FunçõesFunções

Iremos estudar:Iremos estudar:

Função do 1° grauFunção do 1° grau Função do 2° grauFunção do 2° grau ExponencialExponencial LogarítmicaLogarítmica

Função do 1º grauFunção do 1º grau DefiniçãoDefinição Valor numéricoValor numérico GráficosGráficos Raiz ou Zero da FunçãoRaiz ou Zero da Função Função crescente e decrescenteFunção crescente e decrescente Análise gráfica da funçãoAnálise gráfica da função Ponto de InterseçãoPonto de Interseção Situação problemaSituação problema

Funções Polinomiais do Funções Polinomiais do 1º Grau1º Grau

(Função Afim)(Função Afim)

DefiniçãoDefinição

Toda função polinomial da forma Toda função polinomial da forma

f(xf(x) = ) = aax + b, x + b,

com com , é dita função do 1° grau. , é dita função do 1° grau.

Ex.: Ex.: f(x) = f(x) = 33x – 2; x – 2; a = 3a = 3 e b = - 2 e b = - 2

f(x) = f(x) = - - x + ½; x + ½; a = -1a = -1 e b = ½ e b = ½

f(x) = f(x) = -2-2x; x; a = -2a = -2 e b = 0 e b = 0

0a

Casos Especiais de funçõesCasos Especiais de funções

Função linearFunção linear b = 0, p.e., b = 0, p.e., f(x) = 3f(x) = 3xx Função IdentidadeFunção Identidade b = 0 e a = 1, ou seja, b = 0 e a = 1, ou seja,

f(x) = f(x) = xx Função constanteFunção constante a = 0, p.e., a = 0, p.e., f(x) = 3f(x) = 3

Valor numérico da funçãoValor numérico da função

Dada a função f(Dada a função f(xx) = -2.) = -2.xx+3+3 Calcule a) f(Calcule a) f(-4-4) = ) = ?? b) f( b) f(xx) =) =1313

f(x) = -2.(x)+3

f(-4) = -2(-4)+3

f(-4) = 8+ 3

f(-4) = 11

Solução a) Solução b)

f(x) = -2.(x)+3

13 = -2(x)+3

13-3 = -2(x)

-2x=10 => x =-5

Exemplo aplicação V.NExemplo aplicação V.N1°) Dada a função 1°) Dada a função f(x) = f(x) = aaxx + 2, + 2, determine o determine o

valor de valor de aa para que se tenha para que se tenha f(f(44)=20.)=20.

(4) .4 2, (4) 20,

4 2 20

4 18

18

49

2

f a como f então

a

a

a

a

2°) Dada a função 2°) Dada a função f(x) = ax + b, com a f(x) = ax + b, com a diferente de zero, sendo f(3) = 5 e f(diferente de zero, sendo f(3) = 5 e f(-2-2) = - 5, ) = - 5, calcule f(1/2).calcule f(1/2).

f(f(33)=5:)=5: a.a.33 + b =5 + b =5 ff(-2(-2) = - 5:) = - 5:a.(a.(-2-2) + b = -5) + b = -5

3 5

2 5

a b

a b

Resolvendo o sistema pelo método da adição temosResolvendo o sistema pelo método da adição temos

1° ADIÇÃO: Multiplicar a primeira equação por (-1) 1° ADIÇÃO: Multiplicar a primeira equação por (-1) e somar as equaçõese somar as equações

3 5

2 5

5 10

2

a b

a b

a

a

2 5

2.2 5

5 4

1

a b

b

b

b

Calculando valor de b por substituição

Logo, a função é Logo, a função é f(f(xx)= 2)= 2xx – 1. Assim, – 1. Assim, f(f(1/21/2)=2.()=2.(1/21/2) - 1 f() - 1 f(1/21/2)=)= 1 – 1 f( 1 – 1 f(1/21/2) = 0) = 0

Há uma outra forma de resolver esse tipo de Há uma outra forma de resolver esse tipo de exercício, quando se conhece os valores da função exercício, quando se conhece os valores da função em dois pontos distintos A(em dois pontos distintos A(xx,,yy) e B() e B(xx,,yy).).

O valor de “O valor de “aa” na função de primeiro grau é ” na função de primeiro grau é chamado de coeficiente angular ou chamado de coeficiente angular ou inclinação da reta. Seu valor é obtido pela inclinação da reta. Seu valor é obtido pela expressão.expressão.

a =y1-y2

x1-x2

Voltando a questão, quem seria esses Voltando a questão, quem seria esses valores? Temos que valores? Temos que f(f(33) = ) = 55 => A( => A(33,,55 ) e ) e f f(-2(-2) = ) = - 5 - 5 => B( => B(--2,2,-5-5))

1 1

2 2

3, 5

2, 5

x y

x y

Logo,

Substituindo a=2 na expressão da função do 1º grau e utilizando uma das coordenadas A(3,5) temos que:

y=ax+b => 5 =(2).(3)+b => 5 = 6 +b

5-6=b = > b=-1 => função y = 2x-1

Então,Então,

Raiz ou zero da funçãoRaiz ou zero da função É representada pelo ponto em É representada pelo ponto em xx, onde y =0 , onde y =0

ou no gráfico o ponto em ou no gráfico o ponto em xx, onde a reta , onde a reta corta o eixo corta o eixo xx

y = y = xx – 2 – 2

0 = 0 = xx-2-2

xx=2=2

Raiz = 2Raiz = 2

Algebricamente temos:

Graficamente temos:

Rai

z

GráficosGráficos

Toda gráfico de uma função do 1° grau é Toda gráfico de uma função do 1° grau é uma uma retareta..

Estudaremos como essa reta vai se Estudaremos como essa reta vai se comportar através de cada função.comportar através de cada função.

Como fazer um gráficoComo fazer um gráfico

Para construir um gráfico cartesiano de Para construir um gráfico cartesiano de uma função uma função ff, basta atribuir valores do , basta atribuir valores do domíniodomínio à variável à variável xx e, usando a e, usando a sentença matemática que define a sentença matemática que define a função, calcular os correspondentes função, calcular os correspondentes valores da variável valores da variável yy, elaborando uma , elaborando uma tabela de valores (x,y) tabela de valores (x,y)

Exemplo: Construir o gráfico Exemplo: Construir o gráfico da função da função f(f(xx) = ) = xx – 2 – 2

XX y=y=xx-2-2

11 11-2= -1-2= -1

33 33-2= 1-2= 1

2° método:2° método: 1° passo: iguale a função a zero. O valor de x 1° passo: iguale a função a zero. O valor de x

que você achar é que passará no eixo do x.que você achar é que passará no eixo do x. 2° passo: o valor de b (coeficiente linear) é o 2° passo: o valor de b (coeficiente linear) é o

ponto que toca no eixo do y.ponto que toca no eixo do y.x – 2 = 0 x = 2 b = - 2 x – 2 = 0 x = 2 b = - 2

Numa residência o consumo de água foi de Numa residência o consumo de água foi de

25 m25 m33 . Utilizando a tabela de tarifas da . Utilizando a tabela de tarifas da Sabesp pede-se : O valor desse consumo; Sabesp pede-se : O valor desse consumo; o gráfico que representa esse consumo.o gráfico que representa esse consumo.

Gráfico de uma função definida Gráfico de uma função definida por mais de uma sentençapor mais de uma sentença

Construindo a tabela de valores para o Construindo a tabela de valores para o consumo de 25 mconsumo de 25 m3 3 de água de água

consumo valor

0 11,19

5 11,19

10 11.19

Até 10 m3Acima de 10 até 20 m3

consumo valor

1112,75

1518,99

2026, 79

Acima de 20 até 25 m3

consumo valor

21 29,18

23 33,96

25 38,75

Continuação da construção da tabela de consumo

Construindo o gráfico de consumo Construindo o gráfico de consumo para cada faixapara cada faixa

consumo de água até 10m3

0

5

10

15

0 5 10 15

consumo m3

valo

r co

nsu

mo

Faixa até 10 m3 Acima de 10 até 20 m3

consumo faixa 11 a 20 m3

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20

consumo m3

valo

r R

$

Continuação da construção de Continuação da construção de gráficos por faixa de consumográficos por faixa de consumo

Acima de 20 até 25 m3

consumo faixa de 21 a 25 m3

05

10152025303540

20 21 22 23 24 25

consumo m3

valo

r R

$

Gráfico do consumo com as três Gráfico do consumo com as três faixas de consumo , até 25 mfaixas de consumo , até 25 m33

grafico consumo de 25 m3

05

10152025303540

0 5 10 15 20 25

consumo m3

valo

r em

R$

Gráfico de uma função definida por Gráfico de uma função definida por mais de uma sentençamais de uma sentença

1, 1( )

2, 1

x se xf x

se x

XX YY

11 22

22 33

( ) 1, 1f x x se x

Crescimento de decrescimento de Crescimento de decrescimento de uma funçãouma função

Uma função será Uma função será crescentecrescente quando quando a>0a>0

Uma função será Uma função será decrescentedecrescente quando quando a<0a<0

Exemplo:Exemplo:

f(x) = f(x) = 22x+1x+1 a = 2a = 2 crescentecrescente

f(x) = f(x) = -3-3x+2x+2 a = -3a = -3 decrescentedecrescente

Função constante não existe variação de valor em y , quando a = o Exemplo y = 3 a=0

Análise doAnálise do gráfico de gráfico de uma funçãouma função

]3,]

Função constante

f1

f4

Função crescente Função decrescente

]2,3] f2f3 ]7,2]

[,7] Raiz ou zero -1 5

Exemplos de gráficos de função crescente(Exemplos de gráficos de função crescente(aa) ) e de função decrescente(e de função decrescente(bb))

Gráfico a Gráfico b

Ponto de Intersecção de funçõesPonto de Intersecção de funções

É o ponto onde o valor de É o ponto onde o valor de xx e e yy são ossão os mesmos para as duas funçõesmesmos para as duas funções. Esse . Esse ponto é obtido quando igualamos o valor de ponto é obtido quando igualamos o valor de yy da função1 com o valor de da função1 com o valor de yy da função 2. da função 2.

Uma caixa com 80 litros de água, esvazia 2 Uma caixa com 80 litros de água, esvazia 2 litros de água por minuto, em quanto uma litros de água por minuto, em quanto uma outra caixa com 30 litros, enche de água a outra caixa com 30 litros, enche de água a razão de 3 litros por minuto.Se as duas razão de 3 litros por minuto.Se as duas caixas trabalham ao mesmo tempo,após caixas trabalham ao mesmo tempo,após quanto tempo as caixas terão os mesmos quanto tempo as caixas terão os mesmos volumes. Qual é esse volume? volumes. Qual é esse volume?

Situação ProblemaSituação Problema

Graficamente temosGraficamente temos

tempo(mim) v1=80-2.t v2=30+3t

0 80 30

2 76 36

4 72 42

6 68 48

8 64 54

10 60 60

12 56 66

Construindo a tabela de valores Construindo a tabela de valores

Representação gráfica do ponto de Representação gráfica do ponto de intersecçãointersecção

0

20

40

60

80

100

0 2 4 6 8 10 12

v1=80-2.t

v2=30+3t

Cálculo algébrico do ponto de intersecçãoCálculo algébrico do ponto de intersecção

Algebricamente temos Algebricamente temos v1v1 = = v2v2 então: então: 80-2t80-2t = = 30+3t30+3t => 80-30=3t+2t => 50 = 5t => 80-30=3t+2t => 50 = 5t

=> t = 50/5 => t ==> t = 50/5 => t =1010 mim mim calculando o volume v1 = 80-2(calculando o volume v1 = 80-2(1010) ) => v1 = 80-20 => v1 = 80-20 => v1 = => v1 = 6060 m3 m3