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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ – UNESPAR – CAMPUS DE

UNIÃO DA VITÓRIA

COLEGIADO DE MATEMÁTICA

CARLOS KRASSOWSKI FILHO

A MATEMÁTICA POR TRÁS DA MÚSICA: UM ESTUDO TEÓRICO COM

ÊNFASE NAS ONDAS SONORAS

UNIÃO DA VITÓRIA

2014

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CARLOS KRASSOWSKI FILHO

A MATEMÁTICA POR TRÁS DA MÚSICA: UM ESTUDO TEÓRICO COM

ÊNFASE NAS ONDAS SONORAS

Trabalho de conclusão de curso (TCC) apresentado à disciplina TCC, como requisito parcial para obtenção do grau de licenciado em Matemática.

Orientador: ProfºMs. Felipe Wisniewski

UNIÃO DA VITÓRIA

2014

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“Música é um exercício inconsciente de cálculo”

Gottfried Wilhelm Leibniz

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RESUMO

O presente trabalho aborda alguns padrões matemáticos inerentes à música, perpassando por conceitos físicos, mais especificamente as ondas sonoras. Neste contexto, também são contemplados alguns aspectos teóricos que defendem o uso de analogias na construção de conhecimentos, sugerindo a música como uma realidade, uma fonte destas analogias. A abordagem física faz uso de alguns conceitos matemáticos presentes no currículo do ensino médio brasileiro: funções trigonométricas e logaritmos, conteúdos que receberam um capítulo exclusivo. Sob um contexto de formação docente, este trabalho contribui no sentido de apresentar uma das possíveis realidades que a Matemática se faz presente, servindo de base para a construção de analogias.

PALAVRAS-CHAVE: Música; Ondas sonoras; Funções trigonométricas.

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Esquema das divisões dos conceitos musicais. ................................ 15

Figura 2: Ciclo das notas musicais. .................................................................. 17

Figura 3: Partitura em branco. .......................................................................... 18

Figura 4: com uma nota sol semínima.............................................................. 18

Figura 5: Partitura com uma nota lá semínima. ................................................ 18

Figura 6: Partitura com a nota sol sustenido semínima. ................................... 18

Figura 7: Partituras com as semínimas Sol, Sol sustenido, Lá e Lá sustenido. 19

Figura 8: Partitura composta por 3 compassos em branco. ............................. 19

Figura 9: Partitura de compassos 4 por 4......................................................... 19

Figura 10: Exemplo de uma partitura de compasso 4 por 4 com notas. .......... 20

Figura 11: Partitura composta por mínimas. ..................................................... 20

Figura 12: Partitura com mínimas e semínimas. .............................................. 20

Figura 13: Partitura composta por colcheias. ................................................... 21

Figura 14: Partitura em compasso ternário. ..................................................... 21

Figura 15: Partitura de compasso 6 por 4. ....................................................... 21

Figura 16: Partitura com três notas simultâneas. ............................................. 22

Figura 17: Partitura composta por duas pautas. ............................................... 22

Figura 18: Partitura da Figura 17 com duas pautas com destaque para a

harmonia. ......................................................................................................... 23

Figura 19: Partitura da Figura 17 com duas pautas com destaque para a

melodia. ............................................................................................................ 23

Figura 20: Representação geométrica de um triângulo retângulo. ................... 25

Figura 21: Representação do triângulo OA1A2 em uma circunferência. ........... 26

Figura 22: Representação do triângulo OA1A2 em uma circunferência. ........... 27

Figura 23: Representação do seno de 𝛽 no círculo trigonométrico. ................. 28

Figura 24: Representação do cosseno de 𝛽 no círculo trigonométrico. ........... 30

Figura 25: Representação da tangente de 𝛽 tangente ao círculo trigonométrico.

......................................................................................................................... 32

Figura 26: Representação gráfica da função 𝑠𝑒𝑛(𝑡). ........................................ 33

Figura 27: Representação gráfica da função 2𝑠𝑒𝑛(𝑡) comparada a 𝑠𝑒𝑛(𝑡). ..... 34

6

Figura 28: Representação gráfica da função 𝑠𝑒𝑛2𝑡(em vermelho) comparada a

𝑠𝑒𝑛(𝑡) ............................................................................................................... 34

Figura 29: Representação gráfica da função 𝑠𝑒𝑛(𝑡 + 1). ................................. 35

Figura 30: Representação Gráfica da função 𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 2. ................................. 35

Figura 31: Representação gráfica da função 2𝑠𝑒𝑛(𝑡𝑥 + 2) + 2. ....................... 36

Figura 32: Representação gráfica da função cos(𝑡). ....................................... 36

Figura 33: Representação gráfica da função 3cos(4𝑡 + 2) + 1. ....................... 37

Figura 34: Representação gráfica da função tan(𝑥). ....................................... 37

Figura 35: Representação gráfica da função sec(𝑥). ....................................... 38

Figura 36: Representação gráfica da função 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥). .................................. 38

Figura 37: Representação gráfica da função 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛(𝑥). .................................... 39

Figura 38: Representação gráfica da soma das funções 𝑓 e 𝑔. ....................... 40

Figura 39: Onda transversal presente em uma mola. ...................................... 44

Figura 40: Onda longitudinal presente em uma mola. ...................................... 44

Figura 41: Representação gráfica da onda com destaque para a amplitude. .. 45

Figura 42: Comprimento de uma onda (Considerando o eixo das abscissas com

os valores de 𝑥 e os valores das ordenadas como 𝑦 = (𝑥, 0)). ........................ 45

Figura 43: Período de uma onda (Considerando o eixo das abscissas com os

valores de t e os valores das ordenadas como 𝑦 = (0, 𝑡))................................ 47

Figura 44: Onda senoidal no instante 𝑡 = 0 com uma constante de fase (a)

𝜙 = 0 e (b) 𝜙 =𝜋

5. ............................................................................................. 47

Figura 45: Exemplo da representação gráfica de uma superposição de duas

ondas................................................................................................................ 49

Figura 46: Onda sonora se propagando a partir de uma fonte pontual S. ........ 50

Figura 47: Distribuição de partículas, justapostas pela influência da pressão de

uma onda sonora. ............................................................................................ 51

Figura 48: Representação gráfica da função 𝑕𝑚𝑡 = 𝑕. 𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑓𝑡). ................... 55

Figura 49: Representação gráfica da influência da variação no caso especial

Δ𝑡 =1

4𝑃. ........................................................................................................... 56

Figura 50: Representação das frequências das notas na reta. ........................ 57

Figura 51: Representação gráfica da nota Lá (432hz). .................................... 59

Figura 52: Representação gráfica da nota Lá (432 Hz), aproximada. .............. 59

Figura 53: Representação Gráfica da nota Mi (323,63Hz) ............................... 60

7

Figura 54: Representação Gráfica de um acorde Dó Maior. ............................ 62

Figura 55: Representação gráfica de um acorde Ré Menor. ............................ 62

Figura 56: Divisão dos compassos no tempo. .................................................. 63

Figura 57: Partitura com 2 compassos quaternários. ....................................... 63

Figura 58: Representação gráfica dos compassos da figura anterior. ............. 64

Figura 59: Partitura com 2 compassos ternários. ............................................. 64

Figura 60: Representação gráfica dos compassos da figura anterior. ............. 65

Figura 61: Exemplo de uma superposição de Ondas geradas por um simulador.

......................................................................................................................... 66

Figura 62: Partitura de uma música com notas respeitando a proporção áurea.

......................................................................................................................... 67

Figura 63: Representação gráfica da partitura da Figura 62, considerando sua

duração 13 segundos. ...................................................................................... 67

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SUMÁRIO

INTRODUÇÃO ................................................................................................. 10

1. MOTIVAÇÃO PARA O ESTUDO ................................................................. 12

2. REVISÃO MUSICAL .................................................................................... 15

2.1 DEFINIÇÕES MUSICAIS ....................................................................... 15

2. 2 NOTAÇÃO MUSICAL............................................................................ 17

3. FUNDAMENTAÇÃO MATEMÁTICA ........................................................... 24

3.1 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS.......................................................... 24

3.1.1 Relações ângulo e comprimento de arco de circunferência ....... 26

3.1.2 Definição da função seno ........................................................... 27

3.1.3 Definição da Função Cosseno .................................................... 29

3.1.4 Outras funções trigonométricas .................................................. 31

3.1.5 Gráfico da Função Seno ............................................................. 33

3.1.6 Gráfico da função cosseno ......................................................... 36

3.1.7 Outros Gráficos ........................................................................... 37

3.1.8 Soma com senos e cossenos ..................................................... 39

3.2 LOGARITMOS ....................................................................................... 40

4. ESTUDO FÍSICO: PROPRIEDADES DAS ONDAS SONORAS E NOTAS

MUSICAIS EM FUNÇÃO DAS FREQUÊNCIAS .............................................. 43

4.1 ONDAS .................................................................................................. 43

4.1.1 Forma Da Onda .......................................................................... 45

4.1.2 Velocidade De Uma Onda Progressiva ...................................... 48

4.1.3 Princípio de superposição de ondas ........................................... 48

4.2 ONDAS SONORAS................................................................................ 49

4.2.1Ondas sonoras progressivas ....................................................... 50

4.2.2 Intensidade e nível sonoro .......................................................... 51

9

5. INTERPRETAÇÃO MATEMÁTICA DA MÚSICA ........................................ 55

5.1 CARACTERIZAÇÃO MATEMÁTICA DAS NOTAS MUSICAIS .............. 56

5.2 INTERPRETAÇÃO MATEMÁTICA DA HARMONIA .............................. 60

5.3 INTERPRETAÇÃO MATEMÁTICA DA MELODIA E DO RITMO ........... 63

5.4 SUGESTÕES DE APLICAÇÕES ........................................................... 65

5.4.1 O timbre ...................................................................................... 65

5.4.2 Um exemplo ................................................................................ 66

CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................. 68

REFERÊNCIAS ................................................................................................ 70

APÊNDICE A: Notas, Frequências, Tamanhos e Períodos de Ondas

Sonoras ........................................................................................................... 71

10

INTRODUÇÃO

A escolha do tema teve influência devido a afinidade entre a música e a

Matemática, que é de longa data. Pitágoras, na antiguidade, já fazia relações

entre elas procurando padrões e formas de deixar a música ainda mais bela.

Com o passar dos séculos, ambas foram desenvolvidas pela humanidade e

muitas utilizações foram encontradas. Na atualidade, a qualidade sonora se

apresenta diferente se comparada às produções mais antigas, isto se dá aos

avanços tecnológicos, programas computacionais que processam algoritmos,

fundamentados em relações matemáticas, que corrigem e delineiam o som.

Deste modo, a pergunta que motiva esse trabalho é: “quais são os

padrões matemáticos por trás da música? Por este motivo, se opta por

trabalhar com alguns elementos em especial: a melodia e a harmonia, com

suas subdivisões: ritmo, notas musicais e acordes.

O trabalho consiste em um estudo teórico, com o intuito de encontrar e

analisar alguns padrões matemáticos subjacentes à Música, para tal, são

propostos alguns objetivos: definir os elementos que compõem a música

(harmonia, melodia, ritmo, notas, acordes, escalas); explorar a Matemática que

está por trás destes elementos, definidos; analisar as funções periódicas do

som.

O trabalho procura estabelecer uma ligação entre três grandes áreas

do conhecimento, a Música, a Física e a Matemática. A Física servirá como

uma ponte entre as outras duas na maioria dos casos.

Este é um trabalho final de um curso de licenciatura, dessa forma, no

capítulo inicial é defendida a ideia da utilização de analogias no ensino,

propondo a música como uma realidade.

É realizado um estudo de um referencial teórico, com margem a outras

sugestões bibliográficas. Este estudo, inicialmente, é voltado para a área da

Música e da Física, com o intuito do desenvolvimento dos modelos e padrões.

Em seguida, com os padrões previamente definidos, é feito um uso de

conceitos matemáticos para que sejam analisados, a fim de entendê-los e,

contextualizados, possibilitando a proposta de novas aplicações e deduções de

outros padrões.

11

Trazendo uma visão mais geral da proposta, até o momento, o

esquema a seguir se mostra como um resumo de como está estruturada a

construção cognitiva do trabalho:

Música Física Matemática

A título de organização, o trabalho é dividido em capítulos. O primeiro

deles trata de um estudo mais humano, o qual procura fazer a ligação do

trabalho ao contexto de formação em licenciatura. O segundo, trás as noções

elementares de música, informações bastante básicas para que o leitor tenha

um conhecimento da linguagem musical. No terceiro são apresentados e

discutidos os conceitos matemáticos presentes no trabalho. O quarto é o

capítulo dos conceitos físicos. É ele que apresenta o conteúdo das ondas

sonoras. Por fim, o quinto capítulo procura fazer uma relação entre todos os

demais capítulos, ou seja, usar da Matemática para fundamentar a Física que

servirá para desvendar os padrões que há na Música.

12

1. MOTIVAÇÃO PARA O ESTUDO

Este capítulo destina-se a fazer contribuições em um contexto de

formação docente, situação de desenvolvimento de profissionais da educação

na área da Matemática.

Partindo do pressuposto de que é preciso saber “o quê”,“para quê”,

“para quem” e “como se ensina”, vê-se que saber “o quê” possui relações

bastante consistentes com o objeto do conhecimento, no caso, o saber

matemático e o “para quê” com a justificativa e contextualizações. Desta forma,

a proposta deste trabalho consiste em abordar o conhecimento matemático

(funções periódicas) e uma contextualização do mesmo (a música).

Matematicamente, este trabalho gira em torno das funções periódicas,

onde são exploradas suas propriedades e, principalmente, oferecida uma

contextualização da mesma em uma realidade das pessoas.

Não se pode deixar de lado que, para que haja compreensão do

trabalho, alguns conceitos da Física se fazem necessários, como as “Ondas”,

mais especificamente as “Ondas Sonoras” e as suas propriedades: velocidade,

frequência, período, propagação, materiais, entre outros. Esses conceitos

físicos auxiliam no entendimento de determinados fenômenos para que se

possa fazer uso das teorias matemáticas.

Nesse raciocínio, caso se fizesse uma adaptação de conteúdos para

um contexto de sala de aula, estaria se fazendo uma contextualização das

funções periódicas na música. Essa contextualização pode ser entendida como

uma analogia com a realidade.

Fonseca e Nagem (2010) defendem que o uso sistemático de

analogias, juntamente com modelos e metáforas, nos processos de construção

e ressignificação do conhecimento, pode permitir a geração de um processo

que relaciona o estranho e o familiar, com foco nos processos interativos na

construção de conhecimentos. O estranho se remete ao saber que ainda não

foi interpretado como conhecimento e o familiar concebe todo o conhecimento

já assimilado pelo aprendiz, ou seja, a sua bagagem conceitual, os

conhecimentos que já lhe fazem sentido e que possibilitam construções

cognitivas que podem ser expandidas a outros conhecimentos.

13

Assim, o estranho seria a função periódica e o familiar os

conhecimentos matemáticos necessários para entendê-las, bem como os

conhecimentos físicos, para que haja sentido. O caminho cabe ao processo de

modelação, a busca de uma função que represente os conceitos musicais.

Ainda dentro de um contexto de analogias, Adrover e Duarte (1995)

declaram que os modelos analógicos, por exemplo, a função criada ao final do

trabalho, que se remete à música como um contexto e a Matemática como a

ciência do conteúdo, servem como estratégia pedagógica e consistem em:

Uma modalidade de explicação, onde a introdução de novos conhecimentos por parte de quem ensina se realiza a partir do estabelecimento explícito de uma analogia com um domínio de conhecimento mais familiar e melhor organizado, que serve como um marco referencial para compreender a nova informação, captar a estrutura da mesma e integrá-la de forma significativa na estrutura cognitiva. ADROVER e DUARTE (1995).

Nesta definição, nota-se que surge o termo informação que pode ser

entendida como a ideia matemática pura, desprovida de pensamentos sobre.

Para que seja feita uma compreensão desta informação se pode fazer uso da

analogia, tendo esta, papel referencial e organizador. De tal modo, esta serve

como um fundamento, uma justificação para o novo conceito ou conteúdo,

servindo de apoio para o seu desenvolvimento.

Dreistadt (1968) em sua obra A Análise do uso das Analogias e

Metáforas na Ciência (An Analysis of the Use Of Analogies and Metaphors in

Science), afirma que elas são indispensáveis no processo científico, pois elas

reestruturam a memória e preparam para a vinda de novos conhecimentos e,

por esse motivo, muitos cientistas usam-nas para ter o gozo de novas

descobertas, trazendo contribuições para a ciência, pois elas acarretam

significados dentro da realidade humana, o que enriquece os sentidos dos

estudos destas apreciações. Desta forma, acredita-se que não apenas na

produção científica que as analogias trazem grandes auxílios, mas, também em

situações relacionadas à aprendizagem, pois ambas estão relacionadas com

certo tipo de descoberta.

Fonseca e Nagem (2010) interpretam na teoria de Vygotsky que a

analogia se incumbe à zona do desenvolvimento próximo entendida como:

14

A distância entre desenvolvimento real, determinado pela resolução de problemas independente e o nível de desenvolvimento potencial, por meio de resolução de problemas sob orientação de um adulto ou em colaboração com colegas mais capazes

1 (VYGOTSKY, 1978, p.

86.).

Dessa forma, ela é visível como um importante subsídio para o

desenvolvimento conceitual e cognitivo de conteúdos a serem aprendidos.

Sintetizando, pode-se exprimir que o maior propósito, num contexto

educacional, do uso de uma estratégia analógica está na compreensão do

abstrato com referencia no concreto. Assim, este trabalho anseia contemplar

partes de conteúdos matemáticos (funções periódicas e logaritmos) e físicos

(ondas sonoras) dentro de um contexto que está presente na vida de muitos: a

música, que por sua vez, serve como um amparo contextual onde ficam as

analogias. Outra parte é correspondente aos conceitos matemáticos já

conhecidos, ou seja, os conceitos básicos que são necessários para que possa

haver a construção do novo conhecimento.

Para que seja possível discutir Matemática presente na Música é

imprescindível definir e analisar alguns elementos fundamentais intrínsecos

num contexto musical, bem como sua notação, foco do próximo capítulo.

1Texto original: “is the distance between actual developmental as determined by

independent problem solving and the level of potential development as through problem solving under adult guidance or in colaboration with more capable peers”.

15

2. REVISÃO MUSICAL

Este capítulo destina-se ao levantamento de todos os conceitos

musicais que são trabalhados, bem como, uma interpretação preliminar de

alguns conceitos matemáticos elementares abordados posteriormente.

2.1 DEFINIÇÕES MUSICAIS

Para se ter uma visão panorâmica do trabalho se apresenta a seguir

um esquema com as subdivisões em linhas gerais:

Figura 1: Esquema das divisões dos conceitos musicais. Fonte: O autor, 2014.

De acordo com Nobre (2008), “Música é a arte de combinar os sons

simultânea e sucessivamente, com ordem, equilíbrio e proporção, dentro do

tempo”.

Fazendo uma interpretação geral, pode-se ver que inicialmente a

Música é dividida em dois ramos, a Harmonia e a Melodia.

A Harmonia pode ser entendida como uma concepção vertical da

música. É nela em que se estudam os sons (notas musicais) que são soados

simultaneamente de uma vez, ou seja, sons que soam consonantes. O termo

vertical foi usado em função de sua ideia, que pode se remeter às

sobreposições (uma nota “em cima” da outra).

Enquanto a Melodia é entendida como uma concepção horizontal da

música. Os sons são estudados sucessivamente. O termo horizontal foi

16

utilizado com o intuito de oferecer uma ordem cronológica, como pode fazer o

eixo da abscissa no plano cartesiano.

A união de ambas forma a música ou contraponto nas palavras de

Nobre (2008).

Nota-se que no esquema há uma implicação da Harmonia nas notas

musicais, pois a Harmonia é composta por conjuntos de notas musicais e estas

notas são os sons individuais, cada qual com sua característica física. No

próximo capítulo se dá o estudo desta característica que é chamada de

frequência de onda sonora.

Na implicação da Melodia se vê o Ritmo e a Linha Temporal, ambos os

itens compreendem uma noção horizontal e o que os caracteriza é estarem em

função do tempo.

Nobre (2008) explicita que o Ritmo “é a combinação dos valores de

tempo”. Nesse sentido, pensando o tempo como algo linear, cria-se a

expressão “Linha Temporal” com intuito de delimitar um eixo para fazer o

trabalho matemático posterior, ela é reta que coincide com o eixo da abscissa

(t), o domínio das funções que dependerão do tempo.

Pensando historicamente, a análise musical teve início através de

experimentos. Pitágoras, em seus testes, construiu um monocórdio, onde

observou algumas regularidades: se apertada na metade da corda e tocasse, o

som soava harmonicamente de maneira perfeita. Propôs, então, que fosse a

mesma nota que a corda solta, porém, em oitavas diferentes. Oitava é definida

como um intervalo entre duas notas de mesmo nome. Por exemplo: Mi, Fá,

Fá#, Sol, Sol#, Lá, Lá#, Si, Dó, Dó#, Ré, Ré# e Mi. Se apertada 2

3 da corda

percebeu que o som também combinava com ela solta, ou seja, o som soava

de forma agradável e harmoniosa. Assim se deu uma procura de outras notas

que combinassem entre si. Foi possível construir um ciclo fechado com 12

notas, como afirma Brito (2005), as outras notas são harmônicas e estão em

oitavas diferentes. A seguir tem-se o esquema do ciclo das notas que

combinam com base nos experimentos de Pitágoras:

17

Figura 2: Ciclo das notas musicais. Fonte: O autor, 2014.

Dessa forma, com vetores, pode-se notar que o ciclo se fecha. A nota

Dó combina com a nota Sol, esta por sua vez, combina com a Ré, e assim

sucessivamente, até voltar ao Dó e repetir o ciclo. A notação da nota com um o

índice inferior “s”, se remete ao sustenido da nota, notação não muito comum.

Linearmente, o esquema acima pode ser visto como: ... Dó → Sol →

Ré → Lá → Mi → Si → Fá# → Dó# → Sol# → Ré# → Lá# → Fá → Dó → Sol...

Com sucessivas repetições.

A próxima seção se propõe a apresentar uma notação musical padrão.

2. 2 NOTAÇÃO MUSICAL

A linguagem padrão musical é a partitura, na qual são representados

os conjuntos de notas pertencentes a música em questão.

18

A partitura é composta por cinco linhas horizontais e uma figura em seu

início, como indica a Figura 3.

Figura 3: Partitura em branco. Fonte: O autor, 2014.

Essa figura é chamada de pauta. Cada uma das linhas de uma pauta e

seus entremeios correspondem as notas diferentes e suas posições dependem

da figura que é colocada no início, que recebe o nome de Clave. A Clave da

Figura 3 é chamada Clave de Sol, ela indica que a segunda linha (contada de

baixo pra cima) é a linha da nota Sol, como representa a figura abaixo:

Figura 4: com uma nota sol semínima. Fonte: O autor, 2014.

Existem doze notas, porém sete são as notas naturais, as outras são

chamadas acidentes. Essas notas “acidentadas” são os sustenidos e os

bemóis.

A nota Lá fica acima da nota Sol, na partitura entre a segunda e a

terceira linha:

Figura 5: Partitura com uma nota lá semínima.

Fonte: O autor, 2014.

Já o Sol Sustenido é representado com o símbolo “#” ao lado da figura

que representa a sua nota:

Figura 6: Partitura com a nota sol sustenido semínima.


19

Assim, as notas possuem cada uma, com suas variantes uma linha na

partitura, e são contadas de baixo para cima, da mais grave para a mais aguda.

Por exemplo, a sequência Sol, Sol#, Lá, Lá#:

Figura 7: Partituras com as semínimas Sol, Sol sustenido, Lá e Lá sustenido. Fonte: O autor, 2014.

Outro elemento que pode ser notado é a figura usada para representar

cada nota, que é chamada de semínima e está relacionada com o tempo. Para

entendê-la é necessário entender o que significa compasso.

Compasso é uma unidade rítmica, ou seja, uma marcação do tempo no

decorrer da música, na partitura, cada compasso é separado por uma linha

vertical:

Figura 8: Partitura composta por 3 compassos em branco. Fonte: O autor, 2014.

Esta partitura (Figura 8) é composta por três compassos, apesar de

não haverem notas nela. No entanto, é preciso definir valores de tempos para

esses compassos. Esses valores são indicados, geralmente, no primeiro

compasso da música:

Figura 9: Partitura de compassos 4 por 4.


A figura 9 fornece um exemplo com compassos quatro por quatro. Isto

quer dizer que cada compasso conterá 4 tempos (numerador) e cada tempo

será considerado 1

4. A figura que representa

1

4 é a semínima. Com quatro delas

fecha-se um compasso:

20

Figura 10: Exemplo de uma partitura de compasso 4 por 4 com notas.

Fonte: O autor, 2014. Na Figura 10 estão dispostos três compassos com quatro notas em

cada e são todas semínimas.

Existe a mínima, que vale o dobro da semínima, ou seja, representa 1

2

do compasso. Ela possui outra figura para representá-la:

Figura 11: Partitura composta por mínimas.


É notável que sejam necessárias duas mínimas para completar um

compasso quatro por quatro, afinal cada uma delas vale o dobro da semínima.

Em uma representação fracionária tem-se:2

4+

2

4=

4

4, um compasso definido.

É possível mesclar mínimas com semínimas e outras notas de tempos

diferentes, também:

Figura 12: Partitura com mínimas e semínimas.


O primeiro compasso (Figura 12), por exemplo, possui uma mínima

seguida de duas semínimas. Em notação de fração: 2

4+

1

4+

1

4=

4

4. A mínima

está representando uma nota Sol e as semínimas, duas notas Si.

Supondo que cada compasso leve 4 segundos para ser executado

(valor completamente maleável), a nota Sol (mínima) ficaria soando por dois

segundos e cada uma das notas Si seriam soadas em um segundo.

Existem outras subdivisões: a colcheia, por exemplo, que corresponde

a 1

8 da unidade de compasso. O exemplo abaixo mostra um compasso

composto de apenas colcheias e o outro incompleto, com apenas uma

colcheia:

21

Figura 13: Partitura composta por colcheias.


Uma das características das figuras é que quando há colcheias

adjacentes elas podem ser representadas ligadas e, sozinhas, elas possuem

um detalhe em sua lateral, como a figura que inicia o segundo compasso

(Figura 13).

Também existem compassos que não são no formato quatro por

quatro, como por exemplo, o compasso três por quatro, também chamado de

compasso ternário, que é o compasso das valsas:

Figura 14: Partitura em compasso ternário.


O compasso da figura 14 contém três semínimas. Em frações: 1

4+

1

4+

1

4=

3

4. Esse compasso, como qualquer outro, pode ser composto por diferentes

tipos de notas.

Existem outras frações de tempo:

Figura 15: Partitura de compasso 6 por 4.


A Figura 15, por exemplo, possui um compasso seis por quatro. Seu

primeiro compasso pode ser representado pela seguinte soma de frações:

2

4+

1

4+

1

4+

2

4=

6

4 (uma mínima seguida de três semínimas).

Até o momento, foi apresentada apenas a situação onde é tocada uma

nota por vez, no entanto, é possível que sejam tocadas mais notas

simultaneamente, como trás a ideia da harmonia. A figura a seguir mostra a

representação de três notas que são soadas simultaneamente: Sol, Si e Ré.

Com isso é possível formar um acorde.

22

Figura 16: Partitura com três notas simultâneas.


Acorde, em música, é o conjunto de duas ou mais notas, que são

tocadas ao mesmo tempo. O acorde representado acima é chamado de Sol

Maior, porém, não se faz necessário, para o desenvolvimento deste trabalho,

detalhar a construção dos acordes, tampouco nomeá-los.

É possível que em uma música haja mais pautas, costuma-se colocar

uma para cada instrumento musical, como no exemplo:

Figura 17: Partitura composta por duas pautas.


Nota-se que no último compasso surgiram duas figuras diferentes. Na

pauta de cima há um pequeno traço, que representa uma pausa (a música

também é composta com silêncio) e, na pauta de baixo, há uma figura circular,

que representa a unidade de tempo, ou seja, vale quatro semínimas.

A Figura 17 mostra duas pautas diferentes: a superior em clave de Sol

e a inferior com clave de Fá. Essas duas são as mais comuns. A diferença

entre essas claves é a posição das notas. A clave de Sol, mantém a nota que

origina o seu nome na segunda linha e a outra, a clave de Fá, mantém o Fá na

quarta linha.

Nesta mesma partitura, pode-se observar a ideia de harmonia. É feita

uma análise para cada tempo em separado em seu conjunto de pautas.

Costumeiramente cada pauta diz respeito a um instrumento.

23

Figura 18: Partitura da Figura 17 com duas pautas com destaque para a harmonia.


Ainda, nesta partitura fica evidente a Melodia. A análise e execução

são feitas para cada pauta em separado, como exemplifica e destaca a Figura

19.

Figura 19: Partitura da Figura 17 com duas pautas com destaque para a melodia.


Se unidas, a harmonia e a melodia, torna-se possível fazer uma análise

da música como um todo.

Deste modo, com estes conceitos e representações musicais já

definidos, pode-se analisar com os conceitos físicos presentes na música.

Começado por cada nota musical, interpretando-a como uma onda sonora.

Esses são estudados nos próximos capítulos. Para a fundamentação

matemática destes conceitos físicos é desenvolvido o Capítulo 3, onde é dado

o enfoque às funções seno e cosseno.

24

3. FUNDAMENTAÇÃO MATEMÁTICA

Este capítulo é destinado para apresentar as definições dos conceitos

matemáticos que estão presentes neste trabalho.

As funções periódicas possuem grande aplicabilidade no estudo

fenômenos que possuem algum tipo de repetição, como é o caso da música.

Pode-se definir uma função periódica como uma função cuja sua imagem

possui alguma espécie de repetição regular, essa regularidade é chamada de

período, daí o nome.

Em termos algébricos se tem:

𝑓 𝑥 + 𝑃 = 𝑓(𝑥)

em que 𝑥 e 𝑃 representam o domínio e o período da função 𝑓,

respectivamente.

Dentre as funções periódicas mais conhecidas, estão as

trigonométricas, funções essas que partem de relações entre os lados de

triângulos.

Outro conceito matemático abordado no trabalho é o Logaritmo,

necessário para compreender a dinâmica da intensidade das ondas sonoras.

Em nível elementar, a função logarítmica pode ser entendida como o inverso

da função exponencial. A notação log𝑎 𝑏 = 𝑥 é utilizada para mencionar que o

logaritmo de 𝑏 na base 𝑎 é igual a 𝑥, isto equivale a dizer que 𝑎𝑥 = 𝑏.

As seções seguintes ficam responsáveis por detalhar esses conteúdos.

3.1 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

A cargo desta seção está o estudo introdutório das funções

trigonométricas, em linhas gerais.

Etimologicamente, pode-se pensar na palavra „trigonometria‟, de

origem grega que significa „medida do triângulo‟. Assim, todo o estudo de uma

função trigonométrica tem sua origem em um triângulo. Mais especificamente,

no triângulo retângulo.

25

A notação AB diz respeito ao segmento com extremos os pontos A e B.

A notação 𝐴𝐵 é utilizada para mencionar o comprimento do segmento AB.

Definição 1: Seja um triângulo retângulo ABC (Figura 20) com o

ângulo ∝ = 90𝑜 e 𝛽 o ângulo entre os segmentos AC e CB. A razão entre os

segmentos AB e AC é chamada seno do ângulo 𝜷 e denotado por 𝑠𝑒𝑛(𝛽), a

razão entre os segmentos CB e AC é chamada de cosseno do ângulo 𝜷

edenotado por cos(𝛽) e a razão entre os segmentos AB e BC é chamada

tangente do ângulo 𝜷, denotada por 𝑡𝑎𝑛 𝛽 .

Figura 20: Representação geométrica de um triângulo retângulo.


Com base na Figura 20, pode-se representar o seno, cosseno e

tangente de 𝛽, respectivamente, como:

𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 𝐴𝐵

𝐴𝐶;

cos 𝛽 =𝐶𝐵

𝐴𝐶;

tan 𝛽 =𝐴𝐵

𝐶𝐵.

A tangente, também pode ser escrita como:

tan 𝛽 = 𝑠𝑒𝑛 (𝛽)

cos(𝛽),

verificável pela seguinte sucessão de igualdades:

tan 𝛽 = 𝐴𝐵

𝐶𝐵=

𝐴𝐵

𝐴𝐶𝐶𝐵

𝐴𝐶

=𝑠𝑒𝑛 (𝛽)

cos(𝛽).

26

Para cada 𝛽 diferente tomado tem-se um triângulo ABC diferente

(assim como triângulos diferentes com o mesmo valor de 𝛽, porém suas

proporções são mantidas), o que infere em valores diferentes para 𝑠𝑒𝑛(𝛽),

cos(𝛽) e tan(𝛽), desta forma, é possível pensar em definir funções para tais

relações, mantendo fixo o ângulo de 90º e a hipotenusa medindo 1 unidade de

medida.

Pode-se pensar em um triângulo OA1A2 semelhante ao ABC, visto

anteriormente, porém, com uma especificidade. O segmento OA1 mede 1. Este

triângulo pode ser representado dentro de uma circunferência de raio unitário,

como na Figura 21.

Figura 21: Representação do triângulo OA1A2 em uma circunferência. Fonte: O autor, 2014.

Como OA1 mede 1, tem-se que:

𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 𝐴1𝐴2 e cos 𝛽 = 𝑂𝐴2

.

3.1.1 Relações ângulo e comprimento de arco de circunferência

Partindo do fato de que uma circunferência possui comprimento 2𝜋𝑟,

quando o seu raio for unitário, seu comprimento medirá 2𝜋. Ainda é possível

pensar em relacionar a medida do ângulo 𝛽 (Figura 22) com o seu arco. É

27

notável que quando 𝛽 = 90𝑜 , tem-se um quarto de circunferência, ou seja, o

comprimento do arco será de 𝜋

2; para uma semicircunferência seu comprimento

será 𝜋 e assim sucessivamente.

O segmento A1A2 possui a mesma medida que o segmento OA‟

(projeção do segmento 𝐴1𝐴2 no eixo vertical), como ilustra a Figura 22:

Figura 22: Representação do triângulo OA1A2 em uma circunferência. Fonte: O autor, 2014.

Desta forma, os valores de seno e cosseno de um ângulo podem ser

representados no eixo vertical e no eixo horizontal, respectivamente.

As funções seno, cosseno e algumas das demais funções

trigonométricas são abordados nas subseções seguintes com mais detalhes.

3.1.2 Definição da função seno

A primeira função trigonométrica estudada neste trabalho será a função

seno. O domínio dessa função é conjunto formado pelos valores dos ângulos e

sua imagem está contida no conjunto dos números reais.

28

Sua imagem possui, ainda, uma restrição importante: como observado

no círculo trigonométrico, os valores do seno de um ângulo pertencem ao

intervalo fechado [-1, 1].

Assim, tem-se: −1 ≤ 𝑠𝑒𝑛(𝛽) ≤ 1 (Figura 23).

Figura 23: Representação do seno de 𝛽 no círculo trigonométrico. Fonte: O autor, 2014.

É notável que para cada valor de 𝛽 temos um ponto A1 distinto, o qual

pertence à circunferência de raio 1, centrada na origem.

Seja C o conjunto de todos os pontos A1, que podem ser representados

por pares ordenados da forma (𝑎1,𝑎2). Neste sentido, pode-se definir uma

função seno:

Definição 2: Sejam 𝐴 o conjunto dos ângulos, C uma circunferência de

raio 1 com centro na origem, 𝐴1 = (𝑎1,𝑎2) ponto de C com 𝑎1, 𝑎2 ∈ ℝ

(Contradomínio da função) e 𝑋 o conjunto de todos os valores de 𝑎2, tais que

−1 ≤ 𝑎2 ≤ 1. Definem-se as funções:

𝑔: 𝐴 → 𝐶

𝛽 ↦ (𝑎1, 𝑎2) e

𝑕:𝐶 → 𝑋

𝑎1, 𝑎2 ↦ 𝑎2.

29

Assim, tem-se que a função seno é o resultado da composta de 𝑔 e 𝑕,

definida como:

𝑓:𝐴 → 𝑋

𝛽 ↦ 𝑎2 ,

Ou seja, 𝒇 𝜷 = 𝒔𝒆𝒏 𝜷 = 𝒂𝟐, com 𝑎2 ∈ 𝑋.

Como o tempo é uma variável real e ele será utilizado como o domínio

de algumas das funções trigonométricas, são realizadas algumas adaptações

na definição, trabalhando com, ao invés de ângulos, radianos. Assim, a função

será definida:

𝑓: ℝ → 𝑋

𝑡 ↦ 𝑎2,

sendo 𝑡 ∈ ℝ a medida em radiano do ângulo 𝛽.

3.1.3 Definição da Função Cosseno

A Função Cosseno possui grande similaridade com a Função seno,

uma vez que ambas partem de relações entre lados e ângulos de um triângulo

retângulo, e no circulo trigonométrico, no qual o cosseno de um ângulo 𝛽 pode

ser entendido como a medida de um segmento específico no eixo horizontal

(sua projeção). Pode-se observar que o domínio dessa função, também, são os

valores das medidas dos ângulos e sua imagem está contida no conjunto dos

números reais.

Assim como no seno, não são todos os valores reais que pertencem

imagens desta função. Como observado no círculo trigonométrico, os valores

do cosseno de um ângulo pertencem ao intervalo fechado [-1, 1].

Assim, tem-se: −1 ≤ 𝑐𝑜𝑠(𝛽) ≤ 1, (Figura 24).

30

Figura 24: Representação do cosseno de 𝛽 no círculo trigonométrico. Fonte: O autor, 2014.

É notável que, para cada valor de 𝛽, temos um ponto A1 distinto, o qual

pertence à circunferência de raio 1 com centro na origem. Considerando C o

conjunto de todos os pontos A1, que podem ser representado por pares

ordenados da foram (𝑎1, 𝑎2).

Definição 3: Sejam 𝐴 o conjunto dos ângulos, C uma circunferência de

raio 1 com centro na origem, 𝐴1 = (𝑎1,𝑎2) ponto de C com 𝑎1, 𝑎2 ∈

ℝ (Contradomínio da função) e 𝑌 o conjunto de todos os valores de 𝑎1, tais que

−1 ≤ 𝑎2 ≤ 1. Define-se:

𝑔: 𝐴 → 𝐶

𝛽 ↦ (𝑎1, 𝑎2) e

𝑕:𝐶 → 𝑌

𝑎1, 𝑎2 ↦ 𝑎1.

Assim, tem-se que a função cosseno é o resultado da composta de 𝑔 e

𝑕, definida como:

𝑓:𝐴 ⟶ 𝑌

𝛽 ↦ 𝑎1

𝒇 𝜷 = 𝒄𝒐𝒔 𝜷 = 𝒂𝟏, com 𝑎1 ∈ 𝑌.

31

Assim, igualmente a função seno, são utilizadas as medidas em

radianos em momentos práticos, definindo-se a função:

𝑓: ℝ → 𝑌

𝑡 ↦ 𝑎1 ,

sendo 𝑡 ∈ ℝ a medida em radiano do ângulo 𝛽.

3.1.4 Outras funções trigonométricas

Fazendo juízo ao título da subseção, serão definidas outras funções

trigonométricas, funções essas originadas a partir de relações matemáticas

entre seno e cosseno de um ângulo. A primeira delas é a função tangente, a

qual pode ser denotada por tan(𝛽), lê-se „tangente do ângulo 𝛽 (beta)‟. A

tangente é definida com o seu domínio como valores de ângulos e sua imagem

real. A relação matemática que a origina é:

tan 𝛽 =𝑠𝑒𝑛(𝛽)

cos(𝛽)=𝐴1𝐴2

𝑂𝐴2 .

Um detalhe que restringe o seu domínio é o caso do cos 𝛽 = 0, pois

se teria uma divisão por zero, não definida no conjunto dos números reais,

assim, 𝜋

2,

3𝜋

2,

5𝜋

2,… ,

2𝑛+1 𝜋

2, com 𝑛 ∈ ℕ, não pertencem ao domínio da função

tangente.

O valor da tangente de um ângulo pode ser representado pelo

comprimento do segmento que tangencia o círculo trigonométrico como na

Figura 25.

32

Figura 25: Representação da tangente de 𝛽 tangente ao círculo trigonométrico. Fonte: O autor, 2014.

Esta representação geométrica é verificável, pois os triângulos COT e

A2OA1 são semelhantes, então, existe a seguinte proporcionalidade:

𝐴1𝐴2

𝑂𝐴2

=𝑇𝐶

1.

Nessas condições, o valor da tangente de um ângulo 𝛽 pode ser

definido como: tan 𝛽 = 𝑇𝐶 .

A Função Secante, denotada por sec(𝛽), é definida como o inverso da

função cosseno, ou seja, sec 𝛽 =1

cos (𝛽), indefinida para cos 𝛽 = 0, quando

𝛽 =𝜋

2,

3𝜋

2,

5𝜋

2,… ,

2𝑛+1 𝜋

2 radianos.

A Função Cossecante, denotada por 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝛽), é definida como o

inverso da função seno, 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛽 =1

𝑠𝑒𝑛 (𝛽), função que não definida no caso de

𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 0, ou seja, 𝛽 = 0, 2𝜋

2,

4𝜋

2,… ,

2𝑛 𝜋

2.

A Função Cotangente, denotada por 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛(𝛽), é definida como o

inverso da função tangente, 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 =1

tan (𝛽)=

cos (𝛽)

𝑠𝑒𝑛 (𝛽). Essa função é indefinida

quando 𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 0, ou seja, 𝛽 = 0, 2𝜋

2,

4𝜋

2,… ,

2𝑛 𝜋

2.

Em seguida, são apresentados os gráficos das funções, nesta seção

definidas.

33

3.1.5 Gráfico da Função Seno

O fato de a função seno ser periódica é bastante evidente em sua

representação gráfica. Seu período, como as demais funções trigonométricas é

2𝜋 (uma revolução), valor que corresponde aos ângulos de 0º e 360º (primeira

repetição), ou qualquer 360𝑥, com 𝑥 ∈ ℤ.

Como 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 2𝜋 = 𝑠𝑒𝑛(𝑡), com 𝑡 ∈ ℝ será restrito ao estudo onde

0 ≤ 𝑡 < 2𝜋, pois quando 2𝜋 ≤ 𝑡 < 4𝜋 o comportamento será o mesmo do

primeiro caso, assim como 2𝜋 ≤ 𝑡 < 4𝜋, podendo se estender para 2𝑟𝜋 ≤ 𝑡 <

2(𝑟 + 1)𝜋, com 𝑟 inteiro.

Desta forma, faz todo o sentido que a curva da função se repita. Seu

gráfico se comporta da seguinte maneira:

Figura 26: Representação gráfica da função 𝑠𝑒𝑛(𝑡). Fonte: O autor, 2014.

Existem algumas mudanças que podem ocorrer no gráfico da função,

com a inserção de alguns coeficientes. Pode se pensar em coeficientes para

esta função, 𝑓 𝑥 = 𝑎 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑥 + 𝑐 + 𝑑, com 𝑎, 𝑏, 𝑐,𝑑 ∈ ℝ.

O coeficiente 𝑎 possui o papel de fornecer a amplitude da função, ou

seja, é o coeficiente responsável por “dilatar” ou “comprimir” no sentido vertical

a curva. Por exemplo, a função 2𝑠𝑒𝑛(𝑡), dobrando representada graficamente

na Figura 27.

34

Figura 27: Representação gráfica da função 2𝑠𝑒𝑛(𝑡) comparada a 𝑠𝑒𝑛(𝑡). Fonte: O autor, 2014.

O coeficiente 𝑏 influencia diretamente nos valores dos ângulos em

questão. Com essa mudança, automaticamente o período da função sofre uma

alteração. A título de exemplificação, segue a função 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) representada

graficamente na figura 28:

Figura 28: Representação gráfica da função 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 (em vermelho) comparada a 𝑠𝑒𝑛(𝑡)


O período da função 𝑠𝑒𝑛(2𝑡) não é 2𝜋. Com a influência do coeficiente

𝑏, o período dessa função torna-se 𝜋. Em casos mais gerais, 𝑃 =2𝜋

𝑏.

O coeficiente 𝑐 está encarregado de deslocar horizontalmente a curva,

ou seja, faz o deslocamento no eixo das abscissas. Como exemplo, a função

𝑠𝑒𝑛(𝑡 + 1), que foi deslocada uma unidade de medida para a esquerda, Figura

29.

35

Figura 29: Representação gráfica da função 𝑠𝑒𝑛(𝑡 + 1). Fonte: O autor, 2014.

Com ideia parecida, o coeficiente 𝑑 também é responsável por um

deslocamento na curva, porém, verticalmente, ou seja, no eixo das ordenadas.

Para exemplificação segue o gráfico da função 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 2, que foi deslocada 2

para cima,como mostra a Figura 30.

Figura 30: Representação Gráfica da função 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 2. Fonte: O autor, 2014.

De forma genérica, tem-se 𝑎. 𝑠𝑒𝑛 𝑏. 𝑡 + 𝑐 + 𝑑. Todos os coeficientes

influenciam ao mesmo tempo o comportamento da função, exemplo disto é a

função 2𝑠𝑒𝑛 3𝑡 + 2 + 2, de período 𝑃 =2𝜋

3, cuja sua representação gráfica é

apresentada na figura 31:

36

Figura 31: Representação gráfica da função 2𝑠𝑒𝑛 𝑡𝑥 + 2 + 2.


3.1.6 Gráfico da função cosseno

A ideia gráfica da função cosseno é bastante similar à ideia da Função

Seno, pois tanto o domínio, quanto a imagem são os mesmos e, da mesma

forma, 𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 2𝜋 = 𝑐𝑜𝑠(𝑡). Seu gráfico se comporta da seguinte maneira:

Figura 32: Representação gráfica da função cos(𝑡). Fonte: O autor, 2014.

A função cosseno possui alguns coeficientes com as mesmas

influências dos coeficientes da função seno. Assim, de forma geral, tem-se

𝑎′ . cos 𝑏′ . 𝑥 + 𝑐 ′ + 𝑑′ e o período da função será 𝑃 =2𝜋

𝑏′.

Para exemplificar, segue na Figura 33 a representação gráfica da

função 3 cos 4𝑡 + 2 + 1, com 𝑃 =𝜋

2.

37

Figura 33: Representação gráfica da função 3 cos 4𝑡 + 2 + 1.


3.1.7 Outros Gráficos

Assim com as funções seno e cosseno, as funções tangente, secante,

cossecante e cotangente podem ser representadas graficamente.

A função tangente é representada por meio do seguinte gráfico (Figura

34):

Figura 34: Representação gráfica da função tan(𝑥). Fonte: O autor, 2014.

38

Como tan 𝑥 =𝑠𝑒𝑛 (𝑥)

cos (𝑥), há uma indeterminação no caso 𝑥1 =

𝜋

2,

3𝜋

2,…

2𝑛+1 𝜋

2, no entanto, quando 𝑥1 for muito próximo deste valor, tan(𝑥1)

estará bastante distante de 0.

Os mesmos coeficientes que influenciam as funções Seno e Cosseno

fazem as mesmas mudanças na função tangente.

A função secante é representada graficamente da seguinte forma

(figura 35):

Figura 35: Representação gráfica da função sec(𝑥). Fonte: O autor, 2014.

A função cossecante, inverso da função seno, é representado

graficamente (Figura 36):

Figura 36: Representação gráfica da função 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥). Fonte: O autor, 2014.

A função cotangente, inverso da função tangente, possui a seguinte

representação gráfica (Figura 37):

39

Figura 37: Representação gráfica da função 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛(𝑥). Fonte: O autor, 2014.

A seção seguinte define as operações com as funções trigonométricas

apresentadas.

3.1.8 Soma com senos e cossenos

É possível fazer uso de operações com as funções trigonométricas,

também. São apresentadas as adições e multiplicações das funções seno e

cosseno:

Basta definir uma função que tenha por domínio e imagem o conjunto

dos números reais, dada como:

𝑓:ℝ → ℝ

𝑥 ↦ 𝑎0 + 𝑎1𝑠𝑒𝑛 𝑏1𝑥 + 𝑐1 + 𝑎2𝑠𝑒𝑛 𝑏2𝑥 + 𝑐2 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑛𝑥 + 𝑐𝑛

+ 𝑎𝑛+1 cos 𝑏𝑛+1𝑥 + 𝑐𝑛+1 + ⋯+ 𝑎𝑔 cos 𝑏𝑔𝑥 + 𝑐𝑔 ,

com 𝑎𝑖 ∈ ℝ, 𝑖 = 0, 1, 2,⋯ , 𝑛,⋯ ,𝑔.

A título de exemplificação, segue a soma 𝑓 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 3𝑥 +1

2cos(𝑥),

representada graficamente (Figura 38):

40

Figura 38: Representação gráfica da soma das funções 𝑓 e 𝑔. Fonte: O autor, 2014.

Esses conhecimentos sobre as funções trigonométricas são suficientes

para a compreensão da abordagem feita às ondas sonoras no capítulo 4.

3.2 LOGARITMOS

A motivação para o estudo dos logaritmos contempla o fato de que a

intensidade sonora é calculada por meio de uma escala logarítmica. Será

admitido como pré-requisito o conhecimento elementar da função exponencial.

Definição7: Sejam 𝑎,𝑏, 𝑥 ∈ ℝ. O logaritmo de 𝑏, na base 𝑎 é igual a 𝑥,

denotado pela representação 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒃 = 𝒙 se, e somente se, 𝒂𝒙 = 𝒃.

Existem 3 restrições a essa definição que são enunciadas e

demonstradas:

(i) log𝑎 0 é uma indeterminação.

(ii) log1 𝑏 é uma indeterminação.

(iii) log0 𝑏 é uma indeterminação.

41

Demonstrações:

(i) É imediato da definição, pois, log𝑎 0 = 𝑥 se, e somente se,

𝑎𝑥 = 0 e isso só é verdade se 𝑎 = 0. Assim sendo, para qualquer valor de

𝑥 ≠ 0, a igualdade 0𝑥 = 0 é válida.

(ii) Basta observar que, se não fosse se teria 1𝑥 = 𝑏 e isso só seria

possível se 𝑏 = 1, além do fato de que 𝑥 poderia assumir qualquer valor.

(iii) Caso existisse se teria 0𝑥 = 𝑏. Porém, isso só seria válido se

𝑏 = 0, o que faria qualquer 𝑥 ≠ 0 satisfazer a igualdade 0𝑥 = 0.

Existem algumas propriedades operacionais para os logaritmos,

enunciadas e demonstradas a seguir:

Sejam 𝑎, 𝑏, 𝑐,𝑑,𝑚, 𝑛, 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ, com 𝑎 ≠ 0,𝑎 ≠ 1 e 𝑏 ≠ 0, tem-se:

(i) log𝑎 𝑎 = 1.

(ii) log𝑎 1 = 0.

(iii) log𝑎 𝑏. 𝑐 = log𝑎 𝑏 + log𝑎 𝑐.

(iv) 𝑎log 𝑎 𝑏 = 𝑏.

(v) 𝑐. log𝑎 𝑏 = log𝑎 𝑏𝑐 .

(vi) log𝑎 𝑏 =log 𝑐 𝑏

log 𝑐 𝑎.

(vii) log𝑎 𝑏 = log𝑎 𝑐 ⇔ 𝑏 = 𝑐 .

Demonstrações:

(i) Aplicando diretamente a definição em log𝑎 𝑎 = 𝑥, é suficiente

mostrar que 𝑥 = 1. Como 𝑎𝑥 = 𝑎1, segue, que 𝑥 = 1. Essa propriedade pode

ser estendida para log𝑎 𝑎𝑏 = 𝑏, pois ,𝑎𝑏 = 𝑎𝑏 .

(ii) Partindo da definição, tem-se que 𝑎𝑥 = 1, isso só é válido se

𝑥 = 0.

(iii) Seque da definição que:

𝑎𝑥 = 𝑏 e (1)

42

𝑎𝑦 = 𝑐 (2)

Multiplicando 1 por (2) se obtém 𝑎𝑥+𝑦 = 𝑏. 𝑐, ou seja, log𝑎 𝑏. 𝑐 = 𝑥 + 𝑦.Por

consequência direta: log𝑎𝑏

𝑐= log𝑎 𝑏 − log𝑎 𝑐.

(iv) Por definição tem-se que log𝑎 𝑏 = 𝑥, sendo assim, basta

observar que 𝑏 = 𝑎𝑥 .

(v) Segue da definição que log𝑎 𝑏 = 𝑥, em que 𝑎𝑥 = 𝑏. Elevando

em ambos os lados da equação por 𝑐, obtém-se𝑎𝑐𝑥 = 𝑏𝑐 , donde segue que

log𝑎 𝑏𝑐 = 𝑐𝑥. Portanto, log𝑎 𝑏

𝑐 = 𝑐. log𝑎 𝑏.Por consequência direta: 𝑚

𝑛log𝑎 𝑏 =

log𝑎 𝑏𝑚𝑛

.

(vi) Assumindo loga 𝑏 = 𝑥, log𝑐 𝑏 = 𝑦 e log𝑐 𝑎 = 𝑧, faz-se necessário

mostrar, apenas, que 𝑥 =𝑦

𝑧. Fazendo uso da definição, tem-se:

𝑎𝑥 = 𝑏 , (1)

𝑐𝑦 = 𝑏 e (2)

𝑐𝑧 = 𝑎 (3)

Substituindo (2) e (3) em (1), tem-se que 𝑐𝑧 𝑥 = 𝑐𝑦 , o que implica em 𝑥. 𝑧 =

𝑦. Portanto 𝑥 =𝑦

𝑧.

(vii) Supondo log𝑎 𝑏 = log𝑎 𝑐, pela definição tem-se que 𝑎log 𝑎 𝑐 = 𝑏 e

por (iv), 𝑐 = 𝑏. Por outro lado, supondo que 𝑏 = 𝑐, a demonstração é imediata.

É possível ainda usar o argumento de que como log𝑎 𝑏 = 𝑥 e log𝑎 𝑐 = 𝑦, tem-se

𝑎𝑥 = 𝑏 e 𝑎𝑦 = 𝑐, disto, 𝑎𝑥 = 𝑐. Logo, log𝑎 𝑐 = 𝑥, ou seja, 𝑐 = 𝑏.

43

4. ESTUDO FÍSICO: PROPRIEDADES DAS ONDAS SONORAS E NOTAS

MUSICAIS EM FUNÇÃO DAS FREQUÊNCIAS

A proposta deste capítulo está em trazer os conceitos físicos

necessários para a compreensão do trabalho. Estes contemplam as Ondas

sonoras. Desta maneira, usando-se, como amparo bibliográfico, a obra de

Halliday e Resnick (2007) em seu livro: Fundamentos da Física, em seu

segundo volume e, também, Tipler e Mosca (2006) com o livro: Física para

cientistas e engenheiros, em seu primeiro volume, é possível perpetrar

algumas definições.

4.1 ONDAS

As ondas são estudadas em movimentos oscilatórios, onde há

transporte de energia e quantidade de movimento linear, porém, não há

transporte de matéria.

Segundo Halliday e Resnick (2007, p.153) “energia é uma grandeza

escalar associada ao estado de um ou mais objetos”. A Quantidade de

Movimento linear, também conhecida por momento linear é o resultado do

produto da massa pela velocidade de um corpo, respeitando sua direção e

sentido.

Halliday e Resnick (2007) classificam as ondas em três tipos: ondas

mecânicas, ondas eletromagnéticas e ondas de matéria.

As ondas mecânicas são as ondas em que são válidas as leis de

Newton (mecânica clássica), assim, só existem em um meio material,

dependendo, portanto, de sua densidade.

As ondas eletromagnéticas possuem algumas características um pouco

curiosas, como, por exemplo, diferentemente das ondas mecânicas, elas se

propagam no vácuo, sendo este o local de sua velocidade máxima,

aproximadamente 299792458 m/s. A luz é um exemplo bastante típico, as

ondas recebidas pelos aparelhos televisivos e rádios, dentre outros.

44

As ondas de matéria são estudadas microscopicamente, pois estão

associadas a elétrons, prótons e outras partículas elementares. Estas ondas

recebem tal nomenclatura, pois geralmente, as partículas são concebidas como

“elementos básicos da matéria”.

Os estudos desse capítulo focar-se-ão nas ondas mecânicas. Outra

caracterização das ondas feita por Halliday e Resnick (2007) é quanto a sua

forma de pulso: ondas transversais e ondas longitudinais, esta classificação é

motivada pelo estudo da forma como a onda se comporta no espaço. Para

entender estes dois conceitos distintos basta imaginar uma mola comum.

Quando uma onda é transversal, as perturbações são perpendiculares

à mola em sua posição de repouso, como mostra a figura a seguir:

Figura 39: Onda transversal presente em uma mola.

Fonte: TIPLER, P. A., MOSCA, G. (2006, p. 502).

Por outro lado, uma onda longitudinal apresenta-se de modo diferente,

as perturbações se dão ao longo do meio (paralelas ao movimento), como a

figura a seguir:

Figura 40: Onda longitudinal presente em uma mola.

Fonte: TIPLER, P. A., MOSCA, (2006, p. 502).

Quando uma onda se propaga de um lugar para outro ela é chamada

de Onda progressiva.

45

4.1.1 Forma Da Onda

Para bem descrever como se comporta uma onda é imprescindível que

se saiba a forma dessa onda, isto implica que é necessário estabelecer uma

função que relacione o tempo (𝑡) e sua posição em relação à origem (𝑥) com

seu deslocamento transversal, para tal, Halliday e Resnick (2007) propõe a

seguinte relação matemática:

𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 ± 𝜔𝑡 ,

em que 𝑦𝑚 a amplitude, 𝑘, o número de onda, 𝑥 representa a posição da onda,

𝜔, a frequência (ou velocidade) angular e 𝑡, o tempo.

O fator 𝑦𝑚 , medido em metros, possui a seguinte influência gráfica

(Figura 41):

Figura 41: Representação gráfica da onda com destaque para a amplitude. Fonte: O autor, 2014.

O comprimento de onda (𝜆), medido em metros, pode ser entendido

como a distância entre as repetições da forma da onda, Figura 42:

Figura 42: Comprimento de uma onda (Considerando o eixo das abscissas com os

valores de 𝑥 e os valores das ordenadas como 𝑦 𝑥, 0 ). Fonte: O autor, 2014.

46

O argumento 𝑘𝑥 ± 𝜔𝑡 é denominado fase.

O valor que 𝑘 representa é o número de onda. Caso se queira saber

quantas ondas já foram produzidas em determinado intervalo de tempo, basta

observar o valor de 𝑘𝑥, que pode ser descoberto através da seguinte relação:

𝑘 =2𝜋

𝜆.

Para a dedução desta fórmula considera-se a onda no seu instante

inicial:

𝑦 𝑥, 0 = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥).

Como a função que representa a onda é periódica e o deslocamento de 𝑦 é o

mesmo nas extremidades do comprimento de onda, segue que:

𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛 𝑘 𝑥 + 𝜆

𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 + 𝑘𝜆 .

Como o período da função seno é 2𝜋, tem-se

𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 + 𝑘𝜆 = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 + 2𝜋

𝑘𝜆 = 2𝜋.

Disto, o valor de 𝜔 representa a frequência angular, dentro de “o movimento

circular” também é conhecida como velocidade angular, pois, é obtida pela

razão de uma variação angular por uma variação especial de tempo (o

período).

O período 𝑇, medido em segundos, se remete a quantia de tempo

necessário para acontecer o movimento periódico. Frequência é o inverso do

período, 𝑓 =1

𝑇, medida em Hertz (𝐻𝑧), em homenagem ao físico alemão

Heinrich Rudolf Hertz (1857-1894).

Assim, é possível, com o mesmo raciocínio da dedução acima, concluir

a seguinte relação:

𝜔 =2𝜋

𝑇= 2𝜋𝑓.

Basta observar o caso da posição inicial (𝑥 = 0)

𝑦 0, 𝑡 = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)

𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜔 𝑡 + 𝑇

𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜔𝑇 = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 2𝜋

𝜔𝑡 = 2𝜋.

47

Assim como o comprimento de onda, o período, graficamente, é a

distância (de tempo) entre as repetições do comportamento da onda, porém,

considerando o eixo das abscissas com os valores do tempo (Figura 43)

considerando a posição inicial:

Figura 43: Período de uma onda (Considerando o eixo das abscissas com os valores

de t e os valores das ordenadas como 𝑦 0, 𝑡 ). Fonte: O autor, 2014.

Posteriormente, neste estudo, será restrito ao caso de 𝑥 = 0, pois

interessará apenas como se comporta a onda em sua fonte. Ainda é possível

considerar a existência de uma constante de fase 𝜙 que pode ser adicionada à

fase da função que descreve a trajetória da onda.

𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 ± 𝜔𝑡 + 𝜙).

Essa constante serve para fazer um deslocamento na trajetória da

onda, como exemplifica a Figura 46:

Figura 44: Onda senoidal no instante 𝑡 = 0 com uma constante de fase (a) 𝜙 = 0 e

(b) 𝜙 =𝜋

5.

Fonte: HALLIDAY, D; RESNICK, R. (2007, p.120).

48

4.1.2 Velocidade De Uma Onda Progressiva

A velocidade média de uma onda, assim como qualquer outro

movimento simples pode ser obtida pela razão entre a variação da posição pela

variação do tempo. 𝑣𝑚 =Δ𝑥

Δ𝑡.

No entanto, a velocidade instantânea é obtida pelo limite diferencial

𝑣 = limΔt→0𝑥 𝑡+Δ𝑡 −𝑓 𝑡

Δ𝑡=

𝜕𝑥

𝜕𝑡.

Como se está tratando de um instante fixo a fase será constante:

𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 = 𝐶,

Se derivar em ambos os lados em relação à 𝑡, tem-se:

𝑘 𝜕𝑥

𝜕𝑡 − 𝜔 = 0

Isolando a velocidade, tem-se:

𝑣 =𝜕𝑥

𝜕𝑡=𝜔

𝑘=

2𝜋

𝑇2𝜋

𝜆

=𝜆

𝑇= 𝜆𝑓.

Assim, para o cálculo da velocidade de propagação de uma onda é

suficiente ter o conhecimento de sua frequência e seu comprimento.

4.1.3 Princípio de superposição de ondas

Na natureza as ondas não agem sozinhas, sempre estão

acompanhadas e, a propósito, muito acompanhadas de outras ondas. Em um

concerto há vários instrumentos e cada um deles produz a cada instante uma

variedade considerável de ondas sonoras, por exemplo.

Halliday e Resnick (2007, p. 129) apresentam duas propriedades sobre

a superposição de ondas:

Ondas superpostas se somam algebricamente para produzir uma onda resultante ou onda total. [...] Ondas superpostas não se afetam mutuamente (HALLIDAY e RESNICK, 2007, p. 129).

49

A onda resultante da superposição das ondas é somatório das ondas

envolvidas. Para o caso de duas ondas, tem-se:

𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝑦1 𝑥, 𝑡 + 𝑦2 𝑥, 𝑡 .

Para um caso genérico com 𝑛 ondas:

𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝑦1 𝑥, 𝑡 + ⋯+ 𝑦𝑛 𝑥, 𝑡 .

A título de exemplificação segue a Figura 45 com a superposição de

duas ondas distintas:

Figura 45: Exemplo da representação gráfica de uma superposição de duas ondas. Fonte: O autor, 2014.

Em seguida é dado o enfoque para as ondas sonoras, que serão

entendidas como ondas mecânicas longitudinais.

4.2 ONDAS SONORAS

Uma onda sonora possui uma origem num ponto onde é iniciada a sua

propagação, esse ponto, que será denotado por S, recebe um nome especial:

fonte pontual. Existem também as Frentes de ondas, que são representadas

em duas dimensões como circunferências com centro no ponto S, como mostra

a Figura 46:

50

Figura 46: Onda sonora se propagando a partir de uma fonte pontual S.

Fonte: HALLIDAY, D; RESNICK, R. (2007, p.150).

O som é propagado em todas as direções, em âmbito tridimensional,

no entanto, sua representação pode ser bidimensional se o meio for

homogêneo, ou seja, se sua densidade for constante. Existe a possibilidade de

o ambiente possuir uma densidade variada (como geralmente acontece). O ar,

por exemplo, é composto por uma variedade de gases, uns mais densos que

os outros, porém, muitas vezes essas variações são pequenas o suficiente que

não fazem exercem grande influência nos resultados dos cálculos.

4.2.1Ondas sonoras progressivas

Um dos elementos que fazem completa diferença em um contexto

musical é a dinâmica do som com as variações de “volume do som”. Esse

volume pode ser calculado através das variações de pressão que uma onda

sonora exerce sobre o ambiente. Essa pressão é obtida basicamente por uma

razão entre uma tensão e sua área de atuação, área essa que quanto mais

distante do ponto S, maior é. Com a equação: Δ𝑝 =𝐹

𝐴, onde Δ𝑝 é a variação da

pressão, 𝐹 é a força (tensão no ambiente), 𝐴 é a área que a onda atinge no

dado instante.

Segundo Haliday e Resnick (2007) quando uma onda se propaga, a

pressão do ar varia “senoidalmente”, respeitando a seguinte função:

Δ𝑝 𝑥, 𝑡 = Δ𝑝𝑚𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 .

51

O valor positivo de Δ𝑝 representa uma compressão do ar e o negativo,

uma expansão. O fator Δ𝑝𝑚 recebe o nome de amplitude de pressão, é o maior

valor que a pressão pode assumir para a onda em questão.

A título de ilustração segue a Figura 47 com uma representação da

variação da pressão em partículas.

Figura 47: Distribuição de partículas, justapostas pela influência da pressão de uma

onda sonora2.


Essa pressão possui uma relação matemática com a amplitude do

deslocamento das partículas, porém não compete ao escopo deste trabalho.

A seção seguinte fica responsável pela interpretação física do volume

do som como a intensidade e nível sonoro de uma onda mecânica.

Representado

4.2.2 Intensidade e nível sonoro

Basicamente, a intensidade sonora é definida pela seguinte relação

matemática:

𝐼 =𝑃

𝐴,

2 A presença de mais partículas é representada pela tonalidade mais escura,

enquanto o afastamento delas é simulado pela coloração mais clara

52

em que 𝑃 é a potência, cuja unidade de medida é o Watt (𝑊) e 𝐴 representa o

valor da área (𝑚²) de atuação das ondas que aumenta de acordo com a

distancia de sua fonte sonora, medida em metros quadrados.

A potência é definida como o vetor força multiplicado pela taxa de

variação da posição em relação ao tempo, o que equivale a taxa de variação

de trabalho em relação ao tempo,

𝑃 =𝜕𝑊

𝜕𝑡= 𝐹 ⋅

𝜕𝑥

𝜕𝑡 = 𝐹 . 𝑣 .

Sendo 𝑊 o trabalho realizado, medido em Joules (𝐽), 𝑡, o tempo (𝑠), 𝐹 ,

o vetor força, cuja intensidade é medida em Newtons (𝑁), 𝑥 é o vetor posição e

sua distância é medida em metros (𝑚), e, por fim, o vetor 𝑣 , velocidade (𝑚/𝑠).

Já o nível sonoro 𝑕, medido em decibéis (𝑑𝐵) em homenagem ao físico

Alexander Graham Bell (1847-1922). Esse nível foi definido de acordo com a

capacidade auditiva do ser humano, que em condições normais é capaz de

perceber sons de 10−12 ⋅ 𝑊

𝑚2 , Watts por metro segundo ao quadrado, até

intensidades tão fortes quanto 1 ⋅ 𝑊

𝑚2 (o limiar da dor). Essa variedade é

bastante extensa para se trabalhar. Assim, para reduzir esse intervalo de

valores pode-se recorrer aos logaritmos, com a seguinte relação:

𝑕 = 10 log𝐼

𝐼0,

em que 𝐼0 = 10−12 ⋅ 𝑊

𝑚2 é uma intensidade referencial.

Tipler e Mosca (2006, p. 518) apresentam uma tabela que se torna

evidente a vantagem dessa relação logarítmica (Tabela1):

Fonte I/I0 dB Descrição

100 0 Limiar da audição

Respiração normal 101 10 Quase inaudível

Farfalhar 102 20

Murmúrio (a 5 m) 103 30 Muito quieto

Biblioteca 104 40

Escritório tranquilo 105 50 Quieto

Conversação normal 106 60

Tráfego intenso 107 70

Escritório barulhento 108 80

Caminhão pesado 109 90 A exposição constante prejudica a audição

53

Trem de metrô 1010 100

Ruído de construção (a 3 m) 1011 110

Concerto de rock com amplificador (a 2 m); decolagem de jato (a 60 m)

1012 120 Limiar da dor

Rebitador automático; metralhadora

1013 130

Decolagem de jato 1015 150

Motor de foguete 1018 180

Tabela 1: Intensidade e Nível Sonoro de alguns sons comuns (𝐼0 = 10−12 𝑊

𝑚2 ).

Fonte: TIPLER, P. A., MOSCA, G. (2006, p. 517).

Escrevendo 𝐼 em função de 𝑕, tem-se:

1

10⋅ 𝑕 = log

𝐼

𝐼0

101

10⋅𝑕 =

𝐼

𝐼0

𝐼 = 101

10⋅𝑕 ⋅ 𝐼0 .

Desta forma, quando há várias ondas sonoras envolvidas com

diferentes valores para 𝑕, suas superposições não resultam, simplesmente, na

soma dos valores dos 𝑕 envolvidos. São somadas as intensidades das ondas:

𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 + ⋯+ 𝐼𝑛 .

Colocando em função dos valores dos 𝑕, tem-se:

𝐼 = 101

10⋅𝑕1 ⋅ 𝐼0 + 10

1

10⋅𝑕2 ⋅ 𝐼0 + ⋯+ 10

1

10⋅𝑕𝑛 ⋅ 𝐼0

⟺ 𝐼 = 𝐼0 101

10⋅𝑕1 + 10

1

10⋅𝑕2 + ⋯+ 10

1

10⋅𝑕𝑛

⟺𝐼

𝐼0= 10

1

10⋅𝑕1 + 10

1

10⋅𝑕2 + ⋯+ 10

1

10⋅𝑕𝑛

⟺ 10 log𝐼

𝐼0= 10log 10

1

10⋅𝑕1 + 10

1

10⋅𝑕2 + ⋯+ 10

1

10⋅𝑕𝑛 .

Considerando 𝑕𝑟 = 10 logI

I0, tem-se:

𝒉𝒓 = 𝟏𝟎𝒍𝒐𝒈 𝟏𝟎𝟏

𝟏𝟎⋅𝒉𝟏 + 𝟏𝟎

𝟏

𝟏𝟎⋅𝒉𝟐 + ⋯+ 𝟏𝟎

𝟏

𝟏𝟎⋅𝒉𝒏 .

Para a continuidade dos estudos deste trabalho será considerado o

som em sua fonte sonora, ou seja, quando 𝑥 = 0. Assim, a função será

modificada

𝑕𝑚 0, 𝑡 = 𝑕. 𝑠𝑒𝑛 𝑘. 0 ± 𝜔𝑡

𝑕𝑚 𝑡 = 𝑕. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)

54

𝑕𝑚 𝑡 = 𝑕. 𝑠𝑒𝑛 2𝜋𝑓𝑡 .

O capítulo seguinte faz a ligação dos conceitos neste trabalhados com

os do segundo capítulo.

55

5. INTERPRETAÇÃO MATEMÁTICA DA MÚSICA

O presente capítulo possui a finalidade de fazer uma ligação mais

consistente entre a Matemática e a Música, partindo das relações matemáticas

para suas contextualizações musicais.

Como estudado e concluído no Capítulo 4, uma Onda Sonora pode ser

analisada pela função periódica senóide:

𝑕𝑚 𝑡 = 𝑕. 𝑠𝑒𝑛 2𝜋𝑓𝑡 ,

em que 𝑡 é o tempo medido em segundos (𝑠), 𝑕 é a amplitude do som, medida

em metros (𝑚) e 𝑓 é a frequência da onda, medida em hertz (𝐻𝑧), sendo 𝑃 =1

𝑓

o período, obviamente, medido em segundos (𝑠). É fundamental recordar que

𝑕 está Na escala logarítmica. Tal função pode ser representada graficamente:

Figura 48: Representação gráfica da função 𝑕𝑚 𝑡 = 𝑕. 𝑠𝑒𝑛 2𝜋𝑓𝑡 . Fonte: O autor, 2014.

Este gráfico representa a função com início no tempo 0 s (zero

segundo). No entanto, nem sempre os sons iniciam junto à contagem do

tempo. Assim, é possível que haja variações no tempo, as quais serão

denotadas por Δ𝑡.

Desta forma, existe a possibilidade de reescrever a função como:

𝑓 𝑡 = 𝑕. 𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑓 𝑡 + Δ𝑡 ). Esta variação se faz interessante quando Δ𝑡 =1

4𝑃 =

1

4𝑓, pois, com algumas propriedades matemáticas, mostra-se um caso especial:

𝑕𝑚 𝑡 = 𝑕. 𝑠𝑒𝑛 2𝜋𝑓 𝑡 + Δ𝑡

56

= 𝑕. 𝑠𝑒𝑛 2𝜋𝑓 𝑡 +1

4𝑓

= 𝑕. 𝑠𝑒𝑛 2𝜋𝑓 +2𝜋𝑓

4𝑓

= 𝑕. 𝑠𝑒𝑛 2𝜋𝑓𝑡 +𝜋

2 ,

como 𝑠𝑒𝑛 𝑡 +𝜋

2 = cos(𝑡), tem-se:

𝑕𝑚′ (𝑡) = 𝑕. 𝑠𝑒𝑛 2𝜋𝑓 𝑡 +

1

4𝑃 = 𝑕. cos 2𝜋𝑓𝑡 .

Serão, ainda, expandidas as possibilidades para a função cosseno.

Com essa variação, pode-se representar graficamente e observar a

mudança:

Figura 49: Representação gráfica da influência da variação no caso especial

Δ𝑡 =1

4𝑃.


A próxima seção fica com a responsabilidade de caracterizar as notas

musicais matematicamente.

5.1 CARACTERIZAÇÃO MATEMÁTICA DAS NOTAS MUSICAIS

As notas musicais, como mencionado no Capítulo 2, possuem uma

caracterização especial que difere umas das outras: as frequências de suas

ondas.

57

Existe, também, uma repetição de uma mesma nota em frequências

diferentes, porém com algumas ressalvas: A primeira delas compete ao fato de

que uma nota com frequência 𝑓 será a mesma nota com a frequência 2𝑓, por

consequência, a mesma com as frequências 4𝑓, 8𝑓, 16𝑓, 32𝑓,… , 2𝑖𝑓, com 𝑖 ∈ ℤ,

por exemplo 𝑖 = −5, 1

25 𝑓. A segunda ressalva faz menção ao fato de que

existem 12 notas entre as frequências 𝑓 e 2𝑓. Surge, então, a necessidade a

criação de uma escala (escala temperada). A Figura 50 auxilia na

compreensão de que o crescimento exponencial das frequências de uma nota

para a sua sucessora. Figura 50:

Figura 50: Representação das frequências das notas na reta. Fonte: O autor, 2014.

A tabela a seguir apresenta a ideia da passagem de uma nota para a

outra como multiplicação por um valor 𝑔 ∈ ℝ, inicialmente desconhecido.

Nota Frequência (Hz)

Dó 𝑓.𝑔−9

Dó # 𝑓.𝑔−8

Ré 𝑓.𝑔−7

Ré # 𝑓.𝑔−6

Mi 𝑓.𝑔−5

Fá 𝑓.𝑔−4

Fá # 𝑓.𝑔−3

Sol 𝑓.𝑔−2

Sol# 𝑓.𝑔−1 Lá 𝒇.𝒈𝟎

Lá # 𝑓.𝑔1

Si 𝑓.𝑔2

Dó 𝑓.𝑔3 Tabela 2: Notas e frequências para a construção da escala temperada. Fonte: O autor, 2014.

Assim, tem-se que:

𝑓.𝑔12 = 2𝑓,

fato muito oportuno, pois trás um valor constante 𝑔 = 21

12 .

58

Um fato interessante é o de que a nota Lá possui por frequência básica

440Hz em um contexto mais contemporâneo. Porém, algumas orquestras

afinam seus instrumentos com base na nota Lá com a frequência clássica

432Hz. Os exemplos numéricos deste trabalho serão com base na frequência

clássica para a nota Lá, 432 Hz.

É construída, em seguida, uma tabela com as notas e seus períodos,

respectivamente. Um fato da escolha das notas representadas na tabela

considera que o ouvido humano é capaz de perceber o som de 16Hz a

20000Hz em condições normais. A tabela completa está disponível no

Apêndice A.

Oitava Nota Frequência (Hz) Tamanho (m) Período (s)

3 Lá 216 1,58 0,00462963

3 Lá # 228,8440284 1,49 0,00436979

3 Si 242,4518024 1,40 0,00412453

4 Dó 256,8687368 1,32 0,00389304

4 Dó # 272,1429468 1,25 0,00367454

4 Ré 288,3254085 1,18 0,0034683

4 Ré # 305,4701295 1,11 0,00327364

4 Mi 323,6343286 1,05 0,00308991

4 Fá 342,8786272 0,99 0,00291648

4 Fá # 363,2672514 0,94 0,00275279

4 Sol 384,8682462 0,88 0,00259829

4 Sol # 407,7537031 0,83 0,00245246

4 Lá 432 0,79 0,00231481

4 Lá # 457,6880568 0,74 0,00218489

4 Si 484,9036049 0,70 0,00206227

5 Dó 513,7374737 0,66 0,00194652

5 Dó # 544,2858936 0,63 0,00183727

5 Ré 576,650817 0,59 0,00173415 Tabela 3: Notas, suas frequências e seus períodos (Tabela completa no Apêndice A). Fonte: O autor, 2014.

Obviamente, cada uma dessas notas possui uma representação gráfica

distinta. No caso específica da nota Lá 432Hz, tem-se:

59

Figura 51: Representação gráfica da nota Lá (432hz). Fonte: O autor, 2014.

Com a representação “à distância” (Figura 51), não se faz

perfeitamente legível os 432 picos do gráfico no intervalo de tempo (0,1),

porém, com uma “aproximação” é perceptível através do período 1

432𝑠, como na

Figura 52(a amplitude foi reduzida para caber na imagem):

Figura 52: Representação gráfica da nota Lá (432 Hz), aproximada. Fonte: O autor, 2014.

Gráfico semelhante pode ser construído com a nota Mi (323,63 Hz),

nota que como visto no Capítulo 2, combina com a nota Lá.

60

Figura 53: Representação Gráfica da nota Mi (323,63Hz) Fonte: O autor, 2014.

A seção seguinte procura fazer combinações entre as notas musicais,

momento para desenvolver a Matemática da Harmonia.

5.2 INTERPRETAÇÃO MATEMÁTICA DA HARMONIA

Até o momento havia sido feito o estudo com as notas individuais, sem

agrupamentos. Nesta seção é feita a união de conhecimentos físico-

matemáticos na música, verticalmente.

A primeira ideia aplicada é a do princípio da superposição de ondas

sonoras. Visto que cada nota é uma onda sonora com uma frequência

específica e, ainda com uma intensidade que pode ser relacionada com o

volume do som. Quando duas ou mais notas são soadas simultaneamente, a

onda resultante respeita as propriedades físicas envolvidas. Assim, o som

completo representará uma nova função periódica. Para duas notas

consonantes:

Nota 1 representada pela função 𝑕𝑚1 𝑡 = 𝑕1𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑓1(𝑡 + Δ𝑡1)).

Nota 2 representada pela função 𝑕𝑚 2 𝑡 = 𝑕2𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑓2 𝑡 + Δ𝑡2 ).

A somas das notas 1 e 2 será:

𝑕𝑚 𝑡 = 𝑕𝑟 .𝑕1𝑠𝑒𝑛 2𝜋𝑓1(𝑡 + Δ𝑡1 ) + 𝑕2𝑠𝑒𝑛 2𝜋𝑓2(𝑡 + Δ𝑡2 )

𝑕1 + 𝑕2.

61

É necessário ponderar que 𝑕𝑟 (amplitude resultante) deve respeitar as

propriedades físicas estudadas no Capítulo 4. Para 𝑛 notas consonantes:

Nota 1 representada pela função 𝑕𝑚1 𝑡 = 𝑕1𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑓1 𝑡 + Δ𝑡1 ).

Nota 2 representada pela função 𝑕𝑚 2 𝑡 = 𝑕2𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑓2 𝑡 + Δ𝑡2 ).

...

Nota n representada pela função 𝑕𝑚𝑛 𝑡 = 𝑕𝑛𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑓𝑛 𝑡 + Δ𝑡𝑛 ).

A soma das notas será dada pela função:

𝑕𝑚 𝑡

= 𝑕𝑟 .𝑕1𝑠𝑒𝑛 2𝜋𝑓1(𝑡 + Δ𝑡1) + 𝑕2𝑠𝑒𝑛 2𝜋𝑓2(𝑡 + Δ𝑡2) + ⋯+ 𝑕𝑛𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑓𝑛 (𝑡 + Δ𝑡𝑛))

(𝑕1 + 𝑕2 + ⋯+ 𝑕𝑛).

Porém, como visto anteriormente, existe a possibilidade de algumas

notas serem representadas pela função cosseno.

Considerando as notas 1, 2,..., n representadas pela função seno e as

notas n+1, n+2,..., g, representadas pela função cosseno, evidentemente,

com𝑚, 𝑛 ∈ ℕ e g> 𝑛,a soma das notas ficará:

𝑕𝑚 𝑡 =𝑕𝑟

𝑕1 + ⋯+ 𝑕𝑔. 𝑕1 𝑠𝑒𝑛 2𝜋𝑓1 𝑡 + Δ𝑡1 + ⋯+ 𝑕𝑛 𝑠𝑒𝑛 2𝜋𝑓𝑛 𝑡 + Δ𝑡𝑛

+ 𝑕𝑛+1 cos 2𝜋𝑓𝑛+1 𝑡 + Δ𝑡𝑛+1 + ⋯+ 𝑕𝑔 𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑓𝑔 𝑡 + Δ𝑡𝑔 .

A mesma função pode ser reescrita como os seguintes somatórios:

𝑕𝑚 𝑡 =𝑕𝑟

(𝑕1 + ⋯+ 𝑕𝑔) 𝑕𝑖𝑠𝑒𝑛 2𝜋𝑓𝑖 𝑡 + Δ𝑡𝑖

𝑛

𝑖=1

+𝑕𝑟

(𝑕1 + ⋯+ 𝑕𝑔) 𝑕𝑗 cos 2𝜋𝑓𝑗 𝑡 + 𝛥𝑡𝑗

𝑔

𝑗=𝑛+1

.

Um exemplo é o acorde formado pelas notas Dó, Mi e Sol,

representadas, respectivamente pelas frequências aproximadas 256,9 Hz,

323,6 Hz e 384,9 Hz, considerando o início da contagem de tempo coincidente

ao início do soar das notas.

𝑕𝑚 𝑡 = 𝑕𝑟

𝑕1 + 𝑕2 + 𝑕3 𝑕1𝑠𝑒𝑛 2𝜋256,9𝑡 + 𝑕2𝑠𝑒𝑛 2𝜋323,6𝑡

+ 𝑕3𝑠𝑒𝑛 2𝜋384,9𝑡 .

Esse acorde, a título de curiosidade, conhecido como Dó Maior, pode

ser representado graficamente:

62

Figura 54: Representação Gráfica de um acorde Dó Maior. Fonte: O autor, 2014.

Outro exemplo é o acorde Ré Menor, composto pelas notas Ré, Fá e

Lá, representadas, respectivamente, pelas frequências 288,3 Hz, 342,9 Hz e

432 Hz, com todas as variações de tempo Δ𝑡 = 0.

𝑕𝑚 𝑡 = 𝑕𝑟

𝑕1 + 𝑕2 + 𝑕3 𝑕1𝑠𝑒𝑛 2𝜋288,3𝑡 + 𝑕2𝑠𝑒𝑛 2𝜋342,9𝑡 + 𝑕3𝑠𝑒𝑛 2𝜋432𝑡

Esse acorde possui a seguinte representação gráfica:

Figura 55: Representação gráfica de um acorde Ré Menor. Fonte: O autor, 2014.

63

Os dois exemplos acima apresentam apenas 3 notas, cada, no entanto,

na realidade, podem ser somadas dezenas e até centenas de notas para

representar o som real

5.3 INTERPRETAÇÃO MATEMÁTICA DA MELODIA E DO RITMO

A ideia intuitiva desta seção já foi introduzida quando se mencionou o

tempo. As funções definidas para as notas musicais o tinham como variável

independente.

O Ritmo é um dos mais importantes elementos da música. Ele está

relacionado com uma periodicidade do tempo dividindo a música em alguns

compassos que seguem algum padrão. Matematicamente, está se trabalhando

com os valores do tempo (o domínio da função), propondo divisões com o

intuito de organizar a música.

É preciso fazer uma análise dos compassos. Cada um terá, a princípio,

uma quantia igual de tempo, como mostra a Figura 56, em que 𝑡1 = 𝑡2 − 𝑡1 =

𝑡3 − 𝑡2 = ⋯ = 𝑡𝑛 − 𝑡𝑛−1.

Figura 56: Divisão dos compassos no tempo. Fonte: O autor, 2014.

Existe a possibilidade de, em algum arranjo musical, ser feita alguma

mudança em alguns compassos com o intuito do embelezamento musical.

Para saber o número do compasso, basta fazer a divisão 𝑡

𝑡1. Dentro de

cada compasso existem notas com durações diferentes

𝑡1,1

4𝑡1,

1

8𝑡1,… representadas pelas figuras vistas no Capítulo 2. Os seguintes

compassos possuem as notas Sol, Lá e Si com durações distintas:

Figura 57: Partitura com 2 compassos quaternários. Fonte: O autor, 2014.

64

Esses dois compassos podem ser representados graficamente:

Figura 58: Representação gráfica dos compassos da figura anterior. Fonte: O autor, 2014.

Existe, também, uma dinâmica para a execução das notas com

intensidades diferentes, porém, este trabalho não se prenderá a tais detalhes.

Outro exemplo de compassos é apresentado em seguida, porém, com

mais notas soadas simultaneamente:

Figura 59: Partitura com 2 compassos ternários. Fonte: O autor, 2014.

Esses dois compassos podem ser equacionados oferecendo condições

para o tempo:

0 ≤ 𝑡 <1

3𝑡1 ⟹ 𝑕𝑚 𝑡 =

𝑕𝑟𝑕1 + 𝑕2

𝑕1𝑠𝑒𝑛 2𝜋256,9𝑡 + 𝑕2𝑠𝑒𝑛 2𝜋323,6𝑡

1

3𝑡1 ≤ 𝑡 <

2

3𝑡1 ⟹ 𝑕𝑚 𝑡 =

𝑕𝑠𝑕3 + 𝑕4

𝑕3𝑠𝑒𝑛 2𝜋256,9𝑡 + 𝑕4𝑠𝑒𝑛(2𝜋192,4𝑡)

2

3𝑡1 ≤ 𝑡 < 𝑡1 ⟹ 𝑕𝑚 𝑡 =

𝑕𝑥𝑕5 + 𝑕6

𝑕5𝑠𝑒𝑛 2𝜋192,4𝑡 + 𝑕6𝑠𝑒𝑛(2𝜋323,6𝑡)

𝑡1 ≤ 𝑡 <4

3𝑡1 ⟹ 𝑕𝑚 𝑡 = 𝑕7𝑠𝑒𝑛(2𝜋256,9𝑡)

4

3𝑡1 ≤ 𝑡 < 𝑡2 ⟹ 𝑕𝑚 𝑡 =

𝑕𝑦𝑕8 + 𝑕9

𝑕8𝑠𝑒𝑛 2𝜋192,4𝑡 + 𝑕9𝑠𝑒𝑛(2𝜋256,9𝑡)

com 𝑕𝑖 tendo 𝑖 = 1, 2,⋯ ,9 as amplitudes dos níveis sonoros de cada uma das

notas, 𝑕𝑟 ,𝑕𝑠 , 𝑕𝑥 ,𝑕𝑦 as amplitudes dos níveis sonoros dos acordes formados.

Seguido de sua representação gráfica:

65

Figura 60: Representação gráfica dos compassos da figura anterior. Fonte: O autor, 2014.

É observável que há diferenças entre os tempos das partituras em

função dos compassos (ternário e quaternário).

5.4 SUGESTÕES DE APLICAÇÕES

Nesta seção são abordadas, brevemente, as apreciações acerca do

timbre como uma superposição de ondas, trazendo uma sugestão de um

simulador. É apresentada uma música composta com base nas primeiras

casas decimais do número de ouro.

5.4.1 O timbre

O timbre é entendido como o que diferencia um som do outro, essa

diferença está em função das diferentes amplitudes em que os harmônicos são

soados. Assim, o que o caracteriza é a intensidade de cada uma das ondas

harmônicas superpostas, ou seja, os valores de 𝑕𝑖 da função:

𝑕𝑚 𝑡 =𝑕𝑟

𝑕1 + ⋯+ 𝑕𝑛. 𝑕1 𝑠𝑒𝑛 2𝜋𝑓 𝑡 + Δ𝑡1 + 𝑕2 𝑠𝑒𝑛 2𝜋2𝑓 𝑡 + Δ𝑡1 + ⋯

+ 𝑕𝑛 𝑠𝑒𝑛 2𝜋𝑛𝑓 𝑡 + Δ𝑡𝑛

𝑕𝑚 𝑡 =𝑕𝑟

(𝑕1 + ⋯+ 𝑕𝑛) 𝑕𝑖𝑠𝑒𝑛 2𝜋𝑖𝑓 𝑡 + Δ𝑡𝑖 .

𝑛

𝑖=1

66

A título de ilustração, existe um simulador digital disponível em

<https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulation/fourier> que aborda a

superposição de ondas “senoidais” harmônicas, podendo variar suas

amplitudes. Uma possibilidade encontra-se na Figura 61:

Figura 61: Exemplo de uma superposição de Ondas geradas por um simulador. Fonte: https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulation/fourier, 2014.

Este simulador serve como um objeto educacional como uma

ferramenta para a observação da soma de funções seno e cosseno.

5.4.2 Um exemplo

Em seguida é proposta uma música construída a partir de padrão

matemático baseado no número de ouro (𝜙 =1+ 5

2), número tido como uma

referência estética. É construída música onde cada nota é numerada de acordo

com as primeiras casas decimais de número áureo em sua representação

decimal. O número 1 corresponde a nota Dó, 2 a nota Ré, 3 a nota Mi e, assim,

sucessivamente. O número zero foi utilizado para representar uma pausa

67

Figura 62: Partitura de uma música com notas respeitando a proporção áurea. Fonte: O autor, 2014. Assim como as demais partituras, esta também possui uma

representação gráfica

Figura 63: Representação gráfica da partitura da Figura 62, considerando sua

duração 13 segundos. Fonte: O autor, 2014.

Passando por distintas áreas do conhecimento foi possível construir

tais estruturas matemáticas. De certo modo, este trabalho esteve pautado na

busca de algumas sentenças matemáticas que pudessem caracterizar

determinados comportamentos musicais.

68

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Em primeiro lugar, o fato de ter sido feita a pesquisa para a elaboração

deste trabalho contribuiu para a aprendizagem de conceitos físicos e

matemáticos.

Durante as pesquisas, muitos padrões foram passíveis de percepção,

trazendo a necessidade de uma filtragem na parte física: Ondas Sonoras.

Assim, foi imprescindível a realização de estudos nas áreas de conhecimentos

físicos, pertinentes. Novamente, foi preciso realizar uma nova filtragem e

elencar os pontos mais influentes: as funções trigonométricas que descrevem

as ondas. A partir destes pontos foi conduzido um estudo matemático.

Apesar de este trabalho não ser uma proposta de ensino, em vários

momentos de sua construção foram pensadas em possibilidades. Em meio às

reflexões feitas na edificação do terceiro capítulo, enquanto eram discutidas as

influências dos coeficientes da função seno, pensou-se na estruturação de uma

sequência didática, o porquê do esmiúce de alguns detalhes acerca do

comportamento das funções tratadas.

As analogias defendidas no primeiro capítulo podem servir como um

grande ferramental se bem utilizadas. Não adianta as usar se estiver em uma

realidade básica não realística, ou seja, fazer analogias com conhecimentos

não construídos. Assim, caso os alunos não tenham algum conhecimento

básico musical, uma aula nessa perspectiva correria o risco de fracassar. Por

outro lado, a música está presente na realidade da maioria das pessoas e isso

poderia servir de auxílio para que o aluno consiga correlacionar a Matemática

com algo do seu dia-a-dia. Analisando os dois lados são tiradas conclusões

preliminares do tipo: pode valer a pena investir no planejamento de aulas que

contemplem os itens discutidos, apesar de o autor não ter vivenciado em sua

vida letiva, tanto como professor quanto estudante, aulas com a música como

fonte de analogia; a música preza por uma organização de sons e embalos

rítmicos, a Matemática preza pela organização de pensamento, eis uma

possível “fonte analógica”.

Na construção do terceiro capítulo, mais especificamente quando foram

estudados os coeficientes das funções trigonométricas e suas representações

69

gráficas, pôde-se pensar em possibilidades para trabalhos futuros, como, por

exemplo, desenvolver alguma espécie de modelagem Matemática para o

ensino, fazendo o uso da música como realidade.

Partindo do fato de que a música está no contexto da maioria das

pessoas, faria todo o sentido usá-la como base para “sedimentar” outros

conhecimentos.

Como fundamento para os conteúdos físicos abordados, se deu a

construção do terceiro capítulo que, na ótica matemática, fez-se o mais

importante, pois ofereceu subsídios para o restante do trabalho.

Assim, o quinto capítulo, fruto da ligação dos demais, procurou

responder a questão inicial. Faz todo o sentido contemplar as regularidades da

música no sentido periódico.

70

REFERÊNCIAS

ADROVER, J.F.; DUARTE, A. El uso deanalogiasem laenseñanza de lãs ciências.Programa de estudios cognitivos, Instituto de investigacionespsicologicas, Facultad de psicologia, Universidade de Buenos Aires, 1995. BRITO, A. J. A Matemática de Isidoro de Sevilha e a tradição pitagórica. REVISTA DA SBHC, Rio de Janeiro, v. 3, n. 1, p. 49 – 57, jan./ jun. 2005. DREISTADT, R. An Analysis of the Use Of Analogies and Metaphors in Science. Journal of Psychology, 68, 1968.p. 97-116. FONSECA, E. G. S; NAGEM, R.L. Implicações da Teoria de Vygotsky em processos de Ensino-Aprendizagem que Envolvam a Utilização de Modelos, Analogias e Metáforas na Construção e Ressignificação de Conhecimentos. CEFET – MG. GT 10: Linguagem, modelos e tecnologia.

2010.

FOURIER: Criando Ondas. Disponível em <https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulation/fourier> Acesso em 08/09/2014.

HALLIDAY, D; RESNICK, R. Fundamentos de Física 2:Gravitação, Ondas e Termodinâmica. 8. Ed. Editora LTC, Rio de Janeiro. 2007.

NOBRE, J. Apostila de Teoria Musical. Projeto Fortalecimento Musical,

Secretaria da Cultura. Sistema Estadual de Bandas de Música. Governo do Estado do Ceará. 2008. TIPLER, P. A., MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros: Mecânica,

Oscilações e Ondas, Termodinâmica. Rio Grande do sul. v. 1, n. 1, 6ª Ed. LTC, Gen. 2006. VYGOTSKY, L. S. Mind in Society: The Development of Higher Pyichological

Processes. Cambridge MA. Harvard University Press. 1978.

71

APÊNDICE A: Notas, Frequências, Tamanhos e Períodos de Ondas

Sonoras

72

Oitava Nota Frequência (Hz) Tamanho (m) Período (s)

0 Dó 16,05429605 21,20 0,06228862

0 Dó # 17,00893417 20,01 0,05879263

0 Ré 18,02033803 18,88 0,05549285

0 Ré # 19,09188309 17,82 0,05237828

0 Mi 20,22714554 16,82 0,04943851

0 Fá 21,4299142 15,88 0,04666374

0 Fá # 22,70420321 14,99 0,04404471

0 Sol 24,05426539 14,15 0,04157267

0 Sol # 25,48460644 13,35 0,03923937

0 Lá 27 12,60 0,03703704

0 Lá # 28,60550355 11,90 0,03495831

0 Si 30,3064753 11,23 0,03299625

1 Dó 32,10859211 10,60 0,03114431

1 Dó # 34,01786835 10,00 0,02939632

1 Ré 36,04067606 9,44 0,02774643

1 Ré # 38,18376618 8,91 0,02618914

1 Mi 40,45429108 8,41 0,02471926

1 Fá 42,8598284 7,94 0,02333187

1 Fá # 45,40840642 7,49 0,02202235

1 Sol 48,10853078 7,07 0,02078633

1 Sol # 50,96921288 6,68 0,01961969

1 Lá 54 6,30 0,01851852

1 Lá # 57,2110071 5,95 0,01747915

1 Si 60,61295061 5,61 0,01649812

2 Dó 64,21718421 5,30 0,01557216

2 Dó # 68,03573669 5,00 0,01469816

2 Ré 72,08135213 4,72 0,01387321

2 Ré # 76,36753237 4,46 0,01309457

2 Mi 80,90858215 4,21 0,01235963

2 Fá 85,71965681 3,97 0,01166594

2 Fá # 90,81681285 3,75 0,01101118

2 Sol 96,21706156 3,54 0,01039317

2 Sol # 101,9384258 3,34 0,00980984

2 Lá 108 3,15 0,00925926

2 Lá # 114,4220142 2,97 0,00873958

2 Si 121,2259012 2,81 0,00824906

3 Dó 128,4343684 2,65 0,00778608

3 Dó # 136,0714734 2,50 0,00734908

3 Ré 144,1627043 2,36 0,00693661

3 Ré # 152,7350647 2,23 0,00654729

3 Mi 161,8171643 2,10 0,00617981

3 Fá 171,4393136 1,98 0,00583297

73

3 Fá # 181,6336257 1,87 0,00550559

3 Sol 192,4341231 1,77 0,00519658

3 Sol # 203,8768515 1,67 0,00490492

3 Lá 216 1,58 0,00462963

3 Lá # 228,8440284 1,49 0,00436979

3 Si 242,4518024 1,40 0,00412453

4 Dó 256,8687368 1,32 0,00389304

4 Dó # 272,1429468 1,25 0,00367454

4 Ré 288,3254085 1,18 0,0034683

4 Ré # 305,4701295 1,11 0,00327364

4 Mi 323,6343286 1,05 0,00308991

4 Fá 342,8786272 0,99 0,00291648

4 Fá # 363,2672514 0,94 0,00275279

4 Sol 384,8682462 0,88 0,00259829

4 Sol # 407,7537031 0,83 0,00245246

4 Lá 432 0,79 0,00231481

4 Lá # 457,6880568 0,74 0,00218489

4 Si 484,9036049 0,70 0,00206227

5 Dó 513,7374737 0,66 0,00194652

5 Dó # 544,2858936 0,63 0,00183727

5 Ré 576,650817 0,59 0,00173415

5 Ré # 610,9402589 0,56 0,00163682

5 Mi 647,2686572 0,53 0,00154495

5 Fá 685,7572545 0,50 0,00145824

5 Fá # 726,5345028 0,47 0,0013764

5 Sol 769,7364925 0,44 0,00129915

5 Sol # 815,5074062 0,42 0,00122623

5 Lá 864 0,39 0,00115741

5 Lá # 915,3761135 0,37 0,00109245

5 Si 969,8072097 0,35 0,00103113

6 Dó 1027,474947 0,33 0,00097326

6 Dó # 1088,571787 0,31 0,00091863

6 Ré 1153,301634 0,30 0,00086708

6 Ré # 1221,880518 0,28 0,00081841

6 Mi 1294,537314 0,26 0,00077248

6 Fá 1371,514509 0,25 0,00072912

6 Fá # 1453,069006 0,23 0,0006882

6 Sol 1539,472985 0,22 0,00064957

6 Sol # 1631,014812 0,21 0,00061312

6 Lá 1728 0,20 0,0005787

6 Lá # 1830,752227 0,19 0,00054622

6 Si 1939,614419 0,18 0,00051557

7 Dó 2054,949895 0,17 0,00048663

7 Dó # 2177,143574 0,16 0,00045932

7 Ré 2306,603268 0,15 0,00043354

74

7 Ré # 2443,761036 0,14 0,00040921

7 Mi 2589,074629 0,13 0,00038624

7 Fá 2743,029018 0,12 0,00036456

7 Fá # 2906,138011 0,12 0,0003441

7 Sol 3078,94597 0,11 0,00032479

7 Sol # 3262,029625 0,10 0,00030656

7 Lá 3456 0,10 0,00028935

7 Lá # 3661,504454 0,09 0,00027311

7 Si 3879,228839 0,09 0,00025778

8 Dó 4109,899789 0,08 0,00024331

8 Dó # 4354,287148 0,08 0,00022966

8 Ré 4613,206536 0,07 0,00021677

8 Ré # 4887,522072 0,07 0,0002046

8 Mi 5178,149258 0,07 0,00019312

8 Fá 5486,058036 0,06 0,00018228

8 Fá # 5812,276022 0,06 0,00017205

8 Sol 6157,89194 0,06 0,00016239

8 Sol # 6524,059249 0,05 0,00015328

8 Lá 6912 0,05 0,00014468

8 Lá # 7323,008908 0,05 0,00013656

8 Si 7758,457678 0,04 0,00012889

9 Dó 8219,799579 0,04 0,00012166

9 Ré 9226,413072 0,04 0,00010838

9 Ré # 9775,044143 0,03 0,0001023

9 Mi 10356,29852 0,03 9,656E-05

9 Fá 10972,11607 0,03 9,114E-05

9 Fá # 11624,55204 0,03 8,6025E-05

9 Sol 12315,78388 0,03 8,1197E-05

9 Sol # 13048,1185 0,03 7,6639E-05

9 Lá 13824 0,02 7,2338E-05

9 Lá # 14646,01782 0,02 6,8278E-05

9 Si 15516,91536 0,02 6,4446E-05

10 Dó 16439,59916 0,02 6,0829E-05

universidade estadual do paranÁ unespar campus de uniÃo da...

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