matemática aplicada unidade iii resumo de apostila

Matemática Aplicada

UNIDADE III

RESUMO DE APOSTILA

Educação a Distância – EaD

Professor: Flávio Brustoloni


Cronograma: Turma ADG 0096


Data Atividade

20/122º Encontro

1ª Avaliação Disciplina

13/12 1º Encontro

24/013º Encontro

2ª Avaliação Disciplina

31/014º Encontro

3ª Avaliação Disciplina (FINAL)

Unidade 3

MODELAGEM MATEMÁTICA

Objetivos da Unidade:

• Mostrar a aplicação da ferramenta em administração e economia;

• Resolver situações-problema aplicando os modelos matemáticos propostos a partir das aulas;

• Aplicar os conceitos compreendidos na disciplina na construção de um modelo matemático que será desenvolvido durante os estudos.

Teoria e Prática de Modelos Matemáticos

Tópico 1

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1 Introdução

Na educação brasileira, a Modelagem Matemática teve início com os cursos de especialização para professores, em 1983, na Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Guarapuava –

FAFIG, hoje Universidade Estadual do Centro-Oeste – UNICENTRO.

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Tópico 1

Unid. 1

71

1 Introdução

A modelagem angariou adeptos, pois a grande preocupação consistia em

encontrar formas alternativas para o ensino de Matemática que trabalhassem ou que tivessem a preocupação de partir de situações vivenciadas pelo aluno de

1º e 2º graus, atualmente Ensino Fundamental e Médio.

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Tópico 1

Unid. 1

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1 Introdução

A modelagem matemática é acima de tudo uma perspectiva, algo a ser

explorado, o imaginável e o inimaginável. É livre e espontânea, ela surge da

necessidade de o homem compreender os fenômenos que o cercam para

interferir ou não em seu processo de construção.

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Tópico 1

Unid. 1

71

1 IntroduçãoUm dos corolários da modelagem

matemática é que é possível tratar um problema complexo abstraindo-o para

um mais simples, comensurável, isto é, com um número de variáveis

determinado, com regras de relação precisas e claras e consequente capacidade de representação do

problema tratado.

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Tópico 1

Unid. 1

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1 Introdução

Entre os tipos de problemas em que pode ser utilizada a modelagem, para ajudar no processo de decisão, encontram-se:

* Problemas de otimização de recursos* Problemas de localização* Problemas de roteirização

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Tópico 1

Unid. 1

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1 Introdução

* Problemas de carteiras de investimento* Problemas de alocação de pessoas* Problemas de previsão e planejamento

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Tópico 1

Unid. 1

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1 IntroduçãoA definição de modelagem aplicada às organizações nos leva a três objetivos inter-relacionados:

a) converter dados em informações significativasb) Apoiar o processo de tomada de decisão de formas transferíveis e independentesc) Criar sistemas computacionais úteis para os usuários não técnicos

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Tópico 1

Unid. 1

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Um Estudo de Caso Detalhado de Modelagem Matemática

Tópico 2

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2 Um Estudo de Caso

A empresa Giapetto fabrica 2 tipos de brinquedos de madeira: soldados e

trens. Os valores de venda, matéria-prima e mão de obra são os

seguintes:

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Tópico 2

Unid. 1

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2 Um Estudo de Caso

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Tópico 2

Unid. 1

81

Valores por unidade

Soldado Trem

$ Venda 27 21

$ matéria-prima (MP) 10 9

$ Mão de Obra (MO) 14 10

Mão de Obra necessária para os brinquedos – em horas

Soldado Trem

Tempo de acabamento 2 1

Tempo de carpintaria 1 1

2 Um Estudo de Caso

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Tópico 2

Unid. 1

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Disponibilidades – Tempo disponível

Acabamento 100h

Carpintaria 80h

Disponibilidades – Demanda

Trens Ilimitada

Soldados 40/semana (Máx.)

2 Um Estudo de CasoSolução

Sabendo que a matéria-prima necessária é obtida sem

problemas, Giapetto tem como objetivo maximizar o lucro semanal

(receitas - custos).

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Tópico 2

Unid. 1

82

2 Um Estudo de CasoVariáveis de Decisão

Em qualquer modelo matemático, as variáveis de decisão devem descrever

completamente as decisões a serem feitas. No caso de Giapetto: quantos soldados e

trens devem ser feitos na semana?

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Tópico 2

Unid. 1

82

X1 = qtde soldados produzidos a cada semanaX2 = qtde de trens produzidos a cada semana

2 Um Estudo de CasoFunção Objetivo

* Os custos fixos (aluguel, seguro) não dependem dos valores de X1 e X2, assim ele pode se concentrar em maximizar a venda da semana.* Custos de M.P: 10X1 + 9X2

* Custos de M.O: 14X1 + 10x2

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Tópico 2

Unid. 1

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Giapetto não deve produzir mais soldados que ele possa vender, assim assumimos que todos os

brinquedos produzidos podem ser vendidos.

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Tópico 2

Unid. 1

82


Receita da semana = receita dos soldados + receita dos trens

Receita da semana = $/soldado * soldado/semana + $/trem * trem/semana

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Tópico 2

Unid. 1

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Então Giapetto quer maximizar:

(27X1+21X2) – (10X1+9X2) – (14X1+10X2) = 3X1 + 2X2

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Tópico 2

Unid. 1

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Receita Matéria-prima Mão de obra Acabamento soldado

Acabamento trem


Maximizar Z = 3X1 + 2X2 oumax Z = 3X1 + 2X2

Variável usualmente utilizada.

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Tópico 2

Unid. 1

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Em todo modelo matemático existem restrições (por semana):

1. Não mais que 100h de acabamento;2. Não mais de 80h de carpintaria;3. Limitação de demanda: não mais de 40 soldados; 4. M.P sem restrições (ilimitada).

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Tópico 2

Unid. 1

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Restrição 1: Não mais de 100h de acabamento/semana

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Tópico 2

Unid. 1

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Total horas de acabamento/semana = horas de acab./soldado * soldados/semana +

horas de acab./trem * trens/semana

Total horas de acabamento/semana = 2*X1 + 1*X2

Restrição 1 = 2X1 + X2 <=100


Restrição 2: Não mais de 80h de carpintaria/semana

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Tópico 2

Unid. 1

84

Total horas de acabamento/semana = horas de carp./soldado * soldados/semana +

horas de carp./trem * trens/semana

Total horas de carpintaria/semana = 1*X1 + 1*X2

Restrição 2 = X1 + X2 <= 80


Restrição 3: Venda máxima de soldados: 40

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Tópico 2

Unid. 1

84

Restrição 3 = X1 <= 40


Conjunto das Restrições

1. 2x1 + X2 <= 100 2. X1 + X2 <= 803. X1 <= 40

4. X1 e X2 >= 0

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Tópico 2

Unid. 1

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Programação Linear

Tópico 3

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1 Introdução

Diremos que um problema de programação linear está em sua forma padrão se tivermos uma

maximização da função objetivo e se todas as restrições forem do tipo

menor ou igual, bem como os termos constantes e variáveis de decisão não

negativos.

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Tópico 3

Unid. 1

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2 Definição

Segundo Lachtermacher (2004, p.25), programação linear é a programação matemática em que todas as funções

objetivo e restrições são representadas por funções lineares.

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Tópico 3

Unid. 1

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3 Exemplificando a Programação Linear

Um exemplo de programação linear pode ser verificado na página 94-95.

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Tópico 3

Unid. 1

94


a) Faz-se o gráfico das retas referentes às restrições;b) Marcam-se suas intersecções;c) Delimita-se a região de possível solução;d) Trata-se a reta que representa a da função objetivo. Neste caso, isocusto genérica;e) Movimentam-se retas isocusto paralelas à genérica. O vértice antes de sair da região de possibilidade é a isocusto solução.

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Tópico 3

Unid. 1

95(*) Linha de isocusto. 1. Econ. Representação gráfica das diferentes combinações de fatores de produção que têm o mesmo custo para a empresa.


Neste caso, a isocusto solução contém o vértice formado pelas retas:

5X1 + 5X2 = 20 e 2X1 + 6X2 = 12

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Tópico 3

Unid. 1

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Resolvendo-se este sistema de equações, pelo método da adição multiplicamos o

primeiro termo por 2 e o segundo por -5:

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Tópico 3

Unid. 1

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5X1 + 5X2 = 20 (*2)2X1 + 6X2 = 12 (*-5)

10X1 + 10X2 = 40-10X1 - 30X2 = -60

/ -20X2 = -20X2 = -20/-20 = 1


Substituindo X2 na equação (1), teremos:

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Tópico 3

Unid. 1

96

5X1 + 5X2 = 20 5X1 + 5.1 = 205X1 = 20 – 5X1 = 15/5 = 3

Logo teremos: X1 = 3 e X2 = 1


Decorre que, substituindo-se na função objetivo, resulta que o custo será de:

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Tópico 3

Unid. 1

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c = 0,60X1 + X2

c = 0,60.3 + 1 c = 2,80ou R$ 2,80 por dia.

Parabéns!!! Terminamos a Unidade.

PRÓXIMA AULA:


4º Encontro da Disciplina3ª Avaliação da Disciplina

(Avaliação FINAL)

matemática aplicada unidade iii resumo de apostila

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