Que papel para os manuais de Matemática

Uma sondagem junto dos autores

Este númer de Educaçà e Matemhtica, ao dedi- car especial atençà a utilizaçà de materiais no ensino e aprendizagem da Matemática nã poderia, natural- mente, deixar de fora os chamados manuais ou livros de texto da referida disciplina. Assim, no que diz res- peito ao Ensino Preparatóri e Unificado (sobre o Ensino Primári veja o artigo de David Vieira també publicado neste número) enviámo uma carta a diver- sos autores de manuais para esses nívei de ensino onde se solicitava uma resposta as trê seguintes questões (1) O que privilegia nos livros que elabora; (2) Qual pensa ser a f ungo principal que o manual dever6 ter; (3) Poder4 o manual ser substituíd pelos livros de exercício ou por fichas de trabalho?

Recebemos sete respostas correspondentes a autores cujos nomes a seguir indicamos apresentando, entre parêntesis os anos a que se destinam os livros de sua autoria: Ana Luís Correia, Céli Moreira Eusébi e Teresa Olga Albuquerque (7.O, S." e 9 . O ) ; ieonor Moreira ( I . o - 6. O); Ivete Caldas e Teresa Fonseca (5. e 6. O); Marcelina Armelim, Maria Manuela Mota e Matilde Varandas (5. " e 6. O); Cristina Loureiro, Isa- bel Moura, Maria Josà Delgado e Maria Josà Oliveira (5. O e 6. O); Paulo Abrantes e Raú Carvalho (7. ' - 12. O); Maria Augusta Neves (5. O - 12. O). Aqui fica o nosso agradecimento pela colaboraçà a que se pres- taram.

Os textos que recebemos como resposta 2s quest'es que colocámo nã sã uniformes: uns mais longos outros mais curtos, uns mais sintético outros mais deta- lhados, uns mais descritivos outros mais explicativos, uns seguindo de perto as questõe propostas outros ^esquecendo* essas questões Apresentamos seguida- mente o trabalho que realizámo com esses textos e que, acreditamos, dà um quadro das principais perspectivas dos autores relativas ao papel do manual de Matemá tica no ensino e aprendizagem desta disciplina. Para identificaçà das citaç'e utilizámo as iniciais do pri- meiro autor de cada um dos grupos.

Uma unanimidade

Serà talvez interessante começa por uma unanimi- dade. Trata-se, como jà esperdvamos, do nã como res- posta i terceira das questõe que nó propusemos: Poderà o manual ser substituíd pelos livros de exercí cios ou por fichas de trabalho? Na verdade todos os autores que se manifestaram, a este respeito, fizeram- -no negativamente, nã aceitando, directa ou indirecta- mente, que o livro de exercício possa substituir o

manual de Matemática *[Estudar Matemátic nã é sinónim de fazer muitos exercícios (ALC), -sendo mínim o tempo efectivo de aprendizagem na escola (. . . ) hà que propor aos alunos outras actividades (que nã exercícios que eles possam desenvolver autonomamente fora da aula* (LM), *o uso de fichas ou 'de manuais contendo apenas exercício nã à suficiente para a cons- tmçà do saber rnatemático (MAN), <um ensino exclu- sivamente baseado em fichas de trabalho ou livros de exercício toma-se demasido dirigido* (MA), à § simples resoluçà de exercício nã desenvolve a cultura mate- mática (PA), sã afirmaçõ de alguns autores que jus- tificam, ou subentendem, essa nã aceitaçã Talvez, agora, interesse deslocar a nossa anális para o enten- dimento que os autores fazem do papel dos exercício na aprendizagem da Matemática entendimento esse que à fundamento da posiçà assumida.

Em quase todos os casos (sà num nã aconteceu) os autores referiram-se explicitamente ao papel dos exer- cícios Por exemplo, para os último dos autores que acabámo de citar, resolver apenas exercício 40 desenvolve a cultura matemática (PA). També a afir- maçà -sou contra os exercício no que eles represen- tam de rotina e adestramenton, exprime, por sua vez, a perspectiva de uma autora que, a este respeito, acres- centa ainda: *prefiro que os alunos estejam sempre a fazer a mesma coisa utilizando estratégia e técnica diferentes do que estejam a fazer coisas diferentes, uti- lizando as mesmas técnica e as mesmas estratégias (LM). Ainda segundo a mesma autora, uma utilizaçà exclusiva de exercício nã permitiria o desenvolvi- mento, nos alunos, de componentes importantes na comunicaçà em Matemátic - çsabe ler e interpretar as ideias de outrem* - nem proporcionaria momentos em que os alunos possam *reflectir e clarificar^ as suas própria ideias.

Uma outra autora afirma que a *Matemátic nã à uma arte de fazer exercícios (MAN) mas uma ciênci que faz uso do raciocíni lógico-dedutiv e na qual a compreensã e reflexã dos alunos à muito importante. Considera, por isso, que a resoluçà mecânic de exer- cício *em série à negativa pois o sucesso a que con- duz à *aparente* e desenvolve nos alunos atitudes incorrectas na sua relaçà com a Matemática Em sua opinião na aprendizagem da Matemática o aluno deve *partir da teoria^ e, depois de ter assimilado os con- ceitos*, resolver exercício e problemas d e forma crí t ica~; *a resoluçà de exercícios que de uma forma diversa abordam os conceitos a estudar, à muito impor- tante, pois sà atravé da aplicaçà dos conhecimentos

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na prdtica o aluno adquire certeza e assimila perfeita- mente o conteúd matemático* A mesma autora consi- dera que tal como certos desportistas ou artistas treinam intensamente procurando a automatimçã o mesmo deve fazer o estudante em Matemátic resolvendo +exercício e problemas (com reflex'o e raciocínio atà estar seguro da matéria para poder depois abordar assuntos de com- plexidade superior.

Para outros autores, embora considerando que estu- dar Matemátic nã à sin6nimo de fazer muitos exercí cios, <os exercício sã necessário como teste para o estudo realizado e como meio de aprofundar os conhe- cimentos levantando novas questões (ALC). Um livro de texto, para estes autores, deve conter, em cada capí tulo, exercício de vário graus de dificuldade para que o aluno possa afazer o ponto da sua situaçà mana deter- minada unidade-. Ainda a prop-sito de exercícios os mesmos autores fizeram quest'o de declarar: m i o exis- tem [exercícios demasido dif'ceis se os conhecimentos adquiridos bastam para os resolvem.

Em outros casos, ainda, aceita-se que os exercício tê futilidade^ (CL) ou que "tê um papel importante na aprendiz agem^ (MA), nã sendo, no entanto, espe- cificadas a utilidade ou importãnci referidas. Os pri- meiros dos autores agora citados, no entanto, enquadram a utilizaçà de a l g u n s ~ exercício de rotina num con- junto de actividades de outro tipo que, claramente, enten- dem dever ser privilegiadas: .-investigaçà e pesquisa, descoberta de relaçõe resoluçà de problemas, cons- trucões*

O manual de Matemaítica que instrumento de trabalho?

Analisando as respostas dos autores &s duas outras quest'es que lhes colocáramos podemos dizer que as suas posiç'es no que respeita & finçO principal do manual de matemática se matizam entre dois $los: por um lado, o manual visto como local de consulta onde o aluno pode encontrar organizadamente a informaçà teóric matemática e por outro, o manual encarado como fonte de actividades a realizar pelo aluno para que ele construa os seus conhecimentos matemáticos De uma maneira ainda mais extrema poderíamo dizer: de um lado, o livro que define, de outro, o livro que propõe

Posto isto, detalhemos as diversas posiçõ a pro$- sito da funçà principal do manual de Matemátic que, embora as nã possamos colocar em qualquer dos p6los extremos referidos, evidenciam diferença que conside- ramos importantes. Vário autores referiram-se ao manual como um instrumento: nuns casos, encarado como um recurso dos alunos para aprendizagem dou consolidaç&o (ALC) dos seus conhecimentos matemá ticos, para outros, como um auxíli para o aluno çcons trair e descobrir Matem'tican (CL) ou, em outros casos ainda, para desenvolver a sua compreensã do que à a Matemática qual à a sua natureza e que papel desem- penha na sociedade* (PA). Referindo-se ou nã expli-

citamente ao carácte instrumental do manual de matemática a quase totalidade dos autores atribuíram -lhe, directa ou indirectamente, uma funçà de elemento de consulta ainda que com ênfase e significados dife- rentes como seguidamente procuramos dar conta.

Da consulta ... Contrapondo-o com a situaçà de aula (onde, em sua

opinião os resultados devem surgir waturalmentev a partir de actividades e segundo uma ordem nã çrigo rosamente pré-estabeleci& um grupo de autores, con- sidera que, no manual, a naturalidade com que os resultados aparecem deve ser fruto de uma sequênci claramente pré-estabelecid que ajuda o aluno a fazer a anális e a síntes dos conhecimentos que adquiriu atravé a' aula e/ou do livron (ALC). Assim, na ela- boraçà dos manuais, estes autores privilegiam aspec- tos de estrutura e organizaçã Ao níve dos 7.O, 8 . O

e 9 . O anos, como referem, privilegiam ç divis'o em muitos capítulo e subcapítulos para que a consulta do manual escolar, tarefa que consideram difícil possa ser menos wírdua para os alunos. *Se um livro deve moti- var os alunos para os conceitos~, acrescentam ainda, deve, m entanto, ser suficientemente (sublinhado dos autores) arrumado para que seja fáci consultá-l (. . .) um bom índic à meio caminho andado para encontrar o que se pretende*. Subjacente a esta posiçi està a pro- posta de desenvolver a *capacidade de usar bibliogra- fia matemática* fazendo-se mesmo um apelo a que os professores usem algum tempo das suas aulas a anali- sar a estrutura dos manuais, a que levem os seus alu- nos a ler e a consultar vário manuais e os ajudem a "serem capazes de tirar as suas pr6prias dúvidas* Num outro caso, assume-se que os livros de Mate-

mátic sã elementos çfundamentai e insubstituíveis para se aprender Matemática considerando-se que o manual escolar acompanha a velocidade de compreen- sã do leitor, està sempre junto dele, este pode relê-lo permitindo-lhe a reflexã cuidada, essencial d constru- çci do conhecimento matema'tico~ (MAN). Por esta razão a autora considera determinante que o aluno aprenda a ler, escrever e falar sobre Matemáíic o que lhe permitid uma independkncia face ao professor o que, a nã se verificar, considera ser comprometedor do sucesso do aluno na disciplina. Assim, na elaboraçà dos

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! seus manuais, privilegia a forma de apresentaçã desen- volvimento e aplicaçà dos conteúdo matemáticos A apresentaçà dos conteúdos diz-nos a autora, deve <par- tir dos conhecimentos dos alunos o que permite uma visã global da matemátic e facilito a assimilaçà dos assuntos que se pretendem transmitir^; o seu desenvol- vimento deve ser l6gic0, prevendo-se, em cada momento, as dificuldades dos alunos; e, por fim, con- sidera w-determinantesn os exemplos que sã utilizados para a aplicaçà dos conhecimentos. Ainda a este res- peito a autora afirma que "atravé da forma como à exposta a matéria o manual escolar deve desenvolver a atitude de descoberta, de aprofundamento e de nã aceitaçà do que nã à compreendido*.

Um outro grupo de autores considera que, para o níve etári a que se dirigem (5." e 6 . O anos), a funçà prin- cipal do manual ç criar nos alunos hdbitos de consulta, de pesquisa e de interpretaçã em contextos diversos (-situaçõ problemáticas* utilizaçà de %figuras, grá ficos ou esquemas~) (MA). Para elaboraçà de um manual consideram importante partir das -vivências dos alunos para o tornar dinâmic e motivante~ e conside- ram que deverà existir um equilíbri *no peso relativo atribuíd ao desenvolvimento de capacidades e u apli- caçà de técnica de calcular.

... h proposta de actividades.

A preocupaçã com as actividades que um manual de Matemátic propõe com a sua natureza, diversidade e organizaçã por pane de alguns dos autores que res- ponderam i s nossas questões introduz uma perspectiva diferente para a funçà principal do manual: o manual enquanto fonte de actividades sobrep'e-se, nuns casos mais enfaticamente do que em outros, ao manual enquanto elemento de consulta. Um grupo de autores, por exemplo, que inclui nas intençõ com que elabora os seus manuais, %a solicitaçà aos alunos para inter- virem na construçà do seu própri saber, promovendo o hábit de consulta como base da aprendizagem, con- sidera que e 0 manual deve ser um apoio essencial para o aluno na consulta, descoberta e consolidaçà dos conhecimentos~ O. Estes autores. o aue manifestaram. . . . A

evidenciam uma preocupaçà com a diversificaçà de actividades e com a utilizaçà de materiais també diversificados (textos literários recortes de jornais, bio-

grafias de matemáticos máquina de calcular). Um outro grupo de autores diz-nos, por sua vez, que

i0 livro à um suporte teórico um elemento de estudo e de consulta^, acrescentando que aos conceitos e méto dos matemático devem surgir a pam'r de situaçõ pro- blemática que lhes dêe sentido* (PA). Recordando o sentido corrente da palavra manual (local onde se pode encontrar o significado de um termo, a definiçà de um conceito, uma regra ou a utilizaçà de um método) os mesmos autores, embora reconhecendo as dificuldades que isso acarreta, consideram que este facto #nã pode servir de pretexto para que se enganem os alunos apresentando-se uma Matemátic fria, sem discussü nem problemas, totalmente pré-construí e pronta a usar!^ (sublinhado dos autores).

Outra autora, colocando-se explicitamente numa pers- pectiva que assume a aprendizagem como um processo que se deve centrar no aluno, atribui ao manual escolar a funçà de propor actividades que favoreça e promo- vam uma atitude de investigaçà em Matemática que <possibilitem que os alunos, mais do que aprender coi- sas sobre a Matemática faça Matemática (subli- nhado da autora) (LM). Neste sentido, evidencia uma preocupaçà com a natureza e organizaçà das activi- dades que propõe subordinando-as a trê etapas: con- fronto do aluno com situaç'e -ligadas d sua experiénci concreta> que o solicitam a utilizar eintuitivamente~ con- ceitos novos; *tomada de consciência^ por parte do aluno, desses conceitos; e, sua çaplicaç a outras situa- ções

Por fim, um grupo de autores refere explicitamente que nos manuais que elabora procura dar çespecia ênfase as actividades, assumindo que para os alunos dos nívei de escolaridade a que se dirigem ( 5 . O e 6 . 9 elas devem constituir o -fulcro da aprendiz agem^ e que com base nelas apodera ir construindo conceitos matemáti c o s ~ (CL). Para estes autores, mais do adquirir técni cas de cálcul e dominar a linguagem, na aprendizagem da Matemátic à fundamental *a capacidade de decidir como e quando essas técnica devem ser utilizadas, bem como a capacidade de resolver problemas e situaçõ problemáticasn A par disto, os mesmos autores consi- deram que os aspectos te6ricos nã devem ser explora- dos de forma muito estruturada e dirigi& de tal modo que ao aluno se reserve apenas o papel de *seguir e com- preender o raciocíni do professor ou do autor do livrm. Daqui que considerem que a teoria tem um -lugar secun-

&rim nos livros que elaboram, passando a ser çelement de consulta* do aluno quando este o necessita. Em ter- mos da funçà principal do manual escolar, estes auto- res afirmam que o livro de texto deve ser mais um instrumento para çajuda o aluno a construir e a des- cobrir Matemática*

Dissemo-lo jà que nem sempre os autores seguiram h risca as perguntas que lhes fizéramo e que as respos- tas nem sempre foram directas. De algum modo coníà vamos com isto o que, num caso e noutro, sà veio enriquecer as contribui* recebidas. De facto, nas suas respostas questã sobre a funçà principal do manual de Matemática e mesmo a propósit de outras quest'es, emergiram outras funçõ a ele també atribuída que completam as perspectivas dos autor? e podem alargar a reflexã e o debate a este respeito. E isso que a seguir vamos abordar.

A diversidade das fun- emergentes

Comecemos, antes, por destacar o modo como alguns autores se referiram ?i linguagem utilizada nos manuais. Nuns casos, assume-se claramente a necessidade e pos- sibilidade de compatibilizar a acessibilidade dessa lin- guagem com o rigor matemático ainda que nã exactamente da mesma forma: ç linguagem deve ser acessfvel e matematicamente rigorosa* (ALC); so livro [. . .] deve utilizar uma linguagem que ele [o aluno] possa compreender mas, ao mesmo tempo, falar matemati- camente (sublinhado dos autores) (PA). Considera-se no entanto, neste œltim caso, que a autilizaçà prema- tura e/ou desnecessári e/ou exagerada de simbologia* nã contribui para o desenvolvimento de uma cultura rnatemúric e que, por essa razão a utilizaçà adequada da língu materna assume grande importância De um modo mais indirecto, um outro grupo de autores, ao afir- mar a importânci do recurso hs wivênci'as dos alunos, salienta, por sua vez, que isso MO ideve prejudicar o seu [do manual] rigor cient'fic* (MA). Num outro caso, privilegia-se uma -linguagem simples* sem que isso sig- nifique a sua v.infantilizaçã (LM).

Entre as funçõ atribuída ao manual, e que ainda nã referimos, identificámo algumas que interessa salientar. Hà as que se consideram mais ou menos natu- rais como desenvolvimento das capacidades e hábito de

o do texto Profume

matemátic

consulta e de leitura, bem como de interpretaçà de tex- tos matemáticos Para alem destas, o manual à també visto como um meio de favorecer ç anális e a síntes dos conhecimentos~ (ALC), como uma çoportunidad de reflectir e clarificar as 'nossas própria ideias> (LM), como um instrumento para desenvolver nos alunos <a compreensã do que à a matemática (PA) e o seu tinre- resse* por esta disciplina e çconsciencializaç para a utilidade e universalidade da Matenuítica (IC). Diga- -se, a propósito que alguns autores defenderam a utili- zaçà da hist6ria da matemátic nos seus manuais, quer atravé de #pequenos episódios (LM) apresentados em actividades paralelas, quer atravé de <notas hist-ricas* (PA) que entendem devem ter destaque num livro de matemática

Importa por fim salientar que houve ainda autores que encararam o manual escolar como tendo uma funçà des- tinada aos professores do ponto de vista da sua forma- çã Num caso, assume-se a intençà e possibilidade de çi ao encontro das prática dos professors e simulta- neamente contribuir para as melhoram (CL) atravé de propostas inovadoras. Uma outra autora considera que sã os manuais que çenforma teorias sobre a aprendi- zagem & Matemátic (...) concretizam os programas a luz dessas teorias (. . .) [e] sugerem actividades a desen- volver pelos alunos~ (LM) enquadradas pelas perspecti- vas tedricas dos autores. E deste modo que, tendo em conta as deficiência actuais em Portugal no que diz res- peito aos programas de Matemática h formaçà contí nua de professores e ?i investigaçà em educaçà matemática a autora justifica w funçà subsidiária mas nã menos importante, relativamente a f o m à § à de pro- fessores~ que, em sua opinião o manual do aluno tam- bé tem.

Consideraçõ finais: bases para um debate

Se hs perspectivas extremas, por nó propostas, reld- tivas h funçà principal para o manual de Matemátic - local de consulta versus fonte de actividades - r io podemos. com segurança fazer corresponder nenhuma das posi~õe assumidas pelos diversos autores, a bipo- larizaçà introduzida, mesmo se eventualmente exage- rada e redutora. nã deixa de nos estimular a colocar algumas questões serà possível num manual de Mate- mática conciliar as duas perspectivas extremas? Inde-

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pendentemente das wnsequência de cada uma delas nas estratégia de aprendizagem que se propõe ao aluno, essas perspectivas apontam ambas para a autonomia, ou auto-suficiênci do manual face ii aula, enquanto con- tributo para a aprendizagem do aluno; como compatibi- lizar, em qualquer dos casos, as duas realidades manual e aula? Que problemas esta questã levanta para o aluno, para o professor e para o manual em termos da sua orga- nizaçà e conteúdo

Se a funçà principal do manual nio à hoje unânime hà no entanto funçõ que lhe sã atribuída unanime- mente, salientando-se, entre estas, a sua funçà mais natural como elemento de consulta capaz de favorecer hábito de leitura e interpretaçà de textos matemáticos Se, no entanto, se aceitar que o livro deixou de estar sà como instrumento de trabalho - na aula e fora da aula - para a aprendizagem da Matemática que con- sequhcias em termos da concepçà de manuais poderà ter (terà já!? este facto? Como articular os diferentes materiais de trabalho ii disposiçà do aluno e do pro- fessor?

Para terminar, reconhece-se - foi atà explícit em alguns autores - que o manual escolar à uma expres- sio das concep@es pedagógica do seu autor e, com ou

sem intencionalidade, veícul dessas mesmas concep- çõe Este facto, inclusivamente, empresta ao manual do aluno uma funçà na formaçà de professores como també foi reconhecido. Assim, podemos dizer que cada manual terà o seu discurso pedagógico certamente dife- rente em muitos casos. Que confronto estabelecer entre os diversos discursos? Que papel nisso poderã ter os professores?

O manual de matemátic é e pensamos que vai ser ainda durante bastante tempo, um instrumento que, por um lado, serà em muitos casos o principal (senã único material ii disposiçà do aluno para o trabalho em Mate- mátic e, por outro, um guia que muitos professores pri- vilegiarã para a orientaçà das suas aulas. Daqui decorre a sua grande importância por isso assumimos ser importante a reflexio e o debate dos vário aspec- tos com ele relacionados, muitos dos quais foram aqui abordados.

Henrique M. Guimarãe Pedro Esteves

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A NOSSA SEPARATA

Inclui este númer de Educaçà e Matemátic uma separata que reproduz, por cortesia de Tar- quin Publications, um dos caleidociclos fantástico de Escher sobre cuja obra se debruça també o artigo da nossa colega Cristina Loureiro.

Mas o que 6, afinal, um caleidociclo? Um calei- dociclo 6 um sólid deformáve constituíd por uma cadeia fechada de tetraedros idknticos. O anel, assim obtido, pode girar em tomo de si pr6prio e, se as faces tiverem sido decoradas com alguma ima- ginaçã obem-se alguns segundos de sonho.

Apesar da fama dos caleidociclos se dever muito prodigiosa imaginaçà de Escher, a sua inven-

çã ou melhor, a invençà do Iso Axis (modelo patenteado), ocorreu em 1958 como soluçà dum dado problema e deve-se ao desenhador Wallace Walker, entã estudante em Cranbrook no Michi- gan. A duas dimensões o Iso Axis consiste uma grelha de 60 triângulo rectângulo isósceles Olhando-se para esta planificaçã nã se consegue imaginar a forma surpreendente que daà se obt6m.

Aquela grelha pode ser encurtada, aumentada, estirada (todos os ângulo do triângul terão então uma amplitude inferior a 90°) deformada.. . A ima- ginaçà que trabalhe!

Sobre os caleidociclos, vária questõe se podem colocar, nomeadamente:

I . Qual o númer mínim de tetraedros neces- sário para construir uma cadeia fechada?

2. Teoricamente, o orifíci central do anel pode reduzir-se a um ponto. Como construir os tetraedros para que tal acontqa?

E agora, m'os h obra!

Leonor Moreira