69325117 apostila de matematica aplicada

MATEMÁTICA APLICADA

MMMAAATTTEEEMMMÁÁÁTTTIIICCCAAA AAAPPPLLLIIICCCAAADDDAAA

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1 – CONJUNTOS NUMÉRICOS..............................................................................................................5 1.1 - CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS ..................................................................................6

1.1.1 - Adição e Subtração de Números Inteiros ......................................................................7 1.1.2 - Multiplicação e Divisão de Números Inteiros ................................................................7 1.1.3 - Potenciação de Números Inteiros .....................................................................................7 1.1.4 - Radiciação de Números Inteiros ......................................................................................7 1.1.5 - Resolvendo Expressões Numéricas com Números Inteiros.........................................8

1.2 - FRAÇÕES....................................................................................................................................9 1.2.1 - O significado de uma fração............................................................................................9 1.2.2 - Como se lê uma fração ..................................................................................................9 1.2.3 - Como podem ser as frações ........................................................................................10 1.2.4 - Simplificando Frações ......................................................................................................10 1.2.5 - Reduzindo Frações ao Mesmo Denominador..............................................................10 1.2.6 - Adição e Subtração de Frações ...................................................................................11 1.2.6.1 - Denominadores iguais.....................................................................................................11 1.2.6.2 - Denominadores diferentes ..............................................................................................11 1.2.7 - Multiplicação e Divisão de Frações..............................................................................11 1.2.7.1 - Multiplicação....................................................................................................................11 1.2.8 - Potenciação e radiciação de números fracionários .....................................................12 1.2.9 - Fração Geratriz.................................................................................................................12 1.2.10 - Encontrando a Fração Geratriz de uma Dízima Periódica ......................................12 1.2.10.1 - Dízima periódica simples ..............................................................................................12 1.2.10.2 - Dízima periódica composta ...........................................................................................13

1.3 - NÚMEROS DECIMAIS ..............................................................................................................13 1.3.1 - Fração Decimal ...............................................................................................................13 1.3.2 - Lendo número decimais .................................................................................................13 1.3.3 - Transformando uma fração decimal em número decimal:.........................................13 1.3.4 – Propriedade .....................................................................................................................13 1.3.5 - Operações com números Decimais ..............................................................................14 1.3.5.1 – Adição.............................................................................................................................14 1.3.5.2 – Subtração .......................................................................................................................14 1.3.5.3 – Multiplicação ...................................................................................................................14 1.3.5.4 - Divisão.............................................................................................................................15 1.3.5.5 - Potenciação.....................................................................................................................15

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES.................................................................................................18 2 - EQUAÇÕES......................................................................................................................................24

2.1 - EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM UMA VARIÁVEL ...................................................................24 2.1.1 - Raiz da equação ............................................................................................................25 2.1.2 - Resolvendo Equações do 1º grau................................................................................25 2.1.3 - Resolvendo equações pelo método prático .................................................................26 2.1.4 - Resolvendo Problemas do 1º grau...............................................................................27

2.2 - EQUAÇÕES DO 2º GRAU ........................................................................................................30 2.2.1 - Equações do 2º grau completas e incompletas ...........................................................30 2.2.2 - Raízes de uma equação do 2º grau............................................................................30 2.2.3 - Resolvendo Equações do 2º Grau ...............................................................................31 2.2.3.1 - Equações Incompletas ax2 – bx = 0, (c = 0) ..................................................................31 2.2.3.2 - Equações Completas ......................................................................................................32

2.3 - SISTEMAS DO 1º GRAU ..........................................................................................................36 2.3.1 - Resolvendo sistemas do 1º grau...................................................................................36

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES.................................................................................................39 3 – MATEMÁTICA COMERCIAL ...........................................................................................................43

3.1 - RAZÃO.......................................................................................................................................43 3.1.1 - Lendo Razões .................................................................................................................44

3.2 - PROPORÇÃO............................................................................................................................45 3.2.1 - Propriedade Fundamental das Proporções ..................................................................45 3.2.2 - Trabalhando com Proporção...........................................................................................45 3.2.3 - Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais ..............................................45 3.2.4 - Grandezas Diretamente Proporcionais ..........................................................................46 3.2.5 - Grandezas inversamente proporcionais ..........................................................................46

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3.3 - REGRA DE TRÊS .....................................................................................................................47 3.3.1 - Regra de três simples ....................................................................................................47 3.3.2 - Regra de Três Composta ..............................................................................................48

3.4 - PORCENTAGEM.......................................................................................................................50 exercícios complementares ...............................................................................................................53

4 – CONCEITOS EM GEOMETRIA.......................................................................................................56 4.1 - PONTO, RETA E PLANO..........................................................................................................56 4.2 - SEGMENTO DE RETA..............................................................................................................57 4.3 - SEMI-RETA ...............................................................................................................................57 4.4 – TRIÂNGULOS...........................................................................................................................57

4.4.1 - Classificando os triângulos quanto aos lados .............................................................58 4.4.2 - Classificando os triângulos quanto aos ângulos .........................................................58

4.5 - TIPOS DE RETAS .....................................................................................................................59 4.6 - FIGURAS GEOMÉTRICA..........................................................................................................60 4.7 - POLÍGONOS .............................................................................................................................60

4.7.1 - Tipos de polígonos .........................................................................................................60 4.7.2 - Partes de um Polígono..................................................................................................61 4.7.3 - Classificação dos Polígonos ...........................................................................................61

4.8 - CORDA, DIÂMETRO E RAIO....................................................................................................62 4.9 – SEMICIRCUNFERÊNCIA .........................................................................................................62 4.10 - CÍRCULO.................................................................................................................................62

5 - MEDIDAS (Transformação de UnidadeS) ........................................................................................63 5.1 - MEDINDO COMPRIMENTO .....................................................................................................63 5.2 - MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS DO METRO..........................................................................63 5.3 - TRANSFORMANDO UNIDADES..............................................................................................63 5.4 - MEDINDO SUPERFÍCIES.........................................................................................................64 5.5- UNIDADE DE MEDIDA DE SUPERFÍCIE..................................................................................66 5.6 - QUADRO DE UNIDADES USADAS PARA MEDIR SUPERFÍCIES.........................................66 5.7 - LENDO UNIDADES DE ÁREA..................................................................................................66 5.8 - TRANSFORMANDO UNIDADES..............................................................................................66 5.9 - VOLUME....................................................................................................................................66 5.10 - MEDINDO VOLUME................................................................................................................66 5.11 - MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS DO METRO CÚBICO ........................................................67 5.12 - LENDO UNIDADES DE VOLUME...........................................................................................67 5.13 - TRANSFORMANDO UNIDADES............................................................................................67 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES.................................................................................................68

6 - RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO...............................................................70 6.1 - TEOREMA DE PITÁGORAS .....................................................................................................71

7 - TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO........................................................................73 7.1 - Seno, Cosseno e Tangente de um Ângulo Agudo ............................................................73

8 - ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS .................................................................................75 8.1 – ÁREAS DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS........................................................................75

8.1.1 – Área do quadrado..........................................................................................................75 8.1.2– Área do retângulo ............................................................................................................75 8.1.3 – Área do triângulo ...........................................................................................................75 8.1.4 – Área do paralelogramo..................................................................................................75 8.1.5 – Área do trapézio ............................................................................................................76 8.1.6 – Área do losango ............................................................................................................76 8.1.7 – Área do círculo...............................................................................................................76

8.2 - CALCULANDO ÁREAS .............................................................................................................78 8.3 - COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA ................................................................................79 8.4 – CALCULANDO π .....................................................................................................................79 8.5 - CALCULANDO O COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA ..................................................79 8.6 - CALCULANDO A ÁREA DE UM CÍRCULO ..............................................................................80 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES.................................................................................................81

9.0 VOLUME ..........................................................................................................................................82 9.1 – VOLUME DOS PRINCIPAIS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS .......................................................82

9.1.1 – Cubo ..................................................................................................................................82 9.1.2 - Paralelepípedo Retângulo.................................................................................................82 9.1.3 – Cilindro...............................................................................................................................82



4

9.1.4 – Prisma................................................................................................................................82 9.1.5 – Pirâmide.............................................................................................................................83 9.1.6 – Cone ..................................................................................................................................83 9.1.7 - Esfera .................................................................................................................................83

9.2 - CALCULANDO VOLUMES........................................................................................................84 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES.................................................................................................85

BIBLIOGRAFIA.......................................................................................................................................87



1 – CONJUNTOS NUMÉRICOS Números naturais

N = { 0 , 1 , 2 , 3 , ... }

Números Inteiros

Z = { ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2, ... } Obs.: Todo número natural é inteiro, isto é, N é um subconjunto de Z. Números Racionais

São aqueles que podem ser expressos na forma a/b, onde a e b são números inteiros quais-quer, com b diferente de 0.

Q ={x/x = a/b com a e b pertencentes a Z c om b diferente de 0 }

Assim, como exemplo, podemos citar o -1/2 , 1 , 2,5 , etc... Números decimais exatos são ra-cionais, pois:

0,1 = 1/10

2,3 = 23/10

Números decimais periódicos são racionais.

0,1111... = 1/9

0,3232 ...= 32/99

2,3333 ...= 21/9

0,2111 ...= 19/90

Toda dízima periódica 0,9999 ... 9 ... é uma outra representação do número 1.

Números Irracionais

São aqueles que não podem ser expressos na forma a/b, com a e b sendo números inteiros e b diferente de 0.

≠∈≠= 0,/ bZa

b

axI

Alguns números irracionais 1415926,3=π

2 = 1,4142135

3 = 1,7320508 e = 2,7182818

São compostos por dízimas infinitas não periódicas. Números Reais

É a reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais.



6

1.1 - CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS

Você viu anteriormente, o Conjunto dos Números Naturais representado pela letra N. Ob-

servou ainda que o conjunto dos números inteiros é representado pela letra Z.

O conjunto N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,...}, este conjunto é infinito, ou seja, não tem fim.

Este ficou pequeno para a matemática, observe os exemplos:

a) 9 - 12 = ?

b) 8 - 100 = ?

Dentro do conjunto dos número naturais não existe resposta para estas perguntas, ou seja as respostas estão dentro do conjunto dos números inteiros.

Vamos conhecer este conjunto:

O conjunto Z = {....-5,-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,+5,....}.

Observe que este conjunto é formado por números negativos, zero e números positi-vos. Vale lembrar, que zero é um número nulo ou neutro, não é negativo e nem positivo.

No seu dia a dia, você já dever ter deparado com números inteiros. Quando se tem um crédi-to, tem um número positivo, um débito é um número negativo, temperaturas acima de zero são positivas, abaixo de zero são negativas, também em relação ao nível do mar, os países que es-tão acima do nível do mar tem altitudes positivas, abaixo do nível do mar altitudes negativas, se você prestar atenção ao seu redor vai encontrar muitos números negativo e positivos.

Observe que a reta tem uma seta que indica a ordem de crescimento dos números, eles es-tão crescendo da esquerda para a direita, -7 é menor que -6, 0 é maior que -1 e assim em diante.

Compare alguns números inteiros. a) -5 > -10

b) +8 > -1000

c) -1 > -200.000

d) -200 < 0 e) -234 < -1 f) +2 > -1

Lembrete:

1º: Zero é maior que qualquer número negativo.



2º: Um é o maior número negativo.

3º: Zero é menor que qualquer número positivo.

4º: Qualquer número positivo é maior que qualquer número negativo.

1.1.1 - Adição e Subtração de Números Inteiros

Exemplos:

a) (+3) + (+7) = + 3 + 7 = +10 (tire os parentes e conserve os sinais dos números)

b) (-9) + (-8) = - 9 - 8 = -17 (tire os parentes e conserve os sinais dos números)

c) (+12) + (-10) = + 12 - 10 = +2 (tire os parentes e conserve os sinais dos números)

d) (+15) - (+25) = + 15 - 25 = - 10 (tire os parentes e troque o sinal do número que estava de-

pois da subtração)

e) (-18) - (-12) = -18 + 12 = -6 (tiramos os parentes e trocamos o sinal do número que estava depois da subtração)

Lembrete:

Para facilitar o entendimento, efetue estas operações pensando em débito (número negativo) e crédito (número positivo), + 3 + 7, tenho 3 reais se ganhar 7 fico com 10, - 15 + 10, devo 15 re-ais se tenho só dez para pagar ainda fico devendo sete ou seja -7, - 5 - 8, tenho uma dívida de 5 reais faço mais uma dívida de 8, eu fico devendo treze ou seja -13.

1.1.2 - Multiplicação e Divisão de Números Inteiros

a) (+5) x (+8) = + 40 ( + x + = +)

e) (-8) : (-2) = + 4 (- : - = +)

b) (-8) x (-7) = + 56 (- x - = +)

f) (+18) : (-6) = - 3 (+ : - = -)

c) (-4) x (+7) = - 28 (- x + = -)

g) (+48) : (+2) = + 24 (+ : + = +)

d) (+6) x (-7) = - 42 (+ x - = -)

h) (-14) : (-7) = + 2 (- : - = +)

1.1.3 - Potenciação de Números Inteiros

Exemplos:

a) (+3)2 = (+3)x(+3) = + 9 c) (-8)0 = 1

b) (-2)5 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = - 32 d)(18)1 = 18

1.1.4 - Radiciação de Números Inteiros

Exemplos:



8

a) 25 =5 (lembre-se que 5x5 = 25)

b) 49 = 7 (lembre-se que 7x7 = 49)

c) 9− = (lembre-se que não existe raiz quadrada de número inteiro negativo)

d) - 16 = -4 ( Observe que neste caso o menos está fora da raiz, sendo assim, existe raiz real)

e)3 8− =-2 ( lembre-se que (-2)x(-2)x(-2)= -8, neste caso é raiz cúbica assim existe raiz real)

f) 3 8 = 2 ( lembre-se que (2)x(2)x(2) = 8)

1.1.5 - Resolvendo Expressões Numéricas com Números Inteiros

a) - [ - 3 + 2 - ( 4 - 5 - 6)] = - [ - 3 + 2 - 4 + 5 + 6] = 3 - 2 + 4 - 5 – 6 = 7 – 13 = - 6

Primeiro elimine os parênteses, como antes dele tinha um sinal de menos todos os números saíram com sinais trocados, logo depois elimine os colchetes, como tam-bém tinha um sinal de menos todos os nú-meros saíram com os sinais trocados, so-me os positivo e o negativos.

b) { - 5 + [ - 8 + 3 x (-4 + 9) - 3]} = { - 5 + [ - 8 + 3 x ( + 5 ) - 3]} = { - 5 + [ - 8 + 15 - 3]} = {- 5 - 8 + 15 - 3} = - 5 - 8 + 15 - 3 = - 16 + 15 = - 1

Primeiro resolva dentro do parênteses, de-pois multiplique o resultado por 3, logo após elimine os colchetes, como antes deste ti-nha um sinal de mais, todo os números saíram sem trocar sinal, elimine também as cha-ves, observe que também não teve troca de si-nais pelo mesmo motivo anterior, junte positi-vo e negativos.



1.2 - FRAÇÕES

O símbolo b

a, significa a : b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero.

Chamamos:

b

a de fração - a de numerador e b de denominador.

Se a é múltiplo de b, então a fração b

a representa um número natural.

Veja o exemplo:

A fração 3

12 é igual a 12:3. neste caso, 12 é o numerador e 3 é o denominador.

Efetuando a divisão de 12 por 3, obtêm-se o quociente 4. assim, 3

12 é um número natural e 12 é múl-

tiplo de 3.

Durante muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e usados pelos ho-mens. Depois começaram a surgir questões que não poderiam ser resolvidas com números naturais. Então, surgiu o conceito de número fracionário.

1.2.1 - O significado de uma fração

Uma fração envolve a seguinte idéia: dividir algo em partes iguais. Dentre essas

partes, considere uma ou algumas, conforme nosso interesse. Exemplo:

Aline comeu 7

4 de um bolo. Isso significa que o bolo foi dividido em 7 partes iguais, e que A-

line teria comido 4 partes:

Na figura acima, as partes pintadas seriam as partes comidas por Aline, e a parte branca é a parte que sobrou do bolo.

1.2.2 - Como se lê uma fração

As frações recebem nomes especiais quando os denominadores são 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e

também quando os denominadores são 10, 100, 1000, ...



10

1/2

Um meio

2/5

Dois quintos

1/3

Um terço

4/7

Quatro sétimos

1/4

Um quarto

7/8

Sete oitavos

1/5

Um quinto

12/9

Doze nonos

1/6

Um sexto

1/10

Um décimo

1/7

Um sétimo

1/100

Um centésimo

1/8

Um oitavo

1/1000

Um milésimo

1/9

Um nono

5/1000

Cinco milésimos

1.2.3 - Como podem ser as frações

Frações Próprias

90

50,

8

5,

5

1

Frações Impróprias

4

10,

7

10,

3

5

Frações Mistas

2

11,

3

25,

3

51

1.2.4 - Simplificando Frações

Quando multiplicar ou dividir o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo nú-

mero, esta não se altera. São encontradas as frações equivalentes a fração dada.

Exemplos:

3/4 = 6/8 - observe que numerador e denominador foram multiplicados por 2.

12/18 = 4/6 - observe que numerador e denominador foram divididos por 3.

1.2.5 - Reduzindo Frações ao Mesmo Denominador

Exemplo:

2/3, 5/4 e 7/2 - Basta determinar o m.m.c entre os denominadores, que neste caso é 12.



8/12, 15/12 e 42/12 - para obter, pega-se o m.m.c, dividi-se pelo denominador, pe-ga-se o resultado e multiplica-se pelo numerador.

1.2.6 - Adição e Subtração de Frações

1.2.6.1 - Denominadores iguais

Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e con-

servar o denominador. Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar

o denominador.

Exemplos:

4/5 + 3/5 = 7/5 8/15 - 7/15 = 1/15

1.2.6.2 - Denominadores diferentes

Para somar frações com denominadores diferentes, deve-se reduzir as frações ao me-

nor denominador comum (achar o mmc) e, em seguida, adicionar ou subtrair as frações equivalentes às frações dadas. Para obter as frações equivalentes, deve-se determinar o m.m.c entre os denominadores destas frações.

Exemplo:

5/4 + 1/6 = 15/12 + 2/12 = 17/12

Obtendo o m.m.c dos denominadores tem-se m.m.c (4,6) = 12.

1.2.7 - Multiplicação e Divisão de Frações

1.2.7.1 - Multiplicação

Na multiplicação de números fracionários, deve-se multiplicar numerador por numera-

dor, e denominador por denominador.

Exemplo:

3/5 x 3/6 = 9/30 1.2.7.2 - Divisão

Na divisão de números fracionários, deve-se multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda.

Exemplo:

2/5 : 3/7 = 2/5 x 7/3 = 14/15



12

0

1.2.8 - Potenciação e radiciação de números fracionários

1.2.8.1 - Potenciação

Na potenciação, quando se eleva um número fracionário a um determinado expoente, está elevando o numerador e o denominador a esse expoente: Exemplos:

9

4

3

2

3

2

3

22

==

x

64

27

4

3

4

3

4

3

4

33

==

xx

1

9

50

=

1.2.8.2 - Radiciação

Na radiciação, quando aplica-se a raiz a um número fracionário, está aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador:

4

3

16

9 = 9

5

81

25 = 3

2

27

8 =

1.2.9 - Fração Geratriz

Conforme estudado, todo número racional (Conjunto Q), resulta da divisão de dois

número inteiros, a divisão pode resultar em um número inteiro ou decimal.

Convém lembrar que se tem decimais exato.

Exemplos: 2,45; 0,256; 12,5689; 12,5689

E também decimais não exatos (dízima periódica) Exemplo: 2,555555.... ; 45,252525....; 0,123123123...; 456,12454545; 7,4689999....

Você deve saber, que em uma dízima periódica a parte decimal que repete, recebe o nome de período, a parte que não repete é chamada de ante-período, a parte não decimal é a parte inteira.

1.2.10 - Encontrando a Fração Geratriz de uma Dízima Periódica

1.2.10.1 - Dízima periódica simples

Deve-se adicionar a parte decimal à parte inteira. Deve-se lembrar que a parte decimal será

transformada em uma fração, cujo numerador é o período da dízima e o denominador é um número formado por tantos noves quantos sãos os algarismos do período. Exemplos:



0,2...= 0+ 9

2

9

20

9

2 =+= 0,252525...=0+99

25

99

250

99

25 =+= 1,444...=1+9

13

9

49

9

4 =+=

1.2.10.2 - Dízima periódica composta

Deve-se adicionar à parte inteira uma fração cujo numerador é formado pelo ante-período,

seguindo de um período, menos o ante-período, e cujo denominador é formado de tantos noves quantos são os algarismos do período seguidos de tantos zeros quanto são os algarismos do ante- período.

Exemplos:

Período = 47 ( implica em dois noves) ante-período = 1 ( implica em um 0)

2,1474747....=2+495

1063

495

73990

495

732

2990

21462

990

1147 =+=+=÷÷+=−

1.3 - NÚMEROS DECIMAIS

1.3.1 - Fração Decimal

São frações em que o denominador é uma potência de 10. Exemplos:

3/10, 3/1000, 3/10000

1.3.2 - Lendo número decimais

0,25 = Vinte e cinco centésimos

2,24 = Dois inteiros e vinte e quatro centésimos

12,002 = Doze inteiros e dois milésimos

0,0002 = Dois décimos de milésimos

1.3.3 - Transformando uma fração decimal em número decimal:

25/100 = 0,25

13/10 = 1,3

121/10 = 12,1

325/100 = 3,25

45/1000 = 0,045

4225/10 = 422,5

Observe: Denominador 10 um número depois da vírgula, denominador 100 dois números de-

pois da vírgula, denominador 1000 três números depois da vírgula e assim por diante. O contrário seria um número depois da vírgula denominador 10, dois números depois da vír-

gula denominador 100, três números depois da vírgula denominador 1000 e assim por diante.

1.3.4 – Propriedade

Um número decimal não se altera ao acrescentarmos zeros a direita do seu último número.



14

Exemplos:

0,4 = 0,400 = 0,4000 = 0,40000

0,23 = 0,230 = 0,2300 = 0,23000 = 0,230000 1,2 = 1,20 = 1,200 = 1,2000, 1,20000

1.3.5 - Operações com números Decimais

1.3.5.1 – Adição

Na adição de números decimais devemos somar os números de mesma ordem de unidades,

décimo com décimo, centésimo com centésimo. Antes de iniciar a adição, deve-se colocar vírgula de-baixo de vírgula. Exemplos:

0,3 + 0,81 = 1,42 + 2,03= 7,4 + 1,23 + 3,122=

0,30 + 0,81 1,11

1,42 +2,03 3,43

7,400 1,230 +3,1 1 2 11,742

1.3.5.2 – Subtração

A subtração de números decimais é efetuada da mesma forma que a adição. Exemplos:

4,4 - 1,21= 2,21 - 1,211= 9,1 - 4,32=

4,40 - 1,21 3,19

2,210 -1,211 0,999

9,100 -4,323 4,777

1.3.5.3 – Multiplicação

Efetua-se a multiplicação normalmente. Em seguida, contam-se as casas decimais de cada

número e o produto fica com o número de casas decimais igual à soma das casas decimais dos fato-res.

4,21 x 2,1= 0,23x1,42= 0,42x1,2=

4,21 X2,1 421

+842 = 8,841

0,23 X1,42 046

+096 +023 = 0,3266

0,42 x1,2

084 +042 = 0,504



1.3.5.4 - Divisão

Na divisão de números decimais, o dividendo e o divisor devem ter o mesmo número

de casas decimais. Deve-se igualá-las antes de começar a divisão. Igualadas as casas decimais, e-limine a vírgula e afetue a divisão normalmente.

Exemplos: 11,7 2,34 11,70 2,34

Iguala-se o número de casas decimais.

1170 234

Observe que, a vírgula foi eliminada e se efetuou a divisão.

Resto igual a zero divisão exata

1.3.5.5 - Potenciação

Efetue da mesma forma com os números naturais. Exemplos:

(0,2)² = 0,2 x 0,2 = 0,04 (1,23) 0 = 1 (1,2) ²= 1,2 x 1,2 = 1,44 (23,5) 1 = 23,5



16

Exercícios

Números inteiros:

1) Resolva as expressões:

a) ( ) ( ) =−+−+ 322 235

b) ( ) ( ) =+−+−−− 3:15132 524

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−+−+++− 34511 2:169:32.1

d) ( ) ( ) =+−+−+−+− 42 111072385 Números Decimais e frações

1) Resolva as expressões:

a) =−+− 2,24,41,13,3

b) =+−+ 5,7735,12

c) ( )( ) =+− 2,118,47,08,15

d) ( ) ( )03,0:95,205,0 +

e) =+ 100.068,010.47,0

f) =− 10.5,181000.00132,0

2) Gastei 27,17$R . Se paguei com 2 notas de 00,10$R , qual deverá ser o meu troco?

3) Na hora de registrar o valor da conta que foi de 15,19$R , o comerciante trocou o 1 pelo 7

se eu paguei com 00,20$R , quanto ele deverá me devolver?

4) Transformando os números decimais em frações decimais efetue as operações:

a) =+ ΛΛ 5555,2:5,23333,0

b) =+− 12,51666,03

12 Λ

5) Um aluno demora 6,3 minutos para fazer cada uma das 20 questões de uma prova de

matemática, quanto tempo levará para fazer a prova inteira?

6) Simplifique =

++2

3

2

1

27

8

81

25



7) Calcule:

a) 3

1 de 180 laranjas

b) 3

2 de 24 meses

c) 5

2 de 30 homens

d) o dobro de 7

5

e) o triplo de 4

1

f) a metade de 5

1

g) o dobro de 4

3, menos 1

8) Numa receita os ingredientes são: 2 ovos, 5

1 kg de açucar,

10

1 kg de manteiga e

4

1 kg

de farinha de trigo. Quanto será necessário de cada ingrediente para 2

12 receita?

9) Uma lata de palmito pesa 4

3 kg. Qual o peso de 8 latas.

10) Tomei no almoço metade de uma garrafa de refrigerante e no jantar tomei 3

1 do que so-

brou. Que fração do líquido sobrou na garrafa?



18

11) O tanque de gasolina de um carro tem capacidade para 70 litros. O marcador mostra exa-

tamente a metade da distância entre 2

1 e

5

3. Quantos litros de gasolina há no tanque?

12) Resolva:

a)

=−++ 2:3

1

5

1.

3

2

2

14

b)

=

−+2

2

1

5

4:8

2

5:

3

2

c)

=+−

−4

51

5

1:

5

4

3

2

9

42

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

1) Efetue as operações: a) 254,38 + 98,951 – 0,2 = b) 5,358 – 152,4 + 18,3 = c) 549,35. 245,9 + 2,03 = d) 5331,96: 0,054 – 7,014: 35 = 2) Resolva as expressões: a) 45 – {12 + [16 – (7 + 6)]- 5} =



b) 4

16 -

5

22 - 2 =

c) 3

12 - (4 -

4

32 ) +

10

72 . (1 -

9

2) =

d)

51

4

13

12

1

−−

+ =

e) 0,333... + 0,3. 0,2 – 0,222... =

f) 16

1

4

12 − =

3) Resolva os problemas: a) Colocar em ordem crescente as frações:

6

3,

10

7,

3

2,

4

3

b) Encontrar 5 frações entre 5

1 e

4

1



20

c) Quantas vezes 4

36 é maior que

8

11 ?

4) A expressão 0,45. 0,2 + 0,018: 0,09 equivale a: a) 2,9 b) 0,29 c) 0,029 d) 290 e) 29 5) Determine o valor da expressão:

231

31

2

14

42,02

−

++

+++

a) 5

b) -7

c) 3

20

d) 5

8

e) 3

7

6) Efetuando a expressão seguinte, encontraremos:

96,12

032,003,0.52,1

−−

a) 114,4 b) 11,44 c) 1,144 d) 2,4 e) 0,34



7) O resultado da expressão seguinte é: ( ) ( )[ ]2:4,512,303,0:12,032,0 +−+ a) 1,6 b) 2,01 c) 0,62 d) 0,06 e) 0,04

8) O produto do número 80 pela diferença entre 2

1

5

3e é:

a) 8

b) 3

160

c) 800 d) 120

e) 3

80

9) O dobro da metade da terça parte de um número é: a) O próprio número b) O dobro do número c) A metade do numero d) A terça parte do número e) A sexta parte do numero

10) A expressão ...333,1

51

1

31

31

1

11

+

++−

−+

é igual à:

a) 3

b) 3

5

c) 5

3

d) 5

1

e) 5



22

11) Você resolveu 7

5 das questões de uma prova. Deixou de resolver 12. Quantas questões tinham a

prova? a) 30 b) 42 c) 28 d) 35 e) 40

12) A CST vai admitir 240 técnicos no ano de 2008. Sabendo-se que 3

1 dos técnicos deverá ter expe-

riência de 5 anos, 4

1 experiência de 2 anos e os demais formados no Cedtec, qual o número de téc-

nicos formados no Cedtec que a CST vai admitir? a) 140 b) 120 c) 100 d) 110 e) 80

13) A fração equivalente à 17

8 cuja soma dos termos corresponde a 225 é:

a) 224

1 b)

153

72

c) 125

100 d)

72

153

e) 145

80

14) Uma jovem fez uma viajem de 24.000 quilômetros, sendo: 4

3 do percurso feito de avião,

6

1 de

automóvel e o resto de moto. A fração que equivale ao percurso feito de moto é:

a) 12

1 b)

3

1

c) 12

5 d)

10

4

e) 10

6



15) Thiago e Bruno vão realizar uma tarefa. Trabalhando individualmente, Thiago realiza a tarefa em 4 horas e Bruno em 6 horas. Quanto tempo levarão para realizar a mesma tarefa trabalhando juntos? a) 2 horas b) 3 horas c) 3horas e 30 minutos d) 2 horas e 24 minutos e) 2 horas e 10 minutos 16) Uma torneira enche um tanque em 3 horas e outra em 2 horas. Aberta às duas torneiras simulta-neamente, em quanto tempo o tanque estará cheio? a) 72 min. b) 80 min. c) 82 min. d) 1hora e) 90 min.

17) Uma Pessoa gastou 7

2 do que possuía e depois gastou

3

1 do que sobrou, ficando ainda com R$

300,00. Quanto vale a metade do que ele possuía? a) R$ 600,00 b) R$ 450,00 c) R$ 400,00 d) R$ 315,00 e) R$ 300,00



24

2 - EQUAÇÕES

2.1 - EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM UMA VARIÁVEL

Equação é toda sentença matemática aberta representada por uma igualdade, em que exista

uma ou mais letras que representam números desconhecidos. Exemplo: X + 3 = 12 - 4

É uma sentença matemática aberta;

É uma igualdade

Portanto, é uma equação

Forma geral: ax = b, em que x representa a variável (incógnita) e a e b são números racio-nais, com a ≠0. Dizemos que a e b são os coeficientes da equação.(ax = b, é a forma mais simples da equação do 1º grau)

Exemplos:

x - 4 = 2 + 7, (variável x)

2m + 6 = 12 - 3 ,(variável m)

-2r + 3 = 31, (variável r)

5t + 3 = 2t - 1 , (variável t)

3(b - 2) = 3 + b,(variável b)

4 + 7 = 11, (é uma igualdade, mas não possui uma variável, portanto não é uma equação do 1º grau)

3x - 12 > 13, (possui uma variável, mas não é uma igualdade, portanto não é uma equação

do 1º grau)

Obs: Deve-se observar duas partes em uma equação, o 1º membro à esquerda do sinal de igual e o 2º membro à direita do sinal de igual.

Conjunto Universo: Conjunto formado por todos os valores que a variável pode as-

sumir. Represente pela letra U.

Conjunto Solução: Conjunto formado por valores do conjunto U que tornam a sen-tença verdadeira. Represente pela letra S.

Exemplo:

Dentre os elementos do conjunto F = {0, 2, 3, 6, 8, 9}, qual deles torna a sentença matemática



2x - 4 = 2, verdadeira.

2(0) - 4 = 2 Errado

2(2) - 4 = 2 Errado

2(3) - 4 = 2 Verdadeiro

2(6) - 4 = 2 Errado

2(8) - 4 = 2 Errado

2(9) - 4 = 2 Errado

Deve-se observar que o conjunto U = {0, 2, 3, 6, 8, 9}, e conjunto S = {3}

2.1.1 - Raiz da equação

Um dado número é chamado de raiz da equação, quando este torna a igualdade verdadeira.

Verificando se um dado número é raiz da equação: Exemplos:

01 - Verifique se o número 4 é raiz da equação 9a - 4 = 8 + 6a

Equação 9a - 4 = 8 + 6a

Substitua a por 4 9(4) - 4 = 8 + 6(4) 36 - 4 = 8 + 24 32 = 32

Então, o número 4 é raiz da equação ou seja conjunto solução.

02 - Verifique se o número - 3 é raiz da equação 2x - 3 = 3x + 2.

Vamos substituir x por – 3 2(-3) - 3 = 3(-3) + 2 - 6 - 3 = - 9 + 2 - 9 = - 7 , sentença falsa – 9 é diferente de -7 (- 9 - 7).

Então - 3 não é raiz da equação ou seja não é conjunto solução da equação.

Observe que em todas as equações apresentadas a raiz ou o conjunto solução é o mesmo. Por esse motivo, são chamadas equações equivalentes.

2.1.2 - Resolvendo Equações do 1º grau

Resolver uma equação do 1º grau em um determinado conjunto universo significa de-

terminar a raiz ou conjunto solução dessa equação, caso exista solução.

Exemplo:

5a + 11 = - 4

5a = - 11 - 4

a = - 15/5

a = - 3

S = {-3}



26

OBS: Se você prestou atenção na resolução, deve ter observado que o número que estava em um membro com determinado sinal aparece no outro membro com sinal diferente, e quem estava multiplicando aparece no outro membro dividindo. No processo prático é feito assim.

2.1.3 - Resolvendo equações pelo método prático

Exemplos:

1) Resolva as seguintes equações do 1º grau com uma variável sendo U=Q

a) Y + 5 = 8

Y = 8 – 5

y = 3

S = {3}

b) 13x – 16 = - 3x

13x + 3x = 16

16x = 16

x = 1

S = {1}

c) 3(x-2) – (1-x) = 13

3x – 6 – 1 + x = 13

3x + x = 13 + 6 + 1

4x = 20

x = 5

S = {5}

d) t/4 – 7/10 = 2t/5 – 1 ( tire o mmc) 5t – 14/20 = 8t – 20/20

5t – 14/20 = 8t – 20/20 ( cancele os denominadores)

5t – 14 = 8t – 20

5t – 8t = -20 + 14

-3t = -6 (x1)

3t = 6

t = 6/3

t = 2



S = {2}

e) 5x – 7 = 5x – 5

5x – 5x = -5 + 7

0x = 2

x = 2/0

x = 0 → Não existe divisão por zero, então fala-se que, a equação é impossível em Q,

então S = { } (vazio).

f) 5x – 4 = -4 + 5x

5x – 5x = -4 + 4

0x = 0 → Fala-se que esta equação é indeterminada ( infinitas soluções)

2.1.4 - Resolvendo Problemas do 1º grau

Antes de iniciar a resolução de um problema usando as equações, deve-se determinar a e-

quação que o resolve.

1º. Identifique uma incógnita do problema que será representada por uma letra (x, y, m...);

2º. Escreva a equação do problema;

3º. Resolva a equação;

4º. Verifique se o resultado encontrado atende ao problema;

Exemplos:

a) Um número: x ( a letra x é a incógnita ou o termo desconhecido);

b) O triplo de um número: 3x

c) O dobro de um número acrescido de 4: 2x+4

d) Um número somado com seu dobro é igual a 10: x+2x=10 e) A metade de um número: x/2

f) Um número somando a sua terça parte: x+x/3

Exemplos:

a) Um número somado com o seu dobro é igual a quinze. Determine este número.

x+2x=15 3x=15 x=5

O número procurado é 5.

b) Em um terreiro há galinhas e coelhos, num total de 13 animais e 46 pés. Quantas galinhas e quantos coelhos há nesse terreiro?



28

Coelho = x

Galinhas= 13 – x ( total de animais menos o número de coelhos)

Logo, 4x + 2(13-x)=46 ( número de pés de coelho vezes o número de coelhos + número de

pés de galinhas vezes o número de galinha é igual ao total de pés).

4x + 2(13 - x)=46

4x + 26 – 2x = 46

4x – 2x = 46 – 26

2x = 20

x = 10

Número de coelhos = 10

Número de galinhas = 13 – 10 = 3



Exercícios

1) Resolver as equações e problemas do primeiro grau

a) 0852 =+−+ xx

b) xx 3)1(4 =−

c) ( ) ( )xxx +=+− 32225

d) ( ) ( ) ( )xxx +=++− 244312

e) xx 22

13 =−

f)

−=− 32

32

13

xx

g) 542

1

3

2 =−+ xx

2) Qual é a idade de uma pessoa sabendo que a Terça parte aumentada de 4 é igual ao dobro

dela mesma, diminuída de 21.

3) Se ao dobro de um número adicionarmos 21, obtemos o quíntuplo do mesmo número. Qual é o número?

4) Determinar o número que adicionado à sua Quinta parte e à sua Sexta parte dá por soma 82?

5) Dividindo-se um número por 4 ou subtraindo-se 4 desse mesmo número, obtém-se resultados

iguais. Qual é o número?

6) Pitágoras, interrogado a respeito do número de seus alunos respondeu: metade deles estuda matemática,um quarto,os mistérios da natureza, um sétimo, medita em silêncio e há, ainda, três moças. Quantos eram os alunos de Pitágoras?

7) Um tijolo pesa 1 kg mais meio tijolo. Quantos kg pesa o tijolo?

8) Qual é o número cujo dobro é igual aos seus 4

3

aumentados de 15?



30

2.2 - EQUAÇÕES DO 2º GRAU

De forma geral, chama-se equação do 2º grau com um variável toda equação que pode ser

escrita na forma, ax² + bx + c = 0, em que x é a variável e a, b, c são os coeficientes da equação do 2º grau.

• A representa o coefiente de x²;

• B representa o coeficinete de x;

• C representa o termo independente.

Exemplos de equações do 2º grau:

5x² - 3x + 3 = 0 → onde: a =5; b = -3 e c = 2

x² + 6x + 9 = 0 →onde: a = 1; b = 6 e c = 9

-3x² + 7x + 1 = 0 → onde: a = -3; b = 7 e c = 1

-x² + 5x – 6 = 0 → onde: a = -1; b = 5 e c = -6

3x² - 5 = 0 → onde: a = 3; b = 0 e c = -5

x² + 4x = 0 → onde: a = 1; b = 4 e c = 0

2.2.1 - Equações do 2º grau completas e incompletas

Completas: ax² + bx + c = 0

Quando possui os coeficientes a, b e c. Exemplos: x² - 4x – 12 = 0 → onde: a = 1; b = -4 e c = -12

-x² + 11x – 18 = 0, onde: a = -1, b = 11 e c = -18

Incompletas: ax2 + bx = 0, ax2 + c = 0 ou ax² = 0

Quando b ou c é igual a zero, ou ambos iguais a zero. Exemplos: 3x – 4a = 0, onde: a = 3, b = - 4 e c = 0

2x2 + 5 = 0, onde: a = 2, b = 0 e c = 5

3x2 = 0, onde: a = 3, b = 0 e c = 0

2.2.2 - Raízes de uma equação do 2º grau

Fala-se que um número é raiz da equação, quando este torna a sentença matemática verda-

deira.



Exemplos:

1. Verifique se o número 9 é raiz da equação x2 – 11x + 18 = 0. x2 – 11x + 18 = 0

(9)2 – 11(9) + 18 = 0 (substitua a variável x por 9)

81 – 99 + 18 = 0

0 = 0 (sim, 9 é raiz da equação, observe que os dois membros são iguais)

2. Verifique se 3 é raiz da equação 2x2 + 5x – 3 = 0.

2x2 + 5x – 3 = 0

2(3)2 + 5(3) – 3 = 0 (substitua a variável x por 3)

2(9) + 15 – 3 = 0

18 + 15 – 3 = 0

30 ≠ 0 (não, 3 não é raiz da equação, observe que os dois membros são deferentes)

2.2.3 - Resolvendo Equações do 2º Grau

2.2.3.1 - Equações Incompletas ax2 – bx = 0, (c = 0)

a) x2 – 4x = 0

x(x – 4) = 0 (observe: x foi colocado em evidência)

x = 0

x – 4 = 0

x = 4

S = {0;4}

b) -2x2 – 8x = 0

x(-2x – 8) = 0 (observe: x foi colocado em evidência)

x = 0

-2x = 8 (-1)

2x = - 8

x = - 4

S = {0;-4}

Conclusão: Neste tipo de equação sempre umas das raízes vai ser igual a zero. ax2 + c = 0, (b = 0)



32

a) x2 – 16 = 0

x²=16 (dois números que elevado ao quadrado dê dezesseis, -4 e +4).

X=± 16 X=± 4

S = {- 4; 4}

b) -2x2 + 8 = 0

-2x2 = - 8(-1)

2x2 = 8

x2 = 8/2

X2 = 4

X=± 4 x = ± 2

S = {- 2; + 2}

Conclusão: Neste tipo de equação sempre as raízes vão ser opostas.

ax2 = 0, (b = 0, c = 0)

5x2 = 0

X2 = 0/5

X2 = 0

x = 0 (zero é nulo) S = { 0 }

Conclusão: Neste tipo de equação sempre a raiz vai ser igual a zero.

2.2.3.2 - Equações Completas

ax2 + bx + c = 0 -> Use a fórmula de Báskara.

a

bx

2

∆±−=

∆= lê-se Delta ∆ = b2 – 4ac ∆, é o discriminante da equação



Observe, que a, b, e c são os coeficientes da equação do 2º grau. Exemplos a) X2 – 8x +12 = 0 → a = 1, b = -8 e c = 12 ∆ = b2 – 4ac ( primeiro vamos calcular o valor de delta) ∆ = (8)2 – 4(1)(12) (substitua a por 1, b por -8 e c por 12) ∆ = 64 – 48 ∆ = 16 ( delta positivo)

a

bx

2

∆±−= ( substitua b por -8, delta por 16 e a por 1.)

2

48

−±=x

62

12

2

48' −=

−=

−+=x

22

4

2

48'' −=

−=

−−=x

S = {-6;-2} b) x2 – 12x +36 = 0 → a = 1, b = -12 e c = 36 ∆ = b2 – 4ac ( primeiro vamos calcular o valor de delta) ∆ = (-12)2 – 4(1)(36) (substitua a por 1, b por -12 e c por 36) ∆ = 144 – 144 ∆ = 0 ( delta igual a zero)

a

bx

2

∆±−= ( substitua b por -12, delta por 0 e a por 1.)

2

012±=x

62

12

2

012' ==+=x

62

12

2

012'' ==−=x

S = {6} c) 2x2 - 4x + 3 = 0 → a = 2, b = - 4 e c = 3 ∆ = b2 – 4ac ( primeiro vamos calcular o valor de delta)



34

∆ = (-4)2 – 4(2)(3) (substitua a por 2, b por -4 e c por 3) ∆ = 16 – 24 ∆ = -8 ( delta negativo) S = {}, não existe raiz de número real negativo. Importante: ∆ > 0 (Positivo) → A equação possui duas raízes reais e diferentes. (x’≠x”)

∆ < 0 (Negativo) → A equação não possui raízes reais.

∆ = 0 → A equação possui duas raízes reais e iguais. (x’ = x”)

Problemas Envolvendo o Discriminante (Delta)

Exemplo:

Determine o valor de m na equação 2x2 + 3x + m, para que as raízes sejam reais e iguais.

∆ = 0 → (Raízes reais e iguais) → a = 2, b = 3 e c = m ∆ = b2 – 4ac b2 – 4ac = 0 (3)2 – 4(2)(m) = 0 9 – 8m = 0 – 8m = -9 (- 1) 8m = 9

m = 8

9

(Esta equação só vai possuir raízes reais e iguais quando m = 8

9

) Determine o valor de r na equação 2x2 - 4x + 5r, para que as raízes sejam reais e diferentes.

∆ > 0 → a = 2, b = - 4 e c = 5r

b2 – 4ac > 0 b2 – 4ac = 0 (- 4 )2 – 4(2)(5r) > 0 16 – 40r > 0 – 40r > - 16 (- 1) 40r < 16

r < 8:40

8:16



r < 5

2

(Esta equação só vai possuir raízes reais e diferentes quando r < 5

2)

Determine o valor de k na equação -3x2 + 5x – 2k, para que não exista raízes reais.

∆ < 0 -> a = - 3, b = 5 e c = -2k b2 – 4ac < 0 b2 – 4ac < 0 ( 5 )2 – 4(-3)(-2k) > 0 25 – 24k < 0 – 24k < - 25 (- 1) 24k > 25 k >

24

25

Soma e Produto das Raízes da Equação do 2º G rau

É possível calcular a soma ou produto das raízes da equação do 2º grau sem precisar resol-ver a equação. Graças as relações de Girard. Soma das raízes

x’ + x” = a

b− ou S =a

b−

Produto das raízes

x’x” = a

c ou P =

a

c

Exemplos Calcule a soma e o produto das raízes equações do 2º grau. x2 + 7x + 12 = 0 → a = 1, b = 7

e c = 12

S = a

b− → S =

( )1

7−→ S = -7

P = a

c → P =

1

12→ = P = 12

Determine o valor de m na equação 4x2 – (m – 2)x + 3 = 0 para que a soma das raízes seja

3/4.



36

S = a

b−→S =

4

3→

( )[ ]4

3

4

2 =−−− m=

4

2−m→ 4(m – 2) = 4.(3) → 4m – 8 = 12 → 4m = 12

+ 8 → 4m = 20 → m = 4

20 → m = 5

2.3 - SISTEMAS DO 1º GRAU

Afirma-se que duas equações do 1º grau, formam um sistema quando possuem uma solução

comum (mesma solução). Nesse caso as duas equações tem o mesmo conjunto universo.

2.3.1 - Resolvendo sistemas do 1º grau

1º) Método da adição:

Esse método consiste em adicionar as duas equações membro a membro, observando que

nesta operação devera eliminar uma variável. Exemplo 1:

1402

ª25

ª19

=+

→=−→=+

+

yx

yx

yx

1º some as duas equações membro a membro:

Logo:

2x = 14

x = 14/2

x = 7 Volte na 1ª ou na 2ª equação: 1ª equação:

x + y = 9

2 + y = 9 y = 9 – 2 y = 7

S = {(2;7)}

Obs: no conjunto solução de um sistema, deve colocar o par de números dentro de um parên-

tese por ser um par ordenado, primeiro x depois y.



Exemplo 2:

=−=−

1137

534

yx

yx

Observe que na forma em que se encontram as equações. Se adicionarmos não eli-

minaremos nenhuma das variáveis. Multiplique a 1ª ou 2ª equação por (-1), para que os coe-ficientes de y fiquem opostos –3 e +3.

=−−=−

1137

)1(534

yx

yx

→ 603

1137

534

=−

=−−=+−

+

yx

yx

yx

Voltando na 1ª equação substitua x por 2.

3x = 6

x = 6/3

x = 2

s = {(2;1)}



38

Exercícios

1) Encontre o conjunto solução dos sistemas:

a)

=++=

53

24

yx

yx

b)

=+=−

04

92

yx

yx

c)

=−−=−32

2

xy

yx

d)

=−=+

132

20

yx

yx

Problemas sobre equações e sistemas

1) As dimensões de um retângulo são cm7 e ( )cmx 5+ . Se a água é 2105cm . Qual é o valor

de x ?

2) Um carro desenvolvendo uma velocidade média, percorreu x km em 5 horas, se tivesse

aumentado em 20 km sua velocidade média, teria percorrido a mesma distância em 1 h a menos. Qual foi a distância percorrida.

3) Para comprar um aparelho, uma pessoa precisa de 00,40$R a mais do que tem. Mas, se ele

tivesse o dobro da quantia que tem, compraria o aparelho e ainda ficaria com 00,27$R . Qual a quantia que ele possui? Qual o preço do aparelho?

4) A soma de 2 números é 169 e a diferença entre eles é 31. Quais são os 2 números?

5) A soma de 2 números é 90. O dobro do maior é igual ao triplo do menor. Determine os 2

números?

6) Um terreno é retangular e tem 128 m de perímetro. O comprimento tem 20m a mais que a largura. Determine as dimensões e a área desse terreno.

7) Determine o valor de 22 yx + resolvendo o sistema

=

=+

2

3

2

46y

x

yx

8) Numa caixa, o número de bolas vermelhas é o triplo do número de bolas pretas. Se tirarmos

2 bolas pretas e 26 vermelhas, o número de bolas de cada cor ficará igual. Quantas bolas de cada cor há nessa caixa?




1) Encontre o valor de x na equação abaixo:

2) Encontre o valor de x que é solução da equação abaixo:

3) A raiz da equação vale:

4) Encontre a solução da equação:

5) A raiz da equação abaixo, é:

6) O valor de x na equação seguinte vale:



40

7) Encontre os valores de x e y no sistema seguinte:

8) Determine os valores de a e b no sistema seguinte:

9) Encontre os valores de x e y no sistema seguinte:

10) Dado o sistema abaixo, encontre os valores de x e y:

11) Se x, y, z são números naturais, encontre o valor de 2x + y – z:



12) Dado o sistema abaixo, determine x + y:

13) O dobro de um número somado com 3 é igual a 17. Qual é esse número? 14) A soma do triplo de um número com sua metade é igual a 35. Calcule esse número. 15) A diferença entre as idades de um pai e um filho é de 30 anos. Há 3 anos a idade do pai era o tri-plo da idade do filho. Qual a idade do pai e do filho, hoje? 16) A soma de 3 números inteiros e consecutivos é 35. Quais são esses números? 17) Numa sala de 42 alunos, o número de moças é a metade do número de rapazes. Qual é o núme-ro de moças? 18) Divida 64 em duas partes de modo que uma seja o triplo da outra. 19) Repartir R$ 1000,00 entre duas pessoas de modo que a terça parte de uma seja a metade da ou-tra. 20) O dobro de um número, mais a sua terça parte, mais a sua quarta parte somam 31. Qual é esse número? 21) O perímetro de um retângulo é de 25 cm. A largura é igual a 5/8 do comprimento. Calcule as di-mensões do retângulo. 22) Uma livraria vendeu 3 apostilas de português e 5 de matemática recebendo R$ 171,00. Qual é o preço da apostila de matemática se ela custou 3, 00 R$ a menos que a apostila de português? 23) Um fazendeiro repartiu 240 bois entres seus três herdeiros da seguinte forma: o primeiro recebeu 2/3 do segundo e o terceiro tanto quanto o primeiro e o segundo juntos. Quanto recebeu o primeiro herdeiro?



42

24) Um pai tem 50 anos de idade e seus filhos João, Mário e Pedro, têm, respectivamente, 5 anos, 7 anos e 10 anos. A soma das idades dos três filhos ficará igual à idade do pai daqui há quantos anos? 25) O Cedtec tem 4000 alunos entre mulheres e homens. Se acrescentássemos 400 mulheres, elas atingiriam o mesmo número dos homens. Qual é o número de homens e mulheres que estudam no Cedtec? 26) Na lanchonete do senhor Manoel tem a seguinte promoção:

Pão com uma fatia de queijo por R$ 1,50 Pão com duas fatias de queijo por R$ 2,20

O senhor Manoel sabe quantos sanduíches vendeu contando os pães. Com essa promoção ele fatu-rou R$ 75,00. Quantas fatias de queijo foram vendidas, se ele vendeu 36 pães? 27) Um copo cheio de água pesa 325g. Se jogarmos metade da água fora, seu peso cai para 180g. O peso do copo vazio é: 28) Numa balança pesa-se 15 maçãs, cada uma com 180g, e mais 8 mangas, obtendo-se o equiva-lente ao peso de uma melancia de 4,3 kg. Se cada manga tem o mesmo peso, quanto pesa, em g, duas mangas? 29) Para pesar 3 maçãs, dispomos de um peso de 100g e de uma balança de pratos iguais. O peso da maçã maior é igual ao peso das outras duas juntas. O peso da menor mais 100g e igual ao peso das outras. A maior e a menor pesam 100g. Qual será o peso total das 3 maçãs? 30) Sergio e Carlos viajaram em férias e gastaram juntos 5.900,00. Os gastos de Sergio corresponde-ram a 2/5 de seu salário e os de Carlos, a 3/8 de seu salário. Sabendo que o salário de Carlos cor-responde ao dobro do de Sergio mais 400,00. Qual a soma dos dois salários? 31) Existe um número que, somado com 2, dividido por 8 e depois multiplicado por 7, resulta em si mesmo. Os 2/7 desse número valem: 32) Determine a fração equivalente a 4/5 cuja diferença entre os termos seja igual a 4. 33) Numa divisão inexata, a soma do divisor com o quociente é 28, e o quociente é o triplo do divisor. Se o resto é o maior possível, qual será o dividendo? 34) Um tonel cheio de água pesa 600g. O mesmo tonel cheio de areia pesa 800g. Se o peso da areia é 1,5 vezes o peso da água, determine o peso do tonel.



35) Resolva as equações: a) x² – 2x – 15 = 0 b) -3x² + 24x = 0 c) 6x² – x – 1 = 0 d) (2x + 1)² + 2(x + 1) = 3 e) x² – 8x – 8 = 0 f) 7x² – 6x + 1 = 0 36) Os valores de x que satisfazem à equação 2x² – 9x + 4 = 0 são: 37) A equação (x – 5)² = 2(x – 1) tem como raízes: 38)As raízes da equação 10x² – 13x + 4 = 0 são:

3 – MATEMÁTICA COMERCIAL

3.1 - RAZÃO

Chama-se de razão entre dois números racionais a e b, com b≠0, ao quociente entre eles. In-

dica-se a razão de a para b por a/b ou a : b.

Exemplo:



44

Na sala da 6ª B de um colégio há 20 rapazes e 25 moças. Encontre a razão entre o número de rapazes e o número de moças. (lembrando que razão é divisão).

5

4

525

520 =÷÷

(Indica que para cada 4 rapazes existem 5 moças)

Voltando ao exercício anterior, encontre a razão entre o número de moças e rapazes.

4

5

520

525 =÷÷

(Indica que para cada 5 moças existem 4moças)

3.1.1 - Lendo Razões

5

2 lê-se, 2 está para 5 ou 2 para 5

9

8 lê-se, 8 está para 9 ou 8 para 9

Obs.:Os termos de uma razão são Antecedente e Conseqüente. Exercícios

Razão e proporção

1) Se 8

20.

5

1=x e

2

3

2

−=y qual a razão entre x e y

2) Se uma construção tem 800 2m de área construída e 21000m de área livre, a razão da á-rea construída para a área livre é de quanto?

3) Num concurso havia 90 candidatos. Tendo sido aprovados 30, qual a razão entre o número

de aprovados e o número de reprovados. 4) João resolve 15 testes e acerta 7. Antônio resolve 21 testes e erra 10. Ralf resolve 18 testes

e acerta 9. Coloque os nomes em ordem crescente de eficiência.

5) Qual foi a escala da planta de um terreno no qual o comprimento de 100 m foi representado por um segmento de 5 cm.

6) Calcule o valor de x nas proporções:

a) 45100

20 x=

b) x2

1575=



c) 2

5,025,1 =x

d) 20

5

8=x

3.2 - PROPORÇÃO

Proporção é uma igualdade entre duas razões. Dados os números racionais a, b, c e d, dife-

rentes de zero, eles formam, nessa ordem uma proporção quando a razão de a para b for igual a ra-zão de c para d.

d

c

b

a =

Os extremos são a e d, os meios são b e c.

3.2.1 - Propriedade Fundamental das Proporções

Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Exemplo:

4

8

3

6 = é uma proporção, produto dos meios é igual ao produto dos extremos, 6x4=3x8.

3.2.2 - Trabalhando com Proporção

Determine o valor de x na seguinte proporção:

→=x

10

3

1515.x = 2.10 → 15x = 30 → x =

15

30 → x = 2.

3.2.3 - Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais

Entende-se por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado.

O volume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, são

alguns exemplos de grandezas.

No nosso dia-a-dia são encontradas varias situações em que duas ou mais grandezas as relacionam.

Em uma corrida quanto maior for a velocidade, menor será o tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas são a velocidade e o tempo.



46

Numa construção , quanto maior for o número de funcionários, menor será o tempo gasto pa-ra que esta fique pronta. Nesse caso, as grandezas são o número de funcionário e o tempo.

3.2.4 - Grandezas Diretamente Proporcionais

Em um determinado mês do ano, o litro de gasolina custava R$ 0,50. Tomando como base

esse dado pode-se formar a seguinte tabela.

Quantidade de gasolina (em litros)

Quantidade a pagar ( em reais)

1

0,50

2

1,00

3

1,50

Observe:

Se a quantidade de gasolina dobra o preço a ser pago também dobra.

Se a quantidade de gasolina triplica o preço a ser pago também triplica.

Neste caso, as duas grandezas envolvidas, quantia a ser paga e quantidade de gaso-

lina, são chamadas grandezas diretamente proporcionais.

Duas grandezas são chamadas, diretamente proporcionais quando, dobrando uma delas a outra também dobra; triplicando uma delas a outra também triplica.

3.2.5 - Grandezas inversamente proporcionais

Um professor de matemática tem 24 livros para distribuir entre os seus melhores alunos. Se

ele escolher apenas 2 alunos, cada um deles receberá 6 livros. Se ele escolher 4 alunos, cada um deles receberá 6 livros. Se ele escolher 6 alunos, cada um deles receberá 4 livros. Observe a tabela:

Número de alunos escolhidos

Número de livros para cada aluno

2

12

4

6

6

4

Se o número de aluno dobra, a quantidade de livros cai pela metade.

Se o número de alunos triplica, a quantidade de livros cai para a terça parte.

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra se

reduz para a metade; triplicando uma delas, a outra se reduz para a terça parte... e assim por diante.



Quando duas grandezas são inversamente proporcionais, os números que expressam

essas grandezas variam um na razão inversa do outro.

3.3 - REGRA DE TRÊS

Consta na história da matemática que os gregos e os romanos conhecessem as proporções,

porém não chegaram a aplicá-las na resolução de problemas.

Na idade média, os árabes revelaram ao mundo a regra de três. Nos século XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios dessa regra em seu livro Líber Abaci, com o nome de Regra de Três Números Conhecidos.

3.3.1 - Regra de três simples

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro

valores dos quais conhecemos três deles. Deve-se, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. Passos utilizados numa regra de três simples:

• Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

• Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

• Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplos:

a) Se 8m de tecido custam 156 reais, qual o preço de 12 m do mesmo tecido?

Tecido (m)

Preço (reais)

8 12

156 x

Observe que as grandezas são diretamente proporcionais, aumentando o metro do tecido

aumenta na mesma proporção o preço a ser pago.

x

156

12

8 = → 8x = 12.156 → 8x = 1876 → x = 8

1876→ x = 234

Observe que o exercício foi montado respeitando o sentido das setas.

A quantia a ser paga é de R$ 234,00.

b) Um carro, à velocidade de 60km/h, faz certo percurso em 4 horas. Se a velocidade do carro

fosse de 80km/h, em quantas horas seria feito o mesmo percurso?

Velocidade (Km/h)

Tempo (Horas)

60 80

4 x



48

Observe que as grandezas são inversamente proporcionais, aumentando a velocidade o tempo diminui na razão inversa.

60

804 =x

→ 8x = 4.6 → 8x = 24→ x = 8

24→ x = 3

O tempo a ser gasto é 3 horas.

Observe que o exercício foi montado respeitando os sentidos das setas.

3.3.2 - Regra de Três Composta

A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, di-

reta ou inversamente proporcionais.

Exemplo:

a) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?

Horas Caminhões Volume 8 5

20 x

160 125

Aumentando o número de horas de trabalho, pode-se diminuir o número de caminhões. Por-

tanto, a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).

Aumentando o volume de areia, deve-se aumentar o número de caminhões. Portanto, a rela-ção é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Deve-se igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.

8

5

125

16020 •=x

→1000

80020 =x

→ 8x = 10.20→ 8x = 200 → x = 8

200→ x = 25

Será preciso de 25 caminhões.



Exercícios

Regra de 3

1) Com 10 kg de trigo podemos fabricar 8 kg de farinha. Quantos kg de trigo precisaremos para

fabricar 32 kg de farinha 2) Nove pedreiros fazem um serviço em 72h. Quanto tempo levarão 6 pedereiros para fazer o

mesmo serviço 3) Uma torneira despeja 30 litros de água a cada 5 minutos, Quanto tempo levará para encher

um reservatório de 4m3 de volume 4) 2500 operários montam 200 automóveis por mês. Se forem admitidos mais 500 operários,

quantos automóveis serão produzidos por mês 5) Uma boa massa para pedreiro é feita com 5kg de cimento, 10kg de areia e 6 litros de água.

Com 12kg de cimento, se eu quiser fazer uma massa na mesma consistência, quanto devo usar de areia e água

6) Com 4 latas de tinta pintei 280 m2 de parede. Quantos m2 podem ser pintados com 11 latas

dessa tinta 7) Oito torneiras enchem um tanque em 3h. Para encher o tanque em 2h, quantas torneiras de-

vem ser usadas 8) Dez máquinas fabricam 400m de tecido em 16 dias. Em quantos dias 12 máquinas fazem

300m desse mesmo tecido 9) Em 3h, 5 torneiras despejam 2700 litros de água. Três torneiras, em 5h vão despejar quantos

litros? 10) Uma roda com 50 dentes engrena com outra de 40. Calcular o número de voltas da primeira

quando a Segunda dá 600 voltas 11) Uma torneira pingando, em 30 dias, 20 gotas por minuto ocasiona um desperdício de 100 li-

tros de água. Quantos litros de água vai desperdiçar uma torneira pingando 30 gotas por mi-nuto durante 50 dias.

12) Se 15 operários em 9 dias de 8h ganham R$10000,00. Quanto ganham 23 operários em 12

dias de 6h. 13) Um aluno resolve 6 problemas em meia hora, enquanto come 3 biscoitos e bebe 1 xícara de

café. Se considerarmos que o biscoito diminui a eficiência e o café a estimula, quantos exer-cícios resolverá, comendo 8 biscoitos e bebendo 4 xícaras de café.

14) Operando 12 horas por dia, 20 máquinas produzem 6000 peças em 6 dias. Com 4 horas a

menos de trabalho diário, quantos dias levarão 15 daquelas máquinas para produzir 4000 pe-ças

15) Vinte operários constroem um muro em 45 dias, trabalhando 6 horas por dia. Quantos operá-

rios serão necessários para construir a Terça parte desse muro em 15 dias, trabalhando 8 ho-ras por dia?



50

3.4 - PORCENTAGEM

Toda fração de denominador 100, representa uma porcentagem, como diz o próprio nome por

cem. Exemplo: Observe que o símbolo % que aparece nos exemplos acima significa por cento. Se reparar

em sua volta, percebe-se que este símbolo % aparece com muita freqüência em jornais, revis-tas, televisão e anúncios de liquidação, etc.

Exemplos:

O crescimento no número de matrícula no ensino fundamental foi de 24%. A taxa de desemprego no Brasil cresceu 12% neste ano. Desconto de 25% nas compras à vista. Apenas 20% da mão-de-obra é realmente especializada. Deve-se lembrar que a porcentagem, também pode ser representada na forma de

números decimal, observe os exemplos: Exemplos:

100

12=12%

100

5= 5%

100

78=78%

Alguns cálculos que envolvem porcentagens.

Exemplos:

01 - Uma televisão custa 300 reais. Pagando à vista você ganha um desconto de

10%. Quanto pagarei se comprar esta televisão à vista?

(primeiro representamos na forma de fração decimal)

10% de 100

10% x 100

300 - 30 = 270

Logo, pagarei 270 reais. 02 - Pedro usou 32% de um rolo de mangueira de 100m. Determine quantos metros de man-

gueira Pedro usou.

32% x 100 = 32 Logo, Pedro gastou 32 m de mangueira.

03 - Comprei uma mercadoria por 2000 reais. Por quanto devo vende-la, se quero obter um

lucro de 25% sobre o preço de custo.

25% x 2000 = 5000 O preço de venda é o preço de custo somado com o lucro. Então, 2000 + 500 = 2500 reais. Logo, devo vender a mercadoria por 2500 reais.



04 - Comprei um objeto por 20 000 reais e o vendi por 25 000 reais. Quantos por cento eu ob-tive de lucro?

Lucro: 25 000 - 20 000 = 5 000 ( preço de venda menos o preço de custo)

(resultado da divisão do lucro pelo preço de custo)

Porcentagem Preço

100%

20 000

X 5 000

20000 x = 500000 → x = 20000

500000 → x = 25%

05 - O preço de uma casa sofreu um aumento de 20%, passando a ser vendida por 35 000

reais. Qual era o preço desta casa antes deste aumento?

Porcentagem Preço

120%

35 000

100% x

120.x = 3500000 → x = 120

3500000→ x = 29 166,67 Reais

Logo, o preço anterior era 29 166,67



52

Exercícios

Porcentagem 1) Calcule:

a) 8% de 40 b) 12,5% de 50 c) 120% de 20

2) Calcule quantos por cento:

a) 45 é de 90 b) 35 é de 350 c) 15 é de 1500 d) 40 é de 160

3) Uma pessoa começou uma criação de coelhos. Três meses depois ela verificou que sua cria-

ção tinha aumentado em 200%. Qual é a quantidade atual de coelhos. 4) Um jardim tem área de 15000m2. 45% dessa área está plantada com flores, 25% com grama,

9% com arbustos e a área res ante está vazia. Calcule quantos km2 tem cada parte desse jardim.

5) As passagens de ônibus foram aumentadas de R$45,00 para R$54,00. Qual foi a taxa por-

centual de aumento? 6) Uma loja ao vender um televisor por R$690,00 tem um lucro de 15$ sobre seu preço de cus-

to. Qual foi o seu lucro? 7) Se a largura de um retângulo é aumentada de 20% e sua altura é aumentada de 50%. De

quantos % aumenta sua área 8) Um terreno de 300.000 m2 foi urbanizado. A prefeitura determinou que 20% de sua área de-

via ser destinada a ruas e avenidas. Qual é a área disponível para loteamento?

9) Quando pagamos uma conta com atraso, em geral ela tem um acréscimo no seu valor, cor-respondente à multa. Uma pessoa não conseguiu pagar a conta de água no prazo e teve de pagá-la com um acréscimo de 2% sobre o seu valor, que era de R$35,00. Para quanto foi o valor da conta?




1) Calcule os valores das variáveis nos itens abaixo sabendo que as sucessões são diretamente pro-porcionais. a) (x, 54) e (9, 6) b) (40, b) e (10, 5) c) (34, 28) e (y, 14) 2) Calcule os valores de a, b, c nos itens abaixo: a) (a, b, c) DP (1, 3, 5), onde a + b + c =81. b) (a, b, c) IP (3, 5, 6), onde a + b + c = 168. c) (a, b, c) IP (7, 10, 12), onde a + b + c =822. 3) Sergio e Marcos apostaram R$ 160,00 na “Loto”. Sabendo-se que Sergio contribuiu com R$ 70,00 e que eles foram premiados com R$ 80.000.000,00 pergunta-se quanto coube a Marcos, se a divisão foi feita proporcionalmente ao que cada um apostou? 4) Um agrimensor vai dividir um terreno retangular de dimensões 2,8 km por 250 m em partes propor-cionais aos números 2, 5, 6, 7 para o plantio de amendoim, mandioca, feijão e milho, respectivamen-te. Qual a área utilizada no plantio de feijão? 5) Reparti 230 balas entre minhas três sobrinhas que têm respectivamente, 4, 5 e 8 anos. Sabendo que a divisão foi feita em partes inversamente proporcionais às suas idades, a sobrinha mais velha recebeu quantas balas? 6) Marly precisou de uma cirurgia. Seus três filhos resolveram dividir a conta do hospital em partes proporcionais as suas economias às suas economias, que eram R$ 40.000,00, R$ 36.000,00 e R$ 14.000,00. A operação foi um sucesso! Passada a euforia do resultado, quanto teve que desembolsar o filho que pagou menos pelo procedimento cirúrgico, que totalizou R$ 63.000,00. 7) Um reservatório de 5040 litros de capacidade foi completamente cheio por três torneiras que des-pejaram por minuto 12, 8 e 16 litros de água, respectivamente. Determinar o volume de água que o reservatório recebeu de cada torneira. 8) Três pessoas formaram uma sociedade comercial. O primeiro empregou R$ 10.000, o segundo R$ 15.000 e o terceiro R$ 25.000. No fim do mês o lucro obtido foi de 45.000. Qual a parte de cada um no lucro obtido?



54

9) Um pai distribuiu a importância de R$ 50,00 aos seus três filhos em partes diretamente proporcio-nais ás suas idades que são: 3, 8, 9. Quanto coube a cada um? 10) Uma roda 50 dentes engrena com outra de 40. Calcular o número de voltas da primeira quando a segunda dá 600 voltas. 11) Uma turma de 32 alunos foi acampar e levou alimentos para 10 dias. Chegando ao local do a-campamento, encontraram mais 8 alunos. Quantos dias durarão os alimentos com a nova turma? 12) Três torneiras que despejam a mesma quantidade de água, enchem um tanque de 5000 litros em 10 horas. Fechando um delas, em quanto tempo as outras despejarão 3000 litros nesse tanque? 13) Uma máquina, funcionando 8 horas por dia, produz 2000 parafusos em 3 dias. Quantos horas por dia deverá funcionar para produzir 12000 parafusos em 16 dias? 14) Uma torneira pingando, em 30 dias, 20 gotas por minuto ocasiona um desperdício de 100 litros de água. Na casa de Kátia, uma torneira estava pingando 30 gotas por minuto durante 50 dias. A quanti-dade de litros de água desperdiçada, na casa de Kátia foi: 15) Um aluno resolve 6 problemas em meia hora, enquanto come 3 biscoitos e bebe uma xícara de café. Se considerarmos que o biscoito diminui a eficiência e o café estimula, quantos exercícios resol-veria, comendo 8 biscoitos e bebendo 4 xícaras de café em 2 horas? 16) Um avião consome 420 litros de querosene por hora. O consumo numa etapa de 2h e 10 min são de: 17) Vinte operários constroem um muro em 45 dias trabalhando 6 horas por dia. Quantos operários serão necessários para construir a terça parte desse muro em 15 dias trabalhando 8 horas por dia? 18) Após meses com sérios problemas financeiros, Dona Mira e mais onze amigas resolveram fazer um curso de costura no SESI. Depois de acabado o curso com a ajuda do SEBRAE conseguiram montar uma pequena fábrica de uniformes. Juntas elas conseguiam fazer 600 uniformes em dias 5 dias. Determinada empresa encomendou 1500 uniformes com pedido de urgência e para melhor a-tendê-la foram contratadas mais 3 costureiras sob regime temporário. Em quantos dias os uniformes ficarão prontos? 19) Um grupo 30 operários se comprometeu a terminar uma obra em 14 dias. Ao final de 9 dias, per-cebeu que só havia feito 3/7 da obra. O número de operários que deve ser acrescido ao grupo para que a obra acabe no tempo fixado é igual a: 20) Calcule: a) 20% de 250 b) 8% de R$ 1200,00 c) 15% de R$ 400,00



21) Ao comprar um objeto obtive um desconto de R$ 120,00. Qual é o preço do objeto se a taxa de desconto é de 20%. 22) R$ 300,00 é 15% de que quantia? 23) Marcela ganha R$ 8.700,00 por mês. Recebeu um reajuste de 38%. O seu novo salário é: 24) Um terreno, de 300.000 m² foi urbanizado. A prefeitura determinou que 20% de sua área devia ser destinada a ruas e avenidas. Qual a área disponível para o loteamento? 25) Um carro novo custa R$ 72.840,00 mais 30% empréstimo compulsório. Seu valor real para um comprador será: 26) Uma loja, ao vender um televisor por R$ 690,00 tem um lucro de 15% sobre seu preço de custo. Podemos, então, dizer que ela lucrou: 27) A mensalidade da escola do único filho de Oscar, representa 25% do seu salário. Se a mensali-dade escolar de seu filho aumenta 12%, qual é o reajuste que deve no salário mensal de Oscar para compensar esse aumento escolar? 28) Se a largura de um paralelogramo retângulo é aumentada de 20% e sua altura é aumentada de 50%, então sua área aumenta de: 29) Comprei um televisor por R$ 800,00 em duas parcelas. Paguei a metade à vista. Ao restante fo-ram acrescidos 35% de correção. Qual o valor da segunda parcela? 30) Após o Natal, apenas pequena parte da sociedade ainda dispõe de recursos para serem gastos em compra de alimentos supérfluos, presentes, e de outros produtos. Sabendo disso determinado comerciante aumentou uma TV que custava inicialmente R$ 300,00 em 40%; em seguida anunciou que estava dando um desconto de 25% para compra de pagamento à vista. Qual foi o percentual real de aumento da TV, sobre o preço inicial, após a jogada comercial?



56

4 – CONCEITOS EM GEOMETRIA O nome Geometria, em grego, significa medida da terra (geo = terra e metria = medida). No

antigo Egito, a geometria era amplamente utilizada. Os agrimensores usavam-a para medir terrenos, enquanto os construtores recorriam a ela para fazer edificações. As famosas pirâmides construídas próximas ao rio Nilo, é um ótimo exemplo disso.

Os Egípcios ganharam tanta fama que os matemáticos gregos iam constantemente ao Egito em busca de novas aplicações na geometria.

Por volta de 600 a.C. os matemáticos gregos começam a sistematizar os conhecimen-tos geométrico que foram adquirindo, fazendo com que o Geometria deixasse de ser pura-mente experimental.

Esse trabalho de organização lógica dos conhecimentos foi feito, principalmente, pelo mate-mático grego Euclides, por volta de 300 a.C., e reuniu uma obra de 13 volumes, chamada os Elemen-tos. Toda a geometria que se estuda hoje é praticamente a mesma daquela época.

4.1 - PONTO, RETA E PLANO

Ponto, reta e plano não são definidos, apenas se tem a idéia intuitiva de ponto (o-

lhando uma estrela no céu, localizando uma cidade no mapa, etc.), de reta (observando as linhas do campo de futebol, de uma quadra de futsal, os fios da rede elétrica bem esticado, etc.), de plano (observando o piso de sua casa, o campo de futebol, a superfície de uma piscina, etc.). Observando bem a nossa volta, vamos nos deparar com estes a todo momento.

Ponto → O ponto não possui dimensões, é representado por uma letra maiúscula do alfabeto

latino. •A •B •H

Ponto A Ponto B Ponto H Reta → A reta é imaginada sem espessura, não tem começo e nem fim, sendo representada

por uma letra minúscula do alfabeto latino, quando se desenha uma reta no caderno ou quadro, esta representada parte da reta.

Exemplo:

Os pontos F, H, A e D pertencem a reta r Plano → O plano é imaginado como um conjunto infinito de pontos. Plano é imaginado sem

limites em todas as direções, como acontece com a reta é impossível representar o plano no papel ou no quadro. Por isso, representa-se parte deste. O plano é representado por uma letra do alfabeto grego. Como alfa (a), beta (b) e gama (g).

Plano alfa Observe:

A reta r e o ponto P pertencem ao plano alfa, por estar dentro dele.

A reta m e o ponto E não pertencem ao plano alfa, por estar fora dele.



Deve-se lembrar que, usa-se pertence e não pertence para relacionar elemento e conjunto,

está contido e não está contido para relacionar conjunto com conjunto. Vale lembrar que, ponto e elemento, reta e plano são conjuntos.

4.2 - SEGMENTO DE RETA

Dados dois pontos distintos (diferentes), a reunião do conjunto desses dois pontos com

o conjunto dos pontos que estão entre eles é um seguimento de reta. Exemplo: T R

m TR é um segmento de reta sendo T e R suas extremidades.

Representamos assim: TR

4.3 - SEMI-RETA

Em geometria, a reta é considerada um conjunto de pontos. Considere um ponto O que per-

tence a uma reta r. Afirmar que esse ponto O separa a reta em dois conjuntos de pontos. Cada um desses conjuntos de pontos é denominado semi-reta. O ponto O é chamado origem das semi-retas. Exemplo:

A O B

→ OA

Semi – reta de origem O passando pelo ponto A.

→ OB

Semi – reta de origem O passando pelo ponto B.

4.4 – TRIÂNGULOS

Chama-se de triângulos todo polígono que possui três lados. Exemplo:

CABCAB ,, são os lados do triângulo. a, b e c são os ângulos internos do triângulo. A, B e C são os vértices do triângulo.



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4.4.1 - Classificando os triângulos quanto aos lados

Triângulo isósceles : Possui dois lados congruentes (iguais) e o terceiro lado diferente.

AB igual a AC Triângulo eqüilátero : Possui os três lados congruentes (iguais).

Os lados CABCAB ,, são iguais

Triângulo escaleno : Possui o três lado com medidas diferentes.

Os lados CABCAB ,, são diferentes

4.4.2 - Classificando os triângulos quanto aos ângulos

Triângulo retângulo : Possui um ângulo reto (ângulo de 90º)

Observe que o ângulo A mede 90º Triângulo acutângulo : Possui três ângulos agudos

(ângulos menores que 90°)

Observe que as medidas dos ângulos A, B e C são menores que 90°



Triângulo obtusângulo : Possui um ângulo obtuso (ângulos maiores que 90º)

Observe que o ângulo A é maior que 90°.

4.5 - TIPOS DE RETAS

Retas paralelas : Duas retas são paralelas quando estão em um mesmo plano e não tem

ponto em comum.

Exemplo: As retas r e m são paralelas r // m (// paralelas ) As retas s e b não são paralelas. Observe que elas vão se encontrar.

Retas concorrentes: Duas retas são concorrentes

quando possui um único ponto em comum. Exemplo:

As retas f e p encontram em um único ponto (A).

Retas perpendiculares : Duas retas são perpendiculares se, e somente se, são con-correntes e formam ângulos de 90º.

Exemplo: A reta m é perpendicular a reta p.

m ⊥ p. ⊥ (perpendicular) Retas oblíquas : Duas retas são oblíquas,

quando são concorrentes e não são perpendiculares. Exemplo:

As retas r e f são oblíquoas



60

4.6 - FIGURAS GEOMÉTRICA

Figura geométrica plana : Uma figura é geométrica plana se todos os seus pontos perten-

cem a um mesmo plano. Exemplos:

Observe que todos os pontos desta figura pertencem a um só plano.

Figura geométrica não plana : Se nem todos os seus pontos pertencem a um mes-mo plano. A maioria dos objetos que nos cercam não são planas.

A figura ao lado não pertence a um só plano.

4.7 - POLÍGONOS

Poli (Vários ), gono (ângulos) , figura geométrica plana de vários ângulos.

Polígono é a reunião de uma linha poligonal simples formada apenas por segmentos de reta

com a sua região interna. Exemplos:

Quadrilátero ( 4 lados) Triângulo ( 3 lados) Hexágono (6 lados)

4.7.1 - Tipos de polígonos

Convexos :

Exemplos:



Não convexos

4.7.2 - Partes de um Polígono

DACDBCAB ,,, são lados

4.7.3 - Classificação dos Polígonos

Os polígonos são classificados de acordo com o número de lados, deve-se observar

que em qualquer polígono o número de lados é igual ao número de ângulos e igual ao número de vértice.

NÚMERO DE LA-DOS NOME

3 Lados Triângulo

4 Lados Quadrilátero

5 Lados Pentágono

6 Lados Hexágono

7 Lados Heptágono

8 Lados Octógono

9 Lados Eneágono

10 Lados Decágono

11 Lados Undecágono

12 Lados Dodecágono

15 Lados Pentadecágono

20 Lados Icoságono



62

4.8 - CORDA, DIÂMETRO E RAIO

Corda : É um segmento de reta que toca a circunferência em dois pontos dis-

tintos. Diâmetro : É a corda que passa pelo centro e divide a circunferência em duas partes

iguais. Raio : é o segmento de reta que tem uma extremidade no centro da circunferência e o outro

na própria circunferência. Exemplo:

OP raio da circunferência

TE corda da circunferência

SF diâmetro da circunferência

4.9 – SEMICIRCUNFERÊNCIA

Nota-se que o diâmetro divide a circunferência em duas partes, cada uma destas partes

é chamada de semicircunferência. Exemplo:

4.10 - CÍRCULO

É a reunião da circunferência com sua região interna. Centro, raio, corda, diâmetro e arco de

um círculo são o centro, o raio, a corda, o diâmetro e o arco da circunferência. Exemplo:



5 - MEDIDAS (TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES)

5.1 - MEDINDO COMPRIMENTO

Deve-se saber que a unidade fundamental para medir comprimento é o metro, que é repre-

sentada pela letra m. A palavra metro vem do grego, metron, que significa o que se mede. Esta medida foi adota-

da como padrão.

5.2 - MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS DO METRO

Múltiplos Unidade principal Submúltiplos

quilometrohectômetrodecâmetro metro decímetrocentímetromilímetro

km hm dam m dm cm mm

1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m

Observe que cada unidade de comprimento é dez vezes maior que a unidade imedia-

tamente inferior.

Atenção : Deve-se observar que existem outras unidades de medidas, bastante usa-das. Polegada, que equivale a 25,4 mm.

Jarda, que equivale a 91,44 cm. Milha, que equivale a 1069 m. Légua, que equivale a 5555 m. Pé, que equivale a 30,44 cm. Lendo Medidas de Comprimento deve-se observar que a leitura das medidas de com-

primento é feita de forma semelhante a leitura dos números decimais.

Exemplos:

2,23 m = dois metros e vinte e três centímetros ou três vírgula vinte e três metros. 12,45 dm = doze decímetro e quarenta e cinco centímetro ou doze vírgula quarenta

e cinco decímetro.

0,23 km = zero quilômetro e vinte e três decâmetro ou zero vírgula vinte e três quilômetro.

13,47 m = treze metros e quarenta e sete centímetro ou treze vírgula quarenta e sete me-tros.

5.3 - TRANSFORMANDO UNIDADES

Ao trabalhar, com o método de andar com a vírgula, o número de casas necessárias para

chegar na unidade desejada.

Exemplos:

2,3 m para cm = 230,0 ou 230 cm (para chegar até o centímetro desloca-se a vírgula duas casas para a direita) ·



64

12,47 m para dm = 124,7 dm (para chegar até o decímetro desloca-se a vírgula uma casa para direita)

3 m para mm = 3000,0 ou 3000 mm (para chegar até o milímetro desloca-se a vírgula três casas para a direita)

4,23 km para m = 4230,0 ou 4230 m (para chegar até o metro desloca-se a vírgula três ca-sas para a direita)

300 cm para m = 3,00 ou 3 m (para chegar até o metro desloca-se a virgula duas casas pa-ra a esquerda)

123,4 mm para m = 0,1234 m (para chegar até o metro desloca-se a vírgula três casas pa-ra a esquerda)

14 m para km = 0,014 km (para chegar até o quilômetro desloca-se a vírgula três casas pa-ra a esquerda, como faltou número completa-se com zero) .

5.4 - MEDINDO SUPERFÍCIES

Assim como se mede comprimento, também se mede superfícies planas. Quando se fala em

medir uma superfície plana, tem-se que compará-la com outra tomada como unidade padrão e verifi-ca-se quantas vezes essa unidade de medida cabe na superfície que se quer medir.



Exercícios

1) Uma tábua com 3,10 metros de comprimento foi cortada em 3 partes. Uma das partes tem 98 cm de comprimento. As outras duas tem o mesmo comprimento. Qual é, em decimetros. O comprimento de cada uma dessas partes?

2) Uma pesquisa esportiva concluiu que, em uma partida de futebol realizada no Brasil em

25/4/99, um jogador percorreu 12,5 km e, em outra partida, realizada no Inglaterra em 5/6/99, este mesmo jogador percorreu 9 milhas. Sabendo que 1 milha corresponde a aproximada-mente 1600 m, qual o total de hectometros ele percorreu?

3) Uma caixa contém 2 dúzias de pisos de cerâmica. Sabendo que cada piso ocupa uma área

de 1600 cm2, quantos metros quadrados de piso haverá em 100 dessas caixas?

4) Devem ser distribuídos 400 litros de certa substância em frascos de 50 cm3 cada um. Quan-

tos frascos serão necessários? 5) Uma torneira goteja 7 vezes a cada 20 segundos e admitindo-se que as gotas tenham sem-

pre volume igual a 0,2 cm3, qual o volume, em litros, de água que vaza em 1 semana?



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5.5- UNIDADE DE MEDIDA DE SUPERFÍCIE

Deve-se saber que a unidade fundamental usada para medir su-

perfície é o metro quadrado(m²), que corresponde a área de um quadra-do que possui os lados medindo 1 m cada um.

Este quadrado possui 1m de cada lado, logo possui 1 metro2.

5.6 - QUADRO DE UNIDADES USADAS PARA MEDIR SUPERFÍCIES

Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos

km 2 hm 2 dam 2 m2 dm 2 cm 2 mm 2

1.000.000 m210.000 m21.00 m2 1 m2 0,01 m20,0001 m20,000001 m2

Observe que cada unidade é 100 vezes maior que a unidade imediatamente anterior.

5.7 - LENDO UNIDADES DE ÁREA

4,35 cm2 = Quatro centímetros quadrados e trinta e cinco milímetros quadrados ou quatro vírgula trinta e cinco centímetros quadrados. 12,12 m2 = Doze metros quadrados e doze decímetros quadrados ou doze vírgula doze metros quadrados.


2,234 m2 para dm2 = 223,4 dm2 (Observe que a vírgula deslocou para direita 2 casas) 4,4567 dm2 para cm2 = 445,67 cm2 (Observe que a vírgula deslocou para direita 2 casas) 4567,5 dm2 para dam2 = 0,45675 m2 (Observe que a vírgula deslocou para esquerda 4 ca-sas) 45 cm2 para m2 = 0,0045 m2 (Observe que a vírgula deslocou para esquerda 4 casas como não tínhamos mais números completamos com zeros)

5.9 - VOLUME

Chama-se de volume de um sólido geométrico, o espaço que esse sólido ocupa.

5.10 - MEDINDO VOLUME

Para medir volume, usamos a unidade denominada metro cúbico (m³). O que é 1 m³?



É o volume de um cubo, em que suas arestas medem 1m.

5.11 - MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS DO METRO CÚBICO

Múltiplos Unidade

Fundamental Submúltiplos

km 3 hm 3 dam 3 m3 dm 3 cm 3 mm 3

1.000.000.000 m3 1.000.000 m3 1.000 m3 1 m3 0,001 m3 0,000001 m3 m3 0,000000001 m3

Atenção: Você deve ter notado que cada unidade é maior que a unidade imediatamente infe-rior 1000 vezes ou 1000 vezes menor que a unidade imediatamente superior. No seu dia a dia, você deve ter observado que as unidades mais usadas são, o m³, cm³ e dm³.

5.12 - LENDO UNIDADES DE VOLUME

4,35 cm³ = Quatro centímetros cúbicos e trinta e cinco milímetros cúbicos ou quatro virgula 35 centímetros cúbicos. 12,123 m³ = Doze metros cúbicos e cento e vinte e três decímetros cúbicos ou doze vírgula cento e vinte e três metros cúbicos.


2,234 m³ para dm³ = 2234 dm³ (Observe que a vírgula deslocou para direita 3 casas) 4,4567 dm³ para cm³ = 4456,7 cm³ (Observe que a vírgula deslocou para direita 3 casas) 4567,5 dm³ para m³ = 4,5675 (Observe que a vírgula deslocou para esquerda 3 casas)

45 cm³ para m³ = 0,000045 (Observe que a vírgula deslocou para esquerda 6 casas como não tínhamos mais números completamos com zeros)



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1) Expresse: a) 2,5 km em m: b) 520 m em hm: c) 850 m em mm: d) 4,5 mm em m: e) 15,39 km em cm: 2) Efetue as operações e dê o resultado em cm: a) 34 km + 60m = b) 0,25km . 8 = c) 2,76m – 50 cm = d) 3,6km : 3 = 3) Um jardim quadrado tem 1,75 m de lado. Uma pessoa, passeando, dá 6 voltas completas. Quantos metros a pessoa andou? 4) Transformando em metros 25,734 km + 0,802 m – 1,0435 dam + 4 dam, obteremos: 5) Expresse: a) 60 hm² em km²



b) 485000 m² em hm² c) 0,0365 km² em dam² d) 6,31 hm² em m² e) 3650 cm² em m² f) 1234560 mm² em dam² 6) Efetue as operações e dê a resposta em cm²: a) 1,2 cm² + 0,002 dm² b) 0,0012 m² – 123mm² 7) Expresse: a) 37 m³ em dm³ b) 8,3 cm³ em mm³ c) 0,072 m³ em cm³ d) 0,0536 m³ em dm³ e) 54 mm³ em cm³ 8) Um bujão de gás cheio contém 13,5 dm³ de gás. Tendo sido gastos 1/3 desta quantidade, quantos cm³ de gás restam no bujão?



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6 - RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo de 90º.

Relações:

Podemos afirmar que: b² = am, c² = an, h² = mn, ah = bc e a = m+n Determine o valor de x nas seguintes figuras:

Relação c2= an x2 = 9.4 x2 = 36

x = 36 x = 6

Relação b2= am 62 = 10x 36 = 10x -10x = -36(-1) 10x = 36

x = 10

36

x = 3,6

Relação h2= mn x2 = 9.4 x2 = 36

x = 36 x = 6



Relação ah = bc x.4,8 = 8.6

x = 8,4

48

x = 10

6.1 - TEOREMA DE PITÁGORAS

O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos. Exemplos:

Calcule o valor de x nas seguintes figuras:

x2 = 42 +32 x2 = 16 +9 x2 = 25

x = 25 x =5

152 = 122 +x2 225 = 144 +x2 -x2 = 144 – 225 x2 = 81

x = 81 x = 9

(x + 4)2 = (x + 2)2+ x2 x2 + 8x + 16 = x2 + 4x + 4 + x2 x2 + 8x + 16 - x2 - 4x - 4 - x2 = 0 - x2 + 4x + 12 = 0 ∆ = b2 - 4ac ∆ = 42 – 4(- 1)(12) ∆ = 16 + 48 ∆ = 64

x =

( )( )12

644

−±−

x = 2

84

−±−

x’ = 2

84

−+−

x’ = - 2 x” = 6 Como não existe medida negativa, x = 6.



72

Exercícios Teorema de Pitágoras 01) Do alto de uma montanha de 50 metros de altura uma pessoa avista bem na linha do ho-rizonte uma cidade que está a 25 km de distância. Com estes dados ele calculou o raio da terra. Qual é o raio da terra? 02) Um robô, percorrendo os lados AB e BC de um quadrado, andou 15 metros. Quantos me-tros ele andaria a menos se tivesse ido diretamente de A para C. 03) Nesta figura, temos um edifício de paredes retangulares. No ponto B será instalada uma lâmpada. Será então colocado um fio que vai de A até B pelas paredes do edificio. Qual é o menor comprimento que este fio pode Ter?

04) Uma pessoa precisa de uma tábua para fazer um reforço diagonal numa porteira de 1,5 metros de altura por 2 metros de comprimento. Qual o comprimento que a tábua deve Ter.



7 - TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

A palavra trigonometria significa medida dos três ângulos de um triângulo e determina um ra-mo da matemática que estuda a relação entre as mediadas dos lados e dos ângulos de um triângulo.

Conta a história da matemática que Tales foi um grande estudioso desse ramo da matemática, mas não podemos afirmar que este foi seu inventor. A trigonometria não foi obra de um só homem, nem de um povo só.

7.1 - SENO, COSSENO E TANGENTE DE UM ÂNGULO AGUDO

Observe o triângulo retângulo abaixo, onde a é a hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90º), b e c são os catetos do triângulo retângulo. Observação: Catetos são os lado que formam o ângulo de 90º.

Lembre-se, os catetos variam de nome de acordo com a posição do ângulo.

Seno de y =Hipotenusa

yÂnguloaoOpostoCateto ou seno y =

a

c

Cosseno de y =Hipotenusa

yÂnguloaoAdjacenteCateto ou cos y =

a

b

Tangente de y =yÂnguloaoAdjacenteCateto

yÂnguloaoOpostoCateto ou tg y =

b

c



74

Razões Trigonométricas Especiais 30º 45º 60º

Seno 2

1

2

2

2

3

Cosseno 2

3

2

2

2

1

Tangente 3

3

1 3

Existem outro ângulos, seus senos, cossenos, tangentes e cotangentes, se encontram em uma tabela chamada tabela trigonométrica. Exemplos: 1. Calcule o valor de x na figura abaixo.(observe na tabela sen 30º)

2. Determine o valor de y na figura abaixo.(observe na tabela con 30º)



8 - ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS

8.1 – ÁREAS DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS

8.1.1 – Área do quadrado

Ilustração 1

8.1.2– Área do retângulo

8.1.3 – Área do triângulo

8.1.4 – Área do paralelogramo



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8.1.5 – Área do trapézio

8.1.6 – Área do losango

8.1.7 – Área do círculo

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS



1) Transforme: a) 1,02 hm² em dam² b) 0,05 m² em cm² c) 1,36 mm² em cm² d) 4,1 dm² em dam² Solução: No sistema métrico decimal, as medidas de superfícies apresentam a seguinte escala:

km² km² km² km² km² km² km² a) 1,02 hm² = 102 dam² b) 0,05 m² = 500 cm² c) 1,36 mm² = 0,0136 cm² d) 4,1 dm² = 0,00041 dam² 2) Calcular a área de um quadrado, sabendo-se que seu perímetro é 8 cm. Solução: P = 4a

8 = 4a →a = 4

8→ a = 2 cm

A = a2 A = 22 A = 4 cm2

3) Calcule as dimensões de um retângulo, sabendo-se que a medida da base é o dobro da altura e a sua área é de 16cm². Solução:

A = b . h

16 = 2h.h → 16 = 2h2 → h2 =

2

16→ h2 = 8 → h =

22 cm

R: As dimensões do retângulo são: base 4 2 e a altura 2 2 . 4) Calcular a área de um círculo, que tem 6 cm de diâmetro. Solução: D = 2r

6 = 2r → r = 2

6→ r = 3 cm

A = π.r2 A = π.32 A = 9.π cm2



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8.2 - CALCULANDO ÁREAS

Exemplos: 01) Calcule a área de um terreno quadrado de 25 m de lado. A = a2 → A = 252 → A = 625 m2 02) Calcule a área de um campo de futebol cujas dimensões são, 150m de comprimento por 75m de largura. (o campo tem a forma retangular, com esta na horizontal eu falo comprimento vezes largura). A = b x h → A = 150 x 75 → A = 11.250 m2 RESOLVA OS EXERCÍCOS ABAIXO: 01. Determine a área de um paralelogramo em que a altura mede 10 cm e sua base mede 6 cm. (R = 60) 02. Sabendo-se que a altura de um triângulo mede 8 cm e sua base mede 13 cm. Determine sua área. (R = 52) 03. Um losango possui a diagonal maior medindo 8 cm e a menor medindo 6 cm. Calcule a área deste losango. (R = 24) 04. A base maior de um trapézio mede 40 cm e sua base menor mede 25 cm. Calcule sua á-rea sabendo que a altura mede 20 cm. (R = 650) Observação: Existem medidas específicas para medir grandes extensões, como sítios, chá-caras e fazendas. São elas o hectare e o are. 1 hectare(ha) = 10.000(m²) 1 are(a) = 100(m²) Exemplos: Uma fazenda possui 120 000 m² de área, qual a sua medida em hectare? 120.0000 : 10.000 = 120 ha. Uma fazenda possui 23,4 ha de área, qual a sua área em m²? 23,4 x 10.000 = 234.000 m2



8.3 - COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA

O comprimento de uma circunferência é o número que representa os perímetros dos polí-gonos inscritos nessa circunferência quando o número de lados aumenta indefinidamente. Entende-se comprimento como sendo o contorno da circunferência. Exemplo: Uma volta completa em torno da terra. O comprimento de um aro de bicicleta. O comprimento da roda de um carro. O comprimento da bola central de um campo de futebol.

8.4 – CALCULANDO Π

Esta é uma constante (seu valor não muda nunca). Esta surgiu da divisão do comprimento pelo diâmetro da circunferência. Verificou-se que não importava o comprimento da circunferência, sempre que dividia o comprimento pelo diâme-tro o resultado era o mesmo (3,14159265....), para não ter que escrever este número a todo o mo-mento ficou definido que esta seria representado pela letra π (pi) do alfabeto grego, lembre-se: usa-se apenas com duas casas decimais = 3,14.

8.5 - CALCULANDO O COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA

Para calcular o comprimento da circunferência, π=d

c→ c = πD devemos lembrar que, D =

2r diâmetro é igual ao dobro do raio. Logo, C = 2 πr ( Comprimento é igual a 2 vezes o π e o raio) Para calcular o comprimento de uma circunferência usa-se a fórmula Exemplos: 01. Determine o comprimento de uma circunferência em que o raio mede 3 cm. C = 2 πr basta substituirmos o r por 3 cm e π =3,14. C = 2. 3,14. 3 → C = 18,84 cm 02. Vamos calcular o raio de uma circunferência sabendo que o comprimento mede 62,8 m. C = 2πr basta substituirmos C por 62,8 m e π por 3,14.

62,8 m = 2x3,14xr → 62,8 m = 6,28xr → r = 28,6

8,62→ r = 10 m



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8.6 - CALCULANDO A ÁREA DE UM CÍRCULO

Para calcular a área de um círculo usa-se a fórmula: A = π.r2 Exemplos: 01. Calcule a área de um círculo, sabendo que seu raio mede 4 m. A = π.r2 devemos substituir π por 3,14 e r por 4m. A = 3,14x(4m)2

→ A = 3,14x 16m2 →A = 50,24 m2 02. Determine o raio de uma circunferência sabendo que sua área é igual 314 cm². A = π.r2 devemos substituir π por 3,14 e A por 314 cm2.

314 = 3,14xr2→ 314 = r2 = 14,3

314 2cm

→ r2 = 100 → r = 100→ r= 10 cm




Geometria Plana: Exercícios de áreas de regiões poligonais 1) Seja um paralelogramo com as medidas da base e da altura respectivamente, indicadas por b e h. Se construirmos um outro paralelogramo que tem o dobro da base e o dobro da altura do outroparale-logramo, qual será relação entre as áreas dos paralelogramos? 2) A razão entre as medidas dos lados de dois quadrados é 1:3. Qual é a razão entre as áreas des-ses dois quadrados? 3) Qual é a área de um losango que possui diagonais medindo 10 cm e 16 cm? 4) Calcular a área de cada quadrilátero indicado abaixo: a) Quadrado com lado medindo 5/3 cm. b) Quadrado com perímetro 12 cm. c) Retângulo com comprimento 3 cm e perímetro 10 cm. 5) Um dos lados de um retângulo mede 10 cm. Qual deve ser a medida do outro lado para que a área deste retângulo seja equivalente à área do retângulo cujos lados medem 9 cm e 12 cm? 6) Se um retângulo possui o comprimento igual ao quíntuplo da largura e a área é igual a 80 cm², quais são as medidas de seus lados? 7) Nos ítens abaixo, indicamos uma mudança na medida de um dos lados. Que mudança deveremos realizar na medida do outro lado do retângulo para que a área deste permaneça constante? a) A base é multiplicada por 3;. b) A altura é dividida por 2; c) A base é aumentada 25%; d) A base é diminuída 25%. 8) Qual é a área de um círculo cujo perímetro é 31,4 cm, usando π = 3,14.. 9) Uma pista circular tem 25 metros de raio. Quantos metros percorre uma pessoa que dá 20 voltas em torno dessa pista? 10) Se uma pessoa der 10 voltas em torno de um jardim circular, ela percorrerá 2198 metros. Qual o diâmetro desse jardim? 11) Um círculo está inscrito num quadrado, cujo perímetro é 48 metros. Calcule sua área.



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9.0 VOLUME

9.1 – VOLUME DOS PRINCIPAIS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

9.1.1 – Cubo

v = a3

9.1.2 - Paralelepípedo Retângulo

v = a.b.c

9.1.3 – Cilindro

V = Ab. H

9.1.4 – Prisma

V = Ab. H



9.1.5 – Pirâmide

V =3

HAb

9.1.6 – Cone

V =3

HAb

9.1.7 - Esfera

V = 3

3

4rπ



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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) Transforme: a) 2,6 hm³ = 2600 dam³ b) 0,016 km³ = 16000 dam³ c) 1,06cm³ = 0,00106 dm³ 2) O volume de um cubo é 27 cm³. Calcule a medida da aresta desse cubo.

Solução:

V = a3

27 = a3 → 3 33 27 a=

a = 3 cm

3) O volume de um paralelepípedo retângulo é de 24cm³, sabendo-se que o comprimento é 4 cm, a largura é 3 cm. A altura desse paralelepípedo é: Solução:

V = a.b.c 24 = 3.4.c 24 = 12.c c = 2 cm

9.2 - CALCULANDO VOLUMES

Determine o volume da seguinte figura. Exemplos: Calcule o volume de uma caixa cúbica, cuja aresta mede 9 m. V = a3 V = (9 m)³ V = 729 m³ Quantos m³ de água são necessários para encher uma piscina em que as dimensões são: Comprimento = 12 m, largura = 6 m e profundidade = 1,5 m. V = c x l x h V = 12 m x 6 m x 1,5 m V = 108 m³




1) Enche-se um recipiente cúbico com água. Dado que um galão do líquido tem um volume de 21600 cm3 e sendo 120 cm a aresta do recipiente, calcule o número de galões que o recipiente pode conter? 2) Determine a área de uma placa de metal necessária para a construção de um depósito na forma de um paralelepípedo retângulo (aberto em cima) sabendo que o depósito tem 2m de largura, 1,50m de altura e 1,20m de comprimento. 3) Uma banheira tem a forma de um paralelepípedo retângulo cujas dimensões são 1,20m de com-primento, 0,90m de largura e 1,50m de altura. Quantos litros de água podem conter? Se toda água da banheira for colocada em um depósito em forma de cubo de 3m de aresta, que altura alcançará a á-gua? 4) Com uma folha de zinco de 5m de comprimento e 4m de largura podemos construir 2 cilindros, um segundo o comprimento e o outro segundo a largura. Determine em qual dos vasos o volume será menor? 5) A água da chuva é recolhida em um pluviômetro em forma de pirâmide quadrangular regular. Sa-bendo que a água alcança uma altura de 9 cm e forma uma pequena pirâmide de 16,8cm de aresta da base e que esta água é vertida em um cubo de 10cm de aresta, responda: que altura alcançará a água no cubo? 6) Constrói-se um depósito em forma cilíndrica de 8m de altura e 2m de diâmetro. Determine a super-fície total do depósito. 7) Um vaso cilíndrico tem 30dm de diâmetro interior e 70dm de profundidade. Quantos litros de água podem conter aproximadamente. 8) Qual o valor aproximado da massa de mercúrio em kg, necessária para encher completamente um vaso cilíndrico de raio interno 6 cm e altura 18cm se a densidade do mercúrio é 13,6g/cm3?



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9) Num cilindro com água colocamos uma pedra. Determine o volume da pedra, se em virtude de sua imersão total a água se elevou 35 cm, sendo 50 cm o raio da base do cilindro. 10) Uma casquinha de sorvete tem a forma de um cone de raio da base 2 cm e altura 10cm. Qual o volume de sorvete que comporta se a parte que ultrapassa o cone é uma semi-esfera. 11) Uma bola de ouro de raio r se funde, transformando-se em um cilindro de raio r, determine a altu-ra do cilindro. 12) Supondo a terra esférica e o metro a décima milionésima parte do quarto do meridiano, determine a superfície da terra em km2. 13) Um pedaço de cano, de 30 cm de comprimento e 10 cm de diâmetro interno, encontra-se na posi-ção vertical e possui a parte inferior vedada. Colocando-se 2 litros de água em seu interior, pergunta-se: a água transborda? 14) Um tanque de água tem a forma de um cone circular reto com seu vértice apontando para baixo. O raio do topo é 9m e a altura do tanque é 28m. Se ele estiver cheio até a metade da altura, qual o volume de água que ele contém? 15) Uma panela cilíndrica de 20 cm de diâmetro está completamente cheia de massa para doce, sem exceder sua altura de 16 cm. Qual o número de doces em formato de bolinhas de 2 cm de raio que se pode obter com toda essa massa. 16) Uma cesta de lixo tem por faces laterais trapézios isósceles, por fundo um quadrado de lado 19 cm e por topo em quadrado de lado 25 cm, se a altura é 30 cm, qual o volume que esta cesta pode conter?



BIBLIOGRAFIA Coletânia Objetivo para concursos – Matemática e Raciocínio Lógico e Quantitativo – 2003. GIO-VANNI, Castrucci e GIOVANNI Jr. A conquista da Matemática, 6ª série – São Paulo, Editora FTD, 1988. GIOVANNI, José Ruy. A conquista da Matemática, 7ª série – São Paulo, Editora FTD, 1988. JAKU-BO e LELLIS, José e Marcelo. Matemética na Medida Certa, 5ª, 6ª, 7ª e 8ª séries. São Paulo – Editora Scipione, 1994. MALVEIRA, Linaldo. Matemática Fácil, 5ª, 6ª, 7ª e 8ª séries. São Paulo – Editora Ática, 1993. www.somatematica.com.br www.terra.com.br/matematica www.matematica.com.br www.exatas.hpg.com.br www.zmais.com.br

69325117 apostila de matematica aplicada

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