matemática aplicada a administração, economia e contabilidade

isbn 13 978-85-221-1125-1isbn 10 85-221-1125-1

7 8 8 5 2 2 1 1 1 2 5 19Para suas soluções de curso e aprendizado, visite www.cengage.com.br

O livro apresenta, de forma clara e objetiva, os principais con-ceitos e aplicações práticas da matemática nas áreas adminis-trativa, econômica e contábil.

Para auxiliar o aluno a desenvolver o raciocínio lógico e as ha-bilidades de análise e tomada de decisão nas áreas empresarial e de negócios, a obra contém:

• umgrandenúmerodeaplicaçõespráticasesuas conexões com conceitos administrativos e econômicos;

• inúmerosexercíciosemcadacapítulo;• tópicosespeciaiscomproblemascomplementares,

ampliando e aprofundando os conceitos em cada capítulo;• conjuntodeatividadespararevisãodosprincipais

conceitos numéricos, algébricos e gráficos do ensino médio e fundamental.

Nesta segunda edição, um apêndice sobre a construção de grá-ficos com o Winplot ajuda o aluno a trabalhar e praticar os con-ceitos aqui abordados. Além disso, o livro conta com material complementar, disponível no site da Cengage Learning, com-posto por exercícios e instruções para a utilização do Microsoft Excelparaconstruirmodelosderegressão,econteúdoteóricoe prático de revisão algébrica e nivelamento matemático.

APLICAÇÕES: livro-texto para a disciplina matemática nos cursos de Administração, Economia e Ciências Contábeis. Destinado também a profissionais que atuam nessas áreas.

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Afrânio CArlos Murolo | GiáCoMo Bonetto

a administração, economia e contabilidade

MateMática aplicada

material complementar:– Recursos do Excel– Revisão algébrica e

Nivelamento matemático– Respostas dos exercícios




Outras obras

Análise numérica Tradução da 8a edição norte-americanaRichard L. Burden J. Douglas Faires

Cálculo – Volume 2 Tradução da 6a edição norte-americanaJames Stewart

Equações diferenciais com aplicações em modelagem Tradução da 9a edição norte-americanaDennis G. Zill

Estatística aplicada a administração e economia 2a edição David R. Anderson Dennis J. Sweeney Thomas A. Williams

Matemática discreta: uma introdução Tradução da 2a edição norte-americanaEdward R. Scheinerman

Matemática financeira aplicada: método algébrico, HP-12C, Microsoft Excel© 3a edição revista e ampliadaAnísio Costa Castelo Branco

Matemática financeira e engenharia econômica Nivaldo Elias Pilão Paulo R. V. Hummel

AFRÂNIO CARLOS MUROLO É bacharel em Matemática, com especialização em Estatística, pós-graduado em Administração de Empresas e em Didática e Metodologia do Ensino Superior e mestre em Engenharia de produção. Coautor de livros na área de Estatística, Pesquisa Operacional, Lógica e Tabelas de Estatística. Consultor de empresas e sócio-diretor da WORKOUT CONSULT – Desenvolvimento Organizacional. Professor de diversos cursos de pós- -graduação, nas disciplinas de pesquisa operacional, engenharia econômica, matemática financeira, jogos de empresas, estatística empresarial e análise de custos.

GIÁCOMO BONETTO É licenciado em Matemática, especialista em Educação Matemática, mestre e doutor na área de Educação Matemática pela Unicamp. Professor do IFSP e da rede Anglo de ensino. Coautor de livro na área de vestibulares.

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ade

Murolo, Afrânio CarlosMatemática aplicada a administração, economia e

contabilidade / Afrânio Carlos Murolo, GiácomoBonetto. – 2. ed. rev. e ampl. – São Paulo: CengageLearning, 2012.

ISBN 978-85-221-1339-2

1. Matemática – Estudo e ensino I. Bonetto,Giácomo . II. Título.

11-01184 CDD–510.07

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Índice para catálogo sistemático:

1. Matemática aplicada : Estudo e ensino 510.07

Mat_abre:Mat_abre 3/15/11 2:36 PM Page II

MATEMÁTICA APLICADA AADMINISTRAÇÃO, ECONOMIA E

CONTABILIDADE

2a EDIÇÃO REVISTA E AMPLIADA

AFRÂNIO CARLOS MUROLO GIÁCOMO BONETTO

Austrália • Brasil • Japão • Coreia • México • Cingapura • Espanha • Reino Unido • Estados Unidos

Mat_abre:Mat_abre 3/15/11 2:36 PM Page III

Matemática aplicada a administração, economiae contabilidade – 2a edição revista e ampliadaAfrânio Carlos Murolo e Giácomo Bonetto

Gerente Editorial: Patricia La Rosa

Editora de Desenvolvimento: Monalisa Neves

Supervisora de Produção Editorial: Fabiana Alencar Albuquerque

Revisão: Cristiane Morinaga e Ana LuciaSant’ana dos Santos

Diagramação: Cia. Editorial

Capa: MSDE/Manu Santos Design

© 2012 Cengage Learning Edições Ltda.Todos os direitos reservados.

Todos os direitos reservados. Nenhuma partedeste livro poderá ser reproduzida, sejam quaisforem os meios empregados, sem a permissão,por escrito, da Editora. Aos infratores aplicam-seas sanções previstas nos artigos 102, 104, 106 e107 da Lei no 9.610, de 19 de fevereiro de 1998.

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ISBN-13: 978-85-221-1339-2ISBN-10: 85-221-1339-4

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Impresso no Brasil.Printed in Brazil.2 3 4 5 6 7 15 14 13 12 11

Mat_abre:Mat_abre 3/15/11 2:36 PM Page IV

Aos meus pais, Armando e Leonídia in memoriam,à minha esposa, Maria Helena,

e meus filhos, Rafael e Fernanda,por toda a compreensão,

carinho e apoio.

Afrânio

Aos meus pais, Juvenal e Darci, por todo o seu amor...

Giácomo

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VII

Agradecimentos

Agradecemos a todos que, de forma direta ou indireta, nos incentivaram narealização e execução deste trabalho com críticas e sugestões. Em especial,agradecemos a Cláudio Arconcher, pela leitura crítica e atenta de todo otrabalho, pelas inúmeras e valiosas contribuições e sugestões; a AdenioAntonio Costa Júnior, pelo apoio técnico em várias etapas do trabalho, e aMaria de Fátima Moreira Silva, pela leitura crítica e sugestões em relaçãoaos conceitos econômicos nos Capítulos 9 e 12.

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Apresentação da 2a edição

Já se vão 7 anos desde a publicação da primeira edição de Matemática Apli-cada a Administração, Economia e Contabilidade.

A grande aprovação que o livro tem nos círculos acadêmicos motivouinúmeras reimpressões deste título, algumas fazendo pequenas correções,atendendo a solicitações e sugestões de professores e alunos que adotam aobra, sempre objetivando torná-la ainda mais didática, acessível e interes-sante aos que a utilizam como literatura principal ou complementar.

Chega então o momento de a Cengage Learning apresentar a todos a 2a edição do livro. Exaustivamente revisto e atualizado pelos autores, Mate-mática Aplicada a Administração, Economia e Contabilidade – 2a ediçãomantém suas características estruturais, corrige problemas e pequenos errose apresenta novidades.

Visando torná-la ainda mais didática, a presente edição está impressaem duas cores, o que facilita a visualização e interpretação de gráficos,tabelas e figuras e coloca o livro no padrão dos principais livros que tratamde cálculo matemático.

Conteúdo essencial foi adicionado, na forma de um apêndice impressoem quatro cores sobre a construção de gráficos com o Winplot, o que ajudao aluno a trabalhar e praticar os conceitos abordados no livro.

Além disso, o livro conta com material complementar, disponível no siteda Cengage Le arning a alunos e professores que adotam a obra (www.cen-gage.com.br), composto por exercícios e instruções para a utilização doMicrosoft Excel para cons truir modelos de regressão, além de apêndices comatividades utilizando o Winplot e conteúdos teóricos e práticos sobre revisãoalgébrica e nivelamento matemático.

Com isso, a Cengage Learning e os autores esperam contribuir para autilização, o aprendizado e a apreensão dos conteúdos apresentados nolivro, tão essenciais à formação de profissionais competentes nas áreas deAdministração, Economia e Ciências Contábeis.

O editor

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Prefácio

Agradeço a honrosa oportunidade de prefaciar a obra Matemática Apli -cada a Administração, Economia e Contabilidade, dos colegas e amigosAfrânio Murolo e Giácomo Bonetto. Tive o privilégio de compartilhar comos autores o sempre desafiador ambiente acadêmico, em que pude percebero perfil de educadores sérios e comprometidos com a aprendizagem dosseus alunos e com a disciplina pedagógica.

Este livro é o resultado da sua rica experiência docente e das inquietudesque sempre permeavam suas ações em sala de aula, no sentido de tornar oensino da matemática atrativamente assimilável e aplicável ao estudo dasorganizações e dos negócios e, principalmente, ao processo de tomada dedecisão, que tem se revelado cada vez mais complexo.

Matemática Aplicada a Administração, Economia e Contabilidade é umaobra que veio para exercer forte influência no ensino da matemática noscursos que pertencem às Ciências Sociais Aplicadas, devido, principalmente,à sua abordagem didática. Em um estilo claro e acessível, ela oferece osmeios necessários para que se possa compreender e dominar importantesconceitos e habilidades de cálculo, que fazem parte do ambiente da gestão edos negócios.

Merece também destaque a forma inteligente pela qual os autores estru-turaram a apresentação da obra, o que certamente facilitará sua utilizaçãocomo livro-texto nos cursos de Administração, Economia e Contabilidade.Todos os capítulos e seus respectivos desdobramentos encontram-se devi-damente consubstanciados com conceitos e definições, bem como com apli-cações materializadas com pertinentes e elucidativos exemplos, além deexercícios para a sedimentação da aprendizagem. Ainda é elogiável ainserção de um Tópico Especial em cada capítulo e a sua aplicação, assim

XI

Mat_abre:Mat_abre 3/15/11 2:36 PM Page XI

XII

Matemática Aplicada a Administração, Economia e Contabilidade

como o Apêndice, com atividades para revisar os conteúdos de matemáti-ca do ensino fundamental e médio.

A contribuição acadêmica e pedagógica desta obra permitirá um impor-tante avanço didático para a pavimentação do ensino e da aprendizagemda matemática nos cursos de Administração, Economia e Contabilidade.Esta é, em essência, a nobre intenção pedagógica dos seus autores, nãoobstante a complexidade em que se insere a aludida temática.

Desejo que alunos e professores tenham, com esta obra, a oportunidadepara desenvolver, por meio do estudo, da compreensão e da aplicação damatemática, competências e habilidades, materializadas pela capacidadeem reconhecer e definir problemas, equacionar soluções, decidir em facedos diferentes graus de complexidade, desenvolver raciocínio lógico, críti-co e analítico e estabelecer relações formais e causais entre fenômenos pro-dutivos, administrativos e de controle no âmbito da gestão.

Finalmente, gostaria de cumprimentar os autores, Prof. Afrânio Muroloe Prof. Giácomo Bonetto, pela iniciativa e qualidade da obra MatemáticaAplicada a Administração, Economia e Contabilidade e agradecer por con-tribuírem para a formação de profissionais cada vez mais competentes esocialmente responsáveis de nosso país.

Prof. Adm. Mauro KreuzPresidente da Associação Nacional dos

Cursos de Graduação em Administração – Angrad

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Sumário

CAPÍTULO 1 – CONCEITO DE FUNÇÃO 1Conceito de Função 2Tipos de Função 4Função Crescente ou Decrescente 4Função Limitada 4Função Composta 7

TÓPICO ESPECIAL – Dispersão e Correlação Linear 11

Diagrama de Dispersão 11Correlação Linear 14

CAPÍTULO 2 – FUNÇÃO DO 1o GRAU 19Modelos Lineares 20Funções do 1o Grau 20Juros Simples 24Restrição Orçamentária 25Caracterização Geral 27Obtenção da Função do 1o Grau 29Exemplos de como Obter Funções do 1o Grau 29Sistemas Lineares e Funções do 1o Grau 31

TÓPICO ESPECIAL – Regressão Linear Simples 37Modelo de Regressão Linear Simples 37Passos para Ajuste da Reta de Regressão 37Passos para Ajuste do Modelo de Regressão Linear Simples pelo M.M.Q. 38

XIII

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XIV

CAPÍTULO 3 – FUNÇÃO DO 2o GRAU 45

Modelos de Funções do 2o Grau 46Um Modelo de Função do 2o Grau 46

Caracterização Geral 51

Exemplos de Funções do 2o Grau 53

TÓPICO ESPECIAL – Regressão Quadrática 62

A Regressão Quadrática 62

CAPÍTULO 4 – FUNÇÃO EXPONENCIAL 69

Modelos de Funções Exponenciais 70Utilizando um Fator Multiplicativo 70Montante e Função Exponencial 73Função Exponencial e Depreciação de uma Máquina 75Função Exponencial e Juros Compostos 77


Obtenção da Função Exponencial 801o Caso: Identificando Evolução Exponencial 802o Caso: Função Exponencial a partir de Dois Pontos 823o Caso: Função Exponencial a partir do Fator Multiplicativo 83

Logaritmos e Logaritmo Natural 86Logaritmos 86Propriedades dos Logaritmos 88

TÓPICO ESPECIAL – Regressão Exponencial 95

A Regressão Exponencial 95

CAPÍTULO 5 – FUNÇÕES POTÊNCIA, POLINOMIAL, RACIONAL E INVERSA 103

Modelos de Função Potência 104Produção, Insumo e Proporcionalidade 104Produção e Taxas Crescentes 105Produção e Taxas Decrescentes 107A Lei de Pareto, Assíntotas e Limites 109


Mat_abre:Mat_abre 3/15/11 2:36 PM Page XIV

Caracterização Geral 1141o Caso: Potências Inteiras e Positivas 1152o Caso: Potências Fracionárias e Positivas 1163o Caso: Potências Inteiras e Negativas 117

Modelos de Função Polinomial 119Função Polinomial e Preço de um Produto 120


Modelos de Função Racional 121Função Racional e Receita 122


Função Inversa 128Obtendo a Inversa de uma Função Exponencial 128Existência da Função Inversa 130

TÓPICO ESPECIAL – Regressão Potência e Hipérbole 137

Modelo de Regressão Potência 137

Modelo de Regressão Hipérbole 141

CAPÍTULO 6 – O CONCEITO DE DERIVADA 151

Taxa de Variação 152Taxa de Variação Média 152Taxa de Variação Média em um Intervalo 152Taxa de Variação Instantânea 154

Derivada de uma Função em um Ponto 158Derivada de uma Função como Taxa de Variação Instantânea 158

Interpretação Gráfica da Derivada 159Taxa de Variação Média como Inclinação da Reta Secante 159Taxa de Variação Instantânea como Inclinação da Reta Tangente 161Derivada como Inclinação da Reta Tangente 164Reta Tangente à Curva em um Ponto 167Diferentes Derivadas para Diferentes Pontos e a Função Derivada 169Função Derivada 170

TÓPICO ESPECIAL – Linearidade Local 180

Linearização em q = 2 189Linearização em q = 6 189

Sumário

XV

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XVI

CAPÍTULO 7 – TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO 195

Regras de Derivação 196Função Constante 196Função do 1o Grau 197Constante Multiplicando Função 197Soma ou Diferença de Funções 198Potência de x 199Função Exponencial 201Função Exponencial na Base e 201Logaritmo Natural 202Produto de Funções 203Quociente de Funções 204Função Composta – Regra da Cadeia 205A Notação de Leibniz 209Regra da Cadeia com a Notação de Leibniz 211Derivada Segunda e Derivadas de Ordem Superior 214Diferencial 215

TÓPICO ESPECIAL – Derivação Implícita 218

CAPÍTULO 8 – APLICAÇÕES DAS DERIVADAS NO ESTUDO DAS FUNÇÕES 227

Máximos e Mínimos 228Máximo e Mínimo Locais 228Máximo e Mínimo Globais 229Pontos onde a Derivada Não Existe Analisados Graficamente 230Derivada e Crescimento/Decrescimento de uma Função 232Pontos Críticos 233Teste da Derivada Primeira 234Derivada Segunda e Concavidade de um Gráfico 240Derivada Segunda e Comportamento da Derivada Primeira 240Derivada Segunda e Taxas de Crescimento/Decrescimento 242Teste da Derivada Segunda 244Ponto de Inflexão 245Como Encontrar um Ponto de Inflexão 245Observações gerais 250

TÓPICO ESPECIAL – Ponto de Inflexão e seu Significado Prático 254


Mat_abre:Mat_abre 3/15/11 2:36 PM Page XVI

CAPÍTULO 9 – APLICAÇÕES DAS DERIVADAS NAS ÁREAS ECONÔMICA EADMINISTRATIVA 257

Funções Marginais 258O Custo Marginal na Produção de Eletroeletrônicos 258Função Custo Marginal e Outras Funções Marginais 261Custo Marginal 263Receita Marginal 264Lucro Marginal 266Custo Médio Marginal 268

Elasticidade 272Elasticidade-Preço da Demanda 272Classificação da Elasticidade-Preço da Demanda 276Elasticidade-Renda da Demanda 276Relação entre Receita e Elasticidade-Preço da Demanda 277

Propensão Marginal a Consumir e a Poupar 282

TÓPICO ESPECIAL – Modelo de Lote Econômico 290

Lote Econômico de Compra 290

CAPÍTULO 10 – O CONCEITO DE INTEGRAL 301

Integral Definida a partir de Somas 302Variação da Produção a partir da Taxa de Variação 302Estimativa para a Variação da Produção a partir da Taxa de Variação 305Variação da Produção e Integral Definida 307

Integral Definida como Área 311Integral Definida para f(x) Positiva 311Integral Definida para f(x) Negativa 313Cálculo da Área entre Curvas 316

Valor Médio e Integral Definida 318

Primitivas e Teorema Fundamental do Cálculo 320Primitivas 320Teorema Fundamental do Cálculo 321

TÓPICO ESPECIAL – Regra de Simpson (Integração Numérica) 327

Sumário

XVII

Mat_abre:Mat_abre 3/15/11 2:36 PM Page XVII

XVIII

CAPÍTULO 11 – TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 331Integral Indefinida 332Primitivas e Integral Indefinida 332Regras Básicas de Integração 333Função Constante 333Potência de x 334Constante Multiplicando Função 335Soma ou Diferença de Funções 336Função f(x) = 1x 337Função Exponencial 338Função Exponencial na Base e 338Integração por Substituição 339Um Exemplo do Método da Integração por Substituição 339Passos para Aplicar o Método da Substituição 340Integração por Partes 343Integral do Logaritmo Natural 348Integrais Definidas 349

TÓPICO ESPECIAL – Integrais Impróprias 355

CAPÍTULO 12 – APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS 359Integrando Funções Marginais 360Integral Definida da Taxa de Variação como a Variação Total da Função 360Excedente do Consumidor 364Excedente do Produtor 371Valor Futuro e Valor Presente de um Fluxo de Renda 376Capitalização Contínua 376Valor Futuro de um Fluxo de Renda 378Valor Presente de um Fluxo de Renda 379TÓPICO ESPECIAL – O Índice de Gini e a Curva de Lorenz 385

APÊNDICE A – Atividades para Revisão 395

APÊNDICE B – Recursos Computacionais de Apoio à Construção de Gráficos com Utilização do SoftwareWinplot 417


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RESPOSTAS – Exercícios Ímpares 451

Referências Bibliográficas 505

Sumário

XIX

Material complementarNo site da editora (www.cengage.com.br), alunos e professores queadotam a obra encontram material adicional para o trabalho com oMatemática Aplicada a Administração, Economia e Contabilidade. Estão disponíveis:

• Apêndice C – Recursos Computacionais de Apoio à Construção deModelos de Regressão Utilizando o Microsoft Excel

• Apêndice D – Revisão Algébrica/Nivelamento Matemático –Expressões Algébricas

• Apêndice E – Revisão Algébrica/Nivelamento Matemático –Equações

• Apêndice F – Revisão Algébrica/Nivelamento Matemático –Inequações

• Soluções do Apêndice B – Atividades no Winplot

• Soluções do Apêndice C – Regressão Linear, Exponencial, Potência,Polinomial e Logarítmica

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capí tu lo 1

Conceito de Função

Objetivo do CapítuloNeste capí tu lo, você nota rá como mui tas situa ções prá ti cas nas áreas deadmi nis tra ção, eco no mia e ciên cias con tá beis podem ser repre sen ta das porfun ções mate má ti cas. Nas aná li ses ini ciais des sas fun ções, serão res sal ta doscon cei tos como crescimento e decrescimento, função limi ta da e função com -pos ta, sem pre asso cia dos a apli ca ções nas áreas admi nis tra ti va, eco nô mi cae con tá bil. No Tópico Especial, por meio de diagramas de dis per são e docoeficiente de cor re la ção linear, você ana li sa rá mais aspec tos da asso cia çãoentre variá veis mate má ti cas.

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2


Conceito de FunçãoNa aná li se de fenô me nos eco nô mi cos, mui tas vezes usa mos fun ções mate má -ti cas para des cre vê-los e inter pre tá-los. Nesse sen ti do, as fun ções mate má ti -cas são usa das como fer ra men tas que auxi liam na reso lu ção de pro ble masliga dos à admi nis tra ção de empre sas. Nesta seção des cre ve mos o con cei to defun ção e algu mas de suas repre sen ta ções.

No exem plo a seguir, a Tabela 1.1 traz a distribuição dos preços do pro-duto “A” no decorrer dos meses num ano na cidade de São Paulo.

Tabela 1.1 Preço médio do produto “A” em São Paulo

Mês (t) Jan. Fev. Mar. Abr. Maio Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dez.

Preço (p) ($) 6,70 6,75 6,80 6,88 6,95 7,01 7,08 7,14 7,20 7,28 7,36 7,45

A cada mês, observamos um preço do produto. Assim, pode mos dizerque cada preço, p, está asso cia do a um mês, t, ou ainda que o preço depen -de do mês que esco lhe mos.

Nesse exem plo, se subs ti tuir mos cada mês por um núme ro, pode mosenten der a rela ção entre o mês e o preço como uma asso cia ção entre duasvariá veis numé ri cas; assim temos uma nova tabe la:

Tabela 1.2 Preço médio do produto “A” em São Paulo

Mês (t) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Preço (p) ($) 6,70 6,75 6,80 6,88 6,95 7,01 7,08 7,14 7,20 7,28 7,36 7,45

Vale res sal tar que, a cada valor da variá vel “mês”, temos um únicovalor da variá vel “ preço” asso cia do, o que carac te ri za uma fun ção mate -má ti ca ou mais pre ci sa men te:

A cada valor da gran de za t está asso cia do um único valor da gran de za P,carac te ri zan do P como fun ção de t, o que é indi ca do por P = f(t).

Nesse con tex to, a variá vel t é cha ma da de inde pen den te e a variá vel p écha ma da de depen den te; o con jun to dos valo res pos sí veis para a variá vel inde -pen den te é o domí nio da fun ção; a ima gem da fun ção é o con jun to dos valo -res da variá vel depen den te que foram asso cia dos à variá vel inde pen den te.

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No exem plo ante rior, por meio da tabe la, fize mos uma repre sen ta çãonumé ri ca da fun ção, que pode ser repre sen ta da tam bém por meio de umgrá fi co:

Capítulo 1 – Conceito de Função

3

Figura 1.1 Preço médio do produto “A” em São Paulo.

As fun ções tam bém são repre sen ta das por fór mu las que rela cio nam asvariá veis. No exem plo dado não exis te uma fór mu la que rela cio ne demanei ra exata as variá veis t e P, mas pode mos apro xi mar tal rela ção coma fór mu la

p = 0,0676 t + 6,6104

cujo grá fi co é repre sen ta do por uma reta que se apro xi ma dos pon tos játra ça dos na Figura 1.1:

Figura 1.2 Reta que aproxima o preço médio do produto “A” – São Paulo.

Mat_01:Mat_01 3/15/11 1:15 PM Page 3

4


Lembramos que, para o tra ça do da reta no grá fi co, o domí nio queantes era dado por D(f) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} foi subs ti -tuí do pelo con jun to do núme ros reais. Consideraremos o con jun to dosnúme ros reais, ou seus inter va los, como o domí nio para as fun ções apre -sen ta das neste livro.

Tipos de FunçãoMuitas fun ções podem ser identificadas por apre sen tar carac te rís ti casseme lhan tes. Nesta seção estu da re mos as fun ções cres cen tes, decres cen tes,limi ta das e com pos tas.

Função Cres cen te ou Decres cen te

Na fun ção do exem plo ante rior, per ce be mos que, à medi da que o núme rot do mês aumen ta, o preço p da carne tam bém aumen ta; nesse caso, dize -mos que a fun ção é cres cen te.

Tomando como exem plo a deman da, q, de um pro du to em fun ção deseu preço, p, rela cio na dos pela fór mu la

q = –2p + 10

pode mos esbo çar o grá fi co

Figura 1.3 Demanda de um pro du to em fun ção de seu preço.

Percebemos que, à medi da que o preço p aumen ta, a deman da q dimi -nui. Nesse caso, dize mos que a fun ção é decres cen te.

Função Limi ta da

Vamos ana li sar a fun ção da venda total, v, de um CD, no decor rer dosmeses, t, dada pela seguinte expres são:

Mat_01:Mat_01 3/15/11 1:15 PM Page 4

v = 2501 + 500 . 0,5t

.

Construindo uma tabe la, obte mos as ven das apro xi ma das (em milha resde CDs) para o núme ro de meses após o lan ça men to do CD.

Tabela 1.3 Vendas totais apro xi ma das de um CD após seu lan ça men to


5

t (meses) 0 1 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

v (ven das totais 0,5 1 2 8 28 84 168 223 243 248 250 250em milha res)

Podemos repre sen tar tais valo res no grá fi co

Figura 1.4 Vendas totais apro xi ma das de um CD após seu lan ça men to.

De acor do com essa fun ção, as ven das nunca ultra pas sam 250.000CDs. Na ver da de, o valor cor re to para t = 18 é v = 249.524 e para t = 20é v = 249.881.

Como nota mos, por maior que seja o valor de t, o valor da fun ção jamais ultra pas sa 250. Nesse caso, dize mos que a fun ção é limi ta da supe -rior men te e que o valor 250 é um limi tan te supe rior. Podemos dizer que outros valo res – por exem plo, 251, 260, 300 ou 1.000 – tam bém são limi -tan tes supe rio res, porém cha ma mos o valor 250 de supre mo por ele ser omenor dos limi tan tes supe rio res.

Agora, ana li sa re mos o custo por uni da de, cu, de um ele tro do més ti co emfun ção da quan tidade pro du zi da, q, cuja rela ção é dada por

cu = 240 + 50q

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Construindo uma tabe la, obte mos os cus tos uni tá rios para os núme rosde uni da des pro du zi das.

Tabela 1.4 Custos uni tá rios para pro du ção de um ele tro do més ti co


q (uni da des) 10 20 40 60 80 100 150 200 250 300

cu (custo por 74,00 62,00 56,00 54,00 53,00 52,40 51,60 51,20 50,96 50,80

uni da de) ($)


Figura 1.5 Custos uni tá rios para pro du ção de um ele tro do més ti co.

De acor do com essa fun ção, o custo uni tá rio nunca é menor que 50,00.Na ver da de, se cal cu la mos o custo por uni da de para pro du zir q = 10.000uni da des, obte mos o custo apro xi ma do de cu = 50,02.

Como nota mos, por maior que seja o valor de q, o valor da fun ção jamais será infe rior a 50. Nesse caso, dize mos que a fun ção é limi ta da infe -rior men te e que o valor 50 é um limi tan te infe rior. Podemos dizer que outros valo res – por exem plo, 49, 40, 30 ou 0 – tam bém são limi tan tesinfe rio res, porém cha ma mos o valor 50 de ínfi mo por ele ser o maior doslimi tan tes infe rio res.

Analisaremos agora a fun ção do valor, v, de uma ação nego cia da nabolsa de valo res, no decor rer dos meses, t, dada pela expres são

v = t2 – 6t + 12 .t2 – 6t + 10

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Construindo uma tabe la, obte mos o valor apro xi ma do para o núme rode meses após o lan ça men to para a nego cia ção da ação na bolsa de valo res.

Tabela 1.5 Valor apro xi ma do de uma ação na bolsa de valo res


7

t (meses) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15

v (valor em $) 1,20 1,40 2,00 3,00 2,00 1,40 1,20 1,12 1,08 1,05 1,04 1,01


Figura 1.6 Valor apro xi ma do de uma ação nego cia da na bolsa de valo res.

Analisando mais aten ta men te essa fun ção, per ce be mos que o valor daação jamais ultra pas sa $ 3,00 e, ao mesmo tempo, nunca é infe rior a $ 1,00. Portanto, temos uma fun ção que é limi ta da supe rior men te e infe -rior men te, o que nos leva a chamá-la de fun ção limi ta da.

Função Composta

Agora, con si de re mos duas fun ções: a pro du ção p de um pro du to, em fun -ção da quan ti da de q de insu mo dis po ní vel, e a quan ti da de ven di da v domesmo pro du to, em fun ção daqui lo que foi pro du zi do, p.

Vamos supor que a pro du ção, depen den do do insu mo, seja dada por

p = –q2 + 8q + 9

e que a venda, depen den do da pro du ção, seja dada por

v = 0,7p.

Se for dada uma quan ti da de q = 1 de insu mo, pode mos cal cu lar a pro -du ção cor res pon den te:

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p = –12 + 8 . 1 + 9p = 16.

Sabendo a pro du ção p = 16, pode mos deter mi nar a venda cor res pon den te:

v = 0,7 . 16v = 11,2.

Realizando os mes mos cál cu los para uma quan ti da de de insu mo q = 4,obte mos a pro du ção p = 25 e a venda v = 17,5.

Notamos, então, que dada uma quan ti da de de insu mo, é pos sí vel cal cu -lar as ven das, desde que cal cu le mos pri mei ra men te a pro du ção. Entretanto,é pos sí vel obter uma fun ção que per mi te cal cu lar dire ta men te as ven das apar tir da quan ti da de de insu mo, não sendo neces sá rio o cál cu lo da pro du -ção. Essa fun ção é conhe ci da como com pos ta das fun ções v e p, sim bo li za -da como v = v(p) = v(p(q)). Tal fun ção com pos ta é obti da subs ti tuin do afun ção da pro du ção na expres são que dá a venda:

Substituindo p = – q2 + 8q + 9 em v = 0,7p, obte mos

v = 0,7(–q2 + 8q + 9)v = –0,7q2 + 5,6q + 6,3.

Como pode mos notar, nessa últi ma expres são, a venda v depen de daquan ti da de q.

Podemos con fir mar a vali da de da expres são obti da cal cu lan do a vendapara a quan ti da de q = 1 de insu mo:

v = –0,7 . 12 + 5,6 . 1 + 6,3v = 11,2.

Representando gra fi ca men te os cál cu los rea li za dos, temos:


Figura 1.7 Representação grá fi ca de uma com po si ção de fun ção.

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Nesse exem plo, sim bo li za mos a pro du ção em fun ção do insu mo porp(q), a venda em fun ção da pro du ção v(p) e a com pos ta da venda em fun -ção do insu mo por

v(p(q)) = v(q)

Exercícios1 . O grá fi co a seguir repre sen ta o valor (em $) de uma ação nego cia da na

bolsa de valo res no decor rer dos meses.


9

Considerando t = 1 o mês de janei ro, t = 2 o mês de feve rei ro, e assimsuces si va men te, deter mi ne:

a) o valor da ação nos meses de feve rei ro, maio, agos to e novem bro.b) os meses em que a ação vale $ 2,00.c) os meses em que a ação assu miu o maior e o menor valor. De ter -

mine tam bém os valo res nes ses meses.d) os meses em que a ação teve as maio res valo ri za ções e de quan to

foram essas valo ri za ções. Os meses em que a ação teve as maio resdes va lo ri za ções e de quan to foram essas des va lo ri za ções.

e) a média dos valo res das ações.

2. A pro du ção de peças em uma linha de pro du ção, nos dez pri mei ros diasde um mês, é dada pela tabe la a seguir:

Dia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Unidades 1.250 1.200 1.450 1.380 1.540 1.270 1.100 1.350 1.300 1.410

Com base nos dados:

a) Determine a pro du ção média de peças nos dez dias.

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b) Determine a varia ção entre a maior e a menor pro du ção de peças.c) Determine o maior aumen to per cen tual na pro du ção de um dia

para outro.d) Construa um grá fi co de linha da pro du ção.e) Em que perío dos a fun ção é cres cen te? E decres cen te?

3. A recei ta R na venda de q uni da des de um pro du to é dada por R = 2q.a) Determine a recei ta quan do são ven di das 5, 10, 20 e 40 uni da des

do pro du to.

b) Quantas uni da des foram ven di das, se a recei ta foi de $ 50,00?c) Esboce o grá fi co da recei ta.d) A fun ção é cres cen te ou decres cen te? Justifique.e) A fun ção é limi ta da supe rior men te? Justifique.

4. A deman da q de uma mer ca do ria depen de do preço uni tá rio p em queela é comer cia li za da, e essa depen dên cia é expres sa por q = 100 – 4p.

a) Determine a deman da quan do o preço uni tá rio é $ 5, $ 10, $ 15, $ 20 e $ 25.

b) Determine o preço uni tá rio quan do a deman da é de 32 uni da des.c) Esboce o grá fi co da deman da.d) A fun ção é cres cen te ou decres cen te? Justifique.

5. O custo C para a pro du ção de q uni da des de um pro du to é dado por C = 3q + 60.

a) Determine o custo quan do são pro du zi das 0, 5, 10, 15 e 20 uni da des.b) Esboce o grá fi co da fun ção.c) Qual o sig ni fi ca do do valor encon tra do para C quan do q = 0?d) A fun ção é cres cen te ou decres cen te? Justifique.e) A fun ção é limi ta da supe rior men te? Em caso afir ma ti vo, qual seria

o valor para o supre mo? Justifique.

6. O lucro l na venda, por uni da de, de um pro du to depen de do preço p em queele é comer cia li za do, e tal depen dên cia é expres sa por l = – p2 + 10p – 21.

a) Obtenha o lucro para o preço varian do de 0 a 10.b) Esboce o grá fi co.c) A fun ção é limi ta da supe rior men te? Em caso afir ma ti vo, qual um

pos sí vel valor para o supre mo?

7. O custo uni tá rio cu para a pro du ção de q uni da des de um ele tro do més -

ti co é dado por cu = 200 + 10.q


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AFRÂNIO CARLOS MUROLO É bacharel em Matemática, com especialização em Estatística, pós-graduado em Administração de Empresas e em Didática e Metodologia do Ensino Superior e mestre em Engenharia de produção. Coautor de livros na área de Estatística, Pesquisa Operacional, Lógica e Tabelas de Estatística. Consultor de empresas e sócio-diretor da WORKOUT CONSULT – Desenvolvimento Organizacional. Professor de diversos cursos de pós- -graduação, nas disciplinas de pesquisa operacional, engenharia econômica, matemática financeira, jogos de empresas, estatística empresarial e análise de custos.

GIÁCOMO BONETTO É licenciado em Matemática, especialista em Educação Matemática, mestre e doutor na área de Educação Matemática pela Unicamp. Professor do IFSP e da rede Anglo de ensino. Coautor de livro na área de vestibulares.

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