faculdade estadual de filosofia, ciÊncias e...
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FACULDADE ESTADUAL DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS DE UNIÃO
DA VITÓRIA- FAFIUV
WILLIAN BURGARDT DE SOUZA
ESTUDO TEÓRICO:
A MATEMÁTICA NO SISTEMA DE GEOPOSICIONAMENTO POR SATÉLITE
UNIÃO DA VITÓRIA
2013
1
WILLIAN BURGARDT DE SOUZA
ESTUDO TEÓRICO:
A MATEMÁTICA NO SISTEMA DE GEOPOSICIONAMENTO POR SATÉLITE
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado para a
disciplina de TCC para a obtenção de grau de
licenciado em Matemática pela Faculdade Estadual
de Filosofia, Ciências e Letras de União da Vitória-
FAFIUV.
Professor orientador: Dirceu Scaldelai
UNIÃO DA VITÓRIA
2013
2
“O êxito de um professor de Matemática deve ser medido pela
quantidade de alunos que, ao longo da vida, ele ensinou a pensar
por si mesmos e não pelo volume de fórmulas que os fez
memorizar.”
Gilberto G. Garbi
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ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1: Segmento do sistema GPS 1 .................................................................................. 9
Figura 2: Representação esquemática da constelação de satélites ...................................... 10
Figura 3: Localização das Estações de Controle e Monitoramento GPS ............................ 11
Figura 4: Representação dos pontos equidistantes a um satélite. ........................................ 14
Figura 5: Interseção de duas esferas. ................................................................................... 15
Figura 6: Interseção de três esferas. .................................................................................... 15
Figura 7: Interseção de quatro esferas. ................................................................................ 16
Figura 8: Sistema de coordenadas cartesianas .................................................................... 16
Figura 9: Coordenadas Geográficas. ................................................................................... 21
Figura 10: Coordenadas Geográficas .................................................................................. 21
Figura 11: Localização do receptor. .................................................................................... 27
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SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 5
2. MATEMÁTICA DO COTIDIANO ............................................................................... 6
3. SISTEMA DE GEOPOSICIONAMENTO POR SATÉLITE .................................... 8
3.1. FUNCIONAMENTO DO SISTEMA GPS ................................................................ 9
3.1.1. Fontes de Erros .................................................................................................. 11
3.2. SISTEMAS SIMILARES AO GPS .......................................................................... 12
4. MATEMÁTICA DO SISTEMA GPS ......................................................................... 13
4.1. DETERMINANDO A DISTÂNCIA ENTRE O SATÉLITE E O RECEPTOR ..... 13
4.2. DETERMINANDO A POSIÇÃO DO RECEPTOR ................................................ 14
4.2.1 Coordenadas Cartesianas .................................................................................... 16
4.2.2. Definição de Superfície Esférica ....................................................................... 17
4.2.3. Intersecção de Superfícies Esféricas .................................................................. 17
4.2.4. Coordenadas Geográficas .................................................................................. 20
5. APLICAÇÃO ................................................................................................................. 23
6. CONSIDERAÇÕES FINAIS ....................................................................................... 28
REFERÊNCIAS ................................................................................................................ 30
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1. INTRODUÇÃO
Em algum momento da vida escolar pode-se ouvir a frase “a Matemática está em
todo o lugar”. Muitos professores se utilizam desta frase para explicar o motivo da
disciplina de matemática na grade curricular.
Mas se a Matemática está tão presente em nosso cotidiano, por que não
conseguimos perceber? Para Rodrigues (2004) os professores não levam os alunos a
relacionarem o conteúdo escolar com a vida cotidiana, criando no aluno um pensamento de
que o conhecimento matemático serve apenas para efetuar a realização de uma prova.
Sendo assim esse trabalho tem como objetivo explicitar como a matemática está
presente em nosso cotidiano. Para isso será mostrada a matemática que envolve um sistema
muito utilizado atualmente para localização e orientação geográfica em qualquer ponto da
Terra. Sendo que este sistema é conhecido popularmente como GPS (Global Positioning
System).
Para poder entender a matemática que envolve o sistema de localização por satélite,
primeiramente devemos compreender o que ele é. Isto será abordado no capítulo 3, onde é
apresentado um breve histórico sobre as origens do GPS e como se dá o seu funcionamento
nos dias de hoje. Além disso são abordados outros sistemas de localização similares.
No capítulo 4 é apresentada a matemática que envolve este sistema, desde a captura
dos dados, o processo que estes dados são submetidos até a chegada destas informações ao
usuário.
No capítulo 5 será apresentado um exemplo real da matemática no cotidiano. Para
isto será desenvolvida a matemática existente no sistema GPS para determinar a
localização de um receptor no globo terrestre.
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2. MATEMÁTICA DO COTIDIANO
Muitas vezes ao realizar uma atividade simples do dia a dia, mas fora do ambiente
escolar, o aluno não consegue perceber que o conteúdo que ele estuda na escola está
presente em situações cotidianas. Aparentemente existe uma matemática ensinada na
escola que é diferente da matemática encontrada no cotidiano.
Segundo Costa (2005) muitas vezes o aluno não compreende a matemática escolar,
mas a utiliza em seu cotidiano com sucesso. Cabe ao professor unificar este contraste entre
as duas, ou seja, sistematizar os conteúdos de forma que o aluno possa compreender e
perceber que a matemática não é um “monstro” e que faz parte do cotidiano, deixando de
ser mera memorização sem sentido.
A disciplina de matemática é vista como uma das mais difíceis, que apenas poucos
alunos terão condições de compreendê-la, mas isto porque seu conteúdo é muito abstrato e
pouco se relaciona com a realidade dos estudantes.
Segundo Barreto (2007) a linguagem matemática é vista como complexa e distante
do aluno e ainda o seu conteúdo está carregado de símbolos, termos e fórmulas que devem
ser memorizados, o que faz com que o aluno tenha dificuldades para aprender, aumentando
a sua distância com a matemática.
Para Ogliari (2008), a maioria dos alunos que se formam no ensino médio, não
conseguem compreender o significado da Matemática, das origens dos seus conteúdos, dos
significados das expressões, e por consequência disso não conseguem relacioná-la com os
fatos do seu cotidiano.
Estes alunos pouco sabem que muitas das situações da vida moderna dependem de
matemática em sua forma fundamental. Quando se viaja de avião, trem, carro, quando se
assiste televisão, ouve rádio, vai ao cinema, quando se entra na internet ou até mesmo
quando se esquenta um café no micro-ondas. Todas estas situações e muitas outras são
cheias de matemática que normalmente não são percebidas.
É possível explicitar a existência da matemática no dia a dia com um exemplo
simples, como a ida a uma padaria, em que o fato de atravessar a rua gera cálculos mentais
relacionando distância, velocidade e tempo, já que se deve observar o veículo que se
aproxima com certa velocidade avaliando se é possível atravessar sem haver uma colisão,
avaliar qual será a sua velocidade em relação à distância que será percorrida para que tal
colisão não ocorra. Já na padaria é preciso realizar cálculos mentais para descobrir se o
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dinheiro levado será suficiente ou se é necessário alterar os itens ou as quantidades de
produtos solicitados, analisar para quantas pessoas será a compra, entre outros. Apesar de
muitos alunos não perceberem, nesta situação está se associando a matemática ensinada na
escola com o seu cotidiano de forma direta.
Apesar de muitos professores afirmarem que a matemática está muito presente em
todos os lugares e situações, pouco fazem para relacionar o conteúdo proposto na Escola
com a realidade enfrentada pelo aluno. Para Ogliari (2008), muitos alunos possuem o
pensamento de que a matemática é algo desnecessário e de difícil compreensão, e ainda
afirma que esta crença vem da própria sociedade que acaba por prejudicar ainda mais a
imagem da matemática.
Para mostrar que a matemática realmente faz parte do nosso cotidiano será
realizada uma sistematização da matemática existente em um aparato que está cada vez
mais presente em nossas vidas. Este aparato é popularmente conhecido como GPS. Antes
de explicitar a matemática que envolve este aparelho é necessário compreendê-lo.
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3. SISTEMA DE GEOPOSICIONAMENTO POR SATÉLITE
Durante séculos, a utilização da bússola era o principal instrumento de orientação
utilizado por qualquer um que quisesse explorar locais desconhecidos, seja na terra, no mar
ou no ar. Entretanto, com a chegada da era espacial houve uma grande evolução
tecnológica que acabou deixando a bússola obsoleta. Esta nova tecnologia possui o nome
de GPS.
GPS é a sigla para Global Positioning System, que significa Sistema de
Posicionamento Global. Este é um sistema de posicionamento de satélites usado para
determinar a posição de um receptor em qualquer lugar sobre a Terra com uma grande
precisão.
Apesar de se utilizar a mais alta tecnologia, o GPS nem sempre foi como
conhecemos hoje. O seu antecessor imediato foi o NNSS (Navy Navigational Satellite
System) que era utilizado para localização e navegação de navios de guerra americanos. O
NNSS utilizava-se de ondas eletromagnéticas em um sistema de 8 satélites ativos em
órbitas polares elípticas (quase circulares) a uma altitude média de aproximadamente
1100km. Ficou em operação até meados de 1993, mas foi desativado porque possuía dois
grandes problemas; não possuía uma cobertura global completa e havia lapsos de tempo
entre as passagens de satélites em um mesmo ponto; e ainda para se obter uma posição
precisa, era necessário esperar de dois a três dias estacionado em um mesmo ponto
(FIGUEIREDO, 2005).
Assim como em outras áreas do conhecimento humano, os erros com o sistema
NNSS trouxeram aprendizado culminando em um sistema melhorado atualmente
conhecido como GPS.,
O projeto GPS foi iniciado em 1973 (mas o sistema foi criado na década de 1960)
pelo Departamento de Defesa dos Estados Unidos com fins militares e era chamado
“NAVSTAR” (Navigation Satellite with Time and Ranging), mas só foi considerado
completo no ano de 1995. Tinha como objetivo ter uma grande precisão no lançamento de
mísseis, localizar a posição de navios, aeronaves e tropas onde quer que eles estivessem
(FARIA, 2008).
O projeto GPS também foi projetado para uso civil, mas com uma precisão muito
menor do que a de uso militar. Mas isso só ocorreu em 1980, por decisão do então
presidente dos Estados Unidos Ronald Reagan. Ainda assim, foi implantado um erro
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proposital no sistema GPS de uso civil. Isso se deu devido ao medo do então governo
americano de que nações inimigas se utilizassem deste sistema para realizar atentados
contra a nação americana. (FIGUEIREDO, 2005).
Enquanto os receptores de uso militar possuem precisão de 1 metro, o de uso civil
possuía uma margem de erro de 100 a 140m devido a um processo de deterioração da
precisão das informações dos satélites. Mas este processo foi abolido a 0h do dia 2 de maio
de 2000, fazendo com que a precisão do GPS de uso civil obtivesse uma melhora de até
dez vezes na sua precisão, fazendo com que a margem de erro variasse de 15 a 100 metros.
(FIGUEIREDO, 2005).
A precisão no receptor de uso militar se deve ao fato da existência de um relógio
atômico em cada satélite, propiciando uma medição de tempo mais precisa. Este é o
sistema de medição de tempo com maior precisão atualmente.
3.1. FUNCIONAMENTO DO SISTEMA GPS
Para o correto funcionamento do GPS, é necessário o uso de três segmentos:
espacial, de controle e o receptor. A figura 1, mostra a interligação entre este três
segmentos :
Figura 1: Segmento do sistema GPS 1
Fonte: ALVES (2004)
Segundo Avila (2006) o segmento espacial é composto por 24 satélites que orbitam
sobre o globo em seis órbitas estáveis e predeterminadas onde quatro satélites orbitam em
cada órbita, realizando um movimento elíptico (quase circular) inclinadas 55° em relação a
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linha do equador e espaçados longitudinalmente a 60°, a uma altura de aproximadamente
20.200 km. Sendo ainda que cada satélite pesa em torno de 1600kg e são movidos a luz
solar. A velocidade tangencial de cada satélite é de aproximadamente 14000km/h e eles
demoram em torno de 11 horas e 58 minutos para percorrer uma órbita completa.
A Figura 2 mostra de forma esquemática a constelação do segmento espacial do
GPS.
Figura 2: Representação esquemática da constelação de satélites
Fonte: AVILA (2006)
A disposição dos satélites faz com que qualquer ponto da superfície terrestre seja
avistado por pelo menos quatro satélites, podendo, em alguns momentos, ser avistado por
até dez satélites.
Outro componente, o de controle, são as estações de controle ou de monitoramento
dos satélites. A sua função é manter atualizada a posição dos satélites e sincronizar o
relógio atômico existente em cada um. Ao todo são cinco estações de controle espalhadas
pelo globo terrestre.
As estações de monitoramento estão localizadas no Hawaii (estação mestra),
Colorado Springs, Ilha da Ascension (Atlântico Sul), Diego Garcia (oceano Índico), e
Kwajalein (Pacífico). (BERALDO e SOARES (1995) apud AVILA, 2006).
A Figura 3 mostra a localização das Estações de Controle e Monitoramento GPS.
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Figura 3: Localização das Estações de Controle e Monitoramento GPS
Fonte: AVILA, (2006).
Por último, mas de igual importância, é o receptor GPS. Dos componentes é o
único que o usuário tem contato direto, que são os aparelhos que mostram a posição
naquele instante. Atualmente aparelhos como celulares, smartphones, tablets, entre outros,
possuem a funcionalidade muito semelhante à de aparelhos específicos de GPS.
3.1.1. Fontes de Erros
O sistema GPS civil está sujeito a ter seu sinal deteriorado de diversas maneiras,
devido a alguns fatores de erros, mesmo que pequenos, a soma desses erros preliminares
pode causar erros potenciais. Esses fatores segundo Arvus (2013) são:
- Atrasos da Ionosfera e Troposfera: o atraso do sinal ocorrido nesta parte da
atmosfera é compensado por um modelo matemático incluído no receptor, porém por fazer
apenas uma média dos atrasos, deixa-se de utilizar dados exatos perdendo assim um pouco
da precisão.
- Sinais “multi-path”: quando o sinal é refletido por construções como prédios e
também formações rochosas, o tempo de propagação do sinal é alterado causando
imprecisão.
- Erros no relógio do receptor: não é possível ter um relógio atômico em cada
receptor, então eles usam um cristal de quartzo comum que não tem a mesma precisão mas
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é reiniciado em sincronia com quatro ou mais satélites. Mesmo assim podem ocorrer
variações no relógio do receptor, causando assim perda de precisão.
- Números de satélites visíveis: quanto maior for o número de satélites visíveis,
maior é a precisão. Não se consegue um bom funcionamento do sistema dentro de locais
fechados, embaixo da água ou da terra.
-Geometria dos satélites/sombra: Existe uma geometria entre a posição dos satélites
que favorece a decodificação da posição do receptor. Se houver satélites muito próximos
uns dos outros ou alinhados, o resultado é uma precisão ruim.
- Erros propositais: Até o ano 2000, o Departamento de Defesa americano inseria
um erro proposital para causar uma degradação artificial do sinal do satélite. Esse erro
proposital é chamado de Disponibilidade Seletiva (S/A – Selective Availability) e resulta
em um erro de cálculo da posição do receptor de mais de 100m.
3.2. SISTEMAS SIMILARES AO GPS
Para Machado (2012), o GPS é um sistema muito antigo e por isso acumula muitos
problemas devido aos desgastes, além disso, ele foi desenvolvido e mantido pelo
Departamento de Defesa Americano, o que significa que o sistema deve servir
primariamente as Forças Armadas dos Estados Unidos.
Segundo Chamone (2008), atualmente existem dois sistemas efetivos de
posicionamento por satélite: o GPS, americano, e o Glonass, russo; e ainda existem mais
dois em implantação: o Galileo, europeu, e o Compass, chinês.
O Glonass foi criado alguns anos antes do GPS pela União Soviética, mas após o
seu desmembramento foi deixado de lado. Nos últimos anos o governo russo passou a
investir neste sistema, que possui precisão de até três metros.
Na tentativa de popularizar o sistema Glonass, governo russo impôs uma taxa de
importação de 25% para todos os aparelhos que possuíssem o sistema GPS, mas se
também fossem compatíveis com o Glonass a taxa era extinta. Com a utilização simultânea
do sistema GPS e do sistema Glonass, o usuário ganha em velocidade, já que tem a
disposição muito mais satélites do que se utilizasse apenas um dos sistemas.
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4. MATEMÁTICA DO SISTEMA GPS
Para que o sistema GPS possa calcular a posição exata de um ponto no globo
terrestre, é necessário que ele obtenha algumas informações.
Primeiramente é necessário que no mínimo quatro satélites estejam observando este
ponto. Posteriormente o sistema GPS calcula a distância do receptor até os satélites. Isso só
é possível por conta de que o sinal enviado pelo receptor para os satélites, viaja a
aproximadamente a velocidade da luz e com a ajuda de um relógio atômico é possível
medir o tempo que esse sinal demora para chegar no satélite. Com esses dados calcula-se a
distância, e assim torna-se possível determinar o único ponto no qual está localizado o
receptor.
Mas como o resultado obtido está em coordenadas cartesianas é necessário
transformá-lo em coordenadas geográficas, para que o usuário possa compreender as
informações obtidas.
4.1. DETERMINANDO A DISTÂNCIA ENTRE O SATÉLITE E O RECEPTOR
Para o cálculo da distância entre o satélite e o receptor, o satélite transmite um
longo sinal digital, chamado de pseudo-randômico ou PRC (pseudo random code). Neste
mesmo instante, o receptor gera o mesmo código. No momento em que o sinal chega ao
receptor, existe uma defasagem em relação ao sinal gerado pelo receptor. Esta diferença é
igual ao tempo de trânsito do sinal, Chamone (2008).
Então o satélite calcula a distância se utilizando de um princípio simples:
, (4.1)
onde é a distância entre o satélite e o receptor, é a velocidade do sinal enviado e é o
tempo que este sinal demora para transitar entre o satélite e o receptor.
O satélite envia sinais através de ondas eletromagnéticas que viajam na velocidade
da luz: 299.792.458 metros por segundo, em seguida o receptor multiplica o tempo que o
sinal levou para chegar até ele pela velocidade da luz e determina a distância entre eles.
A precisão do tempo é essencial na operação do GPS. Se ocorrer um erro de um
micro segundo ( segundos) no registro do lapso de tempo desde a transmissão do sinal
pelo satélite até a sua recepção pelo receptor resulta num erro de 300 metros (ALVES,
2006).
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Além disso, apenas com uma distância não é possível saber a posição exata do
receptor sobre o globo terrestre, então é necessário que pelo menos quatro satélites possam
observar este ponto, e cada um calcula a distância deste ponto até o satélite, então a
interseção das possíveis distâncias de quatro satélites gera um único ponto, que é a
localização do receptor (ALVES, 2006).
4.2. DETERMINANDO A POSIÇÃO DO RECEPTOR
A única informação utilizada para determinar a posição do receptor é a distância do
satélite com o mesmo. Se o receptor capta o sinal de apenas um satélite que envie esta
informação percebe-se que todas as possíveis posições para o receptor estão na superfície
de uma esfera de centro no satélite e de raio igual a distância do satélite até o receptor.
Figura 4: Representação dos pontos equidistantes a um satélite.
Fonte: COSTA e RODRIGUES (2012)
Se o receptor capta o sinal de dois satélites tem-se que a posição do receptor está
contida na interseção das duas esferas cujos centros são os satélites. Esta interseção pode
ser um único ponto, o que resolveria o problema, ou pode formar uma circunferência de
possibilidades. Não é possível a interseção ser vazia pois elas contêm pelo menos um
ponto em comum, que é a posição do receptor. CHAMONE (2008).
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Figura 5: Interseção de duas esferas.
Fonte: COSTA e RODRIGUES (2012)
Se o receptor capta o sinal de três satélites a posição do receptor está contida na
interseção de três esferas. Se considerar que as três esferas são secantes duas a duas, sua
interseção será o conjunto de dois pontos, caso duas sejam tangentes, a interseção será um
único ponto, que neste caso será a posição do receptor. CHAMONE (2008).
Figura 6: Interseção de três esferas.
Fonte: COSTA e RODRIGUES (2012)
Com a utilização de mais uma esfera, temos que a interseção das quatro esferas
gera um único ponto. Convém relembrar que a interseção de esferas, neste caso, é sempre
não vazia, pois todas as esferas contém o ponto que representa a posição do receptor, mas
em casos mais gerais, não há nada que garanta que a interseção de quatro esferas seja um
único ponto.
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Figura 7: Interseção de quatro esferas.
Fonte: COSTA e RODRIGUES (2012)
4.2.1 Coordenadas Cartesianas
“O conjunto de todas as triplas ordenadas de números reais é chamado de espaço
numérico tridimensional, sendo denotado por . Cada tripla ordenada é chamada
de um ponto no espaço”. (LEITHOLD, 1994, p. 847)
O sistema de coordenadas cartesianas em três dimensões é composto por três eixos:
OX; OY; OZ com a mesma origem em O e perpendiculares entre si tomados dois a dois.
Dado um ponto no espaço, ele pode ser associado a uma terna do sistema
de coordenadas do seguinte modo:
Figura 8: Sistema de coordenadas cartesianas
Fonte: ALVES 2006
Por traça-se uma reta paralela ao eixo . A interseção dessa reta com o plano
é o ponto . As coordenadas de no sistema de coordenadas são as duas
primeiras coordenadas de . A terceira coordenada de é igual ao comprimento do
P`
z
y
x
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segmento , se estiver acima do plano (figura 8), e ao comprimento com sinal
negativo, se estiver abaixo do plano .
4.2.2. Definição de Superfície Esférica
Segundo Leithold (1994), uma esfera é um conjunto de todos os pontos no espaço
tridimensional, equidistantes de um ponto fixo. O ponto fixo é chamado de centro da esfera
e a medida da distância constante é chamada de raio da esfera. Uma equação da esfera
de raio r e centro e sendo um ponto pertencente a superfície
tem-se que:
(4.2)
Trabalhando com a equação (4.2) temos:
(4.3)
Que é a equação geral da superfície esférica de centro e raio .
4.2.3. Intersecção de Superfícies Esféricas
Alves (2006, p. 22), expõe o seguinte teorema sobre a intersecção de superfícies
esféricas:
Teorema: Se quatro superfícies esféricas se interceptam e seus centros são não coplanares,
então esta interseção consiste em um único ponto.
Demonstração:
Sejam e superfícies esféricas de centro e
respectivamente. Será mostrado que se existe um ponto , e sendo
e não coplanares, então P é único, ou seja, { }.
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Sendo (4.3) as equações gerais de , com ao subtrairmos essas
equações duas a duas, obtemos equações lineares em x, y e z uma vez que os termos x², y²
e z² são eliminados.
{
(4.4)
Uma tal equação linear determina um plano que contém a correspondente
intersecção. Por exemplo, subtraindo as equações de S1 e S2, obtém-se a equação de um
plano que contém S1 S2.
Agora tem-se o sistema originado pela diferença entre e , e e e .
{
ou ainda;
{
(4.5)
Considerando os planos que contêm e temos que, se
está em , então é solução do sistema linear (4.5).
No sistema (4.5) temos três incógnitas x, y e z e três equações, e com a utilização
de um método denominado Regra de Cramer podemos determinar a sua solução.
Primeiramente é necessário esclarecer este método de resolução.
Regra de Cramer: Seja uma matriz invertível. Dado , indiquemos
com o símbolo o determinante da matriz obtida de quando se substitui sua i-ésima
coluna por e de o determinante da matriz . A solução do sistema linear , de
equações e incógnitas é o vetor cujas coordenadas são:
com . (LIMA, 2009, p. 256).
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Para simplificar a leitura será substituída a notação dos termos , e por ,
e respectivamente sempre que for conveniente. Aplicando a Regra de Cramer ao sistema
(4.5) vemos que:
,
e
, onde:
|
– – –
– – –
– – –
|, |
– – –
– – –
– – –
|,
|
– – –
– – –
– – –
|, |
– – –
– – –
– – –
|
e
, sendo .
Deste modo temos três casos possíveis.
SPD (Solução possível e determinada) se .
SPI (Solução possível e indeterminada) se. e .
SI (Solução impossível) se e
A prova do teorema estará terminada se mostrarmos que o sistema (4.5) tem uma
única solução, pois a existência de dois pontos distintos em acarretaria
duas soluções distintas para o sistema linear. Para isso basta mostrar que ocorrendo o
caso SPD, ou seja, haverá uma única solução para o sistema.
Sendo assim, observa-se os vetores originados da diferença entre os centros das
esferas, ou seja;
E sendo , , e ,
então:
20
e
.
Temos que, dado dois vetores Linearmente Independentes (LI), estes geram um
plano. Sejam esses vetores e . Como sabemos que e não são colineares,
podemos garantir que e são LI e consequentemente formam um plano . Em relação a
este plano, ou o vetor está contido no plano , ou eles são transversais ou são paralelos.
Como então dado que e são não coplanares.
Então vetor , definido pelos pontos e não pertence ao plano . Como o vetor
contém e ele não pode ser paralelo ao plano , já que e , logo é
transversal ao plano . Disto segue que e são LI. Sendo assim sabemos que o seu
determinante é diferente de 0.
|
– – – – – – – – –
|
Ou seja , ocorrendo o caso SPD. Como sabemos que ,
pela existência do receptor, então o sistema possui uma única solução.
4.2.4. Coordenadas Geográficas
Para a construção de um sistema de coordenadas geográficas, vamos considerar um
sistema ortogonal de coordenadas cartesianas com a origem O no centro da Terra, com o
eixo positivo, apontando para o norte do globo, o plano interceptando a linha do
equador sendo o eixo positivo apontando para o meridiano de Greenwich e o eixo
positivo apontando para o meridiano de 90° Leste. (ALVES, 2006)
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Figura 9: Coordenadas Geográficas.
Fonte: PESTANA (2013)
Dado um ponto do espaço, sejam e as medidas dos ângulos
assinalados na seguinte figura.
Figura 10: Coordenadas Geográficas
Fonte: ALVES (2006)
Os valores de e indicam os valores da latitude e longitude respectivamente
referente ao ponto , sendo que a latitude é medida em relação a linha do equador e a
longitude em relação ao meridiano de Greenwich. A distância é a diferença do centro
da Terra até o ponto e é chamada de altitude. (ALVES, 2004)
As coordenadas geográficas são formadas pela latitude, longitude e altitude.
O segmento possui medida √ devido ao fato do triângulo ser
retângulo. Pode-se ver que o triângulo também é retângulo então é valido que:
(√ )
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√
Então a altitude de é a distância entre , ou seja:
√ . (4.6)
A latitude do ponto P é definida pela inclinação . No triângulo temos que:
√
Como , temos que:
√ (4.7)
Esta expressão atribui a um único valor entre e quando assim temos
que a latitude do ponto é (norte). Se , assume um valor entre e e
dizemos que a latitude do ponto é (sul). (ALVES, 2004)
Ao observarmos o triângulo podemos ver que:
√
e
√ (4.8)
Estas expressões definem um único valor para entre e quando ,
sendo que a longitude do ponto P é de (leste). Quando , assume um único
valor entre e , sendo que a longitude do ponto P é de (oeste). (ALVES,
2006)
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5. APLICAÇÃO
Pode-se verificar as informações levantadas no capítulo 3, através de uma aplicação
real, extraído de Nord, Jabon e Nord J. (1997) apud ALVES (2006), sendo que este mostra
uma situação em que o usuário do sistema GPS deseja saber a sua posição no globo
terrestre.
Primeiramente deve-se observar a posição de cada satélite (em metros) em um
sistema de coordenadas cartesianas segundo a seguinte tabela:
Satélite 1
Satélite 2
Satélite 3
Satélite 4
Tabela 1: Coordenadas dos satélites
Fonte: ALVES (2006)
O aparelho receptor do sistema GPS registra os lapsos de tempo (em segundos) do
sinal enviado do satélite até a recepção do sinal. O tempo registrado por cada um dos
satélites está na seguinte tabela.
Satélite 1 Satélite 2 Satélite 3 Satélite 4
Tabela 2: Tempo registrado para o envio dos sinais.
Fonte: ALVES (2006)
Sabe-se que os sinais enviados pelo satélite viajam a uma velocidade de
aproximadamente (velocidade da luz). Em (4.1) foi visto que
, assim tem-se que a distância dos 4 satélites em relação ao receptor em um dado
instante:
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A distância é o raio da superfície esférica cujo centro é , (sendo
que o centro da esfera corresponde a posição do satélite) onde . Considerando
a posição do receptor como sendo o ponto , tem-se o seguinte sistema linear
(4.5):
{
Aplicando os valores das tabelas 1 e 2 no sistema (4.5) obtemos:
{
(5.1)
Para determinar a solução deste sistema será utilizada a Regra de Cramer. Sendo
assim é necessário definir os valores de , , e .
Devido ao fato de se estar trabalhando com números consideravelmente grandes,
torna-se inviável obter um resultado preciso realizando esta operação sem a utilização de
meios computacionais. Por isso foi utilizado um software para realizar o cálculo dos
determinantes acima. Então os resultados obtidos foram os seguintes:
Seja , o determinante da matriz quadrada de ordem , cujos termos são os
coeficientes do sistemas de equações (5.1).
|
|,
Resolvendo este determinante, tem-se que:
Como , logo a solução do sistema (5.1) é possível e determinada, ou seja, o
sistema possui uma única solução. Agora mostra-se necessário calcular os valores de ,
e .
Substituindo a primeira coluna da matriz dos coeficientes, pelos elementos da
matriz coluna dos termos independentes, tem-se:
25
|
|,
Resolvendo tem-se que:
Em seguida substituindo a segunda coluna da matriz dos coeficientes, pelos
elementos da matriz dos termos independentes, tem-se:
|
|,
Ao resolver este determinante, tem-se que:
E finalmente substituindo a terceira coluna da matriz dos coeficientes, pelos
elementos da matriz dos termos independentes, tem-se:
|
|
Disto segue que:
Sendo assim, utilizando os valores de , , e calculado anteriormente pode-
se determinar as coordenadas do ponto , ou seja:
Logo tem-se que a única solução do sistema (5.1) é
, e . Assim as
coordenadas do ponto são:
26
, sendo esta a
posição cartesiana do aparelho receptor.
Com as coordenadas cartesianas do ponto P é possível determinar as suas
coordenadas geográficas como descrito na seção 4.2.4. Para isto será necessário determinar
os valores de e . Então através da expressão (4.7) tem-se:
√
√
Disto segue que:
Então tem-se que o valor do ângulo em graus decimais é de . E a
partir da equação (3.8) segue que:
√
√
Então segue que:
Agora basta transformar os valores de e , que estão em graus decimais, para
graus, minutos e segundos. Para isto basta utilizar uma regra de três simples. Como cada
grau possui 60 minutos e cada minuto possui 60 segundos, tem-se que:
.
Agora é necessário transformar em minutos.
27
Então vemos que . Agora basta transformar
em segundos.
Realizando arredondamento temos que: . Como , temos que a
longitude do ponto P é de (leste), ou seja, .
Realizando o mesmo procedimento com o valor de , obtém-se o seguinte
resultado: = . Como , temos que a latitude do ponto é (norte),
ou seja, .
Figura 11: Localização do receptor.
Fonte: Google Maps.
Após consultar um serviço de pesquisas e visualização de mapas online (Google
Maps) foi possível determinar a localização deste ponto no globo terrestre. Então tem-se
que a posição do usuário do GPS como sendo próxima da cidade de Ghat, localizada nos
Montes Tássili, na fronteira entre Argélia e Líbia.
28
6. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Mesmo com o surgimento de novas metodologias, nos deparamos com o fato de
existirem “duas matemáticas diferentes” para os alunos. Uma “matemática escolar” e uma
“matemática do cotidiano”.
Segundo Rodrigues (2004) a matemática ensinada nas escolas transmite uma ideia
de “ciência isolada”, em que todos os seus elementos não tem ligação com o mundo ao seu
redor. Que segue sempre uma rigidez, uma precisão em seus resultados de forma que, se
existir uma simples falha na sua construção, impede a sua utilização.
Para Monteiro e Nocarato (2005) em um ambiente escolar, o conhecimento
cotidiano do aluno assume um papel secundário e muitas vezes a ligação entre o
conhecimento cotidiano com o conhecimento escolar não existe, ocasionando o
pensamento nos alunos de que a matemática “não serve pra nada”.
Sendo assim o objetivo deste trabalho foi deixar claro de que a Matemática está
presente em nosso cotidiano e que muitas vezes o aluno não percebe isto. Através de uma
aplicação real de uma tecnologia cada vez mais presente no cotidiano de todos, foi possível
mostrar a matemática ensinada na escola sendo aplicada em uma situação do dia a dia.
A aplicação real apresentada foi o uso do GPS. Como se trata de uma tecnologia
recente e muito utilizada atualmente, a maioria dos estudantes já teve contato com este
equipamento, seja diretamente ou indiretamente. Esta escolha se deu por se tratar de uma
tecnologia que faz parte da vida da maioria da população.
O sistema GPS é conhecido apenas por ser um aparelho para se localizar
geograficamente, sendo que muitos acreditam que o mesmo não está relacionado com a
matemática estudada na escola. Através deste trabalho foi possível perceber que o sistema
GPS possui muita matemática que é ensinada a estudantes do Ensino Médio e também
alguns conceitos que são trabalhados no Ensino Fundamental.
Como o aparelho GPS busca determinar a posição do aparelho receptor, é
necessário determinar primeiramente a distância entre o receptor e o satélite, para isso foi
necessário utilizar conceitos básicos de física. Com a utilização de alguns conceitos de
geometria analítica deparou-se com um sistema linear. Para calcular este sistema foi
necessário estabelecer o conceito de determinante. Posteriormente foi utilizado até mesmo
conceitos ditos simples, como proporcionalidade com a utilização da regra de três, e
notação cientifica para representar os valores obtidos.
29
Como são conteúdos trabalhados no Ensino Médio, nada impede de apresentar esta
situação a alunos da 3ª série por exemplo, pois estes já possuem todos os conceitos
necessários e caso não os tenham é possível ser ensinados de maneira mais prática para os
mesmos.
Convém ressaltar que este trabalho foi desenvolvido para mostrar que em um
aparelho comum para muitas pessoas, está diretamente relacionado com a matemática
ensinada na escola, ou seja, mostrar aos alunos que a Matemática não é fragmentada,
apesar de normalmente ser estudada de forma separada.
Mas ao apresentar esta situação para alunos do ensino médio é necessário realizar
algumas adaptações. Como trabalhou-se com números com muitas casa decimais, realizar
estes cálculos sem o auxílio de softwares específicos é inviável. Por isso os valores devem
ser arredondados para uma ou duas casas decimais, pois assim os alunos podem resolver
com o auxilio de apenas uma calculadora e até mesmo resolver a mão.
Ao se alterar os valores para facilitar a aplicação de uma tarefa semelhante a
apresentada neste trabalho, é importante ter em mente que a resposta não será precisa.
Como os valores originais são consideravelmente grandes, ao se descartar algumas casas
decimais, estará descartando valores na classe dos milhares e até de milhões de metros.
Mas para uma tarefa dentro da sala de aula em que a precisão não seja o objetivo e sim o
entendimento do método em que se determina a posição do receptor, o arredondamento de
casas decimais pode ser considerado.
Para se obter um resultado preciso é necessário manter todas as casas decimais, mas
mesmo nesse caso, a escolha do software para realização destes cálculos pode interferir na
resposta encontrada. Isso foi notado ao realizar os mesmos procedimentos, adotando os
mesmos valores, e mesmo assim obteve-se resultados divergentes quando utilizados
softwares diferentes, porém com precisão melhor que a calculada sem o uso dos mesmos.
A partir de tudo o que foi apresentado neste trabalho foi possível concluir que a
matemática trabalhada nas escolas muitas vezes não condiz com a realidade encontrada
pelos alunos em seu cotidiano mas é possível conduzir uma aula de forma que associe a
matemática da sala de aula com a ciência Matemática.
30
REFERÊNCIAS
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31
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