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FACULDADE DE ECONOMIA E FINANÇAS IBMEC PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA EM
ADMINISTRAÇÃO E ECONOMIA
DDIISSSSEERRTTAAÇÇÃÃOO DDEE MMEESSTTRRAADDOO
PPRROOFFIISSSSIIOONNAALLIIZZAANNTTEE EEMM EECCOONNOOMMIIAA
OTIMIZAÇÃO DA RELAÇÃO RISCO E RETORNO NA SELEÇÃO DE
PROJETOS DE INVESTIMENTO EM AMBIENTE SUJEITO A RESTRIÇÕES
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OORRIIEENNTTAADDOORR:: JJOOSSÉÉ SSAANNTTIIAAGGOO FFAAJJAARRDDOO BBAARRBBAACCHHAANN
Rio de Janeiro, 02 de abril de 2007
OTIMIZAÇÃO DA RELAÇÃO RISCO E RETORNO NA SELEÇÃO DE PROJETOS
DE INVESTIMENTO EM AMBIENTE SUJEITO A RESTRIÇÕES
ANDRÉ POMPEO DO AMARAL MENDES
Dissertação apresentada ao curso de
Mestrado Profissionalizante em Economia
como requisito parcial para obtenção do
Grau de Mestre em Economia.
Área de Concentração: Finanças
ORIENTADOR: JOSÉ SANTIAGO FAJARDO BARBACHAN
Rio de Janeiro, 02 de abril de 2007
OTIMIZAÇÃO DA RELAÇÃO RISCO E RETORNO NA SELEÇÃO DE PROJETOS
DE INVESTIMENTO EM AMBIENTE SUJEITO A RESTRIÇÕES
ANDRÉ POMPEO DO AMARAL MENDES
Dissertação apresentada ao curso de
Mestrado Profissionalizante em Economia
como requisito parcial para obtenção do
Grau de Mestre em Economia.
Área de Concentração: Finanças
Avaliação:
BANCA EXAMINADORA:
_____________________________________________________
Professor Dr. JOSÉ SANTIAGO FAJARDO BARBACHAN (Orientador)
Instituição: Faculdades IBMEC – RJ
_____________________________________________________
Professor Dr. OSMANI TEIXEIRA DE CARVALHO GUILLÉN
Instituição: Faculdades IBMEC – RJ
_____________________________________________________
Professor Dr. JOSÉ HELENO FARO
Instituição: Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA
Rio de Janeiro, 02 de abril de 2007
332.67
M537
Mendes, André Pompeo do Amaral.
Otimização da relação risco e retorno na seleção de projetos de
investimento em ambiente sujeito a restrições / André Pompeo do
Amaral Mendes. - Rio de Janeiro: Faculdades Ibmec. 2007.
Dissertação de Mestrado Profissionalizante apresentada ao
Programa de Pós-Graduação em Economia das Faculdades Ibmec,
como requisito parcial necessário para a obtenção do título de
Mestre em Economia.
Área de concentração: Finanças.
1. Investimentos. 2. Otimização de portfolio. 3 Projetos de
investimentos.
v
AGRADECIMENTOS
Agradeço aos meus pais os incentivos manifestados no decorrer deste trabalho.
vi
RESUMO
Este trabalho tem como objetivo apresentar uma metodologia e um modelo de priorização e
seleção de projetos de investimento, em um ambiente sujeito a diversas restrições, com a
finalidade de compor uma carteira ótima e eficiente de projetos para uma empresa. Será
proposto um método sobre como uma empresa poderá maximizar o valor da sua carteira de
projetos, o que deve levar em conta a otimização da relação risco e retorno dessa carteira. O
método e o modelo proposto neste trabalho poderão ser aplicados para qualquer empresa,
especialmente àquelas que possuírem um número maior de oportunidades de investimentos
(projetos) do que sua capacidade de implantação devida às suas restrições físicas ou de
capital.
Palavras Chave: Seleção, Priorização, Projetos de Investimento, Otimização, Risco, Retorno,
Simulação de Monte Carlo, Valor Presente Líquido Condicional.
vii
ABSTRACT
This work has as objective to present a methodology and a priority selection model for
investment projects in an environment subject to several (innumerable) restrictions, with the
purpose of composing an optimum and efficient portfolio of projects for a company. It will
be exposed a method according to which a company will be able to maximize the value of its
portfolio of projects, considering inclusively the optimization of the relation of risk and
return of the portfolio. This method can be applied for any company, especially for those that
own a larger number of investment opportunities (projects) than their implantation capacity
due to physical or capital restrictions.
Key Words: Selection, Priority, Investment Projects, Optimization, Risk, Return, Simulation
of Monte Carlo, Conditional Net Present Value.
viii
LISTA DE FIGURAS
Figura 1- Fronteira Eficiente Teórica. ...................................................................................... 12
Figura 2- Fronteira Eficiente Teórica para Carteira de Projetos – Desvio-Padrão como medida
de risco. ...................................................................................................................... 30
Figura 3- Fronteira Eficiente Teórica para Carteira de Projetos – VaR como medida de risco.
................................................................................................................................... 31
Figura 4- Valor em Risco (VaR). ............................................................................................. 34
Figura 5- Condicional VaR (CVaR). ........................................................................................ 35
Figura 6- Probabilidade VPL < 0. ............................................................................................ 37
Figura 7- VPL Condicional. ..................................................................................................... 38
Figura 8- Simulação de um Processo Estocástico de Reversão à Média.................................. 49
Figura 9- Carteiras de Projetos de Investimento – Fronteira Eficiente com Todas Restrições.54
Figura 10- Carteiras de Projetos de Investimento – Fronteira Eficiente sem Restrições e
Contínua. ................................................................................................................ 58
Figura 11- Carteiras de Projetos de Investimento – Fronteira Eficiente em Diversos Casos de
Restrições. .............................................................................................................. 62
Figura 12- Carteiras de Projetos de Investimento – Fronteira Eficiente com Diversas Taxas de
Desconto. ................................................................................................................ 64
Figura 13- Fronteira Eficiente comparando Desvio-Padrão e VaR. ......................................... 65
ix
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Possibilidades de Projetos de Investimento e suas Medidas e Indicadores. ........... 50
Tabela 2 – Matriz de Correlação dos Projetos de Investimento. .............................................. 51
Tabela 3 – Carteiras de Projetos Ótimas e Eficientes com todas restrições – Medidas e
Indicadores.............................................................................................................. 55
Tabela 4 – Carteiras de Projetos Ótimas e Eficientes com todas restrições – Composição da
Carteira. .................................................................................................................. 56
Tabela 5 – Carteiras de Projetos Ótimas e Eficientes sem restrições contínua – Medidas e
Indicadores.............................................................................................................. 59
Tabela 6 – Carteiras de Projetos Ótimas e Eficientes sem restrições contínua – Composição da
Carteira. .................................................................................................................. 60
x
LISTA DE ABREVIATURAS
CVaR Condicional VaR ou VaR Condicional
IA Investimento Atualizado
IL Índice de Lucratividade
IRRR Indicador Relativo Retorno e Risco
PL Programação Linear
PQ Programação Quadrática
TIR Taxa Interna de Retorno
VaR Valor em Risco ou Value at Risk
VPL Valor Presente Líquido
VPLC Valor Presente Líquido Condicional
xi
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 1
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ............................................................................. 3
2.1 O Objetivo da Empresa e suas Restrições ............................................................................................. 3
2.2 O Princípio do Investimento e a Decisão de Investimento ................................................................... 6
2.3 O Que é um Projeto de Investimento..................................................................................................... 6
2.4 A Importância do Risco na Decisão de Investimento ........................................................................... 7
3 METODOLOGIA E MODELO TEÓRICO ............................................................. 14
3.1 Avaliação Econômica de um Projeto de Investimento ....................................................................... 15
3.2 Definição da Função Objetivo, das Restrições, e do Método de Otimização ................................... 19
3.3 Simulação de Monte Carlo para Estimar Risco e Correlações ......................................................... 24
3.4 Adaptação e Construção da Fronteira Eficiente para Carteiras de Projetos de Investimentos ..... 30
3.5 Estimação de Possíveis Medidas e Indicadores para as Carteiras de Projetos Eficientes. ............. 33
4 SIMULAÇÃO E APLICAÇÃO .............................................................................. 39
4.1 Características da Empresa Simulada ................................................................................................ 39
4.2 As Possibilidades de Projetos e as Restrições da Empresa ................................................................ 42
4.3 Determinação dos Fatores de Risco dos Projetos ............................................................................... 46
4.4 Estimativas da Simulação de Monte Carlo ......................................................................................... 49
5 RESULTADOS .................................................................................................... 53
5.1 O Modelo de Otimização com Todas Restrições ................................................................................ 54
5.2 O Modelo de Otimização Sem Restrições ............................................................................................ 57
xii
5.3 Os Efeitos das Restrições sobre a Fronteira Eficiente........................................................................ 61
5.4 Os Efeitos da Taxa de Desconto sobre a Fronteira Eficiente............................................................. 63
5.5 A Fronteira Eficiente Utilizando o VaR como Medida de Risco ....................................................... 65
5.6 Os Efeitos da Distribuição de Probabilidade dos Erros dos Processos Estocásticos nas Carteiras
Ótimas e Eficientes ................................................................................................................................ 66
CONCLUSÃO ........................................................................................................... 68
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................... 71
1
1 INTRODUÇÃO
Este trabalho tem como objetivo apresentar uma metodologia e um modelo de priorização e
seleção de projetos de investimento, em um ambiente sujeito a diversas restrições, com a
finalidade de compor uma carteira ótima e eficiente de projetos para uma empresa. Será
proposto um método sobre como uma empresa poderá maximizar o valor da sua carteira de
projetos, o que deve levar em conta a otimização da relação risco e retorno dessa carteira. O
método e o modelo proposto neste trabalho poderão ser aplicados para qualquer empresa,
especialmente àquelas que possuírem um número maior de oportunidades de investimentos
(projetos) do que sua capacidade de implantação devida às suas restrições físicas ou de
capital.
As técnicas que serão utilizadas neste trabalho estão difundidas na literatura como um todo.
Alguns métodos têm sua larga utilização e aplicação para ativos financeiros, como a Fronteira
Eficiente ou Value at Risk (VaR), mas não para projetos de investimentos (ou ativos reais).
Outros métodos e técnicas abordados fazem parte da literatura tradicional de finanças
corporativas, especialmente daquelas que tratam da avaliação econômica de um ativo ou de
um projeto de investimento. As principais técnicas e métodos aplicados no decorrer deste
trabalho serão os seguintes: i) avaliação econômica de um projeto de investimento pelo
método do Fluxo de Caixa Descontado utilizando o critério do Valor Presente Líquido como
medida de adição de valor; ii) método de otimização com restrições através da técnica de
2
Programação Quadrática; iii) Simulação de Monte Carlo para estimar, de forma quantitativa,
o risco do projeto de investimento, utilizando inclusive simulação de processos estocásticos,
pois o retorno real de um investimento será, muito provavelmente, diferente do retorno
esperado desse investimento, e é nessa divergência entre o retorno real e o esperado onde
ocorre o risco. Uma forma de medi-lo é a partir da dispersão ou variação do resultado
esperado; iv) adaptação e construção da Fronteira Eficiente de Markowitz (1952) para
carteiras de projetos de investimentos; v) Estimação do Value at Risk (VaR) e do Condicional
VaR (CVaR) para cada carteira de projetos; e vi) estimação e propostas de possíveis medidas
e indicadores, como por exemplo Valor Presente Líquido Condicional, para auxiliar na
escolha da carteira de projetos (baseados nos indicadores de carteiras financeiras), bem como
a probabilidade do Valor Presente Líquido de cada carteira de projeto ser negativo.
Nos capítulos a seguir serão abordados: i) os fundamentos teóricos do modelo; ii) o modelo
teórico e a metodologia; iii) a descrição e aplicação do modelo na prática, os resultados do
modelo, bem como um conjunto de informações para a tomada de decisões que o modelo
proporcionará; e iv) a conclusão que ressaltará os benefícios e as vantagens que o método
proposto proporcionará, bem como os cuidados necessários que devem ser tomados ao utilizá-
lo. Ao longo do trabalho poderá ser constatado como a metodologia apresentada indica e
orienta racionalmente a tomada de decisões para a priorização e seleção dos projetos de
investimento, que deverão fazer parte de uma carteira de projetos ótima e eficiente.
3
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Antes de definir e detalhar o critério ou método para priorizar a seleção de projetos é
necessário conhecer: i) qual é o objetivo da empresa e suas restrições, ii) o princípio do
investimento e a decisão de investimento, iii) o que é um projeto de investimento, e iv) a
importância do risco na decisão de investimento. Somente conhecendo esses pressupostos,
será possível estabelecer os problemas com os quais uma empresa se defronta no seu
cotidiano, e por sua vez poderá ser definido adequadamente um método capaz de resolvê-los
de forma ótima e eficiente.
A seguir será abordado cada item acima de forma introdutória, pois o objetivo desse trabalho
é propor uma metodologia (e aplicá-la) capaz de otimizar a relação risco e retorno na seleção
de projetos de investimento em ambiente sujeito a restrições. Toda a teoria que será
apresentada brevemente foi baseada nos quatro itens acima, os quais são amplamente
difundidos e discutidos na literatura de finanças corporativas por diversos autores tais como,
por exemplo, Damodaran (1997, 2002); Brealy e Myers (1998); Copeland, Koller e Murrin
(2002); Ross, Westerfield, e Jaffe (1995); e dentre outros.
2.1 O OBJETIVO DA EMPRESA E SUAS RESTRIÇÕES
Primeiramente, antes de definir o método ou a metodologia para uma seleção ótima e eficiente
de um conjunto de projetos de investimento deve-se conhecer qual é o objetivo da empresa,
4
pois é este que irá especificar a função objetivo do problema de otimização. Entretanto,
conhecer somente o objetivo da empresa não é suficiente para tomar as melhores decisões
sobre quais projetos devem ou não ser escolhidos. Devem-se também conhecer quais são as
restrições que fazem parte do ambiente da firma e, somente assim, será possível selecionar
uma carteira de projetos que atenda plenamente ao seu objetivo e respeite suas limitações.
Toda empresa deve atuar de forma eficiente e sem desperdícios, e para que isto ocorra ela
deve considerar, nas suas escolhas, todos os seus custos de oportunidade. Assim ela estará
utilizando, da melhor forma possível, todos os seus fatores de produção, sejam eles tangíveis,
como equipamentos, maquinários, matérias-primas, ou intangíveis como conhecimentos
tecnológicos, marcas, patentes, capital humano, etc. A empresa que estiver atuando dessa
forma estará maximizando o seu lucro econômico (Varian, 1994), em outras palavras estará
maximizando sua riqueza ou seu valor. Pode-se dizer que o verdadeiro objetivo da empresa é
de maximizar valor.
Ao afirmar que o objetivo da empresa é de maximizar valor, não significa que qualquer
decisão ou escolha será factível pela firma, e nem que para maximizar valor vale qualquer
coisa. Existe uma série de restrições impostas às empresas, sendo algumas delas legais,
culturais, físicas, entre outras. Pode-se dizer que as restrições são impostas pela sociedade,
pelo governo, pela legislação, pelas agências de regulação, pelos consumidores, pelos
fornecedores, pela sua capacidade instalada de produção, pela sua disponibilidade de mão-de-
obra, pelos seus recursos e disponibilidades, pelos acionistas, pelos seus financiadores, pela
localização geográfica, pela natureza, etc. Nota-se que algumas dessas restrições são difíceis
de serem quantificadas e algumas delas são subjetivas, entretanto a empresa (ou gestor) deve
conhecê-las e levá-las em consideração na hora da tomada de decisão. Para a empresa
5
alcançar o seu verdadeiro objetivo, ela deve conhecer todas as restrições que lhe são impostas
para, dessa forma, poder atuar de forma eficiente, maximizando assim o seu valor.
Quando uma empresa escolhe uma outra função objetivo de não maximizar valor, na verdade
ela está escolhendo um objetivo intermediário, como por exemplo aumentar a participação de
mercado, aumentar as receitas, aumentar os lucros contábeis, etc. Esses objetivos
intermediários só funcionam bem quando permanece forte a ligação com o valor da empresa,
caso contrário podem ser muito prejudiciais quando essa ligação não existir. Por exemplo,
uma empresa que deseja aumentar sua participação no mercado sem se preocupar com os
possíveis aumentos dos seus custos para que esse objetivo seja alcançado. Dessa forma essa
empresa estará atuando ineficientemente e poderá ter seus lucros ou seu valor reduzido. Vale
ressaltar que uma função objetivo deve ser clara e sem ambigüidades, deve possuir uma
medida que possa avaliar o sucesso ou fracasso das decisões fácil e prontamente, não deve
criar custos colaterais maiores que os seus benefícios totais, e deve ser coerente com a
maximização da saúde e do valor da empresa no longo prazo.
Parte da teoria de finanças corporativas foi desenvolvida em torno do objetivo de maximizar a
riqueza ou valor da empresa. Para maximizar o valor da empresa devem-se considerar os três
princípios básicos da teoria de finanças corporativas: o princípio do investimento; o princípio
do financiamento; e o princípio dos dividendos. Este trabalho é centralizado no princípio do
investimento, entretanto toda decisão de uma empresa deve levar em consideração os três
princípios, pois finanças corporativas devem ser vistas por inteiro e não por uma seqüência de
decisões isoladas. Normalmente, as decisões pertinentes a estes três princípios são
interdependentes e ignorar este fato pode ser crucial para o fracasso ou sucesso da empresa.
6
2.2 O PRINCÍPIO DO INVESTIMENTO E A DECISÃO DE INVESTIMENTO
O princípio do investimento diz que toda decisão sobre o investimento é de escolher, de uma
forma ampla, os projetos ou ativos com retornos maiores que o seu custo de capital, o qual
deve refletir o risco e a forma de financiamento. Os retornos dos projetos devem ser medidos
em fluxos de caixa incrementais, considerando todos os custos de oportunidades e custos
colaterais positivos e negativos que o projeto pode proporcionar para a empresa.
A decisão de investimento tem como objetivo encontrar projetos ou ativos que valham mais
do que custam. Como os recursos da empresa são limitados, em outras palavras, são escassos,
estes recursos devem ser utilizados de forma a maximizar o valor da empresa. A decisão de
investimento não está limitada à decisão de projetos que só criam receitas, mas também
àqueles que poupam recursos. Existem vários categorias de projetos, como por exemplo:
projetos de reposição ou atualização de equipamentos; projetos de redução de custos; projetos
de expansão de capacidade ou de mercados existentes; projetos de novos produtos; projetos de
segurança operacional e ambiental; projetos obrigatórios (com o intuito de respeitar alguma
lei ou regulamentação); etc. De uma forma abrangente toda decisão que utiliza recursos
escassos da empresa (inclusive decisões estratégicas de mercado e de aquisições) é uma
decisão de investimento.
2.3 O QUE É UM PROJETO DE INVESTIMENTO
Um projeto de investimento, em geral, tem como característica um custo inicial alto, período
de tempo determinado e, às vezes, um valor residual ao final da vida do projeto. Projetos com
essas características abrangem quase todas as decisões de investimentos feitos pelas empresas,
mas seria um engano acreditar que a análise de investimento se resume apenas a projetos com
essas características. De uma forma geral, qualquer decisão de investimento, que envolva a
7
utilização de recursos, pode ser considerada como um projeto, como por exemplo: decisões
estratégicas de novos negócios ou de novos mercados; decisões de aquisições de outras
empresas; decisões de novos empreendimentos dentro dos mercados já existentes da empresa;
decisões de redução de investimento ou de saída de mercado; e outras.
Os projetos podem ser classificados como mutuamente excludentes, independentes,
dependentes, complementares, ou condição prévia para outros projetos no futuro. Um projeto
deve ser analisado da forma incremental, analisando-se os benefícios e os malefícios que ele
proporcionará à empresa ou, em outras palavras, como ele poderá afetar a empresa após a sua
implementação.
A análise de investimento nos indica quais projetos devem ser aceitos e quais devem ser
rejeitados. De forma geral, a empresa analisa seus projetos geradores de receitas se geram
fluxos de caixa que justifiquem o investimento inicial para implementá-los. No caso de
projetos de redução de custos a empresa analisa se a redução de custo justifica o investimento.
2.4 A IMPORTÂNCIA DO RISCO NA DECISÃO DE INVESTIMENTO
Para a decisão de investimento é fundamental conhecer o retorno esperado do investimento e
o nível de risco que a empresa estaria disposta a assumir e qual risco estaria sendo
recompensado. O retorno real de um investimento será, muito provavelmente, diferente do
retorno esperado desse investimento, e é nessa divergência entre o retorno real e o esperado
onde surge o risco. Este está presente em decisões onde as conseqüências não são
perfeitamente conhecidas, mas que admitem saber as probabilidades de cada possível
conseqüência. Muitas vezes o risco é associado como algo negativo. Isto acontece porque as
pessoas tendem a ser avessas ao risco. Entretanto, quando existir risco num investimento, o
8
resultado pode variar para menos ou para mais. Se o futuro fosse certo e conhecido não
existiria risco.
Para a decisão de investimento não basta apenas analisar o retorno ou ganho esperado, mas
também o possível risco desse investimento. Por exemplo, uma empresa possui duas possíveis
carteiras de projetos (ou dois projetos excludentes) com o mesmo retorno esperado, entretanto
uma carteira é mais arriscada do que a outra. A decisão de investimento deve considerar essa
informação adicional em relação ao risco para a escolha da melhor alternativa de forma
racional. O mesmo acontece quando duas carteiras de projetos têm o mesmo nível de risco,
todavia retornos esperados diferentes. Nessa situação deve-se optar pela carteira de projeto de
maior retorno.
Existem vários tipos de riscos que podem afetar os resultados e os fluxos de caixa das
empresas, bem como dos seus projetos de investimentos (alterando assim os seus resultados
esperados). Algumas classes de risco são inerentes ao próprio investimento (projeto), à
competição, ao setor, a fatores internacionais, e a fatores macroeconômicos (mercado).
Alguns tipos de riscos poderão ser eliminados pela própria empresa ou pelos seus
investidores, outros não.
Observa-se que existem alguns tipos de risco que podem ser potencialmente reduzidos ou
eliminados, tanto pela empresa quanto pelo investidor, através da diversificação como, por
exemplo, os riscos: o específico do projeto, o competitivo, o setorial, e o internacional. Já essa
possibilidade não existe quando se trata do risco de mercado. Dessa forma pode-se dividir o
risco em duas classes: o risco diversificável e o risco não-diversificável. O risco diversificável
também é designado como específico, único, sistemático, e residual. Já o risco não-
9
diversificável também é conhecido como risco de mercado. Mais a adiante será exemplificado
como a empresa e o investidor poderão reduzir o risco diversificável através da diversificação.
A diversificação diminui o risco específico de uma empresa (ou de uma carteira de projetos
ou ativos), porque o risco total de uma empresa, ou de qualquer ativo, é composto por duas
partes: uma parte seria específica à gestão do negócio que afetaria os seus resultados, e a
segunda parte seria por causa dos movimentos de mercado que impactaria os resultados de
todos os ativos existentes. Os efeitos da gestão da empresa e dos movimentos de mercado
podem ser positivos ou negativos. Pode-se afirmar que uma empresa é um conjunto de
projetos, ou seja, a empresa é detentora de uma carteira de ativos (projetos), sendo assim os
efeitos da gestão de um projeto específico pode ser negativo ou positivo durante algum
período. Portanto, numa empresa haverá projetos que terão os seus resultados melhores do
que esperados e outros piores do que planejados; sendo assim para uma empresa com grande
número de projetos, o resultado ruim de um projeto de má gestão poderá ser compensado pelo
resultado positivo de uma boa gestão de outro projeto. Dessa forma o resultado esperado da
empresa poderia não ser afetado como um todo, porque graças à diversificação os resultados
de diferentes projetos não iriam variar exatamente na mesma forma e direção. Por outro lado,
os efeitos das movimentações de mercado provavelmente afetariam todos os projetos, embora
possivelmente de forma distinta. O mesmo raciocínio é valido para uma carteira de ações ou
ativos de um investidor diversificado.
Todo esse raciocínio analisado para a empresa em relação à decisão de investimento e à sua
diversificação e conseqüentemente redução do risco, foi baseada na teoria da carteira de
Markowitz (1952). Um investidor racional terá uma carteira de ativos diversificada,
eliminando, dessa forma, todo o risco específico e conseguindo assim uma combinação de
ativos que proporcionará o maior retorno com o menor risco possível. O único tipo de risco
10
com que o investidor teria de se preocupar, ou seja, o risco que seria de seu interesse, seria o
risco de mercado ou não-diversificável. A diferença é que um investidor consegue eliminar
todo risco específico de uma empresa através da diversificação (comprar ações de outras
empresas de outros setores), já uma empresa só consegue eliminar parte dos riscos específicos
de cada projeto, mas não o risco específico da empresa como um todo (risco competitivo e
setorial, por exemplo). Através da diversificação de projetos o risco específico da empresa
poderá ser reduzido, mas não eliminado, mesmo quando investindo em inúmeros projetos de
sua atividade, enquanto que o mesmo não ocorre com o investidor. Este consegue eliminar
todo o risco específico graças à sua facilidade de diversificação. A empresa já não tem a
mesma facilidade. Para ela reduzir o seu risco ao mínimo, teria que investir em todos os
segmentos industriais e setores existentes e comprar todo o tipo de ativo. Sendo assim, o
único risco, com que essa empresa teria de se preocupar, seria com o risco de mercado, visto
que todo o risco específico seria eliminado. Entretanto, uma empresa não detém tecnologia e
conhecimento para atuar em todos os segmentos possíveis. As empresas devem atuar nos
segmentos em que possuem vantagens competitivas1 em relação às outras empresas. As
empresas também não são constituídas com o objetivo de comprar ações e outros ativos com a
simples finalidade de diversificação. Por outro lado, é muito mais fácil, simples, e barato os
detentores de capitais das empresas (donos das empresas) se diversificarem comprando ações
de outras empresas de setores diferentes. Um investidor pode comprar e vender ações de
empresas com relativa rapidez e a um custo muito baixo. Já uma empresa, caso deseje entrar
num novo setor, teria que investir um montante razoável e seria difícil encontrar um
comprador dos seus ativos caso deseje se desfazer desse investimento. Como os investidores
racionais são diversificados plenamente, eles não estariam dispostos a pagar nada a mais para
1 Vantagem competitiva pode ser definida como um conjunto de vantagens, ou características, ou expertise
(tecnologia, custo, qualidade, marca, patentes, diferenciação de produtos, etc.) que permite a uma empresa se
diferenciar da concorrência. A vantagem competitiva poderá proporcionar a uma empresa a apropriação de
rendas econômicas e, conseqüentemente, aumentar o seu valor.
11
aquilo que eles mesmos podem fazer por conta própria. A plena diversificação por si só não
acrescenta e nem diminui o valor da empresa, uma vez que os seus acionistas já estão
diversificados. Quando uma empresa se diversifica, só haverá criação de valor quando
existirem sinergias e, neste caso, a criação de valor é devida às sinergias e não simplesmente
por causa da diversificação.
Mesmo que o risco de uma carteira de projetos da empresa possa ser totalmente diversificável
para o investidor, seria importante e primordial para a empresa, principalmente para os
gestores da empresa:
a) conhecer e avaliar o risco de sua carteira de projetos não gerar fluxos de caixa suficientes
para remunerar devidamente o seu custo de capital, ou seja, conhecer a probabilidade do
Valor Presente Líquido de cada carteira de projeto ser negativo; e
b) não optar por uma carteira de projetos ineficiente, ou seja, uma carteira de projetos com um
risco maior do que uma outra com o mesmo retorno esperado e risco menor.
Com a intenção de conseguir remunerar a carteira de projetos adequadamente ao seu custo de
capital e optar por uma carteira ótima de projetos (carteira eficiente), a empresa poderia
determinar um nível máximo de risco que estaria disposta a assumir. Portanto, fazendo com
que o nível de risco seja mais uma restrição imposta à empresa (na verdade aos gestores da
empresa que podem até ser responsabilizados por administração temerária, caso optem
somente por projetos extremamente arriscados para a companhia). Colocado de outra forma, o
risco passa a ser mais uma restrição que pertence ao ambiente da empresa, pois o objetivo da
empresa é maximizar valor e não minimizar risco, mas eles, muitas vezes, são
interdependentes. A empresa só poderia abdicar um valor maior, caso obtenha em troca um
12
risco menor. Seria interessante para uma empresa determinar quais seriam as possibilidades
de conjuntos de projetos, ou combinações de projetos, ou carteira de projetos, que
respeitariam todas as suas restrições, e que tivessem o maior valor possível para um
determinado nível de risco. Em outras palavras, uma empresa poderia construir a Fronteira
Eficiente para as suas possíveis carteiras de projetos de investimento, a qual em teoria
possuiria o seguinte formato:
Risco
Retorno
Figura 1- Fronteira Eficiente Teórica.
Como o nível de risco a ser escolhido pela empresa dependeria do seu perfil em relação ao
risco (avesso, neutro, ou propenso), poderiam ser estimados alguns indicadores e medidas
como o VaR, ou CVaR (Jorion, 1997 e Dowd, 2005), ou então a probabilidade do Valor
Presente Líquido de cada carteira de projeto ser negativo, a fim de auxiliar na tomada de
decisão de qual carteira de projeto de investimento deveria ser escolhida pela empresa.
Alternativamente, caso a empresa, por exemplo, tivesse um nível desejável máximo do VaR
da carteira de projetos, essa seria mais uma restrição do modelo.
Neste capítulo foram apresentados os fundamentos teóricos que suportam a metodologia e o
modelo de otimização da relação risco e retorno na seleção de projetos de investimento em
13
ambiente sujeito a restrições. No próximo capítulo será detalhada a metodologia e o modelo
otimização proposto neste trabalho.
14
3 METODOLOGIA E MODELO TEÓRICO
Neste capítulo serão apresentados a metodologia e o modelo teórico para implementar a
otimização da relação risco e retorno na seleção de projetos de investimento em ambiente
sujeito a restrições. Também será apresentado o método de cálculo das medidas e dos
indicadores propostos para comparação entre as possíveis carteiras de projetos de
investimentos ótimas e eficientes. Lembrando que esta metodologia poderá ser aplicada para
qualquer empresa, especialmente para aquelas que possuírem um número de projetos maior
do que sua capacidade de implantação devida às suas restrições de capital ou físicas.
A metodologia para que se construa a Fronteira Eficiente de carteira de projetos de
investimento, bem como para o cálculo das medidas e dos indicadores que auxiliariam para
tomada de decisão de investimento racional (ótima e eficiente) pode ser dividida em cinco
principais etapas: i) Avaliação Econômica de um Projeto de Investimento; ii) Definição da
Função Objetivo, das Restrições de capital, físicas, etc. que a empresa possua, e do método de
otimização com restrições que deve ser utilizado; neste caso será utilizada a técnica de
Programação Quadrática; iii) Simulação de Monte Carlo para estimar o risco do projeto e as
correlações entre os projetos; iv) Adaptação e Construção da Fronteira Eficiente para carteiras
de projetos de investimentos; v) Estimação de possíveis medidas e indicadores para cada
carteira de projetos.
15
3.1 AVALIAÇÃO ECONÔMICA DE UM PROJETO DE INVESTIMENTO
Para verificar e quantificar economicamente quanto que um projeto está agregando para
empresa, deve-se utilizar o método do Fluxo de Caixa Descontado e calcular o Valor Presente
Líquido (VPL) desse fluxo de caixa descontado a uma taxa adequada para o projeto. Numa
análise de investimento de um projeto os fluxos de caixa devem ser incrementais ou marginais
líquidos de impostos para a empresa. É necessário considerar os custos de oportunidade e não
se devem considerar os custos afundados2. É preciso focar nos fluxos de caixa para a empresa
e não simplesmente para o projeto. O objetivo da análise de investimento é de maximizar o
valor da empresa que está realizando o investimento e não o do projeto (Damodaran, 2002).
O fluxo de caixa é um conceito muito simples. Trata-se da diferença entre o dinheiro recebido
e o dinheiro pago, ou seja o caixa que entra e o caixa que sai. Um modelo de fluxo de caixa de
um projeto pode ser expresso da seguinte forma (Brasil, 2002):
2 Custos afundados podem ser definidos como custos ou desembolsos que ocorreram no passado e não podem ser
recuperados, ou seja, são irreversíveis. Custos afundados não são custos marginais, portanto não devem ser
considerados numa avaliação econômica de um projeto de investimento, por não existirem custos de
oportunidade associados a eles.
16
Receita Bruta
(-) Deduções (impostos sobre venda)
= Receita Líquida
(-) Custos e Despesas Operacionais
= Lucro Antes dos Juros, Impostos, Depreciação e Amortização
(-) Depreciação
= Lucro Antes Juros e Impostos
(-) Imposto de Renda e Contribuição Social
= Lucro Líquido
(+) Depreciação
(-) Investimento
(-) Variação na Necessidade de Capital de Giro
(+) Valor Residual Líquido de Impostos
= Fluxo de Caixa Líquido do Projeto
Normalmente os critérios utilizados pelas empresas para a tomada de decisão de investimento
são os seguintes indicadores: Valor Presente Líquido (VPL); Taxa Interna de Retorno (TIR);
Índice de Lucratividade (IL); e período de Payback.
O Valor Presente Líquido (VPL) de um projeto é o somatório dos valores presentes dos fluxos
de caixa que ocorrem durante a vida do projeto. Para calcular o VPL é necessária uma taxa de
desconto, que representa o custo de oportunidade do capital, compatível com o nível de risco
e a forma de financiamento específico do projeto (custo médio ponderado de capital). O custo
médio ponderado de capital é a média ponderada (a valor de mercado) do custo do capital
próprio e custo da dívida (Damodaran – 2002, e Brealy e Myers - 1998). O modelo, que
atualmente é amplamente difundido para o cálculo do custo de capital do acionista, é o CAPM
de Sharpe (1964). O VPL pode ser expresso da seguinte forma:
17
0 período no Inicial toInvestimen o é I
projeto do vidade período de Número o é N
Desconto de Taxa a ér
tperíodo no Caixa de Fluxo o é FC :que Sendo
) 1 ( I - r)(1
FC Projeto do VPL
0
t
Nt
1t
0t
t
O VPL positivo indica o quanto de riqueza é adicionado à empresa. O VPL tem a
característica de adição de valor; pode-se somar os VPLs de projetos distintos; caso algum
projeto tenha alguma característica de opção real, pode-se também somar o valor dessa opção
real ao VPL; nenhum outro indicador tem esta propriedade. Através dessa propriedade o valor
da empresa pode ser definido, de forma simplificada, como somatório do valor presente (VP)
dos projetos já em andamento, mais o somatório do VPL dos projetos futuros da empresa
(Damodaran, 2002):
Valor da empresa = ∑ VP dos fluxos de caixa dos projetos em andamento
+ ∑ VPL dos fluxos de caixa dos projetos futuros
O critério de decisão é simples, aceita projetos com VPL maior do que zero. Para projetos
mutuamente excludentes (o VPL é o melhor indicador entre os demais) deve-se optar pelo
projeto de maior VPL.
A Taxa Interna de Retorno (TIR) é a taxa de desconto que torna o VPL igual a zero. Seu
cálculo também é baseado nos fluxos de caixa. Existem algumas limitações e precauções
quanto ao uso da TIR. Poderá existir, por exemplo, mais do que uma TIR para um mesmo
fluxo de caixa, dependendo de quantas inversões de sinais ocorrerem nos fluxos de caixa. Um
18
outro exemplo é que nem sempre a TIR poderá ser calculada. Não se pode somar a TIR de
cada projeto como no VPL. Para tomada de decisão, se se aceita ou não um projeto, a TIR
deve ser comparada com a taxa de desconto (custo de oportunidade do capital), entretanto as
taxas de desconto podem ser diferentes ao longo do tempo, dificultando assim sua
comparação com uma taxa de desconto específica.
O Índice de Lucratividade (IL), também denominado Índice de Rentabilidade, é uma outra
medida de retorno de um projeto. O IL é calculado dividindo o VPL pelo investimento
atualizado3, e o seu significado é de quanto valor será adicionado para a empresa para cada
unidade monetária de investimento. O IL é uma versão escalar do VPL, entretanto não se
pode somar o IL de cada projeto como no VPL. O critério de decisão é simples, aceita
projetos com IL maior do que zero.
O período de Payback é o prazo de tempo necessário para que os fluxos de caixa do projeto
recuperem o investimento inicial. O critério de decisão para aceitar ou não o projeto depende
da escolha de um prazo máximo para recuperar o investimento. Essa medida simplesmente
ignora os fluxos de caixa do projeto após o período de recuperação do investimento.
Pelas características apresentadas de cada indicador para a tomada de decisão de investimento
o VPL é o único que indica o quanto, em termos de unidade monetária, estaria sendo
adicionado ao valor da empresa. Outra característica importante que o VPL apresenta é que
ele é o único indicador a permitir a soma dos VPLs de projetos distintos, fazendo com que
seja possível se obter o VPL de um conjunto de projetos (carteira de projetos); em outras
3 Investimento Atualizado (IA) é definido como o valor presente do investimento do projeto, portanto:
IA
VPLIL
19
palavras será possível saber o quanto de valor cada carteira de projetos ótima e eficiente estará
adicionando à empresa.
3.2 DEFINIÇÃO DA FUNÇÃO OBJETIVO, DAS RESTRIÇÕES, E DO MÉTODO DE
OTIMIZAÇÃO
A empresa tem como objetivo de maximizar valor, sendo assim todos os projetos que
apresentam VPL maior do que zero deveriam ser implementados. Contudo, as empresas
possuem certas restrições e limitações que impedem a implementação de todas as suas
oportunidades de investimento, como já foi mencionado e explicado na introdução deste
trabalho. Portanto, o modelo de otimização deve considerar que a função objetivo será de
maximizar o valor da empresa, sujeito a todas restrições impostas a ela.
Um método geral que poderia resolver esse tipo de problema, otimizando o resultado para a
empresa e considerando todas restrições da empresa (sejam elas de capital, físicas, etc) seria a
técnica da Programação Linear (PL) ou da Programação Quadrática (PQ).
Programação Linear é uma técnica matemática desenvolvida para resolver problemas de
maximização ou minimização de uma função objetivo num ambiente com várias restrições.
Esta técnica considera que a função objetivo e as restrições são lineares. A diferença básica
entre Programação Linear e Programação Quadrática é que a última considera equações
quadráticas no problema a ser otimizado.
Para resolver qualquer problema de otimização de seleção de projetos que maximize o valor
da empresa, a PL ou PQ seria o método mais indicado, pois tanto a PL quanto a PQ
conseguem detectar basicamente quais projetos são dependentes, mutuamente excludentes, ou
se existe qualquer outra restrição de recursos por parte da empresa.
20
O problema é selecionar um conjunto de projetos com maior VPL possível (somente dessa
forma a função objetivo da empresa será satisfeita, ou seja, maximizado o valor da
companhia), respeitando todas as restrições impostas à empresa. Por exemplo, um modelo
teórico que considera somente a restrição de capital pode ser expresso da seguinte forma:
Max. VPL =
n
i
iiVPLx1
Sujeito a
} ..., ,1 ,0{
} ..., ,2 ,1{ ;)(1
,
mj
niRFCx j
n
i
jii
( 2 )
}1,0{ix
0jR
Sendo que: iVPL é o VPL do projeto i.
ix é a proporção do projeto i a ser implementado.
jiFC , é o fluxo de caixa do projeto i no ano j.
jR é a restrição de capital no ano j.
n é número total de projetos.
A primeira equação é a função objetivo que deve ser otimizada, e as demais são as restrições.
Vale observar que a função objetivo é composta pelo somatório dos VPLs de cada projeto, e
as restrições, neste exemplo, são compostas pelo somatório dos fluxos de caixa de cada ano e
são condicionadas ao limite máximo da verba atualmente disponível (ou programada) para o
ano em questão. A proporção de cada projeto a ser implementado é representada pela letra x;
nesse caso todos os projetos são aceitos por inteiro ou não são aceitos.
No exemplo acima foi considerado que a proporção de cada projeto a ser implementado
(representado pela letra x) seria 0 ou 1. Isso significa que todos os projetos só poderiam ser
aceitos por inteiro. Entretanto poderão existir situações em que alguns projetos sejam
21
obrigatórios, por exemplo por motivos de segurança ou de regulação; dessa forma a proporção
(x) desses projetos deve ser igual a 1. Também poderão haver situações em que alguns
projetos possam ser implementados em partes, ou num caso mais provável a empresa poderia
implementar um projeto em sociedade com uma outra companhia. Nesse caso, os valores de x
podem variar entre 0 e 1, refletindo a participação da empresa no projeto (assumindo que o
fluxo de caixa a receber seja exatamente igual à participação da empresa no projeto).
No exemplo anterior foi utilizada apenas a restrição de capital, entretanto a PL e a PQ
permitem que sejam modeladas restrições de recursos e interações entre os projetos. Por
exemplo, dois projetos C e D são mutuamente excludentes, ou seja ao selecionar um projeto o
outro automaticamente não pode ser implementado. Esse tipo de restrição pode ser modelado
da seguinte forma:
xC + xD ≤ 1 ( 3 )
xC , xD }1,0{
Repare-se que se xC for igual a 1, xD tem que ser igual a 0, e caso xD for igual a 1, xC tem que
ser igual a 0, mas ambos podem ser iguais a zero.
Caso um outro projeto B fosse dependente do projeto C, a recíproca poderia não seria
verdadeira, ou seja, o projeto C poderia ser independente do projeto B; em outros termos, o
projeto B não poderia ser implementado sem que o projeto C fosse selecionado. Neste caso a
restrição seria a seguinte:
xB – xC ≤ 0 ( 4 )
xB , xC }1,0{
Neste caso se xC for igual a 0, necessariamente xB tem que ser 0 também, no entanto se xC for
igual a 1, xB pode ser 0 ou 1.
22
Uma empresa pode não ter mão-de-obra especializada suficiente para implementar todos os
projetos, ou seja, a empresa possui uma limitação de número de técnicos. Alternativamente a
empresa pode possuir uma limitação de recursos críticos para implementação dos projetos,
neste caso os projetos estarão concorrendo por um mesmo recurso crítico. Pode existir
restrição de logística para escoar os produtos de vários projetos, ou então existir uma
limitação de mercado para absorver toda a produção dos projetos, etc. Portanto, qualquer tipo
de restrição da empresa pode ser modelado através de técnicas de Programação Linear ou
Quadrática como exemplificado acima.
No modelo que está sendo proposto neste trabalho apresenta-se mais uma restrição que não
faz parte dos modelos de Programação Linear tradicionais de maximização de VPL da
empresa para problemas de orçamentação de investimento (Weingartner, 1963). Neste modelo
está sendo introduzido uma restrição relativa ao risco, portanto no modelo deverá ser incluída
a seguinte restrição:
2n
1
n
1j
ˆ p
i
ijji xx
ou ˆ 2n
1
n
1j
pj
i
iijji xx
( 5 )
Sendo que: xi é a proporção do projeto i a ser implementado.
xj é a proporção do projeto j a ser implementado.
ij é a covariância do projeto i com o projeto j.
ij
é a correlação do projeto i com o projeto j.
i é o desvio-padrão do projeto i.
j é o desvio-padrão do projeto j.
2ˆp
é a variância que a empresa estaria disposta a assumir.
23
Nesta restrição4 o risco total da carteira de projetos (a variância) seria determinado pelas
variâncias dos projetos individuais e as covariâncias entre os projetos da empresa. A
covariância é a medida de variação conjunta de duas variáveis e, neste caso, ela demonstra
como os resultados dos projetos se movimentariam em conjunto, fornecendo o quanto à
diversificação poderia reduzir o risco da carteira de projetos. Sendo que 2ˆp
seria o nível de
variância que a empresa estaria disposta a aceitar na sua carteira de projetos. Na seção
seguinte será explicado como o desvio-padrão da carteira de projetos poderá ser estimado.
Neste caso a empresa deveria especificar o risco em termos de variância ou desvio-padrão que
ela desejaria assumir. Uma outra solução seria variar 2ˆp
com a finalidade de encontrar todas
as carteiras de projetos eficientes possíveis e, dessa forma, construir a Fronteira Eficiente.
Atualmente um programa de computador pode elaborar facilmente todas essas iterações e
resolver esse problema.
Ao utilizar somente a Programação Linear tradicional, o método de otimização sempre
encontraria somente o maior VPL independente do nível de risco, também poderia encontrar
mais do que uma solução com o mesmo valor de VPL máxima da carteira de projetos.
Contudo, a solução indicada poderia não ser uma solução eficiente, pois poderia existir uma
carteira com o mesmo valor, mas com um risco menor para empresa. Isso somente poderia
ocorrer caso a questão sobre o risco fosse ignorada no problema. Por essa razão o método
proposto neste trabalho propõe a inclusão de uma restrição que represente o risco da carteira
de projetos.
4 Observa-se que o problema de otimização passa a ser agora um problema de Programação Quadrática (PQ), por
apresentar termos como 2
ix e xixj (termos ao quadrado e produto de duas variáveis).
24
Percebe-se que, com os exemplos citados acima, é factível modelar e incluir inúmeras
restrições no modelo de otimização. Entretanto, quanto mais restrições houver, menor será
provavelmente o resultado final da função objetivo, neste caso maximizar o VPL, ou seja
quanto mais restrições existirem provavelmente menor será o valor da carteira ótima de
projetos. Sendo assim, deve-se sempre verificar se existe alguma restrição que pode ser
excluída, ou se a empresa pode trabalhar para removê-la ou superá-la. O modelo deve refletir
as restrições que existem de fato, e não se devem incluir restrições com a finalidade de atingir
algumas metas desejáveis, como participação de mercado, ou metas de produção. Essas
restrições não são restrições reais, entretanto poderiam reduzir o valor da carteira, afastando
assim, a oportunidade de seleção de uma carteira ótima e eficiente de projetos que alcançasse
o objetivo principal da empresa, que é de maximizar valor.
A técnica de Programação Quadrática torna-se um instrumento bastante útil para a otimização
da carteira de projetos para empresas que possuem várias oportunidades de investimento com
características distintas. A PQ permite que sejam modeladas inúmeras restrições, fazendo com
que o modelo de otimização seja ao mesmo tempo mais preciso, eficaz, e mais realista.
Entretanto como qualquer outro modelo, em alguns momentos, sempre haverá necessidade de
algumas simplificações e sempre existirá alguma limitação, sem no entanto invalidar a sua
aplicação.
3.3 SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO PARA ESTIMAR RISCO E CORRELAÇÕES
Muitos projetos de investimentos são distintos uns dos outros, portanto refletindo riscos e
correlações distintas. Alguns projetos são dependentes de outros, como por exemplo, um
projeto fornece matéria prima para outro projeto, ou então um projeto é parte de uma infra-
estrutura para outro. Enfim existem várias possibilidades de interdependência ou de
25
correlações entre projetos; portanto, pode-se ter projetos com correlações positivas e
negativas uns com outros de uma mesma empresa.
O risco de um projeto não é uma variável que possa ser observado, e, ao contrário de ativos
financeiros, não existem dados históricos de cotações de projetos de investimento (pois este é
um ativo não negociado). Para alguns casos poder-se-ia utilizar dados de empresas
semelhantes aos projetos como proxy para estimar o risco e as correlações entre os projetos;
poder-se-ia utilizar o princípio do modelo de um único índice (Elton e Gruber - 1995) para
estimar as correlações entre ativos, nesse caso de projetos. Entretanto, ao utilizar o modelo de
um único índice, projetos do mesmo segmento de negócio sempre apresentaria o mesmo nível
de risco e adicionalmente apresentaria correlação igual a um entre eles, o que não é verdade
na prática. Projetos do mesmo segmento de negócio podem ter riscos diferentes e correlações
diferentes entre eles. Por exemplo, um projeto que utiliza uma nova tecnologia, ainda não
dominada pela empresa, pode vir a ter um custo muito mais elevado do que o esperado, do
que um outro projeto do mesmo segmento que utiliza uma tecnologia já dominada pela
empresa. Provavelmente o risco do primeiro projeto será maior do que o segundo, e a
correlação entre eles será positiva, pois pertencem ao mesmo segmento, mas menor do que
um. Já para projetos internos de infra-estrutura a empresa não teria como obter uma série de
dados históricos de alguma proxy ou das variações dos seus resultados. Por outro lado, a
utilização de dados históricos não deixa de construir um possível problema, uma vez que o
risco dos projetos do futuro não será necessariamente igual ao risco das empresas (proxies) do
passado.
Uma forma de estimar o risco e as correlações de cada projeto seria através da técnica de
Simulação de Monte Carlo, uma vez que os dados necessários para estimar o risco e as
correlações dos projetos não estão simplesmente disponíveis. A utilização de Simulação de
26
Monte Carlo para estimar o risco de um projeto de investimento foi preconizada inicialmente
por David Hertz (1964 e 1968). Adicionalmente existem várias discussões e artigos sobre o
tema, como por exemplo em Mccarthy (2000) e Nawrocki (2001). Após o avanço dos
computadores e criação de programas para esta finalidade nos últimos anos, a aplicação da
Simulação de Monte Carlo para projetos de investimento vem se tornando uma tarefa
relativamente simples.
Para aplicar o método de Simulação de Monte Carlo é necessário definir uma função de
distribuição de probabilidade para cada uma das principais variáveis (fatores de risco) ou
dados de entrada do fluxo de caixa de cada projeto, as devidas correlações entre as variáveis,
e as devidas interdependência entre os projetos (um projeto fornece a matéria prima para
outro, ou seja, a receita de um é um custo do outro, fazendo com que possa haver correlação
negativa entre alguns projetos). A simulação irá gerar números aleatórios a partir das funções
de distribuição de probabilidade e correlações definidas anteriormente para cada iteração. A
partir de um número elevado de iterações será possível estimar uma função de distribuição de
probabilidade e do desvio-padrão do VPL de cada projeto, bem como estimar as correlações
entre os projetos, e a distribuição de probabilidade de cada carteira de projeto de investimento
eficiente.
A simulação irá considerar todas as combinações possíveis das variáveis relevantes de cada
projeto. Cada iteração da simulação pode ser interpretada como um cenário diferente e, dessa
forma, pode-se dizer que a Simulação de Monte Carlo irá gerar inúmeros possíveis cenários e
os selecionará aleatoriamente. Entretanto apenas a Simulação de Monte Carlo não é o
suficiente para otimizar a escolha de uma carteira de projetos, ela é apenas um instrumento
para estimar o risco.
27
Ao aplicar o método de Simulação de Monte Carlo devem-se estimar adequadamente as
funções de distribuição de probabilidade das variáveis de forma que estas representem bem a
realidade, e especificar corretamente as interdependências entre elas. Esta tarefa é, às vezes,
extremamente difícil e complicada, porque freqüentemente está-se lidando com incertezas,
das quais não se conhecem as funções adequadas de distribuição de probabilidade. Caso os
parâmetros não representem devidamente a realidade, as estimativas de risco proporcionadas
pela simulação não serão boas medidas de risco.
Para estimar o risco de cada projeto, em primeiro lugar, deve-se escolher uma medida
quantitativa de risco. Normalmente uma forma de estimar o risco de um ativo é através da
variância ou desvio-padrão a partir da distribuição histórica dos retornos de um ativo
financeiro. No modelo proposto será utilizada como uma das medidas de risco a variância ou
desvio-padrão do VPL de cada projeto, nota-se que o desvio-padrão estará expresso em
unidades monetárias. Especificamente, neste modelo, a variância será o quadrado da diferença
entre os VPLs simulados e o VPL esperados de um projeto de investimento, e o desvio-padrão
será a raiz quadrada da variância como pode ser observado abaixo:
1 Variância
1
2
2
n
Xn
j
j
x
( 6 )
2
xx Padrão-Desvio ( 7 )
Sendo que: Xj é o VPL simulado j.
é o VPL esperado.
n é o número de iterações.
28
O risco total da carteira de projetos (ou de uma empresa ou de ativos) seria determinado pelas
variâncias dos projetos individuais (ativos) e as covariâncias5 entre os projetos da empresa
(ativos). Então a variância (risco) da carteira de projetos (ou da empresa ou ativos) seria:
n
1
n
1j
2 i
ijjip xx ou j
i
iijjip xx
n
1
n
1j
2 ( 8 )
Sendo que: xi é a proporção do projeto i a ser implementado.
xj é a proporção do projeto j a ser implementado.
ij é a covariância do projeto i com o projeto j.
ij
é a correlação do projeto i com o projeto j.
i é o desvio-padrão do projeto i.
j é o desvio-padrão do projeto j.
O número de termos, nas duas equações apresentadas acima, aumenta exponencialmente com
o número de projetos na carteira de projetos da empresa. O número de covariância ou de
correlação na equação é uma função do número de projetos, sendo assim o número de
covariância ou correlação seria:
2
1 Correlaçãoou aCovariânci de Número
NN ( 9 )
Sendo que: N é o número de projetos que a empresa possui.
Adicionalmente, o fluxo de caixa de um projeto é composto por preços, mercado, custos
variáveis, etc, como já abordado no item acima sobre avaliação econômica de um projeto.
Nota-se que em grande parte dos principais fatores de risco do projeto são na verdade um
5 Observa-se que a covariância de um projeto (ou de um ativo) em relação a ele mesmo é a sua própria variância.
29
processo estocástico, sendo que o próprio fluxo de caixa projetado seria um “processo
estocástico”. Cada variável de entrada do modelo ou fatores de risco podem seguir uma
dinâmica e trajetória distinta, podendo haver relações entre elas, como por exemplo, preços e
demanda. Portanto, seria de extrema importância que cada uma dessas variáveis fossem
modeladas na Simulação de Monte Carlo através de um processo estocástico. Um processo
estocástico pode ser definido como o ordenamento no tempo de uma variável aleatória.
Existem basicamente dois tipos de processos estocásticos: processo de reversão à média e
processo de passeio aleatório. O processo estocástico de reversão à média, também conhecido
como processo estocástico estacionário, possui média e variância constantes ao longo do
tempo. Já o processo de passeio aleatório ou processo não estacionário possui média e/ou
variância que variam ao longo do tempo.
Portanto, cada variável (fator de risco do projeto) deverá ser modelada adequadamente
respeitando as características de cada processo e de suas relações com as demais variáveis.
Para modelar, e conseqüentemente simular, a dinâmica e as relações entre os fatores de risco
do projeto, pode-se utilizar técnicas e métodos econométricos para esta finalidade (Dixit e
Pindyck – 1994), uma vez que haja dados históricos consistentes para essas variáveis. Através
das técnicas e métodos econométricos poderá ser estimado os parâmetros e as especificações
adequadas para cada processo estocástico (Gujarati – 2006 e Diebold – 2004) que compõem o
fluxo de caixa de um projeto de investimento.
Embora não exista uma base de dados históricos dos retornos dos projetos em si, um fato
positivo é a existência de dados históricos para diversas variáveis de entrada do fluxo de caixa
do projeto, as quais podem ser simuladas. Ainda que não existissem dados históricos de
algumas variáveis, essas mesmas podem ser simuladas da mesma forma e, neste caso deverão
ser escolhidas curvas de probabilidade ou um processo estocástico de cada variável de forma
30
subjetiva. Sendo assim, através de simulação, o risco dos projetos e suas correlações poderão
ser estimadas e quantificadas, bem como o risco e as distribuições de probabilidade das
carteiras de projetos de investimento.
3.4 ADAPTAÇÃO E CONSTRUÇÃO DA FRONTEIRA EFICIENTE PARA
CARTEIRAS DE PROJETOS DE INVESTIMENTOS
Para construir a Fronteira Eficiente das carteiras de projetos de investimento, bastaria variar o
valor do desvio-padrão ou da variância (2ˆp
) da carteira de projetos na restrição do modelo, e
em seguida otimizar o modelo para cada valor de desvio-padrão estipulado. Uma rotina
simples de programação de computador faria essa tarefa mecânica.
Após realizado a tarefa acima, pode-se construir o gráfico da Fronteira Eficiente, onde o eixo
da ordenada Y seria expresso pelo VPL em unidades monetárias e o eixo da ordenada X seria
expresso pelo desvio-padrão em unidades monetárias, conforme figura abaixo. Cada ponto da
Fronteira significará uma carteira ou uma combinação de conjuntos de projetos com valor
máximo de VPL para a empresa para um determinado nível de risco, nesse caso desvio-
padrão.
Desvio-Padrão $
VPL $
Figura 2- Fronteira Eficiente Teórica para Carteira de Projetos – Desvio-Padrão como medida de risco.
31
Ao construir a Fronteira Eficiente ter-se-ia todo o conjunto possível de carteiras de maior
VPL para cada nível de risco. A Fronteira Eficiente deve ser uma função côncava. Todas
essas carteiras são consideradas eficientes e ótimas para um determinado nível de risco.
Observa-se que existe um trade-off entre retorno e risco. A empresa deveria optar pela carteira
de projetos que mais se adequar ao seu perfil de risco.
Adicionalmente, poderia construir uma Fronteira Eficiente alterando o desvio-padrão no eixo
X pelo VaR, uma vez que o VaR também é uma medida de risco, como pode ser observado na
figura abaixo. Atualmente o VaR é plenamente utilizado na gestão de risco de carteira de
ativos financeiros.
VaR $
VPL $
Figura 3- Fronteira Eficiente Teórica para Carteira de Projetos – VaR como medida de risco.
Para isso a equação da restrição no modelo de otimização deveria ser alterada para a seguinte:
32
projetos. de carteira a para empresa pela estipulado VaR do valor o é RaV
n. ciasignificân de nível ao projetos de carteira da percentil é Percentil
projetos. de carteira da esperado valor o é )E(VPL : que Sendo
) 10 ( )(
n
c
RaVPercentilVPLE nc
Uma outra forma seria a empresa estipular a probabilidade mínima de o VPL da carteira não
remunerar devidamente o seu custo de capital, ou seja, o VPL da carteira ser menor do que
zero, dessa forma poderia construir a fronteira com essa probabilidade no eixo X, ou então
colocar no eixo X o CVaR, ou qualquer outra medida de risco.
Cada medida de risco citado acima proporciona uma informação distinta. Existem várias
formas de se estimar e quantificar o risco, bem como possíveis contestações sobre qual desses
modelos de estimação ou medidas de risco seria o melhor, todavia não é contestável a
necessidade de considerar a relação risco e retorno nas decisões de investimento. Sendo
assim, para determinar ou optar por uma carteira de projetos a empresa simplesmente não
poderia ignorar este pressuposto. Porém, nem sempre será melhor correr um risco menor, pois
o objetivo da empresa não é reduzir o risco e sim maximizar valor. A empresa deve escolher a
carteira de projetos que maximize o seu valor, porém, restringida também pela sua disposição
de assumir riscos, tal disposição é uma característica específica da própria empresa, e pode
variar de acordo com os fundamentos da economia e das características do setor em que atua.
Somente assim, a empresa estaria otimizando a relação risco e retorno e optando por uma
carteira de projetos eficiente e ótima.
33
3.5 ESTIMAÇÃO DE POSSÍVEIS MEDIDAS E INDICADORES PARA AS
CARTEIRAS DE PROJETOS EFICIENTES.
Pelo fato de existir um trade-off entre retorno e risco, uma forma de auxiliar ou incorporar
mais uma informação para a empresa decidir por uma das carteiras de projetos eficientes,
seria calcular um conjunto de medidas e indicadores que auxiliasse os tomadores de decisão a
optarem por uma carteira de projetos de investimento. Como o nível de risco aceitável pela
empresa dependerá do seu perfil de risco (avesso, neutro, ou propenso), os indicadores
auxiliariam para a escolha da carteira de projetos e, conseqüentemente, ajudariam
indiretamente a determinar esse perfil.
A seguir serão apresentados seis medidas ou indicadores que poderão orientar e auxiliar na
escolha de uma carteira ótima e eficiente para empresa. Algumas medidas e indicadores já
conhecidos pela literatura de finanças de gestão de carteira de ativos financeiros, como por
exemplo VaR, e outros que estarão sendo propostos neste trabalho inspirados nos próprios
indicadores financeiros usuais e adaptados para projetos de investimento.
Atualmente uma medida extremamente usada para gestão de carteira é o Valor em Risco
(VaR) da carteira. O VaR representa a perda máxima de um valor ou exposição para um
determinado grau de confiança e depende do conhecimento da distribuição de probabilidade.
Neste trabalho o VaR estará sendo estimado da seguinte forma:
) 11 ( )( nc PercentilVPLERaV
34
A figura abaixo ilustra o VaR.
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
-3 -2 -1 0 1 2 3
E[VPL]Percentil n
VaR
Figura 4- Valor em Risco (VaR).
O VPL esperado representa o valor líquido dos projetos (ativos), ou seja, se uma empresa
fosse vender para terceiros o direito de fazer um projeto, ela venderia pelo mesmo valor do
VPL, pois este representa o valor presente dos fluxos de caixa do projeto menos o
investimento necessário para implementá-lo. O VPL representa também o valor que seria
adicionado à empresa, fazendo com que ela fique exposta a esse valor, pois as oscilações do
VPL aumentarão ou diminuirão o valor da empresa.
A fórmula acima serve tanto para calcular o VaR paramétrico gaussiano, quanto para o VaR
do modelo de simulação e de otimização deste trabalho.
Uma outra medida que também será estimada é o Condicional VaR (CVaR) ou VaR
condicional. O CVaR tem como objetivo estimar a perda média da carteira, dado que o VaR
foi rompido. Essa medida busca informações referentes à cauda de distribuição de
35
probabilidade da carteira, o que não ocorre com o VaR usual. O CVAR representa o valor que
uma carteira pode perder, em média, uma vez que o VAR foi rompido. Neste trabalho o
CVaR estará sendo estimado da seguinte forma:
) 12 ( )( nccc PercentilVPLVPLEVPLECVaR
A figura abaixo ilustra o CVaR.
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
-3 -2 -1 0 1 2 3
E[VPL]Percentil n ncc PercentilVPLVPLE
CVaR
Figura 5- Condicional VaR (CVaR).
Dois outros indicadores relativos a retorno e risco serão estimados inspirados no índice de
Sharpe. Esses dois indicadores têm como objetivo indicar a quantidade de retorno (VPL) por
unidade de risco. Sendo que um deles será o VPL sobre desvio-padrão e o outro VPL sobre o
VaR, estes indicadores propostos serão denominados de Indicadores Relativos Retorno e
Risco e podem ser vistos a seguir:
36
c
cVPLIRRR
1 ( 13 )
c
c
VaR
VPLIRRR 2 ( 14 )
Sendo que : VPLc é o VPL da carteira de projetos.
c é o desvio-padrão da carteira de projetos.
VaRc é o VaR da carteira de projetos.
Também será estimada a probabilidade do VPL da carteira de projeto de investimento ser
menor do que zero, ou seja, a probabilidade da carteira não remunerar adequadamente o custo
de capital da empresa e, por conseqüência, não remunerar adequadamente os seus detentores
de capital. Em outras palavras será estimada a probabilidade da carteira de projetos destruir
valor para empresa da seguinte forma:
total)iteração de (número
0) VPL de iteração de (número)0( c cVPLP ( 15 )
Sendo que : VPLc é o VPL da carteira de projetos.
A figura abaixo ilustra o a probabilidade do VPL < 0.
37
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
-3 -2 -1 0 1 2 3
E[VPL]0
P( VPL < 0 )
Figura 6- Probabilidade VPL < 0.
Por fim, a última medida, inspirada no Condicional VaR, será denominada de Valor Presente
Líquido Condicional (VPLC) que representará a média do VPL da carteira, dado que o VPL
seja negativo (menor que zero). Esta medida busca informações de valor (expressa em
unidade monetária) referentes à distribuição de probabilidade da carteira além da
probabilidade do VPL ser menor que zero. Ela representa a destruição de valor médio da
carteira de projetos para a companhia uma vez que foi rompido o valor zero.
n
0)VPL(
] 0 VPL VPL [ E VPLC lCondiciona VPL
n
1c
c
cc
( 16 )
Sendo que: VPLc é o VPL da carteira de projetos.
n é número de iteração (observação) de VPLc < 0.
38
A figura abaixo ilustra o VPL Condicional.
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
-3 -2 -1 0 1 2 3
E[VPL]0] 0 VPL VPL [ E VPLC cc
Figura 7- VPL Condicional.
As medidas e os indicadores apresentados acima serão estimados e apresentados nos
próximos capítulos. Como já afirmado, eles auxiliariam na escolha de uma carteira ou
conjunto de projetos de investimento que uma empresa deveria implantar com o objetivo de
maximizar seu valor para um determinado nível de risco.
Neste capítulo foram apresentados a metodologia e o modelo teórico para implementar a
otimização da relação risco e retorno na seleção de projetos de investimento em ambiente
sujeito a restrições. A metodologia foi dividida basicamente em cinco tópicos, os quais
descrevem cada etapa de sua implementação e aplicação. Nos próximos capítulos serão
exemplificados, aplicados, e comentados os resultados da metodologia e do modelo de
otimização proposto.
39
4 SIMULAÇÃO E APLICAÇÃO
Neste capítulo será apresentado à simulação e a aplicação do modelo de otimização da relação
risco e retorno na seleção de projetos de investimento numa empresa integrada fictícia, simule
características reais. Seria suposto que essa empresa atua em diversos segmentos de negócios
e possuiria diversas restrições, sejam elas de capital ou físicas. O modelo também será
aplicado em diversos casos de restrições, desde o caso sem nenhuma restrição para a empresa
até o caso com todos as restrições. Através disso poderão ser observadas as alterações no
formato da Fronteira Eficiente, ou seja, os efeitos que as restrições de capital e físicas
causariam na Fronteira Eficiente das carteiras de projetos de investimento da empresa.
4.1 CARACTERÍSTICAS DA EMPRESA SIMULADA
A empresa simulada será uma empresa integrada com atuação em quatro segmentos de
negócios, sendo que existem algumas interdependências entre alguns segmentos. Esta
interdependência é devida, em parte, pela sua verticalização e pela sua integração regional e
entre segmentos. Embora esta companhia atue em quatro segmentos de negócios, ela possui
cinco tipos de projetos, um para cada segmento de negócio e mais um para projetos de infra-
estrutura. Os projetos podem ser divididos em cinco categorias A, B, C, D, e E.
Os projetos da categoria A representam projetos de um segmento de negócio, onde a empresa
é tomadora de preços e que todo sua produção é vendida, por ser um pequeno produtor neste
40
segmento, ou então a produção é fornecida como matéria prima para os projetos da categoria
B e D. Os preços de venda neste segmento apresentam alta volatilidade e segue um processo
estocástico de reversão à média. Embora toda a produção seja escoada (vendida), existe um
risco inerente neste segmento de negócio, pois o produto deste segmento apresenta incertezas
naturais no momento de sua extração, o que refletirá em possíveis ganhos ou perdas de
produção. Somente será conhecido se a produção será mais alta ou baixa do que a esperada no
momento da entrada de produção, ou seja, se a produção for mais alta do que a esperada no
primeiro ano, ela será mais alta do que a esperada durante todos os anos do projeto. Este
segmento apresenta elevados custos variáveis e fixos, os quais também seguem um processo
estocástico de reversão à média com baixa volatilidade. Os investimentos desde tipo de
projeto são elevados, são os mais altos da empresa. O tempo de implantação desses projetos
são de três anos, ou seja, o início de operação é a partir do quarto ano, com possibilidades de
atraso ou antecipação.
Os projetos da categoria B representam projetos de um segmento de negócio, onde a empresa
é formadora de preços, entretanto ela busca alinhamento com preços internacionais. Somente
parte das oscilações dos custos de matéria-prima são repassados para o preço de venda. Os
preços de venda desse segmento seguem um processo de reversão à média com volatilidade
baixa (menos da metade da volatilidade dos preços de venda do segmento A). Os projetos da
categoria B utilizam como matéria-prima parte da produção dos projetos da categoria A. A
demanda dos produtos desse segmento apresenta baixa volatilidade. Não necessariamente
cada produto de cada projeto dessa categoria são iguais. Cada projeto pode produzir até o
limite da sua capacidade fabril, entretanto acompanha as oscilações da demanda. Desta forma,
portanto a produção de cada projeto segue um processo de reversão à média. Neste segmento
os custos variáveis e fixos também seguem um processo estocástico de reversão à média,
porém os custos variáveis apresentam alta volatilidade. Os investimentos desde tipo de projeto
41
também são elevados, mas não tanto quanto os projetos da categoria A. O tempo de
implantação desses projetos variam de um a dois anos com possibilidades de atraso ou
antecipação.
Os projetos da categoria C representam projetos de infra-estrutura. Normalmente, a empresa
só implantaria tais projetos quando obrigatórios para atender a alguma legislação ambiental,
ou por motivo de segurança. Alguns desses projetos também poderiam ser necessários para
implementar algum outro projeto de qualquer outra categoria, para aumentar a segurança e
confiabilidade das operações da empresa. Normalmente os benefícios desses projetos são
intangíveis, sendo portanto difíceis de serem quantificados. Os custos variáveis e fixos desses
projetos seguem um processo de reversão à média com baixa volatilidade. Os investimentos
são relativamente menores do que os projetos das categorias A e B, mas são de valores
consideráveis. O tempo de implementação é normalmente de dois anos e podem ocorrer
atrasos ou antecipações durante a implantação.
Os projetos da categoria D representam projetos de um segmento de negócio. Parte da
matéria-prima é fornecida pelos projetos da categoria A. Os preços de venda desse segmento
são regulados, portanto apresentam baixíssima volatilidade, seguindo um processo de
reversão a média. A empresa produz o que o mercado demanda, e esta possui uma
volatilidade elevada. Parte da demanda dos produtos dos projetos da categoria D é volátil,
devido à presença de produtos substitutos mais baratos no mercado, entretanto esses
substitutos possuem uma alta volatilidade no seu fornecimento para o mercado. Ou seja, parte
do mercado só demanda os produtos dos projetos do segmento D quando falta o fornecimento
dos seus produtos substitutos. Os custos variáveis e fixos desses projetos seguem um processo
de reversão à média, sendo que os custos fixos apresentam baixa volatilidade e os custos
variáveis volatilidade moderada para alta. Os investimentos desde tipo de projeto também são
42
elevados, mas não tanto quanto os projetos da categoria A e B, e sua ordem de grandeza é
igual dos projetos da categoria E. O tempo de implantação desses projetos varia de dois a três
anos com possibilidades de atraso ou antecipação.
Os projetos da categoria E representam projetos de um segmento de negócio. Os projetos
dessa categoria são independentes entre si por motivos geográficos e entre os demais tipos de
negócio da empresa. Alguns desses projetos possuem alta volatilidade nos preços, custos
variáveis, e demanda. Embora estes tipos de projetos utilizem a mesma matéria-prima, a
dinâmica dos seus custos variáveis pode ser diferente ao longo do tempo por motivos
geográficos, entretanto convergem para um mesmo preço de equilíbrio no longo prazo. Tanto
o preço, os custos variáveis e fixos, e a demanda seguem um processo de reversão à média.
Os investimentos desse tipo de projeto também são elevados, mas não tanto quanto os
projetos da categoria A e B, e sua ordem de grandeza é igual à dos projetos da categoria D. O
tempo de implantação desses projetos é de três anos com possibilidades de atraso ou
antecipação.
4.2 AS POSSIBILIDADES DE PROJETOS E AS RESTRIÇÕES DA EMPRESA
Supostamente essa empresa possui 23 projetos de investimento, sendo 8 projetos da categoria
A (nomeados de A-1 a A-8), 6 projetos da categoria B (nomeados de B-1 a B-6), 4 projetos da
categoria C (nomeados de C-1 a C-4), 3 projetos da categoria D (nomeados de D-1 a D-3), e 2
da categoria E (nomeados de E-1 a E-2). Por outro lado, essa empresa possui, em princípio, 5
tipos de restrição: a de capital, a empresa só poderia gastar $ 7 bilhões entre o ano 0 e o ano 3;
alguns projetos são estritamente dependentes de outros projetos; existem projetos
obrigatórios; alguns projetos concorrem uns com outros, ou seja, são projetos excludentes; e a
empresa não possuiu recursos críticos necessários para implementar todos os projetos da
43
categoria A e B, ou seja, nem todos os projetos da categoria A poderão ser realizados, bem
como os da categoria B. O detalhamento das restrições consideradas é apresentado a seguir:
1- Restrição de Capital – Verba máxima disponível para ser gasta no ano:
a. Ano 0: $ 2.500.000.000.
b. Ano 1: $ 2.500.000.000.
c. Ano 2: $ 1.500.000.000.
d. Ano 3: $ 500.000.000.
2- Projetos Dependentes:
a. A-6 depende de B-4.
b. B-1 depende de A-2.
c. B-3 depende de A-2.
d. D-1- depende C-1 e A-6.
e. D-3- depende A-4.
3- Projeto Obrigatório:
a. C-2.
4- Projetos Excludentes:
a. A-3 ou A-1.
b. C-3 ou C-1.
c. B-5 ou B-6.
44
5- Recursos Críticos:
a. Projeto Tipo A: disponíveis apenas 6 recursos críticos para os 8 projetos dessa
categoria.
b. Projeto Tipo B: disponíveis apenas 5 recursos críticos para os 6 projetos dessa
categoria.
Caso houvesse somente a possibilidade de fazer ou não um projeto (binário – 0 ou 1) sem
restrição, haveria 8.388.608 possibilidades ou combinações de carteiras de projetos de
investimento para serem optadas pela empresa. O modelo de otimização da relação risco e
retorno que está sendo apresentado, seria capaz de encontrar todas as carteiras ótimas e
eficientes (Fronteira Eficiente) dentre todas essas possibilidades sem nenhuma dificuldade,
mesmo que sejam consideradas todas as restrições apresentadas acima.
Por exemplo, para resolver o problema acima considerando os 23 projetos e que cada projeto
possa ser realizado ou não por inteiro, ou seja binário, o modelo pode ser expresso conforme
apresentado abaixo. Sendo que a proporção a ser realizada dos projetos será representada pela
letra x, que poderá ser 0 ou 1, e em alguns casos a proporção dos projetos da categoria A será
representada da seguinte forma xA-1 até xA-8; a da categoria B de xB-1 a xB-6, e assim por diante
para as outras categorias. As demais nomenclaturas e símbolos já foram explicados nos
capítulos anteriores.
45
1ou 0
1ou 0
ˆ
5
6
1
1
1
) 17 ( 1
0
0
0
0
0
0
,32 ,1 ,0
32 ..., ,2 ,1 ;:
:
223
1
23
1k
6
1i
i-B
8
1i
i-A
65-B
13
13-A
2
43-D
61-D
11-D
23-B
21-B
46-A
23
1
,
23
1
k
i
p
i
ikki
B
CC
A
C
A
A
C
A
A
B
j
i
jii
i
ii
x
x
xx
x
x
xx
xx
xx
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
j
kiRFCxasujeito
VPLxMaximizar
Observa-se que uma das restrições é referente ao risco da carteira de projeto de investimento,
e é esta restrição que diferencia essa abordagem da otimização tradicional de alocação de
recursos sujeita à restrições de capital e físicas. Ao inserir essa restrição, o problema deixa de
ser de Programação Linear e passa ser um problema de Programação Quadrática.
No capítulo seguinte serão apresentados os resultados e as possíveis soluções de carteira de
projetos ótima e eficiente, ou seja a Fronteira Eficiente. Também serão apresentadas outras
versões do problema acima, como por exemplo, a proporção de implantar o projeto variar
46
entre 0 e 1, representando que um projeto possa ser realizado em sociedade, bem como casos
aonde não haja nenhuma restrição, ou somente algumas restrições mencionadas acima. Sendo
assim poderão ser observadas as alterações do formato da Fronteira Eficiente, e
conseqüentemente das possibilidades (soluções) de carteira de projetos de investimento da
empresa.
4.3 DETERMINAÇÃO DOS FATORES DE RISCO DOS PROJETOS
Nesta seção serão mencionados os fatores de riscos dos projetos de investimento que foram
considerados na Simulação de Monte Carlo, com finalidade de estimar e quantificar o risco de
cada projeto.
Os fatores de riscos dos projetos considerados neste trabalho foram baseados nas
características de cada segmento de negócio da empresa. A seguir serão apresentados os
fatores de risco com seu respectivo processo estocástico ou função de distribuição de
probabilidade, utilizados para cada fator na simulação que compõem o fluxo de caixa de cada
projeto:
1- Preços de Venda – Processo de Reversão à Média.
2- Mercado / Produção de todos os projetos com exceção dos projetos da categoria A –
Processo de Reversão à Média.
3- Produção dos projetos da categoria A – Função de Distribuição de Probabilidade
Triangular.
4- Custos Variáveis - Processo de Reversão à Média.
5- Custos Fixos - Processo de Reversão à Média.
6- Investimento - Função de Distribuição de Probabilidade Triangular.
47
7- Atraso / Antecipação - Função de Distribuição de Probabilidade Pert.
Embora a taxa de desconto (custo de capital de uma empresa) também possa variar ao longo
do tempo, esta não foi simulada neste trabalho. Pois, o risco que está sendo estimado é o risco
da carteira de projetos de investimento não remunerar um determinado custo de capital, ou
seja, o risco da carteira de projetos não remunerar uma dada taxa de corte determinada pela
empresa.
Como o objetivo deste trabalho não é encontrar as melhores especificações dos processos de
reversão à média para simulação de cada fator de risco de cada projeto, foi utilizado, portanto,
um processo de reversão à média auto regressivo de ordem um para representar a dinâmica e
as oscilações de cada fator de risco. Poderiam ter sido usadas outras especificações de
processo de reversão à média, e se fosse julgado necessário utilizar processos que simulam
passeio aleatório. Para determinar quais seriam as melhores especificações dos processos
estocásticos dos fatores de risco, poderiam ser utilizados técnicas e métodos econométricos de
séries temporais para esta finalidade.
A especificação do processo de reversão à média utilizada na Simulação de Monte Carlo foi a
seguinte:
48
.Y de aleatório choque do variânciaa é
).N(0,
estimados.ou osdeterminat serem a parâmetros os são e
.e
1.- t tempodo custoou mercado,ou preço, o: variávela é Y
t. tempodo custoou mercado,ou preço, o: variávela é Y :que Sendo
) 19 ( e Y Y
) 18 ( lnY Yln
t
2
2t
^
^^
^^
1-t
t
1-t
^
t
t
^
1-t
^^
t
^^
t
Embora na especificação utilizada acima tenha sido considerado que ^^
e fossem valores
determinísticos, eles também apresentam uma dispersão (desvio-padrão) e podem variar, uma
vez que são valores médios estimados. Portanto, poder-se-ia associar uma função de
densidade de probabilidade para cada um dos parâmetros, caso fosse desejado. Neste trabalho,
por simplificação, considerou-se que os valores de ^^
e seriam constantes.
O gráfico abaixo demonstra um exemplo das simulações do processo estocástico de reversão à
média da especificação mencionada acima. Nesse exemplo foi simulado o preço de venda do
produto dos projetos da categoria A, o qual apresenta volatilidade alta.
49
10,00
15,00
20,00
25,00
30,00
35,00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
anos
$/u
nid
ad
e
Figura 8- Simulação de um Processo Estocástico de Reversão à Média.
Adicionalmente, para cada processo de reversão à média ou função de distribuição de
probabilidade utilizada para cada fator de risco, para cada categoria de projetos, foram
considerados parâmetros distintos e em termos reais (pois os fluxos de caixa foram elaborados
em moeda constante), e quando necessário os mesmos parâmetros a fim de manter a coerência
e a interdependência entre os segmentos de negócios e projetos. Todas as relações das
dinâmicas de cada processo também foram consideradas adequadamente, por exemplo o
processo e a dinâmica que representam o preço de venda do projeto A são exatamente os
mesmos que representam os custos variados dos projetos da categoria B, ou seja, quando um
sobe ou desce, o outro também sobe ou desce, ao mesmo tempo, e na mesma magnitude.
4.4 ESTIMATIVAS DA SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO
Para a Simulação de Monte Carlo foram elaborados 23 fluxos de caixa, em moeda constante,
um para cada projeto descontados a 10% ao ano, sendo que cada um deles era composto por
Valores Médios - Valor inicial $ 23/unidade e Média de Longo Prazo $20/unidade.
50
processos estocásticos ou função de distribuição de probabilidade para os seus respectivos
fatores de risco, conforme mencionado na seção anterior.
Na simulação foram realizadas 10 mil iterações utilizando a técnica de amostragem Latin
Hypercube, e o programa de computador usado para a simulação foi o @Risk 4.5 da Palisade
Corporation. Através da simulação foram estimados os valores esperados de VPL de cada
projeto, os seus desvio-padrões respectivos, bem como a matriz de covariância e de
correlação. Na tabela a seguir podem ser observados os valores estimados através da
simulação, e as demais medidas e indicadores por projeto descrito ao longo deste trabalho.
ProjetosInvestimento
$ mil
VPL
$ mil
Desvio-
Padrão
$ mil
P(VPL<0)
VPL
Condicional
E[VPL I VPL<0]
$ mil
VaR 5%
Normal
$ mil
VaR 5%
$ mil
CVaR 5%
$ mil
IRRR1
VPL / Desvio-
Padrão
IRRR2
VPL / VaR
5%
A-1 1.200.000 384.341 418.747 17,31% -200.228 688.778 653.224 800.364 0,92 0,59
A-2 960.000 304.700 313.233 16,33% -143.817 515.223 485.722 596.521 0,97 0,63
A-3 1.100.000 85.904 344.007 41,56% -231.931 565.841 536.333 672.413 0,25 0,16
A-4 1.500.000 341.228 464.530 23,54% -237.679 764.084 713.077 877.635 0,73 0,48
A-5 1.300.000 339.251 397.777 19,67% -202.491 654.285 629.391 782.510 0,85 0,54
A-6 1.000.000 505.068 359.792 6,90% -134.462 591.806 553.535 681.863 1,40 0,91
A-7 1.100.000 48.052 352.965 46,81% -248.486 580.575 554.953 684.227 0,14 0,09
A-8 1.400.000 265.431 422.509 27,41% -226.778 694.965 652.729 807.231 0,63 0,41
B-1 650.000 93.732 241.735 32,18% -180.364 397.618 419.840 562.194 0,39 0,22
B-2 850.000 60.221 305.088 40,64% -230.655 501.825 516.395 659.595 0,20 0,12
B-3 700.000 70.665 216.689 35,61% -158.409 356.422 372.431 485.818 0,33 0,19
B-4 700.000 151.971 237.486 24,24% -165.951 390.630 415.997 549.848 0,64 0,37
B-5 800.000 129.524 301.998 32,67% -203.937 496.743 501.766 643.681 0,43 0,26
B-6 700.000 264.494 202.908 9,80% -118.720 333.755 349.717 459.581 1,30 0,76
C-1 150.000 -200.254 12.282 100,00% -200.254 20.203 20.478 24.352 -16,30 -9,78
C-2 50.000 -66.743 3.952 100,00% -66.743 6.500 6.626 7.706 -16,89 -10,07
C-3 250.000 -301.722 22.823 100,00% -301.722 37.540 38.327 45.180 -13,22 -7,87
C-4 50.000 -66.742 2.039 100,00% -66.742 3.354 3.420 4.048 -32,74 -19,52
D-1 300.000 28.237 38.412 23,38% -21.125 63.183 61.679 75.593 0,74 0,46
D-2 250.000 82.803 35.790 0,51% -10.116 58.870 56.795 69.206 2,31 1,46
D-3 300.000 51.122 37.873 8,00% -14.604 62.296 59.593 72.121 1,35 0,86
E-1 250.000 125.284 69.226 2,01% -18.145 113.867 104.111 125.515 1,81 1,20
E-2 300.000 255.055 250.955 12,29% -72.386 412.785 331.171 383.446 1,02 0,77
Total 15.860.000 2.951.622 - - - - - - - -
Tabela 1 – Possibilidades de Projetos de Investimento e suas Medidas e Indicadores.
Na tabela acima pode ser observado que o investimento total de todos os projetos é mais do
que o dobro da restrição de capital da empresa. Os projetos da categoria A, de uma forma
geral, possuem os maiores valores de investimentos, bem como os maiores valores de VPL e
de risco (desvio-padrão). Os projetos da categoria C apresentam VPLs negativos, pois são
projetos de infra-estrutura, e por outro lado são aqueles que possuem menor risco. Todos os
51
projetos apresentaram probabilidade de ocorrer VPL menor que zero, ou seja, existe a
possibilidade de que todos os projetos individualmente possam destruir valor para empresa.
Embora os projetos da categoria A apresentem os maiores VPLs, estes projetos apresentam
valores do VPL Condicional elevados. Por exemplo, o projeto A-1 possui um VPL esperado
de $ 384,34 milhões; por outro lado este projeto possui um VPL Condicional de $ - 200,23
milhões. Isto significa que dado que o VPL desse projeto seja negativo, o valor do seu VPL
será em média de $ -200,23 milhões; em outras palavras esse projeto estará destruindo valor
para companhia em média de $ 200,23 milhões, caso o VPL desse projeto seja negativo. O
VaR Normal e o VaR estimado através da distribuição da simulação são praticamente
idênticos. Isso é devido ao fato da distribuição de probabilidade estimada para os VPLs de
cada projeto está se aproximando de uma Normal. Os projetos da categoria A e B possuem os
maiores valores do CVaR. Observando os dois últimos indicadores IRRR1 e o IRRR2, os
quais tem como objetivo apontar a relação relativa de uma unidade de valor sobre uma
unidade de risco, ambos ordenam de forma crescente ou decrescente os projetos de forma
semelhante.
Na tabela a seguir poderá ser observada a matriz de correlação estimada para os projetos de
investimento.
A-1 A-2 A-3 A-4 A-5 A-6 A-7 A-8 B-1 B-2 B-3 B-4 B-5 B-6 C-1 C-2 C-3 C-4 D-1 D-2 D-3 E-1 E-2
A-1 1,000 0,830 0,825 0,768 0,849 0,846 0,742 0,753 -0,529 0,104 -0,531 -0,531 0,109 -0,538 0,003 0,017 -0,014 0,028 0,005 0,001 0,014 -0,005 0,001
A-2 0,830 1,000 0,826 0,776 0,858 0,839 0,755 0,760 -0,519 0,102 -0,516 -0,529 0,114 -0,528 0,007 0,011 -0,014 0,024 0,008 0,005 0,015 -0,008 0,005
A-3 0,825 0,826 1,000 0,764 0,846 0,840 0,741 0,751 -0,530 0,096 -0,531 -0,529 0,105 -0,542 0,000 0,010 -0,010 0,023 0,008 0,003 0,022 0,000 -0,004
A-4 0,768 0,776 0,764 1,000 0,793 0,775 0,691 0,702 -0,482 0,098 -0,479 -0,485 0,102 -0,501 0,007 0,023 -0,011 0,021 0,007 0,012 0,016 -0,009 0,001
A-5 0,849 0,858 0,846 0,793 1,000 0,858 0,771 0,776 -0,535 0,108 -0,528 -0,535 0,114 -0,546 0,002 0,011 -0,008 0,023 0,005 0,009 0,023 -0,008 -0,002
A-6 0,846 0,839 0,840 0,775 0,858 1,000 0,753 0,745 -0,566 0,101 -0,569 -0,566 0,117 -0,585 0,006 0,012 -0,021 0,020 0,004 0,006 0,013 -0,004 0,004
A-7 0,742 0,755 0,741 0,691 0,771 0,753 1,000 0,686 -0,465 0,087 -0,469 -0,467 0,091 -0,486 0,017 0,010 -0,011 0,024 0,004 0,008 0,025 -0,012 -0,006
A-8 0,753 0,760 0,751 0,702 0,776 0,745 0,686 1,000 -0,463 0,095 -0,447 -0,461 0,093 -0,470 0,007 0,021 -0,011 0,011 0,006 -0,009 0,018 0,009 -0,005
B-1 -0,529 -0,519 -0,530 -0,482 -0,535 -0,566 -0,465 -0,463 1,000 -0,072 0,388 0,379 -0,070 0,401 -0,005 0,006 -0,001 -0,011 -0,001 -0,007 -0,002 0,021 -0,004
B-2 0,104 0,102 0,096 0,098 0,108 0,101 0,087 0,095 -0,072 1,000 -0,052 -0,070 0,005 -0,078 -0,002 -0,009 -0,001 -0,004 -0,018 0,008 -0,007 -0,002 -0,002
B-3 -0,531 -0,516 -0,531 -0,479 -0,528 -0,569 -0,469 -0,447 0,388 -0,052 1,000 0,373 -0,060 0,397 -0,005 -0,017 0,001 -0,011 -0,002 0,002 -0,020 0,009 -0,003
B-4 -0,531 -0,529 -0,529 -0,485 -0,535 -0,566 -0,467 -0,461 0,379 -0,070 0,373 1,000 -0,067 0,394 0,003 -0,014 0,005 -0,011 0,012 -0,008 -0,006 -0,008 0,001
B-5 0,109 0,114 0,105 0,102 0,114 0,117 0,091 0,093 -0,070 0,005 -0,060 -0,067 1,000 -0,068 -0,002 -0,004 0,018 0,010 -0,005 -0,002 -0,009 0,009 0,004
B-6 -0,538 -0,528 -0,542 -0,501 -0,546 -0,585 -0,486 -0,470 0,401 -0,078 0,397 0,394 -0,068 1,000 0,006 -0,005 0,000 -0,005 0,014 0,004 -0,011 0,003 -0,018
C-1 0,003 0,007 0,000 0,007 0,002 0,006 0,017 0,007 -0,005 -0,002 -0,005 0,003 -0,002 0,006 1,000 -0,013 0,006 0,003 0,005 -0,012 -0,010 0,004 0,006
C-2 0,017 0,011 0,010 0,023 0,011 0,012 0,010 0,021 0,006 -0,009 -0,017 -0,014 -0,004 -0,005 -0,013 1,000 -0,011 -0,005 0,005 0,008 0,007 -0,014 -0,004
C-3 -0,014 -0,014 -0,010 -0,011 -0,008 -0,021 -0,011 -0,011 -0,001 -0,001 0,001 0,005 0,018 0,000 0,006 -0,011 1,000 0,014 0,001 0,006 -0,005 0,000 -0,001
C-4 0,028 0,024 0,023 0,021 0,023 0,020 0,024 0,011 -0,011 -0,004 -0,011 -0,011 0,010 -0,005 0,003 -0,005 0,014 1,000 0,008 -0,006 -0,015 -0,002 0,006
D-1 0,005 0,008 0,008 0,007 0,005 0,004 0,004 0,006 -0,001 -0,018 -0,002 0,012 -0,005 0,014 0,005 0,005 0,001 0,008 1,000 0,157 0,173 0,003 -0,004
D-2 0,001 0,005 0,003 0,012 0,009 0,006 0,008 -0,009 -0,007 0,008 0,002 -0,008 -0,002 0,004 -0,012 0,008 0,006 -0,006 0,157 1,000 0,159 -0,013 -0,011
D-3 0,014 0,015 0,022 0,016 0,023 0,013 0,025 0,018 -0,002 -0,007 -0,020 -0,006 -0,009 -0,011 -0,010 0,007 -0,005 -0,015 0,173 0,159 1,000 0,024 0,005
E-1 -0,005 -0,008 0,000 -0,009 -0,008 -0,004 -0,012 0,009 0,021 -0,002 0,009 -0,008 0,009 0,003 0,004 -0,014 0,000 -0,002 0,003 -0,013 0,024 1,000 -0,001
E-2 0,001 0,005 -0,004 0,001 -0,002 0,004 -0,006 -0,005 -0,004 -0,002 -0,003 0,001 0,004 -0,018 0,006 -0,004 -0,001 0,006 -0,004 -0,011 0,005 -0,001 1,000
Tabela 2 – Matriz de Correlação dos Projetos de Investimento.
52
Pode-se observar na matriz de correlação dos projetos de investimento, que existem projetos
com correlação positiva, correlação negativa, e correlação praticamente igual a zero. Como
era de se esperar os projetos da categoria E apresentaram correlação praticamente igual a zero,
pois os projetos dessa categoria são projetos independentes, bem como os projetos da
categoria C, pois estes são projetos de infra-estrutura. Os projetos da categoria A possuem
correlação positiva alta entre eles. Já a maioria dos projetos da categoria B possuem
correlação negativa com os projetos da categoria A.
Neste capítulo foram apresentadas as características, os segmentos de negócio, e as restrições
em que uma empresa poderia possuir. Através dessas características, foram simulados e
quantificados diversos projetos e restrições. Conhecendo o objetivo da empresa e de suas
restrições é possível estruturar e aplicar o modelo de otimização da relação risco e retorno
para a seleção de projetos de investimento.
No capítulo a seguir serão apresentados os resultados das otimizações em diversos casos ou
situações. Também serão apresentados a Fronteira Eficiente das carteiras de projetos para
cada caso, bem como suas medidas e indicadores, que auxiliariam na seleção de uma carteira
de projetos de investimento ótima e eficiente para a empresa.
53
5 RESULTADOS
Neste capítulo serão apresentados os resultados do modelo de otimização da relação risco e
retorno para a seleção de projetos de investimento que compõem a Fronteira Eficiente para as
carteiras de projetos de investimento ótimas e eficientes. Serão também fornecidos os
indicadores e medidas que auxiliam na escolha da carteira de projetos que melhor se adequam
ao perfil de risco da empresa. Em primeiro lugar serão apresentados os resultados do modelo
com todas as restrições descritas no capítulo anterior e, em seguida, o modelo sem restrição.
Também será apresentado, de uma forma mais sucinta, o modelo em diversos casos ou
situações de restrição, aonde poderão ser comparados os formatos das Fronteiras Eficientes de
carteira de projetos. Por fim serão mostrados o efeito da alteração da taxa de desconto sobre a
Fronteira Eficiente, bem como o efeito na Fronteira Eficiente, caso seja utilizado o VaR como
medida de risco, e o efeito da distribuição de probabilidade dos erros dos processos
estocásticos simulados nas carteiras ótimas e eficientes. Não será tratado neste trabalho como
diferentes atitudes ou perfil frente ao risco afetam a escolha.
Após estimar o VPL, o desvio-padrão de cada projeto, matriz de covariância dos projetos,
determinar a função objetivo da empresa e suas restrições, o problema de otimização pode ser
resolvido através de métodos numéricos (algoritmos) de Programação Quadrática. O
problema a ser resolvido, neste capítulo, foi descrito detalhadamente no capítulo anterior.
Poderá ser observado como o modelo resolve, de uma forma simples, um problema complexo
54
com muitas informações. Neste trabalho foi utilizado o programa de computador Risk
Optmizer 1.0 da Palisade Corporation para obter as soluções da carteiras de projetos ótimas e
eficientes.
5.1 O MODELO DE OTIMIZAÇÃO COM TODAS RESTRIÇÕES
Nesta seção será resolvido o problema considerando todas as restrições descritas no capítulo
anterior. Dentre todas as restrições já mencionadas, vale destacar que, neste caso, a empresa
tem a alternativa de fazer ou não cada projeto por inteiro (binário – 0 ou 1), com exceção do
projeto C-2 que é obrigatório.
No gráfico abaixo poderão ser observadas todas as soluções possíveis de carteiras de projetos
de investimento ótimas e eficientes, bem como o formato da Fronteia Eficiente.
(500)
-
500
1.000
1.500
2.000
2.500
(100) 200 500 800 1.100
VP
L (
Reto
rno
) $ M
ilh
are
s
Desvio - Padrão (Risco) $ Milhares
Figura 9- Carteiras de Projetos de Investimento – Fronteira Eficiente com Todas Restrições.
Observa-se que neste caso existem 12 possíveis carteiras ótimas e eficientes para que uma
delas seja selecionada pela empresa. Uma carteira apresenta VPL negativo, isto é devido ao
55
fato que nesta carteira a empresa só implementaria o projeto de infra-estrutura C-2. Como a
empresa, neste caso, só tem a alternativa de fazer ou não o projeto, isso faz com que a
Fronteira Eficiente não seja contínua, e sim discreta, e conjuntamente com as demais
restrições faz com que o formato da Fronteira Eficiente deixe de possuir a forma estritamente
côncava, e tenha sim um formato “imperfeito”.
Para selecionar a carteira que melhor se adequaria ao perfil de risco da empresa (neutro,
avesso, ou propenso), não bastaria somente observar a Fronteira Eficiente, pois somente ela
não traria todas informações que auxiliam na escolha de uma carteira de projetos de
investimento. Para isso haveria necessidade de se calcular ou estimar um conjunto de
medidas e indicadores que fornecem maiores informações sobre as carteiras ótimas e
eficientes. Na tabela, apresentada a seguir, poderá ser observado todas as medidas e
indicadores, propostos no decorrer deste trabalho, para todas as 12 carteiras ótimas e
eficientes.
Carteira
Eficiente
Investimento
$ mil
VPL
$ mil
Desvio-
Padrão
$ mil
P(VPL<0)
VPL
Condicional
E[VPL I VPL<0]
$ mil
VaR 5%
Normal
$ mil
VaR 5%
$ mil
CVaR 5%
$ mil
IRRR1
VPL / Desvio-
Padrão
IRRR2
VPL / VaR
5%
1 50.000 -66.743 3.952 100,00% -66.743 6.500 6.626 7.706 -16,89 -10,07
2 300.000 16.060 36.039 33,67% -22.193 59.282 57.063 69.832 0,45 0,28
3 550.000 141.344 77.574 2,38% -23.152 127.604 120.445 146.387 1,82 1,17
4 1.250.000 405.838 217.526 3,62% -113.686 357.816 374.761 483.796 1,87 1,08
5 2.210.000 710.538 279.329 0,34% -71.127 459.478 446.900 554.203 2,54 1,59
6 2.950.000 1.062.877 297.580 0,02% -96.101 489.500 487.578 607.463 3,57 2,18
7 3.250.000 1.317.932 387.617 0,00% - 637.604 598.177 741.077 3,40 2,20
8 5.260.000 1.531.974 443.529 0,04% -98.449 729.577 722.873 918.985 3,45 2,12
9 5.560.000 1.787.030 508.282 0,03% -67.613 836.090 804.568 1.020.578 3,52 2,22
10 6.410.000 1.790.130 656.823 0,24% -257.416 1.080.432 1.058.432 1.320.463 2,73 1,69
11 6.060.000 1.906.877 773.287 0,55% -233.583 1.272.008 1.232.742 1.534.142 2,47 1,55
12 5.750.000 2.041.524 938.114 1,15% -340.378 1.543.137 1.479.036 1.864.240 2,18 1,38
Tabela 3 – Carteiras de Projetos Ótimas e Eficientes com todas restrições – Medidas e Indicadores.
Podem ser observadas, na tabela abaixo, as composições dos projetos que fazem parte de cada
carteira ótima e eficiente.
56
Carteira
EficienteA-1 A-2 A-3 A-4 A-5 A-6 A-7 A-8 B-1 B-2 B-3 B-4 B-5 B-6 C-1 C-2 C-3 C-4 D-1 D-2 D-3 E-1 E-2
1 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
2 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00
3 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 1,00 0,00
4 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 1,00 0,00
5 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 1,00 0,00
6 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 1,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 1,00 0,00
7 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 1,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 1,00 1,00
8 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 1,00 0,00 1,00 1,00 0,00 1,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 1,00 0,00
9 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 1,00 0,00 1,00 1,00 0,00 1,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 1,00 1,00
10 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 1,00 0,00 1,00 1,00 0,00 1,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00
11 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 1,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 1,00 1,00
12 1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 1,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 1,00 1,00
Tabela 4 – Carteiras de Projetos Ótimas e Eficientes com todas restrições – Composição da Carteira.
Na tabela acima pode ser notado que a empresa investiria entre $ 50 milhões a $ 6,4 bilhões,
sendo que o VPL estaria entre $-66,7 milhões a $ 2,0 bilhões. Pode ser observado que existe
uma carteira de projeto com a probabilidade do VPL ser negativo igual 0, isto é devido ao
efeito da diversificação. Caso sejam observados todos os projetos individualmente no capítulo
anterior, pode-se notar que todos os projetos individuais apresentaram probabilidade de o
VPL ser negativo maior que 0. Neste caso a diversificação eliminou, por completo, o risco do
VPL de uma carteira ser negativo, ou seja, essa carteira não destruiria valor para a empresa
em nenhuma hipótese, e sim só adicionaria valor para a companhia. Observa-se também que a
carteira de projeto de maior VPL apresenta somente 1,15% de probabilidade do seu VPL ser
negativo. Por outro lado, esta carteira possui um VPL Condicional de $ -340 milhões, e
apresenta o maior desvio-padrão, maior VaR a 5%, maior CVaR do que as demais carteiras.
Os seus indicadores relativos retorno e risco (IRRR1 e IRRR2) são moderados em comparação
com as outras carteiras. Nota-se que o VaR gaussiano e o VaR estimado através dos dados da
simulação são semelhantes, isto é devido ao fato da distribuição de probabilidade das carteiras
simuladas se aproximar de uma função de probabilidade Normal. A carteira de projetos de
investimento ótima e eficiente de maior valor é composta somente por 9 projetos dentre os 23
projetos possíveis, ou seja cerca de somente 40% dos possíveis projetos da empresa foram
57
selecionados. Essa carteira ou conjunto de projetos respeita todas as restrições impostas à
empresa.
O objetivo da empresa é maximizar valor e não minimizar risco, entretanto, a decisão sobre
qual carteira de projetos de investimento a empresa deve selecionar dependerá do seu perfil de
risco. Os indicadores acima auxiliam e orientam, de forma racional, para que uma carteira
possa ser escolhida. Seria bom lembrar que todas as 12 carteiras de projetos expostas acima
são carteiras ótimas e eficientes, ou seja a relação risco e retorno está maximizada para cada
nível de risco, ao trocar uma carteira por outra, necessariamente o retorno (VPL) e o risco
(desvio-padrão) estarão aumentando ou diminuindo juntos, não existindo nenhuma outra
carteira que possa dominá-las ou superá-las em seu nível de risco e retorno.
5.2 O MODELO DE OTIMIZAÇÃO SEM RESTRIÇÕES
Nesta seção será analisado o problema de escolha ótima de carteira sem se considerar
nenhuma restrição de capital ou física. A restrição de risco é necessária somente para que
sejam encontradas as carteiras de projetos eficientes e, através dela, ser construída a Fronteira
Eficiente. Caso ela não seja considerada, o problema passa a ser um problema de
Programação Linear tradicional, aonde somente será encontrada a carteira de valor máximo, a
qual não é necessariamente eficiente, pois a Programação Linear tradicional poderá fornecer
mais de uma solução que maximize o VPL da carteira, sendo que cada solução poderá ter
riscos diferentes.
A restrição que se refere à proporção do projeto a ser realizado, neste caso, poderá variar de
forma contínua de 0 a 1. Isto significará que se um projeto obtiver uma proporção fracionária,
58
ele será implementado pela empresa em sociedade com terceiros, e a fração indicará o
percentual de participação da empresa no projeto.
No gráfico abaixo poderão ser observadas todas as soluções possíveis de carteiras de projetos
de investimento ótimas e eficientes, bem como o formato da Fronteia Eficiente.
(500)
-
500
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
4.000
(100) 200 500 800 1.100 1.400 1.700 2.000 2.300 2.600
VP
L $
Mil
hare
s
Desvio - Padrão $ Milhares
Figura 10- Carteiras de Projetos de Investimento – Fronteira Eficiente sem Restrições e Contínua.
Observa-se que neste caso existem 21 possíveis carteiras ótimas e eficientes, quase o dobro de
possibilidades de investimento em relação ao caso anterior com todas as restrições. Neste caso
a Fronteira Eficiente inicia-se nas abscissas, aonde o VPL da carteira é zero bem como o seu
risco, pois não existe a restrição obrigatória para nenhum projeto de infra-estrutura de VPL
negativo. Neste caso a empresa poderia optar por não realizar nenhum investimento, sendo
assim o capital não investido seria devolvido para os seus detentores. Como nesta situação
não existe nenhuma restrição de capital ou física, o formato da Fronteira Eficiente é de uma
função côncava e contínua, semelhante à Fronteira Eficiente original para ativos financeiros.
59
A continuidade da Fronteira Eficiente é devido à possibilidade da empresa fazer os projetos
em sociedade, neste caso o modelo indicaria participação ideal da empresa em cada projeto
que compõe uma carteira de projeto ótima e eficiente.
Como já afirmado anteriormente para selecionar-se a carteira que melhor se adeque ao perfil
de risco da empresa, não basta somente observar a Fronteira Eficiente, a qual por si só não
traz todas informações que auxiliam na escolha de uma carteira de projetos de investimento.
Para isso há necessidade de se calcular ou estimar um conjunto de medidas e indicadores que
fornecem maiores informações sobre as carteiras ótimas e eficientes.
A seguir será apresentada uma tabela com todas as medidas e indicadores, propostos no
decorrer deste trabalho, para todas as 21 carteiras ótimas e eficientes.
Carteira
Eficiente
Investimento
$ mil
VPL
$ mil
Desvio-
Padrão
$ mil
P(VPL<0)
VPL
Condicional
E[VPL I VPL<0]
$ mil
VaR 5%
Normal
$ mil
VaR 5%
$ mil
CVaR 5%
$ mil
IRRR1
VPL /
Desvio-
Padrão
IRRR2
VPL / VaR
5%
1 0 0 0 - - - - - - -
2 1.720.866 581.820 120.464 0,00% - 198.156 194.725 244.984 4,83 2,99
3 3.451.170 1.092.394 240.928 0,00% - 396.312 392.409 497.860 4,53 2,78
4 4.856.081 1.557.191 361.392 0,00% - 594.467 583.540 733.764 4,31 2,67
5 6.178.821 1.900.748 481.857 0,00% - 792.623 777.743 970.347 3,94 2,44
6 7.082.123 2.171.839 602.321 0,02% -155.595 990.779 962.728 1.202.346 3,61 2,26
7 7.801.032 2.357.800 722.785 0,05% -239.147 1.188.935 1.154.275 1.449.537 3,26 2,04
8 8.434.314 2.513.908 843.249 0,11% -307.344 1.387.091 1.358.704 1.696.653 2,98 1,85
9 9.067.690 2.654.940 963.713 0,23% -305.857 1.585.246 1.558.997 1.945.289 2,75 1,70
10 9.642.075 2.786.920 1.084.177 0,39% -361.314 1.783.402 1.748.299 2.190.194 2,57 1,59
11 10.215.049 2.910.428 1.204.642 0,62% -416.873 1.981.558 1.946.928 2.432.092 2,42 1,49
12 10.769.556 3.025.173 1.325.106 0,95% -436.882 2.179.714 2.143.719 2.671.905 2,28 1,41
13 11.296.857 3.134.289 1.445.570 1,31% -479.180 2.377.870 2.333.486 2.909.410 2,17 1,34
14 11.882.562 3.236.962 1.566.034 1,69% -535.882 2.576.025 2.527.163 3.150.016 2,07 1,28
15 12.450.982 3.333.970 1.686.498 2,16% -579.289 2.774.181 2.712.598 3.389.560 1,98 1,23
16 12.999.024 3.427.501 1.806.962 2,68% -628.605 2.972.337 2.909.369 3.628.261 1,90 1,18
17 13.497.472 3.479.482 1.927.427 3,19% -723.884 3.170.493 3.101.799 3.867.818 1,81 1,12
18 13.954.816 3.515.198 2.047.891 3,90% -791.813 3.368.649 3.295.742 4.107.164 1,72 1,07
19 14.416.802 3.545.881 2.168.355 4,72% -851.876 3.566.804 3.489.644 4.348.572 1,64 1,02
20 14.895.568 3.566.795 2.288.819 5,56% -927.869 3.764.960 3.674.247 4.591.189 1,56 0,97
21 15.360.000 3.587.083 2.409.283 6,24% -1.026.792 3.963.116 3.877.599 4.832.612 1,49 0,93
Tabela 5 – Carteiras de Projetos Ótimas e Eficientes sem restrições contínua – Medidas e Indicadores.
Na tabela abaixo podem ser observadas as composições dos projetos que fazem parte de cada
carteira ótima e eficiente.
60
Carteira
EficienteA-1 A-2 A-3 A-4 A-5 A-6 A-7 A-8 B-1 B-2 B-3 B-4 B-5 B-6 C-1 C-2 C-3 C-4 D-1 D-2 D-3 E-1 E-2
1 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
2 0,00 0,02 0,00 0,00 0,00 0,36 0,00 0,00 0,13 0,01 0,14 0,19 0,02 0,37 0,00 0,00 0,00 0,00 0,24 1,00 0,69 0,68 0,11
3 0,01 0,11 0,00 0,01 0,01 0,74 0,00 0,01 0,32 0,02 0,40 0,51 0,02 0,74 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 1,00 0,97 0,22
4 0,17 0,27 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,55 0,05 0,58 0,79 0,11 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,48
5 0,35 0,54 0,00 0,00 0,07 1,00 0,00 0,00 0,88 0,08 0,92 1,00 0,18 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,76
6 0,52 0,92 0,00 0,00 0,03 1,00 0,00 0,00 1,00 0,13 1,00 1,00 0,34 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
7 0,80 1,00 0,00 0,00 0,10 1,00 0,00 0,00 1,00 0,19 1,00 1,00 0,54 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
8 1,00 1,00 0,00 0,00 0,26 1,00 0,00 0,00 1,00 0,24 1,00 1,00 0,73 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
9 1,00 1,00 0,00 0,00 0,59 1,00 0,00 0,00 1,00 0,30 1,00 1,00 0,91 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
10 1,00 1,00 0,00 0,03 0,91 1,00 0,00 0,00 1,00 0,36 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
11 1,00 1,00 0,00 0,29 1,00 1,00 0,00 0,00 1,00 0,44 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
12 1,00 1,00 0,00 0,61 1,00 1,00 0,00 0,00 1,00 0,53 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
13 1,00 1,00 0,00 0,91 1,00 1,00 0,00 0,00 1,00 0,61 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
14 1,00 1,00 0,00 1,00 1,00 1,00 0,00 0,24 1,00 0,74 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
15 1,00 1,00 0,00 1,00 1,00 1,00 0,00 0,59 1,00 0,85 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
16 1,00 1,00 0,00 1,00 1,00 1,00 0,00 0,91 1,00 0,95 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
17 1,00 1,00 0,31 1,00 1,00 1,00 0,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
18 1,00 1,00 0,72 1,00 1,00 1,00 0,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
19 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,14 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
20 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,58 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
21 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
Tabela 6 – Carteiras de Projetos Ótimas e Eficientes sem restrições contínua – Composição da Carteira.
Na tabela acima pode ser notado que a empresa investiria entre $ 0 milhões a $ 15,3 bilhões,
sendo que o VPL seria entre $ 0 milhões a $ 3,6 bilhões (maiores que o do caso anterior).
Pode ser observado que existem várias carteiras de projeto com probabilidade do VPL ser
negativo igual 0, anteriormente era apenas uma. Observa-se também que a carteira de projeto
de maior VPL apresenta 6,24% de probabilidade do seu VPL ser negativo. Por outro lado,
esta carteira possui um VPL Condicional de $ -1,0 bilhões, e apresenta o maior desvio-padrão,
maior VaR a 5%, maior CVaR do que as demais carteiras, todos esses indicadores são
maiores que os anteriores. Os seus indicadores relativos retorno e risco (IRRR1 e IRRR2) são
modestos em relação às outras carteiras. Novamente o VaR normal e o VaR estimado, através
dos dados da simulação, são semelhantes. A carteira de projetos de investimento ótima e
eficiente de maior valor é composta por 19 projetos inteiros dentre os 23 projetos possíveis,
somente os projetos de valor negativo não foram selecionados, pois não existe nenhuma
restrição imposta à empresa. A empresa implantaria todos os projetos sozinha (sem
sociedade), caso optasse por essa carteira. Na composição de diversas carteiras de projetos
pode-se notar que alguns projetos seriam realizados em sociedade.
61
Novamente, o objetivo da empresa é maximizar valor e não minimizar risco, entretanto a
decisão sobre qual carteira de projetos de investimento a empresa deveria selecionar
dependerá do seu perfil de risco. Os indicadores acima auxiliam e orientam de forma racional
para que uma carteira possa ser escolhida. Todas as 21 carteiras de projetos expostas acima
são carteiras ótimas e eficientes.
5.3 OS EFEITOS DAS RESTRIÇÕES SOBRE A FRONTEIRA EFICIENTE
Nesta seção serão apresentados o formato e os efeitos da Fronteira Eficiente em mais três
casos de restrição, além dos dois caso já apresentados. Os casos serão os seguintes:
a) Caso 1: Sem nenhuma restrição e a proporção de participação do projeto varia
continuamente entre 0 e 1.
b) Caso 2: Sem nenhuma restrição e a proporção de participação do projeto varia de
forma binária - 0 ou 1.
c) Caso 3: Apenas a restrição de capital e a proporção de participação do projeto varia
continuamente entre 0 e 1.
d) Caso 4: Apenas a restrição de capital e a proporção de participação do projeto varia de
forma binária - 0 ou 1.
e) Caso 5: Todas as restrições e a proporção de participação do projeto varia de forma
binária - 0 ou 1.
No gráfico abaixo pode ser observado a Fronteira Eficiente para cada caso.
62
(500)
-
500
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
4.000
(100) 200 500 800 1.100 1.400 1.700 2.000 2.300 2.600
VP
L $
Milh
are
s
Desvio - Padrão $ Milhares
Caso 1: Sem Restrições - Contínuo
Caso 2: Sem Restrições - Binário
Caso 3: Apenas Restrição de Capital - Contínuo
Caso 4: Apenas Restrição de Capital - Binário
Caso 5: Todas Restrições - Binário
Figura 11- Carteiras de Projetos de Investimento – Fronteira Eficiente em Diversos Casos de Restrições.
Observando nitidamente o gráfico acima podem ser constatados alguns efeitos na Fronteira
Eficiente. O primeiro efeito a ser observado é que quanto menor for o número de restrições,
maior serão as possibilidades de carteiras de projetos de investimentos. As restrições, além de
alterarem o formato, também contraem a Fronteira Eficiente. Segundo, os casos que permitem
à empresa buscar uma sociedade a fim de implementar alguns projetos, demonstraram que
suas fronteiras dominam as dos casos equivalentes sem a possibilidade de que seja realizada
uma sociedade (ou seja a empresa faz sozinha ou não o projeto). Este fato indica que as
empresas que formam sociedades com outras possuem maiores possibilidades de
investimentos, podem possuir carteiras de investimentos (projetos de investimento) com
retornos ou agregação de valor maior, para um mesmo nível de risco, que empresas que não
se associam. Por outro lado, uma empresa ao associar-se com outras poderão ocorrer-lhe
outras incertezas, como por exemplo a possibilidade de insolvência de um sócio poderia
63
prejudicar o desempenho de um projeto. Em nenhum momento, neste trabalho, foi
considerada uma possível incerteza de que à constituição de uma sociedade pudesse
prejudicar um projeto.
Portanto, mesmo que seja factível modelar e incluir inúmeras restrições no modelo de
otimização, deve-se ter em mente que quanto maior o número de restrições, menor será
provavelmente o resultado final da função objetivo, neste caso maximizar o VPL, ou seja,
quanto mais restrições existirem provavelmente menores serão os possíveis valores das
carteiras ótimas de projetos. Sendo assim, deve-se sempre verificar se existe alguma restrição
que pode ser excluída, ou se a empresa poderá trabalhar para removê-la ou superá-la. O
modelo deve refletir as restrições que existem de fato, e não se devem incluir restrições com a
finalidade de atingir algumas metas desejáveis, como participação de mercado, ou metas de
produção. Essas restrições não são restrições reais (de capital ou física), entretanto poderiam
reduzir o valor da carteira ou das possibilidades de carteiras, afastando assim, a oportunidade
de seleção de uma carteira ótima e eficiente de projetos que alcançasse o objetivo principal da
empresa, que é de maximizar valor sujeito a um nível de risco.
5.4 OS EFEITOS DA TAXA DE DESCONTO SOBRE A FRONTEIRA EFICIENTE
Nesta seção serão analisados os efeitos da alteração da taxa de corte (taxa de desconto) sobre
a Fronteira Eficiente e a composição das carteiras ótimas e eficientes. Será apresentado o caso
com todas as restrições com mais duas taxas de desconto, além daquela já utilizada
anteriormente. Originalmente foi utilizada uma taxa de corte de 10% ao ano; a seguir será
apresentado o gráfico com a Fronteira Eficiente utilizando as taxas de corte de 7% ao ano e de
15% ao ano.
64
-1.000
-500
0
500
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
4.000
-100 100 300 500 700 900 1.100 1.300
VP
L $
Milh
are
s
Desvio - Padrão $ Milhares
Taxa de Desconto 7% Taxa de Desconto 15%
Taxa de Desconto 10%
Figura 12- Carteiras de Projetos de Investimento – Fronteira Eficiente com Diversas Taxas de Desconto.
Observa-se no gráfico acima que o formato da Fronteira Eficiente sofre alterações quando se
utilizam taxas de desconto diferentes. O número de possíveis carteiras ótimas e eficientes
também se modifica. Esses efeitos ocorrem basicamente por duas razões: i) quanto maior a
taxa de desconto, menor o VPL dos projetos, e por sua vez menor o VPL das carteiras ótimas
e eficientes; e ii) quanto maior a taxa de desconto, menor será o desvio-padrão dos projetos, e
por sua vez menor o desvio-padrão das carteiras. O VPL por sua definição possui uma relação
inversa em relação à taxa de desconto. Já a relação do desvio-padrão do VPL estimado com a
taxa de desconto é exatamente o oposto. Isto é devido a uma das propriedades do desvio-
padrão de uma variável qualquer. O desvio-padrão de uma variável aumenta (diminui) tantas
vezes quantas for multiplicada (dividida) essa variável por uma constante maior do que um.
Como os VPLs simulados diminuem (aumentam) quando a taxa de desconto aumenta
(diminui), isso provoca um efeito semelhante como se a variável VPL simulado fosse dividida
(multiplicada) por uma constante, fazendo, portanto, o desvio-padrão do VPL estimado
65
diminuir (aumentar). Adicionalmente, pode-se destacar que as composições das carteiras
ótimas e eficientes podem sofrer modificações quando se altera a taxa de corte.
5.5 A FRONTEIRA EFICIENTE UTILIZANDO O VaR COMO MEDIDA DE RISCO
Nesta seção será analisado o formato da Fronteira Eficiente caso a medida de risco seja o VaR
e não o desvio-padrão (no eixo x). Será apresentado no gráfico abaixo, a comparação da
fronteira utilizando o desvio-padrão e o VaR para os casos 1 e 5, pois estes dois casos são os
casos extremos, um sem restrições e podendo sua participação no projeto variar
continuamente entre 0 e 1, e o outro com todas restrições, podendo sua participação no projeto
ser somente 0 ou 1.
(500)
-
500
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
4.000
(100) 200 500 800 1.100 1.400 1.700 2.000 2.300 2.600 2.900 3.200 3.500 3.800
VP
L $
Milh
are
s
Desvio-Padrão / VaR @ 5% $ - Milhares
Cenário 1: Sem Restrições Contínuo - Desvio-Padrão Cenário 1: Sem Restrições Contínuo - VaR @ 5%
Cenário 5: Todas Restrições - Desvio-Padrão Cenário 5: Todas Restrições - VaR @ 5%
Figura 13- Fronteira Eficiente comparando Desvio-Padrão e VaR.
Observando o gráfico acima pode-se notar que o retorno (VPL) das carteiras não se altera, e
principalmente o posicionamento das carteiras de projetos não se modifica relativamente. As
carteiras de projetos nos dois formatos de fronteira não sofreram nenhuma alteração, ou seja
nenhuma carteira de projeto passou a ser ineficiente. A Fronteira Eficiente basicamente foi
66
deslocada para direita, como se houvesse simplesmente uma mudança de escala no eixo x. A
razão disso é que o VaR Normal depende de um múltiplo do desvio-padrão, ou seja quanto
maior o desvio-padrão maior será o VaR. Sendo assim, não é possível haver nenhuma
alteração no ordenamento ou alteração da eficiência das carteiras de projetos, uma vez que o
retorno é o mesmo e a medida de risco (VaR) aumenta proporcionalmente na mesma
magnitude. Como o VaR simulado tendeu para uma Normal, o mesmo raciocínio acima é
válido. Por fim, neste caso é indiferente expressar a Fronteira Eficiente utilizando o desvio-
padrão ou o VaR como medida de risco, pois não houve nenhuma alteração de dominância
entre as carteiras.
5.6 OS EFEITOS DA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DOS ERROS DOS
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS NAS CARTEIRAS ÓTIMAS E EFICIENTES
Nesta seção serão analisados os efeitos nas carteiras ótimas e eficientes, e na Fronteira
Eficiente, caso seja utilizada outra distribuição de probabilidade diferente da Normal na
simulação dos erros ou ruídos ( ) dos processos estocásticos. Para essa análise foi utilizado o
caso com todas as restrições.
Originalmente os erros ou ruídos dos processos estocásticos foram simulados considerando
uma distribuição de probabilidade Normal. Nesta secção os erros foram simulados utilizando
a distribuição de probabilidade Logistic6, a qual apresenta “caudas” mais “grossas” ou
“pesadas” do que a distribuição Normal. Os erros simulados através da distribuição Logistic
possuem o mesmo valor esperado (zero) e o mesmo desvio-padrão de cada processo
estocástico considerado anteriormente, entretanto, apresentarão agora caudas mais “grossas”.
6 A distribuição de probabilidade Logistic possui curtose de 4,2, enquanto que a distribuição de probabilidade
Normal possui curtose de 3,0.
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Após terem sido novamente realizados a simulação e em seguida o processo de otimização
para construir a Fronteira Eficiente, tanto utilizando o desvio-padrão como o VaR como
medida de risco, foi constatado, neste caso, que a Fronteira Eficiente, o VPL e as medidas de
riscos das carteiras ótimas e eficientes não sofreram alterações significativas, menos o fato de
algumas carteiras terem apresentado o VPL Condicional e o CVAR maiores (em módulo) do
que as carteiras anteriores equivalentes. As composições das carteiras ótimas e eficientes
permaneceram exatamente as mesmas.
Adicionalmente, neste modelo de otimização pode-se ainda realizar outro tipo de análise.
Poderão ser quantificados o valor marginal e o risco marginal, de um novo projeto de
investimento na carteira de projetos de investimento da empresa. Para isso seria necessário
otimizar novamente a carteira de projetos com e sem esse novo projeto. Estimar-se-ia desta
forma o custo de oportunidade (risco e retorno) de não implementar um novo projeto. Por
outro lado, poder-se-ia alegar que alguns projetos são estratégicos para empresa e que
deveriam, por conseguinte ser implantados de qualquer forma. Assim poderia ser calculado o
custo de oportunidade (a perda de valor e ou aumento de risco) de implantar arbitrariamente
um projeto, que em princípio não seria selecionado na otimização.
Neste capítulo foram demonstrados diversos tipos de resultados, informações, e análise, que o
modelo de otimização de risco e retorno para projetos de investimento é capaz de realizar em
diversos e diferentes casos, ou ambientes de restrições. Adicionalmente, através do modelo, é
possível calcular ou estimar uma série de medidas e indicadores para auxiliar na tomada de
decisão racional, a qual deverá selecionar uma carteira de projetos ótima e eficiente para uma
empresa.
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CONCLUSÃO
A metodologia, o modelo, e os indicadores propostos e apresentados neste trabalho, permitem
e auxiliam uma empresa a selecionar, de forma racional, um conjunto ou carteira de projetos
de investimento ótima e eficiente. A carteira de projetos selecionada estará maximizando o
valor da empresa, respeitando o seu perfil de risco, bem como todas as diversas e possíveis
restrições de capital ou físicas que a empresa possa possuir.
O modelo de otimização da relação risco e retorno para seleção e priorização de projetos de
investimento para uma empresa, sujeita a restrições, é capaz de sintetizar e organizar um
conjunto enorme de variáveis e informações a respeito da empresa e de seus projetos, a fim de
proporcionar-lhe apenas um pequeno conjunto de possibilidades de carteiras de projetos de
investimento ótimas e eficientes dentre todas as alternativas de investimento possíveis. O
modelo de otimização risco e retorno permite que sejam modeladas inúmeras restrições,
fazendo com que seja ao mesmo tempo mais preciso e eficaz.
Entretanto, como qualquer outro modelo, em alguns momentos, sempre haverá necessidade de
algumas simplificações e sempre existirá alguma limitação, sem no entanto invalidar a sua
aplicação. Podem-se destacar algumas possíveis limitações desse modelo: i) quanto mais
complexo for o modelo, maior será o número de variáveis e dados de entrada, o que tornará o
tempo computacional mais longo; ii) como em qualquer modelo é necessário que os dados de
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entrada sejam de boa qualidade; e iii) dificuldade de se realizar o Backtesting para verificar se
o risco está sendo bem estimado ou não, pois os VPLs dos projetos e suas alterações ao longo
do tempo não são variáveis observáveis, pois são ativos não negociáveis. Para se realizar um
Backtesting seria necessário reestimar os VPLs dos projetos ao longo do tempo.
Para auxiliar e orientar na seleção de uma carteira de projetos de investimento ótima e
eficiente, em outras palavras, para auxiliar na determinação do perfil de risco da empresa,
foram propostos várias medidas e indicadores de retorno e risco. Dentre essas medidas e
indicadores da carteira de projetos podem-se destacar: o VaR; o CVaR; a probabilidade do
VPL da carteira de projetos ser negativa; e por fim os indicadores relativos de retorno e risco
(IRRR); e o Valor Presente Líquido Condicional (VPLC) da carteira de projetos de
investimento.
O modelo também permitirá que sejam quantificados o valor marginal e o risco marginal de
um novo projeto de investimento na carteira de projeto de investimento da empresa. Poderá
ser estimado ou calculado o custo de oportunidade (risco e retorno) de implementar ou não
um novo projeto.
Neste trabalho se mostrou a necessidade de considerar a relevância do risco no problema de
otimização e seleção de uma carteira de projetos para a empresa, o que não é realizado nos
problemas de otimização tradicionais para orçamentação de investimento. Desta forma, a
carteira ótima selecionada seria também uma carteira eficiente, pois a relação risco e retorno
também estaria otimizada É evidente que a empresa deve conhecer e avaliar o risco de sua
carteira selecionada não poder, eventualmente, remunerar devidamente o seu custo de capital..
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O modelo de otimização de seleção de uma carteira de projetos de investimento para a
empresa não deveria utilizar restrições que não existem de fato, pois isso poderia induzir a
empresa a selecionar uma carteira não otimizada de menor valor. A indicação de uma carteira
de projetos ótima e eficiente pelo modelo de otimização não substitui de forma alguma o
analista, pois será ele que deverá entender, interpretar os resultados, e principalmente detectar
possíveis resultados incoerentes que podem ser gerados. Em havendo incoerências, fica claro
que o modelo não está representando bem a realidade, razão pela qual deve ser revisto e
atualizado.
Por fim, a metodologia e o modelo de otimização proposto pode ser considerado como um
modelo adequado para o controle de risco de médio e longo prazo capaz de orientar e eliminar
riscos excessivos de uma empresa, e ao mesmo tempo possibilita a maximização do seu valor
otimizando a relação risco e retorno.
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