faculdade estadual de filosofia, ciÊncias e letras de...

FACULDADE ESTADUAL DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS DE UNIÃO DA VITÓRIA

COLEGIADO DE MATEMÁTICA

CARLA JULIANA PRINCIVAL

O USO DOS SOFTWARES BR. OFFICE CALC E GEOGEBRA NO ENSINO DE FUNÇÕES QUADRÁTICAS

UNIÃO DA VITÓRIA 2012

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CARLA JULIANA PRINCIVAL

O USO DOS SOFTWARES BR. OFFICE CALC E GEOGEBRA NO ENSINO DE FUNÇÕES QUADRÁTICAS

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado para obtenção do grau de licenciada na Faculdade Estadual de Filosofia Ciências e Letras de União da Vitória, Área de Matemática.

Orientadora: Profª. Ms. Maria Ivete Basniak

UNIÃO DA VITÓRIA 2012

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AGRADECIMENTOS

A Deus, por permitir a conclusão de mais esta etapa em minha vida.

Aos meus pais, Luiz e Sandra, que além de apoiar todos os meus passos e

acreditar em meus sonhos, sempre se dedicaram à minha educação sem medir

esforços, sendo assim sem dúvida são os alicerces de minha vida. Amo vocês!

Aos meus irmãos, Vinícius e Douglas, que são, sem dúvidas, os melhores

irmãos e amigos do mundo. Pessoinhas que sempre cuidarei e amarei.

Aos avós, Bonifácio e Lúcia e Miguel e Joana, que além do apoio

abençoaram todos os momentos de minha vida.

Ao Daniel, pessoa com quem decidi iniciar uma nova etapa da vida, por toda

ajuda, paciência e amor.

A minha melhor amiga Joaide, que através da grande amizade me apoiou,

não só na elaboração deste trabalho, mas também em todos os momentos que

precisei. Muito obrigada.

A Prof. Ms. Maria Ivete Basniak, pela amizade e dedicação à orientação

deste trabalho, contribuindo com seus conhecimentos e sugestões. Além ainda do

incentivo e oportunidades dadas, que serei eternamente grata.

Aos professores do Colegiado pelos ensinamentos e ajuda, não só para a

elaboração deste trabalho, mas durante toda a graduação.

A todos que direta ou indiretamente contribuíram para a conclusão deste

trabalho.

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RESUMO

Aspectos da vida das pessoas são atingidos pelos progressos tecnológicos, como por exemplo, a Internet que alterou a noção de tempo e espaço através da comunicação entre pessoas de todas as partes do planeta a qualquer horário. Com isso, não se pode negar que a escola precisa adaptar-se a essas transformações que incidem na sociedade, formando indivíduos ativos e cientes dos desenvolvimentos tecnológicos que transcorrem no mundo. Este desenvolvimento também possibilita novas alternativas de ensino para desenvolver as habilidades demandadas das decorrentes mudanças sociais. O presente trabalho parte de pesquisa bibliográfica referente às Tecnologias de Informação e Comunicação (TICs) na educação abordando a importância da integração destas à prática docente, versando sobre as vantagens do correto uso destes recursos em especial os softwares no ensino de matemática. A partir destes estudos, desenvolveu-se uma proposta de ensino que utiliza os softwares Br. Office Calc e GeoGebra, para o ensino de Funções Quadráticas no primeiro ano do Ensino Médio. Ambos os softwares estão presentes nos computadores do programa PRD das escolas públicas paranaenses, e por se tratar de softwares livres pode ser feito download gratuito da internet e instalado em outros computadores. O Br. Office Calc encontra-se também nos computadores do ProInfo. Assim, pretende-se através do uso da tecnologia desenvolver atividades referentes ao tema proposto que estimulem a observação e o pensamento crítico dos alunos com relação aos conceitos matemáticos envolvidos. Relata-se ainda, a partir da aplicação de algumas atividades da proposta de ensino, os aspectos positivos e negativos do desenvolvimento das atividades em relação à aprendizagem dos alunos e ao andamento da aula. Palavras-chave: Tecnologia, Educação Matemática, Funções Quadráticas.

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LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 - Ilustração da correspondência unívoca entre domínio e imagem de uma

função qualquer. ........................................................................................................ 23

Figura 2 - Ilustração da distância de um ponto qualquer ao foco da parábola e ao

ponto de interseção de uma perpendicular baixada à reta. ....................................... 23

Figura 3 - Exemplo gráfico da variação do coeficiente a. .......................................... 24

Figura 5 - Exemplo gráfico da variação do coeficiente c. .......................................... 25

Figura 6 - Visualização do 4º passo do Roteiro de Atividades I. ............................... 29



Figura 9 - Visualização do 10º passo do Roteiro de Atividades I. ............................. 31

Figura 10 - Visualização do 11º passo do Roteiro de Atividades I. ........................... 32

Figura 11 - Visualização do 1º, 2º e 3º passos da atividade do Roteiro de atividades

II, Br. Office Calc. ...................................................................................................... 34

Figura 12 - Visualização do 6º passo do Roteiro de atividades II. ............................. 35

Figura 13 - Visualização do 1º e 2º passos da atividade do Roteiro de Atividades III.

.................................................................................................................................. 37

Figura 14 - Visualização do 3º passo da atividade do Roteiro de Atividades III. ....... 38

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LISTA DE QUADROS

Quadro 1 - Roteiro de Atividades I. ........................................................................... 27

Quadro 2 - Roteiro de Atividades II. .......................................................................... 33

Quadro 3 - Roteiro de Atividades III. ......................................................................... 36

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SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 8

2 TECNOLOGIAS DE INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO ...................................... 11

2.1 TECNOLOGIAS DE INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO E MATEMÁTICA .................. 14

2.1.1 Softwares no Ensino da Matemática ............................................................................. 17

2.1.1.1 Softwares Br. Office Calc e GeoGebra .................................................................. 18

3 FUNÇÕES QUADRÁTICAS .................................................................................. 21

3.1 GRÁFICOS DE FUNÇÕES QUADRÁTICAS ...................................................................... 22

4 UMA PROPOSTA DE USO DOS SOFTWARES BR. OFFICE CALC E

GEOGEBRA NO ENSINO DE FUNÇÕES QUADRÁTICAS ..................................... 26

4.1 ATIVIDADE I – ESTUDO DOS GRÁFICOS DE FUNÇÕES QUADRÁTICAS ............... 26

4.2 ATIVIDADE II – COEFICIENTES DA FUNÇÃO QUADRÁTICA COM A

UTILIZAÇÃODO BR.OFFICE CALC ........................................................................................... 32

4.3 ATIVIDADE III – COEFICIENTES DA FUNÇÃO QUADRÁTICA COM A UTILIZAÇÃO

DO GEOGEBRA ............................................................................................................................. 35

5 RELATO DE EXPERIÊNCIA ................................................................................. 40

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................... 49

REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 51

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1 INTRODUÇÃO

As tecnologias sempre estiveram presentes na história do desenvolvimento

humano, sendo desde os primórdios um dos principais artifícios para a sobrevivência

dos nossos antepassados perante as dificuldades impostas pela própria natureza.

Graças a esses engenhos como, por exemplo, a lança e o machado, utilizados em

guerras e para o sustento, entre tantos outros que podem ser citados, pudemos

continuar a desenvolver técnicas e tecnologias, não só a fim da sobrevivência, mas

também para nosso conforto e praticidade nas tarefas diárias. Porém surgiu outra

necessidade para o homem, como aborda Kenski (2007), a necessidade de registrar

conhecimentos e expressar opiniões e sentimentos, e para que isso fosse possível o

homem inventou uma tecnologia que existe como linguagem e não como material ou

instrumento.

Para que essa linguagem fosse empregada em diferentes tempos e lugares

foram desenvolvidos diferentes processos e produtos, ou seja, as tecnologias de

informação e comunicação “que são, em aspectos importantes, tecnologias

relacionadas não com os poderes físicos do ser humano, mas com seus poderes

mentais e, consequentemente, com a sua educação” (CHAVES, 1998, p. 21).

Pois bem, a utilização destas tecnologias provoca mudanças em vários

aspectos da sociedade, como Miskulin (2010) aborda, as TICs implicam novas

formas de criar, aprender e repassar o conhecimento.

Portanto, com todas estas mudanças, como a crescente utilização de

tecnologias de informação e comunicação, como a internet, para a obtenção de

informações, a escola não poderia ficar exclusa, uma vez que é o espaço destinado

à formação dos cidadãos, os quais precisam de conhecimento e preparação para

conseguir seu espaço na sociedade e desenvolver-se tanto como pessoa quanto

como profissional. Como aponta Chaves (1998, p.18) “dentro de pouco tempo, quem

não dominar a informática será equivalente ao semi-analfabeto de hoje: terá que se

contentar com uma profissão não qualificada”.

Programas governamentais disponibilizaram equipamentos de informação e

comunicação às escolas públicas do país. O programa federal ProInfo disponibilizou

computadores com acesso a internet a escolas da rede pública do país.No Estado

do Paraná, com o Programa Paraná Digital (PRD) além de computadores com

acesso a internet, as mais de duas mil escolas receberam televisores multimídia com

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entrada USB. Foram distribuídos ainda, pendrives aos professores, disponibilizados

cursos de aperfeiçoamento através da Secretária Estadual de Educação e

conteúdos didáticos no portal Dia a Dia Educação.

Estes equipamentos constituem-se poderosas ferramentas de ensino-

aprendizagem se utilizados corretamente, sendo recursos para uma metodologia de

ensino diferenciada, capaz de auxiliar a desenvolver no aluno sua criatividade, sua

capacidade de raciocinar, pensar, argumentar enfim, construir uma postura crítica

para tornar-se um cidadão ativo no âmbito social.

No contexto do ensino da matemática, os computadores em conjunto com os

softwares educacionais proporcionam possibilidades como, melhor visualização de

objetos matemáticos, agilidade em cálculos complexos, motivação por parte do

aluno, melhor compreensão de conceitos matemáticos, além de ser um meio do

professor, através de atividades, instigar seu aluno a pensar, raciocinar e participar

de forma ativa nas aulas.

A instância física de um sistema de representação afeta substancialmente a

construção de conceitos e teoremas. As novas tecnologias oferecem instâncias físicas em que a representação passa a ter caráter dinâmico, e isto tem reflexos nos processos cognitivos, particularmente no que diz respeito as concretizações mentais. Um mesmo objeto matemático passa a ter representação mutável, diferentemente da representação estática das instâncias físicas tipo "lápis e papel" ou "giz e quadro-negro". O dinamismo é obtido através de manipulação direta sobre as representações que se apresentam na tela do computador. (GRAVINA; SANTAROSA, 1998, p.10).

Visto a importância da integração das tecnologias à prática docente,

propõe-se neste trabalho atividades que auxiliem no ensino de funções quadráticas

através do uso de softwares. Utiliza-se os softwares Br. Office Calc, disponível nos

computadores PRD e ProInfo, e o GeoGebra, disponível nos computadores PRD,

mas que está disponível para download na internet, podendo assim ser utilizado nos

computadores ProInfo.

Algumas destas atividades foram realizadas com uma turma do primeiro ano

do ensino médio de um colégio público do município de União da Vitória no Estado

do Paraná, durante o período letivo do corrente ano, na realização do Estágio

Curricular Supervisionado, de acordo com as exigências para obtenção do grau de

licenciada em Matemática.

Assim, neste trabalho disponibiliza-se uma proposta que pretende auxiliar o

ensino de Funções quadráticas através do uso de softwares. Também se relata a

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aplicação das atividades I e II propostas, para que o professor que se interessar em

utilizar estas atividades em sua prática pedagógica tenha uma melhor visão de como

pode ser uma aula com a aplicação desta metodologia de ensino, observando os

pontos positivos e as dificuldades que podem ocorrer com relação ao andamento da

aula e a aprendizagem dos alunos. Com o relato, o professor também poderá avaliar

as atividades propostas com o perfil de sua turma e adaptá-las, se necessário.

Não se considera que a tecnologia por si só irá revolucionar a educação,

pois como aborda Brandt e Montorfano (s.d., p. 11) “o computador por si só não é

agente de nada. É evidente que o instrumento é importante, mas o que define o uso

do instrumento é a qualidade da interação professor X tecnologia.”

Para que as novas tecnologias não sejam vistas como apenas mais um modismo, mas com a relevância e o poder educacional transformador que possuem, é preciso que se reflita sobre o processo de ensino de maneira global. (KENSKI, 2007, p. 125).

Nesse contexto vemos a necessidade de as escolas ofertarem o uso

pedagógico desta realidade tecnológica, não para reforçar a massificação cultural

determinada pela mídia, mas como ferramenta educacional mediada pelo docente.

O qual deve utilizar os recursos de forma crítica, o que é fundamental para converter

as informações em conhecimento para os alunos, como sintetiza Andrade e Teruya

(s.d., p. 8).

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2 TECNOLOGIAS DE INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO

Sabe-se que o que distingue o ser humano dos outros animais é o uso do

raciocínio. Segundo Kenski (2007, p. 15), “o uso do raciocínio tem garantido ao

homem um processo crescente de inovações”. Observa-se que provavelmente foram

essas “inovações” que garantiram a sobrevivência da espécie humana, tendo em

vista sua fragilidade em relação a outras e à natureza. As inovações tecnológicas

cada vez mais sofisticadas e avançadas desencadeiam um processo de mudança.

“É pertinente a afirmação de que uma nova era, a era pós-civilização industrial, se

aproxima velozmente. [...] especialmente pelo surgimento de novos fatores de

mudança produzidos pelos avanços da ciência e da tecnologia.” (GIUSTINA, 2010,

p. 25). Neste contexto, denominamos tecnologia “ao conjunto de conhecimentos e

princípios científicos que se aplicam ao planejamento, à construção, e à utilização de

um equipamento em um determinado tipo de atividade”. (KENSKI, 2007, p. 24).

A afinidade entre tecnologia e poder na Idade da Pedra, quando os homens

utilizavam do raciocínio para sobreviver, permanece nos dias de hoje, pois países

desenvolvidos preocupam-se em aumentar seu poder político-econômico investindo

em pesquisas de inovações que garantam sua superioridade. (KENSKI, 2007, p. 16).

Em contrapartida;

É muito difícil de aceitar que apenas o atual momento em que vivemos possa ser chamado de “era tecnológica”. Na verdade, desde o início da civilização, todas as eras correspondem ao predomínio de um determinado tipo de tecnologia. Todas as eras foram, portanto, cada uma à sua maneira, “eras tecnológicas”. (KENSKI, 2003, p. 19).

A partir dessa reflexão, o atual momento tecnológico:

Em termos educacionais, particularmente nesta sociedade pós-industrial na qual a informação é figura central, o resultado é a re-construção de conhecimentos. Por conseguinte, a capacidade das redes de telecomunicações para possibilitar às pessoas, empresas e instituições de manterem-se informadas constitui-se no principal diferencial desta sociedade da informação. (ATOÉ; SILVA, 2005).

Ainda se referindo ao momento tecnológico que estamos vivendo e a

expansão das possibilidades de comunicação através de diversos equipamentos

temos então Tecnologias de Informação e Comunicação, as TICs:

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Baseados no uso da linguagem oral, da escrita e da síntese entre som, imagem e movimento, o processo de produção e uso desses meios compreendem tecnologias especificas de informação e comunicação, as TICs. (KENSKI, 2007, p. 28).

Conforme Miskulin (2010, p. 153), as TICs “pressupõem novas formas de

gerar, dominar e disseminar o conhecimento”.

As tecnologias em geral estão presentes e incorporadas em nosso cotidiano,

e são as principais responsáveis pela mudança nos aspectos da vida das pessoas

como os sistemas bancários, celulares, aparelhos eletrônicos, computadores,

internet entre outros. Sem deixar de citar que a internet alterou nossas noções de

tempo e espaço com a comunicação de pessoas de qualquer lugar do mundo e a

qualquer horário (CARNEIRO; PASSOS, s.d., p. 2), “estamos vivendo um novo

momento tecnológico. A ampliação das possibilidades de comunicação e de

informação por meio de equipamentos [...] altera nossa forma de viver e de aprender

na atualidade” (KENSKI, 2003, p. 24).

Devido a essa realidade, segundo Kenski (2007, p. 21), “a evolução

tecnológica não se restringe apenas aos novos usos de determinados equipamentos

e produtos. Ela altera comportamentos”. Disso ocorre o nascimento de uma nova

sociedade tecnológica.

Na atualidade o surgimento de um novo tipo de sociedade tecnológica é determinado principalmente pelos avanços das tecnologias digitais de comunicação e informação e pela microeletrônica. Essas novas tecnologias [...] quando disseminadas socialmente, alteram as qualificações profissionais e a maneira como as pessoas vivem cotidianamente, trabalham, informam-se e se comunicam com outras pessoas e com o mundo. (KENSKI, 2007, p.22).

Nessa sociedade

A escola precisa assumir o papel de formar cidadãos para a complexidade do mundo e dos desafios que ele propõe. Preparar cidadãos conscientes, para analisar criticamente o excesso de informações e a mudança, a fim de lidar com as inovações e as transformações sucessivas dos conhecimentos em todas as áreas. (KENSKI, 2007, p. 64).

Assim, vê-se a importância da escola incorporar novos métodos de ensino

como as TICs, tendo em vista que esta “[...] instituição social, que tem importância

fundamental em todos os momentos de mudança na sociedade” (KENSKI, 2007, p.

63), precisa acompanhar o desenvolvimento social e ainda formar pessoas

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preparadas para conviver com desafios e dificuldades, pessoas ativas na sociedade

com novas capacidades, atitudes e valores para que possam viver e se desenvolver

nesse mundo em constante processo de mudanças.

Se considerarmos o Artigo 1º, da Lei nº 9.394 de 20 de dezembro de 1996,

que estabelece as diretrizes e bases da educação nacional “a educação abrange os

processos formativos que se desenvolvem na vida familiar, na convivência humana,

no trabalho, nas instituições de pesquisa, nos movimentos sociais e organizações da

sociedade civil e nas manifestações culturais” e o Artigo 22º da mesma Lei “a

educação básica tem por finalidades desenvolver o educando, assegurar-lhe a

formação comum indispensável para o exercício da cidadania e fornecer-lhe meios

para progredir no trabalho e em estudos posteriores”, naturalmente haverá a

utilização das tecnologias na educação.

Considerando que as tecnologias estão integradas à sociedade, para o

sujeito desenvolver competências e capacidades é necessário um mínimo de

informação e formação coerente ao atual momento em que vivemos. Neste contexto

mais que uma inovação, o efetivo uso das tecnologias no ensino aprendizagem pode

se tornar uma necessidade. Todavia, os professores não são obrigados a integrar

em suas práticas de ensino as tecnologias, pois “o Estado não pode influenciar na

metodologia de ensino de cada professor”. (FONSECA, s.d., p. 3).

Entretanto, os profissionais do ensino, qualquer que seja sua função no sistema, necessitam conhecer e avaliar, para poder tomar decisões informadas, as tecnologias da informação e comunicação disponíveis, que já fazem parte do ambiente de socialização dos corpos discente e docente. (CANO, 1998, p. 13).

No Brasil, segundo Moraes (1997, p. 20) citado por Tavares (s.d., p. 1), “Há

relatos do uso de computadores na área de educação desde os anos 60: pelo que

se tem notícia, foi quando aconteceu a primeira experiência educacional, na área de

física na Universidade Federal do Rio de Janeiro”.

Em 1981 acontece no Brasil uma das primeiras ações para estimular a

implantação da informática nas escolas brasileiras. Com professores de diversos

estados do país, realizou-se o I Seminário Nacional de Informática Educativa

(BORBA, PENTEADO, 2010, p. 19).

Em 1996 ocorreram investimentos na educação paranaense através do

PROEM (Programa de extensão, melhoria e Inovação do Ensino Médio do Paraná),

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sendo que novecentos e doze colégios foram beneficiados com computadores e

periféricos (PARANÁ, 2010, p. 68). Assim, vemos que os computadores começam a

fazer parte da realidade escolar paranaense a partir de 1996, sendo que após esse

investimento outros maiores aconteceram como o ProInfo (Programa Nacional de

Informática na Educação) em nível federal e o PRD (Programa Paraná Digital)

abrangendo as escolas públicas do Paraná. Portanto, com relação à formação de

professores

[...] torna-se imprescindível repensar e redimensionar a própria concepção de professor e também a constituição dos cursos de formação de professores, os quais devem propiciar aos futuros professores conhecimentos e ações condizentes com as novas tendências educacionais que se estabelecem com os avanços da ciência e da tecnologia. (MISKULIN, 2010, p. 158).

Como afirma Kenski (2007, p.44) “a presença de uma determinada

tecnologia pode induzir profundas mudanças na maneira de organizar o ensino”, “[...]

começa-se a perceber que a prática docente, como tradicionalmente vinha sendo

desenvolvida, não poderia ficar imune à presença da tecnologia informática”

(BORBA; PENTEADO, 2010, p. 56).

Ainda segundo Kenski (2007, p. 46) “não basta apenas usar a televisão ou o

computador, é preciso saber usar de forma pedagogicamente correta a tecnologia

escolhida”. Sem o conhecimento necessário ao futuro professor no que diz respeito

à tecnologias na educação conforme Mainart e Santos (s. d.), “a modernidade pode

mascarar um ensino tradicional, baseado na recepção e na memorização de

informações”.

Os educadores devem estar abertos a essas novas formas do saber, novas maneiras de gerar e dominar o conhecimento, novas formas de produção e apropriação do saber científico, pois, assim, poderiam compatibilizar os métodos de ensino e teorias de trabalho com as TICs, tornando-as partes integrantes da realidade do aluno. (MISKULIN, 2010, p. 154).

2.1 TECNOLOGIAS DE INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO E A MATEMÁTICA

Para formar cidadãos ativos na sociedade, preparados para tomar decisões,

formular opiniões e ideias precisa-se estimular os alunos a utilizar seu pensamento

crítico, seu raciocínio, sua criatividade, enfim, as capacidades que cada vez mais

estão sendo exigidas das pessoas na contemporaneidade.

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O desenvolvimento tecnológico proporciona uma nova dimensão ao processo educacional, a qual transcende os paradigmas ultrapassados do ensino tradicional [...]. Essa nova dimensão prioriza um novo conhecimento que considera o desenvolvimento do pensamento criativo como uma dimensão fundamental da cognição humana. (MISKULIN, 2010, p. 154).

No contexto do ensino da matemática é recorrente a utilização da

metodologia “tradicional”, pelos professores. Na qual as aulas são expositivas, os

alunos recebem o conteúdo matemático e realizam exercícios repetitivos a fim de

memorizar algoritmos de resolução.

Numa tal apresentação formal e discursiva, os alunos não se engajam em ações que desafiem suas capacidades cognitivas, sendo-lhes exigido no máximo memorização e repetição, e consequentemente não são autores das construções que dão sentido ao conhecimento matemático. (GRAVINA; SANTAROSA, 1998).

Muitos alunos não vêem sentido em estudar matemática, acham as aulas

chatas e não compreendem a disciplina, o que pode ser reflexo da situação citada

acima por Gravina e Santarosa (1998).

A idéia do uso de aulas mais dinâmicas, participativas, e que exercitam o ensinamento empírico do aluno, se torna a nova metodologia e, que talvez, trará uma preparação maior ao aluno, pelo motivo no qual a mesma utiliza de ensinamentos de auto-aprendizado, conceitos, teorias, teoremas e de deduções lógicas. [...] O estudo da matemática não somente será de cálculos e sim, de análises, provas e conclusões, tendo o aluno a capacidade pensante de um matemático. (FONSECA, s.d. p. 3).

Com a utilização das tecnologias e de novas metodologias de ensino, a

matemática pode ser abordada de forma mais concreta e interessante para os

estudantes. Em particular, as TICs constituem-se ferramentas úteis para o ensino-

aprendizagem da matemática, proporcionam aulas diferenciadas, fornecem

dinamismo a conceitos e propriedades matemáticas, tornando-os mais concretos

para o aluno, estimulando o pensamento crítico e a observação do mesmo quanto a

novos conteúdos e até mesmo aos já estudados. Além disso, integram a escola no

âmbito da atualidade, para que os alunos não idealizem a escola e as aulas como

algo totalmente diferente do restante dos ambientes e atividades que participam e

realizam em seu cotidiano.

O mundo atualmente exige um profissional crítico, criativo, com capacidade de pensar, de aprender a aprender, de trabalhar em grupo e de conhecer o seu potencial intelectual, com capacidade de constante aprimoramento e

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depuração de idéias e ações. Certamente, essa nova atitude não é passível de ser transmitida, mas deve ser construída e desenvolvida por cada indivíduo, ou seja, deve ser fruto de um processo educacional em que o aluno vivencie situações que lhe permitam construir e desenvolver essas competências. E o computador pode ser um importante aliado nesse processo. (VALENTE, s.d. p. 2).

Os softwares computacionais, além de chamar a atenção do aluno, podem

ser utilizados de forma a desenvolver essas competências, por isso se tornam

grandes aliados ao ensino da matemática e de outras ciências

. É cada vez maior o número de disciplinas científicas, humanas e artísticas que contam com a presença do computador para levar adiante os seus desenvolvimentos atuais [...] Para estas disciplinas, a informática não é um fim em si mesma, mas sim um meio que facilitarão seu caminho para a construção de alguns fins determinados. (MARQUES; CAETANO, 2002, p. 148).

Na área da educação “[...] a informática não deverá ser vista como redentora

da educação, mas sim como um elemento a mais a contribuir na construção de uma

escola que pode desenvolver mecanismos que contribuam na superação de suas

limitações” (MARQUES; CAETANO, 2002, p. 133). De acordo com as duas últimas

citações, o computador ou as tecnologias em geral são utilizados para que ampliem

as possibilidades de aprendizagem dos alunos, possibilitando pesquisas, melhor

visualização, estímulo do raciocínio e pensamento crítico e não como um meio

singular para a educação.

Não são as tecnologias que vão revolucionar o ensino e, por extensão, a educação de forma geral, mas a maneira como essa tecnologia é utilizada para a mediação entre professores, alunos e a informação. Essa maneira pode ser revolucionária, ou não. Os processos de interação e comunicação no ensino sempre dependeram muito mais das pessoas envolvidas no processo do que das tecnologias utilizadas, seja o livro, o giz, ou o computador e as redes. (KENSKI, 2003, p. 121).

Para ocorrer a integração entre tecnologias e educação é preciso “que se

utilize a educação para ensinar sobre as tecnologias que estão na base da

identidade e da ação do grupo e que se faça uso delas para ensinar as bases dessa

educação” (KENSKI, 2007, p. 43).

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2.1.1 Softwares no Ensino da Matemática

Atualmente a maioria das escolas possui computadores com acesso à

internet e softwares educacionais instalados. Entende-se por software educacional,

softwares que auxiliam o aprendiz a construir seu conhecimento e a alterar sua

compreensão de mundo, aumentando sua capacidade de participar da realidade em

que vive, de acordo com Vieira (s.d.).

Para a disciplina de matemática existem softwares (livres e proprietários)

que podem fornecer uma melhor visualização de objetos matemáticos, dinamismo

para verificação de conceitos, além de proporcionar mais agilidade nas atividades do

que se fosse utilizado apenas o quadro negro, papel e caneta. Com relação aos

softwares livres, de acordo com Campos (s.d.), eles possuem quatro características

principais, as quais são denominadas liberdades, a saber, liberdade de usar,

copiar/redistribuir, estudar e modificar sem qualquer restrição. Uma condição

necessária para que seja um software livre é a que ele deve possuir seu código-

fonte aberto. Portanto, os softwares livres não são sinônimos de softwares sem

custo, pois pode haver um preço.

Entretanto, para que o professor possa realmente utilizar os softwares a

favor do ensino aprendizagem da matemática,

dois aspectos se fazem muito importantes de serem levados em consideração nesse contexto. O primeiro chama a atenção para o fato de que o professor não deve achar que por ficar utilizando esse ou aquele software consegue resolver boa parte dos seus problemas que estão intimamente ligados à motivação dos alunos para a Matemática e a dificuldades que estes sentem em estudá-la. É preciso que o professor admita que necessita estudar para utilizar essa ferramenta como suporte eficiente e eficaz às suas aulas. (BRANDT; MONTORFANO, s.d., p. 6).

Complementando a citação de Brandt e Montorfano acima “não basta a este

profissional dominar apenas o uso da informática educativa. Ele precisa aprender a

fazer seu planejamento pautado nas possíveis dificuldades dos alunos com relação

ao tema da aula.” (BRANDT; MONTORFANO, s.d., p. 6)

A utilização de softwares em atividades planejadas com objetivos

específicos possibilita que o aluno teste hipóteses e investigue conteúdos, confira

conceitos já estudados, resolva problemas propostos, ou até mesmo de uma forma

mais interativa resolva exercícios de fixação. Com a correta utilização “os softwares

são grandes aliados ao desenvolvimento das atividades curriculares, com eles é

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possível simular situações que facilitam o processo de ensino-aprendizagem”.

(BOVO, 2004, p. 2).

Com a utilização das TIC, o professor de Matemática poderá mostrar o que está ensinando. Assim, utilizando um software, pode ocorrer um estimulo que faça com que os seus alunos se interessem mais pelas aulas, pois esses não apenas irão ouvir, as explicações do professor, mas verão o que ele está ensinando por meio de imagens construídas. (CÂNDIDO, s.d., p. 329).

Tendo em vista que os softwares proporcionam uma visualização e

“manipulação” de conceitos matemáticos, verifica-se que, com ao auxilio destes, o

aluno tem maiores chances de generalizar e esquematizar os conceitos matemáticos

envolvidos de uma forma dinâmica e agradável sem apenas receber teorias do

professor, mas participando da “construção” dos conceitos, o que torna o aluno mais

participativo das aulas de matemática. Contudo, as tecnologias devem ser utilizadas

de forma que os alunos não fiquem passivos ao que o software lhes apresenta, mas

ativos, comparando os resultados obtidos com os conhecimentos adquiridos.

No contexto da Matemática, são as ações, inicialmente sobre objetos concretos, que se generalizam em esquemas, e num estágio mais avançado são as ações sobre objetos abstratos que se generalizam em conceitos e teoremas. (GRAVINA; SANTAROSA, 1998).

2.1.1.1 Softwares Br. Office Calc e GeoGebra

Em 1997 é lançado o ProInfo (Programa Nacional de Informática na

Educação) pela SEED/MEC (Secretaria de Educação a Distância) com a finalidade

de “estimular e dar suporte para a introdução de tecnologia informática nas escolas

do nível fundamental e médio de todo país” (BORBA e PENTEADO, 2010, p. 20).

Com isso o programa pretendia beneficiar 6,5 milhões de estudantes, através da

compra e distribuição de 100 mil computadores, como afirma Tavares (s.d., p. 6).

Mais especificamente, o ProInfo disponibilizou às escolas públicas do Estado

do Paraná 2843 computadores. Além disso, a partir de 2006, através do PRD

(Programa Paraná Digital), programa estadual, os mais de dois mil e cem

estabelecimentos públicos de ensino do Paraná foram beneficiados com a

distribuição de computadores com acesso à internet, TVs multimídia com entrada

USB, além da criação do Portal Dia a Dia Educação que oferece conteúdos

pedagógicos aos professores. Este programa objetivou a inclusão digital em todo o

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estado e a melhora da educação básica através do correto uso das novas

tecnologias de informação e comunicação.

Esses computadores disponibilizados pelos programas governamentais

possuem sistemas operacionais específicos, os quais apresentam alguns softwares

educacionais livres para as diferentes disciplinas. Os computadores disponibilizados

pelo PRD possuem os seguintes softwares que podem auxiliar no ensino da

matemática: Dr. Geo, Xaos, GeoGebra, Régua e Compasso, Br. Office Calc e o

software de programação X-Logo. Já os computadores do ProInfo possuem para o

auxílio no ensino da matemática, além do Br. Office Calc, o KmPlot, KPercentage,

KBruch, Kig e o software de programação KTurtle.

Neste trabalho serão abordados dois softwares, a planilha eletrônica Br.

Office Calc e o GeoGebra, que não está disponível nos computadores ProInfo, mas

pode ser acessado através da internet no endereço

http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.html.

O Br. Office Calc é um software livre que faz parte do pacote do Br. Office e

por ser livre pode rodar em qualquer sistema operacional, como Linux ou Windows.

Trata-se de uma planilha eletrônica similar à Microsoft Office Excel, que pertence ao

pacote Microsoft Office, porém este é um software proprietário.

O Br. Office Calc possibilita ao usuário efetuar cálculos complexos de forma

mais rápida com a utilização de fórmulas matemáticas e funções. Pode ser utilizado

no auxílio ao ensino da Matemática, na criação de tabelas e gráficos de funções,

além de estimular habilidades lógico-matemáticas e de interpretações gráficas. Com

a planilha

é possível maior agilidade nos cálculos e uma rápida observação dos resultados, livrando o usuário da carga de trabalho algorítmico e permitindo um tempo maior para reflexão e inferências sobre os resultados e relações obtidos.(ROSA; VIALI, 2008, p. 185).

Já o GeoGebra, foi desenvolvido nos Estados Unidos, na Universidade de

Salzburg por Markus Hohenwarter. É um software de geometria dinâmica, que pode

ser utilizado para trabalhar conteúdos de geometria, cálculo e álgebra. Na

construção de figuras geométricas ele faz com que os alunos possam modificá-las

sem que as mesmas percam suas propriedades geométricas, o que possibilita uma

melhor visualização e interpretação. O GeoGebra possui também uma janela de

álgebra, onde é possível o aluno acompanhar as demonstrações geométricas que

http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.html

20

estão sendo feitas passo a passo. Segundo Hohenwater apud Brandt e Montorfano,

(s.d., p. 9), “a característica mais destacável do Geogebra é a percepção dupla dos

objetos: cada expressão na janela de Álgebra corresponde a um objeto na Zona de

Gráficos e vice-versa”.

Através da construção interativa de objetos matemáticos, disponibilizadas

por este software, é possível o entendimento dos alunos por meio da visualização e

observação dos fatos matemáticos envolvidos.

21

3 FUNÇÕES QUADRÁTICAS

Os conceitos e definições abaixo serão fundamentados através dos autores

Bento de Jesus Caraça (1984), Elon Lages Lima et al. (2006) e Munem e Foulis

(1982).

Inicia-se abordando o conceito de função, por Caraça (1984).

Definição: Sejam 𝑥 e 𝑦 duas variáveis representativas de conjuntos de

números, diz-se que 𝑦 é função de 𝑥 , e escreve-se 𝑦 = 𝑓 𝑥 , se entre as duas

varáveis existe uma correspondência unívoca no sentido 𝑥 → 𝑦. A 𝑥 chama-se

variável independente e a 𝑦 variável dependente.

E por Munem e Foulis (1982)

Definição: Uma função 𝑓 é uma regra ou uma correspondência que faz

associar a um e somente um valor da variável 𝑦 para cada valor de variável 𝑥. Deve

ser bem compreendido que a variável 𝑥 é denominada variável independente, pode

tomar qualquer valor num certo conjunto de números denominado domínio de 𝑓.

Para cada valor de 𝑥no domínio de 𝑓, o valor correspondente de 𝑦 é denotado por

𝑓(𝑥) tal que 𝑦 = 𝑓 𝑥 . A variável 𝑦 é denominada variável dependente, visto que seu

valor depende do valor de 𝑥. O conjunto de valores assumidos por 𝑦 à medida que

𝑥varia no domínio é denominado imagem de 𝑓.

Por conseguinte, Lima et al. (2006)define função quadrática da seguinte

maneira.

Definição: Chama-se uma função 𝑓: ℝ → ℝ dada por

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐

com𝑎, 𝑏 e 𝑐 reais e 𝑎 ≠ 0, função quadrática ou Polinomial do 2º grau.

Claro que 𝑎 ≠ 0 pois, se 𝑎 = 0 obter-se-ia uma Função do 1º grau.

O domínio das Funções quadráticas é em geral os reais , ou seus

subconjuntos, porém se a função está relacionada a uma situação real é necessária

a verificação da variável 𝑥.

Considerando o trinômio

𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑥² +𝑏

𝑎𝑥 +

𝑐

𝑎

onde,

𝑥 +𝑏

2𝑎

2

= 𝑥² +𝑏

𝑎𝑥.

22

Sendo assim podemos escrever

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑥2 + 2 ∙𝑏

2𝑎∙ 𝑥 +

𝑏2

4𝑎2−

𝑏2

4𝑎2+

𝑐

𝑎 ,

ou como:

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑥 +𝑏

2𝑎

2

+4𝑎𝑐−𝑏²

4𝑎² .

Esta maneira de escrever o trinômio do segundo grau chama-se forma

canônica e traz algumas consequências. Ela conduz à fórmula que dá as raízes da

equação 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. Sendo 𝑎 ≠ 0, temos as equivalências que seguem

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ⇔ 𝑥 +𝑏

2𝑎

2

+4𝑎𝑐−𝑏2

4𝑎2 = 0 (1)

⇔ 𝑥 +𝑏

2𝑎

2

=𝑏2−4𝑎𝑐

4𝑎2 (2)

⇔ 𝑥 +𝑏

2𝑎= ±

𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎 (3)

⇔ 𝑥 =−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎 (4)

O caminho de (2) para (3) só faz sentido quando o discriminante

∆= 𝑏² − 4𝑎𝑐

é≥ 0.

Se ∆< 0 significa que a equação (2) não possui solução real.

Da fórmula resultante (4) temos que, se o discriminante

∆= 𝑏² − 4𝑎𝑐

é positivo então a equação

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

tem duas raízes reais diferentes:

𝑥 ′ =(−𝑏+ ∆)

2𝑎e𝑥 ′′ =

(−𝑏− ∆)

2𝑎.

Quando ∆= 0, a equação possui duas raízes idênticas, iguais a−𝑏

2𝑎.

3.1 GRÁFICOS DE FUNÇÕES QUADRÁTICAS

Caraça (1984) e Munem e Foulis (1982), apresentam as seguintes definições

geométricas para funções quadráticas.

Definição geométrica: Seja o Plano Cartesiano e uma curva 𝐶 que não seja

interceptada em mais de um ponto por uma paralela ao eixo das ordenadas. Essa

23

curva permite definir uma função 𝑓(𝑥). A correspondência é unívoca no sentido

𝑥 → 𝑦, a cada 𝑎corresponde apenas um 𝑏.

Figura 1- Ilustração da correspondência unívoca entre domínio e imagem de uma função qualquer. Fonte: A autora, 2012.

Definição Geométrica: O gráfico de uma função 𝑓 é o conjunto de todos os

pontos (𝑥, 𝑦) no plano 𝑥𝑦 tal que 𝑥 pertence ao domínio de 𝑓 e 𝑦 a imagem de 𝑓, e

𝑦 = 𝑓 𝑥 .

A representação gráfica de uma Função Quadrática é uma parábola. Dados

um ponto 𝐹 e uma reta 𝑑 que não o contém, a parábola de foco 𝐹 e diretriz 𝑑 é o

conjunto dos pontos do plano que distam igualmente de 𝑓e de 𝑑.

Figura 2 - Ilustração da distância de um ponto qualquer ao foco da parábola e ao ponto de interseção de uma perpendicular baixada à reta. Fonte: A autora, 2012.

A reta perpendicular à diretriz, baixada a partir do foco, chama-se o eixo da

parábola.

24

O ponto da parábola mais próximo da diretriz chama-se o vértice dessa

parábola. Ele é o ponto médio do segmento cujas extremidades são o foco e a

interseção do eixo com a diretriz.

Dada uma função 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, seu gráfico é uma parábola, cuja

diretriz é a reta horizontal

𝑦 =4𝑎𝑐 − 𝑏² + 1

4𝑎

e cujo foco é o ponto

𝐹 −𝑏

2𝑎,4𝑎𝑐 − 𝑏2 + 1

4𝑎 .

O ponto do gráfico de uma função quadrática qualquer, mais próximo da

diretriz é o que tem a abscissa −𝑏

2𝑎. Neste ponto a função atinge seu valor mínimo

quando 𝑎 > 0 e seu valor máximo quando 𝑎 < 0. É também neste ponto o vértice da

parábola que constitui o gráfico da 𝑓 𝑥 .

A parábola tem sua concavidade voltada para cima se 𝑎 > 0 ou para baixo

se 𝑎 < 0. Ainda, quanto menor o valor de 𝑎, maior será a abertura da parábola e

quanto maior o valor de 𝑎, menor será a abertura da parábola, como se observa na

figura com funções onde 𝑏 = 1 , 𝑐 = 1 e 𝑎 variando no conjunto dos inteiros no

intervalo [-4, 4].

Figura 3- Exemplo gráfico da variação do coeficiente a.

Fonte: A autora, 2012.

25

O coeficiente 𝑏 determina o quanto o gráfico se desloca para a direita ou

para a esquerda como na figura a seguir. Quanto maior o valor de 𝑏 mais o gráfico

se desloca à esquerda do eixo 𝑦, quando 𝑏 = 0 localiza-se centralizado no eixo 𝑦, ou

seja, o eixo das ordenadas é também seu eixo de simetria e ainda quanto menor o

valor de 𝑏 mais o gráfico se desloca à direita do eixo 𝑦.

Figura 4 - Exemplo gráfico da variação do coeficiente b.


Pode-se observar ainda, que quando 𝑏 > 0 o gráfico intercepta o eixo das

ordenadas com sua parte crescente e quando 𝑏 < 0 o gráfico intercepta o eixo das

ordenadas com sua parte decrescente.

Com relação ao coeficiente 𝑐 , este determina o ponto em que o gráfico

intercepta o eixo das ordenadas, sendo (0, 𝑐) , deslocando o gráfico para cima

quanto maior seu valor e para baixo quanto menor seu valor como na figura a seguir

onde 𝑐 varia no intervalo dos inteiros [-5, 5].

Figura 4 - Exemplo gráfico da variação do coeficiente c.


26

4 UMA PROPOSTA DE USO DOS SOFTWARES BR. OFFICE CALC E

GEOGEBRA NO ENSINO DE FUNÇÕES QUADRÁTICAS

A proposta de ensino a seguir é direcionada ao primeiro ano do Ensino

Médio e tem como objetivo contribuir para o ensino de funções quadráticas.

Desenvolve-se mediante a utilização de tecnologias, metodologia de ensino da

matemática tratada no Capítulo 2 deste trabalho que possibilita investigação

matemática dos conteúdos trabalhados.

As atividades são sugestões que podem ser adaptadas de acordo com as

turmas a serem trabalhadas. Para sua realização recomenda-se que os alunos

conheçam a definição de funções quadráticas, de suas raízes e valor da função em

um ponto.

4.1 ATIVIDADE I – ESTUDO DOS GRÁFICOS DE FUNÇÕES QUADRÁTICAS

O objetivo principal desta atividade é fazer com que o aluno identifique o

gráfico de uma função quadrática como sendo uma parábola. Estimulando sua

capacidade de observação, fazendo com que conjecture sobre o assunto. Contribui

ainda, para o conhecimento de softwares matemáticos e suas aplicações.

A atividade será realizada no laboratório de informática, em que esteja

disponível o software Br.Office Calc, ou o Microsoft Office Excel. Como a

metodologia empregada é TICs optou-se neste trabalho pela utilização do programa

Br.Office Calc uma vez que este software está disponível nos computadores do

laboratório de informática da maioria das escolas do Estado do Paraná através do

Programa Paraná Digital e/ou ProInfo. E ainda que o computador não tenha este

software instalado, por se tratar de um software livre, pode ser feito seu download e

instalado em qualquer computador cuja estrutura física comporte o mesmo.

Sugere-se que a construção dos gráficos seja realizada em duplas, para que

haja troca de ideias e para que os alunos possam discutir suas conjecturas.

O professor pode distribuir para os estudantes um roteiro das atividades a

serem realizadas, para que acompanhem mais facilmente os passos das tarefas, e

também para que compreendam melhor o que estão construindo. Este roteiro pode

conter algumas observações referentes ao software utilizado, uma vez que podem

27

existir alunos que não o conheçam, diminuindo-se assim a possibilidade desses não

conseguirem desenvolver a atividade proposta. Segue uma sugestão:

(continua)

Roteiro de Atividades I

1º) Calcule no caderno, 10 pontos da função f(x) = x2 , escolhendo arbitrariamente os valores para x no intervalo [−20,20]. (Sugestão escolha valores negativos e positivos)

2º) Abra o software Br.Office Calc, perceba que a área de digitação é dividida em

retângulos, que formam uma planilha.Cada retângulo recebe o nome de célula, por sua vez cada célula está referenciada por uma letra que indica a coluna e um número que indica a linha. Por exemplo, chamamos de A1 a célula localizada na coluna A e na linha 1.

3º) Agora digite a tabela que foi obtida a partir da escolha de valores para o x, que aplicados

na função f x = x2 resultam no valor y. Atenção: digite-os na ordem crescente do valor escolhido para x. 4º) Após construir a tabela insira seu gráfico. Selecione na tabela as linhas e colunas que

contém os pontos x, y , acesse o menu inserir, gráfico, então selecione o gráfico tipo dispersão, pontos.

Observe e anote em seu caderno, a dispersão dos pontos escolhidos do gráfico da função f.

5º) Construa agora os gráficos das funções g x = − x2 + 2x + 3 e

h x = 2x2– 4x + 3, através do software Br. Office Calc, na planilha 2 e 3 respectivamente, sem calcular os pontos das funções no caderno.

6º) Para esboçar o gráfico destas funções é preciso saber como encontrar o gráfico de uma

função, pois se não souber não conseguirá dar o comando para o computador desenhar essa função. O computador não é pensante não é inteligente, ele simplesmente executa os comandos

passados pelo ser humano.

Para obter os pontos da função f você os calculou manualmente depois digitou na tabela

para inserir o gráfico. Agora na função g e h você digitará, na planilha 2, em formato de tabela de forma crescente os números inteiros do -15 ao 15, ou seja, os valores para o x. Na célula A1 indique

a coluna x e na célula B1 indique y. Logo abaixo da célula A1, ou seja, na A2 digite −15, e assim por

diante, digitando de forma crescente os valores para x.

7º) Agora para obter o valor de y, ou seja, o valor da função em determinado ponto, faz-se o

computador “tomar conhecimento” da função dando os comandos para que calcule y para os valores de x.

Você sabe a g x , então sabe que substituindo o x por algum valor, obtém seu

correspondente g x para formar o ponto (x, y).

No computador representa-se, por exemplo, o valor de x = −15 pela sua localização que neste caso está na célula A2, além ainda, de utilizar outra simbologia para as operações.

Para então calcular o ponto onde x = −15, precisa-se dos coeficientes da função, então na célula D1 digite a = e complete a igualdade na célula E1, ou seja, o coeficiente a da g x que é −1. E

proceda da mesma forma com o coeficiente b e c, nas células D2 e D3.

8º) Agora você sabe a localização dos parâmetros e do primeiro valor de x para efetuar o

cálculo do primeiro valor de y. Para isto clicamos na célula B2, observe que em cima da planilha e embaixo da barra de menus existe um campo de digitação. Nele digitamos as fórmulas que também aparecem na célula selecionada, neste caso B2, sempre iniciando as fórmulas pelo sinal de igual = .

Essa fórmula é a função g(x).

Temos que: g x = − x2 + 2x + 3, onde a = −1, b = 2 e c = 3.

E queremos aplicar x = −15 , então g −15 = −1 ∙ (−15)2 + 2 ∙ −15 + 3 = −258 . Ou

seja, g −15 = a ∙ (−15)2 + b ∙ −15 + c

Como já foi dito, para calcular no software Br. Office Calc, utiliza-se outros símbolos para as

Quadro 1 - Roteiro de Atividades I.

28

(conclusão)

operações, exceto soma e subtração, e ainda, ao invés de utilizar diretamente os valores você utiliza sua localização.Vejamos alguns símbolos:

9º) Agora para digitar a função 𝑔(−15) utilizamos as instruções dadas acima,

= E1 ∗ A22 + E2 ∗ A2 + E3

Tabela 1:Tabela relacionando valor e localização das varáveis e dos coeficientes da função.

Fonte: A autora, 2012. 10º) Após digitada a função com a aplicação x = −15, tecle Enter, então o valor obtido para

y = g −15 aparece na célula B2. Confira. Repita o processo para encontrar g(x) quando x =−14 e x = −13.

11º) Porém para calcular todos os pontos um por um daria muito trabalho, então façamos

com que o computador calcule o valor de g(x) para todos os valores de x. Clique na célula B4 e na barra de digitação aparecerá a fórmula que está por trás do valor

obtido. Observe que os valores de a, b e c são fixos eles fazem parte da lei de formação, da função da

g x . Então fixe-os para que apenas o valor de x varie de acordo com a tabela. Selecione na fórmula

da barra de digitação, o parâmetro a, depois de selecionado segure shift e pressione a função 4 do teclado (F4), neste caso aparecerá juntamente à localização de a, que é E1, o símbolo $ (cifrão),

ficará da seguinte forma $E$1, então este valor está fixado na fórmula. Faça o mesmo para b e c.

12º) Após feito o 11º passo volte para a planilha na célula que permaneceu selecionada B4

e selecione as demais que estão abaixo dela, de um Enter e pronto. O computador calculou os demais pontos. Para finalizar insira o gráfico.

13º) Para inserir o gráfico da função h x = 2x2– 4x + 3, insira a tabela, na planilha 3. Com

os valores de x pertencentes aos inteiros a partir do -15 ao 15. Seguindo o 9º) passo calcule seu

primeiro ponto com x = −15 e repita o 12º) passo para calcular os outros pontos. Novamente insira o gráfico da função.

14º) Agora compare os três gráficos e relate (em folha para ser entregue e em duplas): 15º) Salve o arquivo com o seu nome seguido do número 1, na pasta pessoal. Para isso

acesse no menu, Arquivo, Salvar Como... e depois de alterar o nome do documento para o seu nome seguido do número 1, selecione o local que o documento será salvo, neste caso, Ambiente, e finalize clicando em Ok.

Quadro 2 - Roteiro de Atividades I. Fonte: Fonte: A autora, 2012.

VALOR LOCALIZAÇÃO

𝑎 = −1 E1

𝑥 = −15 A2

𝑏 = 2 E2

𝑐 = 3 E3

Semelhanças e diferenças;

Além da comparação dos gráficos entre si, compare também suas funções e relate as semelhanças e diferenças;

Responda se é possível definir a forma do gráfico de funções quadráticas;

Enfim anote todas as observações feitas;

Multiplicação (x ou∙), no software é ∗ (asterisco);

Divisão (÷), no software é / (barra);

Para a extração de raízes quadradas, escreve-se RAIZ ou eleva-se o radicando a 0,5, ^0,5;

Para elevar ao quadrado utiliza-se ^2( circunflexo 2), ou multiplica a base por si mesma;

29

Recomenda-se que o professor leia todos os passos do Roteiro de

Atividades I, ou melhor, leia o passo e realize-o juntamente com os alunos

orientando-os para que todos acompanhem o desenvolvimento da atividade. Pode

inclusive ser utilizado um projetor multimídia para facilitar a visualização da atividade

pelos alunos.

Quanto ao primeiro passo para obter os pontos (𝑥, 𝑦) da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2,

os alunos escolherão arbitrariamente dez valores para 𝑥 no intervalo de números

inteiros [−20, 20]. Aplicando os respectivos valores de 𝑥 na função 𝑓, obterão o valor

da ordenada. Poderá ser realizado com cálculos manuais, ou se o professor achar

conveniente poderá ser utilizada a calculadora.

Quanto à escolha dos valores de 𝑥, sugere-se que o professor exija valores

positivos e negativos, para a melhor visualização da forma do gráfico pelos alunos.

Este artifício pode ser encarado como um exercício de fixação uma vez que

já tiveram o conteúdo de cálculo do valor da função em um ponto.

No segundo passo é importante o professor frisar a ideia de localização das

células para evitar possíveis confusões nas próximas atividades.

Após o cálculo manual dos pontos da função 𝑓 e digitada a tabela na

planilha eletrônica, insere-se o gráfico da função.

Figura 5 - Visualização do 4º passo do Roteiro de Atividades I.


30

Neste momento o professor pode abordar os alunos com a seguinte

questão: Já podemos definir a forma do gráfico da função 𝑓? Fazendo assim, com

que observem o gráfico que foi construído.

O quinto passo sugere que construam o gráfico das funções 𝑔(𝑥) e 𝑕 𝑥 ,

sem calcular os pontos no caderno, apenas utilizando o software.

Descreve-se nas próximas etapas o procedimento, inclusive indicando as

células em que devem digitar valores para 𝑥, que neste caso já estão determinados,

padronizando a atividade, para facilitar a comunicação entre professor e aluno.

O professor pode ainda chamar a atenção para a questão do computador só

realizar tarefas mediante comandos. Assim para que execute qualquer tarefa

precisamos saber quais comandos inserir. Neste caso para que o software calcule o

valor da função em determinados pontos é preciso saber como se calculam esses

valores para poder “programar” o software a fim de que ele faça os cálculos

automaticamente.



No sétimo passo, é necessário que os alunos compreendam o que estão

fazendo, por isso sugere-se que o professor retome o cálculo de valores das funções

em pontos determinados.

31



Neste momento, é importante frisar que para o software calcular algo, ao

invés de digitar o número a ser utilizado no cálculo digita-se sua localização na

planilha, o entendimento desta passagem é fundamental para a continuidade da

atividade.



32



Após o término dessa atividade, o docente poderá solicitar que os alunos

socializem suas observações. Obtendo assim uma discussão em relação aos

conceitos envolvidos na atividade.

A partir das respostas dos alunos e da discussão do assunto com o restante

da turma: Os conceitos serão formalizados

O gráfico de uma função quadrática é uma curva aberta chamada parábola,

voltada para cima ou para baixo. E ainda por se tratar de uma parábola existe um

eixo de simetria paralelo ao eixo das ordenadas, que passa pelo gráfico exatamente

no vértice da parábola.

4.2 ATIVIDADE II – COEFICIENTES DA FUNÇÃO QUADRÁTICA COM A

UTILIZAÇÃODO BR.OFFICE CALC

Esta atividade compartilha da metodologia utilizada na Atividade I, e pode

ser aplicada na sequência. Seu objetivo principal é que o aluno identifique o efeito

dos parâmetros 𝑎 , 𝑏 e 𝑐 na parábola que representa a função quadrática,

possibilitando o aluno relacionar as raízes da função com valor do delta e o gráfico

da função.

33

Sugere-se ao professor mostrar alguns exemplos de coeficientes de funções

para que os alunos recordem o método de identificação dos mesmos.

Em seguida retoma-se que os coeficientes possuem efeitos diferentes e

determinados na parábola que representa funções de 2º grau. E para o estudo do

emprego de cada um dos coeficientes, será realizada uma atividade investigativa no

laboratório de informática.

No laboratório de informática, utilizando o software Br. Office Calc, o

professor poderá novamente distribuir um roteiro de atividades como o Roteiro de

Atividades II abaixo.

Roteiro de Atividades II

1º) Calcule no seu caderno, as raízes da função f(x) = 2x2 + x – 1 e o valor do delta.

2º) No software Br. Office Calc digite os valores dos coeficientes a, b e c da função f, com

a = na célula A1 e seu valor, 2, na B1, assim na célula abaixo de a, o b e abaixo o c. Segue para seus respectivos valores.

3º) Na célula A5 escreva delta =, e na célula B5 sua fórmula,ou seja, = b^2 − 4 ∗ a ∗ c. Porém seguindo os padrões do software onde se digita a localização dos valores e as operações com seus respectivos sinais. Após dar Enter compare o valor obtido pelo software e o obtido manualmente.

4º) Seguindo os passos anteriores calcule, através do software Br. Office Calc, as raízes da

função quadráticaf(x) = 2x2 + x – 1. Lembre-se quex = −b± ∆

2a, ou seja, x′ =

−b+ ∆

2a e x" =

−b− ∆

2a e

ainda observe que você já obteve o delta. Observe ainda, as localizações dos coeficientes e a utilização de parênteses.

5º) Agora faça uma tabela com os valores de x pertencentes aos números inteiros entre -10

e 10 e calcule suas respectivas coordenadas pelo software. Logo após insira o gráfico. 6º) Em seguida observe que se alterarmos os valores das constantes a, b e c, o gráfico da

função altera-se, assim como a coluna y das ordenadas, o valor das raízes e do delta. Escreva em uma folha para ser entregue todas as suas observações respondendo as seguintes perguntas:

7º) Salve o arquivo com o seu nome seguido do número 2, na pasta pessoal. Quadro 3 - Roteiro de Atividades II. Fonte: Fonte: A autora, 2012.

O que é possível observar em relação aos valores dos coeficientes e do delta e o gráfico?

Sempre é possível encontrarmos as raízes da equação que se forma se alterarmos arbitrariamente os valores dos parâmetros da fórmula geral da função quadrática?

Em caso negativo quando não é possível?

O que acontece com as raízes se o delta é igual a zero? E se o delta for maior que zero, ou seja, positivo?

O que mais você observou?

34

O primeiro passo tem como objetivo recordar e fixar o método de obtenção

das raízes das funções quadráticas.

Depois de digitados os valores dos coeficientes da função 𝑓 e a fórmula do

delta, segundo e terceiro passos respectivamente, com o auxílio do professor e do

roteiro de atividades, é feita a comparação do valor do delta calculado através do

software e o calculado no caderno. Estes devem apresentar o mesmo resultado que

neste caso é nove.

Figura 10 - Visualização do 1º, 2º e 3º passos da atividade do Roteiro de atividades II, Br. Office Calc.


No quarto passo espera-se que os alunos consigam obter com a ajuda do

professor: 𝑥 ′ = (−𝐵2 + 𝑅𝐴𝐼𝑍 𝐵5 )/(2 ∗ 𝐵1) e 𝑥 ′′ = (−𝐵2 − 𝑅𝐴𝐼𝑍 𝐵5 )/(2 ∗ 𝐵1), onde

𝑥′ = 0,5 e 𝑥 ′′ = −1.

Neste momento o educador poderá sugerir aos alunos que quem já

conseguiu realizar o quarto passo ajude quem ainda não conseguiu, para estimular o

trabalho em grupo, e agilizar o trabalho.

No quinto passo os alunos utilizarão o mesmo procedimento do Roteiro de

Atividades I para realizar o cálculo das coordenadas dos pontos do gráfico da função

𝑓.

35

Figura 11 - Visualização do 6º passo do Roteiro de atividades II. Fonte: A autora, 2012.

Na sexta etapa o professor introduz a atividade investigativa, sendo sugerida

a realização em duplas. Para direcionar as observações foram disponibilizadas

questões a serem respondidas pelos alunos no penúltimo passo.

4.3 ATIVIDADE III – COEFICIENTES DA FUNÇÃO QUADRÁTICA COM A

UTILIZAÇÃO DO GEOGEBRA

Indica-se ainda a utilização do software GeoGebra a fim de construir um

gráfico dinâmico para a melhor percepção do emprego dos parâmetros de uma

função quadrática e a relação entre as raízes da função com o delta e o gráfico

através da atividade descrita no Roteiro de Atividades III.

Optou-se neste trabalho pela utilização do programa GeoGebra, uma vez

que este software está disponível nos computadores do laboratório de informática da

maioria das escolas do estado do Paraná através do Programa Paraná Digital, e

ainda por se tratar de um software livre, o qual pode ser baixado e disponibilizado

em escolas que não o possuam, ou até mesmo ser acessado via internet através do

site http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.html.


36

(continua)

Roteiro de Atividades III 1º) Construa um gráfico dinâmico no software GeoGebra. Abra o software GeoGebra. Nos

computadores do PRD, clique em Aplicativos, Educação, Matemática e GeoGebra. Já nos computadores ProInfo podemos acessar o GeoGebra pela internet através do site http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.html.

2º) Para construir um gráfico dinâmico precisa-se definir três seletores a, bec , os quais

permitirão controlar a variação dos parâmetros a, bec da função. Na barra de ferramentas clique no ícone seletor, logo após clique no canto superior do plano cartesiano para inseri-lo naquele local. Antes de inseri-lo altere seu intervalo de variação para mín. = −100 e máx = 100. Então clique em

aplicar. Faça o mesmo para inserir os seletores b e c. 3º) Agora abaixo do plano cartesiano na barra de digitalização chamada entrada digite a

fórmula geral da função quadrática e tecle Enter: f x = ax² + bx + c Lembre-se: nos softwares os sinais de algumas operações não são os mesmos utilizados

nos cálculos efetuados no caderno. 4º) Agora clique no ícone mover da barra de ferramentas. Dê dois cliques no ponto de um

dos seletores, segure e arraste-o pela barra. Observe os valores que vão se alterando conforme arrastado o ponto, e também observe o comportamento do gráfico da função. Repita para os outros parâmetros e investigue o emprego dos parâmetros a, b e c no gráfico da função quadrática. Confira se acontece o mesmo com o gráfico obtido pelo software Br.OfficeCalc quando alteramos seus parâmetros.

5º) Agora na entrada, digite ∆= −4 ∙ a ∙ c, o delta é obtido no ícone ao lado da barra de

digitação onde inicialmente é representado pela letra grega ∝. Tecle Enter e o resultado calculado aparecerá na janela de álgebra. Observação caso a janela de álgebra esteja implícita clique em Exibir na barra de ferramentas e em seguida janela de álgebra.

6º) Agora calcule as raízes da função, na entrada digite x′ = (−b + sqrt ∆ )/2 ∗ a), observe que neste software a raiz quadrada pode ser calculada pelo comando sqrt(x) localizado no primeiro ícone ao final da barra de digitação das fórmulas. Depois disso tecle Enter e o resultado aparecerá na janela de álgebra. Para obtenção do x‟‟ repita o processo, porém com a utilização agora do sinal negativo, observe ainda que o x‟‟ só é aceito se for digitado com duas apostrofes e não com aspas.

7º) Em uma folha para ser entregue, as duplas deverão relatar todas as suas observações

em relação ao gráfico, coeficientes da função, delta e raízes, respondendo as seguintes questões:

Quadro 4 - Roteiro de Atividades III.

O que acontece com o gráfico quando se altera aleatoriamente cada constante, ou seja, seus parâmetros a, bec?

O que acontece se variarmos apenas o valor da constante a, utilizando um valor negativo e depois um positivo?

Se aumentarmos ou diminuirmos o valor de a altera-se o gráfico da função? De que forma? Relacione o coeficiente a com a posição da parábola.

Em relação aos coeficientes b e c, se aumentarmos seus valores altera-se o gráfico da função? De que forma?

Em relação aos coeficientes b e c, se diminuirmos seus valores altera-se o gráfico da função? De que forma?

Alterando os valores dos coeficientes continuamos ou não com a função inicial que desenhamos. Explique.

Qual sua conclusão sobre o emprego dos parâmetros (a, bec) na função quadrática.


37

(conclusão)

8º) Salve o arquivo com o seu nome seguido do número 3, na pasta pessoal.

Quadro 5 - Roteiro de Atividades III.


Caso os alunos ainda não tenham tido contato com o programa, o professor

poderá apresentá-lo por meio de um projetor multimídia ou até mesmo com

observações no roteiro de atividade.

Figura 12 - Visualização do 1º e 2º passos da atividade do Roteiro de Atividades III.


Sempre é possível encontrarmos as raízes da equação que se forma se alterarmos arbitrariamente os valores dos parâmetros da fórmula geral da função quadrática? Em caso negativo quando não é possível?

O que acontece com as raízes se o delta é igual a zero? E se o delta for maior que zero, ou seja, positivo? E ainda se o delta for menor que zero?

Em relação ao gráfico o que acontece se o delta é igual a zero? E se o delta for maior que zero, ou seja, positivo? E ainda se o delta for menor que zero?

38

Figura 13 - Visualização do 3º passo da atividade do Roteiro de Atividades III.


Com o quinto e sexto passo, que são opcionais, uma vez que já estão

inclusos na Atividade II, e o terceiro e quarto passos, os alunos poderão investigar a

relação do delta, das raízes e do gráfico da função de uma forma mais dinâmica.

Para a realização da atividade investigativa e elaboração do relatório

solicitado no sétimo passo, podem ser observadas as duas construções, da

Atividade II e da Atividade III.

Após a realização desta atividade, o professor poderá solicitar que as duplas

socializem suas observações para comparação dos resultados.

Os alunos deverão concluir que:

Quando𝑎 > 0 a concavidade é voltada para cima;

Quando 𝑎 < 0 a concavidade é voltada para baixo;

Quanto menor o valor de 𝑎, em módulo, maior será a abertura da parábola;

Quanto maior o valor absoluto de 𝑎, menor será a abertura da parábola;

O coeficiente 𝑏 determina o quanto o gráfico se desloca para a direita ou

para a esquerda;

Quanto maior o valor de 𝑏 mais ela se localiza à esquerda do eixo 𝑦;

Quanto menor o valor de 𝑏 mais ela se localiza à direita do eixo 𝑦;

O valor de 𝑐 determina o ponto em que ao gráfico da função corta o eixo das

ordenadas;

39

Quando ∆> 0 a função tem duas raízes reais desiguais, se ∆< 0 a função

não tem raiz real e se ∆= 0 a função tem uma raiz real dupla (𝑥’ = 𝑥’’).

40

5 RELATO DE EXPERIÊNCIA

As atividades propostas, com exceção da atividade Atividade II –

Coeficientes da Função Quadrática com a utilização do Br. Office Calc, foram

realizadas com alunos do primeiro ano do Ensino Médio de um colégio situado no

município de União da Vitória, Paraná. A escolha do colégio deu-se principalmente

por ser um dos três disponíveis na cidade para a realização das atividades de

Estágio Curricular Supervisionado, uma etapa obrigatória dos Cursos de Formação

de Professores de acordo com as Resoluções CNE/CP nº1/2002 e CNE/CP

nº2/2002, e ainda por apresentar em suas dependências um laboratório de

informática com os computadores fornecidos pelo Programa Paraná Digital e

ProInfo.

Assim, a aplicação das atividades ocorreu durante o cumprimento do meu

Estágio Curricular Supervisionado previsto no Artigo 1º do Regulamento de Estágio

Curricular Supervisionado do curso de Licenciatura em Matemática da FAFIUV, em

que trabalhei doze horas aula, mediante avaliação para a obtenção do grau de

Licenciada em Matemática. A prática possibilitou verificar a realidade escolar desta

época e instituição que o professor regente vivencia.

A partir da definição de Funções quadráticas, raízes da função e valor da

função em um ponto, e ainda alguns exercícios de fixação, iniciei na terceira aula

das doze exigidas no Estágio Curricular Supervisionado a atividade do Roteiro de

Atividades I: estudo dos gráficos de Funções quadráticas.

O professor regente da turma trabalhada relatou que utilizava o laboratório

de informática com certa frequência, o que poderia influenciar de forma positiva nas

atividades propostas. Com relação ao laboratório de informática, neste havia um

quadro negro, giz e apagador disponíveis e ainda era possível a instalação de

projetor multimídia mediante solicitação antecipada.

Após o anúncio em sala de aula que as próximas atividades seriam

realizadas no laboratório de informática, houve muita agitação, uma vez que tinham

consciência que seria sem dúvida uma aula de matemática “diferente” das

tradicionais, a começar pelo ambiente do laboratório, quebrando o paradigma sala,

quadro, giz e professor.

Ainda na sala de aula expliquei rapidamente a primeira atividade a ser

desenvolvida nos computadores, após efetuar a correção de alguns exercícios da

41

aula anterior. Então, depois de alguns minutos (tempo gasto com o deslocamento

dos alunos até o laboratório de informática, acomodação e o fato ligar os

computadores) foram entregues os Roteiros de Atividades. Expliquei novamente a

atividade a ser feita e com a utilização de um projetor multimídia fomos seguindo os

passos do Roteiro de Atividades I.

Alguns alunos utilizaram computadores PRD e outros os do ProInfo, por não

haver computadores PRD disponíveis para todos. Houve dificuldade por parte de

alguns alunos para a realização do primeiro passo, o cálculo, no caderno, de 10

pontos da determinada função. Por causa disso, esbocei no quadro negro a tabela, a

função e um exemplo de como obter o ponto. Também neste momento alertei que

para a digitação dos valores da variável 𝑥, ou seja, dos valores escolhidos para

formarmos os pontos do gráfico, estes deveriam ser dispostos em ordem crescente,

para a correta efetivação da atividade.

Nesta altura alguns já estavam seguindo as próximas etapas, ou seja, a

digitação da tabela, enquanto os outros ainda calculavam os pontos. Isto acaba

sendo inevitável, e contribui para as conversas paralelas atrapalhando o resto da

turma e ainda para a distração destes alunos com outras ferramentas do

computador, como a internet. Alguns alunos tentaram acessar a internet, como não

havia como desativá-la, orientei os mesmos e depois o restante da turma avisando-

os que caso alguém insistisse na utilização desta ferramenta que naquele momento

não fazia parte das atividades, retornaríamos para a sala de aula. Daí então não

houve mais este problema.

Estava prevista a utilização do projetor, para que como um “passo a passo”

eles conseguissem acompanhar o desenvolvimento das atividades, porém o mesmo

não estava bem configurado e acabou limitando a interface do software. A

consequência foi que sem a barra de ferramentas não foi possível terminar a

atividade coletivamente com os alunos. A alternativa foi ajudá-los individualmente.

Como alguns já haviam digitado a tabela fui auxiliando-os para a inserção

do gráfico destes pontos e a conclusão do quarto passo. O mesmo se deu com os

outros alunos até que todos conseguiram inserir o gráfico.

Neste momento anunciei a atividade investigativa apesar de ter apenas

cinco minutos de aula. Houve agitação de muitos e até mesmo frustração de alguns

pelo fato de o gráfico não ficar igual ao do outro. Esclareci que isso aconteceu por

conta da escolha dos valores de 𝑥 . Porém ocorreu de alunos não digitarem em

42

ordem crescente os valores da variável, e assim não obtiveram um gráfico coerente

com os demais. Não houve tempo suficiente para refazer os passos, então pedi que

observassem a forma do gráfico juntamente com os outros alunos para a entrega

dos relatórios.

A maioria conseguiu visualizar apenas com o gráfico desses pontos a forma

do gráfico da função, e inclusive relataram como tendo a “forma de um U”. Apenas

alguns entregaram o relatório, que por consequência da falta de tempo, permiti que

fosse entregue na próxima aula. Acredito que alguns não entregaram pelo fato de

não conseguirem executar a atividade. Percebi que isto causou certo desconforto,

ou certa decepção para esses alunos, uma vez que estavam todos ansiosos pela

conclusão da atividade.

Os alunos comentaram no final da aula que iriam tentar refazer a atividade

em casa, tendo em vista que a maioria tinha um computador com o similar Microsoft

Office Excel. Percebi que eles ficaram maravilhados em poder utilizar aquele

software para conteúdos escolares, como gráfico de funções. Talvez este exercício

trouxe outra visão com relação as funções deste programa e a matemática.

Ainda em relação a essa atividade, houve muita conversa, foi difícil controlar

a turma e tive que chamar a atenção de um modo geral muitas vezes. Talvez isso

pudesse ser evitado se antes da vinda ao laboratório fosse firmado algumas regras

com a turma para a utilização de equipamentos, ferramentas e a questão da

agitação destes alunos, embora eu soubesse da importância desse acordo com os

alunos pelo nervosismo do estágio e a pressa de ir para o laboratório acabei

esquecendo. Também percebi a importância de o professor testar os equipamentos

da escola, como no caso do projetor multimídia, e dos computadores, pois apesar de

haver uma pessoa responsável, muitas vezes essas tarefas são ignoradas. Isso

acaba conspirando de forma negativa para a realização deste tipo de atividade, uma

vez que nem sempre o professor dispõe de tempo para estas tarefas ou até mesmo

confia que o responsável tenha testado os equipamentos antes de sua utilização, o

que nem sempre ocorre de fato, causando transtornos e atrasos no decorrer da aula.

Foi evidente a empolgação dos alunos em utilizar o laboratório, pois se

tratava de atividades diferenciadas das rotineiramente feitas nas aulas de

matemática, em um ambiente que os favorece. Tendo em vista que a maioria dos

jovens gosta e se interessa por tecnologias o que os leva a querer conhecer novas

43

possibilidades com as mesmas, e também de utilizá-las talvez por se tratar de algo

comum em seu cotidiano fora do ambiente escolar, tanto quanto a caneta e o papel.

Acredito que a atividade desenvolvida nesta primeira aula realizada no

laboratório de informática despertou a curiosidade dos alunos com relação à

atividade proposta, pois o objetivo era “descobrir” a forma da função do segundo

grau, que neste caso foi representada pela função 𝑓 𝑥 = 𝑥² . Pela decepção

daqueles, que não conseguiram realizar a atividade, foi possível perceber que de

alguma forma aquilo era importante para eles, queriam descobrir por si mesmos, ou

seja, observar a forma do gráfico daqueles pontos através do seu gráfico.

O desenvolvimento da atividade não foi fácil, pois o desenrolar das

atividades não é uniforme entre os alunos, existem pessoas com mais dificuldades o

que acaba alterando a velocidade do andamento da atividade, fazendo com que

aqueles alunos que já terminaram aquele determinado passo se dispersem com

outras ferramentas do equipamento. Acabei não pedindo aos alunos que estavam

adiantados na atividade que ajudassem os outros para que não houvesse tumulto,

uma vez que eram poucos os que estavam atrasados.

Antes de nos deslocarmos para o laboratório na segunda aula, estabeleci

algumas regras, não entrar na internet, não estragar os equipamentos e exigi mais

colaboração novamente alertando-os que caso eles não cumprissem o acordo

teríamos que voltar para a sala de aula.

A segunda aula no laboratório de informática foi continuação da atividade

descrita no Roteiro de Atividades I, a partir do quinto passo, onde deveria ser

construído o gráfico dos pontos da função 𝑔(𝑥). Porém desta vez o software Br.

Office Calc é que calcularia esses pontos.

Visto que houve problemas com o primeiro projetor multimídia utilizado, optei

por utilizar outro, porém este foi instalado após a chegada dos alunos ao laboratório

o que causou tumulto, e ainda por conta desse atraso não foi possível realizar testes

no equipamento.

Iniciei as atividades primeiramente explicando a questão abordada no sexto

passo e em seguida solicitando que ditassem os valores dados para a variável. O

próximo passo era separarmos os coeficientes da função e digitá-los na planilha

para darmos os comandos corretos a fim de que o software calculasse os pontos da

função. Os passos estavam visíveis na projeção.

44

Neste momento quando iríamos iniciar o cálculo do valor da coordenada 𝑦

do primeiro ponto o projetor deixou de projetar a imagem mesmo estando ligado,

sem ninguém tê-lo tocado. Assim, para não perdemos mais tempo com consertos e

ajustes, decidi continuar a aula explicando os passos por meio do quadro negro, o

que dificultou o entendimento dos alunos, tendo em vista que o oitavo passo exigia

mais atenção por conta da abstração.

Houve muita dificuldade de alguns alunos em entender o que estávamos

fazendo, mesmo com a explicação no quadro e analogias com o cálculo manual. Por

isso solicitei que os alunos que já haviam terminado de digitar a fórmula ajudassem

quem ainda não havia feito.

Neste momento os periféricos de quatro computadores deixaram de

funcionar corretamente. Solicitei que estes alunos formassem duplas com os outros

para a conclusão da atividade.

Após todos conseguirem encontrar o primeiro resultado solicitei que

tentassem o mesmo procedimento só que agora com 𝑥 = −14. Porém não houve

tempo suficiente para a conclusão das atividades e os alunos ficaram chateados por

não conseguirem realizar a atividade por completo.

Esta segunda aula no laboratório corresponde à segunda aula do horário

escolar, sendo que a próxima aula com a turma seria na quinta aula daquela mesma

manhã. Como os alunos não haviam salvo os passos já feitos da atividade e era

dispensável refazê-los na próxima aula, por falta de tempo e principalmente pelo fato

de que o objetivo maior da atividade era a investigação da forma deste gráfico e não

sua construção, resolvi refazer os passos deletados e disponibilizar em todas as

máquinas para a continuação da atividade. Na quinta aula retornamos ao laboratório

e solicitei que continuassem a atividade calculando o valor do segundo ponto. Desta

vez os alunos demonstraram mais facilidade na obtenção do valor da 𝑔 −14 , mas

mesmo assim precisaram de muito auxílio.

Mostrei que poderíamos fazer com que o software calculasse o valor de 𝑔(𝑥)

para cada um dos valores de 𝑥 determinados sem precisar digitar a fórmula da

função desejada para todos os valores. Precisavam ser fixados os valores dos

coeficientes da função. Neste momento houve muitas dúvidas e dificuldade dos

alunos em reconhecer os coeficientes na fórmula digitada. Então, além de auxiliá-los

por meio do quadro negro, os auxiliei individualmente. Após a conclusão deste

passo e a obtenção da tabela com todos os valores, solicitei que inserissem o

45

gráfico da função e relatassem todas as observações com relação à forma do gráfico

da função.

Neste momento percebi que alguns alunos não haviam feito os cálculos,

apenas digitaram na planilha os resultados que os outros alunos tinham obtido e por

isso não conseguiam calcular para os outros valores da variável. Alegaram não

saber fazer a atividade, então os auxiliei até a obtenção da tabela, restando para

eles a inserção do gráfico e a atividade investigativa.

Os alunos ficaram empolgados em saber que iriam terminar as atividades

que haviam começado e colaboraram para que fosse possível a realização. A

participação com relação aos relatórios foi maior. Acredito que pelo fato de todos

conseguirem concluir as atividades e ainda por sobrar um tempo razoável para a

investigação da forma do gráfico das funções quadráticas. Os alunos obtiveram

conclusões com a comparação dos dois gráficos de pontos construídos “nós

formamos o gráfico em forma de [...] uma montanha, e o passado foi igual o „U‟[...] é

o contrário do outro”.

Com relação à investigação os alunos tiveram muito receio de explicitar suas

observações por medo de errar. Essa insegurança pode ser reflexo das

metodologias “tradicionais” utilizadas pelos professores. Percebi que sem aval eles

não acreditavam em suas observações.

Percebe-se por este segundo dia de utilização do laboratório de informática

que não é possível prever todos os acontecimentos. Por isso o professor deve

sempre ter alternativas para que tais imprevistos não acabem prejudicando o

desenvolvimento das atividades.

Pela questão do tempo ser insuficiente, não foi construído o gráfico da

função 𝑕 e a atividade foi concluída com a comparação do gráfico das funções 𝑓 e 𝑔,

com duração de três aulas de cinquenta minutos. Pelo fato de o Estágio

Supervisionado de Regência ter duração de doze aulas, sendo que nestas aulas

devem ser feitas avaliações além do conteúdo ministrado disponível no

planejamento, para haver tempo para a realização das outras atividades optei por

não realizar a atividade descrita no Roteiro de Atividades II, passando para a

realização da atividade do Roteiro de Atividades III.

Para a realização da atividade do Roteiro de Atividades III, utilizou-se o

software GeoGebra, e na proposta descrita neste trabalho os alunos construíram o

gráfico dinâmico da função quadrática. Porém na aula disponível para isso os

46

computadores PRD não estavam ligando e a pessoa responsável não se encontrava

na escola, além disso, os computadores ProInfo não acessavam a internet para a

utilização do software GeoGebra, uma vez que o sistema ProInfo não dispõe do

software instalado. Outra pessoa que não era responsável pelo laboratório tentou

ajudar, porém a tentativa foi falha, com isso mais da metade da aula foi

desperdiçada. Então, em sala de aula nos últimos quinze minutos, retomei tópicos

estudados anteriormente como obtenção das raízes da função, valor da função em

um ponto, gráfico e identificação dos coeficientes da função.

Os computadores foram utilizados pela turma na segunda e na última aula

de sexta-feira, em que na segunda aula ocorreu dos periféricos de quatro

computadores não funcionarem. Porém foi relatado o ocorrido ao responsável e

reparado, já o acontecimento dos computadores não ligarem ocorreu na segunda-

feira na primeira aula por isso não foi feito nenhum teste antecipado para verificação

do bom funcionamento das máquinas.

Por conta deste equívoco para a próxima aula com a turma, que seria na

quarta aula do horário escolar, decidi deixar a atividade de construção do gráfico

pronta e disponível em todos os computadores. Ficou apenas a atividade de

investigação do emprego dos coeficientes da função quadrática e a relação do delta

e das raízes com o gráfico da função.

Primeiramente solicitei que os alunos, em duplas, descobrissem o emprego

de cada parâmetro da função depois, que investigassem a relação do gráfico da

função quadrática com o delta e suas raízes. Acredito que esta foi a atividade que

eles mais gostaram, talvez por ela ter a característica de ser mais dinâmica, eles

ficaram empenhados e interessados para descobrir o que cada parâmetro fazia com

o gráfico, porém na hora de relatar mais uma vez senti que eles não estavam

confiantes apesar de verem a simulação no GeoGebra.

Percebi que os alunos gostaram das atividades de uma maneira geral,

principalmente da parte de construção, mas apesar da dificuldade da realização da

investigação muitos não aprovaram esta metodologia, ou até mesmo ficaram com

preguiça de realizar por completo a parte investigativa. Acredito que isso aconteceu

por não estarem habituados com esta metodologia de ensino.

O dinamismo deste gráfico proporcionou observações que seriam muito

difíceis de serem feitas apenas com a utilização do quadro e giz ou papel e caneta.

Houve muitas observações interessantes como a feita por uma aluna que “o maior

47

número negativo era o -1” e que os outros só eram maiores em módulo e ainda que

quanto maior o parâmetro 𝑎 a abertura da parábola diminui e quanto menor o 𝑎 ela

aumenta.

Também com relação a esta atividade, percebi que eles não copiavam as

observações um do outro e queriam descobri-las sozinhos. Tiveram mais dificuldade

em descobrir a relação do delta, das raízes e do gráfico da função, quando os

auxiliei. Porém percebi que no relatório acabaram omitindo algumas observações

que chegaram a perguntar se estavam certas, não houve tempo suficiente para a

formalização dos conceitos naquela aula então foi realizada na aula seguinte.

Outra observação é que mesmo a maioria dos alunos possuindo computador

em casa, ou acesso a este equipamento por meio de lan houses, demonstraram

precisar da ajuda do professor para realização das atividades, o que mostra a

importância do educador no uso das tecnologias nas aulas de matemática. Porém,

percebi um pouco de vergonha por parte dos alunos em perguntar coisas básicas

referentes aos softwares, como se fossem obrigados a conhecer as técnicas de uso

dos mesmos. Talvez no âmbito escolar haja algum tipo de imposição com relação às

técnicas de uso das tecnologias criada pelos próprios alunos. Acredito nisso, pois

nesta turma havia uma menina que tinha muita dificuldade com relação às

construções e percebi certo sarcasmo de seus colegas com relação a esta

dificuldade, o que os inibiu de fazer mais perguntas.

Como alguns alunos tinham conhecimento em informática, é difícil fazer com

que ouçam atenciosamente os passos a seguir. Também é fato que as atividades

propostas precisam de um tempo adequado para sua plena realização. Caso

contrário pode acontecer de as atividades não serem totalmente exploradas, o que

acaba dificultando ainda mais o esclarecimento dos conceitos matemáticos

envolvidos a aquele aluno que já apresentava certa dificuldade no momento da

investigação.

Na realização da primeira e segunda atividade não consegui explorar as

atividades de modo significativo, principalmente pela falta de tempo, o que acarretou

certa dificuldade em atividades subsequentes.

Pelas TICs e a Investigação Matemática serem novas metodologias de

ensino, não são comuns na prática docente de muitos professores nas escolas

públicas, e isso causa estranhamento por parte dos alunos que acham que a

atividade não leva alugar algum e que o professor não está ministrando a aula

48

corretamente. Esses alunos com essa visão provavelmente não desenvolveram a

capacidade de observar fatos matemáticos, questioná-los, conjecturando sobre eles

e refletindo com uma posição crítica aos mesmos, apenas os aprenderam de forma

expositiva e mecânica. Talvez este também seja o motivo da insegurança e do medo

de “errar” em suas conjecturas.

Portanto, acredito que se os alunos já estivessem realmente familiarizados

com o uso dos computadores no processo de ensino-aprendizagem de matemática,

com a utilização de novas metodologias de ensino e ainda acostumados com o

ambiente do laboratório de informática as atividades desenvolvidas teriam sido

realizadas com mais rapidez e ainda teriam sido mais produtivas para a

aprendizagem do aluno.

A impressão que eu tive da visão dos alunos com relação ao uso do

laboratório de informática é que não o vêem como um ambiente de aprendizagem

formal, e sim como uma diversão ou distração. Não que aprender não possa ser

divertido, entretanto acredito que eles não têm essa visão, sendo que para eles essa

diversão se dá por não notarem o computador como um equipamento que pode

auxiliá-los na aprendizagem de conteúdos matemáticos, mas como um equipamento

utilizado para sua diversão, jogar, acessar a internet e redes sociais etc.

Creio que isso também acontece com professores, de terem esta visão

distorcida do uso das TICs em suas aulas, uma vez que julgam que os

computadores não foram criados com o objetivo de ensinar e sim para facilitar

cálculos e o trabalho principalmente de funcionários de empresas e escritórios,

assim acabam duvidando das possibilidades alcançadas com o uso destes

equipamentos.

49

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Apesar dos imprevistos, principalmente com problemas técnicos que torna o

uso dos computadores para alguns professores um problema, é muito gratificante

realizar esse tipo de atividade, uma vez que chama a atenção do aluno para a aula,

além de proporcionar um momento para o mesmo pensar, refletir e visualizar

conceitos matemáticos, o que não é comum nas aulas “tradicionais”.

O dinamismo proporcionado pelos softwares aguça a curiosidade e

conjecturas com respeito aos conteúdos matemáticos envolvidos, o que favorece

debates e argumentos. Com isso os alunos constroem seus conhecimentos, e não

apenas os recebem do professor de forma passiva.

Nesta oportunidade em que realizei as atividades os estudantes não tinham

contato com metodologias diferenciadas de ensino, apesar de já utilizarem o

laboratório de informática algumas vezes, porém não em conjunto com atividades

investigativas. Assim é natural que ocorra estranhamento por parte dos alunos, já

que passaram praticamente toda a vida escolar tendo apenas aulas expositivas.

“Pode-se dizer que os ambientes informatizados apresentam-se ainda como simples

ferramentas de suporte ao processo de ensino e aprendizagem. Está-se procurando

mudança nos métodos, a partir da incorporação dos novos recursos”, ressalta

Gravina e Santarosa (1998, p. 21).

Ao fim das aulas restritas ao Estágio Curricular Supervisionado, foi

elaborado e aplicado um questionário investigativo, com o objetivo de saber do aluno

se ele gostou ou não das aulas no laboratório de informática, sua opinião quanto à

aprendizagem do conteúdo matemático de funções quadráticas por meio das

atividades diferenciadas no laboratório de informática, além de sua avaliação

pessoal.

Acredita-se que pela questão da dependência dos alunos às aulas

expositivas, alguns alunos citam gostar mais de “aulas normais” onde dizem

“aprender melhor porque a professora explica melhor”.

Também é fato que alguns não gostam de atividades, nas quais precisem

pensar e ficam esperando auxílio do professor, ou até mesmo não confiem em suas

conjecturas se não há o aval do educador, o que também pode ser reflexo da forma

letárgica que sempre receberam os conteúdos.

50

A maioria representada por 89% dos estudantes alega preferir aulas no

laboratório de informática e avaliam as atividades boas por aprender de um “jeito

diferente”, “dinâmico e mais fácil de entender a matéria”, inclusive citam que foi bom,

pois “aprendi a mexer em um programa que não sou muito chegado”. Acreditam

também que “fica muito mais fácil fazer os gráficos do que [...] fazer na mão” e ainda

declaram que “apesar de às vezes ser complicado, a gente presta mais atenção por

ser uma forma diferente de aprendizado”.

Embora 11% dos alunos tenham declarado preferir aulas na sala de aula,

95% revelam gostar das atividades desenvolvidas no laboratório de informática.

Claro que existem muitas questões envolvidas no que diz respeito à

integração das tecnologias na prática docente, como preparo dos professores e

disponibilização de espaço e equipamentos de qualidade. Porém são evidentes os

resultados positivos obtidos com a utilização dos recursos tecnológicos no ensino-

aprendizagem.Assim, acredita-se ser um imperativo investimentos para a quebra de

paradigmas nas escolas brasileiras, além de incentivos à profissão do professor para

que cada vez mais busque renovar e aperfeiçoar sua prática, de acordo com as

novas tendências de ensino que são solicitadas pelas mudanças na sociedade. Com

a inserção das TICs

não se espera que milagres aconteçam, mas almeja-se que a qualidade de nosso ensino possa melhorar com a introdução delas, fazendo com que as aulas sejam mais criativas, motivadoras, dinâmicas e que envolvam os alunos para novas descobertas de aprendizagem. (CÂNDIDO, s.d., p.333)

É muito importante o professor acreditar e insistir na utilização das

tecnologias em sua prática de ensino, assim poderá adquirir experiência na

utilização destes equipamentos, uma vez que há dificuldades de se trabalhar com

esta metodologia e também que nem todas as etapas planejadas acontecerão como

esperado. Acredito que antes de algum resultado positivo em algum determinado

desafio é preciso acreditar e se dedicar para este resultado. Portanto, o professor

precisa desta consciência para cada vez mais aperfeiçoar sua prática explorando

todas as possibilidades que o correto uso das tecnologias pode proporcionar.

51

REFERÊNCIAS

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ATOÉ, A. SILVA, H. da. O Desenvolvimento Histórico das Novas Tecnologias e seu Emprego na Educação.In: PLANO DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL. Anais Eletrônicos. Disponível em: <http://www.dtp.uem.br/gepiae/pde/dhnt.pdf>. Acesso em: 4 jul. 2012.

BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. 4. ed. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2010.

BOVO, A. A. Formação Continuada de Professores de Matemática para o Uso de Informática na Escola: Tensões entre propostas e implementações. 2004, 358. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2004. Disponível em <http://www.rc.unesp.br/gpimem/downloads/dissetacoes/bovo_aa_me_rcla.pdf>. Acesso em: 10 jan. 2012.

BRANDT, S. T. J.; MONTORFANO, C. O Software GeoGebra como Alternativa no Ensino da Geometria em um Mini Curso para Professores. In: PLANO DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL. Anais Eletrônicos. Disponível em: <http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/329-4.pdf>. Acesso em: 4 jul. 2012.

BRASIL. Lei de Diretrizes e Bases da Educação. Brasília, 2010.

CAMPOS, A. O que é software livre? Disponível em: <http://br-linux.org/faq-softwarelivre/ >. Acesso em: 18 jul. 2012.

CÂNDIDO, L. A. Implicações do Uso da Informática na Sala de Aula de Matemática. In: CONGRESSO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA. Centro Universitário de Franca. Anais Eletrônicos. Disponível em: <http://legacy.unifacef.com.br/novo/3fem/Inic%20Cientifica/Arquivos/Laise.pdf>. Acesso em 4 jul. 2012.

CANO, C. A. Os Recursos da Informática e os Contextos de Ensino e Aprendizagem. In: Sancho, J. M. (Org.). Para uma Tecnologia Educacional. Tradução de Beatriz Afonso neves. 2. ed. Porto Alegre: ArtMed, 1998.

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