cap.7-funÇÃo logarÍtmica
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ÀÂF;+hê*
Ë€í Í q t í 3lì .r{3
m caminhão custa hoje R$ 100 000,00 e sotredesvalorizaçáo de Loi por ano de uso. Depoisantotempode uso o vâloÍ do veículo será iguãl20 000,00?
Lmumade quaR$
ËlA cada ano que passa, o valor do caminhão f ica
sendo 90% do que era um ano atrás. Então, seu valor
evolui da seguinte formal
. Após l ano de uso:90% de R$ 100 000,00, ou seja, R$ 90 000,00
. Após 2 anos de uso:90% de R$ 90 000,00, ou seja, R$ 81000,00
. Após 3 ânos de uso:90% de R$ B1 000,00, ou seja, R$ 72 900,00
e assim pof diante.0 vâloÍ do veículo em reais evo ui, ano a ano, de
acordo com a seqúêncÌa:
100 000; (0,9). 100 000; (o,s) 'a. 100 000;(0,9)3 100 0oo ;...; (0,9)" 100 ooo
êm quex indice o núrnero de anos de uso.PaÍa responder à peÍgunta feita, devemos resol
veí à eqLaçdo í0,9ì 100 000 20 000. ou seja.(0,9y = 0,2, or" u u." .queção exponenciâ1. (Vejâ a
resolução no exernplo 15.)
No estudo de equâçõês exponenciaÌs, feÌto nocapítulo anterior, só tratamos de sìtuações em quepodíamos reduzìÍ as potências à mesma base. 0uan-doternos de rêsolverumâ equação como (0,9)x= 0,2,1ào conseguimos reduzir Ìodas as potènciâs à -ne>ma base. Pâra enfrentar esse ê outros pÍoblemâs,vamos estudar agora os logaritmos.
DefiniçãoSendod eb nunerob reais e posiÌìvos, com a -L 1.
chama-se logâritmo de b nâ base o o expoente x a0quâlse deve elevara bâse o de modoqueâ potênciao* seja iguala b.
logab=x<+âx=b
Na expressão loga b =x, temos:
> o é a base do logaritmo;> b é o logâritmândo;> x é o logaritmo.
Vêjâmos alguns exemplos de logaritmos,
. l0g2 d -
J! pots z-=d
. togr v= z, pots J- =Y
' bgr+=-z'Po"rz-'=f,. togs 5 = 1, pois 51= 5. loga1=0,pois40=1
! -. log3tr3=j ,pois3'z=tr3
/ í \ -3. loqj 8= 3,pois l+! l =8
. logo,s 0,25 = 2, poÌs (0,5)'z= 0,25
.ì. tl
(ifs),=: = (ì/F) =: -
iEã=: +
b) log$ 0,25
Ioe 0.25 = u
16. 0.25-rr2 ' ,q | - - :?o -Z --->4
-4u=-2-u= -aI
" ' . . . . . . . . , . , ì
' , As restrições para o (0 < a * 1) e para b ft, lo 0). cotocddê. nã de'rnicèo. gd-dnreÌ à i
. ^ :1e.ì . iê e a - ic idède oe top- o. . Ì
. . ' , : : : , - ' : |
ConseqüêncÌasDecorrern da defìnição de ogaritmo asseguintes
pr0prleoades:
È- 0 logaÍi lmo de 1 em qua quer base o é iguala0-
Í--...--l
I lop. 1= 0 l , pois è"= 1
ts 0 logefitmo da base, quâlquerque sejã ela, é Ìg!ala1.
Lgq'e=11'Poisa'=aA poténcia de bese d e expoente logâ b é igualab
pois o logâritmo de b na bâse d é justamente oexpoente que se deve dar à base o parâ que âpoÌência f ique igual a b.
Varnos câlcular o valor de x tal que:
logs (2x + 1) = logs (x + 3)Devemos ter 2x + 1=x+ 3, e daÍx= 2.Como para x = 2 exÍsrem togs (2x + 1) e
logs (x+ 3), a resposra éx= 2.' !^ ' " . 'a.-" ' - --rÉ/.1-. ' . . . ' . .
t { l a3ã,ï ï ,&q r*s. l , rx.r ; / t t t ïd b0 conjunto íormâdo portodos os logaritmos dos
números reâis posit ivos em uma base o (0 { a * 1)é chamãdo slstema de logaritmos de base o. Porer Ê Ì p lo. o co-trnto fo. Í edo por looos os Iogè-r tmos de base 2 dos números reais posit ivos é cisistemê de logaritmos de base 2.
F.isÌer do.s siqterìd. oe ogâritmo- qup 'ão 05
Vamos agora câlcular, etravés da deÍìnìção:
a) log:- 3
log3!e 3 = x
Vamos calcular o valor de 8 ocr s.
temos:
8r"c, s = (2) "c?s = (2 "n,s)3 = 53 = 125
> Se dois logêrit-ros en u-rd Tesmâ bèse saoiguais, então os logaritrnândostembém são iguais.
logab=iogac+b=cd
pois log. b= log. c -
êloe". = b -
c = b
rna s uti l izados em lúaternática:
> 0 sislerna de logâritmos declmâis, que é o debâse 10. Esse sistema foì desenvolvldo pelomatemático inglês Henrg Briggs (1561-1630), oprimeiro a destacâr as vantâgens dos logaritmosdê base l0como ̂ - t rL,nenÌo a,x, iardoscãlc--l0s numéricos. Briggs foitambém quem pubtÌcolra primeirâ tábuê dos logarÌtmos de 1a 1 000, Íâtoocorrido em 1612
> 0 sistema de logaritmos neperianos, que é o debase e- 0 norne "nepêriano" deriva de John Napierí l \50-1617). TaLemaÌ co escoces. ê- Ìordo pr:met-ro trâbalho publicado sobre a teoria dos logârÌtmos.
Indicâremos com logro x, ou sÌmplesmerìte log x,o logarÌtmo decimal de x, e representaremos ologaritmo neperiano dexcom log"x, ou {nx.
J. i.ì.::
ffi exercrer$s *kwffi1 . Usando a deÊniçao, calcule o valor dos seguin
tes logarÌtnÌos:
â) logr Ì6b) logr 16 f) log,r 64c) 1og, 81 g) Ìog,32d) Ìogo 125 h) ìogo 2lír
2. Use a deÍìniçao pan calcular:
Ia) rogr ì-
b) log. 11-
e) Ìog 100 000
e) logl G
f) log 0,01
J" Calcì1ìe:
ld ) o logrrrlmo cle 4 na lrJse 8
b) o Ìogaritmo de rE na base 27c) o ìogarihìo dc 0,125 na base Ì í)d) o logaritno naturaÌ de ere) o número cujo Ìogarihno enrbâse 3 valc-2
" a o, ' . ra qr r l o lo"Jr l rno d< \J l . - l
4. QuaÌ é o valor <ìe ca{lâ Lrnìa das expressões se-guintes?
a) â=1ogç5+Ìogr l Ìogl0
b) b=Ìos, a+lotu+
c) c=lner-3íni f+2 fn Ì
As câlculadorâs científ icas possuem es teclas
@ " W " 'otecem os velores dos loga-
r i tmos decimais e neperianos de !m número Íeal
p0crlrv0:
. Para sabef o valor de log 2 e de ln 2, teclâmos:
mr Baìl - I
tsm
0btemos:
. Parasaberovalordelog15edeln15,bastateclar:
mwd) 310!r, + 2roq: ie) log.. (log3 9)
f) loge Go& 64) + 1o&
5. Saberdo que Ìog a = 2valor de:
a) lo96 a
b) log" b
c) Ìog" b'
loglq 27Sendo E =
a) logr E
, l
rogq í
logo,. i /r
(1ogr 8l)
e Ìog b = 1, câlcule o
d) Ìos (a b)
,1, ._ ]
1625
g)
I
0btemosi
Dependendodomodelodacla de operações pode variar.
calculâdora,aseqüên'
Vâmos câlculâro vâlor de g = ln e3 + log 0,01.
Ìemos:
{n e3 = lo& e3 =x=e'= e3 +x= 3 +fn êl = 3
l0gU,UÌ =loglõ0 =l0gÌo lU '= I
Então,g=3+( 2)=1.
f )
. l
-- 6,1, calcule o vaÌor de:
logo,r 125
b) log, i3
t ' . Im.rda.a,o. .a l .u lcú\1l lu de l^g ' \ .Fn( lu:
rog ,
ÌoglL a
8" caÌcule:a) 43+roc+r c) 8losr 7 e) 8Ì osr l
b) 5r Ì.35 'r d) gr.r 1) 5ro!.. /
: , . Del(rmine n J l | |n d( qLr. , r equd\Ju
ru + 4n + Ìog2 m = 0, Ì1a vniáveÌ rç,.dmìta uma
raiz reaÌ dupla. QuaÌ é essa raiz?c) logs 16
d) Ìoga 128
i .6
Fr*prümdades*í)&Ë'etÓrlãs
Vamos agora estudar tfês propriedades operató-nâs envolvendo logaritmos:
Logaritmo do produtoEm qualquer base, o logaritmo do produto de dois
números reaís e posit ivos é igual à some dos logâ-ri trnos dos números, isto é, se 0 < a + 1, b > 0 ec > 0, então:
log" (b . c) = lo& b + log. c
De fato, fa zen do
log" (b c) = z, vem:
logab=x+ax=b
logac=g =a9 = clog€(b'c)=z=âz=b
Essa propÍiedade também é válida pafa o loga-ritmo de três ou mais números reaÌs e positrvos, ouseja,se0<â+ 1e br > 0, b2 > 0, . . . , b" > 0,então:
loga (b1. b2.... .bJ = lo& b1+ logâ b2 +... + logê bn
Veja-rÌos alguns êxemplos:
. log2 6 = log, (2 3)=logz2+log23=1+log23
. loga 30 = loga (2.3 5)=loga2+loga3+loga5
. logz 330 = logz (2 . 3 5 11) = log7 2 + logz 3 ++ logi 5 +logz 11
Logaritmo do quocìenteEm quaJquer base, o logaritmo do quoctente de
dois números reais e posit ivos é Ígual à diÍerençaentre o logaritmo do dividendo e o logaritmo do divi-sor, is toé,se0 <a + 1,b)0 g 6 16,q1ì156.
'"su c= log" b - log" c
De Íato, fazendo lo& b = x, lo& c = g
tem0s:
logab = x, logac = V e
Vejamos alguns exemplos:
. logr6 ?= logro 2 togro 3
. log2!= log, 1- logr 5 = -Jog2 5
. rog, -!j rog ú-log. / - tog 2 | tog 5 tog 7
Logaritmo da potênciaEm quâlquer base, o logeritmo de uma potêncìa
de bâse real e posit ivâ é igualao produto do expoen-te pelo logàritmo dà bâse da potènciê, isto e, se0<a+1,b>0 e r€ R,então:
logã br= r. logã b
e loga br= g, temos:
Vejamos alguns exemplos:
. logs 23 = 3 logs 2
. logrol 2 =loe,ì 2, =: . loq,n 2z ---
1^. logz! = log23 , = 3 logr 3
As propriedades dos loBaritmos apresentâdâsacrma, que sãoválidas para 0 < a + 1, b > 0 ec > 0, permitem-nos obter o logaritmo de um pro-duto, de um quociente ou de uma potêncía sendoconhecidos apenas os logaritmos dos termos doproduto, ou dostermos do quociênte, ou da bâsedapotência.
Expressões que envolvem apenas operações demult iplìcaçã0, divisão e potenciâção são chamadâsexpressòes logârítmicag pois podem ser calculadâsuti l ;zando logãritmos.
: l; f -a.=Ë=r
e-z=x-s
ãl
= (ax)r= aft+ g = rx
De Éàto, fazendo log€ b = x
loÊ.b=x-a'=b ìt . . - ,
log"b'=g=av=U,J
t
|=r="." ,c)
e logu A= 2,
:iilfi
Vêmos câlcLrlar o valor de logo$, sabendorg
q-elogbx -2e og"V-3.
uti lìzândo ês propriedâdes operetóÍias, vem:
og" *' - tog" "' -
tog" Vg -nv
=z. iogo"-* . rogov=
-2 ( ?) a 3- -4-1- s
SelogE= 1+logâ+2 logb logc,vãmosdetermìnârE, ern função de o, b e c:
Íemos:
logL=log10- loga + logbr- logc
logE= log(10ab'z) - logc
rosE=roe(-4eÉ)
.^ ,^^ . , 10ab2
J--"--i-**:-
SendoloÊB-â e lop 3 - b. vêmos calcular
toP z e toq 1 lu em ÌunÇâo 0e d e o.
Temos:
lop8-à- loe2 -a, )3 los2 a==ì lop2- ?
e
ffi exercrcros ru*ffií"0. Sejam:r e1 positivos e 0 < b * l sabendo que
Ìogbx = 2 e ÌogL y =J, calcule o valor dos seguintes logaritmos:
a) rosL (r. y) '
b) loc" l l l-- \ v.rc) lo96 (xr .yr)
Í" tr. Sabendo ,1ue log : - afunçãodeder:a) rog b
b) log l ,s
c) Ìog 5
d) Ìog 30
el rog?
12, !m cada caso, admitindo a existênciâ de todosos logadtmos mencionados, eripresse x em irn
ção de a, i , e. :
a) logx=1oga +1ogb +logc
b) logx=Ìoga logb
c) 1og. x : 3 Ìog. a + 2 logz c + I iogrb
d) 2logx = log ar + log ba Ìog9c'z
. l l ,€) t . rog\=roga+;rogb
13. quaÌ é o valor de:
a) logrs 3 + logr5 5?
b) log! 18 1og! 6?
c) 1og3 72 Ìo$ 12 Ìo$ 2?
, ldì i ÌúS.8 2 ìog 2 ìog 5 Ìog(qooo?
Í.4. Sabendo que log z = 0,3 e Ìog 3 = 0,48, câLcule
a) tog 72I
Dr tog tS
c) Ìog \Dtdr ,og f iaae) Ìog 0,06f) Ìog a8g) tog 125
d) 1ogr, {i )
.) ' .*,(+i tf ) losbl- \ fx. t l
e log 3 = b, caÌcuÌe. clr
í ) log72
g) Ìog 0,3
h) Ìog ïr,sì) Ìog 0,024
j) log 0,75
. I r togz tog3' t - 1 { log2-2. loe3)-
i f+.' ")- Ë ?-1.:,ì;j
x:. I I \ l U nd I 'e ' . . . ìc. . . . rJ 'Jdo ÌogaritÌÌÌo d€cim.ìl de 450, Dìas ÌÌào txìhâcaÌculadora. Em uüÌbusca Ììa lrÌternet, cncon-trou a tabeÌa abai-ro e, atral'és dcla, pôde calcúlàr corÌ€tanìenle o quc pÍeclsa!a,
2 0,303 0,487 0,85t1 Ì ,04
DeteÌrnine o \?ìoÍ e[contrado.
:o l ìJJú q re l ' ,u" _ - ( r0 " ' - . , . . Ì t ( tp ô
b) Deternine o valor de x € R que satisfaz a/ÂÂ Lr
equ(ao lil
= í(IP),.
1i,4 Supondo que logS = p e Ìog 9 = q, obtenha, eÌntunção dep c q:al rog õb) log 0,72c) Ìog ìirr':
d) Ìog 6,75e) Ìoe'\r162
1jl i j . s. r. r são números reais posit ivos tnis
que; + l = l, é verdade que Ìog (x + y) =
= 1og Ì + Ìogy? È{plique.
:l* 5n6"tr6o que Ìogr 2 = m, calcule, em função
a) logr 6b) log, l ì -
iJl l . Sabendo quea + b = 9 e a, b2 = 27, gualé ovalor de Ìog. (a - b)?
. l 1oS , l ;
1Z 1r'"n".p Sl,) Sejan o e p constanrcs reiÌis, conì(r > 0 ep > 0,taisqueÌogL0o=0,5elog I p=0,7.
a) Calcule Ìogì0 dP, ond€ cÌÊ indicâ o produtode(reÍJ.
a) 1og l7sb) log la
c) Ìog' 2Ì5
d) lo$ (2Ì5.3 ' ]0)
çffiLÌ
ffi
"{-",\ Íïl
ü.).{."'
. : . , i ' i - , . . " , i ; "1 ' : r r i ! . in-3; ;
O pll é uma escala usÂdn enl Químicn para expressar o grau de acidez ou basicidade deunìa sollÌçâo aquosê. Os vaÌor€s do pH variâm de 0 a 14.
Para o cáÌcuÌo do pH usa-se a expÍessão:
I pu roe tH l isendo [H+] â concerlrdção de íons hidrogênio em moÌ/{.
F Quanclo 0 < pH < 7,a soÌuçâo é ácid.ì.í> Quàndo pH = 7, a soÌuçâo é neutra.F Quândo7 < pH < l4,asolução ébásica.
Vejâ o pII d€ aÌgrìrÌrÌs soiuções:
. suco de Ìimão: 2,3
. vidlo tinto: 3,fl
. vinagre: 2,4 a 3,,1
. Ìeite: 6,4 ì 6,8
. iigud destiladx: 7
. sangr.ìe: 7,3
. bicarboÌìato de sódio: 8,4
. Ìeite de nÌ"gnési.ì: 10,5
. ânonÍaco: ì2,0
:
E
:
!
Ì:
agua sangue
Como sabemos, o estômago humano apresenia um meio muito ácido, devido à presen
ça e à ação do ácido clorídrico. O suco gástÌico, produzido no estômago, é responsáveÌ peladigestão de alimentos e seu pH osciÌa enlre 1,0 e 3,0.
Desse modo, podemos encontrar os Ìimites pâra a coÍcentração de íons H+:
. pH=l=- loglH+l =Ì+ÌoglHf l = 1=10-1=[H+]
. pH=3+-loglH+l =3+ÌoglHf l = 3+Ì0r=[H*J
Assim, a concentração, em moÌ/{, de íons Ìridrogênio encontmda no suco gástico Ìariade 0,001 r 0,L
Do mesrÍo modo, se a concentração hidrcgeniônica em uma solução de súco dástnco é4. lcrr mols/{, o pH da soÌução é:
pH=-toslHl= tos(4 10'z)= [os4+]ogl0, l = [2 log2 2)
Como log 2:0.3. lemor:
pH = (2 .0,3 2) = 1,4
PâIa sâber mais sobÌe esse assunto, você pode pesquisÂr em:
cdcc.sc.usp.br/ciencia/artigos/art 1s/chuvaacida.htmlcienciúoje.uoÌ.com.br/contÌoÌPâneÌ/ÌraleÍia/vied2467
f
Para eplicermos es propriedades opeÍalórias, oslogaritmos devem estar todos na mesmâ bâse. Se-nã0, é preciso que alguns logaritmos rnudem de base.
As calculadoras científìcas fornecem, em geral,âpenaÉ osvalores dos logaritmos decimais (base 10)e neperianos íbase e). Se quisermo. determindr ovalor de um logaritmo em ãlguma o-tra bdsê, se-ánecessário expressá-lo em bâse 10 ou bãse e, cornoverem0s a0tanIe.
Fórmula pera mudança de basePâra trânsformar um logarítmo de base o pera
base c, usaremos a relação:
Substituindo@ e@ em@, vem'
(cz)x=cc.+zx=u+x= 1
Vejamos a guns exemplos:
rn"- r =!8:ç1 I !lZZ! = r sq" logjn 2 0,3010
, o 'n? I 0,84sr : . , ., "61000' m
Mudança de base
toÊ^ Drqc"D=Ì;a
A vel|dade dessa propriedade é dada a seguir.Façamos:
. os.+=]!€4=-- tog." I' 1.3863 -" ."
1,0986l r4
f lo&b=x=a\=bOl lo&b=g=ca=b(aUog.e=z+cz=a (3)
Aplicação importanteDados deb reais positÌvos e diferentes de 1, quâl
é a relação entre lo& b e logba?Vamos expréssaÍ loga b na base b:
ofb loÊoD - I ou loq"b lop^a 1rogh è 0Ên a
Íi-ì*
Vejamos alguns exemplos:
. log32 log23=1
29. (uE nN) os habìrantes de úm cerro país sãoapreciadores dos logaritmos em bases potências de dois. Nesse país, o Banco Zig ofereceempréstimos com a taxa (mensal) de jurosT = Ìo& 225, enquanto o Banco Zag trabalhâcom a tâxa (mensaÌ) S = Ìog, 15.Com base nessas infoimações:
a) estabeleça uma relação entrc Ie S;b) determine em quaÌ dos bancos um cidadão
dessepaís, buscando a menortaxa deju.os,deverá fazer empréstimo. Justifique.
tlassifiençãs l*;ìsfunç**s
Vêmos observar as três Íunções a seguir
> A íL^çào / de A {-1.0, ' .>}ernB-{1,2,5},deínÌda pela leif(x) = x'z+ 1.Parâ todo elemento g de B existe urn elementoxde Á tãl qLre g = x2 + 1 Para todo elernento de Bconverge pelo menos uma flecha.
AB
Afunção/de Rem R', deÍinìda pela leiÍ(x) = x'z.Para todo elemento g de R* existe um elementox de R tal que g = x2, bastando tomar x = 1t[.PaÍâ todo elemefto de R*, a paralela ao eixo dasebscissas intercepta o gráfico deí
IlogrL / =
logzl I
Vamos calcular o valor de logroo 72, sabendoque log 2 =a e log3 = b.
UtÌ l izemos a fórmula da mudança de bâse:
log 72 _ log (2r.32)'vÉ100' ! log100
- 2
_ log23+log32 _ 3. log2+2. log3 3a+2b
I
a) Ìogr 2b) Ìogs 3
a) 1og. y
b) Ìog,: y'?
c) lo$ 4
d) {n3
c) Ìog, sd) Ìog. 100
l
d) Ìog,r x
24. s.jo- x el reais positivos, diferentes de üm. Selogti x = 2, caÌcule:
?5. Sabendo que Ìog,, s = a, calcule, em função dea, o valor dos seguintes logaritmos:
a) logs 12
b) logrs 12
26. calcuÌe o vaÌor de:
a) y=Ìog.r3 Ìo85 4 1(]g65Dr ) '= logT J logr/ logr|5 logi l l
, !4í. D.ìdo que J 4, rÌonre que 4 12.
2 8. Na figura ao lado, a - b * 1ea+b+ 1- Mostre que:
Ì1rogx
Afunção/de R* em R*, deínida pela leif(x) = 1.
Pârâ todo elemento g de LR* existe um elemerio
r de R'tal que u - a. bastardo tomar "
- 1.
Para todo elementog de lR*, a paralela ao eixo dasabscìsses inteÍcepte o gráfico deí
Essâs tÍês funçõês são exemplos de funçõess00reJeI0ras.
Ume funçào f: A- B é sobrejetorâ quen-do, pera todo g pertencente a 8, existe um x
Pertencente ã Átal que f(x) = I.
0uândo f : A -
B é sobrejêtora, ocorrelm(f) = B.
Funções injetorasVamos observar âs três funções a seguir
> A Íunçao/ de A {0,1.2.3}emB {r .3.5.29},defìnida pele leif(x) = 2x + 1.Dors elemenÌos dtsÌ intos de,4 tém como ima-gem dois elemêntos dist intos dê L Não êxístêmduas f lechas convergindo pera um mesmo elê'mento de B.
AB
> A função / de R em R, deÍinida pela lei f(x) = 3x.Ouaisquer que sejâm x1 e x2 de R, se x1 * x2temos 3xr + 3x2, ou seja, f(x) + f(x).Pârâ todo eleÍìerto g de IR, a paralela ao eixodas êoscissês ìnrercepta o gráÍco deluma u"i-ca vez.
!- Afunçãof de R*em R, defìnida pela leif(x) =1.
ouaìsquer que sejam xt e x2 de R*, se xt + x2
1s.n6, ! a 1, qu sqia, f(x,) + f(x,).xr Xz
Parâ todo elementog de R, a paralela ao eixo desâbsc ssês Intercepta o grêÍìco de/Jmê unicâ vezou nenhumâ vez,
Essâs três funções são exemplos de funçõêsInJêt0râs.
umâ função f : A- B é jnjetore quândo,parâ todos x1 e x2 pertencentes a r4, sexs * x,, então Í(x) * í(xr).
t
131
Funções bijetoras ouinversíveis
Uma íunçáo Í:A- B é bi jetora quando f I
- é sobrêjetorâ.e injetorâ.
_ _ |
São exemplos de funções bi jetoras:. f : R ' Rtalque í(x) = 2x.. f :R-Rtalquef(x)=x3.
_1. f ú{".- t t{. ral que f(x)=i.
l";r r,: ;: * ;--: i tllre a'ç *Vamos observar a função / de A = { 1, 2, 3,4} em
B = { 1, 3, 5, 7}, definidâ pe a leif(x) = 2x 1.Notemos que í é bi jetora, poÌs é injetora e tâm-
bérn sobrejetorã.
Se também acontece que â cada valor âtÍ ibuídoag está êssociado um únicovalordex, dìzemos quextambéméfunção deg. Essa funçãorecebeo nomede função inversa de/e é repÍesentada poÍ/ 1.
ttll(s) |Nesse câso, a função/ é inversíve.Pâra a construção de gráficos é importante no
tarmos que se/é inversível e um par (a, b) está nâtebelâ deí então o pâr (b, a) esté na rabela del 1.
Conseqüentemente, cada ponto (b, a) do gráfico de
/ 1é sirnétrico de um ponto (a, b) clo gráfico deí
em relação à bissetriz do 19 e do 39 quadrantesdo plano cartesiano. E, portanto, o gráfico del 1
é simétrlco do gráfico de/ em relâção à mesmabissetriz.
lnversas de algumas funções
!
Como todo elernenlo dê B é o corrêspondente de
--r j coelenenÌodeÁ.podemosÌrocat osconjLn-
tos de posição e ãssociar câdã elemento de I âo seucorrespondente de Á. Teremos, dessa forma,consìr, ido umà funçao dênomrnàde ÍLnçào Inver.ède/erepresentadâcomosímbolo/ 1. Nesseexem-
. . , , . r+lplo, J le lq. e de' lne â VerSâel r r l -
r - .
Notemos que /r l também é bi jetora, D(f-1) = B elm(Í 1) = A
0uêndox e g sãovariáveis que se inter-relactonamde modo q!e a cadâ valor êtr ibuído âx está associadolrn únicovê ordeg, dizemosqueg éfunção/dex.
Vejamos âgora como constatar que a funçãof: R- R dade pela fórmula U = 3x+4 é inversível,cono dê1erm:1êr a inveÍsa del e como constr ! i Íos gráficos de âmbãs as funções.
Serdo f umã fLnçáo afim, o seu g.áfico euma rêiã:
Podemos notar nesse gráÍìco que,vaior de g, exìste em correspondênciavalor de x (/ é injêtoÍâ); além disso,(/é sobrejêtora). Assim,íé inversÍvel.
para cadaum untcolm(f) = R
11r
Varnos construir o gráÍico de /-1
Esse gráfico é simétrico ao gráÍico de /, emrelâçãoàbissêtrizdo 19edo39quâdrantes. 0es'sâ Íorma, o gráfico deíl é a reta P'0: P'= (4,0)
e0'=10, +).
Agora vamos determinâra fórm! a que define
/ r. A paft i Í da fórmula g = 3x + 4, que define í
varnos expresserx em função de g:
u=3x+4=lx q 4-x=+3
Em geral, quando se vai representar no pla-
no cartesiâno o gráfjco dê uma funçã0, a var â_vel lndependente é indicadã no eixo das abs-cissas e a dependente, no eixo das ordenadas.Asslm, vamos permutâr as vaÍiáveisx e g ne íórmula obtida.
Temos u = l:4. que clefine Í-Ì.'3
A câda g corresponde um único va of de x.Além dlsso, o conjunto imagem coìncidê com ocontradomínio; portanto, f é inversível. VamosegoÍa obter a fórmula que definefr:
g =x3 + 1+x3 = g 1+x= i f i
e, perrnutandox com I, resulta:
v=ifil0 diagfama abâixo mostra os gráficos das
duâs funções (simétricos em relação à bissetfizdos quadrantes Ímpares).
i l
IVejamos como constatar que a função
f: R * R dada peÍa fórmula g =x3 + 1é inversível,corìo oeÌe n ,nãÍ a inve-sd del e coaro consÌr- i Íos gréÍìcos de ambas as fLrnções.
Afunção g =x3 + 1 é uma função crêscenteem R e seu gráfico contém, por exemplo, osp0nt0s:
i" 1ï
observaçãoVamosverificar se a função Í: R * R dada pelaleig=x2éinversívê| .
Essa Íunção não é inversÍvê|, pois, pâra U > 0,decorre x -=
f,$ ou seja. pàre cada g > 0 exis-tem dois valores correspondentes de x. Vêja.m0s:
etc.
E, por outro lâdo, para U < 0 nãocorrespondente x = ltflg.
37. Veriflque, em cadu caso, se a função represcn-tada pelo g.áflco é sobrejetora. Em caso afrr-mativo, \€rifique se ela também é bijetora.a) f : R- R+ d) f : R- R-
b) f :R*R e) f :R+..
c) f :R+*R+ f ) t :R-R.
ffi exercrclos runtClassifique os erercícios de 30 a 35 co-o: S, se afunção for somente sobrejetora; Í, se a função for so-mente inietoraj 3, se a função foÌ bijetora; O, se afunção não for irÌjetora nem sobrejetora.
30.r, {-2, -r, 0, r,2} * {0, 1,4}, definida porf(x) =
"2.31. r
' 10, r, 2,31 - 1s,3, l , 7Ì, definida por
f(x)=2x+I
3?. r, {-r, o, r, z} * {0, r, 2, 3,4, s}, definida porf(r) = x.' 1.
33. r , { -2,-r , o, r , z}* I - t , - t ,0,r ,2,3,4LdeÊ,nida por f(x) = x'j- 1.
34. r, N - N, d"Ênia" por f(x) = 3x + 5.
35.t,Z-Z,d"Ê^d^por f(x) = x- 5.
36.E- cada caso, seja f: R - R. Dos gúficos a5eguir, quai( os que represenlam funçoes
I
38, VeriÂque, em cada caso, se f: A-. B é inveïsíveì,justificândo sua respostâ. Forneçâ, quando exis-tir, a Ìei que define f Ì(x):
a) A= {0,1,2,3ieB = {3,5,7,9Ì ; f (x) =zx+:b) A = {-1,0, 1l e B = {0, 1}; f(x) = 1,
39. S.ju f, m --.r n a"noida por f(x) = -2x + 1a) Qual é a lei que define / Ì?
b) RepÍesente, no mesmo pÌano cartesiano, osgráfrcos de /e /-Ì.
Í ì1 ì
. ' n=l r . { .+,- l le B-11,2,r ,4t ; fLx; - l| 2 t 4J I
f 1 ìd) A = {-1,0, 1,2}eB=l+,2,4, l l ; (x)=2.
tz )e) A= {4;10,28}eB= {1,3,2};(x)=log3 (x 1)f) A = {-2, -r,0, l ,2ie e = Z; f(x) = Ixl
I
inietorâsi
í1,4
40. s";" t, m* - pr aeÊnida por f(x) = x'].
a) QuaÌ é a lei que define fr?b) Represente, no mesmo plano caÍesiano, os
gráficos de /e fr.
41, S"ju f, m - R o-" função de 1e gúu daoa pemÌei f(x) = 2x + a, sendo a uma constante reaÌ. Qúalé o vaÌor de f(3), sabendo-se que fr (9) = 7?
42.tn.ontt.. .-,ada caso. a lei que deÊne a in-
a Ì : | t (+1,{eI lx)= ' - ! -
b) f :R-Ref(x)=xj
c l :L{- i -J l -L\ i l 'erLxr - - - - - - - - - - i
43. No gráfico s.guinte estão representadâs as fun-
ções /e / Ì, definidas de R em R.
QuaÌ é afunções?
Vamos chamar de c o valof inicìaldepositado por
Cássio. oual será o saldo na poupença noÍm do 19 mês
da aplicação?Será c + 1% de c, ou seja:
c+ac=c+0.01c=1.01c100
oualserá o saldo em conta no fìnal do 29 mês de
aplicação? Bem, no 29 mês o rêndimento de 1% será
calculado sooÍe o sãldo em contâ no Í im do 19, ou seja,
sobre 1,01c.À<.ih tÂ.êm^c
^.) l . l^ dê
1,01c + 0,01 (1,01c) = 1,01c (1 + 0,01) = (1,01)'zc
oualserá osaldo na poupançe nofìnaldo39 mês?
Será (1,01)3c.
Qual será o saldo ne poupãnçã no Í inal de n mê-
ses dê aplicação?Será (1,01)nc.
Como queremos que â importânciâ dobre, ela
dêve sêr gual â 2c no f inâl de n meses. Entâo:
(1,01)nc = 2c = (1,01)n= 2
Aplicando logarit Ínos, vem:
Ìei que deflne cadâ uma dessas log!01 (1,01)n = log!012 + F=r-J-"g;A(aproximadamente 70 meses)
E se quiséssemos que o câpital inÌcial fosse mul-
t ipl icado porx?Teríemos:
l.(,OI)ì =í.x..+1ogr,o1 1,01n = log1,o1x +
+n=logtolx
Um càso pâÍ! icular da {unçao logariÌr icã é:
f(x) = log!ü x
DefiniçãoDado um nume.o íeãlo (com 0.- a 7 l), châ_
ma'se função logârítmica de bâse d a função dê Rl
em R dada pelãrlei f(x) = lo& x.
São logarí tmicas, por exemplo, as funçõês
I = logz x, g = lo81o x e U = log" x.
11ü
t
a)
Função logarítmieaCássio está depositando suas economias em
umã cadêrneta de poupança especial, que rende 1%
ao mês. Por quantos meses ele deverá deÌxar o di-
nheiro na conta para quê seuvalordobre?
I!Ì
b) Em que ponto as retâs se interceptam?
Vejamos corno descobrir o domÍnio dã funçàodefinÌda porf(x) = log("_ 1) (3 - x)
Devemoster 3 x>0,x 1>0ex-1+1
3 x>0+x<3 @x 1>0+x>1@
x-1* 1+x* 2 @
Fazendo a interseção dos conjuntos @, @e O,resul ta 1 <x < 2,ou 2 <x< 3
Então,D={x€R 1<x<2 ou 2<x<3Ì.
Gráfico da função logarítmica
Vamos construir o gréf ico dâ funçãog = log2x, definida pâra x > 0.
lnicialmente, construímos uma tabela dândovalores aV, para depois cãlcularmosx.
-?. : : . - . : : : - . ' - , ' . . . . Í - . ' . . '_ i r : : ' , ; , : ' i .1: i - , r - ; . : : l
0. - r ' - : : ; : . ' . : : : i ; ! - : ;
: , : - r . - Ì - r , -5- ,1 i : : : - .
z. - , : : , . . . . ; : : , iÈ - . . ._-1:
' : :_ì Ì - : . " , r1 Ì ;
012
3
45678
0utro modo de construir esse gráfico é con-..toe-àr o . e. \e Ll _ log y ê-tào . _ 2rr. l<.0 - ignif ica que o ponto (x, g) está no gráfico dâ fun-cão oge lTi.a 5e o ceu "nve'so /rr.
^) e-ta afunção exponencia de mesrna base. lvlas ospon'os /(. q\ e r g. r | ,áo s rerr:co. Êr.ì retâçèoà bisseÌr Ìz do 19e do 39 quadrântes do planocartesiano. Portânto, conhecendo o gráf co dafuncào " po eì . iê l dê bâ.e 2. por - tn." ' r ièobtemos o gráíÌco da função logârítmlcã debase 2.
Ve dno- co Ìo co1s t. ' o g-êí co dè ,^çêo
V = ogr x, definida para x > 0
Và-nos erbrê .o,Ìo e o g.d,ico dê .unçâo
e.pone rr ãl de base ;
e, oot simetr d, obÌeÍ o
gráfico da funçào ioqariÌmicã de bãse +.I
3
2
1
, . . .
v
0e modo geÍal, o gráíico da função g = loga x
tem as segurntes câÍacÌer $lcas:
. está todo à direìta do eixo dos g, pols a função
sóédeí in idapârax>0;. cona o eixo dosx no ponto de ãbscÌssa 1, poÌs
U=log,1=0Parâtodooi. e simeÌrico oo gràfco da fu'ìcào g - â" em
relaçào à reta bissetriz do 19 e do 39 qua'
drantes;
dffi exercícios mm44.s"jn t, mi - m a.finida por f(r) = logx. CÌas-
siíìque como verdadeiras (y) ou faÌsas (I) asafrrmaçòes seguintes, corrigindo as falsas:
â) f( loo)=2 c) f( lox)= Lo f(x)/ ì \
o Í r ; ' r1r7 d, l l - ì - i \ ì 0\^/
45, Ëstabeleça o domínio de cada uma das tuüçõesseguil1tes:
a) I = Ìog5 (x l)Ìr) y= Ìog r (3x 2)
.) v = togi (x'- s)
46.4 Ìei s€guinte reprcsenta umâ estimâtiva sobreo númerorÌe funcionários de uma empresa ernirnçlo de seu tenpo de vida:
n(t) = 400 + 50 . Ìo& (t + 2)
em que n(t) é o númerc de funcionárìos not ésiÌno ano de existência da empresa(r 0, , ,2. . . . ) .
a) Quantos funcionários ê empÌesapossuÍa nasua tundação?
b) Q[antos funcionários foúm acÌescentadosdo 2!'ao 6! ano?
47, Construa o gráfico das seguintes funçoes:
a) y=Ìog.rb) y=logrx
cl I=1ogx
. torna o aspecto de um dos gráficos âbaÌxo:
2
48.O gráfico seguinte rePresentâ a funçãoy-,r+lo8b{\+ ì ì .sendoaeúcon' tanle"eais '
Quais são os valores de a e b, respectìvamente?
49. 1u. Ê Ouro lreto-MG) O gráfrco a seguir repre-
senta uma Êrnção do tipo f(x) = Ìogb (x + a).
DetermiÍe a área do triânguìo rctângrrÌo coÌo-rido.
5 0 . sq" 1u n-çao d"noida pela lei f(x) = 1og, (x - 1).
â) Qual é o domínio det?b) Qual é a lei que define /-r? Represente / e
/ I no mesmo sistema cartesiano.
51. (ú-e,A.) o cu"to de prodúção diária e a receitapela venda de um determinado produto fabricado por uma empresa, em milhares de reais,são dados, resPectivamente, peÌas funçõesC : [0, +-l * [0, +-Í e R: 10, +-l * I0, +-L'
com C(x) = 2 + 1og, (x + 1) e R(x) = 2'- 1, sendo
Í o nÌímerc de centenas de unidades prcduzidâs.
Com base nessas informações, assinaÌe you 4justificaÍdo as sentenças faÌsâs.
a) As funções C e R são crescentes.b) R é a função inversa de Cc) Para uma.receita iguâì a R$ 7 000,00, o cus-
toéigualaR$4000,00.d) Se a produção é de 100 Ìrnidades, então um
aumento de 200qo na produção acarletaráum aumento de 100o/o no custo.
e) A função lucro, deÊnida por L = R - C, sa-tisfaz a condição L(0) = L( 1), mas não é uma
firnção constante,
f) Á figura a seguir representa um esboço dográÊco da função C.
5 2 . (Vunesp-SP) uma escala ÌogaÌítmica foi construídâ parâ rcpresentar vaÌores muìto peque-nos de uma variável ,, usando ã fórmulay - -logro x. A tabela mostÌa dois desses vaÌores:
MMK#HaJ Por quânto devemos multiplicar ,,:, para
obter rúr?Se x3 = 0,0000001,quaÌ deve ser o valor correspondente /3 üessa escaÌa?
PropriedadesVejamos agora âlgumas Propfiedades envolven-
do funções logarítmicas.
> Se a > 1, então â função logâítmicâ f(x) = lo&x
é crescente.
xt < x2 <- lo8ãx1< logaxz
De fato, temos:
x, < x, <+aloc.tr < aLo&x, <- lo& x1< loga x2a>1
Vêjamos âlguns exemplos:
. 7>2+log37>log32
. lã< 2 =*logro16< logro2
Se0(a< L, entao a funçâo logaÍÍ tmicaÍ(x) = log"x é decrescente.
!
"ì1"8
xr < x2 € logaxl > logà xz
De Éãto, temos:
xr <x2 <+alogaxl <aloc.* '<:- log" x1> log"x2o<a<1
Vejamos âlguns exemplos:
. 2<5=lop,2>loq,5-; -;
. g>4+logo,t9<logo,14
Se a > 1, então os números positivos menores
que 1 têm logarìtmos negãtivos na bâse o e 0s
números maiores que 1 tèm logaritmos Posit ivosna base o.De fâto, se a > 1, temos:
0 < x< 1 + logax< loga 1 + logax< 0
x > 1+ lo&x > log" 1 +logx > 0
Vejemos alguns exemplos:
.1otu0,8<0
. loBs 0,92 < 0
. loge25>0
. log2\E> 0
Se 0 < a < 1, então os números Positivos me_nores que 1têrÍì logaritmos PosiÌivos nâ base oe os números maiorês que 1Ìêm logaritmos ne-gâltvos na base o,DeÉâto,se0 <â < l,temos:
0 < x < 1= log"x > logâ 1+ logâx > 0
x > 1+ lo&x < loC" 1+ logx < 0
Vejamos alguns exemplos:
. logo,20,5>0
. logo,3 0,81 > 0
log? 17 < 0
logrtr5<0
0t
ffi exerclctos m,|tr53. Classifrque como verdadeiras (V) ou falsas (F)
as âfiÌrnações seguintes:
a) 1og34<lo$5
b) log, 4 < 1og, 5
c) log 0,35 < Iog 0,2
d) Iog2r,2 > log9
e) log, rD < 1og, 2
f) logl] > ìogL +
g) log,3<0
h) log5 2 > 0
54. 1ur-ue) ,t ngura abaixo Íepresenta o gráfrco/1\
da tunção f(x) = Ìo& \-:J.
Mostre qÌre o valor da áïea sombreadê é
-c . (log" 2c'?) e explique por que esse vaÌoré um número positivo.
119
{fiB,SË
C3q!(5f,-.}aTsLJ
\rn'\í-5---
.{-rcs
ã
Os terremotos e a escala R.ichte.rEm 26 de dezembro de 2004 um terremoto de 9 graus na escala Richter foi registrado na
cosla da i lha de Sumaüa. na Indone\ ia. à.8 h dr manha. O rerremoro <iesen.rd.ou o , .nol Ìenodas tsunamis - ondâs gigantes que podem chegaÌ até 10 metros de altura -, que atingiramvelocidades de 800 km/h e chegaram a vários outros países da Ãia como Tailândia, Sri Lânla,India e costa leste da Áíiica. O teríemoto deixou um sâÌdo de 300 000 mortos e pela sua mngnitude é considerado o mais forte dos últimos 40 anos.
A escala Richter foi desenvolvjda em 1935 por Charles Richrer e Beno cutenberS, noCaìifomiâ Institute of ïechnology. Xla serve para avaÌiar a magnitrde de um terremoto, de acotdo com a energia liberada sob forma de ondas, medida por aparelhos chamados sismógrafos.
p Gtoba, 15tôn0o5.)À escala Richter é uma escâla logarítmicâ: a magnitude (graus) de Richter corresponde âo
ìogaritmo da medida ilas amplitudes das onalas sísmicas, â 100 km do epicentro.A fórmula utilizada é:
M = ÌogÂ_ log,\
sendo Á a amplitude míxima rnedida no sismógrafo e Á0 uma amplitude de referência (log ,r., econstánte).
Desse modo, se quisermos compalar as magnitudes (MÌ e Mr) de dois terremotos em flrn_ção da amplitude das ondas geradas, podemos íazer:
i
Ml M, = ( logÀ, - ÌogAo) ( logA, - log,\)
Mr -M, = ìogAì - ÌogA,
M, - M, = bs (41ÀJ
Veja um exemplo. Em 1986, üm terremoto em João Câmara (Rio Grande do Norte) chegoua deIIubâI quaho miÌ imóveis e atingiu 5 graus na escaÌa Richter
É possível comparar, usando a er?tessão obtida, as ampÌitudes alas ondas geradas por esseterremoto.e pelo teremoto que causou as tsunamis na Ásia (9 graus):
João Câmara: Ml = 5 e Tsunami: M2 = 9.
M, -M, =r"se) = s -r = r"s (f) = -+=r"s (f)ror =
â.+ loh =f = a, = ro oooa,
i .2ü
 êscala Richter e sêlsefêlto5
i , * l'\ Para saber mai..obre e5'e dssunto. você Pode pesquisar em:
igc.usp.br/ geolo gia/a-terra.php
Revista Gdlikír. São Paulo: Globo, out 2002.
Ëqr;ações exponenciaisHá equâções que não podêm serreduzidas â uma
igualdâde de potênciâs de mesmâ base pela simplês
âplicação das propriededes dâs potências. A resolu'
ção de uma equação dessetipo baseia-se na defini-
ção de logarìtmo:
ax=b+x=logab
com0<a+1eb>0.
Com o auxílio de uma calculadoía, vemos re-
solver âs seguintes equeções:
a) 3"=s3*=5=+x=log35
x=loe,s- l " -Ë;1 = uls=u =1,d65'- l0g J u,4((r
b) 24x !=7
.4^Za, r=2.,+L=?=24'=14=
+16x=14+x=10g1614
. _, loq14 _ 1.1461 -^x roer614-Ëffi -: i'iffi =0es2
Retomandoa quêstão proPosta no início des'
te capítulo sobre em qúânÍo têmpo o valor do
caminhão será ìguala R$ 20 000,00,temos que
resolver a equação exponenclat:
(0'e)- = 0'2
Considerando log2 = 0,3 e log 3 = 0,48,
1em0s:
.2' "5 10
lsto é, as ondas do terrcmoto que causou a devastação na Ásia são 10 000 vezes úais amplas
que as do terremoto em Ioão Câmara
t
x = roeo,q o,z = .19991=q
-" 10
lop2 - los 10= Ìg r:tog 10
=
Daí, vem:
n?n_t n7nx=:=:--+= : ':: = 145
u,gb - I -u,u4
ou sejâ, o camìnhão valerá 20 mìl reâis após
17 anos e meio.
,ffi#ru exerçício$ ffiiffiffi5 5. Sabendo que log z = 0,3 e log 3 = 0,48, resolva
a\.e8uinle' eqLraçoe' e\Ponen'idi\ . com âu{È
lio da calculadora:
S5. nconomistas afirmam que a dividâ ext€rna de
um determinado pais crescerá segundo a leì
y = 40 1,2", sendo / o vaÌor da dívida (em bi
lhões de dólarcs) e iç o número de anos trans
corridos após a diÌ.Llgação dessa previsão. Em
quanto tempo a dívidâ estará estimadâ em
90 bilhões de dólares? (Dados: Ìog 2 = 0,3 e
log 3 = 0,48.)
log 2 log 102log3- log10
a) 3.=10 e) 2.=5b) 4x=3 a 3a=2
/ j \ Í+ l
t t 2.=21 c) i ; l =ì i
d) 10"=6 h) 2"=3
T?L
57. FeÌipe apÌicou R$ 500,00 em um tundo de ìn-vestimento que Ìende I o/o ao més. ConformeaprendereÌnos em Matemática FinanceÌra, onoÌrtaÌÌte (valor inicial + juros recebidos) des-sa apÌicação, daqui a r meses,pode ser expressopor M(n) = 500 (1101)n,
r ì Oudl e o montJnte de\,a apl i .a\ao apr j \n1eio aro?
b) QuaÌ é o tempo mínimo necessário que FeÌipedeve manter o dinheìro aplicado a im de resgâtar R$ 800,00? E parâ resgatar R$ 1 000,00?(Uselog2 = 0,3 elog 1,01 = 0,004.)
58. Dentro de i décadas, contadas a partir de hoje,o vaÌor (em reais) de um imóveÌ seÌá dado porv = 80 000 . 0,9'.
a) Qual é o valor âtual desse imóveÌ?b) Qual é a perda (em reais) no valor desse
imóvel duraÍìte a primeiÌa década?c) Quâl é o tempo necessário, em anos, parâ
que o valor do imóvel seja R$ 60 000,00?(UseÌog2 = 0,30 e log 3 = 0,48.)
59,A expressao seguinte reÌâciona o valor v, emreais, que um obl'eto de aÌte teÌá | anos após asuâ aqu$lcão:
v(t) = 500 2r (k ' uma constante positiva)
a) Sabendo que o valor do objeto, após trêsanos de sua aquisição, é de R$ 2 000,00, de-termine o valor de ft.
b). Por qual valor esse objeto de arte fojadquirido?
c) QuaÌ é o tempo necessát io para que ovaÌor do objeio seja de R$ 5 000,00?(Use1og2=0,3.)
60.À populaçao <Je ratos de uma metrópole está,ÌÌos diâs de hoje, estimada em Ì5 milhões.Acredita-se que tal população possa aumentar à tú,\ade 20olo ao ano. Se isso reaÌm€nte ocoÍe! de-termìne o tempo mínimo necessário para quea popuÌação atinja:
a) 20 miÌhões . b) 30 miÌhões
(UseÌog2 = 0,3 e log 3 = 0,48. Sugestão:Veja oexeicício 3l do capítl o 6.)
61. O número tle elementos de Ìrma deterÌrrnadaespécie aDimaÌ diminuì à ta-ra de 10%o ao aüo.Im quantos anos ficará reduzido à metade?(Indique o núnero inteiÌo mais próximo. UseÌog2 = 0,301 elog 3 = 0,477t.)
62. Op-pn) Um grupo ale estudantes resoiveu rcpetí a medição da altum do Pico dá NebÌiÌ1a feitã na décâda de Ì960. Para isso, escaÌarâm essamontânha e Ìevaram um barômetro. Chegandoao cume dâ montanha, efetuaram váriâs medi-
ções da pressão atmosférica no local e obtiveramo vaÌor médio de 530 mmHg. Â pressão atmosfé-rica P(h) a uma dada altura I (em metros, erì re-ÌaFo ao nível do maÌ) é fornecida pela função:
?(h) = Po.ed h
sendo e a base do sìstema de logaritmos nepe-ianoq Po = 760 mmHg â pressão atmosféricano nivel do mat e o Lrm número que dependeprincipalmente dâ temperatura média no localde medição.Sabendo-,e que. nas condiçde, des.e er?erimento,(, = -0,00012 e que os estudântes usa-ram os vaÌores âproximados ln (760) = 6,63 eín (530) = 6,27, quâl foi a aÌturâ que encontm-ram pam o Pico da NebÌina?
[qu*açõ*s lmgarítrnicasVamos ver como são resolvidos alguns t ipos de
equações logarítmicâs através de exemplos.
> Equaçõês redutíveÌs ê uma igualdade entre doislogantm0s de mesmâ bese
log€ f(x) = logâ 8(x)
A s0lução pode ser obt ida ímpondo-sef(x)=g(x)>0.
Vamos resolver a equação:lo& (3 -x) = log3 (3x + 7)
Temos:
3-x=Jx+7>0
3 x=3x+7+4x=-4+x=-1
SubsÌituindqx poí 1 nâ condiçào 3x - 7 > 0,vem 3( 1) + 7 =-3 + Z ) 0,que éverdadeira.
Fnrào.S-{ . t } .
r
LV_.2
> Equâções redutÍveis a umâ iguâldâde entre umlogâritÍno e um número Íeâl
log" f(x) = r
A so uçã o pode ser obtÌda ìmpondo-se f(x) = a'.
Vâmos resolvera equação log2 (x'z+x 4)=3.
Temos:
log. (x'z+ x-4) = 3 =+ x2 +x-4=23 -++x2 +x- 12 = 0 =+x= -4 ou x = 3
,._...5.111.11:1_1 lÌffiffi exerelcl0s ffi63. ResoÌva, em R, as seguintes equações:
â) Ìogs (x + 4) = log5 7b) Ìog, (4x + s) = Ìog, (2x + lÌ)c) Ìog3 (5x'?- 6x + 16) = 1og3 ({d + 4x 5)d) log* (2x 3)=loC"( 4x+8)e) 1og1"r,1 (x, 2x) =tog(,+r 3
54, Resolva, em R, as seguintes equações:
a) loga(x+3)=2b) 1og, (2x'z 3x + 2) = 0
c) Ìogi '3x+1=-td) Ìog, ( logrx) = I
e) ÌogG [3 + 2. lo$ (x- 1)] =2
6 5 . Resolva, em R, as seguintes equações:
a) (Ìog, x)2 - 15 = 2 1og, x(Sugestão: Faça Ìog2 x = y.)
b) 21og'zx+logx 1=0
c) (1o96,5 x)3 3 . (tog,.' x)'? 18 . Ìog0,5 x = 0
66. rvune"p-rPr Numa planraçao de .erra e.pe-cie de árvore, âs medidas aproximadas da aÌ-tura e do diâinetro do tronco, desde o insranreem que as árvores são plantadas âté corÍpÌeta-rem 10 anos, são dadas respectivamente peÌâsÌunções:
H(t) = 1 + (0,8).Ìoc, (t+ Ì)
D(t) = (0,r) 2;
.om H(r) e D(l) em melros e r em ano:.
Determine as medidas aproximadas da altula, em metrcs, e do diâmetÌo do trcnco,em cendmetros, das árvoÌes no momentoem que são pÌantadas.À altura de uma árvore é 3,4 m. Deiermineo diâmetro aproximado do tronco dessaárvore, em ceütímetros,
t> Equações que envolvem utilização cle propriedê-des ou de mudânçâ de base
Vamos resolver a equâção:
2 logx = log (2x- 3) + log (x + 2)
A equeção propostâ equivale a:
log x'z = log [(2x - 3) (x + 2)]
e daí, vem;
logxT - log(2x2-x-6) -x ' - 2x2 - x 6=+x2+X 6=0+x=-3oUX=2
. x = -3 não pode ser eceito, pois não exÌstemnessê caso logx, log (2x 3)eÌog(x+2).
. x = 2 é ã solução, poìs satisfaz âs condiçõêsdê existênciâ dos logaritmos.
Entã0, S = {2}.
Vêmos resolvera equação logax + log,4 = 2.
Fazendo log4x = g, temos:
-^ t0g4 x u
Assim, â equação dâda f icâ sendo:
qr ' - 2 >u/ 1=2u-u'-2u.I-0-
+U=1+logax=1+x=4
. x-4 eàsojuçào, pois sat isfal âs condiçoesdê existêôcia dos logaritmos.
Então,S={4}
a)
b)
t
" ì3
iã# exercrcros ffiffibí. Rç'o1va, <m R. rs equaçõÈs scgujnlcs:
a) Ìog, (x 2) + logr x = 3b) 2 togT (x + 3) = logT (xz + 4s)c) Ìog (ax- l ) log(x+2)=Ìos:d) Ìogx+logx'z+logxr= 6
68.n."otuo,.- n, as seguintes equaçõ€s:
a) Ìogr (x + a) + log, (x 1) = I
b) Ìog (2x l) + log (x + 2) = Ìog (8x - -7c) l log52+Ìog5(x l ) =0
d) logr (3x'] 5Ì + 2) Ìos, (r/ Ì) = ì
6 9. Resolva, em R, os segujntes sistemiìs dc equaçoes:
. . ì Jx+ y= 10I logar+LoSa)=2
Dl i ,t rogr { rog, y= 2
Í Ì"s (x+ y) = |cr i '4
12logrx+Ìogry=3
í Lr. íUF'M {) Dxdo o \i\tenìa de equ.rções:
J 1o9,6 x Ìog,,, y = tog,. 3
lx+ 2y= lsnas coüdições em que x > 0 ey > 0, caÌcuÌe ovÀlor de t, onde I = Ì.
71 -r r . KeFoL\aj €m ü{ j . lç eqrLàçoe\:
a) Ìog, r = log, 5b) losae 7x = ìog,7
c) 2 Ìo& (3x +,13) - log:: (x + 1) = 1+ Ìogu (x- 3)d) los, (x- l ) + log, (x 2)=Ìog,x
72.Au-.rrtu,rdo u- núrero r ile I unidaales, scuÌogaritmo em base 4 aum€nia de m€ia unidade.QuaÌ é o vâÌor de x?
23. (U. F. Ubertândia MG) A financeiÍa CrédiroNlortâÌ empresta dinheìro a serÌs cLjenles corna condiçào de que a dívida seja paga en urnaúnica v€2, de ácordo com â seguiÌ1te regra:pâia um montante de I( reais enÌprestados, ocliente, ao final de r meses, deverá pagar aquantiâ de K . ÌogÌ0 (t + 2) reâis. Os conpâdfe. \nì .ncio l<aÌe RJn ìro Ba..o. iorrnr j r rtos à finânceira e, no mesnìo dia, tomaramI 000 reais eÌnpÌestados câda um. Ao contrá-r .o Je. o l Ìpadrc Rrrniro. , uce.t}a nrai .apc -
taclo, compadre Amâncio pagou sua dívidaâpós um mês. Ao pagar sua divida, con'ìpadreRamiro foi informado tìe que a soma dos valores pagos peÌos dois amigos havia totaÌizâdo1000 Ìogro (30) reêis.Quantos meses demorou Ramiro Bastos pârâpagar sua divida?
74. (ur-cl) Enconrre os números Ìeais x e 1 quesat isfazem sinultaneamente as iguâldades1og2 x+ loga y= 2 e logíx+ log2y= 1.
75. ResoÌva, err R, a equação xlo$ x = Bt.
l l r r : : , ; l - ç 'Ão*
1í. .n.=r" . r iãË*
Há inequações exponenciais que não podem serreduzidas â uma desigualdade de potêncìâs de mesma base pelã simples âplicação das propriededes dâspotêncÌas. A resolução de uma ineqiraçào desse t ipobâseÌa-se no crescimento (quando â basê é ma orque 1) ou no decrescimento (quando a base estáentre 0 e 1) da função logaritmica.
ax > b.+logaâr > loga b <)x > Iog b (se a > 1)
aÍ > b <+ logã ar < logú b <+x < logê b (se 0 < ã < 1)
a" < b <+ logã ax < Ìog b <+x < log b (se a > 1)
a" < b<+logax> ogb<+x>logb(se0 <a < 1)
ê)
o)
Vamos resolver as seguintes inequações:
2'>5
2" > 5 + log2 2" > log2 5 +x > log2 5
32r+s < 7
32**s < 7 =+ log3 32,*s < log3 z =
=2x+ 5 < togs 7+x <+( 5+toCa Z) ã
, t :
- l .<1 logr l3-s Z)=-x< oCrJá
f
t.
ffi*il exercrcros ffi76. Resolva, em R, as inequações seguintes:
a) 3*>4
b) 2 '>+c) 0,3{ > 2
d) l loJ<s
77. Sabendo quelogz = 0,3 e 1og3 = 0,,18, Ícsol-va as úequações segumtesl
a) 4 '> 3
rt l-,.J .n
t1êr1r rãrr ìâc
"*- . í+* i^^-"" 'HCtI t ì^ l tHLctJ
Vamos ver como são.resolvidos dois t ipos deinequâções logarítmicâs.
> Inequações red!tíveis â uma desÌguâldade entrelogarìtmos de mesma base
logâ f(x) < log" B(x)
Aqui há dois câsos â consideran
. A base é mâior que 1. Nesse caso, ã Íelãçãode desigualdade entre f(x) e g(x) tem o mes-mo sentido que a desigualdâde entre os loge-ri tmos. Para exist irem os logaÍltmos, deve-mos mportarbern que'íx) e gíxì se am positìvos. Enlã0, â solução pode ser obtìda im-pondo-se que:
log"f(x) < loe" g(x) + 0 < (") < g(")
. A base está entre 0 e 1, Nesse caso, a Íea
ção de desigualdade entre Í(x) e g(x) tem sen-t ido contrárìo ao da desiguãldade entre oslogaritmos. Para exist irem os logâÍitmos, devemos impor também que Í(x) e g(x) sejamposit ivos- Então, a solução pode ser obtidaimpondo-se que:
loe"f(x) < loe" e(x) + f(x) > g(x) > 0
Vamos resolveÍ a inêquação:
log, (2x 5) < log.x
Condições:0<2x 5<xDaí, vem:
2r,5>0+x>+ (1)/
2x-5<x+x<5 @Da interseção de @com @, resulta:
lEìs=lx€Rl lcr<sl
I . )
VaÍnos resolver â inequação:
log, x 'z< log, (x+2)
Condições:x2)x+2)0
Daí, vem:
x+2>0+x> 2 Ox2>x+2=x2-x-2 )0. .+x<-1 oux)2 @
Dà inrerseçào de O com @, segue
,....".,.Ì:J:5.ï.1 -1"::: ::.::.:: :1.*,""> Inequações Íedutiveis a uma desigua dade entre
um logari lmo e uÍn númeÍo reâl
log" f(x) > r ou log, f(x) < r
Pare resolver umê inequaçèo desse tìpo, bestesLtbstj tuir I por loga ar; âssimj recaímos numainequãção do 19 t ipo.
log" f(x) < | equivâle a log" Í(x) < og, a'
og" f(x) > Í equivale a log" f(x) > og" a'
nequação log, (2x 1) < 4.
log2 (2x- 1) < logr 2a +
*
. Vamos resolvera iÌemos:
logz l.zx - t) <. 4 ..+
+0<2x-1<16
)=lxe L\t l * . " . +l
tir ì:
Vamos Íêsolver a inêquâção:
Ìog, (x'z Bx) > 2
Temos:
logl (x'z- 8x) > 2f
r08r lx_ - õx) > rogl
0<xz-8x<9
Dex2-8x>0,vemx< 0oux>8 @
Dex'-8x. 9,vemx7 8x- 9. 0,edai-1<x<9 @
tazendo a ifterseção de @ com @, resulta,
S={x€ R l -1<x<0 ou 8(x(9}
79, nesolva, em R, as seguintes inequâções:a) log.x>2b) logax < I
c) Ìog,,,' i > 2d) Ìog:x>1
S0.Quantos números inteiros satisfazem srmurta-neamente as desiguâldades:
Í los, tx l ) . oJtos r*- t t - 'o
81. Para que vaÌores tle m a equação de 2e grau (navarìável r) x'] - 2x + logr m = 0 admite duasrates reais e disdntas?
82. Sejafa funçao definìda peÌa lei:
( t={Ì"sí ' - la) CaÌcuìe o valor de f(11).f(29).b) QuaÌéodomíniode/?
E3- ResoLru, em R, as inequações seguintes, utüzando as propriedâdes operatórj,ìs:a) logu (x - I ) + 1og, (x + 2) > logr ( x + 13)b) Ìog0,r x + logo,r (x- 2) < log0,Ì (x + Ì0)
84, Resolva, em R, a inequaçio logl x 3 > 2 logr r.
85. Resolva, em R, a inequaçao:tog] x-3log, x 4>0
86.qual t o meflor número inteío qüe satisfêz adesigualdade 2 ({nx)' ]-3 lnx > 0?
t(+)'
('õ
"F.fiJg1*-üJ
.4-
0s sons e a aud.içã.úì hnrnanaUma pessoa com audição oormal é capaz de ouür uma grande faixa de sons de intensidades
ben rÌìlc ren tcr.O som pode ser classficado como fraco ou forte quanto a sua intensìdade, Que é representa-
da por INo SI, Sistema Internacionaì, I é expressa em Wm2 (watts/metro quadrado).L{iste um vaìor mínimo de intensidade de som, abairo do
qual é impossível ouür algo. A essa intensidade damos o nomede lnnìar dc audìbìlidade, que vale, em média, 10 Ì']w/m'z.
Com base nos valores de intensidade de som,podemos definiro dvel de.inteìlsidâde (p) rnedido em decibels (dB):
de referência tomado como limiar de audiçâo:
I
*
!
ffi## exe!'flct0s ffi?8. Resolva, em R, as seguintes inequações:
a) log, (x- l) < 1og2 3b) log, x < log, 2
c) Ìog. (2x- 7) > log3 5d) logo,.x< Ìogo,. (-x+ 3)
6üLI
\pl r
sendo:. / à inrensidade,orre.pondenre ao nrel p:. Ìo uma constante, qüe representa o nivel
Io = l0ì2 Wm2.
Ê=ro.bc(+)
-: ;;':.ì
Por exempÌo, a intensidade correspoüdeÍìte iÌ unl ní1.el dc,l0 dB é assjn câ1cl :Ìda:
, Ì \a0 to lor l ;6 . ) - losl ,n ' . , l - .0 1, , '
r l , ,3\^ r ' ì :
Do mesno modo, dadas as intensidades dos soÌÌs, épossí.eÌ encontrrr os respectir'os decibeÌs(ní\,eis de inteÍÌsidade).. Para os nìctrôs antigos, estima-se que a intensidade sonora seja de ÌtJ I Wm2. Daí, o níveÌ de
intensidade é:
^ , tn: \ÍJ r , , . r^s l 'n" ,
I ro t"r .00 t0.r0 'P 00dB
. Aìntensidade da onda corresPondeÌÍe à âla hlÌmana, a unr meÍo de distànciâ, é,{. I iÉ \\'/nì:.A quantìdade de cìecibeÌs é:
^ /4 r0",P r0 "8l r { , : - l - r , , . lop r , lus 0 ' l .s r0
Como ìog ,l = ìog 2r = 2 Ìog 2 = 2 0,3 = 0,6, teÌnos:
Í l = l ro 0,6 6+i2l =66d8
De acordo com a OÌganização MundiaÌ da Saúde (OMS), sons de.Ìté 55 dB são aceitávc]s.Obsen'e no esquema a s€guìr os níveis de intensidêde dc dìfeÏentes tipos de soÌü.
,r*";
firrlri'l\ \ \
Niveis de ruido em decibêls
Dados European Commisson G€en Pape( 1996
FÒnrê: o Estado de s. Paula, 231912aa5.
. i ì-i:{.1 Para sabcr mais soÌrre esse assunto, você pode pcstluisar em:
TIPLER, Pa A. Físicd. Rio de faneiro: Guanabara Dois,2006. !. l.
anre bandatocândô iooiôn6locando âsp Íâdôí dê pópáriô nô nreNarô I Échrrc
I p ânô aindo
,., .
':tÏt* ;::'' ï::.,""
l t d, ̂ , , , - . " . ,
f-r,bil-*il+tï+r i{ \ \ \ \ r \ \ r \ \ \1t t t\ \ r t '
ltj:,.j*'g.f l rr g;.,,,,.,,,,,ïl;ir.. ,"1 ,, ., ., ,. ,. .,G!"!.'.1!!t=-,-
iriraçãoaumenraconsde,averme"t" l L',,,'"n""
l -:(ï+rií'
t.W{"ffi{ffi de vestibulares ffirKmË1. Ur v q,C,tc, te o
' , lor dd e\Jresro â6dixu.
rog, òr + Log 0 u,uuuÌ - Logo I ruv ru
" t !b) r3
a) r e-r
. . Ì I12 1Ì2
c) 3 e-3
2. (puc-U) os vatores ae jr tais que o Ìogaritmo de2ra + 1 nabase 10 éiguaÌâ 1 sâo:
a) {3i c) {-2,3} e) i2 lb) {2, 3} d) {2,3}
Z. (Umesp-SP) Se 2'= 6, então Ìog? 3 é igual a:
") ; c) 2x e) x+l
b) x- l d) x+2
8. 1v,.t "-i" .pr o ".., a. ro* /.1-), ,,ma. *
- \ âD/
que a e & sio raizes da equâção x']- 7r + l0 = 0, é:
ojd) 13
ÒuL
. .33" ' ú ' 1T
e) 1e -2
5 , ruMC SP) A equâção Ìogs (x + 2) + logs (x - 2) = 3
a) ümâ rjnica raiz e nesativa.b) uma Ìaiz irracional.c) üma Ìarz par e outra ímpar.d) duâs raizes opostas.e) duâs Ìaízes pares.
6. p. n 1oi" a" ro-u t'lc; o conjuntoverdade da cquação togx+ Ìog (x+ 1) -Ìog6 = 0 é:
r
J. /pu.(dmp spì A inverçio de logrr i lmo' rev€ comore.Llrddo rmedr.ro o dparecúnenlo de ldbelas. cujoscálclÌÌos eram íeitos um a um. O projeto do ingÌéscharies Babbage Géc. xIX), "pai dos computadoÌesmode|nos1 eÌâ consrruir umâ máquina para n mon-tagem dessas tabelas, como por exempÌol
Hru!i!É:ffliiryrtìÌï
l- I 0.47
!1lt! ! ìl:qióô! ì iì, , l l i , 9'70,i:i#Rïi,?q$t : , ì : t i r i : : : : r
ÌâbeÌâ, o vâÌoÌ que se obrém para
a)2
b)1
a) + 2.,[1t) + ./J
a) 123b) 146
ï , , iI
d) a+2!Je) z+4íJ
c) 238d) 2s7
d)
9, lruc-rSlSetogz=a€1og3=b,entãoovaÌorde'I
10. (po"."t-sp) Se í é um nún€ro real, x > 2 elog. x -2. - lo& \ - L oLao" velorder e.
em 8'= 9 é:
.2b b 3bal :" c) i e) 2^,)aDl : , d l - -
, {',+Jb) 10,-r1
o {',+}
tog 4s0 é:à) 2,64b) 2,54c) 2,14
a) 107b) 106c) 104
d) 2,34e) 2,24
d) 105€) i03
4, (U. I Vìçosn-MG) A tuensìdade I de urnâ ondâ so-nura. nedida em \ \an por netro quadrado. pos.uiumâ fai{â de i€lores muito grande. Por essa rãzão éconyeniente o uso de logd;tmos em seu cá.ulo. OníveÌ sonoÌo N, medido em decibéis (dB), é definido
uorN,rr . to. tos ^ / Lì .onde I^e uma inten\ idade' " ' \L/
de referência paárao. o niveÌ sonoro de uma sala deaula típica é N, (I, ) = 50 dB, enquanto o níveÌ sonoromais intenso que um ser humano pode $rportaÌ antesde sentir dor é N,(I,) = 120 dB. A razão entre asintensidades sonorar 1, e 1r é:
c) 2 + 2.ía
11. leuc l',rc) considere cômo verdâdeirâs âs suar-dades los, A
- los, B = 2. A --z,o"a-g-I .
B8Nessas condições, o valor de N é:
12. (Cefei-PR) o conjunto solução dâ equaçao
tr"*,4r" * (r.s, -|)r.- rbs roo)a.- o é:
d) {- Ì }
ê) {o}
TzB
13. tus-Rll o "'1-"'o,
.m centenas de iÌÌdìúduos, deum de.erm'nado g upo de àniJn"t . r djd. dpo. dliberação de úr predador no seü ambiente, é expres-so peÌa seglinte tunção:
(x) = los.t5 Ga)
Após cinco diar da liberação do predâdor o númerode indi\íduos desse gÌupo presentes no ambiente sení
a) 3 c) 300b) 4 d) 400
14. (uneb-sn)o número de soÌuçÕes inteiras da inequâção Ìo$ (2x- 9) < 1 él
a) 0 c)2 e)4b) l d)3
Í5. (ceíet-PR) Considerando as tunçÕes, eraonenciaÌf(x) = a- e Ìogâíítmica g(Í) = Ìog, x, assinaÌe a alter
a) o conjunto domínio de (x) = a^ é D = RÌ.b) o conjunto imagem de g(x) = 1og" x é In = R.c) o conjunro dominio d€ g(x) = Ìog" x é D = R.d) o conjunto iÍnaseÍn de f(x) = a' é Iln = R+.e) o conjÌDto donínio de f(x) = loe x é D = Rï - 1.
16. 1ul nNl uu ng,"u otaixo, estão esboçâdos os grá-ficos das funçÕes y = logr x e y = x. O gráÊco dafunção que está representado em azul é simétricoao gráfico da funçao logj x em relâçao à Ìetây=x.
A tunção que corresponde ao gnífico eÌÌÌ eul é:
ConsìdeÌddo log 2 = 0,30, é correto afirmaÌ qüelog Í í -aì ê um nume-o compreendido errre:
e) 5er0.c)
d)
0e2.2 e5.
18. $,r,.ken";"'sr1 s. "a
figura temos os esboços dosgÌ. iÊ.o:dd"tun\óesl,x log xeg.x: ar,r 'bx . .
entìo sífl : ll e ieual r:" \ \b/ / -
a) lab) lsc) Ì6d) t7e) 18
a) Ê'(x) =
b) f ! (x) =
c) í-r(x) =
4x+7
4li- 1
4\-73x5
d) íj(x) =
e) fr(x) =
315-4x+73x+5
r
19. lurlc-sr) QuâÌ é â função inversa da íunçãoÍ i ì ÍÃì, ' t i l - - - l l l " ,*"" l i_1,
4\+ 7
d) v=: '
I í . íUni Íor ' f ì O Brr ìco ibdLro epÍe.ecÌ . umJ lun
1ro / de R em Ri drdr por 1\ ì -J .emquet leumnúmero reaÌ positivo.
20. (Cefet-MG) o sÌáfico de umâ função/ é o segmenÌode reta que une os pontos (-3, a) e (6,0).Sendofìatu"( io invc^i deJ. enr"o o vnlor de I r , .2, e:
, ) ; c)32I
e)2
b) 0 d)
ÉI. (UI MA) ConsideLe â eÌpÍeçsào:
Ìogr (x- 1) -Ìogz (x + 2) -log, (7 -x) + I + Ìosr 3
S€ A é o conjunto de números reais pârâ os quâisessa eryÌessão esrá definida e 3, o conjuto de todosos números Ìeais em que essa expressão se ânÌna,então:
â) A= lx€ R l1<x< 7ÌeB = {aÌb) A=lxe Rlx<-2e1 <x<7ÌeB=laÌc) A=lxeRIx<-2e1<x<7ÌeB=I s,ajd) A=lxeRlx<-2e1<x<7ÌeB={ sÌe) Â=1x€Rl 1<x<7ÌeB=laÌ
22. lucnn l,asl nrt,'aos científicos constatam que aquântidade de peças produzidas em uma empresa, rrno. dpó' o i,'Ìrcio do lançamento de 'ua Íabrìrrao.é dada peÌa expr€ssão:
^. 50000' ' ' ' 2+15.2{ '
Nessas condições e supondo Ìog 2 = 0,30 eÌog 3 = 0,48, dâqui a quanto iempo, aproximâdâ-
d r=ib) y= 3x
1ãS
rmentei após o início dessâ fabricação serão produzidas 5 000 peças?
a) 38 diasb) s6 diasc) 78 dias
2 3 . (MackeÌü1e-sP) A fisura mostra o esboço do srá.ficoda tunção Y = lo& (x + b).
A área do ÌetânguÌo assinâÌâdo é:
.34a)r ct t e) a
b)t dì 2
24. (Unifor-C!)As popÌ açÕes de duas cuÌtuÌas de bacté-das têm seu Ìespeclivos crescimentos dados pelas ex,pressões f(t) = 600 . 3t e g(t) = 400 2':Ì, nas quis r é otelrpo, em meses, contado â paÌ1ir do nÌício das cultüas. Após quanto teÍìpo do início dessas culturarsuas populações serão iguâis? (Dados: 1og 2 = 0,30 e
C,í ( t LDB N1s Pe.qui . r \ redluddd\ em umâ ce. rr . i -dade indicaÍn que o número de pessoas qu€ monemde doenças cârdíacas veln aumentâÌÌdo em 20olo aoâno. Se esse aumento peÌcentúâÌ foÌ consknte, o número de do' nece*r io. pird q, e dol-re o nurerode DcsoJ. qJe rnoÍíem pur , .uv de..r ooençd e:
al 3aDose6meses.b) 3ânose9meses.
dl 4ânoseómeses.
(Uselog2= 0,3 elog3 = 0,a8.)
íU./Ul- \ tA'{ on. idered tuìçr" :R- Roef in ioa
.. . lx : ,sex>0
l x çex<t)
Então é correto aÍìrmar que essa tunçâo:
a) nao é injetiva, nem sobÌejetiva.b) é injetiva, mas nâo é sobrejetiva.c) é bijetiva.d) ê sobrejetivâ, Ìnãs não é injetiva.e) é decÌescente no conjunro {r e R; x < 0}.
í5. Celel sP' I m 11o rno bem rf indoo. r aeqúencid
de cada notâ é-i12 vezes a freqúênciâ de uma notââbaìxo deÌa. Adotando log 2 = 0,3 e utiÌizando âÌgumdâdo da tâbela, é corfeto dizer que o âumentopercentual da Íieqüência enúe duas notas consecu-tivas de um piano afinado é de:
âl 1,10lob) 2,5o/a
d) Ì Ì4 diase) 142 dias
Í
íJ, 'UI PA Di.pondo dc rm .Jpi .a l . . una pe*oddeseja apÌicá Ìo de maneira a d,pli.a/ seuvalor.5abendo que o montanteMde um investimento é calculado por nìeio da fórmulâ M = C . e", na quaÌ eé abase do ÌogaÌìtmo nepeÌìâÍo, calcule o tempo tque esse capital deverá ÊcaÌ aplicado em umainstitüção financeirâ que pÌopÕe juÌos cornpostos ca-pitalìzados continuamente à taxa rde 20olo ao âno.(Consìdere{n2=0,7.)
e) a anos
26. ' v^n.n,"-sp.." . , . v e a .oru.ao co . i .Lema:
3.-ìos (x t) los y _ j^ . . f .
2 - ' "ó -
c) 5,9Yod) 11,0%
JU.1( F-VU I m engenhei-n e.rd\r e.rLrddndo umdgrandeza l em tunção de outra grandeza r. Ao ten-taÌ tÌaçar o grá1ìco de y em tunçio de ,l, eÌe observouaJe o. vdlorc, í le , i lhdJn umr grdnde vr ia( io eque seÌia conveDiente substituiÌ I por seu Ìogaritmode.imaÌ w = loC Í Ële fez, então, este gráfico de em
5
3
2
l
01
-2
log 3 = 0,,{8.)
a) 2 ànos
b)6
e) I Ìnês
e) 25,0%
c)7d)8
e)9
1:ü
ÁssinâÌe, mtre âs seguintes aÌternatìvas, a únicâ emque se Ìelacionâm coÌretam€nte os vâÌores da gran-deza / coÌÌespondentes aôs valores 10, 20 e 30 da
b)
II
ffiffiII
ffiffi
") ! I
ffiffid)
31, 1r,uc-sr) E- rro, rDa indústÌia iniciou a fabÌi-cação de 6000 unidades de certo produto e, desdeentão, sua produção tem cÌ€scido à taxa de 20% aoano. Nessas condições, em que ano a produção foiiguâl ao triplo da de 1996? (Dâdos,Ìog 2 = 0,30 elos I = 0,48.)
â) 1998b) 1999c) 2000d) 2001e) 2002
M1, (LrE-RD Em unÌa cidê<le, a popuÌação que vi\.e nos subúrbios é dez yezes a que vive nas faveÌâs. A pÌÌmeÍè,
porém, üesce 2% ao ano, enquanto a se$Dda.resce rso/o ao ano.Admita que essas ta,.as de crescimento permaneçam constantes nos pÌóximos anos.
a) Se a popuÌâção que vive nas faveÌas e nos subúrbios hoje é igual â Ì2,1 miÌhões de habitantes, caÌcuÌe onnmeÌo de hâbitantes das íâveÌas daqü a um ano.
b) Essas duas popúações serão iguais após un1 determinado tempo r, medido em anos. Se t ilogx'
determine o vãÌoÌ de t.
2, (Iuvest SP) Os pontos D e Ë pertencem ao gráÂco dâ tunção )- = lo& x, com a > 1 (figura abairo). SuponhaqueB=(x,0),C=(r+1,0)eA=(x 1,0). Qualé o vaÌor der, para o quaÌ a área do trapézio BCDËé o
. triplo da áÌeâ do tdânguÌo ABE?
l t r