matematica aplicada a administração e economia

7/23/2019 Matematica aplicada a Administração e Economia

http://slidepdf.com/reader/full/matematica-aplicada-a-administracao-e-economia 1/32S. T. TAN

TRADUÇÃO DA 9ª EDIÇÃO

NORTE-AMERICANA

MATEMÁTICA

APLICADA AADMINISTRAÇÃO

EECONOMIA


http://slidepdf.com/reader/full/matematica-aplicada-a-administracao-e-economia 2/32

MATEMÁTICA APLICADA

A ADMINISTRAÇÃO EECONOMIATradução da 9ª edição norte-americana

SOO T. TANSTONEHILL COLLEGE

REVISÃO TÉCNICA: RICARDO MIRANDA MARTINS

Professor Doutor da Universidade Estadual de Campinas (Unicamp)

TRADUÇÃO: FOCO TRADUÇÕES

Austrália • Brasil • Japão • Coreia • México • Cingapura • Espanha • Reino Unido • Estados Unidos



SUMÁRIO

Prefácio xi

CAPÍTULO 1 Preliminares 11.1 Revisão I 3

1.2 Revisão II 15

1.3 O Sistema de Coordenadas Cartesianas 25

1.4 Retas 33

Capítulo 1 Resumo das Principais Fórmulas e Termos 46 Capítulo 1 Questões Conceituais de Revisão 46 Capítulo 1 Exercícios de Revisão 46 Capítulo 1 Antes de Prosseguir... 48

CAPÍTULO 2 Funções, Limites e Derivadas 492.1 Funções e seus Gráficos 50

Usando Tecnologia: Representando Graficamente uma Função 632.2 A Álgebra de Funções 67

2.3 Funções e Modelos Matemáticos 75

PORTFÓLIO: Todd Kodet 82

Usando Tecnologia: Encontrando os Pontos de Interseção de Dois Gráficos e Modelando 932.4 Limites 97

Usando Tecnologia: Determinando o Limite de uma Função 116 2.5 Limites Unilaterais e Continuidade 118

Usando Tecnologia: Encontrando os Pontos de Descontinuidade de uma Função 1322.6 A Derivada 135

Usando Tecnologia: Representando Funções e suas Retas Tangentes 152Capítulo 2 Resumo das Principais Fórmulas e Termos 154Capítulo 2 Questões Conceituais de Revisão 155Capítulo 2 Exercícios de Revisão 156 Capítulo 2 Antes de Prosseguir... 159

CAPÍTULO 3 Diferenciação 1613.1 Regras Básicas da Diferenciação 162

Usando Tecnologia: Determinando a Taxa de Variação de uma Função 1743.2 Regra do Produto e do Quociente 176

Usando Tecnologia: Regras do Produto e do Quociente 1853.3 Regra da Cadeia 187

Usando Tecnologia: Determinando a Derivada de uma Função Composta 1983.4 Funções Marginais em Economia 199

3.5 Derivadas de Ordem Superior 213

Usando Tecnologia: Determinando a Segunda Derivada de uma Função em um Ponto Dado 2193.6 Diferenciação Implícita e Taxas Relacionadas 221

3.7 Diferenciais 234

Usando Tecnologia: Determinando a Diferencial de uma Função 243Capítulo 3 Resumo das Principais Fórmulas e Termos 245Capítulo 3 Questões Conceituais de Revisão 245Capítulo 3 Exercícios de Revisão 246 Capítulo 3 Antes de Prosseguir... 249

CAPÍTULO 4 Aplicações da Derivada 2514.1 Aplicações da Primeira Derivada 252

Usando Tecnologia: Usando a Primeira Derivada para Analisar uma Função 2694.2 Aplicações da Segunda Derivada 272

4.3 Esboçando Curvas 291

Usando Tecnologia: Analisando as Propriedades de uma Função 303



4.4 Otimização I 305

Usando Tecnologia: Encontrando os Extremos Absolutos de uma Função 3194.5 Otimização II 320

Capítulo 4 Resumo dos Principais Termos 331Capítulo 4 Questões Conceituais de Revisão 332Capítulo 4 Exercícios de Revisão 332Capítulo 4 Antes de Prosseguir... 335

CAPÍTULO 5 Funções Exponenciais e Logarítmicas 3375.1 Funções Exponenciais 338

Usando Tecnologia 3445.2 Funções Logarítmicas 346

5.3 Juros Compostos 353Usando Tecnologia: Determinando o Valor Acumulado de um Investimento,

a Taxa de Juros Efetiva e o Valor Presente de um Investimento 367 5.4 Derivadas de Funções Exponenciais 368

Usando Tecnologia 3785.5 Derivadas das Funções Logarítmicas 3805.6 Modelos Matemáticos que Usam Funções Exponenciais 388

PORTFÓLIO: Carol A. Reeb, Ph.D. 389Usando Tecnologia: Analisando Modelos Matemáticos 400Capítulo 5 Resumo das Principais Fórmulas e Termos 402Capítulo 5 Questões Conceituais de Revisão 403Capítulo 5 Exercícios de Revisão 403Capítulo 5 Antes de Prosseguir... 405

CAPÍTULO 6 Integração 4076.1 Antiderivadas e as Regras de Integração 4086.2 Integração por Substituição 4226.3 Área e a Integral Definida 431

6.4 O Teorema Fundamental do Cálculo 440PORTFÓLIO: Molly H. Fisher, David C. Royster e Diandra Leslie-Pelecky 441Usando Tecnologia: Calculando Integrais Definidas 451

6.5 Calculando Integrais Definidas 452

Usando Tecnologia: Calculando Integrais Definidas para Funções Definidas por Partes 4626.6 Área entre Duas Curvas 464

Usando Tecnologia: Encontrando a Área entre Duas Curvas 4756.7 Aplicações da Integral Definida em Negócios e Economia 476

Usando Tecnologia: Aplicações em Administração e Economia / Exercícios de Tecnologia 488Capítulo 6 Resumo das Principais Fórmulas e Termos 489Capítulo 6 Questões Conceituais de Revisão 491Capítulo 6 Exercícios de Revisão 491Capítulo 6 Antes de Prosseguir... 495

CAPÍTULO 7 Tópicos Adicionais de Integração 4977.1 Integração por Partes 4987.2 Integração Usando Tabelas de Integrais 505

7.3 Integração Numérica 5127.4 Integrais Impróprias 5267.5 Volumes de Sólidos de Revolução 534

Capítulo 7 Resumo das Principais Fórmulas e Termos 541Capítulo 7 Questões Conceituais de Revisão 542Capítulo 7 Exercícios de Revisão 543Capítulo 7 Antes de Prosseguir... 544

CAPÍTULO 8 Cálculo de Várias Variáveis 5458.1 Funções de Várias Variáveis 5468.2 Derivadas Parciais 557

PORTFÓLIO: Karthik Ramachandran 559

Usando Tecnologia: Determinando Derivadas Parciais em um Ponto Dado 571

VIII Matemática Aplicada a Administração e Economia



8.3 Máximos e Mínimos de Funções com Várias Variáveis 572

8.4 O Método dos Mínimos Quadrados 583

Usando Tecnologia: Determinando a Equação da Reta dos Mínimos Quadrados 5928.5 Máximos e Mínimos Restritos e o Método dos Multiplicadores de Lagrange 594

8.6 Diferenciais Totais 605

8.7 Integrais Duplas 612

8.8 Aplicações das Integrais Duplas 618

Capítulo 8 Resumo dos Principais Termos 625Capítulo 8 Questões Conceituais de Revisão 626 Capítulo 8 Exercícios de Revisão 626 Capítulo 8 Antes de Prosseguir... 629

Índice Remissivo IR1

CAPÍTULOS ADICIONAIS DISPONÍVEIS EM PDF NA TRILHA

CAPÍTULO ADICIONAL 9 Equações Diferenciais 6319.1 Equações Diferenciais 632

9.2 Separação de Variáveis 638

9.3 Aplicações das Equações Diferenciais Separáveis 644

9.4 Soluções Aproximadas de Equações Diferenciais 655

Capítulo 9 Resumo dos Principais Termos 661Capítulo 9 Questões Conceituais de Revisão 661Capítulo 9 Exercícios de Revisão 661Capítulo 9 Antes de Prosseguir... 663

CAPÍTULO ADICIONAL 10 Probabilidade e Cálculo 66510.1 Distribuições de Probabilidade de Variáveis Aleatórias 666

Usando Tecnologia: Esboçando um Histograma 67810.2 Valor Esperado e Desvio Padrão 679

PORTFÓLIO: Gary Li 682

Usando Tecnologia: Encontrando o Valor Médio e o Desvio Padrão 69310.3 Distribuições Normais 695

Capítulo 10 Resumo das Principais Fórmulas e Termos 706

Capítulo 10 Questões Conceituais de Revisão 706 Capítulo 10 Exercícios de Revisão 707 Capítulo 10 Antes de Prosseguir... 708

CAPÍTULO ADICIONAL 11 Polinômios de Taylor e Séries Infinitas 70911.1 Polinômios de Taylor 710

11.2 Sequências Infinitas 720

11.3 Séries Infinitas 727

11.4 Séries com Termos Positivos 739

11.5 Série de Potências e Série de Taylor 748

11.6 Mais Informações sobre a Série de Taylor 757

11.7 Método de Newton 764

Usando Tecnologia: Método de Newton 773Capítulo 11 Resumo das Principais Fórmulas e Termos 774Capítulo 11 Questões Conceituais de Revisão 774Capítulo 11 Exercícios de Revisão 775Capítulo 11 Antes de Prosseguir... 776

CAPÍTULO ADICIONAL 12 Funções Trigonométricas 77712.1 Medidas de Ângulos 778

12.2 As Funções Trigonométricas 783

12.3 Diferenciação das Funções Trigonométricas 791

Usando Tecnologia: Analisando Funções Trigonométricas 80212.4 Integração de Funções Trigonométricas 804

Usando Tecnologia: Calculando Integrais de Funções Trigonométricas 810

Sumário IX



Capítulo 12 Resumo das Principais Fórmulas e Termos 811Capítulo 12 Questões Conceituais de Revisão 812Capítulo 12 Exercícios de Revisão 813Capítulo 12 Antes de Prosseguir... 814

APÊNDICE AA.1 A Inversa de uma Função 816

A.2 Gráficos de Funções Inversas 818

A.3 Funções que Possuem Inversas 818A.4 Determinando a Inversa de uma Função 819

APÊNDICE BB.1 Formas Indeterminadas 821

B.2 As Formas Indeterminadas 0/0 e / e a Regra de l’Hôpital 821

APÊNDICE CC.1 Distribuição Normal Padrão 826

Respostas 829

X Matemática Aplicada a Administração e Economia



PREFÁCIO

Matemática Aplicada a Administração e Economia é destinado ao uso em um curso introdutório de cálculo de doissemestres ou três trimestres para estudantes de Administração e Ciências Humanas. Ao preparar a 9a Edição, leveiem conta dois objetivos antigos: (1) escrever um texto aplicado que motivasse os alunos e (2) constituir uma ferra-

menta de ensino útil para professores. Por trás disso está a minha crença de que a matemática é parte integrante donosso dia a dia. Entre as lições mais importantes que aprendi durante os muitos anos de ensino em cursos de graduaçãode matemática, chamou-me a atenção uma delas: é que a maioria dos estudantes – desta ou de outras áreas – respondemelhor quando conceitos e resultados matemáticos são introduzidos por meio de ilustrações da vida real.

Em minha experiência no ensino de Administração e Ciências Humanas, também aprendi que muitos alunos che-gam a esses cursos com algum grau de conhecimento. Esse saber me levou a adotar nos meus livros uma abordagemintuitiva. Como vocês verão, busco introduzir cada conceito matemático abstrato com um exemplo retirado de ex-periências comuns da vida real. Só após expressar a ideia, tento dar-lhe uma maior precisão, impedindo a perda dorigor matemático no tratamento intuitivo.

Outra lição aprendida com meus alunos é que sua motivação é maior quando as aplicações partem de seus cam-pos de interesse e de situações cotidianas. Esse é um dos motivos por que vocês verão em meus textos vários exer-cícios construídos com dados retirados de jornais, revistas e outras mídias. Tento introduzir tópicos de interesse atual,

como o mercado de medicamentos redutores de colesterol, financiamento de casas, licitações de direitos de trans-missão na televisão a cabo, domicílios com conexões de banda larga, ou vendas anuais do Starbucks, buscando man-ter o livro atrativo para todos os meus leitores.

A ABORDAGEM

Nível de Apresentação

Minha abordagem é intuitiva, e os resultados são enunciados informalmente. No entanto, tomei cuidados especiaispara garantir que essa abordagem não comprometa o conteúdo e a precisão matemática.

Abordagem de Resolução de Problemas

A abordagem de resolução de problemas é destacada durante o livro. Diversos exemplos e aplicações ilustram cada novoconceito e resultado. Especialmente, os alunos são ajudados a formular, resolver e interpretar os resultados dos proble-mas que envolvem aplicações. Como os alunos geralmente têm dificuldade em estabelecer e resolver problemas mate-máticos, uma maior atenção é dada para ajudá-los a dominar essas habilidades:

■ No início do texto, os alunos praticam o estabelecimento de problemas matemáticos (veja a Seção 2.3).■ Orientações são dadas para ajudar a formular e resolver problemas de taxas relacionadas na Seção 3.6.■ No Capítulo 4, duas seções abrangem os problemas de otimização. Na primeira, as técnicas de cálculo são utili-

zadas para resolver problemas em que a função a ser otimizada é dada (Seção 4.4); na segunda, são tratados osproblemas de otimização que requerem a etapa adicional de formulação do problema (Seção 4.5).

■ No Capítulo 9, “Equações Diferenciais”, os alunos são novamente incentivados a estabelecer problemas que en-volvem aplicações (veja a Seção 9.1), antes de serem apresentados aos métodos de solução desses problemas nas

Seções 9.2-9.4.

Introdução Intuitiva aos Conceitos

Quando adequado, os conceitos matemáticos são introduzidos com exemplos reais do cotidiano. Abaixo estão algunsdos tópicos que são introduzidos dessa maneira:■ Limites: O Movimento de um Maglev■ A álgebra de funções: O Déficit Orçamentário Norte-Americano■ A Regra da Cadeia: A População de Norte-Americanos com 55 Anos ou Mais■ Diferenciais: Calculando Pagamentos Hipotecários■ Funções crescentes e decrescentes: A Economia de Combustível de um Automóvel■ Concavidade: O Crescimento Populacional nos Estados Unidos e no Mundo



■ Pontos de inflexão: O Ponto de Retorno Decrescente■ Esboço de curvas: O Índice Dow Jones na “Segunda-feira Negra”■ Funções exponenciais: Distribuição de Renda da Família Norte-Americana■ Área entre duas curvas: Economia de Petróleo com Medidas Conservativas■ Aproximando integrais definidas: O Fluxo Cardíaco

ConexõesUm exemplo (o maglev) é utilizado como fio condutor ao longo do desenvolvimento do cálculo - desde os limitesaté a integração. O objetivo aqui é mostrar aos alunos as conexões entre os conceitos apresentados: limites, conti-nuidade, taxas de variação, a derivada, a integral definida, e assim por diante.

Motivação

A ilustração do valor prático da matemática nas áreas aplicadas é um objetivo da minha abordagem. Muitas das apli-cações são baseadas em modelos matemáticos (funções) que construí utilizando dados retirados de diversas fontes,incluindo jornais atuais, revistas e internet. As fontes são dadas no texto desses problemas aplicados.

Modelagem

Acredito que uma das habilidades importantes que um aluno deve adquirir é a habilidade de traduzir um problemareal em um modelo matemático que pode oferecer a compreensão sobre esse problema. Na Seção 2.3, o processo demodelagem é discutido, e pede-se aos alunos que utilizem os modelos (funções) construídos com base em dados reaispara responder às questões. Os alunos adquirem uma experiência prática ao construir esses modelos nas seções UsandoTecnologia.

NOVIDADES DESTA EDIÇÃO

Incentivando Aplicações da Vida Real

Entre as muitas novidades e atualiza-ções dos exemplos aplicados e dos

exercícios, estão os problemas que en-volvem o aquecimento global, a sol-vência dos fundos fiduciários do Insti-tuto de Seguridade Social dos EstadosUnidos, o Índice de Preço de ImóveisCase-Shiller, as vendas de smartpho-nes, os encargos de cheques sem fun-dos, a produção de painéis solares, a tá-tica de cobertura do México, o Índicede Gini, os usuários do Facebook, opúblico de e-books, o crescimento dascooperativas de crédito, o tempo de es-

pera para um show nas “Fontes de Bel-lagio” e os usuários de telefone celularna China.

Modelagem com Dados

Como na edição anterior, os exercícios de modelagem com dados são encontrados em várias seções Usando Tecno-logia em todo o texto. Aqui, os alunos podem realmente ver como são construídas algumas das funções encontradasnos exercícios. Muitas dessas aplicações foram atualizadas, e alguns exercícios novos foram adicionados.

XII Matemática Aplicada a Administração e Economia

EXEMPLO APLICADO 2 Aquecimento Global O aumento de dióxido de carbono

(CO2) na atmosfera é uma das principais causas do aquecimento global. Acurva de Keeling, cu jo nome é em homenagem a Charles David Keeling, um profes-sor do Scripps Institution of Oceanography, fornece a quantidade média de CO2, me-dida em partes por milhão em volume (ppmv), na atmosfera, de 1958 a 2010. Aindaque os dados estivessem disponíveis para cada ano nesse intervalo, construiremos acurva com base apenas nos seguintes pontos de dados selecionados aleatoriamente.

Ano 1958 1970 1974 1978 1985 1991 1998 2003 2007 2010

Quantidade 315 325 330 335 345 355 365 375 380 390

O diagrama de dispersão associado a esses dados encontra-se na Figura 18a. Ummodelo matemático que fornece uma aproximação da quantidade de CO2 na atmos-fera durante esse período é dado por

A(t ) 0,012313t 2

0,7545t 313,9 (1 t 53)



Conectando-se à Tecnologia

Toda a arte nas seções “Usando Tecnologia” foi refeita. As te-las da calculadora científica agora mostram as escalas nume-radas em ambos os eixos, tornando mais fácil para os alunos autilização e a compreensão desses gráficos. Muitas das aplica-ções nos exemplos e exercícios das seções Usando Tecnologiaforam atualizadas.

Variedade de Tipos de Problema

Questões de memorização, questões de falso ou verdadeiro e questões conceituais foram adicionadas ao longo do textopara aprimorar os conjuntos de exercícios.

Soluções Cuidadosamente Concebidas

O Manual Completo de Soluções foi completamente renovado. Todas as novas artes foram criadas para o manual, eas soluções foram revisadas e simplificadas para facilidade de uso. Como em edições anteriores, as soluções para to-dos os exercícios foram escritas pelo autor.

Gráficos Aprimorados

As ilustrações tridimen-

sionais na Seção 7.5 eno Capítulo 8 foram re-feitas para que os alu-nos vejam com maiorfacilidade os conceitosdescritos em 3D. Porexemplo, a Figura 7 naSeção 8.1 agora mostrao traço do gráfico de z =

f ( x, y) e o plano z = k esua projeção sobre oplano xy (Figura 7a) e a

curva de nível correspondente (Figura 7b).

Mudanças Específicas de Conteúdo

■ Os Exemplos 4, 7b e 10c foram adicionados à Seção 1.1.■ O Exemplo Aplicado 4 na subseção “Usando Tecnologia” da Seção 2.2 foi refeito. Os gráficos de déficit orça-

mentário que são utilizados como motivação para a introdução da Seção 2.2, “A Álgebra de Funções”, foram re-feitos para refletir os números atuais de déficit. Um novo exercício conceitual gráfico foi adicionado na Seção 2.2.Na Seção 2.3, “Funções e Modelos Matemáticos”, foram construídos novos modelos para os quatro primeirosexemplos aplicados – Encargos de Cheques Sem Fundo, Aquecimento Global, Ativos do Fundo Fiduciário do Ins-tituto de Seguridade Social e Custos de Direção.

7. Falência de Banco O banco Haven Trust de Duluth, no es-tado da Georgia, f undado em 2000, aumentou rapida-mente seu portfólio de investimentos de risco no setorimobiliário, apesar de muitos alertas dos órgãos regula-dores. O banco faliu em dezembro de 2008. O volume deempréstimos imobiliários do banco, em relação ao per-centual de seu capital, é estimado pela f unção

f 1t 2 5,92t 4 58,89t 3 165,75t 2 56,21t 629

10

t

52 onde t 0 corresponde ao início do ano 2003.a. Trace o gráfico de f , usando a janela retangular

[0, 5] [0, 650].b. Mostre que em nenhum momento, durante o período

compreendido entre o início do ano 2003 até o começode 2008, o montante de financiamento imobiliário, emrelação ao percentual do capital do banco, ficouabaixo de 415%. Observação: A porcentagem máximarecomendada pelos órgãos reguladores em 2008 erade 100%.

Fonte: FDIC Office of Inspector General.

Prefácio XIII

(a) A curva de nível C com a equação f ( x , y ) k (b) A curva de nível C é projeção do traço de f no plano z k sobre o plano xy

z k

f ( x , y) k y

C

f ( x , y) k

C

z

0

x

z f ( x , y)

x

y

0FIGURA 7



■ Os Exemplos Aplicados 8 nas Seções 3.1 e 3.3 foram modificados. Na Seção 3.4, a subseção sobre a Elasticidadeda Demanda foi reescrita e a discussão simplificada. Na Seção 3.6, “Diferenciação Implícita e Taxas Relaciona-das”, dois novos exemplos foram adicionados. O Exemplo 5 ilustra o processo de encontrar implicitamente a se-gunda derivada de uma função, e o Exemplo Aplicado 6 é uma aplicação econômica utilizada para introduzir ataxa marginal de substituição técnica (TMST).

■ No Capítulo 4, as curvas orçamentárias utilizadas para motivar os extremos relativos foram atualizadas para re-fletir o déficit atual. Sete novos exercícios gráficos foram adicionados ao Conjunto de Exercícios 4.2, incluindo

Boatos de uma Corrida ao Banco e o Índice de Preço de Imóveis Case-Shiller. A aplicação Idade Média de Au-tomóveis, utilizada para motivar o conceito de extremo absoluto na Seção 4.4, foi atualizada. O Exemplo Apli-cado 7 nessa seção também foi modificado.

■ Do Capítulo 5 ao 7, várias aplicações novas e únicas foram adicionadas aos conjuntos de exercícios. Entre estas,Roubo Farmacêutico, Lobby Federal, Total de Procedimentos de Substituição de Joelho, Tática de Cobertura doMéxico, Déficit do Reino Unido, Gastos do Consumidor em Entretenimento e Custos Médicos para os Vetera-nos. Na Seção 5.3, os exemplos e os exercícios foram atualizados para refletir as atuais taxas de juros mais bai-xas. A Seção 5.4 é agora introduzida por um novo modelo para a distribuição de renda nos Estados Unidos em2010. Duas novas aplicações no Índice de Gini nos Estados Unidos foram adicionadas ao conjunto de exercícios7.2 para a integração numérica.

■ A ilustração tridimensional na Seção 7.5 e no Capítulo 8 foi refeita. Os novos gráficos tornam a visão dos con-ceitos descritos em 3D mais fácil para os alunos.

CARACTERÍSTICAS CONFIÁVEIS

Além das novas características, mantivemos muitos dos marcos que fizeram esta série ser tão útil e bem recebida nasedições anteriores:

■ Material de revisão para reforçar as habilidades pré-requeridas de álgebra■ Exercícios por seção para ajudar os alunos a compreender e aplicar os conceitos■ Seções opcionais de tecnologia para explorar ideias matemáticas e resolver problemas■ Seções de revisão ao final do capítulo para avaliar as habilidades de compreensão e resolução de problemas■ Características para incentivar uma maior exploração

A Revisão de Álgebra Ofereceaos Alunos um Plano de Ação

Um Exercício de Diagnóstico an-tecede a revisão de álgebra. Cadaquestão é referenciada pela seçãoe pelo exemplo no texto em que otópico relevante pode ser revisado.Os alunos podem usar esse exer-cício para diagnosticar seus pontosfracos e revisar o material con-forme necessário.

Testes de Conhecimento

1. a. Avalie a expressão:

(i) (ii)

b. Reescreva a expressão usando somente expoentes positivos:(Expoentes e r adicais, Exem plos 1 e 2, páginas 6-7 )

2. Racionalize o numerador

( Racionalização, Exem plo 5, página 7 )

3B x2

yz 3

( x 2 y 1)3

3B 27

125a 16

9 b 3 /2

XIV Matemática Aplicada a Administração e Economia



Revisão de Álgebra Posicionada

Onde os Alunos Mais Precisam

Notas de revisão de álgebra bem posi-cionadas, vinculadas ao capítulo de re-visão, aparecem ao longo do texto emlugares onde os alunos mais precisam.Estas são indicadas pelo ícone .


Oferecendo aos alunosum feedback imediatosobre os conceitos--chave, os Testes deConhecimento dão iní-cio a cada conjunto deexercícios ao final daseção. Suas soluções

completas podem serencontradas no final decada seção de exercícios.

Questões Conceituais

Desenvolvidas paratestar a compreensãodos conceitos básicosdiscutidos na seção, asQuestões Conceituaisencorajam o estudante

a explicar os concei-tos aprendidos comsuas próprias palavras.

( x 2)

EXEMPLO 6 Calcule:

Solução

Fazendo h tender a zero, obtemos a forma indeterminada 0/0. Em seguida, racionali-zamos o numerador do quociente multiplicando numerador e denominador pela ex-

pressão e obtemos

Portanto,

limhS0

1 1 h 1

hlimhS0

1

1 1 h 1

1

1 1 1

1

2

1

1 1 h 1

h

h11 1 h 1 2

1 h 1

h11 1 h 1 2

1 1 h 1

h

11 1 h 1 21 1 1 h 1 2 h11 1 h 1 2

11

1 h 1 2

limhS0

1 1 h 1

h

11 a 1 b 2 11 a 1 b 2 a b

Veja página 19.( x 2)

1. Calcule .

2. Desde a inauguração da Ryan’s Express no início de2009, o número de passageiros (em milhões) que voamnessa companhia tem crescido a uma taxa de

R1t 2 0,1 0,2te 0,4t

passageiros/ano (t 0 corresponde ao início de 2009).Supondo-se que essa tendência se mantenha até 2013, de-termine quantos passageiros voaram pela Ryan’s Expresspor esse tempo.

As soluções dos Testes de Conhecimento 7 .1 podem ser en-contr ad as na página 504.

x 2 ln x dx

7.1 Testes de Conhecimento

7.1 Questões Conceituais

1. Escreva a fórmula de integração por partes.

2. Explique como você escolheria u e d v quando se utilizaa fórmula de integração por partes. Ilustre a sua resposta

com x 2e x dx. O que acontece se você inverter suas es-colhas de u para d √ ?

Prefácio XV



Exercícios de Revisão

Oferecendo uma revisãocontínua do material docapítulo, os Exercíciosde Revisão contêm exer-cícios computacionaisrotineiros seguidos porproblemas aplicados.

Antes de

Prosseguir...

Encontrados no final decada revisão do capí-tulo, os exercícios deAntes de Prosseguiroferecem aos estudan-tes a chance de verificarse dominaram as habili-dades computacionaisbásicas desenvolvidasno capítulo.

Explore e Discuta

As questões opcionais de Exploree Discuta podem ser usadas emsala de aula ou atribuídas como

atividade extraclasse. Essas ques-tões geralmente requerem mais es-forço e reflexão do que os exercí-cios usuais. Elas também podemser utilizadas para adicionar umcomponente de escrita às aulas oucomo projetos de equipe.

Exercícios de RevisãoCapítulo 5

1. Desenhe no mesmo plano cartesiano os gráficos das f un-ções exponenciais definido pelas equações

a. y 2 x b.

Nos exercícios 2 e 3, reescreva as equações usando logaritmos.

2. 3. 16 3/4 0,125

Nos exercícios 4 e 5, resolva as equações para a variável x.4. log4 12 x 1 2 2

5. ln 1 x 1 2 ln 4 ln 12 x 4 2 ln 2

Nos exercícios 6 a 8, dado que ln 2 x , ln 3 y , e ln 5 z , ex-

presse cada um dos logaritmos dados em termos de x , y e z .6. ln 30 7. ln 3,6 8. ln 75

9.

Represente o gráfico da f unção y log2( x 3).

10.

Represente o gráfico da f unção y log3( x 1).

11. A soma de US$ 10.000 é depositada em um banco. Qualserá a quantia na conta depois de dois anos, se o bancopaga uma taxa de juros composto de 6% ao ano (a) dia-riamente (supondo 365 dias por ano) e (b) continuamente.

12. Qual é a taxa de juros necessária para um investimento de

US$ 10.000 crescer para a quantia de US$ 12.000 em trêsanos, se os juros são capitalizados trimestralmente?

13. Quanto tempo levará para um investimento de US$ 10.000crescer para US$ 15.000, se o investimento rende umataxa de juros de 6% ao ano, capitalizada trimestralmente?

14. Encontre a taxa de juros nominal que rende uma taxa de juros efetiva a 8% ao ano capitalizada trimestralmente.

a 2

3b 3 27

8

y a 1

2b x

1. Resolva a equação para t.

2. Encontre a quantia acumulada depois de quatro anos,

considerando-se que US$ 3.000 foram investidos a 8% aoano, capitalizados semanalmente.

3. Encontre o declive da reta tangente no gráfico de.

4. Encontre a taxa na qual y x ln( x2 1) varia em x 1.

5. Encontre a segunda derivada de y e2 x ln 3 x.

6. A temperatura de uma xícara de café no tempo t (em mi-

nutos) eraT 1t 2 70 ce kt

Inicialmente, a temperatura do café era de 200 ºF. Trêsminutos depois, era de 180 ºF. Quando a temperatura docafé estará em 150 ºF?

f 1 x 2 e1 x

100

1 2e0,3t 40

Antes de Prosseguir...Capítulo 5

Explore e Discuta O preço médio da gasolina na bomba ao longo de um período de três meses, durante o qualhouve uma escassez temporária de petróleo, é descrito pela f unção f definida no intervalo [0,3]. Durante o primeiro mês, o preço foi crescente em uma taxa crescente. Começando o se-gundo mês, a boa notícia foi que a taxa de crescimento diminuiu, apesar de o preço do com-bustível ainda estar aumentando. Esse padrão continuou até o final do segundo mês. O preçoda gasolina atingiu o pico em t 2 e começou a cair a uma taxa crescente até t 3.

1. Descreva os sinais de f (t ) e f (t ) sobre cada um dos intervalos (0, 1), (1, 2) e (2, 3).

2. Faça um esboço que mostre um gráfico plausível de f sobre [0, 3].

XVIII Matemática Aplicada a Administração e Economia



Portfólios

As experiências nomundo real de umavariedade deprofissionais queutilizam a matemáticano local de trabalhosão narradas nasentrevistas doPortfólio. Entre osentrevistados estãoGary Li, um associadona JPMorgan Chase, eTodd Kodet, Vice--Presidente Sênior deSuprimentos daEarthbound Farm.

MATERIAIS DE ENSINO

ENHANCED WEBASSIGN (www.webassign.net)Exclusivo da Cengage Learning, Enhanced WebAssign oferece um extenso programa on-line para incentivar a prá-tica, tão importante para o domínio de conceitos. Feedback imediato e facilidade de uso são apenas duas razões pe-las quais o sistema de atividades extraclasse é o mais utilizado no ensino superior. O Enhanced WebAssign permiteque você atribua, receba, dê notas e registre atividades via web e inclui links para conteúdos específicos ao texto, exem-plos de vídeo e tutoriais específicos ao problema. Agora, este consagrado sistema de atividades extraclasse foi apri-morado para incluir o YouBook, um e-book personalizável com recursos de realce, anotações e pesquisa, bem comolinks para recursos de multimídia.

CENGAGE YOUBOOKYouBook é um e-book interativo e personalizável. Incluindo todo o conteúdo da 9a edição de Matemática Aplicadaa Administração e Economia de Tan, o YouBook possui uma ferramenta de edição de texto que permite que profes-sores modifiquem a narrativa do livro conforme necessário. Com YouBook, os professores podem rapidamente reor-denar seções e capítulos inteiros ou ocultar qualquer conteúdo não ensinado para criar um e-book que combina per-

feitamente com seus conteúdos programáticos. Os professores podem ainda personalizar o texto por meio dapublicação de links da web. Outros recursos de mídia incluem: figuras animadas, videoclipes, realces, notas e muitomais! YouBook está disponível no Enhanced WebAssign.

SOLUTION BUILDER (www.cengage.com/solutionbuilder)Esse banco de dados on-line para professores oferece as soluções completas para todos os exercícios no texto, incluindoas questões em Explorando com Tecnologia e em Explore & Discuta. Solution Builder permite criar cópias perso-nalizadas e seguras (em formato PDF) que correspondem exatamente aos problemas dados em sala de aula.

PORTFÓLIO

Historicamente, pensava-se que os

oceanos proporcionariam uma ili-

mitada fonte de pesca a baixo custo.

No entanto, em um mundo onde apopulação humana excede 6 bi-

lhões de pessoas, a pesca excessiva impulsionou um terço de

toda a pesca marinha para um estado de colapso.

Como uma geneticista em pescaria na Estação da Marinha

Hopkins, estudo populações marinhas para colheitas comer-

ciais e uso modelos exponenciais no meu trabalho. A equação

que determina o tamanho da população que cresce ou decai

exponencialmente é x t

x 0ert , onde x 0

é a população inicial, t

é o tempo e r é o crescimento ou declínio constante (positivo

para crescimento e negativo para declínio).

Essa equação tanto pode ser usada para estimar a popula-

ção do passado quanto a do futuro. Sabemos que a demanda

por produtos da pesca cresce conforme a população cresce,

causando assim, eventualmente, o declínio da população ma-

rinha. Por conta de a diversidade genética estar ligada ao ta-

manho da população, a função exponencial é út il para mode-

lar mudanças na população de pesca e seus conjuntos gené-

ticos ao longo do tempo.Curiosamente, funções exponenciais podem, também, ser

usadas para modelar o aumento do valor de mercado de frutos

do mar nos Estados Unidos ao longo dos últimos 60 anos. Em ge-

ral, o preço dos frutos do mar tem crescido exponencialmente,

embora o preço tenha sido brevemente estabilizado em 1995.

Embora as curvas exponenciais sejam importantes no meu

trabalho, nem sempre são a melhor opção. As curvas expo-

nenciais são mais bem aplicadas em prazos curtos, quando o

meio ambiente e o mercado são ilimi-

tados. Para longos períodos, a função lo-

gística de crescimento é mais ade-

quada. Em minha pesquisa, selecionar o

modelo mais exato exige a análise de

diversas possibilidades.

Carol A. Reeb, Ph.D.

CARGO Pesquisadora Adjunta

INSTITUIÇÃO Estação da Marinha Hopkins, Universidade de Stanford

Michel Le Tallec; (inset) © Rich Carey/Shutterstock.com

Prefácio XIX



Agradeço também aos seguintes revisores, cujos comentários e sugestões para edições anteriores moldaram a forma

atual desta edição.

AGRADECIMENTOS

Gostaria de expressar meus agradecimentos pessoais a cada um dos revisores da 9a Edição, cujas diversas sugestõesajudaram a melhorar em muito este livro.

XX Matemática Aplicada a Administração e Economia

Mario Borha Moraine Valley Community College

Sarah ClarkSouth Dakota State UniversityMark CrawfordWaubonsee Community CollegeCharles Cunningham

James Madison UniversityJames HagerThe Pennsylvania State UniversityGeorge HurlburtCorning Community CollegeHerbert Kasube

Bradley University

Anton KaulCalifornia Polytechnic State University– San Luis

ObispoGloria M. KittelUniversity of West GeorgiaMark S. Korlie

Montclair State UniversityLinda E. NashClayton State University

Tejinder Neelon

California State University—San MarcosKatherine PedersenSoutheastern Louisiana UniversityMari Peddycoart

Lone Star College—Kenwood Shahla PetermanUniversity of Missouri—St. LouisYvonne SandovalPima Community CollegeGordon H. ShumardKennesaw State UniversityEdward E. Slaminka

Auburn University

Michael ThreapletonCentralia CollegeLisa YoccoGeorgia Southern UniversityLaurie Zack

High Point University

Paul AbrahamKent State University—Stark James Adair

Missouri Valley CollegeJill BrittonCamosun CollegeDebra D. BryantTennessee Technological UniversityMichelle DedeoUniversity of North Florida

Scott L. DennisonUniversity of Wisconsin—OshkoshChristine Devena

Miles Community CollegeAndrew DienerChristian Brothers UniversityMike EverettSanta Ana CollegeKevin Ferland

Bloomsburg University

Tao Guo Rock Valley CollegeMark Jacobson

Montana State University—BillingsSarah Kilby

North Country Community CollegeMurray Lieb

New Jersey Institute of TechnologyLia LiuUniversity of Illinois at Chicago

Rebecca LynnColorado State UniversityMary T. McMahon

North Central CollegeDaniela MihaiUniversity of PittsburghKathy NickellCollege of DuPageCarol OverdeepSaint Martin’s University



Prefácio XXI

Também gostaria de agradecer a Tao Guo pelo esplêndido trabalho de revisão deste texto. Agradeço às equipesde edição, produção e marketing da Brooks/Cole – Richard Stratton, Laura Wheel, Haeree Chang, Andrew Coppola,Cheryll Linthicum e Vernon Boes – por toda a ajuda e apoio durante o desenvolvimento e a produção desta edição.Agradeço a Martha Emry e Barbara Willette, que fizeram um trabalho excelente em garantir a exatidão e a legibili-dade desta edição. Simplificando, a equipe com que tenho colaborado é extraordinária, e eu realmente agradeço portodo o seu esforço e trabalho árduo.

S. T. Tan

Mohammad SiddiqueVirginia Union UniversityDennis H. Risher

Loras CollegeBrian RodasSanta Monica CollegeDr. Arthur Rosenthal

Salem State CollegeAbdelrida Saleh

Miami Dade College

Stephanie Anne SalomoneUniversity of Portland Mohammed Rajah

Miracosta CollegeJennifer StrehlerOakton Community CollegeRay Toland

Clarkson UniversityJustin Wyss-GallifentUniversity of Maryland at College Park



SOBRE O AUTOR

SOO T. TAN completou a sua graduação no Massachusetts Institute of Technology, seu mestradona University of Wisconsin-Madison e o seu Ph.D. na University of California em Los Angeles. Elepublicou diversos trabalhos em Teoria do Controle Ótimo, Análise Numérica e Matemática Apli-cada às Finanças. Ele também é autor de uma série de livros de Matemática.



© Yuri Arcurs 2010/Shutterstock.com

Quanto dinheiro é necessário para adquirir pelo menos 100 000

ações da Starr Communications Company ? Corbyco, um grande

conglomerado, deseja adquirir no mínimo 100 000 ações da

empresa. No Exemplo 11, página 21, você verá como a gerência da

Corbyco determina quanto dinheiro será necessário para a

aquisição.

As primeiras duas seções deste capítulo

contêm uma breve revisão de álgebra. Em

seguida, introduzimos o sistema de coor-

denadas cartesianas, que permite repre-

sentar os pontos do plano por meio de pa-res ordenados e números reais. Isso, por sua

vez, possibilita calcular a distância entre

dois pontos algebricamente. Este capítulo

também trata do estudo das retas. A incli-

nação da reta é parte importante no es-

tudo do cálculo.

1PRELIMINARES



Use este teste para identificar eventuais dificuldades no uso da álgebra necessária para

o material de cálculo a seguir. A seção de revisão e os exemplos que ajudam a relem-

brar as ferramentas necessárias para resolver o problema estão indicados após cada

exercício. As respostas são encontradas logo após o teste.


1. a. Avalie a expressão:(i) (ii)

b. Reescreva a expressão usando somente expoentes positivos:( Expoentes e radicais, Exemplos 1 e 2, páginas 6-7 )

2. Racionalize o numerador

( Racionalização, Exemplo 5, página 7 )3. Simplifique as seguintes expressões:

a. 13 x 4 10 x 3 6 x 2 10 x 32 12 x 4 10 x 3 6 x 2 4 x2 b. 13 x 42 13 x 2

2 x + 32 (Operações com expressões algébricas, Exemplos 6 e 7, páginas 8-9)

4. Fatore completamente:a. 6a 4b 4c 3a 3b 2c 9a 2b 2 b. 6 x 2 xy y 2

(Fatoração, Exemplos 8-10, páginas 9-11)5. Use a fórmula quadrática para resolver a seguinte equação: 9 x 2 12 x 4

(Fórmula quadrática, Exemplo 11, páginas 12-13)6. Simplifique as seguintes expressões:

a. b.

(Expressões racionais, Exemplo 1, página 16)

7. Efetue as operações indicadas e simplifique:

a. b.

( Expressões racionais, Exemplos 2 e 3, páginas 16-18)8. Efetue as operações indicadas e simplifique:

a. b.

( Expressões racionais, Exemplos 4 e 5, páginas 18-19)

9. Racionalize o denominador:

( Racionalização de frações algébricas, Exemplo 6, página 19)

10. Resolva as desigualdades:a. x 2 x 12 0

( Desigualdades, Exemplo 9, página 20)

b.

(Valor absoluto, exemplo 14, página 22)Respostas:

1. a. (i) (ii) b. 2.

3. a. 5 x 4 20 x3

12 x 2 14 x 3 b. 9 x3

18 x 2 17 x 12

4. a. b. 12x y 2 13x y 2 3a 2b 212a 2b 2c ac 32

x

z1 3 xy

1

x 6y 3

3

5

64

27

03 x 4 0 2

3

1 21 x

x13 x2 1 2

x 1#

3 x3 5 x2

x

x1 x 1 2 13 x2 1 2 1/2

1 1

x 2

x 9 x

3 x

x2 2

3 x2

x3 1

2 x 6 x 3

#

x2 6 x 9

x2 9

1t 2 4 2 12t 4 2 1t 2 4t 4 2 12t 2 1t 2 4 2 2

2 x2 3 x 2

2 x2 5 x 3

3B x2

y z3

1 x2 y1 2 33B

27125

a 169 b 3>2

2 Matemática Aplicada a Administração e Economia



5. 6. a. b.

7. a. 2 b.

8. a. b.

9. 10. a. [4, 3] b.

1.1 Revisão I

As seções 1.1 e 1.2 revisam alguns conceitos e técnicas básicas de álgebra que são es-senciais para o estudo do cálculo. O material desta revisão ajudará nos exemplos e exer-cícios deste livro. Agora você poderá ler todo o material e fazer os exercícios das áreasem que se sentir “enferrujado”, ou poderá revisar o material conforme sua necessidadeenquanto estuda o texto. O Teste de Conhecimento que precede esta seção auxiliará naidentificação da extensão da dificuldade.

A Reta Real

O sistema de números reais é composto pelo conjunto dos números reais, juntamentecom as operações usuais de adição, subtração, multiplicação e divisão.

Podemos representar números reais geometricamente por pontos em uma reta

real ou reta coordenada. Essa reta pode ser construída da seguinte forma: escolha ar-bitrariamente um ponto em uma reta para representar o número 0. Esse ponto é deno-minado origem. Se a reta for horizontal, um ponto a uma distância conveniente à di-reita da origem é escolhido para representar o número 1. Isso determinará a escalanumérica. Cada número real positivo se encontra a uma distância apropriada à direitada origem, e cada número real negativo se encontra a uma distância apropriada à es-

querda da origem (Figura 1)

FIGURA 1 A reta real

Uma correspondência biunívoca é estabelecida entre o conjunto de todos os núme-

ros reais e o conjunto dos pontos na reta, ou seja, exatamente um ponto na reta é asso-ciado a cada número real. Do mesmo modo, exatamente um número real está associadoa cada ponto na reta. O número real que está associado a um ponto na reta real é deno-minado coordenada daquele ponto.

Intervalos

Neste livro, frequentemente focaremos a atenção em subconjuntos do grupo de núme-ros reais. Por exemplo, se x denota o número de carros fabricados diariamente por umalinha de montagem, x deve ser não negativo, ou seja: x 0. Além disso, suponha quea gerência tenha decidido que a produção diária não poderá exceder 200 carros. Então,

x deverá satisfazer a desigualdade 0 x 200.

– 4 – 3 – 2 – 1 10 2 3 4

Origem

x

122– 3

Direção negativa Direção positiva

c 23

, 2d311 2

1 x 2 1 4x

x 2 1 3x 213x 2 5x 12 1x 12 2

x

1x 22 1x 32

3x 12x 3 2x 12 1x 2 22 1x 3 12

41t 2 42 1t 2 42 2

x 2

x 3

2

311 1 2 2 ; 2

311 1 22

Preliminares 3



De forma geral, os seguintes subconjuntos de números reais nos interessam: inter-valos abertos, intervalos fechados e intervalos semiabertos. O conjunto de todos os nú-meros reais que se encontram estritamente entre dois números fixos a e b é denominadointervalo aberto (a, b). Esse intervalo consiste em todos os números reais x que satis-fazem a desigualdade a x b, sendo denominado “aberto” por não conter nenhumde seus extremos. Um intervalo fechado contém ambos os extremos. Portanto, o con-

junto de números reais x que satisfazem a desigualdade a x b é o intervalo fechado

[a, b]. Note que colchetes são usados para indicar que os extremos estão incluídos nointervalo. Intervalos semiabertos contêm apenas um dos extremos. Portanto, o inter-valo [a, b) é o conjunto de números reais x que satisfazem a x b, enquanto o in-tervalo (a, b] é descrito pelas desigualdades a x b. Exemplos destes intervalos fi-

nitos estão ilustrados na Tabela 1.


TABELA 1

Intervalos finitos

Intervalo Gráfico Exemplo

Aberto: (2, 1)

Fechado:

Semiaberto:

Semiaberto: 3a , b 2

1a , b 4

3a , b 4

1a , b 2

312, 32

112, 34

31, 24

x

x

x

x

a b

a b

a b

a b

x

3210–1–2–3

–1–2–3

–1–2–3

–2–3

x

2 310–1

x

3210

x

3210–

12

12

Além de intervalos finitos, encontraremos intervalos infinitos. Exemplos de inter-valos infinitos são as semirretas (a,), [a, ), (, a) e (, a] definidas pelo conjunto

de números reais que satisfaz x a, x a, x a e x a, respectivamente. O símbolo, denominado infinito, não é um número real. Esse símbolo é usado com objetivo denotação, juntamente com a definição de intervalos infinitos. A notação (, ) é usadapara o conjunto de todos os números reais x. Assim, de acordo com essa definição, asinequações x representam qualquer número real x. Intervalos infinitos estãoilustrados na Tabela 2.

a

a

a

a

x

x

x

x

21

21

210

– 12

0–1

–1

–1 0

210

x

x

x

x

TABELA 2

Intervalos infinitos

Intervalo Gráfico Exemplo

1, a 4

1, a 2

3a , 2 1a ,

2

1, 124

1, 12

31, 2 12,

2



Expoentes e Radicais

Lembre-se de que se b é qualquer número real e n é um inteiro positivo, então a expressãobn (lê-se “b à potência n”) é definida como o número

n fatores

O número b é denominado base, e o expoente n é denominado potência da expressãoexponencial bn, por exemplo,

e

Se b 0, definimos

Por exemplo, 20 1 e , mas a expressão 00 é indefinida.Além disso, lembre-se de que se n é um inteiro positivo, então a expressão b1/ n é de-

finida como o número que, quando elevado à n-ésima potência, é igual a b. Portanto,

Tal número, caso exista, é denominado raiz n-ésima de b, representado por .

Se n for par, a raiz n-ésima de um número negativo não é definida. Por exemplo,a raiz quadrada de 2 (n 2) não é definida já que não há nenhum número realb de modo que b2 2. Igualmente, dado um número b, mais de um número po-derá ser sua raiz n-ésima, segundo nossa definição. Por exemplo, ambos 3 e 3 ele-vados ao quadrado resultam 9, e cada um poderia ser a raiz quadrada de 9. Então,para evitar ambiguidades, definimos b1/ n como a raiz n-ésima positiva de b sempreque existir. Portanto, 91/2 3. Por isso, a calculadora lhe mostra 3 quandoutilizada para calcular .

Além disso, lembre-se de que se (onde p e q são positivos inteiros e q 0) é

um número racional na forma simplificada, então a expressão b p/q é definida como nú-mero ou, equivalentemente, , sempre que existir. Por exemplo,

Expressões envolvendo expoentes racionais negativos são resolvidas pela definição

Portanto,

As regras que definem a expressão exponencial an, onde a > 0, para todos os valores ra-cionais de n estão apresentadas na Tabela 3.

As três primeiras definições na Tabela 3 também são válidas para valores negativosde a. A quarta definição é válida para valores negativos de a apenas quando n é ímpar.

Assim,

n é ímpar.

não possui valor real n é par.

Por fim, é possível provar que an está bem definido para todos os números reais n.Por exemplo, usando uma calculadora com a tecla , vemos que 2,665144.yx 21 2

18 2 1/2

182 1/3 2 3

8 2

45/2

1

45/2

1

141/22 5 1

25

1

32

b p /q

1

b p /q

23/2 121/2 2 3 11,4142 2 3 2,8283

2 q

b p 1b 1/q 2 p p >q

1 91 9

2 n

b 1b 1/n

2 n

b

1p 2 0 1

b 0 1

a 2

3b 3

a 2

3b a 2

3b a 2

3b

8

2725

2 # 2 # 2 # 2 # 2 32

b n b # b # b # . . . # b

Preliminares 5



As cinco leis de exponenciação estão listadas na Tabela 4


TABELA 3

Regras para a definição de an

Definição de a n ( a 0) Exemplo Definição de a n ( a 0) Exemplo

Expoente inteiro: se n é um inteiropositivo, então

an a a a . . . a 25 2 2 2 2 2

(fatores n de a) (5 fatores) 32

Expoente nulo: se n é iguala zero, então

a0 1 70 1(00 não está definido.)

Expoente negativo: Se n é uminteiro positivo, então

(a 0)

1

36

62

1

62a n

1

a n

Expoente fracional:

a. Se n é um positivo inteiro,então

a1/ n oudenota a raíz enésima de a.

b. Se m e n são inteiros positivos,então

c. Se m e n são inteiros positivos,então

(a 0)

1

27

93/2

1

93/2a m /n

1

a m /n

4

82>3 12 3

82 2a m >n 2 n

a m 12 n

a 2 m

4

161/2

1 16

2 n

a

TABELA 4

Leis de Exponenciação

Lei Exemplo

1. am an

amn x2 x3

x23 x5

2.

1a 0

2 3. amn 1 x4 2 3 x 43 x12

4. an bn 12 x 2 4 24

x4 16 x4

5. 1b 0 2 1ab 2 n 1a m 2 n

a x 2b 3

x 3

23

x 3

8a a b b n

a n

b n

x 7

x 4 x 74

x 3a m

a n a m n

Essas leis são válidas para quaisquer números reais a, b, m e n sempre que as quanti-dades são definidas.

Lembre-se, . A equação correta é x 23 x 6.

Os diversos exemplos a seguir ilustram o uso das leis de exponenciação.

EXEMPLO 1 Simplifique as expressões:

a. b. c. d. e.

Solução

a. Lei 1

b. Lei 2165/4

161/2 165/41/2

163/4 12 4

162 3 23 8

13x 22 14x 32 12x 23 12x 5

a y 3/2

x 1/4b21x 3y 22 2162/32 3165/4

161/213x 22 14x 32

1x 22 3 1x 22 3 x 5



c. Lei 3

d. Lei 4

e. Lei 5

Podemos também usar as leis de exponenciação para simplificar expressões envol-vendo radicais, como ilustrado no exemplo a seguir.

EXEMPLO 2 Simplifique as expressões. (Supondo que x, y e n são positivos)

a. b. c.

Solução

a.

b.

c.

Se um radical aparecer no numerador ou denominador de uma expressão algébrica,normalmente tentamos simplificar a expressão eliminando o radical do numerador oudenominador. Esse processo, chamado racionalização, está ilustrado nos dois exemplosa seguir.

EXEMPLO 3 Racionalize o denominador da expressão .

Solução

EXEMPLO 4 Expresse como um radical e racionalize o denominador da ex-

pressão obtida.

Solução

EXEMPLO 5 Racionalize o numerador da expressão .

Solução

Operações com Expressões Algébricas

Em cálculo, trabalhamos frequentemente com expressões algébricas como:

2x 4/3 x 1/3

1 2x 2 x 2

1 x 3xy 2

x 1 2x 3 2x 1

32 x 2x

32 x

2x #

2 x 2 x

32 x 22x 2 x

3x

2x 2 x 3

22 x

3

1 x

2x

1

2x 1/2

1

22 x # 2 x 2 x

2 x 2x

1

2x 1/2

3x

22 x 3x

22 x # 2 x

2 x 3x

2 x

22 x 2 3x

2 x

2x

3

22 x

3x

21 x

2 3

27x 6

2 38y 3

127x 62 1/3

18y 32 1/3

271/3x 2

81/3y

3x 2

2y

2 12m 3n # 2 3m 5n 2 36m 8n 2

136m 8n 2

2 1/2

361/2# m 4n 6m 4n

2 416x 4y 8 116x 4y 82 1/4

161/4# x 4/4y 8/4

2xy 2

2 327x 6

2 38y 3

2 12m 3n # 2 3m 5n 2 416x 4y 8

a y 3/2

x 1/4b2

y 13/22 122

x 11/42 122 y 3

x 1/2

x 1/2

y 3

1x 3y 22 2 1x 32 21 y 22 2

x 132122 y 122122 x 6y 4

y 4

x 6

162/32 3 612/32132 62

36

Preliminares 7



Uma expressão algébrica da forma axm y n, onde o coeficiente a é um número real m e

n são inteiros não negativos, é chamada de monômio, o que significa que constitui um

único termo. Por exemplo, 7 x2 é um monômio. Um polinômio consiste em um monô-

mio ou na soma de dois ou mais monômios. Por exemplo, em

todos são polinômios. O grau do polinômio é a maior potência 1m n 2 das variáveis

que aparecem no polinômio.Termos constantes e termos contendo os mesmos fatores variáveis são denominados

termos semelhantes. Os termos semelhantes podem ser combinados adicionando-se ou

subtraindo-se seus coeficientes numéricos. Por exemplo, em:

a propriedade distributiva dos números reais

ab ac a 1b c2 é usada para justificar este procedimento.

Para adicionar ou subtrair duas ou mais expressões algébricas, primeiro remova os

parênteses e então combine os termos semelhantes. A expressão resultante é escrita emgrau decrescente, da esquerda para a direita.

EXEMPLO 6

a. 12 x4 3 x3

4 x 6 2 13 x4 9 x3

3 x22 2 x4

3 x3 4 x 6 3 x4

9 x3 3 x2 Remova os parênteses.

2 x4 3 x4

3 x3 9 x3

3 x2 4 x 6

x4 6 x3

3 x2 4 x 6 Combine os termos semelhantes.

b. 2t 3 5t 2 3t 12t 12 4 46 2t 3 5t 2 3t 2t 1 4 46 2t

3

5t 2

3t 1 4 46 Remova os parênteses e combine ostermos semelhantes em colchetes.

2t 3 5t 2 t 1 46 Remova os colchetes.

2t 3 5t 2 t 36 Adicione os termos dentro das chaves.

2t 3 t 2 t 3 Remova as chaves.

Note que, quando a expressão algébrica no exemplo 6b foi simplificada, os símbolos de

agrupamento mais interno foram removidos primeiro, isto é, os parênteses ( ) foram re-

movidos por primeiro, em seguida os colchetes [ ] e, por último, as chaves {}.

Quando multiplicamos expressões algébricas, cada termo de uma expressão é mul-

tiplicado pelo de outra. O resultado algébrico da expressão é então simplificado.

EXEMPLO 7 Efetue as operações indicadas:

a. 1 x2 1 2 13 x2

10 x 3 2 b.

c. 1et et 2 et

e t 1et et 2

Solução

a. 1 x2 12 13 x2

10 x 3 2 x213 x2 10 x 32 113 x2

10 x 32 3 x4

10 x3 3 x2

3 x2 10 x 3

3 x4 10 x3

6 x2 10 x 3

x a300 1

4x

1

8y b y a240 1

8x

3

8y b

3 x 7 x 10 x e1

2 xy 3 xy

7

2 xy

x 2 4x 4 x

3 5 x

4 3x

2 3 x

2y xy y




b.

c. 1et et 2 et et 1et et 2 e2t e0 e2t e0

e2t e2t e0 e0

1 1 Lembre-se de que e 0 1.

2

Algumas fórmulas frequentemente usadas em cálculos algébricos estão apresenta-das na Tabela 5.

1

4x 2

3

8y 2

1

4xy 300x 240y

300x 1

4x 2

1

8xy 240y

1

8xy

3

8y 2

x a300 1

4x

1

8y b y a240

1

8x

3

8y b

Preliminares 9

TABELA 5

Algumas fórmulas úteis de produtos

Fórmula Exemp

lo1a b2 2 a2 2ab b2 12 x 3 y2 2 12 x2 2 212 x213 y2 13 y2 2

4 x2 12 xy 9 y2

1a b2 2 a2 2ab b2 14 x 2 y2 2 14 x2 2 214 x212 y2 12 y2 2

16 x2 16 xy 4 y2

1a b21a b2 a2 b2 12 x y212 x y2 12 x2 2 1 y2 2 4 x2 y2

Fatoração

Fatoração é o processo de decomposição de uma expressão algébrica como produto de

outras expressões algébricas. Por exemplo, aplicando a propriedade distributiva, pode-mos escrever:

3 x2 x x 13 x 12 Para fatorar uma expressão algébrica, primeiro verifique se há termos em comum.

Se houver, então o maior fator comum é colocado em evidência. Por exemplo, o fatorcomum da expressão algébrica 2a2 x 4ax 6a é 2a porque

2a2 x 4ax 6a 2 a ax 2 a 2 x 2 a 3 2 a 1ax 2 x 32 EXEMPLO 8 Fatore o maior fator comum em cada expressão:

a. 3t 2 3t b. 2 x3/2 3 x1/2 c. 2 ye xy2 2 xy3e xy

2

d.

Solução

a. 3t 2 3t 3t 1t 12 b. 2 x3/2 3 x1/2 x1/212 x 32 c. 2 ye xy 2

2 xy3e xy2 2 ye xy 211 xy22

d.

x1 x 1 2 1/2 341 x 1 2 1/21 x 1 2 1/2 x44x 1x 12 1/2

2x 2a 1

2b 1x 12 1/2

4x 1x 12 1/2 x 21x 12 1/2

4x 1x 12 1/2 2x 2a 1

2b 1x 12 1/2



x1 x 1 2 1/2 341 x 1 2 x4 x1 x 1 2 1/214 x 4 x 2 x1 x 1 2 1/213 x 4 2

Aqui selecionamos 1 x 1 2 1/2 como o maior fator comum, pois é a maior potênciade ( x 1) contida em cada termo algébrico. Em particular, observe que

1 x 1 2 1/21 x 1 2 1/21 x 1 2 1/2 1 x 1 2 1/21/21/2 1 x 1 2 1/2

Às vezes, uma expressão algébrica pode ser fatorada reagrupando-se e reorganizando--se seus termos para que um fator comum possa ser fatorado. Essa técnica é ilustradano Exemplo 9.

EXEMPLO 9 Fatore:

a. 2ax 2ay bx by b.

Solução

a. Primeiro, coloque em evidência o fator comum 2a dos dois primeiros termos e ofator comum b dos dois últimos. Assim,

2ax 2ay bx by 2a1 x y 2 b 1 x y 2 Sendo ( x y) comum a ambos os termos do polinômio, podemos fatorá-lo. Portanto,

2a1 x y2 b1 x y 2 12a b 2 1 x y 2 b. Reorganize os termos

Fatore os termos comuns

Como visto anteriormente, o primeiro passo para fatorar um polinômio é encontrarseus fatores comuns. O passo seguinte é expressar o polinômio como produto de umaconstante por um ou mais polinômios primos.

Algumas fórmulas úteis para a fatoração de binômios e trinômios estão apresenta-das na Tabela 6

13x 22 11 y 22 1 y 13x 22 213x 22

3x 1 y 4 21 y 6x 3x 1 y 21 y 6x 4

3x 1 y 4 21 y 6x


TABELA 6

Fórmulas de produto usadas na fatoração

Fórmula Exemplo

Diferença de dois quadrados:

x2 y2

1 x y2 1 x y2 x2 36 1 x 62 1 x 62

8 x2 2 y2 214 x2 y22 212 x y2 12 x y2

9 a6 13 a32 13 a32

Trinômio quadrado perfeito:

x2

2 xy y

2

1 x y2

2

x2

8 x

16

1 x

42 2

x2 2 xy y2

1 x y2 2 4 x2 4 xy y2

12 x y2 2Soma de dois cubos:

x3 y3 1 x y2 1 x2 xy y22 z3 27 z3 132 3 1 z 32 1 z2

3 z 92 Diferença de dois cubos:

x3 y3 1 x y2 1 x2 xy y22 8 x3 y6 12 x2 3 1 y22 3 12 x y22 14 x2

2 xy2 y42

Os fatores de um polinômio de segundo grau com coeficientes inteiros

px2 qx r



são (ax b)(cx d ), onde ac p, ad bc q e bd r. Como apenas um númerolimitado de escolhas é possível, podemos usar o método de tentativa e erro para fatorarpolinômios que possuem essa forma.

Por exemplo, para fatorarmos x2 – 2 x – 3, primeiro observamos que os únicos ter-mos de primeiro grau possíveis são

1 x 2 1 x 2 Já que o coeficiente de x2 é 1

Em seguida, observamos que o produto dos termos constantes é (3). Temos então asfatorações: 1 x 1 2 1 x 3 2 1 x 1 2 1 x 3 2

Olhando novamente para o polinômio x2 2 x 3, vemos que o coeficiente de x é2. Verificando qual das duas equações fornece 2 como coeficiente de x, vemos que

Preliminares 11

Coeficientes dos termos internosCoeficientes dos termos externos

11 2 11) 11 2 132 2

Coeficientes dos termos internosCoeficientes dos termos externos

11 2 11 2 11 2 132 2

Fatores

Termos externos 1 x 12 1 x 32

Termos internos

Termos externos 1 x 12 1 x 32

Termos internos

e concluímos que a fatoração correta é

x2 2 x 3 1 x 1 2 1 x 3 2 Com a prática, você irá descobrir rapidamente que pode efetuar muitos desses passosmentalmente, e a necessidade de escrever todo o processo será eliminada.

EXEMPLO 10 Fatore:

a. 3 x2 4 x 4 b. 3 x2 6 x 24 c. 3t 2 192t 195

Solução

a. Usando o método de tentativa e erro, descobrimos que a fatoração correta é

3 x2 4 x 4 13 x 2 2 1 x 2 2 b. Visto que cada termo possui o fator comum 3, temos

3 x2 6 x 24 31 x2 2 x 8 2 Usando o método de fatoração de tentativa e erro, descobrimos que

x2 2 x 8 1 x 4 2 1 x 2 2 Assim, temos

3 x2 6 x 24 31 x 4 2 1 x 2 2 c. Como cada termo tem o fator comum – 3, temos

3t 2 192t 195 31 t 2 64t 65 2 Usando o método de fatoração de tentativa e erro, descobrimos que

1t 2 64t 65 2 1t 65 2 1t 1 2 Portanto,

3t 2 192t 195 31t 652 1t 1 2



Raízes de Equações Polinomiais

Uma equação polinomial de grau n na variável x é uma equação da forma

an x n a

n1 x n1 a

0 0

onde n é um inteiro não negativo e a0, a1, . . . , an

são números reais com an

0. Porexemplo, a equação

2 x5 8 x3 6 x2 3 x 1 0

é uma equação polinomial de grau 5 em x.

As raízes de uma equação polinomial são precisamente os valores de x que satis-fazem a referida equação*. Uma maneira de encontrar as raízes de uma equação poli-nomial é fatorar o polinômio e então resolver a equação resultante. Por exemplo, a equa-ção polinomial

x3 3 x2 2 x 0pode ser reescrita na forma

x1 x2 3 x 2 2 0 ou x1 x 1 2 1 x 2 2 0

Como o produto de dois números reais pode ser igual a zero se, e apenas se, um (ou am-bos) dos fatores for igual a zero, temos

x 0 x 1 0 ou x 2 0

onde vemos que as raízes desejadas são x 0, 1 e 2.

A Fórmula Quadrática

Geralmente, encontrar as raízes de uma equação polinomial não é uma tarefa fácil. Masas raízes de uma equação quadrática (uma equação polinomial de grau 2) são encontradaspor fatoração ou utilizando-se as seguintes fórmulas quadráticas.


Fórmula Quadrática

As soluções para a equação ax2 bx c 0 (a 0) são dadas por

x b 2 b 2 4ac

2a

Observação Caso você use a fórmula quadrática para resolver uma equação quadrática,primeiro verifique se a equação se encontra na forma canônica ax2 bx c 0.

EXEMPLO 11 Resolva as seguintes equações quadráticas:

a. 2 x2 5 x 12 0 b. x2 3 x 8

Solução

A equação está na forma padrão (canônica), com a 2, b 5 e c 12. Usando afórmula quadrática, encontramos

5 1 121

4

5 11

4

x b 2 b 2 4ac

2a

5 2 52 4122 1122

2122

* Neste livro, consideraremos apenas as raízes reais de uma equação.



Essa equação também pode ser resolvida por fatoração. Portanto, vemos em

2 x2 5 x 12 12 x 3 2 1 x 4 2 0

que as raízes desejadas são ou x 4, como obtido anteriormente.

b. Primeiro reescrevemos a equação na forma padrão x 2 3 x 8 0, onde vemosque a 1, b 3 e c 8. Usando a fórmula quadrática, encontramos

Ou seja, as soluções são

Nesse caso, a fórmula quadrática se mostra bastante útil!

3 1 412

1,7 e 3 1 41

2 4,7

3 1 41

2

x b 2 b 2 4ac

2a

3 2 32 4112 182

2112

x 32

4 ou3

2

Preliminares 13

1.1 Exercícios

Nos exercícios 1 a 6, mostre o intervalo em uma reta numérica

1. (3, 6) 2. (2, 5] 3. [1, 4)

4. 5. (0, ) 6. (, 5]

Nos exercícios 7 a 22, calcule a expressão

7. 272/3 8. 84/3

9. 10. 171/22 6

11. 12.

13. 14.

15. 11252/3

2 1/2

16.

17. 18.

19. 20.

21. 161/4 81/3 22.

Nos exercícios 23 a 32, determine se a afirmação é verdadeira

ou falsa. Justifique sua escolha.

23. x4 2 x4 3 x4 24. 32 22 62

25. x3 2 x2 2 x6 26. 33

32 35

27. 21

4

3

x

x 24 x3 x 28. 122 322 2 64

29. 30.

31. 11,21/22 1/2 1 32. 52/3 1252 2/3 25

Nos exercícios 33 a 38, reescreva a expressão usando apenas ex-

poentes positivos

33. 1 xy2 2 34. 3s1/3 2s7/3

35. 36.

37. 120(s t )3 38. 1 x y2 1 x1 y12 Nos exercícios 39 a 54, simplifique a expressão. (Suponha que

x , y , r , s e t são positivos.)

39. 40. 149 x2 2 1/2

41. 1 x2 y32 1 x5 y32 42.

43. 44.

45. 46.

62,5# 61,9

61,4

a 93,5# 92,5

92 b0,5

a x 3

27y 6b2/3 a16

e x

e x 2b1/2

x 3/4

x 1/4 a x 3y 2

z 2 b 2

5x 5/2y 3/2

2x 3/2y 7/4

x 7/3

x 2

2 4x 1# 2 9x 3

3x 1/3

x 1/2

43/2

24

1

2

1

43

1

64

165/8161/2

167/8

A 3 8

271 72

1 18

2 326

a 9

16b1/2a 85

# 82

82 b1

c a1

3b 2d3c a 1

8b 1/3d2

a 1

1 5b 0

c

6

5,

1

2d



Matemática aplicada a administração e economia apresenta uma abordagem

intuitiva e de fácil compreensão, tornando-se um excelente material para utilização em

sala de aula dos cursos universitários.

O autor usou de sua experiência no ensino de Administração e Ciências Humanas para

buscar introduzir cada conceito matemático abstrato com um exemplo retirado de

experiências comuns da vida real.

Nesta edição, além de atualizações dos exemplos aplicados e também dos exercícios,

muitos dos novos problemas envolvem temas atuais, como o aquecimento global, as vendas

de smartphones, os encargos de cheques sem fundos e a produção de painéis solares.

Além disso, foram mantidos muitos dos marcos que fizeram esta obra ser tão útil e

bem recebida nas edições anteriores:

• Material de revisão para reforçar as habilidades pré-requeridas de álgebra;

• Exercícios por seção para ajudar os alunos a compreender e aplicar os conceitos;

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• Seções de revisão ao final do capítulo para avaliar as habilidades de compreensão

e resolução de problemas;

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matematica aplicada a administração e economia

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