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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE - UFRN
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA - SEDIS
ESPECIALIZAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO MÉDIO
Iris Lúcia Dantas
FUNÇÕES LOGARÍTMICAS E EXPONENCIAIS: UMA ABORDAGEM
PARA O ENSINO MÉDIO
Currais Novos/RN
2016
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE - UFRN
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA - SEDIS
ESPECIALIZAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO MÉDIO
Iris Lúcia Dantas
FUNÇÕES LOGARÍTMICAS E EXPONENCIAIS: UMA ABORDAGEM
PARA O ENSINO MÉDIO
Monografia apresentada ao Curso de
Especialização em Ensino de Matemática para o
Ensino Médio da Universidade Federal do Rio
Grande do Norte - UFRN como parte dos
requisitos para obtenção do Título de Especialista
em Ensino de Matemática para o Ensino Médio.
Orientador: Prof. Benedito Tadeu Vasconcelos
Freire
Currais Novos/RN
2016
Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / SISBI / Biblioteca Setorial
Centro de Ciências Exatas e da Terra – CCET.
Dantas, Iris Lúcia.
Funções logarítmicas e exponenciais: uma abordagem para o Ensino Médio / Iris
Lúcia Dantas. – Currais Novos, RN, 2016.
34f. : il.
Orientador: Prof. Benedito Tadeu Vasconcelos Freire.
Monografia (Especialização) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte.
Secretaria de Educação à Distância. Coordenação do Curso de Especialização em
Ensino de Matemática para o Ensino Médio.
1. Logaritmos. 2. Função logarítmica. 3. Função exponencial. 4. Gráficos.
5. Exemplos e aplicações. I. Freire, Benedito Tadeu Vasconcelos. II. Título.
RN/UF/BSE-CCET CDU: 519.662
Iris Lúcia Dantas
FUNÇÕES LOGARÍTMICAS E EXPONENCIAIS: UMA ABORDAGEM
PARA O ENSINO MÉDIO
Monografia apresentada ao Curso de
Especialização em Ensino de Matemática para o
Ensino Médio da Universidade Federal do Rio
Grande do Norte - UFRN como parte dos
requisitos para obtenção do Título de Especialista
em Ensino de Matemática para o Ensino Médio.
Banca Examinadora
_______________________________________________________
Presidente: Prof. Benedito Tadeu Vasconcelos Freire
_______________________________________________________
2º Membro: Prof. Iesus Carvalho Diniz
________________________________________________________
3º Membro: Prof. Odilon Júlio dos Santos
Currais Novos (RN), 23 de Julho de 2016
DEDICATÓRIA
Primeiramente à Deus, aos meus pais
Inácio e Tereza, meus irmãos e demais
familiares.
AGRADECIMENTOS
Em primeiro lugar a Deus, que em sua bondade, deu-me forças para a conclusão deste trabalho.
A todos os professores do Curso de Especialização em Ensino de Matemática para o Ensino
Médio pelo apoio e profissionalismo durante todo o curso, em especial ao meu orientar Prof.
Benedito Tadeu Vasconcelos Freire pela orientação, confiança e entusiasmo dedicados a esta
monografia.
Aos meus queridos pais, Tereza Maria Dantas e Inácio Aleixo Dantas, por estarem em todos os
momentos ao meu lado, me apoiando e incentivando. E também aos meus amigos e colegas do
Curso, em especial, João José e Maria do Socorro que tanto me apoiaram nos momentos
difíceis, por me ouvirem e incentivarem.
RESUMO
Esse trabalho mostra, primeiramente, o surgimento de uma poderosa ferramenta matemática
que contribuiu durante aproximadamente, três séculos e meio para simplificar os cálculos
aritméticos: os logaritmos. Assim, os logaritmos foram criados, na primeira metade do século
XVII, para facilitar os cálculos matemáticos tornando-se um instrumento de cálculo eficiente,
pois tem como propriedade fundamental transformar produtos em soma.
Com o advento das calculadoras eletrônicas, os logaritmos perderam sua função inicial, mas
não perderam posição de destaque no ensino da Matemática e nas aplicações nas ciências
modernas. Esse destaque é porque a função logarítmica e sua inversa, a função exponencial,
constituem uma única maneira de se descrever, matematicamente, a evolução de uma grandeza,
cuja taxa de crescimento (ou decréscimo) é proporcional à quantidade daquela grandeza
existente num dado momento.
A seguir são apresentados inúmeros apelos gráficos e exemplos para facilitar e incentivar a
leitura dos estudantes.
Palavras-chave: Logaritmos, função logarítmica, função exponencial, gráficos, exemplos e
aplicações.
ABSTRACT
This work shows, first, the emergence of a powerful mathematical tool which contributed for
about three and a half centuries to simplify the arithmetic: logarithms. Thus, the logarithms
were created in the first half of the seventeenth century to facilitate the mathematical
calculations become an efficient calculation tool, it has a fundamental property transform
products sum.
With the advent of electronic calculators, logarithms lost their original function, but lost leading
position in the teaching of mathematics and applications in modern science. This emphasis is
because the logarithmic function and its inverse, the exponential function, are a unique way of
describing mathematically the evolution of a quantity whose growth rate (or decrease) is
proportional to the amount that existing magnitude at a given time.
Following are numerous charts appeals and numerous examples to facilitate and encourage the
reading of students.
Keywords: Logarithms, logarithmic function, exponential function, graphics, examples and
applications.
SUMÁRIO
1.INTRODUÇÃO ..................................................................................................................... 9
2. LOGARITMO ..................................................................................................................... 10
2.1 - Definição ......................................................................................................................... 10
2.2 - Consequências da definição de Logaritmo ......................................................................11
3. FUNÇÕES LOGARÍTMICAS ............................................................................................ 11
3.1 - Definição ......................................................................................................................... 12
3.2 - Propriedades básicas ........................................................................................................ 12
3.3 - Gráfico da função logarítmica .......................................................................................... 16
3.4 - Logaritmos decimais ........................................................................................................ 17
3.5 - Logaritmos naturais ......................................................................................................... 18
4. FUNÇÃO EXPONENCIAL ................................................................................................ 21
4.1 - Propriedades .................................................................................................................... 21
5. EXEMPLOS BÁSICOS ....................................................................................................... 25
6. APLICAÇÕES ..................................................................................................................... 28
6.1 - Juros contínuos ................................................................................................................ 28
6.2 - Desintegração radioativa .................................................................................................. 29
6.3 - O método do carbono 14 .................................................................................................. 31
6.4 - Resfriamento de um corpo ............................................................................................... 32
7. CONCLUSÃO ..................................................................................................................... 33
8. REFERÊNCIAS ................................................................................................................... 34
9
1. INTRODUÇÃO
O objetivo do nosso trabalho consiste do estudo das funções Logarítmica e Exponencial
a nível do Ensino Médio. Apresentamos apelos gráficos e inúmeros exemplos para facilitar e
incentivar a leitura dos estudantes.
Com relação a metodologia, fizemos pesquisas bibliográficas em livros, dissertações e
outros arquivos da internet, com o objetivo de analisar gráficos e exemplos que fossem
acessíveis aos alunos do Ensino Médio.
10
2. LOGARITMO
2.1 - Definição
Dado um número real a > 0 e a ≠ 1, o logaritmo de um número x > 0 na base a é o
expoente y a que se deve elevar a de tal modo que 𝑎𝑦 = 𝑥.
loga x = y ⟺ ay = x
Onde, a é a base do logaritmo, x é o logaritmando e y é o logaritmo. O logaritmo de base 10
é chamado logaritmo decimal, sua representação é dada da seguinte forma: log10 𝑥 = log x.
No caso geral, para um número real qualquer r, é interessante saber o que significa uma
potência irracional. Por exemplo, o que significa: 2√2, 10√2, 10√3, 2𝜋, etc.?
Definimos 𝑎𝑦, para y um número irracional, usando a noção de limite, que é um conceito
estudado num curso de Cálculo Diferencial e Integral ou de Análise Matemática.
Por exemplo, para definir 2√2, como √2 = 1,414213562..., pensamos na sequência seguinte,
formada a partir da expansão decimal de √2:
𝑎1= 1, 𝑎2 = 1,4 = 14
10, 𝑎3 = 1,41 =
141
100, 𝑎4 = 1,414 =
1414
1000, ... ,
Então, cada termo da sequência é uma fração e, partir dela, consideramos a sequência
𝑏𝑛 = 2𝑎𝑛:
𝑏1 = 21, 𝑏2 = √21410, 𝑏3 = √2141100
, 𝑏4 = √214141000, ... ,
que é crescente e limitada (𝑏𝑛 < 22, para todo n ∈ N), o que implica (por resultados estudados
em cursos de Cálculo ou Análise) que ela possui um limite. Isto é, lim𝑛→∞
𝑏𝑛 = lim𝑛→∞
2𝑎𝑛 existe.
Definimos,
2√2 = lim𝑛→∞
2𝑎𝑛 .
Propriedade fundamental
A propriedade que segue é uma consequência imediata da definição 2.1. Dados os
números reais positivos a, u, x, com a ≠1, tem-se:
log𝑎(𝑢𝑥) = log𝑎(𝑢) + log𝑎(𝑥).
De fato, chamando p = log𝑎 𝑢 e q = log𝑎 𝑥, segue que 𝑎𝑝 = u e 𝑎𝑞 = x.
Logo, u ∙ x = 𝑎𝑝. 𝑎𝑞 = 𝑎𝑝+𝑞, e pela definição, log𝑎(𝑢𝑥) = p + q = log𝑎 𝑢 + log𝑎 𝑥.
11
2.2 - Consequências da definição de Logaritmo
Pela definição acima, tem-se:
i) log𝑎 1 = 0, pois 𝑎0 = 1, ∀ a ∈ R+, a ≠ 1.
ii) log𝑎 𝑎 = 1, pois 𝑎1 = a, ∀ a ∈ R+, a ≠ 1.
iii) log𝑎 𝑎𝑛 = n , 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛, ∀ a, n ∈ 𝑅, a > 0 a ≠ 1.
iv) 𝑎log𝑎 𝑏 = b, pois se log𝑎 𝑏 = x ⟹ 𝑎𝑥 = b ⟹ 𝑎log𝑎 𝑏 = b , ∀ a, n ∈ R+, a ≠ 1.
v) log𝑎 𝑥 = log𝑎 𝑦 ⟺ x = y, ∀ a, x, y ∈ R+, a ≠ 1.
De fato, se log𝑎 𝑥 = m e log𝑎 𝑦 = n ⟹ 𝑎𝑚 = x e 𝑎𝑛 = y.
Logo:
Para x = y ⟹ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛 ⟹ m = n ⟹ log𝑎 𝑥 = log𝑎 𝑦.
Para log𝑎 𝑥 = log𝑎 𝑦 ⟹ m = n ⟹ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛 ⟹ x = y .
vi) log𝑏 𝑐 = log𝑎 𝑐
log𝑎 𝑏, ∀ a, b, c ∈ R+, a ≠ 1, b ≠ 1, c ≠1.
De fato, se log𝑏 𝑐 = p, log𝑎 𝑐 = q e log𝑎 𝑏 = r ⟹ 𝑏𝑝 = c, 𝑎𝑞 = c e 𝑎𝑟 = b.
Assim, c = 𝑎𝑞 = 𝑏𝑞 = (𝑎𝑟)𝑝 = 𝑎𝑟𝑝 ⟹ 𝑎𝑞 = 𝑎𝑟𝑝.
Como 𝑎𝑞 = 𝑎𝑟𝑝 ⟹ q = rp, ou seja, p = 𝑞
𝑟 ⟹ log𝑏 𝑐 =
𝑞
𝑟 =
log𝑎 𝑐
log𝑎 𝑏
Portanto, log𝑏 𝑐 = log𝑎 𝑐
log𝑎 𝑏
A seguir, o logaritmo é tratado como função e suas propriedades demonstradas de
acordo com essa abordagem.
3. FUNÇÕES LOGARÍTMICAS
Devido aos excessivos procedimentos repetitivos apresentados de forma mecanizada, os
logaritmos talvez correspondam a um dos tópicos mais artificialmente mistificados no Ensino
Médio. Por isso recomendamos, na abordagem de logaritmos no Ensino Médio, que seja dado
ênfase à ideia fundamental de que o logaritmo é o expoente em uma exponenciação, facilitando
assim consideravelmente a compreensão das propriedades e características básicas das funções
logarítmicas. Chamamos ainda a atenção para o fato de que a propriedade algébrica
fundamental dos logaritmos – transformar produtos em soma – está no centro de sua origem
histórica. Observe que, sem o auxílio de calculadoras e computadores, com os quais estamos
cada vez mais acostumados, efetuar uma multiplicação é muito mais trabalhoso que efetuar uma
adição, principalmente no caso de números com muitos algarismos decimais. Por isso, uma
12
ferramenta matemática que permitisse reduzir o trabalho de fazer uma multiplicação ao de uma
adição era muito importante no passado.
Denotamos tal função por f(x) = log𝑎 𝑥 em que o número a é chamado base. De maneira
geral, as funções logarítmicas mais usadas são aquelas cuja base a é maior do que 1. Entre a
infinidade de valores que a base de um logaritmo pode assumir, o que justifica a infinidade de
sistemas de logaritmos possíveis, existem dois sistemas particularmente importantes:
i) sistema de logaritmos decimais: é o sistema da base 10, também chamado sistema de
logaritmos vulgares ou de Briggs (Henry Briggs, matemático inglês, 1556-1630), quem
primeiro destacou a vantagem dos logaritmos da base 10, tendo publicado a primeira tábua
(tabela) dos logaritmos de 1 a 1000 em 1617. Indicamos o logaritmo decimal pela notação
log10 𝑥 ou simplesmente log x.
ii) sistema de logaritmos neperianos: é o sistema de base e (e = 2, 718281::: número
irracional), também chamado de sistema de logaritmos naturais. O nome neperiano vem de John
Napier, matemático escocês (1550-1617), autor do primeiro trabalho publicado sobre a teoria
dos logaritmos. O nome natural se deve ao fato de que no estudo dos fenômenos naturais
geralmente aparece uma lei exponencial de base e.
Com o propósito de como saber se, para resolver um determinado problema, devemos
usar o modelo de função logarítmica, neste momento, apresentamos uma definição formal para
tal função, seguida de informações e propriedades que a caracterizam.
3.1 - Definição
Uma função real f: R+ → R chama-se função logarítmica quando é caracterizada pelas
seguintes propriedades:
A) f é uma função crescente, isto é, x < y ⇒ f(x) < f(y);
B) f(x ∙ y) = f(x) + f(y) para quaisquer x, y ∈ R+ .
Para cada x ∈ R+, o número real f(x) chama-se logaritmo de x. Vamos mostrar a seguir
as propriedades básicas das funções logarítmicas, decorrentes das propriedades A e B acima.
3.2 - Propriedades básicas
(i) Uma função logarítmica f: R+ → R é sempre monótona injetiva, isto é, números positivos
diferentes têm logaritmos diferentes.
13
Demonstração:
Se x, y ∈ R+ são diferentes, então ou x < y ou x > y. No primeiro caso resulta de A que f(x) <
f(y). No segundo caso tem-se f(x) > f(y). Em qualquer hipótese, de x≠ 𝑦 conclui-se que f(x) ≠
f(y).
(ii) O logaritmo de 1 é zero, ou seja, logb 1 = 0.
Demonstração:
Por B tem-se f(1) = f(1∙1) = f(1) + f(1). Logo, f(1) = 0.
(iii) Os números maiores do que 1 têm logaritmos positivos e os números positivos menores do
que 1 têm logaritmos negativos.
Demonstração:
Como f(x) é uma função crescente, toma-se 0 < x < 1 < y.
De A resulta f(x) < f(1) < f(y).
Logo, f(x) < 0 < f(y).
(iv) Para todo x > 0, tem-se f (1
x)= −f (x).
Demonstração:
Como x ∙1
𝑥 = 1 da propriedade B tem-se que f (𝑥 ∙
1
𝑥) = f(1), f(x) + f(
1
𝑥) = f(1) = 0.
Então, f(1
𝑥)= −f(x).
(v) Para todos números reais positivos x; y, tem-se: f (x
y) = f (x) – f (y).
Demonstração:
f (𝑥
𝑦) = f (𝑥.
1
𝑦) = f (x) + f (
1
𝑦) = Por propriedade 4, 𝑓 (
1
𝑥) = −f (x), então, f (
𝑥
𝑦) = f (x) – f (y).
(vi) Para todo x ∈ R+ e todo número racional r = p/q tem-se f (xr) = r ∙ f (x).
Demonstração:
Em primeiro lugar, observa-se que a propriedade f (x.y) = f (x) + f (y) se estende para o produto
de um número qualquer de fatores. Por exemplo,
f (x ∙ y ∙ z) = f ((xy) z) = f (x ∙ y) + f (z) = f(x) + f (y) + f (z).
E assim por diante:
f (𝑥1 ∙ 𝑥2 … 𝑥𝑛 ) = f (𝑥1) + f (𝑥2) + ... + f (𝑥𝑛).
Em particular, se n ∈ N então,
f (𝑥𝑛) = f (x ∙ x ∙∙∙ x) = f (x) + f (x) + ... + f (x) = n ∙ f (x).
Portanto, a propriedade 6 vale quando r = n é um número natural. Ela também vale quando r
= 0 pois, para todo número x ∈ R+, tem-se que 𝑥0 = 1, logo f (𝑥0) = f (1) = 0 = 0 ∙ f (x).
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Considerando agora o caso em que r = −n, n ∈ N, isto é, onde r é um inteiro negativo. Então,
para todo x > 0 temos 𝑥𝑛 ∙ 𝑥−𝑛 = 1. Logo f (𝑥𝑛) + f (𝑥−𝑛) = f (1) = 0,
e daí f (𝑥−𝑛) = − f (𝑥𝑛) = −n f(x). Finalmente, o caso geral, em que r = p/q, onde p ∈ 𝑍 e q ∈
N. Para todo x ∈ R+ temos, (𝑥𝑟)𝑞 = (𝑥𝑝/𝑞)𝑞 = 𝑥𝑝.
Logo, q ∙ f = f [(𝑥𝑟)𝑞] = f (𝑥𝑝) = p ∙ f (x), em virtude do que já foi provado.
Da igualdade q ∙ f (𝑥𝑟) = p ∙ f (x) resulta que f (𝑥𝑟) = (p/q) ∙ f (x), ou seja, que f (𝑥𝑟) = r ∙ f (x).
(vii) Uma função logarítmica f: R+ → R é ilimitada, superior e inferiormente.
Demonstração:
Dados arbitrariamente dois números reais 𝛼 𝑒 𝛽 é sempre possível achar dois números
positivos x e y tais que f(x) < 𝛼 𝑒 f(y) > 𝛽.
Torna-se um número natural n tão grande que n > 𝛽
𝑓(2). Como f(2) > 0 (propriedade 3), têm-se
n ∙ f(2) > 𝛽.
Assim, n ∙ f(2) = f(2𝑛). Portanto, f(2𝑛) > 𝛽. Agora escolhendo y =2𝑛; f(y) > 𝛽, o que mostra
que a função é ilimitada superiormente.
Para provar que f é ilimitada inferiormente, basta lembrar que f (1
𝑥) = −𝑓(𝑥). Dado qualquer
número real x, como foi provado acima, f(y) > −𝛼.
Fazendo x = 1
𝑦, isto é, y =
1
𝑥, tem-se:
f (1
𝑥) > −𝛼 ⇔ −𝑓(𝑥) > −𝛼 ⇔ 𝑓(𝑥) < 𝛼.
Uma função logarítmica não pode ser definida para x = 0, pois f (0) = f (x ∙ 0) = f (x) + f(0),
ou seja, f(x) = 0. Assim a função seria identicamente nula, o que contraria a propriedade A.
Teorema 1. Toda função logarítmica é sobrejetiva, isto é, dado qualquer número real c, existe
sempre um (único) número real positivo x tal que f(x) = k.
Demonstração: Seja uma função logarítmica f: R+ → R sobrejetiva e sejam, também, α, b ∈ R,
tal que α = a0, a1a2 ... an...
Como f é crescente e limitada, então existe um k ∈ 𝑍 tal que f(k) > b.
Seja a0+1 o menor inteiro tal que f (a0+1) > b, logo f (a0) ≤ b < f(a0+1).
Considere os números a0, a0 +1
10, a0 +
2
10, ... , a0 +
9
10, a0 + 1.
15
Como f (a0) ≤ b < f(a0+1), então pode-se supor que nessa sequência há dois elementos
consecutivos 𝛼1 e 𝛼1 + 1
10 tais que f (𝛼1) ≤ b < f (𝛼1 +
1
10). Logo, existe 𝛼1 ∈ 𝑍 tal que 0 ≤
𝑎1 ≤ 9 e pondo 𝛼1 = 𝑎0, 𝑎1= 𝑎0 +𝑎1
10 segue que, f (𝛼1) ≤ b < f (𝛼1 +
1
10).
Agora, considere os números 𝛼1, 𝛼1 +1
102 , 𝛼1 +2
102 , ... , 𝛼1 + 9
102 , 𝛼1 +1
10.
Existe 𝑎2 ∈ 𝑍, 0 ≤ 𝑎2 ≤ 9, tal que se 𝛼1 = 𝑎0, 𝑎1𝑎2 = 𝑎0 + 𝑎1
10 +
𝑎2
102 , segue que f (α2) ≤ b ≤ f
(α2 + 1
102 ).
Analogamente encontra-se que:
𝛼 = 𝑎0, 𝑎1𝑎2 ... 𝑎𝑛... = 𝑎0 + 𝑎1
10+
𝑎2
102 +... +
𝑎𝑛
10𝑛 + ...
Assim, pondo 𝛼𝑛= 𝑎0, 𝑎1𝑎2...𝑎𝑛, tem-se f (𝛼𝑛)≤ 𝑏 < 𝑓 (𝛼𝑛 + 1
10𝑛), tem-se que f (𝛼) =
b, pois caso f (𝛼) < b, logo ∃ x > 0 tal que f (𝛼) < f (x) < b. Mas f é uma função crescente, logo
𝛼 < x. Tomando n grande suficiente para que x −𝛼 >1
10𝑛 , então x > 𝛼 +1
10𝑛 .
Assim, 𝛼𝑛 +1
10𝑛 ≤ 𝛼 +1
10𝑛 < 𝑥 e como f é crescente, resulta que b < f(𝛼𝑛 + 1
10𝑛) ≤ f
(𝛼𝑛 + 1
10𝑛) < f(x), o que é um absurdo, pois f (x) < b.
Se f(x) > b, logo ∃ x > 0 tal que b < f (x) < f (𝛼). Como f é crescente, logo x < 𝛼, então x < 𝛼𝑛
para algum n ∈ N. Assim, f (x) < f (𝛼𝑛) ≤ b, ou seja, f (x) < b o que contaria b < f(x). Portanto,
f (𝛼) = b.
Corolário. Toda função logarítmica f: R+ → R é uma correspondência biunívoca (bijeção)
entre 𝑅+e R.
Prova
Uma bijeção é uma função que é injetiva e sobrejetiva. A função logarítmica é injetiva
pela Propriedade A (o fato de ser crescente implica na injetividade) e o Teorema 1 nos diz que
é sobrejetiva. Portanto, a função logarítmica é uma bijeção, o que significa dizer que possui
uma inversa.
Qualquer função f dá origem à uma tábua de valores, onde numa coluna à esquerda
põem-se os valores da variável x, pertencentes ao domínio, e noutra coluna, à direita, os valores
corresponde de f(x), pertencentes ao contra domínio, veja a seguir.
x f(x)
𝑥1 f (𝑥1)
𝑥2 f (𝑥2)
... ...
Para uma função qualquer pode ocorrer que diferentes valores de x corresponda o
mesmo valor f(x). O corolário acima mostra que toda tábua de logaritmos, isto é, tábua de
16
valores de uma função logarítmica, pode ser lida da esquerda para direita, o que é normal, como
da direita para esquerda.
Dado um número real qualquer y, podemos buscar na tábua o número real positivo x do
qual y é o logaritmo. Como vimos acima, esta possibilidade é fundamental para o uso dos
logaritmos no cálculo aritmético. A tabela dos logaritmos, lida da direita para esquerda, é na
realidade a tábua dos valores da função inversa da função logarítmica, que chamaremos função
exponencial.
A função exponencial g, inversa da função logarítmica f, é definida por:
g: R → 𝑅+,
satisfazendo as propriedades seguintes:
a) g(x + y) = g (x) ∙ g (y), para todo x, y ∈ R.
b) As funções f e g satisfazem:
(g ∘ f) (x) = x, para todo x ∈ 𝑅+
(f ∘ g) (y) = y, para todo x ∈ 𝑅+,
onde (g ∘ f) significa a composição de funções.
Como consequência do fato de que uma função logarítmica é injetiva e sobre, segue
que, dada uma função logarítmica qualquer
f: R+ → R,
existe um único número real positivo a para o qual f(a) = 1. Este número é chamado a base do
logaritmo f.
Para explicitar a base, muitas vezes se escreve 𝑓𝑎(𝑥) em vez de f (x).
Observação:
Se 𝑓𝑎 e 𝑓𝑏 são funções logarítmicas, com 𝑓𝑎=𝑓𝑏=1 (ou seja, de bases a e b
respectivamente), então assegura a existência de uma constante positiva c tal que 𝑓𝑏(x) = c ∙ 𝑓𝑎(x) para todo x ∈ 𝑅+. Agora, fazendo x = a, resulta 𝑓𝑏(a) = c. Portanto, temos:
𝑓𝑏(x) = 𝑓𝑏(a) ∙ 𝑓𝑎(x), para todo x ∈ 𝑅+.
Esta é a fórmula de mudança de base de logaritmos. Na notação usada nos livros do
Ensino Médio, a fórmula de mudança de base de logaritmo é:
log𝑏 𝑥 = log𝑏 𝑎 ∙ log𝑎 𝑥 ou log𝑎 𝑥 = log𝑏 𝑥
log𝑏 𝑎
3.3 - Gráfico da Função Logarítmica
Reconhecer o gráfico da função logarítmica é de fundamental importância no trato com
as grandezas físicas cuja medida é feita com o uso de logaritmos, como por exemplo a
intensidade de som, a força de um terremoto, entre outras. Com relação ao gráfico cartesiano
da função logarítmica f(x) = log𝑎 𝑥, podemos dizer que:
1º) a função logarítmica é estritamente crescente se a > 1 e se 0 < a < 1, é estritamente
decrescente;
2º) o gráfico da função f (x) = log𝑎 𝑥 não toca o eixo y e não ocupa pontos nos quadrantes II e
III;
17
3º) o gráfico da função logarítmica passa pelo ponto (1,0), isto é, f(1) = log𝑎 1 = 0;
4º) a função logarítmica é ilimitada, superior e inferiormente;
5º) a função logarítmica é injetiva e sobrejetiva, logo ela é bijetiva;
6º) na função logarítmica f(x) = log𝑎 𝑥(a > 0 e a ≠ 1), o eixo das ordenadas é uma assíntota
vertical do gráfico.
Figura 1: Gráfico das funções f(x) = log𝑎 𝑥 (a >1) e f(x) = log𝑎 𝑥 (0 < a < 1), obtido a partir do
programa GeoGebra.
3.4 - Logaritmos decimais
A fim de efetuar operações aritméticas, (antes do advento das calculadoras) o sistema
de logaritmos mais frequentemente utilizado era o de base 10, isto é, logaritmos decimais. A
vantagem de empregá-los resultava de adotarmos o sistema decimal de numeração.
A característica de log10 𝑥 é um número inteiro (positivo, negativo ou zero), o qual pode
ser encontrado pela posição da vírgula no desenvolvimento de x como fração decimal. Por
exemplo:
log10 145,3 = log10 1,453 + 2.
log10 0,001453 = log10 1,453 − 5.
Exemplo 1. Sabendo que log10 7 = 0,84510, calcule: log10 70, log10 700, log10 0,7.
Solução
Usando as propriedades da função logarítmica, temos:
log10 70 = log10(7 ∙ 10) = log10 7 + log10 10 = 0,84510 + 1 = 1,84510.
log10 700 = log10(7 ∙ 100) = log10 7 + log10 102 = 0,84510 + 2 = 2, 84510.
log10 0,7 = log107
10 = log10 7 − log10 10 = 0,84510 − 1 = −0,15490.
18
Exemplo 2. Sem usar calculadora, calcule log10 3.
Solução
Procuramos potências de 3 mais próximas de uma potência de 10. Assim, temos que:
10.000.000.000 = 1010 < 321 = 10.460.353.203 < 1011 = 10.000.000.000 ⇒
⇒ log10 109 < log10 321 < log10 1011 ⟺
9 ∙ log10 10 < 21log10 3 < 11 ∙ log10 10 ⟺ 9 < 21 ∙ log10 3 < 11 ⟺9
21 < log10 3 <
11
21
Portanto, log10 3 ≈9
21+
11
21
2 ≈ 0,47619047
3.5 - Logaritmos naturais
A concepção geométrica de uma função logarítmica é uma ideia que vem do século
XVII. O primeiro a percebê-la foi o padre jesuíta Gregory Saint Vicent, em 1647, e depois Isaac
Newton, em 1660. Os dois reconheceram a relação que existe entre a área de uma faixa do
gráfico de hipérbole com a definição geométrica dos logaritmos.
Seja H o ramo positivo do gráfico de uma hipérbole representada pela função y = 1
𝑥 (veja
a figura 2). H é um subconjunto do plano constituído pelos pontos da forma (𝑥,1
𝑥) e pode ser
escrito por:
H = {(𝑥, 𝑦): 𝑥 > 0, 𝑦 = 1
𝑥}
Geometricamente, tem-se na Figura 2, que H é o conjunto de pontos reais (x, y), com
x > 0 𝑒 𝑥 ∙ 𝑦 = 1.
Figura 2: H representa o conjunto de pontos y =
1
𝑥.
Assim, obtém-se uma faixa de hipérbole fixando dois números reais e positivos, a e b,
com a < b como mostra a Figura 3. Tomando a região limitado pelas retas x = a, x = b, e pela
hipérbole H, tem a região, que será chamada 𝐻𝑎𝑏, onde
𝐻𝑎𝑏 = {(𝑥, 𝑦); 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝑒 0 ≤ 𝑦 ≤
1
𝑥}
19
Figura 3: A região hachurada é a faixa de hipérbole 𝐻𝑎
𝑏.
Do cálculo integral, tem-se que a área de uma figura delimitada por uma função f, pelo
eixo 0𝑥 e pelas retas x = a e x = b é a integral definida de f no intervalo [a, b].
A partir da definição de integral, define-se o logaritmo natural de um número real
positivo x como sendo a área da faixa 𝐻1𝑥, ou seja, ln 𝑥 = área de 𝐻1
𝑥.
Então, para x > 1
Área 𝐻1𝑥 = ∫
1
𝑥
𝑥
1 dx ,
Ou seja,
ln 𝑥 = log𝑒 𝑥 = ∫1
𝑥
𝑥
1 . (Ver figura)
Figura 4: Área da faixa do ramo H positivo da hipérbole.
Na notação para indicar o logaritmo natural de x, e é um número irracional,
denominado número de Euler, em homenagem ao grande matemático suíço Leonhard Euler
(1707 - 1783). O número e pode ser calculado por:
e = lim𝑛 →∞
(1 + (1
𝑛))
𝑛
= 1 + 1
1! +
1
2! +
1
3! + ...
e ≈ 2,718281828459
20
Para 0 < x < 1, a área da faixa 𝐻1𝑥 será o logaritmo natural de x com o sinal menos a
frente
Área 𝐻1𝑥 = ∫
1
𝑥
𝑥
1 dx = − log𝑒(𝑥) = − ln 𝑥. (Ver figura)
Figura 5: Área da faixa do ramo H positivo da hipérbole
Em particular; quando x = 1, 𝐻11 se reduz a um segmento de reta, portanto tem área
igual a zero. Pode-se escrever:
ln(1) = 0;
ln(𝑥) > 0 se x > 1;
ln(𝑥) < 0 se 0 < x < 1.
O número e, base dos logaritmos naturais, pode ser caracterizado pelo fato de seu
logaritmo natural ser igual a 1, ou seja, a área 𝐻1𝑒 = 1. Escreve-se:
Área H1e = ∫
1
x
e
1 dx = ln(x)1
e = ln(e) − ln (1) = 1
Observação: Pela definição do logaritmo, ln(e) = 1. (Ver figura).
Figura 6: Área do logaritmo natural
21
4. FUNÇÃO EXPONENCIAL
A partir da definição de função logarítmica é possível se definir uma função que é
inversa da função logarítmica, ou seja,
f(x) = y = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 ⟺ 𝑎𝑦 = 𝑥.
Seja a número real positivo diferente de 1. A função f: R ⟶ 𝑅+ com f(x) = 𝑎𝑥, é dita
função exponencial de base a. Para quaisquer x, y ∈ 𝑅, a função exponencial possui as seguintes
propriedades:
4.1 - Propriedades
(1) f(x + y) = f(x) ∙ f(y)
Demonstração:
f(x + y) = 𝑎𝑥+𝑦= 𝑎𝑥 ∙ 𝑎𝑦 = f(x) ∙ f(y)
Pela propriedade 1 percebe-se que f não pode assumir o valor zero (0), a menos que seja
identicamente nula.
Por absurdo, se existisse algum 𝑥0 ∈ R tal que f(𝑥0) = 0, então, para todo x ∈ R, f(x) =
f(𝑥0+(x−𝑥0)) = f(𝑥0) ∙ f(x−𝑥0) = 0 ∙ f(x−𝑥0) = 0, logo f seria identicamente nula. Então, se f
não é uma função nula, não existe algum 𝑥0 ∈ R tal que f(𝑥0) = 0.
Mas ainda, a função f é sempre positiva, f(x) > 0, para todo x ∈ R, pois,
f(x) = f (𝑥
2+
𝑥
2) = f (
𝑥
2) ∙ f (
𝑥
2) = f (
𝑥
2)
2
> 0
(2) f(1) = a
Demonstração: Como 𝑎1 = a; f(1) = a.
(3) x < y ⟺ 𝑎𝑥 < 𝑎𝑦, quando a > 1 e
x < y ⟺ 𝑎𝑥 > 𝑎𝑦, quando 0 < a < 1.
Demonstração: A propriedade diz que a função exponencial é crescente para a > 1 e
decrescente quando 0 < a < 1.
Daí resultará que existe uma única maneira de definir o valor de f(x) = 𝑎𝑥 quando x é irracional.
Supondo que a > 1, então 𝑎𝑥 tem a seguinte propriedade,
r < x < s com r, s ∈ 𝑄 ⇒ 𝑎𝑟 < 𝑎𝑥 < 𝑎𝑠.
Não podem existir dois números reais diferentes, digamos A < B, para assumir o valor de
𝑎𝑥 com a propriedade acima. Se existissem A e B, teríamos r < x < s,r,s ∈ Q, então, 𝑎𝑟< A < B
< 𝑎𝑠 e então o intervalo [A,B] não conteria nenhuma potência de a com expoente racional, o
que é um absurdo.
Portanto, quando x é irracional, 𝑎𝑥 é o único número real cujas aproximações por falta são as
potências 𝑎𝑟 , r < x e cujas aproximações por excesso são as potências 𝑎𝑠, x < s.
(4) A função f: R → R+, definida por f(x) = 𝑎𝑥 é ilimitada superiormente.
Demonstração: Se a > 1, então 𝑎𝑥 cresce, indefinidamente quando x > 0, ou seja, lim𝑥⟶∞
𝑎𝑥 =
+∞. E se 0 < a < 1, 𝑎𝑥 torna-se arbitrariamente grande quando x < 0, ou seja,
lim𝑥⟶∞
𝑎𝑥 = +∞.
22
(5) A função exponencial é contínua.
Demonstração: Isto significa que, dado 𝑥0 ∈ R, é possível tornar a diferença |𝑎𝑥 − 𝑎𝑥0| tão
pequena quanto se deseja, desde que x seja tomado suficientemente próximo de 𝑥0, ou seja,
lim𝑥⟶𝑥0
𝑎𝑥 = 𝑎𝑥0.
Mostremos primeiro que é possível tornar 𝑎ℎ tão próximo de 1 quanto desejamos, desde que
|ℎ|seja escolhido suficientemente pequeno.
Suponhamos a > 1 e h > 0. Dado arbitrariamente ε > 0, queremos mostrar que, tomando h
pequeno, teremos 𝑎ℎ < 1 + 𝜀. Se tomamos n ∈ 𝑁 tal que n > 𝑎−1
𝜀, teremos n𝜀 > a−1, logo, a <
1+ n𝜀.
Pela desigualdade de Bernoulli, (1+𝜀)𝑛 > 1+ n𝜀, então a < (1+ 𝜀)𝑛 e 𝑎1
𝑛 n < 1+𝜀.
Em resumo: dado 𝜀 > 0, existe n ∈ N tal que 1< 𝑎1
𝑛 < 1 + 𝜀. Se tomarmos h tal que 0 < h < 1
𝑛, teremos 1 < 𝑎ℎ
< 𝑎1
𝑛 < 1+ 𝜀. Assim faremos 𝑎ℎ tão próximo de 1 quanto desejamos.
Agora fixado 𝑥0 ∈ R e h = x−𝑥0, teremos 𝑎𝑥 − 𝑥0= 𝑎𝑥0+ℎ − 𝑎𝑥0= 𝑎𝑥0(𝑎ℎ − 1).
Se x se aproximar de 𝑥0, h tende a zero, 𝑎ℎ tende a 1 e 𝑎ℎ −1 tende a zero. Então
lim𝑥⟶𝑥0
(𝑎𝑥 − 𝑎𝑥0) = 0, ou seja, lim𝑥⟶𝑥0
𝑎𝑥 = 𝑎𝑥0, o que caracteriza a continuidade da função
exponencial.
(6) A função exponencial f: R → R+ , f(x) = 𝑎𝑥, a ≠1, é sobrejetiva.
Demonstração: Isto significa dizer que para todo número real b > 0 existe algum x ∈ R tal que
𝑎𝑥= b. Supondo a > 1, n ∈ N, escolheremos uma potência 𝑎𝑟𝑛, com 𝑟𝑛 ∈ Q, no intervalo
(𝑏 − 1
𝑛, 𝑏 +
1
𝑛) de modo que |𝑏 − 𝑎𝑟𝑛| <
1
𝑛, portanto lim
𝑥⟶𝑥0
𝑎𝑟𝑛 = b.
Escolhemos as potências 𝑎𝑟𝑛 sucessivamente, tais que
𝑎𝑟1 < 𝑎𝑟2< ...< 𝑎𝑟𝑛< ...b
Certamente, podemos fixar s ∈ Q, tal que b < 𝑎𝑠. Então a monotonicidade da função 𝑎𝑥 nos
assegura que
𝑟1< 𝑟2< ... 𝑟𝑛< ... < s.
Assim (𝑟𝑛) é uma sequência crescente, limitada superiormente por s. Logo, os 𝑟𝑛 são valores
aproximados por falta de um número real x, tal que lim𝑥⟶𝑥0
𝑟𝑛= x. A função exponencial sendo
contínua, 𝑎𝑥= lim𝑥⟶𝑥0
𝑎𝑟𝑛 = b, como queríamos demonstrar.
Conclui-se que para todo número real positivo a, diferente de 1, a função exponencial f:
R ⟶ 𝑅+ dada por f(x) = 𝑎𝑥 é uma correspondência biunívoca entre R e 𝑅+, crescente se a > 1
e decrescente se 0 < a < 1, com a propriedade de transformar somas em produtos, f(x + y) =
f(x) ∙ f(y).
Sua representação gráfica se encontra na Figura 7.
23
Figura 7: Gráfico das funções f(x) = 𝑎𝑥 (a > 0) e f(x) = 𝑎𝑥 (0 < a < 1), obtido a partir do
programa GeoGebra.
A sua injetividade decorre da sua monotonicidade. Se a > 1, por exemplo, então x > y
⟹ 𝑎𝑥 > 𝑎𝑦 e x < y ⟹ 𝑎𝑥 < 𝑎𝑦, portanto x ≠ 𝑦 ⟹ 𝑎𝑥 ≠ 𝑎𝑦.
Observa-se da definição das funções logarítmicas f(x) = log𝑎 𝑥 e exponencial g(x) = 𝑎𝑥
e devido a bijetividade de ambas, que são funções inversas, pois, o domínio R+ da função
logarítmica é o conjunto imagem da exponencial e o domínio R da exponencial é o conjunto
imagem da logarítmica.
Graficamente, pode-se observar que os gráficos são simétricos em relação a reta
bissetriz dos quadrantes ímpares. A seguir, o gráfico da função exponencial, da função
logaritmo e da diagonal do plano, a reta y = x.
Os gráficos estão representados abaixo, nos dois casos: ver figuras 8 e 9.
Figura 8: Gráfico das funções f(x) = 𝑎𝑥 (a >1), y = x e f(x) = log𝑎 𝑥 (a >1), obtido a partir do
programa GeoGebra.
24
Figura 9: Gráfico das funções g(x) = 𝑎𝑥(0 < a < 1), y = x e f(x) = log𝑎 𝑥 (0 < a < 1), obtido a
partir do programa GeoGebra.
Isto significa dizer que: Em outras palavras, o ponto (x, y) está no gráfico de 𝑎𝑥 se, e somente se, o ponto (y, x) pertence
ao gráfico da função logaritmo. Que significa isto, geometricamente?
A diagonal do plano é a reta formada pelos pontos (x, x) que têm abscissa igual à ordenada.
Dado um ponto qualquer (x, y) no plano, o ponto (y, x) é o simétrico em relação à diagonal, ou
seja, é o lugar onde o ponto (x, y) vai cair quando se dobra o plano em torno da diagonal. Para
convencer-se disto, basta notar que os pontos (x, x), (x, y), (y, y) e (y, x) são os vértices de um
quadrado. A reta y = x é a mediatriz do segmento cujos extremos são (x, x) e (y, x) porque as
diagonais de um quadrado são perpendiculares e se cortam mutuamente ao meio.
Portanto, os pontos do gráfico da função exponencial são simétrico dos pontos do gráfico da
função logaritmo, em relação à diagonal.
25
5. EXEMPLOS BÁSICOS A seguir será mostrado muitos problemas que favorecem a aplicação das propriedades básicas
dos logaritmos.
Exemplo 1. Calcule log√2 32.
Solução:
Temos que,
log√2 32 = log2
12
25 = log2
12
(21
2)10
= 10 ∙ log2
12
(21
2) = 10 ∙ 1 = 10
Exemplo 2. Calcule log2 8 − log1
2
8
Solução:
Temos que,
log2 8 − log1
2
8 = log2 23 − log1
2
23 = 3 ∙ log2 2 − log1
2
(2−1)−3 = 3 − (−3) = 6
Exemplo 3. Calcule o valor da expressão S = log2 √25
+ log2 8 + log21
4.
Solução:
Temos que,
S = log2 √25
+ log2 8 + log21
4 = log2 2
1
5 + log2 23 + log2 2−2 =
= 1
5 ∙ log2 2 + 3 ∙ log2 2 − 2 ∙ log2 2 =
1
5+ 3 − 2 =
6
5.
Exemplo 4. Calcule log15(11.390.625).
Solução:
Basta observar que o número 11.390.625 = 156. Agora, usando as propriedades básicas dos
logaritmos, temos:
log15(11.390.625) = log15(156) = 6 ∙ log15 15 = 6.
Exemplo 5. Calcule o valor da expressão E = log𝑎 𝑎 ∙ √𝑎5
+ log1
𝑎
√𝑎3
√𝑎.
Solução:
E = log𝑎 𝑎 ∙ √𝑎5
+ log1
𝑎
√𝑎3
√𝑎 = log𝑎 𝑎 ∙ 𝑎
1
5 + log1
𝑎
𝑎13
𝑎12
= log𝑎 𝑎6
5 + log1
𝑎
(1
𝑎)
1
6 =
6
5 +
1
6 =
41
30.
Exemplo 6. Resolva o sistema de equações:
{ 𝑥 + 𝑦 = 70log10 𝑥 + log10 𝑦 = 3
Solução:
A segunda equação pode ser escrita como:
log10 𝑥. 𝑦 = 3 = log10 103 ⟹ x ∙ 𝑦 = 103 ⟹ y = 𝑥
103 .
Substituindo o valor de y na primeira equação, obtemos:
26
x + (103
𝑥) = 70 ⟺ 𝑥2+ 1000 = 70x ⟺ 𝑥2 −70x + 1000 = 0 ⟹ x = 20 ou x = 50.
Se x = 20 ⟹ y = 70−20 = 50. Se x = 50 ⟹ y = 70−50 = 20.
Exemplo 7. Prove que: 1
log2 𝑀+
1
log3 𝑀+
1
log4 𝑀+
1
log5 𝑀 + ... +
1
log100 𝑀 =
1
log100! 𝑀 ,
onde 100! = 1 ∙ 2 ∙∙∙ 3 ∙ 4 ∙∙∙100.
Solução:
Observe que, pela fórmula de mudança de base, temos:
log𝑎 𝑏 = log𝑏 𝑏
log𝑏 𝑎 =
1
log𝑏 𝑎.
Agora, aplicando o resultado acima para cada parcela da expressão dada, fazendo a = M, b ∈
{2, 3, 4, ... , 100}, obtemos:
log𝑀 2 + log𝑀 3 + log𝑀 4 + log𝑀 5 +... + log𝑀 100 = log𝑀(2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙∙∙ 100) =
= log𝑀(100!) = log100! 100!
log100! 𝑀 =
1
log100! 𝑀
Exemplo 8. Mostre que log10 30 < 3
2.
Solução:
Observe que log10 10 = 1 e que
log10 1000 = log10(10 ∙ 10 ∙ 10) = log10 10 + log10 10 + log10 10 = 1 + 1 + 1 = 3.
Por outro lado, como 900 < 1000 e a função log10 𝑥 é uma função crescente, temos que:
log10 900 < log10 1000 ⟺ log10(30 ∙ 30) < log10 103 ⟺
log10 30 + log10 30 < 3log10 10 ⟺ 2 ∙ log10 30 < 3 ⟺ log10 30 < 3
2.
Exemplo 9. Mostre que log10 2 é um número irracional.
Solução:
Suponha o contrário, isto é, que log10 2 seja um número racional. Neste caso, existem dois
números inteiros m, n com n ≠ 0, tais que log10 2 = 𝑚
𝑛 . Sem perda de generalidade, podemos
supor que m e n não possuam fator em comum, além de ±1.
Assim,
10𝑚
𝑛 = 2 ⟹ (10𝑚
𝑛 )𝑛
= 2𝑛 ⟺ 10𝑚 = 10𝑛 ⟺
2𝑚 ∙ 5𝑚 = 2𝑛 ⟺ 5𝑚 = 2𝑛−𝑚,
que é uma contradição, pois:
i) Se n > m, segue que o número do lado direito é par e o do lado esquerdo é ímpar.
ii) se n < m, segue que o lado esquerdo da igualdade é um número inteiro, enquanto o número
do lado direito não é.
27
Exemplo 10. Se log5(log3 (log2 𝑥)) = 0, encontre o valor de x.
Solução:
Usando o fato de que a função logarítmica é injetiva, podemos concluir que:
log5(log3 (log2 𝑥)) = 0 ⟺ log5(log3 (log2 𝑥)) = log5 1 ⟹ log3(log2 𝑥) = 1 ⟺
⟺ log3(log2 𝑥) = log3 3 ⟹ log2 𝑥 = 3 ⟺ log2 𝑥 = log2 23 ⟹ x = 8.
Exemplo 11. Encontre o maior subconjunto dos números reais positivos para o qual a função
log1
2
(log2 (log1
2
𝑥)) está definida.
Solução:
Como a função logarítmica está definida somente nos números reais positivos, temos que:
(i) x > 0; (ii) log1
2
𝑥 > 0 ; (iii) log2 (log1
2
𝑥) > 0.
A condição (ii) pode ser reescrita como:
log1
2
𝑥 > 0 ⟺ log2 𝑥
log21
2
> 0 ⟺ log2 𝑥
log2 2−1 > 0 ⟺
⟺ log2 𝑥
−1 > log2 2 ⟺ log2 𝑥 < − log2 2 ⟺ log2 𝑥 < log2 2−1 ⟹ 0 < x <
1
2.
A condição (iii) pode ser rescrita como:
log2 (log1
2
𝑥) > 0 ⟺ log2 (log1
2
𝑥) > log2 1 ⟹ log1
2
𝑥 > 1 ⟺ 0 < x < 1
2.
Portanto, as três condições são satisfeitas se, e somente se, 0 < x < 1
2.
28
6. APLICAÇÕES
Daremos uma breve amostra de como a função 𝑒𝑥 e os logaritmos naturais surgem
espontaneamente em certas questões onde o aumento ou a diminuição de uma grandeza de faz
proporcionalmente ao valor da grandeza num dado instante.
6.1 - Juros contínuos (LIMA, Elon Lages. Logaritmos. Coleção do Professor de Matemática. SBM. 2ª edição,
Rio de Janeiro, 1996, pág. 93)
Um capital e, empregado a uma taxa de k por cento ao ano, rende, no fim do ano, juros
no valor de kc/100. Ponhamos 𝛼 = 𝑘/100. Então, c renderá, no final de um ano, juros no valor
de 𝛼𝑐. Decorrido um ano, o capital torna-se a c + 𝛼𝑐, ou seja, c (1 + 𝛼). Passados dois anos, o
novo capital 𝑐1 = c (1 + 𝛼), empregado à mesma taxa, tornar-se-á igual a 𝑐1 = c (1 + 𝛼) = c (1
+ 𝛼)2. Em m anos, teremos c (1 + 𝛼)𝑚.
Se tomarmos uma fração 1/n de ano, o capital e, empregado à mesma taxa de juros,
deverá render 𝛼𝑐/𝑛 de juros, de modo que, decorrida a fração 1/n de ano, o capital c transforma-
se em
𝑐1 = 𝑐 +𝛼𝑐
𝑛= 𝑐 (1 +
𝛼
𝑛).
Empregando este novo capital 𝑐1 e esperando mais 1/n de ano, obtemos 𝑐1(1 + 𝛼/𝑛)
ou seja, c(1+ 𝛼/𝑛)2. Prosseguindo assim, vemos que, se dividimos o ano em n partes iguais e,
depois de decorrido cada um desses períodos de 1/n de ano, capitalizamos os juros rendidos,
reinvestindo sucessivamente à mesma taxa, quando chegar o fim do ano, em vez de c (1 + 𝛼),
obteremos um capital maior, ou seja, possuiremos
c (1+ 𝛼
𝑛)𝑛.
Um investidor exigente desejará que seus juros sejam capitalizados (isto é, juntados ao
capital) a cada instante. Se isto ocorrer, no fim do ano ele receberá em troca do investimento c,
o total de
lim𝑛→∞
𝑐(1 +𝛼
𝑛)𝑛 = c ∙ 𝑒𝛼.
Este tipo de transação, em que os juros são capitalizados continuamente, é o que se
chama de juros contínuos.
Assim, por exemplo, o capital de Cr$ 1,00 empregado a juros contínuos de 100% ao
ano, no final de um ano será transformado em e cruzeiros. Este fato pode ser usado para explicar
a um agiota o significado do número e. Se a taxa de juros é referida a anos (k% ao ano, 𝛼 =𝑘/100), então um capital c empregado a essa taxa será transformado, depois de t anos, em:
lim𝑛→∞
𝑐(1 +𝛼𝑡
𝑛)𝑛 = c ∙ 𝑒𝛼𝑡
Exemplo de aplicação (LIMA, Elon Lages. Logaritmos. Coleção do Professor de Matemática. SBM. 2ª edição,
Rio de Janeiro, 1996, pág. 94)
Empregando-se um capital c a juros contínuos de 20% ao ano, em quanto tempo este
capital será dobrado?
29
Solução
Aqui, 𝛼 =20
100= 0,2. Devemos achar o número t de anos de modo que,
c ∙ 𝑒0,2 𝑡 = 2c, ou seja, 𝑒0,2 𝑡 = 2.
Segue-se que 0,2 t = ln 2, donde
t = ln 2
0,2 =
0,693
0,2 = 3,46.
Assim o tempo necessário para dobrar o capital é de 3,46 anos, ou seja,
aproximadamente 3 anos e meio. Note-se que este tempo não depende do capital inicial. Fixada
a taxa de juros, leva-se o mesmo tempo para dobrar um capital grande ou um capital pequeno.
6.2 - Desintegração radioativa (LIMA, Elon Lages. Logaritmos. Coleção do Professor de Matemática.
SBM. 2ª edição, Rio de Janeiro, 1996, pág. 95 e 96) Os átomos de uma substância radioativa (como o rádio ou o urânio) possuem uma
tendência natural a se desintegrarem, emitindo partículas e transformando-se em outra
substância não-radioativa. Assim sendo, com o passar do tempo, a quantidade de substância
original diminui (aumentando, consequentemente, a massa da nova sustância transformada).
Isto é feito de tal maneira que, num determinado instante, a quantidade de matéria que se
desintegra de um corpo radioativo é proporcional à massa da substância original presente no
corpo naquele instante. A constante de proporcionalidade 𝛼 é determinada experimentalmente.
Cada substância radioativa tem sua constante de desintegração 𝛼.
Consideremos um corpo de massa 𝑀0, formado por uma substância radioativa cuja taxa
de desintegração é 𝛼. Se a desintegração se processasse instantaneamente, no fim de cada
segundo, sendo 𝑀0 a massa no tempo t = 0, decorrido o tempo t = 1 segundo, haveria uma perda
de 𝛼𝑀0 unidades de massa, restando apenas a massa
𝑀1 = 𝑀0 − 𝛼𝑀0 = 𝑀0(1 − 𝛼).
Decorridos 2 segundos, a massa restante seria
𝑀2 = 𝑀1(1− 𝛼) = 𝑀0(1 − 𝛼)2.
Em geral, passados s segundos, restaria a massa 𝑀𝑠 = 𝑀0(1 − 𝛼)𝑠.
Mas as coisas não se passam assim: a desintegração se processa continuamente.
Procurando uma aproximação melhor para o fenômeno, fixemos um inteiro n > 0 e imaginemos
que a desintegração se dá em cada intervalo de 1/n de segundo. Depois da primeira fração 1/n
de segundo a massa do corpo a reduziria a
𝑀0 − (𝛼
𝑛) 𝑀0 = 𝑀0 (1 −
𝛼
𝑛).
Decorrido 1 segundo, teriam ocorrido n desintegrações instantâneas e, efetuadas as n
reduções, restaria do corpo a massa 𝑀0(1 − 𝛼/𝑛)𝑛. Dividindo o intervalo [0,1] em um número
n cada vez maior de partes iguais, chegaremos à conclusão de que, ao final de 1 segundo, a massa do
corpo ficará reduzida a
lim𝑛 →∞
𝑀0 (1 −𝛼
𝑛)
𝑛= 𝑀0 ∙ 𝑒−𝛼.
30
Se quisermos calcular a massa ao fim de t segundos, deveremos dividir o intervalo [0,t]
em n partes iguais. Em cada intervalo parcial a perda de massa será 𝑀0 ∙ 𝛼𝑡/𝑛. Repetindo o
argumento acima chegaremos à expressão
M(t) = 𝑀0 ∙ 𝑒−𝛼𝑡
que fornece a massa do corpo depois de decorridos t segundos.
É claro que, em vez de segundos, poderíamos ter adotado outra unidades de tempo.
Mudando a unidade de tempo, a constante 𝛼 deve ser alterada proporcionalmente.
Na prática, a constante 𝛼 fica determinada a partir de um número básico, chamado a
meia-vida da substância. A meia-vida de uma substância radioativa é o tempo necessário para
que se desintegre a metade da massa de um corpo formado por aquela substância.
Exemplo de aplicação (LIMA, Elon Lages. Logaritmos. Coleção do Professor de Matemática. SBM. 2ª edição,
Rio de Janeiro, 1996, pág. 97)
O polônio 218 tem meia-vida igual a 2 minutos e 45 segundos, enquanto o polônio 214
tem meia-vida de 1,64× 10−4 segundos. Os isótopos do rádio têm meia-vida conforme
indicamos abaixo:
rádio 226: meia-vida 1.620 anos
rádio 228: meia-vida 6,7 anos
rádio 223: meia-vida 11,68 dias
rádio 224: meia-vida 3,64 dias.
Os diversos isótopos do urânio têm uma meia-vida da ordem de 109anos. Se sabemos
que um certo elemento radioativo tem meia-vida igual a 𝑡0 unidades de tempo, isto significa
que uma unidade de massa desse elemento se reduz à metade no tempo 𝑡0. Assim,
1
2 = 𝑒−𝛼𝑡0 .
Tomando logaritmos, temos:
ln (1
2) = −𝛼𝑡0,
ou seja,
−ln 2 = −𝛼𝑡0,
donde
𝛼 = 𝑙𝑛2
𝑡0 .
Isto nos mostra como calcular a taxa de desintegração 𝛼 quando se conhece a meia-
vida 𝑡0. Reciprocamente, tem-se 𝑡0 = ln 2/𝛼, o que permite determinar a meia-vida 𝑡0 em
função da taxa 𝛼.
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6.3 - O método do carbono 14 (LIMA, Elon Lages. Logaritmos. Coleção do Professor de Matemática.
SBM. 2ª edição, Rio de Janeiro, 1996, pág. 97 e 98)
O carbono 14, indicado por 𝐶14, é um isótopo radioativo do carbono, formado na
atmosfera devido ao bombardeio da terra por raios cósmicos. Através dos tempos, a quantidade
de 𝐶14 na atmosfera tem-se mantido constante porque sua produção é compensada por sua
desintegração. Os seres vivos absorvem e perdem 𝐶14 de modo que, em cada espécie, a taxa de
𝐶14 também se mantém constante. (O carbono 14 é criado nos vegetais durante o processo da
fotossíntese e absorvido pelos animais através da ingestão, direta ou indireta, de vegetais.)
Quando o ser morre, a absorção cessa mas o 𝐶14 nele existente continua a desintegrar-se. Este
fato pode ser usado para determinar a idade de um fóssil ou de um objeto muito antigo feito de
madeira.
Para isto, precisamos saber que a meia-vida do 𝐶14 é de 5570 anos. Como vimos acima,
segue-se daí que a constante de desintegração do 𝐶14 é
𝛼 = ln 2
5570 =
0,6931
5570 = 0, 0001244.
Exemplo de aplicação (LIMA, Elon Lages. Logaritmos. Coleção do Professor de Matemática. SBM. 2ª edição,
Rio de Janeiro, 1996, pág. 98)
Vejamos como esse conhecimento foi usado para dirimir uma controvérsia. Num castelo
inglês existe uma velha mesa redonda de madeira que muitos afirmavam ser a famosa Távola
Redonda do Rei Artur, soberano que viveu no século V. Por meio de um contador Geiger
(instrumento que mede radioatividade) constatou-se que a massa M = M(t) de 𝐶14 hoje existente
na mesa é 0,894 vezes a massa 𝑀0 de 𝐶14 que existe num pedaço de madeira viva com o mesmo
peso da mesa. 𝑀0 é também a massa de 𝐶14 que existia na mesa quando ela foi feita, há t anos.
Sabemos que,
M = 𝑀0 ∙ 𝑒−𝛼𝑡,
Donde M/𝑀0 = 𝑒−𝛼𝑡. Isto significa que 0,894 = 𝑒−0,0001244𝑡. Daí tiramos:
t = ln(0,894)
0,0001244 =
0,1121
0,0001244 = 901 anos.
Se a mesa fosse mesmo a Távola Redonda, ela deveria ter mais de 1500 anos.
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6.4 - Resfriamento de um corpo (LIMA, Elon Lages. Logaritmos. Coleção do Professor de Matemática.
SBM. 2ª edição, Rio de Janeiro, 1996, pág. 98)
Uma situação análoga à da desintegração radioativa é a de um objeto aquecido, colocado
num meio mais frio (ar ou água, por exemplo) cuja grande massa faz com que a temperatura
desse meio permaneça constante, sem ser afetada pela presença do objeto mais quente. A lei do
resfriamento de Newton afirma que, nessas condições, a diferença de temperatura D, entre o
objeto e o meio que o contém, decresce com uma taxa de variação proporcional a essa própria
diferença.
Como no caso da desintegração radioativa, esta lei se traduz matematicamente assim:
chamando 𝐷0 a diferença de temperatura no instante t = 0 e D(t) a diferença num instante t
qualquer, tem-se D(t) = 𝐷0 ∙ 𝑒−𝛼𝑡 onde a constante 𝛼 depende do material de que é constituída
a superfície do objeto.
Exemplo de aplicação (LIMA, Elon Lages. Logaritmos. Coleção do Professor de Matemática. SBM. 2ª edição,
Rio de Janeiro, 1996, pág. 99)
Num certo dia, a temperatura ambiente é de 30º. A água que fervia numa panela, cinco
minutos depois de apagado o fogo tem a temperatura de 65º. Quanto tempo depois de apagado
o fogo, a água atingirá a temperatura de 38º?
Solução
No momento em que se apagou o fogo (t = 0), a temperatura da água era de 100º e a do
ambiente 30º. Logo 𝐷0 = 100 − 30 = 70. Passados t minutos, a diferença da temperatura da
água para a do meio ambiente é dada por D(t) = 70 ∙ 𝑒−𝛼𝑡. Para determinar a constante 𝛼,
usamos a informação de que,
D(t) = 70 ∙ 𝑒−5𝛼 = 65− 30 = 35.
Portanto, 𝑒−5𝛼 = 35/70 = 1/2. Tomando logaritmos naturais, vem que:
−5𝛼 = ln(1
2 ) = −ln 2 , logo 𝛼 =
ln 2
5 =
0,693
5 = 0,1386.
Queremos saber o valor de t para o qual,
D(t) = 70 ∙ 𝑒−0,1386𝑡 = 38 − 30 = 8.
Novamente tomamos logaritmos para resolver a equação 70 ∙ 𝑒−0,1386𝑡 = 8, obtendo
−0,1386t = ln (8
70) = −ln (
70
8)
Donde,
t = 𝑙𝑛(
70
8)
0,1386 =
2,1691
0,1386 = 15,65 minutos
(Pouco mais do que 15 minutos e meio).
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7. CONCLUSÃO
O logaritmo é um conteúdo matemático que, embora tenha sido criado para efetuar
cálculos, há muito tempo ultrapassou esses limites, pois é ferramenta fundamental em várias
apelos gráficos e aplicações. Diversificar as áreas de aplicação pode ser um instrumento para
que os alunos percebam que o logaritmo não é apenas mais um objeto matemático, mas que
está mais presente em sua vida do que se pode imaginar. Foi assim com a criação das tábuas de
logaritmos, e consequentemente suas funções logarítmicas e exponenciais que propiciaram um
avanço extraordinário nos estudos sobre astronomia no século XVII e simplificou os cálculos
aritméticos nos três séculos seguintes.
Trabalhar com situações-problemas diversificadas é uma forma de chamar a atenção dos
alunos e assim compreenderam o conteúdo estudado. Tendo a atenção dos alunos, é preciso que
eles percebam que, é possível resolver os problemas propostos, lendo e analisando o enunciado,
identificando o objetivo da questão e as pistas implícitas e/ou explícitas inseridas na questão.
Com as técnicas de abordagens para as funções logarítmicas e exponenciais, foi possível
mostrar sua dimensão nas propriedades, nos gráficos e em vários exemplos que despertassem e
incentivassem a leitura dos estudantes no Ensino Médio.
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8. REFERÊNCIAS
BOYER, C. B.; MERZBACH, U. C. História da Matemática. São Paulo: Blucher, 2012.
FRAENKEL, Renato. Logaritmos: um curso alternativo. Revista do Professor de
Matemática. RPM 04. Disponível em: <http://www.rpm.org.br/cdrpm/4/5.htm>. Acesso em:
02/05/2016.
LIMA, Elon Lages. Sobre a evolução de algumas ideias matemáticas. Revista do Professor
de Matemática. RPM 06. Disponível em: <http://www.rpm.org.br/cdrpm/6/1.htm>. Acesso em:
02/05/2016.
LIMA, Elon Lages. Logaritmos. Coleção do Professor de Matemática, Sociedade Brasileira de
Matemática, 2ª edição, Rio de Janeiro, 1996.
LIMA, Elon Lages. et al. Temas e problemas. Rio de Janeiro: SBM, 2010.
LIMA, Elon Lages. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: SBM, 2012.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática, volume único. 1 ed. São Paulo: Ática, 2005.