0 universidade estadual do paranÁ - unespar...
TRANSCRIPT
0
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ - UNESPAR
CAMPUS DE UNIÃO DA VITÓRIA
CURSO DE MATEMÁTICA
WELINGTON GROSSMANN
FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA NO ENSINO MÉDIO COM A
UTILIZAÇÃO DAS METODOLOGIAS DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E
TECNOLOGIA
UNIÃO DA VITÓRIA
2013
1
WELINGTON GROSSMANN
FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA NO ENSINO MÉDIO COM A
UTILIZAÇÃO DAS METODOLOGIAS DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E
TECNOLOGIA
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado para
obtenção do título de Licenciado em Matemática na
Universidade Estadual do Paraná – UNESPAR, Campus
de União da Vitória.
Orientador: Prof. Me. Everton José Goldoni Estevam
UNIÃO DA VITÓRIA
2013
2
AGRADECIMENTOS
A elaboração deste trabalho só foi possível graças às contribuições dos muitos que de
alguma forma e em sua medida interferiram na elaboração, aplicação e conclusão que aqui
estão descritas.
Primeiramente agradeço a Deus por ter me oportunizado as condições de realizar este
trabalho e estar presente principalmente nos momentos mais difíceis, me dando paz e
sabedoria para superá-los.
A meu caríssimo orientador, Prof. Me. Everton José Goldoni Estevam, inicialmente
por ter aceitado este desafio e posteriormente ter demonstrado sua extrema competência
profissional, através dos incentivos para a realização do trabalho, a dedicação demonstrada
por outrem, sempre com o objetivo de contribuir em minha formação profissional.
Aos Professores Celso da Silva e Henrique Cristiano Thomas de Souza que
aceitaram fazer parte da banca examinadora desta pesquisa.
A todos os Professores do curso de Licenciatura de Matemática, tanto os atualmente
no colegiado como aqueles que por seus próprios motivos não fazem mais parte desta ilustre
posição, incluindo ainda o professor que disponibilizou suas aulas para que a proposta
pudesse ser aplicada.
Em especial à minha noiva e futura esposa Ana Rita, principalmente pela
compreensão nos momentos em que a dedicação aos estudos foi exclusiva, mas que mesmo
assim o companheirismo sempre esteve presente. Sua existência por si só me motiva a
continuar vivendo e me torna mais forte frente aos desafios.
Sem nunca se esquecer da família, em especial aos meus pais, pois é graças à base
dada por eles que me sinto seguro em dar um passo a mais a cada dia.
Todos os amigos que fiz durante o Curso com os quais convivemos boa parte de
nossas vidas compartilhando diferentes pontos de vista, mas sempre com um mesmo objetivo.
A todos aqueles que de alguma forma contribuíram para a realização deste trabalho.
3
O que sabemos é uma gota,
o que ignoramos é um oceano.
(Isaac Newton)
4
RESUMO
Através dos relatos de outros pesquisadores vemos que, embora funções exponencial e
logarítmica constituem uma temática importante, muitos professores deixam de ensinar estes
conteúdos, assumindo que outros conhecimentos devem ser priorizados. Partindo da
importância verificada, realizamos este trabalho com objetivo de elaborar, aplicar e, após sua
aplicação, analisar, a proposta de ensino para abordagem de funções exponencial e
logarítmica, no Ensino Médio da Educação Básica. O trabalho utiliza a Engenharia Didática
como orientadora, a qual sugere uma estruturação diferenciada da pesquisa, organizando-a em
quatro principais tópicos: análises preliminares; análise a priori; aplicação e relato; análise a
posteriori e validação. Como metodologia de ensino, assumimos a Resolução de Problemas e
a Tecnologia (software GeoGebra) numa perspectiva exploratória e investigativa. Os
resultados apontam que apesar de algumas dificuldades de caráter didático, as situações
propostas parecem contribuir para a aprendizagem dos alunos, constituindo uma alternativa
interessante de ensino.
Palavras-chave: Função exponencial, Função logarítmica, Engenharia didática, Metodologias
de ensino.
5
LISTA DE QUADROS
Quadro 1: Tarefa 1 .................................................................................................................... 23
Quadro 2: Tarefa 2 .................................................................................................................... 26
Quadro 3: Tarefa 3 .................................................................................................................... 29
Quadro 4: Tarefa 4 .................................................................................................................... 30
Quadro 5: Itens das Tarefas 3 e 4 ............................................................................................. 32
Quadro 6: Tarefa 1 item d – Dupla G ....................................................................................... 35
Quadro 7: Tarefa 1 item e – Duplas D e E ............................................................................... 35
Quadro 8: Tarefa 2 item f ......................................................................................................... 40
Quadro 9: Tarefa 2 item h – Duplas G e S ............................................................................... 41
Quadro 10: Tarefa 3 item 1....................................................................................................... 45
Quadro 11: Tarefa 3 item 2 – Dupla D ..................................................................................... 45
Quadro 12: Tarefa 4 itens 3, 4 e 5 – Dupla C ........................................................................... 47
Quadro 13: Tarefa 4 item 6....................................................................................................... 48
Quadro 14: Tarefa 4 item 7 – Dupla C ..................................................................................... 48
Quadro 15: Tarefa 4 item 9 – Dupla D ..................................................................................... 49
6
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO E PROBLEMÁTICA ............................................................................... 8
2. OBJETIVOS ....................................................................................................................... 11
2.1. OBJETIVO GERAL ..................................................................................................... 11
2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS ....................................................................................... 11
3. METODOLOGIAS ............................................................................................................ 12
3.1. METODOLOGIA DE PESQUISA .............................................................................. 12
3.2. METODOLOGIA DE ENSINO ................................................................................... 13
4. ANÁLISES PRELIMINARES .......................................................................................... 15
4.1. ENSINO DE FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA................................... 15
4.2. DOCUMENTOS ORIENTADORES ........................................................................... 17
4.3. OBSTÁCULOS ............................................................................................................ 19
4.3.1. Obstáculos Ontogênicos ........................................................................................ 19
4.3.2. Obstáculos Epistemológicos ................................................................................. 19
4.3.3. Obstáculos Didáticos ............................................................................................. 20
5. ANÁLISE A PRIORI ......................................................................................................... 22
5.1. TAREFA 1 – CRESCIMENTO EXPONENCIAL E A SUA RELAÇÃO COM A
POTENCIAÇÃO ................................................................................................................. 22
5.2. TAREFA 2 – CRESCIMENTO EXPONENCIAL E A SUA INVERSA, A
LOGARÍTMICA. ................................................................................................................ 25
5.3. TAREFA 3 – CARACTERIZANDO AS FUNÇÕES EXPONENCIAL E
LOGARÍTMICA COMO INVERSAS E PERCEBENDO SUAS CARACTERÍSTICAS 28
5.4. TAREFA 4 – CARACTERÍSTICAS DAS FUNÇÕES EXPONENCIAL E
LOGARÍTMICA QUANTO À MUDANÇA DA BASE .................................................... 30
6. RELATO DA APLICAÇÃO DA PROPOSTA DE ENSINO ......................................... 33
7
6.1. APLICAÇÃO ................................................................................................................ 33
6.2. TAREFA 1 .................................................................................................................... 33
6.2.1. Realização da Tarefa 1 .......................................................................................... 34
6.2.2. Discussões Após a Realização da Tarefa 1 ........................................................... 37
6.3. TAREFA 2 .................................................................................................................... 38
6.3.1. Realização da Tarefa 2 .......................................................................................... 38
6.3.2. Discussões Após a Realização da Tarefa 2 ........................................................... 42
6.4. TAREFA 3 .................................................................................................................... 44
6.4.1. Realização da Tarefa 3 .......................................................................................... 44
6.4.2. Após a Realização da Tarefa 3 .............................................................................. 46
6.5. TAREFA 4 .................................................................................................................... 46
6.5.1. Realização da Tarefa 4 .......................................................................................... 46
6.5.2. Após a Realização da Tarefa 4 .............................................................................. 50
7. ANÁLISE A POSTERIORI E VALIDAÇÃO ................................................................. 52
REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 56
8
1. INTRODUÇÃO E PROBLEMÁTICA
O fator que motivou a elaboração deste trabalho foi a importância que o ensino de
funções tem para a Matemática, sendo este um dos assuntos que acompanha os alunos desde o
final do Ensino Fundamental e em boa parte do Ensino Médio.
O conceito de função permeia grande parte da matemática e, desde as primeiras
décadas do século presente, muitos matemáticos vêm advogando seu uso como
princípio central e unificador na organização dos cursos elementares de matemática.
O conceito parece representar um guia natural e efetivo para a seleção e
desenvolvimento do material de textos de matemática. Enfim, é inquestionável que
quanto antes se familiarize um estudante com o conceito de função, tanto melhor
para sua formação matemática. (EVES, 2011, p. 661).
Ideia semelhante está presente nos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino
Médio - PCN+, os quais afirmam que:
O estudo das funções permite ao aluno adquirir a linguagem algébrica como a
linguagem das ciências, necessária para expressar a relação entre grandezas e
modelar situações-problema, construindo modelos descritivos de fenômenos e
permitindo várias conexões dentro e fora da própria matemática. (BRASIL, 2002, p.
121).
Como observa-se nas duas citações, a abordagem de funções tem grande importância
para o ensino da Matemática, pois permeia diversos conteúdos de ensino, além de expressar
em linguagem algébrica diversos fatos da ciência e descrever fenômenos de situações do
cotidiano.
Além de tal importância, seja contribuindo com o aprendizado numa forma geral, ou
orientando em problemas do cotidiano, o conteúdo e conhecimento de funções também é de
grande importância para estudos posteriores de Ensino Superior em diversas áreas.
O conceito de função constitui-se, além disso, de um dos principais pré-requisitos
para grande parte dos conteúdos desenvolvidos no Ensino Superior, uma vez que
inúmeros problemas das Ciências Exatas, da Tecnologia, da Saúde e Ciências
Sociais Aplicadas podem ser modelados e estudados utilizando-se funções de uma
ou várias variáveis. (RÊGO, 2000, p. 20 apud ARDENGHI, 2008, p. 14).
A partir destas questões, optamos por investigar as funções exponencial e logarítmica
no Ensino Médio, com o intuito de contribuir e discutir sobre o ensino de funções na
Educação Básica. Em um trabalho de Mestrado com o tema “funções logarítmicas no Ensino
Médio”, o autor afirma:
Acreditamos que o estudo desta função não pode deixar de ser ensinado aos alunos
neste nível de ensino. Por um lado encontramos vários modelos matemáticos que se
utilizam deste objeto para modelar fenômenos naturais, tais como pH de soluções
9
químicas, escalas para medir a intensidade de terremotos entre outros e, por outro
lado, os alunos que ingressarem no Ensino Superior poderão ter dificuldade ao se
depararem com o estudo dessa função. (SANTOS, 2011, p. 22).
Ideia semelhante pode ser atribuída à função exponencial, já que os PCN+ afirmam:
As funções exponencial e logarítmica, por exemplo, são usadas para descrever a
variação de duas grandezas em que o crescimento da variável independente é muito
rápido, sendo aplicada em áreas do conhecimento como matemática financeira,
crescimento de populações, intensidade sonora, pH de substâncias e outras.
(BRASIL, 2002, p. 121).
Verifica-se a importância do estudo deste conteúdo na Educação Básica, pela sua
grande possibilidade de aplicações e por sua exigência em diversos estudos posteriores
relacionados à área das exatas. Reconhecer essa importância, porém, não é comum a todos os
professores, ocorrendo diversas vezes de o professor deixar de abordar as funções exponencial
e logarítmica para dar prioridade às afim e quadrática. Essas considerações podem ser
observadas nas palavras de Santos, que afirma:
Como professora do Ensino Médio, percebemos a existência de muitas dificuldades
no processo ensino e aprendizagem das funções exponenciais e logarítmicas. Muitas
vezes o ensino restringe-se apenas ao estudo das funções quadráticas, e as funções
exponenciais e logarítmicas não são trabalhadas no 1º ano do Ensino Médio,
deixando de ser ensinadas pelo fato de terminar o ano letivo e não serem retomados
no ano seguinte. (SANTOS, 2011, p. 22).
É assumida tal afirmação, de que as funções exponencial e logarítmica são deixadas
de lado, seja pela visão de serem desnecessárias ou pelo fato da dificuldade de seu processo
de ensino e aprendizagem, como raiz motivadora da intenção de realizar a presente
investigação.
A partir destas considerações, foi elaborada uma proposta de ensino, aplicada e, após
sua aplicação, analisadas suas contribuições. Para isso, segundo a metodologia teórica da
Engenharia Didática, no capítulo 4 foram estudadas todas as dimensões que envolvem o
assunto, como o próprio conhecimento, estudando diversas referências sobre o conteúdo,
obstáculos em seu ensino, levando em conta a realidade dos alunos e propostas de aula deste
conteúdo realizadas por outros autores.
Conhecidas estas informações, foram escolhidas as metodologias de Resolução de
Problemas e Tecnologia (software GeoGebra), as quais são defendidas no capítulo 3 deste
trabalho, assim como a metodologia teórica Engenharia Didática. Em seguida, foram
elaborados os planos de aula, que estão descritos no capítulo 5, levando em consideração
possíveis comportamentos dos alunos e buscando prever contribuições desta proposta. A fase
de aplicação visou proporcionar uma proximidade entre as realizações práticas e a análise
10
teórica, sendo descritas posteriormente no capítulo 6 as considerações quanto a estes fatos,
buscando a maior proximidade possível com a realidade com que ocorreu. Finalmente,
considerando o que foi previsto na elaboração do plano de aula e comparando com o relato de
sua aplicação, é realizada no capítulo 7 uma análise, verificando quais condições ocorreram e
quais divergiram do planejado, fazendo posteriores considerações quanto à proposta.
11
2. OBJETIVOS
2.1. OBJETIVO GERAL
Elaborar e aplicar uma proposta de ensino para abordagem de funções exponencial e
logarítmica no Ensino Médio da Educação Básica, utilizando a Resolução de Problemas e a
Tecnologia (software GeoGebra) como metodologias de ensino. E após sua aplicação, analisar
esta proposta.
2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
- Elaborar, aplicar e, após sua aplicação, analisar, uma proposta de ensino para
abordagem do conteúdo;
- Identificar os obstáculos didático e epistemológico no ensino aprendizagem de
funções exponencial e logarítmica;
- Mostrar, através de aplicações na realidade e no cotidiano, a importância do ensino
de funções exponencial e logarítmica na Educação Básica;
- Investigar as contribuições da Resolução de Problemas e Tecnologia como
metodologias de ensino para abordar o conteúdo.
12
3. METODOLOGIAS
3.1. METODOLOGIA DE PESQUISA
O presente trabalho teve como proposta metodológica os pressupostos da Engenharia
Didática. Para caracterizá-la, utilizamos as palavras de Pais (2011), que justifica sua utilização
por se tratar de uma concepção que contempla tanto a dimensão teórica, quanto a dimensão
experimental da pesquisa em didática, interligando estas duas dimensões. Completa ainda
afirmando que sem esta articulação cada uma destas dimensões tem seu significado reduzido.
Está implícita nesta metodologia a analogia entre o pesquisador em didática e o
trabalho do engenheiro, no que diz respeito à concepção, planejamento e execução de um
projeto (PAIS, 2011). Assim como o engenheiro, o educador também depende de um
conjunto de conhecimentos para exercer o seu papel, porém, apenas o modelo teórico não é
suficiente para suprir toda complexidade do objeto educacional. Neste sentido, além do
referencial teórico, é preciso fazer um controle sistemático da realização prática de um
determinado método na pesquisa didática.
Na utilização da engenharia didática devem ser executadas de forma consecutiva e
nessa mesma ordem essas quatro fases: análises preliminares; concepção e análise a priori;
aplicação de uma sequência didática; e por último a análise a posteriori e validação.
Na análise preliminar são estudados os referenciais teóricos e verificadas questões
empíricas, como as condições da realidade sobre a qual a experiência será realizada, sendo
recomendado fazer uma descrição das principais dimensões que definem o fenômeno a ser
estudado e que se relacionam com o sistema de ensino, tais como a epistemológica, cognitiva,
pedagógica entre outras. Nesta etapa fizemos o estudo dos conteúdos referentes ao assunto,
como potenciação, função, propriedades logarítmicas, equação, além da análise dos
obstáculos para seu aprendizado.
A fase da concepção e análise a priori consiste na definição do sistema de ensino.
Esta definição ocorre descrevendo escolhas e características de situações, análise de desafios
para os alunos e possíveis comportamentos, possibilitando prever as contribuições das tarefas
para o desenvolvimento do conhecimento. Com isto pretende-se pensar possibilidades para o
ensino de funções exponenciais e logarítmicas, desde os conteúdos a serem trabalhados até a
forma com que isso ocorrerá, ou seja, metodologias para sua aplicação, sendo que estas
opções serão baseadas na análise preliminar.
13
A aplicação da sequência didática é de suma importância para garantir a
proximidade dos resultados práticos com a análise teórica. Planeja-se um certo número de
aulas com a finalidade de observar situações de aprendizagem, por isso são aulas que saem
um pouco da rotina de sala de aula. Em muitas das atividades realizadas pelos alunos é
necessário uma observação direta, o que pode exigir que algumas dessas realizações sejam
filmadas, gravadas e outras somente descritas. Dentro do trabalho proposto, pretende-se fazer
esta observação através de um diário de campo onde constará as considerações feitas durante
o trabalho dos alunos, como perguntas, discussões e pela análise das tarefas entregues,
verificando suas resoluções.
A análise a posteriori é a fase de tratamento das informações obtidas nas
observações da aplicação da proposta de ensino, salientando que o importante é que essa
análise atinja a realidade das produções dos alunos. Pode-se complementar a análise a
posteriori, utilizando questionários, entrevistas, diálogos, entre outras.
A validação dos resultados é obtida pela confrontação dos dados da análise a priori e
a posteriori, analisando as escolhas feitas no início da pesquisa.
3.2. METODOLOGIA DE ENSINO
Como metodologia de ensino foi utilizada a Resolução de Problemas e a Tecnologia.
Inicialmente podemos ver nas Orientações Curriculares Nacionais do Ensino Médio
(BRASIL, 2006) a importância de o professor de Matemática possibilitar o acesso de seus
alunos a outras Tecnologias, diferentes daquelas que eles estão acostumados a utilizar. A
Tecnologia utilizada nesta pesquisa é o software GeoGebra que, como podemos encontrar no
trabalho de Santos (2011, p. 8), “ [...] contribui para a visualização e para a compreensão do
comportamento gráfico das funções estudadas”.
O software GeoGebra possibilita enorme dinamismo na construção de gráficos, pois
ao inserir a estrutura algébrica da função neste software, ele apresenta a estrutura gráfica do
mesmo em uma extensão muito grande do plano cartesiano, com grande precisão dos pontos.
Quando essa construção é feita à mão, é necessário inicialmente calcular alguns pontos para
em seguida traçar a curva passando por eles, como normalmente poucos pontos são utilizados,
a curva pode apresentar um aspecto distinto de seu real formato.
Quanto à metodologia de ensino Resolução de Problemas, esta foi utilizada visando
que os alunos assumam um papel ativo na construção de seus conhecimentos. Onuchik (1999,
p. 208) afirma que “a compreensão de matemática, por parte dos alunos, envolve a ideia de
14
que entender é essencialmente relacionar”. Para tanto, foram propostas tarefas envolvendo
situações problemas, anteriormente à formalização dos conceitos, sendo assim, partindo de
casos específicos e concretos e posteriormente buscando a generalização, segundo o que
propõe Onuchik:
O problema é olhado como um elemento que pode disparar um processo de
construção do conhecimento. Sob esse enfoque, problemas são propostos ou
formulados de modo a contribuir para a formação dos conceitos antes mesmo de sua
apresentação em linguagem matemática formal. (ONUCHIK, 1999, p. 207).
A fim de utilizar a Resolução de Problemas como metodologia, algumas
características devem estar presentes, como o fato de os alunos realizarem as tarefas em
grupos, dado que aprender é muitas vezes um processo compartilhado e que muitas vezes o
sucesso depende da combinação de esforços. O papel do professor deixa de ser apenas o de
comunicador do conhecimento para o de observador, organizador, consultor e incentivador da
aprendizagem. Ao final do trabalho dos alunos, alguns resultados são anotados na lousa para a
realização de uma plenária, tantos os certos como os errados e aqueles feitos por caminhos
diferentes. Dado que todos trabalharam sobre o problema, devem defender seus pontos de
vista e participar no processo realizado pelos outros grupos. Finalmente, os pontos de
dificuldade encontrados e as divergências dos grupos devem ser trabalhados, explorando as
ideias apresentadas, para se chegar a um consenso entre todos e com isso formalizar o
conteúdo.
15
4. ANÁLISES PRELIMINARES
A organização da proposta de ensino de funções exponencial e logarítmica foi
precedida da estruturação teórica da situação do ensino deste conteúdo que está previsto para
a 1ª Série do Ensino Médio, segundo as orientações das Diretrizes Curriculares de Matemática
(PARANÁ, 2008). O objetivo é identificar os problemas referentes ao ensino e à
aprendizagem do conteúdo, especialmente nos aspectos algébricos e gráficos, a fim de
delinear a organização da proposta de ensino. Para tanto, foram consultados os documentos de
orientações, sendo os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN)(BRASIL, 2000) e suas
orientações complementares (PCN+)(BRASIL, 2002), as Orientações Curriculares para o
Ensino Médio (BRASIL, 2006) e as Diretrizes Curriculares de Matemática da Educação
Básica (PARANÁ, 2008), além de artigos e dissertações referentes à análise dos livros
didáticos, análise dos obstáculos e possibilidades ou alternativas para o ensino. Este material
orientou a construção da proposta de ensino, que será apresentada no quinto capítulo.
4.1. ENSINO DE FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA
As funções exponencial e logarítmica provêm de duas aplicações Matemáticas, uma
bastante conhecida, que é a potenciação, e outra menos conhecida, os logaritmos.
A potenciação, operação que representa sucessivas multiplicações de um mesmo
valor, é conteúdo estudado desde o 6º ano do Ensino Fundamental, iniciando pelas potências
quadráticas e ampliando seu estudo na sequência dos conteúdos, como vemos nas Diretrizes
Curriculares de Matemática (PARANÁ, 2008).
Já os logaritmos, criados por John Napier que os publicou em um tratado de 1614,
onde estão seus métodos e um conjunto de tabelas e regras de cálculo, têm como objetivo
facilitar grandes cálculos, por transformar multiplicações e divisões em operações mais
simples de adição e subtração (VASCONCELOS, 2011). Sua criação baseou-se na análise e
associação de termos de uma Progressão Geométrica (PG) e os termos da Progressão
Aritmética (PA) constituída nesta PG. Um logaritmo pode ser analisado como uma
potenciação escrita ao inverso. Fazendo uma comparação, enquanto a potenciação nos dá a
base e o expoente para determinarmos a incógnita, no logaritmo teríamos o valor e a base,
estando a incógnita como expoente.
16
Durante muitos anos ensinou-se nas escolas a calcular utilizando as tabelas de
logaritmos, o que perdeu sua utilidade com o surgimento das calculadoras que fizeram com
que as tabelas se tornassem apenas peças de museu (VASCONCELOS, 2011). O fato de este
método para realizar cálculo ter se tornado obsoleto não implica que a utilização do conceito
para outros fins também o tenha. Pode-se visualizar este fato nas Orientações Curriculares
para o Ensino Médio:
[...] Nos problemas de aplicação em geral, é preciso resolver uma equação
exponencial, e isso pede o uso da função inversa – a função logaritmo. O trabalho de
resolver equações exponenciais é pertinente quando associado a algum problema de
aplicação em outras áreas de conhecimento [...]. Não se recomenda neste nível de
ensino um estudo exaustivo dos logaritmos. (BRASIL, 2006, p. 75).
Verifica-se que uma das aplicações dadas aos logaritmos é enquanto função, que
inclusive é colocada como fundamental. Por outro lado, sua utilização como método de
cálculo e análise de suas propriedades é recomendada nas Orientações Curriculares para ser
trabalhada de maneira mais breve, sem se conter muito nestes estudos, ou seja, o aluno deve
ter o conhecimento básico das propriedades dos cálculos com logaritmos para utilizá-las no
estudo das funções logarítmicas.
Além de ter conhecimento de potenciação e das propriedades dos logaritmos, o aluno
deve ter afinidade com as ideias e conceito de função, reconhecendo, por exemplo, que uma
função é uma aplicação que associa por meio de “uma regra” cada elemento de um conjunto
denominado domínio a um único elemento do conjunto denominado imagem. O estudo do
conteúdo de funções em sua forma geral é proposto nas Diretrizes Curriculares de Matemática
da seguinte maneira:
No Ensino Fundamental, na abordagem do Conteúdo Estruturante Funções, é
necessário que o aluno elabore o conhecimento da relação de dependência entre duas
grandezas. [...] As abordagens do Conteúdo Funções no Ensino Médio devem ser
ampliadas e aprofundadas de modo que o aluno consiga identificar regularidades,
estabelecer generalizações e apropriar-se da linguagem matemática para descrever e
interpretar fenômenos ligados à Matemática e a outras áreas do conhecimento.
(PARANÁ, 2008, p. 59).
Ainda quanto às orientações para o ensino de função, o mesmo deve ter início no 9º
ano do Ensino Fundamental com noções intuitivas das funções afim e quadrática e deve
prosseguir e se aprofundar no Ensino Médio, culminando no estudo dos diferentes tipos de
função.
Do conhecimento de funções e das aplicações já citadas, pode ser iniciado o estudo
das funções exponencial e logarítmica. Durante o estudo destas funções depara-se com a
17
propriedade de função inversa, de forma semelhante àquela de que o logaritmo é o inverso da
potenciação.
Desta maneira, pode-se estudar funções inversas durante o estudo de funções
exponencial e logarítmica. Inclusive, vemos nas orientações dos PCN+ (BRASIL, 2002) que
este conteúdo (funções inversas) só tem necessidade e sentido quando proporciona conexões
com funções que apresentam este comportamento, o que normalmente na Educação Básica só
é visto com as funções exponencial e logarítmica. O processo algébrico para se obter a função
inversa implica normalmente em um processo árduo e difícil, que na maioria dos casos
utiliza-se da sequência didática como descrita por Pereira (2010, p.90): “isola-se a variável
dependente, trocam-se as variáveis de posição, ou seja, quem é x vira y, e vice-versa,
finalmente escreve-se este „[novo] y‟ em função do „[novo] x‟.”
Pode-se utilizar também uma sequência didática baseada na geometria, a fim de
justificar este processo de inversão, despertando possivelmente o entendimento algébrico de
função inversa. Por esse motivo, Pereira (2010) sugere que o ensino de função inversa seja
feito com a utilização da geometria, associando os pares ordenados pertencentes à função
exponencial com os pontos de coordenadas inversas, que pertencerão à função logarítmica.
4.2. DOCUMENTOS ORIENTADORES
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) do Ensino Médio (BRASIL, 2000)
fornecem subsídios como guia curricular na orientação do trabalho pedagógico dos
professores e classifica como importante que a Educação se volte para o desenvolvimento das
capacidades de comunicação, de resolver problemas e de tomar decisões, estruturando o
pensamento e o raciocínio dedutivo, num papel instrumental que sirva para a vida cotidiana e
às atividades humanas.
O critério central de suas orientações está na contextualização e interdisciplinaridade,
permitindo conexões entre os conceitos e as diferentes formas de pensamento matemático,
levando em conta suas aplicações dentro ou fora da Matemática. Neste sentido, encontramos
nos PCN, orientações quanto ao estudo de funções:
O ensino isolado desse tema não permite a exploração do caráter integrador que ele
possui. Devemos observar que uma parte importante da Trigonometria diz respeito
às funções trigonométricas e seus gráficos. As sequências, em especial progressões
aritméticas e progressões geométricas, nada mais são que particulares funções. As
propriedades de retas e parábolas estudadas em Geometria Analítica são
propriedades dos gráficos das funções correspondentes. Aspectos do estudo de
polinômios e equações algébricas podem ser incluídos no estudo de funções
18
polinomiais, enriquecendo o enfoque algébrico que é feito tradicionalmente.
(BRASIL, 2000, p. 43).
Em sua complementação, nos PCN+, encontramos considerações semelhantes quanto
à importância desta característica de ensino, onde vemos, por exemplo, que o professor deve
possibilitar ao aluno por si só construir estratégias, argumentação, relacionar diferentes
conhecimentos, proporcionando desafios reais e que façam sentido.
Quanto ao ensino de funções, ele deve proporcionar conexões dentro e fora da
Matemática, permitindo o estudo a partir de situações contextualizadas, tanto em sua forma
algébrica quanto graficamente. A instrução é que:
Os problemas de aplicação não devem ser deixados para o final desse estudo, mas
devem ser motivo e contextos para o aluno aprender funções. A riqueza de situações
envolvendo funções permite que o ensino se estruture permeado de exemplos do
cotidiano, das formas gráficas que a mídia e outras áreas do conhecimento utilizam
para descrever fenômenos de dependência entre grandezas. (BRASIL, 2002, p. 121).
Estas considerações foram utilizadas para iniciar os planos de aula, introduzindo
situações problemas envolvendo condições contextualizadas e que fazem parte do cotidiano,
como veremos no capítulo seguinte.
No documento das Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006),
encontramos diversas considerações quanto ao estudo do conteúdo de funções, sendo
apresentado de uma forma mais explicativa que oferece possibilidades de como conduzir este
ensino. Inicialmente é sugerido que este conteúdo seja ensinado com a exploração de relação
entre duas grandezas em diversificadas situações, provocando os alunos para que busquem
outras relações, esbocem gráficos e os analisem. Ao obter as funções na forma algébrica é
importante que a expressem em linguagem natural, o que facilita a identificação da ideia de
função. Deve-se destacar as características da função como, por exemplo, quando ocorre a
mudança de coeficientes. O documento também salienta a importância do estudo dos
diferentes modelos de funções como linear, quadrática e exponencial, apresentado em
diferentes áreas do conhecimento de uma forma contextualizada. Deve-se discutir o
crescimento e decrescimento do modelo linear e introduzir o modelo exponencial, destacando
as taxas de crescimento ou decrescimento constante no modelo linear e variável no modelo
exponencial, utilizando sempre que possível situações reais, no que muitas vezes surge a
necessidade do uso da função inversa da exponencial, a logarítmica.
Analisando as Diretrizes Curriculares de Matemática da Educação Básica
(PARANÁ, 2008), verifica-se que os conteúdos a serem ensinados estão divididos em cinco
conteúdos estruturantes, entre eles funções. No Ensino Médio, o conteúdo estruturante
19
funções engloba os conteúdos: função afim, quadrática, polinomial, exponencial, logarítmica,
trigonométrica, modular, progressão aritmética e geométrica. Segundo as Diretrizes os alunos
devem compreender que as funções descrevem diversas situações em várias áreas do
conhecimento, modelando situações para auxiliar o homem em suas atividades. Quanto à
abordagem, ela deve ser ampliada no Ensino Médio, visto o conteúdo já ser iniciado no
Ensino Fundamental, de modo que o aluno consiga identificar regularidades, fazer
generalizações e utilizar linguagens matemáticas para descrever fenômenos ligados à
Matemática e outras áreas do conhecimento.
4.3. OBSTÁCULOS
Segundo as considerações de Brousseau (1998, Apud BORGES, 2011), os obstáculos
podem ser classificados em: obstáculos de origem ontogênica, epistemológica e didática.
4.3.1. Obstáculos Ontogênicos
Os obstáculos de origem ontogênica são caracterizados por surgirem devido às
limitações (neurofisiológicas, entre outras) do aluno em algum momento de seu
desenvolvimento.
A teoria de Piaget indica a impossibilidade de desenvolver um cálculo formal
quando o indivíduo se encontra no estágio das operações concretas. A exigência do
uso correto da linguagem e dos símbolos matemáticos pode, também, criar esse tipo
de obstáculo. (ALMOULOUD, 2007, p. 145).
Este tipo de obstáculo está diretamente ligado à complexidade da tarefa apresentada,
pois caso esteja acima da capacidade neurológica ou fisiológica do aluno, acabará barrada por
esta limitação.
4.3.2. Obstáculos Epistemológicos
As noções de obstáculo epistemológico foram descritas inicialmente em 1938,
quando Gastão Bachelard ilustra fatos relacionados à formação histórica dos conceitos
científicos, descrevendo a essência da noção de obstáculo, observando que a evolução de um
conhecimento pré-científico até o nível científico depara-se com a rejeição de conhecimentos
anteriores, defrontando com certo número de obstáculos. Portanto, segundo as considerações
20
de Bachelard descritas por Pais (2011), obstáculo não se refere à falta de conhecimento, mas à
rigidez do mesmo que resiste à instalação de novas concepções. A fim de entendermos os
aspectos didáticos dessa noção, é necessário considerarmos o contexto em que ela foi criada,
no início do século XX, em meio a críticas de evoluções científicas e de significativas
mudanças de paradigmas.
Quanto aos obstáculos no contexto da Matemática, devemos analisar que sua
evolução não foi regular, contínua e sem erros ou rupturas, mas essa regularidade ocorre
apenas no final da formalização do conteúdo, sobre o que lemos:
De fato, o tipo de ruptura encontrada na evolução das ciências experimentais não
aparece com clareza no registro histórico da matemática. Entretanto, isso não quer
dizer que haja uma linearidade absoluta na fase da descoberta da matemática. Esse é
um problema que relaciona o desafio da descoberta do conhecimento e sua
sistematização por meio de uma demonstração, pois esse registro formal não deixa
explícitas as dificuldades encontradas no transcorrer do processo de criação. (PAIS,
2011, p. 41).
As considerações feitas por Pais referem-se à falta de descrições e relatos das
dificuldades e dos erros que ocorrem durante as demonstrações, provas, ou qualquer outro
processo que implica na evolução do conhecimento. Sem isto, ao visualizarmos o conteúdo
formalizado e bem estruturado, criamos uma errada ilusão de que aquilo foi construído
seguindo simples passos e de uma forma precisa. Outra questão que deve ser analisada é
quanto à história da Matemática, que normalmente é visualizada de uma forma fragmentada,
considerando apenas aqueles períodos “convenientes”.
4.3.3. Obstáculos Didáticos
Os obstáculos de origem didática são aqueles que procedem de alternativas de ensino
num projeto do sistema educativo. Normalmente ocorrem devido à escolha de estratégias que
facilitam a aprendizagem de conhecimentos em um primeiro momento, porém, o conteúdo
tem a validade questionável ou incompleto e que posteriormente revelam-se como obstáculo
no desenvolvimento da conceituação.
Os obstáculos deste tipo são, em sua maior parte, inevitáveis e inerentes à
transposição didática, embora seu reconhecimento permita ao professor rever a
introdução escolhida para um determinado conceito para explicitar a dificuldade
vivida pelo aluno. (ALMOULOUD, 2007, p. 142).
Verificamos alguns exemplos dados por Almouloud de situações frutos de obstáculos
de origem didática, como a utilização da regra de que a multiplicação sempre aumenta e a
divisão sempre diminui, a qual é válida quando se trabalha com os números naturais, porém,
21
torna-se um obstáculo quando o aluno verifica que a divisão por um número entre 0 e 1
aumenta e a multiplicação pelo mesmo número diminui, ou seja, o contrário daquilo que ele
havia aprendido. Outro exemplo é quanto aos números decimais, o qual dependendo como for
trabalhado pode dar a concepção ao aluno de que números decimais são compostos por dois
números naturais separados por uma vírgula, gerando diversas rupturas relativas à ordenação
destes, devido à comparação ser feita baseada no maior número como feito com os números
naturais. Vejamos o seguinte caso explicitado pelo autor: 12,8 < 12,17. Este equívoco decorre
do obstáculo didático comentado, pois inicialmente as parcelas “12” antes da vírgula são
iguais, mas ao comparar “8” e “17”, se considerados números naturais obviamente, a
ordenação estaria correto tratando-se, portanto, de um obstáculo didático.
22
5. ANÁLISE A PRIORI
Após o estudo das teorias envolvendo o conteúdo e os obstáculos relacionados a seu
ensino, preparamos quatro tarefas embasadas nas metodologias de Resolução de Problemas e
Tecnologias, as quais já foram fundamentadas neste trabalho. Partimos do fato de que
proporcionar relações entre o conteúdo a ser ensinado e um contexto relacionado às suas
vivências estimula o interesse dos alunos.
A primeira tarefa explora o fator de crescimento da função exponencial, na qual os
alunos devem relacionar as ideias deste tipo de crescimento com a potenciação. Para
possibilitar a contextualização do conteúdo, utilizamos uma situação problema dando ênfase à
Ciência Biológica, explorando o crescimento de uma planta.
Na segunda tarefa são exploradas as ideias de inversão de função, introduzindo assim
a função logarítmica e posteriormente analisando seu fator de crescimento, comparando com a
exponencial. O problema utilizado contextualiza uma situação envolvendo a Matemática
Financeira.
Na terceira e quarta tarefa é utilizado o software GeoGebra para, com o auxílio de
sua dinamicidade, estudar respectivamente as características referentes à inversão das funções
e os efeitos da mudança de base.
5.1. TAREFA 1 – CRESCIMENTO EXPONENCIAL E A SUA RELAÇÃO COM A
POTENCIAÇÃO
Tarefa 1 – A altura de uma planta dobra a cada mês, durante certo período de sua
vida. Considerando que isto ocorra a partir de quando sua altura é 1 cm, responda:
a) Qual é a altura para o instante inicial considerado?
b) Qual a altura da planta ao final do 1º mês e, sucessivamente, no final do 2º, 3º,
até o 10º mês? Utilize a tabela abaixo para completar estes valores.
Tempo 0
Altura 1
c) Quem são as duas variáveis envolvidas? Qual delas é dependente e qual é
independente?
d) É possível verificar uma relação com potenciação nos valores obtidos?
(Continua)
23
(Conclusão)
e) Coloque alguns pontos no plano cartesiano, referente aos valores da tabela,
indicando a variável independente na horizontal e a dependente na vertical.
f) Una os pontos do gráfico a partir do valor inicial.
g) A curva obtida no plano cartesiano corresponde a:
( ) uma função de 1º Grau (cujo gráfico é uma reta)
( ) uma função de 2º Grau (cujo gráfico é uma parábola)
( ) uma função desconhecida (nem reta e nem parábola)
h) Interpretando o gráfico formado, dê um valor aproximado para a altura da planta
em:
h1) 2,5 meses.
h2) 3 meses e 10 dias.
h3) 4 meses e 20 dias.
i) O gráfico define uma função crescente ou decrescente? Justifique.
j) Existe um valor extremo num determinado ponto do gráfico? (mínimo ou
máximo).
k) Formalize, utilizando letras para as variáveis, uma lei de formação que melhor
se ajusta ao gráfico e aos valores encontrados.
l) Determine o domínio e imagem da função referente a esta situação problema.
Quadro 1: Tarefa 1
Fonte: PEREIRA (2010, p.30)
A situação problema envolvendo o crescimento vegetativo objetiva apresentar o
modelo de crescimento não linear da função exponencial. Neste problema são apresentadas a
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
13
14
15
16
11
2 3 4 5 6 7 8 9 100
24
altura inicial da planta e a taxa de crescimento da mesma, sendo que, logo no primeiro
questionamento é solicitado a altura inicial da planta, para que compreendam o ponto ou valor
inicial para o problema. Na resolução do item b esperamos que os alunos realizem as contas
de multiplicação por dois, que é o fator de crescimento, logo abaixo da tabela onde foi
deixado um espaço em branco para este fim. Fazendo essas multiplicações é possível
encontrar a relação envolvendo a potenciação de base dois.
Por já haverem estudado variáveis dependentes e independentes, esperamos que
nenhuma dupla tenha dificuldade em identificá-las no item c, já que isso é necessário para a
construção gráfica.
Pensando em orientá-los quanto a onde devem chegar, na pergunta d é solicitado que
verifiquem a relação entre os valores obtidos na tabela do item b e uma sequência de
potenciação, julgando facilitar a visualização da lei de crescimento. Ainda esperando
possibilitar uma reflexão quanto ao crescimento desta planta, nos itens e e f eles devem
construir a curva formada pelos pontos encontrados na tabela, plotando no plano cartesiano já
impresso na tarefa. Finalizando a análise do fator de crescimento é solicitado no item g que
caracterizem qual tipo de crescimento representa aquela curva: 1º Grau, 2º Grau ou uma curva
desconhecida.
Com o item h pretende-se estimular os alunos a determinar pontos não exatos do
gráfico, em tempos fora da escala da malha, ou seja, ao invés de considerar um valor natural
para o mês, foi considerado também alguns dias e solicitado que encontrem um resultado
aproximado para a altura da planta naquele tempo.
Perguntamos no item i se o gráfico é crescente ou decrescente, com o objetivo de
verificar se os alunos compreendem este conceito que pode ser analisado nos outros tipos de
funções e, se conseguem identificar esta característica neste tipo específico de função. Na
questão seguinte é necessário que os alunos pensem na situação problema para definir os
valores mínimos e máximos para tempo e altura, pois devem encontrar os pontos extremos da
mesma, fazendo isso pelas características do problema dado e pelo gráfico construído, pois
ainda não foi formalizado este tipo de função.
Buscando a formalização da função exponencial, é solicitado no item k que,
utilizando letras para as variáveis, construam uma lei de formação que melhor se ajuste ao
gráfico e aos pontos encontrados, orientados pela questão d que solicitou a verificação da
relação existente entre os cálculos e uma sequência de potenciação. Ainda seguindo a ideia de
formalização da função, baseados nos valores extremos que o problema poderia assumir, no
25
item l devem verificar o domínio e a imagem da função exponencial especificamente para esta
situação problema que receberam.
5.2. TAREFA 2 – CRESCIMENTO EXPONENCIAL E A SUA INVERSA, A
LOGARÍTMICA.
Tarefa 2 – Uma pessoa deposita em um banco a quantia de R$10.000,00, a uma
taxa de 12% ao ano e pode sacar a qualquer momento, o capital mais os juros,
denominado de Montante. Mediante informações prestadas pela instituição
Financeira, o valor a ser resgatado em qualquer instante obedece a seguinte lei de
formação: M = C∙(1 + i)t, cujas variáveis1 correspondem ao montante, o capital
depositado, a taxa de juros e o tempo da aplicação. Analisando os dados da
situação financeira, responda:
a) Determine o que representa cada variável da lei de formação:
a1) M =
a2) C =
a3) i =
a4) t =
b) Destas variáveis da lei de formação, quais possuem valores definidos na
situação problema e quais não possuem? Como fica então a lei de formação?
c) Da lei de formação obtida, qual é a variável dependente e a independente?
d) Qual é o valor do capital inicial, ou seja, o montante no tempo 0?
e) Qual será o montante aproximado no final do 1º, 2º, 3º, até o 10º ano? Utilize a
tabela abaixo para completar estes valores, iniciando do tempo 0.
Tempo
Montante
f) E ao final de t anos, qual será o montante? O que você acabou de definir?
g) Que condição deve ser imposta para t?
h) Coloque alguns dos pontos no plano cartesiano, indicando a variável
independente na horizontal e a dependente na vertical. Depois una os pontos a
partir do valor inicial.
(Continua)
1 O termo variáveis é utilizado incorretamente, sendo o correto incógnitas.
26
(Conclusão)
i) Complete uma nova tabela, apenas invertendo os valores dos pares ordenados
da tabela anterior.
Montante
Tempo
j) Coloque os pontos no plano cartesiano, com as novas coordenadas e una os
pontos. Este novo gráfico define uma nova função, a “Função Logarítmica”.
k) Os gráficos definem funções crescentes ou decrescentes?
l) Determine o domínio e a imagem das funções referentes a esta situação
problema.
m) Pensando em outra situação, se a sua dívida cresce como o gráfico
Exponencial e seus rendimentos como o gráfico Logarítmico, o que você pode
concluir?
n) Se, porém, os seus rendimentos crescem como o gráfico Exponencial e suas
dívidas como o gráfico Logarítmico, o que você conclui?
Quadro 2: Tarefa 2
Fonte: (PEREIRA, 2010, p. 35 e 36)
10'000
11'000
12'000
13'000
14'000
15'000
16'000
17'000
18'000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10'0
00
11
'000
12'0
00
13'0
00
14'0
00
15'0
00
16'0
00
17'0
00
18'0
00
27
A situação problema envolvendo a Matemática Financeira e juros compostos,
objetiva apresentar um modelo de crescimento exponencial. Caracteriza-se o juro composto
por acrescentar em cada incidência de juros, seu valor ao capital, do que resulta que nas
incidências sequenciais também haverá o “juro do juro”, além do juro do capital, implicando
em um crescimento cada vez maior, o qual gera o montante.
Inicialmente, no item a é solicitado que definam o que representa cada uma das
incógnitas descritas na lei de formação da situação de juros compostos M = C (1 + i)t, sendo
M = montante, C = capital, i = taxa de juros e t = tempo, e questionado logo na pergunta
seguinte qual delas possuem valores já definidos na situação problema, para que assim
possam reescrever a lei de formação com os valores já conhecidos, a qual se trata de uma
função exponencial. Estas grandezas desempenham um papel importante no contexto
financeiro, pois relacionam a variável independente t e a variável dependente M, a partir dos
valores das incógnitas como parâmetros, sendo questionada esta classificação das variáveis na
pergunta c.
No problema são dados os valores do capital e da taxa de juros, sendo possível assim
descobrir o montante em cada período, multiplicando o montante atual pela taxa de juros,
sendo que o montante no tempo inicial é equivalente ao capital depositado, o que deveria ser
verificado pelas duplas no item d. A fim de que analisem o crescimento desta situação,
solicitamos no item e que calculem os valores e preencham na tabela os montantes até o final
do 10º ano. Para encontrar estes valores, devem acrescentar a cada montante o valor dos juros,
ou seja, multiplicar o montante atual por 1,12, iniciando pelo capital depositado e obtendo os
seguintes valores: M1 = R$ 11 200,00; M2 = R$ 12 544,00; ... ; M10 = R$ 31 058,48.
Após completarem a tabela com os valores, é questionado na pergunta f qual o
montante ao final de t anos, esperando que formalizem a lei de formação como uma função
exponencial em que o montante depende do tempo de aplicação. Em seguida, na pergunta g os
alunos são questionados quanto à condição a ser imposta para o tempo nesta situação, de
modo que se questionem em relação aos valores mínimos e máximos para o tempo e o
montante.
Através da representação gráfica dos valores obtidos esperamos proporcionar no item
h mais uma possibilidade para compreensão do crescimento exponencial, o qual é tão maior
quanto maior é o valor para o tempo. A curva formada pelos pares ordenados dos valores (t ,
M) é uma curva exponencial, semelhante àquela da Tarefa 1.
É possível perceber claramente que se trata de uma função crescente, pois os valores
de ambas as variáveis estão crescendo. Assim, é solicitado no item i que os alunos completem
28
uma nova tabela de valores, apenas invertendo as posições de tempo e montante, de modo a
obterem os pares ordenados (M , t), os quais ao serem plotados no gráfico no item j
continuam constituindo uma função crescente, já que ambas as variáveis permanecem
crescendo, porém, esse crescimento é muito mais lento do que no caso anterior. Esta nova
curva obtida com os valores inversos do caso da exponencial é a logarítmica, a qual se
caracteriza também por possuir todos os pontos simétricos com os da exponencial, em relação
à bissetriz do 1º quadrante. A fim de verificar se realmente os alunos identificavam essas
funções como crescentes, questionamos os alunos na pergunta k quanto a esta característica.
Para finalizar é solicitado no item l que os alunos definam os intervalos de domínio e
imagem de ambas as funções, com base nesta situação problema e posteriormente são feitos
dois questionamentos, m e n, quanto ao fator de crescimento de ambos os modelos,
exponencial e logarítmica, a fim de evidenciar que a curva exponencial tem um crescimento
muito mais rápido e a logarítmica mais lenta.
5.3. TAREFA 3 – CARACTERIZANDO AS FUNÇÕES EXPONENCIAL E
LOGARÍTMICA COMO INVERSAS E PERCEBENDO SUAS CARACTERÍSTICAS
Tarefa 3 – Análise das características das funções inversas (exponencial e
logarítmica), a partir da situação problema da 1ª tarefa. (GeoGebra 3.0.0.0)
a) Crie um seletor utilizando o item “seletor” na 9ª opção de ferramentas, o qual
será nomeado automaticamente de a e altere o intervalo mínimo para 1.1. Deixe
inicialmente no valor 2.
b) Construa o gráfico f(x)=a^x.
c) Construa a bissetriz do 1º e 3º quadrantes, criando a reta y=x.
d) Utilizando na 2ª opção de ferramentas “Novo ponto”, clique na reta que acabou
de ser construída, criando o ponto A.
e) Construa uma reta perpendicular à bissetriz. Na 4ª opção de ferramentas o item
“reta perpendicular”, clique na reta bissetriz e no ponto A.
f) Construa um ponto de interseção entre a reta perpendicular criada e a curva da
função, utilizando na 2ª opção de ferramentas o item “Interseção de Dois Objetos”.
Será nomeado automaticamente de B.
(Continua)
29
(Conclusão)
g) Utilizando agora o item “Reflexão com Relação a uma Reta”, que está na 8ª
opção de ferramenta, clique no ponto B que acabou de ser criado e na reta
bissetriz (y=x). Será criado um novo ponto automaticamente B’.
h) Clique agora com o botão direito do mouse no ponto B’, e em seguida clique em
“Habilitar Rastro”.
i) Agora, movimentando o ponto A no sentido da bissetriz, será formada pelo rastro
a curva inversa da Exponencial, que é a Logarítmica.
i1)O que você pode dizer destas duas curvas pela visualização gráfica?
j) Crie os pontos P=(2,4) e Q=(3,8) e também os pontos inversos P’=(4,2) e
Q’=(8,3).
j1)O que você visualiza em relação aos pontos e às curvas das funções
inversas?
Quadro 3: Tarefa 3
Fonte: O Autor
Buscando oportunizar aos alunos diferentes tipos de registros do conteúdo de funções
exponencial e logarítmica, optou-se por utilizar o software GeoGebra, o qual possibilita
grande dinamismo nas construções dos gráficos das funções. Com sua utilização pretendemos
mostrar geometricamente as características existentes na relação de inversão entre as funções
exponencial e logarítmica, como a simetria dos pontos de ambas as curvas em relação à
bissetriz do 1º quadrante e a compreensão dos pontos com coordenas opostas nas curvas.
Inicialmente os alunos deverão ser deslocados até o laboratório de informática, para
realizarem as construções conforme roteiro apresentado. Para facilitar as construções os
alunos serão organizados em duplas, sendo um computador por dupla, todos com o GeoGebra
já instalado.
Com estas construções espera-se possibilitar aos alunos a compreensão da função
logarítmica como sendo a inversa da função exponencial e o que isso significa, quais as
consequências desta inversão e principalmente o que ela representa.
30
5.4. TAREFA 4 – CARACTERÍSTICAS DAS FUNÇÕES EXPONENCIAL E
LOGARÍTMICA QUANTO À MUDANÇA DA BASE
Tarefa 4 – Estudo de mudança de base nas funções exponenciais e suas
consequências nas funções logarítmicas:
a) Inicialmente construa o gráfico da função logarítmica g(x)=log(x)/log(a).
b) Clicando com o botão direito na curva do gráfico, entre em propriedades e altere
a cor dos dois gráficos para facilitar suas visualizações.
c) Varie o valor do seletor entre 1.1 e 5 para verificar:
c1) O que ocorre com a função exponencial nesta variação da base?
c2) O que ocorre com a função logarítmica?
c3) Quais as características comuns às duas funções nesta variação?
d) Clicando com o botão direito sobre o seletor e na opção propriedades, altere o
intervalo mínimo para 0.1.
d1) O que ocorre quando a base é 1? Por que isto ocorre?
d2) Quanto aos gráficos com valores da base entre 0 e 1. Quais as
características do gráfico exponencial? E do gráfico logarítmico?
e) Altere agora o intervalo mínimo do seletor para -5.
e1) O que ocorre com os gráficos quando a base é 0 ou negativa?
e2) Em quais intervalos as funções exponencial e logarítmica existem?
Quando elas são crescentes? E quando são decrescentes?
e3) Determine domínio e imagem das funções exponencial e logarítmica.
Quadro 4: Tarefa 4
Fonte: O Autor
Esta tarefa também tem objetivo de possibilitar aos alunos a utilização do software
GeoGebra, de grande dinamismo nas construções gráficas, para visualização dos efeitos
resultantes na mudança da base das funções. Com estas análises esperamos que reflitam
quanto ao domínio e à imagem das funções, verificando para quais intervalos de base a função
existe e em que momentos ela é crescente ou decrescente.
Inicialmente devem construir a função exponencial f(x)=ax e sua inversa, a
logarítmica (log x) / (log a), sendo que a é uma incógnita definida pelo valor do seletor criado
no GeoGebra e esta forma de escrita da função logarítmica se dá pelas propriedades de
mudança de base, pois a função que nos interessa é loga x, porém, não é possível construí-la
utilizando esta maneira de escrita pelo fato do software aceitar apenas base 10 ou ℮.
31
Utilizamos, portanto, a propriedade que define que uma função logarítmica pode ser escrita
como o logaritmo do logaritmando da função original em uma base “p” qualquer, dividido
pelo logaritmo da base da função original na base “p” escolhida.
Para as primeiras análises é solicitado que o intervalo do seletor, no caso o valor para
a base a, seja fixado com valores entre 1,1 e 5, para que visualizem como em todos os casos
neste intervalo as funções são crescentes, sendo esse crescimento cada vez mais rápido na
função exponencial, quanto maior for o valor da base e o crescimento mais rápido na função
logarítmica, quanto menor for o valor da base se aproximando do 1.
Posteriormente as conclusões tiradas no intervalo de 1,1 a 5, solicita-se que alterem o
intervalo mínimo para 0,1 ficando, portanto, de 0,1 até 5. Com esta expansão do intervalo
para valores menores do que ou igual a 1, esperamos que percebam e reflitam quanto ao fato
de a função exponencial tornar-se uma reta constante nos pontos (x , 1), ou seja, quando a
base é 1. Isto ocorre, pois 1 elevado a qualquer valor que x resulta em 1. Outra observação
que pode ser realizada é que quando o valor da base está entre 0 e 1 as funções tornam-se
decrescentes, sendo esse decrescimento cada vez mais rápido na função exponencial, quanto
mais o valor da base se aproxima de 0 e, inversamente na função logarítmica, o decrescimento
ocorre mais rapidamente quanto mais o valor da base se aproxima do 1.
Na última alteração do intervalo para valor da base solicita-se que deixem o valor
mínimo em -5, para que sejam estudados os casos de base 0 e negativa. Quando a base é 0 o
que se verificava no gráfico da função exponencial é uma constante sobre o eixo das abcissas
para os valores de x maiores do que 0, sendo justificado pelo fato de que quando se tem 0
elevado a qualquer valor positivo de x, o resultado é igual a zero, não existindo porém
resultado para quando o valor de x é 0 ou negativo. Neste caso, a função logarítmica se
caracterizaria por uma reta sobre o eixo das ordenadas, portanto, a função não está definida
para essa base.
Quanto às verificações para o valor de base negativa, observa-se que ambas as
funções “somem” do gráfico. Isto ocorre porque as funções exponencial e logarítmica não
estão definidas para estes valores de base e uma consideração que pode ser feita como
justificativa é que no caso de base negativa e expoente fracionário, temos a raiz de um número
negativo, que não admite resposta para os números reais.
Ao final é proposta uma análise quanto ao domínio e imagem de ambas as funções,
pois esta verificação pode ser feita de forma informal pensando em quais intervalos de base
existem os gráficos destas funções e, nos casos de existência, quais são os valores possíveis
32
para o eixo das abcissas, sendo neste caso o domínio da função e quais são os valores
resultantes no eixo das ordenadas, que constituem a imagem da função.
Como as tarefas 3 e 4 estão previstas para serem realizadas simultaneamente em um
mesmo dia de aula, os questionamentos que estão grifados nestes planos serão entregues
separadamente, com a numeração de 1 até 10 na mesma sequência encontrada nos planos e
deverão ser respondidas imediatamente após a visualização das construções. Abaixo podemos
ver o quadro com os dez itens:
1 – O que você pode dizer destas duas curvas pela visualização gráfica?
2 – O que você visualiza em relação aos pontos e às curvas das funções inversas?
3 – O que ocorre com a função exponencial nesta variação da base?
4 – E com a função Logarítmica, o que acontece nesta variação da base?
5 – Quais as características comuns às duas funções nesta variação de base?
6 – O que ocorre quando a base é 1? Por que isto ocorre?
7 – Quanto aos gráficos com valores da base entre 0 e 1. Quais as características
do gráfico exponencial? E do gráfico logarítmico?
8 – O que ocorre com os gráficos quando a base é zero ou negativa? Por quê?
9 – Em quais intervalos as funções exponencial e logarítmica existem? Quando
elas são crescentes? E quando são decrescentes?
10 – Determine domínio e imagem das funções exponencial e logarítmica.
Quadro 5: Itens das Tarefas 3 e 4
Fonte: O Autor
33
6. RELATO DA APLICAÇÃO DA PROPOSTA DE ENSINO
6.1. APLICAÇÃO
As Tarefas aqui relatadas foram aplicadas em uma turma de 1º Ano do Ensino Médio
de um colégio público em União da Vitória – PR, no período regular de aula, sendo utilizadas
10 aulas para sua aplicação, as quais ocorreram em 5 dias com 2 aulas sequenciais de 50
minutos cada. Estas aulas foram apenas no período diurno com um contingente de 35 alunos.
Como as aulas seguiam uma perspectiva investigativa, sendo nas duas primeiras tarefas
utilizada a metodologia de Resolução de Problemas e nas duas últimas o auxílio da
Tecnologia com o software de geometria dinâmica GeoGebra, a sua execução foi realizada
em duplas, visando a interação entre os alunos e possibilitando discussões das questões a
serem respondidas com o mínimo de interferência possível do professor, apenas através de
incentivos e mediações. As duplas são identificadas por letras de A até S, de modo a preservar
a identidade dos alunos.
6.2. TAREFA 1
Seguindo o planejamento, os alunos foram organizados em duplas para sua resolução
e ficou a critério deles próprios formarem as duplas. Notou-se que os alunos apresentavam
dificuldades básicas dos conteúdos necessários para a realização das tarefas, o que resultou
uma enorme demora em sua realização, superior ao que estava planejado.
Como a proposta da tarefa assumiu características exploratórias investigativas, a
descrição será dividida em dois momentos para as considerações: durante a realização das
tarefas, em que o professor estava apenas incentivando e mediando com poucas interferências;
e o momento das discussões, no qual os alunos apresentavam seus pontos de vista e resultados
para reflexão quanto às respostas obtidas e processos utilizados.
34
6.2.1. Realização da Tarefa 1
Após a leitura e compreensão do enunciado do problema, que envolvia o crescimento
de uma planta, a qual dobrava de tamanho a cada mês, os alunos responderam alguns
questionamentos que culminaram na exploração das ideias que constituem uma função
exponencial, descritas no quadro 2.
No primeiro questionamento nenhuma das duplas teve dificuldade em realizar, pois
bastava retirar a informação do problema, de qual era a altura inicial da planta. Já na pergunta
seguinte, na qual foi disponibilizada uma tabela, onde deveriam ser preenchidos os valores
correspondentes ao tempo e altura da planta do 1º até o 10º mês, verificou-se que algumas
duplas tinham muita dificuldade e não conseguiam calcular a altura da planta. Para a maioria
delas, o que faltava era a interpretação do problema, pois após serem orientados a ler
novamente, entenderam que a cada final de mês a planta teria o dobro da altura do mês
anterior e assim resolveram facilmente. Porém, duas duplas não sabiam como calcular o
dobro, o que segundo suas respostas seria adicionar 2 cm a cada mês; neste caso foi
necessário orientá-los quanto ao significado de dobro para então resolverem a questão.
Na pergunta c foi possível observar que os alunos não estão acostumados a realizar
este tipo de tarefa, na qual devem independentemente interpretar as situações e discutir o que
pensam. Isto porque uma grande quantidade de duplas fazia perguntas do tipo “o que é pra
fazer nessa questão?” ou “está certa esta resposta?” revelando a enorme dependência dos
alunos, mas que após as orientações todas as duplas resolveram esta pergunta corretamente.
Com certeza uma pergunta que era de extrema importância para o objetivo geral da
tarefa era a questão d, a qual solicitava que verificassem a relação existente entre a
potenciação e os valores obtidos. Porém, todas as duplas tiveram muita dificuldade, pois
inicialmente eles entenderam que as respostas deveriam ser apenas “sim, existe” ou “não
existe”. Para corrigir este problema, foi necessário orientá-los de que havia sim uma relação
dos valores encontrados para tempo e altura com uma sequência de potenciação e então eles
deveriam descobrir qual era. Ainda assim, poucas duplas conseguiram fazer, mostrando que
eles não estão muito familiarizados com a utilização da potenciação, tornando mais difícil o
ensino do conteúdo. Dentre as duplas que responderam a questão, podemos destacar uma, que
conseguiu interpretar exatamente como a potenciação descrevia aquela situação.
35
Quadro 6: Tarefa 1 item d – Dupla G
Fonte: Dados da Pesquisa
A seguir, no item e os alunos deveriam construir o gráfico com os valores obtidos
para tempo e altura, iniciando com a plotagem dos pontos e posteriormente traçando-o.
Apesar de já termos disponibilizado o plano cartesiano para facilitar sua construção, ainda
assim muitas duplas não resolveram sem o auxílio do professor.
Com algumas interferências individuais, todas as duplas conseguiram resolver o que
era pedido, sendo que a maior parte desenhou o gráfico corretamente seguindo os pontos que
tinham, com um traçado em uma perspectiva de curva que ela se apresentava, como podemos
ver abaixo no gráfico realizado pela dupla D. Algumas duplas, porém, mostraram enorme
dificuldade em deixar a ideia linear e traçaram seus gráficos nestas perspectivas, como
verificamos abaixo na construção da dupla E:
Quadro 7: Tarefa 1 item e – Duplas D e E
Fonte: Dados da Pesquisa
Boa parte das duplas relacionou a curva obtida como sendo uma curva do 2º grau, ao
responder o item g quanto ao tipo de curva descrita pelo gráfico construído, evidenciando
36
assim a familiarização dos mesmos com as parábolas encontradas naquele tipo de função, já
que visualmente neste intervalo para valores da abcissa de 0 a 4, como vimos nas imagens dos
gráficos anteriores, se assemelha muito a uma parte de uma parábola com concavidade para
cima e próximo ao seu vértice. Outras duplas justificaram escolher a opção curva
desconhecida por estarem estudando um novo conteúdo e não mais função do 2º grau.
Seguindo a interpretação visual do gráfico, no item h solicitamos que os alunos
determinassem valores aproximados para a altura a partir de valores não exatos de tempo,
quando foi possível observar a tendência linear do raciocínio utilizado para a determinação
dos pontos, sendo encontrando valores como 6 para “h1”, 10 para “h2” e 26 para “h3”.
Na pergunta i todos os alunos responderam sem dificuldade que se tratava de uma
função crescente, justificando que tanto o tempo quanto a altura estavam sempre crescendo.
A partir da questão j poucas foram as duplas que tiveram tempo para realizá-las,
principalmente devido à demora na resolução dos itens anteriores, causado por dificuldades
com conhecimentos que eles deveriam possuir e pela dependência pelo professor para
realização das questões. Aqueles que responderam sobre a existência de um valor extremo
num determinado ponto do gráfico, declararam como valor extremo o ponto (0,1) que se
refere ao tempo inicial e a altura neste instante. Algumas duplas ainda colocaram o ponto
(4,16) por se tratar do último ponto construído no plano cartesiano que lhes foi entregue, sem
se questionar, porém, se seria o tempo e altura máxima possível na situação.
Para a formalização de uma lei de formação que melhor se ajustasse ao gráfico e aos
valores encontrados era imprescindível a realização da questão d, visto que naquela pergunta
deveria ser verificada a relação dos pontos encontrados com uma sequência de potenciação, a
qual era obtida a partir da aplicação da lei de formação nos pontos solicitados e para sua
formalização bastava pensar na altura resultante em algum tempo qualquer, ou seja, deixando
estas duas grandezas como variáveis. As duplas que conseguiram chegar ao resultado
responderam 2t.
No último questionamento, quanto ao domínio e imagem da função referente a esta
situação, poucas foram as duplas que responderam e as que fizeram apenas destacaram como
sendo domínio o tempo e imagem a altura da planta, sem definir os intervalos, apesar de ter
faltado apenas relacionar com suas conclusões da questão j, referente aos extremos.
37
6.2.2. Discussões Após a Realização da Tarefa 1
No momento final da aula quando deveriam ocorrer as discussões, que seriam então
mediadas pelo professor, ocorreu de forma bastante forçada, havendo pouquíssima
participação dos alunos e muita “participação” do professor, o que caracterizou mais como
uma correção dos problemas, diferentemente do que se pretendia no planejamento. Pode-se
destacar alguns fatores que contribuíram para isso:
1. O tempo hábil para realização: após a aplicação da tarefa programada ficou claro que
o tempo reservado para sua realização não permitiu sua conclusão, visto que diversas
duplas apresentaram muitas dúvidas básicas, refletindo em um andamento lento na
realização da tarefa e isto implicou na falta de tempo para discussão das respostas
dadas pelos alunos.
2. Falta de familiarização dos alunos com a metodologia: durante a realização das
tarefas ficou evidente como os alunos são dependentes da orientação do professor para
resolução das questões. Dificilmente deparava-me com uma dupla discutindo quanto a
possíveis formas ou ideias para resolver a situação, naturalmente eles paravam e
esperavam que o professor lhes orientasse como fazer. Estas atitudes exigiam
demasiada atenção do professor e consequentemente muitas orientações que tiravam o
foco investigativo proposto para tarefa. Porém, sem estas orientações muitas duplas
não avançavam na resolução das questões e isto implicou o atraso na etapa de
resolução, sobrando muito pouco tempo para as discussões.
3. Falta de familiarização do professor com a metodologia: pelo fato de esta aula ter
sido a minha primeira experiência prática com a metodologia de Resolução de
Problemas numa perspectiva exploratória e investigativa, inicialmente havia muita
insegurança quanto ao fato de os alunos não conseguirem realizar o que se pedia e
haver uma desmotivação, acarretando consequências que influenciariam na avaliação
quanto ao trabalho do professor. Devido a esta insegurança, algumas vezes os auxílios
às duplas ultrapassavam o sentido de “auxiliador” para o raciocínio, transformando-se
auxílio para as respostas.
Pode-se destacar a insegurança do professor, agregada à postura “passiva” dos alunos
e o curto tempo para realização do plano de aula como possíveis causas da falha no momento
de discussão das respostas obtidas, quando claramente ocorreu a correção das respostas.
38
6.3. TAREFA 2
O planejamento para esta tarefa seguia as mesmas perspectivas da tarefa anterior, em
que os alunos foram organizados em duplas, sendo que a maioria ficou como já estavam para
realizarem o problema de forma investigativa. Muitos dos itens eram semelhantes àqueles
feitos anteriormente, pois o conteúdo trabalhado era o mesmo, diferenciando apenas o
objetivo final de ensino, que pode ser verificado no Quadro 3. Novamente os alunos
apresentaram dificuldades básicas na realização das tarefas, inclusive em simples cálculos de
multiplicação, mesmo com a possibilidade de utilização da calculadora, resultando assim no
mesmo problema da falta de tempo ocorrido na tarefa anterior.
6.3.1. Realização da Tarefa 2
A resolução dos questionamentos feitos, baseados em uma situação problema
envolvendo a Matemática Financeira e Juros Compostos, teve o objetivo principal de
introduzir a função logarítmica como inversa da função exponencial.
Nesta situação problema proposta considera-se uma aplicação financeira em que são
definidos o valor depositado e a taxa de juros e, além disso, a lei de formação do capital
utilizada pela instituição financeira descrita através de incógnitas, as quais são erroneamente
chamadas na tarefa de variáveis, seguido do significado destas incógnitas sem relacioná-las.
No primeiro item os alunos deveriam relacionar as incógnitas da lei de formação com
seu significado. O objetivo era que os alunos lessem várias vezes o problema para
compreendê-lo e consequentemente identificassem o que representava cada uma daquelas
incógnitas. Após, porém, algumas duplas terem caracterizado as incógnitas da lei de formação
de forma incorreta e por isso obterem uma lei de formação diferente da proposta, concluímos
que não foi produtivo deixar a cargo dos alunos esta interpretação, mas que deveria ser dada
diretamente nas informações do problema. Ao verificar que o erro ocasionado por esta
questão mal formulada poderia comprometer toda a tarefa de algumas duplas, auxiliamos na
sua interpretação para que todos entendessem “corretamente”.
Na questão seguinte também houve um equívoco em sua formulação, pois
perguntávamos quais das variáveis da lei de formação possuíam valor definido na situação
problema, porém, neste caso não se trata de variável e sim de incógnita. Este equívoco foi
verificado durante a própria aplicação da tarefa e reformulado durante sua resolução, sendo
explicado às duplas que o que se questionava era quais das incógnitas da lei de formação
39
possuíam valores definidos na situação problema e quais eram variáveis, acrescentando ainda
que escrevessem como ficaria a lei de formação com a utilização destes valores dados no
lugar da incógnita. Após a correção dos equívocos na questão e explicação do que deveria ser
feito, todas as duplas conseguiram resolveram sem dificuldade.
Para a pergunta c todas as duplas demostraram bastante segurança em classificar as
duas variáveis da lei de formação como dependente e independente, ficando o tempo como
independente e o montante dependente. Possivelmente essa facilidade em responder seja
resultado da tarefa anterior em que houve uma questão bastante semelhante.
A pergunta d, que solicitava o valor do capital inicial, o qual era o montante no
tempo zero, teve objetivo de que, além da simples retirada da informação dada no problema,
as duplas refletissem sobre como ficaria a situação descrita pela lei de formação, ou seja,
aplicassem o tempo zero na lei de formação, o qual seria o valor do capital depositado. Todas
as duplas responderam a questão corretamente, mas nenhuma delas pareceu discutir como
ficaria a lei de formação nesta situação.
De forma bastante semelhante ao que foi feito na tarefa 1, foi solicitado que
preenchessem uma tabela de valores com o montante arrecadado ao final de alguns anos, o
que era resolvido acrescentando a cada final de ano os juros sobre o montante acumulado. Os
alunos apresentaram bastante dificuldade para realização dos cálculos. Um dos obstáculos
pode ter sido o fato de esta multiplicação apresentar números decimais, apesar de algumas
duplas não conseguirem realizar o cálculo nem mesmo com a utilização da calculadora. Como
o objetivo da tarefa não era a prática dos cálculos, após um momento para que as duplas
discutissem, foi realizado em conjunto com a sala estes cálculos, com arredondamento de
duas casas depois da vírgula.
Depois de realizarem os cálculos e terem encontrado os valores do montante até o
décimo mês, foi solicitado na questão f que descrevessem a lei de formação para saber o
montante ao final de t anos, ou seja, a função que poderia ser utilizada para calcular o
montante em qualquer tempo desejado. Pelas respostas dadas pelos alunos eles não
compreenderam que o objetivo era a formalização desta lei de formação e muitas duplas
acabaram calculando o valor do montante para algum tempo qualquer, mostrando que eles
responderam sem se questionar. A maioria das duplas, porém, alcançou o objetivo da questão,
descrevendo a função e caracterizando-a, como vemos nas respostas dadas:
40
Dupla G
Dupla S
Quadro 8: Tarefa 2 item f
Fonte: Dados da Pesquisa
Na pergunta g, foi solicitado que verificassem qual condição deveria ser imposta para
t, ou seja, para o tempo na situação proposta. As respostas dadas pelas duplas dividiram-se em
“o tempo deve ser maior do que zero” e “qualquer valor para tempo”, ficando como discussão
para o final da tarefa no momento dos debates.
Posteriormente, no item h, os alunos deveriam construir o gráfico a partir dos pontos
que haviam encontrado na tabela de valores do montante, desde o valor inicial até o décimo
ano, ou, quanto fosse possível pela limitação dos pontos do plano cartesiano. Foi
disponibilizado o plano cartesiano já contendo o eixo com valores e uma malha passando por
esses pontos para a construção da curva, diferindo da tarefa anterior que os pontos não eram
exatos, não estando os pontos exatamente nas interseções da malha, o que pode ter dificultado
para algumas duplas sua construção. Além disso, pela grande dispersão dos dados, os valores
não seguiram uma perfeita escala, tendo sido utilizadas escalas diferentes para tempo e
montante. Estas questões podem ter influenciado o fato de que alguns dos gráficos ficaram na
forma linear, passando exatamente pelas interseções da malha, porém outros foram
construídos corretamente, ficando as discussões das respostas encontradas para o momento
dos debates. A seguir vemos alguns dos gráficos construídos:
41
Quadro 9: Tarefa 2 item h – Duplas G e S
Fonte: Dados da Pesquisa
No item i, os alunos deveriam copiar os valores encontrados na tabela do item e,
apenas invertendo as coordenadas, o que inverteria os pares ordenados para a construção do
gráfico no item j, inverso ao construído anteriormente. Em ambas as questões não houve
muito questionamento por parte dos alunos, pois as orientações estavam bem claras do que
eles deveriam fazer, percebendo-se que aquelas duplas que haviam chegado em funções
lineares pela errada aplicação dos pontos, o fizeram novamente e os que construíram
corretamente a exponencial também o fizeram nesta logarítmica.
A questão k discutia a classificação das funções como crescentes ou decrescentes, a
qual todas as duplas responderam corretamente como sendo crescentes.
No item l solicitava-se o domínio e imagem de ambas as funções construídas
graficamente, caracterizadas pela situação problema. Assim como na tarefa 1, os alunos
demonstraram bastante deficiência quanto à definição destas propriedades, pois não
compreendiam o que deveriam responder. Após serem orientados quanto aos significados de
domínio e imagem, como sendo os valores possíveis para o tempo e montante
respectivamente na função exponencial e o inverso na logarítmica, ainda assim algumas
duplas tiveram dificuldade na resolução da mesma.
Ainda para reforçar a análise do fator de crescimento das funções, as perguntas m e n
exploravam este comportamento solicitando que as duplas verificassem qual o resultado da
situação de crescimento das arrecadações em uma das perspectivas de função, enquanto a
dívida crescia conforme as características da outra. As conclusões deveriam ser inversas nas
duas perguntas, pois as situações se invertiam, porém algumas duplas disseram não haver
diferença, enquanto a maioria relatou corretamente as consequências.
42
6.3.2. Discussões Após a Realização da Tarefa 2
No momento das discussões da tarefa 2, foram verificadas maiores participações dos
alunos em comparação com a tarefa 1, porém, ainda assim houve demasiada “participação” do
professor na perspectiva de correção. Uma característica vista em ambas as tarefas foi a falta
de tempo para as discussões. Pela demora dos alunos na resolução da tarefa, o momento final
foi bastante atropelado, com o professor tendo que forçar algumas respostas para ser possível
a discussão de todas as questões.
Como os itens a até e já haviam sido discutidos durante a realização da tarefa, devido
aos equívocos em suas formulações, foram apenas verificadas as respostas dadas pelas duplas,
as quais praticamente todos responderam corretamente. No item a já havia sido discutido
anteriormente o significado de cada uma das incógnitas. Já na questão b, que teve uma
orientação maior devido ao problema na formulação, os alunos apenas destacaram que os
valores definidos estavam dados na situação problema e as variáveis eram as incógnitas que
não tinham os valores dados. Substituindo os valores nas incógnitas, definiram como ficou a
lei de formação nesta situação problema.
Quanto às variáveis dependentes e independentes houve apenas argumentação de que
o montante dependia do tempo para aumentar e, portanto, era dependente, enquanto o tempo
não dependia de outra variável, portanto independente. Para justificar a resposta dada na
questão d, disseram apenas que o capital inicial era dado na situação problema, sem analisar o
fato de se tratar do montante no tempo zero e como ficaria a lei de formação aplicada neste
tempo. Quanto aos valores obtidos na tabela de valores do 1º até o 10º mês, justificaram que o
fizeram multiplicando a taxa de juros sobre o montante a cada mês, porém nenhuma das
duplas organizou a ideia dos cálculos no espaço para o fazerem, demonstrando que apenas
lhes interessava o valor do resultado e não a forma como chegaram até ele.
Na questão f nenhuma das duplas fez comentários quanto às suas respostas,
caracterizando que não estavam seguros do que haviam feito e verificado posteriormente que
a maioria havia aplicado a lei de formação para algum tempo qualquer, sempre preocupados
com o resultado. Já na pergunta g, que tínhamos por objetivo possibilitar aos alunos
discussões quanto ao intervalo possível de se admitir ao tempo para a situação dada, foi
possível notar durante as discussões que realmente foi realizada esta reflexão, pois os
comentários feitos buscavam retratar o que poderia acontecer na situação problema, apesar de
algumas duplas terem chegado a conclusões erradas, mas compreenderem após as discussões.
43
Quanto à construção do gráfico no item h, teve como objetivo possibilitar a visão de
um tipo diferente de registro, caracterizando uma forma de crescimento que não ocorre de
forma linear, mas sim exponencialmente, descrevendo uma curva pelos pontos e não uma
reta. A maioria das duplas realizou corretamente a construção do gráfico, não havendo muitos
comentários da questão no momento das discussões.
Pensando em alcançar a compreensão da função inversa da exponencial, a
logarítmica, no item i os alunos deveriam construir uma tabela de valores com os pares
ordenados invertidos em relação à tabela anterior e na questão seguinte plotar esses pontos no
plano cartesiano, construindo o gráfico logarítmico. A maioria das duplas não teve dificuldade
em preencher a tabela de valores e nem em construir o gráfico, porém, não souberam
interpretar corretamente a situação, pois, para a maioria, ambos os gráficos representavam a
mesma situação, já que relacionavam as mesmas variáveis e os mesmos pontos. Um último
comentário feito referente a esses gráficos por uma das duplas, questionou a igualdade dos
gráficos, dizendo que no primeiro o crescimento era muito mais rápido e no outro o
crescimento era mais lento, não se focando na questão das variáveis mas apenas na curva
descrita pelo gráfico.
Todas as duplas descreveram ambos os gráficos como crescentes, a partir do
questionamento da pergunta k, relatando que em ambas as variáveis o valor estava
aumentando.
Foi solicitado no item l que determinassem o domínio e imagem de ambas as funções
referentes à situação problema, sobre o que os alunos demonstraram grande deficiência
quanto à definição, pois nenhuma das duplas havia resolvido. Para possibilitar aos alunos a
análise desta questão, foram orientados sobre o que é o domínio e a imagem, classificando
respectivamente como valores possíveis para a variável independente, portanto o tempo, e
valores possíveis para a variável dependente, caracterizado pelo montante, os quais eles
identificaram simplificadamente como “x” e “y”. Baseados nesta orientação, os alunos
concluíram que o domínio para o caso da 1ª função era os valores possíveis para o tempo,
enquanto a imagem era os valores resultantes para o montante. Considerando o domínio e
imagem da função inversa, o montante passou a se caracterizar como o domínio e o tempo
como a imagem.
As perguntas m e n tinham como objetivo que os alunos comparassem o fator de
crescimento das duas funções encontradas nesta situação problema, ou seja, a exponencial e a
logarítmica. Esperávamos que por meio da visualização gráfica fosse fácil determinar a
função exponencial como tendo um crescimento muito mais rápido do que a função
44
logarítmica, que cresce muito mais lentamente. Pelas respostas encontradas, porém,
observamos que muitos não interpretaram corretamente esta inversão, pois definiram como
ambas tendo exatamente o mesmo crescimento, visto que relacionavam os mesmos pontos,
apenas invertidos. Durante as discussões foi explicitada a diferença de crescimento das
funções e melhor estruturada a ideia dos pares ordenados inversos e seus respectivos gráficos.
Apesar da falta de tempo para o momento das discussões, o que obrigou conduzi-las
o mais rápido possível, formalizando rapidamente as respostas corretas, ainda assim, houve
participação dos alunos na maioria dos itens da tarefa, o que aproximou mais sua realização
com o objetivo proposto na metodologia de Resolução de Problemas.
6.4. TAREFA 3
Na realização desta 3ª tarefa planejamos a utilização das Tecnologias, mais
especificamente o software de geometria dinâmica GeoGebra, com o objetivo de analisar,
através destes diferentes registros de representação algumas características que evidenciavam
a função exponencial e logarítmica como inversas entre sí. Para sua aplicação decidimos levar
os alunos até o laboratório de informática onde formaram duplas e fizerem as construções no
software a partir das orientações dadas, sendo assim possível uma maior interação entre os
alunos e a tarefa e consequentemente maior compreensão do que estava sendo ensinado.
Algumas duplas tiveram bastante dificuldade durante as construções, provavelmente
ocasionada pela falta de habilidade dos mesmos na utilização destas Tecnologias e isto
implicou em uma grande “perda” de tempo com orientações individuais destas construções.
Outro grande problema encontrado foi com o espaço físico do laboratório que não suportava
uma quantidade tão grande de alunos, ficando todos muito apertados e sendo bastante difícil o
acesso até eles.
6.4.1. Realização da Tarefa 3
Inicialmente tivemos alguns problemas com os computadores, os quais eram
desligados pelos próprios alunos com o intuito de atrapalhar o começo da aula, mas que logo
foram resolvidos. Quanto ao software, estava instalado em todas as máquinas a mesma
versão, facilitando assim as construções.
A maioria das duplas teve facilidade em seguir as instruções que eram dadas para a
realização das construções, as quais eram passadas a partir de uma lista de orientações, e
45
também construídas com a utilização do projetor multimídia. Algumas duplas, porém,
necessitaram de ajuda individual, demonstrando extrema dificuldade em trabalhar com esta
Tecnologia, apesar de a turma já ter realizado outras atividades utilizando este mesmo
software.
Após todas as duplas terem finalizado a construção do gráfico das duas funções,
foram realizados os questionamentos, sendo o primeiro em relação as duas curvas das
funções, do que foi notado pouco interesse por parte da turma, pois houve pouquíssimas
considerações em relação aos gráficos, limitando-se às considerações feitas a seguir:
Dupla A
Dupla J Quadro 10: Tarefa 3 item 1
Fonte: Dados da Pesquisa
Para o segundo questionamento foi solicitado que plotassem alguns pontos, os quais
estariam sobrepostos na curva exponencial e os inversos deles, com pares ordenados de
coordenadas invertidas, estariam sobrepostas na curva logarítmica. Posteriormente a estas
construções, esperávamos que visualizassem e comentassem essa inversão das coordenadas
dos pares ordenados, destacando, por exemplo, que se uma cresce tão rapidamente que, para
poucos valores de “x” já se tem um alto valor para “y”, consequentemente na função inversa,
mesmo já estando em um alto valor para “x”, o valor de “y” ainda é bem pequeno. Poucas
foram as considerações feitas, limitando-se a uma das respostas que vemos a seguir:
Quadro 11: Tarefa 3 item 2 – Dupla D
Fonte: Dados da Pesquisa
46
6.4.2. Após a Realização da Tarefa 3
No momento das discussões, com intuito de analisar as respostas dadas pelos alunos,
solicitamos que falassem o que haviam visualizado nas construções e as conclusões que
haviam chegado em suas análises. Os comentários realizados foram em sua maioria referentes
ao crescimento das funções construídas, onde a exponencial crescia muito mais rápido do que
a logarítmica e, ambas, apresentavam um crescimento diferente do modelo linear, facilmente
visualizado graças aos recursos disponíveis no software.
Além dos relatos quanto ao crescimento das funções, também foram considerados os
pontos com coordenadas inversas construídos sobre as curvas das funções, sobre o que os
alunos apontaram o fato de os gráficos passarem por esses pontos inversos e que os pontos da
função logarítmica são reflexos dos pontos da função exponencial, o que ocorre em relação a
bissetriz do primeiro quadrante.
6.5. TAREFA 4
Assim como na tarefa 3, também utilizamos as Tecnologias como metodologia de
ensino, sendo novamente utilizado o software GeoGebra com o intuito de possibilitar
construções dinâmicas dos gráficos com grande facilidade e rapidez. Visto que na aula
anterior houve grande problema com relação ao espaço físico do laboratório de informática,
além de algumas duplas terem apresentado muita dificuldade no momento das construções,
decidimos tomar uma perspectiva um pouco diferente, na qual os alunos apenas
acompanhariam todas as construções pelo projetor multimídia, com o professor realizando as
construções e eles apenas analisando e discutindo suas compreensões com seus parceiros,
visto que a tarefa foi organizada novamente em dupla para possibilitar esta troca de ideias.
6.5.1. Realização da Tarefa 4
Esta tarefa foi construída como uma sequência da anterior, por este motivo é levado
em conta que a função exponencial f(x)=ax já está construída no GeoGebra, sendo o próximo
passo a construção da função logarítmica inversa a esta dada, g(x)=log(x)/log(a), onde a é a
base de ambas as funções e tem valor inicial 2, podendo variar de 1,1 até 5 nesse primeiro
momento.
47
Como utilizamos uma ferramenta do programa para alterar convenientemente o valor
da base dentro do intervalo estipulado, ficamos variando este valor entre 1,1 e 5 por algum
tempo para que os alunos analisassem o que ocorria com ambas as funções, sendo solicitado
em seguida que escrevessem suas conclusões a respeito das mesmas, mas com
questionamento individual de cada uma delas e outra questionando as características comuns
nos dois casos. Enquanto formulavam suas respostas, demonstravam estarem realmente
interessados na tarefa, pois muitas discussões foram verificadas entre as duplas, além de
discussões entre duplas diferentes. Esta participação ativa resultou em conclusões bem
elaboradas, como vemos nas considerações de uma das duplas nestas três questões:
Quadro 12: Tarefa 4 itens 3, 4 e 5 – Dupla C
Fonte: Dados da Pesquisa
Em seguida, o intervalo de variação da base foi alterado para 0,1 até 2, objetivando
que os alunos analisassem principalmente as alterações de comportamento que ocorriam em
ambas as funções ao se fixar bases entre 0 e 1. Deveria ainda ser analisado o que ocorre com
elas quando a base é exatamente 1, já que posteriormente lhes seria ensinado que as funções
não estão definidas para este valor de base, podendo assim lhes apresentar o porquê.
Desta variação de base, a primeira pergunta que os alunos deveriam responder era
referente à base 1, sobre o que eles apresentaram bastante dificuldade em justificar as
características ocorridas no gráfico, onde simplesmente observava-se uma reta constante no
ponto 1. Para possibilitar uma análise crítica, foi solicitado que os alunos pensassem na
estrutura algébrica desta situação, ou seja, f(x)=1x, e verificassem o que ocorre com essa
função aplicando alguns pontos. Ainda após as orientações dadas, a maioria das duplas não
demonstrou ter compreendido a razão de a função exponencial passar a apresentar uma
característica linear constante no ponto 1, já que apresentaram considerações limitadas, como
vemos a seguir:
48
Dupla D
Dupla M
Quadro 13: Tarefa 4 item 6
Fonte: Dados da Pesquisa
Na questão seguinte, foi perguntado quanto às características das funções
exponencial e logarítmica com a base variando entre 0 e 1, esperando que analisassem o
comportamento delas e para verificar que ambas passam a ficar decrescentes. Porém, pelos
comentários feitos durante a visualização dos gráficos e pelas respostas dadas pelos alunos,
eles não se atentaram para estas características, mas apenas relataram o que estavam
visualizando, como vemos em uma das respostas:
Quadro 14: Tarefa 4 item 7 – Dupla C
Fonte: Dados da Pesquisa
A última variação da base que os alunos deveriam analisar era de -2 até 2,
verificando as consequências da base sendo 0 e também sendo qualquer valor negativo.
Segundo a proposta da tarefa, seria utilizada a variação de -5 até 5, mas não achamos
conveniente utilizar este intervalo tão disperso, pois não agregaria outros elementos ao
objetivo das construções.
Esta análise teve objetivo de possibilitar uma reflexão quanto ao fato de as funções
não estarem definidas para valores negativos de base. Para isso foram exibidos os gráficos e,
com o auxílio da dinamicidade do software, diminuído o valor da base até atingir zero e
posteriormente valores negativos.
Quando a base era exatamente zero, o que se verificava era uma reta sobre o eixo das
abcissas, compreendendo apenas o lado positivo. Já para os valores de base negativa, não
49
havia qualquer tipo de gráfico. Tentando possibilitar uma reflexão para os alunos deste fato,
solicitamos que analisassem o registro de representação algébrica da função exponencial,
verificando os pares ordenados resultantes da aplicação de valores nas funções f(x)=0x e
f(x)=bx, para qualquer b negativo. Apesar destas orientações, poucas duplas conseguiram
justificar o motivo de não ser possível esses valores de base nestas funções, se restringindo na
maior parte dos casos a dizer que não existe a função para base zero ou negativa.
Para formalizar o conteúdo visto sobre as bases das funções exponencial e
logarítmica, mantivemos as construções feitas dos gráficos variando de -2 até 2, para que os
alunos respondessem inicialmente em quais intervalos as funções existiam, seguido da
especificação de quando elas eram crescentes e decrescentes.
Apesar de as duplas já terem respondido estas questões, só que de forma
fragmentada, analisando parte por parte, não foi verificado nenhuma dupla discutindo as
conclusões já realizadas, mas iniciaram uma nova análise completa da situação. Praticamente
todas as duplas fizeram corretamente a interpretação do intervalo de base onde a função
exponencial e logarítmica existem, sendo para todos os valores maiores do que 0, exceto 1.
Quanto ao crescimento e decrescimento, porém, poucos formalizaram corretamente, como
vemos:
Quadro 15: Tarefa 4 item 9 – Dupla D
Fonte: Dados da Pesquisa
O último questionamento refere-se ao domínio e imagem das funções exponencial e
logarítmica, as quais foram explicitadas para os alunos respectivamente como os valores
possíveis a serem atribuídos para a variável independente, que informalmente eles identificam
como “x”, e os valores da variável dependente, resultantes da aplicação da função em todos os
pontos compreendidos no domínio. Mesmo assim, notamos que muitos dos alunos acabaram
confundindo como sendo ainda os valores possíveis para base, o que nos levou a conclusão
que esta questão deveria ser realizada em outro momento mais favorável, para evitar esta
confusão.
50
6.5.2. Após a Realização da Tarefa 4
Após as discussões entre as duplas e a conclusão dos questionamentos, iniciamos o
momento dos debates para formalização do estudo das bases, refletindo nas considerações
feitas pelas duplas. Apesar de notarmos um aumento na participação dos alunos, estando eles
assim num papel ativo na construção de seu próprio conhecimento, esta participação ainda
estava abaixo do que esperávamos, pois normalmente se restringiam às mesmas duplas e os
mesmos alunos.
Sobre o questionamento da pergunta 3, imediatamente um dos alunos comentou que
a situação se tratava de funções em todos os casos crescente, pois se o x aumentava, o y
também aumentava, opinião com a qual todos os alunos concordaram. Indagamos se eles
poderiam fazer algum comentário quanto ao seu crescimento com a variação do valor da base,
sem retorno da turma, apesar de haver verificado que algumas duplas tinham discutido sobre
isso, considerando necessário uma nova intervenção limitando a pergunta à verificação de
qual momento o crescimento era mais rápido e quando ocorria mais lentamente, surgindo
assim a observação de que o crescimento era mais rápido para maiores valor de base e
consequentemente mais lento para valores menores de base, juntamente com a confirmação de
algumas duplas de que haviam chegado nas mesmas conclusões. Foi solicitado se havia mais
comentários, porém nenhuma outra consideração foi colocada e todos concordaram com as
colocações realizadas.
Na questão 4, tinha-se o mesmo questionamento voltado para este tipo de função,
havendo participações semelhante como descrito na tarefa 3, diferindo que neste caso o
crescimento ocorre mais rapidamente para valores menores de base e mais lentamente quanto
maior a base. Novamente todos os alunos concordaram com as reflexões feitas.
As reflexões descritas pelas duplas em relação a questão 5 foi de que ambas estavam
sempre crescendo, e completada com um comentário destacando que a função exponencial
sempre cresce muito mais rápido do que a função logarítmica, independente da base utilizada.
Quanto à pergunta 6, nenhum dos alunos apresentou suas conclusões, refletindo a
dificuldade encontrada durante a realização da tarefa. Foi escolhida então uma dupla que
ainda não havia participado para compartilhar suas considerações, o que refletiu segundo os
comentários a resposta realizada pela maioria, de que a função exponencial formou uma reta
constante no ponto 1. Dado que nenhuma das duplas encontrou justificativa para tal,
calculamos no quadro a aplicação de alguns pontos na função 1x, argumentando que para este
caso não é válida a função exponencial, pois se trata de uma função constante.
51
Apesar de esperarmos que na pergunta 7 muitas das duplas alcançassem o objetivo
da questão, de relacionar o intervalo entre 0 e 1 como sendo o intervalo que compreende
ambas as funções com característica decrescente, a mesma facilidade em caracterizar a função
como crescente anteriormente não ocorreu, pois nenhuma das duplas realizou esta observação.
Ao serem questionados de suas respostas, nenhuma das duplas teve a segurança de comentar o
que havia respondido, sendo necessário uma intervenção maior, pedindo que observassem se
era possível afirmar que em todo intervalo as funções mantinham um comportamento
decrescente, sobre o que todos os alunos concordaram.
Na questão 8 o único comentário feito é que as funções “sumiam” para base 0 ou
negativo, sem nenhuma consideração do motivo deste fato acontecer. Portanto, utilizamos o
registro de representação algébrico para calcular a aplicação de alguns pontos na função
exponencial com estas bases, tentando justificar para os alunos a razão de não ser possível se
obter uma dessas funções com base 0 ou negativa.
Ao entrarmos na discussão da pergunta 9, na qual deveria ser verificada a condição
de existência e em quais intervalos o comportamento das funções era crescente ou
decrescente, os alunos se basearam nas considerações feitas nas perguntas anteriores de forma
fragmentada, caso a caso, para realizar a análise das características das funções em qualquer
valor de base, havendo poucos alunos que precisaram de nova explicação para esse caso geral.
Referente ao que os alunos fizeram no item 10, observamos que não ficou claro para
eles a diferença entre a análise dos valores de base realizada até então, e a análise dos valores
que podem ser atribuídos para a variável da função, o que corresponde ao domínio, e o
resultado dessas aplicações sendo os valores que compõem a imagem da função. Mesmo após
a explicação e discussão, não foi possível afirmar que todos os alunos compreenderam as
informações ensinadas.
52
7. ANÁLISE A POSTERIORI E VALIDAÇÃO
Apresentamos uma análise qualitativa, cujo objetivo é determinar os pontos que
deram certo e aqueles que devem ser repensados, a fim de ajudar na busca dos conhecimentos
didáticos nesta prática de ensino.
Quanto às metodologias utilizadas (Resolução de Problemas e Tecnologia, ambas
trabalhadas numa perspectiva exploratória e investigativa), foram observados pontos positivos
e negativos de sua utilização. Dos pontos positivos, podemos destacar a descentralização da
aprendizagem, deixando de ser apenas uma responsabilidade do professor em ensinar,
passando em certa medida esta responsabilidade ao próprio aluno, além de tornar o processo
de ensino mais dinâmico e produtivo, pois naturalmente surgem conhecimentos que não
seriam ensinados no modelo tradicional. Outro ponto positivo é o fato de as aulas saírem da
rotina e possivelmente atraindo mais a atenção dos alunos para o conteúdo ensinado, pois
permite uma inovação ao sair do tradicionalismo da aula expositiva.
Podemos destacar alguns pontos negativos encontrados na aplicação desta pesquisa,
como por exemplo, a falta de participação dos alunos durante a realização das tarefas e nos
momentos de discussões das respostas elaboradas, demonstrando estarem totalmente
dependentes das orientações do professor. Outro problema encontrado foi a falta de seriedade
em relação às aulas, possivelmente ocasionada pela utilização das metodologias diferenciadas.
Estes fatos podem indicar que os alunos não estão familiarizados com este tipo de
metodologia, ou seja, que estão acostumados com o método tradicional, onde o professor lhes
indica o que deve ser realizado e seu papel é apenas de “refazer” o processo ensinado. Isso
sinaliza a necessidade de algum tempo até que se familiarizem com estas outras metodologias
para que se sintam seguros em sua realização. No mesmo contexto, podemos considerar a
inexperiência do professor com estas metodologias, o que pode ter influenciado no seu
andamento, visto que a postura muitas vezes pode ter refletido certa insegurança aos alunos.
Ainda entre os pontos negativos verificamos a falta de tempo para a realização das
tarefas e para o momento das discussões dos resultados encontrados, fato esse que sugere a
revisão das tarefas propostas, reduzindo parcialmente o conteúdo.
Apesar dos pontos negativos, a utilização desta metodologia possibilitou uma
maneira diferente de visualizar a aprendizagem, não como um conjunto de informações que
são repassadas ao aluno esperando decorarem o máximo possível, mas em que pretende-se
propiciar um momento de imaginação, de criatividade para explorar a aprendizagem de uma
53
forma mais autônoma ou então com a ajuda mútua entre as duplas. Certamente não podemos
afirmar que estas mudanças representem a solução para o problema da Educação Matemática,
mas com certeza tem muito a contribuir, pelo menos para desmistificar algumas questões
como “pra que aprender Matemática”, ou então “a Matemática não serve para nada”,
proporcionando ao aluno, quando possível, a contextualização dos conteúdos.
Analisando os resultados da primeira tarefa, pela realização dos alunos ao
responderem as questões e posteriormente as discussões destas respostas, notamos que
algumas das perguntas poderiam ser mais bem elaboradas, de forma que ficasse mais claro o
que deveria ser feito, pois no momento da aplicação muitas duplas tiveram dificuldade por
não saber o que estava sendo questionado. Outro problema verificado com bastante
intensidade nesta tarefa foi a falta de tempo para sua realização, refletindo no curto espaço de
tempo para discussões das respostas e consequentemente muitos dos itens deixarem de ser
discutidos, ocorrendo apenas a correção das respostas, praticamente não havendo a
participação dos alunos.
Quanto à segunda tarefa, novamente foi verificado o excesso de conteúdos, pois
como se tratava de uma tarefa investigativa os alunos levaram certo tempo até
compreenderem o que deveria ser feito e isso acabou atrasando o momento da resolução,
sobrando novamente pouco tempo para as discussões finais. Porém, foi possível verificar uma
“evolução” em relação à tarefa anterior, por questão de alguns comentários feitos pelos alunos
e pela formalização das respostas, aumentando suas participações e “diminuindo” a do
professor. Outra situação verificada também nesta tarefa é que algumas das questões
necessitam ser mais bem elaboradas para facilitar a compreensão dos alunos.
A terceira tarefa que foi realizada no laboratório de informática teve seu início
bastante tumultuado e acabou sendo prejudicada por causa de alunos que desligavam seus
computadores e dos colegas. Possivelmente esse problema poderia ser resolvido se os
computadores já estivessem todos com o programa GeoGebra aberto e com alguma
construção realizada, pois assim os alunos não poderiam reiniciá-lo senão perderiam o que já
estivesse feito. Além disso, para facilitar as construções, ao invés de apenas projetá-las,
verificamos a necessidade de se construir um manual descrevendo o passo a passo dessas
construções, para ser entregue inicialmente às duplas, de forma que os alunos que tivessem
mais facilidade e conseguissem fazer sozinhos já avançassem e, simultaneamente, as
construções fossem projetadas para auxiliar aqueles que tivessem com mais dificuldade.
A quarta tarefa que envolveu também a utilização do software GeoGebra, foi
realizada de forma que os alunos apenas fizeram as análises e comentários, pois as
54
construções foram projetadas com a utilização do projetor multimídia. Isto evitou o
deslocamento para o laboratório de informática e os problemas ocorridos com os
computadores na tarefa anterior, além de ganhar tempo durante as construções,
principalmente daquelas duplas que estavam menos familiarizadas com esta Tecnologia,
resultando mais tempo para a análise feita pelos alunos e consequentemente mais discussões.
Esta utilização diferenciada do software, que exige menos dos alunos, pode ser apresentada
em primeiros contatos, a fim de que eles se familiarizem com o programa e as ferramentas
disponíveis, para que posteriormente tenham maior autonomia em realizar sozinhos.
De maneira geral, devemos considerar que não temos evidentes as metodologias e
formas de trabalho utilizadas pelo professor regente da turma e nem dos professores
anteriores, mas o fato de os alunos não apresentarem uma característica participativa e sim de
dependência do auxílio do professor, sugere que os mesmos não estão familiarizados com
estas metodologias, o que pode representar um obstáculo didático na aprendizagem dos
mesmos, pois desta forma foram inúmeras vezes levados a pensar que o aprendizado ocorre
em repetir algum processo totalmente esclarecido pelo professor, num papel passivo, o que
não ocorre nestes outros métodos em que o principal objetivo está focado no processo e não
somente no resultado. Outra situação que pode ser considerada como obstáculo didático para
o ensino de funções exponencial e logarítmica é o ensino anterior das funções linear e
quadrática as quais acabam se tornando obstáculos devido ao que podemos observar no
desenvolvimento realizado pelos alunos nas tarefas, em que muitas ideias utilizadas
pertencem a estes outros tipos de funções aprendidas, como por exemplo, os gráficos traçados
de forma linear ou a caracterização da curva construída como sendo de uma função do 2º
grau.
Devemos considerar também que o conteúdo estudado envolve conceitos e situações
que não são evidentes ao raciocínio e nem óbvias e, portanto, podem representar para alguns
alunos um obstáculo ontogênico, visto a complexidade em algumas das situações
apresentadas, resultando em uma limitação na realização da mesma.
Além dos obstáculos já descritos, devemos considerar o epistemológico, que pode ser
visualizado em uma situação apresentada nesta pesquisa, onde se verificou que os alunos não
apresentavam nenhuma dúvida ao caracterizar funções crescentes, mas o mesmo não ocorreu
ao se depararem com uma função decrescente, apesar de intuitivamente parecer um fato
óbvio. Deve-se considerar que a relação das variáveis em uma função crescente é diretamente
proporcional, enquanto no caso de função decrescente, essa relação é inversamente
55
proporcional, sendo este o principal fator encontrado para justificar o equívoco da maioria das
duplas na tarefa que tratava do assunto.
A organização e estrutura das tarefas foram realizadas levando em consideração as
orientações descritas no currículo prescrito, o qual indicava o ensino deste conteúdo através
da relação com situações reais e que podem estar presentes no cotidiano, preferencialmente
iniciando com a Resolução de Problemas, na qual os alunos sintam a necessidade do novo
conteúdo para as resoluções. Além da utilização dos problemas, são indicadas também as
Tecnologias, as quais favorecem a visualização de diferentes meios para interpretação,
possibilitando outras formas de registro do conteúdo ensinado.
Analisando as respostas das tarefas realizadas pelos alunos, além das discussões
feitas durante as aulas, os resultados apontam que o objetivo de que os alunos
compreendessem o que são as funções exponencial e logarítmica e quais suas principais
características, foi atingido com a maioria dos alunos que participaram da pesquisa, o que
pode ser observado no quadro 8, que caracteriza a função exponencial como uma função com
o expoente variável. Do registro gráfico os alunos também formalizaram algumas concepções
que contribuíram para esse objetivo, como a caracterização da função exponencial com base
maior do que 1 tendo um crescimento muito rápido, enquanto a logarítmica tem o crescimento
muito lento, sendo estes crescimentos inversamente proporcionais.
Com a utilização de situações problemas que envolviam questões presentes na
realidade dos alunos, acreditamos haver mostrado a eles a importância deste conteúdo, pois
pode descrever diversas situações, além das que lhe foram propostas.
Procuramos encontrar indícios das contribuições oferecidas pela proposta, buscando
identificar o quê os alunos aprenderam do conteúdo proposto. Nas construções gráficas
realizadas na tarefa 1 e 2, visualizamos que a maioria das duplas as fizeram corretamente,
sinalizando que aprenderam a relação existente entre os pontos encontrados no registro
algébrico e sua disposição no modelo gráfico. Apesar de boa parte dos alunos apresentarem
dificuldades em operações de cálculo, suas respostas apontam que compreenderam a relação
existente entre a função exponencial e as operações de potenciação. Outra constatação foi
quanto ao entendimento da relação de inversão entre a função exponencial e a logarítmica,
apontada pelas constatações descritas na 1ª e 2ª questão da tarefa 3.
A realização desta proposta proporcionou um intercâmbio entre a teoria estudada em
sala de aula e a prática didática de sua aplicação, obtendo pelo menos uma breve experiência
da realidade existente no cotidiano do professor, questionando-se quais ações são favoráveis
ao aprendizado e quais devem ser evitadas, a fim de que haja uma constante reflexão.
56
REFERÊNCIAS
ALMOULOUD, S. A. Fundamentos da Didática da Matemática. Curitiba: Ed. UFPR,
2007.
ARDENGHI, M. J. Ensino Aprendizagem do Conceito de Função: Pesquisas Realizadas no
Período de 1970 a 2005 no Brasil. 2008. 182 f. Dissertação (Mestrado em Educação
Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo.
BORGES, W. A.; OLIVEIRA, M. H. P. Obstáculos Epistemológicos e Linguagem de Alunos
do Ensino Médio na Aprendizagem de Funções Exponenciais e Logarítmicas. In: XV
Encontro Brasileiro de Estudantes de Pós Graduação em Matemática, 2011, Campina Grande.
Anais do XV Ebrapem, 2011.
BRASIL. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares
Nacionais: Ensino Médio, v. 3. Brasília: MEC, 2000.
_________. Secretaria da Educação Média e Tecnológica. PCN+: Ensino Médio –orientações
educacionais complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasília: MEC, 2002.
_________. Secretaria da Educação Básica. Ciências da Natureza, Matemática e suas
Tecnologias: Orientações curriculares para o ensino médio, v. 2. Brasília: MEC, 2006.
EVES, H. Introdução à História de Matemática, tradução: Hygino H. Domingues. 5ª
edição. Campinas, SP: Unicamp, 2011.
ONUCHIC, L. R. Ensino-aprendizagem de Matemática através de Resolução de Problemas.
In: BICUDO, M. A. V. Pesquisa em Educação Matemática: concepções e perspectivas. São
Paulo: Editora Unesp, 1999.
PAIS, L. C. Didática da Matemática. Uma análise da influência francesa. 3º edição. Belo
Horizonte: Autêntica, 2011.
PARANÁ. Diretrizes Curriculares de Matemática da Educação Básica. Secretaria de
Estado da Educação. Curitiba, 2008.
PEREIRA, J. G. A. Abordagem das Funções Exponencial e Logarítmica numa
Perspectiva Conceitual e Gráfica no Ensino Médio. 2010. 121 f. Dissertação (Mestrado) -
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.
SANTOS, A. T. C. O Ensino da Função Logarítmica por meio de uma sequência didática
ao explorar suas representações com o uso do software GeoGebra. 2011. 200 f.
Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São
Paulo.
VASCONCELOS, K. W. C. Logaritmos e suas Aplicações. 2011. 41 f. Trabalho de
Conclusão de Curso (Graduação em Matemática) – Universidade Estadual da Paraíba, 2011.