atps matemÁtica - etapa 1 e 2 2011

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16

ATPS MATEMTICA IIEtapas 1 e 2Autores

NOME: ALENCAR APARECIDO LUNARDELLO - RA 2121206611CURSO: Eng. Mecnica

NOME: BRUNO RODRIGUES DE OLIVEIRA RA - RA 2121198870CURSO: Eng. Mecnica

NOME: CARLOS FABIANO SILVRIO - RA 2121210293CURSO: Eng. Eltrica

NOME: CLAUDINEI CANDIDO DOS SANTOS - RA 2149212413CURSO: Eng. Eltrica

NOME: GIULIANO CHRISTIAN OLIVEIRA - RA 3242563523CURSO: Eng. Eltrica

NOME: DIEGO HENRIQUE DE SOUZA - RA 2140227583CURSO: Eng. Produo

DISCIPLINA: Matemtica IIDATA: 26/09/2011

PROFESSORA: MARCOS

Ribeiro Preto, 26 de setembro de 2011.

ndice2ndice

3ETAPA 1

3PASSOS

Passo 13Passo 26Passo 39Passo 410ETAPA 211PASSOS11Passo 111Passo 214Passo 314Passo 416

ETAPA 1

Aula-tema: Integral Indefinida.Esta etapa importante para que o aluno compreenda o conceito de integral como funo inversa derivada.

Para realiz-la, importante seguir os passos descritos.PASSOS

Passo 1

Determine o conceito de primitiva de uma funo e apresente dois exemplos.

No estudo da derivada primitiva, tnhamos uma funo e obtivemos, a partir dela, uma outra, a que chamamos de derivada. Nesta seo, faremos o caminho inverso, isto , dada a derivada, vamos encontrar ou determinar uma funo original, que chamaremos de primitiva. Voc deve observar, que importante conhecer bem as regras de derivao e as derivadas de vrias funes, estudadas na Unidade 5, para determinar as primitivas. O que acabamos de mencionar, nos motiva a seguinte definio:

Uma funo F(x) chamada uma primitiva da funo f (x) em um intervalo I, se para todo , tem-se .

Vejamos alguns exemplos.Exemplo 1 A funo uma primitiva da funo , pois

Exemplo 2 As funes , tambm so primitivas da funo , pois Exemplo 3 A funo uma primitiva da funo , pois .

Exemplo 4 A funo uma primitiva da funo , pois

Exemplo 6 Encontrar uma primitiva F(x), da funo , para todo , que satisfaa a seguinte condio .

Resoluo: Pela definio de funo primitiva temos para todo , assim, F(x) ser uma funo cuja derivada ser a funo f (x) dada. Logo, , pois

, ou seja,.

Como F(x) deve satisfazer a condio F(1) = 4, vamos calcular o valor da constante k, fazendo x = 1 na funo F(x) , isto ,

e resolvendo temos . Assim, .Portanto, , uma funo primitiva e, que satisfaz condio F(1) = 4 .

ou seja,Como F(x) deve satisfazer a condio F(0) = 2, com isto vamos calcular o valor da constante k fazendo x = 0 na funo F(x) , isto ,

Assim, Portanto, uma funo primitiva de que satisfaz a condio F(0) = 2.

No estudo da derivada primitiva, tnhamos uma funo e obtivemos, a partir dela, uma outra, a que chamamos de derivada. A funo primitiva o processo inverso, isto , dada a derivada, vamos encontrar ou determinar uma funo original, que denominada primitiva.

Exemplos:

1. A funo F() = uma primitiva da funo f() = 4.

Pois derivando temos: d = = = 4.

2. A funo F(x) = uma primitiva da funo e-3x.

Pois derivando temos: dx = = = Mximos e mnimos Definio:Uma funo( )

x

f

y=tem um ponto de mximo relativo em

0

x

x=, se existe umintervalo abertoA, contendo0x, tal que ( ) ()x

f

x

f

0, para todo

A

x.( )

0

x

f

chamado de valor mximo relativo.

Definio:Uma fun o( )

x

f

y=tem um ponto de mnimo relativo em

1

x

x=, se existe umintervalo abertoB, contendo1

x, tal que ( ) ()x

f

x

f

1, para todo

B

x.( )

1

x

f

chamado de valor mnimo relativo.

Mximos e mnimos

Definio:Uma funo( )

x

f

y=tem um ponto de mximo relativo em

0

x

x=, se existe umintervalo abertoA, contendo0x, tal que ( ) ()x

f

x

f

0, para todo

A

x.( )

0

x

f

chamado de valor mximo relativo.

Definio:Uma fun o( )

x

f

y=tem um ponto de mnimo relativo em

1

x

x=, se existe umintervalo abertoB, contendo1

x, tal que ( ) ()x

f

x

f

1, para todo

B

x.( )

1

x

f

chamado de valor mnimo relativo.

Mximos e mnimos

Definio:Uma funo( )

x

f

y=tem um ponto de mximo relativo em

0

x

x=, se existe umintervalo abertoA, contendo0x, tal que ( ) ()x

f

x

f

0, para todo

A

x.( )

0

x

f

chamado de valor mximo relativo.

Definio:Uma fun o( )

x

f

y=tem um ponto de mnimo relativo em

1

x

x=, se existe umintervalo abertoB, contendo1

x, tal que ( ) ()x

f

x

f

1, para todo

B

x.( )

1

x

f

chamado de valor mnimo relativo.

Passo 2

Determine a definio de Integral Indefinida como a contida no item 6.2 do livro-texto, apresentando dois exemplos com suas respectivas verificaes.

Sabemos que a derivada um dos conceitos mais importantes do Clculo. Outro conceito tambm muito importante o de Integral. Existe uma estreita relao entre estas duas idias. Assim, nesta seo, ser introduzida a idia de integral, mostrando sua relao com a derivada.

Se a funo F(x) primitiva da funo f(x), a expresso F(x)+C chamada integral indefinida da funo f(x) e denotada por , onde:

chamado sinal de integrao;f(x) a funo integrando;dx a diferencial que serve para identificar a varivel de integrao;C a constante de integrao.

L-se: Integral indefinida de f(x) em relao a x ou simplesmente integral de f(x) em relao a x. O processo que permite encontrar a integral indefinida de uma funo chamado integrao.

Observaes: Da definio de integral indefinida temos as seguintes observaes:

(i) (ii) dx representa uma famlia de funes, isto , a famlia ou o conjunto de todas as primitivas da funo integrando.(iii) Vejamos alguns casos, no exemplo a seguir.

Exemplo 1(i) Se ento .

(ii) Se ento .

(iii) Se ento .

(iv) Se ento .

(v) Se ento .

(vi) Se ento .

Observao Pelos exemplos acima, temos:

Isto nos permite que obtenhamos frmulas de integrao diretamente das frmulas para diferenciao.

Propriedades da integral indefinida

Sejam f(x) e g(x) funes reais definidas no mesmo domnio e k uma constante real. Ento:

a) b) Em muitos problemas, a derivada de uma funo conhecida e o objetivo encontrar a prpria funo. Por exemplo, se a taxa de crescimento de uma determinada populao conhecida, pode-se desejar saber qual o tamanho da populao em algum instante futuro; conhecendo a velocidade de um corpo em movimento, pode-se querer calcular a sua posio em um momento qualquer; conhecendo o ndice de infrao, deseja-se estimar os preos, e assim por diante.

O processo de obter uma funo a partir de sua derivada chamado de antiderivao ou integrao indefinida.

Primitiva ou Antiderivada: Uma funo F para a qual F (x) = f (x) para qualquer x no domnio de f chamada de primitiva ou antiderivada de f.

Exemplos:

1) F(x) = uma primitiva de f (x) = 2) F(x) = ln(x) + cos(x) 7, x > 0, uma primitiva de f(x) = Sen (x), pois F (x) = Sen (x).Passo 3Enuncie a regra de integrao da funo constante e a regra da funo polinomial. Discuta com seu grupo e escreva a condio do expoente da funo polinomial ser diferente de -1.

Demonstre esta regra derivando. (item 6.2, pag. 224 livro-texto). Mostre as duas propriedades fundamentais das integrais indefinidas Teorema 6.1. (livro-texto)Regra da PotenciaUma antiderivada de uma funo potencia uma outra funo potencia obtida do integrando aumentando-se seu expoente de 1 e dividindo-se a expresso pelo expoente.

Observe:

Encontre cada uma das seguintes integrais indenidas.

Soluo:

Cada integrando uma funo potncia com expoente n -1. Aplicando a regra da potncia em cada caso, obtemos o seguinte resultado:

Os resultados acima podem ser vericados diferenciando-se cada uma das antiderivadas mostrando que os resultados so iguais aos correspondentes integrandos.

Propriedade1

Uma integral no se altera quando o fator constante considerado antes ou depois do sinal de integral. Assim:Exemplo

Propriedade 2

A integral de uma soma de diferenciais igual soma das integrais destes diferenciais.

Assim:

A integral da soma igual soma das integrais.

Exemplo:

Passo 4Integrais imediatas so aquelas em que podemos diretamente utilizar as regras de integrao. O custo fixo de produo da empresa Maravilhas para voc R$ 8.000,00. O custo marginal dado pela funo. C (x) = 0,03x+0,12x+5. Determinar a funo custo total, usando integrais imediatas. Organize tudo o que foi feito nesta etapa e transcreva para o caderno de estudo.

C (x) = (x) dx = 0,03 x + 0,12 x + 5) dx

C (x) = x dx + x dx + dx

C (x) = 0,03 dx + 0,12 dx + 5 C (x) = x + x + 5x + K

Logo:

C (x) = 0,01 x + 0,06 x +5 x + k.

Quando a produo for nula, x = 0, o custo fixo ser R$ 8.000,00, ou seja, 8.000 = 0,01(0) + 0,006 (0) + 5(0) + k e k = 8.000.

Portanto, a funo custo total :C (x) = 0,01 x + 0,06 x +5 x + 8.000.