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Funções elementares

Vamos definir as funções elementares complexas que correspondem às

funções elementares do cálculo com funções de variáveis reais e que se

reduzem a elas quando z = x + i 0.

Função exponencial

Partimos de que f (x + i 0) = ex para todo x (condição 1)

Visto que (ex)' = ex para todo x real exigimos que f(z) seja inteira e que f '(z)

= f(z) para todo z (condição 2)

Como já vimos a função ex(cos y + i sen y) é inteira (diferençável em todo o

plano complexo) e f '(z) = f(z) (e é a única que cumpre as condições 1 e 2).

f(z) = ex(cos y + i sen y) ez

Quando z é imaginário puro temos a fórmula de Euler:

ei = cos + i sen

2


Podemos escrever a função exponencial também das seguintes formas:

|ez| = ex e arg(ez) = y+2n (notar que ez 0 para todo z)

ez = ex(cos y + i sen y) = ex eiy = eiy

A pesar de termos obtido a função ez a partir de ex, a função ez apresenta

propriedades que não estão presentes em ex:

1. ez+2i = ez e2i = ez ou seja ez é periódica com período imaginário 2i

2. Há valores de z para os quais ez é negativa!

Por exemplo há valores de z para os quais ez = -1

Para encontrar estes valores escrevemos

ez = ex eiy = 1 ei

Assim , para x = 0 e y = + 2n, ou seja: z = (2n+1) i teremos que ez<0

3


Exercícios:

1. Demonstrar que:

ziz

i

i

ee

ie

e

ee

)1(2

4

2

232

2. Determinar os valores de z para os quais:

2

1

31

12

z

z

z

e

e

ie

4


Funções trigonométricas

A fórmula de Euler nos diz que

Portanto é fácil ver que:

eix = cos x + i sen x e-ix = cos x - i sen x

eix - e-ix = 2 i sen x eix + e-ix = 2 cos x

Portanto é natural definir os senos e co-senos complexos como:

2cos

2

iziziziz eez

i

eezsen

Assim definidas mantemos as conhecidas propriedades (entre outras):

(sen z)' = cos z sen (z1+z2) = sen z1 cos z2 + cos z1 sen z2

(cos z)' = -sen z cos (z1+z2) = cos z1 cos z2 - sen z1 sen z2

sen(-z) = -sen z sen2 z + cos2 z = 1

cos(-z) = cos(z) etc.

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Exemplo:

Demonstrar que:

)()(cos2 212121 zzsenzzsenzzsen

222cos2

2211

21

izizizizee

i

eezzsen

i

ee

i

eezzizzizzizzi

22

)()()()( 21212121

)()( 2121 zzsenzzsen

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Lembrando a definição do senh e do cosh (com y sendo real),

2cosh

2

yyyy eey

eeysenh

podemos escrever:

yiyysenhiiysen cosh)(cos)(

e mais, se escrevemos z1 = x e z2 = iy obtemos facilmente as seguintes

relações (utilizando o seno da soma e o co-seno da soma para z=x+iy):

ysenhxiyxsenzsen coscosh)(

ysenhxseniyxz coshcos)(cos

Destas relações segue um número importante de propriedades do sen z e

do cos z, por exemplo a periodicidade (é evidente)

zsenzsen )2(

zsenzsen )(

zz cos)2(cos zz cos)(cos

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de onde se observa que estas funções não estão limitadas como no caso

de variáveis reais (1)

ysenhxsenzsen 222

yxz 222coshcoscos

Os zeros destas funções são obtidos lembrando que quando z é real as

funções se transformam nas funções reais conhecidas, assim para valores

reais de z = n para a função seno, teremos os zeros desta função (pode

ser demonstrado que estes zeros são os únicos supondo o sen z=0 e

utilizando a expressão acima para o módulo).

As outras funções trigonométricas são definidas a partir da definição do

seno e do co-seno.

Todas elas são analíticas a não ser pelos zeros dos denominadores.

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Exercícios:

1. Demonstrar que:

zz 22 sectan1

2. Verificar as propriedades descritas no slide número 4

zz 22 csccot1

3. Demonstrar que os zeros das funções sen z e cos z são para valores de z

reais.

4. Determinar todas as raízes da equação sen z = cosh 4 (igualar as partes

real e imaginaria do sen z e do cosh 4)

5. Determinar todas as raízes da equação cos z = 2

inR 42

12:

3169,122cosh2: 1 ininR

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Funções hiperbólicas

São definidas da mesma forma que para variáveis reais, ou seja:

2cosh

2

zzzz eez

eezsenh

Evidentemente são funções inteiras (pois ez e e-z são funções inteiras)

Quais são as derivadas respeito de z?

zsenhzdz

dzzsenh

dz

d coshcosh

Evidentemente, a partir das definições do sen z e do cos z vemos que:

)cosh(cos)( izzizsenhizsen

)cosh(cos)( zizzsenhizseni

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Devido à periodicidade das funções sen z e cos z, teremos (a partir da

última igualdade) que as funções senh z e cosh z tem periodicidade 2i.

A partir da mesma igualdade teremos que os zeros são:

senh z = 0 z = ni (n=0, 1, ...)

cosh z = 0 z = (1/2+n)i (n=0, 1, ...)

As outras funções hiperbólicas são definidas da forma usual, como com as

variáveis reais.

Exercícios:

1. Verificar as seguintes propriedades:

122121

22

coshcosh)(

1cosh

coshcosh

zzsenhzzsenhzzsenh

zsenhz

zz

zsenhzsenh

zhcozdz

d

ztghzzdz

d

ysenxsenhzsenh

ysenxiyxsenhzsenh

2

222

seccoth

coshcosh

coshcos

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Exercícios:

2. Encontrar as raízes de

izsenh

z

2

1cosh inR

3

12:

inR

2

12:

12


A função logarítmica e suas bifurcações

Nossa motivação para definir a função logarítmica complexa é o desejo

de resolver a equação:

zew

onde w e z são números complexos diferentes de zero.

Para fazer isto, notemos que se escrevemos z na forma polar e w na forma

cartesiana teremos (pela igualdade de complexos):

iivu reee

reu nv 2Como a equação eu =r é o mesmo que u = ln r teremos que a equação (1)

só será satisfeita se w tiver algum dos valores a seguir:

(1)

w = ln r + i ( + 2n)

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Então se escrevemos

teremos que se cumpre a simples relação:

ze z log

Isto é o que motiva a utilizar a relação (2) como a definição da função

logarítmica (função multivalorada)

(2)log z ln r + i ( + 2n) n=0, 1, 2, 3, ...

Agora, se z é um número complexo z = r ei então pode tomar qualquer

um dos valores = + 2n.

Assim, a equação (2) pode ser escrita:

log z = ln r + i

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O valor principal do log z é obtido para n=0 e denominado Log z

irzLog ln

Todos os valores do log z ficam descritos pela equação:

Desta forma a função Log z está bem definida para z0 e é monovalorada.

Evidentemente esta função se reduz ao logaritmo natural quando z é um

número real (checar colocando z=r ei0)

inzLogz 2log

Exemplos:A partir da definição log z = ln r + i ( + 2n) n=0, 1, 2,...

encontramos que:in201log

in )12(01log

Qual o valor do Log 1 e do Log -1?

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Se é um número real e restringimos os valores de ao intervalo << +

2 a função log z:

20lnlog rirz

com as componentes u(r,) = ln r e v(r,) =

é monovalorada e contínua no domínio especificado! e é analítica

nesse domínio! pois as derivadas parciais de primeira ordem de u e v são

contínuas e satisfazem as equações de Cauchy Riemann em coordenadas

polares (ur= (1/r) v e (1/r) u = -vr).

Portanto teremos que as derivadas existem!

Como calcular a derivada de log z?

zrei

reivuez

dz

di

i

rr

i 11)0

1()(log

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Observação

x

y

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Em particular a expressão

zrei

reivuez

dz

di

i

rr

i 11)0

1()(log

nos diz que

),0(1

)2arg,0(1

log

Argzzz

zLogdz

d

zzz

zdz

d

Uma bifurcação de uma função f multivalorada é qualquer função F

monovalorada que é analítica num determinado domínio para cada

ponto z do qual o valor de F(z) é um dos valores de f(z).

Assim, para cada valor de a função monovalorada F é uma

bifurcação da função multivalorada f, em particular, Log z é a

chamada bifurcação principal.

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Propriedades: algumas das propriedades mais comuns dos logaritmos

complexos são apresentadas a seguir

....3,2,1

,...2,1,0

loglog)log(

loglog)log(

log1

log

21

2

1

2121

nez

nez

zzz

z

zzzz

n

z

n

znn

Na última expressão temos que o termo da esquerda apresenta n valores

diferentes que são exatamente as raízes enésimas de z, o que pode ser

demonstrado facilmente escrevendo z= rei logo log z = ln r + i (+2n) e:

n

ki

nn

kir

nn

z

eree 22

ln1log

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Exercícios:

1. Mostrar que: ieiLog2

1)(

iiLog4

2ln2

1)1(

2. Verificar que quando n=0, 1, 2, ...

ine 21)log( ini

2

2

1)log(

3. Obter as raízes da equação: iz2

log

izR :

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Exponentes complexos

Quando z0 e o expoente c é um número complexo qualquer, a função zc é

definida por meio da equação:

zcc ez log

onde log z é a função logarítmica multivalorada.

Exemplos:

iii ei log22

As potências de z são geralmente multivaloradas, como ilustrado a seguir:

Vamos calcular i-2i

142

122

nini

eeCalcular o principal valor de :

i

i 22log

eeeii

ii

21

Funções elementaresExemplos:

Calcular a bifurcação principal de : 3

2

z

3

2

3 23

2ln

3

2

3

2

iirzLog

eree

22


Funções trigonométricas e hiperbólicas inversas

Estas funções podem ser descritas em termos dos logaritmos

Para definir a função inversa do sen z, ou seja sen-1 z, escrevemos:

w= sen-1 z quando z = sen w assim:

Ou da forma:i

eez

iwiw

2

0122

iwiw eize

Que é uma equação quadrática em eiw.

Resolvendo ela (como equação quadrática) teremos:

2

1

2 )1( zizeiw

Tomando o logaritmo a ambos lados teremos:

2

121 1log zizizsen

23


Funções trigonométricas e hiperbólicas inversas

Da mesma forma obtemos:

)21log()(1 iisen

Exemplo:

2

121 1logcos ziziz

zi

ziiz log

2tan 1

2

121 1log zzzsenh

2

121 1logcosh zzz

zi

ziz log

2

1tanh 1

2

121 1log zizizsen

?)(1 isen

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Exercícios:

1. Calcular ii ii

41

2. Encontrar os valores de:

)2(tan 1 i

3. Resolver a equação: 2zsen

)1(tan 1 i )1(cosh 1 )0(tanh 1

2cos z

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