atps matemática aplicada iii - completa

8/16/2019 Atps Matemática Aplicada III - Completa

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FACULDADE ANHANGUERA DE RIO CLARO

FACULDADE ANHANGUERA DE RIO CLARO

ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA -

MATEMÁTICA APLICADA III

ADRIANO PEREIRA DA SILVA - R.A.: 9902012872CHRISTOFERSON HOHNE - R.A.: 860124690

MARCOS RO!ERTO !AUNGARTNER - R.A.: 9902012"1

THIAGO RODRIGO SASS - R.A.: 84121"148"

TIAGO MARTINS DOS SANTOS - R.A.: 8497219877

#OHN $ESLE% RI!EIRO-R.A.:8874421629

GUILHERME &ANELLATO OLIVEIRA ' R.A.: 129910189

RIO CLARO ' SP

2(11(201"


2/24

Sumário

1 - Introdução..................................................................................................................3

1.1 Objetivo do Desafio..............................................................................................3

2. Relatório 1 – Integral Indefinida e Integral Definida..................................................4

2.1 !istória do surgi"ento das integrais..................................................................4

2.2 #on$eitos de integrais definidas% indefinidas e $&l$ulo de &reas..........................'

3. Relatório 2 – ()$ni$as de Integração........................................................................1*

3.1 integração +or +artes...........................................................................................1*

3.2 Integração +or ,ubstituição................................................................................11

3.3 ,ubstituiçes trigono")tri$as.............................................................................123.4 /assos +ara a integração.....................................................................................12

4. Relatório 3 - +li$açes de Integrais Definidas........................................................10

4.1 ()$ni$as de Integração........................................................................................10

0. Relatório 4 - +li$açes de Integrais Definidas........................................................1

0.1 ,ólidos e ,u+erf$ies de Revolução....................................................................1

0.2 olu"e de ,ólidos de Revolução........................................................................2*

'. #on$lusão..................................................................................................................23. Refer5n$ias 6ibliogr&fi$as........................................................................................24


3/24

3

1 - I)*+,/,

O desafio +ro+osto ser& des$obrir 7ual o no"e atribudo 8 nova gal&9ia +ela e7ui+e de

astr:no"os e 7ual a dist;n$ia% e" bil!es de anos-lu


4/24

4

ETAPA 1

2. R3*+, 1 ' I)*3;+ I)3) 3 I)*3;+ D3)

2.1 A le teria 7ue ter usado o

$on$eito "oderno de li"ite +ara finaliudo9o ?$er$a de 3* .#.@ o desenvolvi"ento do ")todo de e9austão

u"a t)$ni$a de a+ro9i"ação da &rea de u"a região $o" u" n="ero $res$ente de +olgonos%$o" a+ro9i"açes "el!orando a $ada eta+a e a &rea e9ata sendo obtida de+ois de u" n="ero

infinito destas eta+asF esta t)$ni$a foi "odifi$ada +ara resolver +roble"as $o" $ubaturas

ta"b)".

r7ui"edes ?2H--212 .#.@% usou o ")todo de e9austão +ara en$ontrar a 7uadratura

da +ar&bola. r7ui"edes a+ro9i"ou a &rea $o" u" n="ero grande de tri;ngulos $onstrudos

engen!osa"ente e então usou o argu"ento da redução ao absurd du+laJ +ara +rovar o

resultado rigorosa"ente e evitar 7ual7uer "etafsi$a do infinito. >sta t)$ni$a refinou o")todo de e9austão% assi" 7uando e9iste u" n="ero infinito de a+ro9i"açes +oligonais%

$!a"a-se de ")todo da $o"+ressão. Gate"&ti$os "uçul"anos dos s)$ulos a 13 fora"


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0

grandes estudiosos de r7ui"edes% "as nun$a soubera" da deter"inação de r7ui"edes do

volu"e de u" $onóide. ssi"% (!abit ibn Kurra! ?H2'--*1@ desenvolveu sua +ró+ria

$ubatura% u" tanto $o"+li$ada% deste sólidoF e então o $ientista +ersa bu ,a!l al-Lu!i

?s)$ulo 1*@ si"+lifi$ou $onsideravel"ente o +ro$esso de (!abit. Ibn al-aMt!a" ?'0--1*3@%

$on!e$ido no o$idente $o"o l!ale não tin!a noção das fal!as


6/24

'

lógi$as no seu argu"ento e +rosseguiu +ara justifi$ar o (eore"a do alor G)dio +ara

Integrais e +ara +rovar o (eore"a Punda"ental do #&l$ulo +ara funçes $ontnuas. Qiels

enriC bel ?1H*2--1H2@ ta"b)" a+ontou $ertos erros deli$ados ao usar a integral de

#au$!M +ara integrar todo ter"o de u"a s)rie infinita de funçes.

2.2 C,)>3*, 3 )*3;+ 3)? )3) 3 >@>, 3 @+3

derivada e a integral são duas noçes b&si$as do #&l$ulo Diferen$ial e Integral. Do

+onto de vista geo")tri$o% a derivada est& ligada ao +roble"a de traçar a tangente a u"a

$urva en7uanto 7ue a integral est& rela$ionada $o" o +roble"a de deter"inar a &rea de $ertasfiguras +lanas% "as ta"b)" +ossui "uitas outras inter+retaçes +ossveis. /ara o $&l$ulo de

u"a integral "ediante o uso do (eore"a Punda"ental do #&l$ulo% ne$essita"os $on!e$er

u"a +ri"itiva +ara a função envolvida.

integral indefinida vai $!egar e" u"a função +ri"itiva% en7uanto a integral definida

vai $!egar e" u" valor nu")ri$o% se essa integral $onvergir.

V" e9e"+lo (e"-se u"a $urva 7ue vai te u" +onto at) outro +onto "uito distante.

integral indefinida da a e7uação +ra a$!ara &rea +or bai9o desta $urva +ra 7uais7uer dois +ontos e9tre"os% en7uanto a integral definida% $o"o o no"e ja di


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se a+ro9i"a $ada ve< "ais da &rea da região dada. Qo +ri"eiro $aso% a esti"ativa obtida +ara

a &rea da região ) "enor do 7ue o seu valor e9atoF no segundo% "aior. ssi"% +ode"os

aWr"ar 7ue o valor e9ato da &rea est& entre os dois valores obtidos usando-se a+ro9i"açes.

Desta "aneira% o erro $o"etido ) "enor do 7ue a diferença entre estes dois valores.

2. D3, A? !? C 3 D

D3, A

Kual das alternativas abai9o re+resenta a integral indefinida de

Y aZ4[12 \ ?3aZ-2@[-2 \ 3lna

Y aZ4[12 – 3[2aZ2 \ 3lna \ #

D3, !

,u+on!a 7ue o +ro$esso de +erfuração de u" +oço de +etróleo ten!a u" $usto fi9o de

V] 1*.*** e u" $usto "arginal de #^?7@ Y1*** \ 0*7 dólares +or +)% onde 7 ) a +rofundidade

e" +)s. ,abendo 7ue #?*@ Y 1*.***% a alternativa 7ue e9+ressa #?7@% o $usto total +ara se

+erfurar 7 +)s% )

C ̂?q@ Y1*** \ 0*q

Y 1***7 \ ?0*7Z2@[2

Y 1***7 \207Z2 \#

,ubstituindo #?*@ Y 1**** na e9+ressão a$i"a tere"os

#?7@ Y 1***7 \207Z2 \ 1****

Res+osta $orreta alternativa .


8/24

H

D3, C

Qo in$io dos anos *% a ta9a de $onsu"o "undial de +etróleo $res$eu

e9+onen$ial"ente. ,eja #?t@ a ta9a de $onsu"o de +etróleo no instante t% onde t ) o n="ero

de anos $ontados a +artir do in$io de 1*. V" "odelo a+ro9i"ado +ara #?t@ ) dado +or

#?t@ Y 1'%1.eZ*%*t. Kual das alternativas abai9o res+onde $orreta"ente a 7uantidade de

+etróleo $onsu"ida entre 12 e 14X

Res+osta $orreta alternativa #.

D3, D



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Gar7ue" a res+osta $orreta dos desafios % 6% # e D% justifi$ando atrav)s dos $&l$ulos

realita+a1% /asso 3% Desafios % 6% # e D.

Res+osta 2 3*1.


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1*

ETAPA 2

. R3*+, 2 ' T>)> 3 I)*3;+/,

.1 )*3;+/, B,+ B+*3

Qo $&l$ulo integral% )*3;+/, B,+ B+*3 ) u" ")todo 7ue +er"ite e9+ressar

a integral de u" +roduto de funçes e" outra integral. integração +or +artes +ode ser vista

$o"o u"a versão integrada da regra do +roduto.

fór"ula t+i$a ) a seguinte% onde e são funçes de $lasse # no

intervalo % ou seja% são diferen$i&veis e suas derivadas são $ontnuas entre a e b. fór"ula $an:ni$a ) dada +ela seguinte e9+ressão

ou% ainda% de for"a "ais en9uta

E3=B,:

lgu"as antiderivadas são fa$il"ente obtidas via integração +or +artes% então veja"os

alguns e9e"+los

Onde se es$ol!eu e

Gediante e

D3=,)*+/,

V"a de"onstração si"+les +ode ser obtida atrav)s da regra do +roduto

http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_integralhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Integralhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Integralhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Regra_do_produtohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_cont%C3%ADnuahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Regra_do_produtohttp://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_integralhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Integralhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Regra_do_produtohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_cont%C3%ADnuahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Regra_do_produto


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11

Integrando esta e9+ressão entra a e b% te"os

#on$lu"os a de"onstração% atrav)s do teore"a funda"ental do $&l$ulo:

.2 I)*3;+/, B,+ S**/,:

#onsidere a seguinte integral

substituição $onsiste si"+les"ente e" a+li$ar u"a "udança de

vari&veis % onde ) u"a função 7ual7uer $ontnua no do"nio de integração.

Pasta t)$ni$a% 7ue ) fruto da regra da cadeia +ara derivadas% ) "uito =til 7uando a função

a ser integrada +ode ser re+resentada $o"o u" +roduto de funçes% onde u"a ) derivada da

outra ?+odendo diferir de u"a $onstante@.

Qe" se"+re a substituição ade7uada ) evidenteF "uitas ve


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12

Qeste $aso% as substituiçes ade7uadas são

.4 P, B+ )*3;+/,:

P, 1: Paça u"a es$ol!a +ara . >9. .

P, 2: #al$ule .

P, : Paça a substituição % . Qeste +onto a integral deve estar

e" ter"os de . ,e isso não a$onte$er% deve-se tentar u"a nova es$ol!a +ara .

P, 4: #al$ule a integral resultante% se +ossvel.

P, ": ,ubstituir +or F assi"% a res+osta final estar& e" ter"os de .

>9e"+lo

#onsidere a integral usando a substituição %

obt5"-se

integral de #osseno ao 7uadrado +ode ser feita utili


13/24

13

gora deve se voltar 8 in$ógnita original% isso +ode ser feito tras+ondo o ;ngulo +arau" tri;ngulo ret;ngulo. Qesse $aso o tri;ngulo teria !i+otenusa de valor 4 e $ateto o+osto a

igual a % $onse7uente"ente o $ateto adja$ente ao ;ngulo valer& . >stes valores

+ode" ser dedu


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14

dv Y dt[t\4

v Y `dt[t\4 % v Y `?t\4@Z-1[2 dt % v Y uZ-1[2 du % v Y 2?t\4@

, ∫t. dt[t\4 Y t. 2?t\4@ - 2`?t\4@ dt YY 2t?t\4@ – 2T2?t\4@Z3[3Uentre * e 0 Y

Y T3*-3'U – T-1*%''U Y -'\1*%'' Y 4%''


P,

Gar7ue" a res+osta $orreta do desafio +ro+osto no +asso 2% justifi$ando% +or "eio dos$&l$ulos realintregue" ao +rofessor% +ara $u"+ri"ento dessa eta+a u" relatório $o" o no"e de

Relatório 2 $o" as seguintes infor"açes organi


15/24

10

ETAPA

4. R3*+, - AB>/3 3 I)*3;+ D3)

4.1 T>)> 3 I)*3;+/,

Os $&l$ulos rela$ionados a &reas de figuras +lanas regulares são de $erta for"a

reali


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1'

d9% onde o +roduto de f?9@ +or d9 $orres+onde 8 &rea de $ada retângulo. A soma das áreas

infinitesimais fornecerá a área total da superfície sob a curva.

o resolver"os a integral entre os li"ites a e b% tere"os $o"o resultado a seguinte

e9+ressão

>9e"+lo

Deter"ine a &rea da região a seguir deli"itada +ela +ar&bola definida +elae9+ressão f?9@ Y – 9 \ 4% no intervalo T*%2U.

Deter"inando a &rea atrav)s da integração da função f(x) = –x² + 4.


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1

/ortanto% a &rea da região deli"itada +ela função f(x) = –x² + 4, variando de -2 a 2% ) de

1*%' unidades de &rea.

P, 2

Aeia" o desafio abai9o

#onsidere" as seguintes regies S1 ?Pigura 1@ e S2 ?Pigura 2@. s &reas de S1 e S2

são%

res+e$tiva"ente *%'31 u.a. e '%3H'3 u.a.


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1H

F;+ 1. F;+ 2.

R3,/,:

F;+ 1:

f?9@ Y 1[9

Integral de lnI9I entre 9Y1 e 9Y2.

Y ln2 – ln1 Y *%'31 u.a.

F;+ 2:

f?9@ Y 4[9

Integral de 4lnI9I entre 9Y* e 9Y4.

Y 4ln4 – 4ln* Y 0%0402 u.a.

/ode"os afir"ar 7ue

?$@ ?I@ ) verdadeira e ?II@ ) falsa

P,

Gar7ue" a res+osta $orreta do desafio +ro+osto no +asso 2% justifi$ando% +or "eio dos

$&l$ulos realintregue" ao +rofessor% +ara $u"+ri"ento dessa eta+a u" relatório $o" o no"e deRelatório 3 $o" as seguintes infor"açes organi


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1

1. os $&l$ulos e todo ra$io$nio reali/3 3 I)*3;+ D3)

".1 S, 3 SB3+>3 3 R35,/,

o fa


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2*

".2 V,=3 3 S, 3 R35,/,

a"os agora a u" dos "ais interessantes +roble"as 7ue liga" o #&l$ulo 8 Beo"etria

nalti$a% 7ue ) o de deter"inar% atrav)s da Integral Definida% u"a e9+ressão +ara o volu"e

de u" sólido de Revolução asso$iado ao gr&fi$o de u"a função y = f (x).

,u+on!a"os +ara isso% +ri"eira"ente% 7ue f (x) seja u"a função $ontnua e não-

negativa no intervalo [a, b]. #onsidere"os então u"a +artição P deste intervalo [a, b]% dada

+or a = x0 < x1 < x2 < . . . < xi < xi+1 < . . . < xn−1 < x0 = n.

Denote"os ?$o"o nas outras ve


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21

Observando% agora% 7ue a e9+ressão denota u"a so"a de Rie"ann +ara

a função [f (x)]Z2 e le"brando 7ue f (x) ) su+osta"ente $ontnua ?o 7ue fa< $o" 7ue e9ista

li"ite a$i"a@% +ode"os final"ente es$rever

7ue ) a e9+ressão 7ue define o volu"e # +ro$urado.

P, 2

D3, A

&rea da su+erf$ie de revolução obtida +ela rotação% e" torno do ei9o x% da $urva

dada +or y = 4'9 de 1[4≤ 9 ≤4 ) 2[3?12H2 - 1@ u.a.. >st& $orreta essa afir"açãoX

R3,/,:

Y 2`〖

f?M@ 1\Tf?M@UZ2 dM〗

2`?1[4@Z4〖49.1\4[9 d9〗

2`?1[4@Z4〖49.9\4[?9@ d9〗

H`?1[4@Z4〖9\4d9〗

H〖?9\4@〗Z?3[2@[?3[2@ Y ?4%1[4@ h 1'[3?HZ?3[2@ –〖?1[4@〗Z?3[2@@ Y

2[3?12H2 - 11@ u.a.

D3, !

Kual ) o volu"e do sólido de revolução obtido +ela rotação% e" torno da reta M Y 2 %

da região R deli"itada +elos gr&fi$os das e7uaçes y = sen 9 % M Y ?sen 9@Z3 de 9 Y * at)

9Y[2X

?a@ 3%2' u.v. ?b@ 4%' u.v. ?$@ 0%32 u.v. ?d@ '%01 u.v. ?e@ '%H u.v.


22/24

22

R3,/,:

`〖〖?f?9@- $@〗Z2-〖?f?9@- $ @〗Z2 d9〗

`〖〖?sen9-2@〗Z2-〖?〖sen〗Z3 9- 2 @〗Z2 d9〗

`*Z?[2@〖〖sen〗Z2 9-4 sen9\4-?〖sen〗Z' 9-4〖sen〗Z3 9\4@d9〗

`*Z?[2@〖〖sen〗Z2 9-4 sen9\4-〖sen〗Z' 9\4〖sen〗Z3 9-4 d9〗

T`*Z?[2@〖〖sen〗Z2 9-4 `*Z?[2@〖sen9- `*Z?[2@〖〖sen〗Z' 9\4 `*Z?[2@

〖〖sen〗Z3 9〗〗〗〗U

T?-sen9 $os9@[2\ 9[2\ 4 $os9\ 1['〖sen〗Z0 9 $os0 sen9 $os9\10[4H sen 9 $os9-

10[4H\4?-$os9\?〖$os〗Z3 9@[3@U

T?[2@[2-?10 [2@[4H-?4\4?-1\1[3@@UZ24

T?[2@[2-?10 [2@[4H-?4-H[3@U

T?[2@[4-?10 [2@['-4\H[3U

T[4-10['-4[3U

T?24-10-12H@['U

?〖24〗Z2-〖10〗Z2-12H@['Y3%2' u.v


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23

P,

Resolva" o desafio % julgando a afir"ação a+resentada $o"o $erta ou errada. Os

$&l$ulos realintregue" ao +rofessor% +ara $u"+ri"ento dessa eta+a u" relatório $o" o no"e de

Relatório 4 $o" as seguintes infor"açes organi,

#onfor"e estudo reali


24/24

24

7. R33+)> !,;+@>

#O>AO% Plavio V. #urso 6&si$o de #&l$ulo. 1 ed. ,ão /aulo ,araiva% 2**0.

,IA% ,ebastião Gedeiros. #&l$ulo 6&si$o +ara #ursos ,u+eriores. 1 ed. ,ão/aulo tlas% 2**4.

Q(OQ% oard. #&l$ulo V" Qovo ori

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