matemática aplicada unidade i resumo de apostila

Matemática Aplicada

UNIDADE I

RESUMO DE APOSTILA

Educação a Distância – EaD

Professor: Flávio Brustoloni


Cronograma: Turma ADG 0096


Data Atividade

20/122º Encontro

1ª Avaliação Disciplina

13/12 1º Encontro

24/013º Encontro

2ª Avaliação Disciplina

31/014º Encontro

3ª Avaliação Disciplina (FINAL)

Objetivos da Disciplina:• Situar a Matemática Aplicada dentro do vasto campo da

Matemática e relacioná-la com a área da Administração, servindo de aporte e ferramental para outras disciplinas específicas do curso;

• Formatar e calcular funções de duas ou mais variáveis, variáveis aleatórias e discretas e programação linear, sistemas e vetores compreendendo sua importância no desempenho de suas atividades no cotidiano;

• Aplicar as funções de duas ou mais variáveis, assim como a teoria dos jogos e a modelagem matemática na resolução de problemas que envolvam o cotidiano do(a) acadêmico(a);

• Perceber a importância da Matemática Aplicada como uma disciplina que pode ser suporte nas mais diferentes áreas da Administração e que nos ajuda a resolver problemas contextuais;

Unidade 1

FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS

Objetivos da Unidade:

• Compreender a definição de função de duas ou mais variáveis;

• Conhecer os tipos de funções, suas operações e suas aplicações;

• Resolver problemas do cotidiano envolvendo funções de duas ou mais variáveis;

• Aplicar o conceito de funções de duas ou mais variáveis em problemas do cotidiano;

Conceito de Função de várias Variáveis e suas aplicações

Tópico 1

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2 Conceito2.1 Uma Função F(X) = Y de duas variáveis

Uma função f(x) = y de duas variáveis é uma regra que associa um número a cada variável. A sua forma é f(x) = ax

+ b, onde a é a parte variável e b a parte fixa. No cotidiano das

organizações utilizamos muito os termos custo, receita e lucro.

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Tópico 1

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a) Função Custo: Seja x a quantidade produzida de um produto. O custo de produção depende de x, e a relação entre eles chamamos função custo.

Existem custos que não dependem da quantidade produzida (aluguel, seguros,

etc). Estes são denominados custos fixos (Cf).

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Tópico 1

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O custo que depende de x chamamos de custo variável (Cy), mão de obra,

material etc. O custo total em qualquer nível de produção é a soma do custo fixo

e do custo variável neste nível de produção:

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Tópico 1

Unid. 1

5 C1 = Cf + Cv


b) Função Receita: Seja x a quantidade vendida de um produto. É a quantidade que o fabricante recebe pela venda de x

unidades. Seu gráfico é crescente a taxas constantes e seu gráfico é uma

reta que passa pela origem.

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Tópico 1

Unid. 1

5 R = px p = preço e

x = quantidade


c) Função Lucro: A função Lucro (L) descreve o lucro para qualquer

quantidade x, isto é, deve ser a diferença entre a receita e o custo para qualquer

quantidade x.

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Tópico 1

Unid. 1

5 L = R - C


d) Ponto de Nivelamento (break-even point): É o ponto de intersecção entre o gráfico da receita total e o custo total. Ele indica a quantidade produzida tal que o

lucro total é zero. É a partir dessa quantidade mínima que o produtor

começará a ter lucro positivo.

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Tópico 1

Unid. 1

6R = C L = 0


e) Função Demanda: É a quantidade do bem que os consumidores pretendem adquirir num certo intervalo de tempo

(dia, mês, ano). A função Demanda descreve o comportamento do

consumidor que compra mais quando o preço cai e compra menos quando o

preço sobe (Lei da Demanda).

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Tópico 1

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f) Função Oferta: Chamamos de oferta de um bem, num certo intervalo de tempo, à quantidade do bem que

os vendedores desejam oferecer no mercado.

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Tópico 1

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g) Ponto de Equilíbrio: O Ponto de Equilíbrio é o ponto de intersecção do gráfico da oferta com o da demanda. Suas coordenadas são o preço de

equilíbrio e a quantidade de equilíbrio.

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Tópico 1

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Exemplo: Duas editoras oferecem emprego com as seguintes condições salariais:

Empresa A – Fixo de R$ 800,00 e comissão de R$ 15,00 por coleção vendida;

Empresa B – Fixo de R$ 600,00 e comissão de R$ 20,00 por coleção vendida.

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Tópico 1

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Faça uma análise e avalie qual a melhor proposta salarial. Para

avaliarmos a melhor proposta, temos que descobrir o ponto de equilíbrio,

ou seja, o ponto em que as duas propostas são iguais.

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Tópico 1

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Empresa ACA = 800 + 15x

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Tópico 1

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Empresa BCA = 600 + 20x

Até 40 coleções, a melhor proposta é a A; a partir de 40 coleções, a melhor proposta

passa a ser a B.


CA = CB800 + 15x = 600 + 20x800 – 600 = 20x – 15x

200 = 5xx = 200/5 = 40 coleções

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2 Conceito2.2 Uma Função F(X,Y) de duas ou mais variáveis

Uma função f (x,y) de duas ou mais variáveis x e y é uma regra que

associa um número a cada par de valores das variáveis.

Ex.: a) Sendo f (x,y) = 2x + 3y

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Tópico 1

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A cada par de valores (x,y) teremos um valor para a função, por exemplo

para (3,5) teremos:

f (3,5) 2.3 + 3.5 = 6 + 15 = 21

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Tópico 1

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b) Uma mercearia vende um pote de manteiga a R$ 3,50 e um pote de

margarina a R$ 2,50.

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Tópico 1

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O faturamento com a venda de x potes de manteiga e y potes de margarina,

sendo x e y da mesma referência, é dado por: f (x,y) = 3,50x + 2,50y, onde x é o

número de potes de manteiga vendidos e y o número de potes de margarina

vendidos, temos para x = 20 e y = 30 um faturamento de:

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Tópico 1

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f (20,30) = 3,50.20 + 2,50.3070 + 75 = R$ 145,00

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Máximos e Mínimos de Funções de Várias Variáveis

Tópico 2

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1 Introdução

Uma importante utilização dos máximos e mínimos de uma função é a sua otimização. Otimizar uma função significa encontrar seu ponto de

máximo ou de mínimo. O estudo do melhor ponto de uma determinada

função nos permite obter mais instrumentos na tomada de decisão, da formação de um preço, por exemplo.

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Tópico 2

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2 Cálculo de Máximos e Mínimos através do teste da derivada da primeira para funções de duas variáveis

Vejamos o conceito: se f (x,y) tem um máximo ou mínimo relativo no ponto

(x,y) = (a,b), então:

df/dx (a.b) = 0 e df/dy (a.b) = 0

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Exemplo: a função f (x,y) = 3x2 – 4xy + 8x – 17y + 30 tem como coeficiente de x e y ao quadrado valores positivos

que serão pontos de mínimo.

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Exemplo: a função f (x,y) = 3x2 – 4xy + 3y2 + 8x – 17y + 30 tem como coeficiente de x e y ao quadrado

valores positivos que serão pontos de mínimo.

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Tópico 2


Devemos encontrar valores de x e y para os quais ambas as derivadas parciais

são zero.As derivadas parciais primeiras são

calculadas diminuindo-se um grau do expoente de x e y e passando o mesmo

a ser coeficiente.

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Tópico 2


f (x,y) = 3x2 – 4xy + 3y2 + 8x – 17y + 30

df/dx = 3.2x – 4.1y + 8.1 = 6x – 4y + 8df/dy = -4.1x + 3.2y – 17.1 = -4x + 6y - 17

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Tópico 2


Determinando df/dx = 0 e df/dy = 0:

6x – 4y + 8 = 0 (isolando o y) y = (6x + 8)/4

-4x + 6y – 17 = 0 (isolando o y) y = (4x + 17)/6

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Tópico 2


(6x + 8)/4 = (4x + 17)/6 20x = 20

x = 1

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y = (6x + 8)/4y = (6.1 + 8)/4

y = 7/2Se f(x,y) tem um mínimo, ele deve

ocorrer quando df/dx (a,b) = 0 e df/dy (a,b) = 0.

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Tópico 2


Determinamos que as derivadas parciais são simultaneamente iguais

a zero quando x = 1 e y = 7/2. Portanto f(x,y) tem um mínimo que

deve ocorrer no ponto (1, 7/2).

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Unid. 1

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Tópico 2

O Método dos Mínimos Quadrados

Tópico 3

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2 Ajuste de Retas pelo Método dos Mínimos Quadrados

A equação de uma reta é dada pela expressão: y = ax + b que é uma relação linear ajustada aos pontos

não colineares do problema em questão.

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Portanto o método dos mínimos coloca os pontos não alinhados em

uma reta através do método dos mínimos quadrados que, por

dedução, define a e b como sendo os coeficientes angular e linear.

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Esses coeficientes a e b são dados pelas expressões:

a = Ʃ xi.yi – [(Ʃxi).(Ʃyi)]: n/ [Ʃxi2 – ((Ʃxi)2 :n)]b = Ʃyi : n – [a.((Ʃxi):n)]

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Exemplo: Um comerciante deseja obter empiricamente uma equação de demanda

para seu produto. Ele admite que a quantidade média demandada (y)

relaciona-se com seu preço unitário (x) por meio de uma função de 1º grau.

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Para estimar esta reta, fixou os preços em vários níveis e observou a quantidade demandada, obtendo os

dados a seguir:

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Preço Unitário (x) Qtde Demandada (y)

R$ 1,00 9,5

R$ 2,00 8,5

R$ 3,00 5,5

R$ 4,00 3,5


Com base nos dados, calcule:

a) a equação da reta dos mínimos quadrados;b) a quantidade demandada para um preço unitário de R$ 5,00;

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Vamos resolver utilizando as expressões acima dos coeficientes

angular e linear:

a) Inicialmente, vamos criar uma planilha para cálculos dos valores a

serem utilizados na fórmula:

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Xi yi xi.yi xi2

1 9,5 9,5 1

2 8,5 17 4

3 5,5 16,5 9

4 3,5 14 16

Ʃ 10 27 57 30


Usando a fórmula da reta dos mínimos quadrados, teremos:

a = Ʃ xi.yi – [(Ʃxi).(Ʃyi)]: n/ [Ʃxi2 – ((Ʃxi)2 :n)]

a = 57 – [(10.27):4] = 57 – (270:4) 30 – [(10)2 :4] 30 – (100:4)

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a = 57 – (270:4) = 57 – 67,5 = -10,5 = -2,1 30 – (100:4) 30-25 5

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b = Ʃyi : n – [a.((Ʃxi):n)]b = 27:4 – [-2,1.((10):4)] = 6,75 – (-5,25) = 12

a = -2,1

b = 12


Portanto a equação da reta ajustada é:

y = ax + by = -2,1x + 12

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b) Para encontrar a quantidade para um preço de R$ 5,00, teremos:

y = -2,1x + 12x = 5 y = -2,1.5 + 12 = -10,5 + 12 = 1,50

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Parabéns!!! Terminamos a Unidade.

PRÓXIMA AULA:


2º Encontro da Disciplina1ª Avaliação da Disciplina (Redação com Consulta)

matemática aplicada unidade i resumo de apostila

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