simulaÇÃo aplicada À administraÇÃo · faculdade de economia, administraÇÃo e contabilidade...

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE

DEPARTAMENTO DE ADMINISTRAÇÃO

SIMULAÇÃO APLICADA À ADMINISTRAÇÃO

Profa. Dra. Adriana Backx Noronha Viana

Prof. Me. Roberto Portes Ribeiro

SÃO PAULO

2015

Universidade de São Paulo Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade

Profª. Drª. Adriana Backx Noronha Viana / Prof. Me. Roberto Portes Ribeiro

2

SUMÁRIO

Capítulo 1 – Simulação .............................................................................................................. 3

Introdução à simulação ........................................................................................................... 3

Classificações da simulação ................................................................................................... 5

Vantagens e desvantagens da simulação ................................................................................ 9

Modelagem em simulação .................................................................................................... 12

Utilização da simulação no contexto de Administração ....................................................... 15

Capítulo 2 - Geração de Variáveis Aleatórias e Distribuição de Probabilidade ....................... 18

Geração de Variáveis Aleatórias .......................................................................................... 18

Exemplo de geração de variáveis aleatórias em simulação .............................................. 20

Distribuições de Probabilidade ............................................................................................. 22

Distribuição Discreta ........................................................................................................ 23

Distribuição Discreta – Exemplo ...................................................................................... 26

Distribuição Uniforme Discreta............................................................................................ 28

Distribuição Contínua Uniforme .......................................................................................... 28

Distribuição Contínua Uniforme – Exemplo .................................................................... 30

Distribuição Contínua Uniforme – Solução do Exemplo ................................................. 31

Distribuição Normal ............................................................................................................. 34

Distribuição Normal – Exemplo ....................................................................................... 36

Distribuição Normal – Solução do exemplo..................................................................... 37



3

Capítulo 1 – Simulação

Introdução à simulação

Jogos eletrônicos, cinema, teatro, teste de remédios em cobaias, dirigir automóveis em

pistas de teste, treino de pilotos de companhias aéreas em cabines com quadros simulados do

ambiente exterior, manobras de guerra simuladas pelas forças armadas, modelos físicos de

aeronaves para testes em túnel de vento, são exemplos de simulações que fazem parte da vida

contemporânea. No entanto, a história da simulação é muito antiga, encontrada nos jogos de

guerra chineses, há aproximadamente 5.000 anos. Os povos prússios utilizaram esses jogos no

final do século XVIII como auxílio ao treinamento militar de suas tropas. A partir disso, as

principais forças militares do mundo utilizaram jogos de guerra para testar estratégias militares

frente a cenários simulados de combate.

Em uma sociedade estruturada no conhecimento torna-se importante simular decisões

antes de implementá-las, ou seja, analisar dados e/ou informações e transformá-las em

conhecimentos utilizáveis, tanto com finalidade comercial quanto científica, conforme

reportam os estudos de simulação. A principal ideia da simulação é construir um dispositivo

experimental, simulador, que agirá como o sistema de interesse em determinados aspectos

importantes de modo rápido e econômico. O objetivo é criar um ambiente no qual a informação

sobre ações alternativas possíveis possa ser conseguida através da experimentação.

No mundo empresarial, simular significa fazer com que um sistema possa operar como

se fosse real, para estudar melhor suas propriedades. A simulação envolve a construção de um

modelo aproximado da realidade, o qual será operado muitas vezes, analisando-se seus

resultados para que ele possa ser mais bem compreendido, manipulado e controlado. A

Administração é uma área em que um leque considerável de simulações é possível,

corroborando as competências e habilidades focadas no processo decisório do administrador.

Sendo assim, a simulação constitui-se em importante ferramenta de análise quantitativa

utilizada nas organizações para o tratamento de problemas administrativos.

Técnicas e ferramentas de simulação são utilizadas no processo de gestão nas empresas,

com foco na tomada de decisão em ambientes incertos e turbulentos. Algumas das mais variadas

abordagens, metodologias e ferramentas interpretativas de simulação são usadas com sucesso

na área de estratégia de negócios. As abordagens de modelagem em simulação, concebem o

processo de modelagem mais do que um processo meramente mecânico, e sim, consideram que



4

as decisões são influenciadas por uma série de questões de caráter dinâmico, característica do

meio empresarial.

A importância do uso da simulação em situações de tomada de decisão empresarial

reside na possibilidade de redução de custos e aumento de benefícios que a simulação da

realidade pode trazer em situações em que é difícil o experimento na situação real. A simulação

permite realizar esse experimento com o modelo variando parâmetros críticos, para conhecer

quais as combinações que fornecem os melhores resultados. Desse modo, pode-se analisar o

efeito de mudanças sem correr o risco da construção de um sistema real equivocado.

Considerada uma das técnicas-chave da Pesquisa Operacional (PO), a simulação se

destaca porque é a técnica mais utilizada, e por ser flexível e intuitiva ela continua a ganhar

popularidade, além disso, é uma ferramenta inestimável para uso em problemas nos quais as

técnicas analíticas de PO são inadequadas. A simulação envolve o uso de um computador para

imitar a operação de um processo inteiro ou sistema. Desse modo o computador gera e registra,

de maneira aleatória, as ocorrências dos vários eventos que dirigem o sistema como se eles

estivessem operando fisicamente. Assim, podem ser simulados anos de operação em poucos

segundos. Uma das principais virtudes da simulação é registrar o desempenho da operação

simulada do sistema para uma série de procedimentos operacionais alternativos e, dessa forma,

habilitar a avaliação e a comparação dessas alternativas antes de escolher uma delas.

As primeiras simulações em computador foram escritas em linguagens de programação

de propósito geral (Fortran, Pascal, Visual Basic, C e Java). As linguagens de simulação foram

desenvolvidas com o objetivo específico de facilitar e tornar econômico o processo de

concepção de programas, para a execução de simulações. Como exemplos de linguagens de

simulação, destacaram-se: GPSS (General Purpose Simulation System), ECSL (The Extended

Control and Simulation Language), Dynamo, Modsim II, SIMAN (SIMulations ANalysis

language), Simple++, Arena e GAMS (General Algebraic Modelling System).

Atualmente a simulação pode ser realizada com uma grande variedade de softwares,

desde planilhas eletrônicas até suplementos de planilhas, linguagens de programação gerais de

computador e linguagens de simulação com propósito específico. Como modelos de simulação

podem ser criados e rodados em um computador, o nível de cálculo e habilidade matemática

exigido para projetar e rodar um simulador proveitoso foi substancialmente reduzido

atualmente.

A simulação abrange muitas perspectivas, entre as quais podem-se destacar, a utilização

de simulação (análise, treinamento, pesquisa); tipos de modelos de simulação (eventos

discretos, contínuos, combinados discreto-contínuo); linguagens de programação ou ambientes



5

de simulação (Vensim, Arena, AutoMod, Simio, ProModel); e domínios ou comunidades de

interesse (comunicações, manufatura, militar, transporte, financeira) da aplicação. Exemplos

das mais variadas perspectivas e combinações podem ser encontrados na literatura. Dentre as

diferentes formas e usos da simulação existe a predominância da modelagem de eventos

discretos para análise de sistemas ao longo da evolução da técnica dentro da Pesquisa

Operacional. As técnicas de modelagem e simulação têm evoluído nas últimas décadas, sendo

de se esperar aceleração nesse progresso. No entanto, muitas questões desafiadoras continuam

a serem resolvidas no futuro, e as tendências atuais tendem a usar algoritmos inspirados na

natureza para a modelagem e simulação.

A habilidade de modelos de simulação para lidar com complexidade, captar a

variabilidade de medidas de desempenho e reproduzir comportamento no curto prazo faz da

simulação uma ferramenta poderosa. Muitas vezes, os modelos de simulação são usados para

analisar uma decisão com risco, ou seja, um modelo no qual o comportamento de um ou mais

fatores não é conhecido com certeza. Por exemplo, demanda por um produto, retorno de um

investimento, quantidade de caminhões que chegarão para serem descarregados, e assim por

diante. Com a simulação é possível avaliar hipóteses sem ter que implementá-las, além disso, a

simulação pode adicionar criatividade ao processo de resolução de problemas e prever

resultados, considerando as variâncias do sistema.

Classificações da simulação

Existem diferentes maneiras de estudar o comportamento de um sistema, como um

conjunto de entidades, pessoas e/ou máquinas, por exemplo, que interagem a fim de atingir um

determinado objetivo. De acordo com a Ilustração 1, um sistema pode ser estudado de dois

modos: experimentação com o sistema real e experimentação com modelos do sistema.

Pode-se utilizar o sistema real para realizar experiências, testando novas configurações

e políticas. Nesse tipo de experimentação com o sistema real, os efeitos da mudança são

analisados no próprio sistema, após sua implementação. No entanto, além dos custos inerentes

a esta prática, por vezes o sistema a ser estudado não existe fisicamente. A experimentação com

modelos do sistema permite menores custos, maior segurança e rapidez. Esses motivos

implicam na utilização de modelos que podem ser físicos, réplicas do sistema em escala

reduzida, ou modelos matemáticos representativos do comportamento do sistema. Se este

modelo for suficientemente simples, pode ser possível obter uma solução adequada por meio



6

de processos analíticos. Entretanto, grande parte dos sistemas representativos do mundo real

são complexos, o que dificulta a formulação matemática. Esses casos requerem que o sistema

seja estudado com o recurso da simulação, que permite modelar o comportamento de sistemas

com maior grau de complexidade.

Ilustração 1 – Modos de estudar um sistema

Fonte: Adaptado de Law (2007, p. 27)

A simulação é utilizada como um método quantitativo de apoio à decisão quando os

métodos analíticos para o problema em estudo não forem suficientes, baseando-se em modelos

lógicos e/ou matemáticos com o propósito de descrever o comportamento de um sistema

representado por um modelo e obter estimações de parâmetros a serem analisados. A simulação

pode ser utilizada para avaliar e comparar sistemas, prever desempenhos e identificar problemas

e suas causas.

Os modelos de simulação podem ser classificados em estáticos ou dinâmicos. Os

modelos estáticos visam representar o estado de um sistema em um instante, ou seja, em suas

formulações não se considera a variável tempo, enquanto os modelos dinâmicos são formulados

para representarem as alterações de estado do sistema ao longo da contagem do tempo de

simulação. Por exemplo, um modelo estático consiste na decisão de qual quantidade produzir

de determinado produto agrícola, considerando que o agricultor dispõe de quantidades

predeterminadas de insumos para produção daquele produto em uma determinada safra. Nesse

caso, o agricultor deve tomar a decisão de qual quantidade produzir naquela safra específica,

Sistema

Sistema real Modelo do

sistema

Modelo físico Modelo matemático

Solução analítica Simulação



7

sem considerar a quantidade plantadas em safras anteriores. De outra forma, um exemplo de

modelo dinâmico consiste em um sistema de gestão e controle de estoque, onde os valores das

saídas do estoque dependem de valores passados das entradas do estoque. Nesse caso, a

variação do estoque em função do tempo é fundamental.

Outra classificação divide os modelos de simulação em determinístico ou estocástico.

Os modelos determinísticos utilizam em suas formulações somente variáveis determinísticas,

podendo ser estudados analiticamente. Enquanto os modelos estocásticos contêm uma ou mais

variáveis aleatórias, cujo papel em uma simulação é representado por meio de amostras. A

simulação com modelos estocásticos tem por objetivo reproduzir o comportamento

probabilístico das variáveis, ou seja, as variáveis ocorrem de acordo com uma distribuição de

probabilidade. Ao estudar a chegada de pessoas em uma fila de banco, um modelo

determinístico poderia considerar que as pessoas chegam exatamente em intervalos de 15

minutos entre cada cliente. Nesse caso, o modelo considera que exatamente a cada 15 minutos

sempre chegará uma pessoa. No caso do modelo estocástico, não necessariamente o intervalo

entre chegadas seria sempre exatamente quinze minutos. Os tempos entre chegadas de dois

clientes poderiam variar de acordo com uma distribuição de probabilidade, por exemplo, uma

distribuição normal, com média 15 minutos e desvio-padrão de 5 minutos.

A simulação possui dependência com o tipo de variável a ser considerada no modelo, a

simulação de eventos discretos abrange o estudo de modelos de simulação cujas variáveis

mudam de estado instantaneamente em pontos específicos de tempo, em contraste ao que ocorre

com modelos contínuos, cujas variáveis podem mudar de estado continuamente no decorrer do

tempo.

Na prática, a maioria das aplicações de simulação envolve a ocorrência de eventos

discretos. Entretanto, existem aplicações de simulação contínuas em estudo de projetos de

sistemas de engenharia que normalmente exigem o emprego de equações diferenciais para

descrever a taxa de mudança da variáveis de estado, o que tende a tornar a análise mais

complexa.

Simulações de eventos discretos abrangem sistemas com médio a alto nível de

detalhamento, sendo geralmente aplicadas para modelagem de sistemas com níveis mais baixos

de abstração, como chão de fábrica. As simulações de eventos contínuos, tais como, as baseadas

na dinâmica de sistemas, são utilizadas em modelagem de sistemas agregados com níveis mais

altos de abstração, por exemplo, dinâmicas populacionais. A Ilustração 2 apresenta esta

diferenciação.



8

Ilustração 2 - Abordagens de simulação e níveis de abstração

Fonte: Adaptado de Borshchev e Filippov (2004) por Sakurada e Miyake (2009, p. 27)

No contexto da simulação, a dinâmica de sistemas traz contribuições para a

compreensão de situações e estruturas de negócio com que lidam os gestores no cotidiano. A

dinâmica de sistemas é apoiada e facilitada por ferramentas computacionais competentes como

os softwares iThink, Stella, Vensim, Powersim, GoldSim, entre outros. O uso dos softwares

próprios para essa finalidade é importante para a análise de situações sistêmicas relacionadas

ao ambiente de negócios.

A simulação de eventos discretos pode ser considerada uma das mais poderosas

tecnologias para prever o desempenho futuro de um sistema, essa tecnologia proporciona para

as organizações uma vantagem competitiva sobre as empresas que não usam a mesma. Custos

e investimentos estão relacionados com projetar e reprojetar sistemas complexos, e estudos de

simulação irão fornecer uma segurança contra grandes mudanças. Um estudo de simulação de

um sistema complexo permite ao analista ir além do cálculo estático e fornecer informações

precisas sobre o desempenho real das operações.

Objetos individuais exatidão em tamanhos e distâncias

Dinâmica de sistemas

Simulação de

eventos discretos

Sistemas agregados dependência de causas globais

Alta abstração Poucos detalhes Nível estratégico

Média abstração Médios detalhes Nível tático

Baixa abstração Muitos detalhes Nível operacional

Predominância de modelos discretos

Predominância de modelos

contínuos



9

Vantagens e desvantagens da simulação

É importante conhecer as vantagens e desvantagens da simulação para não criar falsas

expectativas sobre os resultados provenientes desta ferramenta. Pidd (1998), Carson (2005),

Kelton, Sadowski e Sturrock (2007), Law (2007) e Banks et al. (2010), dentre outros autores,

relacionaram algumas vantagens e desvantagens de usar a simulação como ferramenta de apoio

à decisão:

a) A simulação possibilita economia da utilização de recursos e de mão-de-obra, e isso

se torna mais evidente quando ocorre algo de errado na experimentação do sistema real;

b) O modelo, uma vez criado, pode ser utilizado inúmeras vezes para avaliar projetos,

além de ser possível simular semanas, meses e até anos em pouco tempo no computador, ou

seja, o tempo pode ser controlado, reproduzido de maneira lenta ou acelerada, para que se possa

analisar os resultados do processo;

c) A simulação é, de modo geral, mais fácil de aplicar do que os métodos analíticos;

d) No mundo real é difícil assegurar as mesmas condições para replicar uma

experimentação direta, o que não ocorre com a simulação, que é precisamente replicável, ou

seja, maior controle sobre as condições experimentais, admitindo mais replicações no modelo

designando-se os valores que se deseja para todos os parâmetros, assim podendo testar

alternativas diferentes para o sistema;

e) Através da simulação é possível observar o comportamento do sistema em condições

extremas de funcionamento sem pôr em risco a vida de pessoas, a segurança pública e a do

próprio negócio;

f) Somente a simulação pode responder questões que não podem ser experimentadas

devido a proibição legal, como diminuição de carga horária ou o uso de equipamentos ou

combustíveis não permitidos;

g) Os modelos de simulação permitem que sistemas reais, novas políticas e

procedimentos operacionais, regras de decisão, fluxo de informações, entre outros, podem ser

avaliados sem que o sistema real seja perturbado;

h) Pode-se compreender melhor quais variáveis são as mais importantes em relação ao

desempenho e como interagem entre si e com os outros elementos do sistema;

i) Um estudo de simulação costuma mostrar como realmente um sistema trabalha em

oposição à maneira como todos pensam que ele opera;

j) Novas situações sobre as quais se tenha pouco conhecimento e experiência podem ser

tratadas de tal forma que se possa ter, teoricamente, alguma preparação diante de futuros



10

eventos. A simulação é uma ferramenta especial para explorar questões do tipo: “o que

aconteceria se?”;

k) Sistemas complexos que contenham elementos estocásticos, que não conseguem ser

descritos perfeitamente por modelos matemáticos resolvidos analiticamente, podem ser

estudados por simulação;

A principal vantagem da simulação apontada pelos autores é a de que simular, de modo

geral, é mais econômico do que testar o sistema real.

As desvantagens de utilizar a simulação como ferramenta de apoio à decisão são:

a) A construção do modelo requer treinamento especial. A técnica de modelagem é uma

arte que é aprendida e aperfeiçoada com o tempo e ao longo de experiências;

b) Os resultados da simulação podem ser difíceis de interpretar, pois, geralmente, as

saídas da simulação são variáveis aleatórias dificultando a identificação de quando uma

observação é resultado de uma inter-relação do sistema ou uma aleatoriedade do sistema;

c) A modelagem e a análise da simulação podem ser dispendiosas em termos de recursos

financeiros e tempo;

d) A programação de um modelo de simulação pode se tornar uma tarefa desgastante e

custosa, se os recursos computacionais não forem apropriados;

e) Devido à natureza estocástica, os modelos de simulação devem ser processados várias

vezes, para poder prever o desempenho do sistema;

f) A simulação é dependente da validade do modelo desenvolvido, ou seja, não adianta

se fazer um estudo detalhado dos dados de saída, encontrar uma solução para o problema se o

modelo criado não representar fidedignamente o sistema, ou mesmo se os dados de entrada não

forem corretos.

A simulação pode ser considerada uma ferramenta poderosa na avaliação de problemas

e ações de melhoria no contexto administrativo, no entanto, requer esforço metodológico e rigor

estatístico para conduzir a conclusões satisfatórias, sendo necessário avaliar as vantagens e

desvantagens antes de utilizar a simulação para resolução de problemas gerenciais.

A variedade de softwares de simulação disponíveis no mercado, alguns específicos para

determinados processos, outros de caráter mais generalista, favorece a aplicação da simulação.

A competição entre empresas fabricantes de softwares de simulação impulsionou o lançamento

de softwares cada vez mais poderosos que oferecem novas facilidades, tais como ferramentas

de suporte ao processo de modelagem, recursos de análise estatística e interfaces gráficas

intuitivas. A variedade destes softwares tende a aumentar, refletindo a sofisticação crescente

dos produtos e usuários.



11

Bateman et al. (2013) ensinam simulação a partir da perspectiva do software Promodel®

que apresenta uma interface amigável conforme a Ilustração 3.

Ilustração 3 – Interface do software Promodel®

Fonte: Bateman et al. (2013)

Prado (2014) ensina simulação utilizando o Arena® (Ilustração 4), um software de uso

difundido em grandes corporações.

Ilustração 4 – Interface do software Promodel®

Fonte: Prado (2014)



12

Modelagem em simulação

Modelos permitem ganhar conhecimento e entendimento sobre o objeto ou problema de

decisão que está sendo investigado. O objetivo final de usar modelos é melhorar a análise de

decisão, pois o processo de criação de um modelo pode ajudar a entender um problema. Em

alguns casos, uma decisão pode ser tomada após a criação de um modelo, à medida que um

elemento anteriormente não entendido do problema é descoberto ou eliminado e, em outros

casos, a análise cuidadosa de um modelo concluído pode ser necessária para compreender o

problema e obter os elementos necessários para tomar uma decisão, consequentemente, este

processo de modelagem leva a uma melhor análise de decisão.

A modelagem é um processo de criação de uma representação simplificada da realidade

a fim de compreender ou antecipar a ocorrência de alguns aspectos do mundo. Sendo a

disciplina que fornece uma estrutura para a solução de problemas, e portanto deve-se estudar

primeiramente a modelagem, pois melhora a habilidade de pensar no comportamento do

sistema.

Assumindo o pressuposto de que não existem modelos ideais que representem os

sistemas para fins de estudos gerenciais, a maneira de representar um sistema é uma ciência

subjetiva, pois a compreensão do sistema e a identificação de seus elementos e relações de

interdependência dependem do conhecimento, da experiência e da habilidade do modelador.

Alguns princípios gerais podem ser aplicados ao desenvolver um modelo:

Princípio 1: Pensar complicado mas modelar simples;

Princípio 2: Começar com pouco e acrescentar;

Princípio 3: Evitar megamodelos;

Princípio 4: Usar metáforas e analogias;

Princípio 5: Descartar dados, se necessário;

Princípio 6: Construir modelos pode ser como desenredar-se;

Uma vez que um modelo é o resultado de uma tentativa de representar alguma parte da

realidade de forma tal que as ações possam ser tomadas ou algum entendimento possa ser

melhorado, poderia se pensar que a construção de um modelo é um processo linear e altamente

racional, na qual progressos suaves são feitos e na qual tudo se encaixa perfeitamente. Na

prática, o que se verifica é que modeladores experientes pulam de tópico para tópico enquanto

modelam e precisam refinar suas ideias constantemente.



13

A construção de um modelo de simulação, geralmente, envolve dois processos de

abstração. Inicialmente, o sistema real, com grande número de variáveis, é abstraído em um

modelo conceitual. Em seguida, o modelo conceitual é abstraído em um modelo experimental

de simulação, que procura emular por meio de relações lógicas o funcionamento do sistema,

para representar satisfatoriamente o sistema. O diagrama representado na Ilustração 5, ilustra

um processo simplificado da abordagem de solução de problemas usando modelagem

matemática.

Ilustração 5 – Processo de modelagem

Fonte: Arenales et al. (2007, p. 4)

A abordagem de resolução de problemas por meio de Pesquisa Operacional envolve

várias fases baseadas no diagrama da Ilustração 5, de acordo com Arenales et al. (2007):

1) Definição do problema;

2) Construção do modelo;

3) Solução do modelo;

4) Validação do modelo;

5) Implementação da solução.

A etapa 1 define o escopo do problema em estudo. A fase 2 traduz a fase 1 em relações

matemáticas e/ou lógicas de simulação. A fase 3 utiliza métodos de solução e algoritmos

conhecidos para resolver o modelo da fase 2. A etapa 4 verifica se o modelo proposto representa

apropriadamente o problema. Por fim, a fase 5 preocupa-se com a implementação da solução

na prática, traduzindo os resultados do modelo em decisões.

Sistema ou

problema real

Modelo

matemático

Conclusões reais

ou decisões

Conclusões do

modelo

Formulação/modelagem

Interpretação/inferência

Dedução/

análise

Avaliação/

julgamento



14

A construção e resolução de modelos matemáticos constitui apenas uma parte de todo

processo de um estudo típico de PO, as fases descritas são importantes para que o estudo seja

bem sucedido. Por sua natureza, a modelagem requer considerável dose de engenhosidade e

inovação, pois é praticamente impossível colocar no papel qualquer procedimento-padrão que

sempre deva ser seguido pelas equipes de PO, por isso, as etapas descritas podem ser

consideradas como um modelo que represente de modo relativo a condução dos estudos de PO

e técnicas de modelagem.

O sucesso com as técnicas de modelagem depende da natureza do problema e se o estado

inicial e o objetivo final forem bem definidos. Os conhecimentos de Matemática, tais como a

teoria da programação matemática e as propriedades dos processos estocásticos; e o

conhecimento prático das ferramentas computacionais, das linguagens de programação e de

simulação são priorizados quando se trata de resolver problemas de PO. No entanto, as

habilidades cognitivas para mapear problemas e transformá-los em modelos matemáticos por

meio da modelagem, como por exemplo, a modelagem do fluxo em uma cadeia de suprimentos

e as habilidades de abstração para traduzir sintomas de um problema em uma definição

significativa do que realmente é o problema, são aspectos fundamentais em PO e

consequentemente em simulação, tanto quanto os conhecimentos de Matemática e de

Computação, isso envolve maior entendimento do contexto administrativo dos problemas para

facilitar a modelagem e resolução dos problemas.

A formulação do modelo requer a definição dos seguintes aspectos:

1) Os limites do problema (ou seja, quais os fatores do sistema estão excluídos);

2) Os principais componentes do problema;

3) As características desses componentes;

4) As relações entre os componentes;

5) Como os componentes serão representados no modelo de simulação;

6) Como cada componente será descrito;

7) A natureza das entradas;

8) A natureza das saídas;

9) As principais fontes de dados;

10) Os principais pressupostos.

Com a definição desses aspectos, as características do modelo de simulação tendem a

ser fortemente relacionadas com o problema definido, assim as possibilidades de o resultado

fornecer informações úteis para os tomadores de decisão aumentam, o que sugere que o maior



15

entendimento do contexto administrativo dos problemas pode facilitar a modelagem e resolução

dos problemas.

Utilização da simulação no contexto de Administração

A utilização de métodos de simulação pode auxiliar gestores a lidar com dificuldades

do processo de tomada de decisão no ambiente de negócios, por isso, a simulação é utilizada

em problemas gerenciais distintos. As aplicações mais comuns de simulação incluem projeto e

operação de sistemas de filas, administração de sistemas de estoque, estimativas da

probabilidade de completar um projeto no prazo, projeto e operação de sistemas de manufatura,

projeto e operação de sistemas de distribuição, análise de risco financeiro, aplicações na área

da saúde, aplicações em segmentos de serviços, aplicações militares e ainda aplicações mais

inovadoras de simulação são realizadas a cada ano.

Em termos de modelagem e simulação, gestores de produtos e serviços estão muitas

vezes preocupados com a maximização dos lucros e redução de custos, entretanto, também

devem procurar produtos e serviços mais eficientes em termos energéticos e garantir proteção

ao meio ambiente; ao mesmo tempo, eles estão limitados por recursos, tempo e dinheiro. Apesar

do aumento da potência do computador e disponibilidade de melhores pacotes de simulação, há

uma série de desafios que restam ao aplicar métodos de simulação para problemas do mundo

real.

São exemplos recentes de aplicação dos métodos de simulação em situações

administrativas:

1) Desenvolvimento, validação e experimentação de um modelo de simulação utilizando

a metodologia de dinâmica de sistemas, a qual permitiu avaliar e analisar cenários acerca da

geração e disposição final dos resíduos sólidos urbanos, levando em consideração: a taxa de

crescimento vegetativo populacional (nascimentos e mortes), percentual de resíduo sólido

urbano enviado para cada tipo de destino final e a quantidade de resíduos gerada por habitante.

A validação do modelo foi através da análise de cenários futuros para um determinado

município da região sul do Brasil. Para a modelagem e execução do sistema foi utilizado o

software Vensim. Com os resultados gerados pelo modelo de simulação, os gestores podem,

antecipadamente, discutir, avaliar e decidir possíveis medidas necessárias para melhorias ou

adaptações na gestão de resíduos sólidos urbanos.



16

2) Aplicação da teoria de opções reais e a simulação estocástica para valorar a opção do

carro flex para as cinco regiões geográficas do Brasil. Considerou-se que os preços dos insumos

são estocásticos e seguem o movimento de reversão à média. A previsão dos preços e o valor

da opção foram gerados através da simulação de Monte Carlo. Os resultados indicaram que a

opção de escolher o combustível mais barato adiciona considerável valor para o proprietário do

carro flex em todas as regiões e modelos de carro considerados, sendo a região Sudeste a mais

beneficiada pela opção flex.

3) Avaliação da pertinência da utilização da técnica de Simulação de Monte Carlo na

mensuração das incertezas inerentes à metodologia de avaliação de empresas pelo fluxo de

caixa descontado, identificando se essa metodologia de simulação incrementa a acurácia da

avaliação de empresas pelo fluxo de caixa descontado. Os resultados comprovaram a eficácia

operacional da utilização da Simulação de Monte Carlo na avaliação de empresas pelo fluxo de

caixa descontado, confirmando que a qualidade dos resultados obtidos por meio da adoção

dessa metodologia de simulação apresentou uma relevante melhoria em relação aos resultados

obtidos por meio da utilização do modelo determinístico de avaliação.

4) Estabelecimento de métricas que davam suporte à decisão econômica de atender ou

não a pedidos em uma empresa cujos produtos tinham grande variabilidade de custos variáveis

diretos unitários que geravam incertezas contábeis. Foi proposto um método em cinco etapas,

construído a partir da integração de técnicas provindas da Contabilidade Gerencial e da

Pesquisa Operacional, com destaque à simulação de Monte Carlo. O método foi aplicado a

partir de um exemplo didático que utilizou dados reais obtidos através de uma pesquisa de

campo realizada em uma indústria brasileira de produtos plásticos, que utilizava material

reciclado. Concluiu-se que a simulação de Monte Carlo é útil no tratamento da variabilidade de

custos variáveis diretos unitários e que o método de suporte à tomada de decisão proposto foi

válido.

5) Investigação da importância, do ponto de vista de estoque médio e custo total, de se

trabalhar com fornecedores que garantam prazos de entrega confiáveis quando o lote econômico

de compra é adotado como política de reposição. Utilizando simulação, duas sistemáticas (Q e

P) de controle de estoque são comparadas para níveis distintos de dispersão do tempo médio de

ressuprimento do fornecedor. Para tempos de ressuprimento inferiores ou próximos ao intervalo

ótimo de pedido, a sistemática Q mostrou-se vantajosa, enquanto para tempos maiores as duas

sistemáticas praticamente se equivalem.

Esses exemplos de estudos que utilizaram a simulação em diversos contextos de

Administração mostraram que a simulação é uma ferramenta exploratória de apoio à decisão e,



17

além do projeto de um modelo, compreende a realização de experimentos que permitam a

análise de comportamentos futuros, bem como possibilitem a construção de novos cenários a

partir de alterações no sistema.



18

Capítulo 2 - Geração de Variáveis Aleatórias e Distribuição de Probabilidade

Para empregar a simulação é necessário pensar na criação de situações que irão

representar a realidade. Assim, por exemplo, para simular a venda de jornais, deve-se simular

valores possíveis de demanda. Isso pode ser executado por meio da geração de uma variável

aleatória, conforme explicitado nesse capítulo.

Geração de Variáveis Aleatórias

O conceito de variável aleatória está associado ao conceito de distribuição de

probabilidade. Em suma, é uma variável que pode assumir vários valores, mas de acordo com

uma distribuição de probabilidade estabelecida. Por exemplo, o sorteio de uma moeda pode ser

cara ou coroa e cada uma destas possibilidades tem probabilidade de 50% de acontecer.

Toda vez que existem incertezas, é possível pensar em usar uma variável aleatória

(valores possíveis que possam acontecer) para estudar o comportamento ou desempenho de um

sistema. Sendo assim, a base de uma simulação é a geração de números aleatórios, utilizada

para geração de variáveis aleatórias.

Existem duas categorias de variáveis aleatórias: discretas e contínuas. As variáveis

aleatórias discretas podem presumir apenas determinados valores específicos, por exemplo,

números inteiros. De outra forma, as variáveis aleatórias contínuas podem assumir qualquer

valor fracionário, ou seja, um número infinito de resultados possíveis.

Quanto aos números discretos, suponha a simulação da demanda de jornais que somente

podem ser vendidos por unidade, sendo descartada a hipótese da venda fracionada. Inicialmente

foi verificado que em uma banca de jornal, os valores possíveis de vendas de jornal para 10 dias

podem ocorrer conforme a Tabela 1.

Tabela 1 – Demanda de jornal em uma banca

Demanda de jornal Frequência 20 2 21 3 22 3 23 1 24 1

Fonte: Autores



19

Como simular possíveis demandas? Pode-se usar uma urna com dez bolas, sendo que

duas bolas receberão o número 20, três terão o número 21 e assim por diante. Para sortear uma

demanda, simplesmente retira-se da urna uma bola com um número que corresponderia a

demanda de um dia. Para realizar novo sorteio, devolve-se à urna a bola sorteada. Esse

procedimento seria realizado quantas vezes fossem necessárias para analisar a demanda e

verificar o que poderia acontecer.

No entanto, se fossem probabilidades que não pudessem ser representadas em termos

de bolas a serem colocadas em uma urna? Por exemplo, uma probabilidade que não fosse

inteira, conforme a Tabela 2?

Tabela 2 – Demanda de jornal em uma banca

Demanda de jornal Frequência 20 20,0 % 21 30,5 % 22 32,5 % 23 10,0 % 24 7,0 %

Fonte: Autores

Nesse caso, as probabilidades podem ser representadas por um círculo giratório,

conforme a Ilustração 6.

Ilustração 6 – Círculo giratório

Fonte: Autores

20%

30,5%32,5%

10%

7%



20

Assim, ao rodar o círculo, pode-se gerar demanda por jornal com valores aleatórios, pois

é igualmente provável que aponte para qualquer ponto na circunferência do círculo. Por

exemplo, se ao rodar o círculo a seta aponte para o setor verde, significa que a demanda seria

de 20 unidades; mas se cair no setor vermelho, o valor devolvido seria de 10%, que corresponde

à demanda de 23 unidades. Se a simulação fosse realizada para 10 demandas, o círculo teria

que ser girado 10 vezes.

Apesar de o círculo giratório ser útil no caso de poucas tentativas, quando são

necessárias milhares de tentativas o processo realizado em um computador apresenta maior

eficiência, pois as planilhas computacionais apresentam geradores aleatórios de números (RNG

– Randon Number Generator).

Para gerar uma variável aleatória em uma planilha eletrônica utiliza-se a função

ALEATORIO ( ), que tem a capacidade de gerar variáveis aleatórias no intervalo 0 a 1, de

acordo com a distribuição na forma de função de distribuição cumulativa da variável aleatória

a ser gerada.

O exemplo a seguir explora a geração de variáveis aleatórias abordando como retirar

uma amostra aleatória de uma dada distribuição de probabilidade.

Exemplo de geração de variáveis aleatórias em simulação

Os tempos entre chegadas em um balcão de atendimento são mostrados na Tabela 3.

Todos os clientes formam uma fila única e são atendidos por ordem de chegada. Suponha que

sejam necessários exatos oito minutos para atender cada cliente. Suponha que ninguém esteja

sendo atendido ou esperando para ser atendido quando o primeiro cliente chega. Simule a

chegada de 80 clientes (ou mais) e registre o número de clientes que têm de esperar. Com base

nos resultados, que tipos de ações podem ser desenvolvidas?

Tabela 3 – Tempo entre chegadas em um balcão de atendimento

Tempo entre chegadas (min.) Probabilidade 5 0,25

10 0,50 15 0,25

Fonte: Autores



21

Os tempos entre chegadas podem ser 5, 10 ou 15. Nesse caso, temos uma variável

discreta, com distribuição de probabilidade apresentada na Tabela 4. Existem duas funções no

Excel que auxiliam a desenvolver o processo de geração de variáveis aleatórias no caso de uma

variável com essa distribuição:

Função ALEATORIO ( ) e Função PROCV (valor ou aleatório( ); tabela; coluna de

resultado da tabela).

Tabela 4 – Distribuição de probabilidades entre chegadas em um balcão de atendimento

Número aleatório Tempo entre chegadas (min.) Probabilidade 0,00 – 0,2499999999 5 25 % 0,25 – 0,7499999999 10 50 %

0,75 – 1,0 15 25 %

Inicia-se a construção da planilha de simulação no Excel mostrada na Ilustração 7,

utilizando-se as funções ALEATORIO e PROCV para determinar o tempo de chegada de cada

um dos 80 (ou mais) clientes a partir da distribuição de probabilidade dada. A partir disso, o

tempo do início e do fim do atendimento são estabelecidos com um intervalo constante de 8

minutos entre o início e o fim do atendimento. Por fim, o tempo de espera é calculado.

Ilustração 7 – Planilha de simulação no Excel

Fonte: Autores

8

Número

ChegadaChegada

Início de

Atendimento

Fim de

AtendimentoTempo de Espera

1 10 10 18 0

2 15 18 26 3

3 25 26 34 1

4 40 40 48 0

5 45 48 56 3

6 55 56 64 1

7 65 65 73 0

8 75 75 83 0

9 90 90 98 0

10 105 105 113 0

11 120 120 128 0

12 130 130 138 0

13 145 145 153 0

14 155 155 163 0

15 165 165 173 0

16 175 175 183 0

17 180 183 191 3

18 195 195 203 0

19 200 203 211 3

Tempo de Atendimento



22

Foram simulados a chegada de 100 clientes; 29 clientes (ou 29%) tiveram que esperar.

Quando o cliente precisou esperar, a média de espera foi de 3,4 minutos.

Tabela 5 – Resultados da simulação das chegadas em um balcão de atendimento

Tempo de

espera Frequência Probabilidade

0 71 71%

1 4 4%

2 4 4%

3 12 12%

4 3 3%

5 0 0%

6 5 5%

7 0 0%

8 0 0%

9 1 1%

10 0 0%

Mais que 10 0 0%

Total 100

Fonte: Autores

Em média, os clientes não precisaram esperar muito tempo. Mas, por outro lado, 29%

dos clientes precisaram esperar. Isso pode indicar a necessidade de um segundo funcionário

para o atendimento ou ainda buscar diminuir o tempo de atendimento com algumas melhorias

no processo.

Distribuições de Probabilidade

A Geração de variáveis aleatórias está relacionada com a geração de números aleatórios

que tem por base as distribuições de probabilidade. Nesse primeiro módulo serão abordadas

quatro distribuições de probabilidade:

1) Distribuição discreta (com probabilidades pré-definidas);

2) Distribuição uniforme discreta (todos os valores possíveis possuem a mesma

probabilidade de ocorrer);

3) Distribuição uniforme contínua (quando a probabilidade de acontecer um mesmo

fenômeno de mesmo comprimento é a mesma);

4) Distribuição Normal.



23

Distribuição Discreta

Em simulação pode ser necessária a geração de valores específicos aleatórios que se

distribuem de acordo com probabilidades pré-determinadas. Por exemplo, gerar 1.500 números

aleatórios dentre os indicados na Tabela 6 de forma que os números gerados se distribuam de

acordo com as probabilidades também indicadas.

Tabela 6 – Probabilidade de ocorrência de determinados valores

Valor Probabilidade

11 0,06

12 0,14

13 0,20

14 0,50

15 0,10 Fonte: Autores

Neste caso, a distribuição probabilidades é discreta, pois podem ocorrer apenas valores

dentre um conjunto finito de valores. Cada valor possui uma probabilidade específica de

ocorrer.

Distribuições discretas são geradas utilizando uma distribuição contínua e uniforme de

probabilidades. No Excel recomenda-se que distribuições deste tipo sejam geradas através do

uso da função PROCV associada com a função ALEATÓRIO. Esta forma é preferível pois

torna as planilhas de simulação muito mais flexíveis apesar de exigir um esforço inicial de

entendimento maior.

No Gráfico 1 está representada uma função escada que poderia servir para gerar os

números desejados. É importante observar que esta função “acumula” as probabilidades (dadas

na Tabela 6) ao longo do eixo x de forma a associar a probabilidade do número com um

intervalo correspondente nesse eixo. Dessa forma a probabilidade 0,5 (da quarta linha da Tabela

6) corresponde ao intervalo que vai de 0,4 a 0,9 no eixo x.



24

Gráfico 1 – Função escada utilizada para gerar os números desejados

Fonte: Autores

Com este gráfico pode-se gerar os valores com a distribuição de probabilidades definida

na Tabela 6. Conforme solicitado, basta gerar 1.500 abcissas aleatórias com distribuição

contínua uniforme no intervalo [0, 1) através da função ALEATÓRIO e por meio do Gráfico 1

determinar as suas correspondentes ordenadas. Por exemplo, se foi gerada a abcissa

0,528978839355029 então a ordenada retornada será 14.

É exatamente isto que a função PROCV realiza quando usada para modelar problemas

de simulação. Através dela implementa-se a função escada apresentada e converte-se abcissas

em ordenadas de modo a preservar a distribuição discreta de probabilidades originalmente

especificada para estas ordenadas.

Um dos argumentos da função PROCV é a tabela correspondente ao gráfico em escada.

Esta tabela possui normalmente duas colunas, conforme a Tabela 7.

Tabela 7 – Tabela PROCV

Tabela PROCV

Início do intervalo Valor

0,00 11

0,06 12

0,20 13

0,40 14

0,90 15 Fonte: Autores

Coluna 1: deve conter obrigatoriamente o início de cada intervalo de valores no eixo

das abcissas (em ordem crescente);



25

Coluna 2: deve conter os correspondentes valores das ordenadas, isto é, os valores que

devem ser gerados.

A tabela PROCV possui formato específico o que normalmente exige uma conversão

da tabela original de probabilidades. Sugere-se manter nas planilhas a tabela original (ela é mais

fácil de entender e facilita a entrada de dados) e através de fórmulas do Excel construir a tabela

PROCV correspondente.

A forma final de uso da função PROCV envolve 3 argumentos. Existe um quarto,

opcional, que não tem interesse no contexto em discussão. Os 3 argumentos obrigatórios são os

seguintes:

Argumento 1: valor da abcissa a partir da qual a função PROCV irá determinar a

ordenada correspondente. Em geral é um número aleatório com distribuição uniforme no

intervalo [0, 1) ou a própria chamada da função ALEATÓRIO.

Argumento 2: intervalo de células onde se localiza a tabela PROCV (não esquecer de

usar o $ para tornar absoluta a referência ao intervalo).

Argumento 3: número da coluna relativa à tabela PROCV onde constam os valores das

ordenadas. Em geral esse argumento vale 2 pois as ordenadas estão na coluna 2 da tabela

PROCV (não confundir coluna da tabela PROCV com coluna de planilha).

O Quadro 1 apresenta a forma geral de uso da função PROCV e três exemplos de

utilização da mesma função no Excel.

Quadro 1 – Modo de usar a função PROCV no Excel

PROCV ( abcissa aleatória ; tabela PROCV ; coluna das ordenadas )

por exemplo:

PROCV ( ALEATÓRIO( ) ; E$4:F$11 ; 2 )

PROCV (0,528978839355029 ; E$4:F$11 ; 2 )

PROCV ( H5 ; $E$4:$F$11 ; 2 )

Fonte: Autores

Os valores iniciais dos intervalos precisam constar obrigatoriamente em ordem

crescente na coluna 1 da tabela PROCV. Como o primeiro intervalo começa em zero fica

evidente que o primeiro valor desta coluna será sempre zero. É importante observar que não

consta da tabela o valor 1 que fecha o último intervalo.



26

Funcionamento da Função PROCV

A função PROCV é de uso mais amplo do que aquele aqui discutido. Internamente o

que ela realiza é uma busca de um valor (argumento 1) ao longo da coluna 1 de uma tabela

(argumento 2) retornando o valor correspondente na coluna indicada (argumento 3). Disso

advém o seu nome PROCURA VERTICAL em tabelas.

A procura é realizada por definição ao longo da coluna 1 da tabela. Nessa procura ela

não tenta localizar um valor igual, pois se assim fosse ela não conseguiria funcionar como uma

função escada. Efetivamente a procura termina ao localizar o valor na tabela mais próximo que

seja menor ou igual ao valor procurado. Localizado este valor, ela retorna o valor

correspondente da coluna resultado na mesma linha.

Quadro 2 – Exemplos de procura da função PROCV no Excel

Tabela procv Exemplos de procura

Início do intervalo

Valor Valor

procurado Mais próximo menor ou igual

Valor retornado

0,00 11 0,39 0,20 13 0,06 12 0,04 0,00 11 0,20 13 0,41 0,40 14

0,40 14 0,40 0,40 14 0,90 15 0,06 0,06 12

0,95 0,90 15 0,00 0,00 11 11,80 0,90 15 -0,05 - erro (#N/D)

Fonte: Autores

Distribuição Discreta – Exemplo

Inicialmente é necessário gerar os 1.500 números aleatórios de acordo com a

distribuição especificada. Em seguida contar quantos valores foram gerados para comprovar o

funcionamento do procedimento de geração via PROCV.

As únicas informações dadas são os valores indicados nas células de fundo cinza da

tabela de probabilidades. Todo o resto da planilha deve ser gerado através de fórmulas. Além

disso, a planilha deve ser flexível de modo que se possa alterar a tabela de probabilidades,

incluindo ou excluindo valores, sem necessidade de qualquer alteração nas fórmulas. A

Ilustração 8 mostra a simulação realizada no excel.



27

Ilustração 8 – Simulação com distribuição discreta utilizando a função PROCV no Excel

Fonte: Autores

A Ilustração 9 mostra detalhadamente as fórmulas utilizadas na simulação com

distribuição discreta realizada no excel.

Ilustração 9 – Fórmulas utilizadas na simulação com distribuição discreta

Fonte: Autores



28

Distribuição Uniforme Discreta

Se os valores discretos possuem a mesma distribuição? O que se modifica no

desenvolvimento da geração de valores aleatórios? Não se modifica em praticamente nada.

Basta considerar probabilidade igual para todos (ou seja, 100% dividido pelo número de valores

que a variável aleatória uniforme discreta pode assumir) e construir da mesma forma a tabela

PROCV, conforme a Tabela 8.

Tabela 8 – Tabela da Função PROCV para distribuição uniforme discreta

Valor Probabilidade 11 0,20 12 0,20 13 0,20 14 0,20 15 0,20

Fonte: Autores

Neste caso, a distribuição de probabilidades é discreta, pois podem ocorrer apenas

valores dentre um conjunto finito de valores. Além disso, as probabilidades são todas iguais.

No Excel recomenda-se que distribuições deste tipo sejam geradas através do uso da

função PROCV associada com a função ALEATÓRIO. Ou ainda, é possível utilizar a função

ALEATÓRIOENTRE (valor mesno; valor maior).

Distribuição Contínua Uniforme

Números aleatórios com distribuição contínua uniforme constituem um recurso básico

em simulação. No EXCEL, a função ALEATÓRIO gera números reais aleatórios

uniformemente distribuídos entre 0 e 1. O intervalo é fechado à esquerda e aberto à direita,

portanto, o valor 0 pode ser gerado enquanto o valor 1 não será gerado. A precisão é de 15 casas

decimais, por exemplo, 0,528978839355029. A Ilustração 10 representa este intervalo.

Ilustração 10 – Intervalo de números reais aleatórios gerados no Excel

Fonte: Autores



29

Como a cada alteração da planilha são recalculadas todas as fórmulas, a cada recálculo

é computado um novo valor aleatório. Para inibir este recálculo automático deve ser ligada a

opção correspondente em Ferramentas / Opções / Cálculo / Manual e desligada a opção

Recalcular antes de Salvar. Com o recálculo automático desligado é necessário acionar a tecla

F9 para computar novamente as fórmulas.

Para gerar números reais aleatórios uniformemente distribuídos num intervalo qualquer

[a , b) fechado à esquerda e aberto à direita deve ser usada a fórmula: a + ALEATÓRIO( ) ∗ (b

– a), conforme Ilustração 11. Por exemplo, para o intervalo 12,5 a 20,0 usamos 12,5 +

ALEATÓRIO( ) ∗ (20,0 – 12,5). O valor é gerado com 15 algarismos significativos, por

exemplo, 12,6883416653930.

Ilustração 11 – Fórmula de números aleatórios uniformemente distribuídos num intervalo

qualquer gerados no Excel

Fonte: Autores

Se o objetivo for gerar números inteiros no intervalo [k1 , k2], portanto o intervalo inclui

k1 e k2, deve-se usar a fórmula k1 + INT( ALEATÓRIO( ) ∗ (k2 – k1 + 1) ) onde INT é a

função que retorna a parte inteira de um número qualquer sem arredondamento, conforme

Ilustração 12. Isso gera uma distribuição discreta uniforme.

Ilustração 12 – Fórmula de números aleatórios inteiros uniformemente distribuídos num

intervalo qualquer gerados no Excel

Fonte: Autores



30

Distribuição Contínua Uniforme – Exemplo

O objetivo do exemplo é verificar que os números gerados pela função ALEATÓRIO

realmente se distribuem ao acaso no intervalo [0, 1) e que a sua distribuição é, ou pelo menos

parece ser, contínua (qualquer valor do intervalo pode ser gerado) e uniforme (cada valor tem

igual probabilidade de ser gerado).

Para observar estas propriedades deverá ser gerada uma tabela com 1.001 números

aleatórios a partir da qual serão construídos os gráficos indicados. Sugere-se usar 1.001

números em lugar de 1.000, pois esse valor fornece divisões de escala mais uniformes para os

eixos das abcissas nos gráficos. As tabelas e gráficos que devem ser gerados são os seguintes:

1) Gráfico da posição vertical dos números gerados

Para observar que os números se distribuem de forma aleatória e contínua sugere-se usar

um gráfico personalizado de tipo “linhas em 2 eixos” usando o assistente de gráfico. Após gerar

o gráfico acionar via botão direito do mouse a opção formatar seqüência de dados e definir:

padrões / linha / nenhuma. Esse gráfico mostra a posição de cada valor gerado ao longo do eixo

Y.

2) Gráfico da convergência ou estabilização da média

A média dos números gerados deve tender à média teórica que vale 0,5. Para observar

a convergência da média deve-se calcular a média dos primeiros 1, 2, 3, ... números gerados e

em seguida traçar o gráfico destas médias ao longo do tempo. Tipicamente o gráfico mostra que

a média oscila significativamente nos momentos iniciais e tende a se estabilizar em torno do

valor 0,5 com oscilações cada vez mais suaves.

3) Tabela e gráfico de frequências

Para observar que os números se distribuem uniformemente no intervalo [0, 1) é

necessário dividir esse intervalo em faixas de mesmo tamanho e contar quantos números caem

em cada faixa. O total de números que caem em cada faixa deverá ser aproximadamente o

mesmo. A contagem é feita construindo uma tabela de freqüências com o uso da função

FREQUÊNCIA.

Em seguida constrói-se um gráfico de barras para visualizar os resultados da tabela de

frequências. Este gráfico mostra que as barras oscilam em torno de um valor médio que é igual



31

ao número de pontos dividido pelo número de faixas considerado. O número de faixas deve ser

coerente com o objetivo da tabela/gráfico.

4) Gerar outros conjuntos de números aleatórios

O objetivo é verificar como se definem outros intervalos de variação e de que forma se

geram números aleatórios inteiros, sempre com distribuição uniforme. Construir uma tabela de

5 colunas conforme indicado:

coluna 1: números reais aleatórios entre 0,00 e 1,00;



coluna 4: números inteiros aleatórios entre 1 e 6 (incluir os extremos);

coluna 5: números inteiros aleatórios entre 10 e 40 (incluir os extremos).

Cada coluna deve conter 1.000 valores. Nas seis linhas finais de cada coluna computar:

1) os valores mínimo e máximo observados da coluna;

2) a média observada e a média teórica;

3) o desvio padrão observado e o desvio padrão teórico (exceto para as colunas 4 e 5 de

números inteiros).

O desvio padrão de uma distribuição contínua uniforme entre a e b vale (b - a) / raiz(12).

Distribuição Contínua Uniforme – Solução do Exemplo


O Gráfico 2 sugere que qualquer valor pode ser gerado (portanto a distribuição é

contínua) e não se identifica nenhum padrão na distribuição dos pontos (portanto os números

são aleatórios).



32

Gráfico 2 – Posição vertical dos números gerados

Fonte: Autores

2) Gráfico da convergência ou estabilização da média

Gráfico 3 – Convergência ou estabilização da média

Fonte: Autores



33

Como era de se esperar a média dos números aleatórios gerados tende a 0,5 conforme o

Gráfico 3. Na medida que aumenta a quantidade de números a média torna-se cada vez mais

próxima de 0,5. Na realidade a probabilidade de ocorrer um desvio significativo da média em

relação a 0,5 tende a zero, mas sempre continua a existir uma chance mínima do desvio se tornar

expressivo.


O gráfico 4 mostra que os números gerados se distribuem uniformemente no intervalo

[0, 1). Acionamentos sucessivos da tecla F9 não permitem identificar faixas privilegiadas com

mais ou menos números.

Gráfico 4 – Distribuição de frequências

Fonte: Autores

4) Gerar outros conjuntos de números aleatórios

As células com fundo cinza são células de entrada de dados. A partir destas células

constrói-se o restante da planilha conforme Ilustração 13 que detalha as fórmulas utilizadas.



34

Deve-se poder alterar o valor destas células sem necessidade de alterar qualquer fórmula da

planilha.

Ilustração 13 – Planilha para gerar conjuntos de números aleatórios

Fonte: Autores

Distribuição Normal

A distribuição normal tem papel importante em simulação. É comum assumir que

determinada variável obedece uma distribuição normal cuja média e desvio padrão são

conhecidos. Para simular esta variável é necessário gerar números aleatórios com distribuição

contínua normal. Isto é realizado no Excel através do uso simultâneo da função INV.NORM e

da função ALEATÓRIO. Pela própria definição da distribuição normal, esta é uma distribuição

contínua.

A função INV.NORM realiza a computação inversa da função DIST.NORM, portanto,

é interessante entender inicialmente o que esta última função calcula. Apenas por ilustração

deve ser lembrado que a curva da distribuição normal (denominada função densidade de

probabilidade) possui a fórmula apresentada na Ilustração 14.



35

Ilustração 14 – Fórmula da função densidade de probabilidade normal

Fonte: Autores

A curva depende unicamente dos parâmetros µ (média) e σ (desvio padrão). A variável

x pode assumir qualquer valor entre menos e mais infinito. A integral dessa função ou área

abaixo da curva vale 1.

Em geral não há interesse no valor de y para um dado x mas sim no valor da área a

esquerda de x e que expressa a probabilidade de ocorrência de um valor entre menos infinito e

x. A função DIST.NORM permite calcular tanto o valor de y quanto o valor da área dados x, a

média e o desvio padrão. A escolha entre o cálculo de y ou da área é feita através de um quarto

parâmetro que pode valer 0 (para y) ou 1 (para área). Finalmente, a função INV.NORM realiza

o cálculo inverso: dado o valor da área (entre 0 e 1) ela calcula o valor de x correspondente.

Com um pequeno truque pode-se usar a função INV.NORM para gerar múltiplos valores

de x e que se distribuam normalmente. Basta fornecer como parâmetro áreas aleatórias entre 0

e 1 geradas através da função ALEATÓRIO. A forma final de uso da função é:

INV.NORM ( ALEATÓRIO ( ) ; média ; desvio padrão )

A Ilustração 15 mostra o funcionamento das funções DIST.NORM com o quarto

argumento valendo 0 e 1 e a utilização da função INV.NORM.



36

Ilustração 15 – Funcionamento das funções DIST.NORM e INV.NORM

Fonte: Autores

Distribuição Normal – Exemplo

O objetivo deste exemplo é verificar que os números gerados pela função INV.NORM

realmente se distribuem de forma contínua segundo uma normal. Para observar estas

propriedades deverá ser gerada uma tabela com 2.001 números aleatórios de média 10 e desvio

padrão 4. A partir desta tabela serão gerados as seguintes tabelas e gráficos:

1) Tabela de evolução da média e do desvio padrão

A média dos números gerados deve tender à 10 e o desvio padrão deve tender à 4. Para

observar a convergência da média deve-se calcular a média dos primeiros 1, 2, 3, ... números

gerados.



37


Para observar que os números se distribuem de forma aleatória e contínua sugere-se usar

um gráfico personalizado de tipo “linhas em 2 eixos” usando o assistente de gráfico. Após gerar

o gráfico acionar via botão direito do mouse a opção formatar seqüência de dados e definir:

padrões / linha / nenhuma. Esse gráfico mostra a posição de cada valor gerado ao longo do eixo

Y.

3) Gráfico da estabilização da média

Este gráfico que permite visualizar a evolução das médias.


Para observar que os números se distribuem segundo uma normal é necessário dividir o

intervalo (por exemplo, de 0 a 20) em faixas de mesmo tamanho e contar quantos números

caem em cada faixa. A contagem é realizada construindo uma tabela de frequências com o uso

da função FREQUÊNCIA. Em seguida constrói-se um gráfico de barras para visualizar os

resultados da tabela de frequências. Este gráfico constitui um histograma com formato que se

aproxima de uma distribuição contínua normal.

Distribuição Normal – Solução do exemplo

1) Tabela de evolução da média e do desvio padrão

Nesta tabela a média tende à média da distribuição normal dada (igual a 10), da mesma

forma que a evolução do desvio-padrão.


O gráfico sugere que qualquer valor pode ser gerado (distribuição contínua). Também

fica evidente que os valores gerados se distribuem preferencialmente em torno da média.

A Ilustração 16 mostra a tabela de evolução da média e do desvio padrão e o gráfico da

posição vertical dos números gerados.



38

Ilustração 16 – Tabela de evolução da média e do desvio padrão e gráfico da posição

vertical dos números gerados

Fonte: Autores

3) Gráfico da estabilização da média

Gráfico 5 – Distribuição da estabilização da média

Fonte: Autores



39

Como era de se esperar a média dos números aleatórios gerados tende a 10 conforme

pode ser visualizado no Gráfico 5. Na medida que aumenta a quantidade de números, a média

torna-se cada vez mais próxima de 10. Na realidade, a probabilidade de ocorrer um desvio

significativo da média em relação a 10 tende a zero, mas sempre continua a existir uma chance

mínima do desvio se tornar expressivo.


O Gráfico 6 evidencia que os números gerados se distribuem de acordo com uma curva

normal.

Gráfico 6 – Distribuição de frequências

Fonte: Autores

simulaÇÃo aplicada À administraÇÃo · faculdade de economia, administraÇÃo e contabilidade...

Documents