FACULDADE ESTADUAL DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS DE UNIÃO DA VITÓRIA - FAFIUV

COLEGIADO DE MATEMÁTICA

DIOVANA PASCZUK

A EQUAÇÃO DO CALOR: UMA PROPOSTA DE ENSINO

UNIÃO DA VITÓRIA 2012

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DIOVANA PASCZUK

A EQUAÇÃO DO CALOR: UMA PROPOSTA DE ENSINO Trabalho apresentado como requisito para a conclusão do curso de Licenciatura em Matemática da Faculdade Estadual de Filosofia Ciências e Letras de União da Vitória – campus UNESPAR, para obtenção do Grau de Licenciada em Matemática. Orientador: Professor Doutor Simão Nicolau Stelmastchuk

UNIÃO DA VITÓRIA 2012

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SUMÁRIO

RESUMO..................................................................................................................... 3

1. INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 4

2. A EQUAÇÃO DO CALOR .................................................................................... 6

2.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................... 6

2.2 OBTENÇÃO DA EQUAÇÃO DO CALOR ....................................................... 6

2.3 CONDIÇÕES INICIAIS E DE CONTORNO.................................................... 9

3. CLASSIFICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS .................................... 11

4. MODELAGEM MATEMÁTICA E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS .................. 13

5. RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO CALOR ....................................................... 16

5.1 1ª ETAPA: COMPREENSÃO DO PROBLEMA ............................................ 16

5.2 2ª ETAPA: CONSTRUÇÃO DE UMA ESTRATÉGIA DE RESOLUÇÃO ...... 17

5.3 3ª ETAPA: EXECUÇÃO DA ESTRATÉGIA .................................................. 17

5.4 4ª ETAPA: REVISÃO ................................................................................... 22

6. CONDIÇÃO INICIAL .......................................................................................... 24

6.1 1ª ETAPA: COMPREENSÃO DO PROBLEMA ............................................ 24

6.2 2ª ETAPA: CONSTRUÇÃO DE UMA ESTRATÉGIA DE RESOLUÇÃO ...... 25

6.3 3ª ETAPA: EXECUÇÃO DA ESTRATÉGIA .................................................. 26

6.4 4ª ETAPA: REVISÃO ................................................................................... 26

7. CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................... 28

REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 29

APÊNDICE A - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS ................................... 30

APÊNDICE B - ORTOGONALIDADE DAS FUNÇÕES SENO E COSSENO .......... 35

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RESUMO

Neste trabalho, mostramos como a Equação do Calor pode ser deduzida, utilizando-se de Modelagem Matemática, através da aplicação dos princípios da Calorimetria. Este modelo, dado por uma Equação Diferencial Parcial com condições iniciais e de contorno, é resolvido segundo a concepção da Resolução de Problemas defendida por George Polya, utilizando o Método da Separação de Variáveis. Resultam-nos, assim, duas Equações Diferenciais Ordinárias, as quais após serem resolvidas apresentam-nos uma possível solução para o modelo. Fazemos, então, a verificação do resultado, se o mesmo satisfaz as condições de contorno, e quais devem ser suas características para que a condição inicial seja atendida. Palavras-chave: Equação do Calor, Equações Diferenciais, Resolução de Problemas.

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1. INTRODUÇÃO

A Equação do Calor é uma das equações clássicas da Física-Matemática e

seu estudo é de grande importância, uma vez que maioria dos problemas reais

envolvendo dissipação do calor pode ser considerada como casos de difusão

unidimensional. Levando em conta a condutividade térmica do material, o calor

específico, a densidade, o tempo e a localização de um ponto, podemos determinar

a temperatura naquele ponto em um determinado instante. Além disso, o estudo da

Equação do Calor envolve, não só conceitos de Física, como também de Equações

Diferenciais Parciais e de Cálculo Diferencial e Integral, havendo assim uma

intertextualização entre algumas matérias constantes da grade curricular de um

curso de graduação em Matemática.

O processo da obtenção da Equação do Calor será abordado sob o ponto de

vista da Modelagem Matemática, utilizando, na maioria das passagens,

conhecimentos empíricos sobre o tema. É importante que quem esteja

desenvolvendo esta modelagem tenha domínio de conteúdos considerados

essenciais em um curso da área de exatas, como o conceito e aplicação de limites,

derivadas e integrais. Caso isto não ocorra, é apropriado aproveitar o

desenvolvimento do modelo para rever estes conteúdos.

Através da observação de fenômenos reais e aplicação de princípios básicos

da Física, obtemos um modelo, uma equação diferencial parcial que descreve o

fluxo de calor em uma barra. Para encontrar a solução dessa equação diferencial

parcial com condições iniciais e de contorno, utilizaremos os passos da resolução de

problemas defendida por Polya, buscando sempre relacionar a questão a ser

resolvida com alguma já vista anteriormente.

Inicialmente conjecturaremos que a solução procurada pode ser escrita em

termos de duas outras funções e então analisaremos o que isso acarreta na

equação como um todo. Em seguida, utilizaremos conhecimentos anteriores sobre

as Equações Diferenciais Ordinárias (EDO’s) e, por fim, averiguaremos se a solução

encontrada satisfaz a todas as condições expressas pela Equação do Calor, fazendo

considerações sobre os critérios que devem ser obedecidos para que haja uma

solução.

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Além de rever alguns conteúdos já estudados, como é o caso das EDO’s e

do produto interno, o processo de resolução da equação dá espaço para abordagem

de novos tópicos, como as Séries de Fourier, cujo aprofundamento dependerá dos

objetivos pretendidos. A indicação dos procedimentos que o professor poderá utilizar

no desenvolver de uma aula com este tema não são diretamente impostos, bem

como a linguagem utilizada está em primeira pessoa do plural, o que acreditamos

facilitar a compreensão do texto antes de uma possível aplicação didática.

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2. A EQUAÇÃO DO CALOR

2.1 INTRODUÇÃO

Inicialmente, desenvolveremos um modelo matemático que descreve como

se comporta a condução do calor numa barra. Para isso, utilizaremos os

conhecimentos adquiridos nos cursos de Física, Cálculo Diferencial e Integral e de

Equações Diferenciais, e, posteriormente, faremos um estudo sobre a equação

diferencial obtida, esperando com isso obter uma solução de forma geral para o

problema da condução do calor em uma barra.

2.2 OBTENÇÃO DA EQUAÇÃO DO CALOR

A base para o desenvolvimento da equação do calor é o conhecimento

empírico sobre este fenômeno. Como apontam Boyce e Diprima (2006, p.345) “O

matemático tem que começar em algum lugar e esse lugar é dado pela experiência.”

Por isso, durante todo o processo de obtenção da equação que governa a condução

do calor, nós utilizaremos os conhecimentos físicos obtidos experimentalmente.

Consideremos inicialmente uma barra de comprimento dado L, feita de

material uniforme, cujas laterais estão isoladas termicamente, de modo que o calor

só possa fluir na direção do comprimento. Não há trocas de calor com o meio

ambiente através da superfície lateral da barra, porém, é possível que isso ocorra

através das extremidades. Uma seção transversal da barra tem área A, mas o fluxo

de calor só ocorre na direção do comprimento, logo este é um problema de

condução de calor em uma dimensão apenas.

Observamos que entre duas seções transversais da barra, de áreas iguais a

A, que apresentam temperaturas T1 e T2, respectivamente, ocorre troca de calor, da

mais quente para a mais fria. A quantidade de calor transferido por unidade de

tempo (Q) depende diretamente da área A e da diferença de temperatura das

seções, e é inversamente proporcional a distancia d que separa as duas placas; ou

Figura 1 – Barra homogênea Fonte: a autora, 2012.

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seja, quanto maior a diferença de temperatura, mais calor é transferido, quanto

maior a área, mais rápido ocorre a sua transferência, enquanto que, quanto maior a

distancia a ser percorrida, mais tempo leva para o calor ser transferido da primeira

para a segunda seção da barra. Além disso, o material de que a barra é feita

interfere diretamente na transferência de calor, sendo chamada de condutibilidade

térmica (k). Chegamos, assim, à lei do resfriamento de Fourier, ou lei da condução

do calor de Fourier dada por:

푄 = | | . (2.1)

Notamos que a temperatura em um ponto qualquer da barra ( 푢(푥, 푡))

depende da sua localização, digamos sua coordenada 푥, e do tempo t. No entanto, a

lei de Fourier independe do tempo, ou seja, ela considera as temperaturas T1 e T2

em um determinado instante apenas. Portanto, se fixarmos o tempo em (2.1),

fazendo T1=푢(푥, 푡) e T2= 푢(푥 + 푑, 푡) e passando o limite quando d tende a zero,

observamos que o fluxo de calor através de uma seção 푥 num instante t (푞(푥, 푡)) é

dado por:

푞(푥, 푡) = 푘퐴 lim →| ( , ) ( , )| = 푘퐴|푢 (푥, 푡)|. (2.2)

Observe que, se a temperatura cresce com x, a função u (x, t) é crescente e,

portanto sua derivada ux é positiva e, considerando que o fluxo é positivo se ocorre

da esquerda para a direita, neste caso o fluxo é negativo por ocorrer da direita para

a esquerda.

Por outro lado, se a temperatura decresce com 푥, temos que 푢 é negativo,

e o fluxo é positivo, pois ocorre da esquerda para a direita.

Figura 2 – T2 > T1 Fonte: a autora, 2012.

Figura 3 – T1> T2 Fonte: a autora, 2012.

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Assim, podemos substituir o módulo da equação (2.2) por um sinal de

menos que relacionará o fluxo de calor com o sentido em que ele ocorre, uma vez

que as constantes k e A são positivas e não influem quanto à mudança de sinal.

Obtemos, assim:

푞(푥, 푡) = −푘퐴푢 (푥, 푡).(2.3)

Para determinar o fluxo de calor ocorrido em uma determinada seção 훿 da

barra, em um espaço de tempo 휏, podemos fazer:

푞 = 푞(푥 , 푡)푑푡 − 푞(푥 + 훿, 푡)푑푡

= −푘퐴푢 (푥 , 푡)푑푡 − −푘퐴푢 (푥 + 훿, 푡)푑푡

= ∫ 푘퐴[푢 (푥 + 훿, 푡) + 푢 (푥 , 푡)]푑푡

= 푘퐴 푢 (푥, 푡) 푑푡푑푥.(2.4)

Neste caso utilizamos a integral, pois estamos calculando o fluxo de calor

em cada seção (푥 푒푥 + 훿) da barra, que é dado pela área abaixo da curva

descrita por uma função de duas variáveis 푞(푥, 푡). Assim, podemos fixar a primeira

variável e obter uma curva que descreve o fluxo de calor de acordo com a variação τ

do tempo em cada seção.

q(x, t) x0 x0+훿 x t0

푡 + 휏 t Figura 4 – Fluxo de calor nas seções x0 e x0 + δ

Fonte: a autora, 2012.

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Por outro lado, como a quantidade de calor necessária para elevar em 1ºC a

temperatura de um grama da substância de que é feita a barra, chamada de calor

específico (푐), faz com que possamos escrever 푞 como:

푞 = 푐푚∆푢,(2.5)

onde m é a massa da substância e ∆푢a variação média de temperatura durante um

intervalo de tempo. Assim, tomando o intervalo de tempo 휏 e o segmento da barra 훿,

podemos escrever ∆푢como a soma das variações médias das temperaturas em

todos os pontos, ou seja:

∆푢 =1

(푥 + 훿)− 푥 푢(푥, 푡 ) − 푢(푥, 푡 + 휏)푑푥

=1

(푥 + 훿) − 푥 푢 (푥, 푡)푑푡푑푥(2.6)

A massa (푚) de uma substância é dada pela densidade da substância (휌)

multiplicado pelo volume (푉), sendo que, este último pode ser escrito como:

푉 = 퐴 (푥 + 훿) − 푥 .(2.7)

Substituindo então, (2.6) e (2.7) na equação (2.5), tem-se:

푞 = 푐휌퐴 (푥 + 훿) − 푥1

(푥 + 훿) − 푥 푢 (푥, 푡) 푑푡푑푥

= 푐휌퐴 푢 (푥, 푡)푑푡푑푥.(2.8)

E, finalmente, podemos igualar (2.4) e (2.8) e obter:

푘퐴∫ ∫ 푢 (푥, 푡) 푑푡푑푥 = 푐휌퐴∫ ∫ 푢 (푥, 푡) 푑푡푑푥,

a qual é valida sempre que tivermos: 푡 > 0, 0 < 푥 < 퐿, 휏 > 0 e 훿 > 0. Assim:

푘푢 = 푐휌푢 .(2.9)

Dado que 푘, 푐 e 휌 são constantes, podemos escrever (2.9) como:

푢 = 훼 푢 . (2.10)

2.3 CONDIÇÕES INICIAIS E DE CONTORNO

A equação (2.10) representa a forma como ocorre a condução do calor em

uma barra, porém, existem algumas condições que devem ser consideradas no caso

de um problema específico.

Por exemplo, a temperatura em toda a extensão da barra no instante inicial

influencia na distribuição do calor, logo, esta é uma condição inicial dada por:

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푢(푥, 0) = 푓(푥), (2.11)

onde f(x) descreve a temperatura dos pontos da barra no instante t=0.

Além disso, pode haver fluxo de calor nas extremidades da barra, uma vez

que elas não necessariamente estão isoladas termicamente. Este fluxo pode se dar

das seguintes formas:

i) As temperaturas nas extremidades são constantes, ou seja, 푢(0, 푡) = 푇

e 푢(퐿, 푡) = 푇 , onde T1 e T2 são dados.

ii) As temperaturas nas extremidades variam conforme funções dadas, ou

seja, 푢(0, 푡) = ℎ (푡) e 푢(퐿, 푡) = ℎ (푡).

iii) Não há variação de temperatura nas extremidades (isoladas

termicamente), ou seja, não há fluxo de calor 푢 (0, 푡) = 푢 (퐿, 푡) = 0.

iv) As extremidades da barra trocam calor com o meio ambiente, que tem

temperatura 푢 , de modo que esta troca pode ser expressa como: 푘푢 (0, 푡) =

푒{푢(0, 푡) − 푢 } e −푘푢 (퐿, 푡) = 푒{푢(퐿, 푡) − 푢 } , onde e é a emissividade, uma

constante que depende do material de que a barra é feita e do meio ambiente.

v) Ainda, pode ocorrer que duas condições das dadas acima estejam

presentes no problema em questão. Por exemplo 푢(0, 푡) = 0 e 푢 (퐿, 푡) = 0, 푢(0, 푡) =

ℎ (푡) e 푢 (퐿, 푡) = 0 ou ainda 푢(0, 푡) = 0 e 푢(퐿, 푡) = 푇 , onde ℎ (푡) e T são

temperaturas dadas.

As condições acima são chamadas de condições de fronteira e podem ser

chamadas de condições de Dirichlet (i e ii), de Neumann (iii e iv) ou de Robin (v).

Para que possamos determinar uma solução para a equação do calor, é

necessário que tenhamos a condição inicial e uma condição de fronteira em cada

extremo da barra, conforme veremos nos capítulos seguintes.

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3. CLASSIFICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Uma equação diferencial é uma equação que envolve pelo menos uma

derivada de uma função desconhecida (incógnita). Se a função incógnita tiver

apenas uma variável independente, a equação conterá suas derivadas totais e será

denominada de Equação Diferencial Ordinária (EDO). Por exemplo, se tivermos

uma função 푓(푥), um exemplo de equação diferencial ordinária é

푓(푥) + 푓’(푥) = 0. (3.1)

Caso contrário, se a função incógnita tiver mais de uma variável

independente, a equação irá conter suas derivadas parciais, e portanto, será

denominada de Equação Diferencial Parcial (EDP). Por exemplo, sendo 푢 = 푢(푥, 푡)

uma função de duas variáveis, um exemplo de equação diferencial parcial é

푢 + 푢 = 0. (3.2)

Além disso, as equações diferenciais são classificadas segundo sua ordem,

grau e linearidade.

A ordem de uma equação diferencial é dada pela ordem da mais alta

derivada presente na equação. O grau da equação é determinado pelo grau da

maior derivada da equação, ou seja, é a potência à qual esta elevada a derivada de

ordem mais alta. Por fim, uma equação diferencial é dita linear quando é de

primeiro grau na função incógnita e em todas as derivadas que aparecem na

equação. Por exemplo:

푝(푥) + 푞(푥)푦+ 푟(푥) = 0 (3.3)

+ 푠푒푛(푥) + 푒 푦 = 0 (3.4)

퐴(푥, 푦)푢 + 퐵(푥,푦)푢 + 퐶(푥,푦)푢 + 퐷(푥, 푦) = 0 (3.5)

푥푢 − 푦푢 + 푢 − sen(푥푦) = 0. (3.6)

A equação (3.3) é a forma geral de uma EDO de primeira ordem linear. A equação

(3.4) é de 2ª ordem e 3º grau, não linear. As equações (3.5) e (3.6) são ambas

EDP’s lineares de primeira ordem.

Em especial, no caso de uma EDP se a parte principal, isto é, a parte da

equação que contém as derivadas de maior ordem, for linear, a EDP é dita

semilinear. Ainda, se o termo que não contém a variável dependente é

identicamente nulo, a EDP é dita homogênea. Por exemplo, a equação (3.6), como

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é linear, é também semilinear, pois as duas derivadas que aparecem são de primeiro

grau, porém é não homogênea pois o termo − sen(푥푦) é não nulo.

Assim, como podemos classificar a Equação do Calor

푢 = 훼 푢 ?

Colocando-a na forma geral, temos:

훼 푢 − 푢 = 0,

que é uma Equação Diferencial Parcial. A maior derivada que temos é de 2ª ordem,

dada por 푢 , que é de primeiro grau, portanto a equação é semilinear. Além disso, a

outra derivada, 푢 , é também de primeiro grau, logo a Equação do Calor, além de

semilinear, é linear. Ainda, como não temos termos sem a variável dependente, ou

seja, este termo é nulo, então a equação é homogênea. A questão que nos surge

agora é: como resolvê-la?

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4. MODELAGEM MATEMÁTICA E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

A Modelagem Matemática é uma das tendências metodológicas para ensino

de Matemática que mais se desenvolveu nas últimas décadas, sobretudo porque

cada vez mais se buscam alternativas de ensino que facilitem a compreensão de

conceitos e a utilização destes para resolver problemas advindos do mundo real.

Como aponta Bassanezi (2002, p.17), “a modelagem matemática, em seus vários

aspectos, é um processo que alia teoria e prática, motiva seu usuário na procura do

entendimento da realidade que o cerca e na busca de meios para agir sobre ela e

transformá-la”. Ou seja, a Modelagem é uma importante ferramenta para despertar o

interesse dos alunos para a Matemática, pois com isso ela passa de uma ciência

abstrata a um modo de entender e interagir com a realidade.

Diversos autores defendem, e talvez seja o mais natural, que o objeto

modelado atraia a atenção dos alunos despertando um interesse maior para as

aulas. Porém, apesar da questão “condução de calor” não parecer muito atrativa

para a maioria dos alunos, deve-se ser levado em consideração que, mais

importante do que o tema modelado é o conteúdo matemático envolvido no

processo. Apesar de a Modelagem Matemática ser uma atividade que, em geral,

busca uma resposta para alguma questão de nosso interesse, no caso de sua

utilização na sala de aula o ponto principal não deveria focar em “qual a resposta

final”, mas sim em ”como obter essa solução”. O tema da modelagem é apenas um

meio utilizado para exemplificar mais clara e diretamente onde a Matemática pode

ser empregada.

Neste trabalho, buscamos apresentar uma situação onde se pode utilizar

técnicas de modelagem para representar um problema físico e sua posterior

resolução pode ser feita utilizando-se conceitos já estudados pelos alunos de um

curso superior da área de ciências exatas. Por isso, no momento da resolução da

equação obtida, deixaremos um pouco de lado os passos seguidos para a

modelagem propriamente dita e focaremos no modelo obtido, pois como destaca

Bassanezi (2002, p.30) ”a resolução de modelos é uma atividade própria do

matemático, podendo ser completamente desvinculada da realidade modelada”.

Utilizaremos, então, conhecimentos referentes às Equações Diferenciais e Álgebra

Linear para obter uma possível solução do modelo.

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Porém, apesar da resolução do modelo poder ser desvinculada do objeto

modelado, a modelagem em si não deve ser um procedimento isolado no ensino de

Matemática, utilizado apenas de vez em quando e envolvendo apenas alguns

conteúdos específicos. Deve sim, ser um aliado no ensino-aprendizagem da

Matemática como um todo, pois além de exemplificar a utilização da Matemática na

realidade, também estimula o desenvolvimento social e do raciocínio lógico do

aluno, que será capaz de explorar, analisar, pensar criticamente e atuar de maneira

consciente na sociedade.

Após a modelagem da situação é hora de resolver o modelo obtido, pois

conforme aponta Biembengut (2000, p.14), “uma vez formulada a situação problema,

passa-se à resolução ou análise com o ‘ferramental’ matemático de que se dispõe”.

Para tanto, seguiremos os passos defendidos por Polya (2006), onde o professor

auxiliará o aluno à medida que for necessário, mas tomará o cuidado de deixá-lo

com a sensação de trabalho independente. Para isso, poderá questioná-lo sobre os

passos a serem seguidos e aceitar suas sugestões, mesmo sabendo que algumas

delas não estão totalmente corretas, pois aprender com os erros cometidos faz parte

do desenvolvimento do aluno, e quanto mais ele conseguir avançar sozinho, mais

experiência adquirirá na resolução de problemas.

Num primeiro momento, deverá haver uma compreensão do problema

estudado: quais são as variáveis dependentes, quais são independentes, quais

coeficientes são conhecidos e quais os detalhes importantes de serem

considerados. Como a equação foi obtida a partir de um processo de modelagem,

essa etapa consistirá apenas num olhar mais atento sobre o modelo obtido, uma vez

que já sabemos previamente do que trata o problema.

Em seguida é necessário estabelecer um plano para tentar resolver o

problema. Nesse ponto é interessante que o professor apresente algumas dicas,

informações que possivelmente não tenham sido levadas em conta quando da

compreensão do problema, que indiquem possíveis passos a serem tomados para

sua resolução, remetendo os alunos a conteúdos já estudados anteriormente.

Biembengut (2000, p.12) ressalta que “tanto maior o conhecimento matemático,

maiores serão as possibilidades de resolver questões que exijam uma Matemática

mais sofisticada” e, por isso, é importante a orientação do professor, pois é provável

que os alunos ainda não estejam familiarizados com a utilização de conteúdos

aprendidos no ensino superior em atividades de resolução de problemas. Por

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exemplo, frisando o fato de que temos uma equação diferencial com condições de

contorno, os alunos devem ser levados a pensar como resolver, inicialmente,

apenas essa questão, para só depois considerarem os demais dados do problema,

conforme veremos mais adiante.

Executar o plano estabelecido é o terceiro passo, e é nesse momento que os

alunos participarão mais ativamente, uma vez que já sabem, pelo menos

momentaneamente, onde querem chegar. Como nesse caso precisaremos utilizar

diversas estratégias para resolver o problema completamente, a cada etapa que os

alunos terminarem, o professor deverá indagar qual é o próximo passo a ser dado,

uma vez que o anterior só resolveu parte do problema.

Finalmente, na quarta etapa da resolução de problemas apontada por Polya

(2006, p.05), “fazemos um retrospecto da resolução completa, revendo-a e

discutindo-a” e, nesse momento, podemos aproveitar para generalizar a resolução

obtida para o modelo da Equação do Calor, obtendo uma solução em termos mais

gerais para equações que apresentem as mesmas características. Essa última

etapa, apesar de não ser indispensável, é interessante que seja trabalhada, pois

com ela os alunos poderão generalizar o processo seguido para outros problemas

semelhantes, tornando sua resolução mais imediata. Ainda, é nesta etapa que se

deve fazer uma interpretação do resultado obtido, pois como Bassanezi (2002, p. 24)

destaca, “a modelagem consiste, essencialmente, na arte de transformar situações

da realidade em problemas matemáticos cujas soluções devem ser interpretadas na

linguagem usual”, ou seja, de nada adianta obter o modelo e sua solução se após

todo esse trabalho não for feita uma interpretação do resultado obtido, e em alguns

casos até uma adaptação à situação modelada para que todo o processo faça

sentido.

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5. RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO CALOR

No capítulo 1, obtemos uma Equação Diferencial Parcial que descreve o

fluxo de calor em uma barra homogênea através de um processo de modelagem. A

questão que nos surge então é: como obter a solução desta equação? Ou seja, qual

é a função que nos dá a temperatura 푢 em um determinado ponto 푥 desta barra em

certo tempo 푡?

5.1 1ª ETAPA: COMPREENSÃO DO PROBLEMA

Antes de iniciarmos a resolução, devemos compreender o problema em

questão. Conhecer as informações que temos disponíveis e as que queremos

encontrar é crucial para desenvolver uma resolução que nos leve a resultados

satisfatórios. Caso contrário, corre-se o risco de ficar dando voltas sem chegar a

lugar nenhum, ou tomar caminhos que não são justificáveis pelos dados disponíveis.

Assim, devemos nos fazer algumas perguntas, tais como: qual a incógnita?

Como obtê-la? Quais são os dados? E as condições? Ao respondermos estas

perguntas teremos uma compreensão melhor do problema em questão.

Como desejamos resolver uma equação diferencial, precisamos definir como

é o tipo de solução que queremos e quais suas características. Neste caso, estamos

em busca de uma função de duas variáreis 푢(푥, 푡) tal que a temperatura em cada

extremidade da barra é 0, ou seja, na extremidade 푥 = 0 a temperatura é zero e na

outra extremidade, 푥 = 퐿, também o é:

푢(0, 푡) = 0 = 푢(퐿, 푡), 푡 ≥ 0,

que são as chamadas condições de contorno do nosso problema.

Outra característica que a solução deve apresentar, é que no instante inicial

푡 = 0, a temperatura em qualquer ponto da barra pode ser expressa por uma função

que depende apenas da variável 푥, ou seja, depende apenas do ponto em questão,

pois não houve variação no tempo:

푢(푥, 0) = 푓(푥), 푥 ∈ [0, 퐿],

que é a condição inicial do problema em estudo.

Como a solução procurada apresenta duas característica principais,

qualquer candidato a solução desta Equação Diferencial Parcial deve satisfazer a

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essas condições. Assim, temos um problema com condições iniciais e de contorno,

expresso por:

푢 = 훼 푢 (5.1)

푢(푥, 0) = 푓(푥), 푥 ∈ [0, 퐿].

푢(0, 푡) = 0 = 푢(퐿, 푡), 푡 ≥ 0

5.2 2ª ETAPA: CONSTRUÇÃO DE UMA ESTRATÉGIA DE RESOLUÇÃO

Devemos agora, elaborar uma estratégia de resolução para este problema.

Podemos, então, nos perguntar: já encontramos algum problema parecido? Como

ele foi resolvido? Há algum problema mais geral e mais acessível?

As possíveis soluções para este problema devem obedecer às condições

apresentadas, portanto, podemos inicialmente procurar funções que obedeçam à

Equação Diferencial e depois restringi-las aos casos em que estejam de acordo com

as condições iniciais e de contorno.

Seguindo os passos para a resolução de problemas, podemos tentar

relacionar este problema com algum outro que já tenhamos resolvido. A primeira

vista, acreditamos que este é um problema totalmente novo, sem nenhuma relação

com outros estudados anteriormente, e, portanto não dispomos de estratégias e/ou

métodos de resolução semelhantes que possam ser utilizados. Então, vamos nos

concentrar nos dados que o próprio problema nos fornece: estamos procurando por

uma função com duas variáveis independentes. E o que isso significa? Inicialmente

podemos supor que essa solução possa ser escrita como o produto de duas outras

funções, uma dependente apenas de 푥e outra dependente apenas de 푡, ou seja:

푢(푥, 푡) = 푋(푥)푇(푡).(5.2)

5.3 3ª ETAPA: EXECUÇÃO DA ESTRATÉGIA

Para verificar se essa conjectura, de que podemos separar a função 푢(푥, 푡)

em duas outras é aceitável, podemos derivar a função 푢 em relação a 푥 e a 푡:

푢 = 푋(푥)푇 (푡)

푢 = 푋 (푥)푇(푡)

푢 = 푋 (푥)푇(푡).

Assim, é possível substituir essas funções no problema que desejamos

resolver e ver o que acontece. Porém deve-se atentar para o fato de que as funções

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푋(푥) e 푇(푡) devem ser deriváveis, e, por consequência, 푢(푥, 푡) também deve ser

derivável pelo menos duas vezes.

Observando que a hipótese de separar a função solução é aceitável,

podemos continuar tentando resolver a EDP através deste raciocínio. Para isso, o

próximo passo é substituir a suposta solução procurada na EDP que queremos

resolver:

푢 = 훼 푢

푋(푥)푇 (푡) = 훼 푋 (푥)푇(푡). (5.3)

Deve-se então analisar a equação obtida: não estamos mais em busca de

uma função de duas variáveis, mas sim de duas funções de uma variável cada.

Podemos perceber que acabamos chegando à outro problema, pois agora

precisamos encontrar duas funções que aparentemente não apresentam nenhuma

relação entre si. Novamente, para tentar resolvê-la, podemos tentar separar as

variáveis e, como é uma igualdade, vamos tentar colocar cada variável em um dos

lados, ( )( )

= ( )( )

. (5.4)

Assim, o lado esquerdo da igualdade contém apenas a variável 푡, e o lado direito,

apenas a variável 푥.

Um fato importante que devemos nos atentar é que a variação de 푥 não

depende da variação de 푡 (e vice-versa) e, portanto, os quocientes de (5.4) não

apresentam uma relação direta. Vejamos: ao variarmos apenas o valor de 푥 , o

quociente do lado esquerdo de (5.4) não se altera e, portanto, qualquer que seja o

valor de 푥 o quociente do lado direito deve também manter-se constante. Como o

mesmo acontece quando variamos apenas o valor de 푡 e deixamos 푥 fixo, podemos

concluir que ambos os coeficientes devem ser iguais a uma mesma constante, que

podemos supor ser 푘, e assim temos: ( )( )

= 푘e ( )( )

= 푘.

Deste modo, como as equações agora possuem apenas uma incógnita, é

possível escrevê-las como:

푋 − 푘푋 = 0 (5.5)

푇 − 훼 푘푇 = 0, (5.6)

19

que são Equações Diferenciais Ordinárias (EDO’s). No entanto, como o sinal

negativo na equação pode não ser cômodo na hora de resolvê-las, e 푘 é uma

constante arbitrária, podemos chamá-la de – 푘, assim, as equações (5.5) e (5.6)

serão:

푇 + 훼 푘푇 = 0 (5.7)

푋 + 푘푋 = 0. (5.8)

Apesar de não parecer haver muita evolução na resolução da EDP (5.1),

estamos, agora, diante de problemas que já conhecemos e, portanto, podemos

utilizar os conhecimentos adquiridos com relação às EDO’s para resolvê-los.

As conjecturas que fizemos até esse momento, tentando resolver a equação

diferencial parcial que descreve o fluxo de calor em uma barra, nos resultaram em

duas equações diferenciais ordinárias. Contudo a questão que surge é quanto às

condições iniciais e de contorno que acompanham a referida equação: será que a

solução procurada poderá satisfazer estas condições, ou seja, as condições são

aceitáveis? Ou elas não se adequarão e deveremos começar a procurar a solução

da EDP do inicio novamente?

Para saber se estamos no caminho certo na busca por uma solução, as

condições dadas anteriormente deverão ser adequadas a partir da suposição de que

a função procurada é um produto de duas outras funções, e assim possibilitarão a

resolução das EDO’s.

Devemos então analisar se as condições dadas podem ser aplicadas ao

problema: A primeira condição que temos, é de que no instante inicial, ou seja,

quando 푡for igual à zero, a distribuição da temperatura na barra é dada por uma

função apenas de 푥, assim, substituindo a função 푢 procurada pela forma expressa

em (5.2), na condição

푢(푥, 0) = 푓(푥),

teremos:

푋(푥)푇(0) = 푓(푥).

Essa condição é aceitável, pois como 푇(0) deve possuir um valor numérico,

uma vez que a única variável é 푡 , então as funções 푓(푥) e 푋(푥) deverão se

relacionar de algum modo.

20

Por outro lado, a condição de contorno nos diz que nas extremidades da

barra, independente da variação do tempo, a temperatura se manterá nula e, assim,

substituindo (5.2) em

푢(0, 푡) = 0 = 푢(퐿, 푡),

obtemos

푋(0)푇(푡) = 0 = 푋(퐿)푇(푡).

Disto podemos observar que, ou a função 푇(푡) é identicamente nula, ou

então, nos pontos 푧푒푟표 e 퐿 a função 푋(푥) se anula. Mas qual destas condições é

mais aceitável? Vejamos, se 푇(푡) for nula para qualquer valor de 푡, a função 푢(푥, 푡)

será sempre zero, e isso significaria que a temperatura em qualquer ponto da barra

considerada, independentemente da variação temporal se manteria em zero, o que

tornaria sem sentido o estudo deste problema. Assim, estaremos em busca de uma

função 푋(푥) que seja nula nos extremos da barra e de uma função 푇(푡) que não seja

identicamente nula.

Como as condições a serem satisfeitas pela solução da EDP são aceitáveis

mediante as conjecturas feitas até aqui, vamos prosseguir neste caminho,

analisando as soluções das EDO’s dadas em (5.7) e (5.8).

Para a EDO (5.7) a solução que obtemos (explicitada no apêndice A) é dada

por

푇(푡) = 퐶푒 . (5.9)

Para a EDO (5.8) encontramos várias possíveis soluções para a EDO

(conforme pode-se observar no Apêndice A), mas como saber qual delas nos

ajudará a resolver a EDP? Quais critérios devemos usar para analisá-las? Para

escolhermos as mais adequadas podemos considerar as outras condições dadas

junto com a EDP. Como já observamos anteriormente, buscamos uma função 푋(푥)

que seja nula nos extremos da barra, ou seja, quando 푥 = 0 e 푥 = 퐿. Para saber

quais das possíveis soluções encontradas até então satisfaz a essa exigência,

vamos substituir 푥 = 0 em cada uma delas:

i. 푒 √ = 푒 √ = 푒 = 1

ii. 푒 √ = 푒 √ = 푒 = 1

iii. 1

iv. 푥 = 0

v. 푠푒푛 푥√푘 = 푠푒푛 0√푘 = 푠푒푛(0) = 0

21

vi. cos 푥√푘 = 푐표푠 0√푘 = 푐표푠(0) = 1.

Como é possível observar, apenas duas das seis possíveis soluções que

tínhamos satisfazem a essa primeira condição. Contudo, para que ela seja

realmente a solução que estamos procurando deve ocorrer que quando 푥 = 퐿, a

função também se anule. Porém isso não ocorre na função 푥 , então vamos

descartá-la. Só nos resta verificar se a função 푠푒푛 푥√푘 é nula quando 푥 = 퐿 .

Sabemos que a função seno intercepta o eixo 푥 a cada 휋푟푎푑 ,então, além de

substituirmos 푥 por 퐿, vamos tentar encontrar possíveis valores de 푘 para os quais

isso ocorra. Para que

푠푒푛 푥√푘 = 푠푒푛 퐿√푘 = 0 (5.10)

ocorra, devemos ter:

퐿√푘 = 푛휋 => 푘 = (푛휋/퐿) => 푘 = 푛 휋 /퐿 . (5.11)

Substituindo a última igualdade de (5.11) em (5.10), percebemos que a

função seno sempre terá valor zero para 퐿 desde que 푘 possa ser escrito da forma

(5.11), então a solução que procuramos pode ser expressa por

푋 (푥) = 푐 푠푒푛(푛휋푥/퐿),

onde 푐 é uma constante e 푛 um número inteiro.

E agora, o que fazemos com as duas soluções encontradas para as EDO’s ?

Na busca por soluções para a equação diferencial parcial com condições

iniciais e de contorno dada por:

푢 = 훼 푢 (5.12)

푢(푥, 0) = 푓(푥), 푥 ∈ [0,퐿]. (5.13)

푢(0, 푡) = 0 = 푢(퐿, 푡), 푡 ≥ 0, (5.14)

supomos que a solução procurada poderia ser escrita como um produto de duas

outras funções de forma

푢(푥, 푡) = 푋(푥)푇(푡), (5.15)

e, assim, obtemos duas equações diferenciais ordinárias:

푇 + 훼 푘푇 = 0 (5.16)

푋 + 푘푋 = 0. (5.17)

Resolvendo as EDO’s conseguimos as seguintes soluções:

- para a equação (5.17), a solução obtida foi 푋 (푥) = 푐 푠푒푛(푛휋푥/퐿), com a condição

de que 푘 fosse igual a 푛 휋 /퐿 .

22

- para a equação (5.16), a solução que havíamos obtido anteriormente foi 푐 푒 ,

mas aplicando a condição de que 푘 = 푛 휋 /퐿 , teremos 푇(푡) = 퐶푒 / , onde

퐶 é uma constante.

Como o que originou as EDO’s foi o fato de termos escrito 푢(푥, 푡) como uma

multiplicação de duas outras funções, então, para que essas soluções sejam

solução da EDP (5.12), devemos multiplicá-las também, com isso obteremos:

푢 (푥, 푡) = 퐶 푒 / 푠푒푛(푛휋푥/퐿), (5.18)

onde 퐶 é o produto das duas constantes 퐶 e 푐 .

5.4 4ª ETAPA: REVISÃO

Fizemos uma série de conjecturas para encontrar 푢(푥, 푡), porém, mesmo

assim, não podemos afirmar que a solução encontrada resolve efetivamente a

Equação do Calor. Pode ter havido erros no cálculo, ou suposições equivocadas.

Devemos então verificar se a solução encontrada satisfaz à EDP. Como fazer isto?

Primeiro vamos derivar 푢 com relação a 푥 duas vezes:

푢 (푥, 푡) = 퐶 푒 / 푐표푠(푛휋푥/퐿) (5.19)

푢 (푥, 푡) = − 퐶 푒 / 푠푒푛(푛휋푥/퐿). (5.20)

Em seguida, derivamos 푢 com relação a 푡 uma vez:

푢 (푥, 푡) = − 퐶 푒 푠푒푛(푛휋푥/퐿). (5.21)

Por fim, substituímos as equações (5.20) e (5.21) em (5.12), e obtemos a seguinte

igualdade

푢 = 훼 푢

− 퐶 푒 푠푒푛 = −훼 퐶 푒 푠푒푛 ,

a qual é verdadeira, e, portanto, a solução (5.18) satisfaz a EDP (5.12).

A solução (5.18) satisfaz à EDP, mas ainda falta algo: verificar se as

condições iniciais e de contorno são atendidas. Caso contrário, (5.18) não é solução

da Equação do Calor dada por (5.12), (5.13) e (5.14).

De acordo com as observações feitas anteriormente, essa solução satisfaz a

condição de contorno dada em (5.14), pois 푢(0, 푡) = 0 e 푢(퐿, 푡) = 0

23

Podemos verificar que a função (5.18) satisfaz a quase todas as condições

dadas na EDP para qualquer valor de 푐 , menos (5.13). Como para cada 푐 e cada

valor de푛 temos uma solução, conseguimos infinitas soluções, por exemplo:

푐 푒 / 푠푒푛(푛 휋푥/퐿) ou 푐 푒 / 푠푒푛(푛 휋푥/퐿) (5.22)

são também soluções para este problema.

Mas como saber qual solução é a procurada? Se lembrarmos de que as

combinações lineares de soluções de uma equação diferencial também são

soluções da mesma, podemos dizer que, variando 푐 , obtemos uma infinidade de

combinações possíveis de soluções, ou seja:

푐 푒 / 푠푒푛(푛 휋푥/퐿) + 푐 푒 / 푠푒푛(푛 휋푥/퐿),

푐 푒 / 푠푒푛(푛 휋푥/퐿) + 푐 푒 / 푠푒푛(푛 휋푥/퐿) + 푐 푒 / 푠푒푛(푛 휋푥/퐿),

∑ 푐 푒 / 푠푒푛(푛휋푥/퐿), (5.23)

são, todas, soluções da EDP (5.12) com a condição de contorno (5.14), desde que 푛

seja um inteiro, e portanto, podemos expressar a solução como em (5.23), pois

escolhidos os coeficientes adequados, podemos expressar qualquer solução.

24

6. CONDIÇÃO INICIAL

Em busca da solução para o problema da condução do calor expresso por

푢 = 훼 푢 (6.1)

푢(푥, 0) = 푓(푥), 푥 ∈ [0,퐿] (6.2)

푢(0, 푡) = 0 = 푢(퐿, 푡), 푡 ≥ 0 (6.3)

encontramos uma possível solução, que satisfaz a EDP (6.1) e a condição de

contorno (6.3):

푢 (푥, 푡) = ∑ 퐶 푒 / 푠푒푛(푛휋푥/퐿). (6.4)

Porém, esta solução ainda não satisfaz totalmente ao nosso problema da condução

do calor, ainda falta algo.

A Equação do Calor que desejamos resolver é dada por uma equação

diferencial parcial, uma condição inicial e uma condição de contorno (ou fronteira).

Como já verificamos, a solução expressa em (6.4) satisfaz a equação diferencial e a

condição de fronteira, mas precisamos que ela também atenda a condição inicial

expressa em (6.2).

6.1 1ª ETAPA: COMPREENSÃO DO PROBLEMA

Para verificar se essa condição é satisfeita, ou seja, se ela é igual a 푓(푥)

quando 푡 = 0, podemos substituir 푡 = 0 em (6.4), e obtemos

퐶 푒 / 푠푒푛(푛휋푥/퐿) = 퐶 푒 푠푒푛(푛휋푥/퐿) = 퐶 푠푒푛(푛휋푥/퐿),

ou seja, queremos que a seguinte igualdade seja verdadeira:

푓(푥) = ∑ 퐶 푠푒푛(푛휋푥/퐿) . (6.5)

Mas, como saber se, e quando, isso ocorre? O que mais é possível observar

neste problema? Há mais algum dado relevante, mais alguma incógnita? Existe

alguma característica especial que deve ser atendida?

Podemos observar uma série de detalhes na equação (6.5). Com relação à

função, por exemplo, 푓(푥)deve ser periódica, pois a função seno o é (conforme

detalhamos no apêndice B). Além disso, os coeficientes 퐶 são números reais, pois

são eles os coeficientes da combinação de soluções feita em (5.23). Ou seja,

quaisquer que sejam os coeficientes 퐶 , (5.23) é uma solução da EDP, mas

25

precisamos determinar quais são os coeficientes que fazem com que (6.5) seja

verdadeira.

6.2 2ª ETAPA: CONSTRUÇÃO DE UMA ESTRATÉGIA DE RESOLUÇÃO

Queremos definir os coeficientes 퐶 de (6.5). Existe algum problema

correlato com este que já tenhamos resolvido? Ele pode nos ajudar?

A maneira mais intuitiva que podemos pensar para resolver esta questão é

tentar isolar os coeficientes de alguma forma na igualdade:

푓(푥) = 퐶 푠푒푛 + 퐶 푠푒푛 + … + 퐶 푠푒푛 + … . (6.6)

Porém, nesta equação, se apenas isolarmos um coeficiente, ele estará em

função dos demais, que também não conhecemos. Precisamos então de outra

estratégia para defini-los. Há algum outro tipo de problema semelhante? É possível

enunciar a questão de outra forma? Algum teorema ou propriedade nos ajuda a

resolvê-lo?

Partindo desses questionamentos, podemos lembrar que em Álgebra Linear,

dada uma base (훽), de um espaço vetorial (퐸) qualquer vetor (휈) deste espaço pode

ser determinado a partir de uma combinação linear 휈 = 훼 휈 + 훼 휈 + ⋯훼 휈 dos

elementos 휈 , 휈 , … 휈 da base훽 e coeficientes reais 훼 ,훼 , …훼 .

Então, fazendo uma analogia com o problema em questão, podemos

encarar cada 푠푒푛 como um elemento da base do espaço vetorial que contem

as funções que podem ser expressas em termos de senos e ver o que acontece.

A primeira vista, essa tática de encarar (6.5) como uma combinação linear

pode não nos parecer muito útil, pois não muda essencialmente a forma de

expressarmos a igualdade em (6.6). Porém, é importante lembrar que a Álgebra

Linear nos fornece outras ferramentas que podem ajudar nesse sentido.

Uma dessas ferramentas é o produto interno, que nos diz que se dois

vetores (ou neste caso, duas funções) são ortogonais, então, seu produto interno é

igual a zero. Assim, como desejamos isolar os coeficientes, podemos usar o fato de

que a função seno é ortogonal, ou seja, o produto interno ⟨푠푒푛 , 푠푒푛 ⟩ = 0

para todo 푖 ≠ 푗.

26

6.3 3ª ETAPA: EXECUÇÃO DA ESTRATÉGIA

Por definição, sabemos que para calcular o produto interno de duas funções

f e g, tomamos sua integral num intervalo em que ambas estão definidas e são

integráveis, ou seja:

⟨푓,푔⟩ = ∫ 푓(푥)푔(푥) 푑푥.

Assim, multiplicando a equação (6.6) por 푠푒푛 e depois integrando em

ambos os termos, resulta que

푓(푥)푠푒푛푚휋푥퐿 = 퐶 푠푒푛

푛 휋푥퐿 + 퐶 푠푒푛

푛 휋푥퐿 + ⋯+ 퐶 푠푒푛

푛 휋푥퐿 + ⋯ 푠푒푛

푚휋푥퐿

= 퐶 푠푒푛푛 휋푥퐿 푠푒푛

푚휋푥퐿 + ⋯+ 퐶 푠푒푛

푛 휋푥퐿 푠푒푛

푚휋푥퐿 + ⋯

푓(푥)푠푒푛푚휋푥퐿

푑푥

= 퐶 푠푒푛푛 휋푥퐿

푠푒푛푚휋푥퐿

+ ⋯+ 퐶 푠푒푛푛 휋푥퐿

푠푒푛푚휋푥퐿

+⋯

= 퐶 푠푒푛푛 휋푥퐿

푠푒푛푚휋푥퐿

+⋯+ 퐶 푠푒푛푛 휋푥퐿

푠푒푛푚휋푥퐿

+⋯

Como, pela definição da ortogonalidade de funções seno, temos que

∫ 푠푒푛 푠푒푛 = 0푠푒푚 ≠ 푛퐿푠푒푚 = 푛 .

Resulta que

∫ 푓(푥)푠푒푛 푑푥 = 0 + 0 + ⋯+ 푐 ∫ 푠푒푛 푠푒푛 = 퐶 퐿.

De onde podemos, agora sim, isolar o coeficiente 푐 que desejamos conhecer e,

então, teremos

퐶 = ∫ 푓(푥)푠푒푛 푑푥. (6.7)

6.4 4ª ETAPA: REVISÃO

Os coeficientes 푐 dados da forma expressa em (6.7) refletem algumas das

conjecturas feitas para sua obtenção, como por exemplo, o fato de que a condição

inicial expressa pela função 푓(푥) deve ser integrável de – 퐿 a 퐿, ou seja, deve ser

contínua pelo menos nesse intervalo.

Por outro lado, esses são os coeficientes da chamada série de Fourier da

função 푓(푥), o que não significa que a igualdade (6.5) é verdadeira. Na realidade,

27

essa afirmação foi feita para obtermos os 푐 e a convergência da série (6.4) requer

outro estudo que está além dos objetivos deste trabalho. O que podemos afirmar é

que se realmente a série dada em (6.4) convergir para 푓(푥), os coeficientes serão

expressos desta forma.

O fato de deixarmos em aberto a questão da convergência da série de

Fourier é um convite para um estudo mais aprofundado, que pode ser desenvolvido

na sequência do que foi exposto, como uma forma de dar continuidade ao assunto.

28

7. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Consideramos importante o fato da Matemática se apoiar em situações

reais. Por isso mesmo, o fato de utilizarmos a Modelagem Matemática para

introduzir um assunto abordado sobre o ponto de vista da Resolução de Problemas,

torna-se mais motivador se considerado que a forma mais natural de aprendermos

algo novo é relacionando-o com o que já sabemos.

Inicialmente, a modelagem sobre a transmissão do calor em uma barra abre

espaço para questionamentos e um novo olhar sobre a realidade do ponto de vista

físico e matemático. Muitas vezes esses fatos podem passar despercebidos aos

nossos olhos, fazendo com que encaremos a física aprendida em sala de aula como

algo disjunto da realidade em que vivemos, e essa abordagem da realidade faz uma

junção entre o teórico e o real, despertando o interesse dos alunos.

Para a resolução do problema, tentamos sempre relacionar o tema com

nossos conhecimentos anteriores, e em alguns momentos uma revisão de

conteúdos de EDO’s ou de Álgebra Linear é interessante que seja feita, pois estes

conteúdos apresentam variadas formas de aplicação. Além disso, o fato de

recorrermos à tópicos estudados previamente faz com que nos sintamos mais

familiarizados com a questão e mais preparados para resolvê-la, pois, independente

dos resultados obtidos ao final, o caminho percorrido já faz com que nos sintamos

mais confortáveis com o tema.

Assim, o presente trabalho foi escrito de modo a servir de complemento

tanto para os professores que desejam abordar o tema em sala de aula, indicando

possíveis questionamentos e pontos importantes a serem explanados, quanto para

estudantes que tenham interesse pelo assunto, através da exposição intuitiva e

resolução da maioria das questões apresentadas.

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REFERÊNCIAS

BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino-aprendizagem com Modelagem Matemática. São Paulo, SP: Editora Contexto, 2002.

BIEMBENGUT, Maria Salett. Modelagem Matemática & implicações no ensino-aprendizagem de matemática. Blumenau, SC: Editora da FURB, 2000.

BIEZUNER, Rodney Josué. Introdução as Equações Diferenciais Parciais - Notas de Aula. Departamento de Matemática - Instituto de Ciências Exatas (ICEx) - Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG).

BOYCE, William E. DIPRIMA, Richard C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. 8 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006.

EDWARDS Jr., C.H., PENNEY, David E. Equações Diferenciais Elementares com Problemas de Contorno. 3 ed. Rio de Janeiro: PHB,1993.

FIGUEIREDO, Djairo Guedes de. Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais. Rio de Janeiro: IMPA, 1977.

HOLETZ, Melissa Samanta. Métodos de Fourier para a resolução de Problemas de Valores Inicial e de Fronteira para a Equação do Calor. 2001.102 páginas. Trabalho de Conclusão de Curso/Monografia Curso de Matemática Habilitação em Licenciatura. UFSC, Florianópolis.

IORIO, Valéria. EDP: Um Curso de Graduação. 3 ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2010.

LIMA, Elon Lages. Análise Real. Rio de Janeiro: IMPA, 2010.

POLYA, George. A Arte de Resolver Problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 2006.

SANTOS, Fabiano J. Introdução às Séries de Fourier. Disponível em: <http://www.matematica.pucminas.br/profs/web_fabiano/calculo4/sf.pdf>. Acesso em: agosto, 2012.

SODRÉ, Ulysses. Séries de Fourier. Disponível em: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/fourier/sfourier.pdf. Acesso em: agosto, 2012.

30

APÊNDICE A - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

Vamos resolver separadamente cada uma das EDO’s que encontramos

separando as variáveis da equação

푢 = 훼 푢 (퐴. 1)

uma vez que cada uma delas por apresentar características distintas, requer

estratégias diferentes e deverá satisfazer condições especificas.

푇 + 훼 푘푇 = 0 (A.2)

푋 + 푘푋 = 0. (A.3)

Primeiro vamos começar com a equação (A.2), que é linear, homogênea e

de primeira ordem. Procuramos por uma função 푇(푡)e para defini-la, a estratégia

que vamos utilizar é tentar isolar esta função na equação, obtendo:

푇 + 훼 푘푇 = 0

푇 = −훼 푘푇.

Além disso, 푇(푡)não pode ser nula, pois caso isso ocorresse, do produto

푇(푡)푋(푥) = 푢(푥, 푡)resultar-nos-ia que 푢(푥, 푡) = 0, o que não deve ocorrer. A partir

daí, podemos multiplicar toda a equação por 1/푇(푡),e obter:

푇 = −훼 푘, (A.4)

de onde, lembrando que a derivada do logaritmo de 푇 é igual à inversa de 푇 , a

equação (A.4) pode ser escrita como: 푑푑푇

[ln푇]푑푇푑푡 = −훼 푘.

Observando que pela regra da cadeia, a derivada de 푇 em relação a 푡 é

igual ao membro esquerdo da igualdade acima, ou seja 푑푑푇

[ln푇]푑푇푑푡 =

푑푑푡 [푙푛 푇(푡)],

podemos escrever:

[ln푇(푡)] = −훼 푘. (A.5)

Por fim, integrando ambos os lados da equação (A.5) em relação a 푡 e

utilizando as propriedades das funções exponencial e logarítmica, conseguimos

obter a função 푇(푡), da seguinte forma: 푑푑푡 [ln푇(푡)] 푑푡 = −훼 푘푑푡

31

ln푇(푡) = −훼 푘푑푡

푒 ( ) = 푒∫

푇(푡) = 푒∫ (A.6)

푇(푡) = 푒 = 푒 푒 = 퐶푒 .

A função encontrada é aceitável como candidata à solução da equação

(A.2), uma vez que a única condição que desejávamos que fosse satisfeita era de

que ela não fosse identicamente nula, e de fato, por se tratarem de funções

exponenciais isso não ocorre.

Por outro lado, a equação (A.3) é linear, homogênea de segunda ordem com

coeficientes constantes, e para resolvê-la vamos utilizar uma estratégia um pouco

diferente da equação (A.2).

Podemos supor que 푘 = −1 . Disto teremos que a derivada segunda da

função 푋 é igual à própria 푋, ou seja

푋 = 푋’’.

Como já sabemos, isso ocorre na função exponencial de 푥, pois

퐷 (푒 ) = 푒 .

Assim, para o caso particular

푋 − 푋’’ = 0,(A.7)

temos que 푋 = 푒 . Mas, o que ocorre se 푘 for diferente de −1?

Como 푘 é uma constante arbitrária, podemos imaginar que 푋 deve poder ser

escrita de uma forma semelhante à 푋’’ e, então, observando o que ocorreu com a

equação (A.7), vamos presumir que na equação (A.3) a função que procuramos seja

da forma

푋 = 푒 , (A.8)

pois ao derivarmos e substituirmos na equação

푋 + 푘푋 = 0

teremos

푟 푒 + 푘푒 = 0,

de onde, resulta que

푟 = √−푘. (A.9)

32

Neste ponto, devemos fazer algumas considerações importantes acerca do

valor que 푘 pode assumir:

- Se 푘 for negativo, então –푘 é positivo, e, portanto teremos como sua raiz

dois números reais (um positivo e um negativo), obtendo, desta forma, duas

soluções, que podemos expressar como:

푒 √ e 푒 √ . (A.10)

- Se 푘 for igual à zero, teremos, pela relação dada em (A.9) que푟 também é

igual a zero, e disto resulta que

푒 = 푒 .

Sabendo que uma equação diferencial ordinária de segunda ordem tem

sempre duas soluções, vamos tentar encontrar uma segunda solução para o caso

em que 푘 é nulo.

No caso anterior (onde 푘 era negativo) obtivemos duas possíveis soluções,

onde uma delas pode ser escrita como o produto da outra por uma função

adequada, por exemplo:

푒 √ = 푒 √ 푒 √ .

Então, agora, vamos tentar encontrar alguma função 푓(푥) tal que o produto

푓(푥)푒 (A.11)

também seja solução de (A.3). Para isso, vamos derivar e substituir o produto (A.11)

e sua segunda derivada na equação (A.3). Derivando, obtemos:

퐷 (푓(푥)푒 ) = 푓 (푥)푒 + 푟푓(푥)푒

퐷 (푓 (푥)푒 + 푟푓(푥)푒 ) = 푓 (푥)푒 + 푟푓 (푟푥)푒 + 푟푓 (푥)푒 + 푟푓(푥)푟푒

= 푓 (푥)푒 + 2푟푓 (푥)푒 + 푟 푓(푥)푒 .

Substituindo a derivada acima e colocando o termo 푒 em evidência no

primeiro membro da equação diferencial, resulta:

푋 + 푘푋 = 0

푓 (푥)푒 + 2푟푓 (푥)푒 + 푟 푓(푥)푒 + 푘푓(푥)푒 = 0

푒 [푓 (푥) + 2푟푓 (푥) + 푟 푓(푥) + 푘푓(푥)] = 0

Sabemos que 푒 nunca se anula, e nesse caso em especial, como temos

푘 = 0 e 푟 = 0, podemos substituir na equação acima, assim:

푒 [푓 (푥) + 2 · 0 · 푓 (푥) + 0 · 푓(푥) + 0 · 푓(푥)] = 0

푓 (푥) = 0,

que, por integração, nos resulta em uma função de 1º grau:

33

푓 (푥)푑푥푑푥 = 0푑푥푑푥

푓 (푥)푑푥 = 퐶푑푥

푓(푥) = 퐶푥 + 퐷.

Lembrando que procurávamos uma função tal que o produto 푓(푥)푒

também fosse solução da EDO (A.3), então obtemos como possível solução algo da

forma:

푓(푥)푒 = (퐶푥 + 퐷)푒 = 퐶푥푒 + 퐷푒 . (A.12)

Sabemos que qualquer combinação linear de soluções de uma EDO é

também uma solução, 퐶 e 퐷 são constantes arbitrárias, e 푒 é uma solução que já

conhecemos, então a solução expressa em (A.12) é uma possível combinação linear

de duas outras soluções, que são 푒 e 푥푒 . De fato, ao derivarmos 푥푒 e

substituirmos na EDO, teremos:

푟 푥푒 + 푘푥푒 = 0,

o que necessariamente ocorre, pois tanto 푘 quanto 푟 são nulos, ou seja:

0 푥푒 + 0푥푒 = 0.

Assim, também obtemos duas soluções para o caso em que 푘 = 0, que são

푒 e 푥푒 , ou de forma mais simples neste caso especifico, substituindo 푟 por 0, as

soluções são 1 e 푥.

- Se 푘 for positivo, então a igualdade (A.9) resultará em raízes complexas.

Se denotarmos por 푠 a raiz do módulo de −푘 , utilizando o mesmo raciocínio

empregado para o caso em que as raízes eram reais, teremos como possíveis

soluções da EDO (A.3) as exponenciais 푒 e푒 .

Podemos também reescrever estas duas soluções através da fórmula de

Euler

푒 = cos(푥) + 푖푠푒푛(푥).

Obtemos assim:

푒 = cos(푠푥) + 푖푠푒푛(푠푥) (A.13)

푒 = cos(푠푥)− 푖푠푒푛(푠푥). (A.14)

Porém, estas duas possíveis soluções são parecidas, como se fossem

combinações lineares de senos e cossenos e, de fato, se fizermos uma combinação

como a soma das funções (A.13) e (A.14) obteremos:

푒 + 푒 = cos(푠푥) + 푖푠푒푛(푠푥) + cos(푠푥)− 푖푠푒푛(푠푥) = 2cos(푠푥).

34

De onde podemos supor que as soluções na verdade são 푐표푠(푠푥) e 푠푒푛(푠푥),

pois fazendo outra combinação linear, obtemos:

−푖 푒 −푒

= 푖 cos(푠푥) + 푖 푠푒푛(푠푥)− 푖 cos(푠푥) + 푖 푠푒푛(푠푥)

= −2푠푒푛(푠푥).

Assim, podemos perceber que as soluções mais simples que satisfazem à

EDO (A.3) quando 푘 é um número positivo, são as funções trigonométricas seno e

cosseno, e podemos escrevê-las como 푠푒푛(푠푥) e cos(푠푥) ou então 푠푒푛 푥√−푘 e

cos(푥√−푘). Portanto, dependendo do valor de k obtemos os seguintes pares de

soluções:

Para 푘 < 0: 푒 √ e 푒 √ .

Para 푘 = 0: 1 e 푥.

Para 푘 > 0: 푠푒푛 푥√−푘 e cos(푥√−푘).

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APÊNDICE B - ORTOGONALIDADE DAS FUNÇÕES SENO E COSSENO

As funções trigonométricas seno e cosseno apresentam algumas

propriedades muito importantes na resolução de problemas como o da condução do

calor. Algumas destas características são imediatas, como o fato de serem funções

periódicas, outras são decorrentes destas, como as relações de ortogonalidade.

Vejamos algumas definições presentes em [Figueiredo]:

Uma função 푓 ∶ ℝ → ℝ é periódica de período 푇 se 푓(푥 + 푇) = 푓(푥) para

todo 푥 . O menor período positivo é chamado de período fundamental. O

período das funções seno e cosseno é 2휋.

Relações de Ortogonalidade: (para n, m inteiros positivos)

∫ cos sen 푑푥 = 0,푠푒푛,푚 ≥ 1; (B.1)

∫ cos cos 푑푥 = 퐿,푠푒푛 = 푚,0,푠푒푛 ≠ 푚; (B.2)

∫ sen sen 푑푥 = 퐿,푠푒푛 = 푚,0,푠푒푛 ≠ 푚; (B.3)

Para provar as relações de ortogonalidade podemos usar a Fórmula de Euler que relaciona as funções trigonométricas com a função exponencial. Assim,

sabendo que

푒 = cos 푥 + 푖sen푥

podemos obter

푒 ( ) = cos(푎 + 푏) + 푖sen(푎 + 푏), (B.4)

ou, também,

푒 ( ) = 푒 푒 = (cos푎 + 푖 sen 푎)(cos 푏 + 푖 sen 푏)

= cos푎 cos푏 + 푖 sen 푏 cos 푎 + 푖 sen 푎 cos 푏 + 푖 sen 푎 sen 푏

= cos푎 cos 푏 − sen 푎 sen 푏 + 푖(sen 푏 cos푎 + sen 푎 cos 푏). (B.5)

Como ambas as equações são compostas por uma parte real e uma imaginária,

temos que

cos(푎 + 푏) + 푖sen(푎 + 푏) = cos 푎 cos 푏 − sen푎 sen 푏 + 푖(sen 푏 cos 푎 + sen 푎 cos푏)

implica em

cos(푎 + 푏) = cos푎 cos푏 − sen 푎 sen 푏, e (B.6)

sen(푎 + 푏) = sen 푏 cos푎 + sen 푎 cos 푏. (B.7)

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Sendo que o mesmo ocorre com a diferença de arcos, ou seja

cos(푎 − 푏) = cos푎 cos푏 + sen 푎 sen 푏, e (B.8)

sen(푎 − 푏) = sen 푏 cos푎 − sen 푎 cos 푏. (B.9)

Agora, podemos fazer a diferença de (B.8) e (B.6), de onde resulta

cos(푎 − 푏) − cos(푎 + 푏) = 2 sen푎 sen 푏. (B.10)

Assim, ao fazermos a integral em (B.3), podemos calcular a integral de seu

equivalente dado em (B.10), assim

sen푛휋푥퐿 sen

푚휋푥퐿 푑푥 =

12 [cos

푛휋푥퐿 −

푚휋푥퐿 − cos

푛휋푥퐿 +

푚휋푥퐿 ]푑푥

=12 cos

푛휋푥퐿 −

푚휋푥퐿 −

12 cos

푛휋푥퐿 +

푚휋푥퐿 푑푥.

E, para 푛 = 푚:

12 cos

푛휋푥퐿 −

푚휋푥퐿 푑푥 −

12 cos

푛휋푥퐿 +

푚휋푥퐿 푑푥

=12 cos(0)푑푥 −

12 cos

2푚휋푥퐿 푑푥

= 퐿 −12

퐿2푚휋 sen

2푚휋푥퐿

−퐿퐿

= 퐿 −퐿

4푚휋sen

2푚휋퐿퐿

−sen−2푚휋퐿

퐿

= 퐿 −퐿

4푚휋 ((sen 2푚휋)퐿 + (sen 2푚휋)) = 퐿 −퐿

4푚휋(0 + 0) = 퐿.

uma vez que 푚 é um inteiro positivo e 2휋 é o período da função seno.

Por outro lado, para 푛 ≠ 푚:

12 cos

푛휋푥퐿 −

푚휋푥퐿 푑푥 −

12 cos

푛휋푥퐿 +

푚휋푥퐿 푑푥

=12 cos

(푛 −푚)휋푥퐿 푑푥 −

12 cos

(푛 + 푚)휋푥퐿 푑푥

=퐿

2(푛 − 푚)휋 sen(푛 −푚)휋푥

퐿−퐿퐿 −

퐿2(푛 + 푚)휋 sen

(푛 + 푚)휋푥퐿

−퐿퐿

=퐿

2(푛 − 푚)휋[sen(2(푛− 푚)휋)] −

퐿2(푛 + 푚)휋

[sen(2(푛 + 푚)휋)]

=퐿

2(푛 − 푚)휋 0 +퐿

2(푛 + 푚)휋 0 = 0

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pois tanto 푛 + 푚 quanto 푛 −푚 são números inteiros não nulos.

Para provar a relação de ortogonalidade (B.1) tomamos a diferença entre

(B.7) e (B.9) e procedemos de forma análoga. O mesmo ocorre para provar (B.2)

quando usamos a soma de (B.8) e (B.6).

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