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FACULDADE ESTADUAL DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS DE UNIÃO
DA VITÓRIA - PR
HENRIQUE CRISTIANO THOMAS DE SOUZA
OS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA: ANÁLISE DE UMA
ATIVIDADE DE MODELAGEM MATEMÁTICA NO ENSINO SUPERIOR
UNIÃO DA VITÓRIA - PR
2011
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FACULDADE ESTADUAL DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS DE UNIÃO
DA VITÓRIA - PR
HENRIQUE CRISTIANO THOMAS DE SOUZA
OS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA: ANÁLISE DE UMA
ATIVIDADE DE MODELAGEM MATEMÁTICA NO ENSINO SUPERIOR
Trabalho de Conclusão de Curso
apresentado como requisito parcial para
obtenção do título de licenciado em
Matemática; orientado pelo Prof. Dr. João
Alberto Valcanover e coorientado pela
Prof.ª Ms. Michele Regiane Dias
Veronez.
UNIÃO DA VITÓRIA - PR
2011
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AGRADECIMENTOS
Após um ano de dedicação e muita luta, o TCC (Trabalho de Conclusão de
Curso) está pronto, e chega a hora de agradecer todos aqueles que me apoiaram nessa
fase, pois, muitos foram os dias que nem eu mesmo me aguentaria, mas estas pessoas
tão especiais para mim estiveram ao meu lado prontas para me ajudar sem pestanejar.
Primeiramente agradeço aos meus orientadores, Prof. Dr. João Alberto
Valcanover e Prof. Mr. Michele Regiane Dias Veronez. A última um agradecimento
muito especial, pois, mesma atribulada de tarefas se dispôs a orientar meu trabalho e
certamente teve grande contribuição no desenvolvimento do mesmo.
Agradeço muito a minha família, aos meus pais Antonio e Nelci, e irmãos
Cristian e Nayara, por me apoiar e me dar suporte.
Agradeço a minha namorada Andréia, que com toda certeza foi meu suporte
emocional durante a realização desse trabalho. Muitas e muitas vezes foi ela quem me
ajudou em momentos de cansaço, desilusão e desânimo, confortando-me.
Agradeço a todos os meus amigos, que escutaram muitas vezes meus discursos
sobre assuntos desse trabalho sem reclamar, agradeço-os pela compreensão e apoio.
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RESUMO
Este trabalho analisa a aprendizagem de conhecimentos específicos de alunos de
um curso superior de Licenciatura em Matemática, em uma atividade de Modelagem
Matemática, usando para tal a teoria dos Registros de Representação Semiótica
desenvolvida por Raymond Duval. Busca-se inferir se a aplicação de atividades de
Modelagem Matemática como alternativa de ensino, no Ensino Superior, pode levar à
aprendizagem de conteúdos específicos, levando em consideração a teoria dos Registros
de Representação Semiótica de Duval, que de modo geral afirma que o aprendizado de
um objeto matemático se dá no momento em que o sujeito consegue representá-lo ao
menos em dois registros semióticos distintos, realizando para tal conversões entre estes
registros semióticos.
Palavras chave: Registros de Representação Semiótica, Modelagem Matemática, Ensino
Superior.
ABSTRACT
This work examine the learning skills of a student's of university Degree in
Mathematics, applying a mathematical modeling activity, using for that the theory
Records Semiotics of Representation developed by Raymond Duval. It attempts to infer
whether the application of mathematical modeling activities, as an alternative in higher
education, can lead to learning of specific content of mathematics, considering Duval’s
theory Records Semiotics of Representation which.
Keywords: Records Semiotics of Representation, Mathematical Modeling, Higher
Education Degree.
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LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Processo de Modelação .................................................................................. 9
Figura 2: A Tríade Semiótica de Pierce ....................................................................... 16
Figura 3: Atividade desenvolvida pelo grupo 3 - tratamento do registro algébrico ....... 23
Figura 4: Atividade desenvolvida pelo grupo 3 - registro gráfico ............................... 344
Figura 5: Atividade desenvolvida pelo grupo 3 - Obtenção do modelo matemático. ... 25
Figura 6: Atividade desenvolvida pelo grupo 1 - registro semiótico tabular ................ 26
Figura 7: Atividade desenvolvida pelo grupo 1 - registro semiótico gráfico ................. 27
Figura 8: Atividade desenvolvida pelo grupo 1 - obtenção do modelo matemático .... 348
Figura 9: Atividade desenvolvida pelo grupo 1 - Observação ...................................... 28
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SUMÁRIO
1 Introdução .............................................................................................................. 07
2 Modelagem Matemática ......................................................................................... 09
2.1 Modelagem Matemática na Educação Matemática ............................................ 09
2.2 Inclusão da Modelagem Matemática em contexto de ensino ............................. 13
3 Representação Semiótica ....................................................................................... 15
3.1 Algumas considerações sobre semiótica. ........................................................... 15
3.2 Os Registros de Representação Semiótica ......................................................... 17
4 Uma atividade de Modelagem Matemática no Ensino Superior .......................... 21
4.1 Aspectos metodológicos da pesquisa................................................................. 21
4.1.1 O contexto analisado ............................................................................... 21
4.1.2 O desenvolvimento da pesquisa .............................................................. 21
4.2 Análise da atividade desenvolvida .................................................................... 23
4.2.1 Um olhar sobre a atividade à luz dos referenciais teóricos ....................... 23
5 Considerações Finais .............................................................................................. 29
Referências ................................................................................................................ 30
Anexos ....................................................................................................................... 33
Anexo I - Plano de aula ............................................................................................... 34
Anexo II - Perguntas entrevista ................................................................................... 44
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1 INTRODUÇÃO
Resultados referentes ao ensino trazem a tona uma realidade que é alarmante e
preocupante, principalmente para aqueles que estão diretamente ligados a essa
realidade: os educadores. O ensino da Matemática é um dos mais afetados nesse
sentido, e a busca por uma melhora nesse quadro vem fazendo com que a área da
Educação Matemática juntamente com as alternativas de ensino de Matemática ganhem
força nas últimas décadas. Cada vez mais professores preocupados com o ensino
procuram por uma formação continuada, como Pós-Graduações especializadas nessa
área.
Um efeito imediato disso é o aumento significativo de trabalhos científicos e
pesquisas realizadas com fundamento teórico nas alternativas de ensino de
Matemática. Nota-se que em sua maioria estuda-se a utilização dessas no Ensino
Básico: Ensino Fundamental e Ensino Médio. Além da temática dessas pesquisas
abordarem as alternativas de ensino, algumas se preocupam em trazer à tona algumas
teorias de aprendizagem, como é o caso de Colombo, Flores e Moretti (2008) que
analisaram dissertações de mestrado que envolvem a teoria do Registro de
Representação Semiótica.
Nesse trabalho buscamos abarcar uma alternativa de ensino (Modelagem
Matemática) e analisar se os registros de representação semiótica utilizados pelos alunos
nos permitem inferir algo sobre a sua aprendizagem.
A realização de atividades com base nos referenciais teóricos das alternativas de
ensino da Matemática nos leva a alguns questionamentos: Será que os acadêmicos e
pesquisadores, conhecendo essas alternativas apenas a nível teórico, estão preparados
para desenvolver, em sua prática docente, atividades que envolvam tais alternativas? Os
acadêmicos teriam maior familiarização com as alternativas de ensino se os mesmos
tivessem contato, enquanto alunos, com atividades desse cunho durante a sua formação
na graduação? É possível que aconteça o aprendizado matemático em cursos de
graduação se forem realizadas atividades que sejam baseadas nas alternativas de ensino
da Matemática?
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Não nos cabe querer responder a esses questionamentos, mas verificar como os
acadêmicos do 3º ano de Matemática – Licenciatura desenvolvem uma atividade de
modelagem e quais registros de representação utilizam, a fim de inferir à luz da Teoria
dos Registros de Representação Semiótica se ocorreu a aprendizagem dos conceitos
abordados nessa atividade.
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2 MODELAGEM MATEMÁTICA
2.1 Modelagem Matemática na Educação Matemática
A Modelagem Matemática tem seu surgimento na Matemática aplicada, nessa
área os matemáticos seguiam esquemas bem definidos com o objetivo de responder
certo problema.
De forma geral, o processo de Modelagem Matemática, realizado por
profissionais diversos, consiste em analisar uma situação real a partir de informações
obtidas. Em seguida o caminho é matematizar a situação usando para isso as mais
diversas ferramentas Matemáticas. O principal objetivo com a Modelagem Matemática
na Matemática Aplicada é a obtenção de um resultado, logo, todo o processo envolvido
fica em segundo plano, pois se pretende que o modelo desenvolvido consiga traduzir de
alguma forma um resultado para a situação modelada, espera-se que este seja o mais
satisfatório possível.
Figura 1: Processo de Modelação. (Fonte: http://pepsic.bvsalud.org/scielo.php?pid=S1806-
58212009000300010&script=sci_arttext)
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Bean (2001) afirma que “Para melhor entender o atual papel da modelagem
Matemática na Educação é importante examinar suas raízes nas aplicações de
Matemáticas praticadas por matemáticos, engenheiros, biólogos, etc...”, ou seja é
preciso compreender de que maneira a modelagem Matemática é entendida por esses
profissionais.
Com avanços nos estudos sobre as formas diferenciadas de se ensinar Matemática
a Modelagem Matemática foi apontada como uma alternativa de ensino, Sant’Ana
(2007) enfatiza em seu trabalho a importância da Modelagem Matemática tanto para a
aprendizagem da Matemática quanto para o desenvolvimento do aluno enquanto
cidadão, favorecendo a crítica e a análise do papel da Matemática nas práticas sociais.
Segundo D’Ambrosio (apud Almeida, 2004), de forma geral, a origem das ideias
Matemáticas é resultado de um processo que procura explicar e entender fatos e
fenômenos observados na realidade. Nesse contexto, a Modelagem Matemática como
alternativa de ensino, aparece como uma das ferramentas para organizar essas ideias,
criando formas de representá-las na linguagem Matemática, descrevendo, muitas vezes
de forma parcial, as situações da “realidade”1. Fazendo uso adequado da “necessidade”
existente no ser humano de saber “o porquê” e como os fenômenos da nossa realidade
acontecem, podem-se ensinar conceitos matemáticos, pois, é nesse entusiasmo de
conhecer, que o aluno estará mais propício a pensar matematicamente e construir seu
próprio conhecimento, visto que fará uso do mesmo imediatamente.
Sobre o uso da Modelagem Matemática como alternativa de ensino fica
evidenciada a sua importância no ensino de conceitos matemáticos, visto que quando o
aluno estiver “modelando” uma situação real, ele sentirá necessidade de um novo
conceito matemático para resolver certa situação, e ainda, verificará que esse novo
conceito está diretamente ligado aos “antigos” conceitos que vinha utilizando, fazendo
assim uma ligação entre os conteúdos matemáticos. Essa conectividade de
conhecimentos matemáticos pode facilitar a aprendizagem do aluno, ponto esse
observado por Bassanezi (apud Barbosa, 2004), como um dos argumentos para se
utilizar Modelagem Matemática em sala de aula.
1 Entendemos realidade como tudo aquilo que envolve o mundo onde o sujeito está inserido.
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Bean (2001) entende a Modelagem Matemática como alternativa de ensino sendo
um processo no qual as características pertinentes de um objeto ou sistemas são
extraídas, com a ajuda de hipóteses e aproximações simplificadoras, representadas em
termos matemáticos. Esse autor também fala sobre o processo de “Modelação”2, como
um processo de desenvolvimento de habilidades de trabalhar com problemas
diretamente ligados aos temas do curso, usando os conteúdos das disciplinas
tradicionais.
Segundo Tavares (1996), “Podemos considerar que o processo de modelação
Matemática tem início num fenômeno real, a partir do qual é constituído um modelo
matemático”, muitas vezes esse processo é denominado ciclo de modelação, que tem
variâncias de acordo com a linha de pesquisa que se trabalha.
Nesse contexto é valido uma discussão sobre o modelo matemático a fim de
compreendermos melhor o seu papel como elemento da Modelagem Matemática. De
acordo com Bassanezi (2002, p.174, apud Veronez 2007) “um modelo matemático é um
conjunto consistente de equações ou estruturas Matemáticas, elaborado para
corresponder a algum fenômeno”.
Nesse sentido podemos pensar o modelo matemático como uma ferramenta da
Modelagem Matemática, usada para representar as situações da "realidade" que estão
envolvidas no processo de Modelação. O modelo é um objeto matemático, que, por sua
vez, representa a situação analisada, logo o modelo é um representante do objeto "real",
isto é, um símbolo, figura, equação, gráfico, tabela, etc...
Em se tratando da Modelagem Matemática como alternativa de ensino, o modelo
matemático ganha papel fundamental, pois por meio dele pode-se ensinar conceitos e
conteúdos matemáticos. É no interesse em conseguir resolver o problema que o modelo
matemático fica evidenciado e com isso leva o sujeito a buscar formas para resolvê-lo
(conhecimentos anteriormente estudados) ou viabiliza ao professor a introdução de
novos conceitos.
2 A diferenciação entre Modelagem e Modelação foi fruto de pesquisas quando se começou a estudar
Modelagem Matemática como alternativa de ensino, onde a modelagem estava ligada ao ensino básico e a
modelação ao ensino superior, mas com o decorrer do tempo essa diferenciação passou a ser
desconsiderada.
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Tavares (1996), quando fala de modelagem, aborda três linhas de pesquisa, o
ponto de vista de Niss, que entende a modelação Matemática como um processo pelo
qual um fragmento da realidade é traduzido por um modelo matemático, a visão de
Edwards e Hamson, que descrevem a modelação Matemática como uma atividade
cíclica que tem como objetivo a transposição de uma situação real para a Matemática, e
ainda o ponto de vista de Kerr e Maki que sugerem uma formulação para o processo de
modelação Matemática e evidenciam especiais preocupações com o cenário pedagógico
onde se desenvolve a construção e exploração dos modelos. Para Kerr e Maki o
processo de modelação não exige o seguimento ordenado de etapas, tudo depende da
situação e da Matemática envolvida. Analisando as etapas desenvolvidas pelos
pesquisadores citados, verificam-se e identificam-se pontos em comum, podendo, de
forma simples serem traduzidos dessa maneira:
i) identificação de um problema que envolva a “realidade”;
ii) identificação dos dados do problema e sua representação na forma
Matemática;
iii) desenvolvimento do modelo matemático;
iv) confrontação do modelo matemático com a situação real;
v) adequações do modelo matemático, visando um aprimoramento do mesmo
com a realidade envolvida;
vi) validação do modelo.
Assim como abordado por Kerr e Maki, essas etapas não precisam ser seguidas de
forma integral, pois, são processos que podem variar de acordo com os aspectos,
matemáticos e da realidade, envolvidos na situação. Em contexto de ensino, as etapas
devem ser desenvolvidas de acordo com as necessidades encontradas pelo aluno,
orientado pelo professor, que tem um papel de mediador entre o sujeito e os
conhecimentos envolvidos.
Quando da utilização da Modelagem Matemática como alternativa de ensino, é
comum destacar importância à elaboração de um relatório. Neste os alunos devem
descrever todo o processo realizado por eles durante seu envolvimento com a atividade
de modelagem Matemática. Segundo Tavares (1996) [...] A elaboração de um relatório
final poderá ter uma função formativa importante [...] (p.59), pois, é no relatório final
que estarão registrados todos os processos realizados pelos alunos durante a atividade
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de modelagem Matemática, podendo assim ser utilizado para verificação de tais
processos e resultados desenvolvidos por eles, e ainda, é uma importante fonte de coleta
de dados sobre o processo de “Modelação”.
2.2 Inclusão da Modelagem Matemática em contexto de ensino
O ensino da Matemática na escola regular vem se tornando nas últimas décadas
foco de estudos de vários pesquisadores da área da Educação Matemática, como
Ubiratan D'Ambrósio, Rodney Carlos Bassanezi, entre outros. Como uma maneira de
contribuir para as problemáticas inerentes ao contexto escolar, esses autores sugerem a
inserção da Modelagem Matemática e a sustentam por acreditarem que ela pode tornar o
ensino da Matemática mais prazeroso, chamando a atenção dos alunos e os inserindo
nas discussões sobre os conhecimentos matemáticos.
A inserção da Modelagem Matemática no ensino, em sala de aula regular, pode
ocorrer de várias maneiras, dependendo dos objetivos do professor. Almeida (2004)
considera que em um ambiente de ensino e aprendizagem de cursos regulares, as
atividades de modelagem ponderem três momentos:
1º - O professor propõe uma situação e desenvolve juntamente com os alunos
todas as etapas do processo de modelagem, que se fizerem necessárias;
2º - O professor propõe uma situação, mas quem a desenvolve são os alunos;
3º - Os alunos propõem uma situação a ser estudada, obtém informações e dados
que envolvam tal situação e desenvolvem o modelo que a descreve.
No trabalho realizado nos propomos a desenvolver uma atividade de modelagem
no Ensino Superior, conforme o segundo momento proposto por Almeida. Sendo assim,
é importante entendermos de forma mais aprofundada quais suas características.
Esse segundo momento apontado por Almeida (2004), nos leva a uma situação de
quebra de paradigmas, pois, como evidencia a própria autora, “De forma geral, o
ambiente a que nossos estudantes estão habituados é característico de aulas discursivas e
expositivas, reservando um espaço menor para a interação”(p.4), logo, uma atividade
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que é proposta pelo professor, mas, que deve ser desenvolvida pelos estudantes “sai”
um pouco desse ambiente e causa um diferencial na aula, trazendo o estudante para
pensar matematicamente, associar conceitos e estreitar ligações entre esses conceitos.
O aluno, sujeito encarregado de desenvolver certa atividade que envolva uma
situação "real", nesse segundo momento, muitas vezes sem ter ciência , é retirado de um
estado de passividade e incentivado a usar suas ferramentas Matemáticas. Quando se
deparar com uma situação que não consiga resolver, sentirá necessidade de uma nova
ferramenta, então, compete ao professor ensinar novos conceitos matemáticos. Assim, o
aluno compreenderá que para o desenvolvimento do modelo e resolução do problema se
faz relevante aprender outras ferramentas Matemáticas.
Na Modelagem Matemática como alternativa de ensino, fica evidenciado que o
que se deseja é que os alunos tenham capacidade de identificar conhecimentos
matemáticos em situações reais, tornando-os construtores do seu conhecimento. A
utilização desse segundo momento, proposto por Almeida (2004), mesmo que não
oportunize ao aluno a indicação de uma situação "real" para ser estudada, viabiliza que
ele utilize conhecimentos matemáticos, descreva situações "reais" em linguagem
Matemática e aprenda novos conceitos.
Como para representar essas situações os alunos utilizam-se de estruturas
Matemáticas, no capítulo a seguir, discutiremos sobre os registros de representação
semiótica e suas influências para a aprendizagem dos alunos.
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3 REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA
3.1 Algumas considerações sobre semiótica
A teoria de Semiótica, ciência que estuda os signos, teve sua concepção na
linguística, no entanto, com seu avanço e aprimoramento foi ganhando outros campos
de conhecimento.
De acordo com Fidalgo (1999) "Apesar da semiótica ser ainda uma muito jovem
ciência, a reflexão sobre o signo e a significação é tão antiga quanto o pensamento
filosófico". Em seu trabalho esse autor retrata toda a evolução histórica da Semiótica,
evidenciando que o pensamento que envolve o estudo dos signos esteve durante muito
tempo intrigando pensadores e pesquisadores.
O estudo que mais nos interessa nesse momento sobre a Semiótica é o
desenvolvido por Charles Percie, pois segundo Fidalgo e Gradim (2005) a Semiótica de
Peirce é provavelmente o aspecto do seu pensamento mais intensamente estudado nos
últimos tempos, e ainda, Percie juntamente com Saussure3, são apontados como os
fundadores da Semiótica Moderna.
Considerando que a Matemática é assim como outras uma ciência formal, que
possui uma linguagem própria e que pode-se utilizar diversas formas para se representar
um objeto matemático, se torna primordial o entendimento do significado de signo
matemático.
Para Peirce (2005), de forma geral, um signo [...] é aquilo que, sob certo aspecto
ou modo, representa algo para alguém (p.46). Claro que esse entendimento de signo não
está diretamente ligado a Matemática, mas, se analisarmos de forma sucinta quando
representamos um objeto matemático, aquela representação tem significado aos olhos
de quem a fez, logo pode ser considerada um signo.
3 Ferdinand de Saussure (Genebra, 26 de novembro de 1857 - Morges, 22 de fevereiro de 1913) foi um
lingüista suíço cujas elaborações teóricas propiciaram o desenvolvimento da lingüística enquanto ciência.
Fonte: http://pt.shvoong.com/humanities/1770495-biografia-ferdinand-saussure/#ixzz1Wtt1FJxy
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Segundo Ladrière (1977, p.20-21, apud Flores, 2006):
O termo signo toma aqui uma significação extremamente limitada: os
signos de que nos ocuparemos são simplesmente símbolos, no sentido
restrito do termo. (...), são aqueles da lógica e das Matemáticas, isto é,
símbolos formais. Um símbolo formal é uma unidade elementar pertencente ao vocabulário de uma linguagem artificial
completamente formalizada [...].
Podemos verificar que signo é algo usado para representar um objeto, nesse caso
matemático, podendo ser esse signo uma palavra, figura, símbolo, etc.
A teoria desenvolvida por Peirce baseada nos signos tem como fundamento o
conceito Tríade, que de forma resumida, está relacionado com as formas de interagir os
signos com os seus objetos, pois, de acordo com Fidalgo e Gradim (2005):
Em carta a Lady Welby, Peirce explica que “um signo é algo que
medeia entre um signo interpretante e o seu objecto”, algo que, sendo um Terceiro, “traz um Primeiro à relação com um Segundo”, e que
esta relação triádica que o signo materializa constitui a mais genuína
forma de terceiridade. Define pois signo como “algo que ao ser conhecido por nós, faz com que conheçamos algo mais”, ou seja, “um
objecto que está em relação com o seu objecto por um lado, e com um
interpretante por outro, de tal modo que põe o interpretante em relação
com o objecto, correspondendo à sua própria relação com o objecto”. Trata-se então de “algo que é de tal modo determinado por alguma
outra coisa, o seu objecto, e assim determina um efeito sobre uma
pessoa, efeito esse a que chamo o seu interpretante, que o último é mediatamente determinado pelo primeiro” (p.146).
Podemos perceber que quando estamos tratando de Tríade, falamos de algo que
envolve três conceitos diferentes, o signo que representa um certo objeto, o signo
interpretante do objeto, este que se refere ao "entender" a que o signo se refere e o
terceiro que é o objeto em si, como mostra a Figura 2.
Figura 2: A Tríade Semiótica de Peirce (Fonte:http://psico-pictografia.blogspot.com/2007/08/escola-do-
pensamento-cientfico-semitica.html)
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Se pensarmos numa xícara de café, como sendo um objeto a representar o
interpretante pode ser o objeto criado na mente de quem o pensa, criando o terceiro
elemento: o signo, que nesse caso é uma figura que representa o nosso objeto, a xícara
de café.
Analisando a tríade, podemos relacioná-la com a representação dos objetos
matemáticos através dos signos, pois, é importante no ensino da Matemática que o
Signo Interpretante do indivíduo esteja o mais próximo possível do objeto que está
sendo estudado.
3.2 Os Registros de Representação Semiótica
Nessa seção abordaremos os aspectos relacionados a teoria dos Registros de
Representação Semiótica, teoria esta baseada nos conceitos desenvolvidos na ciência
dos signos, a Semiótica.
Na Matemática, o pesquisador que começou os estudos nesse campo de
pesquisa foi Raymond Duval, filósofo e psicólogo de formação que desenvolve
atualmente seus estudos relativos a psicologia cognitiva no Instituto de Pesquisa em
Educação Matemática (IREM) de Estrasburgo (França) (Souza, 2011). Seu interesse é
estudar o papel dos registros de representação semiótica na aprendizagem dos alunos.
Segundo Colombo, Flores e Moretti (2008)
A noção dos registros de representação semiótica na aprendizagem da Matemática chegou ao Brasil no início da década de 1990, e as
primeiras pesquisas realizadas aqui que utilizam a noção dos registros
de representação semiótica como principal referencial teórico, começaram a ser publicadas e difundidas na segunda metade da
década de 1990 (p.47).
Em relação as pesquisas realizadas no Brasil na década de 90 e principalmente
entre os anos de 2000 e 2005, como aponta a pesquisa de Colombo, Flores e
Moretti(2008), Duval acabou sendo o maior influenciador.
Neto (2010) afirma que "É importante frisar que é próprio da atividade
Matemática mobilizar simultânea ou alternadamente vários registros de representação
semiótica" (p.46), deixando evidenciado o porquê da teoria de representação semiótica
ter se difundido de forma significativa nos estudos da educação Matemática.
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Analisando o uso da teoria de representação semiótica Duval (2003) afirma que
um objeto matemático necessita de diversas representações devido ao fato de que esses
objetos não possuem existência física e não são perceptíveis diretamente. Isso influencia
diretamente a maneira de se pensar nos objetos matemáticos, pois, um indivíduo terá
domínio sobre um objeto matemático quando conseguir realizar processos que o
envolvam, mas sem modificar seu significado original.
Essa teoria de aprendizagem, baseada nas várias maneiras que um objeto pode
ser representado, tem como hipótese fundamental que é possível inferir que um aluno
compreendeu determinado conceito quando há: 1ª - economia de tratamento; 2ª –
complementaridade do registro; 3ª - a conceitualização implica em uma coordenação de
diferentes registros de representação (BRANDT, 2005).
Outros conceitos envolvidos na Semiótica proposta por Peirce, e estudada por
Duval, servindo de referência em sua teoria dos Registros de Representação Semiótica,
são os conceitos de "noésis" e "semióse".
Segundo Neto (2010):
"Em busca de compreender a confusão existente entre objeto e
representação Duval evoca duas operações cognitivas. A primeira delas a “semióse” que significa produção e a apreensão de uma
representação. A segunda a “noésis” que é a apreensão conceitual do
objeto" (p.50).
De acordo com Duval (1995, apud Burak e Brandt, 2010), a “semiose” volta-se
para a produção e a apreensão de uma representação e a “noésis” volta-se para a
apreensão conceitual do objeto.
Podemos refletir que a atividade de "semióse" está ligada diretamente a
capacidade de se conseguir representar o objeto através do uso dos signos, enquanto a
atividade de "noésis" está ligada diretamente a capacidade de compreensão do objeto
através de sua representação utilizando-se os signos.
Em Souza (2010), temos: [...] noésis são “os atos cognitivos como a apreensão conceitual de um objeto, a discriminação de uma diferença ou a compreensão de uma
inferência” (DUVAL, 2009, p. 15) e que semiósis é “a apreensão ou a
produção de uma representação semiótica” (ibidem), e possível pensar, admitindo que “é a semiósis que determina as condições de
possibilidade e de exercício da noésis”[...](p.16).
19
Souza (2010) coloca que quando realiza-se o processo de representação de um
objeto de forma correta, uma atividade de "semiósis", facilita em muito a possibilidade
de se realizar uma atividade de "noésis" que leva a uma compreensão com exatidão do
objeto que se está representando pelos signos.
Duval (2004, apud Neto, 2010) afirma que um sistema semiótico é composto de
signos que possuem convenções e regras próprias de formação. Ainda em relação aos
sistemas semióticos Duval (1995, apud Burak e Brandt, 2010) afirma que é o trabalho
com registros que contempla três operações cognitivas: a formação, o tratamento e a
conversão.
A formação é um processo cognitivo que está relacionado com a capacidade do
indivíduo conseguir representar certo objeto (matemático ou não), usando palavras,
figuras, símbolos, signos, etc... Formação, nesse sentido está diretamente ligada a
representação, e a mesma é definida por Godoy (apud Neto 2010) como “alguma coisa
que se tem, (para alguém), no lugar de alguma outra coisa”. Tal definição para Duval
(1999, apud Neto, 2010) é suficiente para diferenciar a representação do objeto que ela
representa.
O tratamento é um processo cognitivo que está relacionado à capacidade que o
indivíduo tem de transformar certa representação de um objeto, dentro de um mesmo
registro semiótico. Duval (2008, apud Souza, 2010) afirma:
Os tratamentos são transformações de representações dentro de um
mesmo registro: por exemplo, efetuar um cálculo ficando estritamente no mesmo sistema de escrita ou de representação dos números;
resolver uma equação ou um sistema de equações; completar uma
figura segundo critérios de conexidade e de simetria.
O número representado pela fração ½, por exemplo, pode sofrer um tratamento e
ser representado pelo número 0,5. E este pode ser tratado e ser representado por 50%.
Neste caso, foi efetuado um tratamento no numeral representativo de um número
expresso através de uma fração, apresentando-o na forma decimal ou percentual. O
sistema semiótico é o mesmo, independentemente de estarem ou não sendo colocadas
em jogo especificidades de cada uma das formas do número (Burak e Brandt, 2010).
A conversão é um processo onde o indivíduo terá de representar um mesmo
objeto, mudando uma primeira representação para uma nova que não seja no mesmo
registro semiótico. Segundo Duval (2003, apud Neto, 2010) a conversão é necessária
20
para a compreensão de um conceito e pode enfrentar o fenômeno de congruência ou de
não-congruência entre as representações de um mesmo objeto que se originam de
sistemas semióticos diferente.
A compreensão (integral) de um conteúdo conceitual repousa sobre a
coordenação de ao menos dois registros de representação, e esta coordenação se
manifesta pela rapidez e a espontaneidade da atividade cognitiva de conversão
(DUVAL, 1993 apud Colombo, Flores e Moretti, 2008). Nesse sentido para inferirmos
sobre a aprendizagem do aluno é preciso realizar uma observação e uma análise dos
registros e representações que o mesmo faz do objeto que lhe foi apresentado.
Para Colombo, Flores e Moretti (2008):
[...]é no trânsito entre esses diversos registros de representação que se encontra a chave para a aprendizagem em Matemática. Ainda,
escolher o registro mais apropriado para aplicar os tratamentos
implica uma desenvoltura do raciocínio e, conseqüentemente, leva à resolução dos problemas matemáticos e, por fim, à aprendizagem.
Nesse sentido, busca-se identificar, quando o aluno desenvolve atividades, quais
foram os procedimentos realizados pelo mesmo para resolver certo problema,
observando se ele realizou conversões de registro semiótico durante seu
desenvolvimento.
21
4 UMA ATIVIDADE DE MODELAGEM MATEMÁTICA NO ENSINO
SUPERIOR
4.1 Aspectos metodológicos da pesquisa
Nesse capítulo abordaremos os aspectos da pesquisa, deixando exposto o
contexto da "realidade" em que os sujeitos participantes estavam alocados, e também
descrevendo as atividades propostas e a forma como os dados foram coletados.
4.1.1 O contexto analisado
A pesquisa foi realizada com a turma da 3ª série do curso de Licenciatura em
Matemática4, na disciplina de Física Geral e Experimental
5 e teve duração de oito horas
aula. A turma contava com um total de vinte e três (23) acadêmicos e todos participaram
da pesquisa. Para garantir a confiabilidade dos dados e assegurar os sujeitos da
pesquisa, eles assinaram um Termo de Consentimento Livre e Esclarecido (TCLE),
ficando então cientes dos procedimentos da mesma.
4.1.2 O desenvolvimento da pesquisa
Durante a realização da pesquisa foram realizadas algumas atividades, pré
definidas e descritas em plano de aula (Anexo I), sendo as mesmas aprovadas pelo
orientador e pela co-orientadora desse trabalho. A seguir segue o relato das atividades
realizadas.
4 da Faculdade Estadual de Filosofia Ciências e Letras de União da Vitória (FAFIUV) no estado do
Paraná.
5 Ministrada pelo Prof. Dr. João Alberto Valcanover, orientador desse trabalho.
22
Num primeiro momento, nas duas primeiras aulas, foram introduzidos alguns
conceitos novos de forma mais expositiva, e entregue material de apoio em forma de
apostila, sobre os conceitos trabalhados.
No segundo momento da realização da pesquisa, a turma foi dividida em cinco
grupos, três deles com três acadêmicos cada e dois deles com quatro acadêmicos cada.
Para a realização da atividade proposta (uma atividade de modelagem) os grupos
receberam, cada um, uma folha impressa contendo um problema que deveria ser
resolvido pelo grupo. O problema recebido pelos grupos 1, 3 e 5 tinha o mesmo
enunciado, porém os dados eram diferentes. Os grupos 2 e 4 receberam um outro
enunciado, também contendo dados distintos.
Os grupos tiveram um tempo de duas aulas para resolverem o problema e
escreverem um relatório contendo a descrição dos procedimentos tomados para a
realização da atividade, conforme sugere o referencial teórico sobre Modelagem
Matemática. Esses relatórios desenvolvidos pelos grupos foram recolhidos e são
materiais de análise dessa pesquisa.
Em um terceiro momento da aplicação dessa pesquisa foi realizada uma
atividade avaliativa referente aos conceitos trabalhados nas aulas anteriores. Para a
realização dessa atividade avaliativa a turma foi dividida em dez duplas. As duplas
receberam, cada uma, uma folha impressa contendo três questões com referência aos
conceitos trabalhados anteriormente. As duplas tiveram um tempo de duas aulas para
responderem as três questões, e o material produzido por elas foi recolhido com o
intuito de servirem como fonte de dados na análise dessa pesquisa.
No quarto e último momento da realização dessa pesquisa, foram realizadas
entrevistas6 com nove acadêmicos da turma pesquisada. Nessas entrevistas os
acadêmicos responderam a oito perguntas referentes a aplicação da pesquisa (Anexo II)
tais entrevistas foram gravadas em arquivos de áudio.
6 As entrevistas não foram utilizadas na análise dos dados, porque os registros escritos foram suficientes
para a realização da mesma.
23
4.2 Análise da atividade desenvolvida
Para a análise dos dados recolhidos durante a aplicação dessa pesquisa, faremos
uso somente dos registros escritos, em forma de relatório, de dois grupos que
participaram da atividade de Modelagem Matemática desenvolvida no segundo
momento da aplicação dessa pesquisa.
Essa escolha foi feita, visto o fato de que o desenvolvimento da atividade por
parte dos cinco grupos que à realizaram, tiveram resoluções semelhantes, por esse
motivo os grupos escolhidos foram aqueles que mais se diferenciaram nas resoluções.
4.2.1 Um olhar sobre a atividade à luz dos referenciais teóricos
Para iniciar a análise dos dados que foram coletados durante a aplicação dessa
pesquisa vamos observar o desenvolvimento da atividade de modelagem Matemática
realizada pelo grupo 3, que era composto por quatro alunos. Esse grupo desenvolveu a
atividade a partir do seguinte problema:
Grupo 3: A força exercida por um objeto é =(
.
Determine o trabalho realizado por essa força para mover o objeto do espaço x=(
)m até
o espaço x=9m.
Figura 3: Atividade desenvolvida pelo grupo 3 - tratamento do registro algébrico.
24
O grupo faz um primeiro comentário (ver Figura 3): "Podemos ver que não é uma
força constante"; mas, mesmo com esse raciocínio eles utilizaram a equação do trabalho
de força constante. Fazendo a resolução por esse caminho o grupo se deparou com uma
função que dependia da posição do objeto, porém que não levava ao cálculo do trabalho
realizado por essa força, considerando o deslocamento sofrido pelo corpo, mas ao
cálculo do trabalho para cada ponto desse deslocamento. Nessa fase do
desenvolvimento da atividade o grupo realizou um tratamento do registro semiótico.
Eles utilizaram a equação do trabalho de força constante, que é um registro semiótico
algébrico, substituíram dados que acharam pertinentes naquele momento e
desenvolveram alguns cálculos.
No trecho onde o grupo relata (ver Figura 3): "Nessa resolução não conseguimos
obter um resultado, pensamos em uma outra forma"; fica evidenciado, conforme
abordamos no capítulo 2, a importância de se confeccionar um relatório das atividades
desenvolvidas, pois, os comentários dos alunos nos levam a entender os raciocínios que
os conduziram a essa conclusão.
No momento em que o grupo relata a mudança de raciocínio, eles partem para
uma próxima atitude. Representaram em um diagrama a Força em função do espaço;
função que lhes foi fornecida no problema ( =(
.), com isso o
grupo mudou a sua forma de representar o objeto dado, pois, no momento em que
desistiram de realizar tratamento no registro algébrico, utilizaram um registro gráfico
(Figura 4) realizando uma conversão de registros.
Figura 4: Atividade desenvolvida pelo grupo 3 - registro gráfico.
25
Sobre essa atitude pode-se ressaltar dois grandes momentos no raciocínio do
grupo. O primeiro, que não está explícito no relatório, foi a criação de uma tabela, onde
foram aplicados valores x da posição do objeto na função F(x) que representa a força.
Quando fizeram isso o grupo realizou uma primeira conversão de registro semiótico,
pois, mesmo que a tabela não esteja no relatório, a mesma representa o objeto só que em
outro registro semiótico, não mais na forma algébrica, mas em um registro semiótico
tabular. O segundo momento está na representação dos dados obtidos na tabela em um
diagrama (força pelo espaço), fazendo assim uma nova conversão de registro semiótico,
desta vez, a partir de uma representação em um registro tabular houve a conversão para
uma representação em um registro gráfico, sendo que ambos representam o mesmo
objeto matemático.
Encerrando o desenvolvimento da atividade esse grupo notou que formava-se
abaixo da curva do gráfico uma área. Usando conhecimentos prévios, que lhes
garantiam que o trabalho de uma força é numericamente igual a área abaixo da curva do
gráfico e entre os espaços do deslocamento do corpo, os mesmos se utilizaram de uma
ferramenta Matemática para calcular essa área, a integral definida da função entre dois
pontos. Dessa maneira o grupo conseguiu encontrar, mesmo que inconscientemente, o
modelo que descreve o trabalho realizado por uma força variável, com isso tiveram
apenas o trabalho de aplicá-lo no caso específico do problema proposto ao grupo
(Figura 5).
Figura 5: Atividade desenvolvida pelo grupo 3 - Obtenção do modelo matemático.
26
Quando fizeram isso o grupo realizou mais uma conversão de registro,
transformando o registro semiótico gráfico em um registro semiótico algébrico.
Ressaltando que esse registro semiótico algébrico é diferente do primeiro registro
semiótico algébrico da equação do trabalho de força constante.
Analisemos agora o desenvolvimento da atividade de modelagem Matemática do
grupo 1, que também continha quatro alunos, onde o desenvolvimento da atividade foi
baseado no seguinte problema:
Problema proposto para o grupo 1: A força exercida por um objeto é =(
. Determine o trabalho realizado por essa força para mover o objeto do
espaço x=1m até o espaço x=10m.
Esse grupo, ao contrário do grupo três representou a tabela de pontos que
obtiveram aplicando valores (x) para o deslocamento na função F(x) que representava a
força. Quando o fizeram, realizaram uma conversão de registro semiótico, pois,
transformaram a equação da força que lhes foi fornecido (registro semiótico algébrico),
em uma tabela de pontos (registro semiótico tabular), caracterizando assim essa
conversão.
Figura 6: Atividade desenvolvida pelo grupo 1 - registro semiótico tabular.
Na Figura 6 o grupo escreve: "Para observarmos o comportamento desta força
utilizamos uma tabela, a qual atribuímos valores para x no intervalo dado". Depois de
representados os valores em forma de tabela (registro semiótico tabular) o grupo fez a
representação na forma gráfica (F (força) por x (espaço)): (Figura 7)
27
Figura 7: Atividade desenvolvida pelo grupo 1 - registro semiótico gráfico.
Nesse momento o grupo realizou a segunda conversão de registro semiótico,
transformando o registro semiótico tabular para um registro semiótico gráfico.
Quando o grupo analisou a representação gráfica da situação verificaram que se
utilizasem a integral definida da função que descreve a força entre os espaços inicial e
final do objeto, estariam calculando o trabalho realizado por essa força, pois, haviam
visto anteriormente que a área formada na representação gráfica do movimento de um
corpo entre a curva da função e os espaços, é numericamente igual ao trabalho realizado
pela força, e a integral definida é utilizada para calcular áreas desse tipo. Com isso, o
grupo conseguiu obter um modelo que descrevesse o trabalho realizado por uma força
variável, e ainda realizou uma última conversão de registro semiótico, onde transformou
uma representação gráfica em uma expressão algébrica (registro semiótico algébrico)
oriunda do Cálculo Diferencial e Integral (Figura 8).
28
Figura 8: Atividade desenvolvida pelo grupo 1 - obtenção do modelo matemático.
No relátório o grupo ainda fez a seguinte observação:
Figura 9: Atividade desenvolvida pelo grupo 1 - Observação.
Evidencia-se a importância da confecção de relatórios sobre as atividades
desenvolvidas, pois, neles se relata os raciocínios que foram utilizados para realizá-las,
ficando clara a compreensão que o grupo teve em relação as atividades e a compreensão
do desenvolvimento realizado.
Podemos observar que os alunos dos dois grupos transitaram durante a atividade
em diferentes registros semióticos para representar o objeto que lhes foi proposto. De
acordo com o exposto no referencial teórico desse trabalho, a teoria desenvolvida por
Raymond Duval, podemos inferir que houve aprendizado dos conhecimentos
envolvidos na atividade, pois os sujeitos realizaram a conversão de um ou mais registros
semióticos diferentes.
29
5 Considerações Finais
Ao desenvolver esta pesquisa tivemos oportunidade de verificar que durante a
realização da mesma, os sujeitos participantes, visando a resolução do problema
proposto, trabalharam com os dados em diferentes registros semióticos, realizando
conversões entre esses registros a fim de buscar uma melhor solução para o problema.
De acordo com a teoria do Registro de Representação Semiótica desenvolvida
por Duval e abordada nesse trabalho, o sujeito consegue compreender certo objeto
matemático quando é capaz de transitar, no mínimo entre dois registros semióticos
distintos, realizando conversões que não descaracterizem o mesmo. Ainda Colombo,
Flores e Moretti (2008), ressaltam que escolher o registro mais apropriado para aplicar
os tratamentos implica uma desenvoltura do raciocínio.
Podemos afirmar que durante a aplicação da atividade de Modelagem
Matemática proposta nessa pesquisa, quando os sujeitos transitaram de um registro
semiótico a outro para representar o objeto matemático envolvido, realizaram algumas
escolhas e deixaram transparecer que utilizaram uma linha de raciocínio contínua.
Sendo assim, acreditamos que houve compreensão dos conhecimentos envolvidos na
atividade e que, consequentemente, também pode ter ocorrido a aprendizagem a
respeito do assunto trabalhado.
Dessa maneira, podemos dizer que aplicações de atividades embasadas nos
referenciais teóricos das alternativas de ensino de Matemática, nesse caso a Modelagem
Matemática, no Ensino Superior, pode privilegiar o conhecimento específico ao mesmo
tempo em que o sujeito está sendo preparado para tornar-se professor, possibilitando
construção de uma visão diferenciada do conhecimento.
30
REFERÊNCIAS
ALMEIDA, Lourdes Maria Werle de. MODELAGEM MATEMÁTICA E
FORMAÇÃO DE PROFESSORES. VII Encontro Nacional de Educação Matemática,
2004, Recife. Anais - Mesa redonda, p. 119-131.
BARBOSA, Jonei Cerqueira. MODELAGEM MATEMÁTICA: O QUE É? POR QUE?
COMO? Veritati, n. 4, p. 73-80, 2004.
BEAN, Dale. O QUE É MODELAGEM MATEMÁTICA?. Educação Matemática em
Revista, n. 9, ano 8, p. 49-57, abril, 2001.
BRANDT, Célia Finck. CONTRIBUIÇÕES DOS REGISTROS DE
REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA NA CONCEITUAÇÃO DO SISTEMA DE
NUMERAÇÃO. Tese (Doutorado em Educação Científica). Universidade Federal de
Santa Catarina, Florianópolis, Santa Catarina, 2005.
BURAK, Dionísio, BRANDT, Célia Finck. MODELAGEM MATEMÁTICA E
REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS: CONTRIBUIÇÕES PARA O
DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO ALGÉBRICO. ZETETIKÉ – FE –
Unicamp – v. 18, n. 33 – jan/jun – 2010.
COLOMBO, J. Ap. A., FLORES, C. R., MORETTI, M. T. REGISTROS DE
REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA NAS PESQUISAS BRASILEIRAS EM
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA: PONTUANDO TENDÊNCIAS. ZETETIKÉ –
Cempem – FE – Unicamp – v. 16 – n. 29 – jan./jun. – 2008.
DUVAL, Raymond – REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICAS E
FUNCIONAMENTO COGNITIVO DA COMPREENSÃO EM MATEMÁTICA.
In: 104 Aprendizagem em Matemática: registros de representação
semiótica.(Organizadora Sílvia Dias Alcântara Machado). Campinas, SP: Papirus, 2003.
DUVAL, Raymond. REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA E
FUNCIONAMENTO COGNITIVO PENSEI. Anais da aprendizagem e
da ciência cognitiva, Volume 5. 1993.
31
FIDALGO, António, GRADIM, Anabela. MANUAL DE SEMIÓTICA. Universidade
da Beira Interior; Covilhã, 2004/2005. Disponível em:
http://www.bocc.ubi.pt/pag/fidalgo-antonio-manual-semiotica-2005.pdf. Acessado em:
27/09/2011.
FIDALGO, António. SEMIÓTICA GERAL. Universidade da Beira Interior; Covilhã,
Janeiro de 1999. Disponível em: http://www.bocc.ubi.pt/pag/fidalgo-antonio-semiotica-
geral.pdf. Acessado em: 27/09/2011.
FLORES, Cláudia Regina. REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA EM
MATEMÁTICA: HISTÓRIA, EPISTEMOLOGIA, APRENDIZAGEM. Bolema, Rio
Claro (SP), Ano 19, nº 26, 2006, pp.77 a 102.
NETO, José Roque Damasco. REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA E
O GEOGEBRA: UM ENSAIO PARA O ENSINO DE FUNÇÕES
TRIGONOMÉTRICAS; Dissertação de Mestrado - Universidade Federal de Santa
Catarina, Programa de Pós-Graduação em Educação Científica e Tecnológica.
Disponível em: http://antiga.ppgect.ufsc.br/base-dt/ufsc-ppgect-dissertacoes2010-jose-
neto-integra.PDF. Acessado em: 20/07/2011.
PEIRCIE, Charles Sanders, 1839-1914. SEMIÓTICA/CHARLES SANDERS
PERCIE; [tradução José Teixeira Coelho Neto]. - São Paulo: Perspectiva, 2005. Título
original: The collected papers. 2ª reimpr. da 3ª ed. de 2000. ISBN 85-273-0194-6.
SANT'ANA, Marilaine de Fraga. MODELAGEM MATEMÁTICA NA
LICENCIATURA. V Conferência Nacional sobre Modelagem na Educação
Matemática, 2007, Ouro Preto. Anais da V Conferência Nacional sobre Modelagem na
Educação Matemática. Ouro Preto : UFOP, 2007. v. 1. p. 1-14.
SOUZA, Ednilson Sergio Ramalho de. MODELAGEM MATEMÁTICA NO ENSINO
DE FÍSICA - REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA; Dissertação de
Mestrado - Universidade Federal do Pará - UFPA, Instituto de Educação Matemática e
Científica Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemáticas.
Disponível em:
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/arquivos/File/conteudo/artigos_tes
es/2010/Fisica/dissertacao_ednilson_souza.pdf. Acessado em: 20/07/2011.
32
TAVARES, Fernanda. OS MODELOS MATEMÁTICOS E O PROCESSO DE
MODELAÇÃO MATEMÁTICA. MILLENIUM, nº 3, 2ª edição, p.[55-60], 1996.
VERONEZ, Michele Regiane Dias. UM OLHAR SOBRE A FORMULAÇÃO DE
PROBLEMAS EM MODELAGEM MATEMÁTICA. V Conferência Nacional sobre
Modelagem na Educação Matemática, 2007, Ouro Preto. Anais...v.1, p. 1004-1017.
33
ANEXOS
34
ANEXO I - PLANO DE AULA
Acadêmico: Henrique Cristiano Thomas de Souza
Local: Faculdade Estadual de Filosofia, Ciências e Letras de União da Vitória
Turma: 3ª série do curso de Matemática
Número de aulas: 6 h/a
Tema: Trabalho de Força.
OBJETIVOS:
Compreender o conceito de Trabalho de Força constante, através do conceito de
Produto Escalar;
Identificar Trabalho de Força em sua representação gráfica;
Construir o conceito de Trabalho de Força, para qualquer modalidade de Força;
Resolver situações problemas que envolvam Trabalho de Força;
METODOLOGIA: Aula Expositiva, Modelagem Matemática.
RECURSOS DIDÁTICOS:
Material Impresso;
Quadro Negro e Giz;
DESENVOLVIMENTO:
No primeiro momento da aula será desenvolvido de forma expositiva o conceito
de produto escalar, para tal, tomarei como base o livro de Leithold (1990).
Definição 1: Produto Escalar é a multiplicação entre dois vetores, que resulta em
um número real, e não em um vetor, denominado também produto interno:
Se A = < a1, a2> e B = <b1, b2> forem dois vetores em V2, então o produto escalar
de A e B, denotado por A . B será dado por:
A . B = < a1, a2 >
. < b1, b2 >
A . B = a1b1 + a2b2
Exemplificando: Dados os vetores A = < 4, 2> e B = < -2, 5>, então:
= < 4, 2 > . < -2, 5 >
A . B = (4)(-2) + (2)(5)
A . B = (-8) + (10) = 2
35
Definido o conceito de produto escalar, o próximo passo é demonstrar teoremas e
propriedades que constituem tal conceito.
Teorema 1: Se A, B e C são vetores quaisquer em V2, então:
(i) A . B = B
. A (lei comutativa)
(ii) A . ( B + C ) = A
. B + A
. C (lei distributiva)
Demonstração:
(i) Sejam A = < a1, a2> e B = <b1, b2>, por definição temos que A . B = a1b1 +
a2b2, pela comutatividade da multiplicação a1b1= b1a1 e a2b2= b2a2, logo
A . B = b1a1+ b2a2 → A
. B = < b1, b2 >
. < a1, a2 >, portanto A
. B = B
. A
(ii) Sejam A = < a1, a2>, B = <b1, b2> e C = <c1, c2>, temos:
A . ( B + C ) = A
. (<b1, b2> + <c1, c2>)
A . ( B + C ) = < a1, a2>
. <b1+c1, b2+c2>
A . ( B + C ) = a1(b1+c1) + a2(b2+c2)
A . ( B + C ) = a1b1+ a1c1+ a2b2+ a2c2
A . ( B + C ) = (a1b1+ a2b2) + (a1c1+ a2c2)
A . ( B + C ) = < a1, a2 >
. < b1, b2 > + < a1, a2 >
. < c1, c2 >
A . ( B + C ) = A
. B + A
. C
Teorema 2: Se A e B forem vetores quaisquer em V2 e c um escalar qualquer,
então:
(i) c(A . B) = (cA)
. B
(ii) 0 . A = 0
(iii) A . A = 2
Demonstração:
(i) Sejam A = < a1, a2> e B = <b1, b2>, temos:
c(A . B) = c(a1b1+ a2b2) → c(A
. B) = c(a1b1+ a2b2) → c (< a1, a2 >
. < b1, b2
>) → (c< a1, a2 >) . < b1, b2 > → (cA)
. B
(ii) Sejam 0 = <0,0> e A = < a1, a2>, temos:
0 . A = <0,0>
. < a1, a2 > → 0
. A = 0. a1 + 0. a2 → 0
. A = 0 + 0 = 0
36
(iii) Por definição
, elevando ambos os membros da
igualdade ao quadrado temos
→
→ → < a1, a2>
. < a1, a2 > → =
A . A
Introduzir-se-á nesse momento o conceito de ângulo entre dois vetores.
Definição 2: Sejam A e B dois vetores não-nulos, tais que A não seja um múltiplo
escalar de B. Se for a representação posicional de A e for a representação
posicional de B, então a ângulo entre os vetores A e B será definido como o ângulo de
medida positiva entre e , interior ao triângulo determinado pelos pontos O, P e
Q. O símbolo utilizado para representar um ângulo entre dois vetores , também
representa a medida daquele ângulo.
Observação: Se o vetor A for múltiplo escalar do vetor B, o ângulo formado entre
eles será de 0 radianos.
Teorema 3: Se α for o ângulo entre os vetores A e B, então A .
B =
Demonstração: Sejam A = a1i + a2j e B = b1i + b2j, à representação posicional
de A e à representação posicional de B, e α o ângulo na origem O do triângulo
POQ, onde P= (a1, a2) e Q = (b1, b2) (figura 1). O comprimento de
que é igual ao módulo de A ( ), conseqüentemente o comprimento de
que é igual ao módulo de B ( ), pela lei dos cossenos temos:
37
Definição 3: Dois vetores são paralelos se e somente se um dos vetores for um
múltiplo escalar do outro.
Exemplificação: Os vetores < 3, -4> e <
> são paralelos pois, < 3, -4 > = 4<
> .
Definição 4: Dois vetores A e B são ortogonais (perpendiculares) se e somente se
A . B = 0.
38
Justificativa: De acordo com o teorema 3 A . B = , logo se temos
os vetores A e B não-nulos, só teremos A . B = 0 quando , isso ocorre quando
α=90º, condição suficiente para mostrar que os vetores A e B são ortogonais.
A segunda atividade da aula consiste em definir o conceito de Trabalho de Força,
fazendo uma analogia com o conhecimento de produto escalar. Lembrando que nesse
primeiro contato da turma com esse conceito, abordarei o trabalho de forças constantes.
A grandeza física que está relacionada com a atuação de forças sobre corpos, que
como conseqüência sofrem deslocamentos, é o Trabalho (W). Em Resnick, Halliday e
Krane (2008) o trabalho de força (como também pode ser denominado) é definido como
uma grandeza escalar, portanto está perfeitamente definida com um valor e sua
respectiva unidade de medida (no Sistema Internacional de medidas é o newton - metro
chamado de Joule e representado pela letra J), no entanto o seu valor é obtido do
produto de dois vetores, força e deslocamento, por isso, o trabalho pode ser calculado
através do produto escalar entre os vetores Força (F) e Deslocamento (d):
, logo:
Exemplificando: Uma criança puxa um trenó de 5,6 kg por uma distância s=12 m
ao longo de uma superfície horizontal, com uma velocidade constante. Qual o trabalho
que a criança realiza sobre o trenó se o coeficiente de atrito cinético é 0,2 e a corda
faz um ângulo de 45º com a horizontal?
Solução: Para calcularmos o trabalho realizado pela criança usaremos a definição
, pois o vetor Deslocamento nos foi dado em intensidade. Nessa
situação temos α = 45°, e d = s = 12 m, nos falta achar a intensidade de F, para tal,
consideraremos o diagrama de corpo livre abaixo que representa a situação:
39
O trenó possui ay= 0 e ax=0, logo pela segunda lei de Newton:
Fry = 0 → Fry = Fy + N – P = 0 → F ; e
Frx = 0 → Frx = Fx – f = 0 → F , portanto
F=
, substituindo os dados do problema obtemos:
F=
= 13 N
Aplicando F e s na equação do trabalho temos:
W = (13 N)(12 m)( ) 110 J
Resolvido o exemplo a próxima parte da aula consiste em mostrar a
representação gráfica do trabalho de força, pois, quando um movimento é representado
graficamente, o deslocamento s é representado no eixo das abscissas e a força
F(constante e na direção do deslocamento) representada no eixo das ordenadas. Logo, o
trabalho realizado pela força que atua no corpo é numericamente igual à área do gráfico
abaixo da reta e delimitada na abscissa pelo espaço inicial e final do movimento. Usarei
o exemplo já resolvido para trabalhar com esse conceito.
Se representarmos o caso do exemplo anterior em um diagrama do tipo Fxs,
teríamos:
40
Se calcularmos a área do gráfico formada abaixo da reta que representa a
componente da força F no sentido do deslocamento s, e entre os pontos que representam
o deslocamento s sofrido pelo corpo obtemos:
A= bh → A= (12 - 0)(9,19 - 0) → A= (12)(9,19) 110, logo podemos dizer que:
O trabalho realizado por uma força é numericamente igual( ), a área do diagrama
Fxs.
Em seguida, dividirei a turma em seis grupos com quatro alunos cada, onde cada
grupo receberá um problema envolvendo o conceito de trabalho de força, mas, agora
usando uma força variável, como segue abaixo:
Grupo 1: A força exercida por um objeto é =(
.
Determine o trabalho realizado por essa força para mover o objeto do espaço x=1m até
o espaço x=10m.
Grupo 2: Um corpo se movimenta com velocidade constante até passar pela
origem de uma trajetória, nesse instante força =( ) , começa agir sobre esse
corpo. Determine o trabalho realizado por essa força para mover esse objeto do espaço
x=1m até o espaço x=4m.
A
d
41
Grupo 3: A força exercida por um objeto é =(
.
Determine o trabalho realizado por essa força para mover o objeto do espaço x=(
)m até
o espaço x=9m.
Grupo 4: Um corpo se movimenta com velocidade constante até passar pela
origem de uma trajetória, nesse instante força =( ) , começa agir sobre esse
corpo. Determine o trabalho realizado por essa força para mover esse objeto do espaço
x=1m até o espaço x=4m.
Grupo 5: A força exercida por um objeto é =(
.
Determine o trabalho realizado por essa força para mover o objeto do espaço x=2m até
o espaço x=8,5m.
Grupo 6: Um corpo se movimenta com velocidade constante até passar pela
origem de uma trajetória, nesse instante força =( ) , começa agir sobre esse
corpo. Determine o trabalho realizado por essa força para mover esse objeto do espaço
x=1m até o espaço x=4m.
Todos os problemas propostos têm as mesmas características, um corpo se
deslocando de um espaço a outro da trajetória, sobre a ação de uma força F= f(x)
variável, pois, a intenção dessa atividade é que os alunos identifiquem os dados contidos
nos problemas e representem-nos na forma gráfica, pois, o trabalho realizado por uma
força é numericamente igual à área da figura formada abaixo da curva determinada pela
força e entre os espaços iniciais e finais do movimento de um corpo. Feita essa
representação gráfica do movimento do corpo envolvido no problema o próximo passo
que eu espero que os alunos realizem, é o calculo da área formada graficamente, para
isso eles deverão utilizar conceitos pré-adquiridos em calculo diferencial e integral,
como, limites e integral.
Durante a realização da atividade de Modelagem Matemática será pedido aos
alunos que confeccionem um relatório, que deverá conter todos os processos
desenvolvidos pelo grupo para realizar a atividades, tais como, a formulação de
hipóteses, a escolha das variáveis, os procedimentos matemáticos utilizados, etc...
Para finalizar essa atividade os grupos farão uma breve apresentação dos
problemas desenvolvidos, explicando de forma sucinta os processos desenvolvidos na
42
resolução do problema. Tendo os grupos apresentados os problemas, faremos o
fechamento da atividade com uma discussão sobre os conceitos abordados na atividade,
visando uma generalização para o conceito de trabalho de força, pois o que é esperado é
que os grupos consigam desenvolver os problemas reconhecendo que o trabalho de
força é numericamente igual à área da figura formada na representação gráfica (Fxs) do
movimento, que pode ser apresentado na forma Matemática de uma integral definida
entre os espaços x=a e x=b de uma função f(x):
Para encerrar a aplicação do meu projeto os alunos serão divididos em grupos de
três alunos cada, para realizarem uma avaliação, como segue abaixo:
Avaliação:
1) Um bloco de 5 kg se move em linha reta sobre uma superfície horizontal sem atrito
sob a influência de uma força que varia com a posição, como mostra a figura abaixo.
Que trabalho é realizado pela força quando ele se desloca da origem até x=8m?
2) Uma lata de sardinha é movida ao longo do eixo x, de x=0,25m até x=1,25m, por
uma força cujo módulo é dado por F= , com x em metros e F em newtons. Qual o
trabalho realizado pela força sobre a lata?
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10
Força (N)
Força (N)
43
3) A figura abaixo fornece a aceleração de uma partícula de 2 kg sob a ação de uma
força F, a qual desloca a partícula inicialmente em repouso ao longo de um eixo x, de
x=0 a x= 9m. Qual o trabalho realizado pela força sobre uma partícula quando está
atinge as posições:
a) x=4m;
b) x=7m;
c) x=9m.
FORMA DE AVALIAÇÃO
Durante a aplicação desse projeto a avaliação será constante, realizando-se através
de: observações durante a realização a atividade de modelagem Matemática realizada,
em relação ao empenho, comprometimento e desempenho; questionamentos durante a
realização da atividade, com o intuito de verificar quão envolvido na mesma está; e
ainda de acordo com relatório a ser entregue sobre o desenvolvimento e raciocínios da
atividade de modelagem executada na aula, servindo como uma forma de verificar se a
atividade de modelagem atingiu o objetivo. E ainda, através da avaliação que será
realizada no encerramento da aplicação, tornando assim essa avaliação a mais completa
possível para verificar se os objetivos foram cumpridos.
REFERÊNCIAS
HALLIDAY, David. Fundamentos de Física: Mecânica. Volume I, 6º Ed.
Editora LTC. Rio de Janeiro, 2006.
LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica. Volume 2, 3ª Ed.
Editora Harbra ltda. São Paulo – SP, 1994.
RESNICK, R., HALLIDAY, D., KRANE, K. S. Física 1, 5º Ed. Editora LTC.
Rio de Janeiro, 2008.
-10
-5
0
5
10
0 5 10
aceleração
aceleração
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ANEXO II - PERGUNTAS ENTREVISTA
1) Você notou alguma diferença na aplicação desse projeto em relação a uma aula
tradicional dessa disciplina?
2) No segundo dia de aplicação desse projeto foi realizada uma atividade (Modelagem
Matemática), o que você achou dessa atividade?
3) Essa atividade te fez olhar de forma diferente os conceitos envolvidos na mesma?
4) Você conseguiu construir algum conhecimento com essa atividade?
5) Você achou valida para o seu conhecimento a aplicação dessa atividade?
6) Você futuramente formado como professor, usaria atividades semelhantes para
ensinar Matemática?
7) Pelos conhecimentos prévios que tem sobre as alternativas de ensino de Matemática,
em qual delas você classificaria essa atividade que realizou?
8) Você gostou de trabalhar com essa atividade?