ATPS – MATEMÁTICA II

Etapas 1 e 2

Autores

NOME: ALENCAR APARECIDO LUNARDELLO - RA 2121206611 CURSO: Eng. Mecânica

NOME: BRUNO RODRIGUES DE OLIVEIRA RA - RA 2121198870 CURSO: Eng. Mecânica

NOME: CARLOS FABIANO SILVÉRIO - RA 2121210293 CURSO: Eng. Elétrica

NOME: CLAUDINEI CANDIDO DOS SANTOS - RA 2149212413 CURSO: Eng. Elétrica

NOME: GIULIANO CHRISTIAN OLIVEIRA - RA 3242563523 CURSO: Eng. Elétrica

NOME: DIEGO HENRIQUE DE SOUZA - RA 2140227583 CURSO: Eng. Produção

DISCIPLINA: Matemática II DATA: 26/09/2011

PROFESSORA: MARCOS

Ribeirão Preto, 26 de setembro de 2011.

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Índice

Índice...........................................................................................................................................2

ETAPA 1.....................................................................................................................................3

PASSOS......................................................................................................................................3

Passo 1....................................................................................................................................3

Passo 2....................................................................................................................................6

Passo 3....................................................................................................................................9

Passo 4..................................................................................................................................10

ETAPA 2...................................................................................................................................11

PASSOS....................................................................................................................................11

Passo 1..................................................................................................................................11

Passo 2..................................................................................................................................14

Passo 3..................................................................................................................................14

Passo 4..................................................................................................................................16

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ETAPA 1

Aula-tema: Integral Indefinida.

Esta etapa é importante para que o aluno compreenda o conceito de integral como função

inversa à derivada.

Para realizá-la, é importante seguir os passos descritos.

PASSOS

Passo 1

Determine o conceito de primitiva de uma função e apresente dois exemplos.

No estudo da derivada primitiva, tínhamos uma função e obtivemos, a partir dela, uma outra,

a que chamamos de derivada. Nesta seção, faremos o caminho inverso, isto é, dada a

derivada, vamos encontrar ou determinar uma função original, que chamaremos de primitiva.

Você deve observar, que é importante conhecer bem as regras de derivação e as derivadas de

várias funções, estudadas na Unidade 5, para determinar as primitivas. O que acabamos de

mencionar, nos motiva a seguinte definição:

Uma função F(x) é chamada uma primitiva da função f (x) em um intervalo I, se para todo

, tem-se .

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1 A função é uma primitiva da função , pois

Exemplo 2 As funções , também são primitivas da função

, pois

4

Exemplo 3 A função é uma primitiva da função , pois

.

Exemplo 4 A função é uma primitiva da função , pois

Exemplo 6 Encontrar uma primitiva F(x), da função , para todo

, que satisfaça a seguinte condição .

Resolução: Pela definição de função primitiva temos para todo ,

assim, F(x) será uma função cuja derivada será a função f (x) dada.

Logo, , pois

, ou seja,

.

Como F(x) deve satisfazer a condição F(1) = 4, vamos calcular o valor da constante k,

fazendo x = 1 na função F(x) , isto é,

e resolvendo temos .

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Assim, .

Portanto, , é uma função primitiva e

, que satisfaz condição F(1) = 4 .

ou seja,

Como F(x) deve satisfazer a condição F(0) = 2, com isto vamos calcular o valor da constante

k fazendo x = 0 na função F(x) , isto é,

Assim,

Portanto,

é uma função primitiva de

que satisfaz a condição F(0) = 2.

No estudo da derivada primitiva, tínhamos uma função e obtivemos, a partir dela, uma outra,

a que chamamos de derivada. A função primitiva é o processo inverso, isto é, dada a

derivada, vamos encontrar ou determinar uma função original, que é denominada primitiva.

Exemplos:

1. A função F( ) = é uma primitiva da função f( ) = 4.

Pois derivando temos: d = = = 4.

2. A função F(x) = é uma primitiva da função e-3x.

6

Pois derivando temos: dx = = =

Passo 2

Determine a definição de Integral Indefinida como a contida no item 6.2 do livro-texto,

apresentando dois exemplos com suas respectivas verificações.

Sabemos que a derivada é um dos conceitos mais importantes do Cálculo. Outro conceito

também muito importante é o de Integral. Existe uma estreita relação entre estas duas idéias.

Assim, nesta seção, será introduzida a idéia de integral, mostrando sua relação com a

derivada.

Se a função F(x) é primitiva da função f(x), a expressão F(x)+C é chamada integral

indefinida da função f(x) e é denotada por , onde:

− é chamado sinal de integração;

f(x) − é a função integrando;

dx – a diferencial que serve para identificar a variável de integração;

C – é a constante de integração.

Lê-se: Integral indefinida de f(x) em relação a x ou simplesmente integral de f(x) em relação a

x. O processo que permite encontrar a integral indefinida de uma função é chamado

integração.

Observações: Da definição de integral indefinida temos as seguintes observações:

(i)

(ii) dx representa uma família de funções, isto é, a família ou o conjunto de todas as

primitivas da função integrando.

(iii)

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Vejamos alguns casos, no exemplo a seguir.

Exemplo 1

(i) Se então .

(ii) Se então .

(iii) Se então .

(iv) Se então .

(v) Se então .

(vi) Se então .

Observação Pelos exemplos acima, temos:

Isto nos permite que obtenhamos fórmulas de integração diretamente das fórmulas para

diferenciação.

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Propriedades da integral indefinida

Sejam f(x) e g(x) funções reais definidas no mesmo domínio e k uma constante real. Então:

a)

b)

Em muitos problemas, a derivada de uma função é conhecida e o objetivo é encontrar a

própria função. Por exemplo, se a taxa de crescimento de uma determinada população é

conhecida, pode-se desejar saber qual o tamanho da população em algum instante futuro;

conhecendo a velocidade de um corpo em movimento, pode-se querer calcular a sua posição

em um momento qualquer; conhecendo o índice de infração, deseja-se estimar os preços, e

assim por diante.

O processo de obter uma função a partir de sua derivada é chamado de antiderivação ou

integração indefinida.

Primitiva ou Antiderivada: Uma função F para a qual F´ (x) = f (x) para qualquer x no

domínio de f é chamada de primitiva ou antiderivada de f.

Exemplos:

1) F(x) = é uma primitiva de f (x) =

2) F(x) = ln(x) + cos(x) – 7, x > 0, é uma primitiva de f(x) = – Sen (x), pois F´ (x) =

– Sen (x).

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Passo 3

Enuncie a regra de integração da função constante e a regra da função polinomial. Discuta

com seu grupo e escreva a condição do expoente da função polinomial ser diferente de -1.

Demonstre esta regra derivando. (item 6.2, pag. 224 livro-texto). Mostre as duas propriedades

fundamentais das integrais indefinidas – Teorema 6.1. (livro-texto)

Regra da Potencia

Uma antiderivada de uma função potencia é uma outra função potencia obtida do integrando

aumentando-se seu expoente de 1 e dividindo-se a expressão pelo expoente.

Observe:

Encontre cada uma das seguintes integrais indefinidas.

Solução:

Cada integrando é uma função potência com expoente n -1. Aplicando a regra da potência em

cada caso, obtemos o seguinte resultado:

Os resultados acima podem ser verificados diferenciando-se cada uma das antiderivadas

mostrando que os resultados são iguais aos correspondentes integrandos.

Propriedade1

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Uma integral não se altera quando o fator constante é considerado antes ou depois do sinal de

integral.

Assim:

Exemplo

Propriedade 2

A integral de uma soma de diferenciais é igual à soma das integrais destes diferenciais.

Assim:

A integral da soma é igual à soma das integrais.

Exemplo:

Passo 4

Integrais imediatas são aquelas em que podemos diretamente utilizar as regras de integração.

O custo fixo de produção da empresa “Maravilhas para você” é R$ 8.000,00. O custo

marginal é dado pela função. C (x) = 0,03x²+0,12x+5. Determinar a função custo total,

usando integrais imediatas. Organize tudo o que foi feito nesta etapa e transcreva para o

caderno de estudo.

C (x) = (x) dx = 0,03 x² + 0,12 x + 5) dx

C (x) = x² dx + x dx + dx

C (x) = 0,03 dx + 0,12 dx + 5

C (x) = x³ + x² + 5x + K

Logo:

C (x) = 0,01 x³ + 0,06 x² +5 x + k.

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Quando a produção for nula, x = 0, o custo fixo será R$ 8.000,00, ou seja, 8.000 = 0,01(0)³ +

0,006 (0)² + 5(0) + k e k = 8.000.

Portanto, a função custo total é:

C (x) = 0,01 x³ + 0,06 x² +5 x + 8.000.

ETAPA 2

Aula-tema: Integral Definida

Esta etapa é importante para que o aluno compreenda que o conceito de integral definida não

só abrange a área sob a curva y = ƒ (x) no intervalo a ≤ x ≤ b dada por como

há outras aplicações.

Para realizá-la, é importante seguir os passos descritos.

PASSOS

Passo 1

Leia o capítulo 5.2 do livro-texto, discuta com seu grupo e expliquem o significado da

Integral definida como Área.

Conceito de área

Já sabemos que a integral está ligada ao problema de determinar a área de uma figura plana

qualquer. Por isso, motivaremos o entendimento do cálculo de área usando o método do

retângulo, de uma região R compreendida entre o gráfico de uma função f(x) com valores

positivos, o eixo x , em um intervalo fechado [a,b] , conforme figura abaixo

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Talvez o primeiro contato que você tenha com o conceito de área, seja através da fórmula A =

b × h , que dá a área A de um retângulo como o produto da base b pela altura h . Logo a

seguir, você tem a área de um triângulo que é igual à metade do produto da base pela altura.

Isto decorre do fato de que qualquer triângulo pode ser decomposto em dois triângulos

retângulos, e todo triângulo equivale exatamente a meio retângulo, conforme figura abaixo.

Dada a fórmula para a área de um triângulo, pode-se, encontrar a área de

qualquer polígono (um subconjunto do plano delimitado por uma “curva” fechada,

consistindo em um número finito de segmentos retilíneos).

Os problemas para o cálculo de área, não apresentam grande dificuldade se a figura plana for

um retângulo, um paralelogramo ou um triângulo. A área de uma figura plana qualquer pode

ser calculada aproximando a figura por polígonos, cujas áreas podem ser calculadas pelos

métodos da geometria elementar. Isto nos motiva a considerar, agora, o problema de calcular

a área de uma região R do plano, limitada por duas retas verticais x = a e x = b, pelo eixo x e

pelo gráfico de uma função f(x), limitada e não negativa no intervalo fechado [a,b] , conforme

figura a seguir:

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Para isso, vamos fazer uma partição P do intervalo [a,b] , isto é, vamos dividir o intervalo

[a,b] em n subintervalos, por meio dos pontos

escolhidos arbitrariamente, da seguinte maneira

veja a figura abaixo

Logo, a área de cada retângulo será

altura do primeiro retângulo;

altura do segundo retângulo; ... ;

altura do i-ésimo retângulo; ...;

altura do n-ésimo retângulo.

Você já deve ter percebido que, aumentando o número de retângulos, pode-se obter uma melhor aproximação para a área A da região R. Assim a soma das áreas dos n retângulos,

denotada por , será:

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Essa soma é chamada Soma de Riemann da função f relativa à partição P . Quando n cresce, é

“razoável” esperar que a soma das áreas dos retângulos aproxime da área A sob a curva. Deste

modo, definimos a medida da área A da região R, como sendo

se esse limite existir. E então se diz que a região R é mensurável.

Passo 2

Resolva a seguinte integral mostrando cada passo.

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Passo 3

No deslocamento vertical de uma partícula, pode-se considerar o eixo dos y para a posição

considerada. O efeito da gravidade na partícula é diminuir, tanto a altura como a velocidade.

Desprezando a resistência do ar, a aceleração é constante a

, em que 2 é a aceleração gravitacional na superfície da Terra.

medido em metros.

Resolva o que se pede:

1) Encontre as funções de velocidade e espaço.

2) Se uma bola é jogada diretamente para cima a partir do chão com velocidade inicial de

96m/seg., determine seu deslocamento.

Resposta 1:

A Função da Velocidade para o deslocamento vertical:

Portanto a equação primitiva da velocidade é:

Função do Espaço:

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Portanto a equação primitiva do espaço é:

Resposta 2:

Sabendo que e que obtemos a seguinte equação:

Aplicando os valores conhecidos como , e temos:

Para determinarmos o tempo podemos resolver pela fórmula de Bhaskara, o resultado obtido

para

Portanto aplicando o tempo obteremos o deslocamento:

O deslocamento foi de .

Passo 4

Pela 2ª Lei de Newton sabemos que F= m.a. Se a aceleração é constante, a força também é. O

trabalho τ realizado por uma partícula, deslocando-se sobre uma reta percorrendo uma

distância d é dado pelo produto da força pela distância. τ= F x d, com τ medido em Joule. Se

uma força variável y = f(x), sendo f(x) contínua, atua sobre um corpo situado no ponto x do

eixo dos x, o trabalho realizado por esta força quando se desloca de a até b ao longo deste

eixo é dado por τ= . Uma partícula é localizada a uma distância de x cm da origem.

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Uma força de (x⁴+2x³+3x²) N age sobre a partícula quando a mesma se move de x = 1 até x =

2. Determine qual é o trabalho realizado pela partícula para deslocar-se? Organize tudo o que

foi feito nesta etapa e transcreva para o caderno de estudo.

Resposta:

dx

= dx + dx + dx

= + 3 + C

= + + C

= + + C

=

= + 10

= + 10 + C C

= + 10 = = =14,7