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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ CAMPUS DE UNIÃO DA VITÓRIA

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS COLEGIADO DE MATEMÁTICA

WÉSLEY DJORDAN FILUS

EXPLORANDO CONSTRUÇÕES DOS SÓLIDOS REGULARES NO SOFTWARE GEOGEBRA 5.0: UMA PROPOSTA DE ENSINO POR MEIO DA INVESTIGAÇÃO

MATEMÁTICA

UNIÃO DA VITÓRIA 2015

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WÉSLEY DJORDAN FILUS

EXPLORANDO CONSTRUÇÕES DOS SÓLIDOS REGULARES NO SOFTWARE GEOGEBRA 5.0: UMA PROPOSTA DE ENSINO POR MEIO DA INVESTIGAÇÃO

MATEMÁTICA Trabalho de Conclusão de Curso apresentado para obtenção do título de Licenciatura em Matemática da Universidade Estadual do Paraná Campus de União da Vitória. Orientadora: Profª Mestre Emanueli Pereira

UNIÃO DA VITÓRIA 2015

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Dedico este trabalho a minha família que durante minha formação sempre me apoiou, especialmente meu pai, Amilto, minha mãe, Ronize e minha irmã. Sem vocês seria muito difícil chegar até aqui.

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AGRADECIMENTOS

Agradeço primeiramente a Deus, pois ele me deu forças nessa caminhada.

A meus pais Amilto Roberto Filus e Ronize Terezinha Omylan Filus, pelo

apoio que me deram durante toda minha formação.

A minha irmã Dgéssica Andressa Filus, pelo companheirismo e incentivo

durante esta etapa de formação.

Aos amigos que me acompanharam em toda a formação, principalmente a

Eliana, Jéssica e Patrícia, sem vocês seria mais difícil.

A todos os meus professores desde a Educação Básica até o Ensino

Superior, sou muito agradecido pela dedicação e tudo que me ensinaram.

A minha orientadora, Emanueli Pereira, por todas as horas de orientação,

dedicação, sugestões e principalmente seus conhecimentos que contribuíram muito

para enriquecer este trabalho.

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“A educação tem raízes amargas, mas os frutos são doces”.

(ARISTÓTELES)

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RESUMO

Recentemente o software educacional GeoGebra foi atualizado para a versão 5.0, em que foi inserida a Janela de Visualização 3D. Visto que este é um software acessível a professores e alunos, neste trabalho apresentaremos as construções dos sólidos geométricos regulares, suas planificações e construções que resultaram da exploração no software GeoGebra feitas durante a realização do trabalho. Dessa forma, tem-se por objetivo explorar essas construções por meio de atividades elaboradas à luz da Investigação Matemática, articulação entre Mídias Tecnológicas e Investigação Matemática, no ensino de conceitos de Geometria Espacial, em que alunos investigam conceitos matemáticos nas construções, a fim de apresentar soluções às tarefas propostas. Palavras chave: Mídias tecnológicas, Investigação Matemática. Sólidos regulares. Software GeoGebra 5.0.

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LISTA DE ILUSTRAÇÕES Figura 1 - Exibir Janela de visualização 3D. .................................................................................. 21

Figura 2 - Janela de Visualização 3D. ............................................................................................ 21

Figura 3 - Ícone "Ponto" no menu. ................................................................................................... 22

Figura 4 - Construção de dois pontos. ............................................................................................ 22

Figura 5 - ícone Ajuda. ...................................................................................................................... 23

Figura 6 - Sugestão de construção do Tetraedro .......................................................................... 24

Figura 7 - Construção do Tetraedro ................................................................................................ 24

Figura 8 - Controle Deslizante para Planificação do Tetraedro .................................................. 25

Figura 9 - Entrada para Planificação do Tetraedro ....................................................................... 25

Figura 10 - Planificação do Tetraedro ............................................................................................. 26

Figura 11 - Sugestão para construção do Cubo ............................................................................ 27

Figura 12 - Construindo um Cubo a partir de dois pontos ........................................................... 27

Figura 13 - Controle Deslizante para a Planificação do Cubo .................................................... 28

Figura 14 - Entrada para a Planificação do Cubo ......................................................................... 29

Figura 15 - Planificação do Cubo ..................................................................................................... 29

Figura 16 - Planificação sem o sólido ............................................................................................. 30

Figura 17 - Pirâmides construídas na Planificação do Cubo ....................................................... 31

Figura 18 - Formação do Cubo por Pirâmides .............................................................................. 31

Figura 19 - Sugestão de comando para o Octaedro..................................................................... 32

Figura 20 - Octaedro Regular ........................................................................................................... 32

Figura 21 - Controle deslizante do Octaedro. ................................................................................ 33

Figura 22 - Planificação do Octaedro. ............................................................................................. 33

Figura 23 - Animação da Planificação do Octaedro. .................................................................... 34

Figura 24 - Pontos para construção dos Cubos. ........................................................................... 35

Figura 25 - Construção dos Cubos. ................................................................................................. 35

Figura 26 - Planificação dos cubos. ................................................................................................ 36

Figura 27 - Polígonos das planificações utilizados ....................................................................... 36

Figura 28 - Polígonos que sobram. ................................................................................................. 37

Figura 29 - Polígonos construídos ................................................................................................... 37

Figura 30 - Pirâmides para compor o Octaedro ............................................................................ 38

Figura 31 - Octaedro formado por Pirâmides................................................................................. 38

Figura 32 - Comando para construção do Dodecaedro ............................................................... 39

Figura 33 - Dodecaedro Regular...................................................................................................... 39

Figura 34 - Controle deslizante do Dodecaedro. ........................................................................... 40

Figura 35 - Planificação do Dodecaedro. ....................................................................................... 40

Figura 36 - Animação da Planificação do Dodecaedro. ............................................................... 41

Figura 37 - Somente planificação do Dodecaedro ........................................................................ 41

Figura 38 - Pirâmides construídas na Planificação do Dodecaedro .......................................... 42

Figura 39 - Dodecaedro formado por Pirâmides ........................................................................... 43

Figura 40 - Comando para construção do Icosaedro. .................................................................. 43

Figura 41 - Icosaedro Regular .......................................................................................................... 44

Figura 42 - Controle deslizante do Icosaedro. ............................................................................... 44

Figura 43 - Planificação do Icosaedro............................................................................................. 45

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Figura 44 - Animação da Planificação do Icosaedro. ................................................................... 45

Figura 45 - Somente planificação do Icosaedro ............................................................................ 46

Figura 46 - Pirâmides construídas na Planificação ....................................................................... 47

Figura 47 - Icosaedro composto de Pirâmides .............................................................................. 47

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LISTA DE QUADROS Quadro 1- Comandos para construir as pirâmides na Planificação do Cubo ........................... 30

Quadro 2 - Comandos para construir as Pirâmides na Planificação do Dodecaedro ............. 42

Quadro 3 - Comandos para construção de pirâmides na planificação do Icosaedro. ............. 46

Quadro 4 - Tarefa 1. ........................................................................................................................... 49

Quadro 5 - Tarefa 2. ........................................................................................................................... 51

Quadro 6 - Tarefa3. ............................................................................................................................ 52

Quadro 7 - Pirâmide. .......................................................................................................................... 53

Quadro 8 - Tarefa 4. ........................................................................................................................... 54

Quadro 9 - Fórmulas para o cálculo do volume dos sólidos Geométricos Regulares. ........... 55

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SUMÁRIO CONSIDERAÇÕES INICIAIS ........................................................................................................... 11

1 EMBASAMENTO TEÓRICO.................................................................................................... 13

1.1 O ENSINO DE GEOMETRIA NO BRASIL .................................................................................. 13

1.2 GEOMETRIA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA .......................................................................... 15

1.3 INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA ............................................................................................... 16

1.4 INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA EM SALA DE AULA ................................................................ 17

1.5 PROBLEMAS MATEMÁTICOS E INVESTIGAÇÃO ..................................................................... 18

1.6 USO DE SOFTWARES EM SALA DE AULA ............................................................................... 18

1.7 SOBRE O SOFTWARE GEOGEBRA .......................................................................................... 19

2 CONSTRUÇÕES NO SOFTWARE GEOGEBRA........................................................................... 20

2.1 CONSTRUÇÃO BASE PARA OS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS........................................................ 20

2.2 CONSTRUÇÃO DO TETRAEDRO REGULAR E SUA PLANIFICAÇÃO NO GEOGEBRA ................. 23

2.3 DESCRIÇÃO DAS CONSTRUÇÕES REFERENTES AO CUBO NO GEOGEBRA ............................. 26

2.4 CONSTRUÇÃO DO OCTAEDRO REGULAR E SUA PLANIFICAÇÃO NO GEOGEBRA .................. 32

2.5 CONSTRUÇÃO DE PIRÂMIDES FORMANDO O OCTAEDRO .................................................... 34

2.6 DESCRIÇÃO DAS CONSTRUÇÕES REFERENTES AO DODECAEDRO ........................................ 38

2.7 DESCRIÇÃO DAS CONSTRUÇÕES REFERENTES AO ICOSAEDRO NO GEOGEBRA ................... 43

3 PROPOSTA DE ENSINO ......................................................................................................... 48

3.1 PRIMEIRA TAREFA ................................................................................................................. 48

3.2 DEFINIÇÕES DE POLÍGONOS .................................................................................................. 49

3.3 RELAÇÃO DE EULER ............................................................................................................... 50

3.4 ÁREA LATERAL DOS SÓLIDOS REGULARES. ........................................................................... 51

3.5 VOLUME DOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS REGULARES ............................................................ 53

CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................................................. 56

REFERÊNCIAS .............................................................................................................................. 58

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CONSIDERAÇÕES INICIAIS

Atualmente, um grande desafio, em se tratando de ensino da Matemática é

desmistificar algumas ideias que muitas pessoas têm de que ela está pronta e

acabada, só gênios são capazes de entendê-la, é feita para poucos. Sejam pelos

meios de comunicação ou pelo ambiente que o aluno está inserido estas ideias

podem influenciar na sua forma de pensar a matemática (SILVEIRA, 2002).

Uma forma de desconstruir os pré-conceitos atribuídos à disciplina de

Matemática é fazer da sala de aula um ambiente em que o aluno explore os

conceitos. Este ambiente poderá fazer com que o aluno, investigando determinado

conceito, faça um caminho parecido ao do matemático que o descobriu

anteriormente.

Para Cunha, Oliveira, Ponte (1995), diferentemente do pensamento fechado

e pronto, atividades investigativas instigam os alunos, além de potencializar o

raciocínio matemático uma vez que proporciona oportunidades de explorar conceitos

matemáticos, de intuir, de elaborar conjecturas, de realizar testes, de errar ou

acertar, de fazer aproximações e estimula professores a repensar aspectos de sua

prática docente.

As novas tendências em Educação Matemática apresentam-se como

alternativas para melhorar o ensino desta disciplina. Destaca-se neste trabalho a

utilização da Investigação Matemática e a utilização das Tecnologias de Informação,

articulando estas duas metodologias, a fim de possibilitar o aluno a construir o

conhecimento matemático.

Com este trabalho foi possível aprofundar os conhecimentos do ambiente

investigativo em sala de aula, descrevendo como ela acontece e analisando como

articular investigação matemática com Mídias tecnológicas. Trata-se de uma

pesquisa qualitativa que segundo Ludke e André (1986), possui um ambiente de

estudo, onde os dados são em sua maioria descritivos e a análise dos dados segue

um processo indutivo. Além disso,

O qualitativo engloba a ideia do subjetivo, passível de expor a sensação e opinião. O significado atribuído a essa concepção de pesquisa também engloba noções a respeito de percepções de diferenças e semelhanças de aspectos comparáveis de experiências (BICUDO, 2004, p. 116, grifo do autor).

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Neste trabalho, foi possível atribuir características e opiniões pessoais em

relação ao assunto. Bem como, foi possível refletir sobre as ações tanto do

professor quanto do aluno, que realizará as construções apresentadas no trabalho.

As tarefas propostas foram pensadas levando em consideração o referencial teórico

sobre as abordagens metodológicas, as reflexões proporcionadas durante a

graduação e as experiências publicadas em outros trabalhos.

Como resultado da pesquisa realizada, foi possível elaborar tarefas

utilizando-se de construções feitas no software GeoGebra 5.0, envolvendo sólidos

geométricos regulares por meio da Investigação Matemática. Essas construções

foram detalhadas, a fim de concentrar neste trabalho subsídios para aplicação em

sala de aula.

Com a pesquisa realizada pode ser apresentado o presente trabalho que

está dividido em três capítulos, considerações iniciais, considerações finais e

referências.

No capítulo 1, apresenta-se um resgate histórico do ensino de Geometria no

Brasil com o intuito de mostrar diferentes importâncias atribuídas ao ensino deste

conteúdo. Além disso, são mencionados alguns dos problemas percebidos

atualmente no ensino deste conteúdo, muitos oriundos do momento conhecido como

Movimento da Matemática Moderna. Neste capítulo, também se apresenta a

descrição das metodologias escolhidas para fundamentar o presente trabalho e sua

utilização em sala de aula.

No capítulo 2, estão descritas as construções desenvolvidas com base em

construções disponíveis referentes a sólidos regulares, utilizando o software

GeoGebra, bem como a descrição das construções desenvolvidas durante o período

de realização do trabalho. Estas construções poderão ser utilizadas em sala de aula

para que os alunos deduzam as fórmulas para o cálculo do volume dos sólidos

regulares.

No último capítulo, apresentam-se sugestões de tarefas que poderão ser

aplicadas em sala de aula, para que, por meio das construções descritas no capítulo

anterior, os alunos investiguem conceitos matemáticos.

Por fim constam as considerações finais, uma análise do caminho que

culminou no presente trabalho seguida das referências que o embasaram.

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1 EMBASAMENTO TEÓRICO

Para que seja possível compreender sobre determinado assunto, busca-se

pesquisar sobre ele, a fim de ter subsídios para argumentar. Dessa forma, neste

capítulo buscamos tecer algumas considerações sobre o ensino de geometria no

Brasil, sobre a Investigação Matemática e o uso de softwares em sala de aula.

1.1 O ENSINO DE GEOMETRIA NO BRASIL

Os conceitos geométricos começaram a serem ensinados no Brasil para

fins militares, onde os jovens aprendiam a desenhar e fortificar1. Segundo Dorneles

e Sena (2013) em 1699, foi criada a Aula de Fortificações, implantada a partir de

1710 no estado do Rio de Janeiro.

Em 1730, o ensino de Geometria tornou-se obrigatório a todos os oficiais,

neste período teve registro do primeiro livro brasileiro sobre Geometria denominado

Exame de Artilheiros e Exame de Bombeiros. Esses livros tinham objetivos militares

e didático-pedagógicos, seguindo a metodologia de apresentar a definição,

explicação e exemplos numéricos (MENESES, 2007).

Nos estudos posteriores foram utilizadas, na sua maioria, as obras “Exame

de Artilheiros” e “Exame de Bombeiros”. A partir de 1779, livros de autores

estrangeiros também começaram ser utilizados, principalmente por determinação da

Corte Portuguesa.

Em 1782, foi criado o Curso da Academia Real dos Guarda Marinha

destinado aos filhos dos oficiais da marinha ou do exército. Primeiramente utilizando

a obra de Bézout2, mas com a ascensão da obra do brasileiro Vilela Barbosa3 tanto

em Portugal como no Brasil, em vez de utilizarem os chamados manuais didáticos,

passou-se para obras que utilizavam axiomas e teoremas, prevalecendo o rigor

matemático (DORNELES, SENA, 2013).

1 Os seus principais fins são dois: o primeiro de poder com pequeno número de gente resistir a investida do inimigo: o segundo conservar seguro os indivíduos do local fortificado contra acidentes de guerra (Fonte: http://static.scielo.org/scielobooks/5r38c/pdf/vellozo-9788523208868.pdf. 2 Matemático francês (1730-1783) que publicou em seis volumes toda a matemática da época (Fonte: http://www.dec.ufcg.edu.br/biografias/EtienBez.htm). 3 Marquês de Paranaguá (1769-1846) matemático brasileiro (Fonte: http://www.museu-emigrantes.org/docs/titulados/FRANCISCO%20VILELA%20BARBOSA.pdf).

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A partir de 1810, a Academia Real Militar começou a oferecer curso de

Matemática, não necessariamente para formar oficiais, mas também geógrafos e

topógrafos. Neste curso, desde seu início, havia a preocupação com o rigor

matemático, visto que utilizavam a obra de Legendre, baseada na obra de Euclides

(MENESES, 2007).

Os dois cursos, Curso da Academia Real dos Guarda Marinha e Academia

Real Militar, com o passar do tempo, tornaram-se os denominados, respectivamente,

curso secundário e curso superior. O Ensino primário foi criado por volta do ano

1827, na formulação deste curso havia a preocupação de ensinar Geometria, porém

em discussões, chegaram a conclusão que seria inviável, devido, segundo Valente

(1999, p. 113) “por não haver professores primários habilitados e depois, em razão

de não ser um conhecimento escolar solicitado para ingresso em nenhuma

instituição de ensino secundário”.

Não sendo requisito para ingresso no Ensino Secundário, o ensino de

Geometria foi proposto a este nível de ensino, visto que seria requisito para ingresso

no Curso Superior. Para o Ensino Secundário, foi estabelecida uma disciplina de

Geometria, neste momento o ensino de Geometria deixa de apresentar um caráter

militar, passando a conhecimento para a formação humana (MENESES, 2007).

Até o Movimento de Modernização do Ensino Secundário no final do século

XIX e início do século XX, preocupava-se com o rigor matemático no ensino de

Geometria, mas a maioria dos alunos passou a estudar as técnicas para passar nos

exames finais, como um treinamento, não se importando qual a aplicação de tal

conhecimento. Este movimento foi o antecessor do Movimento da Matemática

Moderna, com o intuito de trazer para o ensino secundário parte do conteúdo do

ensino superior (SILVA e SILVA, 2012).

A modernização do ensino de matemática teve início no final do século XIX e

início do século XX na Europa e nos Estados Unidos, tal movimento deu-se pela

necessidade da indústria por mão de obra qualificada. As reformas começaram a ser

discutidas no Brasil em 1912, resultando em 1929 a unificação da álgebra, aritmética

e geometria em uma disciplina denominada Matemática, sendo esta lecionada no

Colégio Dom Pedro II, e posteriormente outros colégios aderiram ao mesmo

processo didático-pedagógico (MENESES, 2007).

A partir de 1931, sendo designado pelo presidente Getúlio Vargas, Francisco

Campos, iniciou a modernização do ensino em âmbito nacional, para tanto contou

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com a ajuda de Euclides Roxo, diretor do Colégio Dom Pedro II. Esta modernização

faria com que o Ensino Secundário passasse de preparatório para os testes de

admissão no Ensino Superior, para formação do indivíduo para exercer as diferentes

funções na sociedade da época (DASSIE, ROCHA,2003)

Euclides Roxo publicou livros que se tornaram guias para as aulas de

matemática, em que levava o aluno a fazer experiências e a partir daí construir seu

conhecimento. No entanto, as obras de Roxo não foram aceitas em sua maioria e a

modernização teve como resultado uma disciplina dividida nas três áreas que de

início tentava-se unificar (MENESES, 2007).

A reforma Francisco Campos foi substituída, em 1942, pela Lei Orgânica do

Ensino Secundário, as reformulações foram feitas por Gustavo Capanema, já no

regime militar. Nesta reforma o professor Euclides Roxo também teve influência nas

reformulações, porém aos militares não agradavam suas ideias (MENESES, 2007).

A reforma Gustavo Capanema vigorou até o ano de 1961, com a aprovação

da Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional, sendo que na década de 60,

com o Movimento da Matemática Moderna, grandes mudanças ocorreram no ensino

de Matemática.

No Movimento da Matemática Moderna as aulas de matemática eram

carregadas de formalismo, onde predominava a Teoria dos Conjuntos. Com esta

carga excessiva de simbolismo foi deixado de lado a aplicabilidade do que se

aprende (SILVA e SILVA, 2012).

1.2 GEOMETRIA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

Atualmente ainda podemos perceber certa dificuldade dos professores em

ensinar Geometria, visto que ela foi deixada em segundo plano com as mudanças

que ocorreram com o Movimento da Matemática Moderna. Estudos de Pavanello

(1993), Barbosa (2008) e Fonseca (2011), mostram que a Geometria é pouco

estudada, muitas vezes sem ligação com o cotidiano do aluno.

Apesar disso muitos trabalhos vêm sendo publicados em relação ao ensino

de Geometria e o tema vem sendo discutido em encontros de Educação

Matemática. Com isso, defende-se que a utilização de novas metodologias para o

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ensino da matemática pode contribuir de forma positiva no ensino de geometria.

Sendo que No trabalho desenvolvido as tarefas propostas não baseadas em

Investigação Matemática e a utilização de Mídias Tecnológicas.

1.3 INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA

Ao elaborarmos atividades de investigações matemáticas, precisamos

primeiramente entender os aspectos que caracterizam uma atividade investigativa.

Assim, faremos algumas considerações teóricas acerca dessa abordagem

metodológica, visto que esta metodologia é uma das bases deste trabalho.

As concepções de investigação remetem a analisar, pesquisar, examinar,

buscar evidências. Para Ponte Brocardo e Oliveira (2009), tais concepções se

relacionam ao trabalho de um matemático que com empenho estuda um objeto

matemático, conhecido ou não, descobrindo relações ou propriedades, demandando

dedicação, criatividade e tempo.

Para esses autores o professor não deve levar para a sala de aula

atividades mirabolantes ou muito complexas para caracteriza-la como Investigação,

mas sim levar o aluno a assumir o papel de matemático, trabalhando com problemas

que o interessem, gerando dúvidas e fazendo-o fundamentar seus resultados para

que seja verdadeiro e tenha lógica.

Nestes trabalhos podemos perceber que uma atividade de Investigação

Matemática segue quatro etapas Na primeira etapa o matemático identifica o

problema, explora a situação e estabelecem questões a serem respondidas. Na

segunda etapa os dados são organizados para que possam ser estabelecidas

hipóteses. Na terceira etapa, o matemático testa suas hipóteses, mantendo-as ou

descartando-as ou reformulando para novos testes. E finalmente o trabalho é

apresentado aos demais, nesta etapa são apresentadas a argumentação, a

demonstração e a avaliação do trabalho realizado (PONTE, BROCARDO,

OLIVEIRA, 2009, p. 21).

Além disso, a investigação deve estar ao alcance dos alunos, tendo em vista

que os alunos levantarão hipóteses que devem ser testadas e provadas.

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1.4 INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA EM SALA DE AULA

O que era percebido a bastante tempo é que há uma grande dependência

do Livro Didático. Em Rodrigues (1985, p. 87) já havia esta preocupação, segundo

ele o professor “se recusa ao exercício do pensamento quando julga que sua única

tarefa é transmitir um programa preparado de fora, pelo serviço de supervisão ou

pela editora que veicula o livro didático”.

Em trabalhos mais recentes, de Skovsmose (2000) e Alrø e Skovsmose

(2006) temos a mesma constatação, os autores destacam que o livro texto tem

papel central e o professor desempenha um trabalho rotineiro seguindo o

planejamento do livro, apresentando um conteúdo, fornecendo um exemplo e por fim

os alunos resolvem exercícios.

Esta forma de agir em sala de aula pode levar o aluno a pensar que

qualquer problema matemático tem apenas uma solução, não o fazendo refletir

sobre suas respostas. Além disso, pode sentir-se não valorizado pela sua produção

e não aprende com o erro, já que não há reflexão do caminho até chegar à resposta

e, assim, quando estiver errada basta copiar a correta.

Ao se propor, desenvolver atividades de investigação matemática em sala

de aula pode surgir certa insegurança por parte do professor, tendo em vista que

não existe uma “receita” pronta que se encaixe em qualquer contexto. Podem

também surgir dúvidas na forma de conduzir a aula e, que atitudes tomar perante as

dúvidas dos alunos.

Em uma atividade investigativa o aluno deve apresentar uma postura mais

ativa, pois é ele quem deve pesquisar formular hipóteses, testá-las e tentar prová-las

com a ajuda do professor. Para Skovsmose (2000), atividades investigativas podem

levar o aluno desconstruir sua ideia de resolução de exercícios, levando-o a

empenhar-se em encontrar a solução de problemas e, assim torna-se sujeito ativo

no processo de aprendizagem.

Nas Diretrizes e Bases da Educação Básica de Matemática (DCE, 2008)

consta que os processos pedagógicos devem levar o aluno analisar, formular

conjecturas, encontrar regularidades e conseguir explicar por meio de uma

linguagem apropriada seus resultados. Os aspectos apontados podem também

serem observados quando são propostas tarefas investigativas em sala de aula.

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Comumente podemos observar o receio de professores em dar autonomia

para que o aluno estude determinado conteúdo, seja pelo planejamento das aulas

ou pelo tempo que pode demandar. Em se tratando de Investigação Matemática

seria minimamente possível planejar quanto tempo o aluno demoraria a desenvolver

a atividade.

1.5 PROBLEMAS MATEMÁTICOS E INVESTIGAÇÃO

A fim de facilitar a compreensão e visualização de conceitos geométricos,

utiliza-se neste trabalho construções feitas no software GeoGebra em sua versão

5.0, qual permite a visualização em sua janela 3D. Tais construções são utilizadas

para que alunos respondam algumas tarefas com objetivos propostos.

Pretende-se com as tarefas propostas que os alunos façam uso daquilo que

eles mesmos construíram para facilitar o próprio trabalho, não descaracterizando a

Investigação De acordo com Ponte, Brocardo e Oliveira (2009, p.16), a relação entre

problema e investigação é estreita, pois “uma investigação matemática desenvolve-

se usualmente em torno de um ou mais problemas. Pode mesmo dizer-se que o

primeiro grande passo de qualquer investigação é identificar claramente o problema

a resolver”.

Matemática. Já que são os alunos que escolherão por quais caminhos

percorrer a fim de encontrar as soluções para o que lhe é solicitado.

1.6 USO DE SOFTWARES EM SALA DE AULA

É função do professor analisar e escolher o tipo de software que mais se

adapta ao que será trabalhado. Para D’Ambrósio (2010) muitos profissionais ainda

apresentam algum receio quanto à inserção das tecnologias em sala de aula, sendo

um equívoco, pois a disponibilidade e incorporação das tecnologias nas aulas são

fundamentais para tornar a matemática uma ciência de hoje.

A utilização de um software educacional neste trabalho torna-se uma

ferramenta para que os alunos consigam investigar, por meio do que construíram,

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possibilitando manipular tais construções e de acordo com seus conhecimentos

realizar as tarefas propostas.

São várias as razões que levaram a escolha do software GeoGebra para ser

utilizado nesta proposta de ensino. A primeira é o fato de este programa ser

compatível com o sistema operacional disponível nas escolas da rede pública do

Paraná, para a sua instalação ou atualização basta estar ligado à rede. Além disso,

é um programa de fácil entendimento.

1.7 SOBRE O SOFTWARE GEOGEBRA

O GeoGebra é um software de matemática dinâmico, criado em 2001 pelo

professor Markus Hohenwarter. Este software é gratuito e reúne recursos de

geometria, álgebra e cálculo. Está disponível para download em

https://www.geogebra.org/ sendo compatível com os diferentes sistemas

operacionais.

Este programa possui uma série de comandos que possibilitam diversas

construções. Neste caso possibilitou a construção dos Sólidos Geométricos e a

visualização da planificação dos sólidos de Platão, já que recentemente foi

disponibilizada a versão 5.0 do software onde foi inserida uma janela de visualização

3D. A partir disso, são apresentadas sugestões de atividades de Investigação

Matemática que utilizam as construções feitas.

https://www.geogebra.org/

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2 CONSTRUÇÕES NO SOFTWARE GEOGEBRA

A partir das construções descritas a seguir serão propostas tarefas que

poderão ser utilizadas em sala de aula. Tais construções poderão ser feitas pelos

alunos ou o serem fornecidas prontas para que manipulem, investiguem e

respondam as questões. Ressalta-se que todas as construções devem estar abertas

para que o aluno possa alternar entre as construções quando achar necessário.

A construção no software poderá despertar no aluno a curiosidade em saber

como o programa procede para fornecer o resultado observado na tela, e algumas

construções para serem feitas necessitam de conceitos de quem manipula o

programa. Frota e Borges (2008) ressaltam a importância de incorporar tecnologias,

mudando a forma de fazer e o pensar matemático, onde, acreditam que estes

instrumentos podem ser potentes ferramentas de ensino de Matemática. Os autores

chamam de “matematizar a tecnologia”.

As construções referentes aos sólidos geométricos e suas planificações

foram feitas baseadas em construções prontas disponíveis no site do GeoGebra

https://www.geogebra.org/. E as construções em que os sólidos são compostos de

pirâmides e suas animações são resultado de testes realizados no software.

2.1 CONSTRUÇÃO BASE PARA OS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

Para construir os sólidos geométricos no GeoGebra devem-se seguir os

procedimentos base. Primeiramente, aberto o software, no “menu” exibir clicar em

“Janela de Visualização 3D”:

https://www.geogebra.org/

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Figura 1 - Exibir Janela de visualização 3D.

Fonte: O autor.

Após clicar em “Janela de Visualização 3D” aparecerá no lado direito da tela

a janela onde estão presentes três eixos e a região onde serão apresentadas as

construções em três dimensões:

Figura 2 - Janela de Visualização 3D.

Fonte: O autor.

Aberta a janela de visualização 3D, volta-se para a “Janela de Visualização”,

para construir dois pontos A e B, para tanto no “menu” clicar no ícone “Ponto”, como

ilustrado abaixo:

22

Figura 3 - Ícone "Ponto" no menu.

Fonte: O autor.

Para construir os pontos A e B basta clicar com o cursor em quaisquer dois

pontos na “Janela de Visualização”, como mostra a figura que segue:

Figura 4 - Construção de dois pontos.

Fonte: O autor.

Após clicando no ícone “Ajuda”, localizado no canto inferior direito da tela e

em “3D”, apresentam-se comandos que podem ser utilizados para facilitar as

construções:

23

Figura 5 - ícone Ajuda.

Fonte: O autor.

Os comandos sugeridos pelo software poderão ser copiados na caixa de

entrada para facilitar as construções.

2.2 CONSTRUÇÃO DO TETRAEDRO REGULAR E SUA PLANIFICAÇÃO NO

GEOGEBRA

Para as construções dos Sólidos Geométricos Regulares, neste trabalho,

faz-se uso dos comandos sugeridos no ícone “ajuda”. Sendo aberta a janela de

“ajuda” clicar em “3D” e após em “tetraedro”, abaixo estarão indicadas sugestões de

comandos para construir um tetraedro, neste caso será utilizado o comando

“Tetraedro [<Ponto>,<Ponto>]”, pois se pode construir o Tetraedro a partir dos

pontos A e B, construídos previamente:

24

Figura 6 - Sugestão de construção do Tetraedro

Fonte: O autor.

Copiando o comando “Tetraedro [<Ponto>,<Ponto>]” para a caixa de

entrada, apagando [<Ponto>,<Ponto>], digitando no lugar [A, B] e clicando em

“enter”:

Figura 7 - Construção do Tetraedro

Fonte: O autor.

Para melhorar a visualização da construção poderão ser retirados os rótulos

dos segmentos e dos pontos dos vértices do Tetraedro. Clicando em “Segmento” na

“Janela de Álgebra”, com o botão direito do mouse aparecerá um “menu” onde

deverá ser clicado em “Exibir Rótulo” para que os nomes dos segmentos sejam

25

apagados. O mesmo poderá ser feito clicando em “Ponto”, para apagar os nomes

dos vértices do Tetraedro.

Para colorir basta clicar com o botão direito do mouse sobre o “Tetraedro”,

na janela de álgebra e em propriedades selecionar a cor desejada.

Após clicando no “menu”, clicar em “Controle Deslizante”, criar um controle

deslizante b com mínimo 0, máximo 1 e incremento 0.01, e aplicar:

Figura 8 - Controle Deslizante para Planificação do Tetraedro

Fonte: O autor.

O controle deslizante construído será utilizado para animar a planificação do

sólido. Para obter a planificação do sólido basta clicar no menu “Ajuda”, após em

“3D” e em “Planificação”. Será utilizada a sugestão [<Poliedro>,<Número>]:

Figura 9 - Entrada para Planificação do Tetraedro

Fonte: O autor.

26

Copiando a sugestão na caixa de entrada, apagando

[<Poliedro>,<Número>], digitando no lugar [a, b] e clicando em “enter” poderá ser

visualizada a Planificação do Tetraedro:

Figura 10 - Planificação do Tetraedro

Fonte: O autor.

Clicando com o botão direito do mouse no controle deslizante e em animar a

planificação será animada em um movimento de abre e fecha. Se necessário o

Tetraedro poderá ser apagado clicando com o botão direito do mouse em

“Tetraedro” e em “Exibir Objeto”, assim aparecerá apenas a planificação no

movimento de abre e fecha.

Sendo o Tetraedro uma Pirâmide Regular, para as deduções que serão

propostas no próximo capítulo esta é a construção que será utilizada, pois os

próximos sólidos serão divididos em pirâmides para que possivelmente os alunos

consigam deduzir as fórmulas para o cálculo do volume dos sólidos regulares mais

facilmente.

2.3 DESCRIÇÃO DAS CONSTRUÇÕES REFERENTES AO CUBO NO

GEOGEBRA

Aberta a janela de ajuda clicar em “3D” e após em “cubo”, abaixo estarão

indicadas sugestões de comandos para construir um cubo, neste caso será utilizado

27

o comando “Cubo [<Ponto>,<Ponto>]”, pois se pode construir o cubo a partir dos

pontos A e B, construídos previamente:

Figura 11 - Sugestão para construção do Cubo

Fonte: O autor.

Copiando o comando na caixa de entrada e no lugar de [<Ponto>,<Ponto>]

digitar [A, B] e clicar em “enter”, poderá ser visualizado o cubo na “Janela de

Visualização 3D”.

Figura 12 - Construindo um Cubo a partir de dois pontos

Fonte: O autor.

Para melhorar a visualização da construção poderão ser retirados os rótulos

dos segmentos e dos pontos dos vértices do cubo. Clicando em “Segmento” na

28

“Janela de Álgebra”, com o botão direito do mouse aparecerá um “menu” onde

deverá ser clicado em “Exibir Rótulo” para que os nomes dos segmentos sejam

apagados. O mesmo poderá ser feito clicando em “Ponto”, para apagar os nomes

dos vértices do cubo.

Para colorir basta clicar com o botão direito do mouse sobre o “Cubo”, na

janela de álgebra e em propriedades selecionar a cor desejada.

Após no “menu” clicar em “Controle Deslizante”, criar um controle deslizante

b com mínimo 0, máximo 1 e incremento 0.01, e aplicar:

Figura 13 - Controle Deslizante para a Planificação do Cubo

Fonte: O autor.

O controle deslizante construído será utilizado na animação da planificação

do sólido. Para obter a planificação do sólido basta clicar no menu “Ajuda”, após em

“3D” e em “Planificação”. Será utilizada a sugestão de construção Planificação

[<Poliedro>,<Número>]:

29

Figura 14 - Entrada para a Planificação do Cubo

Fonte: O autor.

Copiando a sugestão na caixa de entrada, apagando

[<Poliedro>,<Número>], digitando no lugar [a, b] e clicando em “enter” poderá ser

visualizada a Planificação do Cubo:

Figura 15 - Planificação do Cubo

Fonte: O autor.


planificação será animada em um movimento de abre e fecha, para a divisão do

Cubo em Pirâmides o sólido será apagado clicando com o botão direito do mouse

30

em “Cubo” e em “Exibir Objeto”, assim aparecerá apenas a planificação no

movimento de abre e fecha.

Figura 16 - Planificação sem o sólido

Fonte: O autor.

Após será construída uma pirâmide em cada um dos polígonos que formam

a Planificação do Cubo. Para tanto será utilizado o menu Ajuda, em 3D, copiar o

comando Pirâmide [<Polígono>, <Altura>], sendo que é necessário identificar cada

um dos Polígonos com altura sempre 1, neste caso estão descritos no quadro

abaixo os comandos que deverão ser digitados na caixa de entrada seguidos de

“ente”:

Quadro 1- Comandos para construir as pirâmides na Planificação do Cubo

Pirâmide [faceIJKL, 1]

Pirâmide [faceIJRQ, 1]

Pirâmide [faceILNM, 1]

Pirâmide [faceJKTS, 1]

Pirâmide [faceKLVU, 1]

Pirâmide [faceMNOP, 1]

Fonte: O autor.

Digitando os comandos anteriores será apresentado na janela de

visualização 3D o seguinte resultado:

31

Figura 17 - Pirâmides construídas na Planificação do Cubo

Fonte: O autor.

Deixando de exibir os rótulos de todos os segmentos, clicando com o botão

direito do mouse no controle deslizante e em animação o movimento de abre e fecha

da Planificação levará junto às pirâmides construídas formando um cubo a partir

desta união.

Figura 18 - Formação do Cubo por Pirâmides

Fonte: O autor.

Para que as pirâmides se encontrem no mesmo ponto e formem um cubo é

necessário que a altura de cada pirâmide seja a metade da medida do lado do cubo,

isto é, em um Cubo cuja medida do lado é 𝑙 a medida da altura da pirâmide a ser

digitada na caixa de entrada é 𝑙

2.

32

2.4 CONSTRUÇÃO DO OCTAEDRO REGULAR E SUA PLANIFICAÇÃO NO

GEOGEBRA

Será utilizada para esta construção a sugestão disponibilizada no ícone

“Ajuda”, Octaedro [<Ponto>,<Ponto>], copiando esta sugestão para a caixa de

entrada:

Figura 19 - Sugestão de comando para o Octaedro

Fonte: O autor.

Apagando [<Ponto>,<Ponto>], digitando em seu lugar [A, B] e clicando em

“enter” poderá ser visualizado o Octaedro:

Figura 20 - Octaedro Regular

Fonte: O autor.

33

Após Apagar os rótulos dos segmentos, dos vértices e colorindo o sólido

construído, construir um controle deslizante b com mínimo 0, máximo 1 e incremento

0.01, seguindo os comandos descritos para os sólidos anteriores:

Figura 21 - Controle deslizante do Octaedro.

Fonte: O autor.

Após clicar em aplicar, construir a planificação do Octaedro realizando os

comandos descritos para outros sólidos utilizando o menu Ajuda no canto inferior

direito.

Figura 22 - Planificação do Octaedro.

Fonte: O autor.

Apagando os rótulos dos segmentos, dos vértices e colorindo:

34

Figura 23 - Animação da Planificação do Octaedro.

Fonte: O autor.


planificação será animada em um movimento de abre e fecha. Se necessário o

Sólido poderá ser apagado clicando com o botão direito do mouse em “Octaedro” e

em “Exibir Rótulo”, assim aparecerá apenas a planificação no movimento de abre e

fecha.

2.5 CONSTRUÇÃO DE PIRÂMIDES FORMANDO O OCTAEDRO

Diferentemente dos outros sólidos regulares, para conseguir o mesmo efeito

do movimento de pirâmides para formar o Octaedro não será utilizada a construção

de sua planificação, mas sim utilizando a planificação de dois cubos. Tais cubos

devem ter uma face em comum, para isso constrói-se quatro pontos:

35

Figura 24 - Pontos para construção dos Cubos.

Fonte: O autor.

Após deve-se construir dois cubos utilizando os comandos “Cubo [A, B]” e

“Cubo [C, D]”:

Figura 25 - Construção dos Cubos.

Fonte: O autor.

Em seguida construir um controle deslizante c com mínimo 0, máximo 1 e

incremento 0.01. Utilizando este controle na construção das planificações dos dois

Cubos, utilizando os comandos Planificação [a, c] e Planificação [b.c]:

36

Figura 26 - Planificação dos cubos.

Fonte: O autor.

Em seguida apagar os dois cubos e identificar os polígonos que com a

animação da planificação se encontrarem na face comum aos dois cubos:

Figura 27 - Polígonos das planificações utilizados

Fonte: O autor.

Em seguida apagar os objetos restantes:

37

Figura 28 - Polígonos que sobram.

Fonte: O autor.

Apagando todos os outros polígonos, no menu polígono da Janela de

Visualização, construir os polígonos 𝑈1𝑉1𝑊1𝑍1 e 𝑉1𝐴2𝐵2𝑊1 clicando nos vértices dos

dois polígonos que restaram das planificações:

Figura 29 - Polígonos construídos

Fonte: O autor.

Em seguida construir duas pirâmides utilizando os comandos “Pirâmide

[pol1, 2]” e “Pirâmide [pol2, 2]”, ou seja, utilizando o comando “Pirâmide

[<Polígono>,<Altura>]”:

38

Figura 30 - Pirâmides para compor o Octaedro

Fonte: O autor.

Deixando de exibir os rótulos dos segmentos, colorindo as pirâmides e

animando o controle deslizante teremos como resultado um octaedro formado por

duas pirâmides:

Figura 31 - Octaedro formado por Pirâmides

Fonte: O autor.

Para que as duas pirâmides formem o Octaedro a altura delas devem ter a

mesma medida do lado do Cubo inicial, ou seja, caso construa um Cubo de lado 𝑙 a

altura da pirâmide deve medir 𝑙 também.

2.6 DESCRIÇÃO DAS CONSTRUÇÕES REFERENTES AO DODECAEDRO


“Ajuda”, Dodecaedro [<Ponto>,<Ponto>], copiando esta sugestão para a caixa de

entrada:

39

Figura 32 - Comando para construção do Dodecaedro

Fonte: O autor.


“enter” poderá ser visualizado o Dodecaedro:

Figura 33 - Dodecaedro Regular

Fonte: O autor.



0.01, seguindo os comandos já descritos:

40

Figura 34 - Controle deslizante do Dodecaedro.

Fonte: O autor.

Após clicar em aplicar, construir a planificação do Dodecaedro realizando os

comandos já descritos utilizando o menu Ajuda no canto inferior direito:

Figura 35 - Planificação do Dodecaedro.

Fonte: O autor.


41

Figura 36 - Animação da Planificação do Dodecaedro.

Fonte: O autor.



Dodecaedro em Pirâmides o sólido será apagado clicando com o botão direito do

mouse em “Dodecaedro” e em “Exibir Objeto”, assim aparecerá apenas a

planificação no movimento de abre e fecha.

Figura 37 - Somente planificação do Dodecaedro

Fonte: O autor.

Em seguida construir uma pirâmide em cada polígono que forma a

planificação. Para tanto será utilizado o comando Pirâmide [<Polígono>, <Altura>],

sendo que é necessário identificar cada um dos Polígonos com altura sempre 2.23,

42

neste caso estão descritos no quadro abaixo os comandos que deverão ser

digitados na caixa de entrada seguidos de “ente”:

Quadro 2 - Comandos para construir as Pirâmides na Planificação do Dodecaedro

Pirâmide [face1, 2.23] Pirâmide [face7, 2.23]






Fonte: O autor.



Figura 38 - Pirâmides construídas na Planificação do Dodecaedro

Fonte: O autor.



da Planificação levará junto às pirâmides construídas formando um dodecaedro a

partir desta união.

43

Figura 39 - Dodecaedro formado por Pirâmides

Fonte: O autor.

Para encontrar a altura da pirâmide poderá ser feita a construção no

Dodecaedro, ligando dois segmentos a dois vértices opostos e marcando sua

interseção. Após ligando o centro do circulo circunscrito ao pentágono da base ao

ponto de interseção anterior encontra-se o valor da altura da pirâmide.

2.7 DESCRIÇÃO DAS CONSTRUÇÕES REFERENTES AO ICOSAEDRO NO

GEOGEBRA


“Ajuda”, Icosaedro[<Ponto>,<Ponto>], copiando esta sugestão para a caixa de

entrada:

Figura 40 - Comando para construção do Icosaedro.

Fonte: O autor.


“enter” poderá ser visualizado o Icosaedro:

44

Figura 41 - Icosaedro Regular

Fonte: O autor.



0.01, seguindo os comandos já descritos:

Figura 42 - Controle deslizante do Icosaedro.

Fonte: O autor.

Após clicar em aplicar, construir a planificação do Icosaedro realizando os

comandos já descritos utilizando o menu Ajuda no canto inferior direito:

45

Figura 43 - Planificação do Icosaedro.

Fonte: O autor.


Figura 44 - Animação da Planificação do Icosaedro.

Fonte: O autor.



Icosaedro em Pirâmides o sólido será apagado clicando com o botão direito do

mouse em “Icosaedro” e em “Exibir Objeto”, assim aparecerá apenas a planificação

no movimento de abre e fecha.

46

Figura 45 - Somente planificação do Icosaedro

Fonte: O autor.

Em seguida construir uma pirâmide em cada polígono que forma a

planificação. Para tanto será utilizado o comando Pirâmide [<Polígono>, <Altura>],

sendo que é necessário identificar cada um dos Polígonos com altura sempre 2.23,

neste caso estão descritos no quadro abaixo os comandos que deverão ser

digitados na caixa de entrada seguidos de “ente”:

Quadro 3 - Comandos para construção de pirâmides na planificação do Icosaedro.

Pirâmide [faceMNO, 1.55] Pirâmide [face1, 1.55]

Pirâmide [faceMNV, 1.55] Pirâmide [face2, 1.55]

Pirâmide [faceMOP, 1.55] Pirâmide [face3, 1.55]

Pirâmide [faceMPQ, 1.55] Pirâmide [face4, 1.55]

Pirâmide [faceMVW, 1.55] Pirâmide [face5, 1.55]

Pirâmide [faceOPT, 1.55 ] Pirâmide [face6, 1.55]

Pirâmide [facePQR, 1.55] Pirâmide [face7, 1.55]

Pirâmide [facePTU, 1.55] Pirâmide [face8, 1.55]

Pirâmide [faceQRS, 1.55] Pirâmide [face9, 1.55]

Pirâmide [faceVWZ, 1.55] Pirâmide [face10, 1.55]

Fonte: O autor.



47

Figura 46 - Pirâmides construídas na Planificação

Fonte: O autor.



da Planificação levará junto às pirâmides construídas formando um icosaedro a

partir desta união.

Figura 47 - Icosaedro composto de Pirâmides

Fonte: O autor.

Para encontrar a altura da pirâmide poderá ser feita a construção no

Icosaedro, ligando dois segmentos a dois vértices opostos e marcando sua

interseção. Após ligando o baricentro da base ao ponto de interseção anterior

encontra-se o valor da altura da pirâmide.

48

3 PROPOSTA DE ENSINO

Com base nas construções realizadas no software GeoGebra 3D em sua

versão 5.0 e utilizando os conceitos de Investigação Matemática, descreve-se a

seguir tarefas que poderão ser utilizados para ensinar os conceitos de Geometria

Espacial, mais especificamente os Sólidos Regulares.

Com as construções e tarefas apresentadas nesta Proposta espera-se que

os alunos possam desenvolver sua percepção espacial, reconhecer as figuras

geométricas que compõe as faces dos sólidos, compreender as representações

bidimensionais e tridimensionais dos sólidos e encontrar uma lei que possa ser

utilizada para calcular o volume de sólidos regulares.

São apresentadas quatro tarefas, sendo as duas primeiras propostas com o

intuito de introduzir os conceitos de Geometria Espacial, nas quais os alunos

investigam as construções dos sólidos geométricos regulares.

Após, na tarefa 3, utilizam-se as planificações dos sólidos para que os

alunos investiguem a área lateral dos Sólidos Regulares e possam apresentar as

generalizações para elas.

E na última tarefa, utilizando as pirâmides construídas nas planificações, os

alunos podem apresentar as fórmulas para o cálculo do volume dos Sólidos

Geométricos Regulares.

3.1 PRIMEIRA TAREFA

De início o professor poderá propor aos alunos uma tarefa, a fim de que

identifiquem o polígono da face e a quantidade de faces que o sólido regular possui:

49

Quadro 4 - Tarefa 1.

Tarefa 1

Complete o quadro abaixo:

POLIEDRO REGULAR FIGURA DA FACE QUANTIDADE DE

LADOS

TETRAEDRO Triângulos equiláteros 4

CUBO Quadrados 6

OCTAEDRO Triângulos equiláteros 8

DODECAEDRO Pentágonos regulares 12

ICOSAEDRO Triângulos equiláteros 20

Fonte: O autor.

Como sugestão de sistematização da tarefa, após os alunos a concluírem, o

professor deve estabelecer uma ordem para a apresentação dos resultados,

tomando cuidado para que no decorrer das apresentações as ideias apresentadas

pelos alunos complementem o da apresentação anterior, obtendo no final um

conceito formalizado ou algo que se aproxime.

Por fim o professor deverá juntamente com os alunos, fazendo uso dos

conceitos apontados nas apresentações, formalizar no quadro a matéria para os

alunos deixarem registradas no caderno. Para tanto poderão ser utilizadas algumas

definições.

3.2 DEFINIÇÕES DE POLÍGONOS

Segundo Dolce e Pompeo (2005) dada uma sequência de pontos, todos

distintos, 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛, sendo 𝑛 ≥ 3 e três pontos consecutivos não colineares,

considerando consecutivos os pontos 𝐴𝑛−1, 𝐴𝑛 e 𝐴1, ou seja, lados dois a dois que

possui um vértice consecutivo.

Chama-se polígono á reunião dos segmentos 𝐴1𝐴2, 𝐴2𝐴3 , … , 𝐴𝑛−1𝐴𝑛, 𝐴𝑛𝐴1

.

Os pontos 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛, são denominados vértices do polígono, os segmentos

𝐴1𝐴2, 𝐴2𝐴3 , … , 𝐴𝑛−1𝐴𝑛, 𝐴𝑛𝐴1

são denominados lados do polígono e sendo Â1 =

50

𝐴𝑛Â1𝐴2, Â2 = 𝐴1Â2𝐴3, … , Â𝑛 = 𝐴𝑛−1Â𝑛𝐴1, Â1, Â2, … , 𝐴𝑛 são denominados ângulos do

polígono (DOLCE, POMPEO, 2005).

Outros aspectos importantes de polígonos que podem ser evidenciados

durante a formalização da tarefa, são:

Dois lados consecutivos possuem um vértice em comum;

Lados não consecutivos não possuem vértices comuns;

Dois ângulos consecutivos possuem um lado em comum;

Um polígono possui 𝑛 lados, 𝑛 vértices e 𝑛 ângulos.

Podem ser trabalhados os conceitos de polígonos regulares e irregulares,

sendo que polígonos regulares são equiláteros e equiângulos, ou seja, possui a

medida de lados e ângulos congruentes entre si, e polígonos irregulares são todos

os que não são regulares. Este conceito é importante para que os alunos percebam

que os lados dos sólidos geométricos regulares são figuras regulares, ou seja,

triangulo regular, quadrado, e pentágono regular.

3.3 RELAÇÃO DE EULER

Após a apresentação e formalização das ideias o professor poderá fazer uso

das construções para trabalhar outros conceitos da Geometria em sala de aula.

Sugere-se que seja aplicada uma tarefa em que os alunos explorem as quantidades

de faces, arestas, vértices e ângulo entre as arestas, a fim de explorar a Relação de

Euler.

Caso os alunos apresentem alguma dificuldade nos conceitos de faces,

arestas, vértices e ângulo entre as arestas, o professor deverá relembrar estes

conceitos com os alunos.

Sendo as faces os lados que compõem o sólido, a aresta o segmento de

interseção entre as faces, os vértices são os pontos de interseção entre os vértices e

ângulo entre as arestas é a região formada por duas arestas com vértice comum

(DOLCE, POMPEO, 2005).

51

Apresenta-se a seguir um quadro em que os alunos deverão expressar a

quantidade de faces, de arestas, de vértices e de ângulos entre as arestas:


Tarefa 2: Relação de Euler

Complete o quadro a seguir:

Nome do

poliedro

Quantidade

de faces

Quantidade

de arestas

Quantidade

de vértices

Tetraedro 4 6 4

Cubo 6 12 8

Octaedro 8 12 6

Dodecaedro 12 30 20

Icosaedro 20 30 12

Fonte: O autor.

Completada a tabela o professor deverá solicitar aos alunos que investiguem

uma relação entre as quantidades encontradas. Com isso espera-se que os alunos

encontrem a Relação de Euler. Na qual, se um polígono possui 𝑉 vértices, 𝐴 arestas

e 𝐹 faces vale a relação:

𝑉 − 𝐴 + 𝐹 = 2

Ou seja, a quantidade de vértices, subtraída a quantidade de arestas e

adicionadas a quantidade de faces, obtém-se sempre resultado 2. Esta relação

poderá ser formalizada a partir da apresentação dos resultados dos alunos.

3.4 ÁREA LATERAL DOS SÓLIDOS REGULARES.

Utilizando as construções das planificações dos Sólidos Regulares, os

alunos poderão explorar para diferentes medidas dos lados dos sólidos e encontrar

uma fórmula para o cálculo da área lateral de cada sólido, podendo ser utilizado o

modelo abaixo:

52

Quadro 6 - Tarefa3.

Tarefa 3: Área lateral dos Sólidos Regulares

Complete o quadro a seguir:

NOME DO

SÓLIDO

POLÍGONO

DA FACE

CALCULO DA

ÁREA DO

POLÍGONO

COM LADO 2cm.

QUANTIDADE

DE FACES

ÁREA

TOTAL DA

LATERAL

DO SÓLIDO

Tetraedro TRIÂNGULO √3cm2 4 4√3cm2

Cubo QUADRADO 4cm2 6 24cm2

Octaedro TRIÂNGULO √3cm2 8 8√3cm2

Dodecaedro PENTÁGONO 12√25 + 10√5 12 144√25 + 10√5

Icosaedro TRIÂNGULO √3cm2 20 20√3cm2

Fonte: O autor.

Para esta tarefa o professor poderá disponibilizar tabelas, como o exemplo

apresentado, para que os alunos investiguem atribuindo diferentes medidas para o

lado dos sólidos, com o intuito de que ao final percebam que ao multiplicar a área da

figura da face pela quantidade de faces, obtém-se a área lateral do sólido.

Durante o andamento da investigação o professor poderá solicitar aos

alunos que utilizem a ferramenta “mostrar área” para os cálculos das áreas das

figuras das faces. Porém utilizando-se desta ferramenta os alunos não estarão

utilizando a generalização do cálculo para qualquer medida. Contudo o professor

poderá questionar ao aluno como o software calcula o valor.

Para a generalização os alunos poderão utilizar as fórmulas para os cálculos

das áreas de triângulos, quadrados e pentágonos que compõe os diferentes sólidos.

Sendo que, se os alunos não recordarem poderão buscar esta informação na

internet, caso o computador esteja ligado a rede, em livros ou o professor poderá

fornecer, visto que pretende-se com esta tarefa investigar a área lateral dos sólidos

e não a da figura da face, com isso, não descaracterizando a atividade investigativa.

53

Ao final dos testes espera-se que os alunos encontrem as seguintes

expressões:

Á𝑟𝑒𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑇𝑒𝑡𝑟𝑎𝑒𝑑𝑟𝑜 = 2 × (𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 × 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑒)

Á𝑟𝑒𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝐶𝑢𝑏𝑜 = 6 × 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒2

Á𝑟𝑒𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑂𝑐𝑡𝑎𝑒𝑑𝑟𝑜 = 4 × (𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 × 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑒)

Á𝑟𝑒𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝐷𝑜𝑑𝑒𝑐𝑎𝑒𝑑𝑟𝑜 = 3 × (𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒)2 × (√25 + 10√5)

Á𝑟𝑒𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝐼𝑐𝑜𝑠𝑎𝑒𝑑𝑟𝑜 = 10 × (𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 × 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑒)

3.5 VOLUME DOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS REGULARES

Para que os alunos consigam deduzir a fórmula do volume dos sólidos o

professor deverá rever alguns conceitos sobre pirâmides, com ênfase no cálculo do

volume.

Quadro 7 - Pirâmide.

PIRÂMIDE

Consideremos um polígono convexo 𝐴1𝐴2 … 𝐴𝑛situado num plano 𝛼 e um

ponto e um ponto 𝑉 fora de 𝛼. Chama-se pirâmide à reunião dos segmentos com

um a extremidade em 𝑉 e outra nos pontos do polígono.

𝑉 é o vértice e o polígono 𝐴1𝐴2 … 𝐴𝑛, a base da pirâmide.

Pirâmide regular é uma pirâmide cuja base é um polígono regular e a

projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro da base. Numa

pirâmide regular as arestas laterais são congruentes e as faces laterais são

triângulos isósceles congruentes.

Volume de uma pirâmide qualquer

Seja B a área da base e h a medida da altura de uma pirâmide qualquer.

Esta pirâmide é soma de (n-2) tetraedros.

54

𝑉 = 𝑉𝑇1+ 𝑉𝑇2

+ ⋯ + 𝑉𝑇𝑛−2

𝑉 =1

3𝐵1ℎ +

1

3𝐵2ℎ + ⋯ +

1

3𝐵𝑛−2ℎ

𝑉 =1

3(𝐵1 + 𝐵2 + ⋯ + 𝐵𝑛−2)ℎ

𝑉 =1

3𝐵. ℎ

O volume de uma pirâmide é um terço do produto da área da base pela medida da altura.

Fonte: DOUCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos da Matemática Elementar: Geometria Espacial. 6. Ed. São Paulo: Atual, 2005.

A partir do que foi estudado sobre pirâmides o professor irá propor uma

tarefa em que os alunos deverão utilizar a fórmula do cálculo do volume da Pirâmide

e generalizar o cálculo do volume dos sólidos geométricos regulares. Segue

sugestão de tarefa:


Tarefa 4: volume dos sólidos

Considerando que o volume da Pirâmide é dado por:

𝑣𝑃𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 × 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

3

1) Com base construções do Tetraedro, Cubo, Octaedro, Dodecaedro e

Icosaedro. Encontre as fórmulas para calcular o volume de cada um dos

sólidos geométricos regulares:

Fonte: O autor.

Estando o aluno planejando como encontrar a solução para a tarefa, este

poderá atribuir valores e calcular o volume das pirâmides e apresentar como

55

resultado os valores encontrados, levando-se em consideração que na tarefa

anterior atribuía-se valores para o lado do sólido.

Caso o aluno apresente os valores como resposta o professor deve fazê-lo

refletir se aquele resultado é a generalização solicitada. Sendo necessário levar o

aluno a apresentar uma fórmula em que se pode atribuir qualquer valor.

De outro modo, os alunos poderão partir para a generalização utilizando a

fórmula do cálculo do volume da pirâmide, visto que a ideia de calcular para um lado

e multiplicar pela quantidade de lados assemelha-se com a ideia da tarefa anterior.

Tomando-se esta estratégia, caso o aluno apresente a generalização, o

professor deverá solicitar o teste desse resultado, pois em uma atividade

investigativa as hipóteses são testadas. Com isso o aluno poderá perceber, caso

ocorram, erros em seu resultado, possivelmente retornando ao problema para que

ao final possa apresentar sua generalização.

Espera-se que os alunos apresentem seus resultados próximos aos do

quadro abaixo:

Quadro 9 - Fórmulas para o cálculo do volume dos sólidos Geométricos Regulares.

CUBO 𝑉 = 6 × (𝐴𝐵 × 𝐻

3) 𝑉 = 2 × (𝐴𝐵 × 𝐻)

OCTAEDRO 𝑉 = 2 × (𝐴𝐵 × 𝐻

3) 𝑉 =

2 × (𝐴𝐵 × 𝐻)

3

DODECAEDRO 𝑉 = 12 × (𝐴𝐵 × 𝐻

3) 𝑉 = 4 × (𝐴𝐵 × 𝐻)

ICOSAEDRO 𝑉 = 20 × (𝐴𝐵 × 𝐻

3) 𝑉 =

20 × (𝐴𝐵 × 𝐻)

3

Fonte: O autor.

As tarefas descritas anteriormente são sugestões para a utilização das

construções descritas no trabalho, porém o professor deve ter autonomia para

decidir quanto a melhor forma de explorar elas em sala de aula.

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CONSIDERAÇÕES FINAIS

Deixar de lado um ensino pautado na repetição e memorização de fórmulas

e técnicas e fazendo do aluno o agente da construção de seu conhecimento é o que

se pretende ao aplicar as tendências em educação matemática em sala de aula.

Um trabalho como este oportuniza ao futuro professor a reflexão sobre a

prática docente, utilizando-se das teorias apresentadas durante toda a formação.

Neste caso com o enfoque na Investigação e Mídias na educação, levando-o, ainda,

a querer aplicar aquilo que foi ensinado, pois muitas dúvidas são sanadas no

decorrer da pesquisa.

A preocupação em levar para a sala de aula uma forma menos complicada

para o aluno compreender determinado conceito, leva o futuro professor ou o

profissional que já atua em sala de aula a sair de sua zona de conforto e arriscar e

modificar sua forma de ministrar aulas.

Segundo as Diretrizes da Educação Básica (2008), as tendências

metodológicas do ensino da Matemática não esgotam, individualmente, todas as

possibilidades para realizar com eficácia o complexo processo de ensinar esta

disciplina, por isso, indica que sempre que possível é interessante que elas sejam

articuladas.

Neste trabalho pensar na articulação entre Investigação Matemática e

Mídias na Educação, possibilitou a reflexão da forma como planejar isso para ser

aplicado em sala de aula. Principalmente pelo fato de ser um trabalho orientado,

visto que, possivelmente em outras situações aquele que está em inicio de carreira

não dispõe de orientação quanto à aplicação das tendências em sala de aula,

contando apensas com a teoria.

A descrição das construções e a reflexão sobre as novas possibilidades de

utilização dos comandos do software GeoGebra, possibilita maior compreensão

deste programa educacional e da sua utilização em sala de aula. Visto que para

ensinar por este meio o profissional deve ter familiaridade com esta ferramenta.

Construindo ou manipulando construções, podem levar o aluno a investigar,

com base no que já sabe descobrir e se apropriar de novos conceitos, sendo que o

professor deverá utilizar-se disso para que seus objetivos também sejam

alcançados.

57

Portanto, o desenvolvimento deste trabalho enriquece ainda mais a

formação, além de servir de base para consulta de outros profissionais que queiram

aplicá-lo em suas aulas.

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REFERÊNCIAS

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