um relato de experiÊncia envolvendo modelagem...

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ – UNESPAR CAMPUS DE UNIÃO DA VITÓRIA

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS COLEGIADO DE MATEMÁTICA

JAÍNE CARNEIRO

UM RELATO DE EXPERIÊNCIA ENVOLVENDO MODELAGEM MATEMÁTICA

UNIÃO DA VITÓRIA 2015

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JAÍNE CARNEIRO

UM RELATO DE EXPERIÊNCIA ENVOLVENDO MODELAGEM MATEMÁTICA

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado para a obtenção do grau de Licenciada em Matemática na Universidade Estadual do Paraná, campus de União da Vitória. Orientadora: Prof. Me. Gabriele Granada Veleda.

UNIÃO DA VITÓRIA 2015

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Dedico este trabalho a Deus, a minha família e a

meus colegas do curso de Matemática.

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AGRADECIMENTOS

Primeiramente agradeço a Deus e a Nossa Senhora Aparecida, por todas as

bênçãos que foram proporcionadas em minha vida, por trazerem sorte, coragem e

sabedoria em minha caminhada, sempre iluminando os meus passos para que

assim eu pudesse realizar o sonho de concluir este curso.

Agradeço os meus pais Licete e Antônio, meus irmãos Jairo e Claudinéia,

minhas sobrinhas Katye e Marina, e a minha avó Eva, por me incentivarem a sempre

continuar firme neste curso, mesmo quando o desânimo parecia estar dominando

nas minhas decisões.

À meu noivo Willian pela paciência e pelo companheirismo desde o início da

minha vida acadêmica, tanto nos momentos bons, quanto nos momentos ruins.

Aos meus amigos e companheiros desde o primeiro ano de curso: Jéssica,

Patrícia, Jackson, Juarês, Norberto, Édino e Tiago, por sempre estarem no meu

lado; e em especial aos colegas e amigos Eliana e Wesley por terem me ajudado a

encontrar o foco central para realizar este trabalho.

E agradeço também, a todos os professores do colegiado de Matemática,

em especial, a minha orientadora Gabriele Granada Veleda pelos ensinamentos

transmitidos a mim no decorrer desses 4 anos de intenso estudo.

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"Que os vossos esforços desafiem as impossibilidades, lembrai-vos de que as

grandes coisas do homem foram conquistadas do que parecia impossível."

Charles Chaplin

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RESUMO

Atualmente, são vários os professores que procuram inovar nas suas aulas de Matemática proporcionando um ensino mais atrativo para os alunos. Uma das alternativas que podem ser utilizadas é a Modelagem Matemática como metodologia de ensino. Sendo assim, neste trabalho eu relato como foi a minha primeira experiência utilizando essa metodologia de ensino nas aulas de Matemática para alunos do 3°ano do Ensino Médio. Para isso, fiz algumas adaptações na proposta de ensino elaborada por Ribicki (2013) e, através de registros em áudio, fotos e caderno de campo, pude fazer reflexões pós-aula em que mostrarei quais foram as principais dificuldades, erros e acertos no decorrer das aulas vivenciadas. Palavras-chave: Modelagem Matemática. Metodologia de Ensino. Relato de Experiência.

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LISTA DE ILUSTRAÇÕES

FIGURA 1 – Fases da Modelagem .................................................................................. 12

FIGURA 2 – Diferentes momentos da Modelagem Matemática em sala de aula ............ 15

FIGURA 3 – Gráfico da variação entre o volume e o tempo de aquecimento do leite ..... 24

FIGURA 4 – Pesquisa dos alunos no laboratório de informática ..................................... 29

FIGURA 5 – Cálculo da média e da variação dos valores do tempo de aquecimento ..... 32

FIGURA 6 – Tabela composta pela variação encontrada dos alunos.............................. 34

FIGURA 7 – Construção do gráfico ................................................................................. 35

FIGURA 8 – Gráfico feito manualmente, e gráfico feito na planilha eletrônica. ............... 35

FIGURA 9 – Comparação dos gráficos feitos com base na Figura 5 e na Figura 6 ........ 36

FIGURA 10 – Cálculo da função, através da resolução de sistemas............................... 38

FIGURA 11 – Cálculo do erro .......................................................................................... 39

FIGURA 12 – Cálculo dos valores para a tabela final, utilizando a regra de três. ........... 40

FIGURA 13 – Tabela final ................................................................................................ 40

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LISTA DE TABELAS

TABELA 1 - Dados do experimento de aquecimento do leite a 75ºC. ....................... 20

TABELA 2 - Dados do experimento com média calculada. ....................................... 21

TABELA 3 - Variação entre os tempos de aquecimento do leite e média ................. 22

TABELA 4 - Criação de novos tempos a partir da média de variação ....................... 23

TABELA 5 - Comparação entre o tempo real e o tempo dado pelo modelo .............. 25

TABELA 6 - Quantidades de leite e seus respectivos tempos para o aquecimento a

75ºC ..................................................................................................... 26

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SUMÁRIO

INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 9 1 MODELAGEM MATEMÁTICA PARA O ENSINO ............................................. 10 1.1 ENTENDENDO A MODELAGEM MATEMÁTICA .............................................. 10

1.2 CARACTERÍSTICAS DA MODELAGEM MATEMÁTICA ................................... 11

1.3 O PAPEL DO PROFESSOR .............................................................................. 13

1.4 INTRODUZINDO MODELAGEM MATEMÁTICA NA SALA DE AULA ............... 14

2 INICIANDO A 1° EXPERIÊNCIA COM A MODELAGEM MATEMÁTICA:

ADAPTANDO UMA PROPOSTA DE ENSINO ......................................................... 17

2.1 A ADAPTAÇÃO DA PROPOSTA DE ENSINO ................................................ 17

2.1.1 Primeira e segunda aulas ................................................................................. 18

2.1.2 Terceira e quarta aulas..................................................................................... 19

2.1.3 Quinta e sexta aulas ......................................................................................... 23

3 RELATANDO A PRIMEIRA EXPERIÊNCIA DE MODELAGEM MATEMÁTICA EM SALA DE AULA ................................................................................................. 28 3.1 DESCRIÇÃO DA TURMA ................................................................................ 28

3.2 RELATO DE AULA POR AULA ........................................................................ 28

3.2.1 Experiência com a Modelagem Matemática: Dia 1 .......................................... 29





CONSIDERAÇÕES FINAIS ALGUMAS REFLEXÕES SOBRE A MODELAGEM MATEMÁTICA E A EXPERIÊNCIA VIVENCIADA ................................................... 42 REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 44 APÊNDICE A – Termo de Consentimento Livre e Esclarecido ............................ 45

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INTRODUÇÃO

Hoje em dia é necessário que qualquer professor, ao lecionar a disciplina de

Matemática, seja capaz de criar diferentes conduções na sala de aula a fim de

proporcionar aulas mais atrativas, garantindo assim uma aprendizagem mais

significativa para o aluno. O ensino embasado puramente na forma tradicional acaba

resultando em apenas repetições de técnicas em exercícios de fixação, os quais não

permitem ao aluno estabelecer relação entre o que está sendo trabalhado. Dessa

maneira, muitos alunos questionam: “Para que aprender isso?”.

Como leciono pelo segundo ano consecutivo, entendo que, na maioria das

vezes, acaba sendo mais cômodo trabalhar com aulas voltadas ao estilo tradicional,

até porque, a falta de tempo para planejar as aulas é um dos principais motivos que

fazem isso acontecer. Outro motivo deve-se ao receio de inovar, pois acostumados

em sempre realizar as aulas do mesmo jeito, muitos professores não sabem de que

maneira começar a utilizar formas diferenciadas em suas aulas, pois acreditam que

não irão conseguir obter sucesso na condução da aula.

Mas, ao analisar no final de cada bimestre o que meus alunos realmente

aprenderam, fico intrigada ao perceber que eles apenas conseguem repetir técnicas,

sem saber quando e se irão usá-las novamente em suas vidas.

Diante dessa problemática, uma das maneiras que visa amenizar esse

problema de utilizar a Matemática apenas como técnica é utilizando metodologias

diferenciadas nas aulas de Matemática. Uma delas é a Modelagem Matemática, a

qual proporciona investigar a Matemática presente em problemas da realidade.

Sendo assim, neste trabalho, dedico o capítulo 1 à Modelagem Matemática,

apontando as principais características, o papel do professor durante as aulas e de

que maneira deve-se introduzir a Modelagem em sala de aula.

No capítulo 2, apresento uma adaptação de uma proposta de ensino

apresentada por Ribicki (2013), na qual a Modelagem Matemática é utilizada como

metodologia de ensino, com o tema em estudo intitulado “A fervura do leite”.

Já no capítulo 3, descrevo como foi a minha primeira experiência com a

Modelagem Matemática em sala de aula. Em seguida, apresento algumas reflexões

sobre a Modelagem Matemática e a experiência vivenciada. Por fim, elenco as

referências utilizadas.

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1 MODELAGEM MATEMÁTICA PARA O ENSINO

Atualmente, são vários os professores que compreendem a importância da

utilização de metodologias diferenciadas em suas aulas de Matemática, pois os

ensinos embasados em conceitos prontos e acabados, com a simples memorização

de fórmulas, gera um conhecimento superficial, sem sentido algum para o

entendimento do aluno perante os conceitos abordados pelo professor.

Diante das afirmações descritas acima, uma metodologia diferenciada é a

Modelagem Matemática. Particularmente, sou professora em início de carreira, e

sempre tive a curiosidade de trabalhar com essa metodologia, porém, acredito que

tanto eu, quanto uma parcela de professores que atuam na educação básica,

possuímos algum receio em iniciar uma atividade envolvendo a Modelagem

Matemática, pois diferente do ensino tradicional, nesta metodologia o papel principal

está direcionado aos alunos, que têm a oportunidade de escolher problemas da

realidade e desenvolver o conhecimento matemático presente no problema. Além

disso, os nossos alunos estão habituados a trabalhar de maneira tradicional, e

quando surgem maneiras diferenciadas na condução da aula, também há um receio

por parte deles quanto ao desenvolvimento de algo novo. Porém, cabe aqui, neste

trabalho, observar como foi a minha primeira experiência em sala de aula utilizando

essa metodologia de ensino.

Sendo assim, através da observação dessa experiência, irei verificar minha

condução no desenvolvimento da aula, de tal modo a possibilitar melhores

condições para utilizar com maior frequência essa metodologia em sala de aula.

1.1 ENTENDENDO A MODELAGEM MATEMÁTICA

A Modelagem Matemática proporciona que, através de um problema da

realidade, sejam identificados elementos matemáticos, os quais são utilizados para a

resolução do problema. Diante das várias concepções existentes sobre a

Modelagem Matemática, destaco a de Almeida e Dias (2004, p.4) as quais afirmam

que:

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A Modelagem Matemática é uma alternativa para o ensino e aprendizagem da Matemática escolar, que pode proporcionar aos alunos oportunidades de identificar e estudar situações problema de sua realidade, despertando maior interesse e desenvolvendo um conhecimento mais crítico e reflexivo em relação aos conteúdos da Matemática (ALMEIDA; DIAS, 2004, p.4).

Dessa maneira, posso dizer que a Modelagem Matemática permite utilizar os

problemas presentes em nossa realidade, de modo a serem transformados em

problemas matemáticos, e para encontrar a solução, é necessário adquirir outros

tipos de conhecimento, os quais não precisam ser necessariamente matemáticos.

Esses conhecimentos além de auxiliar na resolução do problema, permitem gerar

uma interligação entre a Matemática com as outras áreas do conhecimento,

proporcionando uma aprendizagem mais significativa para o aluno.

Para complementar essa ideia, Bassanezi (2011 p.24) afirma que a

modelagem é eficiente a partir do momento que nos conscientizamos que estamos

sempre trabalhando com aproximações da realidade, ou seja, que estamos

elaborando sobre representações de um sistema ou parte dele. Portanto, os

resultados obtidos nem sempre serão "bonitos", poderá haver momentos em que

precisamos fazer algumas aproximações e/ou arredondamentos para poder aplicar

os conceitos matemáticos no problema envolvido.

1.2 CARACTERÍSTICAS DA MODELAGEM MATEMÁTICA

Para conseguirmos desenvolver em sala de aula uma atividade envolvendo

a Modelagem Matemática, precisamos entender alguns termos importantes.

Almeida, Silva, Vertuan (2013, p.12) expõem que:

[...] uma atividade de Modelagem Matemática pode ser descrita em termos de uma situação inicial (problemática), de uma situação final desejada (que representa uma solução para a situação inicial) e de um conjunto de procedimentos e conceitos necessários para passar da situação inicial para a situação final. Nesse sentido, relações entre realidade (origem da situação inicial) e Matemática (área em que os conceitos e os procedimentos estão ancorados), servem de subsídio para que conhecimentos matemáticos e não matemáticos sejam acionados e/ou produzidos e integrados. (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2013, p.12)

Desse modo, podemos chamar à situação inicial de situação problema; e à

situação final a qual será representada matematicamente, de modelo matemático.

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Segundo os mesmos autores, uma atividade de Modelagem Matemática

envolve fases relativas ao conjunto de procedimentos necessários para

configuração, estruturação e resolução de uma situação problema as quais são

caracterizadas como: inteiração, matematização, resolução, interpretação de

resultados e validação.

FIGURA 1 – Fases da Modelagem

Fonte: Almeida; Silva; Vertuan, (2013 p.19).

Essas fases, segundo os mesmos autores, podem ser descritas

resumidamente da seguinte forma:

A inteiração representa um primeiro contato com uma situação problema que

se pretende estudar com a finalidade de conhecer as características e

especificidades da situação. Essa é a fase de obtenção de informações sobre a

situação problema por meio da coleta de dados quantitativos e qualitativos, além de

conduzir a formulação do problema e a definição de metas para sua resolução.

Ainda que seja uma etapa inicial, a inteiração pode se estender durante o

desenvolvimento da atividade, considerando que a necessidade de novas

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informações pode emergir do decorrer do desenvolvimento da atividade de

modelagem.

A situação-problema identificada e estruturada na fase de inteiração, de

modo geral apresenta-se em linguagem natural e não parece diretamente associada

a uma linguagem matemática, desse modo gera-se a necessidade da transformação

de uma representação (linguagem natural) para outra (linguagem matemática), essa

fase é denominada como matematização.

Após ter feito a matematização, surge a fase da resolução em que nela se

obtém a construção de um modelo matemático com a finalidade de descrever a

situação, a análise dos aspectos relevantes, resolução das perguntas formuladas

através do problema, e em alguns casos, viabiliza a obtenção de previsões para o

problema em estudo.

Feito a fase de resolução, para finalizar a atividade de Modelagem, temos a

fase de interpretação dos dados e validação, que implica na análise de uma

resposta para o problema. A análise da resposta constitui um processo avaliativo

realizado pelos envolvidos na atividade e necessita de uma validação da

representação matemática associada ao problema, considerando tanto os

procedimentos matemáticos quanto a adequação da representação para a situação.

1.3 O PAPEL DO PROFESSOR

Após entender as definições de situação inicial e situação final bem como as

fases da Modelagem Matemática, antes de iniciar esse tipo de atividade em sala de

aula, é importante que o professor tente eliminar o medo de sair da “zona de

conforto”, de trabalhar com a imprevisibilidade, pois segundo Vertuan,

O professor, assim como os alunos, ao utilizar Modelagem Matemática, migra de uma situação de aulas expositivas seguidas de exercícios para situações que são essencialmente investigativas. Embora esse caminho entre paradigmas seja necessário, o "aventurar-se" em aulas investigativas carrega, inevitavelmente, concepções construídas nas aulas consideradas tradicionais (VERTUAN, 2013, p.49).

Dessa forma, o professor deixa de ser o detentor de conhecimento, e passa

a ser um orientador que atua, muitas vezes, de maneira totalmente imprevisível em

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relação ao planejamento da sua aula. Isso se justifica pelo motivo de que na

Modelagem Matemática o aluno é que possui o papel central, é ele que deve criar

hipóteses, fazer os testes e decidir se a solução encontrada é válida. Sendo assim, o

papel do professor é caracterizado como orientador. Entretanto,

[...] a) orientar é indicar caminhos, é fazer perguntas, é não aceitar o que não está bom, é sugerir procedimentos; b) orientar não é dar respostas prontas e acabadas, orientar não é sinalizar que “vale-tudo”c) orientar não é esperar que o aluno simplesmente siga exemplos; d) orientar não é livrar-se de estudar, de se preparar para o exercício da função; e) orientar não é despir-se da autoridade de professor. (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2013 p.24)

Dessa maneira, embora o papel central seja do aluno, o professor precisa

estar ciente do que está sendo estudado, deve estar preparado para auxiliar os

alunos na resolução do problema e também precisa em alguns momentos, de impor

autoridade.

1.4 INTRODUZINDO MODELAGEM MATEMÁTICA NA SALA DE AULA

As atividades de Modelagem Matemática podem ser desenvolvidas de forma

gradativa. Visando a familiarização dos alunos, têm-se os seguintes momentos:

Em um primeiro momento, são abordadas, com todos os alunos, situações em que estão em estudo a dedução, a análise e a utilização de um modelo matemático, a partir de uma situação problema já estabelecida e apresentada pelo professor; neste momento, a formulação de hipóteses e a investigação do problema, que resulta na dedução do modelo, são realizadas em conjunto com todos os alunos e o professor.

Posteriormente, uma situação problema já reconhecida, juntamente com um conjunto de informações, pode ser sugerida pelo professor à classe, e os alunos divididos em grupos, realizam a formulação das hipóteses simplificadoras e a dedução do modelo durante a investigação e, a seguir, validam o modelo encontrado;

Finalmente, os alunos, distribuídos em grupos, são incentivados a conduzirem um processo de Modelagem a partir de um problema escolhido por eles, devidamente assessorados pelo professor. (ALMEIDA; DIAS, 2004, p.26).

Sendo assim, para que os alunos consigam trabalhar com a Modelagem

Matemática em sala de aula de forma significativa, é necessário que haja uma

familiarização dos alunos, ou seja, aos poucos eles vão adquirindo uma adaptação

com essa metodologia. Tal familiarização pode ser classificada em três momentos:

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No 1o momento, que se caracteriza pelo primeiro contato do aluno com a

Modelagem. Nele, o aluno tem acesso à situação-problema, a todos os dados e as

informações necessárias, bem como o problema matemático a ser investigado. A

dedução, a análise e a utilização de um modelo matemático, são sempre

assessorados pelo professor. A resolução final do problema é o mesmo para todos

os alunos.

Com o passar do tempo, o professor deve passar a utilizar em suas aulas o

2o momento, no qual a situação-problema é apresentada aos alunos, e os mesmos

complementam a coleta de informações para a investigação da situação, realizam a

definição de variáveis e a formulação de hipóteses, de modo a obter e validar o

modelo matemático. Nesse momento há uma maior independência dos alunos no

que se refere ao uso ou obtenção de dados para a investigação.

Após os alunos já terem uma melhor familiarização com essa metodologia, o

professor deve partir para o 3o momento para a condução de suas aulas, em que

cabe aos alunos identificar uma situação-problema, coletar e analisar os dados,

identificar conceitos matemáticos, obter e validar o modelo. Sendo assim, os alunos,

além de resolver uma situação problema, irão resolver uma situação definida por

eles mesmos. Nesse momento cabe ao professor atuar apenas como “orientador”,

aquele que atende quando é solicitado.

Dessa forma, os diferentes momentos da Modelagem Matemática na sala de

aula podem ser esquematizados como:

FIGURA 2 – Diferentes momentos da Modelagem Matemática em sala de aula

Fonte: Almeida e Vertuan apud Silva, (2013 p.28).

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Portanto, é importante que o professor ao utilizar a Modelagem Matemática

em suas aulas, siga esses momentos, para que os alunos se adaptem aos poucos

com essa metodologia, pois assim os alunos conseguirão obter uma aprendizagem

mais significativa da matemática, ou seja, haverá mais “sentido” em aprender, pois o

conhecimento matemático surgirá através de problemas presentes no cotidiano dos

mesmos.

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2 INICIANDO A 1a EXPERIÊNCIA COM A MODELAGEM MATEMÁTICA:

ADAPTANDO UMA PROPOSTA DE ENSINO

Neste capítulo apresento uma adaptação/complementação da proposta de

ensino apresentada por Ribicki (2013). As adaptações se devem ao motivo de

conhecer a turma que foi trabalhada, pois já leciono a eles pelo segundo ano

consecutivo. Já as complementações, são no sentido de que não foi mudada a

maneira da condução da aula proposta por Ribicki (2013), apenas foram

acrescentadas algumas ideias a fim de obter maior aproveitamento da mesma.

Dessa forma solicitei ao final de todas as aulas que cada aluno entregasse

as suas produções por escrito, pois, caso contrário, a maioria destes alunos não

iriam se empenhar em participar da aula.

Outra adaptação foi em relação aos Momentos da Modelagem, pois,

segundo a proposta original, deveria ser trabalhado no 2o momento, porém, como é

a minha primeira experiência lecionando com essa metodologia e também é a

primeira experiência dos alunos, decidi trabalhar no 1o momento de modelagem, ou

seja, o aluno tem acesso à situação-problema, a todos os dados e as informações

necessárias, bem como o problema matemático a ser investigado, e a resolução

final do problema é a mesma para todos os alunos.

2.1 A ADAPTAÇÃO DA PROPOSTA DE ENSINO

Esta proposta divide-se em 6 horas/aula, distribuídas em três dias distintos,

com duas aulas seguidas em cada dia. O conteúdo central descrito na proposta

original é a Função Afim, mas como foi trabalhado com alunos do 3o ano do Ensino

Médio, optei por não focalizar em apenas um conteúdo central, visto que estes

alunos já possuem certa bagagem de conhecimento trazido dos anos anteriores.

Dessa maneira, os alunos ficaram livres para estudar os conteúdos de

acordo com a necessidade do problema e quando houvesse necessidade, seriam

revisados os conteúdos tais como: conceito de função, domínio e imagem,

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interpretação/construção de tabelas e gráficos, regra de três simples, porcentagem,

entre outros conteúdos que poderiam surgir no decorrer da atividade.

2.1.1 Primeira e segunda aulas

Para dar início a aula, será apresentada aos alunos a Situação Inicial a ser

modelada. Para isso, os alunos serão questionados sobre o que sabem do leite de

vaca. Espera-se que através deste questionamento surjam diversas respostas,

tendo em vista que boa parte das famílias dos alunos possuem criação de vaca

leiteira em suas residências. Em seguida os mesmos serão encaminhados para o

Laboratório de Informática, em que cada aluno pesquisará algo relativo ao tema

“leite”.

É interessante iniciar dessa forma, pois assim os alunos terão maior

liberdade para fazer a pesquisa e se aprofundar mais no assunto. Será solicitado

também que os alunos entreguem por escrito, tudo o que for pesquisado de modo

que dividam em tópicos os itens que eles acharem relevantes sobre o tema.

Após o término da pesquisa, será mediada uma pequena discussão

referente ao que foi pesquisado, em que será escrito no quadro negro os principais

apontamentos levantados pelos alunos. Essa discussão será focalizada

principalmente nos temas “pasteurização” e “fervura do leite”, a fim de chegar à fase

da Inteiração do problema.

Dessa maneira será destacado que, uma situação encontrada pelas donas

de casa em relação ao leite é que se costuma ferver o leite para destruir as bactérias

presentes, mas alguns pesquisadores dizem que para isso ocorrer não há a

necessidade de fervê-lo, basta aquecê-lo entre 72ºC e 75ºC e assim não se perde

os componentes nutritivos, o que ocorre a temperaturas maiores.

Além dessa discussão, será passado na TV um vídeo do Dr. Bactéria1, ou

um áudio retirado de um site especializado em questões do leite intitulado Milk Point2

que explica sobre o referente tema no qual os alunos ouvirão os motivos de aquecer

1 Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=qxI-YQFdwXU. Acesso em: 20 ago. 2015.

2 Disponível em:

http://www.milkpoint.com.br/mypoint/221468/p_por_que_nao_ferver_o_leite_pasteurizado_leite_bacterias_pasteurizacao_proteinas_temperatura_fervura_5540.aspx. Acesso em: 20 ago. 2015.

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o leite pasteurizado sem deixá-lo ferver. Tanto no vídeo quanto no áudio é explicado

que, no leite pasteurizado ou no leite longa vida, as bactérias que costumam fazer

mal já estão mortas. A pasteurização serve para matar os microrganismos que

podem causar doença aos consumidores pelo aquecimento do leite:

A pasteurização é feita a uma temperatura em torno de 75°C, enquanto a fervura acontece a mais 100°C. A temperatura menor de pasteurização provoca menos alterações no leite, preservando melhor suas propriedades bioativas e, também, parte das bactérias boas do leite, como os lactobacilos. Já a fervura desnatura e precipita as proteínas (aquele resíduo que fica no fundo da leiteira depois de ferver o leite) e mata também todos os micro-organismos, tanto os ruins como os bons. A pasteurização é feita justamente para não ter que ferver o leite. A temperatura é tão importante que existem análises para verificar que a pasteurização deve atingir 75°C sem passar dos 80°C. Então, não se deve ferver o leite pasteurizado, nem o leite longa vida, pois eles são seguros, não transmitem doença e já estão prontos para ser consumidos. Portanto, no máximo, pode-se dar uma esquentadinha, mas não se deve ferver. (BELOTI, 2015)

Diante das discussões feitas, os alunos serão questionados da seguinte

forma:

1) Como aquecer o leite a 75ºC sem possuir um termômetro para medir sua

temperatura?

2) Há alguma maneira de prever o tempo de aquecimento do leite de acordo

com sua quantidade? Como?

Estes questionamentos servirão para dar inicio à fase da Matematização,

pois, dependendo das respostas dos alunos, será possível observar que quanto

mais leite for fervido, maior o tempo de espera, e a relação entre essas duas

grandezas pode ser descrita como uma função.

2.1.2 Terceira e quarta aulas

Para que os alunos possam desenvolver a atividade de modelagem, alguns

dados deverão ser fornecidos a eles, e dessa forma chega-se à fase de

Matematização para, consequentemente, se chegar à fase de Resolução do

problema. Sendo assim, será entregue impresso a Tabela 1, que contém dados do

experimento realizado por Ribicki (2013). Primeiramente os alunos serão

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questionados, a fim de verificar se eles conseguem interpretar os dados contidos na

tabela.

Em seguida, será explicado que o leite não foi fervido, mas aquecido a

75ºC, com temperatura inicial de 5ºC, ou seja, retirado do refrigerador e colocado

imediatamente para aquecer.

TABELA 1 - Dados do experimento de aquecimento do leite a 75ºC.

Volume de leite (ml) Medição 1 (s) Medição 2 (s) Medição 3 (s)

100 75 73 78 150 100 101,5 109 200 139,5 136 126 250 163 163 153 300 182 179 191 350 218,5 211 211 400 247,5 252 238 450 281 274 269

Fonte: Ribicki, 2013, p.22.

Interagindo com a turma, será solicitado que os alunos observem a tabela

dada e, serão propostas as seguintes questões:

Por que foram realizadas três medições?

Observando cada volume de leite, o tempo que ele levou para aquecer

em cada uma das medições foi igual? Foi próximo um do outro? Por quê?

Se quiséssemos aquecer a 75ºC uma quantidade de leite qualquer que

não esteja na tabela, como saber quanto tempo deixá-lo ao fogo?

Observando as quantidades de leite utilizadas no experimento, existe

alguma relação entre elas?

Existe alguma relação entre os tempos encontrados?

Há alguma relação entre o volume e o tempo?

As questões propostas acima são um modo de auxiliar os alunos a

observarem e reconhecerem a matemática por traz do problema, como calcular a

média entre os tempos, perceber que os volumes dados variam 50 ml de um para

outro. Podem perceber também que conforme aumenta o volume, o tempo de

aquecimento também aumenta e quando esta conclusão for tomada, será

comentado que quando existe relação entre variáveis, na qual uma depende da

outra, estão trabalhando com o conteúdo de Funções.

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Espera-se que os alunos percebam que as três medições para cada volume

de leite não são iguais na maioria dos casos, mas muito próximas, pois o leite foi

retirado do refrigerador e colocado para aquecer da mesma forma nas três vezes, só

não são iguais porque a pessoa que fez o experimento pode demorar um momento

a mais ou a menos para ativar o cronômetro, a temperatura ambiente pode ter

interferido, assim como a temperatura da leiteira, a precisão do termômetro, entre

outras interferências que foram desconsideradas na realização do experimento.

Na sequência, tendo em vista que os tempos não são iguais nas três

medições, será perguntado aos alunos o que poderia ser feito através dos dados da

tabela, para obter um valor mais preciso. Espera-se que os alunos respondam que é

a média que precisam fazer.

Encontrando a média dos tempos das medições, os alunos poderão

construir a seguinte tabela:

TABELA 2 - Dados do experimento com média calculada.

Volume de leite (ml) Medição 1

(s) Medição 2

(s) Medição 3

(s) Média (s)

100 75 73 78 75,3 150 100 101,5 109 103,5 200 139,5 136 126 133,8 250 163 163 153 159,7 300 182 179 191 184,0 350 218,5 211 211 213,5 400 247,5 252 238 245,8 450 281 274 269 274,7


Neste momento será revisto o conceito de função, já que esse conceito já foi

visto em anos anteriores. De acordo com Iezzi (1993, p.2) a definição de função é:

“Uma relação de A em B recebe o nome de função definida em A com imagens em

B ou aplicação de A em B se, e somente se, para todo existe um só tal

que ( ) ”.

Se faz necessário também definir Domínio e Imagem de uma função que, de

acordo com o mesmo autor “Chama-se domínio da função o conjunto A.

Notação: ( ). Chama-se imagem da função o conjunto constituído pelos

elementos tal que ( ) . Notação: Im (f)” (IEZZI, 1993, p.3).

Depois de revistos os conceitos de Função, Domínio e Imagem, será

solicitado que os alunos identifiquem o domínio e a imagem no problema em estudo.

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Espera-se que os alunos percebam que o domínio é o volume (em ml) de leite, e

que esta é uma variável pertencente ao intervalo [100, 450], conforme descrito na

Tabela 2.

O mesmo ocorre com o conjunto da imagem, pois o tempo é uma variável

pertence ao intervalo [ .

Depois do reconhecimento das variáveis, será definido o domínio sendo v

(volume) e a imagem t(v), que é o tempo para aquecer à 75ºC cada quantidade v de

volume.

Espera-se que os alunos percebam que o volume aumenta de 50 ml em

50ml e que conforme v aumenta, t(v) aumenta, em média 28,5. Caso isso não

aconteça, será sugerida a construção da Tabela 3, em que os dados da terceira

coluna foram obtidos calculando a diferença do tempo para aquecer duas

quantidades de leite consecutivas, por exemplo,

( ) ( ) ( ) ( )

Em seguida calcula-se

( ) ( ) ( ) ( )

E assim por diante.

Sendo assim, assume-se a hipótese de que a cada medição, o volume

aumenta 50 ml e o tempo aumenta 28,5 segundos.

TABELA 3 - Variação entre os tempos de aquecimento do leite e média

Volume (ml) Tempo médio das

medições (s) Diferença entre os

tempos (s)

100 75,3 ---- 150 103,5 28,2 200 133,8 30,3 250 159,7 25,8 300 184,0 24,3 350 213,5 29,5 400 245,8 32,3 450 274,7 28,8

Média 28,5 Fonte: Ribicki, 2013, p.25.

Depois de determinadas as variáveis (volume e tempo) e a hipótese, será

levantada a seguinte questão aos alunos: “E se nós desejarmos aquecer outra

quantidade de leite que não está na tabela como, por exemplo, 135 ml ou 1000 ml?”.

23

Neste momento será sugerida a construção de um gráfico, explicando que o

comportamento de uma função pode ser visualizado graficamente.

Será revisto que um gráfico é uma representação no plano cartesiano. Este

plano possui dois eixos (horizontal e vertical) e cada ponto dele é formado por um

par ordenado ( ( )), para o qual o é localizado no eixo horizontal e ( ) no eixo

vertical.

2.1.3 Quinta e sexta aulas

Dando sequência a aula, a Tabela 4 a seguir pode ser construída a partir

dos cálculos utilizando a média encontrada na Tabela 3. Em seguida poderá ser

realizada a construção de um gráfico, plotando os pontos num plano cartesiano, com

os valores das coordenadas sendo volume e tempo.

TABELA 4 - Criação de novos tempos a partir da média de variação

Volume (ml) Tempo (s)

100 75,3 150 75,3 + 28,5 = 103,8 200 103,8+28,5=132,3 250 132,3+28,5=160,8 300 160,8+28,5=189,3 350 189,3+28,5=217,8 400 217,8+28,5=246,3 450 246,3+28,5=274,8


Depois de plotados os pontos no plano cartesiano, espera-se que os alunos

percebam que os pontos parecem alinhados, logo seria possível traçar um segmento

de reta passando por eles. Neste momento irei falar para os alunos que se trata de

uma função afim, que tem por definição, segundo Iezzi (1993, p.5): “Afim é uma

função polinomial do tipo ( ) com . Quando , a função afim é

crescente, se , ela é decrescente.”

24

FIGURA 3 – Gráfico da variação entre o volume e o tempo de aquecimento do leite

Fonte: A autora, 2015.

Dando sequência, os alunos deverão encontrar a lei de formação que define

a função que eles construíram no gráfico. Caso se faça necessário, será explicado

que para calcular a equação de uma reta definida por ( ) , devemos

calcular os valores de e , onde é o coeficiente angular e é o coeficiente linear

da função, a partir de dois pontos contidos nela. Após a explicação os alunos

poderão desenvolver os seguintes cálculos:

Tomando os pontos dois pontos quaisquer, ( ) e ( ),

por exemplo, ao calcular o coeficiente angular teremos:

, logo o coeficiente angular é igual a 0,57. Em seguida escolhemos o ponto A

ou B para encontrar o valor do coeficiente linear , substituímos na equação

( ) .

Escolhendo ( ), temos:

( )

Se os alunos apresentarem dificuldades no entendimento dos cálculos,

serão sugeridos outros pontos para os alunos calcularem. Com isso, os alunos

encontrarão os mesmos resultados. Logo, os alunos, chegarão à conclusão de que a

equação da função que descreve o problema em estudo é ( ) .

Sendo o coeficiente linear, ou seja, o valor onde o gráfico cortaria o eixo

vertical do plano cartesiano se for assumido como pertencente a (0,450] em ml ao

invés de [100, 450] em ml.

Até aqui, esta fase é denominada como Interpretação dos resultados. Será

explicado aos alunos que tudo que foi feito até então, resultou em um modelo

25

matemático que descreve o tempo de aquecimento do leite até 75ºC conforme o

volume. Resta saber se o modelo descreve adequadamente a relação entre essas

variáveis.

Para fazer a Validação do modelo, será proposto que façam o cálculo do

erro entre os valores obtidos pela função (Tabela 4) e os valores das médias

calculadas (Tabela 2). Para fazer esses cálculos, basta subtrair esses dois valores, e

dividi-los pelo valor obtido pela função, conforme mostra a Tabela 5:

TABELA 5 - Comparação entre o tempo real e o tempo dado pelo modelo

Volume (ml) Tempo dado pelo modelo (s) – Tm

Tempo dado pelo experimento (s) – Te

Erro (%) - | |

100 75,3 75,3 0 150 103,8 103,5 0,3 200 132,3 133,8 1,1 250 160,8 159,7 0,7 300 189,3 184,0 2,9 350 217,8 213,5 2 400 246,3 245,8 0,2 450 274,8 274,7 0

Fonte: Ribicki, 2013, p. 28.

Analisando a Tabela 5, podemos perceber que o erro é de no máximo 2,9%,

e isto é um erro consideravelmente pequeno, pois equivale aproximadamente a

0,029 segundos, o que pode ser o tempo para poder desligar o fogo. Logo, o modelo

encontrado é um bom modelo matemático para descrever a relação entre as

variáveis do problema em estudo.

Após todas essas conclusões, os alunos serão novamente questionados

sobre as perguntas iniciais feitas no primeiro dia de aula:

1) Como aquecer o leite a 75ºC sem possuir um termômetro para medir sua

temperatura?

2) Há alguma maneira de prever o tempo de aquecimento do leite de acordo

com sua quantidade? Como?

Os alunos poderão responder às questões a partir do modelo encontrado por

eles, ( ) . Se for substituído pelo valor do volume de leite

desejado, poderão prever o tempo de aquecimento do leite sem a necessidade de

um termômetro, conseguindo destruir as bactérias do leite sem perder seus

componentes, como o cálcio e a gordura.

26

Na validação do modelo encontrado, será concluído que o modelo

encontrado é um modelo adequado para resolver o problema. No entanto, será

perguntado aos alunos se eles acham que suas mães saberão utilizar o modelo

encontrado e se ele será útil pra elas ou isso dará muito trabalho.

Dessa forma, os alunos poderão dizer ideias para facilitar o aquecimento do

leite para suas mães, e dependendo das respostas, será indicada a criação de uma

tabela com várias opções de volume de leite com o tempo já calculado para quando

elas resolverem ferver leite. Esta tabela poderá ser dada em ml para o volume e em

minuto para o tempo, para facilitar ainda mais.

Um exemplo de tabela que poderá ser construída é a tabela a seguir, a qual

poderá ser útil às donas de casa, e os alunos poderão entregar às suas mães.

TABELA 6 - Quantidades de leite e seus respectivos tempos para o aquecimento a 75ºC

Volume de leite (ml) Tempo (min)

100 1min15seg 200 2min12seg 300 3min9seg 400 4min6seg 500 5min3seg 600 6min 700 6min57seg 800 7min54seg 900 8min51seg 1000 9min48seg 1200 11min41seg 1500 14min33seg 2000 19min18seg

Fonte: Ribicki , 2013, p.29.

Para isso, deverá ser salientado que o modelo utiliza como unidade de

tempo o segundo, sendo necessária a seguinte conversão de unidades, que pode

ser feita por regra de três simples. Por exemplo:

Para convertermos 132,3 segundo em minutos, fazemos:

minutos.

Mas como não sabemos o quanto equivale minutos, precisamos

novamente calcular, utilizando a regra de três:

27

segundos.

Logo, 132,3 segundos equivale a 2 minutos e 12 segundos

aproximadamente.

Dessa maneira, com a construção da Tabela 6, encerra-se a aula.

28

3 RELATANDO A PRIMEIRA EXPERIÊNCIA DE MODELAGEM MATEMÁTICA EM

SALA DE AULA

Sabemos da literatura, que para realizar uma atividade envolvendo a

Modelagem Matemática, nem sempre as aulas seguem um caminho linear.

Dependendo do nível de interesse dos alunos, o tempo estimado para cada fase

pode ser maior ou menor. Para fazer uma melhor descrição das aulas aplicadas, foi

feito os registros através de gravações em áudio, anotações no diário de campo e

também através de fotografias no decorrer das aulas.

Neste capítulo, relato como foi a minha primeira experiência utilizando a

Modelagem Matemática na sala de aula no papel de professora.

3.1 DESCRIÇÃO DA TURMA

A turma na qual apliquei esta proposta de ensino é um 3o ano do Ensino

Médio de uma escola pública, localizada no município de Matos Costa – SC,

composta por 20 alunos.

A maioria destes alunos é residente do interior da cidade e possuem como

renda a criação de gado leiteiro. Desta forma, analisando a proposta de ensino

elaborada por Ribicki (2013), através de algumas adaptações/complementações,

decidi utilizar essa proposta, pois achei que o tema é adequado a esta turma.

3.2 RELATO DE AULA POR AULA

Embora a proposta apresentada no capítulo anterior tenha sido elaborada

para 6 horas/aula, no decorrer das aulas houve alguns problemas, gerados pelo

motivo do mal tempo e de mudanças de horário, que fizeram com que as aulas se

estendessem para 8 horas/aula. Tais problemas foram: a falta da maioria dos alunos

29

e a falta de luz, que mesmo sendo durante o período matutino, impossibilitaram os

alunos de terminar seus cálculos, pois a sala ficou completamente escura.

3.2.1 Experiência com a Modelagem Matemática: Dia 1

Ao iniciar a aula, questionei os alunos sobre o que sabiam sobre o “leite”.

Para minha surpresa, houve poucas respostas, talvez pelo motivo de neste dia

terem comparecido poucos alunos, que talvez estivessem envergonhados para falar.

Dando continuidade a aula, solicitei que os alunos se reunissem em grupos para

fazer uma pesquisa no Laboratório de Informática sobre o tema “leite”.

FIGURA 4 – Pesquisa dos alunos no Laboratório de Informática


Os alunos fizeram a pesquisa tranquilamente, sem questionar o porquê fazer

esse tipo de pesquisa na aula de Matemática. Na realidade, eles estavam pensando

que esse trabalho seria utilizado para as aulas de Física, já que trabalho essas duas

disciplinas com eles e de vez em quando peço que façam pesquisas sobre

diferentes temas.

Entreguei uma folha sulfite em branco para cada aluno, e solicitei que

escrevessem apontamentos que achassem interessantes de acordo com o que

estava sendo pesquisado.

Uma das perguntas que me fizeram foi a seguinte:

30

Aluno 1: “Mas por que todos tem que pesquisar a mesma coisa?”.

Professora: “É importante que todos estejam se aprofundando com o tema

porque nas próximas aulas esses apontamentos serão utilizados para o

prosseguimento da aula, como intuito de comparar os dados obtidos”.

A ideia inicial dessa aula, como teria 2 horas/aula, seria de que na primeira

aula fosse feito essa pesquisa no Laboratório de Informática e na segunda aula seria

feita a discussão das pesquisas. Porém, pelo motivo do mal tempo, vieram

porquíssimos alunos, pois alguns ônibus não conseguiram chegar até as localidades

das residências de todos os alunos. Por esse motivo, decidi estender a pesquisa nas

2 horas/aula que tinha neste dia, e deixar a discussão para a próxima aula.


O segundo dia de aula destinou-se para ser feito a apresentação dos dados

coletados por meio de uma discussão mediada por mim.

Cada grupo apresentou as suas pesquisas e de acordo com os

apontamentos levantados, eu escrevia os principais tópicos no quadro negro.

Diante das informações levantadas pelos alunos, foram elencados alguns

tópicos, tais como: História (Quando que começaram a extrair o leite da vaca para o

consumo humano); Curiosidades; Regiões produtoras de leite; Composição (87% de

água, 4% de gordura, 4,2% de lactose, 3,5% de proteína e 0,7% de sais minerais);

Tipos de leite (integral, desnatado, semidesnatado, galactica, saborizado, em pó,

condensado, enriquecido); e Pasteurização (em que o leite é esquentado

rapidamente e resfriado rapidamente).

Atribui maior destaque da discussão ao item “Pasteurização”. Nele os alunos

me disseram que esse processo divide-se em três categorias: A Pasteurização lenta,

a rápida e a muito rápida: A pasteurização lenta atinge os 63°C pelo tempo de 30

segundos, a pasteurização rápida atinge 72°C pelo tempo de 15 segundos, e a

muito rápida atinge entre 130°C a 150°C pelo tempo de 3 a 5 segundos.

Para complementar esta parte da discussão, fui passar o vídeo do Dr.

Bactéria citado no plano, porém por algum problema técnico, este não funcionou na

31

TV. Por precaução eu tinha trazido também um áudio extraído de um site

especializado em questões do leite, o qual funcionou perfeitamente.

Através dos apontamentos levantados pelos alunos e pelo áudio, foi possível

fazer o seguinte questionamento: “É preciso ferver o leite?”. Dessa forma, foi

destacado que a importância de ferver o leite deve-se para matar as bactérias que

podem fazer mal.

Em seguida questionei os alunos na seguinte maneira: “Mas então qual a

diferença entre ferver e pasteurizar, se nos dois processos temos que aquecer o

leite?” Na sequência, foi feito uma breve explicação sobre a pasteurização.

Dessa forma através do áudio, foi complementada a discussão de que o leite

Pasteurizado, refere-se à pasteurização rápida, pois deve atingir de 72°C a 75°C, já

o leite Longa Vida “Ultra High Temperature” (UHT) refere-se à pasteurização muito

rápida, pois atinge de 130°C a 150°C. Além disso, quando o leite é fervido, ao tirar a

nata, acaba também perdendo grande parte da proteína da qual ele se constitui.

Porém, depois de feita toda a discussão voltada à pasteurização do leite,

alguns alunos levantaram a seguinte questão: “Mas nenhum de nós será agrônomo,

para que aprender isso?” ou “Nós estamos preocupados com o Enem, queremos

reforço”, no sentido de acharem que as pesquisas e discussões até aqui feitas não

tinham sentido para a disciplina de Matemática.

Diante desses questionamentos, expliquei a eles que através desse tema de

estudo, poderíamos sim trabalhar com a Matemática, talvez até mais do que se as

aulas estivessem sido conduzidas de maneira tradicional, pois a Matemática está

envolvida em vários aspectos desse tema, apenas é preciso encontrar esses

aspectos. Inicialmente, os alunos não sentiram muita confiança em minhas palavras,

mas no decorrer das aulas os alunos foram percebendo que era verdade o que eu

tinha falado a eles.

Dando sequência a aula, entreguei uma tabela para cada aluno com os

valores do experimento do leite, e solicitei que fizessem a interpretação da tabela,

identificando o significado de cada valor nela contido. Os alunos demoraram alguns

minutos para responder que a tabela tratava sobre o tempo para ferver o leite. Após

feita a interpretação da tabela, a aula chegou ao fim.

32


O terceiro dia de aplicação foi mais satisfatório. Entreguei novamente a cada

aluno a cópia da tabela das medições do leite (Tabela 1).

Expliquei aos alunos que esta tabela contém dados reais, e que foi

desenvolvida através do teste feito em várias quantidades de leite, e que cada

quantidade foi testada por 3 vezes, a fim de se verificar quanto tempo levava para o

leite chegar a temperatura de 75°C, que é a temperatura ideal para efetivar o

aquecimento do leite sem perder suas propriedades benéficas.

Fiz as questões descritas no plano de maneira verbal, as quais facilmente

foram respondidas pelos alunos.

Quando falei que a tabela mostrava a temperatura correta, para aquecer o

leite, o aluno 2 disse:

Aluno 2: “Mas não ficou a temperatura correta, pois em cada teste deu um

valor diferente”.

Professora: “Mas o que vocês podem fazer para encontrar um valor mais

aproximado através dos dados da tabela?”.

Aluno 3: “Fazendo a média dos valores?”.

Na sequencia, solicitei que cada grupo fizesse a média dos valores

correspondentes da tabela:

FIGURA 5 – Cálculo da média e da variação dos valores do tempo de aquecimento

Fonte: Aluno 3, 2015.

33

Feito os cálculos, fiz o seguinte questionamento:

Professora: “Através dos dados da tabela, o que ela mostra?”.

Aluno 1: “O tempo que demorou para ferver o leite”.

Professora: “Mas se eu quiser ferver uma quantidade qualquer de leite, em

que não está descrita na tabela? Tem como eu saber?”.

Aluno 2: “Regra de três?”.

Professora: “Talvez. Tente me mostrar se a regra de três funciona neste

caso!”.

Enquanto o aluno 2 tentava mostrar que utilizando a regra de três é possível

calcular o tempo para qualquer volume de leite, eu questionei os demais alunos o

seguinte:

Professora: “Quanto mais eu aumentar a quantidade de leite, o que

acontece, segundo a tabela?”.

Aluno 1: “Maior será o tempo para ferver”.

Professora: “Que relação tem entre o volume e o tempo?”.

Aluno 3: “Que quanto maior é o volume de leite, maior será o tempo para o

leite chegar na temperatura ideal.”

Em seguida, pedi para os alunos falarem os valores encontrados da média

feita por eles através dos dados da Tabela 1.

Enquanto isso, o aluno 2 que estava intrigado com a questão feita

anteriormente, em que ele falou que dava para calcular o tempo de uma quantidade

qualquer de leite pela regra de três, começou a fazer os cálculos e no decorrer da

atividade, me falou:

Aluno 2: “Professora, eu tentei calcular com regra de três e vi que não deu

muito certo! Tentei fazer com o primeiro valor da tabela e com o segundo valor

também, daí os valores deram bem diferentes”.

Com a fala do aluno, pude explicar que nesse caso não poderíamos utilizar a

regra de três para efetuar o cálculo do tempo para ferver um volume qualquer de

leite, pois ao ferver o leite, é necessário algum tempo mínimo para se chegar à

temperatura ideal, tempo esse em que ainda não saberíamos dizer observando

apenas os dados da tabela. Dessa maneira, solicitei que os alunos olhassem a

tabela que eu tinha feito no quadro-negro e me dissessem o que estava

acontecendo com os valores do volume e do tempo.

Perguntei de quanto em quanto aumenta o tempo:

34

Aluno 1: “É 30 e poucos”.

Professora: “Como vocês podem fazer para calcular o valor? Tentem

calcular as diferenças do primeiro valor para o segundo.”.

Assim os alunos começaram a fazer os cálculos e perceberam que o tempo

estava variando em média, de 28,5 em 28,5.

Professora: “Se eu tenho dois valores que possuem alguma relação, eu

tenho qual conteúdo matemático por trás dessa tabela?”.

Houve silêncio por parte da turma, até que eu falei que era Função.

Perguntei o que é função, eles disseram que não lembravam. Dessa maneira passei

no quadro negro o conceito de função. Antes mesmo de terminar de conceituar, um

aluno disse:

Aluno 4: “Com função dá pra fazer gráfico!”.

Após formalizar o conceito de função, domínio e imagem, solicitei que

construíssem uma nova tabela conforme a figura abaixo:

FIGURA 6 – Tabela composta pela variação encontrada dos alunos


Na sequência, solicitei que construíssem o gráfico da mesma:

35

FIGURA 7 – Construção do gráfico


A maioria dos alunos fizeram os gráficos manualmente em uma folha, mas

um aluno resolveu utilizar a planilha eletrônica de seu notebook. Dessa forma os

alunos conseguiram obter os seguintes gráficos:

FIGURA 8 – Gráfico feito manualmente, e gráfico feito na planilha eletrônica.

Fonte: Os alunos, 2015.

A aula encerra-se no momento que todos finalizam a construção do gráfico.

36


Primeiramente relembramos o que tínhamos visto na aula anterior. Os

alunos disseram que paramos na construção do gráfico. Eu os questionei o por quê

do gráfico que foi feito por eles ter ficado “torto”. Na realidade, eu não tinha me dado

conta de que os alunos plotaram o gráfico com os valores da média dos tempos

descritos na Figura 5, e não com os valores descritos na Figura 6, a qual havia uma

diferença de 28,5 em 28,5 no valor do tempo. Por isso o gráfico ficou torto.

Assim, novamente reescrevi a tabela no quadro negro. Plotei o gráfico pelo

Geogebra, e mostrei para cada grupo os dois gráficos: o feito na aula passada com

os dados da média dos valores (Figura 5), e o feito com os valores do tempo

aumentando de 28,5 em 28,5 (Figura 6).

FIGURA 9 – Comparação dos gráficos feitos com base na Figura 5 e na Figura 6


Analisando os gráficos, pudemos observar que tanto o gráfico com os

valores da Figura 5, quanto o com valores da Figura 6, são semelhantes. Desse

modo, pudemos considerar que o gráfico com valores distantes 28,5 em 28,5 é

válido, pois os valores dos dois gráficos possuem apenas um pequeno erro.

Dando sequência a aula, eu perguntei:

Professora: “De acordo com o que nós vimos até agora, tem como saber

calcular o tempo necessário para ferver 125 ml de leite?”

Aluno 1: “Sim. É só pegar a metade do tempo do 100 até o 150”.

37

Prosseguindo, eu os perguntei se lembravam de que aula passada tínhamos

relembrado o conceito de função. Perguntei qual era o domínio, e qual era a imagem

desse problema. Os alunos responderam que o domínio é de 100 a 450 e imagem

de 35,3 até 274.

Professora: “Tendo valores do meu domínio e da minha imagem, vocês

precisam calcular a função. Pelo gráfico, vocês viram que possuem o formato de

uma reta; então que tipo de função temos?”.

Aluno 2: “Função linear?”.

Professora: “Isso, função linear, ou melhor, função afim.”

Em seguida, eu passei no quadro negro a definição de função afim. Disse a

eles que uma função afim é definida pela equação: ( ) . Como existem

vários dados na tabela, basta encontrar a função de define esses valores. Para isso,

é preciso encontrar o coeficiente angular , e o coeficiente linear .

A maneira pela qual os alunos resolveram encontrar a função foi através de

sistemas lineares. Nele, eles sabiam que deveriam substituir dois quaisquer valores

contidos na tabela, para encontrar os valores de e de .

Em seguida, eles perguntaram se era preciso fazer os cálculos com todos os

pontos do gráfico, então eu respondi que não, pois com apenas 2 pontos quaisquer

era possível encontrar a função.

Infelizmente neste dia os alunos não puderam concluir os cálculos, pois,

faltou energia elétrica em toda a cidade, e mesmo a aula sendo no período matutino,

todas as salas de aula estavam escuras, o que não dava condições para os alunos

terminarem seus cálculos. Esperamos por 40 minutos a volta da energia, porém

quando voltou tudo ao normal, a aula já estava encerrada. Através dessa

problemática falei para os alunos tentarem terminar os cálculos em casa e trazerem

prontos na próxima aula.


Comecei a aula solicitando que um aluno fizesse a resolução no quadro

negro. Quando eu afirmei que para qualquer ponto que eu fizesse o sistema, os

valores de e de dariam o mesmo, os alunos não se convenceram. Então solicitei

38

que cada grupo fizesse novamente o sistema para outros dois pontos distintos, para

verificar se era verdade.

Após eles resolverem e verem que realmente era verdade que e davam

respectivamente e , solicitei que substituíssem na função encontrada para

cada valor de para ver se chegava ao mesmo valor de descrito na tabela.

FIGURA 10 – Cálculo da função, através da resolução de sistemas


Mas para sabermos se essa função é válida para qualquer valor de volume

de leite, foi preciso encontrar o erro entre os valores calculados pela função e os

valores que foram feito as médias inicialmente. Para se calcular esse erro, os alunos

subtraíram o valor do modelo pelo valor da tabela e dividiram pelo valor da tabela.

Quanto mais próximo de zero, menor será o erro.

39

FIGURA 11 – Cálculo do erro


Dessa forma os alunos calcularam o erro, e percebi que muitos não sabiam

o que significava quando aparecia na calculadora o valor , que era o mesmo

que 0,003. Expliquei então o funcionamento da calculadora. Para finalizar os

cálculos, solicitei que multiplicassem esse valor por 100 para encontrar a

porcentagem do erro.

Feito isso, eu os questionei:

Professora: “E se a mãe de vocês quiser esquentar 2 litros de leite, quanto

tempo ela precisa deixar no fogo?”

Perguntei se alguém teria alguma sugestão para auxiliar as mães a

aquecerem o leite. Os alunos disseram que bastava substituir os valores na função.

Em seguida, questionei se não seria muito trabalhoso para as mães fazerem isso e

perguntei se tinha algo que eles poderiam fazer para diminuir o serviço das mães.

Como não houve nenhuma ideia, solicitei que construíssem uma nova tabela, em

que fossem colocados os tempos dos seguintes volumes de leite: 100, 200, 300,

400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000, 1200, 1500 e 2000 ml de leite. Mostrei para o

40

primeiro valor que resultava em 75,3 segundos. Através da regra de três

transformava-se os 75,3 segundos em 1,255 minutos e, em seguida para calcular

quantos segundos equivalem os 0,255 minutos. Novamente, pela regra de três

calcula-se que equivale à 15 segundos aproximadamente, portanto, para ferver 100

ml de leite, precisa de 1 minuto e 15 segundos. Para os demais valores os alunos

calcularam os valores sem precisar muito de minha ajuda.

FIGURA 12 – Cálculo dos valores para a tabela final, utilizando a regra de três.


Um dos grupos resolveu calcular de maneira diferente: pegou o valor

calculado pela função, dividiu por 60, e assim obteve o valor dos minutos. O resto da

divisão, eles colocaram diretamente como a quantidade de minutos.

FIGURA 13 – Tabela final


41

Com o término da tabela, encerrei a aula perguntando aos alunos o que

acharam da experiência com essa metodologia. A maioria dos alunos gostou

bastante, e solicitou que fosse feito mais aulas deste jeito.

A pesar de nem todas as aulas terem sido seguidas conforme eu esperava,

pois sempre pode haver alguns problemas imprevisíveis no decorrer das aulas, no

final do plano, eu pude sair da sala de aula satisfeita, pois sei que consegui atrair a

atenção da maioria dos alunos e consequentemente, percebi que pude contribuir

para a aprendizagem dos alunos, que despertaram bastante interesse na resolução

do problema envolvido.

Sei também que para uma parcela de alunos, eu não consegui atingir meus

objetivos, talvez o motivo seja o tema que não foi de agrado, porém acredito que por

ser o primeiro contato da turma com essa metodologia, talvez esses alunos que não

aprovaram essas aulas podem futuramente acabar gostando e aproveitando melhor

as próximas aulas.

42

CONSIDERAÇÕES FINAIS ALGUMAS REFLEXÕES SOBRE A MODELAGEM

MATEMÁTICA E A EXPERIÊNCIA VIVENCIADA

Através deste trabalho pude fazer uma reflexão de como foi meu primeiro

contato com a Modelagem Matemática em sala de aula. Inicialmente, eu possuía

certo receio em utilizar a Modelagem Matemática em minhas aulas, pois só tive

contato no decorrer do último ano da graduação. Porém o contato que eu tive, foi

apenas no sentido de aluna, como professora eu jamais tinha vivenciado esse tipo

de atividade.

O receio que eu tinha era o de dar tudo errado e de perder o foco da

Matemática em minhas aulas. Eu pensava que haveria momentos que não saberia

conduzir a aula, o que acabaria afetando a minha autoridade de professora perante

meus alunos.

Através do registro das minhas aulas, pude perceber diversos erros e

acertos na condução da mesma. Com as audições, pude perceber que em muitos

momentos, quando o aluno começava a expor as suas ideias, eu rapidamente

completava a frase do aluno, e assim ele acabava concordando com a ideia, mesmo

não sendo exatamente aquilo que ele gostaria de expor. Isso é um erro grave, pois

se eu quero que meu aluno construa as suas ideias, é preciso que ele as exponha

sem ser interferido por mim.

Outra problemática foi em relação ao tempo planejado. Inicialmente planejei

aplicar as aulas em 6 horas/aula, porém, como no primeiro dia veio poucos alunos,

decidi estender a discussão para mais uma aula, e em outro momento havia

acabado a energia elétrica, impossibilitando que os alunos conseguissem enxergar o

caderno para fazer os cálculos. Dessa forma, o que era para ser trabalhado em 6

horas/aula, que seria feito em 3 dias, foi trabalhado em 8 horas/aula, estendendo-se

para 5 dias de aplicação.

Mas diante das dificuldades apresentadas, percebi também alguns acertos,

tais como conseguir fazer com que os alunos se aprofundassem com o assunto e

colocassem em prática as ideias que eles propunham como, por exemplo, calcular

qualquer quantidade de volume de leite a partir da regra de três simples, apenas

com a tabela das médias (Tabela 2). Mesmo não dando certo a ideia proposta por

43

eles, consegui incentivá-los a procurar outros meios para resolver o problema

proposto.

Em relação as fases da atividade de Modelagem, a parte que senti maior

dificuldade, foi na introdução do problema, pois a maioria dos alunos não se

convenceram facilmente de que através do tema “leite” existiria alguma relação com

a Matemática. Em compensação, a parte das aulas que senti maior confiança, foi na

Matematização, pois nessa etapa consegui mostrar para os alunos que havia

Matemática sim relacionada ao tema “leite”.

Sei que não consegui provocar interesse de todos os alunos na condução da

aula, mas aos que se mostraram interessados, pude perceber que consegui cumprir

com os objetivos propostos no plano. Acredito que ao passar do tempo, conseguirei

atrair maior interesse da turma, pois este foi um primeiro contato com essa

metodologia de ensino, e provavelmente ao passar do tempo, os alunos conseguirão

resolver com maior facilidade os problemas propostos.

Dessa forma, de acordo com a experiência que adquiri realizando este

trabalho, indico o uso dessa metodologia para outros professores Matemática. Sei

que sair da zona de conforto é trabalhoso, requer uma dedicação maior por parte do

professor, mas em compensação, a utilização da Modelagem Matemática como

metodologia de ensino rende aulas mais atrativas com maior participação e

envolvimento dos alunos.

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REFERÊNCIAS

ALMEIDA, L. M. W; DIAS, M. R. Um estudo sobre o uso da Modelagem Matemática como estratégia de ensino e aprendizagem. Bolema, ano 17, n. 22, p. 19-35, 2004. ALMEIDA, L. W; SILVA, K. P; VERTUAN, R. E. Modelagem Matemática na Educação Básica. 1. Ed. 1ª reimpressão, São Paulo: Contexto, 2013. BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática. 3. ed., 3ª reimpressão, São Paulo: Contexto, 2011. BELOTI, V. Por que não ferver o leite pasteurizado. Disponível em: <http://www.milkpoint.com.br/mypoint/221468/p_por_que_nao_ferver_o_leite_pasteurizado_leite_bacterias_pasteurizacao_proteinas_temperatura_fervura_5540.aspx> Acesso em 01 set. 2015. BIEMBENGUT, M. S. Modelagem Matemática no Ensino. 5. ed. São Paulo: Contexto, 2009.

IEZZI, G.; MURAKAMI, C.; MACHADO, N. J. Fundamentos da Matemática Elementar. Vol.8, Atual, 5.ed. São Paulo: 1993. RIBICKI, L. Modelando a Fervura do Leite: Uma roposta para ensinar Função Afim por meio da Modelagem Matemática. Trabalho de Conclusão de Curso, Faculdade Estadual de Filosofia Ciências e Letras de União da Vitória – Fafiuv – Campus da Unespar. União da Vitória – PR, 2013. SILVA, K. A. P. Uma interpretação semiótica de atividades de modelagem matemática: implicações para a atribuição de significado. Tese (Doutorado), Programa de Pós Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática. Universidade Estadual de Londrina, Londrina - PR, 2013. VERTUAN, R. E. Práticas de monitoramento cognitivo em atividades de Modelagem Matemática. Tese (Doutorado),Programa de Pós Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática. Universidade Estadual de Londrina, Londrina - PR, 2013.

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APÊNDICE A – Termo de Consentimento Livre e Esclarecido

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Termo de Consentimento Livre e Esclarecido

Você _________________________________________________________ está

sendo convidado(a) a participar da pesquisa “Um relato de experiência envolvendo

Modelagem Matemática” tendo como pesquisadora responsável a estudante Jaíne

Carneiro e a professora orientadora Gabriele Granada Veleda, ambas da Universidade

Estadual do Paraná, campus de União da Vitória, curso de Licenciatura em Matemática.

A sua participação é voluntária, portanto não haverá recompensa ou gratificação, nem

pagará para participar. Será garantido o livre acesso a todas as informações e retirada de

dúvidas sobre o estudo, enfim, tudo o que você queira saber antes, durante e depois do

desenvolvimento da pesquisa.

Para atingir os objetivos da pesquisa, aulas de Matemática que você frequenta serão

gravadas em áudio e vídeo e os registros escritos feito por você durante as aulas serão

fotocopiados. No momento da divulgação dos resultados da pesquisa, é garantido o sigilo do

seu nome e imagem. Após as análises, os resultados desta pesquisa estarão à sua

disposição.

Você poderá deixar de participar do estudo a qualquer momento, sem apresentar

justificativas e, também, sem prejuízo ou perda de qualquer benefício que possa ter

adquirido, tendo também todas as dúvidas esclarecidas sobre a sua participação neste

trabalho. Em caso de dúvidas, você poderá entrar em contato diretamente comigo ou com a

minha orientadora, professora Gabriele.

Gabriele Granada Veleda

UNESPAR Praça Coronel Amazonas s/n – União da Vitória /PR

____________________________________

Assinatura professora responsável

Jaíne Carneiro

UNESPAR Praça Coronel Amazonas s/n – União da Vitória /PR

____________________________________

Assinatura professora responsável

___________________________________________________________________

Nome e assinatura do estudante

Matos Costa, 28 de setembro de 2015.

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ

CAMPUS DE UNIÃO DA VITÓRIA

um relato de experiÊncia envolvendo modelagem...

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