faculdade estadual de filosofia, ciÊncias e...
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FACULDADE ESTADUAL DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS – FAFIUV
GABRIEL KONKOL JUNIOR
UMA PROPOSTA DE ENSINO: AS DEMONSTRAÇÕES EM GEOMETRIA
UNIÃO DA VITÓRIA
2011
GABRIEL KONKOL JUNIOR
UMA PROPOSTA DE ENSINO: AS DEMONSTRAÇÕES EM GEOMETRIA
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado
como exigência parcial para obtenção do título de
Licenciado em Matemática pela Faculdade de
Filosofia, Ciências e Letras de União da Vitória,
sob orientação da professora Mestre Maria Ivete
Basniak.
UNIÃO DA VITÓRIA 2011
Dedico este trabalho
A minha namorada Fernanda que sempre me apoiou e me
incentivou para continuar no curso de Licenciatura.
A minha mãe Maria de Lurdes, professora que admiro.
Ao meu pai Gabriel por quem tenho um enorme respeito.
Agradecimentos
A meu bondoso DEUS...
Aos meus pais que nunca mediram esforços para dar a mim e aos meus irmãos todo
carinho e incentivo.
A minha namorada Fernanda por ter me apoiado e ajudado com minhas dificuldades
e por sempre estar ao meu lado nos momentos em que mais precisei.
A professora Mestre Michele Regiane Dias Veronez, coordenadora do departamento
de matemática, que efetua um ótimo trabalho em sua função e que admiro muito.
Agradeço por seus conselhos e comentários.
A professora Mestre Marieli Musial Tumelero que ministrou aulas de Geometria
Plana neste curso.
A todos aqueles que, de uma forma ou de outra, me auxiliaram a vencer cada etapa
desta trajetória, meu eterno agradecimento.
A matemática é um tipo de conhecimento. Mas, para conhecer
uma coisa não é meramente suficiente, se acreditar nela. É
necessário, também, ter boas razões para nela acreditar.
(John A. Fossa)
RESUMO
Esse trabalho tem por objetivo propor a utilização de demonstrações no ensino de matemática mais
especificamente no campo da geometria. Para isso fazemos uma abordagem sobre a importância e o
significado das demonstrações matemáticas, seguindo-se de um breve contexto histórico que explica
sobre a origem da geometria e o surgimento das demonstrações, apontando a partir de quais
necessidades o método dedutivo passou a fazer parte da matemática e quais foram os matemáticos
que contribuíram para esse desenvolvimento. Em seguida procuramos justificativas que defendam a
utilização das demonstrações no ensino de matemática objetivando o desenvolvimento de um
pensamento crítico e argumentativo nos alunos. Perante as informações encontradas, procuramos
desenvolver uma proposta de ensino para o nível médio da educação básica, que introduz as
demonstrações no ensino de geometria, a qual se inicia com uma abordagem histórica pois
acreditamos ser interessante para despertar a curiosidade dos alunos e a partir disso partimos para o
desenvolvimento de atividades que consistem em demonstração de exercícios, proposições e
teoremas.
Palavras-chave: Matemática, Geometria demonstrativa, Ensino de demonstrações.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Triângulo ABC ................................................................................... 25
Figura 2 – Triângulos classificados de acordo com seus lados .......................... 26
Figura 3 – Triângulos classificados de acordo com seus ângulos ...................... 26
Figura 4 – Triângulo isósceles ABC ................................................................... 28
Figura 5 – Triângulo isósceles traçado a sua mediana ...................................... 29
Figura 6 – Exercício 01 ....................................................................................... 30
Figura 7 – Exercício 02 ....................................................................................... 30
Figura 8 – Exercício 03 ....................................................................................... 31
Figura 9 – Exercício 04 ....................................................................................... 32
Figura 10 – Representação de Reta Transversal e Retas Paralelas .................... 33
Figura 11 – Ângulos correspondentes em uma reta transversal .......................... 33
Figura 12 – Soma dos ângulos internos do triângulo ........................................... 34
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................. 8
2 DEMONSTRAÇÕES EM MATEMÁTICA ......................................................... 9
3 ASPECTOS HISTÓRICOS DA GEOMETRIA ................................................ 11
3.1 A ORIGEM DA GEOMETRIA DEMONSTRATIVA .......................................... 12
3.1.1 Tales de Mileto ............................................................................................... 13
3.1.2 Pitágoras de Samos ....................................................................................... 15
3.1.3 Euclides de Alexandria ................................................................................... 17
4 ALGUNS APONTAMENTOS SOBRE O ENSINO DA GEOMETRIA ............ 20
5 UMA PROPOSTA DE APROFUNDAMENTO DE CONCEITOS DA GEOMETRIA PLANA UTILIZANDO DEMONSTRAÇÕES ............................. 23
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................ 36
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 37
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA .............................................................................. 38
1 INTRODUÇÃO
Após ouvirmos frequentemente que o ensino da matemática nas escolas
vem se tornando uma tarefa difícil, apresentamos algumas justificativas que revelam
os motivos dessa disciplina ser vista como tediosa e difícil pelos alunos, levando-os
a apresentar os mais elevados índices de retenção. Pretendemos propor soluções
que possam contribuir na mudança desse pensamento aversivo, buscando assim
atingir objetivos mais específicos.
Apresentamos uma proposta de ensino para a inserção das demonstrações
no campo da geometria, de forma que possa proporcionar aos alunos a prática da
elaboração de argumentos e com isso a construção do conhecimento. Destacamos a
utilização desta proposta com estudantes do ensino médio, a partir do que é
proposto pelas Diretrizes Curriculares da Educação Básica (DCE), um
aprofundamento dos conceitos de geometria plana atingindo um nível mais
complexo, entretanto entendemos que a utilização do método dedutivo poderá
ocorrer também em séries anteriores visando à introdução dos conceitos a serem
trabalhados.
Partimos assim para a elaboração de argumentos que nos auxiliem a
entender quais são as exigências no ensino da geometria e que tipo de
desenvolvimento racional ela deve propiciar. Aprofundamos-nos na busca de
referências de autores especializados em Educação Matemática que revelem quais
devem ser as contribuições do ensino dessa disciplina e procuramos seguir o que
propõem os documentos referentes à educação, como os Parâmetros Curriculares
Nacionais (PCN) e as Diretrizes Curriculares da Educação Básica (DCE), buscando
defender a aplicação das demonstrações no ensino de matemática.
Propomos a utilização de demonstrações, perspectivando que esse estudo
possa contribuir significativamente, para o desenvolvimento do que é proposto no
ensino dessa disciplina, propiciando ao aluno a construção de um pensamento
crítico que ultrapasse o âmbito da matemática, objetivando que o indivíduo
desenvolva suas estruturas mentais a fim de participar ativamente no
desenvolvimento da sociedade.
2 DEMONSTRAÇÕES EM MATEMÁTICA
Levando em conta a importância das demonstrações na matemática
iniciaremos nosso estudo analisando a definição encontrada para este termo em um
dicionário de língua portuguesa.
“DEMONSTRAÇÃO, s. f. Ação de demonstrar; raciocínio de que se deduz a
verdade de uma proposição; prova evidente; manifestação: demonstração de pesar.
(Do lat. Demonstratione.).” (FERNANDES; LUFT; GUIMARÃES, 2000).
A partir desta definição percebemos que o significado da palavra
demonstração, traz no seu contexto a palavra prova, definida como:
PROVA (ó), s. f. Aquilo que demonstra ou estabelece a verdade de uma coisa ou a realidade de um fato; demonstração, testemunho: prova de simpatia; sinal; indício; documento justificativo; concurso; exame; porfia; operação pela qual se verifica a exatidão de um cálculo aritmético; ensaio, experiência: fazer a prova de um invento; ato de experimentar o sabor de uma comida ou bebida; transe doloroso; provação; (tip.) folha impressa, em que o revisor assinala as correções a fazer; ato de experimentar uma roupa que está sendo feita; (fot.) exemplar obtido por meio de reprodução fotográfica; (ret.) parte do discurso, em que o orador faz a prova; à prova de: em estado ou condições de resistir a. (Do lat. proba.). (FERNANDES; LUFT; GUIMARÃES, 2000).
Portanto prova e demonstração, apresentam o mesmo sentido, podendo ser
utilizadas como sinônimas no campo da matemática.
Segundo Fossa (2009), demonstrar é dar um motivo ou um argumento para
garantir como verdade aquilo que está sendo apresentado, ou seja, provar uma
proposição “é argumentar por sua validade” (BICUDO, 2005, p.59). Definimos
proposição como “todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um
pensamento de sentido completo” (ALENCAR, 1999, p.11).
Mas de fato, se pensarmos sobre os argumentos que são utilizados em uma
demonstração, certo questionamento pode surgir: esses argumentos devem ser
aceitos como verdade? Fossa (2009) refere-se a esses argumentos como premissas
ou ideias iniciais, que são utilizadas na demonstração de determinada proposição e
afirma que nem todas as premissas podem ser demonstradas, pois na prova destas
haveria a necessidade de novas premissas e assim por diante, sem se chegar ao
fim. Neste caso é preciso se fundamentar em ideias iniciais que são chamadas de
axiomas, definidas por Fossa (2009, p.47) como “os princípios fundamentais de uma
teoria matemática; [...] as últimas razões, das quais todo o resto depende”.
10
Segundo Gerônimo e Franco (2010, p.11), os axiomas são “afirmações não
demonstradas” que Euclides em sua obra Elementos chama de postulados e as
escolheu de forma que fossem as mais simples, sendo aceitas sem questionamento
por qualquer indivíduo. No entanto Gerônimo e Franco (2010) nos apontam que em
um dos postulados, Euclides não seguiu esta ideia de simplicidade, fazendo muitos
acreditarem que este poderia ser demonstrado, tal façanha arriscada por grandes
nomes da matemática, sem sucesso. O autor ainda explica que a negação deste
postulado deu origem a outras geometrias chamadas não-euclidianas, mas que não
serão aprofundadas neste trabalho.
Podemos nos questionar então sobre a necessidade das demonstrações
dentro da matemática, por que de fato elas são tão importantes? Fossa, (2009, p.45)
vem nos dizer que as demonstrações são necessárias, pois, “algumas proposições
que parecem intuitivamente óbvias são de fato falsas”. Ele nos coloca um exemplo
prático da quantidade de números inteiros e racionais,
[...] é intuitivamente óbvio que existe mais números racionais do que números inteiros. Isto é, desde que existe um número infinito de racionais entre quaisquer dois inteiros, parece óbvio que não podemos achar uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos inteiros e o conjunto dos racionais. De fato, porém, [...] existe uma correspondência biunívoca entre os dois conjuntos, contrariando todas as nossas intuições. (FOSSA, 2009, p.45).
Em sequência menciona um segundo motivo, apontado por ele como o mais
importante, dizendo que “a matemática é um tipo de conhecimento. Mas, para
conhecer uma coisa não é meramente suficiente, se acreditar nela. É necessário,
também, ter boas razões para nela acreditar” (FOSSA, 2009, p.46).
Vemos então que provar é o ponto de partida para que se possa afirmar algo
e que a obrigação de demonstrações na área da matemática é evidente. Por isso,
por que não pensar no ensino da matemática partindo de demonstrações?
Aprofundaremos nosso estudo nesta perspectiva, mais especificamente no campo
da geometria, o qual deu origem às ideias de demonstração, sendo uma das
primeiras áreas a apresentar uma estrutura lógica, de maneira axiomática, que não
exigia preocupação com experimentos ou observações, pois muito é encontrado
sobre geometria nos Elementos de Euclides. Inicialmente faremos uma breve
abordagem dos acontecimentos históricos que fundamentaram esse surgimento.
3 ASPECTOS HISTÓRICOS DA GEOMETRIA
A Geometria (do Grego, Geo = terra; metria = medida), é um ramo da
matemática que teve sua origem no Antigo Egito e na Babilônia há
aproximadamente 4000 anos, “sem dúvida de uma maneira intuitiva e, portanto, não
sistemática, com uma série de regras práticas sugeridas pela experiência, cujo
objetivo principal era aplicações às medições” (GERÔNIMO; FRANCO, 2010, p.11).
Nessa época tudo era construído a partir de mensurações práticas. E como
afirma Boyer (1996), há ideias vindas de Heródoto que confirmam que era
necessário medir a terra depois das inundações anuais no vale do rio, sendo que a
geometria foi se consubstanciando a partir dessas necessidades. Existem também
as conjecturas vindas de Aristóteles de que na época existiu uma classe sacerdotal
com lazeres que conduziu ao estudo da matemática para entender os cálculos do
calendário litúrgico e determinar as datas religiosas e estes que levaram ao estudo
da geometria. Nota-se que eles possuem ideias contrárias, com relação ao
surgimento da matemática: um se baseia nas necessidades práticas da época,
“outro que a origem estivesse no lazer sacerdotal e ritual” (BOYER, 1996, p.4).
Nenhuma dessas ideias pode ser descartada, mas também não se pode escolher
apenas uma delas como verdade absoluta, pois é difícil afirmar com certeza os
acontecimentos ocorridos há tantos milênios.
Existem indícios que nos fazem acreditar que várias descobertas
geométricas foram realizadas na época, ou seja, eles já utilizavam algumas
generalizações para efetuar cálculos de áreas e volumes.
[...] deviam estar familiarizados com as regras gerais da área do retângulo, da área do triângulo retângulo e do triângulo isósceles (e talvez da área de um triângulo genérico), da área de um trapézio retângulo, do volume de um paralelepípedo reto-retângulo e, mais geralmente, do volume de um prisma reto de base trapezoidal. (EVES, 2004, p.60).
Acredita-se que além das regras citadas anteriormente há muitas outras
considerações feitas nesse período, mas todas partindo de experimentações, ou
seja, não se via a necessidade de demonstrar o valor das regras utilizadas.
12
3.1 A ORIGEM DA GEOMETRIA DEMONSTRATIVA
Como afirma Eves (2004), por volta de 1200 a.C., ocorreram muitas
mudanças políticas e econômicas. Algumas civilizações desapareceram, as tribos
egípcias e babilônicas perderam seu poder, enquanto isso, os hebreus, os assírios,
os fenícios e os gregos assumiram grande importância na economia e na política.
Foi nessa mesma época que as primitivas tribos dóricas (povos de Dóride, na
Grécia; uma das três principais divisões dos gregos antigos) se deslocaram rumo ao
sul da península grega, se retirando das montanhas do norte, a procura de regiões
mais propícias. Sua tribo principal eram os espartanos, que logo em seguida
fundaram a cidade de Esparta. Essas tribos eram comunidades iletradas que, “não
trouxeram tradição matemática ou literária consigo; no entanto, tiveram desejo
ansioso de aprender, e não demoraram a melhorar o que lhes ensinaram” (BOYER,
1996, p.30).
Muitos dos povos das regiões invadidas fugiram para a costa da Ásia Menor
ou para as ilhas jônicas do Mar Egeu, onde com o passar do tempo estabeleceram
colônias gregas. “A idade do Ferro que se anunciava, trazia consigo mudanças
abrangentes no que se refere à guerra e a todas as atividades que exigiam
instrumentos e ferramentas” (EVES, 2004, p.94). Surgiu o alfabeto e houve grande
incentivo ao comércio (introdução das moedas). Fizeram-se grandes descobertas
geográficas e o mundo se tornava preparado para um novo tipo de civilização.
Os progressos da humanidade com sua evolução social e intelectual
transformaram a visão firme do Oriente antigo sobre as coisas, simplesmente
insuficiente. Assim procurava-se saber, além de “como acontece”, o “porquê
acontece”. A partir dessas indagações, o homem passou a se perguntar como por
exemplo: Por que os ângulos da base do triângulo isósceles são iguais?
[...] Os processos empíricos do Oriente antigo, suficientes o bastante para responder questões na forma de como, não mais bastavam para as indagações mais científicas na forma de por quê. Algumas experiências com o método demonstrativo foram se consubstanciando e se impondo, e a feição dedutiva da matemática, considerada pelos doutos como sua característica fundamental, passou ao primeiro plano. (EVES, 2004, p.94).
Nesse dizeres fica explícito que as respostas na forma de como, não mais
satisfaziam a ciência e, portanto emerge a necessidade de explicações mais
13
concretas. Por volta do século VI a.C., que a matemática demonstrativa passa a dar
seus primeiros passos e isso ocorreu dentro do ramo da Geometria, começando com
questionamentos de Tales de Mileto um dos “sete sábios” da antiguidade.
Existem alguns historiadores da matemática antiga que não concordam com
as tradicionais explicações do surgimento da matemática demonstrativa. Como diz
Eves (2004), Otto Neugebauer, acredita na explicação de que a necessidade surgiu
a partir da descoberta da irracionalidade de . Mas muitos dos historiadores
fundamentam-se no fato de que Tales foi quem deu início a matemática
demonstrativa a partir da geometria.
Posterior a Tales, é indispensável ser citado Pitágoras, outro filósofo
matemático, ilustre fundador da escola pitagórica. Talvez tenha sido discípulo de
Tales, pois era 50 anos mais novo, mas se sabe pouca coisa sobre ele com alguma
certeza. E enfim, Euclides que era professor da biblioteca de Alexandria e a ele é
creditada a obra Elementos que é a mais famosa dentro do campo da matemática..
3.1.1 Tales de Mileto
Segundo o que afirma Eves (2004) a matemática demonstrativa se iniciou
com Tales de Mileto, um homem de admirável sabedoria que passou a questionar
sobre determinadas afirmações dadas como verdadeiras dentro do campo da
matemática. Muitas histórias são encontradas sobre ele, todas revelando fatos
interessantes de sua vida, mas não são mencionadas nenhuma obra cuja autoria lhe
seja creditada,
[...] tudo o que sabemos sobre ele baseia-se em referências de autores posteriores, entretanto, elas são suficientes para nos evidenciar que Tales deve ter sido um homem realmente extraordinário, cuja sabedoria abarcava todo o conhecimento da época. (LINTS, 1999, p.33).
Segundo Eves (2004) Tales iniciou a sua vida como mercador e foi desta
forma que ficou rico o suficiente para dedicar o seu tempo a viagens e aos estudos.
Viveu por algum tempo no Egito onde sua esperteza foi admirada e reconhecida ao
ter medido a altura de uma pirâmide através da sombra. Na Babilônia ele entrou em
contato com tabelas e instrumentos astronômicos. De acordo com Lints (1999) e
Eves (2004), faz parte do seu mito o fato de ter previsto o eclipse solar de 28 de
maio de 585 a.C., embora haja historiadores que duvidem, enfatizando que os
conhecimentos existentes na época não eram suficientes para permitir tal façanha,
14
“especialmente porque um eclipse solar é visível só em pequena parte da Terra e
não é provável que houvesse na Babilônia tabelas de eclipses solares que
permitissem a Tales fazer tal predição” (BOYER, 1996, p.31). A ele também era
atribuído a reputação “de estadista, conselheiro, engenheiro, homem de negócios,
filósofo, matemático e astrônomo” (EVES, 2004, p.95).
Assim como, para muitos outros grandes homens, existem sobre Tales
muitas histórias engraçadas. De acordo com Eves (2004) houve certa vez, que ao
ser questionado sobre o porquê de jamais ter se casado, respondeu mandando um
bilhete ao indagador dizendo que sua filha preferida havia falecido. Em seguida
tranquilizando-o, dando-lhe explicações e comentando: “Eu simplesmente desejava
lhe dizer por que jamais me casei” (EVES, 2004, p.96). Outra vez demonstrou a
facilidade para ficar rico, segundo a sua hipótese de que um filósofo possuía
inteligência e capacidade extremamente superior a qualquer homem de negócios.
[...] fez uma previsão, provavelmente baseado em dados climatéricos e astronômicos, de que haveria uma grande safra de azeitonas na seguinte estação e, então, não dizendo nada a ninguém, comprou o direito sobre o uso de todas as prensas da vizinhança com muita antecedência, quando seu valor era pequeno. Naturalmente, depois ganhou quanto quis, pois os produtores atrapalhados com a superprodução da safra de oliveiras estavam dispostos a pagar qualquer preço pelo uso das prensas antes que as azeitonas se estragassem. (LINTZ, 1999, p.34).
Eves (2004) nos conta a história do mulo recalcitrante, que transportava sal
e para diminuir seu cansaço mergulhava a carga em um rio para que o sal se
dissolvesse e assim ele seguisse viagem. Tales fez com que ele perdesse o
costume dando a ele cargas de esponjas. São esses relatos que nos fazem admirar
ainda mais sua nobre inteligência.
Tales foi o fundador da Escola Jônica. Escola de pensamento dedicada à
investigação da origem do universo e de outras questões filosóficas entre elas a
natureza e a validade das propriedades matemáticas, dos números e das figuras.
Para esse grande homem era insuficiente apenas afirmar que os ângulos da
base de um triângulo isósceles são iguais, assim diante destas indagações procurou
justificativas que fundamentassem essas conjecturas. A ele são atribuídas algumas
deduções dentro da geometria, como:
1. Qualquer diâmetro efetua a bissecção do círculo em que é traçado. 2. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais. 3. Ângulos opostos pelo vértice são iguais.
15
4. Se dois triângulos têm dois ângulos e um lado em cada um deles respectivamente iguais, então esses triângulos são iguais. [...]
5. Um ângulo inscrito num semi-círculo é reto. (EVES, 2004, p.95).
Eves (2004) salienta que o valor das deduções atribuídas a ele não devem
ser qualificadas por elas próprias e sim por Tales ter desenvolvido-as a partir de
alguns raciocínios lógicos e não apenas por experimentações.
Boyer (1996, p.32), afirma que Tales é considerado “o primeiro matemático
verdadeiro”, porque foi ele que deu origem às deduções geométricas, e com isso, o
método dedutivo e as demonstrações lógicas passaram ao primeiro plano. Ele foi o
primeiro personagem conhecido a quem se atribuíram descobertas matemáticas.
3.1.2 Pitágoras de Samos
Após as demonstrações terem surgido tornando a matemática independente
de experimentações o método dedutivo se desenvolveu muito com os estudos
creditados a Pitágoras. Este grande matemático deu continuidade à maneira
dedutiva, contribuindo para a formação do método que caracteriza a matemática
moderna.
De acordo com Lintz (1999), Pitágoras nasceu em torno do ano de 570 a.C.
em Samos. Há indícios de que ele tenha sido discípulo de Tales, pois as datas entre
eles se distanciam apenas por meio século. Após viver algum tempo entre jônicos,
viajou pelo Egito e Babilônia e é possível que tenha chegado à Índia. Eves (2004)
nos revela que, durante as peregrinações de Pitágoras, ele adquiriu não só
informações matemáticas e astronômicas, como também muitas conjecturas
religiosas e ao voltar a Samos encontrou-a sob o domínio da tirania de Polícrates o
que fez com que ele emigrasse para Crótona, no sul da Itália, onde fundou a Escola
Pitagórica dedicada a estudos religiosos, científicos e filosóficos. Além da Escola
Pitagórica ser um centro de estudos, era também uma irmandade super unida por
ritos secretos e cerimônias.
Porém sabe-se pouca coisa sobre Pitágoras que tenha um grau significativo
de certeza, pois conforme Lintz (1999) nada restou de suas obras. Como os
ensinamentos da Escola Pitagórica eram todos orais e, além disso, era de costume
da irmandade atribuir todas as descobertas realizadas ao seu reverenciado
fundador, é muito difícil saber exatamente que descobertas matemáticas são
realmente de Pitágoras, podendo ser de outros membros da irmandade. “É melhor,
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por isso, não falar na obra de Pitágoras mas antes das contribuições dos pitagóricos,
embora na antiguidade fosse usual dar todo o crédito ao mestre.” (BOYER, 1996,
p.33)
Segundo Eves (2004), os membros recebiam uma educação formal, onde
constavam quatro disciplinas: Geometria, Aritmética, Astronomia e Música, que
constituíram as artes liberais e cujo conteúdo tornou-se conhecido na Idade Média
como o quadrivium, em sequência sendo acrescentado o trivium que era composto
por gramática, lógica e retórica. O conjunto dessas sete artes era considerado como
a bagagem cultural necessária de uma pessoa de boa educação. O símbolo que
representava os pitagóricos era o pentagrama ou pentágono estrelado, “A estrela de
cinco pontas (formada traçando as cinco diagonais de uma face pentagonal de um
dodecaedro regular) era, ao que se diz, o símbolo especial da escola pitagórica”
(BOYER, 1996, p.34). Isto devido às propriedades desta figura que se for desenhado
um pentágono regular e traçado as suas diagonais vê-se que elas se cruzam e
formam um novo pentágono interior. A interseção de duas diagonais divide a
diagonal de uma forma especial chamada pelos gregos de divisão em média e
extrema razão, chamada também por razão áurea.
De acordo com Eves (2004), com o tempo, as influências da irmandade se
tornaram enormes, com isso as forças democráticas destruíram os prédios da
escola, fazendo com que Pitágoras fugisse para Metaponto onde morreu com 75 ou
80 anos de idade. A irmandade por mais que estivesse dispersa continuou a existir
por mais pelo menos 200 anos.
Segundo Eves (2004, p.103), “a tradição é unânime em atribuir a Pitágoras a
descoberta independente do teorema sobre triângulos retângulos” conhecido
universalmente como Teorema de Pitágoras, onde o quadrado da hipotenusa é igual
à soma do quadrado dos catetos, esse descoberta é considerada de grande
importância para a geometria. O autor afirma que é sabido que esse teorema já era
conhecido pelos babilônicos, mas é atribuída a Pitágoras a sua demonstração. Foi
ele que apresentou uma explicação que confirmasse a validade desta lei. Os
pitagóricos elevaram a matemática à categoria das ciências liberais, isto é,
tornando-a independente das necessidades práticas e a transformaram em uma
atividade puramente intelectual.
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De acordo com as DCE (2008), foi com os pitagóricos que o estudo da
matemática passou a ser discutido e apontado como essencial na formação de um
indivíduo.
3.1.3 Euclides de Alexandria
Pelo que consta em muitos registros históricos, há pouco que nos revele
sobre a vida deste ilustre homem. Conforme Lintz (1999) acredita-se que foi ele o
fundador da importante escola de Alexandria, onde podemos afirmar que lecionou.
Eves (2004) nos conta uma história sobre Euclides encontrada no Sumário
Eudemiano “um breve resumo do desenvolvimento da geometria grega desde seus
primeiros tempos até Euclides” (EVES, 2004, p.97), que ao ser indagado por um de
seus alunos sobre qual era a importância do que estava aprendendo, mandou seu
escravo lhe dar algumas moedas para que o aluno tivesse ganhando algo em troco
do aprendizado.
Boyer (1996) nos mostra que Euclides foi autor de vários trabalhos, mas o
que lhe torna uma figura importante na história da matemática é sua obra:
Elementos.
Tão logo o trabalho apareceu, ganhou o mais alto respeito e, dos sucessores de Euclides até os tempos modernos, a mera citação do número de um livro e o de uma proposição de sua obra-prima é suficiente para identificar um teorema ou construção particular. Nenhum trabalho, exceto a Bíblia, foi tão largamente usado ou estudado e, provavelmente, nenhum exerceu influência maior no pensamento científico. (EVES, 2004, p.167).
Lintz (1999) compara o estudo desta obra à análise da obra de Leonardo da
Vinci na pintura e de J.S. Bach na história da música do Ocidente. Boyer (1996)
descreve os Elementos para a matemática, como as letras do alfabeto para a
linguagem. Isso só nos mostra o quão grande é a importância dos Elementos.
Euclides em sua obra, foi o primeiro a organizar as ideias e apresentar a
matemática de forma axiomática, “ou seja, um sistema formado por noções
primitivas, definições, axiomas e teoremas evidentemente aproveitando o
conhecimento que já havia na época” (FRANCO; GERÔNIMO, 2010, p.11).
Desta forma a matemática atingiu um estágio avançado, partindo segundo
Franco e Gerônimo (2010) de postulados, afirmações que não necessitavam ser
demonstradas. “Daí por diante, a imaginação dos geômetras poderia dar expansão
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livre a sua criatividade guiados por princípios seguros e técnica precisa, enfim, a
expressão das idéias sob forma perfeita”. (LINTZ, 1999, p.106).
Podemos dizer então que Euclides muito influenciou na característica da
matemática atual, pois foi dele que partiu a ideia de organizá-la de forma axiomática
com afirmações que não precisavam ser demonstradas, afirmações que são o ponto
de partida para se provar algo.
4 ALGUNS APONTAMENTOS SOBRE O ENSINO DA GEOMETRIA
Segundo as Diretrizes Curriculares Estaduais do Paraná – DCE (2008), para
que o ensino da matemática seja vinculado a esta ciência como campo de
conhecimento, foram selecionados conteúdos estruturantes; amplos conhecimentos
que são considerados de grande importância para o entendimento da mesma. Esses
conteúdos compreendem-se em: Números e Álgebra, Grandezas e Medidas,
Funções, Tratamento da informação e Geometria. Neste trabalho damos ênfase ao
estudo da Geometria focando a utilização das demonstrações matemáticas, para
que os alunos possam desenvolver o raciocínio lógico e aprendam a pensar em
argumentos, desenvolvendo assim um pensamento crítico.
Muito se discute que o ensino da Matemática vem se tornando uma tarefa
difícil. É comum nos alunos uma visão distorcida sobre a matemática e sua
aplicabilidade fora das salas de aula, vendo-a, segundo Bicudo (2005), como uma
ciência acabada onde a busca de soluções não é vivida pelos mesmos. Esses
pensamentos levam os alunos a criarem aversão à disciplina, o que resulta em um
baixo desempenho, levando a um grande índice de reprovação na mesma e de
acordo com Almouloud e Mello (2000), o desempenho acaba sendo mais baixo
quando se trata de Geometria. Existem justificativas a essa falta de motivação; “a
prática pedagógica que tem sido a responsável pelo comprovado insucesso dos
alunos na aprendizagem da Matemática.” (LOPES; PAVANELLO; FRANCO, 2010,
p.177).
D’António, Pavanello e Franco (2010) dizem que de modo geral, a
matemática dentro das salas de aula vem sendo resumida à memorização das
fórmulas, dos símbolos e a cálculos de forma incessante, descaracterizando-a e a
transformando em uma mistura de pavor com uma interpretação de conhecimento
inacessível para os alunos, que vêm avaliando-a como difícil e tediosa.
Segundo Medeiros (2005), há muito a matemática vem sendo ensinada de
maneira rotineira, reduzindo-se a exposição do conteúdo pelo professor e a
resolução de problemas que servem como modelos para os alunos, para que a
estes, em sequência, sejam apresentados novos problemas, que serão resolvidos da
mesma forma que o anterior. Neste contexto o aluno “torna-se um exímio
manipulador de símbolos, em situações de ensino padronizadas.” (MEDEIROS,
2005, p.19). A autora ainda acrescenta que pelo fato do aluno não compreender o
20
que fez, sente dificuldades em resolver problemas e exercícios diferentes dos
modelos que lhe foram apresentados.
Dentro do campo da Geometria, essa realidade não é diferente, da forma
como vem sendo ensinada, não está possibilitando aos alunos o desenvolvimento
do pensar. De acordo com Medeiros (2005, p.21) o interesse visado hoje para o
ensino, está “no produto do trabalho, na técnica e não no aprender propriamente
dito, na compreensão.” A matemática na forma que vem sendo apresentada, não
está cumprindo o seu papel.
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio – PCNEM
(2000) o ensino da matemática tem papel fundamental na formação do indivíduo,
pois além de construir um conhecimento científico e tecnológico junto com o saber
matemático, possibilita o desenvolvimento do raciocínio e aumenta a capacidade de
aprender, facilitando o desenvolvimento do pensar argumentativo.
A Matemática [...] tem um valor formativo, que ajuda a estruturar o pensamento e o raciocínio dedutivo, porém também desempenha um papel instrumental, pois é uma ferramenta que serve para a vida cotidiana e para muitas tarefas específicas em quase todas as atividades humanas. (PCNEM, 2000, p.40).
Como consta nas DCE (2008), é importante que o ensino de matemática
possibilite aos alunos discussões, análises, conjecturas, formulação de ideias e
apropriação de conceitos.
Em seu papel formativo, a Matemática contribui para o desenvolvimento de processos de pensamento e a aquisição de atitudes, cuja utilidade e alcance transcendem o âmbito da própria Matemática, podendo formar no aluno a capacidade de resolver problemas genuínos, gerando hábitos de investigação, proporcionando confiança e desprendimento para analisar e enfrentar situações novas, propiciando a formação de uma visão ampla e científica da realidade, a percepção da beleza e da harmonia, o desenvolvimento da criatividade e de outras capacidades pessoais. (PCNEM, 2000, p.40).
Como conteúdo estruturante da matemática, de acordo com Fainguelernt
(1999), vemos que a geometria possui grande influência nesse processo, pois
apresenta esse papel de formação na construção do conhecimento, podendo
contribuir na formação do raciocínio lógico, oferecendo um grande campo de ideias e
técnicas. Ela influencia na relação da matemática com a realidade. “A Geometria é
considerada como uma ferramenta para compreender, descrever e interagir com o
espaço em que vivemos” (FAINGUELERNT, 1999, p.15). A autora ainda acrescenta
21
que no estudo de geometria, o aluno desenvolve a capacidade de “ativar suas
estruturas mentais, facilitando a passagem do estágio das operações concretas para
o das operações formais.” (FAINGUELERNT, 1999, p.22).
Diante destes fatores, vemos a importância de se ensinar geometria de
forma que estimule o pensamento do aluno, não apenas ensinar os métodos e as
fórmulas, sem que haja um entendimento. As DCE (2008) nos afirmam que a
matemática não deve ser aprendida apenas por sua beleza ou pela sua densa
teoria, mas para que o indivíduo desenvolva seus pensamentos a fim de colaborar
no desenvolvimento da sociedade e cabe ao professor contribuir nesse processo.
Podemos considerar que o ensino de geometria, torna-se essencial, pois
permite ao indivíduo uma percepção melhor do mundo. Segundo o que afirma Souza
e Franco (2010) os professores não a vêem como promotora dessa forma de
pensamento e a limitam apenas a atividades com figuras. Nestas atividades é
comum a aplicação de fórmulas de áreas e volumes e a disposição de afirmações,
sem que haja da parte do aluno um entendimento que lhes propicie saber por que
essas afirmações realmente são válidas.
Para Fainguelernt (1999) o ensino da geometria perde seu encanto se
reduzido apenas a aplicação das fórmulas e de resultados impostos por teoremas,
para ela o que falta é uma relação entre a geometria intuitiva com a formalização da
mesma.
Os livro-textos escolhidos, em sua maioria, apresentam uma Geometria em que as figuras e seus elementos são definidos, os teoremas e suas demonstrações são apresentados para serem copiados, não deixando margem à exploração, à construção dos conceitos e ao encaminhamento do aluno às suas próprias deduções. (FAINGUELERNT, 1999, p.14).
Os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental – PCN (1998
p.86) nos apresentam que o campo da geometria favorece o ensino de
demonstrações. É um campo propício para que os alunos tenham contato com “a
necessidade e as exigências estabelecidas por um raciocínio dedutivo”. Ou seja,
vemos que o ensino das demonstrações é proposto pelos PCN, que ainda
acrescentam sobre a sua importância, nos transmitindo que o interesse deste ensino
por um lado, é o de propiciar o conhecimento matemático desenvolvendo
conjecturas dos conceitos geométricos e por outro se fundamenta no
22
desenvolvimento da capacidade de argumentar, onde o aluno a desenvolve para se
chegar a uma demonstração.
De acordo com Fossa (2009), como já citamos, as demonstrações são
necessárias na teoria matemática para que se conheça o que está sendo
demonstrado, assim para isso não basta apenas o aluno acreditar no que lhe é
apresentado e sim é interessante que ele tenha razões que o levem a acreditar
naquilo que está conhecendo. Assim as DCE (2008, p.56), nos propõem o ensino de
demonstrações afirmando que para o aluno, “é necessário conhecer as
demonstrações das fórmulas, teoremas, conhecer e aplicar as regras e convenções
matemáticas” e segundo os PCNEM (2000), a Geometria por sua característica
fundamental, ajuda a desenvolver habilidades de argumentação lógica, necessárias
na solução de problemas do cotidiano. Neste contexto observamos que a geometria
é uma área propícia para o ensino de demonstrações.
A partir deste contexto, descreveremos uma proposta de ensino que visa à
introdução da geometria demonstrativa nas séries finais da educação básica.
5 UMA PROPOSTA DE APROFUNDAMENTO DE CONCEITOS DA GEOMETRIA PLANA UTILIZANDO DEMONSTRAÇÕES
A proposta de ensino que indicamos visa o trabalho da geometria
demonstrativa com alunos do ensino médio, visto que nas Diretrizes Curriculares
Estaduais do Paraná considera-se que o ensino da geometria neste nível, deve ser
constituído de um aprofundamento dos conceitos já adquiridos no ensino
fundamental, sendo que estes devem atingir um grau de complexidade maior do que
o exigido nas séries anteriores.
Serão trabalhados conteúdos referentes a triângulos, como congruências,
soma dos ângulos internos, ângulos externos, entre outros. Para o trabalho
pretendido é preciso que os alunos já possuam alguns conhecimentos básicos de
geometria, como o de retas paralelas, perpendiculares, altura de triângulos,
bissetrizes, medianas, entre outros. Porém é importante que o professor sempre
relembre com os alunos estes conceitos para que a falta deles não dificulte o
desenvolvimento das atividades.
Utilizamos na elaboração desta proposta, dois livros que possuem os
conteúdos aqui apresentados, um deles com definições e representações com o
título Teoria e Problemas de Geometria, Barnett (2003) e o outro que utilizamos para
nos auxiliar na construção das demonstrações, intitulado Geometria Euclidiana
Plana, Barbosa (1995).
Sugere-se que o professor inicie a aula pedindo aos alunos que posicionem
as carteiras em forma de “U”, para que todos possam observá-lo sem nenhum
obstáculo a sua frente. Em seguida questionando os alunos sobre o que eles
entendem por demonstração, se consideram necessário e importante demonstrar,
pedindo que apontem situações em que já necessitaram demonstrar algo. Diante
destas questões espera-se que os alunos relacionem o significado de demonstração
com o que entendem por explicação. Em sequência o professor poderá relacionar,
de um modo geral essas necessidades, apontando que com frequência nos
deparamos com situações onde precisamos “demonstrar algo” como, por exemplo,
ao recebermos um troco errado quando efetuamos o pagamento de uma compra,
demonstramos que está errado para que seja corrigido. É preciso que saliente que
dentro da matemática isso não é diferente, em seu estudo as demonstrações servem
de alicerce para as suas teorias, devendo estar sempre presentes. Pode explicar aos
24
alunos que dentro da matemática o ato de demonstrar consiste em apresentar
argumentos que justifiquem “o porquê” de tal ocorrência ser verdadeira, salientando
que essa maneira de pensar surgiu na Grécia antiga.
Nessa fase o professor pode fazer uma explanação dos fatos históricos
relatando aos alunos a partir de quais necessidades surgiram as demonstrações,
citando os matemáticos que influenciaram nesse desenvolvimento, realizando assim
uma breve abordagem histórica desde o inicio das demonstrações até a grande
criação de Euclides, a obra Elementos conforme abordagem realizada no capítulo 3
(Aspectos Históricos da Geometria) deste trabalho. Em seguida deve ser
apresentado brevemente aos alunos como Euclides organizou os teoremas, as
proposições e os axiomas, explicando a eles o significado dessas palavras.
O objetivo dessa abordagem histórica é despertar nos alunos a curiosidade
perante as demonstrações, fazendo com que eles observem a sua importância
dentro da matemática, que deixem de aceitar os teoremas como verdades absolutas
e passem a questionar-se sobre como surgiram.
O professor poderá utilizar um objeto, por exemplo, um lápis onde diante das
características desse objeto poderá dar uma breve introdução a uma demonstração
e o que é necessário para se provar algo. Primeiramente deve perguntar aos alunos
que objeto está segurando. Acredita-se que todos responderão que é um lápis. Em
seguida deve perguntar por que aquele objeto é um lápis, esperando que os alunos
argumentem que é porque tem a forma de um lápis e que é usado para escrever,
assim o professor deverá analisar as argumentações e se estas não revelarem todas
as características que identifiquem um lápis, deverá argumentar, por exemplo,
dizendo que aquele objeto é uma caneta, até que os alunos possam compreender
que em uma argumentação são necessárias determinadas afirmações fundamentais
para se chegar ao que se quer provar, pois caso contrário a demonstração poderá
ficar insuficiente. Neste caso é necessário que os alunos relatem que para aquele
objeto ser um lápis deverá ser de madeira, utilizado para escrever, onde sua escrita
pode ser apagada e pode ser apontado.
Para introduzir o trabalho com demonstrações sugere-se que o professor
apresente a definição de triângulos aos alunos, explicando que podemos nomear um
triângulo utilizando três letras maiúsculas que correspondem a cada um de seus
vértices. Poderá ser feito um desenho no quadro-negro de um triângulo qualquer,
para que os alunos possam visualizar melhor. Utilizaremos aqui a Figura 1 para
25
esboçar um triângulo e o chamaremos de . Deve ser acrescentado que para nos
referirmos aos lados deste triângulo, indicaremos por duas letras maiúsculas,
. Quando nos referirmos à medida destes segmentos os
representaremos por . Para indicar seus ângulos poderão ser utilizadas as
três letras, onde a que indica o vértice deve aparecer com um acento circunflexo, no
meio das outras duas, ou seja, o ângulo correspondente ao vértice será
representado por ou . Esse ângulo também poderá ser representado
apenas por uma letra maiúscula com acento circunflexo, no exemplo dado
chamaremos de . Na representação de ângulos também poderão ser utilizadas as
letras gregas.
Aqui é importante que o professor deixe claro aos alunos que as notações
descritas acima foram desenvolvidas com o objetivo de se unificar a simbologia
matemática, para que assim todos possam identificar sobre o que está se tratando.
Figura 1 – Triângulo ABC Fonte: O autor
Em seguida o professor poderá rever com a turma a classificação dos
triângulos de acordo com a medida de seus lados e o tipo de seus ângulos:
Triângulos classificados de acordo com a medida de seus lados.
1. Triângulo escaleno: É um triângulo que possui a medida de seus lados diferentes
entre si. Na Figura 2, o triângulo possui .
2. Triângulo isósceles: É o triângulo que possui pelo menos dois lados que tem a
mesma medida. A Figura 2 dá a representação do triangulo isósceles , pois
e estes são diferentes de .
3. Triângulo equilátero: O triângulo equilátero é o que possui os três lados com a
mesma medida. Na Figura 2 o triângulo possui .
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Figura 2 – Triângulos classificados de acordo com seus lados Fonte: O autor
Triângulos classificados de acordo com o tipo de seus ângulos:
1. Triângulo retângulo: O Triângulo retângulo é assim chamado, por possui um de
seus ângulos medindo noventa graus (angulo reto). Na Figura 3 o triângulo
possui igual a um ângulo reto, assim chamamos de hipotenusa e e
de catetos do triângulo retângulo.
2. Triângulo obtusângulo: é um triângulo que possui um ângulo obtuso (maior que
90º). Na Figura 3 o triângulo é obtusângulo, pois o ângulo é maior que
90º.
3. Triângulo acutângulo: É um triângulo que possui os três ângulos agudos (menores
que 90º). Na Figura 3 o triângulo possui , e menores que 90º.
Figura 3 – Triângulos classificados de acordo com seus ângulos Fonte: O autor
Neste momento o professor poderá introduzir o conceito de congruência e
congruência de triângulos apresentando seus casos específicos.
Definição: Diz-se que dois ângulos são congruentes, quando possuem a mesma
medida; dois segmentos e são congruentes, quando .
Definição de congruência de triângulos: Dois triângulos são ditos congruentes se for
possível realizar uma correspondência entre eles, de maneira em que cada elemento
(ângulos, vértices e lados) do primeiro corresponda com um e apenas um elemento
do segundo, onde lados e ângulos correspondentes sejam congruentes.
27
O professor pode explicar aos alunos que no primeiro caso, “dados dois
triângulos e , se , e então ”
(BARBOSA, 1995, p.35). No segundo, “dados dois triângulos e , se
, e , então .” (BARBOSA, 1995, p.36). No terceiro
caso, “se dois triângulos têm três lados correspondentes congruentes então os
triângulos são congruentes.” (BARBOSA, 1995, p.39).
Para introduzir o tema demonstração é fundamental que o professor
esclareça as ideias de hipótese e tese, para que o aluno saiba como começar e o
que deve provar. Podendo utilizar como exemplo um dos casos de congruência
acima, mostrando no segundo caso que:
A hipótese é: dados dois triângulos e , onde , e ;
A tese é: os triângulos e são congruentes.
É interessante que o professor questione os alunos sobre o que seria a
hipótese e a tese do terceiro caso. Acredita-se que eles consigam identificar:
A hipótese: dois triângulos têm três lados correspondentes congruentes;
A tese como: os triângulos são congruentes.
Neste momento o professor dará inicio as demonstrações, sendo
construídas em conjunto com os alunos. É importante que o professor faça
questionamentos referentes às etapas da demonstração, com o intuito de instigar o
aluno a pensar em justificativas que possam ser utilizadas no decorrer da atividade.
Seguindo esses passos será enunciada a proposição: “Em um triângulo
isósceles os ângulos da base são congruentes”.
Inicialmente o professor poderá questionar os alunos sobre qual é a hipótese e
qual é a tese. Espera-se que os alunos identifiquem que a hipótese é que temos
um triângulo isósceles e que a tese é que os ângulos da base deste triângulo são
congruentes.
Assim o professor explica aos alunos que deve-se iniciar a demonstração
escrevendo a hipótese, para isso pedirá a participação dos mesmos na
formulação da frase que deverá ter o mesmo sentido que a seguinte: “Seja
um triângulo isósceles”.
Em seguida pode perguntar aos alunos o que é um triângulo isósceles, deixando
claro que essa explicação deve estar presente na demonstração. Novamente o
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professor deverá induzir os alunos a desenvolverem a frase, que deverá ser
semelhante a seguinte: “logo é congruente a ”.
Agora o professor pode dizer aos alunos que é necessário explicar o significado
da tese identificando o que se quer provar: “pretende-se provar que os ângulos da
base e são congruentes”.
Dando continuidade o professor poderá pedir aos alunos que desenhem o
triângulo isósceles e esse mesmo triângulo invertendo os vértices e
expressado aqui, de acordo com a Figura 4.
Figura 4 – Triângulo isósceles ABC Fonte: O autor
Nesse instante o professor deverá pedir para os alunos fazerem a
correspondência dos vértices destes triângulos procedendo a demonstração a
partir da seguinte ideia: “Para isso comparando os triângulos e fazemos
a correspondência dos vértices da seguinte maneira
”.
Partir-se-á então para obter as conclusões acerca desta correspondência, que
deverá seguir os parâmetros das que seguem: “por hipótese, do primeiro
triângulo é igual a do segundo e do primeiro triângulo é igual a do
segundo”.
Deve complementar que “como do primeiro triângulo é igual a do segundo,
pelo primeiro caso esses triângulos são congruentes”, dizendo aos alunos que
“por consequência teremos ”. A demonstração aqui realizada é semelhante
à de Barbosa (1995, p.37).
Após este primeiro contato com as demonstrações o professor fará uma
segunda demonstração que seguirá os mesmos moldes da anterior, com o
acompanhamento e a participação dos alunos. É necessário que o professor sempre
leve os alunos a refletir sobre o passo a passo da atividade.
29
Primeiramente deverão ser revisados os conceitos de mediana, bissetriz e
altura de um triângulo.
1. Mediana: é chamado de mediana o segmento de um vértice ao ponto médio do
lado oposto a ele.
2. Bissetriz: é um segmento que divide o ângulo em dois de mesma medida e
estende-se ao lado oposto a ele.
3. Altura: a altura é um segmento a partir de um dos vértices que é perpendicular
(possui um ângulo igual a 90º) ao lado oposto.
Depois disso deverão ser relembrados os tipos de Ângulos que serão necessários
para o desenvolvimento da atividade:
1. Ângulo reto: Um ângulo reto é aquele que tem a medida igual a 90º
2. Ângulo raso: Ângulo raso é aquele que possui medida igual a 180º
3. Ângulos suplementares: Ângulos são ditos suplementares se a soma de suas
medidas é igual a 180º.
4. Ângulos adjacentes: São chamados ângulos adjacentes, dois ângulos que
possuem o mesmo vértice e um lado comum entre eles.
Em seguida se dará a demonstração enunciada pela proposição: “Em um
triângulo isósceles a mediana relativamente a base é também bissetriz e altura”.
Prova: Seja um triângulo isósceles em que é a sua base, de acordo com a
Figura 5.
Figura 5 – Triângulo isósceles traçado a sua mediana Fonte: O autor
Chamaremos de o ponto médio de , assim será a mediana relativamente à
base. Para provarmos que é bissetriz, é necessário mostrarmos que
e para demonstrarmos que é altura devemos mostrar que é um
ângulo reto.
30
Para isso considere o triângulo e . Como temos pela hipótese que
, assim também temos pelo que já provamos, que , e ainda como
é mediana, temos que , então de acordo com o primeiro caso,
. Segue disso que , assim é bissetriz do ângulo . Temos
também que pelos triângulos serem congruentes, e como é um
ângulo raso, então º, assim º, portanto é
perpendicular a . Isto conclui a prova da proposição.
Apôs o término da demonstração o professor pedirá aos alunos para se
dividirem em grupos com cerca de quatro alunos e entregará aos mesmos três
exercícios, onde eles deveram efetuar a demonstração. É preciso que o professor
esteja sempre em contato com os alunos perguntando sobre as suas dificuldades e
auxiliando-os. O professor não deverá mostrar para os alunos como a demonstração
é feita e sim dar dicas que os ajudem a identificar os passos.
Os exercícios serão enunciados da seguinte forma:
01) Se dois ângulos são opostos pelo vértice, então esses ângulos têm a mesma
medida.
Figura 6 – Exercício 01 Fonte: O autor
02) Na figura abaixo, e é bissetriz do ângulo . Prove que os
triângulos e são congruentes.
Figura 7 – Exercício 02 Fonte: O autor
31
03) Na figura abaixo os ângulos e são retos e o segmento corta no ponto
médio de . Mostre que .
Figura 8 – Exercício 03 Fonte: O autor
Acredita-se que os alunos darão início a atividade identificando a hipótese
do primeiro exercício como, “os ângulos são opostos pelo vértice” e a tese como “os
ângulos possuem a mesma medida”. Imagina-se que os alunos identificarão que,
º e º de acordo com a hipótese. Em seguida, espera-se que
eles identifiquem que
º
neste caso acredita-se que eles diminuirão em ambos os lados das igualdades,
e obterão,
Com isso concluirão que .
Acredita-se que os alunos darão início a demonstração do exercício 02
identificando a hipótese como, “ e é bissetriz do ângulo ” e a tese
como “os triângulos e são congruentes”. Com isso acredita-se que eles
identificarão de acordo com a hipótese que os ângulos e são congruentes.
Em seguida espera-se que eles observem que o lado é comum aos dois
triângulos. Com isso imagina-se que eles concluirão que os triângulos possuem um
ângulo e dois lados correspondentes congruentes e que pelo primeiro caso de
congruência de triângulos, e são congruentes.
Para o terceiro exercício, espera-se que estes identifiquem a hipótese como
sendo “os ângulos e são retos e o segmento corta no ponto médio de
” e a tese como “ ”. Imagina-se que os alunos identificarão que para
demonstrar que , basta mostrar que os triângulos e são
32
congruentes, assim, os alunos identificarão de acordo com a hipótese que, se o
segmento corta no ponto médio de , os lados e dos triângulos são
congruentes. Ainda pela hipótese, acredita-se que eles identificarão que os ângulos
e sendo retos, também são congruentes. Neste instante imagina-se que eles
usarão o que foi demonstrado na atividade 01 e identificarão que os ângulos e
são opostos pelo vértice , assim tem a mesma medida. Espera-se que os
alunos concluam a demonstração afirmando que pelo segundo caso de congruência
os triângulos e são congruentes, e dessa forma .
Ao momento que o professor identificar que os alunos conseguiram terminar
as demonstrações, deverá pedir aos mesmos que apresentem que ideias seguiram
para demonstrar, proporcionando um debate entre os grupos para que todos
possam expor o que fizeram.
Para dar continuidade, é necessário que o professor explique aos alunos
que a palavra colinear significa que, pertencem a uma mesma “linha reta”, também é
preciso apresentar a definição de ângulo externo e o teorema do ângulo externo.
Definição: Sendo um triângulo, os ângulos e são chamados de
ângulos internos ou simplesmente de ângulos do triângulo. Os suplementos destes
ângulos são chamados de ângulos externos do triângulo.
Teorema (ângulo externo): Todo ângulo externo de um triângulo mede mais do que
qualquer dos ângulos internos a ele não adjacentes.
Em seguida o professor dará o seguinte exercício:
04) Na figura abaixo, e são colineares. Do mesmo modo e são
colineares. Verifique que .
Figura 9 – Exercício 04 Fonte: O autor
33
Espera-se que os alunos identifiquem que sendo e colineares, o
ângulo é ângulo externo do triângulo e se e são colineares, o
ângulo é ângulo externo do triângulo , dessa forma e
, assim concluído que .
Após essa atividade o professor deverá pedir aos alunos para que
posicionem as carteiras em forma de “U” de maneira que todos estejam com a visão
livre para o quadro negro. Deverão ser feitas algumas consideração, como a
definição de reta paralela e reta transversal e a enunciação de uma proposição
necessária para a próxima atividade.
Retas paralelas: São retas localizadas sobre um mesmo plano que nunca se
interceptam, por mais que sejam estendidas.
Reta transversal: é uma reta que atravessa duas ou mais retas.
Figura 10 – Representação de Reta Transversal e Retas Paralelas Fonte: O autor
Proposição: Se duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, então os
ângulos correspondentes são iguais.
Figura 11 – Ângulos correspondentes em uma reta transversal Fonte: O autor
Neste momento será proposto aos alunos, que eles demonstrem junto com o
professor o seguinte teorema:
Teorema: A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º.
34
Primeiramente o professor deverá perguntar aos alunos, se eles concordam
que essa soma será igual a 180º, deverá instigar os alunos a pensarem sobre essa
afirmação e também em que tipo de argumentos poderiam ser utilizados para se
demostrar tal fato.
O professor deve explicar aos alunos que as definições apresentadas e a
proposição anterior serão úteis na demonstração do teorema. Em seguida, o deverá
construir uma reta passando pelo ponto que seja paralela ao lado do triangulo
dado, dizendo que é necessário que os ângulos formados com o vértice sejam
numerados. Acredita-se que os alunos observem que º e que os
lados e podem ser comparados com duas transversais que cortam, o lado
e a paralela a ele traçado em , nesse momento o professor deve perguntar aos
alunos o que deve ser argumentado. Acredita-se que os alunos observarão que de
acordo com a proposição anterior, tem-se º.
Figura 12 – Soma dos ângulos internos do triângulo Fonte: O autor
Como última atividade o professor deverá propor que os alunos pensem em
algo dentro do ramo da geometria que sintam interesse em demonstrar, o professor
deverá auxiliá-los informando-lhes sobre as dificuldades que encontrarão nas
demonstrações e também orientá-los nas etapas que irão desenvolver para
chegarem ao que pretende provar.
Para encerar, o professor deve reforçar que as demonstrações são
importantes na área da matemática, pois esta ciência é uma espécie de
conhecimento e que para que possamos conhecer alguma coisa, para que saibamos
algo, não é necessário simplesmente acreditar e sim ter razões que sejam
suficientes para nos permitir acreditar, Fossa (2009).
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
A matemática possui um papel de formação que deve ser observado e
trabalhado, seu ensino não deve ser resumido a uma mera transmissão (por parte
do professor) e recepção (por parte do aluno) do conhecimento, este deve ser
construído em sala de aula de maneira a tornar o aluno um indagador. Pensando
dessa forma e baseando-se na importância das demonstrações para a matemática é
que desenvolvemos este trabalho.
Acreditamos que a utilização das demonstrações no ensino de matemática
possa contribuir no desenvolvimento de um pensamento crítico, levando o aluno a
ampliar seu raciocínio a fim de aprender a questionar sobre a validade das coisas, e
saber argumentar sobre o que acha certo ou errado. Nesta perspectiva o papel do
professor é o de buscar formas que proporcionem o progresso desse pensamento.
Esperamos assim que a utilização das demonstrações no ensino de matemática
além de contribuir para a construção de um conhecimento científico possa ampliar
os pensamentos argumentativos dos alunos de maneira que possam utilizá-los na
vida cotidiana.
Procuramos desenvolver as atividades propostas visando uma apresentação
das demonstrações aos alunos, com o objetivo de iniciar o desenvolvimento da
capacidade de questionar. Dessa forma acreditamos que após este primeiro contato,
as aulas de matemáticas devem ser pensadas de forma que englobem os conteúdos
propostos para cada série com as demonstrações dos mesmos.
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