matematica aplicada - prof sara tanus - 2014
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Primeiro Semestre de 2014
NOTAS DE AULA
MATEMÁTICA APLICADA
Professora: Sarah Tanus Curso: Ciências Sociais Aplicadas
Uniso - Universidade de Sorocaba Cidade Universitária – Rod. Raposo Tavares, Km 92,5
CEP: 18023-000 - Sorocaba / SP
2
Este material é uma referência de aula empregada pela professora desta disciplina. Baseia-se em livros texto consagrados de autores nacionais e internacionais. Seu emprego é restrito às aulas do componente Matemática Aplicada. Contém resumos de aula e exercícios propostos. Não visa substituir a consulta dos livros recomendados nas referências bibliográficas. Ao contrário espera-se com a sua consulta encorajar os alunos a adquirirem ou consultarem seu material de aprendizado de preferência.
Professora Sarah Tanus
3
INDICE
Limites e Continuidade ........................................................................................................... 4 Noção intuitiva de limites ................................................................................................... 4
Cálculo de limites através de gráficos ................................................................................ 4
Definição de limite ............................................................................................................. 5
Técnicas para o cálculo de limites ...................................................................................... 6
Funções Contínuas e Limites no infinito .............................................................................. 10 Definição de função continua ........................................................................................... 10
Extensão do conceito de limite: limites Infinito e no infinito .......................................... 11
ESTUDO DE DERIVADAS ................................................................................................ 19 Regra da multiplicação ..................................................................................................... 22
Regra da Divisão .............................................................................................................. 22
Regra para a Função Exponencial .................................................................................... 23
Regra da Cadeia ................................................................................................................ 23
Revisão das Regras de derivação ...................................................................................... 24
Aplicação: Taxa de Variação ............................................................................................ 27
Aplicações de Derivada: Problemas de Otimização (máximos, mínimos) ...................... 30
Tópico especial: O lote Econômico de Compra (LEC) .................................................... 32
INTEGRAL .......................................................................................................................... 33 Primitivas de uma função ................................................................................................. 33
Integrais Indefinidas ......................................................................................................... 33
Integrais definidas ............................................................................................................. 35
Aplicações ........................................................................................................................ 36
Excedentes do Consumidor e do Produtor ....................................................................... 37
Referências Bibliográficas .................................................................................................... 38
4
Limites e Continuidade
Com estudo dos limites e derivadas, teremos ainda mais recursos para a análise do comportamento de uma função, e também para a elaboração mais minuciosa de seu gráfico.
Noção intuitiva de limites O gráfico de uma função f: R R nos mostra visualmente como variam os valores de f(x) à medida que variamos x em R. É um instrumento importante, que nos ajuda a reconhecer as propriedades de f. Considerando a função f(x) = 2x + 1, vamos analisar seu comportamento nas proximidades do ponto x = 2.
Atribuindo a x valores menores que 2, cada vez mais próximos de 2, dizemos que estamos fazendo x tender a 2 pela esquerda, ou por valores menores que 2, e escrevemos: x
2 - ( leia: x tende a dois pela esquerda). Estamos tomando valores de x cada vez mais próximos de 2, porém menores do que 2. A tabela seguinte nos mostra o que ocorre, neste caso, com f(x) = 2x + 1:
X 1,8 1,9 1,95 1,99 1,995 1,999 X 2-
f(x)
Atribuindo a x valores maiores que 2, cada vez mais próximos de 2, dizemos que estamos fazendo x tender a 2 pela direita ou por valores maiores que 2, e escrevemos x 2+ (leia: x tende a dois pela direita). Estamos tomando valores de x cada vez mais próximos de 2, porém maiores que dois:
x 2,2 2,1 2,05 2,01 2,005 2,001 X 2+
f(x)
Em ambos os casos notamos que, quando x tende a 2, f(x) tende a 5, quanto mais próximo x está de 2 tanto mais próxima f(x) está de 5.
Cálculo de limites através de gráficos Definição:
Seja f a função definida à direita e à esquerda de b, conforme demonstra o gráfico.
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
L1
L2
b
5
Para descrever este comportamento dizemos que o limite lateral direito de f no ponto b e o número L1 e escrevemos: limx b+ f(x) = L1 . E que o limite lateral esquerdo é o número L2 e escrevemos lim x b - f(x) = L2 . Neste caso os limites laterais não são iguais.
Considerando, agora, a função g:
Observando o gráfico podemos afirmar que lim x b- g(x) = L e lim x b
+ g(x) = L isto é, que os limites laterais de g no ponto b são iguais. Neste caso, dizemos que a função g tem limite L no ponto b. Lim x b g(x) = L No exemplo anterior os limites laterais são distintos, e por isso dizemos que a função f não tem limite no ponto b.
Definição de limite Se x se aproxima de a através de valores maiores que a ou pela sua direita, escrevemos:
Esse limite é chamado de limite lateral à direita de a. Se x se aproxima de a através de valores menores que a ou pela sua esquerda, escrevemos:
Esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de a. O limite de f(x) para x a existe se, e somente se, os limites laterais à direita a esquerda são iguais, ou seja:
Porém caso:
Se o limite de f(x) à direita de a é igual ao limite de f(x) à esquerda de a e o valor comum desses limites é b, então o limite de f(x) quando x tende para a é igual a b
⇒⇒
⇒ ⇒
⇒
L
b
6
Técnicas para o cálculo de limites Sejam a ∈ IR e k ∈ IR. Considere estes limites básicos
Exemplos: Verificar se as funções a seguir possuem limite no ponto b
1) f(x) = x2 b = 2
2) f(x) = ⎩⎨⎧
>+
≤
010
2
2
sexxsexx
b = 0
3) f(x) = 21
+
+
xx ;x ≠ -2 b = 4
4) f(x) = x1 x ≠ 0 b = 4
5) f(x) = x x ≥ 0 b = 9
6) f(x) = x x ≥ 0 b = 0
7) f(x) = 242
−
−
xx ; x ≠ 2 b = 2
7
Exercícios
2 ) 5
39 ) 3/2 ) 8/1 ) 0 ) 2 ):.Resp
46232 lim)
34353 lim)
45332 lim)
43523 lim)
3532 lim))574( lim)
3
2
2 3
23
2
2
1
3
2
2
2
2
3
2
1
−
−++
++−−
−−+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++−
−−−
−++−
→−→−→
→−→→
fedcba
xxxf
xxxxe
xxxd
xxxxc
xxxbxxa
xxx
xxx
Exercícios
8
9
10
Funções Contínuas e Limites no infinito
Uma idéia intuitiva de função real contínua é a de uma função cujo gráfico possa ser representado em uma folha sem retirar a caneta do papel. Caso se interrompa o gráfico da função e se comece em outro local do papel, ocorre uma "descontinuidade". Observe os gráficos abaixo, o primeiro é de uma função f contínua (sem interrupção) e o seguinte, trata-se de um gráfico de uma função g descontínua.
Definição de função continua Dizemos que uma função f(x) é contínua num ponto a do seu domínio se as seguintes condições são satisfeitas
▪
▪
▪
Exemplos: Verificar se as funções a seguir são contínuas no ponto onde x = 2?
a)
11
Extensão do conceito de limite: limites Infinito e no infinito Limite Infinito Seja f uma função definida à direita de um ponto . Dizemos que tem limite lateral direito (mais infinito) no ponto e escrevemos , quando qualquer que seja o número , existe , tal que . De modo análogo, se está definida à esquerda de , dizemos que tem limite lateral esquerdo no ponto e escrevemos , quando para existe
tal que . Se , dizemos que tem limite no ponto e escrevemos . Exemplos: Verifique se existe o limite da função no ponto :
a)
b)
Outros exemplos
b f∞+ b +∞=−→
)(lim xfbx
bk > bx > kxf >)(f b f
∞+ b +∞=+→)(lim xfbx 0>k
bx < kxf >)(b f ∞+ b +∞=→ )(lim xfbx
b
||1)(x
xf = 0=b
2
1)(x
xf = 0=b
12
c)x
xf 1)( =
d)21)(−
=x
xf
e)
Exercícios Verificar se as funções a seguir possuem limite no ponto b.
Limite no Infinito Seja uma função definida num intervalo . Se à medida que assume valores cada vez maiores no intervalo os correspondentes valores de se aproximam de um número L, dizemos que o limite de para tendendo a é L. Exemplos: Determine os limites:
a)xx1lim +∞→ ;
b)212lim
−
++∞→ x
xx =
De modo análogo podemos definir os limites para a função definida no intervalo . Exemplos: a) =
b) =
c) =
Lista de Exercícios Limites
1. Explique o significado da equação
2. Explique o que significa e . Nessa situação é possível que
)x(flim1x→
exista?
0=b
2=b
xxf 1)( = 0=b
51)(−
=x
xf 5=b
2
1)(x
xf = 0=b
xxxf−
+=22)( 2=b
2
3)(xxxf −
= 0=b
f ),( +∞a x),( +∞a )(xf
f x ∞+
0>x
)0,(+∞
xx −−∞→lim
2lim xx −∞→
3lim xx −∞→
5)x(flim2x
=→
3)x(flim1x
=−→
7)x(flim1x
=+→
13
3. Explique o significado de cada uma das notações a seguir: a) b)
4) Para a função f cujo gráfico é dado, determine o valor da quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, explique por que.
a) )x(flim0x→
b) c) d) e) f(3)
∞=−→
)x(flim3x
−∞=+→
)x(flim4x
)x(flim3x −→
)x(flim3x +→
)x(flim3x→
14
5) Determine, se existir, o valor do limite a partir do gráfico dado. Se não existir, explique por que.
a) b) c) d) e) f) )x(flim2x→
6. Para a função g cujo gráfico é dado, determine: a) b) c)
d)
)x(flim3x→
)x(flim1x→
)x(flim3x −→
)x(flim2x −→
)x(flim2x +→
)x(glim6x −→
)x(glim0x −→
)x(glim0x +→
)x(glim4x→
15
7. Calcule os limites:
a) ( ))3x4x25x
lim +−→
b)
8) Dada a função f(x) =
a) esboçar o gráfico b) calcular os limites laterais para x = 2 c) verificar se existe o limite de f(x) para x→2 d) verificar se f é contínua em x = 2. Justifique
9) Dada a função f(x) =
a)esboçar o gráfico b) calcular os limites laterais para x=3 c)verificar se existe o limite de f(x) para x→3 d) verificar se f é contínua em x=3. Justifique
10) Dada a função f(x) =
a) esboçar o gráfico b) calcular os limites laterais para x = 2 c) verificar se existe o limite de f(x) para x→2 d) verificar se f é contínua em x = 2. Justifique
11) Dada a função f(x) =
a) esboçar o gráfico b) calcular os limites laterais para x = 1 c) verificar se existe o limite de f(x) para x→1 d) verificar se f é contínua em x = 1. Justifique
12) Calcular os limites: a) lim (3x2+2x-1) x→∞ b) lim (4x3+2x2-10x +1) x→-∞ Respostas: 01) Quanto mais próximo x está de 2 tanto mais próxima f(x) está de 5.
3x4x5 3
2xlim
−
+
→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
≥+
22
22
xsex
xsex
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
≥+
34
332
xx
xsex
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<+
≥
21
22
xsex
xsex
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠+
10
113
xse
xsex
16
02) Quanto mais próximo x está de 1, através de valores menores que 1, tanto mais
próxima f(x) está de 3. E tanto mais próximo x está de 1, através de valores maiores que 1, tanto mais próxima f(x) está de 7. Logo os limites laterais são distintos, e por isso concluímos que a função não tem limite no ponto x=1.
03) a) Quanto mais próximo x está de –3 tanto mais próxima f(x) está de +∞ (mais infinito) b) Quanto mais próximo x está de 4 tanto mais próxima f(x) está de -∞ (menos infinito) 04) a) ( ) 3xf lim
0x=
→ b) ( ) 4xf lim
3x=
−→ c) ( ) 2xf lim
3x=
+→
d) ( )xf lim
3x→ e) ( ) 33f =
05) a) ( ) 2xf lim
3x=
→ b) ( ) 1xf lim
1x−=
→ c) ( ) 1xf lim
3x=
−→
d) ( ) 1xf lim
2x=
−→ e) ( ) 2xf lim
2x=
+→ f) ∄ ( )xf lim
2x→
06)
a) ( ) 0xg lim6x
=−→
b) ( ) +∞=−→
xg lim0x
c) ( ) −∞=
+→xg lim
0x d) ( ) −∞=
→xglim
4x
07)
a) 8
b) –44
08)
a)
17
b) ( ) 4xf lim2x
=−→
( ) 4xf lim2x
=+→
c) Sim, ( ) 4xf lim2x
=→
d) Sim, ( ) ( )2fxf lim2x
=→
9)
a)
b) ( ) 12xf lim
3x=
−→
( ) 12xf lim3x
=+→
c) Sim, ( ) 12xf lim3x
=→
d) Sim, pois ( ) ( )xf lim3f3x→
=
10)
a)
18
b) ( ) 3xf lim
2x=
−→
( ) 4xf lim2x
=+→
c) ∄, os limites laterais são
diferentes
d) Não, pois não há ( )xf lim
2x→
11)
19
b) ( ) 4xf lim1x
=−→
( ) 4xf lim1x
=+→
c) Sim, ( ) 4xf lim1x
=→
d) Não, pois ( ) ( )xf lim1f1x→
≠
13)
a) ∞ b) - ∞
ESTUDO DE DERIVADAS
A diferenciação é um dos conceitos básicos do ramo da Matemática conhecido como cálculo e possui grande variedade de aplicação como o traçado de curvas, a otimização de funções e a análise de taxas de variação. Geometricamente falando a derivada nos dá a inclinação de uma curva em um ponto. - Inclinação da Curva. Vimos que conhecendo a inclinação e um ponto de uma reta, podemos determinar sua equação. Imaginemos que o gráfico cartesiano de uma função y = f(x) admita uma reta tangente t num ponto P. A inclinação da curva no ponto P é dada através da inclinação da reta tangente; para definir a inclinação da curva em P, não devemos considerar o que acontece em um ponto Q muito afastado de P.
Exemplo 1: Dada f(x) = x2, determinar a inclinação da curva no ponto em que x = 1. De modo geral, a abscissa de um ponto próximo de (1,1) pode ser escrita 1+h, onde h é um número muito pequeno, positivo ou negativo, mas diferente de zero. Logo (1+h, 1+2h+h2)
pertence à curva. A inclinação da reta que passa entre os dois pontos (1,1) , (1 + 2h + h2) é: m = Quando o ponto cuja abscissa é 1+h se aproxima do ponto (1,1), o número h se aproxima do zero. Quando h se aproxima de 0, a inclinação da reta que passa pelos dois pontos se aproxima de 2 , que é, portanto a inclinação da curva no ponto (1,1) .A inclinação de uma
20
curva em um determinado ponto é o valor para o qual tende o quociente das diferenças quando h tende a zero. Lembrando que limite é o valor para o qual uma função tende quando sua variável tende para um número específico, obtemos: "inclinação da curva é
igual ao limite, quando h tende a zero, de
M = limh 0
Exemplo 2: Achar a inclinação da curva f(x) = x2 no ponto (-2,4).
Exemplo 3: Achar a inclinação da curva f(x) = x2 em um ponto arbitrário. Definição A derivada de uma função f é aquela função, denotada por f', tal que seu valor em todo
número x do domínio de f seja dado por f'(x) = limh 0 se este limite existe. Notação de Derivada.
Além de f'(x), outros símbolos são usados para representar a derivada. Por exemplo:
Então se y = x2 , = 2x
Exemplo 4 : Calcular a derivada de f(x) = 3x2 + 12. Técnicas de Diferenciação 1 - Se c é uma constante e se f(x) = c para todo x, f'(x) = 0. A derivada de uma constante é zero. Exemplos: f(x) = 5 ⇒ f'(x) = g(x) = -20 ⇒ g'(x) = ----
2 – Se n é qualquer número real, e se g(x) = xn, então g'(x) = nxn-1. Exemplos: f(x) = x8 ⇒ f'(x) = ----
h(x) = x ⇒ h'(x) = ----
g(x) = x ⇒ g(x) = x12⇒ g'(x) = ----
3 – Se f é uma função, e c é uma constante, e g é a função definida por g(x) = cf(x), então se f'(x) existe, g'(x) = cf'(x). Exemplos: g(x) = 5x7 ⇒ g'(x) = ----
f(x) = 9 x23 ⇒ f'(x) = ----
4 – Se f e g são funções e h é a função definida por h(x) = f(x) + g(x), então h'(x) = f'(x) + g'(x). Exemplos:
h(x) = x2 + x ⇒ h'(x) =
h(x) = 7x4 – 2x3 + 8x + 5 ⇒ h'(x) =
Exercícios:
f x h f xh
( ) ( )+ −
→
f x h f xh
( ) ( )+ −
→
f x h f xh
( ) ( )+ −
dxdy
dxdy
21
1) Determine a derivada das seguintes funções: a) f(x) = x3 – 3x2 + 5x – 2
b) f(x) = 48
51 xx −
c) f(t) = 34
21
41 tt −
d) f(x) = x2 + 3x + 21x
e) f(x) = 4253xx
+
f) f(x) = 3
3 1x
x +
g) f(x) = - 325
4212 2
32
2
++++++xx
xx
x
Derivar
Respostas
22
Regra da multiplicação 5 – Se f e g são funções e se h é a função definida por h(x) = f(x) . g(x), então h'(x) = f(x). g'(x) + f'(x). g(x). Exemplos:
h(x) = (2x3 – 4x2) . (3x5 + x2) Þ h'(x) = ---- h(x) = (3x2 + 2x) . (x – 1) Þ h'(x) = --------
Regra da Divisão
6 – Se f e g são funções, e se h é a função definida por h(x) = )()(xgxf , g(x) ¹ 0 então, se f'(x)
e g'(x) existem, h'(x) = 2))(()()(')(')(
xgxfxgxfxg − .
Exemplo:
h(x) = xx
x242
2
3
−
+
Exercícios h) f(x) = 10 (3x + 1) (1 - 5x) i) f(x) = (2x4 – 1) . (5x3 + 6x)
j) f(x) =12 +x
x
23
l) f(t) = )13(512
−+
+ xxx
Regra para a Função Exponencial f(x) = ax ⇒ f’(x) = ax ln a
Exemplos: f(x) = 2x ⇒ f’(x) =
h(x) = ex ⇒h’(x) =
Exercícios Nos exercícios de 1 a 12 obtenha a função derivada da função dada. 1) f(x) = 10 . ex 2) f(x) = 2. 3x 3) f(x) = log2 x 4) f(x) = 1 + 2lnx 5) f(x) = x2 + 2x + 1 6) f(x) = ln x + 2ex 7) f(x) = x2 . ex 8) f(x) = 4 + 5x2. lnx
9) f(x) = xxln
10) f(x) = x
x
ee
−
+
11
11) f(x) = xx
xln1+
12) f(x) = 12 +x
e x
Regra da Cadeia Regra de derivação de uma função composta: Sejam u e v duas funções deriváveis e f = u o v; Portanto f(x) = (u o v) (x) = u(v(x)) f’(x) = u’(v(x)) . v’(x) Exemplo: Derivar f(x) = (x2 + 1)10
Exercícios Derivar: 1) f(x) = (x2 + 3x + 5)4 2) f(x) = (x + 1)8
3) f(x) = 14
12 +x
4) f(x) = xx
x+
−−
−
12
313
Derivar: 1) f(x) = (x2 + 3x + 20)6 2) f(x) = (x + 2)7
3) f(x) = 3
5233⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
+
xx
24
4) f(x) = (4x2 + 5)3 . (x2 – 5) 5) f(x) = ln (x3 + 3x2- 2x)
6) f(x) = ln (x2 + 5) 7) f(x) = x3 + e2x 8) f(x) = x . e-2x 9) f(x) = (1 + x3 )4
10) f(x) = 1213−
+
xx
11) f(x) = xx 54
12 +
12) f(x) = xx
x+
−−
−
25
323
13) f(x) = (1 – x) . x21− 14) f(x) = xex+
Revisão das Regras de derivação 1) f(x) = k à f ’(x) = 0 função constante 2) f(x) = xn à f ’(x) = n.xn-1 função potência 3) f(x) = k. g(x) à f ’(x) = k.g’(x) (k nº fixo) produto por constante 4) f(x) = u(x) + v(x) à f ’(x) = u’(x) + v’(x) derivada da soma 5) f(x) = u(x) – v(x) à f ’(x) = u’(x) – v’(x) derivada da diferença 6) f(x) = u(x).v(x)à f ’(x) = u’(x).v(x) + u(x).v’(x) derivada do produto
7) f(x) = à f ’(x) = derivada do quociente
8) f(x)= un à f ’(x) = u’.n.un-1 regra da cadeia para potência
9) f(x) = ln(u) à f ’(x)= derivada do log base e
10) f(x) = loga(u) à f ’(x) = derivada do log em outra base
11) f(x) = eu à f ’(x) = u’.eu derivada da exponencial base e 12) f(x) = au à f ’(x) = u’. au .ln(a) derivada da exponencial outra base Exemplos:
Função Derivada 1) f(x) = 9 f ’(x) = 0 2) f(x) = x5 f ’(x) = 5x4 3) f(x) = 3.x5 f ’(x) = 3.5.x4 = 15x4 4) f(x) = 3x2 +2x+4 f ’(x) = 3.2x+2+0= 6x+2 5) f(x) = 7x-x3 f ’(x) = 7 – 3x2 6) f(x) = x. f’(x)=1. +x.½x – ½ = + ½ x ½ = +½ = 3/2.
)()(xvxu
2))(()(').()().('
xvxvxuxvxu −
uu'
auuln.'
x x x x x x
25
7) f(x) = f ’(x) = =
8) f(x) =(x+2)8 f ’(x)= 8.(x+2)7.1= 8.(x+2)7. 9) f(x) = ln(3x-4) f ’(x) =
10) f(x) = log 2(5x+3) f ’(x) =
11) f(x) = f ’(x) =3x2 . 12) f(x) = 24x f ’(x) = 4.24x.ln(2) 13) f(x) = sen (3x) f ’(x) = 3.cox(3x) 14) f(x) = cos (7x+2) f’(x) = -7 .sen(7x+2)
Lista Geral de Exercícios: Calcule as derivadas das seguintes funções:
1. y = x3. log(x) 2.y = -0,6x 3. y = x. 4. y = 3-x6+x8 5. y = -x3 6. y = .x –1 7. y = 4x+5x2+6x3+7x4 8. y = 6x2+ 7-x
9. y =
10. y = 11. y = 12. y =
13. y = 14. y = 15. y =
16. y = 17. y=ex/x 18. y = x2.(2x-1)4
19. y = 20. y = 21. y =
22. y = 7.ex + ln(x) – ln 2 23. y = 6x 0,5 24. y = 0,2x+0,5x2-0,3 25. y = -3x+5 26. y = 27. y = 28. y = 10x + 5. ln(x) + 3x+4
29. y = 5. ex+ 6. ln(x) +3. 2x + 6
30. y = (ln(x))3
31. y =5.3x 32. y = 12x + x3 33. y = x2.ex 34. y = (3x2+5)5 35. y = (2x-4)3
36. y = -x.ln(x)
37. y = (x3 –3x2)4 38. y = (4 – 7x)7 39. y = (e5x+3)4 40. y = 41. y = 2.e3x-1
42. y = 5x – 3x2 +4
43. y = e5-2x 44. y = 5.e2-x
45. y = 2x . x2
46. y = ln (x2-5x+1) 47. y = ln ( 3x-4) 48. y = x.(x+3)3 49. y = log (4-x2) 50. y = log 2 (
x+x2) 51. y = 3x5.e4x+2
52. y = 23x + 5.(3-x2)6 + e5x+2
53. y = 102x-3
54. y = 3x2 e2-x.
232 −xx
22
2
)2(2.3)2.(3
−
−−
xxxx
22
2
)2(63
−
−−
xx
433−x
)2ln()35(5
+x3xe
3xe
xx
xxxx−
+4
2
5,043
21
43
+x
2x
5
32
5332xxxx
+
++
xx−3
2
23
−
+
xx
)log()ln(xx
3 2 5xx −34
34
45 xx −
5
4
x xx32−
5 x 35 xx + 93 +x
32 +xe
26
Gabarito 1)y’= !
!
!"!"+ 3!!. !"#$
28) y’= 10!!"10+ !
!+ 3
2) y’= -0,6 29) y’= 5.ex + !! + 3.2x .ln2
3) y’= !!!!! + ! = !
!! 30) y’= 3.(lnx)!. !
! = !(!"(!))
!
!
4) y’= -6x5 + 8x7 31) y’= 5.3x.ln3 5) y’= -3x2 32) y’= 12x .ln12 + 3x2
6) y’= −!!!! + !
!!!
!! = − !
!!!
!! = − !
! !! 33) y’= !!(!! + 2!)
7) y’= 4 + 10x + 18x2 + 28x3 34) y’= 30!(3!! + 5)! 8) y’= 12x -1
35) y’= 6. (2! − 4)!
9) y’= !!!! – !,!!!– !!!
(!,!!!!!)!
36) y’= -1 - lnx
10) y’= !!
37) y’= 12!! − 24! (!! − 3!!)!
11) y’= !!
38) y’= - 49. (4− 7!)!
12) y’= !!"!!!!"!!!!"!!!!"!!!!"!!!
(!!!!!)!
39) y’= 20. !(!!!!)!
13) y’= !!!!!
(!!!)!
40) y’= 2!. !!!!!
14) y’= !!(!!!)!
41) y’= 6. !!!!!
15) y’= !"# (!)
! ! !"#!.!"!"
(!"# (!))! =
!"!".!"#$ !!"#!.!�!"
(!"# ! )!= !"!".!"#$!!"#
(!"# ! )!.!.!"!"
42) y’= 5 – 6x
16) y’= (!!!!).(!!!!!)!
!!
!= !!!!
!. (! !!!!!)!
43) y’= −2!!!!!
17) y’= !!.(!!!)!!
44) y’= −5. !!!!
18) y’= 8!!(2! − 1)! − 2! 2! − 1 ! 45) y’= 2! 2! + !"2. !!
19) y’= 5x3 – 4x2 46) y’= !! ! !!!!!!! !
20) y’= -10!!!! 47) y’= !
!!!!
27
21) y’= !! !!! !!! –
! !! !!!
!! ! = !!
! !!!!! !!!
!! !
48) y’= 3!(! + 3)! + (! + 3)!
22) y’= !!!+ !
! 49) y’= !!!
!!!! !"!"
23) y’= 3x-0,5 50) y’= !!!!
!!!! !"!
24) y’= 0,2 + 1x 51) y’=!!!!!. (12!! + 15!!)
25) y’= !
!. !!
!! − 3
52) y’= 2!!!�2.3− 60!(3−!!)! + 5!!!!!
26) y’= !!. !!
!! + !
!. !!
!!
53) y’= 10!!!!. !"10.2
27) y’= !!(3! + 9)!
!! = !
! !!!!
54) y’= !!!!(−3!! + 6!)
Aplicação: Taxa de Variação Funções Marginais – Em Economia e Administração, dada uma função f(x), costuma-se
utilizar o conceito de função marginal para avaliar o efeito causado em f(x) por uma pequena variação de x.
Custo marginal (Cmg) – Variação do custo total decorrente da variação de uma unidade na quantidade produzida.
Receita marginal (Rmg) – Variação na receita total decorrente da venda de uma unidade na quantidade vendida do bem.
R(x) = p.x onde p é a produção x é a unidade
Lucro marginal (Lmg) – Variação do lucro total. L(x) = R(x) – C(x) Exemplo 1: Seja C(x) a função custo de produção de x unidades de um produto. Chamamos
de custo marginal à derivada de C(x). Consideremos a função custo C(x) = 0,01x3 – 0,5x2 + 300x + 100. Determinar o
custo marginal para x =10. Exemplo 2: Seja R(x) a função receita de vendas de x unidades de um produto. Chamamos
de receita marginal a derivada de R(x) em relação à x. Dada a função receita R(x) = -2x2 + 1000x, determine a receita marginal no
ponto x = 50. Exemplo 3: Uma empresa tem uma capacidade de produção máxima de 200 unidades por
semana. A função de demanda do produto é p = - 0,2x + 900 e a função custo semanal é C = 500 – 8x + x2. Qual o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro?
Exercícios - Aplicações
28
1) Dada a receita R(x) = -2x2 + 10x, obtenha o valor de x que a maximiza. x = 5/2 2) Dada a função de demanda p = 40 – 2x, obtenha o preço que deve ser cobrado para
maximizar a receita. X = 10
3) Com relação ao exercício anterior, qual o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro, se a função custo for C = 40 + 2x? X = 21
4) A função custo mensal de fabricação de um produto é C = 101023
23
++− xxx , e o
preço de venda é p = 13. Qual a quantidade que deve ser produzida e vendida mensalmente para dar o máximo lucro? x = 4,65 aproximadamente
5) Dada a função custo anual de uma empresa C(x) = 40x – 10x2 + x3:
a) Ache o custo médio Cme (x) = xxC )( . Cme =40 – 10x + x2
b) Ache os intervalos de crescimento e decrescimento do custo médio, indicando eventuais pontos de máximo e mínimo. x < 5 decres; x > 5 cresc.; 5 é MIN
6) A função demanda mensal de um produto é p = 40 – 0,1x, e a função custo mensal é
C = 506073
23
++− xxx . Obtenha o valor de x que maximiza o lucro, e o
correspondente preço. x = 12,16 7) Uma empresa opera num mercado em que o preço de venda é constante e igual a $
20,00. Seu custo marginal mensal é dado por Cmg = 3x2 – 6x + 15. Qual a produção mensal que dá o máximo lucro? x = 2,63
8) Uma empresa produz um produto com custo mensal dado por C(x) =
201023
23
++− xxx . Cada unidade do produto é vendida a $ 31,00. Qual a
quantidade que deve ser produzida e vendida para dar o máximo lucro mensal? x = 7
9) Dada a função receita R(x) = -2x2 + 1000x, obtenha a receita marginal no ponto x = 50. R’(50) = 800
10) Dada a função custo C(x) = 0,1x3 – 18x2 + 1500x + 10000, obtenha: a) o custo marginal Cmg; C’(x) = 0,3x2 – 36x + 1500 b) Cmg(65) e a interpretação do resultado; C’(65) = 427,5 c) Cmg(150) e a interpretação do resultado. C’(150) = 2850 11) O custo de fabricação de x unidades de um produto é C(x) = 2x2 + 5x + 8.
Atualmente o nível de produção é de 25 unidades. Calcule, aproximadamente, usando diferencial de função: xxfdf Δ= .)(' 0 , quanto varia o custo se forem produzidas 26 unidades. df = 105
29
12) A receita mensal de vendas de um produto é R(x) = 26x – 5x2 e seu custo é C(x) = 14 + 6x. Obtenha a quantidade x que maximiza o lucro e o seu correspondente preço. xmáx = 2 e p = $ 16
13) A função receita de uma empresa é R(x) = 6x2 + 2x +1, em que x é o número de unidades produzidas. Atualmente o nível de produção é de 6 unidades, e a empresa pretende reduzir a produção em 0,5 unidades. Usando a diferencial de função:
xxfdf Δ= .)(' 0 , dê aproximadamente a variação da receita. E interprete os resultados. df = - 37
14) Em uma fábrica de ventiladores, o preço de um tipo de ventilador é dado por p = -
2x + 800, onde 0 ≤ x ≤ 400. Suponha que o custo para a produção dos ventiladores seja dado por C(x) = 200x + 25000.
a. Obtenha a função lucro marginal L’(x) = -4x + 600 b. Obtenha o valor de x que dá o lucro máximo xmáx. = 150 c. Obtenha o preço que deverá maximizar o lucro. p(150) = $ 500
15) Um monopolista (produtor único de um certo bem) tem um custo mensal dado por
C(x) = 5 +2x + 0,01x2. A função de demanda mensal é p = - 0,05x + 400. a. Qual o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro?; $ 234,17 b. Analise a situação. E se a capacidade máxima de produção for de 2000
unidades por mês, qual o preço a ser cobrado?; $ 300,00 c. Analise a situação. E se a capacidade máxima de produção for de 4000
unidades por mês, qual o preço a ser cobrado?; $ 234,17
Lista Geral de Exercícios 1) Derivar:
a) f(x) = 34365 2
+−−xx
- x b) f(x) =(3x 52 )7−+x
c) f(x) = 2534
3
2
+
+
xxx d) f(x) =
xx 5452 +
2) Para cada função a seguir, encontre a derivada e a unidade de medida: a) q = -2p + 10 ⇒ (q é a demanda em unidades e p é o preço em reais;
b) Cu = 50240+
q ⇒ (Cu é o custo unitário em reais e q quantidade em unidades);
c) V = t5,0.5001250
+ ⇒ (v é venda em milhares e t tempo em meses);
d) V = 106126
2
2
+−
+−
tttt ⇒ (V é o valor de uma ação, em reais, e t tempo em dia);
e) M = 5000 . 1,03 n ⇒ ( M é o montante em reais e n é o período em mês); f) Y = 7637.797 . 1,02 x ⇒ ( y é a população habitantes e x tempo em ano.
3) Um estudo sobre eficiência do turno da manhã de uma fábrica indica que um operário médio, chegando ao trabalho às 8 horas, monta:
30
f(x) = - x3 + 6x2 + 15x rádios, x horas depois de iniciado o trabalho. a) deduza a expressão da taxa à qual o operário montará rádios após x horas de trabalho. b) a que taxa o operário estará montando rádios às 9 horas da manhã? c)quantos rádios serão realmente montados pelo horário entre 9 e 10 horas da manhã 3) Avalia-se que, daqui a t anos, a circulação de um jornal local será de: c(t) = 100t2 + 400t + 5000 exemplares. a) deduza a expressão da taxa de variação da circulação do jornal daqui a t anos. b) qual será a taxa de variação da circulação daqui a 5 anos? c) qual será a variação real da circulação durante o 6º ano?
4) Estima-se que, daqui a t anos, a população de uma certa comunidade suburbana será de
p(t) = 20 - 16+t
milhares de habitantes.
a) deduza a expressão da taxa de crescimento da população, em relação ao tempo, daqui a t anos. b) qual será a taxa de crescimento da população daqui a 1 ano? c) qual será o crescimento real da população durante o 2º ano? d) qual será a taxa de crescimento da população daqui a 9 anos?
5) Calcula-se que daqui a x meses, a população de determinada cidade será de p(x) = 2x +
4x 23
+ 5000 habitantes. Qual será a taxa de variação da população, em relação ao tempo, daqui a 9 meses?
Aplicações de Derivada: Problemas de Otimização (máximos, mínimos) Os sinais da derivada primeira. Os sinais da função derivada f’ estão relacionados ao crescimento ou decrescimento de f. Valem as seguintes propriedades:
a) Se f’(x) é positiva para todo x de um intervalo I, então f é crescente em I; f’(x) > 0, ∀ x ∈ I ⇒ f é crescente em I.
b) Se f’(x) é negativa para todo x de um intervalo I, então f é decrescente em I; f’(x) < 0, ∀ x ∈ I ⇒ f é decrescente em I.
31
Pontos Críticos São os pontos onde f’(x) = 0 podem ser de máximo ou de mínimo ou de inflexão. Exemplos. Determinar os pontos críticos e estudar a variação de cada função. E faça um esboço do gráfico. a) f(x) = x3 – 3x ∀ x ∈ℜ
b) f(x) = 14
4
+− xx -2 ≤ x ≤ 2
Exercícios
1) Encontre os máximos e os mínimos relativos de f . a) f(x) = – 6x2 + x3 -4 ≤ x ≤ 8
b) f(x) = 219xx
+ -2 ≤ x ≤ 2
2) Deseja-se construir uma piscina retangular de 36 m de perímetro e profundidade 1,5 m. Determine as dimensões que garantem o volume máximo para a piscina.
3) Um fabricante de caixas de zinco sem tampa deseja fazer uso de pedaços de zinco com dimensões 10 por 17 cm cortando quadrados iguais dos quatro cantos e virando os lados para cima. Ache o comprimento do lado do quadrado a ser cortado a fim de obter uma caixa com maior volume possível de cada pedaço de zinco.
4) Uma empresa pode vender a um preço de R$110,00 por unidade, um certo produto por ela
produzido. Se x unidades for a produção diária, o custo total da produção diária será 3
3x + 85x +
150. Ache o número de unidades que a empresa deverá produzir para ter maior lucro.
5) O departamento do Interior de um país sul-americano começou a registrar um índice de qualidade ambiental que mede o progresso e o declínio da qualidade ambiental de suas florestas.
32
O índice para os anos de 1984 a 1994 é aproximado pela função I(t) = 8025
31 23 +− tt (0 10≤≤ t
). Onde t = 0 corresponde ao ano 1984. Encontre os intervalos onde a função I é crescente e os intervalos onde é decrescente.
6) O lucro total (em reais) da companhia Brasom, pela fabricação e venda de x unidades de seu sistema de caixas de som modelo F é dado por P(x) = - 0,02x2 + 300x – 20.000 (0≤x≤20.000). Quantas unidades de seu sistema de caixas de som deve a Brasom produzir para maximizar seus lucros?
7) Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer caixas sem tampa de pedaços quadrados de papelão com 12 cm de lado, cortando quadrados iguais dos quatro cantos e virando para cima os lados. Ache o comprimento do lado do quadrado a ser cortado para se obter uma caixa com o maior volume possível.
8) Uma empresa pode vender a um preço de R$100,00 por unidade, um certo produto por ela produzido. Se x unidades for a produção diária, o custo total da produção diária será x2 + 20x + 700. Ache o número de unidades que a empresa deverá produzir para ter maior lucro.
9) Cortando quadrados idênticos de cada canto de um pedaço retangular de papelão, dobrando as abas resultantes, o papelão pode ser transformado numa caixa sem tampa. Se o papelão tem 16 cm de comprimento e 10 cm de largura, encontre as dimensões da caixa com o máximo volume.
10) Uma caixa sem tampa, de base quadrada, deve ser construída de forma que seu volume seja 2500m3. O material da base vai custar R$1200,00 por m2 e o material dos lados R$980,00 por m2. Encontre as dimensões da caixa de modo que o custo do material seja mínimo.
Tópico especial: O lote Econômico de Compra (LEC)
LEC = m
p
CMC2
33
INTEGRAL
Primitivas de uma função O processo de obter uma função a partir de sua derivada é denominado antiderivação ou integração. Exemplos: (1) Qual a função cuja derivada é f(x) = 5? Lembrando as regras temos que derivando a função F(x) = 5x temos F’(x)=5=f(x). Observe que derivando F(x) = 5x + 10, também obtemos F’(x) = 5. O mesmo para F(x) = 5x - 2, ou qualquer função do tipo F(x) = 5x+k, onde k é número fixo. Assim, temos que F(x) = 5x+ k, (k constante) é uma família de soluções para esta questão. Esta família de funções que levam a derivada f(x) = 5 é chamada de primitiva ou antiderivada de f(x), ou seja, F(x) = 5x+k é a antiderivada de f(x) = 5.
(2) Qual a função cuja derivada é f(x) = 2x? Lembrando as regras temos que derivando a função F(x) = x² obtemos F’(x)=2x= f(x). Mas, derivando F(x) = x² + 10, também obtemos F’(x) = 2x. O mesmo para F(x) = x²-13, ou qualquer função do tipo F(x) = x²+k, onde k é número fixo. Assim, temos que F(x) = x²+ k, (k constante) é a antiderivada de f(x) = 2x
Integrais Indefinidas Seja f uma função definida em um intervalo I. Dizemos que uma função F definida em I, é
uma primitiva ou antiderivada de f quando F’(x) = f(x) para todo x em I. A antiderivada de
f recebe o nome de integral indefinida de f. Denotamos a integral indefinida de f(x) por
, ou seja, = F(x) +k, onde F’(x) = f(x), para x I.
O símbolo é chamado de sinal de integral, e se assemelha a um “s” alongado. O s vem de soma. O símbolo dx que aparece após o integrando indica que a variável de integração é x. Exemplos:
a) = + k, pois ( + k)’ = 2x/2 +0 = x.
b) = 3x+k, pois (3x+k)’ = 3.
c) = x4 +k, pois (x4+k )’ = 4x3.
d) = +k, pois ( +k)’ = xn (se n ≠ -1).
Propriedades: 1)
2) , k :constante
∫ dxxf )( ∫ dxxf )( ∈
∫
∫ xdx 2
2x2
2x
∫ dx3∫ dxx34
dxxn∫ 1
1
+
+
nxn
1
1
+
+
nxn
∫ ∫ ∫±=± dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
∫ ∫= dxxfkdxxfk )(.)(.
34
Exemplos:
1) x2 + x+ k
2)
3) = + x2 + 3x+ k
4) = =
5) =
6)
7) =
8)
Obtemos então as seguintes regras:
Regras de integração
1) +k (n ≠ -1) 4) = +k
2) = = ln |x|+k
5) = -cos x+k
3) = ex+k 6) = sen x +k
Exercícios 1. Calcule as seguintes integrais: a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
j) l) m)
=+=++
=++
∫ xxxxdxx221
112)12(
211
kxxxxxxxxxdxxx +++=++=++
++
=++++
∫ 22
223
321112
3)23(2
3231112
2
xxxxxxdxxx 322
43
112
13)32(
2411133 ++=+
++
+=++
++
∫ 4
4x
∫ dxx 21 1
1122
112−
−+−− −=
−=
+−=∫ xxxdxx k
x+−
1
∫ + dxx
x )34( 5k
xxxxxxdxxx +−=
−+=
+−+
+=+
−+−+−∫ 4
2421511
5
432
43
24
153
11434
kxxxxdxxdxx +===+
==
+
∫∫ 3232
3121
21
32.
32
231
21
∫ dxx3 kxxxxdxx +===+
=
+
∫ 3 4343
4131
31
43.
43
341
31
kx
xxxxxdxxxdxxx
++=+=−
−=−=− −−
−−∫∫3||ln23||ln2
13||ln232)32( 1
121
2
∫ =dxxn1
1
+
+
nxn
dxax∫ aax
ln
dxx∫1
∫ − dxx 1 ∫ senxdx
∫ dxex ∫ xdxcos
∫ xdx ∫ dx3 ∫ + dxx )13(
∫ ++ dxxx )1( 2 ∫ dxx 3 ∫ ++ dxxx )32( 3
∫ dxx71
∫ + dxx
x )1(3 ∫ dxx3
∫ dxx3 4 dxx )33( 5 2 +∫ ∫ + dxxx)86( 5
35
n) (2!! !!
ln2)du Você deve ter notado que não existisse uma regra específica para integração de produtos e quocientes. Apenas em alguns casos podemos reescrever a função de modo a eliminar o produto ou quociente. Exemplos:
1) = = x3 + 2,5x2- + k.
2) = = +k
2) Reescreva a função, para eliminar o produto ou o quociente e calcule a integral:
a) b) c)
d)
e) f) g)
h) !! − 2!! (!!− 5)!" i) !(2! − 1)!dx
Mas, a maioria dos produtos e quocientes não pode ser eliminada. Nestes casos, teremos que usar um método para chegar no resultado da integração.
Integrais definidas Se f for integrável em [a,b], e se F for uma primitiva de f em [a, b], então
= F(x) = F(b) – F(a)
Exemplos: Calcule,
1.
2.
3.
4.
Propriedades Sejam f e g integráveis em [a, b] e k uma constante. Então:
1. f + g é integrável em [a, b] e = +
+ +
( )∫∫ −++=++ dxxxxdx
xxx 222
34
7537531
725
33 123
−++
−xxxx7
dxxx∫ 3 dxxdxxx ∫∫ = 27
213. 92
929
92
92
29
xxx==
∫ dxxx .5 ∫ dxxx .2 ∫+ dxxx5
23dx
xx
∫+3
8
dxx∫ 3
5dxxx 24.3∫ ∫ + dy
yyy )12(3
fa
b! (x)dx a
b|
x1
2
! dx = x2
2 12| = 2
2
2"12
2=42"12=32
825)1.(23.222 |313
1
=+=−−==−
−∫ xdx
90327
30
33
3
333
0
33
0
2 | =−=−==∫xdxx
21
2211
21
11
211
11 || 2
1
2
1
12
1
22
12 =
+−=+−=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−−−=−=−
==−
−∫∫ xxdxxdx
x
dxxgxb
af ))()(( +∫ dxx
b
af )(∫ dxx
b
ag )(∫
36
2. k.f é integrável em [a, b] e =k . .
3. Se f(x) 0 em [a, b], então 0.
4. Se c (a, b) e f é integrável em [a, c] e [c, b], então = + .
Lista de Exercícios: Calcule as seguintes integrais definidas:
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12.
13. 14. 15.
16. 17. 18.
19. 20. 21.
22. 23. 24.
25. 26. 27.
28. 29. 30.
Aplicações Cálculo de área.
dxxb
afk )(.∫ dxx
b
af )(∫
≥ dxxb
af )(∫ ≥
∈ dxxb
af )(∫ dxx
c
af )(∫ dxx
b
cf )(∫
dx∫−
3
14 dxx∫ +
1
0)3( dxxx )13
2
0
3( −+∫ dxxx)
12
1
1( 3+∫
dxxe∫1
0dxx )
1
112(∫
−+ dx∫
4
0 21 dttt∫ −+
2
0)13( 2
dxx∫4
0dxx∫
4
0sen
π
dxxx∫
−+
−
1)
1(
22 dxx∫
−
3
3
3
∫ +5
223 dxx ∫
16
9dxx dx
xx∫−−
1
15443
dxxx 222
1
35 +−∫ ∫ −5
34 xdx ∫
6
332 dx
dxx∫32
1
5 2 dxxxx 5347 41
0
3 −−+∫ ( )∫ −2
1
53 dxx
∫ +−1
0
32 )543( dxxx ∫4
1
6 dxx
dxxx )(16
1
4 −∫
∫6
0
7dt dxx
xxx∫
+−4
23
435
2248 dxxx
3233
0
2
−∫
dxx∫
9
4
5 dxxx∫4
1
33 . ( )∫ −3
2
9 10 dxx
37
Exemplos:
a) ∫2
0
3dx
b) ∫1
0
3x dx
c) ∫2
1
2x dx
Excedentes do Consumidor e do Produtor Exemplos: A) Suponha que a demanda mensal de carne de um determinado consumidor seja dada por p = - 0,5q + 15, 0≤ q ≤ 30, sendo o preço p em reais e a quantidade q em kg. Suponha que o preço de mercado seja R$6,00 o quilo.
a) Qual a quantidade q consumida ao preço de mercado? b) Qual o excedente do consumidor?
B) Um produtor de carne oferece picanha ao mercado com a seguinte função de oferta p =
,510004
2
2
+q o preço de mercado é R$9,00 por quilo.
a) Qual a quantidade ofertada mensalmente ao preço de mercado? b) Qual o excedente do produtor?
Exercícios 1) Ache o excedente do consumidor para a equação da demanda p = 20 – 0,5q, 0≤q ≤40 e um preço de mercado igual a 8. Considere a quantidade em quilos e o preço em reais. 2) Ache o excedente do produtor para a equação da oferta p = 0,3 q + 3, q ≥0 e um preço de mercado igual a 12. Considere a quantidade em quilos e o preço em reais.
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Referências Bibliográficas
- GUIDORIZZI, H.L – Matemática Para Administração. Rio de Janeiro. Livros Técnicos e Científicos Editora, 2002.
- HOFFMAN, L. D. – Cálculo: um curso moderno e suas aplicações, Rio de Janeiro. Livros Técnicos e Científicos Editora, 1999.
- LEITHOLD, L. – Matemática aplicada à Economia e Administração, São Paulo, Editora Harbra, 1988.
-- SILVA, S M da – Matemática para cursos de Economia, Administração e Ciências Contábeis, Vol. 1, 3ª ed., Editora Atlas,1988.
Sites:
APMP - Associação de Professores de Matemática de Portugal , URL: http://www.apm.pt/, visitado em março 2001.
ESCOLA DO FUTURO, URL: http://www.futuro.usp.br/http://www.futuro.usp.br/, site visitado em maio de 2001, A Escola do Futuro da Universidade de São Paulo