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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ - UNESPAR
CAMPUS DE UNIÃO DA VITÓRIA
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
JUARÊS JOCOSKI
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: UMA PROPOSTA DE ENSINO A PARTIR DA
REFLEXÃO DO ESTÁGIO DE REGÊNCIA
UNIÃO DA VITÓRIA
2015
1
JUARÊS JOCOSKI
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: UMA PROPOSTA DE ENSINO A PARTIR DA
REFLEXÃO DO ESTÁGIO DE REGÊNCIA
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado para
obtenção do grau de Licenciado na Universidade
Estadual do Paraná, Campus de União da Vitória, Área
Matemática.
Orientadora: Prof. Me. Gabriele Granada Veleda.
UNIÃO DA VITÓRIA
2015
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Insanidade é continuar fazendo sempre a mesma
coisa e esperar resultados diferentes.
(Albert Einstein)
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AGRADECIMENTOS
Primeiramente agradeço a Deus por ter me oportunizado as condições de realizar este
trabalho e estar presente principalmente nos momentos mais difíceis, me dando paz e
sabedoria para superá-los.
A minha caríssima orientadora, Prof. Me. Gabriele Granada Veleda, inicialmente por
ter aceitado este desafio e posteriormente ter demonstrado sua extrema competência
profissional, através dos incentivos para a realização do trabalho, a dedicação demonstrada
por outrem, sempre com o objetivo de contribuir em minha formação profissional.
A todos os Professores do curso de Licenciatura de Matemática, tanto os atualmente
no colegiado como aqueles que por seus próprios motivos não fazem mais parte desta ilustre
posição, incluindo ainda o professor que disponibilizou suas aulas para que a proposta
pudesse ser aplicada, e aos professores que estavam presentes na banca examinadora deste
trabalho, professor Dallan Marcelo Gregório e Emanueli Pereira.
Em especial à minha noiva e futura esposa Raquel Grossmann, principalmente pela
compreensão nos momentos em que a dedicação aos estudos foi exclusiva, mas que mesmo
assim o companheirismo sempre esteve presente. Sua existência por si só me motiva a
continuar vivendo e me torna mais forte frente aos desafios e problemas.
Obviamente devo mais que agradecer a ajuda da minha família, minha mãe, Sueli
Luczkiewicz Jocoski e meu pai Zeno Jocoski, meu avô Tadeu Luczkiewicz e minhas irmãs
Josiane, Jocieli e Joslaine, pelo carinho, paciência, apoio moral e toda a confiança que
depositaram em mim em todo esse tempo.
Todos os amigos que fiz durante o Curso com os quais convivemos boa parte de
nossas vidas compartilhando diferentes pontos de vista, mas sempre com um mesmo objetivo.
A todos os meus sinceros agradecimentos.
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RESUMO
A resolução de problemas é uma estratégia metodológica importante e fundamental para o
desenvolvimento intelectual do aluno e para o ensino da matemática. Porém, em sala de aula, constata-
se um uso exagerado de regras, resoluções por meio de procedimentos padronizados, desinteressantes
para professores e alunos, empregando-se problemas rotineiros e que não desenvolvem a criatividade e
autonomia em matemática. Neste trabalho fazemos uma reflexão do uso da Resolução de Problemas
no estágio de regência, fazendo o relato da experiência e ao final descrevemos uma nova proposta, a
qual foi elaborada a partir da reflexão dos erros e acertos da aplicação do plano de aula de regência. Os
resultados mostram que não se pode programar ou mecanizar o ensino pela resolução de problemas e
que a aprendizagem só será significativa se alunos e professores se empenharem na construção dos
seus conhecimentos, despertando o gosto pelo raciocínio independente.
Palavras-chave: Resolução de Problemas; Relato de experiência; Proposta de ensino, Função
exponencial.
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LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1: RESPOSTAS E CONSTRUÇÃO DA TABELA POR UM ALUNO. ................................ 17
FIGURA 2: RESPOSTA E CONSTRUÇÃO DA TABELA POR UM ALUNO. ................................. 17
FIGURA 3: RESPOSTAS E CONSTRUÇÃO DA TABELA POR ALUNO. ...................................... 18
FIGURA 4: RESPOSTAS E CONSTRUÇÃO DA TABELA REALIZADA POR UM ALUNO. ............. 19
FIGURA 5: CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO REFERENTE AO PROBLEMA DO CÉSIO NO PAPEL
QUADRICULADO (ALUNO 1). ......................................................................................... 21
FIGURA 6: CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO REFERENTE AO PROBLEMA DO CÉSIO NO PAPEL
QUADRICULADO (ALUNO 2). ......................................................................................... 22
FIGURA 7: CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO REFERENTE AO PROBLEMA DO CÉSIO NO PAPEL
QUADRICULADO (ALUNO 3). ......................................................................................... 22
FIGURA 8: RESULTADO APRESENTADO POR UM ALUNO NA CALCULADORA CIENTÍFICA. .. 24
FIGURA 9: GRÁFICO REFERENTE AO PROBLEMA DO CÉSIO CONSTRUÍDO POR UM ALUNO
USANDO A MALHA QUADRICULADA. ................................................................................ 25
FIGURA 10: GRÁFICO REFERENTE AO PROBLEMA DO CÉSIO CONSTRUÍDO POR ALUNO
USANDO A MALHA QUADRICULADA. ................................................................................ 26
FIGURA 11: GRÁFICO REFERENTE AO PROBLEMA DO CÉSIO CONSTRUÍDO POR UM ALUNO
USANDO A MALHA QUADRICULADA. ................................................................................ 26
FIGURA 12: RESULTADOS ANOTADOS POR UMA ALUNA EM SEU CADERNO. ..................... 28
FIGURA 13: REGISTRO REALIZADO POR UM ALUNO EM SEU CADERNO ............................. 29
FIGURA 14: REGISTRO REALIZADO POR UM ALUNO EM SEU CADERNO. ............................ 29
FIGURA 15: REGISTROS FEITOS POR UMA ALUNA EM SEU CADERNO. ...................... .........31
FIGURA 16: MARCAÇÃO DE PONTOS NO PLANO CARTESIANO. ...................... ..................37
Figura 17: Construção do gráfico da função que descreve o problema do Césio-137 no
PlanoCartesiano...............................................................................................................38
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SUMÁRIO
1. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA ....... 8
1.1 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS X RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS .............. ..8
1.2 O PAPEL DO PROFESSOR E DO ALUNO NA PERSPECTIVA DA
RESOLUÇÃO DE PROBLEMA ................................................................................... 10
2. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: O RELATO DA EXPERIÊNCIA NO
ESTÁGIO DE REGÊNCIA ......................................................................................... 13
2.1 RELATO DA 1ª AULA ........................................................................................... 13
2.2 RELATO DA 2ª AULA ........................................................................................... 16
2.3 RELATO DA 3ª AULA ........................................................................................... 19
2.4 RELATO DA 4ª AULA ........................................................................................... 23
2.5 RELATO DA 5ª AULA ........................................................................................... 27
2.6 RELATO DA 6ª AULA ........................................................................................... 29
3. PROPOSTA DE ENSINO PARA O ESTUDO DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS
A PARTIR DO ACIDENTE RADIOATIVO COM O CÉSIO – 137 EM GOIÂNIA
........................................................................................................................................ 32
3.1 A 1ª AULA – INTRODUÇÃO DO PROBLEMA ................................................... 32
3.2 A 2ª AULA – RELAÇÃO ENTRE AS VARIÁVEIS .............................................. 34
3.3 A 3ª AULA – CONSTRUÇÃO DE UMA REPRESENTAÇÃO GRÁFICA .......... 35
3.4 A 4ª AULA – DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO .............................................................. 38
3.5 A 5ª AULA – REDEFININDO A FUNÇÃO QUE DESCREVE O PROBLEMA . 40
3.6 A 6ª AULA – DEFININDO FUNÇÃO EXPONENCIAL ....................................... 43
CONSIDERAÇÕES FINAIS ....................................................................................... 47
REFERÊNCIAS ........................................................................................................... 49
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INTRODUÇÃO
Na aula da disciplina de Introdução à Modelagem Matemática do 4º ano do curso de
licenciatura em Matemática, conheci sobre o acidente radioativo ocorrido na cidade de
Goiânia. Por considerar o problema interessante, resolvi utilizá-lo na aula de Física do 3º ano
do Ensino Médio, cujo conteúdo a ser trabalhado foi física nuclear. Propus o conteúdo a eles
utilizando a metodologia de Resolução de Problemas.
Percebi que o tema e a metodologia utilizada motivaram os alunos em participar das
aulas. Essa experiência me motivou a utilizar a metodologia de Resolução de Problemas
durante as aulas do estágio de regência supervisionado. Nessa nova experiência pude contar
com a colaboração dos professores do curso de Licenciatura em Matemática, em especial, a
professora orientadora de estágio e também de TCC.
Sendo assim, o presente trabalho tem como mola propulsora trazer à tona reflexões
acerca do uso da Resolução de Problemas como metodologia de ensino durante o estágio de
regência supervisionado e, a partir dessas reflexões, apresentar uma nova proposta de ensino.
Para tanto, foi necessário diferenciar Resolução de exercícios e Resolução de
Problemas, reflexões apresentadas no capítulo 1 deste trabalho. No capitulo 2, relatamos a
aplicação do plano de aula. Para coletar as informações necessárias ao relato, utilizei o diário
de campo, no qual anotei os principais encaminhamentos e discussões feitos por mim e pelos
alunos durante as aulas. No capítulo 3, escrevemos uma nova proposta de ensino, tendo como
base a reflexão sobre a experiência vivenciada durante o estágio de regência. Por fim,
apresentamos as considerações finais e as referências utilizadas neste trabalho.
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1. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA
Existem diferentes compreensões acerca do surgimento dos conceitos matemáticos,
neste trabalho, entende-se que a Matemática é uma ciência que surgiu a partir dos problemas
da vida cotidiana enfrentados pelo homem, isto é, os conceitos matemáticos são um meio de
ajudar o homem a resolver problemas.
Tão logo, a resolução de problemas deve estar presente no contexto do ensino e
aprendizagem dessa Ciência, pois permitem ao aluno colocar-se diante de questionamentos e
pensar por si próprio, possibilitando o exercício do raciocínio lógico e não apenas o uso
padronizado de regras. Segundo Onuchik (1999, p. 207),
O problema é olhado como um elemento que pode disparar um processo de
construção do conhecimento. Sob esse enfoque, problemas são propostos ou
formulados de modo a contribuir para a formação dos conceitos antes mesmo de sua
apresentação em linguagem matemática formal.
1.1 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS X RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS
Hoje, a maioria dos alunos aprende a resolver problemas matemáticos. Ao mesmo
tempo, a resolução de problemas vem contribuindo para o insucesso escolar (LUPINACCI;
BOTIN, 2004). Isso pode ser explicado, pois, em geral, os problemas trabalhados em sala de
aula na verdade são exercícios repetitivos para fixar os conteúdos que acabaram de ser
estudados, motivando o uso de procedimentos padronizados para serem utilizados na
resolução de exercícios semelhantes. Essa atividade não desenvolve no aluno a capacidade de
transpor o raciocínio utilizado para o estudo de outros assuntos.
Segundo Dante (1991, p. 15),
É possível por meio da resolução de problemas desenvolver no aluno iniciativa,
espírito explorador, criatividade, independência e a habilidade de elaborar um
raciocínio lógico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponíveis, para que
ele possa propor boas soluções às questões que surgem em seu dia-a-dia, na escola
ou fora dela.
Despertar no aluno o gosto pela resolução de problemas não é tarefa fácil, muitos são
os momentos de dificuldade, obstáculos e erros. Isto acontece porque professores e alunos não
conseguem distinguir um problema matemático de um exercício matemático (POZO 1998).
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Os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998) enfatizam que o fato de o aluno ser
estimulado a questionar sua própria resposta, a questionar o problema, a transformar um dado
problema numa fonte de novos problemas, a formular problemas a partir de determinadas
informações, a analisar problemas abertos — que admitem diferentes respostas em função de
certas condições — evidencia uma concepção de ensino e aprendizagem não pela mera
reprodução de conhecimentos, mas pela via da ação refletida que constrói conhecimento.
Para atender as demandas do trabalho contemporâneo é inegável que a Matemática
pode dar uma grande contribuição à medida que explora a resolução de problemas e
a construção de estratégias como um caminho para ensinar e aprender Matemática
na sala de aula. Também o desenvolvimento da capacidade de investigar,
argumentar, comprovar, justificar e o estímulo à criatividade, à iniciativa pessoal e
ao trabalho coletivo favorecem o desenvolvimento dessas capacidades (BRASIL,
1998, p. 34)
Em sala de aula o professor pode trabalhar com as tentativas e os erros dos alunos,
observando o caminho usado para chegar à solução do problema. Essa observação servirá
para compreender o raciocínio dos educandos e preparar as discussões em torno da resolução
desses problemas com o intuito de conceber processos de resolução diferentes dos já
aprendidos.
Na perspectiva de um trabalho com Resolução de Problemas, Buriasco (2004) coloca
que deve levar em consideração vários tipos de erro, como, por exemplo, se o aluno:
- Não sabe uma definição, um fato específico ou uma terminologia etc.;
- Não sabe utilizar corretamente uma técnica, um algoritmo etc.;
- Não sabe traduzir o problema escrito em palavras para uma linguagem matemática
adequada;
- Não utiliza adequadamente o procedimento escolhido para resolver o problema;
- Não reconhece qual o procedimento adequado para resolver o problema.
- Confunde hipótese e conclusão;
- Encadeia mal os cálculos;
- Tem dificuldades em lidar com os diferentes dados do problema proposto.
Nessa perspectiva, é importante trabalhar com diferentes tipos de problemas desde o
início da abordagem de um tópico até o seu final.
Podemos considerar diferentes formas de classificar problemas, conforme quadro a
seguir.
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Quadro 1 – Tipos de problemas Parâmetro Tipos de problemas
A frequência
da
apresentação
em sala de
aula
Rotineiros Que são muito frequentes na sala de aula e no livro didático.
Intermediários Aparecem com frequência média na sala de aula e no livro
didático
Não-rotineiros Muito pouco ou quase nunca aparecem na sala de aula ou no livro
didático.
A
complexidade
cognitiva
Exercícios de
reconhecimento
Pedem apenas que o aluno reconheça ou relembre um fato, uma
definição etc.
Exercícios
algorítmicos
Podem ser resolvidos por meio do uso de um algoritmo ou
procedimento passo a passo
Problema de
aplicação
Para serem resolvidos necessitam da mudança da linguagem
escrita com palavras para uma linguagem matemática adequada de
modo que, na aplicação do conhecimento, os algoritmos ou
procedimentos passo a passo apropriados possam ser utilizados.
Problemas em
aberto
Não contém no seu enunciado pista alguma para sua resolução.
Situações-
problema
A primeira coisa a fazer é identificar o problema inerente, cuja
solução vai ajudar a ―manejar‖ as próprias situações. Fonte: VALENTE 2008, p. 108
1.2 O PAPEL DO PROFESSOR E DO ALUNO NA PERSPECTIVA DA RESOLUÇÃO DE
PROBLEMA
A resolução de problemas é uma atividade matemática por excelência que deve ser
priorizada nas aulas dessa disciplina por se aproximar muito do fazer do matemático
profissional – perspectiva que, embora tenha sido privilegiada nos currículos nacionais de
vários países, inclusive no Brasil, muitas das vezes ainda não é rotineiro nas escolas. Cabe,
ainda, a seguinte advertência: o que tem sido denominada ―problema‖ na escola, assim como
o que tem sido realizado com denominação de ―resolução de problema‖, é um equívoco, pois,
tradicionalmente, a resolução de problema tem sido considerada apenas um dos capítulos do
conteúdo a ser ensinado, e os problemas a serem resolvidos, apenas uma aplicação de
conteúdos e procedimentos previamente aprendidos, servindo somente para o treino dos
alunos em modelos escolares e em respostas únicas, mecânicas, sem o menor desafio e
incentivo à tentativa de resolução com procedimentos próprios.
Entende-se que a formulação e a resolução de problemas não são um tópico do
conteúdo, mas sim um meio e um contexto de ensinar/fazer/aprender Matemática. A
formulação e a resolução de problemas devem permear todo o conteúdo matemático como um
modo de fazer típicos desse campo de conhecimento; devem se dar num contexto facilitador
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do desenvolvimento de um pensamento crítico, reflexivo, analítico, na busca de compreender
conceitos e desenvolver procedimentos escolares, em direção à autonomia de pensamento nos
vários campos do saber científico.
Segundo Polya (1978), o professor que deseja desenvolver nos alunos o espírito
solucionador e a capacidade de resolver problemas deve incutir em suas mentes algum
interesse por problemas e proporcionar-lhes muitas oportunidades de imitar e de praticar.
Além disso, quando o professor resolve um problema em aula, deve dramatizar um pouco as
suas ideias e fazer a si próprio as mesmas indagações que utiliza para ajudar os alunos. O
aluno então adquirirá algo mais importante do que o simples conhecimento de um fato
matemático qualquer, ou seja, o professor deve fazer perguntas para que os alunos possam
compreender o problema. Os alunos devem ser encorajados a fazer perguntas ao professor e
entre eles mesmos.
Em sala de aula o professor pode trabalhar com as tentativas e os erros dos alunos,
observando o caminho usado para chegar à solução do problema. Essa observação servirá
para compreender o raciocínio dos educandos e preparar as discussões em torno da resolução
desses problemas, com o intuito de conceber processos de resolução diferentes dos já
aprendidos.
Os alunos só aprendem a pensar por si próprios se tiverem a oportunidade de
explicar os seus raciocínios em sala de aula ao professor e aos seus colegas. Os
professores que afirmam não ter tempo para isso devem repensar a sua atitude, pois
só negociando soluções é que se aprende a respeitar sentimentos e ideias de outras
pessoas. (CARVALHO, 1994, p. 78)
Após a solução do problema, o professor e os alunos devem discutir os diferentes
caminhos de resolução.
Estudar Matemática é resolver problemas. Portanto, a incumbência dos professores
de Matemática, em todos os níveis, é ensinar a arte de resolver problemas. O
primeiro passo nesse processo é apresentar o problema adequadamente. (THOMAS
BUTTS apud, DANTE 1998).
Alguns cuidados o professor deve ter durante a aula em que a metodologia da
Resolução de problemas é utilizada. Dante (1988) cita que longas listas de problemas são
desmotivadoras, assim como constantes fracassos e repetições são frustrantes. Para evitar isso,
convém: apresentar poucos problemas com graduação de dificuldades e aplicação de
diferentes estratégias; a linguagem deve ser simples evitando a não compreensão do
problema. Permitir o uso de materiais concretos; evitar valorizar a resposta e sim todo o
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processo para determiná-la; incentivar as descobertas do aluno, a diversidade de estratégias
utilizadas, a exposição de dificuldades, a análise e verificação da solução, a criação de novos
problemas e a identificação do erro, para que através dele possa compreender melhor o que
deveria ter sido feito. Sendo assim, o professor deve propor situações-problema que
possibilitem a produção do conhecimento, onde o aluno deve participar ativamente
compartilhando resultados, analisando reflexões e respostas, enfim aprendendo a aprender,
(DANTE 1988).
Assim, resolver um problema deve ser uma atividade que estimule o aluno a pensar
matematicamente. Cabendo, portanto ao professor, ter clareza sobre as finalidades do ensino
que está dispensando a seus alunos, buscando sempre inventariar as diferentes interpretações
que eles manifestam; e, ao aluno, ter clareza sobre os objetivos de aprender aquele conteúdo e
sobre os caminhos por ele trilhados nessa aprendizagem.
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2. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: O RELATO DA EXPERIÊNCIA NO ESTÁGIO
DE REGÊNCIA
Neste capítulo, relato parte do plano de aula aplicado na turma de 1º Ano do Ensino
Médio de um colégio público em União da Vitória – PR, no período regular de aula, sendo
utilizadas 6 aulas de 50 minutos cada. Estas aulas foram apenas no período matutino com um
contingente de 32 alunos. Como as aulas seguiam utilizando a metodologia de Resolução de
Problemas foram possíveis discussões e diálogos entre alunos e professor.
Durante o estágio de regência, procurei utilizar problemas não rotineiros, ou seja,
problemas que não são frequentes em sala de aula, e que exigem uma complexidade cognitiva
diferente da memorização, repetição e reprodução de técnicas de resolução (VALENTE
2008). Desse modo, os problemas propostos, em especial o do acidente com o césio -137, os
alunos deveriam identificar o problema inerente, onde a solução procura orienta-los nas
próprias situações.
As descrições feitas a seguir são baseadas em anotações no diário de campo, feitos
pós-aula.
2.1 RELATO DA 1ª AULA
Na primeira aula, me apresentei e apresentei aos alunos o contrato pedagógico. Logo
em seguida, comentei com eles que a atividade que realizaríamos no dia de hoje, fazia parte
de um problema cujo título é ―O problema do césio em Goiânia‖. O texto e as questões foram
entregues aos alunos dispostos em duplas. Durante a leitura surgiu alguns comentários que
achei necessário expor a turma, tais como uma afirmação feita por um dos alunos que
mencionou que o acidente do Césio-137 não foi o maior acidente radioativo que já ocorreu no
mundo, e sim o de Chernobyl.
Procurando então dar importância a fala do aluno, respondi a questão com algumas
outras informações a respeito dessa afirmação, dizendo que esse acidente em Chernobyl na
Ucrânia gerou preconceito com quem foi contaminado. Seguindo essa ideia questionei os
alunos que outras consequências esses acidentes radioativos trouxeram a sociedade e como a
mídia os tratou.
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Alguns alunos se apresentaram interessados, muitos afirmaram que os acidentes
trouxeram medo, doenças como o câncer, queimaduras, surgiram muito preconceito entre as
pessoas, repercutindo por todo o mundo. Alguns alunos mencionaram que possivelmente o
acidente ocorrido em Goiânia foi notificado através da rádio da época, na atualidade muitas
informações são obtidas pela TV, internet (facebook, sites, etc.).
Para complementar, citei que em 2013 o G1 fez uma série de reportagem sobre os 26
anos do acidente em Goiânia, e que as informações estão disponíveis no portal do G1.
Após as discussões gerais acerca do assunto indaguei os alunos: Qual a quantidade
de césio após 180 anos do acidente? As respostas foram as mais diversas, alguns
mencionaram que era muito pouco; zero; um valor negativo.
Para que os alunos não ―chutassem‖ respostas, questionei qual é a quantidade inicial
de Césio que foi exposto em Goiânia?
Os alunos observando o texto entregue no inicio da aula disseram que era de 19,26 g
a quantidade inicial, e que a mesma vai diminuindo ao longo do passar dos anos.
Ao questioná-los como ocorre essa diminuição, alguns alunos citaram que seria a
cada ano que passa a concentração de Césio diminui a metade. Pedi então que observassem as
informações do texto e verificassem tal afirmação, logo os alunos perceberam que se tratava
de um intervalo de 30 em 30 anos em que a quantidade de Césio diminuía.
Naquele momento os alunos observaram que esse intervalo estava relacionado à meia
vida do Césio, que a cada 30 anos diminuí a metade da concentração anterior.
Ao passar pelas duplas e perguntar como estavam fazendo para solucionar o
problema os alunos falaram que bastava ―fazer os cálculos‖, usar a ―fórmula de Bháskara‖,
―discriminante delta‖, ―por no gráfico‖. Isso talvez se deva, pela prática dos alunos ao
resolverem tarefas que eram propostas a eles baseadas no uso de um algoritmo ou
procedimentos passo a passo.
Pedi então, que observassem que pelo conceito de meia vida do Césio, poderia
chegar a uma solução.
Percebi que os alunos estavam desenvolvendo mal os cálculos, alguns dividiam 180
por 30 anos, dizendo que o valor encontrado representava a quantidade de Césio após 180
anos. Outros fizeram 19,26 g divididos por 6, chegando ao valor 3,21 g que para eles era a
quantidade de césio em 180 anos. Mas comentei que esse valor não significa a quantidade de
Césio após 180 anos, ele representa a quantidade de concentração dividida igualmente em
cada 30 anos que passam, ou seja, em 1987 possuí 3,21 g; 2017 possuí 3,21 g e assim por
diante, questionando se isso ocorria na situação do problema.
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Alguns alunos citaram que não, pois no ano de 1987 é 19,26 g; 2017 é 9,63 g, ele vai
diminuindo a metade. Outros citaram que seria interessante registrar tais valores em uma
tabela. Disponibilizei as calculadoras para que realizem os cálculos, e observem pelos
resultados o que está acontecendo com a concentração de Césio durante os anos que passam.
Os alunos observaram que bastava dividir por dois os valores da concentração, para
obter os novos valores que serão correspondentes após 30 anos, 60 anos, 90 anos e assim por
diante.
Um dos alunos mencionou que na terceira divisão a concentração irá zerar. Para que
o aluno percebesse que esse valor não iria zerar o questionei diversas vezes se em algum
momento ele vai zerar, após o mesmo realizar diversas iterações em relação ao valor inicial
dividindo a cada valor encontrado por dois ele percebeu que vai ser muito pequeno, mas que
não iria zerar.
Outros perceberam isso, pois notaram que estavam apenas dividindo por dois, e não
retirando a mesma quantidade de concentração em algum momento.
Após realizar esse diálogo com os alunos, pedi que eles encontrassem então a
concentração de césio-137 após 180 anos, construindo uma tabela em seus cadernos e que
seria retomada sua construção na próxima aula. Logo em seguida passei aos alunos o 1° vídeo
na TV pen drive, todos assistiram e fizemos alguns apontamentos sobre o vídeo que acharam
convenientes como, por exemplo:
(a) Os preconceitos que surgiram após o acidente;
(b) A quantidade de pessoas mortas e afetadas pela contaminação;
(c) O lixo radioativo que deveria ficar guardado durante 300 anos;
(d) A despreocupação com o cuidado com as usinas no Brasil.
Comentei aos alunos que voltaríamos a discutir sobre o problema do Césio na
próxima aula.
Antes dos alunos saírem da sala e irem embora, busquei passar por alguns grupos de
alunos, perguntando se não havia ficado dúvidas das explicações que foram realizadas por
mim, se não expliquei muito rápido algumas questões, e o que acharam da aula, os alunos
comentaram que a explicação foi clara e o tema era bem interessante a eles e pediram a mim
que na próxima aula trouxesse a eles outro vídeo para ser passado no início da aula, falei a
eles que sim, pois no plano de aula por mim elaborado já está proposto um novo vídeo, pedi a
eles que trouxessem novas informações a respeito do assunto discutido em sala.
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2.2 RELATO DA 2ª AULA
Ao iniciar a segunda aula, pedi que os alunos formassem duplas e se organizassem de
maneira que eu pudesse ter acesso a atender quando necessário, as dúvidas dos alunos e
quando fosse solicitado. Registrei no quadro e falei ao coletivo conforme orientações dadas
pela professora supervisora que acompanhou a primeira aula, o que deveria ser feito com a
tarefa que seria entregue, sendo uma tarefa impressa para cada aluno, mas que poderia ser
discutida em dupla, que deveria ser entregue ao final na aula, e se caso houver dúvidas me
chamar para que possa ser explicada individualmente. Após formarem as duplas, passei
inicialmente o vídeo aos alunos, onde foram destacadas algumas informações relevantes e que
foram discutidas, tais como:
(a) O acidente poderia ter acontecido em qualquer outro lugar, pois foi provocado pela falta
de cuidado e manutenção;
(b) O acidente gerou preconceito, pois até mesmo as pessoas que foram sepultadas, foram
consideradas lixo atômico e não corpos de seres humanos.
(c) A quantidade de Césio não vai deixar de existir naquele lugar, ele apenas vai diminuir.
(d) A casa de um dos sucateiros foi demolida logo após descobrirem a contaminação causada
pelo Césio (informação trazida por um dos alunos).
(e) O Brasil possui duas usinas em operação atualmente: Angra 1 e Angra 2, instaladas no
município de Angra dos Reis, no estado do Rio de Janeiro (informação trazida por um dos
alunos).
Após esse diálogo e troca de ideias foi entregue a tarefa conforme a proposta. Os
alunos começaram a realizá-la, os comentários relevantes foram expostos à turma.
Ao iniciar a atividade os alunos perceberam pela tabela da aula anterior que a
quantidade de Césio depende do ano, pois a cada ano que considerarmos não vai ter a mesma
quantidade. Quanto à tabela os alunos me questionavam a quantidade de linhas que ela
deveria conter, indaguei os alunos quantas seriam. Eles disseram que seria quantas acharem
necessário, pois a intenção ao construir a tabela é observar a partir dela o que está ocorrendo
com a concentração em relação aos anos que passam.
A grande parte dos alunos percebeu a partir da tabela que a concentração de Césio
nunca iria zerar, pois os mesmos falaram que eles poderiam ter uma tabela com infinitas
linhas pelo fato de sempre poderem dividir por dois.
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Nesse momento disponibilizei a calculadora científica, para que pudessem ter
resultados com mais de 8 (oito) casas decimais, o que a calculadora simples não fornecia aos
que a possuíam.
Aos alunos que iam concluindo a tarefa pedi que construíssem uma nova coluna na
questão 4 (quatro) com a seguinte informação ―ano considerado‖, e nela correspondesse, o
ano de 1987 como sendo o ano considerado um ou zero de acordo com o critério deles, o ano
2017 ao ano considerado dois, e assim por diante.
Figura 1: Respostas e construção da tabela por um aluno.
Fonte: Registro dos alunos, 2015.
A figura 1 apresenta a tarefa realizada por um aluno, onde o mesmo não completou
totalmente a tabela, faltando fazer uma nova divisão para chegar à quantidade de Césio depois
de 180 anos do acidente.
Em uma fala geral à turma, procurei explicar sobre essa nova coluna, que
representaria o ano considerado, ano zero (que seria o ano de 1987), o ano um (que representa
o ano de 2017) e assim por diante.
Os alunos ao finalizarem a tarefa, entregaram juntamente com as calculadoras e falei
a todos que iria corrigi-la de maneira a colocar algumas orientações e observações a respeito
do que tinham feito.
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Figura 2: Resposta e construção da tabela por um aluno.
Fonte: Registro dos alunos, 2015.
A figura 2 mostra a tarefa realizada por um dos alunos, descobrindo a quantidade de
Césio-137 após os 180 anos do acidente.
Figura 3: Respostas e construção da tabela por aluno.
Fonte: Registro dos alunos, 2015.
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Na figura 3 temos a tarefa realizada por um dos alunos, sem a utilização da terceira
coluna, a qual seria o ano considerado (ano 0, ano 1, ano 2,...).
Figura 4: Respostas e construção da tabela realizada por um aluno.
Fonte: Registro dos alunos, 2015.
Na Figura 4 temos a tarefa realizada por um dos alunos, onde o mesmo mencionou
que a quantidade de césio em algum momento iria zerar, e que ao final na construção da
tabela compreendeu que o valor apenas iria diminuir, tendendo a zero.
2.3 RELATO DA 3ª AULA
Na terceira aula, entreguei inicialmente a turma, a tarefa realizada por eles na aula
anterior com algumas observações que achei necessário, de cada aluno.
Pelo fato dos alunos terem discutido em duplas a realização da tarefa 1, pedi que
formassem novamente as mesmas duplas, para que trabalhassem agora com uma segunda
tarefa, na qual consistia em fazer a representação gráfica do problema do Césio, em uma folha
de papel quadriculada, conforme está na proposta.
20
Perguntei aos alunos se a tabela por eles construída era a única maneira de observar o
que estava acontecendo com a quantidade de Césio-137 durante os anos que passam. Alguns
disseram que não, podiam fazer uma representação gráfica.
Então, entreguei a cada um uma folha de papel quadriculado na qual realizaram a
representação gráfica do problema e me entregaram ao final da aula.
Passei no quadro de giz, que a tarefa deveria ser entregue.
Para saber se os alunos lembravam-se dos principais conceitos e propriedades da
representação de pontos e funções no sistema de coordenadas cartesianas procurei questioná-
los, de como marcamos pontos num gráfico. Os alunos perceberam que os eixos devem ser
perpendiculares, pois, em algumas falas a maioria notou que os eixos ao se encontrarem na
origem formavam quatro ângulos de 90°.
Os alunos citaram que existem então dois eixos um horizontal e outro vertical (um
dos alunos acenou com os braços as posições horizontal e vertical), ao eixo vertical dá se o
nome de eixo y, enquanto o horizontal de eixo x.
Dei um exemplo no quadro marcando o ponto A (1,2), e pedi que alguns dos alunos
viessem até a frente e marcassem um novo ponto no sistema de coordenas desenhado no
quadro, conforme na proposta.
Perguntei a eles se o ponto A (3,2) é igual ao ponto B(2,3), os alunos perceberam que
eles não estão no mesmo lugar, logo não representavam o mesmo ponto. Procurei generalizar
esta ideia, passando no quadro de giz a seguinte afirmação: Sejam, os pontos A e B, por
exemplo, serão iguais se as coordenadas forem as mesmas: (x, y) = (y, x) se e somente se, x =
y.
Comentei a eles que devemos obedecer acerta ordem ao marcarmos um ponto no
sistema de coordenadas cartesianas, o 1º valor representa sempre o valor associado a x,
enquanto o 2º sempre o valor associado a y.
Após essas trocas de ideias e registros, pedi que agora construíssem o gráfico que
representaria o nosso problema, disponibilizei réguas para os que não tinham.
Ao passar nas carteiras notei que a maioria estava trocando os valores da
concentração que deveriam ser colocados no eixo vertical, no eixo horizontal, o mesmo
ocorria com o ano. Intervi questionando-os que em nosso problema temos uma relação entre
duas grandezas, ano e concentração de césio. Alguns perguntaram o significado da palavra
grandeza, comentei então, que grandeza é tudo aquilo que pode ser medido, tempo, massa,
volume, entre outros. No problema as grandezas envolvidas são, ano e concentração. Os
alunos então se perguntavam em que eixo colocaria os valores referentes ao ano e os da
21
concentração de césio. Para muitos não importava a ordem. Para que essa dúvida fosse
esclarecida comentei que a ordem é importante, pois quando se trata de uma representação
gráfica no plano cartesiano as grandezas que estão relacionadas, recebem o nome de variáveis,
uma seria a variável dependente e outra independente. Bem, perguntei qual seria a variável
dependente e qual seria a variável independente. Um dos alunos citou que a variável
dependente é a concentração e a independente é o ano, porque a concentração depende do
ano.
Nesse momento os alunos representaram o problema na malha, mas além das dúvidas
que ainda existia sobre em que eixo colocar os valores das variáveis, os alunos não tomaram o
cuidado de manter uma escala a qual possibilitasse a melhor visualização gráfica do
problema. Os alunos não conseguiram finalizar a atividade, portanto pedi que todos levassem
para casa e a finalizassem, e que na próxima aula seria retomado.
Figura 5: Construção do gráfico referente ao problema do Césio no papel quadriculado (ALUNO 1).
Fonte: Registro dos alunos, 2015.
22
Figura 6: Construção do gráfico referente ao problema do Césio no papel quadriculado (ALUNO 2).
Fonte: Registro dos alunos, 2015.
Figura 7: Construção do gráfico referente ao problema do Césio no papel quadriculado (ALUNO 3).
Fonte: Registro dos alunos, 2015.
Durante a aula procurei trabalhar com as tentativas e os erros dos alunos, observando o
caminho usado para chegar à solução do problema. Essa observação serviu para compreender
o raciocínio dos educandos e preparar as discussões em torno da resolução desses problemas
23
para a próxima aula, com o intuito de conceber processos de resolução diferentes dos já
aprendidos, como a construção da representação gráfica da função.
2.4 RELATO DA 4ª AULA
No início da quarta aula, pedi para que os alunos observassem na folha quadriculada
da aula anterior o que tinham realizado e as apresentassem através do diálogo as principais
dúvidas que tinham a respeito da construção do gráfico. Distribui a turma algumas
calculadoras.
Pedi que observasse a tabela que um dos alunos fez e apresentou à turma para
construir o gráfico que descrevia o problema do césio, ele realizou várias iterações, dividindo
a cada 30 anos que passam a concentração por dois. Perguntei se ele poderia continuar. Os
alunos citaram que sim, pois, a cada trinta anos ele poderia continuar dividindo por dois a
concentração obtida.
Indaguei-os também perguntando se a calculadora poderia nos auxiliar na
determinação desses valores referentes à quantidade de Césio-137, os alunos mencionaram
que poderiam calcular alguns valores, pois faltariam ―casas‖ na calculadora.
Os alunos então perceberam que ao calcular a quantidade de Césio no ano de 2767,
ano em que um dos alunos determinou a quantidade de concentração eles notaram que à
medida que aumentavam as iterações iria dando um valor muito pequeno.
Ao pedir que apresentassem o valor encontrado alguns citaram que apareceu na
calculadora um número negativo, provavelmente isso se deve a dificuldade que os alunos têm
em lidar com os diferentes dados registrados na calculadora. Ao perguntar a eles porque do
número ser negativo os alunos mencionavam que era um número multiplicado por dez e tinha
um número negativo junto.
O aluno realizou os cálculos na calculadora e me apresentou o seguinte número que
apareceu no visor da calculadora científica.
24
Figura 8: Resultado apresentado por um aluno na calculadora científica.
Fonte: Dados da Pesquisa, 2015.
Ao ver o número comentei que se tratava de um número muito pequeno, mas não um
número negativo. Registrei o número no quadro e o expliquei:
O número 9,404296875 . 10-3
representa um número real multiplicado por uma
potência de base 10 cujo expoente é um número inteiro negativo, o que resulta em um número
muito pequeno, mas não negativo. Então, além da calculadora, mesmo sendo ela científica
não nos daria uma compreensão tão exata do problema, por isso, existem hoje programas,
softwares que calculam tais valores com várias casas decimais.
Tentei nesse momento retornar a construção do gráfico. Perguntando a eles o que é
uma função, pois ao construir o gráfico, estamos pensando em construir a representação
gráfica de uma função. Um dos alunos mencionou que função é uma relação de dependência,
(definição a qual o aluno possuía registrada em seu caderno) e citou alguns exemplos que
possuíam em seus cadernos:
- Velocidade em função do tempo;
- Aceleração em função do tempo;
Citei outros exemplos aos alunos:
- O valor a ser pago pela gasolina está em função da quantidade de litros que abasteço um
veículo;
- A nota a ser obtida em uma avaliação está em função das questões corretas.
- A quantidade de água desperdiçada está em função do tempo que uma torneira fica
gotejando.
Ao questionar os alunos se em nosso problema temos que o ano está em função da
concentração de Césio ou a concentração de Césio está em função do considerado, uma das
respostas dada por um aluno foi que a concentração está em função do ano, pois, a cada 30
anos que passa obtém uma nova concentração para o Césio-137 na cidade de Goiânia.
Portanto a concentração depende dos valores assumidos para o ano. Então temos
duas variáveis em questão, uma dependente e outra dependente, ou seja, uma depende do
valor assumido por outra. Os alunos mencionaram que a concentração seria a variável
25
dependente e o ano a variável independente, e em relação ao gráfico, o eixo x, assume os
valores da variável independente, enquanto o eixo y assume os valores da variável
dependente.
A partir desses questionamentos e das conclusões obtidas pelos alunos representaram
a situação graficamente das mais diversas formas:
Figura 9: Gráfico referente ao problema do Césio construído por um aluno usando a malha quadriculada.
Fonte: Registro dos alunos, 2015.
Ao observar os gráficos que os alunos estavam construindo, achei necessário
questioná-los a cerca das representações, pois alguns representaram uma reta, outros disseram
que a curva descreveria uma parábola. Então nesse momento os questionei se o decrescimento
da quantidade de Césio seria linear durante os anos que passam ou se em algum momento
teria um valor mínimo e depois voltaria a aumentar essa concentração. Os alunos notaram que
nenhuma das situações ocorria, pois a concentração iria diminuindo a metade a cada 30 anos
que passam, e em nenhum momento essa concentração voltaria a crescer. Logo eles notaram
que não poderia representar uma reta e nem uma parábola, ou seja, não se tratava de uma
função afim e nem quadrática.
26
Figura 10: Gráfico referente ao problema do Césio construído por aluno usando a malha quadriculada.
Fonte: Registro dos alunos, 2015.
A figura 10 é uma representação gráfica feita por uma aluna, a escala do eixo
vertical foi representada corretamente, mas o gráfico deu impressão de que irá encostar o eixo
horizontal.
Figura 11: Gráfico referente ao problema do Césio construído por um aluno usando a malha quadriculada.
Fonte: Registro dos alunos, 2015.
Registro feito por um aluno, a escala está parcialmente correta, e o gráfico dá a
impressão de que encosta o eixo horizontal no ano de 2167.
Percebi que poderia ter incentivado as descobertas do aluno, perguntando a eles suas
dificuldades, pois, pelos gráficos apresentados alguns erros cometidos pelos alunos foram
identificados, podendo então através dele, o aluno compreender melhor o que deveria ter sido
feito.
27
2.5 RELATO DA 5ª AULA
Para iniciar a quinta aula, os alunos foram incentivados através do diálogo a
determinarem uma função que descreve o problema, de tal maneira que a quantidade de césio-
137 fosse obtido em função do tempo considerado (ano 0, ano 1, ano 2, ano 3, e assim por
diante), registrando no quadro o que estava sendo pedido e deixando que pensassem na
questão durante 25 minutos.
Ao passar nas carteiras percebi que a maioria estava apenas dividindo por dois os
valores e obtendo os resultados, perguntei então, qual é a quantidade inicial de césio, ou seja,
qual é a quantidade que contaminou Goiânia. Os alunos disseram que o valor era de 19,26 g.
Ao perguntar como podemos escrever uma função que relacione a quantidade obtida em
função do dia considerado (ano 0, ano 1, ano 2 e assim por diante), muitos disseram que
bastava dividir por dois a quantidade inicial. Ao interroga-los se poderíamos obter os
resultados de outra maneira além de dividir por dois, alguns comentários surgiram como o de
multiplicar por 0,5 ou ½ como sugeri a eles.
A partir desse momento comecei a registrar no quadro de giz as ideias e observações
que foram realizadas, pois senti que os alunos estavam apresentando grandes dificuldades no
processo de generalização do problema.
Os alunos perceberam que poderiam simplificar a escrita fazendo: 19,26 vezes ½ ao
quadrado, para o ano 2, 19,26 vezes ½ ao cubo, para o ano 3. E depois vezes ½ na quarta, para
o ano 4, etc.
Ao perguntar aos alunos o que estava alterando na função, eles citaram que era o
expoente. Em relação à construção da função interroguei se poderíamos escrever então uma
função que relacione ano e concentração, se podemos usar uma letra que represente um ano
considerado qualquer. Os alunos disseram se poderiam usar a letra w, então pedi a eles para
escreverem uma função do tipo Q(w), onde Q(w) representasse a quantidade de concentração
em um ano considerado w qualquer.
Dei um prazo de 10 minutos para registrarem as ideias e chegarem à solução.
( ) (
)
.
28
Figura 12: Resultados anotados por uma aluna em seu caderno.
Fonte: Registro dos alunos, 2015.
Registro feito por uma aluna em seu caderno, em que teve dificuldades em
representar algebricamente o problema, tendo a necessidade do auxilio do professor.
Perguntei a eles qual seria a quantidade de Césio no ano considerado 7 (sete).
Entreguei as calculadoras aos alunos e então encontraram o valor aproximado de 0,1504 g.
Por sugestão da professora supervisora que estava acompanhando a aula, pedi para
que os alunos calculassem a concentração no ano considerado 100, para que notassem que
com a função obtida o valor seria facilmente encontrado.
Pedi que aos alunos que escrevessem o valor apresentado na calculadora em notação
científica na forma decimal. Os alunos chegaram em
0,0000000000000000000000000000151934 g, o qual registrei no quadro de giz.
29
Figura 13: Registro realizado por um aluno em seu caderno
Fonte: Registro dos alunos, 2015.
Registro feito por um aluno, calculando a concentração para o ano 7 (sete) e ano 100
(cem) .
Figura 14: Registro realizado por um aluno em seu caderno.
Fonte: Registro dos alunos, 2015.
Registro feito por um aluno, o qual representou a quantidade em um número decimal,
com 31 casas decimais. O aluno disse que o valor era muito pequeno.
Perguntei a turma se com a função encontrada podemos obter o valor do Césio em
qualquer ano. Muitos através de suas falas comentaram que não, por que a função encontra a
quantidade de Césio de 30 em 30 anos da maneira que está. Pedi, então, que alterassem essa
função para encontrar, por exemplo, a quantidade de Césio no ano em que estamos
2015.Deixei que os alunos pensassem pelo restante da aula nessa questão, e procurassem
trazer uma solução, nova função, para a próxima aula.
2.6 RELATO DA 6ª AULA
Para finalizar as discussões acerca do problema do Césio e realizar a formalização
com os alunos, passei nas carteiras perguntando se houve dúvidas a respeito da função obtida
na aula anterior e se tinham encontrado a nova função. Percebi que os alunos compreenderam
30
a função obtida na aula anterior e um dos alunos comentou que era necessário mudar o valor
de w, porque ele calcula a quantidade de Césio apenas nos anos 1987, 2017, 2047, e assim por
diante, e os demais anos não podem ser calculados.
Comentei então, que devemos fazer uma troca de variáveis, trocando a variável
independente w, por outra, questionei os alunos de como podemos chamar agora essa nova
variável.
Os alunos então usaram a letra a, para representar qualquer ano iniciando pelo ano de
1987.
Registrei no quadro de giz a seguintes conclusões: o ano 1, pode ser escrito como:
30/30 ((2017 – 1987)/30), o ano 2, é escrito sendo 60/30 ((2047 – 18987)/30), o ano 3 é
escrito da forma 90/30 ((2077 – 18987)/30), e assim por diante.
Logo a nova função poderia ser escrito da seguinte maneira:
( ) (
)
.
Então pedi que determinassem com o uso da função obtida a quantidade de césio no
ano em que estamos:
( ) (
)
( ) (
)
( ) (
)
( ) (
)
( )
Os alunos verificaram com o uso da calculadora os resultados e anotaram em seus
cadernos:
31
Figura 15: Registros feitos por uma aluna em seu caderno.
Fonte: Registro dos alunos, 2015.
Registro realizado por uma aluna, em que determinou a quantidade de Césio no ano
em que estamos (2015).
Pedi que os alunos observassem as duas funções obtidas, e que foram registradas por
eles em seus cadernos.
Nos comentários dos alunos, pude notar que eles perceberam que as letras utilizadas
por eles, w e a, representam a variável dependente que agora se encontra no expoente.
Nesse momento pedi que os alunos registrassem em seus cadernos a definição de
função exponencial, conforme está na proposta, e logo em seguida entreguei aos alunos uma
lista de exercícios referente ao estudo das funções exponenciais. Notei que mesmo que os
alunos não soubessem que o problema se tratava de uma função exponencial os mesmo
puderam solucioná-la.
32
3. PROPOSTA DE ENSINO PARA O ESTUDO DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS A
PARTIR DO ACIDENTE RADIOATIVO COM O CÉSIO – 137 EM GOIÂNIA
Após minhas reflexões acerca dos erros e acertos cometidos na aplicação do plano de
aula do estágio de regência, das orientações dos professores supervisores e da importância
percebida do uso da Resolução de Problemas em sala de aula, foi elaborada a proposta que
segue.
3.1 A 1ª AULA – INTRODUÇÃO DO PROBLEMA
A leitura do problema se refere não só à compreensão, mas também envolve termos
específicos da matemática, (como o conceito de meia-vida), que, muitas vezes, não fazem
parte da experiência dos alunos. A leitura, a compreensão e a interpretação são fatores de
fracasso da Resolução de problemas (FINI e outros 1996).
Para isso, o objetivo dessa aula é introduzir a situação problema, é interessante o
professor apresentar o problema aos alunos de maneira dialogada, dizer que a atividade
consiste na leitura do texto e resolução das questões que seguem junto com o texto, cujo título
é ―O problema do Césio em Goiânia‖, o professor deve comentar e registrar na lousa que as
questões não deverão ser entregues, mas sim anexadas aos materiais dos próprios alunos
como cadernos, fichários, entre outros, para que não surjam dúvidas por partes dos alunos se a
atividade é ou não para ser entregue.
O problema do césio em Goiânia
Em 13 de setembro de 1987, na cidade de Goiânia, dois sucateiros encontraram um
aparelho de radioterapia em um prédio abandonado e levaram para casa. Os sucateiros, ao
desmontá-lo, expuseram no ambiente 19,26g de cloreto de césio-137, pó branco semelhante
ao sal de cozinha, que brilha no escuro com uma coloração azulada.
O acidente foi diagnosticado no dia 29 de setembro de 1987, depois que muitas
pessoas apresentaram sintomas de contaminação radioativa. Percebida a contaminação, a
primeira medida foi separar toda a roupa das pessoas contaminadas, lavar as pessoas com
água e sabão para descontaminação externa. Para a descontaminação interna, as pessoas
contaminadas tomaram uma substância chamada azul da Prússia, para que as partículas de
33
césio fossem eliminadas pelas fezes e urina. Todo esse material foi encapsulado em
contêineres de metal para descarte em um depósito.
Nos trabalhos de descontaminação dos locais afetados foram produzidos 13,4t de
lixo contaminado com césio-137: roupas, utensílios, plantas, restos de solos e materiais de
construção. O lixo do maior acidente radiológico do mundo está armazenado em cerca de
1.200 caixas, 2.900 tambores e 14 contêineres em um depósito construído na cidade de
Abadia de Goiás, vizinha a Goiânia, onde deverá ficar por pelo menos 180 anos.
Segundo a Comissão Nacional de Energia Nuclear (CNEN),
Cada elemento radioativo se transmuta a uma velocidade que lhe é característica.
Meia-vida é o tempo necessário para que a sua atividade radioativa seja reduzida à metade da
atividade inicial. Alguns elementos possuem meia-vida de milionésimos de segundo. Outros,
de bilhões de anos. (CNEN, 2006)
A meia-vida do césio-137 é de 30,2 anos.
Fonte: Adaptado de <http://www.uel.br/grupo-pesquisa/grupemat/docs/CCO2_eprem2009.pdf>
O tempo estimado para a leitura é de 10 minutos, e de 10 a 15 minutos para
responder as questões que seguem.
(a) Sobre o que trata o texto? Obtenham palavras-chaves que definam as principais ideias do
texto.
Possível resposta: O texto descreve sobre a contaminação de Césio-137 na cidade de
Goiânia do qual data de 13 de setembro de 1987, mas somente diagnosticado em 29 de
setembro de 1987. Radioatividade, Meia- Vida, etc.
(b) Vocês já ouviram falar a respeito desse acidente?
Resposta pessoal
(c) Qual é a quantidade de césio depois de 180 anos após o acidente?
Possível resposta: Nessa pergunta os alunos poderão compreender o significado de meia
vida, para encontrar a quantidade de césio em 180 anos eles poderão fazer uma tabela
relacionando os anos com a quantidade em gramas de Césio-137.
Ano Cronológico Quantidade de Césio (em gramas)
1987 19,26
2017 9,63
2047 4,815
2077 2,4075
2107 1,20375
34
2137 0,601875
2167 0,3009375
(a) É possível fazer previsões para estimar a data em que os níveis de contaminação por césio
sejam bem reduzidos? Justifiquem a resposta.
Possível resposta: A cada 30 anos aproximadamente a radiação é reduzida a metade, se
fizermos uma relação entre a quantidade de concentração em função do tempo (anos
decorridos) saberemos quando ela será bem pequena.
Após responderem essas questões o professor, deve dar a oportunidade dos alunos
comentarem suas respostas.
É interessante que os alunos assistam um documentário sobre o acidente em Goiânia
com Césio-137, para que eles observem o que é e como aconteceu tal acidente. O vídeo está
disponível em https://www.youtube.com/watch?v=WYg1xyD_yxE
3.2 A 2ª AULA – RELAÇÃO ENTRE AS VARIÁVEIS
Analisar e compreender como pensam os alunos, gerar seu entusiasmo e curiosidade
são atitudes do professor, essenciais para o sucesso na Resolução e Problemas.
Para dar inicio a segunda aula, é importante relembrar o problema do césio-137
proposto na aula anterior, passando aos alunos um segundo vídeo com o tema: ―Acidente
radioativo com o Césio-137 em Goiânia, 1987‖, com duração de 3 minutos, disponível no
endereço eletrônico https://www.youtube.com/watch?v=63UWTcXDdpA
Para que os alunos compreendam a existência da relação entre a concentração de
césio-137 e o tempo, o professor deve pedir aos alunos que construam uma tabela que
relacione essas duas grandezas: concentração de césio-137 e tempo é importante antes de
entregar as perguntas abaixo impressa aos alunos, levantar os seguintes questionamentos de
maneira dialogada e caso seja necessário anotar as respostas dos alunos na lousa e pedir que
anotem as mesmas em seus cadernos:
Existe alguma relação entre a concentração de césio-137 e os anos que passam? O
que é uma relação?
Possível resposta: Eles poderão observar que a concentração de césio-137 diminui a metade
a cada 30 anos. Resposta pessoal.
35
Após realizar essa pergunta pedir para que em duplas os mesmos encontrem uma relação
matemática entre a concentração de césio-137 e os anos passados. Entregar a eles uma folha que
deverá ser recolhida ao final da aula com as seguintes questões:
(1) A quantidade do césio-137 depende do ano?
Possível resposta: Sim, pois a quantidade vem reduzindo a metade a cada 30 anos.
(2) A quantidade inicial de césio-137 que contaminou Goiânia é de quanto?
Possível resposta: 19,26g
(3) Em que ano aconteceu o acidente (tempo inicial)?
Possível resposta: 1987
(4) Construam uma tabela relacionando a concentração de césio-137 e os anos que passam.
Possível resposta:
Ano Considerado Ano cronológico Concentração de césio-137 (em g)
0 1987 19,26
1 2017 9,63
2 2047 4,815
3 2077 2,4075
4 2107 1,20375
Os alunos deverão construir a tabela e após concluírem, entregarem ao final da aula
ao professor, para que haja uma prévia avaliação da atividade realizada.
3.3 A 3ª AULA – CONSTRUÇÃO DE UMA REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
Franchi (1994) encontra em suas pesquisas diferentes interpretações da descrição de
um mesmo texto-problema, mostrando a importância do diálogo entre o professor e o aluno.
A partir de questionamentos e observações feitas pelo professor nas atividades dos alunos,
eles podem perceber que a representação tabular pode não ser a única maneira de representar
uma situação-problema.
Na terceira aula, portanto, o professor deve entregar aos alunos a atividade iniciado
na aula anterior, caso tenha sido recolhida, com algumas observações e orientações caso
necessário.
O professor deve pedir para que as duplas da aula anterior se formem novamente
para que dê continuidade ao desenvolvimento da atividade.
36
O professor deve perguntar aos alunos se a tabela é a única maneira de termos os
valores relacionados, entre a concentração de césio-137 e os anos.
Provavelmente os alunos responderão que não, podendo construir gráficos e
encontrar uma relação matemática a partir de uma lei de formação, caso os alunos não
apresentem exemplos, o professor deve intervir questionando-os:
1. Podemos a partir da tabela, construir um gráfico que relacione o ano e a concentração de
césio-137?
Possível resposta: sim
2. Como marcamos pontos num gráfico?
Possível resposta: Encontrando a coordenada desse ponto.
3. O que é um par ordenado?
Possível resposta: Quando encontramos as coordenadas de um ponto ele corresponde a um
par ordenado (a, b), em que a é a abscissa e b é a ordenada do ponto.
4. O que é o sistema de coordenadas cartesianas?
Possível resposta: É a correspondência que a cada par ordenado de números reais associa
um único ponto do plano cartesiano.
O professor deve entregar as duplas uma folha de papel quadriculado para que a
dividam ao meio e cada componente da dupla fique com uma parte, cabe ao professor pedir
para que construam nela um plano cartesiano, utilizando régua, caso nem todos tenham, o
professor deve procurar disponibilizar a eles, mas antes eles deverão anotar nesta mesma
folha a seguinte definição:
Para construir um plano cartesiano, devemos, inicialmente, desenhar duas
retas numéricas perpendiculares entre si e de modo que o ponto zero das duas coincida, as
quais chamaremos de eixos.
O eixo desenhado na posição horizontal é denominado eixo das abscissas, em geral
indicamos por x.
O eixo desenhado na posição vertical é denominado eixo das ordenadas, em geral
indicamos por y.
Fonte: Adaptado de Smole, Kátia Cristina Stocco. Matemática – Ensino Médio – volume 1 – 1ª série/ Kátia
Cristina Stocco Smole, Maria Ignez de Souza Vieira Diniz. – 5. Ed. – São Paulo: Saraiva, 2005.
Professor oriente aos alunos a marcarem em um mesmo sistema de coordenadas
cartesianas os seguintes pontos:
A (1,2); abscissa: 1 e ordenada 2;
B (-6,3); abscissa: -6 e ordenada 3;
37
C (2,-2); abscissa: 2 e ordenada -2;
D (-4,-2); abscissa: -4 e ordenada -2;
E (0,-5); abscissa: 0 e ordenada -5;
F (4,0) abscissa: 4 e ordenada 0;
Caso o professor achar conveniente os alunos podem dividir a folha de papel
quadriculado novamente ao meio, para que em uma das partes os alunos construam um eixo
de coordenas cartesianas e marquem os pontos acima.
Figura 16: Marcação de pontos no Plano Cartesiano.
Fonte: O Autor, 2015.
(a) Professor pergunte aos alunos se o ponto (3,2) = (2,3)
Possível resposta: Não eles se encontram em lugares diferentes no plano cartesiano.
(b) Professor pergunte se a igualdade (x, y) = (y, x) é válida.
Possível resposta: Nem sempre, pois pelo item (a) podemos perceber que a
igualdade é falsa, ela será verdadeira, se e somente se, x = y.
O professor deve pedir para que os alunos representem no plano cartesiano a relação
entre a concentração de césio-137 e o ano.
Possível resposta:
38
Figura 17: Construção do gráfico da função que descreve o problema do Césio-137 no Plano Cartesiano.
Fonte: O Autor, 2015.
Ao término da aula os alunos entregarão, a folha de papel quadriculado, com o
gráfico para que o professor possa fazer uma prévia avaliação do desenvolvimento das
atividades realizadas nesta aula pelos alunos.
3.4 A 4ª AULA – DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
O professor pode intervir fazendo questionamentos orais sobre os dados e pergunta,
tomando o cuidado de desenvolver a habilidade de compreensão e não fazer deste processo
um conjunto de ações obrigatórias.
No início da 4ª aula o professor deve entregar aos alunos a tarefa da aula anterior
com algumas observações e orientações. Caso o professor tenha observado que a atividade
realizada em duplas, não está levando a participação dos alunos, poderá orientá-los a fazerem
as atividades individualmente.
Dando continuidade na questão do césio-137, perguntar aos alunos:
1. Quais variáveis estão envolvidas no problema? (dar a eles um tempo de 5 minutos para
pensarem escreverem sobre).
- Se os alunos não apresentarem argumentos o professor deve perguntar a eles o significado
de variável independente e variável dependente.
- O professor deve ressaltar aos alunos que a cada 30 anos uma determinada quantidade de
concentração é encontrada para o césio-137.
2. O que é uma função? (dar a eles um tempo de 5 minutos para pensarem e escreverem
sobre).
39
Os alunos neste momento poderão apresentar seu conhecimento prévio referente ao
conteúdo de funções. Caso os alunos não apresentem, perguntar a eles se determinada
grandeza está em função de outra, pedir exemplos, e outros apresentar, como:
(a) O preço da gasolina a pagar está em função da quantidade de litros que é abastecido o
veículo;
(b) A nota obtida por um estudante em uma avaliação está em função de questões corretas;
(c) A quantidade de água desperdiçada está em função do tempo que uma torneira fica
gotejando.
A partir dessas questões e dos argumentos levantados os alunos poderão chegar na
seguinte conclusão: Função é um modo especial de relacionar grandezas. Nesse tipo de
relação, duas grandezas, ano e concentração de césio-137 se relacionam, por exemplo:
- Quando assumimos o ano 1987 obtemos um único valor para a concentração que é de
19,26g.
- Quando assumimos o ano 2017, ou seja, 30 anos após o ocorrido, obtemos um único valor
para a concentração que é de 9,63g, e assim por diante.
Os valores que a concentração de césio-137 assume dependem dos valores
assumidos no ano.
O professor deve pedir para que os alunos anotem a seguinte definição, em seus
cadernos:
Numa função de A em B, usamos a indicação:
( )
Nessa função:
x é denominado variável independente da função f, enquanto y é chamado variável
dependente, pois os valores de y dependem dos valores escolhidos para x. Já este último
pode variar assumindo qualquer valor do conjunto A.
Fonte: Smole, Kátia Cristina Stocco. Matemática – Ensino Médio – volume 1 – 1ª série/ Kátia Cristina Stocco
Smole, Maria Ignez de Souza Vieira Diniz. – 5. Ed. – São Paulo: Saraiva, 2005.
Para a definição de domínio e contradomínio de uma função é importante o professor
realizar os seguintes questionamentos aos alunos:
1. Quais são os valores que a variável independente pode assumir no problema do césio-137?
(dar a eles um tempo de 5 minutos para pensarem e escreverem).
Possível resposta:Os valores dos anos iniciando em 1987, e os próximos variando de 30 a 30
anos, ou seja: 1987 (ano 0), 2017 (ano 1), 2047 (ano 2), 2077 (ano 3), 2107 (ano 4), etc.
40
2. Quais são os valores que a variável dependente pode assumir no problema do césio-137?
(dar a eles um tempo de 5 minutos para pensarem e escreverem sobre).
Possível resposta: Os valores da concentração de césio-137, ou seja: 19,26; 9,63; 4,185;
2,4075; 1,20375; 0,601875; etc.
O professor deve pedir para que os alunos anotem em seus cadernos a definição
formal de Domínio e Contradomínio de uma função:
Domínio: O conjunto dos valores que a variável independente assume recebe o nome de
Domínio da função.
Contradomínio: O conjunto dos valores que a variável dependente assume recebe o nome de
Contradomínio da função.
Fonte: Souza, Joamir Roberto de. Novo olhar matemática/ Joamir Roberto de Souza. – 1 ed. – São Paulo: FTD,
2010. – (Coleção novo olhar; v.1).
Após os alunos anotarem a definição de domínio e contradomínio o professor deve
solicitar para que eles a partir do que foi visto, escrevam uma função onde a concentração de
Césio-137 esteja em função do ano considerado. Dar 15 minutos para pensarem e tentarem
chegar a uma conclusão
Possível resposta: ( ) (
)
é a quantidade de césio-137 e n é o ano
considerado.
Para que eles cheguem a tal resposta o professor deve partir do que os alunos sabem:
(a) A quantidade do césio-137 depende do ano;
(b) A quantidade inicial de césio-137 que contaminou Goiânia é de 19,26g;
(c) A meia-vida do césio-137 é de 30 anos;
(d) O tempo inicial é 1987;
3.5 A 5ª AULA – REDEFININDO A FUNÇÃO QUE DESCREVE O PROBLEMA
A representação simbólica é essencial para a organização do conhecimento
matemático escolar e científico gerado na Resolução de Problema, visto que os estudantes
recorrem a códigos para representar e modelar as formulações matemáticas elaboradas na
busca de soluções para os problemas. Essa representação das experiências e reflexões
matemáticas manifesta-se de forma escrita ou oral, normalmente com a finalidade de
viabilizar a comunicação de um conceito matemático construído.
41
O professor deve solicitar aos alunos que os mesmos deverão encontrar a relação entre
a quantidade de concentração de césio-137 em função do ano considerado, e em seguida os
alunos devem verificar se realmente a relação funciona para o problema.
Após isso ser concluído o professor deve pedir que alguns alunos apresentem suas
soluções para a turma para que observem as diferentes soluções e encaminhamentos tomados
pelas outras duplas para chegarem a solução do problema.
O professor deve perguntar aos alunos se com a função encontrada é possível
determinar a quantidade de concentração de césio-137 atualmente, no ano em que estamos.
Provavelmente os alunos responderão que não, pois a variação entre os anos é de 30 em 30
anos, como atualmente estamos em 2015, a ano fica entre essa variação.
O professor deve registrar no quadro algumas informações que serão obtidas através
de diálogo entre os alunos e o professor, pois as informações poderão auxiliar o aluno a
determinar a nova lei de formação.
- Analisando a tabela nota-se que a variação entre os anos é de 30 em 30. Para isso, basta
diminuir o ano sucessor de seu antecessor.
2017 – 1987 = 30
2047– 2017 = 30
- Relacionando os anos com o ano inicial, ou seja, 1987 têm-se:
2017 – 1987 = 30
2047– 1987 = 60
2077– 1987 = 90
- Observando novamente a tabela, temos que:
Ano Ano/Calendário Variação
0 1987 0
1 2017 30
2 2047 60
- Contudo a relação entre os anos é proporcional a variação de 30. Logo, o ano 1 (um), por
exemplo pode ser escrito 30/30 = 1. O ano 2 (dois), pode ser expresso por 60/30 = 2.
O professor deve pedir aos alunos que agora encontrem uma nova relação que
solucione a questão: Qual a quantidade de concentração de césio-137 atualmente, no ano em
que estamos?
42
Possível resposta: n pode ser representado por:
.
Então, a relação que responde a problemática é: ( ) (
)
, onde t é o ano
cronológico.
Após encontrarem tal relação o professor deve solicitar aos alunos que encontrem a
quantidade de concentração no ano em que estamos. Neste momento os alunos poderão
utilizar a calculadora científica, o professor poderá auxiliá-los no seu uso.
Possível resposta:
( ) (
)
, com
( ) (
)
( ) (
)
( ) (
)
( )
Nesse momento é importante ensinar os alunos a manusearem a calculadora científica
para a resolução de potência com expoente real.
Digitando:
O professor poderá questionar os alunos, perguntando a eles o resultado que aparece
no visor da calculadora.
Possível resposta: Um valor aproximado a 10,085
O professor deverá pedir aos alunos que encontrem o Domínio e Imagem das funções:
( ) (
)
Possível resposta:
Domínio: 0,1,2,3,4,5,6,..., ou seja os números inteiros não negativos
19.26 x (
Digite a equação aqui
ab/c 1 2 ) ^ (
Digite a equação aqui
28 ab/c
30 ) =
43
Dom =
Imagem: Serão os valores das quantidades de concentração de césio-137, ou seja, 19,26;
9,63; 4,815; etc
Im =* | +
( ) (
)
Possível resposta:
Domínio: 1987, 2017, 2047, etc, ou Dom =* | +
Imagem: Serão os valores das quantidades de concentração de césio-137, com t 1987.
Im =* | +
Perguntar aos alunos se quando aumentamos em ambas as funções encontradas os
valores da variável independente os valores da variável dependente aumentam ou diminuem?
Possível resposta: Os alunos perceberam, na tabela, ou no gráfico ou nos próprios cálculos
aplicando as funções que os valores de C(n) e C(t) diminuem ao ponto que aumentamos os
valores para n e t respectivamente.
O professor deve explicar aos alunos que essa característica nos permite concluir que
tal função é decrescente.
3.6 A 6ª AULA – DEFININDO FUNÇÃO EXPONENCIAL
As representações simbólica e mental de um mesmo conceito matemático, formulado
a partir da Resolução de Problemas, são peças essenciais no processo de abstração
matemática. Todavia, a base dessa abstração está em outros dois processos: a generalização e
a síntese. O primeiro perpassa uma ação cognitiva de derivação ou indução a partir de
especificidades, ou seja, a identificação de características comuns ou expansão dos domínios
de validade de conclusões particulares. O segundo trata de combinação ou composição de
partes formar um todo, que muitas vezes é mais do que a soma das partes (Dreyfus, 1991).
Para concluir a atividade o professor deve comentar com os alunos que as funções
encontradas no problema do césio-137 recebem o nome de funções exponenciais, e pedir que
todos anotem em seus cadernos a definição de função exponencial:
44
Seja a um número real positivo, diferente de 1 e b um número real não nulo. A
função exponencial de base a, , indicada pela notação ( ) , deve ser
definida de modo a ter as seguintes propriedades, para quaisquer e :
(i)
(ii)
(iii) quando e
quando 0 < < 1.
Fonte: Adaptado de Lima, Elon Lages. A matemática do ensino médio – volume 1/ Elon Lages Lima, Paulo
Cezar pinto carvalho, Eduardo Wagner, Augusto César Morgado. – 9.ed. – Rio de Janeiro: SBM 2006.
O professor deve passar alguns exemplos aos alunos para que anotem em seus
cadernos, tais como:
(a)
(b) ( ) (
)
(c) ( ) (
)
Para que seja possível aos alunos adquirirem as habilidades e competências
matemáticas é necessário que o professor explore todos os tipos de problemas possíveis,
durante suas atividades em sala de aula, como cita Polya 1979 e Dante 1989. Portanto é
interessante que o professor trabalhe com a questão que segue abaixo, para que o aluno tenha
a possibilidade de resolver outros problemas e validar seu conhecimento aprendido
anteriormente. O professor pode pedir que os alunos resolvam a questão em sala de aula e a
terminem em casa.
Questão: A divisão celular denominada mitose consiste em uma célula duplicar o
seu conteúdo e então se dividir em duas. Cada célula, por sua vez, repete esse processo,
totalizando após a 2ª divisão, quatro novas células.
(a) Determine o número total de células obtidas a partir de uma única célula após:
3 divisões; R: 8 células
4 divisões; R: 16 células
7 divisões; R: 128 células
(b) Quais as variáveis presentes na questão? Qual é a variável independente e a dependente?
Possível resposta: As variáveis são a quantidade de divisões e a quantidade de células.
Variável independente: Quantidade de divisões;
Variável dependente: Quantidade de células.
45
(c) Encontre uma relação que associe a quantidade total de células, obtidas a partir de uma
única célula, após uma quantidade d de divisões.
Os alunos poderão chegar na seguinte conclusão:
Possível resposta: O número de células vem dobrando após cada divisão, logo:
Quantidade de células = 2quantidade de divisões
Matematicamente: Q(d) = 2d, sendo Q(d) a quantidade de células e d o número de divisões.
(d) Represente graficamente a situação
Possível resposta:
Fonte: O Autor, 2015.
(e) Qual é o conjunto Domínio e qual é a imagem?
Possível Resposta: Como a função descrita não é contínua, ou seja, neste caso, não existe
meia célula, o domínio é:
Domínio: 1, 2, 3, 4, 5, etc. (quantidade de divisões).
Dom =* | +
Contradomínio: Serão os valores das quantidades de células.
Im =* | +
(f) Pelo gráfico e pela função encontrada, enquanto aumentamos o número de divisões da
célula, o que ocorre com a quantidade de células?
Possível resposta: A quantidade de células também aumenta.
Nesse momento é necessário que o professor defina com os alunos quando uma
função é crescente e quando ela é decrescente. Pedir que os alunos anotem em seus cadernos a
definição abaixo:
(a) Uma função exponencial é crescente se a>1. Sempre que aumentamos os valores de x,
os valores correspondentes de y aumentam, isto é, .
46
(b) Uma função exponencial é decrescente se 0 < a < 1. Sempre que aumentamos os
valores de x, os valores correspondentes de y diminuem, isto é, .
Fonte: Souza, Joamir Roberto de. Novo olhar matemática/ Joamir Roberto de Souza. – 1 ed. – São Paulo: FTD,
2010. – (Coleção novo olhar; v.1).
Note então que a função Q(d) = 2d, é crescente, pois pela definição temos que
, como exemplo temos: = 2 e = 3, disto: Q(2) = 22
Q(2) = 4 e
Q(3) = 23
Q(3) = 8, Q( ) > Q( ).
Depois de realizada a tarefa caso haja dúvidas deve ser realizada a correção no
quadro para que todos os alunos verifiquem suas respostas.
47
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A Resolução de Problemas é uma metodologia de ensino de Matemática que traz à
sala de aula problemas não rotineiros e que exigem certa complexidade cognitiva, pois os
alunos não sabem, de antemão, nem a resolução e nem o conteúdo matemático por traz dela.
Considerando esses aspectos como positivos, decidi utilizar essa metodologia nas
aulas de Física. Após essa experiência, considerei importante uma nova experiência, contando
com o apoio e orientação dos professores do curso de Licenciatura em Matemática. Essa
segunda experiência resultou na escrita deste trabalho, cujo objetivo é apresentar as minhas
reflexões acerca da utilização da Resolução de Problemas em sala de aula.
O uso da Resolução de Problemas como metodologia de ensino nas aulas de estágio
não foi tarefa fácil, pois em alguns casos não foi eficaz para todos os alunos, fazendo com que
o professor dê-se mais atenção aos alunos que apresentavam dificuldade e sinalizando a eles
caminhos de Resolução que eram comuns aos demais alunos.
Como pontos negativos vivenciados nas aulas do estágio, destaco a dificuldade dos
alunos em se adaptar a dinâmica de trabalho, pois, estavam acostumados com o método
tradicional, no qual o professor, muitas vezes, direciona tanto na resolução, que o aluno deixa
de procurar solucionar o problema por si só. Isso sinaliza a necessidade de algum tempo até
que se familiarizem com a metodologia para que se sintam seguros em sua realização. Outro
ponto negativo foi a falta de tempo para a realização das atividades durante as aulas e para
discussão das ideias e formalização dos conceitos.
No entanto, a utilização desta metodologia possibilitou uma maneira diferente de
ensinar a Matemática, não como um conjunto de informações que são repassadas ao aluno
esperando decorarem o máximo possível, mas em que se pretende propiciar um momento de
imaginação, de criatividade para explorar a aprendizagem de uma forma mais autônoma ou
então com a ajuda mínima do professor, portanto, em minha reflexão realizaria novamente tal
experiência, pois, senti que muitos alunos despertaram grande interesse à Matemática.
Como a Resolução de Problemas é instigadora, fazendo com que os alunos busquem
respostas, confia-se que esses pontos negativos podem ser minimizados, pois, podemos
destacar que durante o estágio ouve a descentralização da responsabilidade da aprendizagem,
passando em certa medida, ao próprio aluno, além de tornar o processo de ensino mais
dinâmico e produtivo, pois naturalmente surgem conhecimentos que não seriam ensinados no
modelo tradicional.
48
As aulas na perspectiva da Resolução de Problemas permitiram aos alunos
colocarem-se diante de questionamentos e pensarem por si próprios, possibilitando o
exercício do raciocínio lógico e não apenas o uso padronizado de regras, e também a
construção do conhecimento de conceitos matemáticos, antes mesmo de serem a eles
apresentados.
A Resolução de Problemas é fascinante, sua inserção no ensino pode contribuir para
despertar o interesse dos alunos e expandir o conhecimento matemático dos mesmos.
Foi de grande valia o desenvolvimento deste trabalho, pois, além de propiciar o
conhecimento das diferenças entre a Resolução de Exercícios e Resolução de Problemas, foi
possível esclarecer o quão importante é o uso dessa metodologia nos estágios de regência e,
futuramente, em nossas salas de aula. A proposta de Ensino apresentada no capítulo 4 é
apenas um caminho, dentre outros, para contribuir com a melhoria do ensino, visto que mais
alternativas devem ser estudadas a fim de cumprirem com este mesmo papel.
49
REFERÊNCIAS
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