livro de matemática aplicada à administração

7/27/2019 livro de Matemtica Aplicada Administrao

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Administrao

Conhecimentos Bsicos para aFormao em Administrao

Mdulo 2.1


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Diretor de Unidades PrpriasMrio Ccero Baldochi

FACULDADES COC

Diretor-Geral

Chaim Zaher

Diretor AcadmicoSilvio Cecchi

Diretor de EADJeferson Ferreira Fagundes

Coordenador Administrativo de EADCesar Augusto Santiago

Coordenao Pedaggica de EADKtia Cristina Nascimento Figueira

Nedina R. M. Stein

Silvana A. Nieto Lopez

AdministraoCoordenao do cursoLesley Carina do Lago Attadia

Autoras

Ktia Cristina Nascimento FigueiraMarilda Franco de Moura Vasconcelos

Valria Aparecida Martins Ferreira

Viviane Carla Fortulan

Produo EditorialEditora COC Empreend. Culturais LTDA.

CNPJ 50.492.271/0001-80

Rua General Celso de Mello Resende, 301

Lagoinha Ribeiro Preto SP

CEP 14095-270

www.editora.coc.com.br

EDITORIAL

SISTEMA COC DE EDUCAOE COMUNICAO

PresidenteChaim Zaher

Vice-PresidenteAdriana Baptiston Cefali Zaher

Diretor SuperintendenteNilson Curti

Diretor PedaggicoArnaldo Willian Pinto

EDITORA COC

Diretor-GeralArnaldo Willian Pinto

Diretor EditorialMiguel Castro Cerezo

Conselho EditorialArnaldo Willian Pinto

Fernando Csar de Almeida

Jos Tadeu Bichir Terra

Mrio Ccero Baldochi

Miguel Castro Cerezo

Mnica Valria de Almeida RighiZelci Clasen de Oliveira

Gerentes EditoriaisFernando Csar de Almeida (Produo)

Zelci Clasen de Oliveira (Pedaggico)

Gerente de ParceriasJhony Yamada

Diretora de Relacionamento

Mnica Valria de Almeida Righi


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Prezado acadmico(a)

Bem-vindo(a) Universidade Interativa COC. Temos o prazer de receb-lo(a) no novosegmento desta instituio de ensino que j possui mais de 40 anos de experincia em educao.

A Universidade Interativa COC tem se destacado pelo uso de alta tecnologia nos cursosoferecidos, alm de possuir corpo docente formado por professores experientes e titulados.

O curso, ora oferecido, foi elaborado dentro das Diretrizes Curriculares do MEC, de acor-do com padres de ensino superior da mais alta qualidade e com pesquisa de mercado.

Assim, apresentamos neste material o trabalho desenvolvido pelos professores do COCque, junto tecnologia da informao e comunicao, proporciona ensino inovador e sempreatualizado.

Este livro tem como objetivo ser a base dos conhecimentos necessrios sua formao,alm de auxili-lo(a) nos estudos e incentiv-lo(a), com as indicaes bibliogrcas de cada cap -tulo, a aprofundar cada vez mais seus conhecimentos.

Procure ler os textos antes de cada aula para poder acompanh-la melhor e, assim, intera-gir com o professor nas aulas ao vivo. No deixe para estudar no nal de cada mdulo somentecom o objetivo de passar pelas avaliaes; procure ler este material, realizar outras leituras epesquisas sobre os temas abordados e estar sempre atualizado, anal, num mundo globalizado eem constante transformao, preciso estar sempre ligado, atualizado e informado.

Procure dedicar-se ao curso que voc escolheu, aproveitando-se do momento que funda-

mental para sua formao pessoal e prossional. Leia, pesquise, acompanhe as aulas, realize asatividades on-line, voc estar se formando de maneira responsvel, autnoma e, certamente, fardiferena no mundo contemporneo.

Sucesso!

Apresentao


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Sumrio

Matemtica Aplicada Administrao ................................................................71 Razo e proporo

2 Regra de trs simples e composta e porcentagem

3 Sistemas lineares

4 Resoluo de sistemas lineares

5 Radiciao e potenciao

6 Funes exponencial e logartmica

Metodologia da Pesquisa Cientfca....................................................................75

1 Cincia, conhecimento cientco, senso comum e metodologia: diferenas e aproximaes2 O universo da pesquisa

3 O universo da pesquisa: fontes e coleta de dados

4 Citao e referncias em trabalhos acadmicos

5 Os trabalhos acadmicos

6 O artigo cientco

Leitura, Interpretao e Produo de Textos ..................................................121

1 A comunicao humana, funes da linguagem, nveis de linguagem

2 Sociolingustica Conceitos tericos e metodolgicos3 Noes sobre texto e discurso

4 Caracterizao, relao, processo de construo de sentidos, elemento ideolgico e visocrtica. Figuras de linguagem, intertextualidade, informaes implcitas, denotao e conota-o

5 Estrutura, organizao de comunicao comunitria: produo de textos narrativos, descriti-vos, tcnicos e dissertativos (jornal, revista, rdio, televiso e Internet)

6 Mecanismos de textualizao: coeso textual e coerncia textual


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ORGANIZE-SE

Atividades Datas

Participaes nos Fruns______/______/______ ______/______/______ ______/______/______

______/______/______ ______/______/______ ______/______/______

Atividades Avaliativas______/______/______ ______/______/______ ______/______/______

______/______/______ ______/______/______ ______/______/______

Provas Eletrnicas______/______/______ ______/______/______ ______/______/______

______/______/______ ______/______/______ ______/______/______

Provas Presenciais______/______/______ ______/______/______ ______/______/______

______/______/______ ______/______/______ ______/______/______


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Apresentao

Este livro apresenta vrios conceitos da Matemtica que so aplicados ao longo do curso

de graduao em Administrao. Vamos apresentar, ao longo dos mdulos, tpicos elementares damatemtica, os quais so indispensveis para uma boa compreenso em outras disciplinas do cursocomo Matemtica Financeira e Pesquisa Operacional.

Cada um dos mdulos contm exemplos aplicados rea de Administrao, com resoluesque mostram os conceitos envolvidos. Esperamos, com isso, motivar o aluno ao aprendizado destadisciplina, vista muitas vezes como um conjunto de tcnicas sem aplicao em problemas prticos.

A apostila est dividida em seis captulos (temas). No captulo 1, abordaremos o tema Razoe Proporo. Este assunto muito importante, principalmente, para auxiliar na resoluo de proble-mas de ordem nanceira e servir como base para um bom desempenho em outras disciplinas docurso de Administrao de Empresas. Alm disso, veremos que estes conceitos so usados, diaria-mente, em problemas do nosso cotidiano.

No captulo 2, estenderemos os conceitos abordados no primeiro captulo. Apresentaremosos conceitos de grandezas direta e inversamente proporcionais, regra de trs simples e composta eporcentagem.

O captulo 3 ser basicamente destinado a classicar e resolver um sistema de equaeslineares.

No captulo 4, mostraremos algumas aplicaes de sistemas lineares. Alm de resolv-los,interpretaremos os resultados e veremos que este tipo de sistema ocorre com muita frequncia emnosso cotidiano e ser muito til na resoluo de processos de otimizao.

No captulo 5, estudaremos potenciao e radiciao e suas propriedades. Vericaremos,atravs de exemplos, a aplicao dos conceitos e propriedades da potncia em funes aplicadas narea de produo e Matemtica Financeira.

Finalmente, no captulo 6, deniremos funes exponenciais e logartmicas e suas proprie-dades. Apresentaremos, tambm, a construo e anlise dos grcos destas funes. Utilizaremosalguns exemplos para mostrar a aplicabilidade dos modelos de crescimento exponencial.

Sucesso!


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Matemtica Aplicada Administrao


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Assuntos abordados

Razo e propor1 o

Raz1.1. oPropor1.2. o

Regra de trs simples e composta e porcentage2 m

Grandezas direta e inversamente proporcionai2.1. sRegra de trs simple2.2. sRegra de trs compost2.3. aPorcentage2.4. m

Sistemas lineare3 sEquao linear3.1.Sistema linea3.2. rSistemas homogneo3.3. sClassicao de um sistema linear quanto ao nmero de solue3.4. sSistemas equivalente3.5. sSistemas escalonado3.6. s

Resoluo de sistemas lineare4 s

Situaes-problem4.1. as

Radiciao e potencia5 oPotncia de expoente natura5.1. lPotncia de expoente inteiro negativ5.2. oRaiz ensima e expoentes racionai5.3. sPotncia de expoente raciona5.4. l

Funes exponencial e logartmic6 a

Funo exponencia6.1. lFuno logartmic6.2. a


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Razo e proporo1

Contedo

Razo;Proporo;Propriedades das propores.

Objetivos

Interpretar e resolver com mais facilidade problemas de ordem nanceira;Diferenciar o que razo de proporo;Identicar problemas do nosso cotidiano que possam ser resolvidos, sim-plesmente, usando as denies de razo e proporo.


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Neste captulo abordaremos o tema Razo e Proporo. Este assunto muito importante,principalmente para auxiliar na resoluo de problemas de ordem nanceira e como base para umbom desempenho em outras disciplinas do curso de Administrao de Empresas. Alm disso, vere-

mos que estes conceitos so usados, diariamente, em problemas do nosso cotidiano. Por exemplo:quando construmos a planta de uma casa (escala); para encontrar a velocidade mdia de um auto-mvel; no clculo da densidade demogrca, etc.

Vamos denir alguns conceitos.

Razo1.1.

Razo, neste contexto, signica o quociente ou a diviso entre dois nmeros X e Y, com Y 0.

Indica-se:X

Y

ou X : Y e l-se: X para Y.

O numerador (X) denominado antecedente e o denominador (Y) denominado o consequente.Tambm podemos expressar a razo na forma de diviso entre duas grandezas de algumsistema de medidas.

Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1: Numa partida de futebol entre Brasil e Argentina havia 80.000 torcedores, sen-

do 50.000 brasileiros e 30.000 argentinos. Podemos dizer que a razo entre o nmero de argentinos

e o nmero de brasileiros 30.000 3

50.000 5= , o que signica que para cada 3 argentinos h 5 brasileiros

assistindo a esta partida.

Exemplo 2: Numa determinada cidade do interior de So Paulo foi realizada uma pesquisasobre o nmero de leitores que leem regularmente determinados jornais. A cidade tem 200.000habitantes, sendo que 2.000 pessoas leem o Jornal X, 8.000 leem o Jornal Y e 190.000 no leemnenhum jornal. Deseja-se saber:

a-) Qual a razo de leitores do Jornal Y com relao ao Jornal X?b-) Qual a razo de habitantes da cidade que tm o hbito de ler?

Resoluo

a-) Para descobrir a razo de leitores do Jornal Y com relao ao Jornal X, basta fazer o

quociente entre os dois valores, ou seja: 8.000 42.000

= . Isto signica que o Jornal Y tem 4 vezes mais

leitores do que o Jornal X.b-) A razo de habitantes da cidade que tm o hbito de ler dada por: 10.000 1

190.000 19= , ou

seja, apenas 1 em cada 19 habitantes desta cidade tem o hbito de ler jornal.

Exemplo 3: Em uma empresa de seguros de automveis, 150 novos seguros so feitos porms e 30 sinistros so registrados no mesmo perodo. Deseja-se saber qual a razo de seguros destaempresa com relao ao nmero de seguros feitos no mesmo perodo.


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Resoluo

Para descobrir a razo de seguros desta empresa com relao ao nmero de seguros feitos nomesmo perodo, fazemos:

30 1 0,20150 5

= =

O que signica que a empresa registra 1 sinistro para cada 5 automveis segurados no per-odo estudado.

Mais adiante, quando estudarmos o conceito de porcentagem, poderemos interpretar o re-sultado acima como: existem 20% de chance de um carro segurado solicitar um sinistro no perodoestudado.

Exemplo 4: Uma montadora de automveis testou um novo motor para seus carros popula-res. Este motor foi testado em um carro popular. Este carro percorreu 270 km em 3 horas. Qual foi

a velocidade mdia do veculo nesse percurso?

Resoluo

mdia

270 kmV 90 km / h

3 horas

= = ,

ou seja, a velocidade mdia do automvel com o novo motor foi de 90 km/h, ou podemosdizer que o automvel percorre 90 km para cada hora.

Proporo1.2.

A igualdade entre duas razes X

Y

e Z

W

(com X, Y, Z e W 0) chamada de proporo.

Na proporo X

Y

= Z

W

(l-se: X est para Y assim como Z est para W), os valores X e W so

chamados de extremos enquanto os nmeros Y e Z so chamados meios.

Propriedades das propores1.2.1.

Propriedade fundamental das propores

Em toda proporo, o produto dos meios igual ao produto dos extremos e vice-versa.

Se X

Y

= Z

W

ento X W = Y Z

Por exemplo: Se 2 6

3 9= ento 2 9 = 3 6 18 = 18


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Propriedade da soma dos termos de uma proporo

Se X

Y

= Z

W

, ento X Y Z W X Y Z WouX Z Y W

+ + + +

= =

Por exemplo: Se 2 6

3 9= ento

2 3 6 9 5 15

2 6 2 6

+ += =

Propriedade da soma dos antecedentes e dos consequentes

Se X

Y

= Z

W

, ento Z W X ZouY W Y W

+

=

+

Por exemplo: Se 2 6

3 9= ento

2 6 2 6 8 2 6ou ou

3 9 3 9 12 3 9

+= =

+

Propriedade do produto dos antecedentes e dos consequentes

Se X

Y

= Z

W

, ento2 2

2 2

X Z X Zou

Y W Y W

=

Por exemplo: se 2 6

3 9= ento

2 2

2 2

2 6 2 6 12 4 36ou ou

3 9 27 9 813 9

= =

Vamos ver mais alguns exemplos envolvendo razo e proporo.

Exemplo 5: Determinar o valor de X para que a razo X

5

esteja em proporo com 6

10

.

Resoluo

Utilizando a propriedade acima, temos:

X 6

5 10=

Multiplicando em cruz, encontramos que:

X 10 = 5 6

10X = 30

X =30

10= 3

Portanto, para que a razo X

5

esteja em proporo com a razo 6

10

, o valor de X deve ser igual a 3.


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Exemplo 6: Na escolha de um prossional para ocupar um cargo de Gerente de Marketing

de uma grande empresa, o setor de Recursos Humanos conta com um processo seletivo disposto em

3 fases. Na primeira fase deste processo, sabe-se que a razo entre o nmero de homens e o nmero

de mulheres era 46

. Se o total de inscritos era 2.400 pessoas, determine:

a-) o nmero de mulheres que participaram da seleo.

b-) a razo entre o nmero de aprovados e o nmero total de inscritos, sabendo que3

12dos

homens foram aprovados e12

20mulheres no foram aprovadas.

Resoluo

a-) Como o nmero total de inscritos era de 2.400 pessoas e sabe-se que a razo entre o n-

mero de homens e o nmero de mulheres era de 4

6

, ou seja, quatro partes do todo composto por

homens e 6 partes do todo composto por mulheres, desta forma, basta dividirmos o total de pesso-as (2.400) por 10 (4+6) para sabermos a quanto corresponde uma parte:

2400240

10=

Se uma parte corresponde a 240 pessoas, ento o nmero de mulheres que participaram da

seleo 240 6 = 1.440 mulheres.

b-) Queremos encontrar a razo entre o nmero de aprovados e o nmero total de inscritos;

para isso, precisamos encontrar cada uma destas quantidades. O nmero total de inscritos j foi for-

necido pelo problema e corresponde a 2.400 pessoas. Agora precisamos determinar qual o nmero

de aprovados.Atravs do item a-), sabemos que o nmero de mulheres que participaram da seleo de

1.440 de um total de 2.400 inscritos, portanto, o nmero de homens 2.400 1.440 = 960. Agora

precisamos determinar o quanto de homens e de mulheres foram aprovados.

Se3

12(isto signica que 3 em cada 12 homens foram aprovados) dos homens foram apro-

vados, dividindo o total de homens por 12 e pegando 3 partes deste valor, teremos o nmero de

homens aprovados, ou seja:

960

3 24012 = homens aprovados

O mesmo raciocnio deve ser usado para encontrar o nmero de mulheres aprovadas, porm,

devemos notar que o problema forneceu a proporo de mulheres que no foram aprovadas.

Para encontrarmos a proporo de mulheres que foram aprovadas, devemos ver o que falta

para termos um inteiro nesta proporo, ou seja,12 8

120 20

= das mulheres foram aprovadas; isto

signica que 8 em cada 20 mulheres foram aprovadas.

Dividindo o total de mulheres por 20 e pegando 8 partes deste valor, teremos o nmero de

mulheres aprovadas, ou seja:


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14408 576

20 = mulheres aprovadas

Somando 240 com 576, teremos o nmero total de aprovados, ou seja, 816.

Ento, a razo entre o nmero de aprovados e o nmero total de inscritos, dada por:

816 51

2400 150=

Isto signica que 51 pessoas a cada 150 que prestaram o concurso passaram na primeira fasedo processo seletivo.

Exemplo 7: Uma Empresa quer dividir uma parte de seus lucros, mais precisamente, R$ 12.000,00,com 3 gerentes. O critrio utilizado para fazer a diviso ser o tempo de servio de cada um na Empresa. Ogerente X trabalha na empresa h 12 anos, o gerente Y trabalha h 5 anos e o gerente Z h 3 anos. Quanto

cada um deve receber?

Resoluo

Est muito claro que se trata de um problema que envolve proporo, pois cada gerente devereceber uma quantidade proporcional ao seu tempo de servio (justo!).

Vamos montar uma tabelinha para visualizar melhor o problema:

Gerentes X Y Z

Tempo de servio (anos) 12 5 3

Valor a receber (R$) x y z

Para resolver este problema devemos encontrar trs valores, x, y, e z, que so diretamenteproporcionais a 12, 5 e 3 anos, respectivamente.

Ento, dizemos que x est para 12 como y est para 5 e z est para 3 e podemos escrever daseguinte forma:

x y z

12 5 3= =

Usando a propriedade da soma dos termos de uma proporo, obtemos:

x y z x y z R$12.000, 00R$600,00

12 5 3 12 5 3 20

+ += = = = =

+ +

O valor de R$ 600,00 pode ser interpretado como o valor a ser recebido por cada gerente porcada ano de servio prestado Empresa. Logo:

xR$600,00 x R$600,00 12 R$7.200,00

12

yR$600,00 y R$600,00 5 R$3.000,00

5

zR$600,00 z R$600,00 3 R$1.800,00

3

= = =

= = =

= = =

Portanto, para dividir o lucro de R$ 12.000,00, de forma proporcional, o gerente X dever

receber R$ 7.200,00, o gerente Y, R$ 3.000,00, e o gerente Z, R$ 1800,00.


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Exerccios propostos

1) Em uma Empresa de Telemarketing, a razo do nmero de homens para o nmero de

mulheres 2

3

. Se nesta empresa existem 60 mulheres, qual o nmero de homens? Quantos fun-

cionrios tm a Empresa?

2) Numa propaganda de supermercado, um anncio dizia: Leve 3 cremes dentais e pague 2.Se um fregus resolve levar 15 cremes dentais, por quantos ele, efetivamente, pagou?

3) Determine dois nmeros, x e y, sabendo que a diferena dos quadrados deles 81 e a

razo entre eles 5

4

.

4) A razo das idades de duas pessoas 2

3

. Achar estas idades sabendo que sua soma 35 anos.

5) Trs pessoas (A, B e C) formaram uma sociedade. O scio A investiu R$ 60.000,00, o Binvestiu R$ 90.000,00 e o scio C investiu R$ 30.000,00. No nal de um ano, registraram um lucrolquido de R$ 360.000,00 e querem repartir este lucro de forma proporcional ao investimento inicialde cada um. Quanto deve receber cada scio? O que este valor representa em relao ao investi-mento inicial de cada scio?

6) ngelo e Carlos formaram uma Microempresa com capitais iguais. No nal de um ano,registraram um lucro de R$ 75.000,00. Sabe-se tambm que Carlos entrou na sociedade 5 mesesaps ngelo ter entrado. Quanto cada um deve receber na diviso deste lucro?


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Respostas dos exerccios propostos

1) 40 e 100

2) 18

3) x = 15 e y = 12

4) 14 e 21 anos

5) Scio A = R$ 120.000,00; Scio B = R$ 180.000,00; Scio C = R$ 60.000,00. Cada umrecebeu o dobro do que investiu inicialmente.

6) ngelo deve receber R$ 45.000,00 e Carlos, R$ 30.000,00.


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Regra de trs simples e composta e porcentagem2

Contedo

Regra de trs simples;Regra de trs composta;Porcentagem.

Objetivos

Identicar quando duas ou mais grandezas so direta ou inversamenteproporcionais;Montar a estrutura da regra de 3 simples e composta bem como sua resoluo;Resolver problemas do cotidiano que envolvam o clculo de porcentagens.


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Neste captulo estenderemos os conceitos abordados no Captulo 1. Apresentaremos osconceitos de grandezas direta e inversamente proporcionais, regra de trs simples e composta eclculos envolvendo porcentagens. Mostraremos a aplicao destes conceitos em problemas do co-

tidiano e, no caso da porcentagem, veremos que o seu conceito amplamente utilizado em questesnanceiras.

Grandezas direta e inversamente proporcionais2.1.

No Captulo 1 estudamos o conceito de grandezas proporcionais. Vimos, no Exemplo 7, oconceito de grandezas diretamente proporcionais, pois quanto maior o nmero de anos na empresamaior a quantia recebida pelo gerente.

Para entendermos o conceito de grandezas inversamente proporcionais vamos considerar aseguinte situao: devemos dividir R$ 13.000,00 entre trs gerentes A, B e C. O critrio utilizadopara fazer a diviso ser o nmero de faltas ao servio (no ltimo ano) de cada um, considerando

que todos os gerentes trabalham h mais de um ano na empresa. No ltimo ano o gerente A teve 6faltas, B teve 5 faltas e C teve 2 faltas. Nesta situao quem faltou mais receber menos. Portanto,ao contrrio do Exemplo 7, em que aumentando o nmero de anos aumentava a quantia a ser re-cebida, proporo que aumenta o nmero de faltas, diminui o valor a receber. Estamos lidando,nesta situao, com grandezas inversamente proporcionais.

Para resolver esse problemas devemos encontrar 3 valores x, y e z que sejam diretamente

proporcionais aos inversos dos nmeros 6, 5 e 2, que so: 1

6

, 1

5

e 1

2

.

Ento, podemos escrever:

x y z x y z

1 1 1 1 1 16 5 2 6 5 2

+ +

= = =

+ +

Encontrando o mnimo mltiplo comum obtemos:

R$13.000,00 R$13.000,00 30 R$390.000,00R$15.000,00

26 26 2630

= = =

Logo:x

R$15.000,00 x R$2.500,001

6y

R$15.000,00 y R$3.000,001

5

zR$15.000,00 z R$7.500,00

12

= =

= =

= =

Portanto, a quantia de R$ 13.000,00 dividida de forma proporcional ao nmero de faltas de

cada gerente ser distribuda da seguinte maneira: o gerente A receber R$ 2.500,00, o gerente Breceber R$ 3.000,00 e o gerente C receber R$ 7.500,00.


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Regra de trs simples2.2.

Os problemas de regra de trs simples envolvem duas grandezas direta ou inversamente

proporcionais. Essas grandezas formam uma proporo onde so conhecidos 3 valores (por isso onome regra de trs) e o quarto valor o procurado.Para montarmos a regra de 3 simples podemos seguir o roteiro abaixo:

Organizamos os dados em colunas e linhas. Nas colunas colocamos os valores de1.mesma grandeza.

Vericamos se as grandezas so direta ou inversamente proporcionais. Se as grande-2.zas forem diretamente proporcionais colocamos ao lado de cada coluna echas commesmo sentido ( ou ) e se as grandezas forem inversamente proporcionais indi-caremos com echas com sentido contrrio ( ou ).

a

b

c

x

As letras a, b e c indicam os valores conhecidos e x o valor procurado.

Se as grandezas forem diretamente proporcionais escrevemos uma proporo toman-3.do os elementos da mesma maneira que esto escritos nas colunas, ou seja:

a c

b x=

Se as grandezas forem inversamente proporcionais escrevemos uma proporo inver-4.tendo os termos de uma s das razes:

a

b

c

x

e

a x

b c=

Aplicamos a propriedade fundamental da proporo e encontramos o valor da incg-5.nita x (valor procurado).


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Exemplo 1: A produo de uma tecelagem era de 10.000 m de tecido/dia. A indstria admi-tiu 500 novos funcionrios e com isto a produo passou para 15.000 m de tecido/dia. Qual era onmero de funcionrios antes da contratao dos novos?

Resoluo: Vamos seguir o roteiro proposto no texto:

Estamos trabalhando com duas grandezas: nmero de operrios e produo (metros/dia).1.Colocando as informaes de mesma grandeza nas colunas obtemos:

x

x + 500

10.000

15.000

Nmero de operrios Produo (metros/dia)

As grandezas so diretamente proporcionais, pois aumentando o nmero de funcion-2.rios aumenta-se tambm a produo (metros/dia). Ento as echas so colocadas nomesmo sentido.

A proporo obtida :3.x 10.000

x 500 15.000=

+

Aplicando a propriedade fundamental da proporo e isolando a incgnita temos:4.15.000x = 10.000(x + 500)

15.000x 10.000x = 5.000.000

5.000x = 5.000.000

x = 1.000

Portanto, a indstria tinha 1.000 funcionrios antes das novas contrataes.

Exemplo 2: Um automvel com velocidade de 90 km/h percorre certa distncia em 4 horas.Quanto tempo este automvel gastar para percorrer a mesma distncia com velocidade de 110 km/h?

Resoluo: Seguindo o mesmo procedimento do Exemplo 1 temos:

As grandezas so: velocidade (km/h) e tempo (horas)1.

Estas grandezas so inversamente proporcionais, pois aumentando a velocidade, o2.tempo para percorrer a mesma distncia ser menor. Ento as echas so colocadasem sentido contrrio:


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90

110

4

x

Velocidade (km/h) Tempo (horas)

Para escrevermos a proporo devemos inverter os termos de uma das razes, ou seja:3.

90 x

110 4=

Aplicando a propriedade fundamental da proporo e isolando a incgnita temos:4.

110x = 360

360x

110=

x = 3,27 horas

O automvel levar aproximadamente 3 horas e 17 minutos para percorrer a mesma distn-cia com velocidade de 110 km/h.

Regra de trs composta2.3.

Os problemas de regra de 3 composta envolvem mais de duas grandezas. Segundo Teixeira

e Netto (1998, p. 17), em problemas deste tipo devemos considerar que quando a variao de duasou mais grandezas diretamente proporcional variao da grandeza que contm a incgnita, entoo produto das razes destas grandezas tambm diretamente proporcional variao da grandezaque contm a incgnita.

O procedimento para anlise de problemas de regra de 3 composta o mesmo que o utiliza-do para resoluo de regra de 3 simples, ou seja:

Organizamos os dados em colunas e linhas. Nas colunas colocamos os valores de1.mesma grandeza.

Vericamos, separadamente, se as grandezas que no contm a incgnita so direta ou2.

inversamente proporcionais grandeza da incgnita. Nesta anlise supomos constan-tes as demais grandezas. Indicamos o tipo de proporcionalidade atravs de echas demesmo sentido ou sentido contrrio.

Se as grandezas analisadas forem proporcionais grandeza da incgnita, o produto3.das razes destas grandezas ser proporcional razo que contm a incgnita;

Se alguma das grandezas analisadas no for diretamente proporcional grandeza da4.incgnita, invertemos os valores desta grandeza na coluna correspondente. Desta for-ma, todas as grandezas passam a ser diretamente proporcionais grandeza da incgni-ta. Aps este procedimento fazemos o clculo descrito no item 3.


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Exemplo 3: Cinco operrios, trabalhando durante 6 dias, produzem 600 peas. Quantas pe-as desse mesmo tipo produziro sete operrios, trabalhando 8 dias?

Resoluo: Este exemplo um caso de regra de 3 composta pois envolve 3 grandezas. Va-mos seguir o procedimento sugerido para a resoluo de problemas deste tipo:

Colocando os valores das grandezas nas colunas obtemos:1.

5

7

6

8

Nmero de operrios Nmero de dias600

x

Nmero de peas

Analisando as grandezas que no contm a incgnita com a grandeza nmero de pe-2.as (que contm a incgnita) conclumos que se aumentarmos o nmero de operriosaumentaremos tambm o nmero de peas produzidas. Portanto, estas duas grandezasso diretamente proporcionais.Se aumentarmos o nmero de dias trabalhados tambm aumentaremos o nmero depeas produzidas. Neste caso as duas grandezas tambm so diretamente proporcio-nais. Ento, todas as echas tm o mesmo sentido.

O produto das razes3.5 6

7 8 proporcional razo

600

x, ou seja:

5 6 600

7 8 x =

Fazendo a multiplicao, aplicando a propriedade fundamental da proporo e isolan-4.do a incgnita obtemos:

30 600

56 x=

30x = 33.600

x = 1.120

Portanto, sete operrios, trabalhando 8 dias, produziro 1.120 peas.


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Exemplo 4: 15 operrios, trabalhando 9 horas por dia, fazem 72 metros de muro em 32 dias.Quantos dias sero necessrios para 18 operrios fazerem 180 metros do mesmo muro, trabalhando8 horas por dia?

Resoluo:

1.

15

18

9

8

nmero de operrios horas72

180

metros (muro)32

x

nmero de dias

Analisando as grandezas que no contm a incgnita com a grandeza nmero de dias2. conclumos que se aumentarmos o nmero de operrios diminuiremos o nmero dedias necessrios para a construo do muro. Portanto, so grandezas inversamenteproporcionais.Se diminuirmos a quantidade de horas trabalhadas por dia precisaremos de mais dias paraa construo do muro. Ento estas duas grandezas so inversamente proporcionais.Se aumentarmos o tamanho do muro precisaremos de mais dias para a sua construo.Portanto, so grandezas diretamente proporcionais.

Deveremos inverter os valores das grandezas nmero de operrios e horas nas suas3.respectivas colunas para que estas grandezas passem a ser diretamente proporcionais

grandeza nmero de dias.

O produto das razes4.18 8 72

15 9 180 proporcional razo

32

x. Ento:

18 8 72 32

15 9 180 x

10.368 32

24.300 x

=

=

10.368x = 777.600

x = 75Sero necessrios 75 dias para que 18 operrios, trabalhando 8 horas por dia, faam 180

metros de muro.


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Porcentagem2.4.

Em vrias situaes do dia-a-dia nos deparamos com clculos percentuais: desconto de deter-minado produto, aumento salarial, queda no nvel de desemprego, inteno de voto na prxima eleio

presidencial, etc. Nas questes de matemtica nanceira, que tratam fundamentalmente do clculo dodinheiro ao longo do tempo, as operaes envolvendo porcentagens so bastante comuns.A porcentagem uma razo cujo denominador igual a 100. Esta razo tambm chamada

de razo centesimal.Podemos substituir, nas razes centesimais, o denominador 100 pelo smbolo % ( por cento).

Quando fazemos isto obtemos a taxa de porcentagem.

Por exemplo, a razo centesimal5

100pode ser expressa como 5% que denominada taxa de porcenta-

gem. Esta razo tambm pode ser expressa na forma decimal (dividindo-se o numerador pelo denominador).

Nos exemplos abaixo estudaremos mtodos para a resoluo de problemas envolvendo por-centagem.

Exemplo 5: Um corretor de imveis vende um apartamento por R$ 350.000,00. Sua correta-gem de 4%. Quanto ele ganhou?

Resoluo: Podemos resolver este problema de duas maneiras:

1a maneira: Usando a regra de trs simples:

350.000

x

100

4

Valor (R$) Taxa de porcentagem (%)

Escrevendo a proporo obtemos:

350.000 100

x 4=

100x = 1.400.000

x = 14.000

O vendedor ganhou R$ 14.000,00 com a venda do apartamento.

2a maneira: Podemos calcular diretamente 4% de 350.000:

4% de 350.000 =4

100 350.000 = 0,04 350.000 = 14.000


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Exemplo 6: Uma cala vendida por R$ 110,00. Se o seu preo fosse aumentado em 15%,quanto passaria a custar?

Resoluo: O aumento seria 15% de 110 = 0,15 110 = R$ 16,50. Portanto, o novo preo seria 110,00 + 16,50 = R$ 126,50.

Poderamos fazer simplesmente:

preo aumento preoinicial final

110 0,15 110 110 (1 0,15) 110 1,15 126,50+ = + = =

,

ou seja, o preo nal ca multiplicado por 1,15. Portanto, se tivssemos um aumento de: 20% multiplicaramos o preo original por 1,2;

35% multiplicaramos o preo original por 1,35; 7% multiplicaramos o preo original por 1,07;e assim por diante.

Se, num outro momento, a loja estivesse liquidando suas peas e a cala estivesse com umdesconto de 15% sobre o preo original, o clculo seria:

preo desconto preoinicial final

110 0,15 110 110 (1 0,15) 110 0,85 93,50 = = =

,

ou seja, o preo nal multiplicado por 0,85. Portanto, se tivssemos um desconto de:

20% multiplicaramos o preo original por 0,8; 35% multiplicaramos o preo original por 0,65; 7% multiplicaramos o preo original por 0,93;e assim por diante.

Exemplo 7: Uma bolsa que custava R$ 45,00 passou a custar R$ 54,00. Qual a taxa percen-tual de aumento?

Resoluo: Este problema tambm pode ser resolvido de duas maneiras.1a maneira: Devemos primeiramente encontrar o valor do aumento:

54 45 9 (valor do aumento)

Agora devemos dividir 9 por 45:

9

45= 0,2 = 20% (taxa percentual de aumento)

2a maneira: Podemos simplesmente dividir o preo novo da bolsa (R$ 54,00) pelo preoantigo (R$ 45,00), obtendo:

taxa percentualde aumento

541, 20 1 0, 20 100% 20%

45

= = + = +


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Exerccios propostos

1) Uma costureira pagou R$ 70,00 por 2 metros de tecido. Quanto pagaria se tivesse com-prado 5 metros do mesmo tecido?

2) Sabe-se que 4 mquinas de uma pequena confeco, todas de igual ecincia, so capazesde produzir 400 peas em 4 dias, se operarem 4 horas por dia. Se 8 mquinas iguais s primeirasoperassem 8 horas por dia durante 8 dias, qual seria o nmero de peas produzidas?

3) Um automvel, com velocidade mdia de 90 km/h, percorre a distncia entre duas cida-des em 4 horas e 15 minutos. Qual velocidade dever desenvolver para fazer o mesmo trajeto em 3horas e 30 minutos?

4) Maria aplicou R$ 1.500,00 durante seis meses e obteve uma renda de R$ 2.000,00. Quan-to obteria de renda no mesmo negcio se aplicasse R$ 5.000,00 durante 4 meses?

5) Um consumidor obteve 5% de desconto na compra de um televisor de R$ 2.500,00.Quanto ele pagou pelo produto?

6) Atualmente, 30% do salrio de Cludio so destinados ao pagamento do aluguel da casaonde mora que de R$ 360,00. Qual o valor do salrio de Cludio?

7) Uma pessoa investiu R$ 3.000,00 em aes. No primeiro ms ela perdeu 30% do totalinvestido e no segundo ms ela recuperou 15% do que havia perdido.

a) Com quanto ela cou aps os dois meses?b) Qual foi seu prejuzo aps os dois meses, em porcentagem, sobre o valor do investimento inicial?

8) O preo de venda de um bem de consumo de R$ 150,00. O comerciante tem um ganhode 20% sobre o preo de custo deste bem. Qual o preo de custo deste bem?


1) R$ 175,00

2) 3.200

3) 109,29 km/h aproximadamente

4) R$ 4.444,44

5) R$ 2.375,00

6) R$ 1.200,00

7) a) R$ 2.235,00 b) 25,5%

8) R$ 125,00


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Sistemas lineares3

Contedo

Equao linear;Sistema linear;Sistemas homogneos;Classicao de um sistema linear quanto ao nmero de solues;Sistemas equivalentes;Propriedades dos sistemas equivalentes;Sistemas escalonados;

Procedimentos para escalonar um sistema.

Objetivos

Conseguir reconhecer e aplicar as tcnicas mostradas em situaes do seucotidiano;Servir de embasamento para outras disciplinas como Pesquisa Operacional,que ser vista mais adiante;Entender o prximo captulo, alm de ser capaz de escalonar e classicarvrios tipos de sistemas lineares, encontrando os valores das variveis (in-cgnitas), que o objetivo principal deste estudo.


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As equaes lineares assim como os sistemas de equaes lineares so frequentemente utili-zados no cotidiano das pessoas. A soluo de muitas situaes-problema precisa passar pela resolu-o de sistemas de equaes lineares.

Sistemas lineares so uma importante ferramenta para a soluo de problemas que envolvema determinao de mais de uma varivel (incgnita).Aps a resoluo de um sistema linear, conseguimos encontrar os valores das variveis (in-

cgnitas), que o objetivo deste estudo, e interpret-las.Para iniciarmos este contedo, vamos precisar de algumas denies:

Equao linear3.1.

Uma equao linear toda equao da forma:

a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b

onde x1, x2, ..., xn so as incgnitas, a1, a2, ..., an so nmeros reais que recebem o nome decoecientes das incgnitas e b um nmero real chamado termo independente.

Note que, numa equao linear, os expoentes de todas as variveis so sempre iguais a 1.

Observao 1: Quando b = 0, a equao recebe o nome de linear homognea.

Neste captulo, trataremos apenas de sistemas de equaes lineares; quando as equaesforem no-lineares, a resoluo se d de forma bem mais complexa e no ser abordada nesta dis-ciplina.

Vejamos alguns exemplos de equaes lineares e no-lineares:

Equaes lineares Equaes no-lineares

a) 3x 2y +6z = 8 a) x 2y 6z 8 + =

b) x1

2x2

+ 3x3

= 5 b) xy 4y + z = 2

c) x y 6z 0 + + = (homognea) c) 3a 2b2 + 6c = 1

d)y

2x w 8 z 3t2

+ + = + d)1

3y t 2x

+ =

e) 3a 2b 6c 0, 5 + = e) 21 3

3

x2x 3 x 10

x+ =


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Sistema linear3.2.

Um conjunto de m equaes lineares nas variveis x1, x2, ..., xn umsistema linear de mequaes e n incgnitas.

Desta forma, podemos representar um sistema linear de m equaes e n incgnitas da se-guinte maneira:

11 1 12 2 13 3 1n n 1

21 1 22 2 23 3 2n n 2

m1 1 m2 2 m3 3 mn n m

a x a x a x ... a x b



+ + + + = + + + + = + + + + =

Soluo do Sistema Linear

Chamamos de soluo de um sistema linear, a n-upla de nmeros reais ordenados (r1, r2, ..., rn)

que , simplesmente, soluo de todas as equaes do sistema.

Sistemas homogneos3.3.

Um sistema homogneo quando os termos independentes de todas as equaes so nulos.Por exemplo:

3x y z 0

x 2y z 0

x 3y 0

+ + =

+ + = + =

Solues de um Sistema Homogneo

Quando temos um sistema homogneo, a n-upla (0, 0, 0, ..., 0) sempre uma soluo destesistema, e se esta for a nica soluo, ela recebe o nome desoluo trivial.

Pode ocorrer, como veremos mais adiante, de existirem innitas solues para um mesmosistema, quando isto ocorrer, as demais solues so chamadas no-triviais.

Classifcao de um sistema linear quanto ao nmero de solues3.4.

Classicamos um sistema linear de acordo com o nmero de solues deste sistema. Podemos ter: Sistema Possvel (tem soluo)

Sistema Impossvel (no tem soluo)

Se o sistema for possvel, isto signica que ter soluo, ele ainda pode ser classicado deduas formas:

Sistema Possveldeterminado (soluo nica)

indeterminado (innitas solues)

Abaixo ser mostrado um exemplo de cada tipo de sistema com relao ao nmero de solues:


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Exemplo 1:

x y 4

x 2y 3

+ =

=

Este sistema temsoluo nica, o par ordenado (5, -1). Portanto o sistema possvel e de-terminado.

Exemplo 2:

x y 4

2x 2y 8

+ =

+ =

O sistema acima tem innitas solues. Algumas destas solues so dadas pelos pares

ordenados: (0, 4), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 0)... Portanto o sistema classicado como possvel eindeterminado.

Exemplo 3

x y 10

x y 10

+ =

=

Como este sistema no tem um par ordenado que satisfaa, simultaneamente, as equaes, classicado como um sistema impossvel, ou seja, no tem soluo.

Sistemas equivalentes3.5.

Dizemos que dois sistemas so equivalentes quando possuem o mesmo conjunto soluo.Por exemplo: sejam S1 e S2 dois sistemas lineares denidos por:

1 2

x y 3 x y 3S e S

2x 3y 8 x 2y 5

+ = + = = =

+ = + =

opar ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e nico. Desta forma, podemos dizer que S1e S2 so equivalentes (S1 ~ S2).

Propriedades dos sistemas equivalentes3.5.1.

Dado um sistema linear qualquer, o objetivo transform-lo em outro sistema equivalente,porm de uma forma escalonada.

Um sistema na forma escalonada ca muito mais fcil de ser classicado e resolvido. Pri-meiramente, vamos estudar algumas propriedades que nos permitiro construir sistemas equivalen-tes, na forma escalonada.


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Propriedade 1

Quando trocando de posio as equaes de um sistema, obtemos um outro sistema equiva-lente. Por exemplo:

Sendo:

1 2

2y z 1 (I) 2x y z 5 (III)

S x z 2 (II) e S x z 2 (II)

2x y z 5 (III) 2y z 1 (I)

= + + =

= + = = + = + + = =

Temos que, S1 ~ S2, ou seja, tanto S1 como S2 produzem a mesma soluo.

Propriedade 2

Quando multiplicamos por k, k *, todos os membros de uma equao qualquer de um

sistema linear S1, obtemos um novo sistema S2 equivalente a S1. Por exemplo:

Dado 1x 2y 5 (I)

S2x y 1 (II)

==

=

Se multiplicando a equao (I) por (2), obtemos:

2 2

(x 2y 5) ( 2) 2x 4y 10S S

2x y 1 2x y 1

= + = = =

= =

Assim, temos S1 ~ S2

Propriedade 3

Quando adicionamos a uma das equaes de um sistema, o produto de outra equao dessemesmo sistema por um nmero k, k *, obtemos um sistema equivalente ao anterior. Por exemplo:

Seja o sistema1

x 2y 4 (I)S

2x y 13 (II)

+ ==

=

Substituindo a equao (II) pela equao (I) multiplicada por (2) e somada a equao (II),obtemos:

1 2

2x 4y 8(x 2y 4) ( 2)

2x y 13S S2x y 13

5y 5

= + = == = = =

Logo, a soluo deste sistema dada por (x, y) = (6, 1).


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Sistemas escalonados3.6.

A tcnica de escalonar um sistema linear a mais utilizada para encontrar solues. Esta tcni-ca nos permite classicar, resolver e discutir sistemas lineares. Este mtodo pode ser usado tanto nos

sistemas n x n (mesmo nmero de equaes e incgnitas) quanto nos sistemas m x n, com m n.Existem outras tcnicas de resoluo de sistemas lineares, como por exemplo a Regra deCramer. Nesta disciplina s trataremos da tcnica de escalonamento, pois a Regra de Cramer umatcnica mais restrita e no resolve qualquer tipo de sistema linear.

Inicialmente, vamos denir o que um sistema linear escalonado.Vamos denir um sistema linear m x n, onde existe pelo menos um coeciente no-nulo em

cada equao:

11 1 12 2 13 3 1n n 1

21 1 22 2 23 3 2n n 2

m1 1 m2 2 m3 3 mn n m


a x a x a x ... a x bS


+ + + + =

+ + + + ==

+ + + + =

Dizemos que S est escalonado se o nmero de coecientes nulos antes do primeiro coe-ciente no-nulo aumenta de equao para equao.

Vamos ver alguns exemplos de sistemas escalonados:

1)1

2x y 5S

2y 3

+ ==

=2) 2

z

2

S 2y 3z 1

5z 5

= = =

3)3

5x 3y z 2S

2y z 1

+ ==

= 4) 4

2x 4y 2z t 2w 3

y 3z t w 2S

z 3t 5w 6

2w 4

+ = + + + =

= 2 + =

=

Procedimentos para escalonar um sistema3.6.1.

Para escalonar um sistema linear qualquer, podemos seguir o roteiro abaixo que est baseadonas propriedades anteriores:

1o passo: Escolhemos como 1a equao uma das que possuam o coeciente da 1a incgnitadiferente de zero e, se possvel, um que tenha o coeciente da 1a incgnita igual a 1 ou 1.Desta forma os clculos se tornam bem mais simples, evitando efetuar muitas operaescom fraes.

2o passo: Utilizando as propriedades 2 e 3 de sistemas equivalentes, xamos a 1a equao eanulamos todos os coecientes da 1a incgnita das demais equaes.


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3o passo: Fixamos a 1a e 2a equaes e anulamos todos os coecientes da 2a incgnita apartir da 3a equao.

4o

passo: Repetimos o processo com as demais incgnitas, at que o sistema se torne escalonado.

Vamos escalonar alguns sistemas para aprendermos:

Exemplo 4: Resolva e classique o sistema

2x y z 4

5x 2y 4z 1

x 2y z 0

+ =

+ = + =

pelo mtodo de escalonamento.

Resoluo:

1o passo: Devemos anular todos os coecientes da 1a incgnita a partir da 2a equao, apli-cando as propriedades. Antes de efetuarmos as operaes devidas, podemos arrumar o sistema

para facilitar os clculos; para isto, vamos trocar as posies da 1a

com a 3a

equao para que ocoeciente da 1a incgnita da 1a equao do sistema seja igual a 1:

x y z 0

5x 2y 4z 1

2x y z 4

2 + =

+ = + =

Agora, trocamos a 2a equao pela soma do produto da 1a equao por (5) com a 2a equao:

(x y z 0) ( 5) x 2y z 0

5x 2y 4z 1 12y 9z 1

2x y z 4 2x y z 5

2 + = + =

+ = =

+ = + =

Fazemos o mesmo procedimento anterior, porm, agora, trocaremos a 3a equao pela somado produto da 1a equao por (2) com a 3a equao:

(x y z 0) ( 2) x 2y z 0

12y 9z 1 12y 9z 1

2x y z 4 3y z 4

2 + = + =

= = + = =

Zeramos todos os coecientes da 1a incgnita a partir da 1a equao; agora devemos repetireste procedimento para anulamos todos os coecientes da 2a incgnita a partir da 3 equao.

2o passo: Vamos anular os coecientes da 2a incgnita, a partir da 3a equao:

Trocamos a 3 equao pela soma do produto da 2a equao por 3

12

com a 3a equao:

x y z 0 x 2y z 0

12y 9z 1) 12y 9z 1

y z 4 z

2 + = + =

( = = 3 = =

3

12

51

12

15

12


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36


3o passo: Agora, como o sistema est escalonado, e temos o mesmo nmero de incgnitase equaes vlidas, classicamos este sistema como possvel e determinado e podemos resolv-locom facilidade:

15 51 51 12 17z z z

12 12 12 15 5= = =

Substituindo17

z5

= em 12y 9z = 1, vem:

17 153 148 148 1 148 3712y 9 1 12y 1 12y y y y

5 5 5 5 12 60 15 = = + = = = =

Agora, substituindo,37 17

y e z15 5

= = em x 2y + z = 0, vem:

37 17 74 17 23x 2 0 x 0 x15 5 15 5 15

+ = + = =

Portanto, como o sistema possvel e determinado, admite uma nica soluo que dada

por:23 37 17

(x, y, z) , ,15 15 5

=

.

Para vericar se a soluo encontrada est correta, basta substituir os valores encontradospara x, y e z em cada uma das trs equaes do sistema e fazer as contas. O resultado encontradodeve ser soluo das trs equaes simultaneamente.

Vamos resolver mais alguns exemplos:

Exemplo 5: Resolva o sistema

x y z 3

2x y z 2

3x y z 6

2 + 2 =

+ = 4 + 4 =

e classique-o.

Resoluo:

Este sistema ser umsistema impossvel. Quando chegarmos ao nal do escalonamento des-te sistema, veremos que em uma das equaes acontecer um absurdo, e por isso ser classicadocomoImpossvel.

Utilizando o mtodo do escalonamento, vamos trabalhar os mesmos passos descritos no

exemplo 4.

1o passo: Anulamos todos os coecientes da 1a incgnita a partir da 2a equao, aplicandoas propriedades.

Como o coeciente da primeira equao j 1, no precisaremos fazer troca de equaes.Devemos substituir a 2a equao pela soma do produto da 1a equao por (2) com a 2a equao:

x y z 3) ( 2) x 2y z 3

2x y z 2 3y 3z 4

3x y z 6 3x y z 2

( 2 + 2 = + =

+ = = 4 + 4 = + 2 =


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38


Agora, trocamos a 3a equao pela soma do produto da 2a equao por (-3) com a 3a equao:

x y z w 6 x y z w 6

y 4z 3w 13 ( 3) y 4z 3w 13y 0z w 9 12z 6w 30

+ + = + + =

+ = + + = 3 + + 3 = + =

O sistema est escalonado. Entretanto, o nmero de equaes (m) menor que o nmero deincgnitas (n), logo, a classicao deste sistema possvel e indeterminado, admitindo innitas

solues. A diferena entre o nmero de incgnitas (n) e o nmero de equaes (m) de um sistemanessas condies chamadagrau de indeterminao (GI):

GI = n m

Para resolvermos um sistema indeterminado, procedemos da seguinte maneira:

Vamos considerar o sistema em sua forma escalonada

x y z w 6

y 4z 3w 13

12z 6w 30

+ + =

+ = =

O grau de indeterminao (GI) deste sistema obtido subtraindo o nmero de incgnitas donmero de equaes, ou seja:

GI = n m = 4 3 = 1

Como o grau de indeterminao 1, devemos atribuir a uma das incgnitas um valor ,supostamente conhecido, e resolvemos o sistema em funo desse valor. Geralmente, atribumoso valor a uma varivel livre, que geralmente a ltima incgnita da ltima equao do sistemaescalonado e que no inicia uma equao, no caso do exemplo acima, a varivel livre w.

Fazendo w = e substituindo esse valor na 3a equao, obtemos:

30 6 512z 6 30 12z 30 6 z z

12 2

+ + = = + = =

Conhecidos os valores de z e w, devemos substituir esses valores na 2a equao (y 4z +3t = 13)para encontrarmos o valor de y. Logo:

y 4 5

2

+

+ 3 = 13 y 10 2 + 3 = 13 y + = 13 + 10 y = 3

y = + 3Conhecidos z, w e y, substitumos esses valores na 1a equao (x + y + z t = 6) e encontra-

mos o valor de x:

x + + 3 + 5

2

+

= 6 2x + 2 + 6 + 5 + 2 = 12 2x + + 11 = 12 2x = 1

x =1

2


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Logo, a soluo geral do sistema dada por:

1 5S (x, y, z, w) , 3, ,

2 2

+ = = +

, para qualquer , ou seja, para cada valor

que seja atribudo a , encontraremos uma qudrupla que soluo para o sistema estudado nesteexemplo. Por exemplo, se zermos = 1, teremos a soluo: S = {(x, y, z, w) = (0, 4, 3, 1)}, quesatisfaz todas as equaes do sistema estudado neste exemplo.

Observe que podemos atribuir innitos valores a , portanto, teremos innitas solues paraeste sistema.

Observao 2: Se GI > 1, ento daremos valores , , ... a todas as incgnitas livres e, portanto,a soluo do sistema car em funo destes valores. Desta forma, para encontrar uma soluopara o sistema, devemos atribuir valores a e e efetuar os clculos para apresentar uma

soluo para as incgnitas envolvidas no sistema em questo.

Exerccios propostos

1) Escalone, classique e resolva os sistemas abaixo:

a)

x y z 1

2x 3y 2z 5

x y 2z 4

+ + =

+ + = + =

b)

a b c 2

2a 3b 2c 4

3a 4b c 6

+ + =

+ = + =

c)

x 3y z 6

x 6y 2z 12

x 4y z 14

=

+ + = + + 6 =

d)1 2 3

1 2 3

1 2

2x 3x x 5

x x x 0

3x 4x 4

+ + =

+ = + =

e)

x 2 y 2

3x y 4

5x 3y 10

=

+ = + =

f)

2x 3y z 0

x 2y 4z 0

x 14y 0

+ =

+ + = =

2) Resolva os seguintes sistemas lineares e classique-os segundo o nmero de solues:

a)

1 2 3 4

1 2 3

1 2 4

1 2 3 4

x 2x 3x 4x 12

3x x 3x 6w 9

2x 3x 2x 8

x x x 2x 2

+ + = + + =

+ = + =

b)

x 2y 3z t 12

3x 3y 6z 4

2x y t 10

+ + =

+ =

+ =

c)3x y 2x 3

12x 1 y

+= =

3) Escalone e discuta para quais valores de , o sistemax 2y 10

3x y 30

+ = + =

:a) Possvel e Determinado;b) Possvel e Indeterminado;c) Impossvel.


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1)

a) Sistema possvel e determinado. S = {(x, y, z) = (3, 3, 1)}

b) Sistema possvel e indeterminado. S = {(a, b, c) = (2 5, 4, )}

c) Sistema possvel e determinado.5 29

S (x, y, z) 8, ,7 7

= =

d) Sistema impossvel. No h soluo.

e) Sistema impossvel. No h soluo.

f) Sistema possvel e indeterminado. S = {(x, y, z) = (14, 9, )}

2)a) Sistema possvel e determinado. S = {(x1, x2, x3, x4) = (29,1; 6,6; 1,1; 14,4)}

b) Sistema possvel e indeterminado.10 3 50 3

S (x, y, z, t) , , 6,3 3

+ = =

c) Sistema possvel e determinado. S = {(x, y) = (1, 2)}

3)a) O sistema ser possvel e determinado, ou seja, ter soluo nica para 6.b) O sistema ser possvel e indeterminado, ou seja, ter innitas solues para = 6.

c) No existem valores para que faam com que o sistema seja impossvel, ou seja, semprehaver soluo para este sistema.


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Resoluo de sistemas lineares4

Contedo

Situaes-problemas.

Objetivos

Identicar situaes-problemas onde necessrio o uso e resoluo desistemas lineares;Equacionar problemas regidos por mais de uma equao linear, alm deconseguir resolv-los e interpretar as solues encontradas.


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Aplicaes de sistemas lineares

As aplicaes de sistemas lineares ocorrem com muita frequncia em nosso cotidiano e se-ro muito teis na resoluo de processos de otimizao.

Estes processos de otimizao sero abordados na disciplina de Pesquisa Operacional. Veja-mos algumas situaes que necessitam da aplicao de sistemas lineares:Encontrar um programa de produo que maximiza a margem de contribuio totalpara o lucro em uma produo de mveis de madeira.Determinar a expanso ideal do sistema eltrico brasileiro.Qual a melhor maneira de cortar ferros na construo civil, de modos a minimizar asobra de pedaos?Como balancear uma dieta com vrios tipos de alimentos de diferentes grupos alimentcios?

De forma geral, servem para equacionar problemas regidos por mais de uma equao linear;para isso, trabalha-se com matrizes e preciso resolver sistemas de equaes lineares para chegar soluo ideal.

Este captulo ir trabalhar alguns exemplos aplicados ao nosso cotidiano, que muitas vezes nempassam pela nossa mente, e que so resolvidos por meio da resoluo de sistema de equaes lineares.

Situaes-problemas4.1.

Vamos apresentar alguns exemplos que requerem a interpretao e resoluo envolvendosistemas lineares.

Exemplo 1: Uma microempresa da cidade de Campinas forneceu celulares a trs de seusfuncionrios para que utilizassem a servio da empresa. O dono da empresa ao comparar as contas decada um deles (Funcionrio A, Funcionrio B e Funcionrio C), cou curioso em saber quanto custou

um minuto de cada tipo de ligao realizada. As trs contas apresentaram ligaes para telefones m-veis (celulares), xos e ligaes interurbanas para Manaus, onde tem uma lial da empresa.A tabela abaixo mostra o tempo (em minutos) das ligaes que cada um efetuou e o valor

correspondente da conta, j descontado o preo da assinatura.

Funcionrios Celular FixoInterurbano

(Manaus)Valor(R$)

Funcionrio A 100 min 60 min 20 min 122,00

Funcionrio B 140 min 40 min 30 min 134,00

Funcionrio C 80 min 50 min 50 min 147,00

Resoluo:

Vamos denir as variveis c, f e m como sendo os preos do minuto de ligao para telefo-nes celulares, para telefones xos e paraManaus, respectivamente. Desta forma, podemos montaras contas dos funcionrios A, B e C, como seguem:

A conta do Funcionrio A dada por: 100c + 60f + 20m = 122,00A conta do Funcionrio B dada por: 140c + 40f + 30m = 134,00A conta do Funcionrio C dada por: 80c + 50f + 50m = 147,00


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Como podemos observar, as trs equaes acima constituem um exemplo de aplicao desistema linear e pode ser resolvido usando a tcnica de escalonamento, ou seja:

100c 60f 20m 122, 00

140c 40f 30m 134, 00

80c 50f 50m 147, 00

+ + = + + = + + =

Usando as propriedades vistas no captulo anterior, escalonamos o sistema:

140c 40f 30m 134, 00 44f 2m 36,80+ + = + =

.

80c 50f 50m 147, 00 2f 34m 49, 40

+ + = + + =

Depois do sistema escalonado, obtemos facilmente os valores de c, f e m. Resolvendo aequao (III), temos:

Substituindo o valor de m em (II), obtemos o valor de f:

44f + 2m = 36,80 44f + 2(1,40) = 36,80 39,6

f 0, 9044

= =

Finalmente, substituindo os valores de m e f em (I), obtemos o valor de c:

100c + 60f + 20m = 122,00 100c + 60(0,90) + 20(1,40) = 122,00 40

c 0, 40100

= =

Podemos concluir que o preo por minuto de ligao para telefones celulares R$ 0,40, para

telefones xos, R$ 0,90 e para Manaus, R$ 1,40.

Exemplo 2: O Sr. Antnio dono de uma Empresa de Cosmticos. Com 78 anos, resolveudividir em vida sua empresa pelos seus dois lhos: Raphael e Gabriel. O Sr. Antnio decidiu tam -bm que a diviso deveria ser diretamente proporcional ao tempo que cada um tinha dedicado empresa, j que ambos os lhos trabalham nela. A soma de trabalho dentro da Empresa dos doisjuntos de 28 anos, sendo que Raphael trabalhou 6 anos a mais que Gabriel. Como deve ser divi-dida a Empresa?


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Resoluo:

Primeiramente, devemos denir as variveis:

x: tempo de trabalho na empresa de Raphael.y: tempo de trabalho na empresa de Gabriel.

Agora, devemos interpretar o problema e montar as equaes do sistema. Sabemos que am-bos (Raphael e Gabriel) trabalharam juntos por 28 anos, ou seja, x + y = 28, e sabemos tambm queRaphael trabalhou 6 anos a mais do que Gabriel, ento: x = y + 6.

Montando e resolvendo o sistema, obtemos:

e y = 28 17 = 11 anos

Isto signica que Raphael trabalhou 17 anos na Empresa enquanto Gabriel trabalhou 11anos. Como a diviso deve ser proporcional ao tempo de servio na Empresa, devemos fazer umaregra de trs simples para determinar a porcentagem que cada um receber da Empresa, logo:

28 100%17 x

Portanto,1700

x 60, 7%28

= e y = 100% 60,7% = 39,3%, ou seja, Raphael car com 60,7%

da Empresa e Gabriel com 39,3%, conforme o desejo do Sr. Antnio.

O prximo exemplo de aplicao de sistemas lineares uma forma muito utilizada em pro-cessos de otimizao. Aqui iremos mostrar apenas como montar um sistema de otimizao atravsde sistemas lineares. A resoluo desse tipo de sistema ser apresentada, mais adiante, na disciplinade Pesquisa Operacional.

Exemplo 3: Uma fbrica de brinquedos, aps um processo de otimizao da produo, coucom disponibilidade de 3 insumos produtivos, A, B e C. Com estes insumos possvel fabricar 2tipos de brinquedos: X e Y. Levantando os custos e consultando o departamento de vendas sobre ocusto de colocao destes produtos no mercado, vericou-se que o brinquedo X daria um lucro deR$ 12,00 por unidade e o brinquedo Y, um lucro de R$ 15,00 por unidade. O departamento de pro-

duo forneceu a tabela abaixo, que relaciona o uso de insumos produtivos para cada brinquedo:

ProdutoInsumo Produtivo A

(por unidade)Insumo Produtivo B

(por unidade)Insumo Produtivo C

(por unidade)

Brinquedo X 3 2 5

Brinquedo Y 4 3 3

Disponibilidade deinsumos por ms

120 90 150

Construa o sistema linear que descreve esta situao-problema.


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Resoluo:

Para este tipo de problema, devemos responder basicamente a 3 questes:a) Quais as variveis de deciso?

b) Qual o objetivo?c) Quais as restries?

Para respondermos questo a), devemos decidir quais as quantidades do brinquedo X e Ydevem ser produzidas por ms. Portanto, as variveis de deciso podem ser denidas como:

x1: quantidade mensal a ser produzida do brinquedo Xx2: quantidade mensal a ser produzida do brinquedo Y

O objetivo, respondendo a questo b, maximizar o lucro (L); isto pode ser escrito da se-guinte maneira:

Lucro dos brinquedos X: 12x1 (lucro por unidade, multiplicado pela quantidade do brinque-do X que ser produzida)Lucro dos brinquedos Y: 15x2 (lucro por unidade, multiplicado pela quantidade do brinque-

do Y que ser produzida)Portanto, devemos maximizar o lucro total que pode ser escrito atravs da expresso:

L = 12x1 + 15x2

Por m, devemos equacionar as restries impostas pelo problema. Temos 2 tipos de restri-es: tcnica e de no negatividade.

As restries tcnicas so dadas por:

1 2

1 2

1 2

3x 4x 120 (I)

2x 3x 90 (II)

5x 3x 150 (III)

+

+ +

Logo, podemos interpretar as equaes (I), (II) e (III) acima, respectivamente, como:(I): a produo de 3 unidades do brinquedo X mais 4 unidades do brinquedo Y, no podem

ultrapassar o uso de 120 unidades do insumo produtivo do tipo A;(II): a produo de 2 unidades do brinquedo X mais 3 unidades do brinquedo Y, no podem

ultrapassar o uso de 90 unidades do insumo produtivo do tipo B;(III): a produo de 5 unidades do brinquedo X mais 3 unidades do brinquedo Y, no podem

ultrapassar o uso de 150 unidades do insumo produtivo do tipo C.

Agora devemos equacionar as restries de no negatividade. Estas restries esto direta-mente ligadas s variveis x1 e x2 e so bvias, pois sabemos que no podemos produzir quantida-des negativas, como x1 e x2 se referem a quantidades, temos que as restries de no negatividadeso dadas por:

1

2

x 0 (I)

x 0 (II)

ou seja, as quantidades mensais a serem produzidas do brinquedo X e do brinquedo Y devemser maiores ou iguais a zero.


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Exerccios propostos

1) A tabela abaixo mostra as compras realizadas por Ornella em duas lojas de roupas.

Lojas ItensPreo unitrio

(R$)Despesa

(R$)

AVestido 120,00

720Cala 180,00

BBlusa 60,00

360Saia 90,00

Sabe-se que ela comprou pelo menos 1 pea de cada e que comprou a mesma quantidade devestidos e blusas, alm do maior nmero possvel de calas. Desejamos saber quantas peas de cadaitem Ornella comprou.

2) Uma indstria alimentcia resolveu doar uma quantidade x de cestas bsicas para seremdistribudas entre os asilos da cidade de So Paulo. Se cada asilo receber 20 cestas bsicas, aindasobrariam 2000 cestas bsicas para serem distribudas. Porm, se cada asilo receber 25 cestas bsi-cas, seriam necessrias mais 2500 cestas bsicas. Deseja-se descobrir a quantidade de cestas bsi-cas que foram doadas (x) e o nmero de asilos da cidade de So Paulo (y).

3) Trs casais, Valeria e Luiz Fernando (casal 1), Alexandra e Giberto (casal 2), Cristiane eKaio (casal 3), foram a uma lanchonete e consumiram as seguintes guloseimas:

Casal Misto quente Refrigerante Petit Gateau

Casal 1 2 1 1

Casal 2 3 2 2Casal 3 2 3 1

Sabe-se, porm, que a conta do casal 1 foi de R$ 20,00, a conta do casal 2, R$ 35,00 e a con-ta do casal 3, R$ 24,00. Deseja-se saber qual o preo unitrio de cada item.

4) Um administrador de empresas possui R$ 48.000,00 e deseja aplicar este valor por 2 anosem 3 tipos de aplicaes distintas. Quanto maior a rentabilidade oferecida pela aplicao maior orisco. Para um melhor entendimento do problema, vamos denir as aplicaes como: X, Y e Z. Asrentabilidades esperadas para o perodo de 2 anos so: 24% em X, 30% em Y e 40% em Z. Ele es -pera ter um rendimento, ao nal do perodo, de R$ 13.000,00. Considere que o ganho esperado na

aplicao X seja igual soma dos ganhos esperados em Y e Z. Nestas condies, determine o valora ser aplicado em cada uma das aplicaes, X, Y e Z.


1) 3 vestidos, 2 calas, 3 blusas e 2 saias

2) x = 20000 cestas doadas e y = 900 asilos

3) Misto quente: R$ 5,00; Refrigerante: R$ 2,00; Petit Gateau: R$ 8,00

4) Aplicao X: R$ 27.083,33; Aplicao Y: R$ 18.666,67; Aplicao Z: R$ 2.250,00


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Radiciao e potenciao5

Contedo

Potncia de expoente natural;Propriedades;Potncia de expoente inteiro negativo;Raiz ensima e expoentes racionais;Propriedades;Potncia de expoente racional.

Objetivos

Entender o conceito de potncia;Resolver problemas que envolvam potncias com expoentes inteiros;Entender o conceito de raiz ensima principal bem como escrever expres-ses que envolvam potncias com expoentes racionais na forma de radicale vice-versa;Utilizar as propriedades da potenciao e radiciao na resoluo de pro-blemas;Resolver problemas cujas funes envolvam clculo com expoentes.


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Faremos, neste captulo, um estudo sobre potenciao e radiciao, bem como suas pro-priedades. Compreender as propriedades da potenciao fundamental para o entendimento dasfunes exponencial e logartmica, que sero estudadas no Captulo 6. Veremos tambm que a dis-

ciplina de Matemtica Financeira utiliza frmulas que envolvem clculo com expoentes.

Potncia de expoente natural5.1.

Defnio: Dados um nmero real a e um nmero natural n, diferente de zero, chama-se po-tncia de base a e expoente n o nmero an que igual ao produto de n fatores iguais a a, ou seja:

n

n fatores

a a a a a

=

O nmero natural n chamado de expoente, o nmero a chamado de base e lemos an como

a elevado ensima potncia.

Observao 1: Para qualquer nmero real no nulo a, denimos, para n = 0, a0 = 1. No casode n = 1 temos que a1 = a.

Exemplo 1: Vamos calcular as potncias abaixo:

a) 32

Pela denio temos que a = 3 e n = 2. Portanto, o nmero 32 igual ao produto de 2 fatores

iguais a 3, ou seja,32 = 3 3 = 9

b) 40Pela denio vista na observao 1, temos que para qualquer valor de a 0, o valor an = 1.

Ento, com a = 4:40 = 1

c) 51Como no item b, utilizando a observao 1 temos, por denio, que a1 = a. Neste caso, a = 5.

Portanto:

51 = 5

d) 04

Aqui temos que a = 0 e n = 4. Portanto, o nmero 04 igual ao produto de 4 fatores iguais a0, ou seja,

04 = 0 0 0 0 = 0


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Propriedades5.1.1.

A seguir apresentaremos propriedades utilizadas no clculo de potncias.

Quadro 1: Propriedades com potncias de expoentes naturais

Sendo a e b nmeros reais e m e n nmeros naturais, valem as seguintes propriedades:

1. am an = am + n

2.m

m n

n

aa (a 0 e m n)

a

=

3.n

m m n

a a

=

4.n n

n

a a(b 0)

b b

=

5. (a b)n = an bn

As restries impostas para a e b nas propriedades 2 e 4, respectivamente, se devem ao fato de nopodermos efetuar a diviso quando o denominador zero. Na propriedade 2 devemos ter m n para ob-termos no valor do expoente um nmero natural (0, 1 , 2, ...). O clculo de potncias com valores inteirosnegativos para os expoentes ser visto no prximo item.

Potncia de expoente inteiro negativo5.2.

Defnio: Dados um nmero real a, no nulo, e um nmero natural n, chama-se potncia debase a e expoente n o nmero an, que o inverso de an, ou seja:

nn

1a

a

=

As propriedades enunciadas no Quadro 1 continuam vlidas para quaisquer expoentes m e ninteiros (positivos ou negativos).

Exemplo 2: Vamos calcular as potncias abaixo:a) 32

Pela denio temos que o nmero 32 o inverso de 32, ou seja,2

2

1 13

93

= =

b) (4)2O nmero (4)2 o inverso de (4)2. Ento:

( )( )

2

2

1 14

164

= =

pois (4)2 = (4) (4) = 16


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Raiz ensima e expoentes racionais5.3.

Um processo relacionado ao de calcular potncias o de extrair razes. Por exemplo, quandobuscamos a raiz cbica do nmero 27, ou seja, , estamos procurando um nmero cujo cubo seja

igual a 27. Este nmero 3 pois 33

= 27 e ento = 3. A expresso chamada radical, onde o smbolo da raiz, a o radicando e n o ndice. Quando nenhum ndice for indicado, ovalor de n 2 e a expresso chamada raiz quadrada.

Quando estamos resolvendo uma expresso , com a , e n um nmero mpar obtemossomente um nmero real como resposta. Chamamos este nmero de raiz ensima principal ousimplesmente raiz ensima. Por exemplo, 3 8 pois (2)3 = (2) (2) (2) = 8.

Quando o ndice n for um nmero par existem duas possibilidades:

Se1. a for negativo, no existe nenhum nmero real igual a . Por exemplo, no con-seguimos calcular a 9 pois no existe nenhum nmero real b tal que b2 = 9. Neste

caso temos que no um nmero real.

Se a for positivo, existem dois nmeros reais que elevados 2. ensima potncia so iguaisa a. Por exemplo, 16 = 4 pois (4)2 = (4) (4) = 16 e (4)2 = (4) (4) = 16. Quandoestamos interessados numa nica raiz ensima, denimos a raiz ensima principal, ,como o nmero positivo b tal que bn = a.

A partir das possibilidades discutidas acima temos a seguinte denio para raiz ensimaprincipal:

= b b 0 e bn = a

Observao 2: Quando estamos calculando a raiz de um nmero, devemos sempre fornecera sua raiz principal.

Propriedades5.3.1.A seguir apresentaremos propriedades utilizadas no clculo da raiz ensima.

Quadro 2: Propriedades da raiz ensima

Sendo a e b nmeros reais no negativos, m inteiro e n e p nmeros naturais no nulos, valem asseguintes propriedades:

1.n pn m m p

a a

=

2. n n na b a b =

3.

4.m

n mn

a a=

5.p p nn

a a

=


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Exemplo 3: Vamos calcular as razes abaixo:a) 169Usando a denio temos que 169 13, pois 132 = 169.

b) 7 0 = 0, pois 07 = 0.

c) 5 32 = 2, pois 25 = 32.

d) 64 no um nmero real pois n = 2 e a = 64. Ento, no existe nenhum nmero realb tal que b2 = 64.

Potncia de expoente racional5.4.

Agora que j vimos a denio de raiz ensima, vamos calcular a raiz q-sima de ap utili-

zando a notao de potncia de expoente racional.

Defnio: Dados um nmero real positivo a, um nmero inteiro p e um nmero natural n,

com q 1, chama-se potncia de base a e expoentep

qa raiz q-sima de ap, ou seja,

As propriedades vistas no Quadro 1 continuam vlidas para expoentes racionais.

Exemplo 4: Vamos calcular o valor de3 3

2 4y 4 16= .

Resoluo: Podemos efetuar este clculo de duas maneiras: escrevendo as potncias emforma de raiz ou usando as propriedades das potncias.

1a maneira: escrevendo as potncias em forma de raiz (utilizando a denio de potncia deexpoente racional).

y = 8 8 = 0

O clculo de razes pode ser efetuado com o auxlio de qualquer calculadora cientca.

2a maneira: usando as propriedades de potncia do Quadro 1.

y = 8 8 = 0

Neste caso decompomos os nmeros 4 e 16 em potncia de base 2 para podermos utilizar aspropriedades das potncias. Ento:

4 = 22 = 2 2 e 16 = 24 = 2 2 2 2


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Observao 3: muito comum, no clculo de potncias e razes, o resultado nal apresentaruma dzima innita no-peridica. Neste caso, devemos trabalhar xando uma quantidade decasas decimais. Quando maior esta quantidade, mais preciso ser o resultado obtido.

No Exemplo 5 veremos aplicaes dos conceitos de potenciao aplicados na disciplina deMatemtica Financeira.

Exemplo 5: Se um capital inicial P for investido por n anos a uma taxa de juros compostos(em decimal) ao ano, o valor futuro resultante dado por FV = P (1 + i)n, e o rendimento ganho J = FV P. Vamos calcular, nos itens abaixo, FV e J para valores de P, n e i dados.

a) P = R$ 1.200,00, n = 5 anos, i = 12% ao anoResoluo: Para efetuarmos o clculo do FV (valor futuro) basta substituir na frmula os

valores dados no item. Portanto:

FV = P (1 + i)n

FV = 1.200 (1 + 0,12)5FV = 1.200 (1,12)5

FV = 1.200 1,762342FV = 2.114,81

O rendimento ganho calculado atravs da frmula J = FV P.Ento, J = 2.114,81 1,200,00 = 914,81.

Portanto, um capital inicial de R$ 1.200,00, quando aplicado a uma taxa de 12% ao ano, porum perodo de 5 anos, resulta um valor futuro de R$ 2.114,81 e um rendimento ganho de R$ 914,81.

b) P = R$ 2.500,00, n = 12 anos, i = 11,5% ao anoResoluo: Seguindo o mesmo procedimento do item a) vamos substituir os dados na frmula:

FV = P (1 + i)n

FV = 2.500 (1 + 0,115)12FV = 2.500 (1,115)12

FV = 2.500 3,692312FV = 9.230,78

e

J = 9.230,78 2.500,00 = 6.730,78.

Ento, um capital inicial de R$ 2.500,00 aplicado a uma taxa de 11,5% ao ano, por um pero-do de 12 anos, resulta um valor futuro de R$ 9.230,78 e um rendimento de R$ 6.730,78.

Os clculos dos itens a) e b) acima podem ser efetuados numa calculadora cientca ou nanceira.


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Para a resoluo do Exemplo 6 precisamos denirFuno de Produo.De acordo com Morettin et al. (2004, p. 93) denomina-se funo de produo relao

entre a quantidade fsica dos fatores de produo, tais como capital, trabalho, e outros, e a quanti-

dade fsica do produto na unidade de tempo. Se considerarmos xos todos os fatores menos um, aquantidade produzida ser funo desse fator. Chamando de P a quantidade produzida na unidadede tempo e x a quantidade do fator varivel utilizada na unidade de tempo, teremos a funo de pro-duo P = f(x). Chamamos de produtividade mdia do fator varivel o valor indicado por Pm dadopor Pm = P / x.

Exemplo 6: Vamos considerar a seguinte funo de produo3

5P 12 x= , em que P o n-mero de cadeiras produzidas por semana numa marcenaria (com certo nmero xo de empregados)e x, o nmero de serras eltricas utilizadas.

a) Quantas cadeiras sero produzidas por semana se forem utilizadas 7 serras? E se o nme-

ro de serras for igual a zero?Resoluo: Neste caso temos x = 7 cadeiras. Substituindo na frmula obtemos:

3

5P 12 7=

Podemos reescrever esta frmula escrevendo a potncia em forma de raiz (utilizando a de-nio de potncia de expoente racional):

5 3

5

P 12 7

P 12 343

P 12 3, 2141

P 38,5692

=

=

=

=

Portanto, quando forem utilizadas 7 serras eltricas, sero produzidas aproximadamente38,57 cadeiras.

No caso de x = 0 temos:

Portanto, quando no forem utilizadas serras eltricas, a marcenaria no produz nenhuma cadeira.

b) O que acontecer com a quantidade produzida se o nmero de serras car 32 vezes maior?Resoluo: Se o nmero de serras car 32 vezes maior teremos uma nova frmula para a

produo, dada por:

( )3

5P 12 32x=

Podemos reescrever esta frmula decompondo o nmero 32 e utilizando a propriedade 5 do

Quadro 1. Com isso obtemos:


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Ento, se o nmero de serras car 32 vezes maior, a quantidade produzida car 8 vezes maior.

Podemos, tambm, resolver este problema escrevendo a potncia em forma de raiz e utilizara propriedade 2 do Quadro 2,ou seja,


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Exerccios propostos

1) Escreva os itens abaixo como potncia de base 2:a) 16

b) 14

c) 5 32

d)

e)2

38

f)3

264

g)5

2

2) Calcule o valor de cada uma das expresses a seguir:a) 3 22 + 5 32

b)2 2

3 34 6

2 2

+

c)2 2 2

3

4 2 2

2

+

d) ( ) ( )2 20

2

5 3 5

2

+

3) Escreva as seguintes expresses na forma de radical:

a)3

4x

b)1

2x

c)1

32

d)5

43

4) Simplique as expresses:

a)

32 2

4

10 10 10

10

b)2

4 5 3

55

2 2 2

2


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c)

1

2 3 2

4 3

4 4 4

4 4

5) Considere a funo de produo dada por12P 60 x= , em que P o nmero de sacos de

soja produzidos por ano numa fazenda e x o nmero de pessoas empregadas por ano.a) Quantos sacos sero produzidos se forem empregadas 9 pessoas por ano? Qual a produ-

tividade mdia?b) O que acontecer com a quantidade produzida se o nmero de pessoas empregadas car

9 vezes maior?

6) Uma pessoa ir necessitar de R$ 12.000,00 daqui a 7 meses. Quanto dever ela depositar hojenuma conta de poupana, para resgatar o valor desejado no prazo, admitindo uma taxa de juros de 3,5%

ao ms? O clculo do capital inicial que deve ser investido determinado por P = FV (1 + i)n

.

7) Calcule os juros (rendimento ganho) e o valor futuro de uma aplicao nanceira a juroscompostos, nas seguintes condies:

a) P = R$ 500,00, n = 6 meses, i = 2% ao msb) P = R$ 0.000,00, n = 2 anos, i = 11% ao anoc) P = R$ 3.500,00, n = 1 ano, i = 5% ao ms

8) Sabendo que necessito de R$ 25.000,00 para nanciar a importao de um produto daquia 7 meses, quanto devo aplicar hoje em um fundo que remunera taxa de 4% ao ms para compor

tal quantia? P = FV (1 + i)n


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1)

a) 24

b) 22

c) 2d) 21/2

e) 22

f) 29

g) 25/2

2)a) 113/9

b) 35/3

c) 1/2

d) 904

3)a) 4 3x

b)1

x

c) 3 2

d) 4 243

4)a) 105

b) 215

c) 25

5)a) 180 sacos. A produtividade mdia de 20 sacos de soja.b) A quantidade triplicar.

6) R$ 9.431,89

7)a) FV = R$ 563,08 J = R$ 63,08b) FV = R$ 24.642,00 J = R$ 4.642,00c) FV = R$ 6.285,50 J = R$ 2.785,50

8) R$ 18.997,95


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Funes exponencial e logartmica6

Contedo

Funo exponencial;Grcos da funo exponencial;Aplicaes da funo exponencial;Funo logartmica;Grcos da funo logartmica;Propriedades dos logaritmos;Aplicaes da funo logartmica e dos logaritmos.

Objetivos

Identicar uma funo exponencial, construir e analisar seu grco;Resolver problemas que envolvam crescimento ou decrescimento expo-nencial;Identicar uma funo logartmica, construir e analisar seu grco;Compreender a relao existente entre funo exponencial e logartmica;Utilizar as propriedades do logaritmo na resoluo de problemas.


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Neste captulo iremos abordar duas funes que tm bastante aplicao em problemas prti-cos: funo exponencial e funo logartmica. Estas funes so usadas, por exemplo, para estudaro crescimento de uma populao, a inao anual de um pas, o preo de um veculo aps determi -

nado tempo, etc.Deniremos funo exponencial e logartmica, suas propriedades e a construo e anlise deseus grcos.

Funo exponencial6.1.

Defnio: Dado um nmero real a, com a > 0 e a 1, chama-se de funo exponencial debase a a funo

f(x) = ax

No estudo de funes exponenciais valem as seguintes propriedades:

Para x = 0 temos que f(x) = a 0 = 1, ou seja, o par ordenado (0, 1) satisfaz a funo f(x) = axpara todo a (a > 0 e a 1). Portanto, o grco da funo f(x) = ax corta o eixo y no pontode ordenada 1.

Quando a > 1, a funo f(x) = a x crescente. Portanto, para dois nmeros reais x1 e x2temos:

Se x1 < x2 ento ax1 < ax2

As funes f(x) = 4x,x5

f (x)4

=

e f(x) = (2,5)x so exemplos de funes exponen-ciais crescentes.

Quando 0 < a < 1, a funo f(x) = a x decrescente. Portanto, para dois nmeros reaisx1 e x2 temos:

Se x1 < x2 ento ax1 > ax2

As funes f(x) = (0,5)x,x

3f (x)

4

=

e

x1

f (x)3

=

so exemplos de funes expo-

nenciais decrescentes.

Para todo a > 0 e a 1 temos:

Se ax1 = ax2 ento x1 = x2

O grco da funo f(x) = a x est sempre acima do eixo dos x. Quando a > 1, o valor deax aproxima-se de zero para valores negativos cada vez menores de x. Quando 0 < a < 1, ovalor de ax aproxima-se de zero para valores positivos cada vez maiores de x.


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Observao 1: As propriedades das funes exponenciais podem ser facilmente vericadasna construo e anlise de seus grcos.

Grfcos6.1.1.

Vamos construir o grco de duas funes exponenciais, uma dela com a > 0 e outra com0 < a < 1. Com isto poderemos vericar as propriedades citadas acima.

Exemplo 1: Vamos construir o grco da funo f(x) 2x.

Resoluo: A construo do grco da funo exponencial feita da mesma maneira da-queles construdos para funes lineares ou quadrticas, ou seja, atribumos valores para x, no seudomnio, e encontramos os respectivos valores de ax. No caso da funo exponencial podemos atri-

buir, para x, qualquer valor do conjunto dos nmeros reais.Para facilitar a construo do grco vamos montar um quadro com duas colunas. Na pri -meira coluna vamos atribuir alguns valores para x e na segunda coluna vamos calcular o valor dafuno f(x) = 2x no ponto escolhido. Aps a nalizao do quadro, basta colocar os pontos obtidosno plano cartesiano e lig-los.

x f(x) = 2x

33 1

2 0,1258

= =

22 1

2 0, 25

4

= =

1

1 12 0, 5

2

= =

0 20 = 1

1 21 = 2

2 22 = 4

3 23 = 8

A Figura 1 ilustra o grco da funo f(x) = 2x. Nesta funo, temos que a = 2. Portanto, afuno exponencial crescente e para quaisquer dois valores x1 < x2 temos que a

x1 < ax2. Por exem-plo, para x1 = 3 temos a

x1 = 23 = 0,125 e para x2 = 2 temos ax2 = 22 = 0,25, ou seja, 3 < 2 ento

f(3) < f(2). Observamos, atravs do grco, que o valor da funo aproxima-se de zero para valoresnegativos cada vez menores de x, porm, o grco nunca toca o eixo x.


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10

8

6

4

2

4 43210 1 2 3

Figura 1: Grco da funo exponencial f(x) = 2x.

Exemplo 2: Vamos construir o grco da funox

1f (x)

2

=

.

Resoluo: Para a construo deste grco seguiremos o mesmo roteiro do Exemplo 1,ou seja, construiremos um quadro atribuindo valores para x e calcularemo

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