fascículo - estatística aplicada a administração

ESTATSTICA APLICADA ADMINISTRAO

2012

2 edio

Marcelo Tavares

Ministrio da Educao MEC

Coordenao de Aperfeioamento de Pessoal de Nvel Superior CAPES

Diretoria de Educao a Distncia DED

Universidade Aberta do Brasil UAB

Programa Nacional de Formao em Administrao Pblica PNAP

Bacharelado em Administrao Pblica

2012. Universidade Federal de Santa Catarina UFSC. Todos os direitos reservados.

A responsabilidade pelo contedo e imagens desta obra do(s) respectivo(s) autor(es). O contedo desta obra foi licenciado temporria e

gratuitamente para utilizao no mbito do Sistema Universidade Aberta do Brasil, atravs da UFSC. O leitor se compromete a utilizar o

contedo desta obra para aprendizado pessoal, sendo que a reproduo e distribuio ficaro limitadas ao mbito interno dos cursos.

A citao desta obra em trabalhos acadmicos e/ou profissionais poder ser feita com indicao da fonte. A cpia desta obra sem autorizao

expressa ou com intuito de lucro constitui crime contra a propriedade intelectual, com sanes previstas no Cdigo Penal, artigo 184, Pargrafos

1 ao 3, sem prejuzo das sanes cveis cabveis espcie.

1 impresso 2011

T231e Tavares, MarceloEstatstica aplicada administrao / Marcelo Tavares. 2. ed. reimp. Florianpolis:

Departamento de Cincias da Administrao / UFSC; [Braslia] : CAPES : UAB, 2012.220p. : il.

Inclui bibliografiaBacharelado em Administrao PblicaISBN: 978-85-7988-099-5

1. Administrao Mtodos estatsticos. 2. Estatstica. 3. Probabilidades. 4. Educao adistncia. I. Coordenao de Aperfeioamento de Pessoal de Nvel Superior (Brasil). II.Universidade Aberta do Brasil. III. Ttulo.

CDU: 519.2:65

Catalogao na publicao por: Onlia Silva Guimares CRB-14/071

DESENVOLVIMENTO DE RECURSOS DIDTICOSUniversidade Federal de Santa Catarina

METODOLOGIA PARA EDUCAO A DISTNCIAUniversidade Federal de Mato Grosso

AUTOR DO CONTEDOMarcelo Tavares

PRESIDNCIA DA REPBLICA

MINISTRIO DA EDUCAO

COORDENAO DE APERFEIOAMENTO DE PESSOAL DE NVEL SUPERIOR CAPES

DIRETORIA DE EDUCAO A DISTNCIA

EQUIPE TCNICACoordenador do Projeto Alexandre Marino Costa

Coordenao de Produo de Recursos Didticos Denise Aparecida Bunn

Capa Alexandre Noronha

Projeto Grfico e Finalizao Annye Cristiny Tessaro

Editorao Rita Castelan

Ilustrao Livia Remor Pereira

Reviso Textual Claudia Leal Estevo Brites Ramos

Mara Aparecida Andrade R. Siqueira

Crditos da imagem da capa: extrada do banco de imagens Stock.xchng sob direitos livres para uso de imagem.

SUMRIO

Apresentao.................................................................................................... 9

Unidade 1 Fases do Mtodo Estatstico, Populao e Amostra

Fases do Mtodo Estatstico....................................................................... 15

Definio do Problema...................................................................... 16

Planejamento........................................................................................ 17

Coleta de Dados................................................................................ 17

Organizao de Dados......................................................................... 18

Apresentao de Dados......................................................................... 19

Anlise e Interpretao de Dados................................................................ 20

Populao e Amostras................................................................................. 23

Amostragens Probabilsticas............................................................... 29

Amostragem no Probabilstica.......................................................... 38

Unidade 2 Distribuies de Frequncias e Representao Grfica

Distribuies de Frequncias........................................................................ 47

Distribuio de Frequncias de uma Varivel Quantitativa Contnua.......... 49

Distribuio de Frequncias de uma Varivel Qualitativa........................ 56

Distribuio de Frequncias de uma Varivel Quantitativa Discreta............. 56

Representao Grfica........................................................................ 59

Unidade 3 Medidas de Posio e Disperso

Medidas de Posio.............................................................................. 71

Mdia......................................................................................... 72

Moda......................................................................................... 76

Mediana...................................................................................... 78

Separatrizes.................................................................................. 80

Medidas de Disperso......................................................................... 83

Amplitude Total.................................................................................. 84

Varincia..................................................................................... 85

Desvio Padro..................................................................................... 87

Coeficiente de Variao......................................................................... 88

Unidade 4 Probabilidade

Introduo.......................................................................................... 99

Experimento Aleatrio....................................................................... 101

Espao Amostral............................................................................... 103

Evento......................................................................................... 104

Definies de Probabilidades........................................................................ 105

Probabilidade Condicional........................................................................ 111

Regra do Produto e Eventos Independentes.................................................. 114

Algumas Regras Bsicas de Probabilidade...................................................... 120

Unidade 5 Distribuio de Probabilidades Discretas e Contnuas

Introduo............................................................................................................ 127

Distribuies Discretas...................................................................................... 129

Distribuio Binomial............................................................................... 130

Distribuio de Poisson............................................................................ 134

Distribuies Contnuas...................................................................... 138

Distribuio Normal........................................................................ 138

Distribuies Amostrais..................................................................... 146

Distribuio t de Student............................................................. 147

Distribuio de Qui-Quadrado............................................................. 151

Distribuio de F......................................................................... 154

Noes de Estimao...................................................................... 157

Estimao por Intervalos................................................................... 159

Dimensionamento de Amostras........................................................ 162

Unidade 6 Testes de Hipteses

Introduo................................................................................................ 169

Estrutura dos Testes de Hipteses.................................................................... 171

Teste de Hiptese para uma Mdia.................................................................. 176

Teste de Hiptese para a Razo de duas Varincias......................................... 181

Teste de Hiptese para a Diferena entre Mdias............................................. 185

Teste de Hiptese para a Diferena entre Propores....................................... 196

Teste do Qui-Quadrado de Indepedncia......................................................... 199

Associao entre Variveis.............................................................................. 203

Consideraes finais................................................................................. 217

Referncias.................................................................................................... 218

Minicurrculo.................................................................................................... 220

8Bacharelado em Administrao Pblica

Estatstica Aplicada Administrao

9Mdulo 4

Apresentao

APRESENTAO

Seja bem-vindo ao estudo da Estatstica!

Esperamos que esta disciplina seja uma experinciainteressante e enriquecedora. Pensando nisso, elaboramos o materialcom cuidado para que voc aprenda os principais conceitosassociados Estatstica, que vem se tornando cada vez maisimportante no competitivo ambiente de negcios e de gesto. Juntos,iremos viajar pelo mundo dos nmeros associados estatstica esuas relaes no dia a dia do gestor pblico.

O principal objetivo que voc tenha a oportunidade deampliar seu conhecimento sobre o universo da estatstica. Dessaforma, no sero feitas neste material dedues e demonstraesmatemticas de expresses. Ser tentado um entendimento maisabstrato das expresses a serem utilizadas.

Voc j deve estar acostumado a utilizar a estatstica, ouferramentas estatsticas, no seu dia a dia, sem saber que a estautilizando. Se voc acha que a estatstica se resume apenas anmeros e a grficos, est redondamente enganado. Dessa forma,estaremos, a partir de agora, entrando em um mundo no qual osnmeros iro sempre lhe falar ou lhe contar alguma coisa. O seutrabalho usando a estatstica passar a ser o de ajudar a planejar aobteno de dados, a interpretar e a analisar os dados obtidos e aapresentar os resultados de maneira a facilitar a sua tomada dedecises como gestor na rea pblica.

Para gerar tabelas, grficos e utilizar tcnicas estatsticas,temos uma infinidade de softwares que fazem isso automaticamente.Entretanto, para podermos descobrir quais as respostas que os dadospodem nos dar para determinados questionamentos, necessrio



que voc saiba a teoria estatstica e treine suas aplicaes por meiode estudos de casos, ou situaes.

Sempre surgem, ento, perguntas do tipo: quais variveisdevem ser medidas? Como retirar amostras da populao que sedeseja estudar? Que tipo de anlise realizar? Como interpretar osresultados? Espero que no final da leitura deste material voc tenhacondies de responder de forma clara a essas perguntas e a outrasque podem ser feitas.

necessrio termos em mente que a estatstica umaferramenta para o gestor ou para o executivo, nas respostas aosporqus de seus problemas. Contudo, para que ela seja bemutilizada, necessrio conhecer os seus fundamentos e os seusprincpios e, acima de tudo, que o gestor desenvolva um espritocrtico e de anlise; pois fcil mentir usando a estatstica, difcil falar a verdade sem usar a estatstica.

Atualmente, as empresas tm procurado admitir comogestores os profissionais que tenham um nvel de conhecimento deestatstica alto, pois esse conhecimento tem resultado em diferenasignificativa nos processos decisrios.

Para estudar na modalidade a distncia o contedo dadisciplina Estatstica Aplicada Administrao preciso que voctenha disciplina intelectual que, para desenvolver, somentepraticando e, ainda, uma postura crtica, sistemtica. Ou seja, aoinvs de voc atuar como passivo e concordar com tudo o que dizo texto, voc deve duvidar, contestar, criticar, comentar edescobrir o que o autor quer dizer. O ato de estudar exige quevoc faa exerccios e entenda o que est fazendo, no sendoapenas um mero executor de frmulas. Isso implica o entendimentodos conceitos apresentados neste material.

Uma vez que a leitura uma atividade, voc deve ser ativo.Tenha certeza de que um estudante consegue aprender mais do queo outro medida que se aplica mais e capaz de uma atividademaior de leitura. E aprende melhor se exigir mais de si mesmo e dotexto que tem diante de si.

11Mdulo 4

Apresentao

Para tanto, dividimos o livro em seis Unidades. Na Unidade1, iremos ver as fases do mtodo estatstico e os conceitos depopulaes, de amostras e de mtodos de amostragem.Nas Unidades 2 e 3, vamos aprender a descrever um conjunto dedados por meio de distribuies de frequncias, de medidas deposio e de disperso. J nas Unidades 4 e 5, estaremosaprendendo conceitos relacionados a probabilidades, a distribuiesdiscretas e contnuas, alm de noes de estimao. E, por fim, naltima Unidade, voc ir aprender como tomar decises baseadasnos chamados testes de hipteses.

Desejo a voc bons estudos!

Professor Marcelo Tavares

UNIDADE 1

OBJETIVOS ESPECFICOS DE APRENDIZAGEM

Ao finalizar esta Unidade, voc dever ser capaz de: Entender as relaes entre as fases do mtodo estatstico e aplic-

las no desenvolvimento de seus projetos; Compreender conceitos bsicos relacionados estatstica, como

variveis, estimadores, estimativas, parmetros, populao,amostras; e

Entender os diversos tipos de amostragem e saber como aplic-los quando for desenvolver qualquer tipo de projeto em que seutilize planos amostrais.

FASES DO MTODO ESTATSTICO,POPULAO E AMOSTRA

15Mdulo 4


FASES DO MTODO ESTATSTICO

Caro estudante,Vamos iniciar nossos estudos de estatstica para que voctenha condies de identificar a forma pela qual podemosutiliz-la, seja dentro da pesquisa cientfica ou na tomadade decises e na estruturao de projetos.Alm disso, trabalharemos a definio de populao e deamostra, bem como a forma de retirar as amostras de umapopulao; temas de fundamental importncia para quevoc consiga desenvolver trabalhos com resultados decampo de alto nvel.Vamos ento aprender esses assuntos? Boa leitura e,qualquer dvida, no hesite em consultar o seu tutor.

Para realizarmos um estudo estatstico, normalmente, existemvrias etapas a serem realizadas. Essas etapas so chamadas defases do mtodo estatstico. Quando voc tiver bem definido essasfases, e tiver condies de realiz-las de forma adequada, a chancede sucesso em um trabalho estatstico ou que envolva estatsticaser muito maior. Para isso, ento, voc ir conhecer essas fasesou etapas de forma mais detalhada.

As fases do mtodo estatstico so:

definio do problema; planejamento do processo de resoluo; coleta dos dados; organizao de dados; apresentao de dados; e anlise e interpretao dos resultados.



vVeremos esses conceitosmais adiante nestaUnidade, ao longo dadisciplina.

Agora, voc ver de forma detalhada cada uma dessas fases.Ao longo da apresentao, iremos detalhando cada uma delas,inserindo-as passo a passo, para que no final voc tenha uma ideiadas relaes entre essas fases.

DEFINIO DO PROBLEMA

A primeira fase consiste na definio e na formulao corretado problema a ser estudado. Para isso, voc deve procurar outrosestudos realizados sobre o tema escolhido, pois, desse modo, vocevitar cometer erros que j tenham sido cometidos por outros.

Sendo assim, essa primeira fase pode responder definiode um problema ou, simplesmente, dar resposta a um interesse deprofissionais. Em alguns casos, podem estar envolvidas variveisqualitativas e quantitativas, por exemplo:

a receita do Imposto Territorial e Predial Urbano (IPTU)de cada um dos bairros de uma cidade em vrios anos;

o tratamento de dados relativos aos desempenhos dosfuncionrios de um setor de uma prefeitura ao longode alguns meses;

a quantidade de residncias em uma cidade queatrasam o pagamento do IPTU em 1, 2, 3, 4, 5 ou maismeses; e

o tempo necessrio entre o pedido de reparo de umavia pblica e a realizao do servio.

Mas no para por a! Existem outros problemas relacionados gesto pblica que merecem ser resolvidos.

Definio do problema

17Mdulo 4


PLANEJAMENTO

Aps voc definir o problema, preciso determinar umprocesso para resolv-lo e, em especial, a forma de como obterinformaes sobre a varivel ou as variveis em estudo. nessafase que devemos decidir pela observao da populao ou de umaamostra. Portanto, voc precisa:

determinar os procedimentos necessrios para resolvero problema, em especial, como levantar informaessobre o assunto objeto do estudo;

planejar o trabalho tendo em vista o objetivo a seratingido;

escolher e formular corretamente as perguntas; definir o tipo de levantamento censitrio ou por

amostragem; e

definir cronograma de atividades, custos envolvidos,delineamento da amostra etc.

Definio do problema

Planejamento da pesquisa

COLETA DOS DADOS

Agora que voc j planejou o seu trabalho, vamos para aterceira etapa, que consiste na coleta de dados. Essa fase que deveser seguida com cuidado, pois dados mal coletados resultam em



estatsticas inadequadas ou que no refletem a situao que vocdeseja estudar.

Os dados podem ser coletados, por exemplo, por meio de:

questionrio; observao; experimentao; e pesquisa bibliogrfica.

A coleta de dados que voc vai fazer pode ser realizada deforma direta com base nos elementos de registros ou pelo prpriopesquisador atravs de questionrios.

Definio do problema


Coleta dos dados

ORGANIZAO DE DADOS

Agora que temos os dados precisamos organiz-los, poissomente coletar os dados no suficiente. Essa organizao consisteem resumir os dados atravs da sua contagem e agrupamento.Desse modo, obtemos um conjunto de informaes que ir conduzirao estudo do atributo estatstico*. Geralmente, essa organizao feita em planilhas eletrnicas (tipo Excel) para posteriortratamento estatstico*.

*Atributo estatstico

toda medida estatst i-

ca, por exemplo, mdia.

Fonte: Elaborado pelo

autor.

*Tratamento estatstico

implica analisar os da-

dos utilizando tcnicas

estatsticas. Fonte: Ela-

borado pelo autor.

19Mdulo 4


Definio do problema


Coleta dos dados

Organizao dos dados

APRESENTAO DE DADOS

Agora que temos os dados organizados, precisamosapresent-los e, para tanto, existem duas formas de apresentaoque voc poder utilizar, que no se excluem mutuamente, a saber:

apresentao por tabelas; e apresentao por grficos.

Essas formas de expor as informaes coletadas permitemsintetizar uma grande quantidade de dados (nmeros), tornandomais fcil a compreenso do atributo em estudo e permitindo umafutura anlise.



vComo quantificar essegrau de incerteza, vocir aprender na Unidade 5.

Na Unidade 2, ampliaremos nossa discusso quanto formade apresentao dos dados, ou seja, detalharemos como montaressas tabelas de distribuio de frequncias, quais os tipos degrficos mais adequados para cada situao que voc venha a ter.

ANLISE E INTERPRETAO DE DADOS

Nessa fase, voc ir calcular novos nmeros com mdias*embasadas nos dados coletados. Esses novos nmeros permitemfazer uma descrio do fenmeno em estudo, evidenciando algumasdas suas caractersticas particulares. Nessa fase, ainda possvel,por vezes, arriscar alguma generalizao a qual envolver semprealgum grau de incerteza.

Na fase de anlise e de interpretao dos dados, precisamos,ainda, estar muito atentos ao significado das medidas estudadas,

Definio do problemaDefinio do problema

Planejamento da pesquisaPlanejamento da pesquisa

Coleta dos dados

Organizao dos dadosOrganizao dos dados

Apresentao dos dadosApresentao dos dados

*Mdias so os resulta-

dos obtidos por meio da

soma de todos os valores,

divididos pela quantida-

de de nmeros que voc

somou. Fonte: Elaborado

pelo autor.

21Mdulo 4


por exempo, mdia e moda* e ao porqu de as utilizarmos. Paraverificar as relaes entre essas medidas, voc deve estar de menteaberta. E, para tanto, necessrio que voc conhea a estrutura eo clculo dessas medidas.

Imagine que voc esteja envolvido em um estabelecimentode conjecturas e na comunicao da informao de uma formaconvincente atravs da elaborao de relatrios, de textos e deartigos que incluam, por exemplo, grficos e tabelas. As pessoasque se uti l izam da estatstica como ferramenta devem sersensibilizadas para a influncia que poder ter o modo deapresentao da informao na comunicao de resultados, autilizao de diferentes grficos e/ou de diferentes escalas.

Para compreender essa nossa conversa, analise a Figura 1,que apresenta um resumo de todas essas fases:

*Moda valor que mais

se repete em um conjun-

to de observaes. Fon-

te: Elaborado pelo autor.

Definio do problemaDefinio do problema


Coleta dos dados

Organizao dos dados

Apresentao dos dadosApresentao dos dados

Anlise e interpretao dos dados

Concluses

Figura 1: Fases do mtodo estatsticoFonte: Elaborada pelo autor



Por fim, importante destacarmos que para a realizaodessa fase de anlise faz-se necessrio que voc tenha o domnioda utilizao de planilhas tipo Excel e de softwares estatsticos.

23Mdulo 4


POPULAO E AMOSTRAS

Antes, precisamos entender o que uma populao e o que uma amostra. Se considerarmos somente os habitantes de umacidade que contribuem com o pagamento do IPTU, podemosconsiderar essas pessoas como sendo a populao, pois apresentamcaractersticas em comum; sendo, nesse caso, o fato de que elas estona mesma cidade e contribuem, todas, com o imposto do IPTU.

Suponha, todavia, que voc queira trabalhar com apenasuma par te dessa populao, a qual apresente as mesmascaractersticas da populao da qual voc ter uma amostra, ouseja, uma poro ou frao da populao que preserva todas ascaractersticas importantes dos elementos que a integram.

Nessa populao, geralmente, voc poder medir umavarivel, por exemplo, a renda dessas pessoas. Assim, voc poderquerer calcular a renda mdia dessa populao de pessoas quecontribuem com o IPTU (mdia populacional () que corresponde,geralmente, a um valor desconhecido chamado de parmetro). Comovoc no vai medir toda a populao, podemos obter uma amostraque represente essa populao e, estudando a amostra, voc tercondies de calcular a mdia amostral (x) que corresponde aoestimador, e o resultado obtido (valor numrico) corresponder estimativa. Para entender melhor essa relao, observe a Figura 2,a seguir.



Figura 2: Relaes entre estimadores, parmetros e estimativaFonte: Elaborada pelo autor

Para voc entender melhor a figura anterior, verifique que (mdia populacional) e (desvio padro populacional)correspondem aos parmetros (populao), e x corresponde aoestimador (amostra) e R$ 587,00 corresponde estimativa da rendamdia populacional (aproximao numrica do valor da populao).

Portanto, quando voc est estudando uma populao inteira(censo) ou realizando uma amostragem, a classificao da varivelque est trabalhando ser muito importante. Ento, vamos ver aclassificao das variveis em relao a sua natureza; as quaispodem ser: qualitativas (ordinais ou nominais) e quantitativas(discretas ou contnuas). Essa classificao permitir, por exemplo,que voc defina, posteriormente, o tipo de teste de hiptese a serutilizado ou o tipo de distribuio de probabilidade que necessitaraplicar para a varivel em questo.

Sendo assim, precisamos entender a classificao dasvariveis. Ento, mos obra! A classificao:

AmostragemPopulao

= ?

= ?

Amostra

= R$587,00 = R$587,00

Varivel qualitativa: faz referncia a observaesrelacionadas a atributos que no apresentam estruturanumrica, como cor dos olhos, classe social, estadocivil, nome da empresa etc. Essa varivel qualitativapode ser classificada em:

Nominal: quando as observaes no apresentamnenhuma hierarquia ou ordenamento, como o sexo

25Mdulo 4


dos funcionrios de uma prefeitura; estado civil;naturalidade, etc.

Ordinal: quando as observaes apresentam umahierarquia ou um ordenamento, por exemplo, cargodo funcionrio de uma empresa (diretor, gerente,supervisor etc.); posio das empresas em relao apagamento de impostos em um municpio (primeira,segunda, terceira etc.).

Varivel quantitativa: essa varivel est relacionadas observaes que apresentam uma estruturanumrica associada a contagens ou a mensuraes,como quantidade de energia eltrica consumida poruma prefeitura em um ms; nmero de pessoasatendidas por hora em um determinado setor pblicoetc. Essa varivel quantitativa pode ser classificada em:

Discreta: observaes de estrutura numrica estoassociadas a valores fixos, ou seja, na maioria dos casos,nmeros inteiros e positivos associados a contagens,como o nmero de pessoas que pagam seus impostosem dia etc.



Contnua: so todas as observaes que representamvalores numricos que podem assumir qualquer valordentro de um intervalo, ou seja, os nmeros reais, porexemplo, o tempo que pessoas ficam na fila aguardandopara serem atendidas; peso dos funcionrios de umaprefeitura etc.

Para melhor visualizar essa classificao das variveis,observe a Figura 3, apresentada a seguir.

*Amostras representati-

vas so as amostras que

mantm as caractersti-

cas da populao de onde

ela foi retirada. Fonte:

Elaborado pelo autor.

*Censo avaliao de

toda a populao. Fonte:


Figura 3: Classificao das variveisFonte: Elaborada pelo autor

Agora que voc j conhece e compreendeu a classificaodas variveis, vamos voltar relao entre amostragens epopulaes. A amostragem o estudo das relaes existentes entrea amostra e a populao de onde ela a amostra foi extrada e aforma como ocorreu essa extrao.

As principais vantagens da util izao do estudo poramostras representativas* em relao ao censo* so:

Ocorre uma reduo no custo, pois sendo os dadosobtidos apenas de uma frao da populao, asdespesas so menores do que as oriundas de um censo.Tratando-se de grandes populaes, podemos obterresultados suficientemente precisos, para serem teis,de amostras que representam apenas uma pequenafrao da populao.

27Mdulo 4


Na prtica ou no dia a dia das organizaes, necessrio que os resultados sejam obtidos com amaior rapidez possvel. Portanto, com a amostragem,voc pode apurar os dados e sintetiz-los maisrapidamente do que em uma contagem completa. Esse um fator primordial quando se necessi taurgentemente das informaes. Se o resultado de umapesquisa for conhecido muito tempo depois, bempossvel que a situao que voc pretendia resolverseja, no momento presente, completamente diferenteda que existia no momento da coleta dos dados.

Outra vantagem corresponde a maior amplitude eflexibilidade. Em certos tipos de investigao, comoocorre em pesquisas de mercado, temos que utilizarpessoal bem treinado e equipamento de alta tecnologia,cuja disponibilidade limitada para a obteno dedados. O censo completo torna-se impraticvel e restaa escolha de obter as informaes por meio de umaamostra. Portanto, com um nmero reduzido deentrevistadores, por exemplo, o treinamento a seraplicado com eles de qualidade muito maior do queem um grupo maior de entrevistadores.

A ltima vantagem a ser citada aqui a maior exatidodos resultados. Em virtude de se poder empregarpessoal de melhor qualidade e mais treinado, e por setornar exequvel a superviso mais cuidadosa docampo de trabalho e do processamento de dados,favorecendo reduo no volume de trabalho, umaamostragem pode, na realidade, proporcionarmelhores resultados do que o censo.

Dessa forma, podemos dizer que as amostras a seremtrabalhadas devem apresentar uma caracterstica importante quecorresponde representatividade. Para que as concluses dateoria de amostragem sejam vlidas, as amostras devem serescolhidas de modo a serem representativas da populao.



Antes de darmos continuidade, reflita: como voc faria para

retirar uma amostra de 300 pessoas que esto em um cadastro

de prefeitura que tem 60.000 pessoas? Essa amostra seria

representativa da populao?

Uma vez que voc tenha decidido realizar a pesquisaselecionando uma amostra da populao, preciso elaboraro plano de amostragem*. O plano de amostragem consiste emdefinir as unidades amostrais*, maneira pela qual a amostra serretirada (o tipo de amostragem), e o prprio tamanho da amostra.

Essas unidades amostrais podem corresponder aos prprioselementos da populao, quando h acesso direto a eles, ou qualqueroutra unidade que possibilite chegar at eles. Voc pode considerarcomo populao os domiclios de uma cidade da qual se desejaavaliar o perfil scioeconmico. A unidade amostral ser cada umdos domiclios, que corresponder aos elementos da populao.Caso a unidade amostral seja definida como os quarteires, aunidade amostral no corresponder aos elementos populacionais.

Temos dois tipos principais de amostragem as probabilsticase as no probabilsticas. Observe a descrio a seguir:

Amostragem probabilstica: ocorre quando todosos elementos da populao tiveram uma probabilidadeou a chance conhecida e diferente de zero de pertencer amostra. Por exemplo, imagine que temos 50funcionrios de uma prefeitura em uma atividade detreinamento e voc deve selecionar 10 funcionrios.A realizao desse tipo de amostragem somente possvel se a populao for finita e totalmente acessvel.

*Plano de amostragem

plano de como ser feita

a retirada da amostra da

populao. Fonte: Elabo-

rado pelo autor.

*Unidades amostrais

correspondem s unida-

des selecionadas. Fonte:


29Mdulo 4


Amostragem no probabilstica: assim denominadasempre que no conhecemos a probabilidade ou a chancede um elemento da populao pertencer amostra. Porexemplo, quando somos obrigados a colher a amostra naparte da populao a que temos acesso, ou seja, oselementos da populao a que no temos acesso no tmchance de serem sorteados para compor a amostra.

Voc pode notar que a uti l izao de uma amostraprobabilstica melhor para garantir a representatividade daamostra, pois o acaso ser o nico responsvel por eventuaisdiscrepncias entre populao e amostra. Essas discrepncias solevadas em considerao nas inferncias estatsticas.

Vamos, ento, detalhar os tipos de amostragens probabilsticas.

AMOSTRAGENS PROBABILSTICAS

Como j mencionamos, essa amostragem caracterizadapela chance conhecida de mensurarmos uma amostra. Os principaismtodos de amostragem so: aleatria (casual) simples, sistemtica,estratificada e conglomerado. Veja a seguir a descrio de cadauma delas.

Amostragem Aleatria (Casual) Simples

Devemos utilizar a Amostragem Aleatria Simples (AAS)somente quando a populao for homognea em relao varivelque se deseja estudar. Geralmente, atribumos uma numerao a cadaindivduo da populao e atravs de um sorteio aleatrio os



elementos que iro compor a amostra so selecionados. Todos oselementos da populao tm a mesma probabilidade de pertencer amostra.

Imagine que voc queira amostrar um nmero de pessoasque esto fazendo um determinado concurso com N = 10.000inscritos. Como a populao finita, devemos enumerar cada umdos N candidatos e sortear n = 1.000 deles.

Amostragem Sistemtica

Em algumas situaes como amostrar pessoas que ficam emuma fila, conveniente retirar da populao os elementos que irocompor a amostra de forma cclica (em perodos), por exemplo,quando os elementos da populao se apresentam ordenados. Porm, de fundamental importncia que a varivel de interesse noapresente ciclos de variao coincidente com os ciclos de retirada,pois esse fato tornar a amostragem no representativa. Essa tcnicade amostragem o que denominamos de amostragem sistemtica.

Para entender melhor, vamos imaginar que voc queira retiraruma amostra dos currculos apresentados pelos candidatos em umprocesso seletivo, e a varivel de interesse corresponde idade deles.Pode ocorrer que pessoas de uma determinada faixa etria deixempara entregar o currculo no ltimo dia. Ento, se pegssemos de formaaleatria, poderamos estar subestimando ou superestimando a idademdia. Nessa situao, foram recebidos 500 currculos ordenados porordem de entrega. Considerando que amostrar 50 currculos osuficiente para estimar a idade mdia dos candidatos, utilizamos atcnica de amostragem sistemtica, pois pode ocorrer que um grupode pessoas da mesma faixa etria tenha feito a inscrio em grupo e,

31Mdulo 4


assim, na ordem de inscrio, teremos diversas pessoas com a mesmaidade. Devemos considerar ento que as idades estejam aleatoriamentedistribudas na populao, ou seja, sem qualquer ciclo de repetio.

Para tanto, necessrio, antes, que enumeremos a populaode 1 a 500 e calcularemos uma constante (K) que servir comofator de ciclo para retirada dos currculos amostrados. Assim,podemos dividir os 500 currculos pelo tamanho da amostra (50)que desejamos trabalhar e, ento, teremos uma constante igual a10 e os elementos sero amostrados a cada 10 elementos.Generalizando, teremos que a constante (K) ser dada por K= N/n,em que N o tamanho da populao e n o tamanho da amostra.

Aps a definio do valor de K, fazemos o sorteio de umponto inicial da amostragem (PIA), ou seja, um dos elementos doprimeiro intervalo constitudo pelos elementos populacionaisnumerados de 1 at 10. Na sequncia, devemos escolher o prximoque ser o elemento de ordem (i + K) e assim por diante, sempresomando K ordem do elemento anterior at completar a escolhados n elementos que iro compor a amostra. Um esquema apresentado na Figura 3 no caso em que K = 5.

Figura 4: Exemplo de amostra sistemticaFonte: Elaborada pelo autor

Para fixar os conceitos de amostragem sistemtica, vamosfazer, juntos, um esquema de amostragem para saber a opiniodos usurios de um banco, em relao ao tempo de atendimento.

Imagine um Banco X com uma listagem de 33.400 clientes

em uma determinada cidade. A pesquisa ser feita por telefone,

utilizando uma estrutura de call center. Desejando que seja

trabalhado com uma amostra de 300 clientes. Como seria

organizada a amostragem sistemtica?



Antes, voc deve dividir o nmero total de clientes, 33.400,por 300, que o tamanho da amostra.

Como encontramos um valor com casas decimais, ento,voc ir utilizar um K de aproximadamente 111.

Agora, do primeiro cliente da lista at o de numero 111, vocir sortear um nmero. Vamos considerar que sorteamos o clientenmero 10.

Logo, esse ser o primeiro elemento da amostra.

O prximo elemento da amostra ser dado pela soma doprimeiro sorteado (10 cliente) ao valor de K (111).

Ento, o prximo cliente sorteado ser o 121 cliente (10 + 111).

Para o sorteio do prximo cliente que ir compor a amostra,teremos o 121 cliente mais o valor de K = 111, ou seja, o 232 cliente.

E, desse modo, voc continua at que obtenha todos oselementos da amostra (n = 300 clientes).

Amostragem Estratificada

Quando a varivel de interesse apresenta umaheterogeneidade na populao e essa heterogeneidade permite aidentificao de grupos homogneos, voc pode dividir a populaoem grupos (estratos) e fazer uma amostragem dentro de cada estrato,garantindo, assim, a representatividade de cada estrato na amostra.

Podemos verificar que pesquisas eleitorais apresentam umagrande heterogeneidade em relao inteno de votos quando

33Mdulo 4


consideramos, por exemplo, a faixa salarial ou o nvel deescolaridade. Ento, se fizssemos uma AAS, poderamos incluirna amostra maior quantidade de elementos de um grupo, embora,proporcionalmente, esse grupo seja pequeno em relao populao. Dessa forma, no teramos uma amostra representativada populao a ser estudada. Portanto, podemos dividir a populaoem grupos (estratos) que so homogneos para a caracterstica queestamos avaliando, ou seja, nesse caso a inteno de votos.

Como estamos dividindo a populao em estratos (grupos)que so homogneos dentro de si, podemos caracterizar aamostragem estrati f icada. Para efetuarmos a amostragemestratificada de forma proporcional, precisamos, primeiramente,definir a proporo do estrato em relao populao.

A proporo do estrato h ser igual ao nmero deelementos presentes nesse estrato (Nh) dividido pelotamanho da populao (N) (Nh/N).

Aps voc obter essa proporo do estrato em relao populao, deve multiplicar o tamanho total da amostra (n) pelaproporo de cada estrato na populao (Nh/N).

Dessa maneira, teremos um tamanho de amostra em cadaestrato proporcional ao tamanho do estrato em relao populao.A Figura 4 mostra uma populao dividida em estratos (grupos) ecomo feita a escolha dos elementos de cada estrato (A, B, C, D).Logo, dentro de cada um dos estratos, voc pode fazer amostragemusando AAS devido aos estratos serem homogneos individualmente,considerando a varivel de interesse.



Perceba que a quantidade de elementos que iremos sorteardentro de cada estrato proporcional ao tamanho de cada estratona populao, pois o desenho da amostra o mesmo da populao,porm menor, j que voc ir pegar somente uma parte de cadaestrato para compor a amostra final.

Para voc fixar melhor os conceitos de amostragemestratificada, vamos resolver juntos a seguinte situao: imagineque o governo federal deseja fazer uma pesquisa de satisfaodas pessoas em relao a servios prestados por prefeituras.Estudos anteriores mostram uma relao entre a satisfao daspessoas e o tamanho da cidade. A populao a ser consideradadiz respeito s cidades de um determinado Estado. Essas cidadesforam divididas em trs grupos (estratos) levando em conta otamanho da cidade (pequena, mdia e de grande porte). Considereque vamos trabalhar com uma amostra de tamanho n = 200cidades e, com as informaes a seguir, faa o esquema de umaamostragem estratificada.

Calcule, antes, a proporo de cada estrato na populao,dividindo o tamanho do estrato pelo tamanho da populao(700+100+27 = 827).

ESTRATOS

Pequeno porte

Mdio porte

Grande porte

TAMANHO DO ESTRATO (N DE CIDADES)

N1 = 700

N2 = 100

N3 = 27

35Mdulo 4


A obteno da quantidade de cidades que ser amostradana populao ser dada por meio da proporo de cada estratomultiplicado pelo tamanho total da amostra (n=200), como mostrado a seguir:

ESTRATOS

Pequeno porte

Mdio porte

Grande porte

N DE CIDADES

N1 = 700

N2 = 100

N3 = 27

PROPORO

Ento, na nossa amostra, teremos 170 cidades de portepequeno, 24 cidades de porte mdio e 6 cidades de grande porte.

ESTRATOS

Pequenoporte

Mdioporte

Grandeporte

N DE CIDADES

N1 = 700

N2 = 100

N3 = 27

PROPORON DE CIDADES AMOSTRADA

EM CADA ESTRATO

n1 = 0,8464.200 = 169,28 170

n2 = 0,1209.200 = 24,18 24

n3 = 0,0326.200 = 6,52 6

Amostragem por Conglomerados

Apesar de a amostragem estratificada apresentar resultadossatisfatrios, a sua implementao dificultada pela faltade informaes sobre a populao para fazer a estratificao.



Para poder contornar esse problema, podemos trabalhar com oesquema de amostragem chamado amostragem por conglomerados.

Os conglomerados so definidos em razo da experinciado gestor ou do pesquisador. Geralmente, podemos definir osconglomerados por fatores geogrficos, como bairros e quarteires.A utilizao da amostragem por conglomerados possibilita umareduo significativa do custo no processo de amostragem. Portanto,um conglomerado um subgrupo da populao que,individualmente, reproduz a populao. Esse tipo de amostragem muito til quando a populao grande, por exemplo, no caso deuma pesquisa em nvel nacional.

Voc pode estar se perguntando como: realizar uma

amostragem por conglomerados?

Apesar de a amostragem por conglomerados, nesse tipo deamostragem, ser utilizada para uma populao grande, simplesde calcul-la. Primeiramente, definimos o conglomerado e, assim,dividimos a populao nele. Sorteamos os conglomerados por meiode um processo aleatrio e avaliamos todos os indivduos presentesneles, isso chamado de amostragem por conglomerados em umestgio. Caso faamos um sorteio de elementos dentro de cadaconglomerado, teremos uma amostragem por conglomerados emdois estgios. Para entender melhor esse clculo, observe a Figura5, que mostra uma amostragem por conglomerados em um nicoestgio. Cada quadrado corresponde a uma residncia. Analise.

37Mdulo 4


Figura 5: Amostra por conglomeradosFonte: Elaborada pelo autor

Um exemplo prtico de utilizao dessa amostra a PesquisaNacional por Amostra de Domiclios (PNAD) do Instituto Brasileirode Geografia e Estatstica (IBGE), feita por conglomerados em trsestgios. vPara saber mais sobreessa pesquisa acesse

.

Acesso em: 18 nov. 2010.

O clculo do tamanho amostral ser visto em conjunto coma parte de intervalos de confiana na Unidade 5.



AMOSTRAGEM NO PROBABILSTICA

Quando trabalhamos com a amostragem no probabilstica,no conhecemos a priori a probabilidade que um elemento dapopulao tem de pertencer amostra. Nesse caso, no possvelcalcular o erro decorrente da generalizao dos resultados dasanlises estatsticas da amostra para a populao de onde aamostra foi retirada. Ento, utilizamos geralmente a amostragemno probabilstica, por simplicidade ou por impossibilidade de seobter uma amostra probabilstica como seria desejvel.

Os principais tipos de amostragem no probabilstica quetemos so: amostragem sem norma, ou a esmo; intencional; e porcotas.

Amostragem a Esmo

Imagine uma caixa com 1.000 parafusos. A enumeraodesses parafusos ficaria muito difcil e a AAS tornar-se-ia invivel.Ento, em situaes desse tipo, supondo que a populao deparafusos seja homognea, escolhemos a esmo a quantidade relativaao tamanho da amostra. Quanto mais homognea for a populao,mais podemos supor a equivalncia com uma AAS. Dessa forma,os parafusos sero escolhidos para compor a amostra de umdeterminado tamanho sem nenhuma norma ou a esmo. Da vem onome desse tipo de amostragem.

39Mdulo 4


Amostragem Intencional

A amostragem intencional corresponde quela em que oamostrador deliberadamente escolhe certos elementos parapertencer amostra por julgar tais elementos bem representativosda populao.

Um exemplo desse tipo de amostragem corresponde situao em que desejamos saber a aceitao de uma nova marcade whisky a ser inserida no mercado de uma cidade. Somenteentraro para compor a amostra pessoas que faam uso da bebidae que tenham condies financeiras de comprar essa nova marca(classe social de maior poder aquisitivo).

v

Para termos uma ideia

do tamanho desses

grupos, podemos

recorrer a pesquisas

feitas anteriormente

pelo IBGE.

Amostragem por Cotas

Nesse tipo de amostragem, a populao dividida em grupose, na sequncia, determinada uma cota proporcional ao tamanhode cada grupo. Entretanto, dentro de cada grupo no feito sorteio,mas sim os elementos so procurados at que a cota de cada gruposeja cumprida.

Encontramos esse tipo de amostra em pesquisas eleitoraisquando a diviso de uma populao ocorre em grupos;considerando, por exemplo, o sexo, o nvel de escolaridade, a faixaetria e a renda, que podem servir de base para a definio dosgrupos, partindo da suposio de que essas variveis definemgrupos com comportamentos diferenciados no processo eleitoral.



Juntando todos os desenhos dos vrios tipos de amostragemque fizemos, teremos, ento, a Figura 6:

Figura 6: Tipos de amostragemFonte: Elaborada pelo autor

Complementando...Lembre-se de que a construo do conhecimento um processo quedeve ser cclico e renovado a cada dia; para tanto, procure descobrirmais acerca desse mundo estatstico seguindo esta orientao:

Programa estat s t ico Bioestat . Disponvel em: . Acesso em: 18nov. 2010. Esse programa permite que voc realize os mtodos deamostragem, apresentados aqui, computacionalmente.

41Mdulo 4


ResumindoNesta Unidade, voc conheceu conceitos bsicos

relacionados estatstica e aprendeu a retirar amostras depopulaes. Esses conceitos sero importantes para a compreensode novas informaes contidas nas Unidades posteriores.



Atividades de aprendizagem

Depois de ter visto todos os conceitos das fases do mtodoestatstico, a classificao de variveis e os diferentesplanos amostrais, resolva as atividades a seguir. Lembre-sede que as respostas de todas as atividades de aprendizagemesto no final do livro. Em caso de dvidas, voc deveconsultar seu tutor.

1. Imagine a situao de um pesquisador que deseje estudar o uso

semanal da internet por estudantes de uma escola do Ensino Fun-

damental. Diferentes perguntas poderiam ser feitas, leia os exem-

plos e classifique-os em qualitativa nominal ou ordinal e quanti-

tativa discreta ou contnua.

a) Voc usa internet durante a semana? (sim ou no).

b) Qual a intensidade de uso da internet durante a sema-

na? (nenhuma, pequena, mdia ou grande).

c) Quantas vezes voc usa a internet durante a semana?

d) Por quantas horas voc usa a internet durante a semana?

2. Identifique o tipo de amostragem utilizada nas situaes a seguir:

a) Uma empresa seleciona uma a cada 300 pilhas produzi-

das em sua linha de produo para a realizao de tes-

tes de qualidade a fim de conseguir vencer uma licita-

o pblica.

43Mdulo 4


b) Um pesquisador de empresa area seleciona aleatoria-

mente dez voos para entrevistar todos os passageiros

desses voos.

c) Uma prefeitura testa uma nova estratgia de cobrana

selecionando aleatoriamente 250 consumidores com

renda inferior a R$ 300,00 e 250 consumidores com ren-

da de ao menos R$ 300,00.

d) Um eleitor indeciso resolve escolher seu candidato da

seguinte forma: escreve o nome de cada um deles em

cartes separados, mistura-os e extrai um nome, no

qual ir votar.

e) Um pesquisador ficou em um ponto de checagem da

polcia (esquina), onde, a cada cinco carros que passa-

vam, era feito um teste de bafmetro para checar a so-

briedade do motorista.

f) Em uma pesquisa com 1.000 pessoas, estas foram

selecionadas usando-se um computador para gerar n-

meros de telefones para os quais eram, ento, discados.

g) Uma prefeitura, para no perder uma fbrica de monta-

gem de carros, auxiliou em uma pesquisa na qual a

empresa dividiu seus carros em cinco categorias:

subcompacto, compacto, mdio, intermedirio e gran-

de; e est entrevistando 200 proprietrios de cada ca-

tegoria para saber da satisfao deses clientes e, as-

sim, ajudar a melhorar as vendas.

h) Motivada pelo fato de um estudante ter morrido por

excesso de bebida, uma universidade fez um estudo

sobre o hbito de beber dos estudantes e, para isso,

selecionou dez salas de aula e entrevistou os estudan-

tes que l estavam.

UNIDADE 2


Ao finalizar esta Unidade, voc dever ser capaz de: Descrever e apresentar os resultados de um conjunto de

observaes a partir de uma distribuio de frequncias; Compreender os tipos de grficos existentes; Utilizar os grficos de forma adequada; e Interpretar os resultados apresentados em um grfico de forma

clara, objetiva e passando o mximo de informaes possveis.

DISTRIBUIES DE FREQUNCIASE REPRESENTAO GRFICA

47Mdulo 4


DISTRIBUIES DE FFREQUNCIAS

Caro estudante,Vamos dar incio a segunda Unidade de nossa disciplina e,nela, voc encontrar conceitos relacionados distribuiode frequncias e representao grfica que lhe permitirosintetizar uma grande quantidade de dados em tabelas eem grficos representativos.Quando coletamos informaes, sejam de populaes oude amostras, como vimos na Unidade anterior, geralmentetrabalhamos com uma quantidade grande de observaes.Mas, como vamos apresentar esses resultados? Precisamos,ento, aprender como sintetizar esses dados e coloc-losde forma que as pessoas possam entender as informaesobtidas.Uma forma de fazermos isso utilizando distribuies defrequncias e anlises grficas, as quais aprenderemos apartir de agora, j que entraremos no mundo da estatstica,que se preocupa com a forma de apresentao dos dados.Vamos comear?

Quando coletamos os dados para uma pesquisa,as observaes realizadas so chamadas de dados brutos*.Um exemplo de dados brutos corresponde ao percentual dostrabalhadores que contribuem com o Instituto Nacional de SeguroSocial (INSS) em 20 cidades de uma determinada regio do Brasilno ano de 2008 (dados simulados pelo autor a partir de um casoreal). Os dados so apresentados na Tabela 1 na forma em queforam coletados, por esse motivo so denominados dados brutos.Geralmente, esse tipo de dado traz pouca ou nenhuma informaoao leitor, sendo necessrio organiz-lo, com o intuito de aumentarsua capacidade de informao.

*Dados brutos dados na

forma em que foram

coletados, sem nenhum

tratamento. Fonte: Ela-

borado pelo autor.



Tabela 1: Percentual dos trabalhadores que contribuem com o INSS em20 cidades de uma determinada regio do Brasil no ano de 2008

Fonte: Elaborada pelo autor

Se fizermos uma ordenao desse conjunto de dados brutos(do menor para o maior), teremos dados elaborados como mostraa Tabela 2.

Tabela 2: Percentual ordenado dos trabalhadores que contribuem com o INSSem 20 cidades de uma determinada regio do Brasil, no ano de 2008


Com base nessa tabela, podemos observar que a simplesorganizao dos dados em um rol*aumenta muito o nvel deinformao destes. Na Tabela 2, voc pode verificar ainda que omenor percentual foi 41% e o maior 60%, o que nos fornece umaamplitude total* da ordem de 19%.

Outra informao que podemos obter dos dados por meioda Tabela 2 (organizada em rol crescente) que nas cidadesavaliadas, o valor 50, correspondente percentagem detrabalhadores que contribuem para o INSS, ocorre com maiorfrequncia, ou seja, o que mais se repete.

*Rol dados classificados

em forma crescente ou de-

crescente. Fonte: Elabora-

do pelo autor.

*Amplitude total diferen-

a entre o maior e o menor

valor observado. Fonte:


45

50

42

41

52

51

44

41

50

46

50

46

60

54

52

58

57

58

60

51

41

41

42

44

45

46

46

50

50

50

51

51

52

52

54

57

58

58

60

60

49Mdulo 4


Com base nessa nossa discusso, reflita: como organizar os

dados de uma varivel quantitativa contnua de forma mais

eficiente, na qual se possa apresentar uma quantidade maior

de informaes?

A resposta a essa pergunta ser apresentada na prximaseo. Fique atento e, em caso de dvidas, lembre-se de que vocno est sozinho, basta solicitar o auxilio de seu tutor.

DISTRIBUIO DE FREQUNCIAS DE UMA VARIVELQUANTITATIVA CONTNUA

Uma maneira de organizar os dados de uma varivelquantitativa contnua, de modo que voc melhor possa represent-la, por meio de uma tabela de distribuio de frequncias,que corresponde a uma tabela em que so apresentadas asfrequncias de cada uma das classes.

Distribuindo os dados observados em classes* e contando onumero de observaes contidas em cada classe, obtemos afrequncia de classe. Sendo que a disposio tabular dos dadosagrupados em classes, juntamente com as frequnciascorrespondentes, o que denominamos de distribuio de frequncia.

Sendo assim, para identificarmos uma classe, devemosconhecer os valores dos limites inferior e superior da classeque delimitam o intervalo de classe.

Voc pode estar se perguntando: como se constituem esses

intervalos?

*Classes intervalos nos

quais os valores da vari-

vel anal isada so

agrupados. Fonte: Ela-

borado pelo autor.



Vimos, no incio do curso, os tipos de intervalos na Unidade 1da disciplina Matemtica Bsica. Vamos relembrar rapidamentecomo essa classificao dos intervalos:

Intervalos abertos: os limites da classe (inferior esuperior) no pertencem a mesma.

Intervalos fechados: os limites da classe (superior einferior) pertencem classe em questo.

Intervalos mistos: um dos limites pertence classee o outro no.

Voc pode utilizar qualquer um deles. Porm, os intervalos maisutilizados e que usaremos como padro na resoluo dos problemas, o intervalo misto, o qual apresentado da seguinte forma:

43,5 | 48,5(o 43,5 est includo e o 48,5 no est includo no intervalo)

Esses valores de 43,5 e 48,5 foram escolhidos aleatoriamente,somente para demonstrar o formato do intervalo.

Para voc entender melhor, acompanhe o exemplo a seguir,a partir dos dados da porcentagem de trabalhadores que contribuemcom o INSS. Com esses dados iremos construir uma distribuiode frequncia e, ao longo desse exemplo, identificar, tambm, osconceitos presentes nessa distribuio.

Para darmos incio a esse entendimento, importante, antes,considerarmos que existem diversos critrios para a construo dasclasses das distribuies de frequncias apresentados na literatura.No nosso caso, utilizaremos os critrios apresentados a seguir.

Para elaborar uma distribuio de frequncia, necessrio,inicialmente, determinar o nmero de classes (k) em que os dadossero agrupados. Por questes de ordem prtica e esttica, sugerimosutilizar de 5 a 20 classes. O nmero de classes (k) a ser utilizado,pode ser calculado em funo do nmero de observaes (n),conforme mostrado para voc a seguir:

51Mdulo 4


k = n, para n 100k = 5 log n, para n> 100

Considerando que nessa pesquisa n = 20 consumidores;temos, ento, o nmero de classes definido por k = n = 20 = 4,47;e, como o nmero de classes inteiro, usaremos 5 classes.O arredondamento utilizado nesse material o padro de algarismossignificativos (como foi aprendido no segundo grau). O nmero declasses pode tambm ser definido de uma forma arbitrria, sem ouso dessa regra.

Aps determinarmos o nmero de classes (k) em que osdados sero agrupados, determinamos a amplitude do intervalode classe (c). E, para calcularmos a amplitude do intervalo declasse, vamos, primeiramente, calcular a amplitude total dosdados (A), que corresponde diferena entre o maior valorobservado e o menor valor observado.

No nosso caso (usando dados da Tabela 2), teremosA = 60 41 =19%.

Com base nesse valor da amplitude total (A) calculado, iremosobter a amplitude do intervalo de classe (c), como mostrado a seguir:

Onde:

c = amplitude de classe;

A= amplitude total; e

k = nmero de classes.

Substituindo os valores j encontrados nessa expresso econsiderando o caso do exemplo que estamos resolvendo, teremos:

Mas ateno: existem outros procedimentos paraadeterminao da amplitude do intervalo de classe que podem serencontrados na literatura.



Conhecida a amplitude de classes, voc deve determinar osintervalos de classe. O limite inferior e superior das classes deve serescolhido de modo que o menor valor observado esteja localizadono ponto mdio (PM) da primeira classe. O ponto mdio da classecorresponde soma dos limites inferior e superior dividido por dois.

Partindo desse raciocnio, o limite inferior da primeira classe ser:

No nosso caso, substituindo os valores que voc encontrouanteriormente, teremos:

Definindo, ento, o limite inferior da primeira classe basta,para voc obter as classes da nossa distribuio, somar a amplitudedo intervalo de classe (c = 5) a cada limite inferior.

Assim, voc ter:

38,5 | 43,5 primeira classe43,5 | 48,5 segunda classe48,5 | 53,5 terceira classe53,5 | 58,5 quarta classe58,5 | 63,5 quinta classeCom base nesse clculo, voc pode obter uma organizao

dos dados conforme mostra a Tabela 3, a seguir:

Tabela 3: Distribuio de frequncias do percentual dos trabalhadoresque contribuem com o INSS em 20 cidades de uma determinada

regio do Brasil no ano de 2008

CLASSES (%)

38,5|43,543,5|48,548,5|53,553,5|58,558,5|63,5Total

FREQUNCIA

?

?

?

?

?


53Mdulo 4


Na Tabela 3 aparece uma nova denominao chamadafrequncia, em que abaixo dela h uma coluna repleta deinterrogaes (?). Vamos aprender a calcular valores no lugar dessasinterrogaes. Podemos obter frequncias chamadas de frequnciaabsoluta (fa), frequncia relativa (fr) e frequncia acumulada.

A frequncia absoluta (fa) corresponde ao nmerode observaes que temos em uma determinada classeou em um determinado atributo de uma varivelqualitativa. A frequncia relativa (fr) corresponde proporo do nmero de observaes em umadeterminada classe em relao ao total deobservaes que temos. Essa frequncia pode serexpressa em termos porcentuais. Para isso, bastamultiplicar a frequncia relativa obtida por 100.

O clculo da frequncia relativa obtido por meio da seguinteexpresso:

Sendo:

fai= frequncia absoluta da classe i.

: somatrio das frequncias absolutas para i

variando de 1 at n classes, ou seja, somar asfrequncias de cada uma das classes(fa1+fa2+fa3+......+fan).

Apresentando os dados na forma de distribuio de frequncia,voc consegue sintetizar as informaes contidas neles, alm de facilitarsua visualizao. Considerando essa discusso, elaboramos a Tabela4, que traz as frequncias (fa e fr) relacionadas varivel analisada.



Tabela 4: Distribuio de frequncias do percentual dos trabalhadoresque contribuem com o INSS em 20 cidades de uma determinada

regio do Brasil, no ano de 2008


Para calcularmos a primeira proporo de 0,15, precisamosdividir a frequncia da primeira classe (3) pelo total de observaes(20). De forma similar, calculada as propores das outras classes.

Ento, como ficaria a interpretao da distribuio de

frequncias?

Se considerarmos ainda a Tabela 4, podemos dizer que aporcentagem de trabalhadores que contribuem com o INSS entre43,5% e 58,5%, dos 20 municpios avaliados em questo, estconcentrada nas classes segunda, terceira e quarta, decrescendoem direo s classes do incio e fim da tabela. A apresentao dosdados em forma de distribuio de frequncia facilita o clculomanual de vrias medidas estatsticas de interesse e facilita,tambm, a apresentao grfica dos dados.

Alm das frequncias absolutas e relativas, muitas vezespodemos estar interessados na quantidade de observaes que existeacima ou abaixo de um determinado ponto na distribuio.

Dessa forma, voc poder trabalhar com a frequnciaacumulada, como sugere a Tabela 5, que apresenta as frequncias

FA (CIDADES)

3

4

7

4

2

20

CLASSES (%)

38,5|43,543,5|48,548,5| 53,553,5|58,558,5|63,5Total

FR (PROPORO DE CIDADES)

0,15

0,20

0,35

0,20

0,10

1,00

55Mdulo 4


acumuladas da percentagem de trabalhadores que contribuem como INSS nas 20 cidades avaliadas.

A frequncia acumulada corresponde soma dafrequncia de uma classe s frequncias de todas asclasses abaixo dela.

A frequncia acumulada apresentada na Tabela 5 pode serobtida da seguinte forma: abaixo do limite superior da primeiraclasse (43,5), temos trs pessoas presentes nela, como vimos naTabela 3 da distribuio de frequncias absoluta. Quandoconsideramos a segunda classe (43,5 | 48,5), a frequnciaacumulada corresponde ao nmero de pessoas que temos abaixodo limite superior dessa classe (48,5), ou seja, as quatro cidadesda segunda classe mais as trs cidades da primeira classe,totalizando sete cidades abaixo de 48,5%. Para as outras classes, oraciocnio semelhante.

Tabela 5: Distribuio de frequncia acumulada dos trabalhadores quecontribuem com o INSS em 20 cidades de uma determinada

regio do Brasil no ano de 2008


J o valor da frequncia acumulada relativa da segundaclasse (0,35) dado pela soma da frequncia relativa da primeiraclasse (0,15) e da frequncia relativa da segunda classe (0,20), dandoum valor acumulado para a segunda classe de 0,35. v

Os valores das

frequncias que voc

usou para somar esto

na Tabela 3, em caso de

dvida, retorne tabela.

CLASSES (%)

38,5|43,543,5|48,548,5| 53,553,5|58,558,5|63,5Total

FREQ. ACUMULADA

3

7

14

18

20

FREQ. ACUMULADA (RELATIVA)

0,15

0,35

0,70

0,90

1,00



DISTRIBUIO DE FREQUNCIASDE UMA VARIVEL QUALITATIVA

Quando voc trabalha com variveis qualitativas, osatributos so as variaes nominativas da varivel. A construoda tabela consiste em contar as ocorrncias dos nveis de cadaatributo. O resultado da contagem define a frequncia absoluta doatributo. Para podermos entender isso, tomemos como exemplo umapesquisa na qual se procurou avaliar as frequncias de cada gnero(homem ou mulher) de uma determinada cidade, que considera osservios prestados pela prefeitura como satisfatrios, em uma amostrade 50 pessoas. Esses resultados so apresentados na Tabela 6.

Tabela 6: Distribuio de frequncias do gnero de pessoas que consideram osservios prestados pela prefeitura como satisfatrios


DISTRIBUIO DE FREQUNCIAS DE UMA VARIVELQUANTITATIVA DISCRETA

Tomando-se como exemplo o caso de uma varivel aleatriadiscreta (v.a), realizou-se uma pesquisa durante 30 dias em umdeterminado ms com relao ao nmero de reclamaes (N.R.)no setor de tributos de uma prefeitura considerada como modelode gesto em tributos. Os resultados encontrados voc podeacompanhar na Tabela 7, a seguir:

GNERO

Masculino

Feminino

Total

FA

20

30

50

FR

0,40

0,60

1,00

vVimos esse conceito naUnidade 1. Em caso dedvida, retorne e faa

uma releitura atenciosa.

57Mdulo 4


NMERO DE RECLAMAES POR DIA

0

1

2

3

4

5

Total

NMERO DE DIAS (FA)

9

5

7

5

2

2

30

FREQ. RELATIVA

0.3

0.17

0.23

0.17

0.07

0.07

1

DIA

1

2

3

4

5

6

N.R.

0

2

1

5

3

2

DIA

7

8

9

10

11

12

N.R.

1

2

2

3

0

3

DIA

13

14

15

16

17

18

N.R.

0

0

1

2

3

5

DIA

19

20

21

22

23

24

N.R.

1

0

0

2

0

4

DIA

25

26

27

28

29

30

N.R.

0

3

4

0

2

1

Tabela 7: Dados referentes ao nmero de reclamaes (NR) por dia no setor detributos de uma prefeitura ao longo de 30 dias


Dispondo esses dados em um rol (crescente) temos:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 5 5

Podemos apresentar, a seguir, esses dados em umadistribuio de frequncias. Nesse caso, no necessrio definirintervalos de classes porque a variao dos valores pequena (variade 0 a 5) e a varivel discreta.

Quando a varivel discreta, mas voc tem uma quantidademuito grande de valores que ocorrem na amostra, ento, voc irtrabalhar com uma distribuio de frequncias em classes.Na Tabela 8, voc pode visualizar a distribuio de frequncias donmero de reclamaes. Os clculos das frequncias absoluta erelativa so obtidos de forma semelhantes ao que foi vistoanteriormente.

Tabela 8: Nmero de reclamaes ocorridas diariamente durante certo ms




Observe que esses valores da varivel discreta correspondema cada uma das classes.

Voc pode estar se perguntando: as tabelas de distribuio de

frequncias so a nica forma que voc tem de apresentar um

conjunto de dados?

Para descobrir a resposta a sua curiosidade, continue lendoo livro que a responderemos na seo seguinte.

59Mdulo 4


v

Para voc construir

grficos e distribuies

de frequncia, baixe o

programa estatstico

Bioestat que, alm de

ser gratuito, traz um livro

na opo ajuda. Para

isso, visite o site: . Acesso em: 19

nov. 2010.

REPRESENTAO GRFICA

Na tentativa de responder ao seu questionamento anterior,vamos falar um pouco sobre algumas formas de representaogrfica de tabelas de frequncia. Logicamente, dependendo do tipode varivel, temos um grfico mais adequado. Os diferentes tiposde grficos (histogramas, polgonos de frequncia, ogivas, grficosde setores, pictogramas e outros) permitem melhor visualizao deresultados. Esses grficos podem ser obtidos utilizando planilhaseletrnicas, como o Excel ou a planilha CALC do OpenOffice.

Os histogramas so grficos constitudos de umconjunto de retngulos com as bases assentadas sobreum eixo horizontal, tendo o centro delas no pontomdio da classe que as representa e cuja altura proporcional frequncia da classe. Esses grficosso utilizados para representar tabelas intervalares.

Na Figura 7, temos o histograma da porcentagem detrabalhadores que contribuem com o INSS em cada uma das 20cidades analisadas. Os dados utilizados, nesse grfico, foram osda distribuio de frequncias apresentados na Tabela 5, que indicao percentual de trabalhadores que contribuem com o INSS em 20cidades de uma determinada regio do Brasil em 2008.

vPara saber como utilizara planilha calc do pacoteOpenOffice nas

distribuies de

frequncias e de

grficos, acesse o site:

.




Figura 7: Histograma representativo da distribuio de frequncias dopercentual dos trabalhadores que contriburam com o INSS em 2008


Quanto ao polgono de frequncia, voc pode obt-lo pelasimples unio dos pontos mdios dos topos dos retngulos de umhistograma. Para completar o polgono necessrio unir asextremidades da linha, que une os pontos representativos dasfrequncias de classe, aos pontos mdios das classes imediatamenteanteriores e posteriores s classes extremas, que tm frequncia nula.

A Figura 8 mostra o polgono de frequncias do percentualdos trabalhadores que contriburam com o INSS em 20 cidades deuma determinada regio do Brasil em 2008.

61Mdulo 4


Figura 8: Polgono de frequncias do percentual dos trabalhadores quecontriburam com o INSS em 2008


Quando voc tem uma tabela que trabalhada com umavarivel qualitativa, o tipo de grfico adequado para apresentar osresultados corresponde ao grfico de setores, tambm popularmenteconhecido como grfico tipo pizza, como demonstra a Figura 9.Sua construo simples: sabemos que o angulo de 360 equivalea 100% da rea da circunferncia; assim, para obtermos o ngulodo setor cuja rea representa uma determinada frequncia, bastaresolvermos uma regra de trs simples, como a apresentada a seguir:

360 ____________ 100%

x ____________ Frequncia relativa (percentual)

Figura 9: Grfico do gnero de pessoas que consideram os serviosda prefeitura satisfatrios


Com respeito aos grficos chamados de ogivas, estescorrespondem a um polgono de frequncias acumuladas, no qualas frequncias acumuladas so localizadas sobre perpendiculares



vPara voc fazer clculosde distribuies defrequncias e grficos,utilize a planilha Calc do

pacote OpenOffice

disponvel no site: .

Acesso em: 10 mar. 2011.

levantadas nos limites superiores das classes, sendo os pontosunidos para formar o polgono que representa as frequnciasacumuladas. Observe o modelo apresentado na Figura 10.

Figura 10: Ogiva abaixo de do percentual dos trabalhadores que contribuemcom o INSS em 20 cidades de uma determinada regio do Brasil em 2008


Aps o es tudo da cons t ruo de d is t r ibu ies defrequncias e grficos, voc deve ser capaz de organizar umconjunto de dados, por meio de uma distribuio de frequncias(absoluta, relativa, e acumuladas), e represent-lo graficamente.Para tanto, propomos a voc um exemplo comentado para melhorfixar os conhecimentos adquiridos.

Exemplo

Uma amostra de valores de IPTU de uma determinada regioda cidade de Arapongas, no ano passado, revelou valores iguais a:{68,98; 72,92; 89,19; 98,57; 123,34; 134,80; 141,34; 153,59;158,59; 165,92; 169,21; 175,76; 177,79; 178,07; 180,38; 181,99;185,95; 188,83; 194,88; 208,09; 214,66; 251,94; 265,70; 271,90;276,59; 280,56; 303,99; 318,33}. Com base nos dados fornecidos,vamos construir a tabela de distribuio de frequncia.

Bem, para construirmos uma tabela de frequncia, primeiroprecisamos encontrar: o nmero de classes, a amplitude total, aamplitude de classe e o limite inferior da primeira classe.

63Mdulo 4


O nmero de classes dado por: k= n , pois o tamanhoda amostra menor ou igual a 100. Como n = 28, temos:

k= 28 6Nesse caso, aproximamos para seis classes e no para cinco,

pois com cinco teremos valores superiores que podem ficar sem classe.

Amplitude total (A) a diferena entre o maior valorobservado e o menor valor observado. Substituindo os valores,encontraremos:

A = 318,33 68,98 = 249,35

Sendo assim, a amplitude de classe ser:

e, substituindo os valores correspondentes, teremos:

Logo, o limite inferior da primeira classe dado por:

(esse o primeiro valor a ser colocado

na tabela).

Agora, a partir desse limite inferior, podemos construir atabela de distribuio de frequncia. Para preencher a colunaclasses, comeamos com o limite inferior da primeira classe,lembrando que para encontrar o limite superior das classes bastasomar a amplitude de classe (c) ao limite inferior. Agora comvoc. Termine de calcular os limites de cada uma das classes.

44.04 + 49,87 = 93,91

93,91 + 49,87 = 143,78

293,39 + 49,87 = 343,26



Aps esse clculo, vamos encontrar os valores da colunafrequncia absoluta (Fa) e, para tanto, temos que contar quantoselementos da amostra pertencem a cada classe que acabamos deconstruir, vamos l:

Primeira classe : 44,04 ( inclusive) a 93,91(exclusive), ento, do conjunto de dados, os valoresque pertencem a esse intervalo so: 68,98; 72,92;89,19; ou seja, trs valores.

Segunda classe : 93,91 ( inclusive) a 143,78(exclusive), ento, do conjunto de dados, os valoresque pertencem a esse intervalo so: 98,57; 123,34;134,80; 141,34; ou seja, quatro valores.

E, assim, procedemos at encontrarmos as frequncias dasseis classes. Feita essa operao, hora de calcularmos a colunada frequncia relativa da classe i (Fri), onde temos:

Voc deve proceder da mesma forma at a ltima classe e,aps todos os clculos, deve terminar de completar os valores paraa montagem final da distribuio de frequncias. Lembre-se de queo preenchimento da coluna frequncia acumulada (Fac) corresponde soma da frequncia daquela classe s frequncias de todas asclasses anteriores a ela. Observe a Tabela 9.

65Mdulo 4


Tabela 9: Distribuio de frequncias de valores de IPTU de uma determinadaregio da cidade de Arapongas


Exemplo

Imagine que a rea de superviso de atendimento de controlede uma prefeitura verificou a quantidade de materiais que foramrejeitados em quilograma (kg) da fbrica Manda Brasa S.A., quehavia vencido uma licitao conforme os resultados apresentadosna Tabela 10.

Tabela 10: Frequncia dos materiais rejeitados pela fbrica Manda Brasa S.A.


Com base nos dados, vamos construir o histograma para asfrequncias apresentadas. Para tanto, basta colocar no eixo x os intervalosde classe e no eixo y as frequncias, como mostra a Figura 11.

CLASSES

44,04 | 93,9193,91 | 143,78143,78 | 193,65193,65 | 243,52243,52 | 293,39293,39 | 343,26Total

FA

3

4

-

-

-

-

28

FRI

0,11

0,14

-

-

-

-

1,0

FAC

3

7

-

-

-

-

REJEITOS (EM KG)

2 | 88 | 1414 | 2020 | 2626 | 3232 | 38Total

FI

3

7

18

15

4

3

50



Figura 11: Histograma da frequncia de materiais rejeitadosna fbrica Manda Brasa S.A.Fonte: Elaborada pelo autor

67Mdulo 4


ResumindoNesta Unidade, voc aprendeu a representar um con-

junto de observaes e resumi-lo em tabelas e grficos. Es-

ses conceitos sero importantes na compreenso e no en-

tendimento de um conjunto de dados.



Atividades de aprendizagem

Agora que voc j viu os conceitos relacionados adistribuies de frequncias e a representao grfica deum conjunto de observaes, faa a atividade proposta aseguir. Em caso de dvida, lembre-se de que voc tem umtutor pronto a lhe auxiliar.

1. Dado o tempo, em minutos, de reunies em um setor de uma

prefeitura, conforme mostra a tabela, responda as questes a

seguir:

a) Construa a distribuio de frequncias absoluta, relati-

va e acumuladas.

b) Faa o histograma e o polgono de frequncia da distri-

buio.

60

40

40

25

50

55

28

30

55

55

42

44

55

40

40

57

28

35

38

60

69Mdulo 4


UNIDADE 3


Ao finalizar esta Unidade, voc dever ser capaz de: Calcular e interpretar as medidas de posio mdia, moda,

mediana; Entender como as medidas de posio influenciam na forma da

distribuio dos dados; Calcular e interpretar as medidas de disperso amplitude total,

varincia, desvio padro e coeficiente de variao; Entender as propriedades da mdia e o desvio padro; e Calcular e interpretar resultados de medidas separatrizes.

MEDIDAS DE POSIO E DISPERSO

71Mdulo 4


MEDIDAS DE POSIO

Caro estudante,A partir de agora, iremos conhecer uma nova forma decaracterizar um conjunto de observaes. Para isso, vocir aprender novos conceitos de medidas de posio e dedisperso.Para o entendimento dessas medidas de posio e dedisperso, sero utilizadas as duas situaes apresentadasa seguir. Sempre que mencionarmos as situaes, voc devevir at esta pgina para entender como esto sendorealizados os clculos.Preparado para mais esse desafio?Ento, vamos l!

Vamos iniciar nossa discusso pelas duas situaes queutilizaremos como base.

Para facilitar um projeto de aplicao da rede de esgotode certa regio de uma cidade, os engenheiros daPrefeitura Municipal tomaram uma amostra de 52 ruas,(tamanho total da amostra ou a soma de todas asfrequncias absolutas) contando o nmero de casaspor rua. Os dados referentes a uma pesquisa demercado foram agrupados como segue na Tabela 11:



Tabela 11: Distribuio de frequncias do nmero de casas por rua de certaregio de uma cidade


Taxa de efetivao da cobrana de um determinado tributoque se apresentava atrasado em uma prefeitura aps umacampanha realizada para que ele fosse saldado. Essesresultados so dirios, conforme mostra a Tabela 12.

Tabela 12: Taxa de efetivao da cobrana


importante destacarmos ainda que as medidas de posioou de tendncia central constituem uma forma mais sinttica deapresentar os resultados contidos nos dados observados, poisrepresentam um valor central, em torno do qual os dados seconcentram. As medidas de tendncia central mais empregadas soa mdia, a mediana e a moda. A seguir, veremos cada uma delas.

MDIA

Das trs medidas de posio mencionadas, a mdiaaritmtica a mais usada por ser a mais comum e compreensveldelas e pela relativa simplicidade do seu clculo, alm de prestar-sebem ao tratamento algbrico.

vPara voc fazer clculosde medidas de posio ede disperso, utilize o

programa estatstico

Bioestat 5.0 e, tambm,

planilhas eletrnicas

visitando o site: .


NMERO DE CASAS POR RUA

0 22 44 88 1212 1616 20

FREQUNCIA ABSOLUTA

5

7

11

16

8

5

44

58

46

59

51

60

54

61

54

61

55

61

56

62

56

63

56

63

73Mdulo 4


importante termos claro que a mdia aritmtica ousimplesmente mdia de um conjunto de n observaes, x1, x2, ...,xn, definida por:

Onde o somatrio () corresponde soma de todos os valoresobtidos. Por exemplo, considerando o caso da taxa de efetivao(%) da cobrana de um determinado tributo que est atrasado emuma prefeitura (ver Tabela 12), se voc somar todos os valores donmero das taxas e dividi-los pelo total de dias avaliados, voc ter,ento, a mdia aritmtica (x), a taxa de efetivaes de cobranapor dia. Logo, o valor obtido ser: x = 56,67%.

Como podemos, ento, fazer a interpretao da mdia?

Podemos interpretar o resultado da mdia como sendo onmero de efetivaes dirias que de 56,67%, podendo ocorrertaxas maiores, menores ou at iguais ao valor mdio encontrado.

Portanto, de uma forma mais geral, podemos interpretar amdia como sendo um valor tpico do conjunto de dados que podeassumir um valor que no pertence ao conjunto de dados, pois comonos dados utilizados para clculo (exemplo anterior) no existe umtaxa de efetivao diria de 56,67%.

Todavia, se os dados estiverem agrupados na forma de umadistribuio de frequncia em classes, lana-se mo da HipteseTabular Bsica* para o clculo da mdia.

Ento, voc ir calcular a mdia por meio da seguinteexpresso:

*Hiptese Tabular Bsica

todas as observaes

contidas em uma classe

so consideradas iguais

ao ponto mdio da clas-

se. Fonte: Elaborado

pelo autor.



Onde:

xi o ponto mdio da classe i;

fai representa frequncia absoluta da classe i; e

fri a frequncia relativa da classe i.

Considerando a situao do nmero de casas na rua(Tabela 11), a mdia ser dada por:

O valor de 1, apresentado na expresso, corresponde aoponto mdio da primeira classe, que foi obtido pela soma dos limitessuperior e inferior (0 + 2) divididos por dois, ou seja, a mdiaaritmtica. Os pontos mdios das outras classes so obtidos deforma similar.

Antes de darmos continuidade, muito importante voc saberque, em relao notao matemtica, quando calculamos a mdiaa partir dos dados de uma populao, devemos utilizar a letra para designar a mdia populacional e para mdia amostral anotao a ser utilizada . Na grande maioria dos casos, iremostrabalhar com amostras. A forma de clculo a mesma nas duassituaes, mas as notaes so diferentes, ou seja:

Mdia populacional Mdia amostral

As mdias so comumente uti l izadas e apresentampropriedades especficas. As principais propriedades so:

A soma dos desvios* de um conjunto de dados emrelao a sua mdia nula, ou seja, igual a zero. Paraentender essa propriedade, tomemos como exemplo aquantidade consumida de arroz do tipo A em umrefeitrio de uma prefeitura: 10, 14, 13, 15, 16, 18,

*Desvios diferenas

entre cada valor e um

valor padro, que pode

ser a mdia. Fonte: Ela-

borado pelo autor.

75Mdulo 4


12 quilos, no qual o consumo mdio dirio encontradofoi de 14 quilogramas (Kg).

A soma desvios ser:

(10 14) + (14 14) + (13 14) + (15 14) + (16 14) +(18 14) + (12 14) = 0

A soma ou a subtrao de uma constante (c) a todosos valores de uma varivel, a mdia do conjunto ficaaumentada ou diminuda dessa constante. Assim,voltando ao caso do consumo de arroz, apresentadono tpico anterior, se somarmos 2 a cada um dosvalores, teremos:

Y = (12 + 16 + 15 + 17 + 18 + 20 + 14) / 7 = 16 kg ouY = 14 + 2 = 16 kg

Na multiplicao ou na diviso de todos os valores deuma varivel por uma constante (c), a mdia do conjuntofica multiplicada ou dividida por essa constante.Novamente pensando no caso do consumo de arroz, semultiplicarmos 3 a cada um dos valores, teremos:

Y = (30 + 42 + 39 + 45 + 48 + 54 + 36) / 7 = 42 kg ouY = 14 . 3 = 42 kg

Existem outros tipos de mdias que podemos utilizar, porexemplo, mdia ponderada (utilizada quando existe algum fator deponderao); media geomtrica (quando os dados apresentam umadistribuio que no simtrica); entre outras.

s vezes, podemos, ainda, associar s observaes X1, X2,..., Xn determinadas ponderaes, ou pesos, W1, W2, ..., Wn quedependem da importncia atribuda a cada uma das observaes,nesse caso, a mdia ponderada ser dada por:



Para entender melhor, imagine um processo de avaliao defuncionrios pblicos que foi divido em trs etapas. Nessa avaliao,suponha que um dos colaboradores apresentou as seguintes notasdurante a avaliao: 1 etapa = 90; 2 etapa = 70; 3 etapa = 85;e os pesos de cada etapa so: 1, 1 e 3, respectivamente. Qual oescore mdio final do funcionrio pblico?

vEste tipo de mdia vocir utilizar na disciplinaMatemtica Financeiraque trabalharemos no

prximo mdulo.

Outro tipo de mdia corresponde geomtrica (Mg),calculada pela raiz n-sima do produto de um conjunto de nobservaes, X1, X2, ... , Xn, associadas s frequncias absolutasf1,f2,..., fn (nmero de vezes que aquele valor acontece) erespectivamente dada por:

Sendo assim, considerando o caso da taxa de efetivaopara pagamento do tributo atrasado (exemplo apresentadoanteriormente), teremos:

MODA

Em algumas situaes, voc ver que necessria ainformao do nmero de observaes que mais ocorre em umconjunto de dados. No caso da taxa de efetivao da cobrana,verificamos que a taxa que mais ocorre 56 e 61. Assim, podemosdefinir a moda (Mo) como sendo o valor em um conjunto

77Mdulo 4


de dados que ocorre com maior frequncia. Um conjunto dedados pode ser em relao moda:

unimodal possui apenas uma moda; amodal no possuir moda, pois no existe nenhum

valor que ocorre com maior frequncia; e

multimodal possui mais de uma moda.Na situao comentada anteriormente, a distribuio

multimodal ou bimodal, pois apresenta duas modas, ou seja, doisvalores com maior frequncia, 56 e 61.

Quando os dados no esto em intervalos de classes, bastaolhar o valor que ocorre com maior frequncia.

Para dados agrupados em intervalos de classes, voc podecalcular a moda por meio do mtodo de Czuber, que se baseia nainfluncia das classes adjacente na moda deslocando-se no sentidoda classe de maior frequncia. A expresso que voc utilizar :

Onde:

Li : limite inferior da classe modal;

d1 : diferena entre a frequncia da classe modal e aimediatamente anterior;

d2 : diferena entre a frequncia da classe modal e aimediatamente posterior; e

c : amplitude da classe modal.

No caso em que, para facilitar um projeto de aplicao darede de esgoto de certa regio de uma cidade, os engenheiros daPrefeitura Municipal tomaram uma amostra de 52 ruas, contandoo nmero de casas (Tabela 11), teremos que a classe modal aquarta, pois apresenta maior frequncia (valor igual a 16).Utilizando a expresso mostrada anteriormente, teremos:



Uma caracterstica importante da moda que ela no afetada pelos valores extremos da distribuio, desde que essesvalores no constituam a classe modal.

Dessa forma, a moda deve ser utilizada quando desejamosobter uma medida rpida e aproximada de posio ou quando amedida deva ser o valor mais frequente da distribuio.

MEDIANA

Outra medida de posio que voc pode utilizar amediana (Md), que consiste em um conjunto de valores

fascículo - estatística aplicada a administração

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