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FACULDADES IBMEC PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA EM

ADMINISTRAÇÃO E ECONOMIA

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO PROFISSIONALIZANTE

EM ADMINISTRAÇÃO

AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS EM LUÍS DO

MARANHÃO: EMPREGO DE REGRESSÃO LINEAR

MÚLTIPLA E “FUZZY LOGIC”

JOSÉ CARLOS RIBEIRO

ORIENTADORA: PROFª. DRª. MARIA AUGUSTA SOARES MACHADO

Rio de Janeiro, 19 de agosto de 2004

Dedico este trabalho a minha esposa Silvana e aos

meus filhos Lorenna Alink e Carlos Vinicius.

Aos meus pais, Isidorio (in memorian) e Geralda (in

memorian), sem os quais este trabalho não existiria.

AGRADECIMENTOS

Agradeço primeiramente a Deus, pai de todos os homens, por ter-me concedido a vida e o

privilégio de iniciar e concluir este trabalho.

À professora Dra. Maria Augusta pela orientação objetiva, paciência e sugestões que foram de

grande valia, sem as quais não seria possível empreender esta pesquisa.

Agradeço, também, à minha esposa Silvana e aos meus filhos Lorenna Alink e Carlos Vinicius

pelo incentivo recebido durante todo o tempo de desenvolvimento desta dissertação.

Aos colegas de empresa José Carlos Junior, Flávia Alexandrina e Fernanda Brito pelo apoio e

incentivo recebidos.

Sou grato, ainda, aos amigos engenheiros René Bayma e Divaldo Farias pela ajuda recebida na

coleta dos dados que serviram de suporte a esta pesquisa.

A João Manuel, companheiro de mestrado, agradeço o incentivo e amizade a mim dedicado

quando da minha estadia na cidade do Rio de Janeiro para conclusão desta pós-graduação.

Ao Oliveira, pela ajuda na digitação dos textos e pela pergunta que me fez reescrever o item 1.3

do Capítulo 1, também, à Mary do Socorro, pelo auxílio prestado nas dúvidas com a língua

inglesa, expresso minha imensa gratidão.

RESUMO

Este trabalho investiga o potencial de aplicação dos modelos baseados em Fuzzy Logic para

estimar o valor de mercado de apartamentos, entretanto os resultados alcançados, se positivos,

poderão ser aplicados a outras tipologias tais como: terrenos, casas, glebas e outros bens imóveis

quaisquer.

A norma brasileira de avaliações de imóveis urbanos - ABNT 5676/90 - não inclui os modelos

baseados em Logic Fuzzy como método de cálculo do valor de mercado desses imóveis. Em

parte, talvez, isto se deve ao fato de que a Fuzzy Logic, como ramo de conhecimento da ciência

matemática, é relativamente nova. Surgiu em 1965 com os primeiros estudos publicados por Lofti

A. Zadeh, professor da Universidade de Berkeley, Califórnia, EUA.

Baseado na experiência do exercício profissional de engenheiro, pode-se afirmar que as variáveis

que mais contribuem para formação do valor de mercado de um apartamento urbano são:

localização, estado de conservação, padrão de acabamento, equipamentos comunitários existentes

no condomínio, pavimento de situação dentro do prédio e outras mais podem ser acrescidas,

dependendo das peculiaridades do imóvel. Quase todas são variáveis do tipo qualitativas, difíceis

de serem mensuradas de forma precisa pelos engenheiros avaliadores, para as quais, quase

sempre, estes avaliadores atribuem termos lingüísticos para caracterizar os diversos estados

dessas variáveis, como: ótimo, bom, regular, ruim, muito ruim, alto, baixo, novo, precário, etc.

Assim, observa-se um campo promissor para aplicação dos conceitos da Fuzzy Logic na solução

de problemas de engenharia de avaliações. Pois esta, diferentemente dos modelos matemáticos

sofisticados, é mais adequada para aplicação em sistemas de controle e de apoio a decisão, onde a

descrição do problema não pode ser feita de forma precisa.

A presente dissertação busca demonstrar as possibilidades da aplicação da Fuzzy Logic na

engenharia de avaliações de imóveis urbanos. Para isto, neste trabalho, um sistema de inferência

fuzzy foi desenvolvido e aplicado a um estudo de caso de imóveis localizados em São Luís-Ma.,

e os resultados desta aplicação foram comparados aos obtidos em um modelo de regressão linear

múltipla e valores pesquisados no mercado imobiliário daquela cidade.

ABSTRACT

This work investigates rhe potential of application pattern based in the Fuzzy Logic to appreciate

the market value of the apartments, nevertheless, the effect obtained, whether positive, it can be

applicated in other types, such as: grounds, houses, spaces and other real estate.

Brazilian valuation of real estate — ABNT 5676/90 — doesn’t include the pattern based at

Fuzzy Logoc as a method of calculus from the market value of these buildings. Perhaps, this was

a consequence that the Fuzzy Logic, as a branch of Science Mathematics knowledge is relatively

new. It appeared in 1965 with the first studies published by Lofti A. Zadeh, teacher of Berkely

University, California, USA.

Based in the engineerer’s practice professional we can assure the most important variables that

contribute the most for the formation of the real estate market value are: localization,

conservation condition, finish standart, communitarian equipment existent in the condominium,

floor situation, within building and more other variables can be added. Almost all kind of

qualitative variables are difficult to be measured in a precise(efficient) way by the engineer

acessor, almost always, these assign linguistic terms to designate various states of these variables

such as: aptimum, good, normal, bad, very bad, tall, low, new, precarious and so on.

Thus, it notices a promising field for the application of Fussy Logic in the solution of the

Engeneering’s problem valuation. Therefore, Fuzzy Logic, differently from the refined

Mathematics pattern, it is more fitting for the applications in the systems control and for support

decision, where the description of the problem can’t be realized in a precise(simple) way.

This dissertation seeks demonstrate the possibilities of the application in the Engeneering

valuation of the urban real estate. Then, in this work, a fuzzy inference system was developed and

applicated in a study case of real estate located in São Luís-Ma. The effect of these applications

were compared at the obtained in the multiple regression linear pattern and the value research in

the real property market of that city.

ÍNDICE

Capítulo 1 INTRODUÇÃO .............................................................................................. 1

1.1 Generalidades ................................................................................................................ 1

1.2 Objetivo ........................................................................................................................ 3

1.3 Motivação ..................................................................................................................... 4

1.4 Relevância do Estudo ................................................................................................... 6

1.5 Delimitação do Estudo ................................................................................................. 7

1.6 Estrutura da dissertação ................................................................................................. 7

Capítulo 2 REVISÃO DA LITERATURA....................................................................... 9

2.1 Engenharia de Avaliações ............................................................................................ 9

2.2 Regressão Linear ........................................................................................................ 11

2.2.1 Regressão Linear Simples ....................................................................................... 11

2.2.1.1 Método dos mínimos quadrados ........................................................................... 12

2.2.2 Regressão Linear Múltipla ....................................................................................... 14

2.2.3 Testes para validação de modelos ............................................................................ 20

2.3 Conjuntos Fuzzy e Lógica Fuzzy ............................................................................... 21

2.3.1 Introdução ................................................................................................................ 21

2.3.2 Teoria dos Conjuntos Fuzzy ..................................................................................... 22

2.3.2.1 Definição .............................................................................................................. 22

2.3.2.2 Funções de Pertinência .......................................................................................... 22

2.3.2.3 Operações e relações entre conjuntos fuzzzy ....................................................... 23

2.3.2.2 Propriedades dos conjuntos fuzzy ......................................................................... 30

2.3.3 Variáveis lingüísticas............................................................................................... 32

2.3.4 Sistema de Inferência Fuzzy .................................................................................... 33

2.3.4.1 Método de Mamdani.............................................................................................. 34

2.3.4.2 Método de Takagi e Sugeno .................................................................................. 35

2.3.4.3 Composição de Conseqüências ............................................................................. 36

2.3.4.4 Defuzzificação ....................................................................................................... 36

Capítulo 3 METODOLOGIA E CONSTRUÇÃO DOS MODELOS .......................... 39

3.1 Introdução .................................................................................................................... 39

3.2 Construção do modelo de regressão linear múltipla.................................................... 41

3.2.1 Dados ........................................................................................................................ 41

3.2.2 Variáveis ................................................................................................................... 42

3.2.2.1 Variável localização .............................................................................................. 43

3.2.2.2 Variável estado de conservação............................................................................ 43

3.2.2.3 Variável pavimento ............................................................................................... 44

3.2.2.4 Variável elevador ................................................................................................... 45

3.2.2.5 Variável Garagem .................................................................................................. 45

3.2.2.6 Variável padrão de acabamento ............................................................................. 45

3.2.2.7 Variável equipamento comunitário ....................................................................... 46

3.2.2.8 Variável Oferta/Venda ........................................................................................... 46

3.2.3 O processo de análise de regressão .......................................................................... 47

3.3 Construção do modelo fuzzy ..................................................................................... 48

3.3.1 Seleção das variáveis do modelo .............................................................................. 49

3.3.2 Partição de domínios ................................................................................................ 49

3.3.3 Atribuição de funções de pertinência e termos lingüísticos ..................................... 50

3.3.4 Descrição da regras................................................................................................... 51

Capítulo 4 RESULTADOS .............................................................................................. 52

4.1 Modelo de regressão múltipla ..................................................................................... 52

4.1.1 Equação de regressão ajustada: ................................................................................ 53

4.1.2 Níveis de significâncias e t de Student: .................................................................... 53

Variável .............................................................................................................................. 53

Conservação ....................................................................................................................... 53

4.1.3 Validade da regressão: .............................................................................................. 54

4.1.4 Multicolinearidade .................................................................................................... 54

4.1.5 Coeficiente de determinação: ................................................................................... 56

4.1.6 Heterocedasticidade .................................................................................................. 56

4.1.7 Autocorrelação: ........................................................................................................ 57

4.1.8 Normalidade dos resíduos: ....................................................................................... 57

4.2 Lógica Fuzzy ............................................................................................................... 59

4.2.1 Seleção das variáveis do modelo .............................................................................. 59

4.2.2 Partição dos domínios............................................................................................... 60

4.2.3 Atribuições de funções de pertinência e termos lingüísticos .................................... 61

4.2.4 Criação das regras..................................................................................................... 65

4.3 Comparação de Resultados......................................................................................... 67

Capítulo 5 CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS DE TRABALHOS FUTUROS .... 70

5.1. Conclusões ................................................................................................................. 70

5.2 Perspectivas de trabalhos futuros ................................................................................ 73

BIBLIOGRAFIA: ............................................................................................................. 75

APÊNDICE A – Primeira amostra de apartamentos ................................................... 77

APÊNDICE B – Segunda amostra de apartamentos .................................................... 80

APÊNDICE C – Agrupamento para criação das regras .............................................. 81

APÊNDICE D – Quadro comparativo dos resultados .................................................. 83

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Significâncias e t de student obtidos .............................................................. 53

Tabela 4 – Normalidade dos resíduos.............................................................................. 58

Tabela 5 – Comparação dos resultados obtidos pelos modelos de RLM e

Logic Fuzzy aplicados à segunda amostra. .................................................. 68

LISTA DE FIGURAS

Figura 1– Relação entre as variáveis Y e X................................................................................... 12

Figura 2 – Ausência de Multicolinearidade ................................................................................... 17

Figura 3– Presença de Multicolinearidade .................................................................................... 17

Figura 4– Ausência de Autocorrelação ......................................................................................... 19

Figura 5– Presença de Autocorrelação .......................................................................................... 19

Figura 6– Ausência de Heterocedasticidade .................................................................................. 20

Figura 7– Presença de Heterocedasticidade .................................................................................. 20

Figura 8- Função de Pertinência Triangular .................................................................................. 23

Figura 9 - Função de Pertinência Trapézoidal ............................................................................... 23

Figura 10 - Função de Pertinência Gaussiana ............................................................................... 23

Figura 11– União entre conjuntos Fuzzy ....................................................................................... 24

Figura 12– Interseção entre conjuntos Fuzzy ................................................................................ 25

Figura 13– Conjunto Fuzzy A e seu complemento Ā .................................................................... 26

Figura 14- Um intervalo fechado................................................................................................... 31

Figura 15- Um intervalo Fuzzy convencional(Crisp) ................................................................... 31

Figura 16– Exemplo de variável lingüística .................................................................................. 33

Figura 17 - Método de Mamdani ................................................................................................... 34

Figura 18- Exemplo da estratégia de raciocínio de Takagi e Sugeno ........................................... 36

Figura 19– Defuzzificação pelo centro .......................................................................................... 37

Figura 20– Defuzzificação por altura de área ................................................................................ 37

Figura 21– Defuzzificação pelo centro da maior área ................................................................... 37

Figura 22– Defuzzificação pelo centro de máximo ....................................................................... 37

Figura 23 - Bairros de São Luís origem das amostras ................................................................... 40

Figura 24 – Coeficientes de correlação (sem influência) .............................................................. 55

Figura 25– Coeficientes de correlação (com influência) ............................................................... 56

Figura 26– Gráfico dos resíduos da variável valor unitário .......................................................... 57

Figura 27– Gráfico para verificação do ajustamento da reta de regressão .................................... 58

Figura 28– Distribuição de freqüência dos resíduos ..................................................................... 58

Figura 29– Variáveis de entrada e saída implementadas no MATLAB ........................................ 60

Figura 30– Variável Localização: termos lingüísticos, funções de pertinência e partição do

domínio .................................................................................................................................. 62

Figura 31– Variável conservação: termos lingüísticos, funções de pertinência e partição do

domínio .................................................................................................................................. 63

Figura 32– Variável pavimento: termos lingüísticos, funções de pertinência e partição do

domínio .................................................................................................................................. 63

Figura 33– Variável equipamento comunitário: termos lingüísticos, funções de pertinência e

partição do domínio ............................................................................................................... 64

Figura 34– Variável independente valor unitário: termos lingüísticos, funções de pertinência e

partição do domínio ............................................................................................................... 64

Figura 35 – Regras de inferência fuzzy do tipo Se /E/Então, implementadas no MATLAB ........ 66

Figura 36 – Visualização das combinações das regras fuzzy de entrada e saída do MATLAB 1 67

Capítulo 1

INTRODUÇÃO

1.1 Generalidades

“Já se foi o tempo em que o “olho clínico” do avaliador, ou seja, a sua

experiência, era a melhor técnica admitida para avaliação de um bem; não há

dúvida que a experiência do avaliador muito influi para uma boa aplicação das

técnicas hoje conhecidas, mas os métodos científicos desenvolvidos até hoje,

fazem com que o avaliador, cada vez mais, se paute por dados estatísticos,

tecnicamente analisados, do que por sentimento pessoal” (MOREIRA, 1991, p.

7)

Iniciamos este trabalho de dissertação com esta afirmação do engenheiro Alberto Lélio Moreira,

acima transcrita, contida no livro Princípios de Engenharia de Avaliações, hoje, um clássico da

literatura nesta área do conhecimento humano.

Esta iniciativa não foi despropositada, teve como objetivo primordial chamar a atenção do leitor

para a importância que o tema reveste sobre as mais diversas áreas da atividade humana e sua

aplicação nas tomadas de decisões; sempre que exista um bem envolvido como parte desta

decisão.

Capítulo 1 INTRODUÇÃO 2

Este anteprojeto versará exclusivamente sobre avaliação de preços de mercado de imóveis

urbanos, utilizando uma amostra de apartamentos residenciais coletada no mercado imobiliário

de S. Luís-Ma, utilizando técnicas de modelagem em regressão linear múltipla e matemática

fuzzy. Entretanto, desde já, fica registrado que o uso de tais técnicas não se restringem,

especificamente, a este tipo de bem imóvel, mas que podem ser aplicadas a qualquer fenômeno,

desde que seja possível obter uma amostra confiável, probabilística ou não, para tratamento

estatístico dos dados.

A avaliação de bens imóveis é objeto de estudo de uma área da ciência da Engenharia

denominada Engenharia de Avaliações, que embora não sendo uma ciência exata, representa a

arte de estimar os valores de propriedades específicas onde o conhecimento profissional de

engenharia e o bom julgamento, são condições essenciais.

A Engenharia de Avaliações encontra aplicação nos mais diversos campos de trabalho, com

tendência de crescimento futuro à medida que crescem, em tamanho e complexidade, as

sociedades humanas. Assim, como exemplo de áreas onde a Engenharia de Avaliações pode

contribuir com suas técnicas para aperfeiçoamento e qualidade das tomadas de decisões, é

importante citar: perícias judiciais, financiamentos e hipotecas, organização de empresas,

seguros, tributação, tarifação.

Antes de prosseguir neste trabalho é importante que se faça um breve histórico do

desenvolvimento da Engenharia de Avaliações no Brasil. Pelo que se tem registrado na literatura

nacional sobre o assunto, sabemos que os primeiros trabalhos foram publicados em revistas

técnicas no Estado de São Paulo, ainda no início do século passado, entre os anos de 1915 e 1918.

Os primeiros livros editados no país sob os títulos Avaliações de Terrenos e Avaliação de

Imóveis, ambos de autoria do engenheiro Luiz Carlos Berrini, foram lançados na década de 1940.

Segundo DANTAS (1998), em 1952 surgiu a primeira norma sobre avaliação de imóveis,

elaborada pelo Departamento de Engenharia da Caixa Econômica Federal, sob a chefia do

engenheiro Daro de Eston. No mesmo ano, um anteprojeto de normas para a avaliação de


imóveis, de autoria do engenheiro Augusto Luiz Duprat foi submetido à ABNT (Associação

Brasileira de Normas de Técnicas), que recebeu a nomenclatura P-NB-74R, em 1957.

Ainda, DANTAS ( 1998), cita que em 1953 foi fundado o primeiro Instituto de Engenharia de

Avaliações no Brasil – O Instituto de Engenharia Legal do Rio de Janeiro. Logo após, em 1957,

foi criado o IBAPE – Instituto Brasileiro de Engenharia de Avaliações de São Paulo.

Entre os anos de 1960 e 1970, período dos governos militares no Brasil, foi caracterizado pela

execução de grandes obras de infra-estrutura no país nas áreas de estradas, hidrelétricas, metrôs,

telecomunicações e saneamento. Obras estas que exigiram, preliminarmente, a necessidade de

execução de grandes desapropriações de terrenos, glebas e outros bens imóveis de propriedades

particulares. Assim, nesta época, surgiu o nome do engenheiro Hélio de Caíres, um dos

responsáveis pela adequação dos métodos e fórmulas até então utilizados, bem como pela

elaboração de novas normas.

Entretanto, foi somente a partir da década de 70 que a Engenharia de Avaliações começou

despertar maior interesse dos profissionais engajados nesse ramo de atividade em todo Brasil.

1.2 Objetivo

O objetivo final desta dissertação é desenvolver um modelo baseado na Fuzzy Logic, capaz de

estimar o valor de mercado de apartamentos novos e usados, localizados nos bairros do

Renascença, S. Francisco e Ponta D”Areia, em S. Luís-Ma.

Para aferição dos resultados obtidos, será construído um outro modelo baseado em regressão

linear múltipla, utilizando-se da mesma amostra de apartamentos que serviu para construção do

modelo de Fuzzy Logic. Após a construção dos dois modelos, coletar-se-á uma segunda amostra

de apartamentos nos bairros anteriormente citados, fazendo-se, em seguida, uma simulação

utilizando-se os dois modelos construídos.


Por fim, serão comparados os três valores alcançados para os preços dos diversos apartamentos

que comporão esta segunda amostra coletada: valor estimado pelo modelo de Fuzzy Logic, valor

estimado pelo modelo de regressão linear múltipla e o valor efetivamente coletado no mercado.

Tal comparação tem como objetivo inferir conclusões sobre a aplicabilidade, vantagens e

desvantagens da Fuzzy Logic na avaliação de imóveis. E, talvez, após a realização de novas

pesquisas, possibilitar a recomendação para inclusão desta metodologia na NBR 5676/90 da

ABNT.

.

1.3 Motivação

Nas instituições financeiras que concedem financiamentos habitacionais, a organização e

execução deste trabalho envolve departamentos distintos e sem vinculação hierárquica, cada um

responsável por determinada parte do processo de concessão. Assim, é comum existir um

departamento de engenharia encarregado de vistoriar e avaliar os imóveis objetos de pedido de

financiamento, os quais servirão de única garantia dos financiamentos concedidos.

O lado comercial da operação de concessão do financiamento é realizado nas unidades de ponta,

onde os gerentes comerciais responsáveis pelo atendimento ao cliente não possuem formação,

habilitação técnica, nem atribuição para efetuar a avaliação destes imóveis. Portanto, dependem

que os departamentos técnicos de engenharia lhes forneçam o insumo básico para viabilidade das

operações: a avaliação do imóvel. Isto conduz o gerente comercial a distanciar-se das

responsabilidades de examinar aquilo que está sendo financiando.

Por outro lado, deve ser observado que a operação de concessão do financiamento envolve custos

operacionais para o agente financeiro, por exemplo, taxa de avaliação do imóvel, que deve ser

ressarcida pelo proponente do financiamento.

O candidato a financiamento nem sempre está disposto a pagar esta taxa de avaliação do imóvel,

sem ter certeza de que o financiamento vai ser concedido, haja vista que existem inúmeras outras

exigências a serem cumpridas em relação ao próprio imóvel, tomador do empréstimo e vendedor,

todas estas envolvendo custos significativos para o tomador.


O conhecimento antecipado do valor de mercado do imóvel é primordial para início das

negociações da operação, pois a quota de financiamento sempre está vinculada ao menor dos dois

valores: avaliação ou promessa de compra e venda.

Desta forma, se as instituições financeiras disponibilizassem ferramentas de tecnologia da

informação aos seus gerentes, para que estes, já na primeira entrevista, fossem capazes de

informar ao candidato a financiamento uma primeira estimativa do provável valor de avaliação

do imóvel, reduzir-se-ia significativamente os conflitos entre as partes envolvidas. Entrevemos,

por conseguinte, as seguintes vantagens na adoção de tais ferramentas:

- Agilidade na prestação da informação ao cliente; pois os gerentes estariam

equipados com uma ferramenta segura, ágil e amigável;

- Envolvimento, mais profundo, do corpo gerencial com a qualidade do produto

que está sendo financiado, pois este, em primeiro lugar, representa a garantia

do financiamento;

- Diminuição dos riscos operacionais oriundos de fraudes praticadas por

empresas credenciadas e empregados;

- Redução de conflitos entre área técnica, gerencial e clientela;

- Agilidade da operação de concessão de financiamentos imobiliários.

Desta forma, a busca pelo desenvolvimento de modelos baseados em teorias mais adaptadas a

forma de raciocinar do ser humano e, portanto, mais intuitivas e amigáveis, viáveis de serem

utilizadas por não especialistas e especialistas para estimativa de valores de bens imóveis, é a

motivação básica desta dissertação. E, vislumbramos na Lógica Fuzzy o referencial teórico para

esta conquista.


1.4 Relevância do Estudo

O estudo da avaliação de imóveis é de grande interesse para os diversos agentes do mercado

imobiliário, tais como: imobiliárias, bancos de crédito imobiliário, compradores ou vendedores

de imóveis. Ainda para empresas seguradoras, o poder judiciário, os fundos de pensão, os

incorporadores, os construtores, prefeituras, investidores, etc.

“Considere um incorporador, que dispõe de certo capital e pretende investi-lo no mercado

imobiliário. Logicamente, para faze-lo de forma eficiente, algumas questões precisam ser

respondidas, tais como: Onde incorporar? Quando incorporar? Quando comercializar? Quanto

custa a execução? O que incorporar? Como incorporar? Qual o preço do terreno? Qual o melhor

plano de vendas? Qual o preço de comercialização do empreendimento?Por quanto ofertar? Por

quanto comercializar? Qual a taxa interna de retorno do investimento? Qual o prazo ideal de

construção? Quem são os possíveis compradores potenciais? ” (DANTAS, 1998 p. 2).

“Do lado do investidor então surgem outras questões como: Onde investir? Em que investir?

Quanto investir? Quanto pagar? Qual a rentabilidade do investimento? Qual o tempo de retorno

do capital investido? ”(DANTAS, 1998 p. 2).

Pois bem, todas estas perguntas e quaisquer outras que envolvam valores de quaisquer tipos de

bens ou decisões sobre investimentos, só podem ser respondidas, com segurança, se utilizados os

métodos e técnicas da Metodologia Científica. De outra forma, seriam respondidas com base no

empirismo, em divagações, opiniões subjetivas ou suposições sem as devidas comprovações

científicas.

Isto posto, conhecer o valor de um imóvel urbano, determinado com base nas técnicas da

metodologia cientifica, como proposto neste trabalho, é de grande utilidade para as pessoas

físicas em geral, gerentes e executivos de empresas, membros dos poderes executivo, legislativo

e judiciário, nas três esferas de poder; que necessitem conhecer o valor de determinado bem

para uma tomada de decisão.


1.5 Delimitação do Estudo

São vários os métodos preconizados pela norma NBR 5676 da ABNT para a avaliação de

imóveis urbanos, todos definidos no item 3 desta dissertação. Entretanto, este trabalho, limitar-

se-á ao uso do método denominado por aquela norma como Método Comparativo de Dados de

Mercado, afastada a possibilidade de conjunção de métodos, conforme permitido no item 6.3 da

referida norma. As técnicas utilizadas para tratamento dos dados serão, exclusivamente,

regressão linear múltipla e lógica fuzzy.

O mercado imobiliário objeto deste estudo é, exclusivamente, o de São do Maranhão, e os

bairros, apenas, os denominados de São Francisco, Renascença e Ponta da D'Areia. Portanto, os

modelos obtidos só deverão ser aplicados a imóveis localizados nestes bairros e a imóveis que,

pela semelhança, pertençam à população que deu origem a amostra objeto deste estudo.

1.6 Estrutura da dissertação

O presente trabalho está estruturado em cinco capítulos e quatro apêndices, que

serão descritos a seguir:

O capítulo 1, intitulado de Introdução, trata do objetivo e motivações que levaram

ao desenvolvimento do trabalho.

No capítulo 2, Revisão da Literatura, descreve-se as abordagens que estão sendo

empregadas na avaliação de imóveis aqui no Brasil, assim como, as teorias que

darão suporte ao desenvolvimento deste trabalho na busca dos objetivos propostos.


O capítulo 3, Metodologia, abordará toda o conjunto de métodos e processos que

serão utilizados na construção dos modelos de regressão linear múltipla e Fuzzy

Logic, descrevendo-se as variáveis, hipóteses e restrições, implícitos em cada

modelo.

No capítulo 4, Resultados, será abordado, detalhadamente, os resultados obtidos

após a implementação dos modelos de regressão linear múltipla e Fuzzy Logic no

SISREN e MATLAB, respectivamente.

O último capítulo, intitulado Conclusões e Perspectivas de Trabalhos Futuros,

recebeu o número 5 e incorpora considerações a respeito dos resultados obtidos

com as duas técnicas de modelagem, destacando-se contribuições, limitações e

recomendações para ampliação e continuidade desta pesquisa.

Capítulo 2

REVISÃO DA LITERATURA

2.1 Engenharia de Avaliações

A partir do momento que o homem começou melhorar suas técnicas para obtenção de alimentos,

conseguiu maior produtividade, deixando de produzir somente o necessário para sustentação da

sua tribo. Começou, neste momento, o problema da destinação dos excedentes de produção. Sem

dúvida, desta maneira, foram iniciados os processos de intercâmbio de mercadorias.

Alguém podia não ter lã suficiente para fazer seu casaco, ou talvez não houvesse na família

alguém com tempo ou habilidade para confeccioná-lo, mas, certamente, esta pessoa possuía

outra mercadoria sobrando. Porque não trocá-la pelo casaco? Mas que quantidade trocar? Com

quem trocar? Quando trocar?

Certamente que para alguém responder a estas perguntas, necessário se faz elaborar uma

avaliação do valor destas mercadorias envolvidas na transação, seja ela qual for: milho, casaco,

pele, ferramenta, animais domésticos, etc. Na antiguidade e mesmo em nossos dias, quando já

dispomos do facilitador das trocas, a moeda, será que não precisamos fazer as mesmas perguntas

quando desejamos transacionar um bem imóvel, ou outro bem moderno qualquer?

Assim, surge a Engenharia de Avaliações, reunindo conhecimentos das mais diversas áreas da

engenharia, arquitetura, ciências exatas, ciências sociais, para responder qual o valor de

determinado bem, direito, frutos e custos de produção.


Nasce a Engenharia de Avaliações, “segundo DANTAS (1998, p. 1), ‘para subsidiar as tomadas

de decisões a respeito de valores, custos e alternativas de investimentos, envolvendo bens de

qualquer natureza, tais como: imóveis, máquinas, equipamentos, automóveis, móveis, utensílios,

jazidas, instalações, empresas, marcas, patentes, software, obras de arte, empreendimentos de

base imobiliária como shopping centers, hotéis, parques temáticos, cinemas, casa de shows etc.,

além de seus frutos e direitos’.”

Pelo anteriormente exposto, verifica-se que o objetivo principal da Engenharia de Avaliações é a

determinação do valor dos diversos bens, seus custos, frutos ou direitos sobre eles. Então,

necessário se faz estabelecer uma definição precisa da palavra valor para a Engenharia de

Avaliações.

Conceituar valor, pela sua complexidade, já foi motivo de grandes discussões entre os

profissionais da Engenharia de Avaliações, posto que é abundante na literatura da engenharia,

tendo muitos significados e muitos elementos modificadores. Assim, é comum ouvir-se

expressões como: Valor de mercado, Valor de reposição, Valor contábil, Valor capitalizado,

Valor de taxação, Valor residual, Valor Venal, Valor potencial. Só para citar alguns exemplos.

Diante de tal variedade de valores, qual valor adotar para expressar um bem em termos

monetário? A Associação Brasileira de Normas Técnicas, no item 1.3 da NBR 5676 de agosto de

1990 (está sendo revisada e passará a chamar-se NBR 14653-2 - Avaliação de bens – Parte 2:

Imóveis Urbanos), definiu que o valor a ser buscado nas avaliações de imóveis urbanos é único,

qualquer que seja a finalidade da avaliação, e deve vir do mercado:

“O valor a ser determinado corresponde sempre àquele que, em um dado instante, é único,

qualquer que seja a finalidade da avaliação, bem como àquele que se definiria em um

mercado de concorrência perfeita, caracterizado pelas seguintes exigências:

a) homogeneidade dos bens levados a mercado;


b) número elevado de compradores e vendedores, de tal sorte que não possam,

individualmente ou em grupos, alterar o mercado;

c) inexistência de influências externas;

d) racionalidade dos participantes e conhecimento absoluto de todos sobre o bem, o

mercado e as suas tendências;

e) perfeita mobilidade de fatores e de participantes, oferecendo liquidez com liberdade

plena de entrada e saída do mercado” (NBR 5676, p.1).

A aplicação da metodologia mais adequada para realização de um trabalho avaliatório depende

fundamentalmente das condições mercadológicas com que se defronta o avaliador, pelas

informações coletadas neste mercado, bem como pela natureza do serviço que se pretende

desenvolver. A ABNT (NBR 5676, p. 4), classifica os métodos disponíveis em diretos e

indiretos, possíveis de serem conjugados em determinadas circunstâncias:

a) Métodos Diretos

- comparativo de dados de mercado;

- comparativo de custo de reprodução de benfeitorias;

b) Métodos Indiretos

- da renda:

- involutivo;

- residual;

A ABNT (NBR 5676, p. 4), conceitua os diversos métodos da seguinte forma:

“Método Comparativo de dados de mercado é aquele que define o

valor através da comparação com dados de mercado assemelhado

quanto às características intrínsecas e extrínsecas. As características e

Capítulo 2 REVISÃO DA LITERATURA 10

os atributos dos dados pesquisados que exercem influência na

formação dos preços e conseqüentemente, no valor, devem ser

ponderados por homogeneização ou por inferência estatística,

respeitados os níveis de rigor definidos na norma. É condição

fundamental para aplicação deste método a existência de um conjunto

de dados que possa ser tomado, estatisticamente, como amostra do

mercado imobiliário.

Método comparativo de custo de reprodução de benfeitorias é aquele

que apropria o valor da benfeitoria, através da reprodução dos custos

de seus componentes. A composição dos custos é feita com base em

orçamento detalhado ou sumário, em função do rigor do trabalho

avaliatório. Devem ser justificadas e quantificados os efeitos do

desgaste físico e/ou do obsoletismo funcional das benfeitorias.

Método da renda é aquele que apropria o valor do imóvel ou de suas

partes constituintes, com base na capitalização presente da sua renda

líquida, real ou prevista. Os aspectos fundamentais do método são: a

determinação do período de capitalização e a taxa de desconto a ser

utilizada, que devem ser expressamente justificados pelo avaliador.

Método involutivo é aquele baseado em modelo de estudo de

viabilidade técnico-econômica para a apropriação do valor do terreno,

alicerçado no seu aproveitamento eficiente, mediante hipotético

empreendimento imobiliário compatível com as características do

imóvel e com as condições do mercado.

Método residual é aquele que define o valor do terreno por diferença

entre o valor total do imóvel e o das benfeitorias; ou o valor destas

subtraindo o valor do terreno. Deve ser considerado, também, quando

for o caso, o fator de comercialização”.


2.2 Regressão Linear

2.2.1 Regressão Linear Simples

Apesar da modelagem utilizada neste trabalho ser a regressão linear múltipla, por questão

didática, a revisão de literatura começará pela regressão linear simples, a qual se constitui uma

tentativa de estabelecer uma equação matemática linear que descreva o relacionamento entre duas

variáveis. A finalidade de uma equação de regressão é:

- estimar valores de uma variável, com base em valores conhecidos de outra

variável;

- predizer valores futuros de uma variável;

- explicar valores de uma variável em termos de outra. Isto é, podemos suspeitar de

uma relação de causa e efeito entre duas variáveis.

As equações lineares são importantes porque servem para aproximar muitas relações da vida real,

e porque são relativamente fáceis de lidar e de interpretar. Outras formas de análise de regressão,

tais como regressão múltipla (mais de duas variáveis) e regressão curvilínea (não linear)

envolvem extensões dos mesmos conceitos usados na regressão simples.

Por exemplo, imagine duas variáveis, que chamaremos genericamente de Y e X, e que poderiam

ser consumo e renda, salários e anos de estudo, pressão de um gás e sua temperatura; enfim

quaisquer duas variáveis que, supostamente, tenham relação entre si. Suponhamos, ainda, que X

é a variável independente e Y é a variável dependente, isto é, Y que é afetado por X, e não o

contrário.

Na figura 1, abaixo, verifica-se que existe, sim, uma dependência entre Y e X. O processo de

encontrar a relação entre Y e X é chamado de regressão. Se esse processo é uma reta, é uma

regressão linear. E, se houver apenas uma variável independente, é uma regressão linear simples.


Figura 1– Relação entre as variáveis Y e X

Como a relação expressa pelo gráfico da figura 1é, aparentemente, uma função linear, cada Y

pode ser escrito em função de cada X da seguinte forma:

Yi = α + βXi + εi

Sendo α + βX a equação da reta, e ε o termo do erro. Este último termo tem de ser incluído

porque, como podemos ver, o valor de Y não será dado exatamente pelo ponto da reta a ser

encontrada. O erro incorpora todos os eventos que são difíceis de medir, mas que são

supostamente aleatórios. Mais do que isso, se o modelo estiver corretamente especificado,

podemos supor que o erro, em média, será zero. Em outras palavras, a probabilidade do erro ser x

unidades acima da reta é a mesma de ser x unidade abaixo (SARTORIS, 2003).

2.2.1.1 Método dos mínimos quadrados

O método mais usado para ajustar uma linha reta a um conjunto de pontos é conhecido como

técnica dos mínimos quadrados. A reta resultante tem duas características importantes: 1) a soma

dos desvios verticais dos pontos em relação à reta é zero, e 2) a soma dos quadrados desses

desvios é mínima, isto é, nenhuma outra reta daria menor soma de quadrados de tais desvios.

Simbolicamente, o valor que é minimizado é :


∑(Yi – Y)2

onde

Yi = valor observado

Y = valor calculado de y, utilizando-se a equação de mínimos quadrados com o valor de x

correspondente a Yi

Os valores dos estimadores α e β para a reta Y = α + βX que minimiza a soma dos quadrados,

podem ser calculados utilizando-se as regras de derivação e igualando-se a zero, onde obtemos as

seguintes fórmulas para α e β:

α = Y – βX

Segundo HILL(1999) os pressupostos do modelo de regressão linear simples são:

- 1) O valor de Y, para cada valor de X, é:

Y = α + βX + ε

- 2) O valor médio do erro aleatório é:

E(ε) = 0

- 3) A variância do erro aleatório ε é:

Var(ε) = σ 2

= Var(Y), pois Y e ε diferem apenas por uma constantes, o que

não altera a variância.

- 4) A covariância entre qualquer par de erros aleatórios, εi e εj, é:

Cov(εi, εj) = Cov(Yi, Y) = 0, pois se os valores de Y são estatisticamente

independente, também o são os erros aleatórios ε, e vice-versa.

- 5) A variável X deve tomar pelo menos dois valores diferentes, de forma que X ≠

c, onde c é uma constante.

- 6) Os valores de ε se distribuem normalmente em torno de sua média nula e

desvio padrão σ


ε ≈ N(0, σ)

se os valores de Y são distribuídos normalmente, e vice-versa.

2.2.2 Regressão Linear Múltipla

Se a variável independente Y depender de mais de uma variável independente Xi, teremos o

modelo denominado de regressão linear múltiplo.

A equação de uma regressão linear múltipla pode ser representada da seguinte forma:

Y = β1 + β2 X2i + β3X 3i + ..............+ βkXki + εi

Onde,

Y= valor da variável explicada

β1 = intercepto

βi = coeficientes de regressão das variáveis explicativas(i = 1, 2, 3..........k)

Xki = variáveis explicativas(i = 1, 2, 3....n)

εi = erro residual da estimativa

Existem vários métodos para estimação dos parâmetros da regressão(βi e ε), mas neste trabalho

será utilizado o método dos mínimos quadrados. Todavia, é necessário um artifício para deixar o

modelo de forma semelhante ao de uma regressão linear simples para, com isto, facilitar os

cálculos.

Se dispusermos de uma amostra de n observações, teremos:

Y1 = β1 + β2X21 + β3X31 +……………+ βkXk1 + ε1

Y2 = β1 + β2X22 + β3X32 +................... + βkXk2 + ε2

..... .... ........... .......... ............ .......

Yn = β1 + β2X2n + β3X3n +.....................+ βkXkn + εn

Essas equações podem ser escritas sob a forma matricial:


Assim, teremos:

Y = Xβ + ε

Onde Y é a matriz que contém as observações da variável independente; X é a matriz

que inclui as diversas observações das variáveis independentes, além de uma coluna de

números 1, que correspondem ao intercepto; β é a matriz com os coeficientes a serem

estimados; e ε é a matriz dos termos dos erro.

O estimador de mínimos quadrados para a matriz β será:

Β = (X’X)-1

(X’Y)

Uma condição para a existência de β é a de que a matriz X’X seja inversível. Para que

isto ocorra é necessário que nenhuma coluna da matriz X seja combinação linear de

outras colunas.

Segundo HILL et al (1999, p. 203), o conjunto de hipóteses para a regressão linear

múltipla é:

I. E(εi) = 0 (erros têm média zero);

II. Erros são normalmente distribuídos;

III. Os Xi são fixos (não estocásticos);

IV. Var(εi) = σ2 (constante);


V. E(εiεj) = 0 (erros não são autocorrelacionados);

VI. Cada variável independente Xi não pode ser combinação linear das demais.

Como visto anteriormente, o desenvolvimento técnico das regressões múltiplas é semelhante ao

das regressões simples. Entretanto, há necessidade de algumas análises adicionais ou testes

complementares, devido à atuação simultânea das diversas variáveis explicativas. Assim, é

imperativo verificarmos os efeitos da multicolinearidade, homocedasticidade, autocorrelação,

outliers, normalidade dos resíduos.

Em muitas situações, todavia, as hipóteses III, IV, V e VI, podem não ser verificadas,

isoladamente ou em conjunto, especialmente naquelas situações em que os dados não são produto

de um experimento controlado (SARTORIS, 2003).

Abaixo, definimos o conceito, conseqüências e maneiras de identificar as principais violações do

modelo de regressão linear, assim como os parâmetros a serem observados para aceitação de um

modelo:

Multicolilnearidade

O termo multicolinearidade é utilizado para caracterizar a alta correlação que pode vir a existir

entre variáveis independentes (explicativas). Ocorrendo tal evento, várias conseqüências

influenciarão o modelo de regressão, entre elas citamos:

- Os testes t de student podem resultar insignificantes, ainda que as variáveis sejam

relevantes, pois a variâncias dos coeficientes das variáveis explicativas (β)

aumenta quando ocorre multicolinearidade ;

- Os sinais dos coeficientes β podem ser o inverso daqueles esperados e seus valores

ficam muito sensíveis quando se acrescenta ou retira uma variável do modelo ou

quando há pequenas mudanças na amostra.


Existem duas maneiras de verificar a ocorrência da multicoliaridade em modelos de regressão

linear:

- Através da observação dos coeficientes de correlação simples entre as variáveis

independentes, analisadas duas a duas;

- Através de análise gráfica do comportamento dos resíduos do modelo versus a

variável em questão (Figuras 2 e 3)

Figura 2 – Ausência de Multicolinearidade

Figura 3– Presença de Multicolinearidade

Autocorrelação

É o termo utilizado para caracterizar a ocorrência de correlação entre os resíduos do modelo de

regressão. Origina-se quando alguma variável relevante está sendo omitida do modelo, portanto

sua influência é jogada para o termo do erro(ε); ou é cometida alguma falha na especificação

funcional, por exemplo, assumir que exista uma relação linear entre variáveis, quando, na

verdade, a relação é do tipo quadrática. Pode, ainda, a autocorrelação ocorrer pela própria

natureza do processo, por exemplo, quando tratamos de dados relativos à agricultura, onde dados

de preços passados influenciam a decisão sobre a produção futura. São as chamadas séries

temporais, muito bem estudadas pelos estatísticos.


Principais conseqüências da autocorrelação:

- O estimador de mínimos quadrados não é mais aquele que tem a menor variância

possível entre todos os estimadores;

- Os estimadores das variâncias serão sempre viesados, o que invalida os testes de

hipóteses realizados na presença de autocorrelação.

Maneiras de verificar a existência de autocorrelação:

1) Através do teste de Durbin- Watson, cuja estatística é calculada por:

Se o valor de DW for abaixo de 1,10, rejeitamos a hipótese nula de não autocorrelação, isto é,

concluímos que existe autocorrelação. Se DW estiver entre 1,54 e 2, concluímos que não existe

autocorrelação (aceitamos a hipótese nula). Se, entretanto, o valor de DW cair entre 1,10 e 1,54, o

teste é inconclusivo, não dá para dizer se há ou não autocorrelação.

2) Pode ser verificada através do gráfico dos resíduos contra os valores estimados de

Y. A presença da autocorrelação é observada pela presença de alguma tendência

dos resíduos em relação a Y, conforme ilustrado nas figuras 4 e 5, abaixo.


Figura 4– Ausência de Autocorrelação

Figura 5– Presença de Autocorrelação

Homocedasticidade

A hipótese IV estabelece que a variância dos erros deve ser constante, o que é conhecido como

homocedasticidade. Existem variáveis, por exemplo, as alturas dos alunos de determinada

escola, onde a variância dos erros de medição só pode advir de uma falha nas medições dessas

alturas, de uma imprecisão do instrumento utilizado para medição, ou mesmo da precisão como a

medida é feita. Entretanto, há casos, como os salários em função do grau de escolaridade de um

cidadão, onde possivelmente a variância entre os salários menores deve ser bem inferior à

variância entre os salários mais elevados, ou seja, neste caso, estaria violada a hipótese (IV) de

constância da variância do modelo de regressão.

As conseqüências da ausência de homocedasticidade (heterocedasticidade) são iguais as da

presença de autocorrelação no modelo:

- O estimador de mínimos quadrados não é mais aquele que tem a menor variância

possível entre todos os estimadores;

- Os estimadores das variâncias serão sempre viesados, o que invalida os testes de

hipóteses realizados na presença de autocorrelação.


Segundo SARTORIS(2003), a ausência de homocedasticidade (variância≠constante) pode ser

verificada através dos testes de Goldfeld e Quandt, teste de White, ou graficamente conforme

figura 6 E 7 abaixo:

Figura 6– Ausência de Heterocedasticidade

Figura 7– Presença de Heterocedasticidade

2.2.3 Testes para validação de modelos

Em todo modelo de regressão linear, além das hipóteses básicas anteriormente mencionadas,

devem ser verificados os itens da estatística inferencial, conforme a natureza da pesquisa que

está sendo efetivada:

Coeficiente de correlação

Coeficiente de determinação

Significância do modelo

Significância dos regressores

Intervalo de confiança dos regressores

Verificação de Outliers

Normalidade dos resíduos


2.3 Conjuntos Fuzzy e Lógica Fuzzy

2.3.1 Introdução

A Lógica Fuzzy foi desenvolvida a partir do ano de 1965, por Lotfi Zadeh, que nesse período

publicou um artigo intitulado “Fuzzy Sets” no jornal Information and Control, onde propôs o

conceito de conjuntos fuzzy.

Os conjuntos Fuzzy e a Lógica Fuzzy provêm a base para geração de técnicas poderosas para a

solução de problemas, com uma vasta aplicabilidade, especialmente, nas áreas de controle e

tomada de decisão.

A força da Lógica Fuzzy deriva da sua habilidade em inferir conclusões e gerar respostas

baseadas em informações vagas, ambíguas e qualitativamente incompletas e imprecisas. Neste

aspecto, os sistemas de base Fuzzy têm habilidade de raciocinar de forma semelhante à dos

humanos. Seu comportamento é representado de maneira muito simples e natural, levando à

construção de sistemas compreensíveis e de fácil manutenção.

A lógica Fuzzy é baseada na teoria dos Conjuntos Fuzzy. Esta é uma generalização da teoria dos

Conjuntos Tradicionais para resolver os paradoxos gerados à partir da classificação “verdadeiro

ou falso” da Lógica Clássica. Tradicionalmente, uma proposição lógica tem dois extremos: ou

“completamente verdadeira” ou “completamente falsa”. Entretanto, na Lógica Fuzzy, uma

premissa varia em grau de verdade de 0 a 1, o que leva a ser parcialmente verdadeira ou

parcialmente falsa.

Com a incorporação do conceito de “grau de verdade”, a teoria dos Conjuntos Fuzzy estende a

teoria dos conjuntos tradicionais. Os grupos são rotulados qualitativamente, usando termos

lingüísticos, tais como: alto, morno, ativo, pequeno, perto, etc., e os elementos destes conjuntos

são caracterizados variando o grau de pertinência (valor que indica o grau em que um elemento


pertence a um conjunto). Por exemplo, um homem de 1,80 metro e um homem de 1,75 metro são

membros do conjunto “alto”, embora o homem de 1,80 metros tenha um grau de pertinência

maior neste conjunto.

Não é objetivo deste trabalho expor a matemática que existe por trás da Lógica e Conjunto Fuzzy.

Porém, para melhor entendimento do assunto, será desenvolvida, em termos gerais, sua forma de

implementação.

2.3.2 Teoria dos Conjuntos Fuzzy

2.3.2.1 Definição

Formalmente, um conjunto fuzzy é definido como o conjunto de pares ordenados contendo o

elemento e seu grau de pertinência no conjunto:

F = { (u, μF(u) ) / u є U}

Onde, U é o domínio de objetos, também chamado universo de discurso, e μF(u) a função de

pertinência associada ao conjunto F, representada por:

μF(u): U → [ 0, 1]

2.3.2.2 Funções de Pertinência

São funções que definem o grau de pertinência (μ) de um determinado valor a cada termo

lingüístico. As funções de pertinência fazem o papel das curvas de possibilidades na teoria

clássica da lógica fuzzy. Sendo os conjuntos fuzzy apropriados para representar noções vagas,

freqüentemente encontradas no mundo real, como, por exemplo, alto, quente, frio, rápido, etc., é

a função de pertinência quem exerce o papel de definidora das fronteiras desses conjuntos. A

princípio, qualquer função que mapeie o domínio U no intervalo [0, 1] pode ser utilizada como

função de pertinência. Na prática, entretanto, as formas triangular, trapezoidal e gaussiana (figura


3. ), são as mais utilizadas. Segundo Weber(2003), a opção pelo uso de funções de pertinência

padrão apresenta inúmeras vantagens em relação ao uso de outras curvas. Em primeiro lugar elas

são simples, porém suficiente para uso em lógica fuzzy. Além disso, são muito eficientes na

maioria das plataformas computacionais, e são de fácil interpretação.

Figura 8- Função de Pertinência Triangular

Figura 9 - Função de Pertinência Trapézoidal

Figura 10 - Função de Pertinência Gaussiana

2.3.2.3 Operações e relações entre conjuntos fuzzy

Lotfi Zadeh(1965), apresenta a noção de conjunto fuzzy como uma generalização da noção de

conjunto clássico, sendo, portanto, sua teoria, em grande parte, uma extensão da teoria dos


conjuntos tradicionais. Abaixo estão definidas as principais relações e operações entre conjuntos

fuzzyy:

União

A união de dois conjuntos fuzzy caracteriza-se por ser o contorno que inclui ambos os conjuntos

fuzzy e, em conseqüência, é sempre maior que qualquer um dos conjuntos individuais. A função

de pertinência resultante da união de dois conjuntos fuzzy é o maior valor da pertinência, aos dois

conjuntos específicos e de cada um dos seus elementos. Em outras palavras, o que se quer para o

grau de associação de um elemento, quando listado, na união de dois grupos fuzzy, é o valor

máximo deste grau de associação quando dois grupos fuzzy formam uma união.

Dados dois conjuntos fuzzy A e B, denomina-se conjunto fuzzy união de A com B, ao conjunto

fuzzy C definido como C= A U B, cuja função de pertinência é relacionada às funções de

pertinência de A e B por:

μC(x) = max[μA(x); μB(x)]

A união de dois conjuntos fuzzy corresponde, na álgebra booleana binária, à operação OR.

Figura 11– União entre conjuntos Fuzzy


Interseção

A interseção de dois conjuntos fuzzy caracteriza-se por ser a parte comum de ambos os conjuntos

fuzzy e, em conseqüência, é sempre menor que qualquer um dos conjuntos individuais. A função

de pertinência resultante da interseção de dois conjuntos fuzzy é o menor valor da pertinência,

aos dois conjuntos específicos e de cada um dos seus elementos. O grau de associação de um

elemento na interseção de dois grupos fuzzy é o mínimo, ou o menor valor de seu grau de

associação individualmente nos dois grupos que formam a interseção.

Dados dois conjuntos fuzzy A e B, denomina-se conjunto fuzzy interseção de A com B, ao

conjunto fuzzy C definido como C = A ∩ B, cuja função de pertinência é relacionada às funções

de pertinência de A e B por:

μC(x) = min[μA(x) ; μB(x)]

A interseção de dois conjuntos fuzzy corresponde, na álgebra booleana binária, à operação AND.

Figura 12– Interseção entre conjuntos Fuzzy


Complemento

O complemento de um conjunto fuzzy em relação a um universo de discurso, caracteriza-se por

ser um conjunto de todos os elementos do universo de discurso que não pertencem ao conjunto

especificado.

Dado o conjunto fuzzy A, denomina-se complemento de A, o conjunto C representado por Ā, tal

que:

C = Ā = 1 – μA(x)

O complemento de um conjunto fuzzy corresponde, na álgebra booleana binária, à operação

NOT.

Figura 13– Conjunto Fuzzy A e seu complemento Ā

Diferença

Dados dois conjuntos fuzzy A e B sobre um universo de discurso X, com graus de pertinência

de x iguais a μA(x) e μB(x) nos conjuntos fuzzy A e B, respectivamente,, dizemos que A≠B, se

μA(x) ≠ μB(x) para pelo menos um elemento de x ε X.


Igualdade

Dados dois conjuntos fuzzy A e B sobre um universos de discurso X, com graus de pertinência de

x iguais a μA(x) e μB(x) nos conjuntos fuzzy A e B, respectivamente, dizemos que A = B, se

μA(x) = μB(x) para todo x ε X.

Inclusão

Dados dois conjuntos fuzzy A e B sobre um universo de discurso X, com graus de pertinência de

x iguais a μA(x) e μB(x) nos conjuntos fuzzy A e B, respectivamente, dizemos que A está contido

em B, e representamos por A ≤ B, se μA(x) ≤ μB(x) para todo x ε X.

Corte α

O corte α de um conjunto fuzzy A, que representamos por Aα, corresponde ao conjunto clássico

que contém todos os elementos do conjunto universo X com grau de pertinência em A maior ou

igual a α:

Aα = { x ε X / μA(x) ≥ α }

Corte α forte

O corte α forte de um conjunto fuzzy A, que representamos por Aα+, corresponde ao conjunto

clássico que contém todos os elementos do conjunto universo X com grau de pertinência em A

maior que α, onde α ε [0, 1].

Aα+ = { x ε X / μA(x) maior que α }


Suporte

O suporte de um conjunto fuzzy A, em um conjunto universo X, é o conjunto clássico que

contém todos os elementos de X que possuem grau de pertinência diferente de zero em A, ou

seja, o suporte de A é exatamente o mesmo que o Corte α forte de A para α = 0.

Suporte (A) = { x / μA(x) ≥ 0 }

Core

O Core de um conjunto fuzzy A é o conjunto de todos os pontos de x ε X tal que μA(x) = 1:

Core(A) = { x / μA(x) = 1 }

Normal

Um conjunto fuzzy A é dito Normal se o seu Core não é vazio, ou seja, se há pelo menos um

ponto x ε X tal que μA(x) = 1

Ponto Crossover

É o conjunto de todos os pontos de x ε X tal que μA(x) = 0,5:

Crossover(A) = { x/μA(x) = 0,5 }

Singleton Fuzzy

É um conjunto fuzzy cujo suporte é um único ponto com μA(x) = 1

Singleton Fuzzy(A) = { x/μA(x) = 1 }


Convexidade

Um conjunto Fuzzy é dito convexo se e somente se x1, x2 ε X e λ ε [0, 1]:

μA[λx1 + (1 – λ)x2] ≥ min[μA(x1), μA(x2)]

Em outras palavras, A é convexo se todos os seus Corteα são convexos.

Número Nebuloso

Um número fuzzy A é um conjunto nebuloso em R que é convexo e normal.

Simetria

Um conjunto fuzzy A é dito simétrico se sua função de pertinência é simétrica em relação a um

dado ponto s = c:

μA(c + x) = μA(c – x); qualquer que seja x ε X

Produtos Cartesiano

A nomenclatura de produto cartesiano entre A e B é A X B. Seja A e B dois conjuntos fuzzy em

X e Y, respectivamente:

A X B é um conjunto fuzzy em X X Y cuja função de pertinência é:

μA x B(x, y) = min[μA(x) , μB(y)]


2.3.2 Propriedades dos conjuntos fuzzy

“Segundo WEBER & KLEIN(2003 p. 54), ‘as propriedades aplicáveis à teoria clássica dos

conjuntos(crisp sets) são, em grande parte, também, aplicáveis aos conjuntos fuzzy. Há duas

operações, no entanto, que não se mantêm quando aplicadas aos conjuntos fuzzy. São as

relacionadas a um conjunto fuzzy e seu complemento’ ”.

A primeira, lei da não contradição, estabelece, na teoria clássica dos conjuntos que a interseção

de um conjunto com seu complemento tem como resultado um conjunto vazio. A segunda, lei da

exclusão do meio, estabelece, na teoria clássica dos conjuntos, que a união de um conjunto com

seu complemento resulta no conjunto universo de discurso. Como os conjuntos fuzzy não

apresentam limites definidos de forma abrupta, eles não obedecem a estas leis.

Desta forma, podemos listar as seguintes propriedades como válidas para os conjuntos fuzzy:

Propriedade Comutativa: A U B = B U A, A ∩ B = B ∩ A;

Propriedade Associativa: A U ( B U C) = (A U B) U C, A ∩ ( B ∩ C) = ( A ∩ B) ∩ C;

Propriedade da Idempotência: A U A = A, A ∩ A = A;

Propriedade Distributiva: A U (B∩C) = (AU B) ∩ (A U C), A∩(BUC) = (A∩B)U(A∩C);

Propriedade dos Elementos Neutros: A ∩ 0 = 0, A U X = X;

Propriedade da Identidade: A U 0 = A, A ∩ X= A;

Propriedade da absorção: A U (A∩B) = A, A ∩(A U B) =A;


Teorema de De Morgan:

Propriedade da Involução: Ā = A.

Como dito anteriormente, a lógica Fuzzy trabalha com termos lingüísticos, ou seja, com

linguagem natural de comunicação dos seres humanos.

“A principal diferença entre a proposição clássica e a fuzzy está na faixa de seus valores-verdade.

Na teoria dos conjuntos crisp, da Lógica clássica, um elemento pertence ou não pertence ao

conjunto. Um conjunto fuzzy pode ser definido matematicamente por designar a cada elemento

do universo de discurso um valor representando o seu grau de pertinência ao conjunto fuzzy.

Esse valor de pertinência pertence a uma faixa de 0 (elemento não pertence ao conjunto) até

1(elemento totalmente pertencente ao conjunto). Uma função de pertinência é a relação entre os

valores de um elemento e seu grau de pertinência em um conjunto” (KLIR & YUAN in:

BARBOSA, 2001 p. 949).

A figura abaixo mostra uma comparação de um intervalo crisp com um intervalo fuzzy.

Figura 14 - Um intervalo fechado

convencional(Crisp)

Figura 15 - Um intervalo Fuzzy


2.3.3 Variáveis lingüísticas

Normalmente, os valores de pertinência são definidos através de variáveis lingüísticas. Cada

variável lingüística é completamente caracterizada por uma quíntupla (v, T, X, g, m) onde:

- X é o universo

- V é o nome da variável base

- T é o conjunto de termos lingüísticos de v

- G é uma regra sintática

- .m designa cada t ε T a seu significado, m(t), o qual é o conjunto fuzzy em X(m:T →

F(X))

Variável lingüística é um conceito subjacente à lógica fuzzy. As variáveis ligüísticas cumprem na

lógica fuzzy o mesmo papel que as variáveis numéricas nos modelos matemáticos convencionais,

com a diferença de que os valores que podem assumir são conceitos expressos em linguagem

natural, tais como “alto”, “quente”, “forte”, etc... Na lógica fuzzy, tais conceitos são

representados por conjuntos fuzzy, com funções de pertinência representando suas fronteiras.

Uma variável lingüística, portanto, será definida com certo número de funções de pertinência,

cada uma representado um valor ou conceito que a variável pode assumir, às quais são atribuídos

termos lingüísticos apropriados.

A figura 16 mostra um exemplo onde uma variável lingüística, representando a localização de um

imóvel, é descrita por cinco conjuntos fuzzy, identificados pelos termos lingüísticos: “muito

ruim”, “ruim, “regular”, “boa” e “muito boa”. Observe que uma mesma localização pode ser

representada por mais de um valor lingüístico. Dessa forma, uma variável lingüística pode ser

vista como uma função que mapeia o domínio de valores da variável convencional que está

representado no seu domínio de valores lingüísticos. Ela é, portanto, o instrumento da lógica

fuzzy que permite quantificar e manipular conceitos qualitativos, sendo especialmente úteis para

caracterizar incertezas em problemas em que as variáveis ou as relações funcionais não são bem

definidas.


Figura 16– Exemplo de variável lingüística

2.3.4 Sistema de Inferência Fuzzy

Também conhecidos como Sistema de Regras Fuzzy, são primordiais para desenvolver o

raciocínio fuzzy. Estão, geralmente, baseados em um nível generalizado da regra afirmativa

(modus ponens), expressas no formato SE-ENTÃO. Estas regras são chamadas de implicação

fuzzy, e assumem a seguinte forma: “SE x é A, ENTÃO y é B” ou “A → B”, onde A e B são

valores lingüísticos definidos por conjuntos fuzzy no universo de discurso X e Y,

respectivamente. A implicação fuzzy se divide em duas partes, uma chamada de antecedente ou

premissa (“x é A”) e outra denominada conseqüente ou conclusão (“y é B). A frase “SE pressão

é alta ENTÃO o volume é pequeno” é um exemplo de regra fuzzy.

O objetivo dos sistemas fuzzy é imitar o comportamento humano na escolha de determinada

estratégia em situações específicas.


É necessário estabelecer regras de implicação fuzzy, do tipo SE-ENTÃO, utilizando o

conhecimento e a experiência humana. Uma vez estabelecidas estas regras, pode-se realizar

estratégias de escolha por raciocínio fuzzy (TANAKA in: BARBOSA, 2001 p. 950).

Segundo WEBER(2003), existem quatro métodos de raciocínio fuzzy para obter-se o resultado de

inferência de um sistema: Método de Mamdani, Método de Larsen, Método de Tsukamoto e

Método de Takagi e Sugeno, dos quais nos deteremos apenas nos métodos de Mamdani e Takagi

e Sugeno.

2.3.4.1 Método de Mamdani

O método de raciocínio fuzzy de Mamdani é baseado em operadores de inferência MAX-MIN.

Figura 17 - Método de Mamdani


2.3.4.2 Método de Takagi e Sugeno

Um outro tipo de regra condicional foi proposta por Takagi e Sugeno. Este tipo de regra utiliza

igualmente proposições difusas para descrever o antecedente (condições), mas suas

conseqüências são descritas com expressões não fuzzy. Tipicamente, estas regras utilizam

expressões que são funções lineares das variáveis lingüísticas antecedentes, e são descritas como

(BARBALHO, 2001):

Se “X é A” e “Y é B” então “z = p*X + q*Y + r”

Onde X e Y são variáveis lingüísticas antecedentes, A e B são termos lingüísticos associados a

estas variáveis, e p, q e r são constantes.

Regras assim descritas são ditas de primeira ordem. Uma outra forma, dita de ordem zero,

expressa sua conseqüência como uma função constante, tendo a forma:

Se “X é A” e “Y é B” então “z = r”

Neste caso, a regra pode ser vista como um caso particular da regra do tipo Mamdani, em que a

função de pertinência associada à conseqüência é uma função pulso. Funções de mais alta ordem

podem ser utilizadas, não parecendo vantajoso dada a complexidade que introduzem.

Ambos os tipos de regras têm sido extensivamente utilizados em modelagem e sistemas de

controle.

Regras do tipo Sugeno, embora mais eficientes computacionalmente são mais complexas e

menos intuitivas que as regras do tipo Mamdani.

Neste trabalho serão utilizadas somente as regras do tipo Mamdani.


Figura 18- Exemplo da estratégia de raciocínio de Takagi e Sugeno

2.3.4.3 Composição de Conseqüências

Quando um sistema de regras é avaliado para um conjunto de valores dados para as variáveis de

entrada, encontram-se, em geral, mais de uma regra aplicável. Neste caso, as conseqüências

obtidas pela inferência destas regras devem ser combinadas ou agregadas para produzir uma

resposta única do sistema para cada variável de saída (BARBALHO, 2001).

Dentre os vários métodos de agregação de conseqüências, os mais utilizados são os que aplicam a

função máximo, correspondente à união dos conjuntos fuzzy(figura ), ou a função soma, na qual

a resposta agregada é obtida pela soma das funções de pertinência que representam as conjuntos

fuzzy.

2.3.4.4 Defuzzificação

Muitas vezes, contudo, os conjuntos fuzzy obtidos pela agregação de conseqüências não são

suficientes como respostas do sistema, sendo necessária a escolha de valores numéricos


representativos das respostas fuzzy. Há inúmeros métodos de defuzzificação; porém, só

aproximadamente seis são práticos e sua escolha é, de alguma forma, subjetiva. Estes escolhem

como resposta numérica ou valor defuzzificado: centro da área ou centro de gravidade;

defuzzificação por altura; centro da maior área; mais significativo dos máximos e centro de

máximo (figuras 19, 20, 21 e 22, abaixo).

Figura 19– Defuzzificação pelo centro

Figura 20– Defuzzificação por altura de área

Figura 21– Defuzzificação pelo centro da

maior área

Figura 22– Defuzzificação pelo centro de

máximo

Capítulo 3

METODOLOGIA E CONSTRUÇÃO DOS

MODELOS

3.1 Introdução

Entre os vários conceitos de método podemos citar FERRARI (1974), para quem “Método é a

forma de proceder ao longo de um caminho. Na ciência os métodos constituem os instrumentos

básicos que ordenam de início o pensamento em sistemas, traçam de modo ordenado a forma de

proceder do cientista ao longo de um percurso para alcançar um objetivo”.

Para Andrade(2001), metodologia é o conjunto de métodos ou caminhos que são percorridos na

busca do conhecimento.

Nesta dissertação, será utilizado como método de abordagem o indutivo e como métodos de

procedimentos o estatístico e o comparativo.

A pesquisa é de natureza quantitativa e a coleta de dados para elaboração dos modelos foi

realizada na cidade de São Luís-Ma., entre os meses de junho/2003 e dezembro/2003,

considerando-se somente apartamentos de um, dois e três quartos, localizados nos bairros

denominados Renascença, São Francisco e Ponta D'Areia. Portanto, tal pesquisa não engloba

todo mercado imobiliário dessa capital. Foram pesquisados preços de ofertas e transações

Capítulo 3 METODOLOGIA E CONSTRUÇÃO DOS MODELOS 40

efetivadas, utilizando-se como fontes de informações as empresas imobiliárias, anúncios

classificados de jornais, escritórios de engenharia e pesquisa de campo.

Figura 23 - Bairros de São Luís origem das amostras

Utilizando-se os dados coletados foram construídos dois modelos para estimação do valor de

mercado de um apartamento nessas regiões: um modelo estatístico de regressão linear múltipla e

outro baseado nos conceitos da Lógica Fuzzy, de acordo com os princípios teóricos expostos na

revisão de literatura, desta dissertação.

Para aferição dos resultados obtidos será efetuada nova coleta de dados. Quando, então, serão

comparados os valores estimados pelos dois modelos — regressão linear múltipla e Lógica

Fuzzy — com os valores obtidos nesta segunda amostragem. E, desta forma, tirar conclusões

sobre a aplicabilidade da Lógica Fuzzy na avaliação de imóveis urbanos, metodologia esta não

contemplada nas normas da Associação Brasileira de Normas Técnicas(ABNT).


A seguir, encontra-se exposta a metodologia que será empregada na construção dos dois modelos

e os resultados alcançados.

3.2 Construção do modelo de regressão linear múltipla

3.2.1 Dados

Na pesquisa de mercado que será realizada, deverá ser obtida uma amostra representativa dos

apartamentos situados naqueles bairros da cidade de São Luís-Ma, constituída de pelo menos

cinqüenta dados amostrais.

As informações a serem colhidas sobre cada imóvel integrante da pesquisa, serão eleitas com

base na experiência do engenheiro avaliador. O critério que será adotado para escolha destes

atributos será o de maior poder de explicação na formação do preço de mercado dos imóveis e

serão: localização, padrão de acabamento, estado de conservação, pavimento de situação do

apartamento, elevadores do prédio, número de equipamentos comunitários existentes no

condomínio, número de vagas de garagem pertencente ao apartamento e oferta/venda

O método escolhido para colheita dos deverá garantir as características de aleatoriedade da

amostra. Pois, nas imobiliárias; classificados de jornais e trabalho de campo; os imóveis que

compõem a amostra foram selecionados de forma aleatória. E, todo apartamento disponível a

venda ou já transacionado, terá a mesma probabilidade de participar da amostra, o que sugere a

garantia desta aleatoriedade. Esta característica permite fazer inferência sobre a população deste

mercado de apartamentos.


3.2.2 Variáveis

Na metodologia utilizada para construção do modelo de regressão linear múltipla será adotada

como equação de estimativa do valor do apartamento e variáveis, explicada e explicativas:

Y = β0 + β1 X1 + β2X2 + β3X3 + β4X4 + β5X5 + β6X6 + β7X7+ β8X8 + ε

Variável Explicada: Y = preço unitário (R$/m2)

Variáveis Explicativas Quantitativas:

X2 = Número do pavimento do prédio onde está situado o apartamento

X6 = Quantidade de equipamentos comunitários existentes no condomínio tais como:

piscina, salão de festas, salão de jogos, quadra de esportes;

Variáveis Explicativas Qualitativas:

X3 = Localização dos prédios na região

X4 = Estado de conservação do apartamento

X5 = Padrão de acabamento construtivo

Variável Explicativa Dummy:

X7 = Fonte de informação Oferta/Venda.

X1 = Existência de vagas de garagem.

X8 = Existência de elevador

Através da sistemática de regressão “backward” serão escolhidas quais das variáveis selecionadas

como explicativas do valor unitário do preço do apartamento — localização, padrão de

acabamento, estado de conservação, garagens, pavimento, equipamentos comunitários,


oferta/venda, elevador — as que mais contribuem para diferenciação de preço entre os

diversos imóveis.

A seguir, será feita uma conceituação de cada uma dessas variáveis e os critérios que as mesmas

deverão atender para compor a equação de regressão anteriormente mencionada.

3.2.2.1 Variável localização

A variável explicativa localização considera os efeitos da situação geográfica do

prédio de apartamentos na malha urbana. Observa-se que o valor de um imóvel está

diretamente associado a sua proximidade com pólos comerciais, praças, transporte

público, escolas, serviços de infraestrutura de água, esgoto, telefone, pavimentação,

drenagem, energia elétrica.

Esta variável é comumente medida através da construção de uma escala, na qual o

engenheiro avaliador pontua, em ordem crescente, a importância da localização na

formação do preço do apartamento. Este critério de medição da variável localização

costuma causar críticas e desconforto, pois embuti a subjetividade do engenheiro

avaliador na escolha das medidas da escala construída. Entretanto, nesta

dissertação, pelas dificuldades na coleta dos dados amostrais, será o critério

utilizado para medição desta variável.

3.2.2.2 Variável estado de conservação

Como toda variável qualitativa, estado de conservação será mensurado através de uma escala

atribuída pelo engenheiro avaliador, indicando que quanto melhor conservado o apartamento

estiver, maior será o valor alcançado no mercado. Assume-se que esta variável incorpore a

influência de um outro atributo que poderia ser utilizado como ascendente sobre o valor do


apartamento — idade aparente. Esta opção, aqui nesta dissertação, justifica-se pelo fato de que

estas duas variáveis — estado de conservação e idade aparente — tendem a apresentar, entre si,

níveis de colinearidade inaceitáveis.

A variável estado de conservação será mensurada em uma escala crescente conforme a condição

física do apartamento e condomínio: pintura, revestimentos, pisos, fachadas, cobertura, forros,

instalações elétricas, hidro-sanitárias, telefônicas.

3.2.2.3 Variável pavimento

Esta variável irá captar a influência da situação do apartamento dentro do edifício no que se

refere ao nível ou andar, relativo ao térreo. A prática tem demonstrado que, para prédios dotados

de elevadores, apartamentos situados em andares mais elevados costumam ser transacionados por

valores maiores que apartamentos situados em andares mais baixos. Esta relação tem-se mostrado

inversa para prédios sem elevadores.

Por força da legislação municipal da cidade de São Luís-Ma, edifícios de até quatro andares,

incluído o térreo, podem ser edificados sem a instalação de elevadores. Assim, como a instalação

de elevadores representa uma parcela considerável do custo de uma obra, a totalidade dos

edifícios com até este número de pavimentos não possuem elevadores.

A obtenção de dados do mercado imobiliário costuma ser tarefa difícil, por isso costuma-se

incluir como elementos da amostra apartamentos localizados em prédios com e sem elevadores, o

que, em princípio, mostra-se confuso, pois como acima mencionado, a influência desta variável

mostra-se inversa nas duas tipologias de construção – prédios com e sem elevadores.

Para sobrepor este conflito introduz-se uma outra variável — existência ou não de elevador —

cujo objetivo primordial será captar estas influência separadamente.


3.2.2.4 Variável elevador

Como acima esclarecido, esta variável é incorporada ao modelo para eliminar o conflito da

relação inversa existente preço e posição do apartamento no prédio, quando a amostra é composta

de edificações com e sem elevadores.

Para capturar a influência desta variável na formação do preço do apartamento, será utilizada uma

variável dicotômica.

3.2.2.5 Variável Garagem

Para apartamentos destinados às classes média e alta, como é o caso das regiões onde será

coletada a amostra, a característica de possuir estacionamento/garagem influi positivamente no

valor de mercado do imóvel. Assim, será definida uma variável qualitativa para o modelo

denominada garagem, cujo objetivo é mensurar a influência da existência de garagem no valor

do imóvel.

3.2.2.6 Variável padrão de acabamento

A qualidade dos materiais, mão-de-obra, processo construtivo e administração, empregados em

uma obra, estão intimamente ligados ao aspecto final e durabilidade de um imóvel. Desta forma,

quanto melhor a qualidade de uma edificação maior será seu valor de mercado.

Nesta dissertação, utilizaremos a variável padrão de acabamento para explicar a influência da

qualidade da edificação sobre o valor de mercado do apartamento. Para isto, será criada uma

escala para pontuar o padrão de acabamento do apartamento segundo os critérios da NB-140,

pontuando cada classificação deste padrão em escala crescente.


3.2.2.7 Variável equipamento comunitário

A existência de equipamentos comunitários, aqui entendidos como instalações internas ao

condomínio, tais como: quadra de esporte, piscina, salão de festas, sala de ginástica; influem

positivamente, aumentando o valor de mercado do apartamento.

Para aferir a influência da existência destes equipamentos comunitários na valorização do imóvel

criar-se-á uma escala com amplitude adequada para qualquer combinação de quantidades dos

mesmos. Considerando que, isoladamente, qualquer um deles exerce a mesma influência sobre o

valor.

Equipamentos como: guarita, lixeira, portão; não serão considerados; pois são comuns a todos os

edifícios existentes naqueles bairros e alguns pertencem à relação de equipamentos mínimos

exigidos pelo código de postura municipal.

3.2.2.8 Variável Oferta/Venda

O proprietário do imóvel quando coloca o bem no mercado para venda, costuma acrescer o valor

pelo qual realmente deseja vende-lo. Esta tendência decorre da necessidade de uma folga para

negociação e fechamento da transação. Em decorrência da lei de oferta e procura do mercado

imobiliário, esta flutuação pode chegar a 20% do valor de oferta. Portanto, costuma-se utilizar

uma variável dicotômica — oferta/venda — para inferir-se a dimensão desta variação.

A variável oferta/venda do modelo de regressão linear múltipla, aplicado ao estudo de caso dos

imóveis de São Luís-Ma, terá a seguinte forma:

0 quando o preço obtido no mercado referir-se a uma transação;

1 quando o preço referir-se a uma oferta.


3.2.3 O processo de análise de regressão

Eleitas as variáveis que comporão o modelo, o reconhecimento das mais relevantes na

determinação do valor unitário do apartamento será efetuado utilizando-se a metodologia

conhecida como Regressão Backward, implementada através do software SISREN, marca

registrada da empresa Pelli Sistemas.

Nesta busca por variáveis fundamentais do modelo proposto, que melhor expliquem o valor

unitário do preço do apartamento, o nível de significância considerado será de 5 % e a equação de

regressão ficará, assim, determinada:

Valor unitário = β0 + β1(Garagem) + β2(Pavimento) + β3(Localização) +

β4(Conservação) + β5(Padrão de acabamento)+ β6(Equipamento comunitário) +

β7(Elevador) + β8(Oferta/Venda) + erro esperado do modelo

Assim, com todas estas variáveis, a priori, julgadas relevantes pelo engenheiro avaliador,

otimizar-se-á a primeira regressão. Observando-se o valor do nível de significância de cada

variável, descarta-se a variável com maior nível de significância acima de 10%. Após o descarte

de uma variável, faz-se uma nova regressão com as variáveis restantes e descarta-se, novamente,

a variável com maior nível de significância acima de 10%. Este processo é executado

ininterruptamente até sobrar somente variáveis com nível de significância igual ou inferior a

10%.

Uma vez identificadas as principais variáveis, deve ser analisado se o modelo atende às

expectativas, investigando-se o nível de significância global da regressão através da estatística F

de Fisher e Snedecor, coeficiente de determinação (R2), coeficiente de correlação entre as

variáveis (ρ), heterocedasticidade, multicolinearidade, intervalo de confiança, normalidade dos

resíduos, autoregressão.


3.3 Construção do modelo fuzzy

A modelagem baseada em regras fuzzy tem como ponto central a definição e a verificação de um

sistema de regras. A definição das regras é o procedimento em que o conhecimento e/ou os dados

disponíveis são transcritos em regras. Neste processo, quatro situações distintas podem ocorrer

(Bárdossy in: BARBALHO, 2001):

1) As regras são bem conhecidas pelos especialistas e podem ser descritas diretamente;

2) As regras podem ser definidas por especialistas, mas os dados disponíveis devem ser

utilizados para atualiza-las;

3) As regras não são conhecidas explicitamente, mas as variáveis requeridas para a

descrição do sistema podem ser especificadas por especialistas;

4) Somente um conjunto de observações está disponível, e um sistema de regras tem de ser

definido de forma a descrever interconexões entre os elementos desse conjunto de

dados.

Excetuando-se a primeira situação, em que as regras são definidas unicamente através do

conhecimento de especialistas, nas demais, um sistema parametrizado de regras deve ser,

inicialmente, definido e, posteriormente, ajustado com base num conjunto de dados contendo

valores para as variáveis de entrada e de saída, buscando representar, da melhor forma possível,

segundo algum critério especificado, a relação entrada/saída desejada. O modelo assim obtido

deve representar bem a relação contida no conjunto de dados para o qual foi treinado. Entretanto,

o modelo será realmente válido quando representar bem a relação contida em qualquer conjunto

de dados que lhe seja apresentado BARBALHO (2001).

Nesta dissertação, adotar-se-á para construção do conjunto de regras do sistema de inferência

fuzzy o processo descrito na situação 4 acima, ou seja, com base nos dados da amostra coletada

serão definidas interconexões entre os atributos desse conjunto de dados.

O processo de modelagem baseada em regras fuzzy, portanto, é um processo iterativo que

envolve, geralmente, quatro etapas:


- Seleção das variáveis do modelo;

- Partição do domínio;

- Atribuição de funções de pertinência e termos lingüísticos.

- Descrição das regras

3.3.1 Seleção das variáveis do modelo

A escolha correta das varáveis relevantes é fundamental para sucesso do modelo desenvolvido.

Na pesquisa da literatura não foi encontrado nenhum método estabelecido para identificação das

variáveis relevantes.Assim, para seleção das variáveis do caso em estudo — avaliação de

apartamento em S. Luís-Ma — as variáveis selecionadas serão as que melhor explicarem o valor

de mercado do imóvel através do modelo de regressão múltipla descrito no item anterior, ou seja,

as que mais influenciarem na explicação do preço:

Variáveis de entrada (independentes): Localização do imóvel, equipamentos comunitários,

pavimento, estado de conservação, garagem, padrão de acabamento, elevador e outras que

poderão mostrar-se importantes no decorrer da análise de regressão

Variáveis de saída (dependente): valor unitário (R$/m2)

3.3.2 Partição de domínios

Esta fase da modelagem fuzzy objetiva à representação das variáveis numéricas como variáveis

lingüísticas, para isto, obrigatório se faz atribuir uma função de pertinência e um termo

lingüístico para cada partição do domínio. O número de partições deve ser o suficiente para

explicar a relação existente entre as variáveis. Quanto maior o número de partições, maior a

precisão, mas a demanda computacional também é mais significativa. Um número prático de

partições é algo entre 2 e 7. Por exemplo, experiências mostraram que uma mudança de 5

partições triangulares para 7 aumenta a precisão em torno de 15%, a partir de valores maiores não

há melhorias extremamente significativas SHAW(1999).


É de suma importância, também, a forma de partição do domínio. Todavia o toolbox do Matlab

utiliza algoritmos de agrupamento que automatiza esta divisão, bastando o operador especificar o

número de partições desejadas.

3.3.3 Atribuição de funções de pertinência e termos lingüísticos

Existem vários tipos de funções de pertinência que podem ser usadas para transformar valores

numéricos em conjuntos fuzzy necessários para transmitir conceitos de comunicação e

conhecimento dos seres humanos, dentre eles, destacamos: triangular, trapezoidal, sigmóide e

gaussiana.

No entanto, até hoje, não existe consenso sobre qual forma de função de pertinência é mais

adequada para cada de tipo de aplicação. Shaw (1999, p. 46) orienta que o formato da função de

pertinência deve ser escolhido com base na experiência, na natureza do processo a ser controlado,

ou numa entrevista com um operador humano especializado, que realize as funções de controle

manualmente.

A cada partição do domínio de discurso da variável lingüística será associada uma forma de

função de pertinência e termo lingüístico adequado, que expresse a avaliação vaga, ambígua do

engenheiro avaliador.

No estudo de caso dos imóveis de S. Luís-Ma. as funções de pertinência atribuídas a todas as

variáveis lingüística, dependentes e independentes, serão da forma gaussiana. E, como exemplo

de termos lingüísticos que poderão ser atribuídos às diversas partições dos domínios das variáveis

lingüísticas, podemos citar:

Variáveis de entrada:

- Localização: muito ruim, ruim, regular, boa e muito boa;

- Equipamento Comunitário: pobre, regular, bom e ótimo

- Pavimento: regular, bom, muito bom;


- Estado de conservação: precário, regular, bom, ótimo, novo.

Variável de saída:

- Valor unitário do apartamento (R$/m2): muito baixo, baixo, regular, médio,

alto

3.3.4 Descrição das regras

Nesta fase da modelagem fuzzy, buscar-se-á identificar um conjunto inicial de regras,

diretamente, através da análise dos dados presentes na amostra coletada. Processo no qual,

primeiramente, os dados serão agrupados de acordo com as partições definidas inicialmente para

as variáveis de entrada e de saída. E, posteriormente, buscaremos identificar a regra implícita em

cada grupo. Vale lembrar que a idéia de repartir os domínios ao mesmo tempo em que as regras

são identificadas foi utilizada nos algoritmos propostos em BÁRDOSSY (1995).

Capítulo 4

RESULTADOS

4.1 Modelo de regressão múltipla

Elaborado o modelo conforme a metodologia descrita no item anterior 4.1 desta dissertação, foi

efetuado o cálculo da primeira regressão pelo processo backward, contendo as oito variáveis

eleitas pelo avaliador, como sendo as que mais influenciavam a variável valor unitário:

garagem, pavimento, localização, estado de conservação, padrão de acabamento,

equipamento comunitário, elevador, oferta/venda

Com nível de significância adotado de 10%, mostraram-se insignificantes quatro variáveis:

padrão de acabamento, vagas de garagem, elevador e oferta/venda; com níveis se significância

de 50,88; 96,59; 84,93 e 73,20, respectivamente.

Em seguida, novas simulações foram executadas, excluindo-se do modelo estas quatro variáveis

que se mostraram insignificantes na primeira simulação, da seguinte forma: primeiro, eliminou-se

uma a uma, depois, duas a duas, três a três, em todas as combinações possíveis. Para todas estas

simulações as variáveis continuaram a se mostrar insignificantes. Em seguida, eliminando-se as

quatro variáveis, calculou-se nova equação. Desta vez, as variáveis restantes: estado de

Capítulo 4 RESULTADOS 53

conservação, pavimento, equipamentos e localização; mostraram-se todas significantes ao

nível de 10%. E, a equação e demais características deste último modelo obtido, foram:

4.1.1 Equação de regressão ajustada:

Valor unitário = +159,7905809

+ 20,29153231*(Conservação)2

+ 1,587039847*(Pavimento)2

+ 49,62404*Equipamentos

+ 282,0060501*(Localização)0,50

Os coeficientes das variáveis mostraram-se todos compatíveis com as hipóteses formuladas na

elaboração do modelo, ou seja, uma relação positiva entre a variável dependente valor unitário e

demais variáveis independentes. Quanto maiores os valores das variáveis independentes, maior

será a variável dependente valor unitário, portanto, este resultado é compatível com as hipóteses

formuladas no item 4.1.2 desta dissertação.

4.1.2 Níveis de significâncias e t de Student:

Variável T(student)

(calculados)

Significância

Conservação 6,20 0,01

Pavimento 4,65 0,01

Equipamento 1,97 5,25

Localização 3,45 0,10

Valor Unitário - -

Tabela 1 - Significâncias e t de student obtidos


Os níveis de significância obtidos para as variáveis independentes, estão todos abaixo do

limite máximo fixado como aceitável (10%) para teste bicaudal. E, os valores críticos dos

t da distribuição de Student, com 61 graus de liberdade, são todos superiores aos

tabelados(t61, 10% = 1,67). Por conseguinte, podemos rejeitar a hipótese nula de que os

coeficientes da equação de regressão sejam iguais a zero ao nível de significância de 10%.

4.1.3 Validade da regressão:

A validade da regressão é feita através da distribuição de Fisher e Snedecor, calculando-se

a razão F, considerando os graus de liberdade do numerador e denominador desta razão,

comparando-se em seguida este valor calculado com o valor tabelado dessa distribuição.

Para a amostra em estudo o grau de liberdade do numerador é igual 4 (número de

variáveis explicativas) e o grau de liberdade do denominador é 59 (número de dados

considerados na amostra menos número de variáveis explicativas). Para o nível de

significância considerado de 1%, imposto pela NBR 5676/90, encontramos:

F(calculado pelo SISREN) = 88,41

F(tabelado) = 2,53

Comparando-se o valor calculado da razão F com o valor tabelado, verifica-se que este

(tabelado) é bem inferior ao calculado pelo SISREN, por conseguinte, a equação de

regressão é válida, ou seja, existe regressão das variáveis independentes sobre a variável

dependente.

4.1.4 Multicolinearidade

Mostra-se nas figuras 25 e 26, abaixo, os coeficientes de correlação obtidos entre as

variáveis emparelhadas duas a duas, calculados pelo SISREN, na condição de com e sem

influência das demais variáveis.


Verifica-se que, em ambas as situações, o coeficiente de correlação entre a variável

dependente valor unitário e as demais variáveis independentes é bastante satisfatório.

Mostrando-se mais forte quando confrontadas as variáveis: estado de conservação e

pavimento – 76% e 61% na correlação sem influência; 64% e 53% na correlação com

influência.

As correlações entre as variáveis independentes mostraram, por sua vez, comportamento

moderado, o que evidencia a ausência de multicolinearidade entre as mesmas. Os valores

máximos alcançados foram 16% e 21% nas correlações, com influência, entre localização

e estado de conservação; localização e equipamentos comunitários, respectivamente.

A ausência de multicolinearidade no modelo, fica, ainda, mais evidenciada quando se

observa a expressiva diferença entre os valores da estatística F — calculado e tabelado

— 88,41 e 2,53, respectivamente.

Outro indicador da ausência de multicolinearidade é a superioridade das estatísticas t de

student calculadas para um nível de significância de 10% em relação aos valores

tabelados das mesmas, conforme já exposto em item anterior desta dissertação.

Figura 24 – Coeficientes de correlação (sem influência)


Figura 25– Coeficientes de correlação (com influência)

4.1.5 Coeficiente de determinação:

O valor do coeficiente de determinação obtido na modelagem do SISREN foi 78,17 % para o

modelo ajustado, ou seja, tem-se forte indicativo de que as variáveis independentes

remanescentes da modelagem — estado de conservação, pavimento, equipamentos

comunitários e localização — explicam a quase totalidade da variabilidade dos preços dos

apartamentos. Apenas 22,83 % da variabilidade amostral corresponde a outros atributos não

detectados na pesquisa. O que é um bom indicativo do ajuste do modelo adotado.

4.1.6 Heterocedasticidade

Uma das seis hipóteses básicas do modelo de regressão linear múltiplo é a consideração

de que a variância dos erros é constante, o que é conhecido como homocedastidade.

Segundo SARTORIS (2003), existem diversos testes citados na literatura cujo objetivo é

identificar a presença de heterocedasticidade, entre estes testes podemos citar os teste de

Goldfeld e Quandt e outro conhecido como teste de White. Entretanto, na grande maioria

das vezes, a análise do gráfico dos resíduos do modelo de regressão é suficiente para

indicar a presença de heterocedasticade. O SISREN, software usado nesta modelagem,

não executa nenhum dos dois testes anteriormente mencionados, mas elabora o gráfico

dos resíduos do modelo. E, é este gráfico que será foi usado nesta dissertação, conforme

abaixo representado:


Figura 26– Gráfico dos resíduos da variável valor unitário

Inspecionando o gráfico dos resíduos da variável dependente valor unitário, Figura 27,

acima, não observamos nenhuma discrepância na dispersão dos erros, ou seja, eles se

mantêm mais ou menos constantes, tanto para valores baixos como para valores altos da

variável dependente, sem nenhuma variação gradativa. O que vem denotar ausência de

heterocedasticidade.

4.1.7 Autocorrelação:

Utilizada a estatística de Durbin-Watson para verificação da existência de autocorrelação

na variável dependente valor unitário, ou seja, se esta variável não está correlacionada

com valores defasados dela mesma; o SISREN encontrou para o coeficiente desta

estatística o valor de 1,93, por conseguinte, podemos concluir inexiste autocorrelação, já

que este valor encontra-se no intervalo de 1,54 a 2,00.

4.1.8 Normalidade dos resíduos:

Outra hipótese do modelo de regressão linear múltiplo é que a distribuição dos resíduos,

diferença entre os valores calculados com base na reta de regressão e o valores

pesquisados, tendam à uma distribuição normal.


Tal tendência pode ser observada no modelo desenvolvido pelo SISREN, conforme se

pode observar na comparação entre os resultados obtidos na modelagem e os valores da

curva normal padronizada, Tabela 4 e Figura 29, abaixo ilustradas:

Intervalo Curva Normal Resíduos

-1,00σ a + 1,00σ 68% 73%

-1,64σ a + 1,64σ 90% 88%

-1,96σ a + 1,96σ 95% 95%

Tabela 2 – Normalidade dos resíduos

Figura 27– Gráfico para verificação do ajustamento da reta de regressão

Figura 28– Distribuição de freqüência dos resíduos


4.2 Lógica Fuzzy

Descrito os resultados obtidos na modelagem usando regressão linear múltipla, conforme

exposto no subitem anterior, será relatado, agora, os resultados da modelagem utilizando

Fuzzy Logic.

O sistema de inferência fuzzy foi criado utilizado-se o utilitário Fuzzy Logic Toolbox, que

se constitui num conjunto de funções desenvolvidas no ambiente de computação numérica

do software MATLAB®

Todo processo de elaboração do sistema de inferência fuzzy seguiu os procedimentos

descritos no subitem 3.3 — Construção do modelo fuzzy — desta dissertação. Assim, a

partir do que foi exposto neste subitem, apresenta-se, a seguir, os resultados obtidos na

aplicação do modelo de inferência fuzzy sobre os dados amostrais coletados em São Luís-

Ma.

4.2.1 Seleção das variáveis do modelo

Conforme já exposto, não existe um método estabelecido para identificação das variáveis

relevantes que mais influenciam no valor do imóvel. Assim, as variáveis a serem utilizadas como

entrada do sistema de inferência fuzzy, serão as que se mostraram mais significantes após o

ajustamento do modelo de regressão múltipla — localização, estado de conservação,

pavimento, equipamentos comunitários — denominadas de imput no MATLAB.

Conseqüentemente, a variável de saída (output), resposta do sistema de inferência fuzzy, será a

variável valor unitário do preço do apartamento. Abaixo, na Figura 30, podemos observar estas

variáveis na tela extraída do MATLAB.


Figura 29– Variáveis de entrada e saída implementadas no MATLAB

4.2.2 Partição dos domínios

Continuando a implementação do modelo no MATLAB, foram particionados os domínios das

variáveis de entrada e saída do sistema de inferência fuzzy. O número de partições do domínio

das variáveis de entrada e saída do sistema de inferência fuzzy deve ser igual ao número de

termos lingüísticos usados para expressar a avaliação vaga, ambígua do engenheiro avaliador do

imóvel.

Os domínios das variáveis de entrada e de saída do sistema de inferência fuzzy foram

particionados da seguinte forma, conforme Figuras 31, 32, 33, 34 e 35, abaixo:



Localização: 5 partes

Estado de conservação: 5 partes

Pavimento: 15 partes

Equipamentos Comunitários: 6 partes

Variável de saída:

Valor unitário: 8 partes

4.2.3 Atribuições de funções de pertinência e termos lingüísticos

Na literatura pesquisada não foi encontrado nenhum consenso sobre qual forma de função de

pertinência é mais adequada para cada tipo de aplicação. Desta forma, apesar do editor de

funções de pertinência do MATLAB ser rico no número destas funções, para este estudo dos

imóveis de São Luís-Ma, foi escolhida, arbitrariamente, a curva de gauss como função de

pertinência para transformar valores numéricos em conjuntos fuzzy, necessários para transmitir

os conceitos de comunicação e conhecimento do engenheiro avaliador.

Os parâmetros das curvas são atribuídos automaticamente pelo editor de funções de pertinência

do MATLAB, entretanto, os mesmos podem ser alterados pelo usuário, mas nesta dissertação

foram mantidos os parâmetros sugeridos de forma automática pelo sistema.

Os termos lingüísticos adotados pelo engenheiro avaliador para as variáveis de entrada e saída

do sistema fuzzy, caso específico da amostra de apartamentos utilizada nesta dissertação, foram:


- Localização: muito ruim, ruim, regular, boa e muito boa;

- Equipamento comunitário: pobre, regular, bom, ótimo

- Pavimento: do 1˚ ao 3˚ pavimento - regular

4˚ ao 7˚ pavimento - boa


8˚ ao 15˚ pavimento - muito boa;

- Estado de conservação: precário, regular, bom, ótimo, novo;

Variável de saída: Valor unitário(R$/m2): muito baixo, baixo, regular, médio, alto.

Os resultados obtidos pelo sistema de inferência fuzzy do MATLAB, utilizando o processo de

Mandani de fussificação das variáveis, para partição dos domínios, atribuição de funções de

pertinência e termos lingüísticos, encontram-se abaixo, conforme Figuras 31, 32, 33, 34 e 35,

abaixo:

Figura 30– Variável Localização: termos lingüísticos, funções de pertinência e partição do

domínio


Figura 31– Variável conservação: termos lingüísticos, funções de

pertinência e partição do domínio

Figura 32– Variável pavimento: termos lingüísticos, funções de

pertinência e partição do domínio


Figura 33– Variável equipamento comunitário: termos lingüísticos,

funções de pertinência e partição do domínio

Figura 34– Variável independente valor unitário: termos lingüísticos, funções de pertinência e

partição do domínio


4.2.4 Criação das regras

Após implementar as partições dos domínios, funções de pertinências e termos lingüísticos das

variáveis de entrada e saída no MATLAB, o passo seguinte para completar a modelagem fuzzy

foi criar um conjunto de regras entre a variável dependente e as variáveis independentes,

baseado na análise dos dados presentes na amostra de apartamentos coletada e já utilizada para

modelagem por regressão. linear múltipla.

Para identificar o conjunto de regras, os dados presentes na amostra de apartamentos coletada em

São Luís-Ma foram agrupados de acordo com as partições definidas para a variável de saída,

conforme mencionado no subitem 4.2.3, desta dissertação.

Com os 68 dados amostrais foram possíveis obter 55 regras do tipo Se.....Então, que foram

implementadas no editor de regras do MATLAB.

Os agrupamentos de dados que deram origem ao conjunto de regras do sistema de inferência

fuzzy encontram-se no Anexo II, desta dissertação. E, as regras obtidas com estes agrupamentos,

após implementadas no MATLAB, encontram-se na Figura 36 e 37, abaixo:


Figura 35 – Regras de inferência fuzzy do tipo Se /E/Então, implementadas no MATLAB


Figura 36 – Visualização das combinações das regras fuzzy de entrada e saída do MATLAB 1

4.3 Comparação de Resultados

Finalizadas as construções dos modelos de regressão linear múltipla e fuzzy logic, nos termos da

metodologia fixada nesta dissertação, para validação deste último, foi coletada nova amostra com

19 dados de imóveis transacionados, entre os meses de janeiro/2004 e maio/2004, nos mesmos

bairros de São Luís-Ma onde foi feita a primeira amostra e que se encontram listadas no Anexo

III desta dissertação.

Em seguida, foram estimados os valores de mercado para cada apartamento componente dessa

nova amostra, utilizando-se os dois modelos — regressão múltipla e fuzzy logic — depois estes


resultados foram comparados com os valores de transação obtidos na segunda pesquisa de

mercado. O resultado encontra-se listado na Tabela 3, abaixo:

Tabela 3 - Comparação dos resultados obtidos pelos modelos de RLM e Logic Fuzzy aplicados

à segunda amostra.

Com exceção dos dados grifados de amarelo na tabela acima, nota-se que os modelos, de modo

geral, reproduziram bem os valores observados no mercado quando da coleta da segunda amostra

de preços de apartamentos.

A maior diferença porcentual entre o valor estimado pelo modelo de regressão múltipla e o valor

colhido no mercado ocorreu para o dado de número 16, e foi de 30,46% acima. Para o modelo de

Fuzzy Logic, a maior diferença percebida foi de 27,35% abaixo do valor colhido no mercado e

ocorreu para o dado de número de 15.

Por outro lado, existiram dados em que praticamente coincidiram os valores estimados pelos dois

modelos e os valores obtidos no mercado, caso dos dados de números 3 e 13, no modelo de

Apartamento

NR

Valor

pesquisa

do em

R$/m2

(1)

Estimação pelo MRLM Estimação pelo MLF Diferença %

MRLM e

Fuzzy Logic Valor R$/m

2

(2)

Diferença

%(2-1)

Valor

R$m2 (3)

Diferença

% (3-1)

1 1.428,57 1.372,68 (3,91) 1.240,00 (13,20) (9,67)

2 1.280,00 1.097,64 (14,25) 1.040,00 (18,75) (5,25)

3 1.264,37 1.276,27 0,94 1.170,00 (7,46) (8,33)

4 1.285,71 1.685,71 28,42 1.290,00 0,33 (20,64)

5 1.312,50 1.221,80 (6,91) 1.170,00 (10,86) (4,24)

6 1.312,50 1.437,10 9,49 1.260,00 (4,00) (12,32)

7 1.500,00 1.422,62 (5,16) 1.170,00 (22,00) (17,76)

8 1.487,67 1.538,67 3,44 1.420,00 (4,54) (7,71)

9 1.191,32 1.518,89 27,50 1.470,00 23,39 (3,22)

10 1.155,74 1.198,93 3,74 1.170,00 1,23 (2,41)

11 1.232,68 1.276,27 3,54 1.170,00 (5,08) (8,33)

12 1.367,55 1.411,20 3,19 1.330,00 (2,75) (5,75)

13 1.424,59 1.436,59 0,84 1.230,00 (13,66) (14,38)

14 1.417,91 1.525,46 7,59 1.250,00 (11,84) (18,06)

15 1.459,10 1.408,10 (3,50) 1.060,00 (27,35) (24,72)

16 1.050,14 1.370,02 30,48 938,00 (10,68) (31,53)

17 1.125,00 1.173,11 4,28 1.170,00 4,00 (0,26)

18 931,90 1.031,07 10,64 1.030,00 10,53 (0,10)

19 1.052,63 1.222,73 16,16 1.170,00 11,15 (4,31)


regressão múltipla e os dados de números 4 e 10, no modelo de Fuzzy Logic, onde as diferenças

porcentuais foram de 0,94%; 0,84% e 0,33%; 1,23%, respectivamente.

Observa-se ainda que, dos 19 dados coletados no mercado, apenas 4, grifados de amarelo na

Tabela 5, se encontram com diferenças superiores ou inferiores a 15% em relação aos valores

estimados pelos modelos de regressão múltipla e Fuzzy Logic, o que sugere o ajustamento destes

modelos para estimação dos valores de mercado destes apartamentos.

Quando comparado os resultados estimados pelos dois modelos entre si, verifica-se também um

bom ajustamento dos mesmos, pois a maior diferença encontrada foi de 31,53% para o dado de

número 16 e a menor ocorreu para o dado de número 18, com 0,10%. Continuando na

comparação do dois modelos, percebemos, ainda, que apenas cinco elementos da amostra

apresentam diferenças superiores a 15%, caso dos dados de números 4, 7, 14, 15 e 16.

Ressalte-se, ainda, que os valores estimados pelo modelo de Fuzzy Logic foram sempre menores

que os estimados pelo modelo de regressão linear múltipla, o que pode ter ocorrido em virtude do

número de regras do modelo fuzzy ter sido apenas de 55, em virtude da dificuldade na coleta de

dados no mercado imobiliário.

As diferenças acima apontadas em elementos específicos da amostra, podem ter ocorrido por

variáveis não captadas pelos modelos, ou por situação peculiar de determinado proprietário de

imóvel, que por necessidade premente de fazer caixa, resolveu dar um desconto maior na venda

do seu imóvel.

Capítulo 5

CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS DE

TRABALHOS FUTUROS

5.1. Conclusões

Toda esta discussão no decorrer deste trabalho de dissertação, deixou clara a importância das

variáveis qualitativas na formação do valor de mercado de imóveis urbanos. Tais qualidades, em

métodos de avaliação já consagrados pela técnica e incluídos nas normas técnicas da ABNT, por

exemplo, regressão linear múltipla, são abordadas através da criação de uma escala, puramente

subjetiva, para pontuação da importância dessa variável, ou através da criação de variáveis

dummy.

Por outro lado, em determinadas circunstâncias, a norma brasileira de avaliações de imóveis

urbanos — NBR 5676/90 — contempla métodos de avaliação nos quais prepondera a

subjetividade, ou que não utilizam qualquer instrumento matemático de suporte à convicção de

valor expressa pelo engenheiro de avaliações. São as chamadas avaliações de rigor expedito,

assim denominadas por aquela norma técnica.

Esta metodologia de avaliação de imóveis tem-se mostrado satisfatória nas circunstâncias em que

o especialista (engenheiro de avaliações) detém grande conhecimento do mercado imobiliário no

qual está atuando e, ainda, a tipologia do bem e o mercado imobiliário onde está inserido é de

Capítulo 5 CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS DE TRABALHOS FUTUROS 71

baixa complexidade. Desta forma, para avaliar imóveis com rigor expedito, os atributos do

imóvel que está sendo avaliado, na sua maioria atributos qualitativos, o engenheiro utiliza-se de

conceitos vagos e imprecisos do raciocínio humano para classificar devidamente estes atributos e

chegar ao valor de mercado do imóvel.

Feitas estas considerações e baseado no que foi visto no decorrer da revisão de literatura desta

dissertação, pode-se afirmar que estas características do pensamento do engenheiro avaliador

para lidar com afirmações vagas, imprecisas e qualitativas dos bens, quando da avaliação de um

imóvel pelo processo expedito, assemelha-se à metodologia utilizada pela Lógica Fuzzy para

traduzir expressões verbais, comuns na comunicação humana, em valores numéricos. Isso abre as

portas para se converter a experiência humana em uma forma compreensível pelos

computadores(Shaw, 1999).

A pesquisa empreendida neste trabalho envolveu a sistematização de uma metodologia para

identificação e ajuste de um modelo de regras fuzzy e sua aplicação em um estudo de caso

prático. Os resultados obtidos com os dados dos imóveis de São Luís-Ma, mostram que modelos

baseados em Lógica Fuzzy podem ser utilizados para simular o valor de mercado de determinado

bem. O modelo apresentou um desempenho muito bom quando um conjunto de dados diferentes

foi utilizado para a avaliação e quando comparado com os resultados obtidos por outro método já

consagrado no campo da engenharia de avaliações — regressão linear múltipla.

Estes resultados sugerem que os modelos baseados em Lógica Fuzzy podem ser uma alternativa

aos modelos tradicionalmente utilizados na modelagem de avaliação de imóveis urbanos e já

contemplados pelas normas técnicas da ABNT tais como: redes neurais artificiais e regressão

linear múltipla.

Como acima mencionado, realizou-se uma comparação de desempenho do modelo baseado em

Lógica Fuzzy com um modelo de regressão linear múltipla, identificado a partir do mesmo

conjunto de observações. Diferentemente do modelo de regressão múltipla, os modelos baseados

em Lógica Fuzzy são capazes de identificar relações não lineares complexas, utilizando um

conjunto de observações das variáveis dependentes e independentes.


Tanto qualitativamente como quantitativamente, os modelos apresentaram bom desempenho,

como pode ser visto no quadro comparativo dos resultados apresentado na Tabela 3, página 68,

onde as diferenças máximas obtidas entre o modelo fuzzy e o modelo de regressão, em relação

aos valores observados na segunda pesquisa efetuada no mesmo mercado imobiliário, foi da

ordem de 30,48 % para maior e 27,35 % para menor, para os dados de números 16 e 15,

respectivamente.

Identificam-se, ainda, algumas vantagens dos modelos baseados em Lógica Fuzzy em relação aos

modelos de regressão múltipla:

- São compostos de regras condicionais simples, portanto, mesmo

quando o número de regras é grande, a eficiência computacional é

ótima.

- Os modelos baseados em Lógica Fuzzy são flexíveis, não requerem

novo ajustamento, quando novos dados ou informações lhe são

apresentados, apenas precisa-se acrescentar novas regras.

- Pode ser incorporado conhecimento especialista ao modelo de

Lógica Fuzzy, em complementação ao conhecimento adquirido a

partir dos dados.

Em contraposição a estas vantagens, tem-se a mencionar as seguintes desvantagens:

- inexistência de ferramentas automáticas para identificação das

regras do sistema de inferência fuzzy, demanda tempo na

construção dessas regras.

- A precisão do modelo de regras fuzzy é, geralmente, questionada.

Entretanto, esta precisão pode ser melhorada com o aumento do

número de regras.


- O aumento do número de regras diminui a eficiência

computacional.

As instituições bancárias que financiam imóveis ou os recebem em garantia de empréstimos, as

empresas de crédito imobiliário, os escritórios de engenharia de avaliações de bens oferecem um

campo adequado para aplicações de modelos fuzzy, como pode-se concluir na presente

dissertação.

Esta dissertação constitui um passo a mais no sentido de aprimorar a utilização das ferramentas

computacionais buscando a evolução organizacional.

5.2 Perspectivas de trabalhos futuros

Esta dissertação abordou, especificamente, a aplicação da Lógica Fuzzy a uma única amostra de

dados de apartamentos já devidamente analisada e ajustada pelo modelo de regressão linear

múltipla, na qual ficou caracterizada que o modelo de regressão obtido não tinha violado três de

seus pressupostos básicos: não auto-regressão, homocedasticidade e inexistência de

multicolinearidade.

Em princípio, parece que modelos baseados em lógica fuzzy não são influenciados por essas

características se, eventualmente, estiverem presentes na amostra analisada, pois tais hipóteses

não são necessárias para construção de modelos fuzzy. Como proposta de trabalho futuro fica,

aqui, registrada a necessidade de melhor investigar as conseqüências da presença dessas

violações sofre a eficiência de modelos para avaliações de imóveis urbanos baseados em Lógica

Fuzzy.

Se em pesquisas futuras ficar comprovado que as características de homocedasticidade, auto-

regressão e multicolinearidade, que, rotineiramente, estão presentes nas amostras de imóveis

urbanos, não afetam a eficiência dos modelos baseados em Lógica Fuzzy, ter-se-á, portanto, uma

grande vantagem destes sobre os modelos de regressão linear múltipla no que concerne ao


quesito simplicidade. Pois estas características são as que mais dificultam e mais tempo

consomem do engenheiro avaliador no ajustamento dos modelos de regressão linear múltipla.

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APÊNDICE A 78

APÊNDICE A 79

APÊNDICE B 80

APÊNDICE C 81

APÊNDICE C 82

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