faculdade estadual de filosofia, ciÊncias e...
TRANSCRIPT
0
FACULDADE ESTADUAL DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS - FAFI COLEGIADO DE MATEMÁTICA
KEITI LUANA FIDUNIV
APLICANDO MODELAGEM MATEMÁTICA NA ESTAÇÃO FERROVIÁRIA UNIÃO COM ABORDAGEM EM FUNÇÕES DE SEGUNDO GRAU PARA O ENSINO
MÉDIO
UNIÃO DA VITÓRIA 2011
1
KEITI LUANA FIDUNIV
APLICANDO MODELAGEM MATEMÁTICA NA ESTAÇÃO FERROVIÁRIA UNIÃO COM ABORDAGEM EM FUNÇÕES DE SEGUNDO GRAU PARA O ENSINO
MÉDIO Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito parcial para obtenção de título do título de Licenciada em Matemática na Faculdade Estadual de Filosofia, Ciências e Letras - FAFI. Orientadora: Profª. Elizane Mainardes Appel
UNIÃO DA VITÓRIA
2011
2
Aos meus pais, Luis Fiduniv e Ana Salet Lalik Fiduniv, pelo incentivo aos estudos. Aos meus irmãos Kleisson Luis Fiduniv e Kétli Amanda Fiduniv pela compreensão. E ao meu noivo Maicon André Becker, pelos momentos de carinho e confiança.
3
AGRADECIMENTOS
Primeiramente a Deus, pela vida, por ter iluminado meu caminho, dando-me
forças na busca dos objetivos.
Aos meus pais que sempre apoiaram e acreditaram em mim, estando ao
meu lado nos momentos mais difíceis e aceitando a minha ausência durante várias
ocasiões.
Aos meus irmãos, principalmente ao Kleisson, que inúmeras vezes ficou
magoado por eu não estar presente em momentos importantes de sua vida.
Ao meu noivo, por ter paciência em me escutar, com quem desabafei
infinitas vezes.
A todos os meus amigos, pelos momentos de alegrias e distrações.
Ao meu afilhado, por sua alegria contagiante.
A professora Elizane Mainardes Appel, que não mediu esforços nas
orientações, ajudando-me durante todo este percurso.
Enfim, a todos que acreditaram em meu potencial.
4
“Não há ensino sem pesquisa e pesquisa sem ensino [...]. Enquanto ensino continuo buscando, reprocurando. Ensino porque busco, porque indaguei, porque indago e me indago. Pesquiso para constatar, constatando, intervenho, intervindo educo e me educo. Pesquiso para conhecer o que ainda não conheço e comunicar ou anunciar a novidade”.
(Paulo Freire)
5
RESUMO
Neste trabalho, aborda-se a metodologia Modelagem Matemática para discutir o conceito de função
polinomial do segundo grau. Durante o seu desenvolvimento, aborda-se a história da Estação
Ferroviária União e, com ela, podem-se trabalhar conteúdos das disciplinas de Matemática, História e
Geografia, proporcionando, assim, uma interdisciplinaridade. Busca-se apresentar a Modelagem
Matemática como uma estratégia para o ensino e a aprendizagem da Matemática. Ressalta-se
também a história da função, sua definição e sua importância no ensino. Na sequência, tendo como
enfoque a Matemática, introduz-se o conceito de função polinomial do segundo grau, através da
Modelagem Matemática e, as variações que ocorrem ao modificar os coeficientes e , com auxílio
do software GeoGebra. Assim, através da realidade, pode-se trabalhar a Matemática de maneira
atrativa e satisfatória, o que pode proporcionar aos educandos uma aprendizagem significativa dos
conceitos matemáticos.
Palavras-chave: Função polinomial do segundo grau. Matemática. Modelagem Matemática.
FIDUNIV, Keiti Luana. Aplicando Modelagem Matemática na Estação Ferroviária União com Abordagem em Funções de Segundo Grau para o Ensino Médio. 2011. 37 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura Plena em Matemática) – Faculdade Estadual de Filosofia, Ciências e Letras - FAFIUV, União da Vitória.
6
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 - A nova estação, recém-inaugurada em 1942...............................
10
Figura 2 - Os bons tempos voltaram em Porto União da Vitória. Locomotiva La Meuse partindo para Eng. Eugenio de Mello, em passeio turístico em 12/09/2003...................................................
11
Figura 3 - Ciclo de modelação.......................................................................
14
Figura 4 - Cone seccionado pelo plano , paralelo a sua geratriz d.............
24
Figura 5 - Parábola com seu eixo de simetria...............................................
24
Figura 6 - Representação dos pontos coletados...........................................
26
Figura 7 - Linha de tendência........................................................................
27
Figura 8 - Opções “polinomial” e “exibir equação do gráfico”........................
28
Figura 9 - Representação da parábola obtida pelos pontos..........................
29
Figura 10 - Seleção do botão seletores...........................................................
30
Figura 11 - Seletores e , que correspondem aos coeficientes da função............................................................................................
31
Figura 12 - Função polinomial do segundo grau.............................................
31
Figura 13 - Função dependendo dos seletores e ..............................
32
Figura 14 - Parábola com a concavidade voltada para baixo..........................
33
Quadro 1
- Evolução do conceito de função................................................... 18
Quadro 2
- Interações, relações e funções; Invariantes e transformações..... 22
Quadro 3
- Validação....................................................................................... 34
7
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 8
2 HISTÓRIA DAS FERROVIAS DO PARANÁ ........................................................... 9
2.1 HISTÓRICO DA LINHA ...................................................................................... 9
2.2 ESTAÇÃO FERROVIÁRIA “UNIÃO” ................................................................... 9
3 MODELAGEM MATEMÁTICA: UMA ESTRATÉGIA PARA O ENSINO E A
APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA ...................................................................... 12
4 FUNÇÃO ................................................................................................................ 15
4.1 O CONCEITO DE FUNÇÃO E SEU CONTEXTO HISTÓRICO ......................... 15
4.2 O ENSINO E A APRENDIZAGEM DE FUNÇÕES, SEGUNDO OS
PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS .................................................... 20
4.3 A ORIGEM DA PARÁBOLA .............................................................................. 22
4.4 A ORIGEM DA PARÁBOLA .............................................................................. 23
5 O ENSINO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA PARTINDO DA ESTAÇÃO
FERROVIÁRIA UNIÃO ............................................................................................. 25
5.1 INTRODUÇÃO ................................................................................................. 25
5.2 A ESCOLHA DO TEMA .................................................................................... 25
5.2.1 A coleta de dados ...................................................................................... 26
5.3 O DESENVOLVIMENTO DA PROPOSTA........................................................ 26
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................... 35
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 36
8
1 INTRODUÇÃO
Frequentemente os educandos perguntam onde utilizarão os conteúdos que
estão aprendendo em sala de aula. Partindo deste questionamento, este trabalho
visa mostrar uma das aplicabilidades da Matemática, contextualizada com algumas
das demais disciplinas presentes na grade curricular do Ensino Médio. Para tanto,
utiliza-se a metodologia de Modelagem Matemática. Com esta, os alunos podem
escolher trabalhar um assunto de seu interesse, analisar dados, levantar hipóteses e
criar um modelo, aprendendo, desta forma, diversos conteúdos matemáticos.
Nesse sentido, este trabalho busca elaborar uma proposta envolvendo a
Modelagem Matemática e a interdisciplinaridade, podendo assim introduzir o
conceito de função polinomial do segundo grau no Ensino Médio.
Ao abordar função polinomial do segundo grau através da Modelagem
Matemática, espera-se que os alunos percebam a aplicabilidade deste conteúdo em
seu cotidiano e que, ao visualizarem o formato de uma parábola, consigam
relacionar que esta representa uma função polinomial do segundo grau. Deste
modo, a Modelagem Matemática pode proporcionar diversos benefícios para os
educandos, pois pode motivá-los, tornando sua aprendizagem mais significativa,
desenvolvendo seu raciocínio lógico e, consequentemente, contribuindo para a
formação de um cidadão crítico, compreendendo o papel da Matemática na
sociedade.
A estrutura do trabalho é dividida em seis capítulos. No primeiro capítulo é
feita a introdução. No segundo capítulo, conta-se a história das ferrovias do Paraná
e o histórico da Estação Ferroviária União. No terceiro capítulo, fala-se sobre a
Modelagem Matemática, que é a metodologia a ser abordada no trabalho, ressalta-
se qual seu papel como uma estratégia de ensino e aprendizagem. No quarto
capítulo, aborda-se o conceito de função, seu contexto histórico e uma visão
segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNS) de seu ensino e
aprendizagem. Neste mesmo capítulo, comenta-se sobre a origem e a definição da
parábola, que é o gráfico de uma função polinomial do segundo grau. A proposta de
ensino é descrita no quinto capítulo. Para encerrar, no sexto capítulo encontram-se
as considerações finais. E por último, pode-se encontrar as referências bibliográficas
utilizadas no presente trabalho.
9
2 HISTÓRIA DAS FERROVIAS DO PARANÁ
Com a inauguração do trecho ferroviário entre Paranaguá e Curitiba, em
1885, inicia-se a história das ferrovias no Paraná. Em 1889, João Teixeira Soares
projeta o traçado da estrada de ferro Itararé (SP) e Santa Maria (RS), tal ferrovia
contribuiu para a economia da região compreendida pelos atuais municípios de
Porto União (Santa Catarina) e União da Vitória (Paraná). No ano de 1905, do lado
direito do Rio Iguaçu, inaugura-se uma estação ferroviária em Porto União da Vitória.
De acordo com Porto
na história mais recente da nação as ferrovias do sul do Brasil foram destaque. No Paraná nos deparamos com o acontecimento da Guerra do Contestado em 1912 e com alguns anos mais, a Revolução de 1930. Estas ferrovias foram fundamentais como meio de transporte pelas tropas militares desses episódios e, por conseguinte, as suas estações viraram pontos estratégicos das tropas em atuação (2010).
Em 1916 resolve-se a questão das terras pertencentes ao Paraná e Santa
Catarina, estabelecendo-se que os limites atravessariam a cidade de União da
Vitória. Por este fato a cidade ficou repartida pelos trilhos da estrada de ferro São
Paulo - Rio Grande.
2.1 HISTÓRICO DA LINHA
Em 1896 inicia-se a construção da linha Itararé-Uruguai, esta linha é
considerada a linha-tronco da RVPSC (Rede de Viação Paraná - Santa Catarina).
Após quatro anos abre-se o primeiro fragmento entre Piraí do Sul e Rebouças,
entroncando-se em Ponta Grossa com a Estrada de Ferro Paraná, atingindo União
da Vitória em 1905 e Marcelino Ramos em 1910. No ano de 1995, o trecho
Engenheiro Gutierrez-Porto União foi erradicado.
O trecho Porto União - Marcelino Ramos atualmente só é utilizado por trens
turísticos irregulares e trens de capina da ALL (América Latina Logística).
2.2 ESTAÇÃO FERROVIÁRIA “UNIÃO”
Em 1940 existiam duas estações ferroviárias, uma pertencente à União da
Vitória e outra a Porto União. Após alguns anos, os governos estaduais e o federal
10
perceberam a importância das ferrovias se entroncarem. Inaugurou-se então, em 15
de agosto de 1942, a construção da nova estação ferroviária.
FIGURA 1 - A nova estação, recém-inaugurada em 1942. Foto dos relatórios da RVPSC. Fonte: Porto, 2010.
Respeitando a tradição das duas cidades colonizadas juntas, a Rede
substituiu as duas estações por dois prédios semelhantes. Onde a cobertura que liga
os dois possui o formato de uma grande abóbada em arco e no subterrâneo está
uma galeria para a circulação de pedestres.
Com o intuito de evitar discordâncias entre as cidades a nova estação foi
cognominada de “União”.
Segundo Porto,
na estação funcionou, do lado de Porto União, a Agência Postal Telegráfica, a qual ocupava a parte térrea e superior ao lado sul da Estação. Uma escada interna estabelecia a ligação da Agência Postal com a sala do Telégrafo. No lado norte, nas dependências térreas, funcionava o restaurante da Estação, dirigido pelo Senhor Salustiano Costa e servido pelo senhor França. O andar superior servia aos escritórios do 3º Distrito de Obras e Cadastro. Do lado de União da Vitória, na ala norte ficavam os serviços de transmissão da Rede (telégrafo morse, telefone seletivo e rádio). Na parte de baixo, a Agência da Estação. No lado sul, andar superior, o Departamento Pessoal e no térreo, o Setor Comercial da Rede (2010).
Até 1970, União da Vitória e Porto União eram o segundo ou terceiro
faturamento da RVPSC, desde então, com a construção do tronco principal Sul por
Rio Negro, a velha "linha do Contestado" foi perdendo importância e, em 1997, foi
abandonada completamente.
Até 1970 alguns trens ainda trafegavam, porém, pelo fato do trecho ser
bastante acidentado, posteriormente foram eliminados. Com a enchente de 1983,
11
circularam novamente. Por mais de uma semana, eram os únicos que conseguiam
acessar as cidades de União da Vitória e de Porto União. Em seguida, esses trens
pararam de circular novamente. Algum tempo depois, a ponte Machado da Costa foi
asfaltada e seus trilhos foram retirados. Apenas uma das linhas restou, justamente a
que divide os dois estados, as demais foram extraídas.
Atualmente a divisa estadual atravessa o interior de uma estação ferroviária,
que estava abandonada até 2002, porém, a partir desde ano, reformas foram feitas e
esta foi reinaugurada.
FIGURA 2 - Os bons tempos voltaram em Porto União da Vitória. Locomotiva La Meuse partindo para Eng. Eugenio de Mello, em passeio turístico em 12/09/2003. Foto dos relatórios da RVPSC Fonte: Porto, 2010.
Posteriormente a gare, a linha se decompõe em três: a primeira vai de Matos
Costa a Caçador, a segunda de Mafra a São Francisco e a terceira de Porto União a
Matos Costa. A última linha citada, durante o mês de setembro de 2003, passou a
ser reutilizada por trens turísticos.
12
3 MODELAGEM MATEMÁTICA: UMA ESTRATÉGIA PARA O ENSINO E A
APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA
De acordo com Bassanezi (2002), a Modelagem Matemática iniciou-se na
década de 1980, onde uma turma de Engenharia dos Alimentos, na disciplina de
Cálculo Diferencial e Integral, obteve resultados satisfatórios através de uma
experiência de modelagem. Destaca-se também que, em 1983, ocorreu o primeiro
contato com a Modelagem Matemática na educação brasileira, através de cursos de
especialização para docentes, na Faculdade de Filosofia Ciências e Letras de
Guarapuava – FAFIG, atualmente UNICENTRO. A partir de 1987, artigos e
dissertações enfocando a Modelagem como uma alternativa para o ensino e
aprendizagem de Matemática começaram a ser elaborados. Em 1999 foi realizada a
primeira Conferência Nacional.
Mas afinal, o que é Modelagem Matemática? De acordo com Bassanezi,
Modelagem matemática é um processo dinâmico utilizado para a obtenção e validação de modelos matemáticos. É uma forma de abstração e generalização com a finalidade de previsão de tendências. A modelagem consiste, essencialmente, na arte de transformar situações da realidade em problemas matemáticos cujas soluções devem ser interpretadas na linguagem usual (2009, p.24).
Assim, de acordo com Bassanezi (2002) e Biembengut (2004), um conjunto
de símbolos e relações matemáticas que traduz, de alguma forma, um fenômeno em
questão ou um problema de situação real, é denominado de Modelo Matemático.
Seguindo este raciocínio, Bassanezi salienta dois tipos de modelos:
Modelo Objeto é a representação de um objeto ou fato concreto; suas características predominantes são a estabilidade e a homogeneidade das variáveis.[...] Um modelo teórico é aquele vinculado a uma teoria geral existente – será sempre construído em torno de um modelo objeto com um código de interpretação [...] (2009, p.20).
Bassanezi (2009) ressalta também que os modelos matemáticos podem ser
estabelecidos de acordo com a natureza dos fenômenos ou circunstâncias
analisados e classificados conforme o tipo de matemática utilizada, classificando os
modelos matemáticos como:
13
i. Linear ou não-linear, conforme suas equações básicas tenham estas características; ii. Estático, quando representa a forma do objeto [...]; ou Dinâmico quando simula variações de estágios do fenômeno [...]. iii. Educacional, quando é baseado em um número pequeno ou simples de suposições tendo, quase sempre soluções analíticas [...] (2009, p.20).
De modo geral, compreende-se que a Modelagem Matemática pode ser
utilizada como uma estratégia de ensino e aprendizagem para a Matemática, que
permite que os alunos investiguem e transformem problemas da realidade em
problemas matemáticos, motivando-os a buscar respostas, através da linguagem
matemática e conduzindo-os a interpretar os resultados alcançados usando a
linguagem habitual.
Neste trabalho, será utilizado o modelo estático, pois partindo da imagem da
cobertura da Estação Ferroviária União, será deduzido o modelo que a descreve.
Porém, para se chegar a um modelo matemático alguns procedimentos são
fundamentais, tais como a interação, onde o professor e os alunos fazem a escolha
do tema a ser modelado e, em seguida, vão em busca de sua fundamentação
teórica, esse processo denomina-se familiarização; posteriormente temos a
matematização, fase em que se estabelecem problemas dentro da temática
abordada na interação e é proposto aos alunos a resolução destes problemas.
Deste modo, Stewart define que
Qualquer descrição matemática do mundo real é um modelo. Manipulando o modelo esperamos compreender algo da realidade. E já não perguntamos se o modelo é verdadeiro, perguntamos unicamente se as suas implicações podem ser verificadas experimentalmente (2008, apud MODELAÇÃO).
Conforme se observa, é necessário determinar previamente a situação real
que se quer analisar. Logo após, temos que fazer a escolha das variáveis,
representando a estrutura matemática a ser empregada. Determinada a formulação
matemática do problema, temos que testá-la e analisá-la para obtermos conclusões.
Tais conclusões serão interpretadas visando solucionar o problema inicial. Este é
denominado o momento da validação do modelo. Em seguida, após os resultados
obtidos, é feita uma análise e decidido se é necessário redefinir o problema,
considerar outras variáveis ou mudar o método de resolução.
Todo este processo define o Ciclo de Modelação1:
1 Neste trabalho Modelagem Matemática e Modelação Matemática possuem o mesmo significado.
14
FIGURA 3 - Ciclo de Modelação. Fonte: MODELAÇÃO. Disponível em: http://portfoliomatematica.no.sapo.pt/modelacao1.htm. Acesso em: 15 jan. 2011.
Bassanezi afirma que,
Na modelação a validação de um modelo pode não ser uma etapa prioritária. Mais importante do que os modelos obtidos é o processo utilizado, a análise crítica e sua inserção no contexto sócio-cultural. O fenômeno modelado deve servir de pano de fundo ou motivação para o aprendizado das técnicas e conteúdos da própria matemática. As discussões sobre o tema escolhido favorecem a preparação do estudante para o elemento participativo da sociedade em que vive (2009, p.38).
Logo, é indispensável que na modelação o professor motive seus alunos
para aprenderem os conteúdos matemáticos propostos.
Dessa forma, conclui-se que para se chegar a um modelo matemático,
alguns empenhos devem ser feitos em busca da melhor representação matemática,
deve-se considerar a situação, escolher as variáveis e os recursos disponíveis,
deste modo, determinando o modelo.
Depois de várias reflexões proporcionadas por este estudo, conclui-se que a
Modelagem Matemática pode ser utilizada no Ensino Médio na abordagem das
Funções de Segundo Grau, pois esta pode possibilitar que o educando aprenda o
conceito de função polinomial do segundo grau partindo da realidade, podendo
assim construir uma aprendizagem significativa e perceber a aplicabilidade deste
conteúdo.
15
4 FUNÇÃO
4.1 O CONCEITO DE FUNÇÃO E SEU CONTEXTO HISTÓRICO
O conceito de Função é um dos mais importantes da Matemática e o seu
método de ensino e aprendizagem também possui grande relevância, pois tem
motivado muitas pesquisas no âmbito da Educação Matemática.
O desenvolvimento histórico do conceito de Função tem sido recordado por
pesquisadores e também por vários historiadores da Matemática, embora existam
ainda muitas inquietações sobre a ascendência desse conceito. Em todos os fatos
relacionados a História, existe sempre uma evolução gradativa, e, com o conceito de
Função não foi diferente, pois este conceito foi se aperfeiçoando ao longo dos
séculos, e a noção atual que conhecemos é consequência de um longo
desenvolvimento do pensamento matemático.
Para Youschkevitch (1981), existem três etapas principais do
desenvolvimento da noção de função:
(1) A Antigüidade: etapa do curso da qual o estudo dos diferentes casos de dependência entre duas quantidades ainda não isolou as noções gerais de quantidades variáveis e de funções. (2) A Idade Média: nesta etapa, estas noções são pela primeira vez, e de maneira precisa, expressas sob uma forma geométrica e mecânica, mas durante a qual, como na antigüidade, cada caso concreto de dependência entre duas quantidades é definida por uma descrição verbal ou por um gráfico, de preferência a uma fórmula. (3) O Período Moderno: no curso do qual a partir do fim do século XVI, e especialmente durante o século XVII, as expressões analíticas de funções começam a prevalecer; a classe das funções analíticas geralmente são expressas por meio de soma de séries infinitas, tornando-se logo a principal classe utilizada (apud OLIVEIRA, 1997, p.13).
Zuffi (2001) assegura que um instinto de funcionalidade já se fazia presente
nos tempos mais distantes. Segundo a pesquisadora, quando os babilônicos e
gregos associavam os dedos às quantidades, e quando viram que estes já não eram
mais suficientes, buscaram outros elementos para contar e enumerar, vivenciando
uma interdependência de variáveis que fluíam para a formação de sistemas de
numeração cada vez mais adequados e práticos.
De acordo com Sá et al (2003), ao construírem tabelas de argila os
babilônicos relacionavam para cada valor na primeira coluna um número na segunda
16
e ao multiplicarmos dois desses números sempre havia outro relacionado, desde
então já se percebia a ideia de função.
Segundo Bell (2003, apud OLIVEIRA, 1997) não é generosidade nenhuma
atribuir aos Babilônicos um instinto para a funcionalidade, pois uma função tem sido
definida claramente como uma tabela ou uma correspondência.
É importante destacar que, para os babilônios, a cada problema surgia uma
nova situação, onde esta exigia uma nova análise, pois eles resolviam cada
problema atentamente sem se basear em outros já resolvidos, deste modo, não
desenvolveram procedimentos ou regras gerais para solucionarem problemas
parecidos.
Durante o período Alexandrino, dentre os gregos, poderíamos citar a
contribuição de Ptolomeu. Em sua obra “Almagesto”, desenvolveu ideias funcionais.
Sá et al. (2003, p.81) afirma que ele “trabalhou na área da astronomia, e que
desenvolveu ferramentas matemáticas, entre elas a trigonometria”. O mesmo autor
afirma que
Semelhante aos babilônicos, os egípcios construíram tabelas, na maioria das vezes em papiros, que apresentavam os resultados das hipóteses, generalizações que eram o resultado da indução incompleta de casos mais simples para casos mais complicados (2003, apud DORIGO, 2006, p.10).
Já para Boyer (1996), eles elaboraram um grande corpo de conhecimento de
relações numéricas e espaciais. Sendo assim, historicamente, as Funções se
relacionam a necessidade de resolver problemas advindos da relação do homem
com o seu meio.
Rodrigues afirma que na
antigüidade foram estudados problemas envolvendo a noção de dependência. Nesse período nenhuma idéia foi generalizada da maneira formal, isso porque não havia nenhuma idéia abstrata de que uma variável se relacionava com os problemas. Pois todos os problemas eram característicos e as fórmulas analíticas não eram aceitáveis, devido a insuficiência da simbologia algébrica. Nesse sentido, Boyer (1986) afirma que, “as relações de dependência entre duas grandezas já tinham sido percebidas e registradas na Antigüidade (2007, p.13).
No século XVI, a álgebra teve um avanço considerável, onde François Viéte
(1540-1603) iniciou seus estudos fundamentados em parâmetros e variáveis. E
17
segundo Mendes (1994) “foi Viéte que fez a distinção entre aritmética e álgebra,
passando a analisar problemas utilizando métodos mais gerais” (p.20).
Kline (apud Mendes, 1994) apresenta Galileu Galilei como o físico
responsável pelos debates ocorridos a respeito dos axiomas, que posteriormente se
uniram com as fórmulas. Buscava entender como os fenômenos da natureza
ocorriam, com o desígnio de relatá-los. Tal estudo do movimento deu origem ao
conceito de uma função ou de uma relação entre variáveis. Mas Galileu não foi o
responsável pela invenção da palavra função.
Segundo Costa (2004), já no século XVII, Descartes (1596-1650) e Fermat
(1601-1665) iniciaram, individualmente, o método analítico para a introdução do
estudo das relações. Foram responsáveis parcialmente pelo desenvolvimento do
cálculo, pois analisaram equações com várias soluções, denominadas
indeterminadas, envolvendo variáveis contínuas.
De acordo com Sá et al. (2003), no século XVIII destacam-se Issac Newton
e Leibniz. Newton descobriu as séries de potências, onde inseriu o termo “variável
independente”, contribuindo para o conceito de função.
Mas, conforme Costa (2004), somente em 1718 é que surge a primeira
definição de função, apresentada por Bernoulli (1654-1705).
No século XVIII, Leonhard Euler (1707-1783) define funções no sentido
analítico, inserindo o símbolo e enfatizando que uma função não necessita
somente de uma expressão analítica. Também, considerou a lei de formação das
funções contínuas e descontínuas, para diferenciá-las. As contínuas seriam aquelas
que se definiam somente por uma expressão analítica e as descontínuas seriam as
que mudavam esta lei em algum intervalo do domínio.
Perto do final do século XVIII, segundo Sá et al. (2003, apud Dorigo, 2006,
p.12), “[...] a idéia de função teve que ser esclarecida e noções como a de limite,
continuidade, diferenciabilidade e integralidade tiveram que ser claramente
definidas”.
Além dos já citados, vários outros nomes foram importantes na construção
do conceito de função. Estes e os anteriores encontram-se no quadro sinóptico
proposto por Sá et al (2003), que será citado a seguir:
18
(continua)
Autor Ano Contribuição
René Descartes (1596-1650)
___ Chegou a definir função como qualquer potência de
x, como , ,...
Isaac Newton (1643-1727)
___ Introduziu o termo “variável independente”.
James Gregory 1667 Na obra Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura, conceituou função sem utilizar a palavra
propriamente dita: “ Nós chamamos uma quantidade x composta de outras quantidades a,b,... se x resulta de a,b,... pelas quatro operações elementares, por extração de raízes ou por qualquer outra operação
imaginável.”
Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716)
1694 Empregou a palavra função para designar quantidades geométricas que dependiam de um ponto em uma curva. E na obra História usou a
palavra “função” para representar quantidades que dependem de uma variável.
Jacob Bernoulli (1654-1705)
1694 Empregou a palavra função como sendo: quantidades geométricas que dependiam de um
ponto em uma curva.
Johann Bernoulli 1718 Definiu da seguinte maneira: “função de uma magnitude variável à quantidade composta de
alguma forma por esta magnitude variável e por constantes.”
Leonhard Euler (1707-1783)
___ Introduziu o símbolo f(x).
D’Alembert (1717-1783)
____ Equação da onda:
Daniel Bernoulli (1700-1782)
1753 Tentativa de resposta para o problema da corda vibrante:
Jouseph-Louis Lagrange (1736-1813)
1797 Na obra Théorie des Functions Analytiques, definiu: “Chama-se função de uma ou de várias quantidades
a toda expressão de cálculo na qual essas quantidades entrem de alguma maneira, combinadas
ou não com outras quantidades cujos valores são dados e invariáveis, enquanto que as quantidades da função podem receber Todos os valores possíveis. Assim, nas funções são consideradas apenas as quantidades assumidas como variáveis e não as constantes que aparecem combinadas a elas”.
Jouseph-Louis Lagrange (1736-1813)
1806 Lecons sur Le calcul des fuctions: “Funções representavam diferentes operações que
deveriam ser realizadas em quantidades conhecidas para obterem-se valores de quantidades
desconhecidas, e estas quantidades desconhecidas eram, propriamente, o último resultado do cálculo.”
QUADRO 1 - Evolução do conceito de função.
19
(continuação)
Autor Ano Contribuição
Jean Baptiste Josph Fourier
(1768-1830)
1822 Afirmou em La théorie analytique de la chaleur que qualquer função poderia ser expressa por uma série trigonométrica da seguinte forma:
Benhard Bolzano (1781-1848)
1817 Publicou Functionlehre onde conceituou continuidade muito próximo do conceito atual.
Demonstrou o teorema do valor médio.
Augustin Louis Cauchy (1789-1857)
1821 Em Cours d’analyse definiu função: “Quando quantidades variáveis estão ligadas
entre si de tal forma que, o valor de uma delas sendo dado, pode-se determinar o valor das
demais, diz-se usualmente que estas quantidades são expressas por meio de uma delas, que toma o
nome de variável independente; e as outras quantidades expressas por meio da variável
independente são o que chamamos de funções dessa variável”.
Definiu continuidade através de infinitésimos.
Peter Gustav Lejune Dirichlet (1805-1859)
____ Demonstrou que nem todas as funções podem ser descritas pela série de Fourier.
Peter Gustav Lejune Dirichlet
(1805-1859)
1837 Definiu função como: “Se uma variável y está relacionada com uma variável x de tal modo que, sempre que é dado
um valor numérico a x, existe uma regra segundo a qual um valor único de y fica determinado, então diz-se que y é função da variável independente de
x.”
Nikolái Lobatchesvsky (1792-1856)
____ Definiu função: “A concepção geral exige que uma função de x
seja chamada de um valor que é dado para cada x e que muda gradualmente com x, o valor da função pode ser dado ou por uma expressão
analítica, ou por uma condição que ofereça um meio para testar todos os números e selecionar um deles; ou finalmente, a dependência pode
existir mas permanecer desconhecida.”
Bernhard Riemann (1826-1866)
____ Esclareceu os critérios de integralidade, e deu origem ao conceito de “integral de Riemann”.
Philipp Cantor (1845-1918)
____ Desenvolveu a teoria dos conjuntos.
Karl Weierstrass (1815-1897)
____ Definiu função como uma série de potência juntamente com todas as que podem ser obtidas
dela por prolongamento analítico.
Giuseppe Peano (1858-1932)
____ Definiu três conceitos primitivos que o zero, o conceito de número (inteiro não-negativo) e a
relação de ser sucessor de, os quais, junto com seus cinco postulados, forneceram uma
construção rigorosa do conjunto dos números naturais.
QUADRO 1 - Evolução do conceito de função.
20
(conclusão)
Autor Ano Contribuição
Nicolas Bourbaki 1968 Théorie des Ensembles conceituou funções de duas maneiras:
“Sejam E e F dois conjuntos, distintos ou não. Uma relação entre uma variável x de E e uma variável y de F é dita uma relação funcional em y, ou relação funcional de E em F se qualquer que seja E existe um e somente um
elemento F que esteja associados a x na relação considerada. Dá-se o nome de função a operação que
desta forma associa a todo o elemento E e o elemento
F que se encontra ligado a x na relação dada; diz-se que y é o valor da função para o elemento x, e que a
função está determinada pela relação funcional considerada. Duas relações funcionais equivalentes
determinam a mesma função”. E:
“Um certo subconjunto do produto cartesiano AxB”.
QUADRO 1 – Evolução do conceito de função Fonte: SÁ, P. F. et al. A Construção do Conceito de função: Alguns Dados Históricos. Traços, Belém, v. 6, n.11, 2003; p.93.
Percebemos então que o conceito de Função evoluiu em três distintos
períodos na História, e que em cada período esse conceito era visto de uma
maneira. Primeiramente, foi visto como dependência entre variáveis, depois como
expressão analítica e, logo após, como relação entre conjuntos.
4.2 O ENSINO E A APRENDIZAGEM DE FUNÇÕES, SEGUNDO OS
PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS
Os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio – PCNEM (1999b)
procuram enfatizar o processo de modificação do ensino.
Segundo os PCNEM de Matemática:
O claro entendimento estabelecido pela Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB/96) do caráter do Ensino Médio como etapa final da Educação Básica, complementando o aprendizado iniciado no Ensino Fundamental, foi um primeiro referencial sobre o qual se desenvolveu a presente proposta da área. Os objetivos educacionais do Ensino Médio, já sinalizados por subsídio produzido pela SEMTEC/MEC e encaminhado para a Câmera de Educação Básica do Conselho Nacional de Educação, foram interpretados e detalhados por Resolução recente (01/06/98) (BRASIL, 1999b, p.4).
Estes referenciais são responsáveis pela organização do aprendizado, tendo
como intuito produzir no Ensino Médio, da componente Ciências da Natureza,
Matemática e suas Tecnologias, um conhecimento eficaz, não somente
21
propedêutico. Buscam também a interdisciplinaridade e contextualização das
disciplinas ao detalharem objetos educacionais desse nível de ensino. Espera-se
que o Ensino Médio desenvolva uma visão ampla, onde conteúdos tecnológicos
anexados ao aprendizado científico e matemático sejam fundamentais para a
formação cidadã unânime e não somente profissionalizante.
Em relação ao ensino de função os PCNs afirmam que:
Além das conexões internas à própria Matemática, o conceito de função desempenha também papel importante para descrever e estudar através da leitura, interpretação e construção de gráficos, o comportamento de certos fenômenos tanto do cotidiano, como de outras áreas do conhecimento, como a Física, Geografia ou Economia. Cabe, portanto, ao ensino de Matemática garantir que o aluno adquira certa flexibilidade para lidar com o conceito de função em situações diversas e, nesse sentido, através de uma variedade de situações problema de Matemática e de outras áreas, o aluno pode ser incentivado a buscar a solução, ajustando seus conhecimentos sobre funções para construir um modelo para interpretação e investigação em Matemática (BRASIL, 1999a, p.44).
Em 2002, o Ministério da Educação criou o PCN+EM: Orientações
Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais. Esta
proposta ressalta que na aprendizagem de Matemática deve haver a
contextualização, pois esta desenvolve competências e habilidades fundamentais
para a formação dos educandos, capacitando-os para a compreensão e
interpretação de conjunturas, onde estes argumentam, analisam, avaliam, tiram
conclusões próprias e tomam decisões.
No quadro a seguir apontam-se os detalhes apresentados por este
documento referente ao estudo de funções, mostrando o sentido dessas
competências e habilidades no âmbito da Matemática.
22
Na área Em Matemática
Identificar fenômenos naturais ou grandezas em dado domínio do conhecimento científico, estabelecer relações, identificar regularidades, invariantes e transformações.
Identificar regularidades em situações semelhantes para estabelecer regras, algoritmos e propriedades; por exemplo, perceber que todas as funções do segundo grau possuem o mesmo tipo de gráfico, o que implica propriedades de sinal, crescimento e decrescimento. Da mesma forma, ao identificar a regularidade de que é constante a soma dos termos eqüidistantes de uma progressão aritmética finita, estender essa propriedade a toda situação envolvendo progressões aritméticas e daí deduzir a soma de seus termos.
Reconhecer a existência de invariantes ou identidades que impõem as condições a serem utilizadas para analisar e resolver situações-problema; por exemplo, estabelecer identidades ou relações como aquelas existentes entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro, os volumes de um cilindro e de um cone que tenham a mesma base e a mesma altura, a relação entre catetos e hipotenusa em qualquer triângulo retângulo; ou ainda a identidade fundamental da trigonometria.
Identificar transformações entre grandezas ou figuras para relacionar variáveis e dados, fazer quantificações, previsões e identificar desvios. As ampliações e reduções de figuras são exemplos que devem ser entendidos como transformações de uma situação inicial em outra final.
Perceber as relações e identidades entre diferentes formas de representação de um dado objeto; como as relações entre representações planas nos desenhos, mapas e telas de computador com os objetos que lhes deram origem.
Reconhecer a conservação contida em toda igualdade, congruência ou equivalência para calcular, resolver ou provar novos fatos. Por exemplo, ao resolver uma equação ou um sistema linear, compreender que as operações realizadas a cada etapa transformam a situação inicial em outra que lhe é equivalente, com as mesmas soluções.
QUADRO 2 - Interações, relações e funções; Invariantes e transformações. Fonte: BRASIL. PCN+EM. 2002, p.116.
Com este documento fica claro que o estudo de funções
[...] permite ao aluno adquirir a linguagem algébrica como a linguagem das ciências, necessária para explicar a relação entre grandezas e modelar situações-problema, construindo modelos descritivos de fenômenos e permitindo várias conexões dentro e fora da própria matemática (BRASIL, 2002, p.121).
Logo, ao se estudar diferentes funções deve-se destacar o conceito de
função e suas propriedades com relação às operações, além disso, interpretar seus
gráficos e aplicações.
4.3 A ORIGEM DA PARÁBOLA
De acordo com Dorigo (2006) a versão mais disseminada do surgimento da
parábola é mérito de Menaecmo (c. IV a. C.), ao solucionar o chamado “problema
deliano”.
23
Agoniados por devastadora peste, os residentes da ilha de Delos
perguntaram ao seu oráculo o que deviam fazer para afastar a peste. O oráculo
aconselhou que fizessem outro altar cúbico, com o dobro do volume do altar já
existente, dedicado ao deus Apólo.
Para solucionar este problema os delianos decidiram dobrar as arestas, o
que certamente não resolveu a situação, pois deste modo o volume octuplica.
Existem relatos de que a intensidade da peste após essa tentativa aumentou.
Buscando um conselho do filósofo Platão (428-348 a. C.), Atenas enviou uma
delegação. Com isto, provavelmente o problema na comunidade matemática grega
se difundiu e talentosos matemáticos da época tomaram uma posição ativa na tarefa
de encontrar a solução, dentre eles o brilhante Menaecmo. Pressentindo, quem
sabe, que esta solução era impossível simplesmente utilizando régua e compasso,
Menaecmo buscou novos métodos, com isto encontrou uma família de curvas
denotadas como seções cônicas, onde a parábola se inclui. Além do mais, a solução
encontrada por Menaecmo provém da interseção de duas parábolas.
Na busca dessas curvas, Menaecmo analisou três tipos de superfícies
cônicas admissíveis quanto à seção meridiana, são elas: aguda, reta ou obtusa.
Através de um plano perpendicular a uma geratriz e as superfícies cônicas, alcançou
as curvas que posteriormente foram denominadas elipse, parábola e hipérbole.
Deste modo podemos concluir o porquê dessas curvas serem conhecidas como
seções cônicas. Provavelmente não passava pela cabeça de Menaecmo que ao
decorrer de muitos anos encontrar-se-iam aplicações científicas e práticas de suma
importância para estas curvas.
4.4 A ORIGEM DA PARÁBOLA
A palavra parábola tem origem grega e quer dizer comparação, igualdade.
Conforme a figura 4, pode-se observar que ao interceptar uma superfície cônica com
um plano paralelo a uma de suas geratrizes obtém-se uma curva, que é denominada
de parábola.
24
FIGURA 4 - Cone seccionado pelo plano , paralelo a sua geratriz d. Fonte: MACHADO, M. T. G., Parábolas - As curvas preciosas. Disponível em: <http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/673-4.pdf> Acessado em: 07 de janeiro de 2011.
Por possuir um eixo de simetria que a divide em duas partes iguais, a
parábola é uma curva simétrica. Denotamos por vértice o ponto de intersecção da
curva que descreve a parábola com o eixo de simetria. Na figura 5 temos uma
representação do que foi citado.
FIGURA 5 - Parábola com seu eixo de simetria. Fonte: MACHADO, M. T. G., Parábolas - As curvas preciosas. Disponível em: <http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/673-4.pdf> Acessado em: 07 de janeiro de 2011.
Deste modo, obtemos a origem da parábola que é a representação gráfica
de uma função polinomial do segundo grau.
25
5 O ENSINO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA PARTINDO DA ESTAÇÃO
FERROVIÁRIA UNIÃO
5.1 INTRODUÇÃO
Utilizando a metodologia Modelagem Matemática, apresenta-se a seguir
uma proposta para o ensino de funções quadráticas ou funções polinomiais do
segundo grau. Busca-se trabalhar com a interdisciplinaridade, pois o tema a ser
abordado envolve localização, a história das cidades de União da Vitória e Porto
União e a imagem da cobertura da estação ferroviária, onde este último dará os
subsídios necessários para o desenvolvimento da proposta. Deste modo, abordar-
se-á vários conceitos referentes à função quadrática, partindo da imagem da
Estação Ferroviária União.
5.2 A ESCOLHA DO TEMA
Despertar o interesse dos alunos para desenvolverem uma atividade em
sala de aula, segundo vários autores, atualmente não é uma tarefa fácil. Com tantas
tecnologias que os rodeiam, os alunos passaram a visualizar o estudo como uma
obrigação, deixando de ser prazeroso ir em busca de novos conhecimentos.
Muitos alunos comentam não gostar de Matemática pelo fato de não
visualizarem os conteúdos aprendidos em sala de aula durante suas vidas.
Pensando nesta questão, o tema abordado mostrará uma das várias aplicações dos
conteúdos matemáticos.
Vários artigos (LIBÂNEO, 1998, BINE e PABIS, 2008) relatam que a
utilização de assuntos relacionados ao cotidiano dos alunos desperta seu interesse
e, deste modo, as aulas se tornam muito mais produtivas e satisfatórias. Justificam
ainda, que isto ocorre, pelo fato dos educandos perceberem a utilidade daquele
conteúdo e buscarem alcançar um resultado para aquela situação.
Partindo deste princípio, o tema a ser abordado busca trabalhar em sala de
aula um conteúdo relacionado à realidade dos alunos, fazer uma ligação entre
diversas disciplinas e utilizar softwares, despertando seus interesses e curiosidades.
26
Com a Estação Ferroviária União, pode-se desenvolver modelos
matemáticos que alcançam diversas situações, trabalhando então o conteúdo de
funções quadráticas.
5.2.1 A coleta de dados
Para a coleta de dados foram utilizadas uma trena e uma vara de bambu.
Com auxílio do responsável pela conservação do patrimônio público e do meu pai foi
possível a obtenção das medidas.
Foram obtidos os seguintes pontos: (0,00; 0,00), (4,80; 7,50), (10,30; 9,65),
(15,80; 7,50) e (20,60; 0,00), onde as primeiras coordenadas correspondem à
largura e as segundas à altura da cobertura da estação para aquela posição.
5.3 O DESENVOLVIMENTO DA PROPOSTA
Inicia-se a proposta buscando relembrar a história da Estação Ferroviária
União, localizada na divisa das cidades de União da Vitória e Porto União, conforme
o que foi relatado no capítulo 2 deste trabalho, desta forma, pode acontecer uma
interdisciplinaridade com as disciplinas de História e Geografia.
Posteriormente, sugere-se encaminhar os alunos a um laboratório de
informática, onde o professor fará a seguinte pergunta: será que existe uma
expressão matemática que descreve o formato da cobertura da Estação Ferroviária
União?
Então o professor pode escrever no quadro os pontos coletados do
comprimento (em uma coluna) e os da altura da cobertura da Estação Ferroviária
União (em outra coluna). Em seguida, pede-se aos alunos para responderem a
pergunta solicitada com os dados fornecidos. Após os alunos tentarem resolver a
situação, o professor pode auxiliar aos alunos pedindo para abrirem o software Excel
e digitarem os dados fornecidos anteriormente. Posteriormente, deve-se solicitar que
os alunos façam o esboço do gráfico utilizando a ferramenta “inserir gráfico de
dispersão”, obtendo a seguinte representação:
27
FIGURA 6 - Representação dos pontos coletados. Fonte: A autora.
Neste momento, sugere-se que sejam feitas as seguintes perguntas:
- É possível traçar uma reta por estes pontos?
- Vocês já viram em algum lugar alguma figura que se assemelhe a esta
imagem?
- Se estes pontos não estão descrevendo uma reta, o que eles nos
mostram?
Com a primeira pergunta pode-se relembrar que quando foi estudado função
afim, a imagem formada era um reta; na segunda, recorda-se paisagens e objetos
vistos fora ou dentro da escola e já na terceira, relata-se que a imagem formada
descreve uma curva e não uma reta.
Deve-se relembrar que uma função afim é dada genericamente por
.
Após este momento, clica-se com o botão direito do mouse sobre um dos
pontos graficados e na caixa que abrir seleciona-se a opção adicionar linha de
tendência, conforme mostra a figura 7:
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
Alt
ura
(m
)
Comprimento (m)
28
.
FIGURA 7 - Linha de tendência. Fonte: A autora.
Em seguida, na nova caixa aberta, é feita a escolha das opções “polinomial”
e “exibir equação do gráfico”. Como mostra a figura a seguir:
FIGURA 8 - Opções “polinomial” e “exibir equação do gráfico”. Fonte: A autora.
29
Faz-se então uma análise da função afim já estudada com a nova função
obtida.
Nesta análise pode-se observar que a nova função obtida não se trata de
uma função afim, pois com a ligação dos pontos não é obtida uma reta, mais sim
uma curva. Pode-se então definir que esta curva é denominada por parábola.
FIGURA 9 - Representação da parábola obtida pelos pontos. Fonte: A autora.
Com isso, introduz-se o conceito de função polinomial do segundo grau, ou
seja, chama-se função quadrática ou função polinomial do segundo grau, qualquer
função de em dada por uma lei da forma , onde , e
são números reais e .
Após este novo conceito ser inserido, é interessante ser feito o estudo dos
coeficientes , e . Pede-se então que os alunos abram o software GeoGebra
e que selecionem o botão seletores, conforme mostra a figura abaixo:
y = -0,094x2 + 1,9373x + 0,0815
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
Alt
ura
(m
)
Comprimento (m)
30
FIGURA 10 - Seleção do botão seletores. Fonte: A autora.
Este processo deve ser repetido por três vezes, com isso são obtidos os
seletores , e que também são os coeficientes da função, conforme mostra
a figura 11:
31
FIGURA 11 - Seletores e , que correspondem aos coeficientes da função. Fonte: A autora.
Em seguida, digita-se a lei de formação da função polinomial do segundo
grau, ou seja, no campo caixa de entrada digita-se e tecla-
se enter.
FIGURA 12 - Função polinomial do segundo grau. Fonte: A autora.
32
Deste modo, é obtida a função dependendo dos seletores e . A
figura 13 nos mostra o resultado obtido.
FIGURA 13 - Função dependendo dos seletores e . Fonte: A autora.
Após esta construção percebe-se que ao alterar-se o valor do coeficiente ,
quando a parábola tem a concavidade voltada para cima, conforme pode-se
verificar na figura 13 acima. E quando a parábola tem a concavidade voltada
para baixo conforme se verifica na figura 14 abaixo.
33
FIGURA 14 - Parábola com a concavidade voltada para baixo. Fonte: A autora.
Ao analisar o coeficiente , percebe-se que este indica se a parábola cruza
o eixo no ramo crescente ou decrescente da parábola e que o ponto onde ocorre
esta mudança de comportamento é o vértice que representa o ponto mais alto ou
mais baixo que a curva atinge. Ao analisar-se o coeficiente nota-se que sempre o
valor de vai cortar o eixo neste mesmo valor, ou seja, se a parábola
interceptará o eixo no ponto .
Após a análise dos coeficientes da função polinomial do segundo grau
retoma-se a função obtida através dos pontos coletados,
. Para saber se a função fornecida pelo software Excel é
apropriada faz-se a validação do modelo, onde se substitui o na função encontrada
pelo software pelos pontos coletados referentes ao comprimento, obtendo os
respectivos resultados:
34
x
(comprimento)
y
(altura medida)
a (altura fornecida
pelo modelo)
Erro
(y – a)
0 0 0,0815 -0,0815
4,8 7,5 7,21478 0,28522
10,3 9,65 10,06323 -0,41323
15,8 7,5 7,22468 0,27532
20,6 0 0,10004 -0,10004
QUADRO 3 - Validação. Fonte: A autora.
Ao analisar os resultados obtidos na validação, é perceptível que os valores
encontrados para altura são bastante próximos dos valores coletados, mostra-se,
então, que os resultados alcançados são satisfatórios.
Com todas as situações propostas, pode-se discutir com os educandos,
além do conceito de função polinomial, função afim, termo dependente, termo
independente, imagem e domínio.
Para a conclusão da situação o educando precisa observar, analisar e
participar durante todo o processo, pois, deste modo, poderá compreender e
apreender os conceitos matemáticos e assim ter a oportunidade de usufruí-los. Com
isso, o aluno poderá perceber a importância da matemática no seu dia-a-dia e parte
de sua aplicabilidade.
35
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Com este trabalho, ficou perceptível a importância do uso das alternativas de
ensino na sala de aula, especialmente a Modelagem Matemática, visto que estas
procuram despertar o interesse dos educandos e, assim, torná-los cidadãos
pensantes e críticos.
Através da Modelagem Matemática, acredita-se que os alunos possam
deixar de ser passivos e desinteressados pela aprendizagem, pois, desta forma,
estarão trabalhando com conteúdos relacionados ao seu cotidiano, o que poderá
proporcionar aos mesmos uma aprendizagem significativa.
Quando um novo conceito matemático é introduzido de forma relacionada
com a realidade dos alunos, acredita-se que a compreensão por parte do mesmo
será maior do que a que seria obtida se a introdução do conceito fosse feita de
maneira exclusivamente teórica. Assim, ao introduzir o conceito de função polinomial
do segundo grau através de um patrimônio histórico local, como a Estação
Ferroviária União, proporciona-se aos alunos que visualizem a matemática presente
na realidade onde encontram-se inseridos.
Caso o professor não resida nas cidades de União da Vitória ou Porto União
e os alunos não tenham conhecimento da Estação Ferroviária União, sugere-se que
o professor trabalhe com outros patrimônios históricos da cidade desejada. Também
pode-se trabalhar as quadras esportivas das escolas, que na maioria das vezes
possuem o formato de uma parábola, contando a história da própria escola.
Desta forma, acredita-se que a Modelagem Matemática pode contribuir para
uma sociedade muito mais crítica e justa, onde os cidadãos saberão relacionar os
conteúdos estudados em sala de aula com as situações vivenciadas em seu dia-a-
dia.
36
REFERÊNCIAS
BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia. São Paulo: Contexto, 2002.
______. Ensino-aprendizagem com Modelagem Matemática: uma nova estratégia. 3. ed. São Paulo: Contexto, 2009.
BIEMBENGUT, M. S. Modelagem Matemática & Implicações no Ensino e na Aprendizagem de Matemática. 2. ed. Blumenau: FURB, 2004.
BINE, R. B.; PABIS, N. Motivação ou interesse do aluno em sala de aula e a relação com atitudes consideradas indisciplinares. Revista Eletrônica Lato Sensu – Ano 3, Guarapuava, n. 1, 2008. Disponível em: <http://web03.unicentro.br/especializacao/Revista_Pos/P%C3%A1ginas/3%20Edi%C3%A7%C3%A3o/Humanas/PDF/23-Ed3_CH-MotivacaoIn.pdf>. Acesso em: 29 jan. 2011.
BOYER, C. B. História da Matemática. Tradução: Elza I. Gomide. 2. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1996.
BRASIL. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. PCNs Ensino Médio – PCN+EM: orientações educacionais complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: MEC, SEMTEC, 2002. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/Ciencias Natureza.pdf. Acesso em: 20 jan. 2011.
______. Ministério de Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: SEMT/MEC, 1999a.
______. Secretaria da Educação Média e Tecnológica do Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio - PCNEM. Brasília: SEMT/MEC,1999b.
COSTA, A. C. Conhecimentos de Estudantes Universitários sobre o Conceito de Função. 2004, 164 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) - PUC, São Paulo, 2004. Disponível em: <http://www.pucsp.br/pos/edmat/ma/dissertacao/acylena_coelho_costa.pdf>. Acesso em: 07 jan. 2011.
37
DORIGO, M. Função quadrática: um estudo sobre as representações gráficas. 2006, 53 f. Monografia (Especialização em Educação Matemática) – PUC, São Paulo, 2006. Disponível em: <http://www.google.com.br/#sclient=psy-ab&hl=pt-BR&site=&source=hp&q=www.matematica.campus2.uneb.br%2FDownloadDeArquivos.php&pbx=1&oq=www.matematica.campus2.uneb.br%2FDownloadDeArquivos.php&aq=f&aqi=&aql=&gs_sm=e&gs_upl=1295l1295l0l4415l1l1l0l0l0l0l405l405l4-1l1l0&bav=on.2,or.r_gc.r_pw.&fp=fb2a0ee99195309e&biw=1280&bih=650>. Acesso em: 19 dez. 2010.
LIBÂNEO, J. C. Perspectivas de uma pedagogia emancipadora face às transformações do mundo contemporâneo. Revista Pensar a Prática, Goiânia, v. 1, 1998. Disponível em: <http://www.revistas.ufg.br/index.php/fef/article/view/8/2613>. Acesso em: 15 jul. 2011.
MACHADO, M. T. G. Parábolas - As curvas preciosas. Disponível em: <http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/673-4.pdf>. Acesso em: 07 jan. 2011.
MENDES, M. H. M. O Conceito de Função: Aspectos históricos e dificuldades apresentadas por alunos na transição do segundo para o terceiro grau. 1994. 124 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – PUC, Rio de Janeiro, 1994.
MODELAÇÃO. Disponível em: <http://portfoliomatematica.no.sapo.pt/modelacao1.htm>. Acesso em: 15 jan. 2011.
OLIVEIRA, N. Conceito de função: uma abordagem no processo ensino-aprendizagem. 1997, 174 f. Dissertação (Mestrado em Ensino da Matemática) - PUC, São Paulo, 1997. Disponível em: <http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/arquivos/File/conteudo/artigos_teses/MATEMATICA/Oliveira.pdf>. Acesso em: 07 jan. 2011.
PORTO União da Vitória. Disponível em:<http://www.estacoesferroviarias.com.br/pr-tronco/portouniao.htm>. Acesso em: 20 dez. 2010.
RODRIGUES, M. U. Narrativas no ensino de funções por meio de Investigações Matemáticas. 2007, 305 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) - UGCE, São Paulo, 2007. Disponível em: <http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/arquivos/File/disset_funcoes_1.pdf>. Acesso em 09 jan. 2011.
SÁ, P. F. et al. A Construção do Conceito de Função: Alguns dados históricos. v. 6. Belém: Traços, 2003.
ZUFFI, E. M. Alguns aspectos do desenvolvimento histórico do conceito de função. Educação Matemática em Revista. Revista da Sociedade Brasileira de Educação Matemática em Revista (SBEM), São Paulo: Atual, 2001.