faculdade de economia e finanças do...
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PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA EM
ADMINISTRAÇÃO E ECONOMIA
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM
ADMINISTRAÇÃO
Modelo de Simulação para Análise Custo-Volume-Lucro sob condições de
Incerteza
Anna Elizabeth Tavares de Araújo Freitas
Orientador: Prof. Dr. Josir Simeone Gomes
Rio de Janeiro, 31 de maio de 2004
ii
ANNA ELIZABETH TAVARES DE ARAÚJO FREITAS
MODELO DE SIMULAÇÃO PARA ANÁLISE CUSTO-VOLUME-LUCRO SOB
CONDIÇÕES DE INCERTEZA
DISSERTAÇÃO APRESENTADA AO CURSO DE
MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM
ADMINISTRAÇÃO DA FACULDADE DE ECONOMIA E
FINANÇAS IBMEC COMO PARTE DOS REQUISITOS
PARA OBTENÇÃO DO TÍTULO DE MESTRE EM
ADMINISTRAÇÃO
ÁREA DE CONCENTRAÇÃO: FINANÇAS E CONTROLADORIA
ORIENTADOR: PROF. DR. JOSIR SIMEONE GOMES
RIO DE JANEIRO, 31 DE MAIO DE 2004
iii
“Modelo de Simulação para Análise Custo-Volume-Lucro sob condições de Incerteza”
Anna Elizabeth Tavares de Araújo Freitas
Dissertação de mestrado
profissionalizante apresentado ao
Programa de Pós-Graduação e
Pesquisa em Administração e
Economia da Faculdade de
Economia e Finanças do Ibmec,
como requisito parcial para a
obtenção do grau de mestre em
Administração
Aprovada em 31 de março de 2004
Banca Examinadora:
_______________________________________________________
Prof. Dr. Josir Simeone Gomes, Ibmec - orientador
_______________________________________________________
Prof. Dr. Luis Perez Zotes, Ibmec
_______________________________________________________
Prof. Dr. Carlos Alberto Nunes Cosenza, UFRJ
_______________________________________________________
Prof. Dr. Ubiratan Jorge Iorio de Souza, UERJ
iv
v
AGRADECIMENTOS
Ao Prof. ANTONIO DE ARAÚJO FREITAS JÚNIOR, meu querido pai, pelo apoio e
encorajamento constantes.
Ao Prof. Dr. JOSIR SIMEONE GOMES, meu orientador, pelo interesse, apoio e
colaboração na execução desta dissertação.
Aos Professores Dr. UBIRATAN JORGE IORIO DE SOUZA, Dr. CARLOS
ALBERTO NUNES COSENZA e prof. Dr. LUIS PEREZ ZOTES, pelas
contribuições e sugestões recebidas.
A minha mãe e meus irmãos, pelo estímulo durante todo o processo.
A DELFINA SESTELO Y ALONSO pelo apoio recebido.
vi
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ......................................................................... 1
2. CONSIDERAÇÕES TEÓRICAS, CONCEITOS E DEFINIÇÕES:
ANÁLISE CUSTO-VOLUME-LUCRO ................................................. 4
2.1. Tipos de Custo ..................................................................... 5
2.2. Determinação do Ponto de Equilíbrio Operacional ..................... 6
2.3. Ponto de Equilíbrio em Unidades Monetárias ............................ 8
2.4. Análise do ponto de Equilíbrio de Caixa ................................. 10
2.5. Deficiências na Análise do Ponto de Equilíbrio ....................... 11
2.6. Considerando a Incerteza nos modelos de CVL ...................... 13
3. CONSIDERAÇÕES TEÓRICAS, CONCEITOS E DEFINIÇÕES:
SIMULAÇÃO .............................................................................. 18
3.1. Modelos de Simulação ......................................................... 20
3.2. Tipos de Modelos ................................................................ 22
3.3. Passos em um estudo de Simulação ..................................... 23
3.4. Vantagens do Método de Monte Carlo ................................... 25
3.5. Softwares .......................................................................... 25
3.6. Variáveis de Entrada ........................................................... 26
3.7. Geração de Números Aleatórios ........................................... 26
3.8. Geração de Observações Aleatórias ...................................... 27
3.9. Análise dos resultados......................................................... 28
3.10 . Importância da Simulação ................................................ 28
vii
4. FORMULAÇÃO E IMPLEMENTAÇÃO DO MODELO DE SIMULAÇÃO
PARA A ANÁLISE CUSTO – VOLUME – LUCRO ............................... 31
4.1 . Construção do Modelo ........................................................ 32
4.2 . Dados de Entrada .............................................................. 34
4.2.1 . Coleta de dados .............................................................. 35
4.2.2 . Identificar a distribuição de probabilidade.......................... 36
4.2.3 . Histogramas ................................................................... 37
4.2.4 . Estimativa de Parâmetros ................................................ 41
4.3 . Verificação e Validação ....................................................... 42
4.4 Testes de Aderência ............................................................. 43
4.5 . Análise de Resultados ........................................................ 61
5. CONCLUSÃO ......................................................................... 68
BIBLIOGRAFIA .......................................................................... 69
ANEXO....................................................................................73
viii
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.3 – Distribuição Normal .................................................................. 14
Figura 3.1.- Modelo ........................................................................................... 21
Figura 3.2. – Tipos de Modelos ...................................................................... 22
Figura 3.3. – Classificação dos Modelos Matemáticos ............................. 22
Figura 3.4. - Passos de um estudo de simulação ..................................... 24
Figura 3.5 – Transformação Inversa ............................................................ 27
Figura 3.6 – Processo contínuo e transitório ............................................. 28
Figura 4.1 - Construção , verificação e validação do modelo. .............. 33
Figura 4.2 – Diagrama de Fluxo Lógico ....................................................... 35
Figura 4.3 – Preço unitário de vendas ......................................................... 38
Figura 4.4 – Custo variável unitário ............................................................. 39
Figura 4.5 – Custos totais operacionais fixos ............................................ 40
Figura 4.6 - Seleção da distribuição para o Custo Fixo .......................... 49
Figura 4.7- Testes de Aderência para a Distribuição Uniforme ........... 49
Figura 4.8 - Seleção da distribuição para o Custo Variável Unitário ... 50
Figura 4.9- Testes de Aderência para a Distribuição Triangular ......... 50
Figura 4.10 - Seleção da distribuição para Preço Unitário ..................... 51
Figura 4.11 - Testes de Aderência para a Distribuição Normal ........... 51
Figura 4.12 - Gráfico de Diferença para a Distribuição Uniforme ....... 52
Figura 4.13 - Gráfico de Diferença para a Distribuição Triangular ..... 53
ix
Figura 4.14 – Gráfico de Diferença para a Distribuição Normal ........... 54
Figura 4.15 – Gráfico de Probabilidade para a Distribuição Triangular
........................................................................................................................ 55
Figura 4.16 – Gráfico de Probabilidade para a Distribuição Uniforme 56
Figura 4.17 – Gráfico de Probabilidade para a Distribuição Normal ... 57
Figura 4.18 – Gráfico q-q para a Distribuição Uniforme ......................... 58
Figura 4.19 – Gráfico q-q para a Distribuição Normal ............................ 59
Figura 4.20 – Gráfico q-q para a Distribuição Triangular ....................... 60
Figura 4.22 – Histograma da variável Ponto de Equilíbrio ................... 64
Figura 4.23 – Distribuição de Probabilidade acumulada do Ponto de
Equilíbrio ....................................................................................................... 65
Figura 4.24 – Gráfico Tornado ....................................................................... 66
Figura 4.25 – Regressão e Correlação ......................................................... 67
x
LISTA DE TABELAS
Tabela 4.1 - Recomendação do número de intervalos de classe para
dados contínuos .................................................................. 46 Tabela 4.2 – Parâmetros das
Distribuições......................................................................48
xi
RESUMO
A análise custo-volume-lucro é uma ferramenta muito utilizada por administradores,
contadores, economistas, engenheiros de produção e assemelhados. Porém, o modelo
tradicional pressupõe que os dados de entrada são conhecidos. Esse pressuposto não é
consistente com o mundo real, onde as variáveis são tipicamente estocásticas. A
incerteza pode ser mensurada e incluida no modelo de CVL, permitindo a contrução de
um modelo mais útil e realista. Neste trabalho, os resultados obtidos por Jaedick e
Robichek (1964), Corrar (1993) e Leone (2003) foram extendidos, com a introdução do
conceito de simulação digital e o relaxamento do requerimento de normalidade. Foi
desenvolvido um diagrama de fluxo lógico e um modelo geral de simulação para a
análise custo-volume-lucro. Espera-se que este trabalho seja útil na difusão das técnicas
de simulação, na construção de modelos e na cultura de avaliação de risco.
xii
ABSTRACT
Cost-volume-profit analysis is a very popular tool among managers, accountants,
economists and engineers. The classic model presumes that the input values are
completely known. This assumption does not reflect the real world, where the variables
are stochastic. Uncertainty can be measured and included in the CVP model, allowing
the development of a more realistic and useful model. In this will extend the work of
Jaedick e Robichek (1964), Corrar (1993) e Leone (2003), with the introduction of the
concept of digital simulation and by relaxing the requirement of the variables normality.
A logic flow diagram, and a generalized simulation model for CVP analysis were
developed. This work is expected to be useful in the diffusion of simulation techniques,
in model building and in the risk valuation culture.
1
1. INTRODUÇÃO
A análise custo-volume-lucro (CVL) é um tópico exaustivamente tratado nos textos de
economia, contabilidade, administração, engenharia de produção e assemelhados. Usa-
se a análise CVL para medir o nível de vendas necessário para cobrir os custos
operacionais totais. Pode-se medir o ponto de equilíbrio em unidades físicas ou
unidades monetárias. Seu cálculo pode ser efetuado algebricamente ou determinado
graficamente. Abaixo do ponto de equilíbrio a empresa sofre prejuízo; acima dele o
lucro operacional é positivo. Os pontos de equilíbrio são sucetíveis a mudanças em
custos fixos, preço da venda dos produto e os custos variáveis. À medida que os custo
fixo crescem, o ponto de equilíbrio se eleva e vice versa. À medida que o custo variável
unitário aumenta, o ponto de equilíbrio também se eleva e vice-versa. A análise do
ponto de equilíbrio pode ser feita em base de caixa, deduzindo dos custos fixos
quaisquer despesas que não exigem desembolso, como depreciação, e então determina-
se o ponto de equilíbrio de caixa.
2
A análise de ponto de equilíbrio apresenta inúmeras deficiências , sendo as principais: a
suposição de linearidade, a dificuldade metodológica de classificar certos tipos de
custos, os problemas causados por empresas com produtos múltiplos e sua natureza de
curto prazo.
No ano de 1964 foram publicados dois trabalhos seminais. No primeiro deles, Jaedicke
e Robichek (1964) introduziram o conceito de incerteza na análise custo-volume-lucro.
No segundo Hertz (1964) introduziu no mundo corporativo o método de Monte Carlo,
antes restrito ao campo das ciências físicas, naturais e as engenharias.
Corrar (1990) defendeu sua tese de doutorado na USP, utilizando o método de Monte
Carlo para o cálculo da incerteza na análise custo-volume-lucro. Leone (2003)
apresentou no CLADEA trabalho que apresenta as hipóteses simplificadoras do modelo
de CVL.
Esse trabalho, apoiado nos clássicos, utilizando os conceitos apresentados por Hertz
(1964) e Jaedicke e Robicheck (1964) e as expansões feitas por Corrar (1990) e Leone
(2003) visa desenvolver um modelo de simulação e apresentar um diagrama de fluxo
lógico objetivando o estudo da incerteza na análise Custo-Volume-Lucro.
A diferença entre risco e incerteza, segundo Ross (2002), relaciona-se ao conhecimento
das probabilidades de ocorrerem certos resultados. O risco existe quando o decisor pode
estimar as probabilidades relativas a vários resultados. A incerteza existe quando quem
toma decisões não tem dados históricos e precisa fazer estimativas aceitáveis a fim de
3
formular uma distribuição probabilística subjetiva. No decorrer deste trabalho, como na
literatura corrente, os termos risco e incerteza serão usados alternativamente, em
referência a situações que envolvem decisões com risco.
Os profissionais de contabilidade, economia, administração e assemelhados conhecem e
usam os conceitos clássicos da análise custo-volume-lucro. No entanto, 40 anos depois
de publicados, os conceitos apresentados por Hertz (1964) e Jaedicke e Robicheck
(1964) ainda não chegaram ao dia-a-dia.
O diagrama de fluxo lógico e o modelo a seram desenvolvidos terão dupla importância.
Primeiro, será útil na difusão do método de Monte Carlo e na cultura de avaliação de
risco. Segundo, facilitará o acesso da tecnologia a profissionais não treinados na
construção de modelos e no uso da estatística para compreensão dos problemas
corporativos.
4
2. CONSIDERAÇÕES TEÓRICAS, CONCEITOS E DEFINIÇÕES: ANÁLISE
CUSTO-VOLUME-LUCRO
A análise da relação Custo-Volume-Lucro (Leone 1995) é relevante para a empresa,
pois lhe possibilita determinar o nível de operações que precisa manter para cobrir os
custos operacionais e avaliar a lucratividade associada a vários níveis de vendas. Para
compreender e utilizar a análise custo-volume-lucro é necessario dissecar os custos
operacionais das empresas. Para calcular o seu lucro operacional, deve-se subtrair da
receita de vendas o custo das mercadorias vendidas e as despesas operacionais. O lucro
operacional divide as porções operacional e finanaceira da demonstração de resultado.
5
2.1. Tipos de Custo
O custo das mercadorias vendidas e as despesas operacionais (Gitman, 1984) da
empresa, contêm parcelas de custos operacionais fixos, variáveis e semi-variáveis,
definidos a seguir:
Custo Fixo: Estes custos não variam com o volume das vendas, são em geral
contratuais.
Custos Variáveis: Estes custos variam em proporção direta com o volume de vendas da
empresa
Custos Semivariáveis: Estes custos são parcialmente fixos e variáveis.
Figura 2.1. – Tipos de Custo
Custos
(R$)
Vendas
(Unidades)
Custo Fixo
Custo
Variável
Custo
Semivariável
6
2.2. Determinação do Ponto de Equilíbrio Operacional
O custo das mercadorias vendidas e as despesas operacionais da empresa podem ser
agrupadas em custos fixos e variáveis. Seja,
x: volume de vendas em unidades
p: preço de venda por unidade
F: custo operacional fixo por período
v: custo operacional variável por unidade
sabendo que,
lucro operacional = receita de vendas- custos fixos operacionais-custos variáveis
operacionais (2.1)
e que,
Receita de vendas = xp (2.2)
Custos fixos operacionais = F (2.3)
Custos variáveis operacionais = xv (2.4)
substituindo as igualdades (2.2), (2.3), (2.4) em (2.1), temos:
7
Lucro operacional = xv-F-xp (2.5)
O ponto de equilibrio operacional da empresa é definido como o nível em que o lucro
operacional é nulo; isto é, o nível de vendas onde todos os custos operacionais fixos e
variáveis são cobertos. Logo,
Lucro Operacional = 0xv-F-xp (2.6)
Solucionando a equação (2.6) para o volume de vendas da empresa, x, obtém-se:
v-p
FX (2.7)
A equação (2.7) é usada para determinar o volume de vendas, x, no ponto de equilíbrio.
O ponto de equilíbrio pode ser também calculado com o auxílio de um gráfico. A figura
2.2 apresenta uma análise gráfica genérica do ponto de equilíbrio.
8
Figura 2.2 – Ponto de Equilíbrio
Na figura 2.2, temos a solução gráfica para o ponto de equilíbrio, i.e., o ponto de
equilíbrio da empresa é o ponto onde a receita de vendas e o custo operacional são
iguais. O custo operacional total é definido como a soma de seus custos operacionais
fixos e variáveis. A equação 2.8 define o custo operacional total.
Custo operacional total = xvF (2.8)
2.3. Ponto de Equilíbrio em Unidades Monetárias
Quando uma empresa produz mais de um produto, é útil calcular o ponto de equilíbrio
em termos de unidades monetárias, em vez de unidades físicas. O uso do ponto de
equilíbrio em unidades monetárias é especialmente importante para empresas que
Receita/
Custo
(R$)
Quantidade
(Unidades)
Custo Operacional Fixo
Ponto de Equilíbrio
Operacional
Receita de
Vendas Custo Operacional
Variável
Custo Operacional
Total
9
produzem vários produtos, cada um sendo vendido a um preço diferente. Supondo que o
composto de produto da empresa permaneça relativamente constante , é possível
calcular o ponto de equilíbrio em termos de unidades monetárias, usando-se uma
abordagem de margem de contribuição.
A margem de contribuição é definida como a percentagem de cada unidade monetária
de vendas que fica após cobrir os custos variáveis operacionais. Seja,
R= Receita total de vendas em unidades monetárias
V= Custos totais operacionais variáveis
F= Custos totais operacionais fixos pagos durante o período em que
são atingidos “R” unidades monetárias de vendas.
O custo operacional variável por unidade monetária de vendas pode ser representado
por V/R, de onde chega-se a margem de contribuição, que reflete a contribuição em
unidades monetárias que se destina a cobrir os custos operacionais fixos e o lucro obtido
com cada unidade monetária de vendas. A margem de contribuição na equação (2.9) é
adimensional.
Margem de contribuição = )R
V(1 (2.9)
O nível do lucro operacional a qualquer nível de vendas , Y, pode seer calculado,
multiplicando-se a margem de contribuição por Y, subtraindo-se os custos fixos, F.
10
Lucro Operacional = FR
V-1Y
(2.10)
Logo, para obter o ponto de equilíbrio operacional em unidades monetárias, igualamos o
lucro operacional a zero e solucionamos a equação (2.10) para Y. A expressão
resultante para o ponto de equilíbrio operacional em unidades monetárias é dado pela
equação 2.11.
R
V1
FY (2.11)
2.4. Análise do ponto de Equilíbrio de Caixa
É bastante comum que os custos de uma empresa se originem da aplicação do regime de
competência, não da observação rigorosa do fluxo de caixa, no entanto é útil fazer a
análise do ponto de equilíbrio de caixa, pois o ponto de equilíbrio pode ser menor do
que inicialmente computado. Os itens principais que demandam atenção na análise de
caixa são as despesas que não precisam de desembolso, como depreciação.
Ao preparar uma análise de caixa é preciso ajustar quaisquer encargos dessa natureza e
que fazem parte dos custos fixos da empresa. A presença de tais encargos sem
desembolso como parte dos custos fixos da empresa tende a superestimar o ponto de
equilíbrio da empresa.
11
Supondo que a empresa tenha encargos sem desembolso, SD, incluidos nos seus custos
fixos operacionais, a equação do ponto de equilíbrio operacional de caixa, pode ser
escrita como a equação 2.12
Ponto de equilíbrio operacional de caixa = v-p
SD-F (2.12)
A análise do ponto de equilíbrio de caixa é um mecanismo conveniente para avaliar o
nível de vendas necessário para cobertura dos desembolsos operacionais.
2.5. Deficiências na Análise do Ponto de Equilíbrio
Embora contadores, economistas e administradores façam uso constante do ponto de
equilíbrio, a análise apresenta inúmeras deficiências. As principais criticas a esse tipo de
análise foram sintetizadas por Leone (2003). Para o autor, a simplicidade teórica e a
facilidade de eventuais análises de sensibilidade é uma das vantagens do modelo.
Porém, embora a vantagem da análise CVL seja a sua simplicidade, o conjunto de
hipóteses em que o modelo se baseia pode resultar numa certa perda de realismo.
Portanto, quem utiliza um modelo simplificado como o CVL precisa conhecer e saber
administrar as suas limitações.
Assim como qualquer outro modelo o CVL é uma simplificação da realidade cujo
objetivo é auxiliar a tomada de decisões. O artigo de Leone (2003) procura determinar
quais as hipóteses necessárias para tornar o modelo CVL representativo das relações
entre custos, volume e lucro. Ele identificou sete hipóteses simplificadoras do modelo.
12
A primeira hipótese simplificadora é a de que os custos e as receitas variam de acordo
com um único direcionador. O volume de produção, que é o direcionador de custos mais
utilizado na contabilidade tradicional, é uma forma limitada de explicar o
comportamento dos custos que na verdade é causado, ou direcionado, por muitos fatores
que se inter-relacionam de formas complexas. A segunda hipótese do modelo é que o
direcionador depende de um único produto. A terceira hipótese apresentada é que o
preço de venda unitário, o custo variável unitário e os custos fixos são constantes ao
longo do intervalo de valores para o direcionador.A quarta hipótese é que as unidades
produzidas são iguais as unidades vendidas. A quinta hipótese, é que havendo mais de
um produto, o mix de vendas se mantém constante. A sexta hipótese simplificadora é
que o modelo não considera o valor do dinheiro no tempo. A sétima hipótese
identificada por Leone (2003) é que não há probabilidade (risco) envolvida nas
variáveis do modelo. Porém na prática os custos e receitas não podem ser previstos com
certeza. Como consequência, não podemos considerar que o ponto de equilíbrio será
exatamente igual aquele obtido pela análise CVL.
Entre os fatores de riscos apontados por Leone (2003) estão a entrada de novos
concorrentes que pode afetar o preço de venda. O ganho de escala e eficiência que pode
diminuir os custos variáveis. Por outro lado, a queda de motivação dos empregados,
quebra de maquinário, inadiplência e risco político, podem aumentar esses custos.
O modelo CVL pressupõe várias hipóteses simplificadoras. Porém, construír um
modelo sem essas simplificações poderia ser demorado, custoso e trabalhoso. Leone
13
(2003) questiona se vale a pena consider todos esses fatores, e defende que a obtenção
de dados mais precisos sobre o comportamento de custos e receitas pode trazer
benefícios adicionais muito pequenos para os tomadores de decisão.
2.6. Considerando a Incerteza nos modelos de CVL
O primeiro trabalho que levou em conta o fator incerteza no modelo CVL foi o de
Jaedicke e Robichek (1964). Eles demonstraram que na análise tradicional o modelo
perdia muito de sua relevância pelo fato de desconsiderar o risco e a incerteza. Os
autores sugeriram mudanças para o modelo de CVL, de forma a tornar-lo uma
ferramenta mais útil para a tomada de decisão em condições de incerteza. Embora
alertando que não seja apropriado para todos os casos, eles propuseram que as variáveis
sujeitas a incerteza sejam consideradas como sendo variáveis aleatórias contínuas de
distribuição normal.
A distribuição normal é uma das mais importantes distribuições de probabilidade
conhecidas. Isto se deve não só aos recursos que ela própria oferece, mas o fato de que
muitas outras distribuições de probabilidades convergem para ela. A forma gráfica da
distribuição normal lembra um sino, como na figura 2.13. Ela é conhecida por várias
denominações: curva normal, curva de sino e curva de Gauss. Os primeiros estudos
ligados a distribuição normal foram feitos por De moivre, e cem anos depois por
Laplace, que consolidou as descobertas feitas até então. Embora Gauss tenha nascido 23
anos depois da morte de De Moivre, a distribuição e a curva normal acabaram
recebendo o seu nome.
14
A curva normal é simétrica com relação a perpendicular passando pela origem.A média,
a mediana e a moda são identicas. Os parâmetros de uma distribuição normal são os
indicadores populacionais: média () e variância (2).
Figura 2.3 – Distribuição Normal
Como a distribuição normal é uma distribuição contínua, a variável aleatória pode
assumir quaisquer valores do campo real entre - e +. A curva normal é assintótica
com relação ao eixo hozontal, isto é, suas caudas se aproximam dela, mas não o tocam
jamais.
A vantagem da adoção da distribuição normal é que que sua localização e forma ficam
completamente determinadas pelos respectivos valores das médias e desvio padrão.
Então, conhecendo a média e o desvio padrão da variável, é possível determinar a
probabilidade de se atingir ou ultrapassar qualquer valor da distribuição através de uma
simples consulta à tabela de distribuição normal reduzida. A desvantagem, é que
- +
15
engessa o modelo, pois nem todas as variáveis se comportam como uma distribuição
normal.
Considerando que uma ou mais variáveis do modelo estejam sujeitas a incerteza e sejam
normalmente distribuidas com média e desvio padrão conhecidos, o modelo proposto
por Jaedicke e Robichek (1964) permitirá que obtenhamos uma distribuição normal para
o lucro na qual é possível estimar o risco associado ao ponto de equilibrio. Ou seja, é
possível determinar a probabilidade de não atingir pelo menos o ponto de equilibrio, ou
a probabilidade de ultrapassa-lo. A análise não precisa se limitar aos riscos associados
ao ponto de equilíbrio, quando o lucro é zero. Com o modelo proposto por Jaedicke e
Robichek (1964) podemos estimar a probabilidade de atingir ou ultrapassar qualquer
valor específico de lucro. Sabendo que os decisores possuem diferentes níveis de
tolerância ao risco, a decisão dos administradores será melhorada se tiverem estimativas
aceitáveis dos riscos envolvidos. A utilização apenas da distribuição normal é uma séria
limitação no trabalho de Jaedicke e Robichek.
A hipótese de distribuição normal só é válida em termos muito restritos. De acordo com
Corrar (1993) ela só é justificável quando as variáveis de entrada possuem pequenos
coeficientes de variação conforme o citado teorema de Craig e Aroian, ou quando as
variáveis preço unitário e o custo variável unitário são determinísticas.
Pois, mesmo sabendo que as variáveis de entrada do modelo são normalmente
distribuídas, não se pode inferir que a variável resultante lucro é normalmente
distribuida. A soma de duas variáveis aleatórias independentes e normalmente
16
distribuídas resulta em outra variável aleatória independente e normalmente distribuída.
Porém, o produto de duas variáveis aleatórias independentes e normalmente distribuídas
não resulta, necessariamente, em outra variável aleatória independente e normalmente
distribuída. Ou seja, a expressão (P-V).X pode não apresentar uma distribuição
normal, mesmo que cada uma dessas variáveis seja normal.
Normalmente os decisores consideram que todas as variáveis de entrada do modelo
custo-volume-lucro são conhecidas com certeza. Na realidade, o mais comum, é que
todas as variáveis do modelo tenham um comportamento aleatório.
Jaedicke e Robichek (1964) foram os primeiros a considerar o fator incerteza no modelo
em análise. Partindo da suposição que as variáveis de entrada do modelo se
comportavam como variáveis aleatórias contínuas.
Corrar (1993) aponta que a maior parte das empresas não leva em conta o fator
incerteza no planejamento. No modelo tradicional determinístico não há incerteza
quanto aos valores assumidos pelas variáveis de entrada. Dado um valor para cada uma
das variáveis de entrada, o lucro é determinado de forma inequívoca.
Quando para cada valor das variáveis existe uma distribuição de probabilidades e
consequentemente para os valores das variáveis dependentes, o modelo é denominado
probabilístico ou estocástico. Na realidade todas as variáveis do modelo podem
apresentar comportamento aleatório. Corrar (1993) apresenta como o método de Monte
Carlo pode ser utilizada para considerar o fator incerteza no modelo CVL.
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O modelo de Monte Carlo é utilizado para simular as distribuições de cada variável e
computar o lucro para cada combinação simulada do preço de venda, custo fixo, custo
variável e volume de venda. A simulação fornecerá uma distribuição de probabilidades
do lucro. Essa distribuição de probabilidades permitirá obter por exemplo, a
probabilidade de se obter prejuízo, a probabilidade do lucro ser maior do que um valor
determinado ou a probabilidade do lucro estar situado entre um intervalo de valores.
Uma vantagem do método é que o lucro não precisa estar normalmente distribuido, não
é necessário conhecer a sua distribuição. Corrar (1993) mostra como a simulação
considera a incerteza das variáveis de entrada, ao invés de um valor pontual, fornece
uma distribuição de probabilidade para a variável dependente. Essa distribuição pode
fornecer informações relevantes para auxiliar o gestor no processo de planejamento e
tomada de decisão.
18
3. CONSIDERAÇÕES TEÓRICAS, CONCEITOS E DEFINIÇÕES:
SIMULAÇÃO
Simulação é uma técnica numérica para realizar experiências em computador, as quais
envolvem certos tipos de modelos lógicos que descrevem o comportamento do sistema,
ou um aspecto parcial dele, usualmente sobre intervalos de tempo. Assim a simulação é
uma técnica de fazer experimentos amostrais no modelo do sistema. Os experimentos
são feitos no modelo, em lugar do sistema real, apenas porque o último seria muito
incoveniente , dispendioso e demorado. Por outro lado, os experimentos simulados
deveriam ser vistos, como em nada diferentes dos experimentos estatísticos comuns, de
forma que eles deveriam estar baseados em sólida teoria estatística. Mesmo que os
experimentos simulados sejam, usualmente, executados num computador, isto apenas
ocorre por causa da vasta quantidade de dados que são gerados e processados, e não por
qualquer outra razão.
A simulação inclui modelos físicos, matemáticos e computacionais. Apesar da
modelagem por simulação anteceder o computador, seu uso tem crescido
consideravelmente em importância, com o advento dos computadores de alta
19
velocidade. A simulação digital tem sido largamente utilizada nas engenharias e
ciências naturais. A simulação se tornou um braço experimental da pesquisa
operacional. Muitos problemas complexos não podem ser resolvidos analiticamente,
sendo a simulação a única abordagem prática para o problema.
O desenvolvimento de um modelo de simulação segue as etapas do método científico ,
sistematizadas e apresentadas por Sir Francis Bacon apresentadas no Novum Organum
(1620), in Law e Kelton (2000), como a seguir:
1. Observação do sistema físico;
2. Formulação de uma hipótese(ou modelo matemático) que tente explicar as
observações do sistema;
3. Predizer o comportamento do sistema baseado nessa hipótese, utilizando
dedução matemática ou lógica, isto é, obtendo soluções para o modelo ou
modelos matemáticos;
4. Execução de experiências para testar a validade da hipótese ou do modelo
matemático.
20
3.1. Modelos de Simulação
O primeiro passo num estudo de simulação é desenvolver um modelo que represente o
sistema a ser investigado. É evidente que isto requer que o pesquisador se torne
inteiramente familiarizado com as realidades operacionais do sistema e com os
objetivos do estudo. Deste modo, o pesquisador poderá tentar reduzir o sistema real a
um diagrama de fluxo lógico. O sistema é, assim, desmembrado num conjunto de
componentes, reunidos por um diagrama de fluxo, onde os próprios componentes
podem ser desmembrados em subcomponentes, e assim por diante.
Finalmente, o sistema é decomposto num conjunto de elementos para os quais podem
ser dadas regras de operação. Estas regras de operação predizem os eventos que serão
gerados pelos elementos correspondentes, talvez em termos de distribuições de
probabilidade.Depois de especificados estes elementos, regras e ligações lógicas, o
modelo deveria ser inteiramente testado. Devemos enfatizar que, como qualquer
modelo, o modelo de simulação não precisa ser uma representação completamente
realística do sistema real.
Simulação é uma ferramenta de previsão e de elaboração de projetos, sendo uma das
técnicas de pesquisa operacional mais utilizadas. O modelo de simulação imita o
comportamento do sistema ao longo do tempo.
De acordo com Law e Kelton (2000) sistema é um grupo de objetos que interagem em
busca de certos objetivos. Os sistemas podem ser discretos ou contínuos. Sistema
21
discreto é aquele cujas variáveis de estado mudam em um conjunto de pontos discreto
no tempo. Sistema contínuo é aquele cujas variáveis de estado mudam continuamente
ao longo do tempo.
A modelagem é um processo interativo, que faz uso da eficiência computacional e da
retro-alimentação, objetivando ajudar o julgamento humano. Os computadores atuam
como anfitriões oferecendo ambiente propício para criação, teste e manipulação de
modelos. O modelo é uma representação simplificada do sistema (processo ou teoria)
visando melhorar nossa compreensão, capacidade de predição e eventualmente controlar
o comportamento do sistema.
Figura 3.1.- Modelo
SISTEMA REAL
SISTEMA REAL ASSUMIDO
MODELO
VALIDAÇÃO
22
3.2. Tipos de Modelos
Os modelos podem ser mentais, físicos ou simbólicos. Conforme indica a figura 3.2
Figura 3.2. – Tipos de Modelos
Modelo matemático: é um sistema de equações obtido da análise e abstração de
situações-problema com a escolha devida das variáveis e suas relações. A figura 3.3
mostra a classificação dos modelos matemáticos.
Figura 3.3. – Classificação dos Modelos Matemáticos
MODELOS
FÍSICOS
CONSTRUÍDO COM
COMPONENTES
TANGÍVEIS
SIMBÓLICOS
RELAÇÕES MATEMÁTICAS OU
LÓGICAS: MAPAS, GRÁFICOS,
PALAVRAS, DESENHOS
MENTAL
EXISTE APENAS NA
MENTE DAS PESSOAS
MODELOS MATEMÁTICOS
DINÂMICO ESTÁTICO
ANALÍTICO NUMÉRICO NUMÉRICO ANALÍTICO
MODELOS SIMULAÇÃO
DETERMINÍSTICO ESTOCÁSTICO
23
3.3. Passos em um estudo de Simulação
A simulação é um processo de construir um modelo matemático, a partir da abstração
de um sistema, e realizar várias experimentações, visando compreender e explicar o seu
comportamento. A partir das entradas das variáveis de decisão ou estratégicas, são
gerados os resultados ou medidas de desempenho, a saída de dados.
O processo de simulação, de uma forma genérica consiste no desenvolvimento do
modelo conceitual do sistema, que consiste em entendê-lo e defini-lo, identificando suas
principais variáveis de entrada e saída e a relação lógica dos dados. Após esse passo,
deve-se partir para a construção do modelo de simulação, através do desenvolvimento
das equações/fórmulas, na coleta dos dados necessários e determinação das
distribuições de probabilidade das variáveis de entrada.
O modelo então deverá ser verificado e validado. Verificação refere-se a assegurar que
o modelo está sem erros lógicos, enquanto validar é assegurar que se trata de uma boa
representação da realidade. Devemos determinar o valor das variáveis controláveis a
serem estudadas. O passo final é a execução da simulação, análise dos resultados e
implementação. Esses passos com base em em Banks et al (2001) são mostrados na
figura 3.4.
24
Figura 3.4. - Passos de um estudo de simulação
FORMULAÇÃO DO PROBLEMA
OBJETIVOS E PLANO DO PROJETO
MODELO
CONCEITUAL
COLETA DE
DADOS
CÓDIGO
VERIFICAÇÃO
NÃO
SIM NÃO
NÃO
VALIDADO
PROJETO EXPERIMENTO
EXECUÇÃO E ANÁLISE
DOCUMENTAÇÃO E
RESULTADOS
MAIS CORRIDAS
IMPLEMENTAÇÃO
SIM
SIM
NÃO
SIM
25
3.4. Vantagens do Método de Monte Carlo
Para o analista, a utilização do método de Monte Carlo apresenta as seguintes
vantagens:
a) A maioria dos sistemas complexos com elementos estocásticos não podem ser
descritos corretamente por modelos determinísticos. Para esta classe de problemas, o
método de Monte Carlo talvez seja a única solução possível;
b) Permite estimar o desempenho do sistema sob diversas condições projetadas; e,
c) Políticas alternativas para um único sistema ou sistemas alternativos podem ser
comparadas via simulação.
3.5. Softwares
Para escrever programas de simulação pode-se utilizar linguagem geral de programação,
como C ou Pascal, ou linguagens orientada para simulação, como GPSS/H.
Atualmente existem diversos softwares, que permitem, mesmo aos que não possuem
conhecimento de programação, a utilização da técnica em ambientes amigáveis.
Existem softwares, como o @Risk e o Crystal Ball, que são compatíveis (Add-ins) com
planilhas populares como Excel e Lotus 1-2-3.
26
3.6. Variáveis de Entrada
A seleção das distribuições de probabilidade das variáveis de entrada é crucial para o
sucesso na utilização de modelos. Podemos seguir dois caminhos:
a) Obter distribuições empíricas com auxílio de especialistas; ou,
b) Coletar séries históricas das variáveis de interesse e aplicar testes de hipóteses para
obter as distribuições das variáveis.
Ambos caminhos são utilizados, dependendo da disponibilidade e qualidade dos dados
existentes.
3.7. Geração de Números Aleatórios
Os números verdadeiramente aleatórios são obtidos na natureza através de meios
mecânicos(dados) ou eletrônicos. Os computadores geram números pseudo-aleatórios
fazendo uso de geradores aritméticos que utilizam um ou mais dos seus predecessores
de acordo com uma formula matemática (algorítmo). Os primeiros geradores de
números pseudo-aleatórios deve-se a Von Neumann e Metropolis (1940/50).
Os números aleatórios formam a espinha dorsal da geração de números pseudo-
aleatórios. Os números gerados devem ser uniformemente distribuidos e independentes,
sendo geralmente representados por números decimais variando de zero a um.
27
Se o objetivo é estudar o sistema em processo contínuo, as condições iniciais de
transição devem ser descartadas. Devido à natureza experimental da simulação,
recomenda-se que o analista calcule para o resultado da simulação a média, o desvio-
padrão e o intervalo de confiança, bem como os testes estatísticos que forem
apropriados.
3.8. Geração de Observações Aleatórias
A geração de observações (i.e., variáveis) aleatórias é possível porque a função de
distribuição acumulada, F(x), é uniformemente distribuída no intervalo (0,1)
independendo da distribuição de x. A idéia é gerar um número aleatório, R, no intervalo
(0,1) e obter a observação aleatória, x, através da transformação inversa.
x = F-1(R) (3.1)
Figura 3.5 – Transformação Inversa
0 X1
R1
F(x)
1
X
28
3.9. Análise dos resultados
Em geral os modelos de simulação têm condições que podem não ser típicas no longo
prazo, como ilustra a figura 3.6. Usualmente o analista coleta dados no processo
contínuo, visando obter a média, o desvio-padrão, o intervalo de confiança, bem
como,outras estatísticas que se fizerem necessárias.
Figura 3.6 – Processo contínuo e transitório
3.10 . Importância da Simulação
Segundo Hertz (1964) o ponto fraco dos modelos determinísticos é que não importa a
precisão matemática dos calculos, se as variáveis de entrada estão sujeitas a incerteza
então a precisão dos resultados é ilusória. Se as variáveis que influem na avaliação de
0
W Transitório Contínuo
Tempo
29
uma determinada decisão estão sujeitas a incerteza, o executivo precisa estimar os
efeitos da incerteza de cada variável relevante no resultado.
Savage (2003) aponta que quando os executivos desejam obter a previsão da demanda
de um produto, lucro esperado ou outros parâmetros incertos eles querem que a tal
previsão seja um número. Ele alerta que sempre que um único número, como por
exemplo a média, é utilizado para representar uma quantidade incerta, ela acaba
distorcendo os resultados.
Suponha que um investidor tem duas opções de investimento, a primeira tem um retorno
de $10.000 multiplicado pelo número que aparece quando um único dado é jogado, e o
segundo investimento tem um retorno de $5.000 multiplicado pelo número de que
aparece quando dois dados são lançados. O investidor que só se importa com a média
ficaria indiferente a esses dois investimentos pois o retorno médio de ambos
investimentos é de $35.000.
Porém a distribuição do retorno é diferente para os dois investimentos. Jogando com
dois dados a chance de obter $ 35.000 é maior. A probabilidade de obter somente
$10.000 é de 1/36 para dois dados e 1/6 para um dado. Em contrapartida a probabilidade
de obter a quantia máxima de $60.000 é de 1/36 para dois dados e 1/6 para um dado.
Portanto investidor conservador, mais avesso a risco iria preferir o investimento com
dois dados. Já o investidor agressivo, iria preferir jogar com apenas um dado. Hertz
(1964) alerta que a média estimada é sempre inferior que estimar a variação possível de
30
uma variável, porque estimando sua distribuição estamos incluindo informação sobre o
que é conhecido e o que não é conhecido.
Segundo Savage (2002) a ferramenta mais simples e popular para simular a incerteza,
substituindo a “fotografia” de baixa resolução que é a média, por um “filme” detalhado
que mostra todo um intervalo de valores possíveis e sua probabilidade de ocorrência, a
distribuição de frequência, é a simulação de Monte Carlo.
31
4. FORMULAÇÃO E IMPLEMENTAÇÃO DO MODELO DE SIMULAÇÃO
PARA A ANÁLISE CUSTO – VOLUME – LUCRO
Os objetivos desse capítulo são: (1) apresentar um diagrama de fluxo lógico; (2)
desenvolver um modelo geral de simulação para análise custo-volume-lucro; e, (3)
executar o modelo de simulação considerando os dados apresentados no anexo, isto é,
500 observações do preço unitário, 500 observações do custo variável unitário e 500
observações do custo fixo operacional. Podemos então, construir os histogramas
correspondentes, estimar os parâmetros e determinar as distribuições adequadas. O
software “BestFit” será utilizado para a construção dos histogramas e testes de
aderência das distribuições, e o “@ Risk” para executar a simulação.
Os dados devem ser obtidos a partir do sistema real. Quando os dados não estão
disponíveis, a opinião de especialistas e o conhecimento do processo, podem ser
utilizados para fazer estimativas.
32
4.1 . Construção do Modelo
O primeiro passo na construção do modelo em questão, consiste na observação do
comportamento das variáveis que compõem as funções de custo e receita. Deve-se
também coletar dados com o comportamento dessas variáveis. É evidente que isto
requer que o analista se torne inteiramente familiarizado com as realidades operacionais
do sistema e com o comportamento das variáveis em estudo. A experiência de pessoas
familiares com o sistema devem ser aproveitadas. O analista provavelmente irá tentar
reduzir o sistema real a um diagrama de fluxo lógico.
A segunda parte na construção de um modelo de acordo com com Banks et al (2001) é a
construção de modelo conceitual , isto é, um conjunto de hipóteses sobre a estrutura do
sistema e das variáveis de entrada no modelo. Validação conceitual é a comparação do
sistema real com o modelo conceitual, segundo o mesmo autor.
O terceiro passo é a contrução do modelo operacional, que é o modelo conceitual em
sua versão computadorizada. A construção de um modelo não é um processo linear, mas
um processo interativo, devendo retornar a cada passo diversas vezes. A figura 4.1 é
uma variação da apresentada por Banks et al (2001), resume o processo de construção
do modelo, onde a necessidade de verificação e validação implica numa comparação
contínua com o sistema real, o modelo conceitual e o modelo operacional, com
modificações continuadas para melhorar o desempenho.
33
O modelo de simulação, desde que validado, não precisa ser uma representação
completamente realística do sistema real.
Figura 4.1 - Construção , verificação e validação do modelo.
Sistema Real
Modelo Conceitual
Modelo Operacional
(computadorizado)
Validado
Verificado
Implementação
não
não
sim
sim
34
A figura 4.2 representa o diagrama de fluxo lógico para a análise custo-volume-lucro
sob condição de incerteza.
Coletar dados
F , p , v
Determinar
Distribuições de
Probabilidade
F , p , v
Gerar números aleatórios
R1 , R2 , R3
Gerar observações aleatórias
F , p , v
Calcular x = F / (p-v)
No de
observações de
x n
Construir histograma de frequência, obter
distribuição de x e calcular média, desvio
padrão, e intervalo de confiança.
sim
35
Figura 4.2 – Diagrama de Fluxo Lógico
4.2 . Dados de Entrada
Uma questão que pode surgir quanto a escolha de distribuições de probabilidades para o
modelo é se devemos usar distribuições de frequência de dados históricos ou se
devemos procurar a distribuição de probabilidade teórica que melhor se ajuste a esses
dados. De uma forma ou de outra , os dados de entrada são a principal força nos
modelos de simulação.
Em aplicações no mundo real, a determinação das variáveis de entrada é um problema
crucial, tanto do ponto de vista do tempo quanto dos recursos demandados. Devemos
considerar os quatro passos seguintes na determinação dos dados de entrada:
i. coleta de dados do sistema em estudo;
ii. identificar a distribuição de probabilidade dos dados de entrada;
iii. escolha de parâmetros que identificam a distribuição;
iv. avaliar a distribuição escolhida e seus parâmetros através de teste de aderência.
Cada um desses passos serão discutidos a seguir.
4.2.1 . Coleta de dados
36
A coleta de dados, quando possível, requer bastante esforço e tempo. Quando os dados
não estão disponíveis, a opinião de especialistas e o conhecimento do processo são
usadas como estimativas.
4.2.2 . Identificar a distribuição de probabilidade
Quando os dados estão disponíveis, este processo tem início com a construção da
distribuição de frequência ou histograma dos dados. Com base na distribuição de
frequência e com o conhecimento da estrutura do processo, uma família de distribuição
é escolhida.
O programa “BestFit”, utilizado neste trabalho, encontra a função estatística com a
melhor aderência aos dados. O programa testa 26 funções diferentes para escolher a
função mais apropriada. O “BestFit” determina os parâmetros para cada distribuição,
fazendo três testes básicos com os dados: Qui-Quadrado, Anderson-Darling e
Kolmogorov-Smirnov. Quando o “Best-Fit” termina sua análise, as distribuições são
listadas em ordem de prioridade de fidelidade. Pelo ranking de cada um dos testes pode-
se escolher a distribuição mais adequada para usarmos na simulação.
37
4.2.3 . Histogramas
Quando as distribuições de frequência têm como principal objetivo condensar grandes
conjuntos de dados em uma forma fácil de assimilar é melhor apresentar essas
distribuições graficamente.
Segundo Bussab et al (2004), para as distribuições de frequência a forma mais comum
de apresentação gráfica é o histograma. Um histograma é constituído, representado-se
as medidas em observação que são agrupadas em uma escala horizontal, e as
frequências de classe em uma escala vertical; constroem-se então retângulos, cujas
bases são iguais aos intervalos de classe e cujas alturas são as frequências de classe
correspondentes.
O programa “BestFit” cria de forma automática histogramas, como podemos ver nas
figuras 4.3, 4.4 e 4.5.
38
A figura 4.3 mostra o histograma de frequência do preço unitário de vendas e a
distribuição triangular que teve melhor aderência, com parâmetros (16,1278; 19,5900;
23,0623). A distribuição triangular é muito útil em ambientes onde haja escassez de
dados. No gráfico, 95% dos pontos estão abaixo de $21,965, 5% dos pontos estão
abaixo de $17,223, a moda é $19,5900, o valor mínimo é $16,1278, e o valor máximo
do preço unitário de vendas é $23,0623.
Triang(16,1278; 19,5900; 23,0623)
X <= 17,223
5,0%
X <= 21,965
95,0%
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
16 17 18 19 20 21 22 23 24
Figura 4.3 – Preço unitário de vendas
39
A figura 4.4 mostra o histograma de frequência do custo variável unitário e a
distribuição normal que teve melhor aderência, com média $9,8933 e desvio-padrão
1,2082. Uma das distribuições mais importantes, por seu uso, é a distribuição normal.
No gráfico, o custo variável unitário esperado é de $9,8933, a probabilidade de se obter
um custo abaixo de $11,881 é de 95% e uma observação abaixo de $7,906 é de 5%.
Normal(9,8933; 1,2082)
X <= 7,906
5,0%
X <= 11,881
95,0%
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Figura 4.4 – Custo variável unitário
40
A figura 4.5 mostra o histograma dos custos totais operacionais fixos no período e a
distribuição com melhor aderência aos dados. A distribuição selecionada foi a uniforme
com parâmetros (498,31; 1401,72). No gráfico, a probabilidade de obter um custo fixo
abaixo de $1357 é de 95% e abaixo de $543 é de 5%.
Uniform(498,31; 1401,72)
X <= 543
5,0%
X <= 1357
95,0%
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
Values in Thousands
Valu
es x
10^-
3
Figura 4.5 – Custos totais operacionais fixos
41
4.2.4 . Estimativa de Parâmetros
O objetivo de preparar um histograma é inferir a função densidade de probabilidade.
Uma família de distribuição é selecionada com base na forma do histograma e no
contexto em estudo.
Depois que uma família de distribuição foi selecionada, o próximo passo é estimar os
parâmetros da distribuição. Muitas vezes a média amostral e a variância amostral são
utilizadas para estimar os parâmetros das distribuições hipotéticas.
Segundo Freund et al. (2000) se as obserações numa amostra tamanho n são
x1,x2,x3,.....,xn, a média amostral ( x ) é definida por:
n
xx
i
n
i 1
(4.1)
e a variância amostral, s2, é definida por:
1
2
1
2
2
n
xnxi
s
n
i (4.2)
42
Se os dados forem discretos e agrupados em uma distribuição de frequência , as
equações (4.1) e (4.2) podem ser modificadas , tornando-se computacionalmente mais
eficientes. A média amostral pode ser calculada por:
n
xf
x
k
i
ii 1
(4.3)
e a variância amostral por:
1
22
2
n
xnxf
s
j
k
ji
j
(4.4)
onde k é o número de valores distintos de x e fj é a frequência observada dos valores xj
de x. O desvio padrão amostral, s, é a raiz quadrada da variância
43
4.3 . Verificação e Validação
O objetivo da verificação do modelo é assegurar que o modelo computadorizado
representa adequadamente o modelo conceitual. Verificação e validação Balci (1994,
1998), apesar de conceitualmente distintos, usualmente são conduzidos em paralelo.
Validação é o processo de comparar o comportamento do modelo com o
comportamento do mundo real.
O modelo de simulação típico consiste de um alto número de elementos , regras e
ligações lógicas. Por isso, mesmo que os componentes individuais tenham sido
cuidadosamente testados, diversas aproximações pequenas ainda podem se acumular em
grandes distorções no resultado do modelo geral. Consequentemente, depois de escrever
e tirar os erros do programa de computador, i.e. verificar, é importante testar a validade
do modelo para predizer, adequadamente, o comportamento agregado do sistema que
esta sendo estudado.
4.4 Testes de Aderência
Os testes de aderência são muito importantes na determinação dos dados de entrada.
Diversos autores, entre eles Law et al (2000), sugerem os testes Qui-Quadrado e
Kolmogorov-Smirnov, sendo o primeiro apropriado para amostras grandes.
Neste trabalho, como exemplo, usaremos o teste Qui-Quadrado. Este teste formaliza a
idéia intuitiva de comparar os dados do histograma de frequência coma a forma da
44
função densidade. Um teste de aderência (ou de ajustamento) serve para ajudar o
pesquisador a decidir se os dados que ele colheu se ajustam adequadamente a função. O
teste é válido para amostras grandes quando as hipóteses são de distribuição discreta ou
contínua, quando os parâmetros são estimados pelo método de máxima verosemelhança.
O procedimento do teste tem início alocando as n observações em um conjunto de k
intervalos de classe em células. A estatística Qui-Quadrado (2
ox ) é dada por:
k
i i
iiox
1
2
2
(4.5)
onde,
Oi : frequência observada no iésimo
intervalo de classe
Ei : frequência esperada no iésimo
intervalo de classe
k : no de intervalos de classe (ou células)
A frequência esperada para cada intervalo de classe pode ser calculada por,
ii pn (4.6)
onde,
pi : probabilidade teórica associada com o iésimo
intervalo de classe.
É possível mostrar que 2
ox segue aproximadamente uma distribuição Qui-Quadrado
com k-v-1 graus de liberdade, onde v representa o número de parâmetros estimados a
partir da amostra considerando a distribuição hipotética. As hipóteses são:
45
H0 : a variável aleatória, x, se comporta de acordo com a distribuição hipotética com os
parâmetros estimados.
H1 : a variável aleatória, x, não se comporta de acordo com a distribuição hipotética.
O valor crítico 2
1, x é tabelado. A hipótese nula, H0, é rejeitada se
2
1,
2
xxo
Apesar de não existir um valor mínimo para Ei, Banks et al. (2001) sugere 5, i.e.,
5 i . Se o valor de i for muito pequeno, ele pode ser combinado com as frequências
combinadas de células adjacentes. Em consequência, os valores correspondentes de i
devem também ser combinados e o valor de k deve ser reduzido de uma unidade para
cada célula combinada.
Se a distribuição que esta sendo testada é discreta , cada valor da variável aleatória deve
ser um intervalo de classe, a menos que, seja necessário combinar intervalos de classe
adjacentes. Para o caso discreto, sem combinar células adjacentes,
iii xxpxpp
caso contrário, ip é determinado através da soma das probabilidades das células
adjacentes.
46
Caso a distribuição testada seja contínua, os intervalos de classe são dados por ii aa ,1 ,
onde 1ia e ia são os pontos extremos do mesmo intervalo de classe . Para o caso
contínuo com a fdp f(x), ip pode ser calculado por:
11
ii
a
ai aFaFxdxfp
i
i
onde,
F(x) : função distribuição acumulada
Para o caso discreto, o número de intervalos de classe é determinado pelo número de
células, após a combinação de células adjacentes (quando houver). Para o caso
contínuo, entretanto, não há regras gerais para seguir. O quadro a seguir, recomendado
por Banks et al.(2001), apresenta o número de interalo de classe para dados contínuos.
Tamanho da Amostra n Número de Intervalos de Classe
20 não use o teste Qui-Quadrado
50 5 a 10
100 10 a 20
>100 n a 5n
Tabela 4.1 - Recomendação do número de intervalos de classe para dados contínuos
A estatística de aderência (Goodness of Fit) mede o desvio da distribuição para os dados
de entrada. Suponha que temos uma distribuição ajustada a um conjunto de n dados
amostrais, e uma correspondante estatística de ajuste . O quanto menor a estatística de
47
ajuste, melhor a aderência. O valor-p, nível de significância do ajuste indica a
probabilidade que uma nova amostra de n dados a partir da distribuição gere uma
estatística de ajuste igual ou maior que . Portanto, quando o valor p fica próximo de
zero, temos pouca confiança que distribuição poderia ter gerado nosso conjunto de
dados.
Quando ela se aproxima de 1, não teremos base para rejeitar a hipótese que a
distribuição ajustada gerou o conjunto de dados. Podemos determinar um nível de
significância α que represente a probabilidade de rejeitar incorretamente a distribuição,
que tenha um valor alto devido a flutuações estatísticas.
Um ponto fraco do Qui-quadrado é que não há regras claras para selecionar o número
de intervalos de classe. Em algumas situações se obtêm conclusões diferentes com os
mesmos dados, dependendo de como se especifica os intervalos.
Parte da arbitrariedade pode ser solucionada se requisitarmos ao “BestFit” o uso de
intervalos equiprovaveis. Desta maneira, o “BestFit” ajusta os intervalos de modo a
fazer com que cada um tenha a mesma probabilidade. O programa permite controle total
em relação ao modo como os intervalos são definidos.
Além do histograma o BestFit seleciona as distribuições e parâmetros para cada uma
das variáveis conforme podemos ver nas figuras 4.2, 4.3, 4.4 e na tabela 4.2
48
Variável Distribuição / Parâmetros
Custo Fixo Uniform(498,31; 1401,72)
Custo Variável Unitário Triang(16,1278; 19,5900; 23,0623)
Preço Unitário Normal(9,8933; 1,2082)
Tabela 4.2 – Parâmetros das Distribuições
O “BestFit” é um programa que encontra a função estatística que melhor se adapta aos
seus dados. Ele testa mais de 26 funções diferentes para verificar qual se enquadra
melhor à seus dados. O “BestFit” determina os melhores parâmetros para cada
distribuição, fazendo três testes básicos com os dados: qui-quadrado, Anderson-Darling
e Kolmogorov-Smirnov. Quando o BestFit termina sua análise, as distribuições são
listadas em ordem de prioridade de fidelidade. Pelo ranqueamento de cada um dos testes
pode-se escolher a distribuição mais adequada para usarmos na simulação.
De acordo com a estatística qui-quadrado, a distribuição que obteve melhor aderência
para o custo fixo foi a distribuição uniforme. As estatísticas de aderência ou Goodness
of Fit (GOF) apontam o valor dos testes de aderência; qui-quadrado, Anderson-Darling
e Kolmogorov-Smirnov, e a posição no ranking associada a distribuição selecionada.
49
Para o custo fixo, a distribuição uniforme foi a que obteve o melhor ajuste de acordo
com o teste qui-quadrado, obtendo um valor de 15,15 para a estatística qui-quadrado, e
um valor-p de 0,815.
Figura 4.6 - Seleção da distribuição para o Custo Fixo
Figura 4.7- Testes de Aderência para a Distribuição Uniforme
50
De acordo com a estatística qui-quadrado, a distribuição que obteve melhor aderência
para o custo unitário foi a distribuição triangular. A distribuição traingular foi a que
obteve o melhor ajuste de acordo com o teste qui-quadrado, obtendo um valor de 12,69
para a estatística qui-quadrado, e um valor-p de 0,9192.
Figura 4.8 - Seleção da distribuição para o Custo Variável Unitário
Figura 4.9- Testes de Aderência para a Distribuição Triangular
51
Para o preço unitário, a distribuição que obteve melhor aderência foi a distribuição
normal. A estatística qui-quadrado foi calculada em 17,09, com valor-p de 0,7058.
Figura 4.10 - Seleção da distribuição para Preço Unitário
Figura 4.11 - Testes de Aderência para a Distribuição Normal
52
O “BestFit” também fornece os gráficos de diferença que indicam o erro absoluto entre
a distribuição e os dados de entrada conforme as figura 4.12, 4,13 e 4.14
Uniform(498,31; 1401,72)
Valu
es x
10^-3
Values in Thousands
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
Figura 4.12 - Gráfico de Diferença para a Distribuição Uniforme
53
Triang(16,1278; 19,5900; 23,0623)V
alu
es x
10^-2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
416
17
18
19
20
21
22
23
24
Figura 4.13 - Gráfico de Diferença para a Distribuição Triangular
54
Normal(9,8933; 1,2082)
Valu
es x
10^-2
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
6 7 8 9
10
11
12
13
14
15
Figura 4.14 – Gráfico de Diferença para a Distribuição Normal
55
O gráfico de probabilidade-probalilidade (P-P) plota a distribuição dos dados de entrada
versus a distribuição dos resultados. O gráfico P-P é utilizado para verificar se um
determinado conjunto de dados segue uma determinada distribuição. Ele deve ser
aproximadamente linear se a distribuição for um bom modelo. Nas figuras 4.15; 4,16; e
4.17 são apresentados os gráficos de probabilidade para as distribuições selecionadas
com melhor aderência aos dados de entrada.
Triang(16,1278; 19,5900; 23,0623)
Fitte
d p
-valu
e
Input p-value
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Figura 4.15 – Gráfico de Probabilidade para a Distribuição Triangular
56
Uniform(498,31; 1401,72)F
itte
d p
-valu
e
Input p-value
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Figura 4.16 – Gráfico de Probabilidade para a Distribuição Uniforme
57
Normal(9,8933; 1,2082)F
itte
d p
-valu
e
Input p-value
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,00,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Figura 4.17 – Gráfico de Probabilidade para a Distribuição Normal
58
O gráfico de probabilidade (q-q) plota a distribuição dos dados em quartis de entrada
versus a distribuição dos resultados em quartis. Ele deve ser aproximadamente linear se
a distribuição tiver uma boa aderência aos dados. Nas figuras 4.18; 4,19; e 4.20 são
apresentados os gráficos de probabilidade q-q para as distribuições selecionadas com
melhor aderência aos dados de entrada.
Uniform(498,31; 1401,72)
Fit
ted q
uanti
leV
alu
es i
n T
housand
s
Input quantileValues in Thousands
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
Figura 4.18 – Gráfico q-q para a Distribuição Uniforme
59
Normal(9,8933; 1,2082)
Fitte
d q
uantile
Input quantile
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6 7 8 9
10
11
12
13
14
15
Figura 4.19 – Gráfico q-q para a Distribuição Normal
60
Triang(16,1278; 19,5900; 23,0623)F
itte
d q
uantile
Input quantile
16
17
18
19
20
21
22
23
16
17
18
19
20
21
22
23
Figura 4.20 – Gráfico q-q para a Distribuição Triangular
O @Risk 4.0 é um add-in do Excel. Para rodar a simulação o primeiro passo é definir as
variáveis independentes. As hipóteses sobre as distribuições e seus respectivos
parâmetros são cruciais para o modelo de simulação. A introdução das distribuições nas
variáveis, que são estocásticas, é simples e direta. Basta indicar para a variável desejada
a distribuição com seus respectivos parâmetros.
61
Em seguida determinar a variável de saída, que nesta análise é o ponto de equilíbrio.
Portanto, basta adicionar na célula B22 a formula RiskOutput (). O próximo passo é
realizar a simulação.
A simulação foi calculada através do software @Risk 4.0. Para realizarmos a simulação.
Podemos estabelecer os parâmetros da simulação, tais como: número de interações
(variando entre 100 a 10.000); e tipo de simulação (Latin Hypercube ou Monte Carlo).
Utilizamos o método de Monte Carlo, sendo que foram feitas 10.000 simulações
(interações).
4.5 . Análise de Resultados
Análise de resultados trata do estudo e do exame dos dados gerados pela simulação.
Para o problema estudado, deve-se obter um histograma de frequência para o ponto de
equilíbrio e em seguida calcular uma medida de tendência central, e uma medida de
dispersão, usualmente a média e o desvio-padrão. Esses estimadores são pontuais, isto é,
especificam um único valor para o estimador. Logo, esse procedimento não permite
julgar a possível magnitude do erro que estamos cometendo. Daí, surge a idéia de
construir os intervalos de confiança, que são baseados na distribuição amostral do
estimador pontual.
Como exemplo, o intervalo de confiança para a média, considerando grandes amostras,
isto é, n no mínimo 30, com o desvio padrão previamente calculado segundo Freund et
al (2000), e dado por
62
n
szx
n
szx
22
(4.7)
Podemos então afirmar com 1 100% de confiança que o intervalo de equação
(4.7), dterminado com base em uma grande amostra aleatória, contém os valores médios
que estamos procurando estimar. As extremidades do intervalo de confiança são os
limites de confiança, e 1 100% é chamado grau de confiança.
Foram feitas 10.000 simulações para o valor do ponto de equilíbrio. A tabela 4.21,
apresentas estatísticas referentes a variável ponto de equilíbrio. O valor máximo obtido
nas simulações foi de 396,6864624; o valor mínimo foi de 34,52910614; a média da
variável foi 102,6189402; e o desvio-padrão foi de 37,01023347.
63
Output Statistics
Outputs ponto de equilíbrio:
Simulation 1
Statistics / Cell $C$15
Minimo 34,52910614
Maximo 396,6864624
Media 102,6189402
Desvio Padrão 37,01023347
Variancia 1369,757381
Skewness 0,988052301
Kurtosis 5,128903623
Numero de erros 0
Moda 71,9500351
5,0% 52,74227142
10,0% 58,9749794
15,0% 64,3868103
20,0% 69,45742035
25,0% 74,52105713
30,0% 79,40208435
35,0% 84,09693146
40,0% 89,01326752
45,0% 93,72644806
50,0% 98,40740967
55,0% 103,1524582
60,0% 108,5544968
65,0% 113,7993088
70,0% 118,7556152
75,0% 124,2985306
80,0% 130,654953
85,0% 138,6811523
90,0% 149,6204987
95,0% 168,7325592
Tabela 4.21 – Estatísticas da Variáveis de Saída
64
Nas figura 4.22 é apresentado o histograma da variável ponto de equilíbrio. Com base
no histograma, é possível concluir que 90% dos valores ficaram entre 52,7423 e
168,7326.
Figura 4.22 – Histograma da variável Ponto de Equilíbrio
Distribuição para o Ponto de
Equilíbrio:/C15
65
Para a variável ponto de equilíbrio, podemos ver na figura 4.23 a distribuição de
probabilidade acumulada. O eixo vertical do gráfico mostra a probabilidade do ponto de
equilíbrio ser menor ou igual o valor indicado.
Figura 4.23 – Distribuição de Probabilidade acumulada do Ponto de Equilíbrio
Distribuição para o Ponto de
Equilíbrio:/C15
66
Uma outra informação importante é o gráfico tornado, construído com o auxílio do
@Risk, para que possamos identificar quais a s variáveis que mais influenciam o ponto
de equilíbrio. Na figura 4.24 podemos observar que um aumento de um desvio-padrão
no custo fixo aumenta o ponto de equilíbrio em 0.76 desvio-padrão. Este gráfico é
obtido a partir de uma regressão em que a variável dependente é a ponto de equilíbrio e
as independentes são custo variável unitário, custo fixo e preço unitário.
Figura 4.24 – Gráfico Tornado
Regression Sensitivity for ponto deequilíbrio:/C15
Std b Coefficients
custo variável unitário:Ri.../C11 ,369
preço unitário:RiskTriang(.../C5-,456
custo fixo:/C8 ,76
-1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1
Regressão de Sensibilidade para o Ponto de
Equilíbrio:/C15
Coeficiente Padrão de b
67
O gráfico tornado aponta as principais variáveis que influenciam o ponto de equilíbrio.
A tabela de sensibilidade, figura 4.25, mostra a classificação das variáveis segundo o
peso de sua influência sobre o ponto de equilíbrio, fornecendo também a correlação
entre as variáveis de entrada e o ponto de equilíbrio.
Sensibilidade
Classificação Nome Regr Corr
#1 custo fixo: / $C$8 0,760 0,826
#2 preço unitário:RiskTriang(16;20;23) / $C$5 -0,456 -0,413
#3 custo variável unitário:RiskNormal(10;1,2) / $C$11 0,369 0,349
Figura 4.25 – Regressão e Correlação
68
5. CONCLUSÃO
Suprimir a ignorância quanto ao futuro é uma simplificação muito adotada por
administradores e analistas durante a análise de custo-volume-lucro. Embora técnicas
que permitam a inclusão da incerteza existam a algumas décadas, muitos profissionais
desconhecem essas ferramentas e tem o hábito de só trabalhar com números nunca com
distribuições. Com o desenvolvimento da indústria da informática, softwares e
aplicativos essas técnicas ficaram acessíveis ao analista que não tem formação em
programação, mas que esta habituado ao uso de planilhas.
Esse trabalho mostrou a importância de considerar a incerteza na análise CVL, e
construiu um modelo geral de simulação como uma ferramenta que permite considerar a
incerteza em todas as variáveis. Os passos do desenvolvimento de uma simulação para
análise de CVL foi explicado em detalhe e ilustrado com um exemplo.
69
Comparando o resultado da variável ponto de equilíbrio do modelo de simulação com o
modelo clássico, vemos que ao invés de obter um único número para o ponto de
equilíbrio no modelo clássico, obtemos uma distribuição para ponto de equilíbrio onde
poderemos então calcular a probalidade que ele seja maior ou menor que um
determinado valor; ou ainda que ele esteja entre uma determinada faixa de valores.
Este trabalho demonstrou de forma clara, que o estudo da alavancagem operacional
pode ser feita com a introdução de variáveis estocásticas, obtendo resultados mais úteis
aso tomadores de decisão. Por outro lado, a simplicidade do modelo e a facilidade de
uso dos softwares @Risk e BestFit permite que o modelo seja facilmente utilizado tanto
por executivos quanto por estudantes.
A leveza e simplicidade do modelo poderá ajudar na difusão da cultura de avaliação de
risco e no uso de simulação digital por empresas de diversas partes do país. Finalmente
o trabalho permitirá o acesso de técnicas de simulação a profissionais não treinados na
construção de modelos e no uso de técnicas quantitativas para compreensão dos
problemas coorporativos.
70
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71
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Savage, Sam. “The Flaw of Averages” Harvard Business Review, pp 20-21, novembro
2002
Savage, Sam. “Rolling the Dice” Financial Planning, pp 59-62, março 2003
73
ANEXO
Custo Variável Unitário
21,32 16,41 18,39 17,67 18,92 17,67 18,91 19,81 20,29 20,79
21,36 16,45 18,41 17,67 18,92 19,37 19,54 19,81 20,29 20,79
21,4 16,45 18,42 17,67 18,93 19,37 19,54 19,81 20,3 20,82
21,41 16,48 18,42 17,7 18,95 19,39 17,61 19,81 20,32 20,82
21,41 16,5 18,43 17,7 18,95 19,39 17,63 19,83 20,33 20,83
21,44 16,52 18,45 17,72 18,96 19,39 17,64 19,85 20,33 20,83
21,49 16,62 18,46 17,74 18,96 19,4 18,89 19,85 20,33 20,84
21,52 16,67 18,48 17,76 18,98 19,4 18,89 19,86 20,33 20,85
21,53 16,71 18,49 17,77 19,01 19,41 18,91 19,86 20,34 20,85
21,54 16,74 18,49 17,78 19,01 19,41 18,35 19,86 20,34 20,85
21,54 16,78 18,49 17,79 19,03 19,45 18,37 19,88 20,34 20,86
21,57 16,85 18,49 17,81 19,03 19,45 18,39 19,91 20,34 20,87
21,58 16,86 18,5 17,83 19,04 19,47 19,37 19,92 20,35 20,87
21,58 16,91 18,53 17,85 19,04 19,47 19,37 19,92 20,42 20,12
21,59 16,92 18,53 17,85 19,05 19,47 19,37 19,95 20,43 20,91
21,65 16,95 18,54 17,85 19,05 19,48 19,77 19,95 20,43 20,93
21,66 17,02 18,55 17,86 19,05 19,48 19,77 19,95 20,44 20,24
21,69 17,02 18,55 17,87 19,05 19,5 19,78 19,95 20,46 20,35
21,69 17,05 18,56 17,88 19,06 19,5 18,33 19,96 20,46 20,27
21,7 17,08 18,57 17,89 19,07 19,5 19,36 19,96 20,47 21,13
21,7 17,11 18,57 17,9 19,07 19,54 19,77 19,96 20,47 20,1
21,7 17,13 18,58 17,9 19,07 19,55 17,58 19,97 20,48 20,28
21,71 17,14 18,58 17,91 19,08 19,56 18,89 19,97 20,49 20,38
21,71 17,2 18,6 17,92 19,09 19,57 19,79 20,01 20,51 21,02
21,72 17,21 18,6 17,93 19,11 19,57 21,28 20,02 20,53 21,03
21,73 17,23 18,6 17,98 19,13 19,57 22,27 20,02 20,54 21,05
21,75 17,23 18,6 17,99 19,13 19,58 22,3 20,04 20,56 21,05
21,75 17,26 18,61 18 19,15 19,59 22,3 20,05 20,57 21,06
21,76 17,26 18,61 18 19,15 19,59 22,32 20,06 20,57 21,07
21,76 17,31 18,63 18,01 19,2 19,59 22,33 20,06 20,58 21,08
21,87 17,31 18,64 18,01 19,2 19,59 22,39 20,06 20,58 21,1
21,87 17,32 18,66 18,01 19,21 19,6 22,4 20,06 20,59 21,1
21,88 17,32 18,67 18,02 19,21 19,61 22,43 20,08 20,6 21,12
21,9 17,33 18,69 18,03 19,21 19,62 22,51 20,09 20,6 21,13
21,94 17,33 18,73 18,09 19,21 19,64 22,51 20,1 20,61 21,13
21,96 17,34 18,74 18,12 19,22 19,64 22,57 20,11 20,62 21,13
21,98 17,35 18,74 18,16 19,24 19,65 22,61 20,11 20,63 21,13
21,99 17,35 18,75 18,18 19,25 19,68 22,71 20,12 20,64 21,15
22,02 17,38 18,76 18,18 19,26 19,68 22,74 20,13 20,64 21,16
22,03 17,38 18,76 18,2 19,27 19,69 22,91 20,13 20,66 21,18
22,04 17,4 18,77 18,21 19,27 19,7 20,77 20,15 20,66 21,18
22,06 17,4 18,8 18,21 19,28 19,71 20,78 20,16 20,67 21,2
74
22,11 17,43 18,8 18,22 19,28 19,71 20,78 20,17 20,67 21,2
22,12 17,43 18,81 18,23 19,28 19,71 20,78 20,17 20,71 21,24
22,17 17,44 18,82 18,26 19,3 19,73 20,22 20,17 20,71 21,24
22,2 17,44 18,82 18,26 19,3 19,74 20,23 20,21 20,72 21,24
22,2 17,5 18,83 18,3 19,31 19,75 20,24 20,22 20,72 21,24
22,22 17,52 18,84 18,31 19,32 19,75 20,25 20,22 20,73 21,25
22,25 17,54 18,85 18,31 19,33 19,75 20,27 20,22 20,73 21,26
22,26 17,57 18,88 18,33 19,34 19,75 20,78 20,22 20,74 21,27
Custo Fixo
500,1 597,1 1293 1200 682,5 769,8 1130 861,7 942,6 1037
501,3 597,7 1296 1200 682,6 770,9 1135 862,8 943,5 1038
503,9 598,2 1296 1206 683,9 770,9 1136 865,4 948,7 1040
504,9 600,9 1297 1306 684,8 772,4 1138 868,7 948,7 1040
508 601,7 1299 1307 685,3 775,6 1139 871,4 949,3 1042
509,6 603,4 1304 1207 685,9 776,1 1140 873,4 954 1044
513 606,6 1304 1207 689,8 776,4 1140 873,6 955,1 1045
513 607,5 1306 1217 691,5 779,7 1143 876,9 955,7 1045
517,1 607,8 1306 1217 692,1 780,7 1144 877,2 958,4 1048
522,4 608,5 1309 1387 694,6 784 1145 878,1 958,8 1048
524,5 609,1 1313 1400 694,8 785,7 1147 879,4 959,8 1051
525,6 609,5 1315 880,4 700,9 786,2 1151 879,7 963,5 1053
526,3 609,7 1316 1385 700,9 788,7 1152 880 964,9 1054
526,8 618,1 1319 1328 703,5 820 1153 880,9 970,9 1054
532,1 619,7 1321 1100 703,9 789,1 1157 885,2 972,1 1056
532,7 622,9 1323 1389 709 810,1 1159 885,5 972,1 1056
535,3 627,1 1323 1379 711,4 806 1161 886,9 973,9 1057
536,3 628,8 1328 1271 714,9 793,7 1162 888,7 974,2 1057
538,3 629,4 1329 1272 720,5 794,1 1162 890,1 974,5 1058
538,8 629,9 1332 890,9 720,8 794,6 1162 893 976,5 1058
540,8 630,5 1333 1232 722,1 795,4 1162 894,8 976,6 1058
543,4 630,8 1334 1233 725 796,3 1166 895 976,7 1058
548,9 632,7 1334 1234 725,5 800,6 1166 895,8 985,7 1058
549,3 635,6 1335 1236 725,6 805,1 1166 900,7 988,3 1059
550,4 638,2 1336 1237 726,9 806,4 1169 901,7 989,7 1060
550,8 639,3 1344 1237 728,7 812,9 1170 905,7 990,2 1063
551,7 640,9 1344 1239 733,3 816,7 1171 905,7 992,6 1064
555,7 642,3 1344 1240 734,2 817 1173 906 994,3 1079
557,9 643 1349 1243 735,3 818,3 1173 909,9 1000 1079
558,1 646,2 1350 1246 735,8 818,6 1174 912,3 1001 1087
558,4 653,8 1354 1247 737,6 820,7 1174 912,6 1001 1092
560,4 656,5 1354 1249 738,7 823,7 1175 913,5 1002 1092
562 657,1 1357 1250 740,4 826,7 1176 914,2 1002 1093
75
565,1 657,7 1363 1251 741,8 827,2 1177 914,7 1003 1094
565,5 659,1 1364 1255 742,1 828 1178 915,6 1004 1095
568,4 660,5 1369 1258 745,6 830,9 1179 916,3 1004 1098
568,6 661 1373 1260 746 832,3 1179 917,1 1008 1101
569,2 664,1 1375 1260 747 833,1 1180 917,9 1012 1101
571,6 665 1376 1261 747,7 836,3 1180 920,3 1013 1107
572,6 665,2 1376 1266 749,1 836,8 1181 924,9 1013 1107
579,3 666,2 1377 1266 750,8 841,4 1188 927,9 1014 1108
581,5 666,7 1378 1270 751,2 843,4 1190 928,2 1018 1111
586,4 674,6 1382 1270 753,6 843,9 1195 931,2 1021 1114
588 674,9 1383 1273 755,6 846,8 1195 931,5 1028 1115
589,1 675,2 1387 1276 758,3 847,4 1196 934,7 1028 1115
589,9 675,8 1388 1276 761,6 848,1 1196 935,9 1032 1119
592,6 675,9 1388 1276 761,7 849 1197 936,6 1034 1123
592,6 676,9 1389 1281 761,8 855,8 1197 938,4 1034 1126
595,3 677,3 1391 1287 764,5 857,7 1198 938,8 1034 1127
596 679,5 1391 1289 764,9 860,5 1199 940,1 1036 1130
Preço unitário
6,83 8,27 8,88 9,25 9,62 9,86 10,18 10,52 10,86 11,41
6,84 8,27 8,89 9,25 9,62 9,88 10,18 10,53 10,89 11,44
7,14 8,3 8,89 9,25 9,62 9,89 10,18 10,53 10,9 11,46
7,21 8,31 8,9 9,26 9,62 9,89 10,19 10,54 10,91 11,46
7,26 8,32 8,91 9,26 9,64 9,9 10,2 10,54 10,93 11,46
7,32 8,33 8,92 9,26 9,64 9,9 10,22 10,54 10,96 11,47
7,32 8,35 8,92 9,27 9,65 9,91 10,22 10,55 10,96 11,48
7,39 8,37 8,93 9,28 9,67 9,92 10,23 10,55 10,97 11,51
7,54 8,39 8,93 9,28 9,67 9,92 10,24 10,56 10,99 11,52
7,58 8,44 8,94 9,29 9,67 9,92 10,25 10,56 11 11,53
7,59 8,46 8,95 9,31 9,68 9,93 10,25 10,57 11,02 11,54
7,63 8,46 8,95 9,31 9,68 9,94 10,26 10,57 11,02 11,57
7,65 8,46 8,95 9,32 9,68 9,94 10,26 10,57 11,03 11,58
7,65 8,48 8,96 9,32 9,69 9,94 10,28 10,58 11,04 11,63
7,66 8,48 8,97 9,33 9,69 9,94 10,3 10,58 11,06 11,63
7,66 8,48 8,98 9,33 9,69 9,94 10,31 10,61 11,08 11,67
7,67 8,49 8,99 9,35 9,69 9,95 10,32 10,63 11,09 11,68
7,69 8,52 9 9,38 9,7 9,96 10,32 10,63 11,1 11,72
7,77 8,53 9,02 9,38 9,7 9,96 10,33 10,64 11,1 11,73
7,8 8,57 9,02 9,39 9,7 9,96 10,33 10,65 11,11 11,77
7,81 8,58 9,02 9,39 9,71 9,97 10,33 10,65 11,12 11,79
7,88 8,59 9,03 9,42 9,72 9,97 10,34 10,65 11,12 11,83
7,93 8,62 9,05 9,42 9,73 9,97 10,34 10,67 11,12 11,83
7,93 8,62 9,05 9,42 9,73 9,97 10,35 10,67 11,13 11,83
7,93 8,65 9,06 9,42 9,73 9,98 10,35 10,67 11,13 11,84
8,01 8,66 9,06 9,43 9,73 9,99 10,35 10,67 11,16 11,91
76
8,03 8,66 9,06 9,44 9,73 10 10,37 10,69 11,17 11,96
8,04 8,67 9,07 9,45 9,74 10 10,37 10,69 11,18 12,01
8,05 8,68 9,09 9,47 9,75 10 10,37 10,71 11,2 12,02
8,07 8,69 9,09 9,47 9,75 10,01 10,37 10,72 11,21 12,03
8,08 8,7 9,09 9,48 9,76 10,03 10,37 10,72 11,25 12,03
8,08 8,7 9,11 9,48 9,77 10,05 10,38 10,73 11,25 12,03
8,08 8,71 9,11 9,48 9,77 10,05 10,39 10,75 11,25 12,04
8,09 8,72 9,12 9,5 9,78 10,06 10,39 10,75 11,26 12,07
8,1 8,72 9,14 9,5 9,79 10,06 10,39 10,75 11,26 12,07
8,15 8,72 9,14 9,52 9,79 10,07 10,4 10,75 11,28 12,11
8,16 8,74 9,14 9,54 9,79 10,08 10,41 10,76 11,29 12,18
8,19 8,75 9,14 9,54 9,79 10,08 10,42 10,78 11,29 12,26
8,19 8,78 9,15 9,55 9,81 10,12 10,43 10,78 11,3 12,37
8,19 8,79 9,16 9,56 9,81 10,12 10,44 10,8 11,31 12,37
8,2 8,8 9,17 9,56 9,81 10,12 10,44 10,8 11,33 12,46
8,2 8,81 9,17 9,56 9,81 10,13 10,45 10,81 11,33 12,51
8,22 8,81 9,17 9,57 9,82 10,14 10,45 10,81 11,34 12,55
8,23 8,82 9,17 9,58 9,82 10,14 10,45 10,82 11,36 12,57
8,24 8,84 9,19 9,6 9,82 10,14 10,46 10,84 11,37 12,73
8,24 8,85 9,19 9,6 9,85 10,14 10,47 10,84 11,37 12,83
8,25 8,86 9,21 9,6 9,85 10,15 10,48 10,85 11,38 13,05
8,26 8,87 9,22 9,6 9,85 10,16 10,48 10,85 11,39 13,43
8,26 8,87 9,23 9,6 9,86 10,17 10,49 10,86 11,4 14,22
8,26 8,88 9,24 9,6 9,86 10,18 10,5 10,86 11,4 14,57