um laboratório com um ambiente computacional de aprendizagem colaborativa é a troca de informações e experiências entre professores, alunos e pesquisadores, visando a exploração e à construção de um conhecimento elaborado de maneira conjunta, no qual a interlocução e reflexão conjunta dos participantes promovem aprendizagem compartilhada.
Para Dreyfus (1999, apud, SANTOS, 2011, p.75) “o uso de um ambiente de
aprendizagem computacional no Ensino da Matemática pode favorecer os Processos
do Pensamento Matemático Avançado tais como a visualização, observação,
abstração e a generalização.”
Segundo as Orientações Curriculares para o Ensino Médio é importante que
a formação escolar contemple dois sentidos no que diz respeito as tecnologias no
ensino da matemática “a Matemática como ferramenta para entender a tecnologia, e
a tecnologia como ferramenta para entender a Matemática.” (2006, p. 87). Também
afirma que “[...] pensando na Tecnologia para a Matemática, há programas de
computador (softwares) nos quais os alunos podem explorar e construir diferentes
conceitos matemáticos.” (2006, p. 88).
Este trabalho utiliza-se como objeto de aprendizagem um arquivo construído
no software GeoGebra. Para Sampaio (2013, p. 42):
GeoGebra é um aplicativo de matemática dinâmica que associa geometria, álgebra, aritmética e cálculo. Sua distribuição é livre, nos termos da GNU, e é escrito em linguagem JAVA, o que lhe permite estar disponível em várias plataformas.
Este software foi desenvolvido por Markus Hohenwarter e uma equipe
internacional de programadores com o objetivo de facilitar o ensino e aprendizagem
da matemática. Uma forma de utilizar o GeoGebra é como ferramenta para a
36
construção de aplicativos voltados para o uso específico de um tema da matemática,
podendo ser apresentado na sua janela de visualização construções que abordem
determinados conteúdos e que permitem a interatividade com o usuário (SAMPAIO,
2013).
3.2 O OBJETO DE APRENDIZAGEM
O objeto de aprendizagem deste trabalho consiste em um objeto desenvolvido
no software GeoGebra na versão 5.0.166.0-3D, que pode ser encontrado no site do
GeoGebra: https://tube.geogebra.org, buscando pelo nome de Sistemas de
Amortização, no perfil de Patrícia Andressa Maieski, ou diretamente no endereço:
https://tube.geogebra.org/material/simple/id/1854711. (Figura 3.1.)
Figura 3.1 - Sistemas de Amortização
Fonte: A autora.
O objeto está dividido em quatro grupos distintos de opções. No grupo “Dados
da Amortização”, (Figura 3.2), contém três campos de entradas em que devem ser
inserido os seguintes dados: Capital (P), Taxa de juros (i) e Número de parcelas (n),
referentes a um determinado financiamento, empréstimo ou aplicação.
37
Figura 3.2 - Inserir dados.
Fonte: A autora.
O grupo “Seleção do Sistema de Amortização”, possibilita selecionar dois
tipos de sistema de amortização, a opção Price do Sistema de Amortização Francês,
e a opção SAC do Sistema de Amortização Constante. O grupo “itens de visualização”,
contém quatro itens: Prestação (p), Juros (J), Amortização (A), p= A+J, em que o
último se refere a prestação constituída da parcela de amortização (A) somada com a
parcela de juros (J), para selecionar um item de visualização ou sistema de
amortização, basta clicar ao lado da opção desejada, como mostra a Figura 3.3.
Figura 3.3 - Selecionar.
Fonte: A autora.
Além dos itens de visualização o objeto também possui o grupo “Mostrar no
gráfico”, que permite selecionar três outras opções de visualização no gráfico: Mostrar
Funções, Mostrar Valor e Mostrar Períodos. A opção Mostrar Funções refere-se a
função que descreve o comportamento de cada item: Prestação, Juros e Amortização,
sendo estas funções do tipo linear ou exponencial. A opção Mostrar Valor, refere-se
ao valor de cada parcela de juros, amortização ou da prestação de acordo com o item
selecionado, e a opção Mostrar Períodos é referente a cada período da parcela de
juros, parcela de amortização ou de cada prestação (Figura 3.4.)
38
Figura 3.4 - Mostrar.
Fonte: A autora.
O objeto criado para utilização neste trabalho contém barras verticais que
representam os valores de Prestação, Juros, Amortização e p= A+J, que são
correspondentes ao tipo de sistema de amortização selecionado, explorando
situações em que variam o capital, taxa de juros e período de um determinado
financiamento, empréstimo ou aplicação e diferenciam-se entre si pelas cores
atribuídas a cada sistema de amortização, como na Figura 3.5, selecionado a opção
p= A+J nos dois tipos de sistema de amortização.
Figura 3.5 - p=A+J.
Fonte: A autora.
3.3 PROPOSTA DE ENSINO
A proposta de ensino deste trabalho tem como objetivo levar o aluno a
entender o funcionamento dos sistemas de amortização Price e SAC e também de
realizar uma comparação entre estes. Nessa proposta o professor é mediador,
contribuindo e auxiliando a construção do conhecimento do aluno.
39
3.3.1 Proposta de Ensino: Sistema de Amortização Price
Esta proposta será baseada em dados de uma situação problema envolvendo
o financiamento de uma motocicleta, realizado no sistema Price. O objetivo da tarefa
é que os alunos entendam o funcionamento do sistema Price, constatando que as
prestações possuem valor constante, sendo obtido através da soma da parcela de
juros e da parcela de amortização. Desta maneira ao completarem o quadro os alunos
podem observar que os valores das parcelas de juros são decrescentes, enquanto os
valores das parcelas de amortização são crescentes, de maneira que a soma de
ambas sempre resulte no mesmo valor das prestações. A parcela de amortização
pode ser obtida diminuindo-se a parcela de juros da prestação. A partir da primeira
parcela de juros que incide sobre o saldo devedor inicial os alunos podem encontrar
como é calculado a parcela de juros nos demais, observando que a parcela de juros
incide sempre sobre o saldo devedor e sendo este diminuído pelas parcelas de
amortização e não pelo valor de prestação. Assim os alunos podem observar que o
juro é uma taxa que se paga por realizar um empréstimo ou financiamento e ele não
faz parte do saldo devedor.
Financiamento de uma motocicleta
Felipe deseja comprar uma motocicleta no valor de R$ 7500,00, porém não
possui este valor na data presente, então a concessionária lhe ofereceu a proposta
de financiamento por uma financiadora associada a esta. Este financiamento é
realizado através do Sistema de Amortização Francês, também chamado de Price ou
tabela Price. A condição de financiamento analisando a renda mensal de Felipe é de
10 prestações mensais a uma taxa de juros de 2,4% ao mês.
O arquivo sistemasdeamortização.ggb servirá de base para suas análises.
Abra o arquivo e insira os dados do financiamento referentes a situação acima e
selecione o tipo de sistema de amortização. Em seguida responda as questões:
1) Selecionando no arquivo as opções prestação, mostrar valor e mostrar
período, observe os valores de cada prestação. Eles são iguais?
2) Selecionando as opções necessárias complete o quadro abaixo:
40
Períodos Juros Amortização J+A Prestação Saldo
Devedor
0 R$7.500,00
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
a) De acordo com o quadro que você completou, como é composto o valor de
cada prestação no sistema Price?
b) Como foi obtido o valor do juro no 1° período? E nos demais?
c) Como foi obtido o valor da amortização no 1° período? E nos demais?
d) Como foi obtido o valor do saldo devedor em cada período?
3) Observe o valor das parcelas de juros e das parcelas de amortizações em cada
período, o que você identifica quanto ao crescimento e ao decrescimento de
ambas?
41
3.3.2 Proposta de Ensino: Sistema de Amortização SAC
Esta proposta será baseada em dados de uma situação problema envolvendo
o financiamento de uma motocicleta, realizado no sistema de amortização SAC. O
objetivo geral é que o aluno identifique como funciona o financiamento por este
sistema de amortização. Inicialmente o aluno perceberá que as prestações do
financiamento não serão iguais, mais que as prestações são formadas pela soma da
parcela de juros e da parcela de amortização da dívida. Como no sistema Price o juro
também incide sobre o saldo devedor dessa forma o valor das parcelas de juros
diminuem a cada mês e a parcela de amortização nesse sistema é constante, como
já diz o próprio nome, assim as prestações do financiamento serão decrescentes. O
valor do juros em cada período é obtido aplicando a taxa de juros do financiamento
sobre o valor do saldo devedor e este é obtido diminuindo-se a parcela de amortização
em cada período.
Financiamento de uma motocicleta
Para pesquisar mais sobre preços e financiamentos Felipe foi a outra
concessionária, nesta havia o mesmo modelo de motocicleta e no mesmo valor de R$
7500,00, porém o sistema de financiamento era diferente. Nesta concessionária o
financiamento é realizado por meio do Sistema de Amortização Constante, também
chamado de SAC. A condição de financiamento analisando a renda mensal de Felipe
é de 10 prestações mensais e a taxa de juros é de 2,4% ao mês.
Com bases nessas informações e utilizando o arquivo
sistemasdeamortização.ggb que servirá de base para suas análises, abra o arquivo
e insira os dados do financiamento referentes a situação acima e selecione o tipo de
sistema de amortização. Em seguida responda as questões:
1) Selecionando no arquivo as opções prestação, mostrar valor e mostrar
período, observe os valores de cada prestação. Eles são iguais?
42
2) Selecionando as opções necessárias complete o quadro abaixo:
Períodos Juros Amortização J+A Prestação Saldo
Devedor
0 R$7.500,00
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
a) De acordo com o quadro que você completou, como é composto o valor de
cada prestação no sistema SAC?
b) Como foi obtido o valor do juro no 1° período? E nos demais?
c) Como foi obtido o valor da amortização no 1° período? E nos demais?
d) Como foi obtido o valor do saldo devedor em cada período?
3) Observe o valor das parcelas de juros e das parcelas de amortizações em cada
período, o que você identifica quanto ao crescimento e ao decrescimento de
ambas?
3.3.3 Proposta de Ensino: Comparando os Sistemas de Amortização
Nesta proposta o objetivo é de comparar os dois sistemas de amortização.
Assim o aluno irá perceber selecionando as opções no objeto do GeoGebra que em
ambos os sistemas as parcelas de juros sempre são decrescentes pois a cada mês o
saldo devedor diminui, em relação as parcelas de amortização em um é crescente e
43
em outro é constante. Para saber qual dos dois sistemas de amortização é mais
vantajoso os alunos devem somar todas as prestações em cada sistema e diminuir
desta o valor financiado. Assim no sistema SAC o valor pago em dez meses
financiamento proposto foi de R$8490,00 diminuindo deste valor o valor financiado, o
total pago para realizar o financiamento é de R$990,00 e no sistema Price o valor
pago em dez meses desse financiamento será de R$8525,20 diminuindo deste valor
o valor financiado, o total pago para realizar o financiamento é de R$1025,20. Fazendo
a diferença entre esses totais encontra-se o valor de R$35,20 pago a mais no sistema
Price. Disto o aluno pode constatar que o sistema SAC é mais vantajoso, o valor da
diferença foi pequeno devido ao valor financiado e o número de prestações também
serem pequenos. Para verificar se essas conclusões são verídicas, os alunos podem
simular outros financiamento com valores maiores e número de prestações maiores e
verificar que há uma diferença significativa.
Comparando Sistemas de Amortização
Utilize a situação de financiamento das Tarefas 1 e 2. Selecione no arquivo
do GeoGebra sistemadeamortização.ggb os dois tipos de amortização, e responda
as seguintes questões:
1) O que você observa em relação ao comportamento das parcelas de juros
nos dois sistemas?
2) O que você observa em relação ao comportamento das parcelas de
amortização nos dois sistemas?
3) Quanto Felipe pagará ao final de 10 meses em cada sistema de
amortização? Qual sistema é mais vantajoso?
4) Quanto Felipe economizara optando pelo sistema mais vantajoso?
3.3.4 Proposta de Ensino: Sistemas de Amortizações e Funções
Esta proposta será baseada em dados de uma situação problema envolvendo
um empréstimo e tem como objetivo relacionar o comportamento das parcelas de
amortização, juros e de prestações nos dois sistemas de amortização com funções
que descrevem esses comportamentos. Cabe ressaltar que o objetivo da proposta
44
não é que os alunos cheguem às formulas, ou relações das funções, mas que eles
observem que o comportamento de cada item segue uma função.
Empréstimo
Ana deseja fazer um empréstimo no valor de R$30.000,00, para isso procurou
duas agências bancarias para fazer uma simulação do empréstimo. No banco 1, o
sistema de amortização utilizado para empréstimos é o Sistema de Amortização
Francês e no banco 2, o sistema de amortização utilizado é o SAC. Em ambos os
bancos a taxa de juros é de 2,5% ao mês, analisando a renda mensal de Ana o
empréstimo pode ser feito em 48 prestações.
Use o arquivo sistemasdeamortização.ggb e os dados da situação acima
para simular o empréstimo nos dois bancos e responda as questões a seguir:
1) Que tipo de função descreve o comportamento das parcelas de amortização
no sistema Price? E no sistema SAC?
2) Que tipo de função descreve o comportamento das prestações no sistema
Price? E no sistema SAC?
3) Que tipo de função descreve o comportamento das parcelas de juros no
sistema Price? E no sistema SAC?
45
4 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Com a realização deste trabalho foi possível estudar conceitos da Matemática
Financeira que são pouco trabalhados no ensino básico mas que faz parte do currículo
escolar. Além de estudar conceitos da Matemática Financeira também foi possível
relacioná-los com outros conteúdos da Matemática como funções e progressões.
Com a pesquisa realizada em livros didáticos observou-se que tipo de
atividades são propostas para alunos de Ensino Médio dentro dos conteúdos da
Matemática Financeira e que alguns conteúdos são pouco trabalhados, assim o
professor possui poucas alternativas para trabalhar estes conteúdos. No caso de
sistemas de amortização os livros pouco trazem sobre este assunto e não abordam
sobre os tipos de sistema.
Considerando a necessidade de conhecer mais sobre a Matemática
Financeira, em particular sobre sistemas de amortização, já que estes são utilizados
em empréstimos e financiamentos por bancos, cooperativas ou até por algumas lojas
em situações de compras de qualquer mercadoria com pagamento parcelado, utiliza-
se de um sistema de amortização para o pagamento da dívida. Os sistemas utilizados
com mais frequência no Brasil são o SAC ou Price. Portanto na proposta de ensino
deste trabalho utilizou-se destes dois tipos de sistemas, com o objetivo que os alunos
pudessem conhecer o funcionamento dos dois e fazer um comparativo entre ambos.
Com a forte tendência em utilização de tecnologias, especialmente no ensino
da Matemática, é que se optou por utilizar um objeto construído no software GeoGebra
que é encontrado na maioria das escolas do Paraná e que pode ser baixado
gratuitamente ou utilizado na versão online, sendo este arquivo um objeto de
aprendizagem, o qual o aluno irá utilizar orientado pelo professor e seguindo as
orientações contidas nas tarefas, a fim de que alcance o objetivo da proposta de
ensino deste trabalho.
Ao realizar as tarefas com o uso do objeto espera-se que os alunos
compreendam como são obtidos os valores que se encontram no objeto, isto é, ao
simular o financiamento, o aluno precisa entender como são formados os valores das
prestações em um sistema de amortização e porque estão pagando determinado
valor, devem saber que há diferentes tipos de sistemas de amortização e entender
que se paga juros por realizar o empréstimo ou financiamento mas este valor não faz
46
parte do saldo devedor, caso queira adiantar o pagamento da dívida não vai obter
descontos, apenas não vai pagar juros já que eles são cobrados ao final de cada
período. Devem observar também que um sistema pode ser mais vantajoso que o
outro e para uma correta comparação utiliza-se dos mesmos dados. Com esta
proposta de ensino o aluno pode verificar que os juros são sempre decrescente já que
a cada pagamento é amortizado uma parcela da dívida com isso o juro incide sobre
um valor menor. Além disso também é possível relacionar juros, amortização e
prestação com comportamento de funções, envolvendo assim outros conteúdos da
Matemática, como sugerido nos PCN e nas Diretrizes do Paraná.
Concluo que o trabalho foi de grande valia para mim enquanto acadêmica, já
que foi possível aprender conceitos da Matemática Financeira e também relacionar
com outros conceitos da Matemática já estudados. Como futura professora também
foi importante pois é um material que almejo desenvolver futuramente nas minhas
aulas e que serve também de alternativa para outros professores podendo facilitar o
processo de ensino e aprendizagem, buscando tornar o aluno capaz de tomar
decisões de caráter financeiro de maneira que mais lhe seja favorável, utilizando-se
de conhecimentos matemáticos.
47
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