DALILÉIA RIBEIRO

MATEMÁTICA APLICADA

SÃO PAULO - SP

2014

UNIVERSIDADE PAULISTA - UNIP

CURSO DE ADMINISTRAÇÃO

DALILÉIA RIBEIRO RA: A32JDA-5

MATEMÁTICA APLICADA

Trabalho de Graduação apresentado a Universidade Paulista – UNIP para conclusão da ementa de Matemática Aplicada do 2°Semestre de 2014 do Curso de Administração.

Orientador: Prof. XXXXXXX

SÃO PAULO - SP

2014

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SUMÁRIO

1 A FUNÇÃO DEMANDA.......................................................................................................................... 8

2 A FUNÇÃO OFERTA.............................................................................................................................. 10

3 O PONTO DE EQUILÍBRIO ............................................................................................................. 19

4 A FUNÇÃO CUSTO TOTAL................................................................................................................ 30

5 RECEITA TOTAL......................................................................................................................................... 33

6 A FUNÇÃO LUCRO .......................................................................................................................... 34

7 PONTO DE NIVELAMENTO.............................................................................................................. 33

8 OUTRAS APLICAÇÕES............................................................................................................... 34

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1. A FUNÇÃO DEMANDA

A função demanda relaciona preços e quantidades de uma mercadoria,

estudando essa relação sob o ponto de vista dos consumidores.

A quantidade de uma mercadoria ou de um serviço que um consumidor deseja

ou está disposto a consumir, em um certo período de tempo, depende de vários

fatores, tais como: o preço da mercadoria, a renda do consumidor, o preço de outras

mercadorias ou bens substitutos, o gosto pessoal do consumidor, o preço de outras

mercadorias ou bens complementares, etc.

A representação gráfica da função demanda é geralmente chamada de curva

de demanda.

Por meio de análises empíricas do comportamento dos consumidores, os

economistas observaram que à medida que o preço de uma mercadoria aumenta, a

sua quantidade demandada diminui. Da mesma forma, se o preço de uma mercadoria

diminui, a sua quantidade demandada tende a aumentar. Essa relação é o que os

economistas chamam de Lei da Demanda. Dessa forma, observou-se que a função

demanda é uma função estritamente decrescente.

Para um indivíduo, a demanda por uma certa mercadoria relaciona-se com o

preço de acordo com a tabela abaixo.

preço 8 7 6 5 4 3 2 1 0

quantidade 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

Construindo o gráfico da curva de demanda referente a esses dados temos a seguinte representação:

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O gráfico revela que a curva de demanda é na verdade uma reta, ou seja, trata-

se de uma demanda linear. Observe nesse gráfico que consideramos a quantidade (q)

no eixo vertical e o preço (p) no eixo horizontal. Isso indica que estamos considerando

a quantidade como variável dependente e o preço como variável independente, ou

seja, q = f(p).

1.1. A demanda individual e a demanda de mercado

A demanda individual indica o quanto um determinado consumidor está

propenso a consumir de um produto a certo nível de preço. Já a demanda de mercado

ou demanda agregada nos mostra as quantidades nas quais esse produto é procurado,

num certo período de tempo, por todos os indivíduos que compõem o mercado. A

demanda de mercado depende de todos os compradores da mercadoria existentes no

mercado.

Se todos os n consumidores forem idênticos, a demanda de mercado será um

múltiplo da demanda individual de um consumidor:

qm = n.q

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Se os consumidores tiverem funções de demanda distintas, a demanda de

mercado será dada pela soma das funções demanda individuais de todos os n

consumidores:

qm = q1 + q2 + ... + qn

1.2. A função demanda linear

Admitindo que q = f(p), podemos escrever a função demanda como:

q = a + b.p, com b ¹ 0

Essa função só será estudada no primeiro quadrante do gráfico, pois não faz

sentido pensar em preço negativo ou em quantidade negativa.

Outro detalhe importante é que, como a função demanda é sempre

decrescente, o parâmetro b será negativo, ou seja, b < 0.

Com objetivo de exemplificar essa função, determinamos graficamente a partir

das seguintes premissias; A função que relaciona os preços e quantidades de um certo

produto é dada por:

2q + 4p = 10.

Isolamos a variável q:

2.q = 10 – 4p

q = (10 – 4p)/2

q = 5 – 2p

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Em uma função do 1º grau, o intercepto do eixo vertical é dado pelo

parâmetro a, que nesse caso vale 5, o intercepto do eixo horizontal, é dado pelo valor

de x correspondente a y = 0, ou, no nosso caso, o valor de p correspondente a q = 0.

Assim, substituindo 0 na variável q, temos:

0 = 5 – 2p 2p = 5

p = 5/2 = 2,5

Agora podemos construir o gráfico, tomando por base os interceptos do eixo

horizontal e do eixo vertical. Observe abaixo que a linha do gráfico deve ficar tracejada

no trecho que está fora do primeiro quadrante. Observe também o aspecto decrescente

do gráfico.

2. FUNÇÃO OFERTA

2.1. Visão Geral

Em Economia, é possível relacionar preços e quantidades de uma mercadoria

por meio de funções matemáticas. Empiricamente, ou seja, por meio de verificações

objetivas de dados coletados em situações práticas, podemos verificar uma forte

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correlação entre essas variáveis econômicas. Assim, isso pode ser observado nos

diversos níveis de preço e entre quaisquer mercadorias.

2.2. FUNÇÃO OFERTA

Entendemos a função oferta como a quantidade de um bem ou serviço que os

produtores ou fabricantes (vendedores) estão dispostos a ofertar a um dado nível de

preço, em um certo período de tempo. Assim, podemos escrever:

q = f(p)

Onde q representa a quantidade ofertada e p representa o preço de uma

mercadoria, em uma análise meramente lógica ou baseada no bom senso, podemos

afirmar que:

(i) Um aumento dos preços irá provocar um aumento na quantidade ofertada,

isto é, se a um preço p1 a quantidade ofertada for q1, a um preço p2 > p1 a quantidade

ofertada será q2 > q1. Resumidamente, temos:

p2 > p1 à q2 > q1

(ii) Uma queda nos preços irá provocar uma diminuição na quantidade ofertada,

isto é, se a um preço p1 a quantidade ofertada for q1, a um preço p2 < p1 a quantidade

ofertada será q2 < q1. Resumidamente, temos:

p2 < p1 à q2 < q1

Uma questão a ser respondida seria porque os vendedores ofertam maior

quantidade de um produto quando o seu preço aumenta? A resposta a esse

questionamento pode ser melhor entendida se tomarmos um exemplo no mercado

agrícola. Imagine que os preços do milho, por exemplo, aumentam no mercado

internacional e, por consequência, no mercado interno também. Os produtores

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agrícolas ficam incentivados a produzirem mais milho, pois assim podem obter mais

lucro, visto que os preços estão altos. Da mesma forma, se o preço de um produto

agrícola cair, os produtores irão ficar inclinados a produzir menos, buscando plantar

outros produtos que dêem a eles melhores retornos financeiros.

Admitindo, então, o fato de que as quantidades ofertadas aumentam quando os

preços aumentam e, analogamente, diminuem quando os preços caem, podemos

entender que a função oferta, que relaciona preços e quantidades, é uma função

estritamente crescente.

Os estudiosos de Economia não fazem distinção em relacionar preços e

quantidades como q = f(p) ou p = f(q). Para fins didáticos, em nossos estudos vamos

considerar apenas a primeira opção, ou seja, a quantidade (q) é a variável dependente

(y) e o preço (p) é a variável independente (x).

2.3. A função oferta pelo modelo linear

Admitindo que q = f(p), podemos escrever:

q = a + b.p, com b ¹ 0

Devemos também chamar a atenção para o fato de que essa função só será

estudada no primeiro quadrante do gráfico, pois não faz sentido pensar em preço

negativo nem quantidade negativa.

Outro detalhe importante é que, como a função oferta é sempre crescente, o

parâmetro b será positivo, ou seja, b > 0.

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2.4. A oferta de mercado de uma mercadoria

A oferta de mercado, também chamada de oferta agregada de uma

mercadoria, fornece as quantidades da mercadoria que são ofertadas, num dado

período de tempo, aos vários preços alternativos, por todos os produtores dessa

mercadoria que operam no mercado. A oferta de mercado depende dos mesmos

fatores que determinam a oferta dos produtores individuais, sendo, portanto, obtida

com base na função oferta individual dos produtores.

Se todos os produtores forem idênticos, ou seja, se tiverem a mesma função

oferta individual, para se obter a função oferta de mercado, basta tomar a função oferta

individual e multiplicá-la pelo número de produtores.

Se os produtores forem diferentes, ou seja, se tiverem funções oferta

individuais distintas, a função oferta de mercado será dada pela soma algébrica das

funções oferta individuais dos produtores.

3. PONTO DE EQUILIBRIO

3.1. Visão Geral

Conforme demonstrado anteriormente existem duas funções que relacionam os

preços e as quantidades de uma mercadoria:

a) a oferta de mercado é uma função que indica a quantidade de uma

mercadoria que os produtores estão dispostos a ofertar a um certo nível de preço;

b) a demanda de mercado é uma função que indica a quantidade de uma

mercadoria que os consumidores estão dispostos ou desejam consumir a um certo

nível de preço.

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Uma analise passível de questionamento seria: É possível a oferta dos

produtores ser igual à demanda de mercado dos consumidores por uma mercadoria a

um certo nível de preço?

A função oferta é uma função estritamente crescente e a função demanda é

uma função estritamente decrescente. Sendo assim, se colocássemos essas duas

funções em um mesmo gráfico, haveria um ponto de interseção entre elas? Se positivo

esse ponto de interseção, o que ele significa?

3.2. O equilíbrio

Na Economia, o equilíbrio se refere às condições do mercado, as quais, uma

vez atingidas, tendem a persistir. Isso ocorre quando a quantidade ofertada de uma

mercadoria se iguala à sua quantidade demandada num mesmo período de tempo.

Geometricamente, o equilíbrio ocorre na interseção das curvas de demanda e oferta de

mercado.

Sobre essa interseção, este ponto, se existir, é único, pois a curva de demanda

é decrescente e a curva de oferta é crescente. Assim, neste ponto a quantidade que os

consumidores desejam comprar é exatamente igual à quantidade que os produtores

desejam vender. Existe uma coincidência de desejos.

No ponto de equilíbrio não existem pressões para alterações nos preços, pois

os planos dos vendedores são consistentes com os planos dos compradores, o preço e

a quantidade referentes ao ponto de equilíbrio são chamados de preço de equilíbrio e

quantidade de equilíbrio, respectivamente.

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Um equilíbrio é considerado estável se qualquer desvio em relação a esta

posição provocar a interferência de forças do mercado que fazem com que preços e

quantidades retornem à condição de equilíbrio inicial.

Se houver uma tendência a preços e/ou quantidades se afastarem da condição

de equilíbrio, então este é dito instável.

Uma análise econômica das condições fora do ponto de equilíbrio revelam que

há um intervalo no qual ocorre excesso de demanda e outro intervalo no qual ocorre

excesso de oferta. Essa análise pode ser feita por meio dos preços ou das

quantidades.

3.3. Determinação do ponto de equilíbrio

O ponto de equilíbrio pode ser determinado geometricamente, traçando-se os

gráficos das funções oferta e demanda o obtendo-se o seu ponto de interseção.

Entretanto, uma determinação algébrica pode ser mais eficiente. Para isso, basta

igualarmos as quantidades ofertada e demandada, dadas por suas respectivas

funções. Matematicamente, isso equivale a resolver um sistema formado por duas

equações e duas incógnitas.

4. FUNÇÃO CUSTO TOTAL

4.1. Introdução

A função custo está relacionada aos gastos efetuados por uma empresa,

indústria ou loja, na produção ou aquisição de algum produto. Todo custo, em geral,

possui dois componentes: um fixo e outro variável.

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4.2. A Função Custo

Representamos a função custo total por meio da seguinte expressão:

Ct = Cf + Cv

Na qual:

Ct é o custo total Cf é o custo fixo

Cv é o custo variável

Os custos fixos independem da quantidade produzida e estão sempre

presentes na linha de produção, como salários e aluguel. Em termos relativos,

quanto maior for o volume de produção ou venda, menores serão os custos fixos por

unidade.

Cf = K (K>0)

(Sendo K uma constante de produção)

Como o custo fixo constante, se quisermos representá-lo graficamente,

teremos que fazê-lo por meio do gráfico da função constante, que é uma reta paralela

ao eixo horizontal. Veja o exemplo abaixo:

Já o custo variável tem relação direta com o nível de produção e, quando zero

unidades é produzida, o custo variável é zero. Os custos variáveis compreendem a

matéria-prima e as embalagens, entre outros itens.

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O custo variável de um produto pode ser obtido multiplicando-se seu custo

unitário de produção pela quantidade produzida, ou seja:

Cv = pu . q

No qual pu é o preço de custo ou o custo unitário de produção q é a quantidade produzida, que é aqui é considerada variável Cv é o custo variável de produção

Observe que a função custo total somente é definida no primeiro quadrante do

sistema de eixos, pois não faz sentido pensarmos em custo negativo ou quantidades

negativas.

Podemos inferir também que a função custo depende diretamente das parcelas

de custo fixo e custo variável nas quais incorre a produção de um determinado bem. A

função de custo representa o custo total da empresa na produção de um item e é uma

função estritamente crescente.

Podemos, escrever a função custo total como:

Ct = Cf + Cv Ct = Cf + pu.q

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4.3. Custo médio

Para melhor avaliação de custos por parte do empresário, é importante que ele

saiba o custo médio por unidade fabricada de sua linha de produção, o custo médio

total da produção é obtido por meio da divisão do custo total pelo número de unidades

produzidas:

Cm = Ct/q

5. RECEITA TOTAL

5.1. Função receita total (RT)

As receitas são geradas pelas atividades-fim e que uma emprese se dedica,

dessa fora, se uma empresa foi constituída para vender mercadorias que ela fabrica,

essa é sua fonte de receitas. Por outro lado, se seu fim é a prestação de serviços, daí a

advêm seus recursos. De um modo geral, as receitas vão depender das quantidades

de mercadorias vendidas ou dos serviços prestados e dos preços dessas mercadorias

ou serviços. Em linguagem matemática, podemos escrever:

RT = f(q, p)

5.2. A Função Receita Total Linear

A função receita total representa o faturamento bruto da empresa e depende do

número de vendas de determinado produto, sabe-se, no entanto, que as receitas de

vendas de qualquer unidade produzida está vinculada ao preço fixado para o produto,

bem como à quantidade vendida desse produto, logo:

Rt = p.q

No qual: Rt = receita total obtida com a venda de um produto; p = preço unitário de venda do produto; q = quantidade vendida do produto

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A função Receita total é linear, isto é, ela não tem o termo constante,

independente da variável. Isso quer dizer que seu gráfico é uma linha reta que corta o

eixo y na origem (0, 0). Isso parece bastante lógico, pois se pensarmos que a

quantidade vendida é zero, não haverá receita alguma para a empresa.

Também devemos observar que, sendo o preço constante, a variável é a

quantidade (x) e a receita total (y). Como o preço é obrigatoriamente um valor positivo,

essa função é estritamente crescente, ou seja, quanto maior for a quantidade vendida,

maior será a receita auferida pela empresa.

Usualmente, representamos o preço no eixo das abscissas (x) e a receita ($)

no eixo das ordenadas (y).Se quisermos nos referir à receita total auferida pela venda

de n produtos, devemos fazer:

Rt = R1 + R2 + ... + Rn

Rt = p1.q1 + p2.q2 + ... + p3.q3

Rt = ∑ pi.qi

O gráfico da função receita típica é uma reta que passa pela origem do sistema

de eixos.

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6. FUNÇÃO LUCRO

6.1. Visão Geral

A função lucro está relacionada aos valores arrecadados pela atividade-fim da

empresa (receitas) e aos gastos efetuados (custos) por ela, seja uma indústria, uma

loja revendedora ou uma firma de prestação de serviços, a função lucro diz respeito ao

lucro líquido das empresas, lucro oriundo da subtração entre a função receita e a

função custo.

LUCRO = RECEITA TOTAL - CUSTO TOTAL

A função custo total mais atentamente, poderemos observar que ela agrega

dois tipos de custos: os custos explícitos e os custos implícitos, custos explícitos são os

custos que a empresa incorre de fato, isto é, são pagos monetariamente,custos

implícitos (ou custos de oportunidade) são os custos que a empresa incorre quando faz

uma opção por um projeto ao invés de, por exemplo, aplicar seu capital nos

investimentos disponíveis do mercado financeiro, essa diferenciação de custos tem

como consequência duas diferentes abordagens quanto ao lucro da empresa:

O Lucro Econômico refere-se à Receita Total menos Custo Total (incluindo os

custos de oportunidade). Já o Lucro Contábil registra apenas os Custos Explícitos,

ignorando dos custos de oportunidade. No Brasil, em geral, o lucro econômico é menor

que o lucro contábil, devido às altas taxas de juros que prevalecem no mercado

financeiro. Essas altas taxas geram oportunidades de ganhos excessivos em Finanças

em detrimento da área de projetos empresariais produtivos.

Sabemos que a Receita total é uma função crescente, pois quanto maior a

quantidade vendida, maior será o valor arrecadado pela empresa. Da mesma forma,

também sabemos que a função Custo total é uma função crescente, pois quanto maior

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a quantidade produzida, maior será o custo total de produção. De maneira análoga, a

função Lucro total também será crescente, visto que quanto maior for a quantidade

vendida de um produto, maior será a parcela de lucro da empresa.

Entretanto, a função Lucro total difere em um aspecto importante das funções

Receita total e Custo total. Enquanto não faz sentido pensarmos em receita negativa ou

em custo negativo, em relação ao lucro, é importante sabermos que existe lucro

negativo, também chamado de prejuízo. Assim, se no gráfico representarmos o lucro

no eixo vertical, a função lucro total poderá ser definida nos quadrantes I e IV do

sistema de eixos, conforme esquema abaixo:

7. PONTO DE NIVELAMENTO

7.1. Visão geral

Para uma empresa, é fundamental fazer uma análise criteriosa de seus custos

e de suas receitas. Sabemos que um dos objetivos mais importantes de uma empresa

é o de gerar lucro para seus proprietários ou acionistas. Com base nesse fato, a

empresa deve fazer análises operacionais de modo a buscar eficiência na obtenção de

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resultados, o ponto de nivelamento, ou Break Even Point (BEP), representa o ponto no

qual as receitas totais se igualam aos custos totais, tanto a função Custo total quanto a

função Receita total são crescentes, mas elas tem um ponto em comum, que é o BEP.

Graficamente, podemos observar o ponto de nivelamento na interseção das

curvas de receita e custo:

Analisando o gráfico, vemos que para quantidades menores que o BEP, o

custo é maior do que a receita, o que acarreta prejuízo. Para quantidades maiores que

o BEP, a receita é maior do que o custo, o que resulta em lucro. No BEP, as receitas e

os custos se igualam, o que pode ser interpretado como lucro nulo, o cálculo do ponto

de nivelamento pode ser feito igualando as funções receita total e custo total:

RT = CT

Fazendo isso e resolvendo a expressão resultante, encontraremos um valor de

q (quantidade). Para obter o valor da receita e do custo basta substituir o valor de q

encontrado nas respectivas funções (receita total e custo total). Você irá observar que o

valor encontrado em ambas as expressões é o mesmo. Sendo assim, o ponto de

nivelamento corresponde a um valor de q associado a uma receita e custo iguais, que

fazem com que o lucro da empresa seja nulo nesse nível de produção.

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8. OUTRAS APLICAÇÕES

8.1. Depreciação

Depreciação é a diminuição do valor de um ativo, provocada pelo desgaste

proveniente do uso ou utilização em processo produtivo, ou simplesmente pelo

decorrer do tempo, que muitas vezes torna o equipamento obsoleto ou ultrapassado

em termos tecnológicos, dessa forma, a contabilidade da empresa deve, a cada

exercício contábil, baixar uma parcela do valor desse ativo, calculada de acordo com o

método de desvalorização adotado. Os principais métodos são:

a) depreciação linear

b) soma dos dígitos

c) estimativa do número de horas de uso

O primeiro método, que pressupõe uma parcela de depreciação constante no

decorrer da vida útil do ativo a ser depreciado. Com essa finalidade, vamos estabelecer

alguns conceitos:

� Vn: valor de aquisição do bem ou valor nominal;

� Da: a parcela de depreciação anual, no decorrer da vida útil do bem, que segundo o modelo linear, é constante;

� Vr: valor residual, alcançado pelo ativo após ser totalmente depreciado;

� t: tempo de vida útil do bem, isto é, tempo durante o qual o ativo está sujeito a depreciação;

� V: valor do bem em qualquer data, entre 0 e t.

O valor de V é uma função de t. Como, com o passar do tempo, o valor do ativo

cai, essa função é decrescente.

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Cálculo do valor de V:

Ao final do primeiro ano (t = 1), devemos descontar do preço original do ativo

uma parcela de depreciação. Assim, temos:

V = Vn – 1.Da

Ao final do segundo ano (t = 2), devemos descontar mais uma parcela de

depreciação, então o preço do ativo será:

V = Vn – 1.Da – 1.Da

V = Vn – 2.Da

Transcorridos t anos, podemos escrever:

V = Vn – t.Da

Se conhecermos o valor residual do bem e o seu tempo de vida útil, podemos

calcular, com a fórmula acima, o valor da parcela de depreciação anual, fazendo:

Da = (Vn – Vr)/t

Se considerarmos que o valor residual do ativo é diferente de zero, podemos

representar graficamente a função depreciação linear assim:

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BONORA Jr., D. et al. Matemática – complementos e aplicações nas áreas de Ciências Contábeis, Administração e Economia. 4ª ed. São Paulo: Ícone, 2006.

MEDEIROS DA SILVA, S. et al. Matemática para os cursos de Economia, Administração e Ciências Contábeis. 6ª ed. São Paulo: Atlas, 2010.

MUROLO, A. C. e BONETTO, G. Matemática Aplicada a administração, economia e contabilidcade. 2ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2012.