ANHANGUERA EDUCACIONALDisciplina: Matemtica AplicadaProfessora: Luciana

ALESSANDRA VIEIRA LINSALCENIR CAETANO APOLINARIODEIVID COSTA FARIAJEAN MARTINSJHONATAS NASCIMENTOLUANA DOS SANTOS PEREIRARAFAEL MELLOREINAN SOARES DOS REISRA 7093567152RA 7423677870RA 7248604136RA 9977019256RA 7626705616RA 7252602935RA 2289530579RA 7626706665

Atividade Prtica Supervisionada2 Periodo - Noturno

2014FACULDADE ANHANGUERA NITERIS UNIPLI

Etapa 1 - Aula-tema: O conceito de derivada.

Passo 1O estudo das derivadas resultado de um longo e lento processo de analises iniciado na antiguidade e aperfeioado no decorrer das dcadas. Por definio podemos dizer que trata-se de uma forma de representar a taxa de variao de uma funo ou, partindo de outro ponto de vista, poderamos dizer que, assim como o nome sugere, derivar trata-se de encontrar a equao de onde provm a outra ou simplesmente a sua origem.

Passo 2f(x) = 7x

f(x) = 7

Passo 3Exemplo 1:Vamos atravs de uma demonstrao encontrar a taxa de variao da funo f(x) = 5x+6.

f(x) = 5x+6f(x + h) = 5*(x + h)+6 f(x + h) = 5x+5h+6 (h 0)f(x + h) f(x) = 5x+5h+6-(5x+6)f(x + h) f(x) = 5x+5h+6-5x-6f(x + h) f(x) = 5hOu seja: f '(x)=5Analisando o exemplo acima podemos verificar que a taxa de variao geral para a funo apresentada equivale a 5.

Exemplo 2Ainda usando a funo f(x)=5x+6 vamos calcular f(2) e as variaes f(2+1) e f(2-1) a fim de provar o exemplo anterior.

F(x)=5x+6F(2+1)= 5(2+1)+6F(2-1)= 5(2-1)+6F(2)=5*2+6F(2+1)= 15+6F(2-1)= 5+6F(2)=16F(2+1)= 21F(2-1)= 11

Analisando esse segundo exemplo, em conjunto ao primeiro podemos notar a aplicao da taxa de variao obtida anteriormente na prtica, ou seja, para cada alterao aplicada houve a variao proposta.

ETAPA 2- Aula-tema: Tcnicas de derivaoPasso 1Em termos gerais temos que a derivada de uma funo se d pela regra: No entanto em muitos casos o processo de derivao se tornaria extremamente longo e complexo, por isso devemos fazer uso de alguns mtodos de derivao, a fim de facilitar e tornar mais prtico o processo de derivao, so esses processos:1 Funo ConstanteSeja a funo f(x)= k, onde k uma constante, teremos que f(x)= 02 Funo LinearSeja a funo dada por f(x)= ax + b, sua derivada ser f(x)= a3 Soma ou diferena de funesSeja a funo f(x) obtida a partir das somas de g(x) e h(x), ou seja, f(x)= g(x) + h(x), ento sua derivada ser a soma das derivadas das funes que a originou, logo, f(x)= g(x) + h(x).4 Potncia de xSeja a funo f(x)= xn sua derivada ser f(x)= nxn-15 Funo ExponencialSeja a funo f(x)= ax onde a um numero real maior e diferente de que 1, sua derivada ser dada por f(x)= ax ln(a)6 Funo exponencial na base eSeja a funo f(x)= ex onde e equivale ao numero exponencial ( aproximadamente 2,71828...), sua derivada ser dada pela prpria funo, ou seja, f(x) = ex.7 Logaritmo NaturalSeja a funo f(x)= ln(x), sua derivada ser 8 Produto de FunesSeja a funo f(x) obtida a partir da multiplicao de g(x) por h(x), ou seja, f(x)= g(x) * h(x), ento sua derivada ser f(x)= g(x)*h(x) + h(x)*g(x)9 Quociente de FunesSeja a funo f(x) obtida a partir da diviso de g(x) por h(x), ou seja, , ento sua derivada ser 10 Funo Composta (Regra da Cadeia)Seja a funo f(x) obtida a partir da funo composta entre h(x) e g(x), ou seja, f(x)= h(g(x)), sua derivada ser obtida por f(x)=h(g(x))*g(x) Passo 2Pede-se calcular a derivada de f(x) = 3x + 5x 12Partindo pelo principio de que se f(x)= axn logo f(x)= n*axn-1 e sabendo que a derivada de um numero inteiro sempre 0 temos a seguinte situao:f(x)= 3x2 + 5x 12f(x)= 2*(3x2-1) + 1*(5x1-1) 12f(x)= 6*(x1) + 5*(x0) 0f(x)= 6x + 5

Passo 3Alternativa correta : d) A taxa de variao media a inclinao da reta secante

Vamos usar a funo f(x)= 10x2-2x no intervalo [2,4] como exemplo:

f(2)= 10.22 - 2.2f(4)= 10.42 - 2.4f(2)= 10.4 4f(4)= 10.16 8f(2)= 40 4f(4)= 160 -8f(2)= 36f(4)= 152

TVM = 58Sabendo que a equao da reta secante expressa por y = ax + b, podemos resolve-la da seguinte forma:y= ax + by = 152x +b4 = 152*2 +b4 304 = bb= -300Assim sendo a equao final da reta secante dada por y = 152x - 300Passo 4Para determina a equao tangente curva C(q)=q-6q+8 devemos seguir as seguintes etapas:Primeiramente vamos Calcular C(1):C(1) = 1 - 6.1 + 8C(1) = 1-6+8C(1)= 3Ou seja, quando q=1 ento C(1)=3, em outras palavras, o ponto de tangencia dado pelas coordenadas (x,y), representadas por (1,3).Agora vamos determinar o coeficiente angular da reta tangente, derivando a funo:C(q) = q - 6q + 8C'(q) = 2q - 6Em seguida devemos calcular C(1).C(1)= (2*1)-6C(1)= 2-6C(1)= -4

Agora vamos fazer uso da equao reduzida y = ax + b, onde a equivale ao valor encontrado acima:y = -4x + bAinda precisamos encontrar o valor de b, para isso vamos substituir os valores x= 1 e y= 3 encontrados anteriormente.y= -4x + b3 = -4.1 + bb = 7Agora s retomar a equao reduzida y = ax + be substituir os valores de "a" e "b" para finalmente obter a equao da reta tangente conforme solicitado y = -4x + 7.Para montar o grfico vamos encontrar os seguintes pares ordenados: (x;0) e (0;y) Para y=0: -4x+7 = 0 logo: x= :. x= 1,75. Obtendo o par ordenado (1,75; 0)Para x= 0: y= -4*(0)+7 :. y= 7. Obtendo o par ordenado (0; 7)Assim sendo, traamos o grfico abaixo. ETAPA 3 - Aula-tema: Aplicaes das derivadas no estudo das funes..Passo 1Problemas existem e sempre vo existir, e em dos objetivos da matemtica tornar o mtodo de tomada decises mais racional possvel, para a resoluo de problemas, no entendimento dos fatos, conclumos que a matemtica tem como objetivo capacitar o administrador a formular o problema, estabelecer as regras a serem aplicadas para conduzir ao melhor resultado. O administrador pode contar com a ajuda significante da tecnologia de informao para o processamento de dados, produzindo informao, que ajudar a visualizar e analisar grficos, projetos, relatrios, simulao de vendas, planejamentos das despesas, anlise de receita, demanda, oferta custos, margens de lucro, etc. O fato de voc ter se formado levando a srio o seu Curso de Administrao que o segundo melhor curso valorizado do mundo, em um ambiente de pesquisa, de ter sido habituado a questionar, buscar novas solues, verificar suas ideias e compar-las com as de outros ser uma vantagem no mercado de trabalho, sabemos que, em relao aos consumidores, a demanda de um produto pode ser associada a seu preo. Em geral, se o preo aumenta, a demanda diminui.Na atividade operacional de uma empresa diversos fatores contribuem para a formao da receita proveniente do volume de vendas, fatores como volume da produo e potencial de mercado no podem ser esquecidos na formao da receita: porem em pequenos intervalos, onde j foram consideradas as variveis restritivas, e considerando-se o preo constante nesse intervalo de produo, o rendimento total da empresa ou receita total, ser funo, somente, da quantidade vendida. Os conceitos de que referimos no so desta cadeira mas sim so tratados nesta no ponto de vista totalmente matemtico, por isso no deveremos nos aprofundar.Funo Custo C (q);Funo Custo Mdio Cme (q);Funo Custo Marginal C (q);Funo Custo Mdio Marginal C'me(q);Funo Receita R (q) = p.q = p. f (q) se p = f (q) equao da demanda (preo) do produto e q quantidade demandada ou ofertada;Funo Receita Marginal R (q);Funo Lucro P (q) = L (q) = (q);Funo Lucro Marginal P' (q) = L' (q) = ' (q);Elasticidade da demanda E (p);Propenso Marginal a consumir e a poupar.ElasticidadeElasticidade Preo da demanda.Para produtos diferentes, existem diferentes comportamentos de mudana da demanda em relao s variaes de preos. Por exemplo, se houver um considervel aumento no preo de sal, a demanda dos consumidores praticamente no se altera, uma vez que tal produto indispensvel e tem pouco peso no oramento domstico; entretanto, se houver um considervel aumento no preo da carne bovina, a demanda se alterar, uma vez que tal produto pode ser substitudo por outros tipos de carnes, alm de ter grande peso no oramento domstico.Assim, de maneiras diferenciadas, a demanda por um produto " sensvel" mudana dos preos. Avaliaremos a "sensibilidade" da demanda em relao s mudanas de preos com o auxlio do conceito elasticidade preo da demanda. De modo simplificado, podemos dizer que, para as famlias, o consumo somado poupana se iguala renda, ou seja, renda = consumo + poupana ou y = c+s naturalmente, temos que a poupana das famlias dada pela diferena entre a renda e consumo, ou seja, poupana = renda consumo ou s = y c como o consumo c funo da renda y, comum analisar a variao no consumo correspondente variao da renda; em outras palavras, a taxa de variao do consumo em relao renda; de modo prtico, a derivada do consumo em relao renda. Tal derivada tambm conhecida como Propenso Marginal a Consumir, que mede em quanto aumenta o consumo quando h o aumento de uma unidade na renda. Simbolizando c=f (y), temos algumas maneiras de simbolizar a Propenso Marginal a Consumir: cmg=c'(y).Comparando a poupana s a funo da renda y e comum analisar a variao na poupana correspondente variao da renda; em outras palavras, a taxa de variao da poupana em relao renda; de modo prtico, a derivada da poupana em relao renda. Tal taxa tambm conhecida como Propenso Marginal a Poupar, que mede em quanto aumenta a poupana quanto h o aumento de uma unidade na renda. Simbolizando s = f(y), temos algumas maneiras de simbolizar a Propenso Marginal a poupar: smg = s'(y) = .Vimos que y = c + s e, nessa expresso, derivando em relao a y, temos ou seja, a soma da Propenso Marginal a Consumir com a Propenso Marginal a Poupar resulta em 1: cmg+smg= 1Como as funes c e s so crescentes, as derivadas indicadas so positivas, assim temos 0