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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ

CAMPUS DE UNIÃO DA VITÓRIA

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS

COLEGIADO DE MATEMÁTICA

TATIANE WOITOVICZ

O USO DA TORRE DE HANÓI NO ENSINO DE PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

UNIÃO DA VITÓRIA

2015

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ

CAMPUS DE UNIÃO DA VITÓRIA

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS

COLEGIADO DE MATEMÁTICA

TATIANE WOITOVICZ

O USO DA TORRE DE HANÓI NO ENSINO DE PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado para

obtenção do grau de Licenciada na Universidade

Estadual do Paraná, campus de União da Vitória, Área

Matemática.

Orientador: Prof. Celso da Silva.

UNIÃO DA VITÓRIA

2015

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AGRADECIMENTOS

Acima de tudo, agradeço a minha irmã Tatiele, pelo carinho e incentivo que sempre

recebi.

À professora Márcia Salete Grenteski Dal Magro de quem herdei a paixão pela

Matemática.

Aos meus amigos que sempre me apoiaram nos momentos mais difíceis.

E principalmente, ao professor Celso de Silva que com muita competência me

orientou neste trabalho com sugestões valiosas e dedicou-se em me auxiliar perante minhas

dificuldades, o que contribuiu para a concretização desse trabalho.

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“A Matemática, quando a

compreendemos bem, possui não somente a

verdade, mas também a suprema beleza”

Bertrand Russel

4

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1 - Jogo Torre de Hanói............................................................................................14

FIGURA 2 - Distância entre as hastes......................................................................................17

FIGURA 3 - Jogada com 1 disco..............................................................................................18

FIGURA 4 - Jogada com dois discos........................................................................................18

FIGURA 5 - Jogada com três discos.........................................................................................18

FIGURA 6 - Jogada com quatro discos....................................................................................19

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LISTA DE QUADROS

QUADRO 1 - Construção do jogo Torre de Hanói..................................................................17

QUADRO 2 - Número de movimentos para um disco.............................................................22

QUADRO 3 - Número de movimentos para dois discos..........................................................22

QUADRO 4 - Número de movimentos para três discos...........................................................22

QUADRO 5 - Número de movimentos para quatro discos......................................................22

QUADRO 6 - Quantidade de movimentos de cada peça..........................................................23

QUADRO 7 - Total de movimentos.........................................................................................25

QUADRO 8 - Total de movimentos expresso através de potência...........................................29

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SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO.............................................................................................................7

2 OS JOGOS NO ENSINO DA MATEMÁTICA.........................................................8

2.1 O PAPEL DO PROFESSOR EM SALA DE AULA....................................................11

3 O JOGO TORRE DE HANÓI...................................................................................13

3.1 A HISTÓRIA................................................................................................................13

3.2 ESTRUTURA E REGRAS DA TORRE DE HANÓI..................................................14

3.3 O USO DO JOGO TORRE DE HANÓI COMO MATERIAL CONCRETO NO

ENSINO DA MATEMÁTICA.....................................................................................15

3.4 CONSTRUÇÃO DO JOGO TORRE DE HANÓI.......................................................16

3.5 ESTRATÉGIA DAS JOGADAS..................................................................................18

4 O JOGO TORRE DE HANÓI NO ENSINO DA PROGRESSÃO

GEOMÉTRICA ..........................................................................................................21

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS.....................................................................................30

REFERÊNCIAS......................................................................................................................31

APÊNDICE A - Construção do jogo Torre de Hanói......................................................... 33

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1 INTRODUÇÃO

Atualmente, muito se discute sobre a qualidade do ensino da Matemática e sobre

novos métodos de ensino dessa ciência, uma vez que a metodologia tradicional já não é mais

conveniente no processo de ensino e aprendizagem. O que até a pouco tempo atrás os alunos

aprendiam sob a forma de memorização de fórmulas e regras, hoje já não pertence a nossa

realidade escolar. Os discentes já não aprendem desta forma, e com certeza sempre esperam

uma inovação por parte do professor para que as aulas ocorram de maneira interessante.

Neste contexto, a utilização de jogos educativos em sala de aula pode ser uma

metodologia interessante e prazerosa que viabiliza a aprendizagem. E com o propósito de

tornar as aulas de matemática mais interessantes e com o objetivo de abordar o conteúdo de

progressão geométrica de forma a estimular o raciocínio do aluno e a busca pelo

conhecimento, escolhemos o jogo “Torre de Hanói”. O uso da Torre de Hanói no ensino da

matemática é de grande valia, pois leva o discente a entender a simbolização, o

sequenciamento, a generalização, o raciocínio lógico, a ação exploratória, a contagem e o

planejamento da ação (DRABESKI e FRANCISCO, 200?), além de tornar as aulas mais

agradáveis tanto para o professor, como para os alunos.

Neste trabalho, apresentamos no primeiro capítulo os jogos como metodologia de

ensino da Matemática e o papel do professor em sala de aula. No segundo capítulo,

explanamos sobre o jogo Torre de Hanói em cinco momentos. Inicialmente exibimos a

história do jogo, após tratamos da estrutura e as regras que o compõem, elucidamos sobre o

uso deste jogo como um material concreto no ensino da Matemática, expomos uma possível

construção do jogo com materiais simples, a qual pode ser realizada pelos próprios alunos e,

por fim, esquematizamos as jogadas.

Já no terceiro capítulo apresentamos o uso do jogo Torre de Hanói como uma

proposta de ensino do conteúdo de Progressão Geométrica. Ao final, relatamos as

considerações finais acerca do trabalho, seguida das referências utilizadas no

desenvolvimento do trabalho e do apêndice A, que traz a imagem do jogo construído na

subseção 3.4 do capítulo 3.

8

2 OS JOGOS NO ENSINO DA MATEMÁTICA

Aprender Matemática é desenvolver o raciocínio lógico, o pensamento independente,

a criatividade e a capacidade de resolver problemas. Estes são alguns dos objetivos que

atualmente os docentes procuram alcançar com as atividades que aplicam aos seus alunos.

Com o intuito de proporcionar um ensino de maior qualidade, educadores matemáticos estão,

cada vez mais, indo em busca de metodologias que promovam a aprendizagem, desenvolvam

a confiança, a organização, a concentração, a atenção, o raciocínio lógico-dedutivo e o senso

cooperativo dos alunos.

Visando favorecer a construção do conhecimento matemático pelos próprios alunos,

os professores precisam conhecer novas propostas metodológicas e recursos didáticos para

que possam se apropriar destes meios como um auxílio em sua prática pedagógica. Neste

contexto, o uso de metodologias diferenciadas em sala de aula, como o uso de jogos,

possibilita aos educadores fazer da sala de aula um ambiente de interesse e motivação,

proporcionando interações entre os alunos, além de uma participação autônoma no processo

de construção do conhecimento.

Segundo Pereira (200?, p. 1) “o jogo matemático é uma tendência metodológica, ou

seja, uma estratégia de ensino que tem o intuito de fazer com que a matemática seja

redescoberta pelos alunos, se tornando um agente ativo na construção do próprio

conhecimento”.

Embora o uso desta metodologia seja uma boa opção quando se trata em

proporcionar aos discentes uma aula diferente da tradicional, ou seja, uma aula em que o foco

não seja mais o professor e sim os alunos, o uso de jogos na educação, nem sempre foi visto

com bons olhos pelos educadores, visto que não era considerado uma atividade séria. Esta

concepção se estendeu até o final do século XIX.

Segundo Jesus e Fini (2005 apud DRABESK; FRANCISCO, 200?) somente a partir

do final do século XIX é que foi possível através da Educação Matemática descobrir nos

jogos os valores educativos.

No Brasil a valorização dos jogos como forma de educar é bem mais recente. De

acordo com Kishimoto (1995) apud (DRABESK; FRANCISCO, 200?, p.7) “somente a partir

da década de oitenta com a criação das brinquedotecas, a multiplicação dos congressos e o

aumento da produção científica sobre o tema é que os jogos passaram a ter importância na

educação brasileira”. Segundo Alves (2001 apud SANTOS, 2009, p.8) os jogos como método

9

de ensino tem sido alvo de inúmeras pesquisas, no entanto a maioria delas gira em torno dos

primeiros anos do ensino fundamental, enquanto nos demais anos de nível fundamental e

médio ainda são pouquíssimas.

A introdução de jogos como metodologia de ensino apresenta bons resultados, pois

cria situações que permitem ao aluno desenvolver métodos de resolução de problemas,

estimula a sua criatividade num ambiente desafiador e ao mesmo tempo gerador de motivação

(BARBOSA; CARVALHO, 200?). Além disso, o uso de jogos como metodologia, pode

auxiliar o docente em sua prática pedagógica, pois através do uso destes em sala de aula os

alunos podem aprender a matemática, e esta por sua vez, está presente em nossas vidas, direta

ou indiretamente.

Busca-se implementar a metodologia de jogos em salas de aula para facilitar a

compreensão dos alunos diante das dificuldades existentes no processo de ensino e

aprendizagem de Matemática. Vale enfatizar a teoria de Piaget que defende o uso dos jogos

na educação e critica a escola tradicional pelo comodismo ao ensinar conteúdos aos alunos

sem nenhum tipo de inovação. Ele também defende a ideia de que é preciso suscitar

indivíduos críticos, inventivos e criadores, pois “o objetivo e o caminho da educação são

considerados como sendo a organização de conhecimentos que partem dos interesses e das

necessidades do educando” Piaget (19-?) apud (SANTOS, 2009, p.9).

Um aspecto relevante nos jogos é o desafio que eles provocam nos alunos e que gera

interesse. Por isso, é importante que os jogos façam parte da cultura escolar, mas cabe ao

professor analisar e avaliar a potencialidade educativa dos diferentes jogos a fim de escolher o

que comporte melhor seus objetivos.

Através do uso de jogos em sala de aula, o professor tem a oportunidade de fazer

com que a criatividade do aluno seja explorada, ao contrário das aulas tradicionais em que a

prática da repetição prevalece e acaba inibindo a capacidade do aluno de pesquisar e de

indagar.

Os jogos possuem várias finalidades no processo de ensino e aprendizagem, entre

elas a motivação, a construção do conceito matemático, o trabalho em grupo, o estímulo do

raciocínio, o desenvolvimento do senso crítico, entre outros. O uso deles é capaz de promover

um ensino interessante e um aprendizado dinâmico, tornando as aulas mais atrativas.

Além disso, segundo Santos (2009), os jogos são como um caminho a ser seguido

para o desenvolvimento crítico dos alunos nas aulas de matemática. Para tanto, é necessária

uma prática na qual o aluno possa ser ouvido, tenha oportunidade de expor suas ideias e possa

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discutir coletivamente os temas abordados. Nessa perspectiva, o trabalho pedagógico por

meio de jogos, é uma alternativa para mudanças no ensino e aprendizagem nas escolas.

Embasado em Alves (2001) apud Santos (2009), podemos dizer que os jogos como

método de ensino da matemática proporcionam condições favoráveis e agradáveis para o

ensino desta ciência. Através deste método de ensino, o educando é motivado a trabalhar e a

pensar com base no material concreto, descobrindo e reinventando. Deste modo ele deixa de

ser um indivíduo passivo que só recebe informações e passa a ser ativo, atuante no processo

de construção do seu próprio conhecimento. Através dos jogos, oportuniza-se a interação

entre os alunos em sala de aula e, a partir de discussões geradas, cria-se um envolvimento

capaz de promover maior participação, cooperação e respeito mútuo. Também estimula o

senso crítico e criativo e a formulação de conceitos matemáticos.

De acordo com os PCNs (1998), os jogos coletivos também exercem um papel

primordial no ensino da matemática, pois a participação dos alunos em grupos durante os

jogos representa uma conquista cognitiva, emocional, moral e social. Individualmente ou

coletivamente, o trabalho com jogos são significativos e prazerosos, desde que bem

direcionados.

A construção do conhecimento matemático a partir de jogos no ambiente escolar traz

vantagens, pois ao jogar o aluno realiza um esforço espontâneo e voluntário de alcançar o

objetivo (resultado). Essa atitude faz com que o aluno desenvolva a habilidade de coordenar

vários pontos de vista, ampliando e desenvolvendo a sua confiança. Conforme os PCNs

(1998) apud Pereira (200?) os jogos são peças fundamentais para que a sociedade tenha

indivíduos capazes de buscar soluções, enfrentar desafios, serem criadores de estratégias e se

tornarem pessoas críticas.

Em relação às aulas de matemática, Smole et al. (2007), afirma que o uso dos jogos

permitem mudar os métodos tradicionais de ensino, que muitas vezes se limitam aos livros

didáticos e aos exercícios padronizados, pois os jogos podem ser utilizados para provocar

reflexões e estabelecer relações lógicas por parte do aluno. (apud PEREIRA, 200?). Ao

desenvolver as estratégias necessárias para alcançar o sucesso no jogo, o aluno “envolve-se

com o levantamento de hipóteses e conjecturas, aspecto fundamental do desenvolvimento do

pensamento científico, inclusive matemático”. (D’Ambrósio, 1989 apud CAWAHISA;

PAVANELLO, 2010, p.112).

É nesse sentido que o jogo pode ser considerado uma estratégia de ensino para a

construção do conhecimento matemático, pois ele serve como uma “ponte” entre a

matemática abstrata e a realidade quando o docente trabalha com a matemática de forma

11

lúdica, fazendo com que o aluno ao agir estrategicamente desenvolva o seu ato de pensar e

solucionar problemas.

2.1 O PAPEL DO PROFESSOR EM SALA DE AULA

Hoje em dia o grande desafio do educador é o de buscar novas metodologias para um

ensino mais abrangente, pois “a importância da matemática de um modo geral é indiscutível,

no entanto, a qualidade do ensino dessa área de conhecimento se encontra em um nível muito

baixo” (ALVES, 2001 apud SANTOS, 2009, p. 9). E nesta busca, as atividades lúdicas são

para o docente, um auxílio para melhorar o ensino da matemática, uma vez que ele pode

utilizar os jogos como um método facilitador da aprendizagem, ou seja, usá-lo como uma

ferramenta de trabalho.

Ao utilizar esta metodologia em sua prática pedagógica, o professor deve assumir o

papel de incentivador, de facilitador, de mediador das ideias, criando condições para que o

aluno explore a sua criatividade, a sua criticidade, interaja com colegas, visando sempre a

construção do saber pelo próprio aluno. Em suma, o uso de jogos no ensino representa ao

docente uma mudança de postura em relação ao que é ensinar matemática, ou seja, o papel do

professor muda de comunicador de conhecimento para o de problematizador.

O jogo é uma atividade pedagógica que exige planejamento, pois para que ele seja

um meio para o desenvolvimento de habilidades e competências dos discentes, é preciso que o

professor tenha consciência que o seu papel e os seus objetivos são fundamentais para o bom

desenvolvimento dessa metodologia de ensino. Os resultados que o docente irá obter em sala

de aula depende dos objetivos traçados com o uso de determinado jogo, portanto, estes devem

estar bem definidos.

Para Grando:

O professor deve se limitar a dar as regras do jogo aos alunos e estes é que irão, a

partir da regra e da ação do jogo, elaborar suas estratégias. E são estas as atitudes

que levarão o aluno ao desenvolvimento das suas habilidades tais como observação,

análise, levantamento de hipóteses, busca de suposições, reflexão, tomada de

decisão, argumentação e organização, desenvolvimento de linguagens e diferentes

processos de raciocínio. (1995, p.123).

A utilização dos jogos para introduzir um conteúdo, exige do docente certa cautela,

pois ele deve escolher e preparar o jogo sempre analisando se este tem uma finalidade

12

adequada a determinado conteúdo matemático. Também deve considerar se o jogo é atrativo

aos alunos e se este poderá auxiliá-los a formular conceitos matemáticos. Segundo Santos, o

professor deve priorizar o desenvolvimento da autonomia dos alunos e a construção do

conhecimento “criando assim, em sala de aula, um ambiente de interação professor-aluno e

aluno-aluno pela busca do conhecimento” (2009, p. 7).

Com o uso desta metodologia podemos ainda afirmar de acordo com Souza (2013)

que no ensino tradicional de matemática, o erro é um dos motivos provenientes da falta de

compreensão dos conteúdos e ele pode levar o aluno ao desencanto por esta ciência.

Entretanto, ao trabalhar com jogos, os erros são revistos de forma natural na ação das jogadas.

Deste modo ele não é tido pelo aluno como algo negativo, uma vez que os jogos oportunizam

novas tentativas que estimulam a verificação e a descoberta do erro, fazendo com que os

alunos replanejem as jogadas que propiciam a aquisição de novas ideias.

Ao permitir que o aluno corrija seus erros revendo suas respostas, o jogo possibilita a

descoberta sobre o que falhou ou teve sucesso e, por que isso ocorreu. Essa consciência

permite ao aluno compreender o próprio processo de aprendizagem e faz com que ele

conquiste a autonomia para continuar aprendendo. Com isso, o jogo não tem só o intuito de

tornar as aulas mais dinâmicas, mas sim, de ser útil para que o professor seja capaz de

identificar as principais dificuldades dos seus alunos, servindo de diagnóstico de

aprendizagem.

Assim é possível perceber que os jogos são uma forma interessante e atraente de

ensinar matemática, pois os alunos aprendem a errar e a acertar de uma forma positiva.

Segundo os PCNs (1998, p. 46):

Os jogos [...] também propiciam a simulação de situações problema que exigem

soluções vivas e imediatas, o que estimula o planejamento das ações; possibilitam a

construção de uma atitude positiva perante os erros, uma vez que as situações

sucedem-se rapidamente e podem ser corrigidas de forma natural, no decorrer da

ação, sem deixar marcas negativas. (apud VIGINHESKI et al, 2014, p. 3).

Ainda de acordo com Barbosa e Carvalho “a introdução dos jogos nas aulas de

matemática é uma possibilidade de diminuir os bloqueios apresentados por muitos dos alunos

que temem a matemática e sentem-se incapacitados de aprendê-la” (200?, p. 4).

Percebendo a necessidade do aluno se sentir seguro da sua própria capacidade de

aprender, o docente pode utilizar a metodologia de jogos como um suporte de ensino. Existem

vários tipos de jogos matemáticos para se aplicar em sala de aula e que estão “[...] ligados ao

pensamento lógico matemático [...]” (PEREIRA, 200?, p.2).

13

3 O JOGO TORRE DE HANÓI

Professores vem buscando formas de ensino que não se restrinjam somente a aulas

expositivas, mas que propiciem modos diferentes de trabalhar um conteúdo matemático em

sala de aula.

Segundo Fiorentini e Morim (1990) apud Drabeski e Francisco (200?, p. 3):

São muitas as dificuldades encontradas por professores e alunos no processo ensino-

aprendizagem da matemática. Se, por um lado o aluno não entende a matemática que

lhe é ensinada e é reprovado por isso, por outro lado o professor, não conseguindo

alcançar resultados satisfatórios em suas aulas procura, muitas vezes, simples receita

de como ensinar determinado conteúdo [...].

Neste contexto, iremos explanar sobre a Torre de Hanói, um jogo didático que

apresenta vários fins educacionais, inclusive matemáticos. Segundo D’Ambrósio (1994), “o

jogo nas aulas de matemática é uma ótima estratégia para a produção do conhecimento [...]”

(apud BRENDA; HUMMES e LIMA, 2013, p.3).

Com este intuito é que iremos propor neste trabalho o estudo sobre o jogo Torre de

Hanói. Exploraremos este jogo de forma que contribua na construção do conceito de

progressão geométrica, conteúdo previsto para a 1a série do ensino médio de acordo com a

Diretriz Curricular Brasileira.

3.1 A HISTÓRIA

De acordo com Manoel (200?), a Torre de Hanói também conhecida como torre de

bramanismo ou quebra-cabeças do fim do mundo, foi inventada pelo matemático francês

Edouard Anatole Lucas no ano de 1883. Além de ser vendida como brinquedo ela foi incluída

no terceiro volume da obra Récréations Mathématiques de Edouard.

Segundo ele, foi uma lenda hindu que o inspirou na criação da torre. Esta lenda

falava de um templo em Benares, cidade Santa da Índia, onde existia uma torre sagrada do

bramanismo, cuja função era melhorar a disciplina mental dos jovens monges.

Neste templo, sob a sua cúpula, encontrava-se o centro do mundo. Ainda sob a

cúpula havia uma placa de bronze onde estavam fixadas três hastes de diamantes. Acreditava-

se que ao criar o mundo, o deus Brahma teria colocado em uma destas hastes, sessenta e

14

quatro discos concêntricos de ouro puro e de diâmetros decrescentes, apoiados um sobre o

outro, estando o maior junto a placa e o menor no topo da pilha. Esta era a Torre de Brahma.

Segundo as leis imutáveis por ele criadas, os sacerdotes do templo teriam sido

incumbidos de transferir a torre formada pelos discos da haste original para outra haste,

usando uma terceira como auxiliar. Eles deveriam trabalhar desde então, dia e noite, sem

cessar, seguindo apenas três regras básicas:

Um disco maior não pode ser colocado sobre um disco menor;

Pode-se mover um único disco por vez;

Um disco deve estar sempre numa das três hastes ou em movimento.

Segundo o mito, a vida decorrerá durante a realização de tal tarefa de transferência e,

quando os sacerdotes conseguissem terminar a missão que receberam, o templo transformará

em pó e o mundo desaparecerá com o estrondo de um grande trovão.

3.2 ESTRUTURA E REGRAS DA TORRE DE HANÓI

O jogo geralmente é composto de um tabuleiro com três hastes e a distância entre

elas deve ser próxima a medida do diâmetro do disco maior. Também contém seis discos

concêntricos de diâmetros diferentes.

Também encontramos versões deste jogo com número superior a seis discos.

A seguir está a figura do jogo Torre de Hanói:

FIGURA 1: Jogo Torre de Hanói

Fonte: Souza, 2013, p. 7.

15

O desafio deste jogo consiste em transferir os discos que devem estar inicialmente

empilhados em uma das hastes em ordem decrescente de tamanho, com o maior deles na base

e o menor no topo. Esta transferência pode ser feita para quaisquer uma das outras duas

hastes, com o menor número de movimentos possíveis. A disposição final dos discos deve ser

igual a do início do jogo. A Torre de Hanói é um jogo de manuseio individual.

O número mínimo de movimentos necessários para mudar a torre de haste depende

do número de discos e a partir dessa dependência o objetivo é descobrir, de forma dedutiva, a

relação matemática existente entre eles.

Segundo Machado (1995) “a Torre de Hanói é um jogo muito simples que envolve

desafios com grau crescente de dificuldade [...]” (apud SANTOS; CARVALHO e MÜLLER,

200?, p. 2). Para chegar a generalizações, inicialmente estuda-se o jogo para um, dois, três,

quatro ou cinco discos, buscando encontrar a regularidade entre as jogadas. Assim durante as

jogadas, o docente pode explorar o pensamento investigativo e dedutivo dos alunos.

Machado (1995) diz que:

Na pré-escola, a Torre pode ser utilizada como jogo livre, com regras simples para

separação de cores ou tamanhos. A partir do ensino fundamental [...] o jogo

possibilita uma série de explorações interessantes, no caminho para a descoberta da

estratégia ótima para alcançar o fim almejado. (apud SANTOS; CARVALHO e

MÜLLER, 200?, p.2).

3.3 O USO DO JOGO TORRE DE HANÓI COMO MATERIAL CONCRETO NO

ENSINO DA MATEMÁTICA

A concepção de que a aprendizagem se constrói sobre bases concretas já vem sendo

disseminada desde a antiguidade, onde vários educadores defendiam as suas afirmações.

Segundo Coelho, Gama e Passos (200?), durante o século XVIII, o grande filósofo John

Locke já justificava a ideia de que todo tipo de conhecimento adquirido era um resultado de

experiências que ocorriam em um processo de relação com o meio, ou seja, de fora do

indivíduo para dentro do mesmo, isto a partir de elementos materiais.

Também durante o movimento Escola Nova (no Brasil em aproximadamente 1930)

foi muito difundido o conceito de “métodos construtivos” onde os alunos aprenderiam

fazendo. Deste modo, o material concreto é uma forma de apresentar ao aluno uma maneira

palpável de aprender matemática.

16

Segundo Fiorentini e Miorim (1990 apud NOVELLO et al, 2009) quando nas aulas

de Matemática o docente utiliza o material concreto, as aulas tornam-se mais atrativas, além

de ser possível ao professor incentivar os alunos na busca de soluções, despertando o

interesse, a curiosidade e o espírito de investigação. Desse modo os discentes sentem-se a

vontade para questionar, estabelecer relações e criar hipóteses em busca de soluções.

De acordo com Pais (2006):

Estudos mostram que a aprendizagem se constitui principalmente através da

experiência e da visualização, para esta depois evoluir ao processo de abstração.

Neste contexto o material concreto possibilita que os estudantes estabeleçam

relações entre as situações vivenciadas na manipulação de tais materiais e a

abstração dos conceitos estudados. O uso de material concreto propicia aulas mais

dinâmicas e amplia o pensamento abstrato por um processo de retificações

sucessivas que possibilita a construção de diferentes níveis de elaboração do

conceito (apud NOVELLO et al, 2009, p. 10732)

Para Fiorentini e Miorim (1990 apud PASSOS, 2006, p. 79) “[...] por trás de cada

material se esconde uma visão de educação, de matemática, de homem e de mundo [...]”.

Quanto maior for a aplicabilidade do material utilizado, mais fácil será proceder as aulas e

este, deve sempre representar o conceito matemático de forma clara, para que a compreensão

seja adquirida e a aprendizagem complementada.

Tais materiais viabilizam a aprendizagem através de experiências, a construção e/ou

a reconstrução e ampliação dos significados matemáticos. Para tanto, é necessário que o

docente tenha por definido os objetivos de cada atividade a ser empregada, pois somente desta

forma é possível suscitar a motivação nos alunos. Nenhuma atividade deve ser aplicada de

modo desvinculado a aprendizagem, mesmo um simples material construído deve possuir um

determinado conhecimento envolvido.

3.4 CONSTRUÇÃO DO JOGO TORRE DE HANÓI

Muitas vezes as escolas não apresentam condições de adquirir materiais pedagógicos,

como por exemplo, jogos. Então para que professores possam utilizar o jogo Torre de Hanói

em sala de aula, apresentamos um modo de construção do jogo com o uso de materiais

básicos que geralmente as escolas dispõem e que apresentam um baixo custo de compra.

Esta confecção do jogo pode ser facilmente realizada pelos próprios alunos. Os

materiais necessários para construir um jogo são:

17

QUADRO 1: Construção do jogo Torre de Hanói

01 folha de isopor que será a base da Torre 01 estilete para fazer cortes nos espetinhos e

na folha de isopor

03 espetinhos de madeira (churrasco) para as

hastes

01 tesoura para recortar o E.V.A

06 pedaços de papel E.V.A. de cores

diferentes para a construção dos discos

Caneta

Compasso Fonte: A autora, 2015.

A princípio recortamos com o estilete a folha de isopor para que esta tenha em média

57 cm X 19 cm. Em seguida fazemos seis círculos no E.V.A sendo cada um deles de uma cor

e o maior deles com 8,5 cm de diâmetro. Os demais círculos devem ter respectivamente 7,3

cm; 6,1 cm; 4,9 cm; 3,7 cm e 2,5 cm de diâmetro. Após fazemos um furo no centro de cada

um dos círculos. Em seguida, marcamos as hastes com os palitos de churrasco de modo que

elas possuam as seguintes medidas:

FIGURA 2: Distância entre as hastes

Fonte: A autora, 2015.

Depois é só colocar os círculos em ordem decrescente na primeira haste e o jogo está

pronto.

A imagem do jogo construído segue em apêndice.

18

3.5 ESTRATÉGIA DAS JOGADAS

Para que as jogadas sejam realizadas com o número mínimo de movimentos das

peças, existe uma estratégia em termos de estabelecer uma sequência no modo de transportar

as peças sem infringir as regras. Vejamos o caso para:

1 disco

No caso em que o jogo tivesse um único disco, teríamos um único movimento, ou

seja,

FIGURA 3: Jogada com 1 disco


2 discos

No caso em que o jogo tivesse dois discos, teríamos três movimentos, ou seja,

FIGURA 4: Jogada com dois discos


3 discos

No caso em que o jogo tivesse três discos, teríamos sete movimentos, ou seja,

FIGURA 5: Jogada com três discos

19


4 discos

No caso em que o jogo tivesse quatro discos, teríamos quinze movimentos, ou seja,

FIGURA 6: Jogada com quatro discos

20


Para qualquer que seja n o número de discos, podemos detalhar as jogadas buscando

realizar sempre uma quantidade mínima de movimentos.

21

4 O JOGO TORRE DE HANÓI NO ENSINO DA PROGRESSÃO

GEOMÉTRICA

Quando o docente planeja trabalhar com o jogo Torre de Hanói em sala de aula, é de

suma importância que ele primeiramente leve aos alunos o material do jogo e estabeleça um

determinado tempo para que os alunos tenham um primeiro contato para que possam se

familiarizar com as peças, com o jeito de encaixar os discos, isto é, deixar que os alunos

brinquem livremente (MANOEL, 200?).

Depois de ter feito isto, o docente pode contar a história do jogo em sala de aula, uma

vez que conhecer o jogo através da sua história além de ser interessante pode despertar a

curiosidade dos alunos em querer descobrir como se faz corretamente as jogadas a fim de

descobrir quanto tempo os sacerdotes levarão para concluir a sua missão. Em seguida, o

docente pode explanar sobre as regras do jogo esclarecendo eventuais dúvidas. É preciso

também que a seguir o professor conceda um tempo para que ocorra o jogo de forma

espontânea, possibilitando aos alunos compreender as regras. Além disso ele deve

acompanhar o modo como os alunos passam a fazem as jogadas, ou seja, se eles passam a

seguir de maneira correta as regras propostas.

Para facilitar o trabalho em sala de aula, o professor pode organizar a turma em

duplas ou em trios com o intuito de que os alunos possam compartilhar ideias. Para que se

possa trabalhar o conteúdo de progressão geométrica a partir do jogo Torre de Hanói, o

docente pode propor aos alunos a seguinte questão:

Considerando a lenda, quantos movimentos mínimos serão necessários para

transferir na torre todos os 64 discos de uma haste para a outra?

A partir deste questionamento, os alunos ao tentarem encontrar a resposta, podem

recair em outras questões, como por exemplo:

Quantos movimentos mínimos são necessários para mover:

a) 1 disco;

b) 2 discos;

c) 3 discos;

d) 4 discos.

22

O docente pode pedir para que os mesmos detalhem as jogadas determinando a cada

movimento realizado, a peça que foi deslocada e para qual haste esta foi deslocada. Um modo

de fazer isto seria por meio de quadros como abaixo:

Para um disco, temos um movimento:

QUADRO 2: Número de movimentos para um disco

1o movimento Peça 1 na haste C


Para dois discos, temos três movimentos:

QUADRO 3: Número de movimentos para dois discos

1o movimento Peça 1 na haste B




Para três discos, temos sete movimentos:

QUADRO 4: Número de movimentos para três discos





5o movimento Peça 1 na haste A




Para quatro discos, temos quinze movimentos:

QUADRO 5: Número de movimentos para quatro discos









23









Depois que os alunos dominarem os movimentos que devem ser feitos, podemos

indagar se há alguma estratégia para movimentar os discos de modo a obter a quantidade

mínima de movimentos.

Por meio de tentativas, podemos verificar que para um disco o número de

movimentos é apenas um, colocando o disco direto na haste C. Para dois discos o número de

movimentos é 3, pois no primeiro movimento colocamos o disco menor na haste B. Já para

três discos o número de movimentos é 7, pois no primeiro movimento colocamos o disco

menor na haste C. Repetindo o processo para 4, 5, ..., n discos, concluímos que:

se o número inicial de discos da torre inicial for ímpar, no primeiro movimento

colocamos o disco menor na haste C;

se o número inicial de discos da torre inicial for par, no primeiro movimento

colocamos o disco menor na haste B.

Após os alunos observarem algumas regularidades presentes no jogo, o docente pode

pedir para que completem o seguinte quadro que os conduzirá a descobrir padrões associados

à Torre de Hanói.

QUADRO 6: Quantidade de movimentos de cada peça

Quantidade de

discos na torre

inicial

Quantidade de movimentos de cada peça Total de

movimentos Peça 1 Peça 2 Peça 3 Peça 4

1 1 0 0 0 1

2 2 1 0 0 3

3 4 2 1 0 7

4 8 4 2 1 15 Fonte: A autora, 2015.

Pode-se em seguida solicitar aos estudantes que observem os resultados e verifiquem

se existe uma relação entre o total de movimentos necessários com a quantidade de discos na

24

torre inicial. Mas para que eles possam melhor averiguar esta relação, o docente pode propor

aos alunos as seguintes questões:

1) Se acrescentarmos um disco à torre, em quanto aumentaria o número mínimo

de movimentos?

2) O que acontece com os termos das colunas? Eles estão crescendo ou

decrescendo? Em qual razão?

Os alunos a partir destes questionamentos podem verificar com base na coluna que

refere-se ao total de movimentos do quadro acima que, o número mínimo de movimentos está

relacionado com o número de movimentos anterior, ou seja:

1 3 7 15

+ 2 + 4 + 8

Logo, se a torre possuir cinco discos, o número mínimo de movimentos será 15 + 16

= 31 seguindo o raciocínio anterior.

Analisando a relação acima os alunos poderão notar que os termos das colunas são

crescentes e que os valores acrescidos ao total de movimentos pode ser representado como

multiplicações sucessivas por 2:

2

2 2 = 4

2 2 2 = 8

2 2 2 2 = 16

Depois dos discentes terem feito um breve estudo referente as jogadas realizadas, é

possível que eles mesmos possam concluir a relação existente entre o total de movimentos e

os valores acrescidos a eles, como foi feito no quadro a seguir:

25

QUADRO 7: Total de movimentos

Quantidade de

discos na torre

inicial

Total de movimentos

1 1

2 3 = 2 + 1

3 7 = 4 + 3

4 15 = 8 + 7 Fonte: A autora, 2015.

Logo, a sequência originada (2, 4, 8, 16, 32, ...) tem razão 2, ou seja, podemos

reescrever a sequência (2, 4, 8, 16, 32, ...) da seguinte forma:

a1 = 2 1 = 2

a2 = 2 2 = 4

a3 = 2 4 = 8

a4 = 2 8 = 16

...

Onde a1, a2, a3, a4, ... an são os termos da sequência.

A partir daí, o docente pode formalizar o conceito de Progressão Geométrica, uma

vez que:

Progressão Geométrica é uma sequência de números não nulos em que cada termo

posterior, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por um número fixo chamado

razão da progressão. (GIOVANNI; BONJORNO; GIOVANNI JR., p. 155, 2002).

Na sequência (2, 4, 8, 16, 32, ...) é possível verificar que o termo a2 = 4 origina-se da

multiplicação do termo anterior a1 = 2 pela razão 2. O mesmo ocorre com os demais termos

da sequência.

A partir do conceito de progressão geométrica, o professor pode juntamente com

seus alunos deduzir a fórmula do termo geral de uma P.G.

Seja a P.G. (a1, a2, a3, ..., an) de razão q, temos:

a1 = a1 q0

a2 = a1 q = (a1 q0) q = a1 q

1

26

a3 = a2 q = (a1 q1) q = a1 q

2

a4 = a3 q = (a1 q2) q = a1 q

3

a5 = a4 q = (a1 q3) q = a1 q

4

...

an = an -1 q = (a1 qn-2

) q = a1 qn-1

Logo a fórmula do termo geral de uma P.G. é dada por:

an = a1 qn-1

Em seguida os alunos podem verificar a veracidade da fórmula obtida utilizando a

sequência (2, 4, 8, 16, 32, ...) de razão 2.

a1 = 2 20 = 2 1 = 2

a2 = a1 q1 = 2 21

= 2 2 = 4

a3 = a1 q2 = 2 22

= 2 4 = 8

a4 = a1 q3 = 2 23

= 2 8 = 16

a5 = a1 q4 = 2 24

= 2 16 = 32

E assim sucessivamente.

Também é possível que, a partir disto, seja definida a função que refere-se a

sequência que está sendo trabalhada.

Tendo o primeiro termo e a razão, sabemos que:

an = a1 qn-1

Como a1 = 2 e q = 2

an = 2 2n-1

an = 21 2n-1

an = 2n

Novamente os alunos podem averiguar a veracidade, escrevendo a sequência (2, 4, 8,

16, 32, ...) em forma de potência de base 2:

2 = 21

4 = 2 2 = 22

8 = 2 2 2 = 23

27

16 = 2 2 2 2 = 24

...

Ainda dando continuidade ao conteúdo, o docente tem a oportunidade de trabalhar

com seus alunos a soma dos n termos de uma P.G. finita com base nos resultados obtidos

através da aplicação do jogo Torre de Hanói.

Se tomarmos a progressão geométrica (a1, a1q, a1q2, a1q

3, ..., a1q

n-1) onde a razão é q,

podemos somar os termos desta progressão tendo dois casos:

10 caso: q = 1

Seja Sn a soma dos termos da P.G., temos:

Sn = a1 + a1q + a1q2 + a1q

3 + ... + a1q

n-1

Sn = a1 + a1 1 + a1 12 + a1 1

3 + ... + a1 1

n-1

Sn = a1 + a1 + a1 + a1 + ... + a1

Sn = n a1

20 caso: q 1

Seja Sn a soma dos termos da P.G., temos:

Sn = a1 + a1q + a1q2 + a1q

3 + ... + a1q

n-1 I

q Sn = a1q + a1q2 + a1q

3 + ... + a1q

n-1 + a1q

n II

De II – I temos:

q Sn – Sn = - a1 + a1qn

Colocando os termos em evidência,

Sn (q – 1) = a1 (qn – 1)

Sn =

Como a sequência (2, 4, 8, 16, 32, ...) tem q 1, o professor deve sugerir que os

alunos retornem ao quadro utilizado para o jogo Torre de Hanói e analisem a coluna referente

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ao total de movimentos e respondam em seguida qual era o primeiro termo, ou seja, o total de

movimentos que correspondia a 1 disco na torre.

QUADRO 6: Quantidade de movimentos de cada peça

Quantidade de

discos na torre

inicial

Quantidade de movimentos de cada peça Total de

movimentos Peça 1 Peça 2 Peça 3 Peça 4

1 1 0 0 0 1

2 2 1 0 0 3

3 4 2 1 0 7

4 8 4 2 1 15 Fonte: A autora, 2015.

Após eles analisarem que neste caso a1 = 1 e a razão permanece sendo q = 2, o

professor pode pedir aos alunos para que escrevam a função que define o total mínimo de

movimentos para determinada quantidade de discos na torre inicial. Para isto basta aplicar os

valores na fórmula da soma dos termos de uma P.G. finita onde q 1:

Sn =

Sn =

Sn =

Sn = 2n - 1

Para que os alunos averiguem a veracidade, eles podem escrever o total de

movimentos mínimos necessários na forma de potência. Assim poderão perceber que

escrevendo na forma de potência de base 2, calculamos a potência e subtraimos 1.

Resumidamente:

1 = 21 – 1

3 = 22 – 1

7 = 23 – 1

15 = 24 – 1

Após os alunos podem reescrever o quadro inicial com uma nova coluna onde o total

de movimentos é expresso através das deduções obtidas por eles.

29

QUADRO 8: Total de movimentos expresso através de potência

Quantidade de

discos na torre

inicial

Total de

movimentos

Total de

movimentos

1 1 21 – 1

2 3 22 – 1

3 7 23 – 1

4 15 24 – 1


O docente pode ainda questionar aos alunos o que representa o expoente da potência

de base 2 neste caso, isto para que eles associem os expoentes a quantidade de discos da torre

inicial.

Depois que os alunos, chegarem a essas deduções, o docente pode ainda relembrar o

questionamento feito a eles sobre a história do jogo Torre de Hanói.

Considerando a lenda, quantos movimentos mínimos serão necessários para

transferir na torre todos os 64 discos de uma haste para a outra?

Agora, como os alunos já saberiam que o total mínimo de movimentos é dado por 2n

– 1, se a torre possui 64 discos, o total de movimentos seria obtido calculando 264

– 1, o que

resulta em 18.446.073.709.551.615 movimentos (MANOEL, p. 5, 200?).

30

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

A escola tem por função dar a formação adequada ao aluno, capacitando-o a

relacionar as informações do dia-a-dia com os conhecimentos científicos. No entanto, não se

têm obtido por meio do ensino tradicional uma forma de tornar os alunos cidadãos críticos,

que apresentem desenvolvida a sua autonomia, a capacidade de reflexão crítica e a

criatividade para aplicar os conhecimentos adquiridos. Assim, as preocupações com um

ensino de qualidade em qualquer nível escolar são cada vez mais frequentes, assim como a

busca por metodologias que possam apoiar tanto o professor como o aluno em sala de aula.

O uso de jogos como uma metodologia de ensino da Matemática oferece inúmeras

vantagens para o desenvolvimento de conceitos matemáticos, entretanto, alguns cuidados são

necessários quanto a seu uso em sala de aula. O professor, ao planejar suas atividades com o

uso de jogos, precisa estabelecer objetivos que queira alcançar por meio desta metodologia de

ensino, visando “criar” uma aula motivadora aos alunos que desperte neles o gosto pelo

estudo e proporcione um aprendizado prazeroso.

O objetivo dos jogos na educação não é apenas tornar a aula mais divertida, mas sim

extrair dessa atividade os conteúdos matemáticos que gerem a construção do conhecimento ao

mesmo tempo em que os alunos pensam e aprendem com motivação. Para tanto, o docente

precisa oferecer aos estudantes jogos interessantes e condizentes com a faixa etária,

objetivando a participação de todos e permitindo a eles a elaboração de conceitos

(VIGINHESKI et al, 2014).

Neste trabalho apresentamos e discutimos o uso do jogo Torre de Hanói apenas

visando à aprendizagem da Progressão Geométrica, entretanto, este jogo pode ser utilizado

para o ensino de outros conteúdos matemáticos, como o da Progressão Aritmética e o de

Funções. Também a Torre de Hanói pode ser utilizada para o ensino de indução infinita no

ensino superior.

Com este trabalho, esperamos que os professores possam refletir sobre o uso de

jogos no ensino da Matemática e passem a integrar estes às suas aulas, tornando-as mais

interessantes e satisfatórias aos alunos a fim de tornar a sala de aula um ambiente propício a

aprendizagem.

31

REFERÊNCIAS

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ensino aprendizagem das operações com números inteiros. Disponível em:

<http://www.pucrs.br/famat/viali/tic_literatura/jogos/1948-8.pdf>. Acesso em: 14 abr. 2015.

BRENDA, A. ; HUMMES, V. B. ; LIMA, V. M. do R. Torre de Hanói virtual e a

construção do conceito de função exponencial no ensino médio. Disponível em:

<http://seer.ufrgs.br/renote/article/viewFile/41693/26446>. Acesso em: 14 abr. 2015.

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utilização de jogos nas aulas de matemática. In Teoria e prática em educação

matemática: aproximação da universidade com a sala de aula. Maringá: UEM, 2010. 260

p.

COELHO, M. A. V. M. P. ; GAMA, R. P. ; PASSOS, C. L. B. Laboratório de ensino de

matemática na atuação e na formação inicial de professores de matemática. Disponível

em: <http://alb.com.br/arquivo-

morto/edicoes_anteriores/anais16/sem15dpf/sm15ss03_04.pdf>. Acesso em: 27 out. 2011.

DRABESK, E. J. ; FRANCISCO, R. Estudo da função exponencial e a indução

matemática com aplicação da Torre de Hanói. Disponível em:

<http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/696-4.pdf>. Acesso em: 14 abr.

2015.

GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R.; GIOVANNI JR, J. R. Matemática completa. Vol.

único. São Paulo: FTD, 2002.

GRANDO, R. C. O conhecimento matemático e o uso de jogos na sala de aula.

Disponível em:

<http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/2010/artigos_teses/2010/Matematica/

tese_grando.pdf>. Acesso em: 14 abr. 2015.

MANOEL, L. R. da S. Torre de Hanói. Disponível em:

<http://www.ibilce.unesp.br/Home/Departamentos/Matematica/labmat/torre_de_hanoi.pdf>.

Acesso em: 14 abr. 2015.

NOVELLO, T. P. et al. Material concreto: uma estratégia pedagógica para trabalhar

conceitos matemáticos. Disponível em:

<http://www.google.com.br/url?url=http://www.pucpr.br/eventos/educere/educere2009/anais/

pdf/3186_1477.pdf>. Acesso em: 7 set. 2015.

32

PASSOS, C. L. B. Materiais manipuláveis como recursos didáticos na formação de

professores de matemática. In O laboratório de ensino de matemática na formação de

professores. v. 1. Campinas: Autores Associados, 2006.

PEREIRA, E. F. O jogo no ensino e aprendizagem de Matemática. Disponível em:

<http://www.uesb.br/mat/semat/seemat2/index_arquivos/co5.pdf>. Acesso em: 14 abr. 2015.

SANTOS, G. P. dos. Os jogos como método facilitador no ensino de matemática.

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em: 14 abr. 2015.

SANTOS, M. B. dos. ; CARVALHO, P. C. ; MÜLLER, T. J. Atividades de ensino

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MC37.pdf>. Acesso em: 14 abr. 2015.

SOUZA, A. E. Torre de Hanói: O jogo como recurso metodológico nas aulas de

matemática. Disponível em:

<http://sbem.esquiro.kinghost.net/anais/XIENEM/pdf/1529_1752_ID.pdf>. Acesso em: 14

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VIGINHESKI, L. V. M. et al. O uso da Torre de Hanói para formação de conceitos

matemáticos com pessoas com deficiência visual. Disponível em: <file:///C:/Users/Mat-

01/Downloads/01408218065.pdf>. Acesso em: 14 abr. 2015.

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APÊNDICE A – Construção do jogo Torre de Hanói

universidade estadual do paranÁ campus de uniÃo...

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